Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://dfgm.math.msu.su/files/0diss/diss-shnurnikov.pdf Дата изменения: Tue Mar 11 14:14:47 2014 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:46:58 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п

Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова механико-математический факультет

на правах рукописи УДК 514.174+515.164.22

Шнурников Игорь Николаевич

Распределение количества компонент связности дополнения к наборам замкнутых геодезических
01.01.04 геометрия и топология диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: академик А.Т. Фоменко

Москва 2012


Содержание
1 2 Введение Конфигурации псевдопрямых на проективной плоскости 2 8

2.1 2.2 2.3
3

Линейные неравенства на числа точек пересечения фиксированной кратности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Оценки числа областей для наборов псевдопрямых с ограниченными вырождениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Множества чисел связных компонент дополнений к наборам n псевдопрямых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . О числе связных компонент в неклеточных разбиениях сфер с ручками Множество чисел областей в разбиениях поверхностей семействами кривых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Множества чисел областей в разбиениях торов и бутылок Клейна . . Разбиения тетраэдров наборами замкнутых геодезических . . . . . . . Замкнутые геодезические на замкнутых гиперболических поверхностях Гомологическая оценка числа компонент связности . . . . . . . . . Применение функции Мебиуса для конфигураций гиперплоскостей Множества чисел областей в разбиениях проективных пространств Разбиения плоских dмерных торов и пространств Лобачевского . .. . . ..

9 18 28
31

Наборы погруженных окружностей на двумерных поверхностях

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
4

31 33 34 39 45
53

Наборы подмногообразий коразмерности один

4.1 4.2 4.3 4.4
5

53 55 59 71
74

Заключение.

1


1

Введение

Работа относится к теории конфигураций подмногообразий активно развивающемуся направлению, связанному с комбинаторикой, алгебраической топологией, теорией узлов, алгебраической геометрией. Под теорией конфигураций подмногообразий мы имеем в виду в первую очередь результаты, касающиеся комбинаторики и топологии конечных наборов плоскостей и их дополнений в аффинных и проективных пространствах, а также обобщения на наборы подмногообразий в других многообразиях. Базовые факты теории см. в книге П. Орлика, Х. Терао [32] 1992 г., а геометрические аспекты в обзоре В. А. Васильева [3] 2001 г. Ряд обобщений для произвольных многообразий сделал П. Дешпанд [16] в 2011 г.
Обзор основных известных результатов.

Комбинаторика числа областей. Разбиения вещественных аффинных и проективных пространств наборами поверхностей коразмерности один изучал Я. Штейнер [36] в 1826 году. Он рассматривал разбиения трехмерного пространства конечными наборами плоскостей и сфер, причем наборы состояли из семейств параллельных плоскостей и концентрических сфер, и семейства находились в общем положении относительно друг друга. Я. Штейнер нашел число областей пространства для таких разбиений с указанными числами поверхностей в семействах. Р. Бак [11] в 1943 г. нашел максимальные возможные числа k мерных клеток в разбиениях проективного пространства RPd наборами n гиперплоскостей. Р. Шеннон [35] в 1976 г. доказал нижние оценки на числа k мерных плоскостей пересечения и k мерных клеток в разбиениях пространства RPd наборами n гиперплоскостей (требовалось, чтобы пересечение всех n гиперплоскостей было пустым множеством). Формула Заславского. Т. Заславский [37] в 1975 г. определил характеристический многочлен набора гиперплоскостей аффинного или проективного пространства с помощью функции Мебиуса частично упорядоченного множества пересечений; нашел линейные комбинации значений характеристического многочлена в некоторых точках, задающие число всех областей и число ограниченных областей в разбиениях пространства гиперплоскостями (для ограниченных областей требуется, чтобы пересечение всех гиперплоскостей было точкой или пустым множеством). Р. Эренберг, М. Рэдди, М. Слоун [17] в 2009 г. определили характеристический многочлен и предъявили аналогичные формулы для клеточных разбиений многомерного плоского тора набором плоских подторов коразмерности один. П. Дешпанд [16] в 2011 г. обобщил формулы Заславского для конфигураций подмногообразий (в определении конфигураций подмногообразий требовалось, чтобы пересечение подмногообразий было локально гомеоморфно пересечению плоскостей). Когомологии дополнения в комплексных пространствах. П. Орлик и Л. Соломон [31] в 1980 г. выразили кольцо целочисленных когомологий дополнения к набору комплексных гиперплоскостей через ч. у. м. пересечений гиперплоскостей (построенная алгебра была названа в их честь). Они заметили, что характеристический многочлен для набора вещественных гиперплоскостей совпадает с многочленом Пуанкаре для комплексифицированного набора. Отсюда следует, что число областей разбиения вещественного пространства Rm набором гиперплоскостей равно сумме чисел
2


Бетти дополнения в Cm к объединению комплексифицированных гиперплоскостей. Обзор С. А. Юзвинского [9] 2001 г. посвящен свойствам алгебр Орлика-Соломона и некоторым их приложениям. Гомотопические свойства дополнений к наборам плоскостей. Г. Л. Рыбников [8] в 2011 г. построил две комбинаторно эквивалентные конфигурации прямых на комплексной проективной плоскости, у которых фундаментальные группы дополнений не изоморфны. Наборы псевдопрямых на проективной плоскости. Под набором псевдопрямых мы имеем в виду конечный набор гладких замкнутых несамопересекающихся кривых, любые две из которых пересекаются трансверсально в единственной точке. Через ti обозначим число точек, принадлежащих i псевдопрямым; через n обозначим число псевдопрямых набора. Исключим из рассмотрения наборы, в которых все n псевдопрямых проходят через одну точку. Известна серия результатов (см. обзоры П. Брасс, Уил. Мозер, Я. Пах [12] 2005 г., Н. Нилакантан [30] 2005 г.), ведущих начало от гипотезы Сильвестра t2 1. П. Эрдеш и Г.Б. Пурди в [18] 1978 г. получили неравенство max{t2 , t3 } n - 1 при n 25; доказали, что если t2 < n - 1, то t3 > cn2 для некоторой положительной константы c. 6 n при n 8. Известен Дж. Сцима и Е.Т. Сойер в [14, 15] 1993 г. доказали, что t2 13 [n] n пример с t2 = 2 для четных n 6, и гипотеза Дирака утверждает, что t2 . 2 Э. Мельхиор [27] 1940 г. получил линейное по ti неравенство, обращение которого в равенство эквивалентно тому, что все области разбиения треугольные. Ф. Хирцебрух [23] 1986 г., изучая возможные значения отношения чисел Черна для двумерных комплексных многообразий, доказал для наборов комплексных прямых линейное по ti и n неравенство (не эквивалентное неравенству Мельхиора; требующее, чтобы не более n - 3 прямых пересекались в одной точке). Связь конфигураций гиперплоскостей с многогранниками. Зоноэдром в Rd называется выпуклый многогранник, все гиперграни которого центрально симметричны. А. Д. Александров [1] в 1933 г. заметил, что зоноэдр является центральносимметричным многогранником. Имеется следующая связь наборов гиперплоскостей в проективных пространствах (т.е. наборов подпространств аффинных пространств коразмерности один) с зоноэдрами, (см. Б. Грюнбаум [20], 1967 г.). Для каждого подпространства pi конечного набора подпространств в Rn+1 возьмем единичный отрезок, перпендикулярный pi , после чего возьмем сумму Минковского! этих отрезков. Например, для наборов прямых на проективной плоскости прямые соответствуют пояскам зоноэдра, области плоскости RP2 парам противоположных вершин зоноэдра, точки пересечения прямых парам противоположных граней зоноэдра; трем не коллинеарным прямым на плоскости RP2 соответствует куб.

Пример неспрямляемого набора псевдопрямых можно построить с помощью теоремы Дезарга о коллинеарности трех точек пересечения соответствующих сторон двух перспективных треугольников. Интересные результаты получили Б. Грин, Т. Тао [19] в 2012 г., использовав методы аддитивной комбинаторики. В частности, заявлено о доказательстве гипотезы Дирака для достаточно больших n. ! напомним, что сумма Минковского двух тел A и B , расположенных в аффинном пространстве, состоит из всевозможных точек a + b, где a A и b B .


3


Нижние оценки числа областей в разбиениях проективной плоскости. Б. Грюнбаум [21] в 1972 г. впервые поставил вопрос об описании множества возможных чисел f областей в разбиениях вещественной двумерной проективной плоскости наборами из n проективных прямых и доказал, что

f

3n - 6 при m

n - 2,

где m максимальное число прямых, пересекающихся в одной точке. Тем самым, число областей не может принадлежать интервалу (2n - 2; 3n - 6). Также Б. Грюнбаум предположил, что при n 9 число областей не может находиться в интервале (3n - 5, 4n - 12). Эту гипотезу независимо друг от друга доказали Р. Кордовил [13] в 1980 г., Дж. Б. Пурди [33] в 1980 г. для n 40 и Н. Мартинов [25] в 1990 г. Для доказательства гипотезы Б. Грюнбаума Дж. Б. Пурди потребовалось доказать, что если для некоторого целого числа k

m

n-k

иn

4k 2 + k + 1,

то f

(k + 1)(n - k ).

Позже Н. Мартинов [26] в 1993 г. полностью описал все числа отрезка

[2n - 2,

n(n - 1) + 1], 2

которые могут реализоваться в качестве числа областей. В. И. Арнольд [2] в 2008 г., не зная о работе Н. Мартинова, поставил задачу об описании всех возможных чисел областей с нуля. Он назвал лакунами целые числа, принадлежащие интервалам (ai , bi ), где ai = i(n - i + 1) + Ci2-1 , bi = (i + 1)(n - i). В. И. Арнольд доказал, что число областей не может принадлежать лакуне номер i для достаточно больших n (для n i2 ), однако в его работе [2] остался невыясненным вопрос, есть ли в лакуне номер i реализуемые значения числа областей при i2 n i2 и i 3. 2 Весьма любопытно сравнить множества пар чисел (n, f ), реализуемых наборами прямых на проективной плоскости, с теми же множествами, реализуемыми наборами псевдопрямых. Априори было неизвестно, совпадают ли эти множества, поскольку существуют примеры неспрямляемых наборов псевдопрямых. Однако Н. Мартинов заметил, что множества совпадают, поскольку его рассуждения [26] для наборов прямых дословно переносятся на наборы псевдопрямых. Замкнутые геодезические. Птицына [7] в 1994 г. изучала замкнутые локально минимальные сети на равногранных тетраэдрах (грани равные остроугольные треугольники, авторский термин квазиправильные). В. Ю. Протасов [5, 6] в 2007 2008 гг. исследовал простые замкнутые геодезические на тетраэдрах (в основном, неравногранных); доказал, что для любой простой замкнутой геодезической на произвольном тетраэдре существует комбинаторно эквивалентная ей (т.е. пересекающая ребра в том же порядке) замкнутая геодезическая на правильном тетраэдре. Отнеся в один класс замкнутые геодезические, параллельные данной, В. Ю. Протасов доказал конечность числа классов замкнутых простых геодезических на неравногранных тетраэдрах и нашел верхние оценки; получил некоторые необходимые и некоторые достаточные условия того, чтобы 4


на неравногранном тетраэдре существовала хотя бы одна замкнутая простая геодезическая; доказал, что единственные трехмерные многогранники, на поверхности которых есть бесконечное число классов замкнутых простых геодезических, суть равногранные тетраэдры. Автор не претендует на достаточно полный обзор литературы, упомянуты только некоторые работы, наиболее связанные с темой и результатами диссертации.
Постановка задачи.

Пусть M d связное замкнутое многообразие, A объединение n связных замкнутых подмногообразий коразмерности один. Пусть f число компонент связности дополнения M d \ A. Требуется найти или описать множества всех возможных чисел f для данных M d и n. При этом естественно искать множества чисел f , накладывая некоторые условия на тип подмногообразий или на их наборы. Например, рассматривать наборы замкнутых геодезических на двумерных многообразиях с метрикой постоянной гауссовой кривизны, наборы плоскостей коразмерности один в аффинных или проективных пространствах.
Результаты диссертации.

Для наборов псевдопрямых на вещественной дено и доказано неравенство ( 3 t2 + t3 8 + 2i - 2 i4
1.

проективной плоскости RP2 най-

1 7 2

) t
i

при условии tn = tn-1 = tn-2 = 0, где ti это число точек, каждая из которых принадлежит ровно i псевдопрямым. На основе этого и других известных ранее линейных по ti неравенств получены нижние оценки числа компонент связности дополнения в RP2 к объединениям псевдопрямых. Подробнее см. теоремы 2.2 и 2.3 диссертации и работу автора [41]. 2. Полностью вычислены множества F (M , n) чисел компонент связности дополнений в M к объединениям n замкнутых геодезических для случаев, когда M :

ћ двумерный тор с любой" локально евклидовой метрикой, ћ двумерная бутылка Клейна с любой локально евклидовой метрикой, ћ тетраэдр с равными гранями (любыми остроугольными треугольниками),
более подробно см. теоремы 3.2, 3.3 и 3.5 диссертации или работы автора [39, 40]. 3. Для наборов из n связных замкнутых подмногообразий Ai коразмерности один в связном гладком компактном многообразии M d без края, попарно трансверсально пересекающихся, найдена и доказана нижняя оценка числа связных компонент дополнения ( ) n ( ) n - dim Hd-1 M d , G + 1, 0 M d \ Ai
i=1

отметим, что плоская метрика на торе задается невырожденной двумерной решеткой на плоскости, а множества F (M , n) не зависят от выбора решетки
"

5


где группа G = Z, если M d и Ai ориентируемы, и G = Z2 иначе. Эта оценка точна в ряде случаев, включающих наборы подторов плоских d мерных торов, наборы гиперплоскостей проективных пространств, наборы замкнутых кривых на двумерных ориентируемых замкнутых многообразиях. Более подробно см. теорему 4.1 диссертации или работу автора [41]. 4. Для неприводимых наборов из n плоскостей коразмерности один в dмерном вещественном проективном пространстве RPd вычислены первые 4 по возрастанию ( ) числа множества F RPd , n при n 2d + 5 и d 3; вычислены первые 36 по возрас( ) танию чисел множества F RP3 , n для неприводимых наборов из n 50 плоскостей в RP3 , см. теоремы 4.5 и 4.6 диссертации и работу автора [41]. 5. Полностью найдены множества F (Ld , n) чисел компонент связности дополнений в dмерных пространствах Лобачевского Ld к объединениям n плоскостей коразмерности один. Для дополнений в плоских d мерных торах T d к объединениям плоских подторов коразмерности один найдены бесконечные подмножества множеств F (T d , n). Выдвинута гипотеза, что эти подмножества совпадают с множествами F (T d , n) на основании того, что для d = 2 совпадение имеется. Более подробно см. теоремы 4.10 и 4.9 диссертации и работы автора [40, 41].
Апробация результатов работы.

Результаты диссертации докладывались:

ћ на Международной конференции Метрическая геометрия поверхностей и многогранников, посвященной 100 летию со дня рождения Н. В. Ефимова, Москва, 2010 г.; ћ на Международной конференции Юбилейный Симпозиум А. З. Петрова по Общей Теории Относительности и Гравитации, Казань, 2010 г.; ћ на международной конференции Дифференциальные Уравнения и Смежные Вопросы, посвященной 110 ой годовщине И. Г. Петровского, Москва, 2011 г.; ћ на научной конференции Ломоносовские чтения, Москва, 2011 г.; ћ на международной конференции Александровские чтения, Москва, 2012 г. ћ на международной конференции Дискретная Геометрия, посвященной 100 летию со дня рождения А. Д. Александрова, Ярославль, 2012 г. ћ на семинаре Algebraische Geometrie (руководители Prof. Dr. Hubert Flenner, Prof. Gerhard Rohrle, Prof. Dr. Uwe Storch), Бохум, Рурский ун-т, 2009 г.; ћ на семинаре Геометрия в целом (руководитель д.ф.-м.н. И. Х. Сабитов), Москва, МГУ, 2009 2010 гг.; ћ на геометрическом семинаре им. И. Ф. Шарыгина (руководители д.ф.-м.н. И. Х. Сабитов, д.ф.-м.н. В. Ю. Протасов), Москва, МЦНМО, 2009 г.; ћ на семинаре Математические вопросы кибернетики (руководитель д.ф.-м.н. О. М. Касим - Заде), Москва, МГУ, 2010;
6


ћ на семинаре Теория автоматов (руководитель акад. В. Б. Кудрявцев), Москва, МГУ, 2011 г.; ћ на семинаре Современные геометрические методы (руководители акад.
А. Т. Фоменко, д.ф.-м.н. А. В Болсинов, д.ф.-м.н. А. С. Мищенко, д.ф.-м.н. А. А. Ошемков, к.ф.-м.н. Е. А. Кудрявцева, к.ф.-м.н. И. М. Никонов), Москва, МГУ, 2008 2011 гг.

ћ на семинаре Дифференциальная геометрия и приложения (руководитель акад. А. Т. Фоменко), Москва, МГУ, 2011 2012 г. ћ на семинаре Дискретная геометрия и геометрия чисел (руководители д.ф.м.н. Н. Г. Мощевитин, д.ф.-м.н. Н. П. Долбилин и д.ф.-м.н. М. Д. Ковалев), Москва, МГУ, 2011 гг.; ћ на семинаре Алгебраическая топология и ее приложения, (рук. чл.-корр. РАН В. М. Бухштабер, д.ф.-м.н. А. В. Чернавский, д.ф.-м.н. И. А. Дынников, д.ф.м.н. Т. Е. Панов, к.ф.-м.н. Л. А. Алания, д.ф.-м.н. А. А. Гайфуллин, к.ф.-м.н. Д. В. Миллионщиков) в рамках конференции ?Ломоносовские чтения?, Москва, МГУ, 2011 и 2012 гг.

ћ на семинарe Узлы и теория представлений (руководители д.ф.-м.н. В. О. Мантуров, к.ф.-м.н. Д. П. Ильютко и к.ф.-м.н. И. М. Никонов), Москва, МГУ, 2010 и 2011 г.;

ћ на семинаре по комбинаторной геометрии и топологии (руководитель д.ф.-м.н. В. О. Мантуров), Москва, РУДН, 2012 г.

7


2

Конфигурации псевдопрямых на проективной плоскости

Назовем псевдопрямой# гладкую замкнутую несамопересекающуюся кривую на вещественной проективной плоскости RP2 , не гомотопную отображению окружности в точку. Набором$ псевдопрямых назовем конечный набор A из n 3 псевдопрямых, любые две из которых пересекаются в единственной точке и пересекаются трансверсально.
Определение 2.1.

Набору псевдопрямых A соответствует разбиение плоскости RP2 в виде клеточного комплекса, (который будем обозначать так же, как и набор A) с v (A) вершинами, e(A) ребрами и f (A) двумерными клетками. Вершины комплекса точки пересечения псевдопрямых, ребра дуги псевдопрямых без внутренних точек пересечения, двумерные клетки (области) компоненты связности дополнения в проективной плоскости к объединению псевдопрямых. Из формулы для эйлеровой характеристики (при n 2) следует v (A) - e(A) + f (A) = 1 Набор псевдопрямых называется тривиальным, если у всех псевдопрямых существует общая точка. В дальнейшем наборы псевдопрямых предполагаются нетривиальными (если не сказано обратное). Псевдопрямые на плоскости RP2 находятся в общем положении, если никакие три из них не имеют общей точки. Нетривиальный набор псевдопрямых называется симплициальным, если каждая область примыкает по дугам ровно к трем псевдопрямым. Число областей f = f (A) оценивается по индукции по n: n(n - 1) 2n - 2 f 1 + , 2 причем правое неравенство обращается в равенство для наборов псевдопрямых общего положения, а левое для наборов, в которых n - 1 псевдопрямых проходят через одну точку. Если n 2, то каждая 2 клетка примыкает к любой псевдопрямой набора по не более чем одной дуге и только с одной стороны, что можно доказать, используя нечетность числа точек пересечения двух замкнутых гомотопически нетривиальных простых контуров на проективной плоскости. Изоморфными считаются наборы, клеточные комплексы которых изоморфны, т.е. для которых существует взаимно-однозначное соответствие между вершинами, ребрами и 2 клетками, сохраняющее все инциденции.
Теорема 2.1.

Б. Грюнбаум, [20, pp. 401-402] Для нетривиальных наборов прямых

v+1

f

2v - 2

причем неравенство слева обращается в равенство тогда и только тогда, когда прямые в общем положении, а неравенство справа обращается в равенство тогда и только тогда, когда набор прямых симплициальный.

перевод pseudoline термин arrangement объект: congurations на число инциденций.
# $

of pseudolines конфигурации,

здесь переводится как набор псевдопрямых. Есть схожий наборы точек и прямых с дополнительными требованиями
8


Через ti (A) обозначается число точек пересечения, принадлежащих i псевдопрямым из набора A, для 2 i n. Через pj (A) обозначается число областей, примыкающих по ребрам к j псевдопрямым из набора A, для 2 j n. Через m(A) обозначается максимальное число псевдопрямых набора A, имеющих общую точку (т.е. m(A) = max{i | ti (A) = 0}). Для двух изоморфных наборов числа ti , pj и m совпадают. Как правило, далее мы будем опускать зависимость чисел ti , pj и m от набора A.

2.1 Линейные неравенства на числа точек пересечения фиксированной кратности
вида
Определение 2.2.

Линейными по ti неравенствами будем называть неравенства
n i=2

i t

i

0 ,

(2.1)

где коэффициенты i зависят только от i и n, причем среди чисел i не более половины нулей% для достаточно больших n.
К настоящему времени известно как минимум четыре (независимых) линейных по ti соотношения для конфигураций на проективных плоскостях (некоторые доказаны для комплексных прямых, некоторые для псевдопрямых). Самое простое из них справедливо как для наборов комплексных прямых, так и для наборов псевдопрямых, и получается подсчетом числа пар (псевдо)прямых:

n(n - 1) =

m i=2

i(i - 1)t

i

(2.2)

А именно, каждой точке пересечения i (псевдо)прямых поставим в соответствие i(i-1) 2 пар проходящих через нее (псевдо)прямых. Поскольку любые две (псевдо)прямые пересекаются в одной точке, то в сумме i 2 i(i-1) ti каждая пара (псевдо)прямых 2 учитывается ровно один раз. Неравенство Мельхиора, [27]. Для нетривиальных наборов псевдопрямых на плоскости RP2 (i - 3)ti . (2.3) t2 3 +
i4

Неравенство Мельхиора обращается в равенство тогда и только тогда, когда набор псевдопрямых симплициальный. Доказательство следует из леммы 2.2. Е. Мельхиор первым начал перечислять симплициальные наборы псевдопрямых. Б. Грюнбаум [22] в 2009 г. привел список симплициальных наборов, полный при n 37 (помимо списка существуют бесконечные серии симплициальных наборов). Для наборов комплексных прямых, вообще говоря, неравенство Мельхиора не выполняется

требование того, чтобы не менее половины коэффициентов были отличны от нуля, можно до некоторой степени варьировать. К числу линейных неравенств не относятся оценки чисел ti типа теоремы Сильвестра.
%

9


(контрпример можно построить, проведя прямые через точки некоторой кубической кривой). Неравенство Хирцебруха, [23]. Для наборов комплексных прямых на комплексной проективной плоскости CP2 при m < n - 2: 3 t2 + t3 n + (2i - 9)ti . (2.4) 4 i5 При RP2 для для комплексификации набора вещественных прямых на проективной плоскости числа ti не меняются, тем самым, неравенство Хирцебруха также справедливо наборов вещественных прямых на плоскости RP2 . Существуют наборы прямых, которых в (2.4) достигается равенство (подробности см. в [23]), например,

ћ набор 6 вещественных прямых, являющихся сторонами и диагоналями некоторого четырехугольника, t2 = 3, t3 = 4, ti = 0 для i 4, см. рис. 1. ћ набор 9 прямых с t4 = 3, t3 = 4, t2 = 6, см. рис. 2 (три точки пересечения на бесконечности).

Рис. 1: n = 6, t2 = 3, t3 = 4 Доказательство неравенства Хирцебруха использует теорему Йо. Мияока [29] о c2 3 числах Черна c1 для построенного по набору комплексных прямых алгебраиче2 2 ского многообразия (полученного разрешением особенностей у разветвленного над набором прямых накрытия над CP2 ). В [12, c. 315] был поставлен вопрос об элементарном доказательстве неравенства Хирцебруха. Этот вопрос по-прежнему открыт. Однако коэффициенты следующего неравенства довольно близки к коэффициентам (2.4), хотя они не выводятся друг из друга непосредственно.
Теорема 2.2. Комбинаторный аналог неравенства Хирцебруха. Для нетривиальных наборов псевдопрямых на плоскости RP2 при m < n - 2: ) ( 1 3 2i - 7 t2 + t3 8 + ti . (2.5) 2 2 i4

10


Рис. 2: n = 9, t2 = 6, t3 = 4, t4 = 3

Равенство в (2.5) достигается для единственного с точностью до изоморфизма набора семи псевдопрямых. Этот набор задается двумя точками A и B , через каждую из которых проходит по 4 псевдопрямые набора (одна из псевдопрямых проходит через обе точки A и B ). Тогда t4 = 2, t2 = 9, t3 = ti = 0 при i 5. Для всех остальных наборов псевдопрямых имеем ) ( 3 1 t2 + t3 9 + 2i - 7 ti . 2 2 i4 Цель данного параграфа доказать комбинаторный аналог (2.5) неравенства Ф. Хирцебруха, для чего нам потребуются следующие леммы.

Для нетривиальных наборов псевдопрямых числа v , e и f клеточного комплекса выражаются через ti : v= ti , e = iti , f =1+ (i - 1)ti .
Лемма 2.1.
i2 i2 i2

Доказательство. Число v выражается указанным способом по определению чисел ti . Из каждой точки пересечения i псевдопрямых выходит 2i ребер комплекса, поэтому сумма i 2 2iti суть количество ребер, посчитанных дважды. Из эйлеровой характеристики проективной плоскости имеем v - e + f = 1, откуда следует формула для числа f .
Лемма 2.2.

Е. Мельхиор, [27]. Для нетривиальных наборов псевдопрямых (3 - i)ti = 3 + (j - 3)pj .
i2 j3

(2.6)

11


Доказательство. Числа вершин v , ребер e и областей f комплекса равны 1 v= ti , e = iti = j pj , f = pj . 2j 3 i2 i2 j3
Напомним, что для нетривиальных наборов p2 = 0. По формуле Эйлера для проективной плоскости получаем ( ) 3 = 3f - (2e + e) + 3v = 3 pj - j pj + iti + 3 ti =
j3 j3 i2

(3 - j )pj + (3 - i)ti .
j3 i2

i2

Далее удобнее рассматривать объединение псевдопрямых (нетривиального набора) как граф, вложенный в проективную плоскость. Вершинами и ребрами этого графа соответственно являются точки пересечения псевдопрямых и дуги псевдопрямых, не содержащие отличных от своих концов точек пересечения псевдопрямых. Степень любой вершины (т.е. число исходящих ребер) четна, так как точка пересечения i псевдопрямых является вершиной степени 2i. Следовательно, число вершин степени 2i рассматриваемого графа равно ti для i = 2, . . . , n. Любое ребро графа для нетривиального набора псевдопрямых примыкает к двум различным областям на проективной плоскости. В графе нет петель и кратные ребра между парой вершин, если они есть, лежат на одной псевдопрямой. (лемма о простом ребре) Пусть для набора n псевдопрямых верно m < n - 1. Пусть степени обоих концов некоторого ребра соответствующего графа равны четырем. Тогда из двух примыкающих к этому ребру областей хотя бы одна ограничена не менее чем четырьмя ребрами графа.
Лемма 2.3.

Доказательство. Обозначим концы этого ребра через A и B , а псевдопрямые, проходящие через точки A и B и отличные от псевдопрямой AB , через l1 и l2 соответственно. Обозначим точку пересечения псевдопрямых l1 и l2 через C . Предположим, что обе примыкающие к ребру AB области ограничены тремя ребрами. Одно из этих ребер это AB , а два других (для каждой области) находятся на псевдопрямых l1 и l2 и имеют общую точку. Точка C это единственная общая точка псевдопрямых l1 и l2 , поэтому каждая из двух примыкающих к ребру AB областей ограничена ребром с концами в точках A и C , ребром с концами в точках B и C и самим ребром AB . Следовательно, на псевдопрямой l1 есть ровно две точки пересечения с остальными псевдопрямыми набора, и это точки A и C . На проективной плоскости любые две различные псевдопрямые пересекаются в единственной точке, поэтому каждая псевдопрямая из набора, кроме l1 , проходит или через точку A, или через точку C . Степень точки A равна четырем, т.е. через точку A проходит, не считая l1 , только псевдопрямая AB . Тогда через точку C вместе с псевдопрямой l1 проходит n - 1 псевдопрямых, что противоречит условию tn-1 = 0. Следовательно, обе примыкающие к ребру AB области не могут быть ограничены тремя ребрами графа каждая.
12


Лемма 2.4.

(лемма об оценке t2 сверху). Для наборов n псевдопрямых с m < n - 2 ) ( 3 2t2 1 + 3p4 + j pj + i- ti . (2.7) 2 j5 i3

Доказательство. Для соответствующего набору псевдопрямых графа обозначим через x число ребер, оба конца которых имеют степень 4, а через y число ребер, оба конца которых имеют степень не менее чем 6. Шаг 1. Всего в графе i 2 iti ребер, поэтому число ребер, один конец которых имеет степень 4, а другой не меньшую чем 6, равно (iti ) - x - y .
i2

Каждая вершина графа степени 4 является концом четырех ребер, хотя бы один конец каждого из которых имеет степень 4. Поэтому суммарное по всем ребрам число их концов степени 4 равно 4t2 и равно 4t2 = 2x + iti - x - y = x = 2 t2 + y - iti . (2.8)
i2 i3

Шаг 2. Предположим, что существуют две различные точки A и B , такие что любая псевдопрямая из набора проходит через хотя бы одну из них. Обозначим через a и b число псевдопрямых набора, проходящих через точки A и B соответственно. Возможны два случая. (i) В наборе нет псевдопрямой, проходящей через точки A и B . Тогда a + b = n и из условия tn-2 = 0 следует, что a 3 и b 3. В этом случае ) ( ћ t2 = ab, i - 3 ti = a + b - 3, i3 2

ћ p4 = ab - a - b + 3,

pi = 0 при i

5.

Теперь неравенство (2.7) проверяется непосредственно:

2ab

1 + 3(ab - a - b + 3) + a + b - 3



(a - 2)(b - 2) + 3

0.

(ii) В наборе есть псевдопрямая, проходящая через точки A и B . Тогда a+b = n+1 и из условия tn-2 = 0 следует, что a 4 и b 4. В этом случае ) ( 3 ћ t2 = ab - a - b + 1, i 3 i - 2 ti = a + b - 3 ,

ћ p4 = ab - 2a - 2b + 4,

pi = 0 при i

5.

Теперь неравенство (2.7) проверяется непосредственно:

2(ab - a - b + 1)

1 + 3(ab - 2a - 2b + 4) + a + b - 3



(a - 3)(b - 3) - 1

0.

В дальнейшем доказательстве леммы (а именно, в шагах 5 и 6) будем считать, что не существует двух различных точек, таких что любая псевдопрямая набора проходит через хотя бы одну из них. 13


Шаг 3. Для данного графа рассмотрим множество F областей (т.е. компонент связности дополнения к прямым), каждая из которых ограничена не менее чем четырьмя ребрами и граница которой содержит хотя бы одну вершину степени 4 (внутри областей точек графа нет). Для области F обозначим через x() число ограничивающих ребер, оба конца которых имеют степень 4. Для области F обозначим через s() число ее вершин (т.е. вершин на границе ) степени не менее чем 6. Положим { 0, если s() 1; () = 1, если s() = 0.
Докажем, что если область ограничена j ребрами, то

s()

(j - 1) - x() + ().

(2.9)

Рассмотрим три случая. (i) x() = 0. Тогда s() j - 1, так как на границе есть вершина степени 4. (ii) x() = j . Тогда s() = 0 и () = 1. (iii) 0 < x() < j . Рассмотрим отдельно границу , состоящую из j ребер. Среди них выберем x() ребер, оба конца которых имеют степень 4. Пусть эти x() ребер образуют на границе ровно z () компонент связности, каждая компонента это несколько подряд идущих выбранных ребер. Из x() > 0 следует, что z () 1, а из x() < j следует, что каждая компонента не замкнута (т.е. гомеоморфна отрезку). В каждой компоненте число вершин степени 4 на единицу больше числа ребер этой компоненты. Все вершины и ребра различных компонент связности различны, поэтому граница области содержит не менее x() + z () вершин степени 4. Так как z () 1, то s() j - 1 - x(). Обозначим через s сумму s = F s(). Суммируя (2.9) по всем областям F , получим s (j - 1)pj - x() + (). (2.10)
j4 F F

Шаг 4. Покрасим в красный цвет ребра графа, оба конца которых имеют степень 4 и обе примыкающие области к которым ограничены не менее чем четырьмя ребрами каждая (т.е. обе примыкающие области из F ). Обозначим число красных ребер через a. Тогда по лемме 2.3 (о простом ребре) число x - a равно числу ребер, оба конца которых имеют степень 4 и ровно одна из двух примыкающих областей ограничена не менее чем четырьмя ребрами (т.е. одна примыкающая область из F ). Следовательно, x() = x + a. (2.11)
F

Покрасим в синий цвет четырехугольные области, все вершины которых имеют степень 4. Докажем, что к каждой синей области примыкает не менее двух красных ребер. Для этого выведем из условия tn-2 = 0 аналогично лемме 2.3 (о простом ребре), что в каждой паре противоположных ребер любой синей области есть хотя бы одно красное ребро. Предположим противное, что оба ребра AB и C D некоторой синей области AB C D не красные. Тогда к ребрам AB и C D примыкают треугольные 14


области AB H и C DG, причем точка пересечения прямых B C и AD совпадает и с точкой H , и с точкой G. Следовательно, через эту точку G = H проходят n - 2 псевдопрямые набора (все псевдопрямые кроме AB и C D), что противоречит условию tn-2 = 0. Обозначим число синих областей через p. Сумма F () равна количеству областей, каждая из которых ограничена не менее чем четырьмя ребрами и все вершины которой имеют степень 4. Поэтому () p + pj . (2.12)
F j5

Обозначим через число пар (C, ) синих областей C и красных ребер на границе области C . Так как к любой из p синих областей примыкает не менее двух красных ребер, то 2p. С другой стороны, каждое красное ребро примыкает к не более чем двум синим областям и поэтому 2a . Следовательно, a p. Итак, из (2.10), (2.11), (2.12) и неравенства a p следует, что s 3p4 - x + j pj . (2.13)
j5

Шаг 5. Рассмотрим произвольную вершину V степени не менее 6 и удалим из графа все ребра, лежащие на проходящих через точку V псевдопрямых (соответственно изменятся степени оставшихся вершин, а некоторые вершины, возможно, исчезнут). Обозначим полученный граф через G(V ), а исходный граф через G. После шага 2 достаточно рассматривать только те наборы псевдопрямых, для которых не существует двух точек, таких что любая псевдопрямая набора проходит через хотя бы одну из них. Для таких наборов псевдопрямых граф G(V ) имеет хотя бы две различные вершины и каждая область проективной плоскости, образованная графом G(V ), ограничена не менее чем тремя ребрами графа G(V ). Значит, точка V находится внутри некоторой области, образованной графом G(V ), граница которой есть d угольник с вершинами A1 , . . . , Ad при d 3 (занумерованными в порядке следования). Докажем, что для любой вершины V G имеет место хотя бы одно из следующих утверждений.
1. Вершина V соединена ребрами графа G с не менее чем тремя вершинами из множества {A1 , . . . , Ad }. 2. Вершина V соединена ребрами графа G с ровно двумя вершинами из множества {A1 , . . . , Ad } и является вершиной границы одной области из множества F. 3. Вершина V является вершиной границ не менее чем двух областей из множества F . Пусть для какого-то i, 1 i d отрезок интервал V Ai принадлежит образованной держит вершины V и Ai , и состоит из не область не из множества F , то ее граница

V Ai не является ребром графа G. Тогда графом G области, граница которой соменее четырех ребер графа G. Если эта есть многоугольник с вершинами
l

V , Ak , Ak+1 , . . . , Ai , . . . , A
15


для некоторых чисел k и l, т.е. все вершины границы, кроме V , суть точки Ak , . . . , Al , а отрезки V Ak и V Al являются ребрами графа G. Предположим, что для вершины V утверждение (1) не выполняется. Тогда возможны два случая. (i) Вершина V соединена ребрами графа G ровно с двумя вершинами из множества {A1 , . . . , Ad }. (ii) Вершина V соединена ребрами графа G с не более одной вершиной из множества {A1 , . . . , Ad }. В случае (i) обозначим эти две вершины через Ak и Al . Тогда среди остальных d - 2 1 вершин множества {A1 , . . . , Ad } найдется вершина Aq , такая что точка V содержится в треугольнике Aq Ak Al (а треугольник лежит в замыкании области A1 , . . . , An ). Тогда отрезок V Aq не является ребром графа G и интервал V Aq содержится в области из множества F . Следовательно, в случае (i) выполняется утверждение (2). Cлучай (ii). Предположим, что вершина V соединена ребром графа G с некоторой вершиной Ak из множества {A1 , . . . , Ad }. Тогда псевдопрямая V Ak разбивает множество вершин {A1 , . . . , Ad } \ {Ak } на два непустых подмножества, находящихся по разные стороны (в замыкании области A1 . . . Ad ) от псевдопрямой V Ak . Тогда по обе стороны от псевдопрямой V Ak найдется область из F , граница которой содержит точку V . Следовательно, будет выполнено утверждение (3). Если вершина V не соединена ребром графа G ни с какой вершиной из множества {A1 , . . . , Ad }, то вместо псевдопрямой V Ak возьмем любую псевдопрямую набора, проходящую через точку V . Аналогично получим, что для вершины V выполнено утверждение (3). Шаг 6. Для произвольной вершины V (исходного) графа степени не менее чем 6 обозначим через s (V ) сумму числа подходящих к вершине V ребер, другой конец которых имеет степень не менее чем 6, и удвоенного числа примыкающих к V областей из множества F . Так как для любой вершины V степени не менее чем 6 выполняется хотя бы одно из утверждений (1) (3) предыдущего шага, то s (V ) 3. Обозначим через s сумму s (V ) s =
deg(V ) 6

чисел s (V ) для всех вершин V степени не менее чем 6. Так как s (V ) s 3 ti .
i3

3, то

С другой стороны, s = 2y + 2s. Следовательно,

y+s
Из (2.8) и (2.13) получаем 3p4 + j pj - s x = 2t2 + y - it
j5 i3

3 ti . 2i3
j5

(2.14)

i

=
16

3p4 +

j pj +


i3

iti - 2t2

y + s.


Из последнего неравенства и (2.14) следует, что

3p4 +


j5

j pj +


i3

iti - 2t

2

3 t 2i3

i

=

3p4 +


j5

) ( 3 j pj + i- t 2 i3

i

2t2 .

Доказательство теоремы 2.2. По лемме Мельхиора 2.2 имеем (9 - 3i)ti = 9 + 3p4 + (3j - 9)pj .
i2 j5

По лемме 2.4 получаем

3p4 +
Заметим, что 3j - 9


j5

jp

j

) ( 3 2t2 - i- ti - 1 . 2 i3 0, справедливо ) ( 1 8+ 2i - 7 ti . 2 i4


i2

(9 - 3i)t

i

j при j 5. Следовательно, т.к. pj ) ( 3 3 9 + 2 t2 - i- ti - 1 t2 + t3 2 2 i3

(А. Т. Фоменко). Перенесем все члены неравенств Мельхиора (2.3), Хирцебруха (2.4) и (2.5) в большую часть и составим из получившихся коэффициентов при t2 , . . . , tn три вектора в Rn-1 . А именно, координата номер i = 1, . . . , n - 1 векторов равна коэффициенту при ti+1 в соответствующем неравенстве:
Замечание 2.1.

- N1 = (1, 0, -1, . . . , 3 - n) , ) ( - 3 N2 = 1, , 0, -1, . . . , 9 - 2n , 4 ( ) - 31 1 N3 = 1, , - , . . . , 7 - 2n . 22 2 --- Асимптотика при n длин векторов N1 , N2 , N3 следующая: ( ( )) - 1 13 , |N1 | = n 2 1 + O n 3 ( ( )) - 23 1 |N2 | = n 2 1 + O , n 3 ( ( )) - 1 23 |N3 | = n 2 1 + O . n 3 - - - - Докажем, что углы между векторами N1 и N2 , а также между векторами N2 и N3 стремятся к нулю при n . Так как ( ( )) ( ( )) - - - - 13 1 1 31 |N1 - N2 | = n 2 1 + O и |N2 - N3 | = n 2 1 + O n 2 n 3
17


-- при n , то по теореме косинусов для треугольника со сторонами N1 , N2 и -- треугольника со сторонами N2 , N3 получаем: () () (- - ) (- - ) 1 1 cos N1 , N2 = 1 - O и cos N2 , N3 = 1 - O n n
при n .

2.2 Оценки числа областей для наборов псевдопрямых с ограниченными вырождениями
Максимальное число m псевдопрямых, имеющих общую точку, выступает как некий показатель вырожденности наборов псевдопрямых. Наша цель получить нижние оценки числа областей f для фиксированных чисел n и m. При этом каждая оценка требует дополнительных соотношений между n и m.

f через линейные по ti неравенства. Зафиксируем число псевдопрямых n и максимальное число m псевдопрямых, имеющих общую точку. По лемме 2.1 f -1=
m i=2

Метод построения нижних оценок числа

(i - 1)ti .

(2.15)

Рассмотрим линейное по ti неравенство вида i ti 0 ,
i2

(2.16)

где 0 , 2 , 3 , . . . , n константы при фиксированном n. Например, для неравенства Хирцебруха (2.4) эти константы равны

0 = n,

2 = 1 ,

3 3 = , 4

4 = 0 ,

i = 9 - 2i при

i

5.

Подберем такие положительные коэффициенты c1 и c2 (постоянные при фиксированном m), что

c1 i(i - 1) + c2 i

i-1

для всех

2

i

m.

(2.17)

Умножим неравенство (2.17) для каждого i на ti и просуммируем по i = 2, . . . , m. Поскольку числа ti неотрицательны, то получится неравенство

c

m 1 i=2

i(i - 1)ti + c

m 2 i=2

i t

m i i=2

(i - 1)t

i



c1 n(n - 1) + c2

m i=2

i ti

f - 1.

Так как c2 > 0, то из последнего неравенства, из (2.16) и того, что tk = 0 при k > m, следует f c1 n(n - 1) + c2 0 + 1. (2.18) для положительных констант c1 и c2 , удовлетворяющих системе неравенств (2.17). 18


Нижние оценки числа областей Теорема 2.3.

f

Пусть для нетривиального набора n различных псевдопрямых на вещественной проективной плоскости максимальное число псевдопрямых, имеющих общую точку, равно m. Пусть T m. Тогда

f

n2 - n + 2 T , ( ) 2 T +3 1 3m - 8 2 (n - n) + (9m2 - 21m + 1) m2 + 3m - 15 f 2

(2.19) (2.20)

при 12 m < n - 2. Для нетривиальных наборов n различных прямых на проективной плоскости 2 RP при 5 m < n - 2 справедливо неравенство

f
Замечание 2.2.

(3m - 10)n2 + (m2 - 6m + 12)n + 1, m2 + 3m - 18

(2.21)

Для наборов прямых выполняются все три неравенства теоремы. Неравенство (2.19) следует из (2.20) при 6 m < n - 2.

Доказательство. Докажем первое неравенство. Запишем неравенство Мельхиора (2.3) в виде (2.16) с коэффициентами

0 = 3,
Введем положительные множители

i = 3 - i при

i

2.

c1 =

2 T +3

и

c2 =

T -1 . T +3

Рассмотрим квадратный многочлен относительно i:

w(i) = c1 i(i - 1) + c2 (3 - i) - (i - 1).
Так как значения многочлена w(i) на концах отрезка [2, T ] равны нулю и старший коэффициент c1 > 0, то w(i) 0 для всех 2 i T . Отсюда и из (2.18) получаем (2 ) n - n + 2T f2 . T +3 Докажем второе неравенство теоремы. Так как m < n - 2, то tn-1 = tn-2 = 0 и выполняется неравенство (2.5). Запишем (2.5) в виде (2.16) с коэффициентами

0 = 8,
при i

2 = 1,

3 3 = , 2

1 i = 7 - 2 i 2
вид ) 1 2

4. Так как m 1 2c1 + c2 ,

12, то система неравенств (2.17) принимает ( 3 2 6c1 + c2 , i - 1 c1 i(i - 1) - c2 2i - 7 2
19

(2.22)


для 4

i

m. Докажем, что для констант (положительных при m 3m - 8 1 2 c1 = 2 , m + 3m - 15 m2 - 3m + 2 c2 = 2 m + 3m - 15

12)

выполняются неравенства (2.22). Во-первых, 2c1 + c2 = 1. Во-вторых,

3 3 3 6c1 + c2 = 3c1 + (2c1 + c2 ) = 3c1 + 2 2 2

2

c
1

1 6



(m - 12)(m - 3)

0.

В-третьих, рассмотрим квадратный трехчлен ( ) 1 R(i) = c1 i(i - 1) - c2 2i - 7 - (i - 1). 2 Разложим трехчлен R(i) на множители ) (1 )) (( 1 (i - m) 3m - 8 2 i - 8 2 m - 19 1 2 R(i) = . m2 + 3m - 15 Заметим, что R(i) 0 при 4 i m, т.к. для i ) ( ) ( 1 1 1 i - 8 m - 19 3m - 8 2 2 2

4 выполняется 1 1 3 m - 14 > 0 2 2

при m 12. Следовательно, для выбранных констант c1 и c2 справедлива система неравенств (2.22) и неравенство (2.18) при 0 = 8 имеет вид ( ) 3m - 8 1 (n2 - n) + (9m2 - 21m + 1) 2 f m2 + 3m - 15 при 12 m < n - 2. Докажем третье неравенство. Поскольку m < n - 2, то выполняется неравенство (2.4). Запишем (2.4) в виде (2.16) с коэффициентами

0 = n,
при i

2 = 1 ,

3 3 = , 4

4 = 0,

i = 9 - 2 i

5. Так как m 2c1 + c2 , i 2

5, то система неравенств (2.17) принимает вид 3 6c1 + c2 , 4 3 12c1 , i-1 c1 i(i - 1) - c2 (2i - 9) 5)
(2.23)

1
для 5

m. Докажем, что для констант (положительных при m c1 = 3m - 10 , 2 + 3m - 18 m 1 4 c2 = m2 - 3m + 2 m2 + 3m - 18

выполняются неравенства (2.23). Во-первых, 2c1 + c2 = 1. Во-вторых,

c

1



(m - 4)(m - 5) + 2
20

0.


В-третьих,

3 3 1 6c1 + c2 = (2c1 + c2 ) + 4 c 4 4 2 Наконец, рассмотрим квадратный трехчлен

1

39 + < 2. 48

Q(i) = c1 i(i - 1) - c2 (2i - 9) - (i - 1).
Разложим трехчлен Q(i) на множители

Q(i) =
Заметим, что Q(i)

(i - m) ((3m - 10)i - (10m - 24)) . (m - 3)(m + 6) i m, так как, если m 6, то

0 при 5

(3m - 10)i - (10m - 24)

5m - 26 > 0,

а если m = 5, то тогда i = 5 и Q(5) = 0. Итак, для выбранных c1 и c2 справедлива система неравенств (2.23) и поэтому из (2.18) при 0 = n следует

f

(3m - 10)n2 + (m2 - 6m + 12)n +1 m2 + 3m - 18

при 5 m < n - 2. С помощью полученных нижних оценок мы дадим новое доказательство следующей леммы H. Мартинова, которая будет нужна для классификации всех возможных чисел областей.
Лемма 2.5.

Н. Мартинов, [26, th. 1]. Для нетривиальных наборов n псевдопрямых 2 и целых чисел k , таких что n Ck+1 + 3 и m k , справедливо

f
2 k+1

(k + 1)(n - k ).

Для нетривиальных наборов n псевдопрямых и целых чисел k , таких что n C + 3 и m k , справедливо

f

(k + 1)(n - k ).

(2.24)

Для наборов прямых эту лемму можно алгебраически вывести из первого и третьего неравенств теоремы 2.3. Для наборов псевдопрямых нам понадобится дополнительное построение. Рассмотрим четыре случая. (1) m < k , (2) m = k и 2 k 5, (3) m = k 6 и tk = 1, (4) m = k 6 и tk 2. Случаи (1) (3). В случае (1) из набора псевдопрямых удаляется любая псевдопрямая, в случае (3) псевдопрямая, проходящая через точку пересечения k псевдопрямых. Число областей при этом только уменьшится. Применим первое неравенство теоремы 2.3 для полученных семейств из n - 1 псевдопрямых с максимальной 21


кратностью не более k - 1 в случаях (1) и (3) и для исходного набора из n псевдопрямых с максимальной кратностью k в случае (2). случай (2): f случаи (1), (3): f

n2 - n k+ 2 (n - 1) - (n 2 k 2

+ 2k ; 3 - 1) + 2(k - 1) . +2
k2 +k 2

Докажем следующие неравенства при условии n (2)):

+ 3 (и при k

5 в случае

n2 - k (n - 1)2 - (n 2 k 2

n + - +

+ 2k (k + 1)(n - k ); 3 1) + 2(k - 1) (k + 1)(n - k ), 2

Эти неравенства равносильны неравенствам

k 2 + 4k + 5 k 3 + 4k 2 + 7k + 2 2 k 2 + 3k + 8 k 3 + 3k 2 + 6k q (n) = n2 - n + 2 2 s(n) = n2 - n

0; 0.

Левые части двух последних неравенств суть квадратные трехчлены s(n) и q (n) от2+ носительно n, для проверки неотрицательности которых при n k ) k + 3 достаточно 2 ( ) ( установить неотрицательность значений s
k2 +k 2

+3 и q

k 2 +k 2

+3 :

5 верно 6-k 3, (2 ) + поэтому q k 2 k + 3 0. Итак, во всех случаях (1) (3) получили неравенство f (k + 1)(n - k ). Случай 4. Дано m = k 6 и tk 2. Тогда найдутся хотя бы две точки, в каждой из которых пересекается k псевдопрямых. Обозначим эти точки через P и Q. Рассмотрим конечную последовательность A0 , A1 , . . . , Ai семейств псевдопрямых, в которой каждое следующее семейство Aj получается из предыдущего семейства Aj -1 добавлением одной псевдопрямой из исходного набора A, не принадлежащей семейству Aj -1 (при этом не важно, какая именно из оставшихся псевдопрямых набора A добавляется к семейству Aj -1 ). Возможны два случая, в зависимости от которых мы определим A0 и Ai . (а) В семействе A нет псевдопрямой, проходящей через точки P и Q. В качестве A0 возьмем 2k элементное множество псевдопрямых, каждая из которых проходит
При k 22

) k2 + k (6 - k )(k 2 + 1) - 2k s +3 = ; 2 4 ) (2 k +k (k - 3)(k + 2) +3 = 0. q 2 2 (2 ) k +k 1, и поэтому s +3 0. В случаях (1) и (3) верно k 2

(


через хотя бы одну из точек P и Q, а в качестве Ai семейство A. Тогда получается I = n - 2k . (б) В семействе A есть псевдопрямая, проходящая через точки P и Q. Такая псевдопрямая в семействе единственная, назовем ее псевдопрямой P Q. За конфигурацию A0 возьмем 2k - 2 псевдопрямых, отличных от псевдопрямой P Q, каждая из которых проходит через одну из точек P и Q. Пусть семейство Ai образуют все псевдопрямые из A, кроме псевдопрямой P Q. В этом случае I = n - 2k + 1. Будем рассматривать оба случая одновременно, пока не получим неравенство на f (Ai ). Обозначим через R(Ai ) = 2e(Ai ) - 3f (Ai ) разность между удвоенным числом ребер и утроенным числом областей конфигурации Ai . Для всех i верно R(Ai ) 0, так как каждая из областей ограничена хотя бы тремя дугами. Пусть семейство Ai получается из Ai-1 добавлением псевдопрямой li . Пусть псевдопрямая li проходит через vi точек пересечения псевдопрямых конфигурации Ai-1 и еще пересекает ui псевдопрямых из Ai-1 в ui точках. Тогда в конфигурации Ai на псевдопрямой li лежит ui точек пересечения кратности два и vi точек пересечения кратности хотя бы три. Следовательно, псевдопрямая li состоит (в конфигурации Ai ) из ui + vi дуг, каждая из которых делит некоторую область, высекаемую семейством Ai-1 , на две части. Поэтому f (Ai ) - f (Ai-1 ) = ui + vi . Кроме того, псевдопрямая li делит надвое ui ребер из конфигурации Ai-1 , поэтому e(Ai ) - e(Ai-1 ) = 2ui + vi . Из двух последних формул следует неравенство

R(ti ) - R(Ai-1 ) = ui - vi .
Пусть псевдопрямая li проходит через wi точек пересечения псевдопрямых семейства A0 . Тогда псевдопрямая li пересекает псевдопрямые семейства A0 в n(A0 ) - wi точках. Пусть zi и xi обозначают количества не лежащих на псевдопрямых семейства A0 точек пересечения псевдопрямой li с псевдопрямыми семейства Ai-1 , которые принадлежат ровно одной и хотя бы двум псевдопрямым семейства Ai-1 соответственно. Все оставшиеся точки пересечения псевдопрямой li с ровно одной псевдопрямой из Ai-1 лежат на прямых из A0 , поэтому оставшихся точек не более n(A0 ) - 2wi . Следовательно, ui n(A0 ) - 2wi + zi . Заметим, что vi wi + xi . Тогда

R(Ai ) - R(A

i-1

)

ui - wi - xi

n(A0 ) - 3wi + zi - xi .

(2.25)

На псевдопрямой li находится zi + xi точек пересечения, не принадлежащих псевдопрямым из A0 . Поэтому

f (Ai ) - f (A

i-1

) = n(A0 ) - wi + zi + xi .

(2.26)

Сложив формулы (2.25) и (2.26) по всем i = 1, 2, . . . , I получим

R(Ai ) - R(A0 )

I n(A0 ) - 3

I i=1

wi +

I i=1

zi -

I i=1

xi .

(2.27)

f (Ai ) - f (A0 ) = I n(A0 ) -
23

I i=1

wi +

I i=1

zi +

I i=1

xi .

(2.28)


Выразим R(Ai ) 0:

I i=1

wi из неравенства (2.27) и подставим в равенство (2.28), учитывая
I I R(A0 ) 4 2 2 f (A0 ) + I n(A0 ) - + xi + zi . 3 3 3 i=1 3 i=1

f (Ai )

(2.29)

Теперь рассмотрим два случая по отдельности. Случай (а). Псевдопрямая P Q не принадлежит семейству A. Тогда, подставляя в неравенство (2.29) параметры

n(A0 ) = 2k , I = n - 2k , f (A0 ) = k 2 + 2k - 1, R(A0 ) = (k - 1)2 + 2, x
получаем неравенство

i

0, z

i

0,

f (Ai )

4k n - 6k 2 + 8k - 6 . 3
2

Осталось заметить, что f (A) = f (Ai ) и что неравенство 4kn-6k3 +8k-6 (k + 1)(n - k ) равносильно неравенству (k - 3)(n - (3k - 2)) 0, которое выполняется при данных условиях на n и k . Поэтому в случае (а) получаем f (k + 1)(n - k ). Случай (б). Псевдопрямая P Q принадлежит семейству A. Обозначим через bj количество точек пересечения псевдопрямых семейства A кратности j , лежащих на псевдопрямой P Q и отличных от точек P и Q. Тогда количество псевдопрямых семейства A, не проходящих через точки P и Q, равно I = k=2 (j - 1)bj = n - 2k + 1. j Из определения чисел xi и zi следует
I i=1

z

i

b3 + . . . + b

k

и

I i=1

xi

k j =3

(j - 3)bj .

(2.30)

Вычислим параметры семейства A0 :

n(A0 ) = 2k - 2, f (A0 ) = k 2 - 2, R(A0 ) = (k - 2)2 + 2. (2.31) k Подставим (2.30), (2.31) и формулу f (A) - f (ti ) = 2 + j =2 bj в неравенство (2.29): f (A)
Так как
k j =2 k ( 4j - 7 ) (4k - 4)n - 6k 2 + 16k - 10 + b2 + bj . 3 3 j =3

(2.32)

(j - 1)bj = n - 2k + 1
k j =3

и

4j - 7 3 )

5 (j - 1) 6

при j

3,

то

( b
j

b2 +

4j - 7 3

5 (n - 2k + 1). 6

Учитывая последнее неравенство, преобразуем (2.32) к виду

f (A)

(8k - 3)n - 12k 2 + 22k - 15 . 6
24


Осталось доказать неравенство

(8k - 3)n - 12k 2 + 22k - 15 6
которое имеет место при n

(k + 1)(n - k )
k2 +k 2



n(2k - 9)

6k 2 - 28k + 15,

+3

3k + 3 и при k

6. Случай (б) разобран.

Еще одна нижняя оценка числа областей

Под (n, m, f ) конфигурацией будем иметь в виду набор из n псевдопрямых на проективной плоскости с максимальной кратностью точек пересечения m, причем дополнение к их объединению состоит из f областей.
Лемма 2.6.

Для (n, m, f ) конфигураций псевдопрямых

f

1+

n(n - 1) m - 2 + (t2 + . . . + t m m
m i=2

m-1

).

Доказательство. По лемме 2.1

f =1+
Число пар псевдопрямых равно

(i - 1)ti .

m n(n - 1) i(i - 1) = ti . 2 2 i=2

Умножим равенство числа пар на получим

2 m

и выделим сумму из равенства леммы 2.1,

) m m m ( i(i - 1) n(n - 1) i(i - 1) = ti = (i - 1)ti - i-1- ti . m m m i=2 i=2 i=2
Множители в последней сумме равны

i-1-
Поэтому

i(i - 1) (i - 1)(m - i) = m m n(n - 1) m f 1+
m i=2

m-2 m

при 2

i

m - 1.

(i - 1)ti -

m-2 (t2 + . . . + tm-1 ) m
m-1

и

n(n - 1) m - 2 + (t2 + . . . + t m m

). 4иn

Теорема 2.4.

Для (n, f , m) конфигураций псевдопрямых при m (2 ) n + (m2 - 2m - 1)n - m3 + 3m2 f2 . 3m - 1
25

m+1
(2.33)


Доказательство. Возьмем точку O пересечения m псевдопрямых l1 , . . . , lm , обозначенных в порядке следования. Псевдопрямые l1 , . . . , lm без учета остальных псевдопрямых набора делят проективную плоскость на m областей. Обозначим через Di область между псевдопрямыми li и li+1 , считая lm+1 = l1 . Каждая из оставшихся n - m псевдопрямых lm+1 , . . . , ln пересекает область Di по простой дуге. Выберем максимальное по количеству множество Mi дуг области Di , попарно не пересекающихся во внутренних точках. Обозначим через ai число дуг множества Mi . Объединение дуг множество отрезков образует граф без циклов (то есть лес несвязное объединение деревьев). Действительно, через точку O и через долю можно провести мысленную псевдопрямую и упорядочить отрезки подмножества по порядку (любому из двух, считая от точки O) следования их точек пересечения с мысленной псевдопрямой. Тогда оба конца первого по порядку отрезка предполагаемого цикла суть концы двух других отрезков цикла, располагающихся по одну сторону доли от первого отрезка и, следовательно, пересекающихся во внутренней точке. В графе без циклов число ребер не превосходит уменьшенного на единицу числа вершин. Вершины графа располагаются на псевдопрямых li и li+1 , поэтому ai + 1 не превосходит числа точек пересечения псевдопрямых li и li+1 с оставшимися (n - m) прямыми. За cj для j = 2, . . . , m обозначим количество точек пересечения кратности j, расположенных на прямых l1 , . . . , lm , кроме точки O. Итак,

m+

m i=1

a

i

2

m j =2

cj .

(2.34)

Каждая из n - m - ai дуг, не вошедших в множество Mi , пересекает хотя бы одну из его дуг во внутренней точке. Поэтому n - m - ai не превосходит суммы (по точкам пересечения псевдопрямых, расположенных строго внутри области Di ) уменьшенных на единицу кратностей, то есть

n-m-a

m i j =2

ti (j - 1), j

(2.35)

где через ti обозначено количество точек пересечения кратности j в области Di . j Тогда mm m i f= tj (j - 1) + cj (j - 1) + m, (2.36) это количество точек пересечения на плоскости RP2 кратности так как cj + j, отличных от точки O. Заметим, что
m i i=1 tj m j =2



i=1 j =2

j =2

cj (j - 1) = m(n - m),

(2.37)

так как каждая из оставшихся псевдопрямых пересекается с каждой из m псевдопрямых l1 . . . , lm . Из равенств (2.36) и (2.37) следует:

f - m(n - m + 1) =
26

mm i=1 j =2

ti (j - 1). j

(2.38)


Сложим неравенства (2.35) по всем i = 1, . . . , m и сложим c (2.34):

m(n - m + 1)

mm i=1 j =2

ti (j - 1) + 2(c2 + . . . + cm ). j

(2.39)

Подставим в (2.39) равенство (2.38) и выразим f :

f

2m(n - m + 1) - 2(c2 + . . . + cm ).
m-1

(2.40)

Обозначим через s сумму c2 + . . . + c

. Из равенства (2.37) и неравенства
m-1

c2 + 2c3 + . . . + (m - 2)c
имеем:

s

m(n - m) - s . m-1 Подставим (2.41) в (2.40), используя сумму s : cm f 2m(n - m + 1) - 2s -

(2.41)

2m(n - m) 2s 2m(n - m)(m - 2) m-2 + = + 2m - 2s . m-1 m-1 m-1 m-1 (2.42) По лемме 2.6 верно неравенство f 1+ n(n - 1) m - 2 + s. m m
(2.43)

Умножим неравенство (2.42) на m - 1, неравенство (2.43) на 2m и сложим:

(3m - 1)f

2m(n - m)(m - 2) + 2m2 + 2n(n - 1).

Отсюда получаем требуемое неравенство.
Замечание 2.3.

Найдем все пары чисел (n, m) с m 4 и n m + 1, при которых теорема 2.4 сильнее неравенства (2.19) теоремы 2.3. Сравним правые части соответствующих неравенств на числа областей f

n2 + (m2 - 2m - 1)n - m3 + 3m2 n2 - n + 2 m > (m-2)(n-m-1)(2n-m2 -m) < 0. 3m - 1 m+3
Следовательно, при m + 1 < n < ремы 2.3.
Замечание 2.4. 1.
m2 +m 2

теорема 2.4 сильнее неравенства (2.19) тео-

Если для (n, m, f ) конфигурации псевдопрямых f = 2 то конфигурация принадлежит одному из следующих типов.

(

n2 -n+2m m+3

)

,

n = m + 1, m
2.

2, f = 2n - 2, t2 = m, t3 = . . . = tm-1 = 0, tm = 1. n 7, m = 3 , f =
27

n2 - n + 2. 3


Например, из второго типа подходят

n = 6, m = 3, f = 12, t2 = 3, t3 = 4
и

n = 7, m = 3, f = 16, t2 = 3, t3 = 6
Действительно, доказательство неравенства (2.19) теоремы 2.3 использовало неравенства 2e 3f и (A(3 - j ) + B j (j - 1)) tj (j - 1)tj , которые обращаются в равенство, если и только если все области конфигурации треугольные и tj = 0 при 2 < j < m.

2.3 Множества чисел связных компонент дополнений к наборам n псевдопрямых
Н. Мартинов, 1993. Нетривиальный набор из n псевдопрямых на плоскости RP делит последнюю на f областей тогда и только тогда, когда существует целое число k , 1 k n - 2, такое что { } 2 2 2 (n - k )(k + 1) + Ck - min n - k , Ck f (n - k )(k + 1) + Ck .
Теорема 2.5.
2

Заметим, что объединение отрезков [ { } ] 2 2 2 (n - k )(k + 1) + Ck - min n - k , Ck ; (n - k )(k + 1) + Ck
2 по k , 1 k n - 2 покрывает все целые числа отрезка [2n - 2; Cn + 1], кроме чисел & интервалов (ai ; bi ) лакун , где

ai = i(n - i + 1) + Ci2-1 ,

bi = (i + 1)(n - i).

Лакуна номер i содержит хотя бы одно целое число тогда и только тогда, когда

b

i

ai + 2



n

Ci2+1 + 3.

Обозначим через dn следующее число

dn = max{d Z | n
Решая квадратное неравенство, получим [

C

2 d+1

+ 3}.

dn =
&

] 31 . 2n - 5 - 42

Поскольку В.И. Арнольд не исключал тривиальные наборы, то в [2] лакуны нумеровались числами i, начиная с единицы. Без тривиального набора псевдопрямых лакуна (a1 , b1 ) пропадает, и в наших обозначениях i 2.
28


Число лакун равно dn - 1 и они нумеруются числами i, 2 i dn . Число областей для набора псевдопрямых не может принадлежать какой-либо 3 лакуне. Последняя лакуна заканчивается перед числом (n - dn )(dn + 1) 2n 2 . 2 Доля целых чисел отрезка [2n - 2; Cn + 1], реализуемых в качестве числа областей, стремится к единице при n . Все лакуны содержатся в отрезке
Следствие 2.1.

[2n - 2; (n - dn )(dn + 1)]
и доля целых чисел этого отрезка, реализуемых в качестве числа областей, стремится к 1 при n . 3
Действительно, количество содержащихся в лакунах целых чисел равно
dn i=2

dn 223 2 (bi - ai - 1) = (n - Ci+1 - 2) n2 . 3 i=2

2n - 2 4n - 12
? r rr 6 ? rrrrr

6n - 30
? rrrrrrr rrrrrrrrrrr 6

3n - 6 5n - 20

(dn + 1)(n - dn )

t rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr t 6 6

2 Cn + 1

Рис. 3: Множество чисел областей для больших n
Лемма 2.7.

Арнольд, [2]. Для нетривиальных наборов n псевдопрямых

m(n - m + 1)

f

m(n - m + 1) + C

2 n-m

,

причем равенство справа достигается, если помимо m пересекающихся в одной точке псевдопрямых остальные n-m псевдопрямых находятся в общем положении друг к другу и к коллинеарным псевдопрямым. Доказательство. Докажем лемму индукцией по n, база n = m + 1. Пусть двойное неравенство выполняется для наборов n псевдопрямых. Тогда при добавлении еще одной псевдопрямой номер n + 1 число областей увеличится на число точек пересечения добавленной псевдопрямой с предыдущими, которое не меньше m и не больше n. Заметим, что равенство слева, вообще говоря, может не достигаться при m < n . 2 Пусть число областей нетривиального набора n псевдопрямых принадлежит лакуне номер i, где i dn . Тогда m i.
Лемма 2.8.

Доказательство. Предположим противное, т.е. что m m n - i, то по лемме 2.7

i + 1. Тогда, если i + 1

f

m(n - m + 1)

(i + 1)(n - i) = bi ,

29


что противоречит тому, что число f принадлежит лакуне номер i. Если m 2 то n - m i - 1 и Cn-m Ci2-1 . Следовательно по лемме 2.7

n - i + 1,

f

2 m(n - m + 1) + Cn

-m

i(n - i + 1) + Ci2-1 = ai , k n-2

что противоречит тому, что число f принадлежит лакуне номер i. Доказательство теоремы Мартинова. Достаточность. Для данного k , 1 и числа f , такого что { } 2 2 f = (n - k )(k + 1) + Ck - t, 0 t min n - k , Ck

построим набор из n прямых, делящий плоскость на f областей. Пусть через одну точку проходит n - k прямых, остальные прямые находятся в общем положении по отношению друг к другу. При этом t прямых из тех, которые проходят через одну точку, проходят через t точек пересечения прямых, находящихся в общем по2 ложении. Провести так прямые возможно, т.к. 0 t min {n - k , Ck }. Нетрудно 2 подсчитать, что число областей равно f = (n - k )(k + 1) + Ck - t. Необходимость следует из лемм 2.8 и 2.5, в которой в качестве числа k следует взять номер i гипотетической лакуны, содержащей число областей f . Если рассматривать вместо псевдопрямых наборы прямых, то множество всех возможных чисел областей не измениться, т.к. пример был построен для прямых, а необходимость в теореме Мартинова для прямых очевидно следует из необходимости для псевдопрямых.
Замечание 2.5.

30


3

Наборы погруженных окружностей на двумерных поверхностях

Пу M связная двумерная гладкая компактная поверхность без края, S = сть S 1 ћ ћ ћ S 1 дизъюнктное объединение n окружностей, : S M погружение с конечным числом прообразов точек пересечения, т.е. с конечным числом пар различных точек (x, y ), таких что (x) = (y ). Нас будет интересовать число f компонент связности дополнения в M к (S ). Множество всех возможных чисел f для данного многообразия и числа n будем (как и раньше) обозначать через Fp (M , n). При этом оказывается, что без дополнительных ограничений на погружение множество Fp (M , n) получается довольно простым. Если же зафиксировать метрику на M и вместо (S ) рассматривать наборы из n замкнутых геодезических, то множества F (M , n) чисел компонент связности будут более интересными. Мы найдем в явном виде последние множества для равногранных тетраэдров, торов и бутылок Клейна с локально евклидовой метрикой, причем окажется, что множества не зависят от конкретного выбора плоской метрики или от соотношений между длинами ребер равногранного тетраэдра.

3.1 О числе связных компонент в неклеточных разбиениях сфер с ручками
Назовем разбиение поверхности M 2 конечным набором замкнутых гладких регулярных кривых клеточным, если все компоненты связности дополнения в M 2 к объединению кривых гомеоморфны открытым дискам.
Определение 3.1. Замечание 3.1.

Клеточные разбиения поверхности рода g представления поверхности в виде клеточного комплекса.

2 действительно суть

Для набора A из n прямых на проективной плоскости характеристический многочлен имеет вид A (t) = t2 - nt + (i - 1)ti ,
i2

где ti это число точек, принадлежащих i прямым. Следовательно, по теореме Заславского число областей проективной плоскости равно 1 + i 2 (i - 1)ti . Дадим аналогичное определение многочлена A (t) для набора окружностей, погруженных окружностей в замкнутую риманову поверхность M рода g 0 (го 1 1 меоморфную сфере с g ручками). Обозначим через S = S . . . S дизъюнктное объединение n окружностей, а через : S M погружение с конечным числом точек самопересечения. Обозначим через ti число точек M , прообраз -1 которых состоит из i точек для i 2.
Определение 3.2.

многочлен

Характеристическим многочленом для погружения назовем (t) = t2 - nt + (i - 1)ti .
i2

31


В отличие от проективной плоскости, число областей римановой поверхности нельзя выразить только через характеристический многочлен, т.к. области могут быть не гомеоморфны диску.
Теорема 3.1. На замкнутой римановой поверхности M рода g 0 рассмотрим погружение : S M дизъюнктного объединения n окружностей с конечным числом точек самопересечения. Тогда для числа связных компонент |0 (M \ (S ))| дополнения в M к множеству (S ) верно

|0 (M \ (S ))| =

(S )

(0) + 1 - g + |0 ((S ))| + k - u,

где (S ) (t) это характеристический многочлен, |0 ((S ))| число компонент связности множества (S ) M , k сумма родов компонент связности M \ (S ), u сумма родов компонент связности регулярной -окрестности U ((S )) множества (S ).
Следствие 3.1.

(a)

|0 (M \ (S ))|



(S )

(0) + 2 - 2g ,

причем, если все компоненты связности M \ (S ) гомеоморфны диску, то достигается равенство. (б) |0 (M \ (S ))| n - 2g + 1, причем равенство достигается для набора 2g образующих фундаментальной группы M . (в) |0 (M \ (S ))| (S ) (0) + |0 ((S ))| + 1, причем для набора, состоящего из одной простой геодезической, делящей многообразие M рода g 2 на две области, достигается равенство. (г) Для двумерной стандартной сферы S 2 и объединения n замкнутых геодезических, получим |0 ((S ))| = 1, k = u = 0 и, следовательно,

|0 (S 2 \ (S ))| =

(S )

(0) + 2.

(д) Для двумерного плоского тора T 2 = R2 /Z2 и объединения n замкнутых геодезических, взятого за (S ), получим k = 0, g = 1 и

|0 (T 2 \ (S ))| =

(S )

(0) + |0 ((S ))| - u.

Если среди геодезических есть хотя бы две не параллельные друг другу, то

0 ((S ))| = u = 1

и

|0 (T 2 \ (S ))| =

(S )

(0).

Если все замкнутые геодезические попарно параллельны, то

|0 ((S ))| = n,

u=

(S )

(0) = 0

и

|0 (T 2 \ (S ))| = n.

Доказательство теоремы 3.1. Посчитаем Эйлерову характеристику (M ) многообразия M и применим два факта:
32


Лемма 3.1.

Для конечных симплициальных комплексов X и Y верно (X Y ) = (X ) + (Y ) - (X Y ).

Здесь X и Y считаются подкомплексами в некотором объемлющем комплексе.
Лемма 3.2.

Любое компактное двумерное подмногообразие сферы с g ручками гомеоморфно несвязному объединению сфер с ручками и дырками, причем сумма родов компонент связности не превосходит числа g .

В качестве X возьмем регулярную окрестность (S ), в качестве Y замыкание дополнения в M к регулярной окрестности множества (S ).

3.2 Множество чисел областей в разбиениях поверхностей семействами кривых
Допустимым семейством кривых будем называть множество замкнутых гладких кривых на замкнутом гладком двумерном многообразии M 2 со следующими свойствами:
Определение 3.3.

ћ для любой все точки самопересечения двойные и их число минимально в классе замкнутых кривых, свободно гомотопных , ћ для любых 1 и 2 число точек пересечения 1 и 2 с учетом кратности самопересечения минимально в классе замкнутых кривых, свободно гомотопных 1 и 2 , ћ для любого конечного множества точек S поверхности M 2 и нетривиального элемента a фундаментальной группы M 2 существует кривая , гомотопная a и не проходящая через точки из S , ћ для любой точки A на поверхности M 2 и нетривиального элемента a фундаментальной группы M 2 существует кривая , гомотопная a и проходящая через точку A.
Через F (M 2 , , n) обозначим множество всех возможных чисел компонент связности дополнения в M 2 к объединению n различных кривых из
Гипотеза 3.1.

Пусть M 2 гомеоморфно сфере с g допустимое множество кривых на M 2 . Тогда

2 ручками, а произвольное n - 2g + 1}.

F (M 2 , , n) = {m N | m

В силу следствия 3.1 остается реализовать все натуральные числа, большие n-2g , наборами кривых из .

33


3.3 Множества чисел областей в разбиениях торов и бутылок Клейна
Под плоским тором T 2 или плоской бутылкой Клейна K L2 имеем в виду параллелограмм AB C D R2 на евклидовой плоскости с отождествленными сторонами
Разбиения наборами замкнутых геодезических.

AB DC, AD B C

и

AB DC, AD C B

соответственно. Пусть p1 : R2 T 2 и p2 : R2 K L2 соответствующие локально изометричные универсальные накрытия. Поднятие геодезической (от данной точки плоскости) является прямой, причем замкнутость геодезической равносильна соизмеримости координат направляющего вектора прямой, разложенного по базису -- - {AB , AD}. Назовем замкнутые геодезические параллельными, если любые их накрывающие прямые параллельны. Опустим высоту B H на прямую AD и обозначим -- - - - через u, v и w вектора AB , AD и H B соответственно. Для взаимно простых целых чисел k , l геодезической типа (k , l) на торе T 2 назовем замкнутой геодезическую, для которой любая ее накрывающая прямая параллельна вектору k u + lv . Геодезической типа (2k , l) на K L2 назовем замкнутую геодезическую, для которой найдется накрывающая ее прямая, параллельная вектору 2k w + lv , за исключением двух замкнутых геодезических, перпендикулярных v и имеющих длину w. Тип этих двух геодезических будем считать равным (1,0). Для набора замкнутых геодезических на торе и на бутылке Клейна K L2 с евклидовыми метриками через ti обозначим число точек, принадлежащих i геодезическим с учетом кратности самопересечения на K L2 .

Две замкнутые геодезические на плоском торе типов (a, b) и (c, d) пересекаются в |ad - bc| точках.
Лемма 3.3.

Доказательство. Считаем, что |ad-bc| = 0, т.к. иначе точек пересечения нет. Длины данных геодезических 1 и 2 равны au + bv и cu + dv соответственно. Расстояния между соседними витками 1 и 2 равны

h1 =

S au + bv

и h2 =

S cu + dv

соответственно, где S = [u, v ] площадь тора. Тогда

sin (1 , 2 ) =

|ad - bc|S au + bv ћ cu + dv

Поэтому расстояние между соседними по 1 точками пересечения равно

au + bv h2 = . sin (1 , 2 ) |ad - bc|
Значит, на 1 находится |ad - bc| точек пересечения.

34


(а) Замкнутая геодезическая типа (2k , l) на плоской бутылке Клейна K L имеет |k l| точек самопересечения, кратности два каждая. (б) Две замкнутые непараллельные геодезические на K L2 имеют хотя бы одну точку пересечения. Замкнутая геодезическая типа (2, 0) пересекает непараллельную ей замкнутую геодезическую по крайней мере в двух точках или проходит через точку самопересечения .
Лемма 3.4.
2

Доказательство. (а) Для k l = 0 лемма очевидна, считаем далее, что k l = 0. Через любую точку K L2 геодезическая проходит не более двух раз, т.к. накрывающие ее прямые составляют с v один из углов {, - }, где

tg =
Пусть прямая

2 k w . l v

(t) = A + (p1 + lt)v + (p2 + 2k t)w
накрывает данную геодезическую при t R для некоторых p1 R, p2 R. Пусть - - AH = v . Точка самопересечения происходит при параметрах t1 и t2 накрывающей прямой тогда и только тогда, когда

t1 =

(2 - 4p1 )k - l + 2(k j - li) , 4k l

t2 =

(2 - 4p1 )k + l + 2(k j + li) 4k l

для некоторых целых чисел i и j . Следующие дробные части равны { } { } - 2p1 j 2i + 1 {t1 + t2 } = + и {t2 - t1 } = , l l 2k поэтому точки самопересечения однозначно соответствуют парам целых чисел (i, j ), где i {0, 1, . . . , |k | - 1} и j {0, 1, . . . , |l| - 1}. (б) Накрывающие прямые замкнутых не параллельных геодезических имеют точку пересечения, поэтому и геодезические пересекаются. Замкнутая геодезическая , не параллельная геодезической типа (2,0) имеет либо тип (0,1), либо тип (k , l) с k l = 0. Первый случай очевиден, а во втором геодезическую накрывает два семейства параллельных прямых, и с каждым из них пересекается накрывающая прямая для геодезической типа (2,0).

Если набор замкнутых геодезических на плоском торе или на плоской бутылке Клейна содержит хотя бы две непараллельные, то все образованные области гомеоморфны открытому диску.
Лемма 3.5.

Доказательство. Достаточно доказать лемму в случае, когда набор состоит из двух замкнутых непараллельных геодезических на T 2 или K L2 или из одной геодезической типа (2k , l) с k l = 0 на K L2 . Рассмотрим накрытия

p1 : R2 T

2

и p2 : R2 K L2 .

35


Предположим, что какие-то две различные точки X и Y связной компоненты прообраза некоторой области отображаются в одну точку при накрытии p1 или p2 . Тогда эта связная компонента содержит бесконечную ломаную с равными по длине звеньями, одним звеном которой является отрезок X Y . Так как связная компонента прообраза области ограничена, то таких точек X и Y не существует. Следовательно, каждая область гомеоморфна своему прообразу диску.

Если все области тора T 2 или бутылки Клейна K L2 с евклидовыми метриками, образованные набором замкнутых геодезических, гомеоморфны диску, то число областей равно (i - 1)ti .
Лемма 3.6.
i2

Доказательство. Если все области гомеоморфны диску, то набор геодезических образует клеточное разбиение поверхности, поскольку на любой геодезической будет хотя бы одна точка пересечения. В этом разбиении ti вершин точек пересе чения геодезических, iti ребер отрезков геодезических и f двумерных клеток областей. Эйлерова характеристика тора и бутылки Клейна равна нулю, откуда получаем требуемое. Для тора T 2 с локально евклидовой метрикой множества чисел областей при n 2 следующие: ( ) F T 2 , n = {n - 1, n} {l N|l 2n - 4} .
Теорема 3.2.

А множество F (T 2 , 1) = {1}. Доказательство. Приведем примеры наборов n 2 замкнутых геодезических: n - s геодезических типа (0,1) и s геодезических типа (1,0) образуют n - s областей на торе для s {0, 1}. На торе n - 2 параллельных геодезических типа (0,1), одна геодезическая типа (1,0) и одна геодезическая типа (1, a), не проходящая через точки пересечения геодезических типа (0,1) c геодезической типа (1,0), образуют 2n - 4 + a областей для любого целого a 0 (по леммам 3.3, 3.5 и 3.6), cм. рис. 4.
1,0

0,1

Рис. 4: n = 8, a = 3

36


Теперь докажем, что в множествах F (T 2 , n) нет других чисел. Рассмотрим произвольный набор из n 3 различных замкнутых геодезических на T 2 , образующий f = f () областей. Обозначим через m максимальное число параллельных геодезических в наборе . Если m = n, то f = n. Если m = n - 1, то f делится нацело на n - 1. Если 2 m n - 2, то каждая из n - m оставшихся в геодезических имеет по крайней мере m точек пересечения с m параллельными геодезическими, поэтому по леммам 3.5 и 3.6 получаем f m(n - m) 2n - 4. Остался случай m = 1. Если любые две геодезические из пересекаются не менее, чем в двух точках, то из лемм 3.5 и 3.6 следует, что f 2n - 2. Если некоторые геодезические 1 и 2 из пересекаются в одной точке и любая из n - 2 оставшихся в геодезических пересекает объединение 1 2 не менее чем в двух точках, то из лемм 3.5 и 3.6 следует, что f 2n - 3. Докажем, что если попарные пересечения некоторых геодезических 1 , 2 и 3 из состоят из одной точки и а точка общая, эт то любая из n - 3 оставшихся в геодезических пересекает 1 2 3 не менее чем в двух точках. Из этого и из лемм 3.5 и 3.6 следует, что f 2n - 4. Заменим базис {u, v } решетки на плоскости, порождающей тор, так, что в новом базисе типы 1 и 2 будут равны (1,0) и (0,1). Тогда тип 3 будет равен (1, -1) или (1,1). Для любой оставшейся в геодезическ (кроме 1 , 2 и 3 ) типа (x, y ) в новом базисе число ой точек пересечения с 1 2 3 по лемме 3.3 не меньше чем

|x| + |y | + |x + y | - 2

2.

Для бутылки Клейна K L2 с локально евклидовой метрикой множества чисел областей имеют следующий вид при n 2: ( ) F K L2 , n = {n - 1, n, n + 1} {l N|l 2n - 4}.
Теорема 3.3.

А множество F (K L2 , 1) = N. Доказательство. Приведем примеры наборов n 2 замкнутых геодезических: n - s геодезических типа (0,1) и s геодезических типа (1,0) образуют n - s областей на бутылке Клейна K L2 для s {0, 1}. Геодезическая типа (2, a) и n - 1 геодезических типа (0,1), не проходящих через точки самопересечения первой, образуют 2n - 2 + a областей для любого целого a 0 (по леммам 3.4(а), 3.5 и 3.6), см рис. 5. На бутылке Клейна n геодезических типа (2, 0) образуют n + 1 область; на бутылке Клейна n - 1 - s геодезических типа (2, 0), геодезическая типа (0,1) и s геодезических типа (1, 0) образуют 2n - 2 - s областей при s {1, 2}. Осталось заметить, что на K L2 одна геодезическая типа (2, a) образует a областей для любого натурального числа a (по леммам 3.4(б), 3.5 и 3.6). Теперь докажем, что в множествах F (K L2 , n) нет других чисел. Рассмотрим произвольный набор из n 3 различных замкнутых геодезических на T 2 или K L2 , образующий f = f () областей. Обозначим через m максимальное число параллельных геодезических в наборе , при этом самопересекающаяся геодезическая не считается параллельной ни себе, ни другим геодезическим.
37


1,0

0,1

Рис. 5: n = 8, a = 2 Любая из m параллельных геодезических при m 1 имеет тип (k , l) с k l = 0, поскольку геодезическая типа (k , l) с k l = 0 сама себе не параллельна. Если m = n, то f {n - 1, n, n + 1}. Если m = n - 1 и оставшаяся в геодезическая имеет тип (k , l), то при k l = 0 получаем f {n - 1, 2n - 4, 2n - 3, 2n - 2}, а при k l = 0 из лемм 3.4(б), 3.5 и 3.6 следует, что f 2n - 4. Если 2 m n - 2, то каждая из n - m оставшихся в геодезических имеет по лемме 3.4(б) как минимум одну точку пересечения с каждой из m параллельных геодезических. Тогда из лемм 3.5 и 3.6 следует, что f m( n - m) 2n - 4. Остался случай m 1. Выделим две геодезические в так, чтобы все геодезические в типа (k , l) с k l = 0 оказались бы выделенными. Каждая из n - 2 невыделенных геодезических имеет тип (2k , l) с |k l| 1, поэтому из лемм 3.4(а)(б), 3.5 и 3.6 следует, что f 2n - 4.
Разбиения тора и бутылки Клейна наборами псевдогеодезических

Назовем псевдогеодезической на двумерном торе замкнутую гладкую несамопересекающуюся гомотопически не тривиальную кривую. Назовем псевдогеодезической на бутылке Клейна замкнутую гладкую кривую, гомотопную какой-нибудь геодезической на плоской бутылке Клейна, с двойными трансверсальными точками самопересечения, число которых минимально в классе кривых (с теми же свойствами), свободно гомотопных данной (гомотопия замкнутых кривых без ограничений на самопересечения). Конфигурацией (набором) псевдогеодезических на торе или на бутылке Клейна назовем конечный набор псевдогеодезических, для которого число точек пересечения любых двух псевдогеодезических 1 и 2 равно минимальному возможному числу точек пересечения замкнутых несамопересекающихся кривых, свободно гомотопных 1 и 2 , с учетом кратности точек самопересечения.
Определение 3.4.

Выберем некоторые образующие e1 , e2 фундаментальной группы тора. Тогда гомотопический класс замкнутых ориентированных кривых на торе будет определяться парой целых чисел (k , l). При этом несамопересекающимся кривым соответствуют пары взаимно простых чисел (k , l). 38


Множества всех возможных чисел областей в разбиениях тора и бутылки Клейна наборами из n псевдогеодезических равны соответственно аналогичным множествам для разбиений плоского тора и плоской бутылки Клейна наборами из n замкнутых геодезических геодезических.
Теорема 3.4.

Доказательство. Для наборов псевдогеодезических выполняются следующие аналоги лемм 3.3, 3.4, 3.5, 3.6.

ћ Псевдогеодезические на торе классов (a, b) и (c, d) (одного набора и в одном базисе) пересекаются в |ad - bc| точках. ћ Псевдогеодезическая на бутылке Клейна класса (2k , l) (т.е. гомотопная геодезической на плоской бутылке Клейна типа (2k , l)) при k l = 0 имеет |k l| точек самопересечения. ћ Если из двух псевдогеодезических ни одна не гомотопна некоторой степени другой, то они имеют хотя бы одну точку пересечения. Псевдогеодезическая типа (2, 0) пересекает псевдогеодезическую типа (2k , l) с l = 0 по крайней мере в двух точках или проходит через ее точку самопересечения. ћ Если набор псевдогеодезических на торе содержит хотя бы две негомотопные, то все образованные области гомеоморфны открытому диску. Если набор псевдогеодезических на бутылке Клейна содержит хотя бы одну самопересекающуюся, то все образованные области гомеоморфны открытому диску. Если набор псевдогеодезических на бутылке Клейна содержит две псевдогеодезические, из которых ни одна не гомотопна некоторой степени другой, то все образованные области гомеоморфны открытому диску. ћ Если все области тора или бутылки Клейна, образованные набором псевдогеодезических, гомеоморфны диску, то число областей равно (i - 1)ti .
i2

Доказательства теорем 3.2, 3.3 переносятся без изменений на разбиения наборами псевдогеодезических, причем вместо лемм используются их аналоги для псевдогеодезических. Если в определении псевдогеодезических разрешить им представлять все нетривиальные гомотопические классы, то множество чисел областей может измениться. Например, кривая класса (0, l) на торе имеет l - 1 точку самопересечения.
Замечание 3.2.

3.4 Разбиения тетраэдров наборами замкнутых геодезических
Геодезическими на тетраэдре называются локально кратчайшие кусочногладкие кривые. Геодезические суть ломаные с узлами на ребрах тетраэдра и звеньями на его гранях, такие, что 39


ћ соседние звенья лежат на разных гранях, ћ ломаные состоят не менее чем из четырех звеньев, ћ углы между ребром тетраэдра и соседними звеньями геодезической с общей вершиной на этом ребре равны; ћ ломаные не проходят через вершины тетраэдра.
Тетраэдр Tr в трехмерном евклидовом пространстве называется равногранным, если его грани суть равные треугольники.
Определение 3.5.

Замкнутые геодезические без самопересечений будем называть простыми. На равногранных тетраэдрах все замкнутые геодезические простые и легко описываются с помощью двулистного разветвленного накрытия равногранного тетраэдра тором с плоской метрикой (точки ветвления над вершинами тетраэдра). В этом параграфе на произвольных тетраэдрах будем рассматривать только простые замкнутые геодезические. Для тетраэдра T через F (T , n) обозначим множество всех возможных чисел компонент связности дополнений к объединениям n различных замкнутых простых геодезических. А. Т. Фоменко поставил задачу найти множества F (T , n). В.Ю. Протасов выдвинул гипотезу, что F (T , n) F (Tr , n) на основании своей теоремы [5] о том, что любая простая геодезическая на произвольном тетраэдре реализуется комбинаторно эквивалентной ей простой геодезической на правильном тетраэдре. Мы найдем множества F (Tr , n), а затем предложим подход к доказательству гипотезы В.Ю. Протасова.
Разбиения равногранных тетраэдров замкнутыми геодезическими

Гранями равногранного тетраэдра могут служить любые остроугольные треугольники, для этого достаточно согнуть остроугольный треугольник вдоль его средних линий.
Замечание 3.3.

Явное описание замкнутых геодезических на равногранном тетраэдре дадим в обозначениях В.Ю. Протасова из [5]. Возьмем произвольный равногранный тетраэдр AB C D и развернем его грани на плоскость AB C , получится треугольник с вершинами D1 D2 D3 . Продолжая разворачивать на плоскость AB C грани тетраэдра, получим замощение плоскости одинаковыми треугольниками. Каждой точке плоскости соответствует одна точка на тетраэдре, т.е. замощение не зависит от порядка разверток. Получаем разветвленное накрытие тетраэдра плоскостью, с точками ветвления над его вершинами. Введем координаты на плоскости AB C , так что вершины A, B и C имели бы координаты (0, 0), ( 1 , 0) и (0, 1 ) соответственно. Напомним, что геодези2 2 ческая не проходит через вершины тетраэдра и в точках пересечения ребер углы, накрест лежащие на разных гранях, равны. Поэтому поднятие замкнутой геодезической на тетраэдре на плоскость есть прямая, параллельная вектору (k , l) для некоторых взаимно простых целых чисел k и l. Замкнутые геодезические называются изоморфными, если они пересекают одни и те же грани AB C D в одинаковом порядке. Параллельность накрывающих прямых равносильна (см. [5]) изоморфизму 40


замкнутых геодезических. Итак, каждому классу изоморфных замкнутых геодезических ставится в соответствие пара целых взаимно простых чисел (k , l), определенная однозначно с точностью до знака (при фиксированной системе координат плоскости и нумерации вершин тетраэдра). Геодезическая типа (k , l) пересекает каждую грань тетраэдра по k + l отрезкам. Ребра тетраэдра разбиваются на три пары противоположных, геодезическая типа (k , l) имеет по k + l узлов на каждом ребре одной пары, по k узлов на каждом ребре второй пары и по l узлов на каждом ребре оставшейся пары.
Лемма 3.7. Две замкнутые геодезические с соответствующими парами (a, b) и (c, d) пересекаются в 2|ad - bc| точках тетраэдра.

Доказательство. Достроим треугольник D1 D2 D3 (см. обозначения выше) до параллелограмма D1 D2 D3 D4 (порядок обхода вершин 1234). Отождествив стороны D1 D2 D4 D3 и D1 D4 D2 D3 , получим тор, двулистно накрывающий тетраэдр AB C D. При этом вершинам тетраэдра соответствуют точки ветвления (второго порядка). Так как геодезическая не проходит через вершины тетраэдра, то ее поднятие на тор есть две замкнутые геодезические на торе. Используем лемму 3.3: две замкнутые геодезические на плоском торе с соответствующими парами (a, b) и (c, d) пересекаются в |ad - bc| точках тора. Следовательно, на накрывающем торе имеем 4|ad - bc| точек пересечения поднятых геодезических. Осталось заметить, что в каждую точку пересечения геодезических на тетраэдре проецируются две точки пересечения поднятых геодезических на торе.
Обозначим через f число компонент связности дополнения к объединению геодезических (для каждого набора получается свое число f ). Компоненты связности дополнения к объединению геодезических набора будем называть областями (хотя они не всегда гомеоморфны открытому диску). Обозначим через ti число точек тетраэдра, принадлежащих ровно i геодезическим набора для i 2.
Лемма 3.8.

Если не все замкнутые геодезические набора изоморфны, то f =2+ (i - 1)ti
i2

и все области гомеоморфны открытому диску. Доказательство. Докажем сначала, что все области суть диски. Предположим, что несколько замкнутых геодезических делят тетраэдр на области, гомеоморфные диску. Добавим к набору еще одну замкнутую геодезическую, имеющую хотя бы одну точку пересечения с предыдущими. Добавленная геодезическая пересекает любую область тетраэдра (образованную предыдущими геодезическими) по незамкнутой простой ломаной и, следовательно, делит эту область на две подобласти, гомеоморфные диску. Поэтому все области тетраэдра, образованные новым набором, попрежнему будут гомеоморфны диску. Осталось правильно упорядочить добавление геодезических. Первая выбирается произвольным образом, вторая выбирается не изоморфной первой, остальные выбираются произвольным образом. Теперь рассмотрим граф, вершины которого точки пересечения геодезических набора, ребра отрезки геодезических, не содержащие отличных от своих концов
41


вершин графа. Число вершин и ребер графа равны ti и iti соответственно, откуда по формуле Эйлера для связных графов находим число областей.
Множество точек пересечений трех попарно неизоморфных замкнутых геодезических состоит не менее чем из трех точек. Любая замкнутая геодезическая пересекает объединение двух не изоморфных ей геодезических по крайней мере в трех точках.
Лемма 3.9.

Доказательство. Докажем первое утверждение. Рассмотрим полные прообразы этих трех геодезических на плоскости, разветвленно накрывающей тетраэдр (см. выше подробности). Получим три семейства параллельных прямых, делящих плоскость на многоугольники. Среди этих многоугольников будет треугольник (возьмем сначала какой-нибудь треугольник, образованный прямыми различных семейств, если его пересекают накрывающие прямые, то выберем в нем меньший треугольник и т.д., процесс будет конечен). Итак, найден треугольник со сторонами на накрывающих геодезические прямых, такой что внутри него не содержится точек накрывающих прямых. Его вершины проецируются в различные точки тетраэдра точки пересечения исходных геодезических, которых поэтому не меньше трех. Если бы замкнутая геодезическая пересекала объединение двух неизоморфных ей геодезических в двух точках, то эти точки были бы единственными точками попарных пересечений. Что невозможно, т.к. таких точек не меньше трех. Отметим, что множество точек попарных пересечений трех неизоморфных замкнутых геодезических не может состоять из трех точек, и поэтому состоит из не менее чем четырех точек. Пример для четырех точек можно получить, взяв три четырехзвенные замкнутые геодезические, проходящие через одну точку (звенья каждой четырехзвенной геодезической параллельны паре противоположных ребер тетраэдра). Для любой пары целых чисел (n, k ) при n 3иk 0 существует набор из n замкнутых геодезических на тетраэдре, для которого f = 4n - 6 + k .
Лемма 3.10.

Доказательство. Возьмем замкнутую геодезическую типа (1, a), геодезическую типа (1,0) и n - 2 замкнутых геодезических типа (0, 1), число a целое и неотрицательное. Если a = 0, то получим 4n - 6 областей тетраэдра. Если a > 0 и геодезические типа (0, 1) не проходят через точки пересечения геодезических типа (1, a) и (1,0), то получится f = 4n - 6 + 2a областей. Если a > 0 и ровно одна геодезическая типа (0,1) проходит через одну точку пересечения геодезических типа (1, a) и (1,0), то получится f = 4n - 7 + 2a областей.
Лемма 3.11.

n

3.

Если в наборе нет изоморфных геодезических, то f

4n - 6 при

Доказательство. Если любые две замкнутые геодезические набора пересекаются не менее чем в четырех точках, то по лемме 3.8 получаем, что число областей тетраэдра не меньше чем 4n - 2. Докажем, что если некоторые две геодезические 1 и 2 набора пересекаются ровно в двух точках, то тогда все остальные замкнутые геодезические, за исключением может быть двух, пересекают объединение 1 2 по крайней мере в четырех точках. Рассмотрим двулистное разветвленное накрытие тетраэдра тором
42


и поднимем замкнутые геодезические на тетраэдре до замкнутых геодезических на торе (с плоской метрикой). Тогда связные компоненты 1 и 2 поднятия геодезических 1 и 2 пересекаются на торе в одной точке и поэтому могут быть выбраны в качестве базиса (1,0) и (0,1) (образующих фундаментальной группы тора). Замкнутая геодезическая типа (x, y ) на торе пересекает объединение геодезических типа (1,0) и (0,1) не менее чем в |x| + |y | - 1 точках (см. лемму 3.3). Осталось заметить, что |x| + |y | - 1 2 для всех упорядоченных пар целых чисел (x, y ), определенных с точностью до знака, кроме пар (0,1), (1,0), (1,1) и (1,-1). Следовательно, любая замкнутая геодезическая на торе, не имеющая этих четырех типов в базисе 1 и 2 , пересекает 1 2 хотя бы в двух точках. А значит, ее проекция на тетраэдр замкнутая геодезическая пересекает 1 2 по крайней мере в четырех точках, поскольку поднятие на тор состоит из двух замкнутых геодезических , каждая из которых содержит хотя бы две соответствующие точки пересечения. Итак, каждая замкнутая геодезическая набора, кроме 1 , 2 и еще может быть двух (3 и 4 ), пересекает объединение 1 2 по крайней мере в четырех точках. А каждая из возможно существующих 3 и 4 пересекает объединение 1 2 по крайней мере в трех точках по лемме 3.9. Геодезические 1 , 2 делят тетраэдр на 4 части. Добавляя геодезические 3 , 4 и остальные геодезические набора по очереди, получаем f 4n - 6 по лемме 3.8.

Для произвольного равногранного тетраэдра Tr и наборов из n различных замкнутых геодезических на нем множество всех возможных чисел связных компонент дополнения имеет вид
Теорема 3.5.

F (Tr , n) = {n + 1, 2n} {m N | m
для n

4n - 6}

3,

F (Tr , 1) = {1},

F (Tr , 2) = {3, 4, 6, 8, 10, . . . }

Доказательство. Приведем примеры наборов, реализующих все возможные числа областей f . Наборы из n изоморфных замкнутых геодезических образуют n + 1 область на тетраэдре. Набор из n четырехзвенных геодезических, из которых ровно n - 1 изоморфны, дает 2n областей на тетраэдре. Для n 3 осталось учесть лемму 3.10. Для n = 2 возьмем замкнутую геодезическую типа (1, a) и замкнутую геодезическую типа (1,0), получится 2a + 2 области для любого целого a > 0. Докажем, что других чисел областей для равногранного тетраэдра быть не может. Если n = 1 или n = 2, то это следует из лемм 3.7 и 3.8, а также из того, что замкнутые геодезические на равногранном тетраэдре не самопересекаются. Пусть n 3, тогда обозначим через m максимальное число изоморфных (параллельных) замкнутых геодезических в наборе. Если m = n, то f = n + 1. Если m = n - 1, то по леммам 3.7 и 3.8 имеем f = 2 + 2(n - 1)k для некоторого натурального числа k . Если 2 m n - 2, то по леммам 3.7 и 3.8 получаем f 2 + 2m(n - m) 4n - 6. В оставшемся случае m = 1 применяем лемму 3.11.

43


Пусть T = AB C D не равногранный тетраэдр, на котором существуют замкнутые геодезические без самопересечений (достаточные условия см. в [5]).
Разбиения неравногранных тетраэдров простыми геодезическими. Теорема 3.6. В. Ю. Протасов, [5, 6]. (а) Любая замкнутая простая геодезическая на произвольном тетраэдре соответствует замкнутой геодезической на правильном тетраэдре, пересекающей ребра в той же последовательности (между вершинами тетраэдров заранее установлено соответствие). (б) Среди всех поверхностей трехмерных многогранников равногранные тетраэдры и только они содержат бесконечное число неизоморфных (позвенно непараллельных) замкнутых простых геодезических.

В. Ю. Протасов. Для множества F (T , n) чисел областей разбиений произвольного тетраэдра T наборами из n различных простых замкнутых геодезических имеем F (T , n) {n + 1, 2n} {m N | m 4n - 6}
Гипотеза 3.2.

при n

3,

F (T , 2) {3} {2m | m N, m

2},

причем каждое из включений обращается в равенство тогда и только тогда, когда тетраэдр T равногранный. Более того, для неравногранных тетраэдров T множества F (T , n) конечны для всех натуральных чисел n.
Заметим, что конечность множеств F (T , n) для неравногранных тетраэдров легко следует из теоремы 3.6. Ниже мы приводим идеи, которые, скорее всего, можно довести до доказательства гипотезы в положительном смысле. Пусть 1 и 2 различные замкнутые геодезические на T без самопересечений. Зададим на тетраэдре ориентацию, в соответствии с которой обходы ребер грани тетраэдра можно будет разделять на положительные и отрицательные.

Назовем подходящей пару незамкнутых несамопересекающихся k звенных ломаных ломаных l1 1 и l2 2 , если k 2 и для вершин X1 , . . . , Xk+1 и Y1 , . . . , Yk+1 ломаных l1 и l2 соответственно выполняются условия:
Определение 3.6.

ћ точки Xi и Yi принадлежат одним и тем же ребрам тетраэдра для всех i, где 2 i k , ћ точки Xi и Yi лежат на разных ребрах тетраэдра для i = 1 и i = k + 1, ћ Направление обхода ребер тетраэдра, содержащих точки X1 , Y1 и X2 , совпадает с направлением обхода ребер, содержащих точки Xk+1 , Yk+1 и Xk .
(а) Если l1 1 и l2 2 подходящая пара, то ломаные l1 и l2 пересекаются в единственной точке. (б) Если P точка пересечения замкнутых простых геодезических 1 и 2 , то найдется подходящая пара l1 1 и l2 2 , такая, что P точка пересечения ломаных l1 и l2 . (в) (Следствие первых двух пунктов гипотезы). Число точек пересечения замкнутых простых геодезических равно числу подходящих пар ломаных для них.
Гипотеза 3.3.

44


(г) Если замкнутым простым геодезическим 1 и 2 на тетраэдре T соответствуют геодезические 1 и 2 на правильном тетраэдре, то число точек пересечения геодезических 1 и 2 равно числу точек пересечения геодезических 1 и 2 . Пункт (г) следует из (в), т.к. подходящие пары для геодезических 1 и 2 взаимно однозначно соответствуют парам для геодезических 1 и 2 .

3.5 Замкнутые геодезические на замкнутых гиперболических поверхностях
Пусть M связная гладкая двумерная замкнутая поверхность без края с метрикой постоянной отрицательной кривизны. M гомеоморфна сфере с g 2 ручками или с k 3 листами Мебиуса (по теор. Гаусса). Назовем простой замкнутую геодезическую без самопересечений. Компоненты связности дополнения в M к объединению замкнутых геодезических будем называть областями, хотя они могут быть не гомеоморфны диску.

Пусть M связная замкнутая двумерная поверхность с гиперболической метрикой. Тогда существуют константы c1 , c2 и c3 , такие что для любых двух различных замкнутых геодезических 1 и 2 на M длины T1 и T2 (а) 2 2 |0 (M \ {1 2 })| c1 T1 T2 + c2 (T1 + T2 ),
Теорема 3.7.

(б) если обе геодезические не самопересекаются, то

|0 (M \ {1 2 })|

c3 T1 T2 .

Доказательство. (б) Пусть 1 и 2 пересекаются в p точках и образуют f областей 2 на Mg . Граница любой области содержит отрезок какой-то геодезической, причем каждый отрезок содержится в границах не более чем двух областей. Поэтому число областей f не превосходит удвоенного числа отрезков и

f

4p

при p

1

и

f

4 при

p = 0.

(3.1)

При p = 0 границами областей будут сами геодезические. Оценим теперь число p точек пересечения двух простых замкнутых геодезических с длинами T1 и T2 . Дискретная группа G движений плоскости Лобачевского порождена сдвигами вдоль прямых Bi Bi+2g на расстояния (Bi , Bi+2g ). Образы многоугольника A1 A2 . . . A4g при действии группы G покрывают всю плоскость Лобачевского. Обозначим множества образов точек O и A1 , A2 , . . . , A4g при действии группы G через {Oi , i = 1, . . . , } и {Ai , i = 1, . . . , } соответственно. Для бесконечного множества {Oi Ai , i = 1, . . . , } построим замкнутые многоугольные ячейки Вороного. Обозначим через Ui и Vi ячейки, содержащие точки Oi и Ai соответственно. Докажем, что ячейка точки O совпадает с многоугольником B1 B2 . . . B4g . Рассмотрим треугольник OA1 B1 . Так 45


как A1 OB1 = 4g = B1 A1 O, то отрезки OB1 и A1 B1 симметричны относительно срединного перпендикуляра к отрезку OA1 . Аналогично отрезки OB4g и A1 B4g симметричны относительно срединного перпендикуляра к отрезку OA1 . Следовательно, B1 B4g срединный перпендикуляр к OA1 . Аналогично, прямые Bi-1 Bi равноудалены от точек O и Ai для i = 2, . . . , 4g . Поэтому многоугольник B1 B2 . . . B4g это ячейка точки O. Заметим, что OB1 B4g = A1 B1 B4g и, следовательно, OB1 B4g = 45 . Тогда Bi-1 Bi Bi+1 = 90 для i = 1, . . . 4g . Из равенства треугольников OB1 B4g и A1 B1 B4g следует, что ячейки точек O и A1 суть равные 4g угольники, все углы которых равны 90 , а длины всех сторон равны (B1 , B2 ). Таким образом, ячейка Ui точки Oi это 4g угольник, стороны которого также являются сторонами ячеек Vj1 . . . Vj4g точек Aj1 , . . . , Aj4g для некоторых индексов j1 , . . . j4g . Рассмотрим прямые l1 и l2 на плоскости Лобачевского, такие что 1 = (l1 ) и 2 = (l2 ). Прямым l1 и l2 поставим в соответствие две бесконечные в обе стороны последовательности ячеек Вороного, с которыми они имеют общие точки, учитывая следующее: если прямая проходит через вершину Q какой-то ячейки, то из четырех ячеек, содержащих точку Q, в последовательность включим три ячейки в таком порядке, чтобы ячейки Ui чередовались с ячейками Vj ; а если прямая проходит по стороне ячеек Ui и Vj , то в последовательность включим Ui . Тогда получатся две бесконечные последовательности 1 и 2 , в которых ячейки Ui чередуются с ячейками Vj . Выберем отрезки [X1 X2 ] и [Y1 Y2 ] на прямых l1 и l2 длиной T1 и T2 соответственно, так чтобы точки X1 и Y1 принадлежали ячейкам Ui и Ui . Так как длины геодезических равны длинам отрезков [X1 X2 ] и [Y1 Y2 ], то точки (X1 ) = (X2 ) и (Y1 ) = (Y2 ). Поэтому точки X2 и Y2 принадлежат ячейкам Ui и Ui для некоторых индексов i и i . Пересечение отрезка [X1 X2 ] с произвольной ячейкой Вороного есть или отрезок, или точка, или пустое множество. Обозначим непустые пересечения отрезка [X1 X2 ] с ячейками Uik 1 через [E2k-1 E2k ] для k = 1, . . . , в порядке следования ячеек в 1 . Аналогично, обозначим непустые пересечения отрезка [Y1 Y2 ] с ячейками Ujl 2 через [F2l-1 F2l ] для l = 1, . . . , в порядке следования ячеек в 2 . В силу выбора точек X1 , X2 , Y1 , Y2 имеем

E1 = X1 , F1 = Y1 , E

2

= X2 , F

2

= Y2 .

Оценим числа и через T1 и T2 . Ячейка Вороного Ui имеет по одной общей точке с 4g ячейками Us при s = i. Рассмотрим ( ) ri = min (Z1 , Z2 ) | Z1 Ui , Z2 Uj , Ui Uj =
j

минимальное расстояние от ячейки имеет общих точек. Так как группа G то число ri не зависит от i, т.е. r = Рассмотрим три отрезка (возможно,

Ui до тех ячеек Uj , с которыми ячейка Ui не состоит из изометрий плоскости Лобачевского, ri константа (при фиксированном числе g ). вырождающиеся в точки)
2k+2

[E2

k -1

E2k ] Uik ,

[E

2k+1

E

] Ui

k+1

,

[E

2k+3

E

2k+4

] Ui

k+2

,

принадлежащие отрезку [X1 X2 ]. Предположим, что ячейки Uik и Uik+2 имеют общую точку. Это означает, что ячейки Uik и Uik+2 находятся в 4g угольниках D1 и 46


D2 , имеющих общую сторону и полученных из исходного 4g угольника A1 A2 . . . A4g некоторыми движениями из группы G. Тогда и отрезок [E2k-1 E2k+4 ] находится в объ единении D1 D2 . Следовательно, отрезок [E2k+1 E2k+2 ] нахо я во внутренности дитс объединения D1 D2 . Однако внутренность объединения D1 D2 имеет общие точки с ячейками Ui только при i = ik и i = ik+2 , что противоречит тому, что отрезок [E2k+1 E2k+2 ] Uik+1 . Итак, ячейки Uik и Uik+2 не имеют общих точек, следовательно (E2k , E2k+3 ) r по определению числа r. Поэтому (E2k-1 , E2k+3 ) r, т.е. сумма длин двух соседних отрезков [E2k-1 E2k ]; [E2k+1 E2k+2 ] и двух интервалов (E2k E2k+1 ); (E2k+2 E2k+3 ) не меньше r. Отсюда следует, что < 2T1 + 2. r

Аналогично для 2 имеем < 2T2 + 2. r Теперь оценим число точек пересечения 1 и 2 . Каждая точка пересечения находится или на паре отрезков

[E

2k-1

E2k ]

и

[F2

l -1

F2l ]

для

k = 1 , . . . , ;

l = 1, . . . , ,

или на паре интервалов

(E2k E

2k+1

) и (F2l F

2l+1

) для k = 1, . . . , - 1;

l = 1, . . . , - 1.

Отрезки [E2k-1 E2k ] и [F2l-1 F2l ] находятся в ячейках Uik и Ujl , поэтому -образы отрезков [E2k-1 E2k ] и [F2l-1 F2l ] имеют не более двух общих точек. Две общие точки возможны, например, когда отрезки [E2k-1 E2k ] и [F2l-1 F2l ] пересекаются внутри ячейки, содержащей точку O, и, кроме того, выполняется E2k = Bg+1 , F2l = B1 . Тогда (E2k ) = (F2l ). Аналогично, -образы интервалов (E2k E2k+1 ) и (F2l F2l+1 ) имеют не более одной общей точки. Следовательно,

p 2 + ( - 1)( - 1) < 3 <

12 (T1 + r)(T2 + r). r2

2 Обозначим через t минимум длин простых замкнутых геодезических на Mg . Тогда ( r) Ti для i = 1, 2, Ti + r 1 + t и поэтому 12 ( r )2 p< 2 1+ T1 T2 . r t ( )2 Учитывая (3.1) и 36 1 + 1 T1 T2 36 > 4 f для p = 0, получаем t r

( f 36

11 + tr

)2 T1 T2 .

( )2 Итак, константа c = 36 1 + 1 удовлетворяет условию пункта (б) теоремы. t r (а) Аналогично пункту (б).
47


Существует связная двумерная замкнутая поверхность M рода g 2 с гиперболической метрикой, для которой выполняется каждое из следующих утверждений. (а) для любого числа T > 0 найдутся две простые замкнутые геодезические с длинами T1 > T и T2 > T , образующие одну область на M . (б) Существует константа c0 > 0, такая что для любого числа T > 0 найдутся две различные простые замкнутые геодезические на M с длинами T1 > T и T2 > T , образующие не менее чем c0 T1 T2 областей на M . (в) Для любого натурального числа f существует замкнутая геодезическая, образующая f областей на M .
Теорема 3.8.
2 Доказательство. Рассмотрим замкнутую риманову поверхность Mg рода g 2 с гиперболической метрикой следующего вида. Отождествим противоположные стороны у 4g угольника на плоскости Лобачевского с равными сторонами и с углами, рав 2 ными 2g . При отождествлении получается многообразие, гомеоморфное Mg . Обозначим вершины многоугольника через A1 , A2 , . . . , A4g . Рассмотрим дискретную группу 2 G движений плоскости Лобачевского L2 , изоморфную фундаментальной группе Mg 2 и порожденную сдвигами плоскости L вдоль 2g прямых, проходящих через середины противоположных сторон многоугольника A1 A2 . . . A4g , на расстояние между этими серединами. Так как действие группы G на плоскости Лобачевского не име2 ет неподвижных точек, то факторпространство L2 /G Mg наделяется структурой гладкого многообразия с индуцированной метрикой постоянной отрицательной кри2 визны. Обозначим через : L2 Mg соответствующее отображение факторизации ( универсальное накрытие). Плоскость Лобачевского L2 покрывается образами многоугольника A1 . . . A4g при действии дискретной группы движений G. Обозначим через S L2 множество образов вершин многоугольника A1 . . . A4g , середин его сторон и центра O при действии группы G. Обозначим через Bi середины сторон Ai Ai+1 многоугольника A1 . . . A4g для i = 1, . . . , 4g . Через (X, Y ) обозначим расстояние между точками X и Y на плоскости Лобачевского. (a) В качестве 1 возьмем замкнутую геодезическую, состоящую из k + 1 отрезков:

A1 A2 , A 1 A2 , A 1 A2 , . . . , A 11 22 33

1 k+1

A2 +1 , k

где A1 = A1 , A2 +1 = A2g+1 , а точки A2 и A1 расположены на сторонах A2g A2g+1 и 1 i i k A1 A4g многоугольника A1 . . . A4g соответственно, причем точки A2 и A1+1 определяют i i 2 одну точку на сфере с ручками Mg при i = 1, . . . , k , см. рис. 6. В качестве 2 возьмем аналогичную замкнутую геодезическую, состоящую из k T отрезков Bi1 Bi2 , i = 1, . . . , k . Возьмем k > min , где min это минимальное расстояние между точками отрезков A1 A4g и A2g A2g+1 . Тогда длины геодезических 1 и 2 будут больше T . Замкнутую геодезическую 2 можно получить из 1 следующим образом. Возьмем k отрезков A1 A2 , i = 1, . . . , k и начнем их "поворачивать"на малые углы и ii "смещать" на малые расстояния, так чтобы точки A2 и A1+1 определяли бы одну i i точку на сфере с ручками при i = 1, . . . , k - 1. Точки A2 будут перемещаться по отj резкам A2 A2+1 , причем первой точкой из A2 , j = 1, . . . , k , которая достигнет точки j jj 48


Рис. 6: g = 2, k = 2

A2+1 , будет точка A2 . Следовательно, при таком преобразовании отрезки A1 A2 , j = j jj k 1, . . . , k образуют замкнутую геодезическую 2 , причем Bi2 = (A2 ) (A2 A2+1 ) при i ii 2 i = 1, . . . , k - 1 и Bk = (A2 ). Так как точки Bi2 находятся строго между точками A2 i k 12 и A2+1 при i = 1, . . . , k - 1, то интервалы A1 A2 и Bj Bj не пересекаются, и поэтому i ii 2 геодезические 1 и 2 образуют одну область на сфере с g ручками Mg . (б) Возьмем построенную в доказательстве пункта (а) геодезическую 1 , состоящую из k + 1 отрезков, соединяющих точки на сторонах A1 A4g и A2g A2g+1 многоугольника A1 . . . A4g . В качестве геодезической 2 возьмем аналогичную замкнутую геодезическую, состоящую из l + 1 отрезков, соединяющих точки на сторонах Ag Ag+1 и A3g A3g+1 многоугольника A1 . . . A4g , см. рис. 7.

Рис. 7: g = 2, k = 2, l = 1

49


Тогда замкнутые геодезические 1 и 2 образуют более чем k l областей на сфере 2 с g ручками Mg . Обозначим через max максимальное расстояние между точками отрезков A1 A4g и A2g A2g+1 соответственно. Тогда для длин T1 и T2 геодезических 1 и 2 имеем T1 max (k + 1), T2 max (l + 1). Следовательно, при k

2, l kl

2 геодезические 1 и 2 образуют более чем 4 (k + 1)(l + 1) 9 4T1 T2 92 max

4 2 областей на сфере с ручками Mg . Итак, константа c0 = 92 удовлетворяет условию max пункта (б) теоремы. (в) Приведем примеры таких геодезических отдельно для четного и нечетного чисел f . Пусть f нечетно, f = 2k + 1. Построим геодезическую , симметричную относительно центра O многоугольника A1 . . . A4g , см. рис. 8.

Рис. 8: g = 2, k = 1, f = 3 Выпустим луч l1 из вершины A2g+2 многоугольника A1 . . . A4g достаточно близко к центру O. Тогда луч l1 пересечет сторону A1 A2 в точке B1 около вершины A2 и после пересечения всех остальных сторон (каждую по одному разу) l1 выйдет из стороны A2g+2 A2g+3 в точке C1 около вершины A2g+2 . При этом угол между лучом l1 и стороной A2g+2 A2g+3 в точке C1 меньше чем такой же угол в точке A2g+2 . Пусть теперь луч l1 , вышедший из точки C1 , опять пройдет близко к центру O многоугольника и пересечет сторону A1 A2 в точке B2 , лежащей на отрезке A1 B1 . После пересечения всех остальных сторон многоугольника, луч l1 выйдет из стороны A2g+2 A2g+3 в точке C2 . При этом точка C2 лежит на отрезке C1 A2g+3 близко к точке C1 . Угол между лучом l1 и стороной A2g+2 A2g+3 в точке C2 меньше чем такой же угол в точке 1 . Пусть луч l1 аналогичным образом пересекает сторону A1 A2 в точках B3 , . . . , Bk и выходит из стороны A2g+2 A2g+3 в точках C3 , . . . , Ck . Теперь выберем начальное направление луча l1 так, что после выхода из точки Ck луч попадает в вершину A1 . 50


Такое направление луча существует, поскольку при непрерывном уменьшении угла между лучом l1 и стороной A2g+2 A2g+3 в начальной точке A2g+2 от значения 4g точка Bk+1 будет непрерывно двигаться по стороне A1 A2 и при некотором угле попадет в вершину A1 . Пусть луч l2 будет симметричен лучу l1 относительно центра O многоугольника A1 . . . A4g . То есть луч l2 идет из точки A2 , пересекает сторону A2g+1 A2g+2 в точках D1 , . . . , Dk , выходит из стороны A2 A3 в точках E1 , . . . , Ek и после выхода из точки Ek попадает в вершину A2g+1 . В силу симметрии угол между лучом l1 и стороной A2g+1 A2g+2 в точке A2g+2 равен углу между лучом l2 и стороной A1 A2 в точке A2 . Кроме того, угол между лучом l1 и стороной A1 A2 в вершине A1 равен углу между лучом l2 и стороной A2g+1 A2g+2 в точке A2g+1 . Поэтому указанные отрезки лучей l1 и l2 задают замкнутую гладкую геодезическую , которая образует 2k + 1 областей 2 на сфере с ручками Mg при k 1. Одну область образует замкнутая геодезическая, совпадающая со стороной A1 A2 многоугольника. Теперь построим аналогичный пример замкнутой геодезической , образующей 2 f = 2k области на сфере с ручками Mg при k 1. Геодезическая проходит через точки O, A1 и A2g+1 и симметрична относительно точки O. Назовем лучами l1 и l2 отрезки между точками O и A1 и между точками O и A2g+1 соответственно, тогда = l1 l2 . Пусть лучи l1 и l2 идут из центра O многоугольника в противоположных направлениях близко к вершинам A2 и A2g+2 соответственно. Луч l1 пересекает сторону A1 A2 в точках B1 , . . . , Bk , выходит из стороны A2g+2 A2g+3 в точках C1 , . . . , Ck и после точки Ck попадает в вершину A1 , см. рис. 9.

Рис. 9: g = 2, k = 1, f = 2 Пусть луч l2 аналогично пересекает сторону A2g+1 A2g+2 в точках D1 , . . . , Dk , выходит из стороны A2 A3 в точках E1 , . . . , Ek и после точки Ek попадает в вершину A2g+1 . В силу симметрии угол между лучом l1 и стороной A1 A2 в вершине A1 равен углу между лучом l2 и стороной A2g+1 A2g+2 в точке A2g+1 . Поэтому указанные отрезки лучей l1 и l2 задают замкнутую гладкую геодезическую , которая образует 51


2 2k областей на сфере с ручками Mg при k

1.

Замечание 3.4. Построенные при доказательстве пункта (б) теоремы простые замкнутые геодезические 1 и 2 пересекаются в одной точке. Гипотеза 3.4.
2 Для данных g 2 и Mg существует константа T0 > 0, такая что любые две замкнутые простые геодезические, длины которых не меньше T0 , имеют хотя бы одну общую точку.

52


4

Наборы подмногообразий коразмерности один

Пусть M связное гладкое вещественное dмерное многообразие без края. Конфигурацией подмногообразий коразмерности один будем называть конечный набор A1 , . . . , An замкнутых подмногообразий коразмерности один в M , подмногообразия которого пересекаются попарно трансверсально.
Определение 4.1.

4.1 Гомологическая оценка числа компонент связности
Пусть M n связное nмерное гладкое компактное многообразие без края, Ai M n различные связные (n - 1)мерные замкнутые подмногообразия в M n , 1 i k . Возьмем объединение k A= Ai .
i=1

Обозначим число |0 (M \ A)| связных компонент дополнения в M n к A через f . Возьмем регулярную открытую окрестность U A множества A в M n . Пусть
n

M \ UA =
n

f j =1

Nj ,

где Nj компоненты связности дополнения в многообразии M n к окрестности U A. Если M n и все подмногообразия Ai ориентируемы, то в качестве группы коэффициентов будем брать группу G = Z. Если хотя бы одно из Ai или M n неориентируемо, то G = Z2 .

Если замкнутые подмногообразия Ai M n , i = 1, . . . , k размерности n - 1 попарно пересекаются трансверсально, то
Лемма 4.1.

dim(H

n-1

(U A, G)) = dim(H

n- 1

(A, G))

k

Доказательство. Регулярная окрестность U A гомотопически эквивалентна A, поэтому все группы гомологий у множеств A и U A совпадают. Докажем индукцией по k , что ( ) dim Hn-1 k=1 Ai , G k. i
Для k = 1 это очевидно, т.к. для связного замкнутого (n - 1)мерного многообразия Hn-1 (A1 , G) G. Предположим, что утверждение верно для k - 1 подмногообразий = и докажем его для k подмногообразий. Пусть

A=
Тогда по предположению индукции



k -1 i=1

Ai .

dim H

n-1

(A , G)

k - 1.

53


Запишем для пары A , Ak точную последовательность Майера Вьеториса:

- H

n- 1

(A Ak ) - H

n- 1

(A ) H

n-1

(Ak ) - H

n-1

(A Ak ) -

Так как любые два подмногообразия Ai и Aj пересекаются трансверсально, то A Ak суть конечное объединение не более чем (n - 2) мерных подмногообразий в M n . Откуда Hn-1 (A Ak ) = 0 и отображение

H

n-1

(A ) H

n- 1

(Ak ) - H

n-1

(A Ak )

мономорфно. Следовательно,

dim H

n- 1

(A Ak )

dim H

n-1

(A ) + dim H

n-1

(Ak )

k.

Лемма 4.2.

Hn (M n , U A, G) Gf . =

Доказательство.

Hn (M n , U A, G) = Hn (M n /U A, G) = ( ) ( ) = Hn f=1 Nj / f=1 Nj , G = Hn f=1 Nj / Nj , G = j j j =
f j =1

Hn (Nj / Nj , G) = Gf ,

где n 1, букет пространств, Hn группа приведенных гомологий, Nj граница Nj .

Пусть A1 , . . . , Ak связные замкнутые подмногообразия коразмерности один в связном замкнутом многообразии M n . Если подмногообразия Ai попарно пересекаются трансверсально и A = i Ai , то
Теорема 4.1.

|0 (M n \ A)|

k + 1 - dim H

n-1

(M n , G).

Доказательство. Для включения i : U A M n запишем точную гомологическую последовательность пары с коэффициентами в G:

Hn (U A) - Hn (M n ) - Hn (M n , U A) - H
Заметим, что

n-1

(U A) - H

n-1

(M n ) -

Hn (U A) = Hn (A) = 0,

Hn (Mn ) = G.

Из точности последовательности в члене Hn (M n ) следует, что отображение

Hn (M n ) - Hn (M n , U A)
есть мономорфизм. По лемме 4.2

Hn (M n , U A, G) Gf =
54


Нетрудно видеть, что

dim H
где гомоморфизмы

n- 1

(U A)

dim Im + dim Imi ,

: Hn (M n , U A) - H
Заметим, что

n-1

(U A),

i : H

n- 1

(U A) - H

n- 1

(M n ).

dim Imi
По лемме 4.1 dim H
Замечание 4.1.
n-1



dim H

n- 1

(M n ),

dim Im



f - 1.
n- 1

( U A)

k , откуда k

f - 1 + dim H

(M n ).

Нетрудно видеть, что для двумерных многообразий сфер с g 0 ручками, бутылки Клейна и многомерных проективных пространств, сфер и торов (примеры для торов см. ниже) существуют наборы из

n

dim H

n- 1

(M n )

подмногообразий, такие что неравенство в теореме 4.1 обращается в равенство.

4.2 Применение функции Мебиуса для конфигураций гиперплоскостей
Пусть A конечный набор гиперплоскостей пространства V , где V это евклидово пространство Rd или проективное пространство RPd . Множество пересечений L(A) состоит из всевозможных непустых пересечений гиперплоскостей из A, включая само пространство V . На множестве пересечений введем частичный порядок, обратный включению, т.е. u v u v . Определим функцию Мебиуса ч : L(A) Ч L(A) Z, если u v ; 0, 1, если u = v ; ч(u, v ) = - uwv ч(u, w), если u v . Заметим, что этим определением функция Мебиуса задается однозначно. Пусть P одна из гиперплоскостей набора A. Через A обозначим набор остальных гиперплоскостей из A. Через A обозначим набор пересечений плоскости P с плоскостями из A , т.е. A есть набор (d - 2) мерных плоскостей в (d - 1) мерной плоскости P . Тройкой наборов назовем тройку (A, A , A ), где A и A обозначены выше. Для множеств пересечений наборов A, A и A построим соответствующие функции Мебиуса ч, ч и ч . Элементы L(A) будем называть ребрами. В дальнейшем для наборов в пространстве V и ребер v вместо ч(V , v ) будем писать ч(v ).

и L(A ), то

Лемма 4.3.

Пусть (A, A , A ) тройка наборов. Если ребро v принадлежит L(A )

ч(v ) = ч (v ) - ч (v ). ч(v ) = -ч (v ).
55

Если ребро v принадлежит L(A ) и не принадлежит L(A ), то


Если ребро v принадлежит L(A ) и не принадлежит L(A ), то

ч(v ) = ч (v ).
Доказательство. Следует из определения функции Мебиуса индукцией по коразмерности ребра v , начиная с нуля.
Следствие 4.1.

Для любых ребер u, v набора гиперплоскостей, таких что u v :

sign(ч(u, v )) = (-1)dim(

u)+dim(v )

Доказательство. Индукция по размерности пространства u, индукция по коразмерности v как подпространства в u. Через f (A) обозначим число связных компонент дополнения к объединению гиперплоскостей из A. Характеристическим многочленом набора A называется многочлен A (t) = ч(v )tdim(v)
v L(A)

Заметим, что для тройки наборов

f (A) = f (A ) + f (A )
и Отсюда следует Заславский, [37]. (а) Для набора A гиперплоскостей в проективном пространстве RPd
Теорема 4.2.

A (t) = A (t) - A (t)

f (A) = (-1)

d

A (1) + A (-1) = 2


dim(v ).2,v L(A)

|ч(v )|

. .

(б) Для набора A гиперплоскостей в евклидовом пространстве Rd f (A) = (-1)d A (-1) = |ч(v )|
v L(A)

(в) Если для набора A гиперплоскостей в евклидовом пространстве Rd не существует прямой, параллельной всем гиперплоскостям, то число ограниченных областей Rd \ A равно f (A) = (-1)d A (1)
Объединение гиперплоскостей набора A будем обозначать через A. Пусть A и B два набора различных гиперплоскостей в проективном или аффинном вещественных пространствах. Если ребро v L(B ) не принадлежит A, то через Av обозначим набор пересечений ребра v с гиперплоскостями из A, причем этот набор есть набор гиперплоскостей в v , рассматриваемом как самостоятельное пространство. Соответственно, построим характеристический многочлен Av (t). Функцию Мебиуса множества L(B ) обозначим через чB . 56


Лемма 4.4.



AB

(t) =


v L(B),v A /

чB (v )Av (t).

Доказательство. Доказывается по индукции по числу плоскостей в B , используется лемма 4.3.
Нижние оценки числа областей

Если пересечение всех гиперплоскостей набора A непусто, то набор называется тривиальным. В дальнейшем будем рассматривать только нетривиальные наборы гиперплоскостей. Для наборов в евклидовом пространстве Rd потребуем также, чтобы пересечение любых d гиперплоскостей было не пустым множеством. Гиперплоскости набора A разбивают пространство V на многогранники (не обязательно ограниченные для евклидового пространства V ). Через fk (A) обозначим число всех k мерных граней многогранников для разбиения набором A (грань, принадлежащая нескольким многогранникам, считается один раз).
Следствие 4.2.

Для наборов гиперплоскостей A и B в dмерном пространстве fd (A B ) = |чB (v )|fdim(v) (Av ) .
v L(B),v A /

Обозначим через m = m(A) максимальное число гиперплоскостей набора A, имеющих непустое пересечение.

Для нетривиального набора n гиперплоскостей в проективном пространстве RPd f (n - m + 1)(m - d + 2)2d-2 .
Лемма 4.5.

Доказательство. Рассмотрим m гиперплоскостей A1 , . . . , Am с непустым пересечением Q. Размерность Q равна нулю, а гиперплоскости A1 , . . . , Am получаются взятием конуса с центром в Q над некоторым набором B из m гиперплоскостей в (d - 1) мерном подпространстве. Так как B нетривиальный набор, то по известной оценке числа областей (см. [35]) fd-1 (B ) (m - d + 2)2d-2
На каждой из остальных гиперплоскостей конфигурацию, проективно эквивалентную гиперплоскостям A1 , . . . , Am остальных n - областей будет увеличиваться не менее чем
Лемма 4.6.

набора плоскости A1 , . . . , Am высекают B . Поэтому при каждом добавлении к m гиперплоскостей одна за одной число на (m - d + 2)2d-2 .

Пусть A набор гиперплоскостей в евклидовом или вещественном проективном dмерных пространствах. Пусть ребро v принадлежит i гиперплоскостям. Тогда |ч(v )| i - d + dim(v ) + 1.

57


Доказательство. Индукция по коразмерности s = d - dim(v ). База: для коразмерностей 0, 1 и 2 неравенство обращается в равенство. Предположение: неравенство выполняется для всех ребер всех наборов с коразмерностью не более s - 1. Переход: выберем из набора s = d - dim(v ) гиперплоскостей A1 , . . . , As , пересечение которых является ребром v . Остальные гиперплоскости набора обозначим через As+1 , . . . , An . Рассмотрим последовательность наборов гиперплоскостей A0 , . . . , An-s , где

A 0 = {A 1 , . . . , A s },
и

Ai = A

i-1

A

s+i

. As+i ,

Так как A0 набор с нормальными пересечениями, то чA0 (v ) = (-1)s . Если v то по лемме 4.3 чAi (v ) = чAi-1 (v ). Если v As+i , то по лемме 4.3

чAi (v ) = чAi-1 (v ) - ч
Заметим, что

As+i Ai-

1

(v ).

sign(ч

Ai-

1

(v )) = (-1)d
s+i

+dim(v )

,

sign(ч

As+i Ai

-1

(v )) = (-1)

d-1+dim(v )

.

Поэтому в случае v A

имеем

|чAi (v )|

|чAi-1 (v )| + 1.

Пусть A набор из n гиперплоскостей в Rd и задано число 1 i d, причем пересечение любых i гиперплоскостей из A непусто и не существует прямой, параллельной всем гиперплоскостям из A. Тогда для функции Мебиуса множества пересечений набора A имеем
Теорема 4.3.


dim(v )=d-i

|ч(v )|

(m - d + 1)

C C

i n

i m-d+i

.

То же неравенство верно для наборов A в вещественных проективных пространствах RPd , причем требуется, чтобы не существовало j мерной плоскости, принадлежащей всем гиперплоскостям при j d - i + 1.
число (d - i)мерных плоскостей из мноДоказательство. Обозначим через aj жества пересечений L(A), принадлежащих j гиперплоскостям, где i j m - (d - i) ((d - i) мерная плоскость не может принадлежать более чем m - (d - i) гиперплоскостям, т.к. найдутся еще не менее чем d - i гиперплоскостей, с которыми у нее непустое пересечение). Каждому поднабору из i гиперплоскостей Ak1 , . . . , Aki из A поставим в соответствие все (d - i)мерные плоскости из L(A), лежащие в непустом пересечении 58
(d-i)


Ak1 ћ ћ ћ Aki . При этом плоскость, принадлежащая j гиперплоскостям, будет учтеi на Cj раз. Поэтому
m-(d-i) i Cn


j =i

a

(d-i) j

m-(d-i) i Cj


j =i

aj

(d-i)

(j - i + 1)

i Cm-d+i . m-d+1

По лемме 4.6 имеем |ч(v )|
m-(d-i)

(j - i + 1), поэтому aj
(d-i)


j =i

(j - i + 1)


dim(v )=d-i

|ч(v )|,

откуда получаем требуемое неравенство. Неравенство (4.3) обращается в равенство для i = 1 и для наборов общего положения для любого i.
Замечание 4.2.

Пусть A набор гиперплоскостей в Rd , удовлетворяющий условиям теоремы 4.3. Пусть Ac набор комплексифицированных плоскостей в Cd . Тогда Ci dim H i (Cd \ Ac ) (m - d + 1) i n . Cm-d+i
Следствие 4.3.

Следует из теоремы 4.3 и факта из [31]:

dim H i (Cd \ Ac ) =
Теорема 4.4.


dim(v )=d-i

|ч(v )|

Пусть A нетривиальный набор гиперплоскостей в проективном пространстве RPd . Пусть m максимальное число гиперплоскостей, имеющих общую точку. Тогда [d] 2 C d-2j n f (m - d + 1) . d-2j Cm-2j j =0 Доказательство. Следует из теорем 4.2 и 4.3.

4.3 Множества чисел областей в разбиениях проективных пространств
Рассмотрим конечный набор A гиперплоскостей (проективных подпространств коразмерности один) в вещественном проективном пространстве RPd . Напомним, что тривиальным называется набор, все плоскости которого проходят через одну точку. Назовем минимальным' нетривиальный набор n гиперплоскостей в RPd , в котором n - d + 1 гиперплоскостей имеют общую d - 2мерную плоскость, а остальные d - 1 гиперплоскостей находятся в общем положении. Шеннон [35] получил нижние точные оценки для числа k мерных плоскостей gk (A) и для числа k мерных клеток
'

перевод термина

near pencil

59


fk (A) в нетривиальных наборах A, состоящих из n гиперплоскостей в RPd и нашел наборы, на которых они достигаются: gk (A) fk (A) n2k C
k+1 k d+1 + (n - d - 1)Cd-1 , k k -1 k -1 Cd-1 (d + 1 - n) - d +2

C

0 k 2k C
k+1 d+1

k ,

d-1 0 k d

(4.1) (4.2)

Частный случай (4.2) для d = k был доказан МакМюлленом:

fd (A)

2d-1 (n - d + 1)

(4.3)

Неравенства (4.1) для 0 k < d и (4.2) для d 2и0 1 1 + Cn -1

+ ... + C

max{n-1,d} n-1

.

Теорема 4.5.

Пусть d элемента множества F

(d) n

3иn 2d + 5. Тогда первые четыре по возрастанию следующие: 3(n - d)2d-2 , (3n - 3d + 1)2
d-2

(n - d + 1)2

d-1

,

,

7(n - d)2

d-3

.

Доказательство. Докажем, что f 7(n - d)2d-3 при m d + 1. Если m = d, то гиперплоскости набора находятся в общем положении и число областей максимальное возможное. Если m = d + 1, то по теореме 4.4 имеем

f

d Cn+1 n (n - 1) (n - 2) (n - 3) (n - d + 2) = ... (n - d + 1) n-d 3 d+1 d d-1 4

7 ћ 2d-3 (n - d)

т.к. n 2d + 5. Теперь докажем теорему для d = 3, n 11. Возьмем нетривиальный набор A в пространстве RP3 , m максимальное число гиперплоскостей с непустым пересечением. Рассмотрим три случая. 2 2 1. m = n - 1. Тогда f (A) = 2, где Fn-1 . Множество Fn-1 известно по теореме Мартинова 2.5:

{f F

2 n-1

|f

4n - 16} = {2n - 4, 3n - 9, 3n - 8, 4n - 16}.

2. m = n - 2. Аналогично случаю 2 из перехода индукции. 3. 5 m n - 3. По лемме 4.5 имеем

f
при n

2(n - m + 1)(m - 1)

8n - 32

7n - 21

11.
60


Для произвольного d 3 используем индукцию по числу d. База d = 3 уже (d) проверена. Предположение индукции первые 4 числа множества Fn имеют указанный вид для любого 3 d
(n - d + 1)2

d-2

,

3(n - d)2

d-3

,

(3n - 3d + 1)2

d-3

,

7(n - d)2d-4 ,

либо > 7(n - d)2d-4 . 2. m = n - 2. Рассмотрим n - 2 гиперплоскости p1 , . . . , pn-2 , имеющих общую d-1 точку. Они делят RPd на областей, где Fn-2 . Обозначим через l пересечение двух оставшихся гиперплоскостей. По предположению индукции

= (n - d)2

d-2

или 3(n - d - 1)2

d-3

(предположение индукции можно использовать т.к. n - 2 2(d - 1) + 5). Если

l
тогда f = 3 и случай разобран. Если

n- 2 i=1

p

i

l /

n-2 i=1

pi ,

тогда обозначим через B множество плоскостей pi l в l, где l рассматривается как объемлющее (d - 2) мерное проективное пространство. Можно доказать, что B это конфигурация как минимум n - 3 плоскостей в l (и пересечение всех ее плоскостей есть пустое множество). Тогда f (B ) (n - d)2d-3 по теореме Шеннона [35]. Поскольку f = 3 + f (B ) 7(n - d)2d - 3, то этот случай разобран. 3. d + 2 m n - 3. По лемме 4.5 имеем

f
при n

(n - m + 1)(m - d + 2)2

d-2

(4n - 4d - 4)2

d-2

7(n - d)2

d-3

d + 8.

Для нетривиальных наборов A из n гиперплоскостей в проективной пространстве RPd n2 - n . f2 m-d+5
Лемма 4.7.

61


Доказательство. Проведем произвольную двумерную плоскость P общего положения по отношению к набору A. Тогда гиперплоскости из A образуют на P набор AP из n прямых, причем в каждой точке пересекается не более m - d + 2 прямые. Из первого неравенства теоремы 2.3 следует

fd (A)

f2 (AP )

n2 - n 2 . m-d+5
i1

Лемма 4.8.

n

Пусть k1 , . . . , ks натуральные числа, k = k + d - s + 1. Тогда

ki . Пусть d

s+2 и

F

(d) n

{ ћ
(d-s)

s i=1

(ki + 1) | F

(d-s) n- k

}.

(4.4)

Доказательство. Пусть Fn-k . Возьмем набор A0 из n - k гиперплоскостей в проективном пространстве RPd-s , такой что fd-s (A0 ) = . Построим набор A1 из n - k + k1 гиперплоскостей в проективном пространстве RPd-s+1 , такой что fd-s+1 (A1 ) = (k1 + 1). Для этого возьмем конус над набором A0 с центром в точке O и добавим k1 гиперплоскостей, проходящих через (d - s - 1)мерную плоскость U , лежащую на какой-нибудь плоскости из A0 и не содержащую точку O. Построенный набор будет нетривиальным. Аналогично построим наборы A2 , . . . , As . В итоге

f (As ) = ћ

s i=1

(ki + 1) F

(d) n

.

Следствие 4.4.

Множество Fn
d-2 d-2

(d)

содержит числа
d-2

(2n - 2d + 2)2 (4n - 4d - 3)2

, (3n - 3d)2

, (3n - 3d + 1)2

d-2

, (4n - 4d - 4)2

d-2

, .

, (4n - 4d - 2)2

d-2

, (4n - 4d - 1)2

d-2

, (5n - 5d - 10)2

d-2

Напомним, что проективные подпространства размерностей i и j пространства RPn находятся в общем положении, если их пересечение есть i + j - n-мерное проективное подпространство при i + j n и пустое множество при i + j < n. Скажем, что проективное подпространство находится в общем положении относительно конфигурации гиперплоскостей, если оно находится в общем положении с гиперплоскостями и всеми пересечениями любого количества гиперплоскостей. ([37] ) Пусть A3 набор из n плоскостей в RP3 , набор A3 -1 получен n n из A3 удалением плоскости U . Пересечения плоскостей из A3 -1 с плоскостью U n n образуют набор A2 прямых на U . Тогда
Лемма 4.9.

f (A3 ) = f (A n

3 n-1

) + f (A2 ).

62


Для набора Am гиперплоскостей в RPm обозначим через tj число j мерных n i клеток, принадлежащих i гиперплоскостям для 0 j m - 1. Тогда число областей f (Am ) можно выразить через tj аналогично формулам Заславского [37]. n i
Предложение 4.1.

Если пересечение всех n гиперплоскостей набора Am есть точn ка или пустое множество, то
n ( f (A ) = 1 + (i - 1) t0 - t1 + t2 - ћ ћ ћ + t i i i m n i=1 n i=1 m-2 i

)

для четного для нечетного

m, m.

(4.5) (4.6)

f (Am ) = n + n

( (i - 1) -t0 + t1 - t2 + ћ ћ ћ + t i i i

m-2 i

)

j Доказательство. Занумеруем гиперплоскости и обозначим через qi число j -мерных клеток, принадлежащих i-й гиперплоскости. Для четных m посчитаем эйлерову характеристику i-й гиперплоскости 0 1 qi - qi + ћ ћ ћ - q m-1 i

=0

Заметим, что



j i qi

=
1


i

t

m-1 i

= tm- 1

itj для j = 0, . . . , m - 1. Следовательно, i m m 0 = qi - 1 = (qi -2 - ћ ћ ћ + qi ) = i(tm-2 - ћ ћ ћ + t0 ). i i
i i i i



Теперь используем эйлерову характеристику RPm :

f =1-


i

(t - t + ћ ћ ћ - t
0 i 1 i

m-1 i

n ( ) )=1+ (i - 1) t0 - t1 + t2 - ћ ћ ћ + tm-2 . i i i i i=1

Для нечетных m доказательство аналогично.

(аналог неравенства Мельхиора [27]). Пусть максимальное число плоскостей набора, имеющих общую точку, равно m. Если m < n, то (i - 2)t0 n + (i - 2)t1 . i i
Предложение 4.2.
i3 i2 2 Доказательство. Обозначим через qi число областей пересечениями с остальными плоскостями. Если m < сти RP3 ограничены не менее чем четырьмя гранями, Используя лемму 4.1, получаем ( n+ it1 - it0 2 n + (i - 1)t1 - i i i i i i

i-й плоскости, разделенной n, то все трехмерные облаn 2 2f (A3 ). поэтому n j =1 qi
i

) (i - 1)t
0 i

.

63


Первые 36 по возрастанию чисел множества Fn для n ющие (т.е. все реализуемые числа областей вплоть до 12n - 60)
Теорема 4.6.

(3)

50 следу-

4n - 8n - 26 10n - 44, 11n - 44,

8, 6n - 18 , 9n - 36, 10n - 42, 11n - 43,

, 6n - 16, 9n - 33, 10n - 40, 11n - 42, 12n - 66,

7n - 21, 9n - 31, 9 10n - 39, 11n - 41, 12n - 64,

7n - 20, 8n - 32, 8n - 30, 8n - 28, n - 30, 10n - 50, 10n - 48, 10n - 46, 10n - 38, 10n - 37, 10n - 36, 10n - 35, 11n - 40, 12n - 72, 12n - 70, 12n - 68, 12n - 62, 12n - 60.

Доказательство. Докажем, что другие числа, меньшие 12n - 60, не принадлежат (3) множеству Fn . Рассмотрим набор A из n гиперплоскостей, f = f (A). Пусть m максимальное число плоскостей, имеющих непустое пересечение. Рассмотрим три случая. 1. m n - 5. Перебором убеждаемся, что число f или принадлежит указанному множеству, или больше чем 12n - 60. Все указанные числа областей реализуются наборами плоскостей с m n - 5. 2. 8 m n - 6. Тогда по лемме 4.5 имеем f 7n - 49. 3. m 7. По лемме 4.7

f
при n

2

n2 - n 9

12n - 60

50.

Замечание 4.3. Как видно из теоремы 4.6, множество чисел областей достаточно сложно устроено уже для разбиений плоскостями трехмерного проективного пространства. Поэтому неудивительно отсутствие точного (формульного) описания мно( ) жеств F RPd , n для d > 2. Возможно, целесообразно ставить вопрос о плотности распределения реализуемых чисел на определенных, достаточно больших отрезках. Разбиения трехмерных проективных пространств всевозможными наборами плоскостей.

Здесь мы откажемся от требования нетривиальности наборов из n плоскостей в вещественном d мерном проективном пространстве и узнаем, что тогда можно d будет сказать о множествах чисел областей, которые будем обозначать через Fn . d Максимальное число множества Fn обозначим через fmax (d, n). Нас будут интересоd 2 3 вать преимущественно множества Fn , т.к. множества Fn известны, а множества Fn 3 при d > 3, вероятно, более сложны, чем Fn .
Пример 4.1.
3 2 Множества Fn и Fn для n

7.
3 Fn 3, 4 6, 7, 12, 16, 22,

2 n Fn 3 3, 4 4 4, 6, 7 4, 5 5, 8 11 5, 8 6 6, 10, 12 16 6, 10, 12 7 7, 12, 15 22 7, 12, 15

8 14, 15 18, 20 26 24, 26 42

64


Обозначим через Lm множество целых чисел между n и f n мых при данных m и n в качестве чисел областей, т.е.

max

(m, n), не реализуе-

L m = {f N | n n

f

f

max

m (m, n)} \ Fn .

Подмножества множества Lm , состоящие из подряд идущих целых чисел будем наn зывать лакунами (вслед за [2]) и нумеровать по порядку возрастания содержащихся чисел. Обозначим через dn при n 3 число [ ] 23 1 dn = 2n - . - 4 2
2 Для двумерного случая множества Fn были найдены в [26] и оказалось, что число 2 лакун в множестве Ln равно dn и что dn { i=1

L2 n

=

g N | i(n - i + 1) + C

2 i-1

} < g < (i + 1)(n - i) .

Заметим, что при n = 6 и n = 7 (см. пример 4.1) множество L3 содержит больn ше чисел, чем множество L2 . Однако при достаточно больших n оказывается, что n множество L3 содержится в множестве L2 . n n
Теорема 4.7.

L3 L2 при n n n
При n

71.

3 Естественно попробовать найти несколько первых чисел множества Fn .

Теорема 4.8.

{ 3 f Fn | f
2n - 2
? r r 6

16 верно }{ 2 6n - 16 = f Fn | f
4n - 12
rrrrr rr ? 6

} 6n - 16 {4n - 8, 6n - 18, 6n - 16}.
2 Cn + 1

6n - 30 6n - 18

n

3n - 6

5n - 20

? rrrrrrrrrrr ? t t rrrrrrr ? r r rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr t 6 6 6

(dn + 1)(n - dn )

3 Cn + n

3 Рис. 10: Множество Fn для больших n

Для доказательств теорем 4.7 и 4.8 нам понадобятся вспомогательные леммы. 2 Обозначим через qn и n соответственно числа (dn + 1)(n - dn ) и 1 + Cn - qn .
Лемма 4.10.

При n

71 верно 3q
n-2

+n-4

n2 - n + 2. 2

65


Доказательство. Преобразуем неравенство, произведя замену n = m + 2 и q (dm + 1)(m - dm ) к виду

m

=

(m - (3dm + 2.5))
2

2

) 1( 2 32dm + 56dm - 15 4

(4.7)

Так как m dm +dm + 3 (по определению числа dm , см. раздел 2.3) и m 69, dm 11, 2 2 то неравенство (4.7) достаточно доказать для m = dm +dm + 3. В этом случае оно 2 имеет вид (d2 - 5dm + 1)2 32d2 + 56dm - 15 m m и выполняется, поскольку число (6dm + 1)2 отделяет левую часть неравенства от правой при dm 11. Напомним, что

f

max

2 (2, n) = 1 + Cn

иf

max

3 (3, n) = n + Cn . max

Зафиксируем число n конфигурации гиперплоскостей в RP3 . Обозначим через f и fmin (i) числа

(i)

f

max

3 3 (i) = n + Cn - Cn

-i-1

,

f

min

(i) = f

max

(i) - (i + 1)

n- i

-i

(4.8)

для 2 i n - 3. Заметим, что fmax (i) это максимальное число областей, образованных конфигурациями n плоскостей в RP3 , в которых существует точка, общая для i плоскостей.
Лемма 4.11.

f

max

(i - 1)

f

min

(i) при 3

i

n-4 и n
max

7.
min

Доказательство. Пользуясь определениями чисел f исходное неравенство в виде

(i - 1) и f

(i), перепишем

(i + 1)

n- i

+i

2 Cn

-i-1

.

Для i = n - 4 и i = n - 5 (4 = 1, 5 = 3) оно верно. Считаем далее, что i n - 6, сделаем замену n - i = m. Теперь достаточно доказать неравенство для i = 3:

4m + 3

2 Cm-

1



m2 + m(d2 - 7dm - 3) + 8(d2 + dm ) + 12 m m 6 и dm 2.

0.

Последнее неравенство заведомо выполняется при m
Лемма 4.12.

2 Если dm 2, то любое целое число между qm и 1 + Cm есть число областей конфигурации A2 прямых на проективной плоскости со следующим условием. Либо найдется точка Q3 , принадлежащая ровно трем прямым из A2 , либо найдутся две различные точки Q2 и Q2 , каждая из которых принадлежит ровно двум прямым из A2 и такими, что прямая Q2 Q2 не проходит через другие точки пересечения прямых из A2 и не принадлежит A2 .

66


2 Доказательство. В [26] любое целое число между qm и 1 + Cm реализовалось следующим образом. Через одну точку проведено n - k прямых u1 , . . . , un-k . Остальные k прямых находятся в общем положении друг относительно друга, причем l их точек пересечения лежат на прямых u1 , . . . , un-k . При этом из dm 2 следует, что 2 k n - 2. Если l 1, то лемма доказана, т.к. найдена точка Q3 . Если l = 0, то k прямых un-k+1 , . . . , un общего положения можно провести так, что две точки пересечения Q2 = u1 un-k+1 , Q2 = u2 un-k+2 будут удовлетворять условию леммы.

Напомним, что проективные подпространства размерностей i и j пространства RPn находятся в общем положении, если их пересечение есть i + j - n-мерное проективное подпространство при i + j n и пустое множество при i + j < n. Скажем, что проективное подпространство находится в общем положении относительно конфигурации гиперплоскостей, если оно находится в общем положении с гиперплоскостями и всеми пересечениями любого количества гиперплоскостей. ([37] ) Пусть A3 набор из n плоскостей в RP3 , набор A3 -1 получен n n из A3 удалением плоскости U . Пересечения плоскостей из A3 -1 с плоскостью U n n образуют набор A2 прямых на U . Тогда
Лемма 4.13.

f (A3 ) = f (A n
Лемма 4.14.

3 n-1

) + f (A2 ).

Пусть m плоскостей конфигурации A3 проходит через одну точку и n образуют (без остальных плоскостей из A3 ) fm областей. Тогда n ) ( n + 2m - 2 3 2 . fm (1 + n - m) f (An ) fm (1 + n - m) + Cn-m 3 Доказательство. Индукция по n - m, используя лемму 4.13. Правое неравенство обращается в равенство, если остальные n - m плоскостей находятся в общем положении с m плоскостями. Пусть 2 i n-4 и n целые числа отрезка [fmin (i), fmax (i)].
Лемма 4.15.
3 9. Тогда множество Fn содержит все

Доказательство. Любое целое число f , f [fmin (i), fmax (i)] можно представить в виде ( ) 2 2 (4.9) f = (i + 1)fn-i + Ci n - (i + 1) - r, 3
2 где 0 r i и qn-i fn-i 1 + Cn-i . Построим пример набора гиперплоскостей, 3 делящего RP на f областей, где f вида (4.9). Возьмем набор A2 , состоящий из n - i прямых на проективной плоскости, удовлетворяющий условию леммы 4.12, делящий плоскость на f (A2 ) = fn-i областей (это понадобится в дальнейшем только в случаях (в) и (г)). Вложим RP2 RP3 , выберем точку O RP2 и проведем плоскости / U1 , . . . , Un-i через точку O и прямые из A2 . Получим набор A3 -i , состоящий из n - i n плоскостей в RP3 . Заметим, что любая плоскость U , не проходящая через точку O, в пересечении с A3 -i образует конфигурацию прямых на U , проективно эквивалентn ную A2 . Проведем плоскости Un-i+1 , . . . , Un в общем положении по отношению друг

67


к другу и к набору A3 -i . Обозначим через A2 -i+j конфигурацию прямых Uk Un-i+j , n n где 1 k < n - i + j на проективной плоскости Un-i+j для 1 j i. Через A3 -i+j n обозначим набор плоскостей U1 , . . . , Un-i+j в RP3 . Тогда

f (A3 n

-i+j

) = f (A3 n )=f

-i+j -1

) + f (A2 n

-i+j

) при

1

j

i;
2 + Cn

f (A

3 n-i

)=f

n- i

.

Заметим, что

f (A

2 n-i+j

n- i

+ (n - i) + ћ ћ ћ + (n - i + j - 2) = f
i j =1

n- i

-i+j -1

-C

2 n-i

.

Следовательно,

f(

A3 n

)=f

n-i

+

f (A

2 n-i+j

) = (i + 1)f

n- i

( ) 2 + C n - (i + 1) . 3
2 i

Таким образом, получен набор A3 плоскостей с числом областей f (A3 ) вида (4.9) n n при r = 0. Для r > 0 нарушим общность положения плоскостей Un-i+1 , . . . , Un (сжимая области в точки). При этом плоскости Un-i+1 , . . . , Un будут "почти" общего положения, такие что 2 2 f (A2 -i+j ) = fn-i + Cn-i+j -1 - Cn-i - aj , n где aj неотрицательные целые числа и i =1 aj = r. Если удастся провести плоскоj сти Un-i+1 , . . . , Un таким образом, то получится набор из n плоскостей с требуемым в (4.9) числом областей для любого 0 r i. Рассмотрим четыре случая. Случай (а): 0 < r i - 1. Проведем плоскость Un-i+1 произвольным образом, но не через точку O. Тогда f (A2 -i+1 ) = fn-i > n - i. n Следовательно по теореме Сильвестра-Галлаи найдется точка P1 , принадлежащая ровно двум прямым из конфигурации A2 -i+1 . Проведем плоскость Un-i+2 через точn ку P1 так, чтобы прямая Un-i+1 Un-i+2 не проходила бы через другие точки пересечения конфигурации A2 -i+1 . Тогда a1 = 1, т.е. за счет точки P1 пропала одна область. n Проделаем то же самое с плоскостями Un-i+3 , . . . , Un-i+r+1 . А именно, выберем точку Pj , принадлежащую ровно двум прямым из A2 -i+j и проведем плоскость Un-i+j +1 n через точку Pj так, чтобы плоскость Un-i+j +1 не проходила бы через другие точки пересечения прямых конфигураций A2 -i+1 , . . . , A2 -i+j . Индекс j принимает значения n n от 1 до r. Точки Pj существуют по теореме Сильвестра-Галлаи. Множество точек пересечения прямых конфигураций A2 -i+1 , . . . , A2 -i+j конечно, следовательно проn n вести плоскость Un-i+j +1 можно. Остальные плоскости Un-i+r+2 , . . . , Un проведем в общем положении. Нетрудно видеть, что

a2 = a3 = . . . = a

r+1

= 1,

a1 = a

r+2

= . . . = ai = 0 .

Случай (б): r = i 4. Проведем плоскости Un-i+1 и Un-i+2 так же, как в случае (а). Плоскость Un-i+3 проведем через точку P1 так, чтобы плоскость Un-i+3 не содержала бы других точек пересечения прямых конфигураций A2 -i+1 и A2 -i+2 . Проn n ведем плоскости Un-i+4 , . . . , Un-i+r-1 аналогично случаю (а). Остальные плоскости Un-i+r , . . . , Un будут в общем положении. Тогда получим

a3 = 3,

a2 = a4 = . . . = a

r -1

= 1,

a1 = ar = . . . = ai = 0.

68


Случай (в): r = i = 2. Проведем плоскость Un-1 произвольным образом не через точку O и получим конфигурацию прямых A2 -1 , удовлетворяющую условию леммы n 4.12. Следовательно, существует либо точка Q3 , либо точки Q2 и Q2 . Тогда проведем плоскость Un через точку Q3 или через прямую Q2 Q2 соответственно так, чтобы плоскость Un не проходила бы через другие точки пересечения прямых из A2 -1 . n Получим a1 = 0, a2 = 2. Случай (г): r = i = 3. Проведем плоскости Un-2 и Un-1 так же, как были проведены плоскости Un-1 и Un в случае (в). Плоскость Un проведем аналогично плоскостям Un-i+j +1 для 1 < j r из случая (а). Тогда a1 = 0, a2 = 2, a3 = 1. Итак, разобраны все случаи и построены примеры наборов плоскостей с числом областей типа (4.9). Такие наборы, вообще говоря, не единственны. Если все проективные плоскости набора A3 проходят через одну n 2 общую точку P , то f (A3 ) Fn . Если все кроме одной проективные плоскости n набора A3 проходят через одну общую точку P и образуют fn-1 областей, то n f (A3 ) = 2fn-1 . n
Лемма 4.16.

Доказательство. Докажем первое утверждение. Рассмотрим проективную плоскость U , не содержащую точку P . Пусть плоскости набора A3 пересекаются с плоскостью n U по прямым u1 , . . . , un и A2 = {u1 , . . . , un }. Каждой точке X , не лежащей на плоскоn стях i Ui проективного пространства поставим в соответствие точку Y = P X U пересечения прямой P X с плоскостью U . При этом соответствии трехмерным областям, образованным плоскостями U1 , . . . , Un будут взаимно однозначно соответствовать двумерные области, образованные прямыми u1 , . . . , un на плоскости U . Поэтому 2 f (A3 ) = f (A2 ), т.е. f (A3 ) Fn . Второе утверждение следует из леммы 4.14. n n n
Лемма 4.17.

Если не существует точки, принадлежащей не менее чем m + 1 проективной плоскости из набора A3 , состоящего из n плоскостей и m < n, то n

f (A3 ) n

2

n2 - n + 2(m - 1) . m+2

Доказательство. Любая прямая принадлежит не более чем m - 1 проективной плоскости из A3 . Рассмотрим плоскость U общего положения относительно A3 . Пересеn n чения плоскостей из A3 с плоскостью U объединим в набор A2 , состоящий из n n n прямых и разбивающий плоскость U на f (A2 ) областей. Каждой двумерной области n h U соответствует трехмерная область в H RP3 , образованная A3 , такая что n h = H U . Поэтому f (A2 ) f (A3 ). Для набора A2 на плоскости U не существует n n n точки, принадлежащей хотя бы m прямым из A2 . Осталось применить неравенство n пункта (а) теоремы 2.3: Если не существует точки, принадлежащей не менее чем m проективным прямым из набора A2 прямых на проективной плоскости и m n, то n (2 ) n - n + 2(m - 1) 2 f (An ) 2 . m+2
3 Доказательство теоремы 4.7. Согласно лемме 4.15 множество Fn содержит все целые числа между fmin (i) и fmax (i) для всех 2 i n - 4. Из леммы 4.11 вытекает,

69


что отрезки [f Поскольку

min

(i), f

max

(i)] покрывают все целые числа от f
аf

min

(2) до f
2 Cn + 2

max

(n - 4).

f

max

3 (n - 4) = n + Cn - 1,

min

(2) = 3q

n- 2

+n-4

3 при n 71 по лемме 4.10, то множество Fn содержит (при n 71) все целые числа 2 3 между 1 + Cn и n + Cn (включительно). Поэтому любое нереализуемое в качестве 3 2 2 3 числа областей на RP число g L3 меньше 1 + Cn и, поскольку Fn Fn , также не n реализуется на RP2 . Следовательно, L3 L2 . Осталось заметить, что L3 = L2 при n n n n n 13, т.к. 4n - 8 L3 и 4n - 8 L2 . /n n Доказательство теоремы 4.8. Обозначим через f число областей f (A3 ). Обозначим n через m максимальное число плоскостей набора A3 , проходящих через одну точку. n 2 Обозначим через fm Fm число областей, образованных проходящими через одну 2 точку m плоскостями из A3 . Если m = n, то по лемме 4.16 имеем f Fn . Если m < n, n то fm 2m - 2, т.к. иначе m плоскостей имели бы общую прямую, а значит нашлись бы m + 1 плоскость, имеющие общую точку. Если m = 3, то плоскости находятся в 2 общем положении и f = n + C3 > 6n - 16 при n 7. Рассмотрим остальные случаи. 2 Случай 1, m = n - 1. Тогда по лемме 4.16 получаем f = 2fn-1 , fn-1 Fn-1 . Случай 2, m = n - 2. Тогда по лемме 4.14 имеем f 3fn-2 . Если fn-2 2n - 5, то f 6n - 15. Если fn-2 = 2n - 6, то из m плоскостей, имеющих общую точку P , m - 1 плоскость имеют общую прямую l. Обозначим через U1 , U2 , U3 плоскости набора, не проходящие через прямую l, причем плоскость U3 содержит точку P . Обозначим через l1 прямую U1 U2 . Если l1 U3 , то f = 6n - 18. Иначе l1 не пересекается с l. Следовательно, l1 пересекает m плоскостей не менее чем в n - 3 точках и по лемме 4.13 имеем f 7n - 21. Случай 3, 5 m n - 4. По лемме 4.14 имеем

f

fm (n - m + 1)

2(m - 1)(n - m + 1) 16 имеем 6n - 16.

6n - 16.

Случай 4, m = 4. По лемме 4.17 при n

f

n2 - n + 6 3

Пусть проективные плоскости набора A3 -k проходят через одну обn щую точку и пусть есть еще набор A3 плоскостей, никакие три из которых не имеют k общей прямой. Пусть наборы A3 -k и A3 находятся в общем положении друг относиn k тельно друга, т.е вершины A3 -k не лежат на плоскостях из A3 и наоборот, ребра A3 n k k не проходят через ребра A3 -k . Тогда n
Пример 4.2.

f (A
Пример 4.3.

3 n-k



A3 ) = (k + 1)f (A3 -k ) + (n - k ) k n

k (k - 1) + f (A3 ) - k . k 2

Возьмем набор A2 -k прямых на некоторой проективной плоскости и n еще одну прямую l на этой же плоскости. Пусть прямые из A2 -k пересекают прямую l n в q точках, причем l не совпадает ни с какой прямой из A2 -k . Теперь построим набор n 70


из n проективных плоскостей. Пусть n - k проективных плоскостей проходят через общую точку P и через прямые набора A2 -k с соответствующими номерами. Пусть n оставшиеся k плоскостей проходят через прямую l и не проходят через точку P . Тогда при 2 k n - 2 для построенного набора A3 верно f (A3 ) = (k + 1)f (A2 -k ) + n n n (k - 1)q .
Пример 4.4.

Возьмем набор A2 -k прямых на некоторой проективной плоскости n и выберем из него две прямые, l1 и l2 . Пусть точка пересечения прямых l1 и l2 принадлежит r прямым из A2 -k . Построим набор A3 из n проективных плоскостей n n в проективном пространстве. Пусть n - k проективных плоскостей проходят через общую точку P и через прямые набора A2 -k с соответствующими номерами. Пусть n k = k1 + k2 , где k1 1 и k2 1. Пусть оставшиеся k плоскостей не проходят через точку P , причем k1 плоскостей из них проходят через прямую l1 , а k2 плоскостей проходят через прямую l2 . Тогда при 2 k n - 2 верно

f (A3 ) = (k + 1)f (A3 ) + (n - k - r + 1)k1 k2 . n n

4.4 Разбиения плоских dмерных торов и пространств Лобачевского
Плоским d-мерным тором T d называется факторпространство аффинного dмерного вещественного пространства Rd по d-мерной решетке Z d (не обязательно решетке целых чисел). Подтор коразмерности один в T d задается уравнением ai xi = c,
Определение 4.2.
i

где ai рациональные числа, xi координаты пространства Rd в каком-нибудь базисе, построенные по какому-нибудь базису решетки Z d , c произвольное вещественное число.
Подтор коразмерности один замкнутое подмногообразие в торе T d , гомеоморфное (d - 1) мерному тору. ( ) Теорема 4.9. Множество F T d , n всех возможных чисел компонент связности дополнений в d-мерном плоском торе к объединениям n плоских подторов коразмерности один содержит множество ( ) F T d , n {n - d + 1, . . . , n} {l N | l 2(n - d).}

Доказательство. Пусть T d = Rd /Z d и в решетке Z d выбран базис e. Пусть (x1 , . . . , xd ) координаты пространства Rd в базисе e. Построим примеры конфигураций с числом f связных компонент отдельно для f n и для f 2n - 2d. Рассмотрим набор из n гиперплоскостей в Rd (каждое уравнение соответствует одной гиперплоскости):

xk

+1

xi = 0, 1 i k , = ci-k , k + 1 i
71

n


для некоторого целого k , 0 k d - 1 и вещественных чисел ci-k с различными дробными частями. При отображении факторизации Rd Rd /Z d получится набор } { d-1 Ti , i = 1, . . . , n из n подторов коразмерности один. При этом дополнение гомеоморфно прямому произведению ( ) ( )d-k-1 Td \ Tid-1 Rk Ч S 1 \ {p1 , . . . , pn-k } Ч S 1 ,
i

где через S \ {p1 , . . . , pn-k } обозначена окружность без n - k точек. Отсюда число связных компонент дополнения равно n - k , где k любое целое число, такое, что 0 k d - 1. Теперь возьмем целое неотрицательное число k и построим пример конфигурации с 2n - 2d + k связными компонентами дополнения. Зададим подторы уравнениями:
1

xi = 0,

где 2

i

d,

x1 = c
причем числа k cj + трех подторов
1 2

j

1 x2 = k x1 + , 2 для j = 1, . . . , n - d,

не целые ни при каких j . (Это условие того, что пересечение

1 x2 = k x1 + , x1 = cj , x2 = 0 2 является пустым множеством.) Нетрудно видеть, что T\
d d

{xi = 0} T 2 Ч R

d-2

.

i=3

В двумерном торе уравнения

x2 = 0, 1 x2 = k x1 + , 2 x1 = cj для j = 1, . . . , n - d
задают набор из n - d + 2 замкнутых геодезических, объединение которых делит тор на 2n - 2d + k связных компонент (более подробно разбиение двумерных торов геодезическими обсуждалось в разделе 3.3).
Разбиения пространства Лобачевского наборами подпространств коразмерности один

В качестве модели m-мерного пространства Лобачевского Lm возьмем множество точек

{(x1 , . . . , xm ) R

m

| xm > 0}

с метрикой

ds2 =

dx2 + . . . + dx2 m 1 . 2 xm

Вполне геодезические подмногообразия коразмерности один это гиперплоскости пространства Лобачевского, т.е. евклидовы полусферы с центром на абсолюте и евклидовы полуплоскости, перпендикулярные абсолюту xm = 0. 72


Теорема 4.10.

Пусть n различных гиперплоскостей m-мерного пространства Лобачевского делят последнее на f областей. Тогда

n+1

f

1 2 m 1 + Cn + Cn + ћ ћ ћ + Cn ,

(4.10)

i где биномиальный коэффициент Cn считается равным нулю при i > n. Любое целое число f , удовлетворяющее неравенствам (4.10) для фиксированных n и m, может реализоваться как число областей m-мерного пространства Лобачевского, разделенного n-гиперплоскостями.

Для доказательства теоремы понадобятся следующие определения и лемма. Обозначим пространство плоскостей коразмерности один в Lm через H m . Обозначим пространство наборов, состоящих из n различных упорядоченных плоскостей коразмерности один в Lm через Anm H m Ч . . . H m . Фиксируем числа m и n. Пусть A1 и A2 два различных набора из Anm . Деформацией набора A1 в набор A2 назовем непрерывное отображение s : [0, 1] Anm , такое что s(0) = A1 и s(1) = A2 . Число областей, образованных набором A Anm в пространстве Лобачевского Lm , обозначим через f (A). Назовем момент времени t0 [0, 1] критическим, если число областей f (s(t)) не постоянно в любой сколь угодно малой окрестности точки t0 [0, 1]. В дальнейшем мы будем рассматривать только деформации с конечным числом критических моментов времени, при этом точки 0 и 1 не критические. В критический момент t0 изменяется число областей, причем изменяется на

|f (s(t0 + )) - f (s(t0 ) - )|
для достаточно малого . Назовем набор A Anm исключительным, если существует деформация s(t) со следующим свойством. Для некоторого критического момента t0 верно A = s(t0 ) и число областей изменяется при деформации s(t) в момент t0 не менее чем на два.

Множество исключительных наборов есть подмножество коразмерности два в Anm .
Лемма 4.18.

Доказательство. Если в момент t0 исчезает область, то ограничивающие ее гиперплоскости (при t < t0 , не уменьшая общности), возможно, вместе с абсолютом будут проходить при t = t0 через одну точку (которая может быть на абсолюте). Это некоторое условие, выполняющееся на поверхности коразмерности один в Anm . Если при t = t0 исчезают по крайней мере две области, то они были ограничены разными множествами гиперплоскостей (в которых, возможно, некоторые гиперплоскости совпадали). Поэтому условия исчезания областей независимы и одновременно выполняются на поверхности коразмерности не менее двух в Anm . Доказательство теоремы 4.10. Неравенство f n + 1 доказывается индукцией по n. Другое неравенство из (4.10) доказывается по паре индукций по m и n. Внешняя индукция по m, база m = 2, предположение неравенство выполняется для размерностей, меньших m, и любого числа n. Индукция по n внутренняя, база n = 1, предположение неравенство выполняется для данной размерности m и меньшего числа гиперплоскостей. Выкладки такие же как и в доказательстве аналогичной оценки для гиперплоскостей в евклидовом пространстве (формулы Шлеффли).
73


Докажем, что любое целое число f , удовлетворяющее (4.10) может быть числом областей. Рассмотрим набор из n гиперплоскостей евклидового пространства Rm общего положения, в котором все ограниченные области имеют достаточно малый диаметр и располагались в верхнем полупространстве xm > 0. Заменим теперь гиперплоскости евклидового пространства на касающиеся их гиперплоскости пространства Лобачевского. Для достаточно малого диаметра ограниченных областей при замене гиперплоскостей число областей (всех, не только ограниченных) не изменится и будет равно

f

max

1 2 m = 1 + Cn + Cn + ћ ћ ћ + Cn .

Возьмем построенный набор гиперплоскостей в Lm в качестве A1 , а набор из n непересекающихся гиперплоскостей в качестве A2 . Поскольку множество коразмерности два не делит пространство Anm на связные компоненты, то наборы A1 и A2 можно соединить деформацией s(t), не проходящей через исключительные наборы. Тогда число областей наборов s(t) изменяется в каждый критический момент времени не более, чем на один. Следовательно, любое число областей f , такое что n + 1 f fmax , встречается в наборах деформации s(t). Для двумерной плоскости Лобачевского можно явно построить набор прямых, делящий плоскость на f областей, где
Замечание 4.4.

n+1

f

1+

n(n + 1) . 2

Для этого представим число f в виде суммы

f =n+1+

k (k - 1) +l 2

для целых чисел l, k , таких, что 1 k n-1 и 0 l k . Расположим k прямых p1 , . . . , pk так, что любые две из них пересекаются и никакие три из них не пересекаются в одной точке. Проведем прямую pk+1 так, что она пересекает ровно l из прямых p1 , . . . , pk и не проходит через точки их попарных пересечений. Каждая из остальных прямых pk+2 , . . . , pn не пересекается ни с какой прямой этого набора. - Нетрудно увидеть, что получится n + 1 + k(k2 1) + l областей плоскости Лобачевского.

5

Заключение.

Множества чисел f связных компонент дополнения описаны в работе в той или иной мере для ряда конфигураций подмногообразий. В тех случаях, когда множества F удавалось найти явно или практически явно, алгоритм нахождения множеств был следующий:

ћ ввести параметр m вырождения конфигурации подмногообразий (например, максимальное число пересекающихся в одной точке); ћ перебрать все комбинаторные типы конфигураций с большой степенью вырождения;
74


ћ реализовать почти все возможные значения числа f конфигурациями со средней степенью вырождения; ћ доказать, что число f связных компонент не может принадлежать лакуне множества F (если они есть). Для этого найти нижние оценки числа f через m и n.
Самым трудным и часто с необходимостью использующим различные результаты и теории является последний пункт, а именно, нижние оценки. Поэтому получение новых нижних оценок представляется более интересной и перспективной задачей, чем описание множеств чисел связных компонент. Имеет смысл (а вероятно, и приложения найдутся) строить нижние оценки для конфигураций с различными параметрами вырождения, например, гомологического характера. При изучении наборов геодезических на поверхностях с гиперболической метрикой, возможно, окажется полезной следующая

Пусть S бесконечное семейство связных замкнутых кривых по связном компактном двумерном многообразии M без края. Пусть (L) количество кривых из S длины не более L. Пусть fmin (M , n) минимальное возможное число связных компонент дополнения в M к объединению n различных кривых из S . Тогда функция fmin (M , n) монотонно не убывает и при L > 0
Гипотеза 5.1.

f

min

(M , (L))

cM nL

для некоторой константы cM , зависящей от M .
Благодарности. Глубоко признателен своему научному руководителю А. Т. Фоменко за постановки задач и внимание к работе. Глубоко благодарен Н. П. Долбилину, Е. А. Кудрявцевой и В. Ю. Протасову за неоднократные обсуждения задач и полезные ссылки на литературу. Особенно поблагодарить хотелось бы В. И. Арнольда, привлекшего внимание к задаче и популяризировавшего ее в открытой лекции 2007 г.

Список литературы
[1] А. Д. Александров, Одна теорема о выпуклых многогранниках, Тр. Физ.матем. ин-та им. В. А. Стеклова, 4, c. 87. Л.: изд-во АН СССР, 1933. [2] В.И. Арнольд, На сколько частей делят плоскость n прямых? Матем. просвещение сер. 3 (2008) 12, 95104. [3] В. А. Васильев, Топология наборов плоскостей и их дополнений.Успехи математических наук (2001) Т. 56. 2(338). C. 167 203. [4] В.В. Прасолов, И.Ф. Шарыгин. Задачи по стереометрии. М.: Наука, 1989

75


[5] В. Ю. Протасов, Замкнутые геодезические на поверхности симплекса. Матем. сб. 198:2 (2007), 103 120. [6] В.Ю. Протасов, О числе замкнутых геодезических на многограннике. Усп. Матем. Н. 63:5, (2008) 197 198. [7] И. В. Птицына, Классификация замкнутых минимальных сетей на тетраэдрах. Матем. сб. 185, N 5 (1994), 119 138. [8] Г. Л. Рыбников, О фундаментальной группе дополнения к комплексной конфигурации гиперплоскостей, Функц. анализ и его прил., 45:2 (2011), 71 85. [9] С. А. Юзвинский, Алгебры ОрликаСоломона в алгебре и топологии.Усп. Матем. Н., 56:2(338) (2001), 87 166. [10] J.G. Bastereld, L.M. Kelly, A characterization of sets of n points which determine n hyperplanes. Proc. Cambridge Philos. Soc. 64 (1968) 585588. [11] R.C. Buck, Partition of space // Amer. Math. Monthly
105

N 5, (1943) 541 544.

[12] P. Brass, W. Mozer, J. Pach, Incidence and Arrangement Problems. In Research Problems in Discrete Geometry, Springer 2005. Chapter 7, pp. 289324. [13] R. Cordovil, Sur l'?valuation t(M ; 2, 0) du polyn^me de Tutte d'un matroide et une e o conjecture de B. Grunbaum r?lative aux arrangements du droites du plan. European Е e J. Combin. (1980) 1, 317-322. [14] J. Csima, E.T. Sawyer, There exist (1993) 9, 187-202.
6n 13

ordinary points. Discrete Comput. Geom.

[15] J. Csima, E.T. Sawyer, The 6n theorem revisited. In: Graph Theory, Combinatirics, 13 Algorithms and Applications Vol. 1. Wiley, New York, 1995, pp. 235-249. [16] P. Deshpande, Arrangements of Submanifolds and the Tangent Bundle Complement. Electronic Thesis and Dissertation Repository, Paper 154 (2011). [17] R. Ehrenborg, M. Readdy, M. Slone, Ane and toric hyperplane arrangements. Discr. Comp. Geom. 41:4 (2009), 481 512. [18] P. Erdos, G. B. Purdy, Some combinatorial problems in the plane. J. Combinatorial Theory Ser. A (1978) 25, 205-210. Green, T. Tao, On sets [19] B. http://arxiv.org/abs/1208.4714, 2012. dening few ordinary lines.

[20] B. Grunbaum, Convex polytopes, Interscience, London, 1967. Е

Е [21] B. Grunbaum, Arrangements and Spreads. AMS, Providence, Rhode Island, 1972.
[22] B. Grunbaum, A catalogue of simplicial arrangements in the real pro jective plane. Е Ars Mathematica Contemporanea 2, (2009), 1 25. 76


[23] F. Hirzebruch, Singularities of algebraic surfaces and characteristic numbers. Contemporary Math. (1986) 58, 141-155. [24] H. Huber, Zur analytischen Theorie hyperbolischer Bewegungsgruppen, Math. Ann. 138 (1959), 1 26. Raumformen und

[25] N. Martinov, On conjecture 2.4 of Grunbaum. Mathematics and Education in Mathematics (Proc. 19th Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians, Sunny Beach, April 1990). Bulgarian Academy of Science, Soa, 1990, pp. 112117. [26] N. Martinov, Classication of arrangements by the number of their cells. Discrete and Comput. Geometry (1993) 9, 1, 3946.

Е [27] E. Melchior, Uber Vielseite der Pro jektiven Ebene. Deutsche Mathematik (1940) 5, 461-475.
[28] M. Mirzakhani, Growth of the number of simple closed geodesics on hyperbolic surfaces. Ann. of Math. 168:2 (2008), 97 125. [29] Y. Miyaoka, The maximal number of quotient singularities on surfaces with given numerical invariants. Math. Ann. (1984) 268, 159171. [30] N. Nilakantan, Extremal Problems Related to the Sylvester-Gallai Theorem. In Combinatorial and Computational Geometry, ed. by J.E. Goodman, J.Pach, E. Welzl, Cambridge University Press, 2005. pp. 479494. [31] P. Orlic, L. Solomon, Combinatorics and topology of complements of hyperplanes. Inventiones Math. 56:2 (1980), 167 189. [32] P. Orlic, H. Terao, Arrangements of Hyperplanes. Springer Verlag, Berlin Heidelberg, 1992. 329 pp. [33] G.B. Purdy, On the number of regions determined by n lines in the pro jective plane. Geom. dedic. (1980) 9, 107-109. [34] L. Schl Theorie der vielfachen Kontinuit Denkschr. Schweiz. naturf. Ges. ai, at. (1901) 1 237.
38

,

[35] R.W. Shannon, A lower bound on the number of cells in arrangements of hyperplanes. Jour. of combinatorial theory (A), 20, (1976) 327335. [36] J. Steiner, Einige Gesetze uber die Theilung der Ebene und des Raumes. J. Reine Angew. Math. 1 (1826), 349 364. [37] T. Zaslavsky, Facing up to arrangements: Face count formulas for partitions of space by hyperplanes. Mem. Amer. Math. Soc. 154:1 (1975).

Публикации автора по теме диссертации.
77


[38] И.Н. Шнурников, На сколько областей делят плоскость n прямых, среди которых не более n - k коллинеарных? Вестник Моск. ун-та, сер. 1 (2010) 5, 32-36. [39] И. Н. Шнурников, О числе областей, образованных наборами замкнутых геодезических на плоских поверхностях. Матем. Зам. 90:4 (2011), 636 640. [40] И. Н. Шнурников, Конфигурации подмногообразий коразмерности 1.Матем. сб. (2012) 203:9, 133 160. [41] Шнурников И.Н. О числе компонент связности дополнений к объединениям замкнутых подмногообразий. Деп. в ВИНИТИ, 347 В 2012, с. 1 28. [42] Шнурников И.Н., Число областей в разбиениях плоскости прямыми не общего положения. Сборник тезисов международной конференции Геометрия в ?целом?, топология и их приложения, Харьков, 2009 г., с. 47. [43] Шнурников И.Н., Классификация конфигураций прямых на проективной плоскости по числу областей. Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна 2010, Воронеж, 2010 г., с. 160 161. [44] Шнурников И.Н., О числе областей проективного пространства, разделенного n плоскостями. Тезисы докладов международной конференции Юбилейный симпозиум А.З. Петрова по общей теории относительности и гравитации, Казань, 2010 г., c. 125 126. [45] Шнурников И.Н., О числе областей, образованных набором замкнутых геодезических на плоских поверхностях. Тезисы докладов международной конференции Дифференциальные уравнения и смежные вопросы, посвященной 110-ой годовщине И.Г. Петровского, Москва, 2011 г., с. 396-397. [46] Шнурников И.Н., О числе областей дополнений в конфигурациях подмногообразий. Тезисы докладов международной конференции Дискретная геометрия, посвященной 100летию со дня рождения А.Д. Александрова, Ярославль, 2012 г., с. 85 86.

78