Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://dfgm.math.msu.su/files/0diss/diss-novikov.pdf Дата изменения: Tue Dec 24 17:16:57 2013 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:40:37 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

на правах рукописи УДК 517.938.5+514.762

Новиков Дмитрий Вячеславович

Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем с некомпактными поверхностями уровня
01.01.04 геометрия и топология диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители: Академик РАН А. Т. Фоменко, Проф. А. А. Ошемков

Москва 2013


Оглавление
Введение 3

1

Случай Соколова на

e(3)

22

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Бифуркационные значения гамильтониана Топология изоэнергетической поверхности ............ ............

22 23 28 35 48 55 59 65

Бифуркационная диаграмма отображения момента . . . . . . . Индексы критических точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Доказательство полноты векторных полей Топология совместной поверхности уровня Перестройки

sgrad H H
и

и

sgrad K

.

K

........

.............................

2

Случай Соколова на

so(3, 1)

68

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Бифуркационные значения гамильтониана Топология изоэнергетической поверхности ............ ............ .......

68 68 71 75 82 84

Бифуркационная диаграмма отображения момента Неполнота поля

sgrad H

.......................

Индексы критических точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1


2.7

Топология совместной поверхности уровня

H

и

K

........

84

Литература

102

2


Введение
Описание работы

Актуальность темы

Диссертационная работа посвящена исследованию топологических особенностей интегрируемого случая В. В. Соколова (далее случай Соколова) на алгебрах Ли

e(3)

и

so(3, 1)

. Это гамильтонова система с двумя степенями

свободы. Указанные случаи отличаются от большинства известных систем тем, что совместные поверхности уровня гамильтониана и дополнительного интеграла являются некомпактными, а в случае гамильтониана является неполным. Как известно, основы теории топологической классификации были заложены А. Т. Фоменко в работах [1], [2], [3], [4], [5] и других. Указанный новый подход в изучении интегрируемых систем, предложенный А. Т. Фоменко, был затем продолжен А. Т. Фоменко и Х. Цишангом, см., например, работу А. Т. Фоменко и Х. Цишанга [6]. Ими был открыт топологический инвариант интегрируемых систем (именуемый инвариантом Фоменко-Цишанга). Это граф с числовыми метками, являющийся полным инвариантом таких систем: две системы лиувиллево эквивалентны, если и только если графы

so(3, 1),

кроме того, поток

3


Фоменко-Цишанга совпадают. Далее школа А. Т. Фоменко разработала методы вычисления меченых молекул, см., например, работу А. В. Болсинова, П. Рихтера и А. Т. Фоменко [7]. Бифуркационные диаграммы многих важ-

ных интегрируемых систем были вычислены М. П. Харламовым в книге [8]. В серии работ А. В. Болсинова и А. Т. Фоменко [9], А. А. Ошемкова [10], П. Е. Рябова [11] и других были найдены классифицирующие инварианты для многих конкретных физических и механических интегрируемых систем. Как правило, в таких системах совместные поверхности уровня интегралов компактны. Результаты теории топологической классификации, полученные школой А. Т. Фоменко, подробно изложены А. В. Болсиновым и А. Т. Фоменко в книге [12]. Однако теория топологической классификации некомпактых систем до сих пор не разработана, например, нет конечного списка атомов данной сложности (даже само понятие сложности в некомпактном случае пока что не определено). Мы надеемся, что результаты настоящей диссертации смогут быть полезны при построении такой теории. При анализе некомпактных систем приходится сталкиваться с проблемой полноты полей. Полнота является существенным условием в Теореме Лиувилля, в компактном случае она получается автоматически. В отсутствии полноты (а в случае Соколова на

so(3, 1)

так и происходит) связные ком-

поненты совместной поверхности уровня гамильтониана и дополнительного интеграла не обязательно являются торами, цилиндрами или плоскостями. Аналогичная ситуация наблюдается в случае комплексных гамильтоновых систем с неполными потоками в работе Т. А. Лепского [13].

4


Заметим, что даже тогда, когда потоки полны, доказательство этого факта может быть нетривиально. Для доказательства полноты нет общих методов, например, критерий того, когда однородное квадратичное поле в

R

2

является

полным, появился совсем недавно (см. работу [14]). Автору неизвестны работы, где приводятся критерии полноты для полиномиальных векторных полей степени

2.

Среди работ, посвященных доказательству полноты потоков,

отметим диссертацию А. Ю. Москвина [15], в которой исследуется полнота потоков интегралов, полученных методом Садэтова. Другим препятствием при анализе некомпактных систем является то, что в некомпактном случае могут быть некритические бифуркационные значения (например, так оказывается в изучаемом случае Соколова на

e(3)).

Соот-

ветственно для построения бифуркационной диаграммы недостаточно найти критические точки и их образы. Необходимо изучать, как устроена совместная поверхность уровня. Сама общая задача определить и классифицировать некомпактные перестройки (по аналогии с компактной классификацией), в рамках которой в настоящей работе проводится исследование случая Соколова, поставлена А. Т. Фоменко.

Цели исследования

Диссертационная работа преследует следующие основные цели: 1. Исследование топологии случая Соколова на 2. Исследование топологии случая Соколова на

e(3). so(3, 1).

5


Методы исследования

При исследования применяются методы теории топологической классификации интегрируемых систем, разработанной А. Т. Фоменко и его школой, а также методы топологического анализа, разработанные М. П. Харламовым. Кроме того, используются дифференциально-геометрические методы, методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и линейной алгебры.

Научная новизна

Результаты работы являются новыми и заключаются в следующем: 1. для случая Соколова на

e(3)

ћ

описана топология изоэнергетической поверхности гамильтониана (см. Теорему 2);

ћ

найдены бифуркационные диаграммы отображения, заданного гамильтонианом (см. Утверждение 1.2.3), и отображения момента (см. Теорему 5);

ћ ћ

вычислены индексы критических точек (см. Утверждение 1.5.1);

описаны совместные поверхности уровня гамильтониана и дополнительного интеграла (см. Теорему 6);

ћ

доказана полнота полей

sgrad H

и

sgrad K

, что является важным усло-

вием в теореме Лиувилля (см. параграф 1.6).

2. для случая Соколова на

so(3, 1)
6


ћ

описана топология изоэнергетической поверхности гамильтониана (см. Теорему 7);

ћ

найдены бифуркационные диаграммы отображения, заданного гамильтонианом (см. Утверждение 2.2), и отображения момента (см. Теорему 8);

ћ ћ

найдены индексы критических точек (см. Утверждение 2.6.1);

описаны совместные поверхности уровня гамильтониана и дополнительного интеграла (см. Теорему 9);

ћ

доказано, что поток векторного поля, отвечающего гамильтониану, неполон (см. параграф 2.5).

Теоретическая и практическая значимость

Полученные в работе результаты имеют теоретическое значение. Предложены методы доказательства полноты полиномиальных векторных полей, анализа топологии гамильтоновых систем с некомпактными поверхностями уровня, в том числе в случае неполноты потоков. Описанные примеры систем с некомпактными особенностями могут быть полезны для построения теории некомпактных особенностей.

Апробация работы

Основные положения диссертационной работы докладывались

ћ

на конференции ?Александровские чтения? (Москва, c 30 мая по 02 июня 2006 г.);

7


ћ

на конференции ?Ломоносовские чтения? (Москва, c 17 по 27 апреля 2006 г.);

ћ

на международной конференции ?Dierential and Functional Dierential Equations 2008? (Москва, с 17 по 24 августа 2008 г.);

ћ ћ ћ

на семинаре в Университете г. Бохум (Германия, май 2008 г.);

на конференции ?Ломоносов? (Москва, с 11 по 15 апреля 2011 г.);

на семинаре имени В. В. Румянцева по аналитической механике и теории устойчивости под руководством чл.-корр. РАН В. В. Белецкого и проф. А. В. Карапетяна (Москва, 23 октября 2013 г.);

ћ

неоднократно на семинаре ?Современные геометрические методы? под руководством акад. А. Т. Фоменко и проф. А. С. Мищенко (мехмат МГУ имени М. В. Ломоносова).

Публикации

По теме диссертации опубликовано

5

работ [16], [17], [18], [19], [20], из них

2

в изданиях по перечню ВАК. Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем

Диссертация состоит из введения и двух глав. Текст диссертации изложен на

106

страницах. Список литературы содержит

32

наименования.

8


Содержание работы

Во Введении приводится постановка задачи, кратко излагаются необходимые понятия, дается обзор полученных результатов.
Глава 1 состоит из

8

параграфов и содержит исследование случая Соко-

лова на

e(3).

В первом параграфе кратко излагаются полученные в Главе 1 результаты. Во втором параграфе находятся бифуркационные значения гамильтониана. Основной результат параграфа следующее
Утверждение 1.2.3

Бифуркационные значения гамильтониана случая Со-

колова на e(3) (при = 0) являются следующими кривыми на плоскости

(g , h):
1. h = 0, g R;

4 2 g 2 - 1 2. h = , g R; 4 1 3. h = - , g R, 4 причем точки вида 1 - 2 являются критическими значениями, а точки вида 3 некритическими бифуркационными значениями.
Третий параграф посвящен исследованию топологического типа изоэнергетической поверхности уровня гамильтониана. Доказывается следующая
Теорема 2

Топология изоэнергетической поверхности уровня Q

3 g ,h

случая

Соколова на e(3) при регулярных, то есть не принадлежащих бифуркационным значениям гамильтониана H , (g , h) имеет следующий тип:

1 ; 4 1 2. Двумерный диск с тремя дырками, умноженный на R, при h > - , 4
1. 2R3 при h < -
9


4 2 g 2 - 1 h= , h = 0. 4
В четвертом параграфе находится бифуркационная диаграмма отображения момента для случая Соколова на
Теорема 5

e(3).

В нем доказана следующая

Бифуркационная диаграмма отображения момента случая Соко-

лова на e(3) состоит из следующих кривых:

42 g 2 - 1 1) луча k = -h + g , h , 4 при этом в прообразе получаются 2 критические окружности;
2

2) параболы k = -h2 - h, h R, при этом в прообразе 2 критические прямые;

1 1 4 2 g 2 - 1 3) отрезка k = ,- h , 4 2 4 1 1 в прообразе будут 4 критические прямые, а при h > - при h < - 4 4 2 критические окружности; 1 4) луча k = -h, h - . 4 Причем типы (1 - 3) являются критическими значениями, а тип 4 некритическими бифуркационными значениями.
Пятый параграф посвящен вычислению индексов критических точек. Его результатом является следующее
Утверждение 1.5.1

Индексы критических точек случая Соколова на e(3)

имеют следующий тип:

1 имеют индекс 2; 2 1 имеют индекс 1; 2. Прообразы кривой k = -h2 - h, h > - 2 4 2 g 2 - 1 2 3. Прообразы кривой k = -h + g , h > имеют индекс 2; 4 1 1 42 g 2 - 1 4. Прообразы кривой k = ,- 1. Прообразы кривой k = -h2 - h, h < -
10


В шестом параграфе доказывается полнота векторных полей

sgrad H

и

sgrad K

.

В седьмом параграфе исследуется топологический тип совместной поверхности уровня гамильтониана ной результат следующая
Теорема 6

H

и дополнительного интеграла

K

. Его основ-

При регулярных, то есть не принадлежащих бифуркационной

диаграмме для отображения момента, (h, k ) совместная поверхность уровня

H и K для случая Соколова на e(3) имеет следующий тип:
1. Пустое множество над верхней границей бифуркационной диаграммы; 2. Два цилиндра под параболой k = -h2 - h; 3. Четыре цилиндра над параболой k = -h2 - h, но под лучом k = -h; 4. Два тора над лучом k = -h, но под лучом k = -h + g 2 .
Восьмой параграф посвящен описанию перестроек случая Соколова на

e(3).
Глава 2 посвящена исследованию случая Соколова на

so(3, 1)

и состоит

из семи параграфов. В первом параграфе кратко излагаются полученные в Главе 2 результаты. Во втором параграфе находятся бифуркационные значения гамильтониана. Основной результат следующее
Утверждение 2.2.3

Бифуркационные значения гамильтониана случая Со-

колова на so(3, 1) (при < 0) являются следующими кривыми на плоскости

(g , h):
1. h = 0, g R; 2. h =

-

(2 + )(1 - 4 g 2 ) , g R, 2
11


причем эти точки являются критическими значениями.
В третьем параграфе находится топологический тип изоэнергетической поверхности уровня гамильтониана. Доказана следующая
Теорема 7

Изоэнергетическая поверхность Q

3 g ,h

для гамильтониана случая

(2 + )(1 - 4 g 2 ) , диффеоморфна Соколова на so(3, 1), h = 0, h = 2 открытому двумерному диску с 3 дырками. -
Четверный параграф посвящен нахождению бифуркационной диаграммы отображения момента. В нем доказана следующая
Теорема 8

Бифуркационная диаграмма отображения момента случая Соко-

лова на so(3, 1) состоит из следующих кусков:

(2 + )(1 - 4 g 2 ) 1) куска параболы k = - h + g , h , 2 при этом в прообразе получаются 2 критические окружности (0, S2 , 0, Q1 , 0, Q3 ). g2 , h R, 2) параболы k = -h2 - h - при этом в прообразе 2 критические прямые (S1 , 0, 0, 0, Q2 , Q3 ). - (2 + )(1 - 4 g 2 ) 1 - 4 g 2 1 3) отрезка k = ,- h , 4 2 2 q ). при этом в прообразе будут 2 критические окружности (S1 , S2 , S3 , 0, Q2 , 2 4) изолированной особой точки h = k = 0.
2 h 2

-

В пятом параграфе доказано, что гамильтоново векторное поле случая Соколова на

so(3, 1)

неполно.

В шестом параграфе находятся индексы критических точек. Доказано следующее
Утверждение 2.6.1

Индексы критических точек случая Соколова на so(3, 1)

имеют следующий тип:

12


g2 1 1. Прообразы кривой k = -h - h - ,h<- имеют индекс 2; 2 g2 1 2 2. Прообразы кривой k = -h - h - ,h>- имеют индекс 1; 2 - (2 + )(1 - 4 g 2 ) 2 2 3. Прообразы кривой k = h - h + g , h > 2 имеют индекс 2; - (2 + )(1 - 4 g 2 ) 1 1 - 4 g 2 ,- 2
В седьмом параграфе найден топологический тип совместной поверхности уровня гамильтониана ющая
Теорема 9

H

и дополнительного интеграла

K

. Доказана следу-

При регулярных, то есть не принадлежащих бифуркационной

диаграмме для отображения момента, (h, k ) совместная поверхность уровня

H и K случая Соколова на so(3, 1) имеет следующий тип: 1 - 4 g , пустое множество при k > h2 - h + g 2 ; 4 2. Две двумерные сферы с четырьмя проколами каждая при k < -h2 -
1. Пустое множество при k > -h2 - h - g 2 и h < -
2 1 2

, пустое множество

при k >

h - g 2 , (h, k ) = (0, 0) при g = 0;
3. Два двумерных тора при k > -h2 - h - g 2 и k < h2 - h + g 2 .

Основные понятия и определения

Определение 1.

Симплектическое многообразие (M , ) это гладкое 2n-

мерное многообразие M с заданной на нем невырожденной замкнутой 2формой , называемой симплектической формой.
Определение 2.

Для любой гладкой функции H на симплектическом мно13


гообразии (M , ) векторное поле косой градиент функции H (обозначается

sgrad H ) определяется из следующего соотношения: v (H ) = (v , sgrad H ),
где v произвольное векторное поле на M .
Определение 3.

Динамическая система на симплектическом многообра-

зии M размерности 2n, соответствующая векторному полю sgrad H , называется гамильтоновой системой с гамильтонианом H и n степенями свободы. В локальных координатах (x1 , ћ ћ ћ , x2n ) на M она имеет вид

xi = (sg radH )i = ( -1 )ij
где
-1

H , xj

матрица, обратная к матрице симплектической формы . Скобкой Пуассона называется билинейная кососиммет-

Определение 4.

рическая операция на пространстве гладких функций на M , определяемая следующей формулой:

{f , g } = ( -1 )ij

f g . xi xj

Гамильтонова система в терминах скобки Пуассона может быть записана следующим образом:

xi = {xi , H }.
Определение 5.

Функция F называется (первым) интегралом гамильто-

новой системы с гамильтонианом H , если F постоянна вдоль интегральных траекторий этой системы.
Ясно, что

F

первый интеграл тогда и только тогда, когда

{F, H } = 0

14


Определение 6.

Гамильтонова система на симплектическом многообра-

зии M

2n

называется интегрируемой по Лиувиллю, если существует набор
2n

гладких функций f1 , ћ ћ ћ fn на M

таких, что:

1) f1 , ћ ћ ћ fn первые интегралы системы; 2) f1 , ћ ћ ћ , fn функционально независимы на M 2n , то есть почти всюду на M
2n

их градиенты линейно независимы (точки, в которых градиенты

линейно зависимы, называются особыми); 3) {fi , fj } = 0 для любых i и j от 1 до n; 4) векторные поля sgrad fi полны для всех i от 1 до n, т. е. естественный параметр на их интегральных траекториях определен на всей числовой прямой.
Теорема 1.

(Лиувилля) Пусть v = sgrad H - интегрируемая по Лиувил2n

лю гамильтонова система на симплектическом многообразии M

с инте-

гралами f1 , ћ ћ ћ , fn . Тогда неособая (то есть не содержащая особых точек) связная компонента совместной поверхности уровня интегралов f1 , ћ ћ ћ , fn диффеоморфна T k Ч R
Определение 7.

n-k

, где T k k -мерный тор.

Отображением момента для интегрируемой гамильто-

новой системы с интегралами f1 , ћ ћ ћ , fn называется отображение F : M

Rn , заданное формулой F (x) = (f1 (x), ћ ћ ћ , fn (x)).
Определение 8.

Пусть F : X Y дифференцируемое отображение мно-

гообразий. Отображение называется локально-тривиальным над точкой

y0 Y , если существует такая окрестность U точки y0 в Y , что F
диффеоморфно F
-1

-1

(U )

(y0 ) Ч U , и этот диффеоморфизм замыкает диаграмму
15


(p2 проекция на второй сомножитель)

F

-1

U
Определение 9.

-1 nn nnn F nnn 2 np vnnnnn

(U )

/

F

(y0 ) Ч U

Бифуркационным множеством, или бифуркационной диа-

граммой, отображения F называется множество бифуркационных значений, то есть тех точек y Y , над которыми F не является локальнотривиальным.
Определение 10.

Точка x X называется критической для отображе-

ния F , если ранг дифференциала отображения F в точке x не максимален. Критическими значениями называют образы критических точек при отображении F .
Замечание 1.

Критические значения принадлежат бифуркационной диа-

грамме. Доказательство.
ражения Действительно, если точка

xX

критическая для отоб-

F

, то по определению ранг дифференциала отображения

F

в точке

x

не максимален. С другой стороны, если отображение над точкой

F

локально-тривиально

y = F (x),

то

F

равно

p2

в некой окрестности точки

x.

Но

p2

отображение постоянного ранга, равного размерности точке

Y

. В критической же

x

ранг

F

меньше, чем размерность

Y

.

Определение 11.

Изоэнергетической поверхностью Q3 гамильтоновой си-

стемы с двумя степенями свободы называется поверхность уровня гамильтониана H .
16


Определение 12.

Слоение на M , образованное связными компонентами

совместных поверхностей уровня интегралов f1 , ћ ћ ћ , fn , называется слоением Лиувилля, соответствующим этой системе.
Пусть

g

конечномерная алгебра Ли с базисом

e1 , . . . , e

n, а i

g

соответ. Пусть ,

ствующая коалгебра с дуальным базисом

1

,...,

n

, то есть

i (ej ) = j

x1 , . . . , x
а

n аффинные координаты на

g

, соответствующие базису

e1 , ћ ћ ћ , en

c

k ij структурные константы алгебры Ли

g: [ei , ej ] = ck ek ij

.

Определение 13.

Скобка Пуассона-Ли на пространстве g задается сле-

дующей формулой:

{f , g }(x) = ck x ij
где f и g - гладкие функции на g .
Определение 14.

k

f g , xi xj

Уравнения

xi = {xi , H },
задающие динамическую систему на g , где H гладкая функция (гамильтониан) на g , называются уравнениями Эйлера на коалгебре Ли g .
Они часто встречаются в механике и физике. Например, различные задачи о движении твердого тела задаются уравнениями Эйлера на коалгебре Ли

e(3)

.

Определение 15.

Функции, принадлежащие ядру скобки Пуассона-Ли, на-

зываются функциями Казимира.

17


Постановка задачи
6

Рассмотрим следующее семейство скобок Пуассона-Ли на пространстве

R

:

{Si , Sj } = ij k Sk ,
где

{Si , Rj } = ij k Rk , S

{Ri , Rj } = ij k Sk ,
и

Si

и

Ri

компоненты трехмерных векторов

R,

ij k знак перестановки

(123) (ij k ), а

произвольное действительное число. При

> 0 ( = 1)
алгебре

получаем, что скобка соответствует алгебре Ли Ли

so(4),

при

=0

e(3),

а при

< 0 ( = -1)

алгебре Ли

so(3, 1).

Функции Казимира:

f1 = S 2 + R 2 ,
где

f2 = S, R ,
.

ћ, ћ

скалярное произведение в

R

3

Классические интегрируемые случаи на этом семействе алгебр Ли включают случаи Эйлера:

H = AS, S , K = S, S ,
Лагранжа:

12 2 2 H = (S1 + S2 + S3 ) + R3 , 2 K = S3 ,
Ковалевской:

12 2 2 H = (S1 + S2 + 2S3 ) + R1 , 2 2 2 2 S1 - S2 K= - R1 + 2

2

2 2 S1 - S2 - R 2
18

1

+ (S1 S2 - R2 )2 .


Здесь

A

постоянная симметричная матрица,

,

произвольные действи-

тельные параметры. Рассмотрим гамильтонианы вида

H = AS, S + b, S Ч R ,
где

A

постоянная симметричная матрица,

b=0

постоянный вектор,

Ч

-

векторное произведение. Подобные гамильтонианы могут представлять интерес, например, в рамках модели Пуанкаре-Жуковского, описывающей движение твердого тела с эллипсоидальной полостью, заполненной вихревой жидкостью, см. работу А. Пуанкаре [21]. Другие возможные приложения квадратичных гамильтонианов обсуждаются в книге А. В. Борисова и И. С. Мамаева [22]. Новые интегрируемые случаи уравнений Эйлера с квадратичным гамильтонианом и интегралом четвертой степени на этом семействе алгебр Ли были найдены А. В. Борисовым, И. С. Мамаевым и В. В. Соколовым в работах [23, 24, 25]. Случай Соколова:

2 2 H1 = - S1 + S2 + S1 R2 - S2 R1 , K1 = Q3 ( S 2 - R2 ) - Q2 + Q2 + ( - )Q 1 2
Случай Борисова-Мамаева:

2 3 , где

Q=SЧR

.

H2 = ( -

2 2 2 )S1 + 2S2 + S3 + S1 R2 - S2 R1 , 4
2
, где

2 2 K2 = 42 S2 S 2 + 4S2 (S2 Q3 - S3 Q2 ) + Q2 + Q2 - S1 R 2 3
Можно считать, что и

Q=SЧR

.



равно

1, -1

или 0. Действительно, замена

R = 1 R
| |

=

| |

, при

= 0,

приводит нас к этому случаю.

19


Как известно (см., например, книгу В. В. Трофимова и А. Т. Фоменко [26]), ограничение скобки Пуассона-Ли на орбиты общего положения коприсоединенного представления соответствующей группы Ли задает гамильтонову систему на

4 Mc,g = { (S, R) | f1 (S, R) = c, f2 (S, R) = g }, c = 0.

В нашем случае

можно считать, что

c = +1

. Действительно, замена

S=

|c|S , R =

|c|R

приводит нас к этому случаю, при этом векторное поле жается на

sg rad H

просто умно-

|c|

3

. Здесь существенно, что гамильтониан является однородным.

Поэтому в этой работе мы считаем, что

c = 1.

Кроме того, следуя работе А. А. Ошемкова и Г. Хагигатдуста [27], без ограничения общности можно полагать, что

g

0,

поскольку при замене

(S1 , S2 , S3 , R1 , R2 , R3 ) (-S1 , S2 , S3 , R1 , -R2 , -R3 ) f1 , H , K
сохраняются,

f

2 меняет знак.

Далее можно считать, что

>0

, так как замена

S1 -S1 , R1 -R1

,

-

приводит нас к этому случаю.

Как и в работе А. А. Ошемкова и Г. Хагигатдуста [27], при следовать только случай

>0

можно ис,

0< f



, так как при замене

S1 S2 , R1 R2





инварианты

f

1,

2 сохраняются, а гамильтониан и дополнительный

интеграл меняют знак (что не влияет на топологию). Под изучением системы мы понимаем исследование слоения Лиувилля, слоями которого являются связные компоненты поверхностей уровня гамильтониана и дополнительного интеграла. Слоение Лиувилля случая БорисоваМамаева на

e(3)

исследовано в работе П. Е. Рябова [11], где указанный слу-

чай назван случаем Соколова. Лиувиллево слоение интегрируемой системы Соколова на алгебре Ли

so(4)

описано в работе А. А. Ошемкова и Г. Хагигат-

20


дуста [27], а также в работах Г. Хагигатдуста [28] и [29]. В настоящей работе мы будем изучать строение интегрируемого случая Соколова на оставшихся в указанном семействе некомпактных алгебрах Ли

e(3)

и

so(3, 1)

.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность А. Т. Фоменко и А. А. Ошемкову за постановку задачи, постоянное внимание и помощь. Кроме того, хотелось бы выразить признательность М. П. Харламову за ценные обсуждения и поддержку. Без помощи указанных людей эта работа никогда бы не была написана.

21


Глава 1 Случай Соколова на e(3)
1.1 Введение

В этой главе мы будем изучать строение интегрируемого случая Соколова на алгебре Ли

e(3).

Оказывается, что в исследуемом случае связные компо-

ненты совместных поверхностей уровня гамильтониана и дополнительного интеграла могут быть торами или цилиндрами. Мы опишем топологию изоэнергетической поверхности гамильтониана (см. Теорему 2), бифуркационные диаграммы отображения, заданного гамильтонианом (см. Утверждение 1.2.3), и отображения момента (см. Теорему 5), индексы критических точек (см. Утверждение 1.5.1), а также совместные поверхности уровня гамильтониана и дополнительного интеграла (см. Теорему 6) для случая Соколова на

e(3).
и

Отметим также и то, что нам удалось доказать полноту полей

sgrad H

sgrad K

, что является важным условием в теореме Лиувилля (см. пара-

граф 1.6). Изучаемый случай характерен тем, что, в отличие от большинства известных случаев, на бифуркационной диаграмме кроме критических значений

22


будут и некритические бифуркационные значения. Кроме того, большой интерес представляет и анализ перестроек случая Соколова на мы тоже проводим (см. параграф 1.8). В настоящей главе также исследовано, что происходит при ретракции с

e(3),

который

so(4)

на

e(3)

с бифуркационной диаграммой для отображения, заданного га-

мильтонианом (см. параграф 1.2), и для отображения момента (см. параграф 1.4). Оказывается, что в этих двух случаях бифуркационные диаграммы являются пересечением бифуркационных диаграмм, полученных при помощи предельного перехода, с образом соответствующего отображения (см. Замечения 3 и 5).

1.2

Бифуркационные значения гамильтониана

Бифуркационные значения гамильтониана значения, являющиеся бифуркационными для отображения

4 H : M1,g R(h).

Критическими точками

гамильтониана являются те точки, где косой градиент гамильтониана равен нулю. Выпишем явно поле

sg rad H

:

{S1 , H } = 2S2 S3 + S1 R3 - R1 S3 , {R1 , H } = 2S2 R3 + S1 S3 - R1 R3 , 2 2 {S2 , H } = S1 S3 + S2 R3 - R2 S3 , {R2 , H } = S1 R3 + S2 S3 - R2 R3 , 2 2 {S3 , H } = -2( + )S1 S2 , {R3 , H } = -2(R1 S2 + S1 R2 ) + R1 + R2 -
2 2 - S1 - S2 .
Можно убедиться, что при

=1

(случай

so(4)

) мы получим в точности

23


формулы

(5)

из работы А. А. Ошемкова и Г. Хагигатдуста [27].

Приравняв нулю

sg rad H

, получаем следующее

Утверждение 1.2.1.

Для произвольного = -2 критические точки га-

мильтониана образуют следующие двупараметрические семейства. При этом

sgrad K в этих точках тоже равен нулю.
1) (0, 0, S3 , 0, 0, R3 );
2 2 2 2) (0, S2 , 0, R1 , R2 , 0), где R1 + R2 - S2 - 2R1 S2 = 0; 3) (0, S2 , S3 , 2S2 , + S2 , + S3 ) при 0; 2 2 2 2 4) (S1 , 0, 0, R1 , R2 , 0), где R1 + R2 - S1 - R2 S1 = 0; 2 5) (S1 , 0, S3 , + S1 , S1 , + S3 ) при 0.
Замечание 2.

Утверждение 1.2.1 это обобщение Предложения 1 из ста-

тьи А. А. Ошемкова и Г. Хагигатдуста [27].
Выпишем отдельно приведенные выше семейства для случая 1) 2) 3) 4)

e(3) ( = 0):

(0, 0, S3 , 0, 0, R3 ); (0, S2 , 0, R1 , R2 , 0),
где

2 2 R1 + R2 - 2R1 S2 = 0;

(0, S2 , S3 , 2S2 , 0, 0); (S1 , 0, S3 , 0, 0, 0);
4 M1,g
, поэтому надо добавить еще условия

Мы изучаем систему на

f1 = 1,

f2 = g

.

Рассмотрим, что будет происходить при ретракции переходе к пределу при

so(4)

к

e(3)

, то есть

+0.

Нам понадобится переформулировать

Пред-

ложение 2
извольного

из работы А. А. Ошемкова и Г. Хагигатдуста [27] для случая про-

> 0.
24


Утверждение 1.2.2.

Для любого > 0 критические точки гамильтониа-

4 на на M1,g перечислены ниже: 1 имеются 4 точки вида 1) при всех 0 g 2 2 2 (0, 0, S3 , 0, 0, R3 ), где S3 + R3 = 1, S3 R3 = g ,

при этом h = k = 0; 2) при всех 0 имеются 4 точки вида 2 1 g 2 (1 - 4 g 2 ) 1 2 (0, S2 , 0, + - S2 , , 0), где S2 = 2S2 S2 2 4 2 (2 + ) + ( + 2 )(1 - 4 g 2 ) 1 при этом h = иk= (1 - 4 g 2 ); 2 4 3) при всех g > имеются 4 точки вида 2 + 42 1 - 2 g g (2 + 42 ) - 2 2 (0, S2 , S3 , 2S2 , S2 , S3 ), где S2 = и S3 = , 2 4 4 2 1 1 (1 - 4 g 2 ); при этом h = - (1 - 2 g ) и k = 4 4 1 имеются 4 точки вида 4) при всех 0 g 2 1 g 1 - 4 g 2 2 (S1 , 0, 0, , - S1 , 0), где S1 = + , S1 2 S1 2 4 ( + 2 ) - ( + 2 )(1 - 4 g 2 ) при этом h = и k = - (1 - 4 g 2 ); 4 2 2 5) при g > имеются 4 точки вида: 2 (2 + 2 ) g (22 + 4 ) - 2 2 2 (1 - 2 g ) 2 2 (S1 , 0, S3 , S1 , S1 , S3 ), где S1 = и S3 = , 2 4 4 2 при этом h = (1 - 2 g ) и k = - (1 - 4 g 2 ). 4 4

g

1

Посмотрим теперь, что происходит с этими точками при предельном переходе

+0. 1 = +, поэтому для +0 2 вида (0, 0, +g , 0, 0, +1), при этом lim

1) эта серия критических точек сохраняется, любого

g

0

получаем

2

критических точки

25


h = k = 0; 1 2 (1 - 4 g 2 ) 1 2 (1 - 4 g 2 ) 42 g 2 + 1 + = +, lim - = +0 2 +0 2 4 2 (2 + ) 4 2 (2 + ) 4 2 - ( + 2 )(1 - 4 g 2 ) + ( + 2 )(1 - 4 g 2 ) = +, lim = lim +0 +0 2 2 4 2 g 2 - 1 , 4 это означает, что для любого g 0 будут 2 критических точки вида
2)

lim

,

(0, S2 , 0,
где

g 1 , , 0), 2S2 S2

4 2 g 2 + 1 4 2 g 2 - 1 1 , при этом h = иk= ; 42 4 4 1 - 2 g g (2 + 42 ) - 1 3) lim = 0, lim = , lim = +0 2 + 42 +0 4 2 42 +0 4 2 +, поэтому при g > 0 мы получаем некритические бифуркационные зна1 1 ,k= ; чения h = - 4 4 - ( + 2 )(1 - 4 g 2 ) 4) lim = , lim (1 - 4 g 2 ) = -, +0 +0 4 2
2 S2 =
здесь нет точек бифуркации; 5)

+0

lim

(1 - 2 g ) = + 4

,

+0

lim

(1 - 4 g 2 ) = - 4

, поэтому здесь

тоже нет точек бифуркации. Итак, на основании предельного перехода мы получили некий список значений, подозрительных на бифуркационные. Оказывается, что полученные значения действительно являются бифуркационными и других бифуркационных значений нет, как показывает следующее

Утверждение 1.2.3.

Бифуркационные значения гамильтониана случая Со-

колова на e(3) (при = 0) являются следующими кривыми на плоскости

(g , h):
1. h = 0, g R;
26


4 2 g 2 - 2. h = 4 1 3. h = - , g 4 причем точки

1

, g R;

R,
вида 1 - 2 являются критическими значениями, а точки

вида 3 некритическими бифуркационными значениями. Доказательство.
Во-первых, докажем, что критические точки имеют ука-

занный выше вид. Из

{S3 , H } = -2S1 S2 = 0

следует, что

S1 = 0

или

S2 = 0.

Рассматривая два этих случая и приравнивая приведенные выше

sgrad H

нулю, мы и получаем , получаем серии

4

серии. Добавляя условия

f1 = 1, f2 = g

(1)

и

(2). 3
являются бифуркационными значениями, следует

То, что точки вида

из Теоремы 2, где показано, что при переходе через точки вида топологический тип изоэнергетической поверхности.

3

меняется

Замечание 3.

Бифуркационная диаграмма отображения, заданного гамиль-

тонианом H и интегралом площадей f2 , совпадает с пересечением бифуркационной диаграммы, полученной с помощью ретракции c so(4), с образом отображения, заданного гамильтонианом и интегралом площадей.
На Рисунке 1.1 представлены бифуркационные значения гамильтониана. Сплошными линиями показаны критические значения, пунктиром некритические бифуркационные значения.

27


Рис. 1.1: Бифуркационные значения гамильтониана

1.3

Топология изоэнергетической поверхности
3 g ,h

Будем теперь искать топологию изоэнергетической поверхности

Q

=

{ (S, R) | f1 (S, R) = 1, f2 (S, R) = g , H (S, R) = h },
колова при регулярных значениях

то есть для случая Соне принадлежащих би-

(g , h),

т. е.

(g , h)

фуркационной диаграмме. Фиксируем значение вектора рассмотрим относительно

S = (S1 , S2 , S3 )

и

R

систему:

Она задает прямую

S1 R1 + S2 R2 + S3 R3 = g , (1.3.1) S R - S R = - S 2 + S 2 - h. 21 12 2 1 l в пространстве R3 (R), если векторы (S1 , S2 , S3 ) и (S2 , -S1 , 0) S1 = S2 = 0
. В этом слу-



линейно независимы. А они зависимы только, если чае

h = 0.

Но точка прямая

h=0

всегда принадлежит бифуркационной

диаграмме. Прямая

l

пересекает сферу

R2 = 1 - S

2

не более чем в двух

точках. Множество точек поверхности

S

, для которых существует пересечение, есть образ

Q

3 g ,h при проекции Обозначим его через

P

3 g ,h . Прямая

l

пересека-

ет сферу тогда и только тогда, когда

((0, l))2
28

1 - S 2.

(1.3.2)


((0, l))2 =
где

g + S2

2

2 (S2 -

2 S1 - h)2 2 + S2 S1 2

1 - S 2,

(1.3.3)

(0, l)

расстояние от прямой

l

до начала координат, причем равенство

соответствует случаю, когда прямая пересекается со сферой по одной точке, а строгое неравенство - по двум. Следовательно, множество

P

3 g ,h задается неравенством

2 S 2 (S2 -
Обозначим

2 2 2 S1 - h)2 + ( S 4 - S 2 + g 2 )(S1 + S2 )

0.

(1.3.4)

2 v = S2 -

2 S - h, 1

2 2 u = S1 + S2 ,

2 z = S3 .

В новых переменных неравенство (1.3.4) перепишется в виде:

uz 2 + (2 u2 - u + v 2 )z + u(v 2 + g 2 + u2 - u)
Теперь подставляем

0.

(1.3.5)

= 0.

Неравенство (1.3.5) превращается в следующее:

(v 2 - u)z + u(v 2 - u + g 2 )
Если

0.

(1.3.6)

v2 - u > 0

, то

z = u = 0,

откуда

S = 0.
В этом случае получаем

Посмотрим, что будет, когда Если

v 2 - u = 0.

ug 2 = 0.

g=0

, то получаем

u=v=0

, откуда

S1 = S2 = 0

и

h=0

. Мы уже

знаем, что прямая

h=0

принадлежит бифуркационной диаграмме, но ока-

зывается, что эта прямая не влияет на тип

Q

3 g ,h . То есть тип

Q3 g

,h для точек

(g , h),

лежащих в одной камере относительно двух других кривых, совпада-

ет, независимо от знака

h

в этих точках. Дальше считаем, что

v 2 - u < 0.

29


Поскольку

z, u

0,

то проекция множества точек

(v , u, z ),

удовлетворяющих

(1.3.6), на плоскость

(v , u)

задается следующим неравенством:

v2 - u < 0
При этом если

(1.3.7)

v2 - u + g

2

0

, то

z

0,

если

v 2 - u + g 2 > 0,

то

z

-

u(v - u + g ) v2 - u

2

2

.

Вернемся теперь к переменным перепишется в них:

S1 , S2

и посмотрим, как неравенство (1.3.7)

2 2 2 S1 + S2 > (S2 - h)2 .
То есть проекция неравенством:

(1.3.8)



S 1,S 2

(Pg3,h )

множества

P

3 g ,h на плоскость

(S1 , S2 )

задается

2 2 2 S1 > (S2 - h)2 - S2 .
Заметим, что если

(1.3.9)

(S1 , S2 )

решение системы неравенств (1.3.9), то и тоже решения. Поэтому достаточно рас-

(-S1 , S2 ), (S1 , -S2 ), (-S1 , -S2 )
сматривать

S1 , S2

0.
. Тогда в координатах

Обозначим

2 2 x = S2 , y = S1

(x, y )

область, заданная . При-

неравенством (1.3.9), ограничена графиком функции чем если

y = (x - h)2 - x

(x - h)2 - x + g 2 , то z 0, если же (x - h)2 - x < y < u(v 2 - u + g 2 ) (x - h)2 - x + g 2 , то z - . v2 - u 2 Дискриминант трехчлена y1 = (x - h) - x равен 4h + 1. Дискримиy
нант трехчлена

y2 = (x - h)2 - x + g

2

равен

4 h + 1 - 4g

2

. Мы получили

уже известные нам бифуркационные значения. Произведение корней первого трехчленов положительно, сумма корней равна

2 h + 1

.

Возможны следующие существенно различные расположения графиков (и соответственно разные типы

Q3 g

,h ):
30


Рис. 1.2: Проекция

P

3 g ,h на плоскость

(S2 , S1 )

при

h<-

1 4

1 3 . Оба дискриминанта отрицательны. Проекция Pg ,h на плос4 кость (S2 , S1 ) представлена на Рисунке 1.2. При этом над областью, закраu(v 2 - u + g 2 ) шенной светлым, находятся 2 луча |S3 | - , над областью, v2 - u закрашенной темным, находится прямая S3 R, над незакрашенной обла1.

h<-

стью находится пустое множество.

P

3 g ,h диффеоморфно несвязному объединению двух полупространств. Для по-

лучения

Q

3 g ,h нам нужно склеить два экземпляра

P

3 g ,h по их границе. При

склеивании двух полупространств по границе получается диффеоморфно

R

3

, поэтому

Q

3 g ,h

а

2R 3 . 1 4 2 g 2 - 1 2 2

положителен, представлена

на Рисунке 1.3. При этом над областью, закрашенной светлым, находятся луча

2

|S3 |

ся прямая

u(v - u + g ) , над областью, закрашенной темным, находитv2 - u S3 R, над незакрашенной областью находится пустое множество. -

31


Рис. 1.3: Проекция

P

3 g ,h на плоскость

(S2 , S1 )

при

-

1 42 g 2 - 1
Можно убедиться, что

P

3 g ,h в данном случае диффеоморфно

R3 (S1 , S2 , S3 ) 0S2 S3
. При

с выброшенной трубчатой окрестностью координатного креста склейке двух экземпляров ми, умноженный на

P

3 g ,h мы получим двумерный диск с тремя дырка-

R

. Чтобы понять это, надо разбить

P

3 g ,h на части, лежа-

щие в плоскостях, перпендикулярных оси

0S2

. Сначала это будет плоскость

без диска, затем две полуплоскости, после этого опять плоскость без диска. При склейке двух плоскостей без диска получается тоже плоскость без диска, которую можно рассматривать как цилиндр

S1 Ч R

. При склейке двух по-

луплоскостей получаются две плоскости, которые можно рассматривать как цилиндр без двух прямых, параллельных оси. В итоге мы получаем цилиндр, умноженный на интервал, из которого выкинули две прямые, параллельные оси цилиндра, или открытый диск с тремя дырками, умноженный на 3.

R

.

h>

4 g - 1 4
2

22

. Проекция

P

3 g ,h на плоскость

(S2 , S1 )

представлена на

Рисунке 1.4. При этом над областью, закрашенной светлым, находятся

2

луча

|S3 |
прямая

u(v - u + g ) , над областью, закрашенной v2 - u S3 R, над незакрашенной областью находится -

2

темным, находится пустое множество.

32


Рис. 1.4: Проекция

P

3 g ,h на плоскость

(S2 , S1 )

при

h>

42 g 2 - 1 4

Диффеоморфизмом можно превратить ры, изображенной на Рисунке 1.5, на

P

3 g ,h в прямое произведение фигу-

R

. При склейке двух фигур, изображен-

ных на Рисунке 1.5, по границе, обозначенной пунктирной линией, получается двумерный тор

T

2

с выколотыми двумя точками. Чтобы понять это, нуж-

но начать склеивать две фигуры по радиусам, обозначенным пунктирными стрелками на Рисунке 1.5. При обходе окружности будут склеиваться отрезки по двум точкам и получаться окружности, кроме случая, когда радиусы являются вертикальными лучами, изображенными сплошными линиями. При склейке этих лучей по одной точке будет получаться прямая, то есть окружность без точки. В итоге получаем тор с выколотыми двумя точками. Чтобы окончательно получить

Q3 g

,h , нужно еще умножить полученный тор без двух

точек на прямую. Покажем, что полученное многообразие диффеоморфно диску с тремя дырками, умноженному на

R

, то есть

Q3 g

,h из предыдущего

пункта. Будем рассматривать тор как сферу с ручкой. Тор без одной точки это сфера без точки с ручкой, или плоскость с ручкой. При утолщении

33


плоскости с ручкой мы получим диск с двумя дырками (все открытое). Но у нас утолщенный тор с двумя выброшенными точками, что то же самое, что и диск с тремя дырками, умноженными на

R

.

Рис. 1.5: Фигура из прямого произведения

Итак, нами доказана следующая

Теорема 2.

Топология изоэнергетической поверхности уровня Q

3 g ,h

при ре-

гулярных, то есть не принадлежащих бифуркационным значениям гамильтониана H , (g , h) имеет следующий тип: 1 1. 2R3 при h < - ; 4 1 2. Двумерный диск с тремя дырками, умноженный на R, при h > - , 4 4 2 g 2 - 1 h= , h = 0. 4
34


1.4

Бифуркационная диаграмма отображения момента

Рассмотрим теперь отображение момента для случая Соколова

H ЧK : { (S, R) |

f1 (S, R) = 1, f2 (S, R) = g } R2 (h, k ), (H (S, R), K (S, R)).
гда Точка

заданное формулой

(H Ч K )(S, R) =

(S, R)

будет критической тогда и только тогда, ко-

sg rad H S
и

и

sg rad K

будут линейно зависимыми. Удобно перейти от пере-

менных

R

к переменным

S

и

Q.

Аналогично тому, как это сделано в работе

А. А. Ошемкова и Г. Хагигатдуста [27], можно показать, что при будет диффеоморфизм

S=0

это

4 M1,g

на свой образ. Поэтому бифуркационную диа-

грамму можно искать в переменных следующим образом:

(S, Q).

При этом скобка перепишется

{Si , Sj } =

ij k Sk ,

{Si , Qj } =

ij k

Qk

,

{Qi , Qj } = q

ij k Sk , где

q = S 2 -

R2 = 2 S 2 - 1.
Мы также будем использовать следующее полезное тождество:

1 - q2 Q =S R -g = - g 2 , = 0. 4
2 2 2 2
При

=0

это тождество выглядит так:

Q2 = S 2 - g 2 .
Обозначим

2 Q 3 - q

Найдем координаты

A, q + 2 Q3 sg rad H и sg rad K :
через

через

B

.

{S1 , H } = 2S2 S3 - Q2 , 2 S1 S3 + Q1 , {S3 , H } = -2( + )S1 S2 , {S2 , H } =
35


{Q1 , H } = S2 A, {Q2 , H } = S1 B , {Q3 , H } = -2( S1 Q2 + S2 Q1 ), {S1 , K } = Q2 A, {S2 , K } = Q1 B , {S3 , K } = -2( + )Q1 Q2 ,

{Q1 , K } = [2 (S2 Q3 - S3 Q2 ) + q S2 ]A, {Q2 , K } = [2(S3 Q1 - S1 Q3 ) + q S1 ]B , {Q3 , K } = 4 Q3 (S1 Q2 - S2 Q1 ) - 2q (S2 Q1 +
Нам понадобится переформулировать А. А. Ошемкова и Г. Хагигатдуста

S1 Q2 ).
из работы

Теорему 2

и

Теорему 3

[27] для произвольного

>0

.

Теорема 3.

При g = 0 и > 0 бифуркационная диаграмма состоит из

частей двух парабол P1 и P2 (касающихся в начале координат) и двух горизонтальных отрезков U и L (касающихся соответствующих парабол в их вершинах):

P1 = P2 = U= L=

- 2 + 2 (h, k ) | k = h - h; 2
2 - - 2 + 2

h h

+



(h, k ) | k = -h - h;

1 1 + 2 + (h, k ) | k = , ;- h 4 2 2 - - 2 + h (h, k ) | k = - ; 4 2 2

- + 2 + 2

2 + 2
,

,

.

36


Теорема 4.

При g > 0, > 0 и



бифуркационная диаграмма имеет

один из трех видов (a), (b), (c).

P1 = P2 = U= L=

k= k= k= k=

E1 = k = E2 = k=

- (2 + )(1-4 g 2 ) + 2 h - h + g 2 ; h 2 2 g -h2 - h - ; (2h + 1)2 (2 + )(1 - 4 g 2 ) + (2 + )(1 - 4 g 2 ) 1 1 - 4 g 2 ;- h , 4 2 2 (1 - 4 g 2 ) - - (2 + )(1 - 4 g 2 ) ; h - 4 2 g g -(1 - 2 g )h; - h , -(1 + 2 g )h; h1 h h2 ,

(2 + )(1-4 g 2 ) , 2 ,

2

,

где для h1 и h2 , задающих концы отрезка E2 , возможны следующие три случая:



(a) если 0 < g , то h1 2 + 42 2 (b) если g 2 + 42 2 (2 1 2 Замечание 4.

= - g и h2 = g, 1-2 , то h1 = - 4 + 2 ) , то h1 = - g и h2 =

g


и h2 =

g. (1 - 2 g ), 4

В работе А. А. Ошемкова и Г. Хагигатдуста [27] указан-

1 и = 1. При подстановке произвольного > 0 условие 0 < 1 перейдет в условие 0 < . Однако при предельном переходе +0 условие 0 < нарушается, поэтому нам нужно было переформулировать эту теорему для , для этого нужно сделать замены = , h = -h, k = -k и g = g . При этом P1 P2 , U L, E1 E1 , а вид E2 изменится.
37

ная Теорема 4 сформулирована для 0 <


Рис. 1.6: Бифуркационная диаграмма отображения момента для случая ствующая случаю (b)

so(4),

соответ-

На Рисунке 1.6 изображена бифуркационная диаграмма для случая Соколова на

so(4),

соответствующая случаю (b) в Теореме.

В пределе при

+0

мы получаем при

g=0

следующее:

1 , 4 P2 = (h, k ) | k = -h2 - h; h R , 1 1 U = (h, k ) | k = ;h - . 4 2 Отрезок L пропадает, так как уходит на бесконечность. При g > 0, > 0 и в пределе при +0 имеем: 42 g 2 - 1 2 P1 = (h, k ) | k = -h + g ; h , 4 P2 = (h, k ) | k = -h2 - h; h R , 1 1 U = (h, k ) | k = , ;h - 4 2 E1 = { (h, k ) | k = -h; h 0 }, 1 E2 = (h, k ) | k = -h; - h 0, . 4 P1 = (h, k ) | k = -h; h -

38


Рис. 1.7: Бифуркационная диаграмма отображения момента, полученная при ретракции
Здесь отрезок

L

тоже ушел на бесконечность, а в

E2

при предельном пе-

реходе возникает случай Заметим, что

(b).
можно объединить в один луч

E1

и

E2

E=

(h, k ) | k = -h; h

-

1 4

.

Основываясь на ретракции, мы ожидаем, что бифуркационная диаграмма будет состоять из множеств

P 1 , P2 , U , E

(см. Рисунок 1.7)

Сначала мы перечислим случаи линейной зависимости

sg rad H

и

sg rad K

при

= 0,

когда соответствующие куски бифуркационной диаграммы отображе-

ния момента являются частями кривых порядка не выше 2, причем то, что в этих случаях косые градиенты линейно зависимы, будет проверено непосредственно. Затем будет показано, что все возможности, когда косые градиенты линейно зависимы, сводятся к этим или же приводят к точке 1)

(0, 0)

.

S1 = S3 = 0.

Отсюда следует, что

Q2 = S3 R1 - S1 R3 = 0.

При этом

матрица, составленная из косых градиентов, приобретает следующий вид:

39



Очевидно, что

0

Q

1

0

S2 A

0

-2S2 Q


1

0 Q1 B 0 S2 AB 0 -2S2 Q1 B
и

.

sg rad H

sg rad K

в этом случае линейно зависимы, так как

они просто пропорциональны с коэффициентом пропорциональности, равным

B

.

Легко проверить, что зависимость

h

и

k

на данном куске бифуркационной

диаграммы выражается следующим образом:

k=

2 h - h + g 2 . h.

(1.4.1)

Найдем теперь критические точки и область изменения следующую систему, задающую критические точки:

Рассмотрим



S2 R2 = g ,
2 S2 - S2 R1 = h,
(1.4.2)

S 2 + R2 + R2 + R2 = 1. 2 1 2 3
Она имеет решение при фиксированном когда

S

2 в том и только том случае,

2 g 2 (h - S2 )2 2+ 2 S2 S2

2 1 - S2 .

(1.4.3)

В случае строгого неравенства имеем 2 точки и 1 точку в прообразе при проекции критических точек на (1.4.3) в случае равенства. Обозначим образом:

S

2 2 через

y

. Тогда неравенство (1.4.3) перепишется следующим

40


(2 + )y 2 - (2h + 1)y + g 2 + h2

0.

(1.4.4)

Неравенство (1.4.4) имеет неотрицательные решения тогда и только тогда, когда

D = (2h + 1)2 - 4(2 + )(g 2 + h2 ) 2 h + 1 2 + > 0
в нашем случае (при

0,
(1.4.5)

0. = 0). h
при

Здесь мы учли, что

Из системы неравенств (1.4.5) следует, что область изменения имеет вид:

=0

h

4 2 g 2 - 1 . 4

(1.4.6)

Заметим, что мы получили ровно то же, что и при ретракции с

so(4)

.

Таким образом, соответствующий кусок бифуркационной диаграммы задается системой (1.4.1), (1.4.6). Чтобы понять, что же представляют собой

критические точки, заметим, что нужно склеить 2 экземпляра одномерных многообразий в неравенстве (1.4.3), отвечающих всевозможным

S

, по границе (там, где

(1.4.3) имеет место равенство). Легко видеть, что в нашем (1.4.3) является объединением двух отрезков.

случае множество точек из

Поскольку при склейке двух отрезков по их границе (по двум точкам) получается окружность, то мы получаем, что критические точки образуют 2 окружности (см. Рисунок 1.8).

Рис. 1.8: Склейка двух отрезков

41


2)

S2 = S3 = 0.

Отсюда следует, что

Q1 = S2 R3 - S3 R2 = 0.

Матрица

косых градиентов перепишется следующим образом:



-2 S1 Q2 -Q2 0 0 0 S1 B . Q2 A 0 0 0 -S1 B A 2 S1 Q2 A
При этом

k

на этом куске бифуркационной диаграммы выражается через

h

следующим образом:

k = -h2 - h -

2 g.

(1.4.7)

Аналогично первому пункту получаем следующую систему:



S1 R1 = g , 2 - S1 + S1 R2 = h,
(1.4.8)

S 2 + R2 + R2 + R2 = 1. 1 1 2 3
Она имеет решение при фиксированном

S

1 тогда и только тогда, когда 2 1 - S1 .

2 g 2 (h + S1 )2 2+ 2 S1 S1
Обозначим

(1.4.9)

2 S1

через

x.

Нужно, чтобы следующее неравенство имело неотри-

цательные решения:

2 + 2 2 h - x + (1 - )x - (g 2 + h2 ) 2
При

0.

(1.4.10)

=0

имеем:

2 S1 - (g 2 + h2 )
Оно имеет решение при любом ческие прямые.

0.

(1.4.11)

hR

. Это значит, что мы имеем 2 крити-

Тот же результат был получен и при ретракции (при

+0).

42


3)

Q1 = 0, A = 2Q3 - q = 0.

В этом случае

sg rad K = 0.

1 (1 - 4 g 2 ) 4 1 При = 0 имеем: q = -1, откуда Q3 = - . Отсюда получаем систему: 2 Q2 + Q2 = S 2 + S 2 + S 2 - g 2 , 2 3 1 2 3 1 S 2 Q2 - S3 = 0. 2 Выясним, в каких пределах меняется h. 1 1 2 2 , откуда h -. h = S 2 + Q3 = S 2 - 2 2 1 2 2 2 2 2 Далее S3 = 2S2 Q2 . Из первого уравнения: Q2 + 42 = S1 + S2 + S3 - g 1 1 2 Q2 + 42 + g 2 - S1 Q2 + 42 + g 2 4g 2 2 1 2 2 2 Отсюда S2 = (1 + = ) 1 + 42 Q2 1 + 4 2 Q2 42 1 + 4 2 Q2 2 2 2 1 + 4g 2 2 4 2 k=
ные. Это значит, что

.

Очевидно, что эти значения достигаются, так же, как и все промежуточ-

2 S2 0;

1+4g 2 4 2

2

. Отсюда

h - 21 ;

42 g 2 -1 42

.

Заметим, что это не совсем то, что получилось при ретракции. Там было

k = -h, h
отрезок

-

1 2

. Объясняется это следующим образом. Горизонтальный

U

в случае

so(4)

шел от вершины параболы

k = -h2 - h -

правленной ветвями вниз, до дальней точки пересечения с

2 g , на 2 параболой h-

h + g

2

, направленной ветвями вверх. При предельном переходе вторая пара-

бола вырождается в луч

k = -h + g

2

. При этом дальняя точка пересечения

горизонтального отрезка с ней уходит на бесконечность, а ближняя точка как раз стремится к отрезок

-

1 2

42 g 2 - 1 . Поэтому 4 42 g 2 - 1 h . 4

то, что мы получили не луч

h

-

1 2

,а

43


Выясним, какое многообразие образуют критические точки. При можно выбрать ном

h>-

1 2

S2 Q

двумя способами: со знаком + и со знаком -. При выбран-

S2

для

S1

и

2 имеем следующее соотношение: 2 2 S1 + (42 S2 - 1)Q2 = g 2 + 2

1 2 - S2 . 2 4
всегда неотрицательна:

2 42 S2 - 1 = 4h + 1. Заметим, что правая часть 4 h + 1 42 g 2 - 1 1 2 g 2 + 42 - S2 = g 2 - 0, т.к. h . 4 2 4 При 4h + 1 > 0 это соотношение задает эллипс,
ность, а при

топологически окруж-

4 h + 1 < 0 S

гиперболу, топологически

2

прямые. С учетом

возможности выбора при

2 двумя способами получаем, что критические точки

h>-

1 4 образуют 2 окружности, а при

h<-

1 4 4 прямые.

4)

Q2 = 0, B = q + 2 Q3 = 0. k=- (1 - 4 g 2 ) 4 = 0.

Это решение не существует при 5)

(2S S - Q )Q = S S A, 23 2 1 12 S1 S2 + Q1 Q2 = 0, Q1 Q2 = 0.
Переписываем первое уравнение с учетом второго:

2(S S Q - S S Q ) = 0, 231 123 S1 S2 + Q1 Q2 = 0 Q1 Q2 = 0.
Первое уравнение можно поделить на уравнения

S

2 , так как

S2 = 0

(иначе из второго

Q1 = 0

или

Q2 = 0).
44


Окончательно получаем:

S Q - S Q = 0, 31 13 S S + Q1 Q2 = 0 12 Q1 Q2 = 0.
Выражая из первого уравнения дество

S3

, из второго

Q

2 и подставляя в тож-

S, Q = 0,

получаем:

2 S2 = Q2 + Q2 . 1 3
Отсюда

(1.4.12)

k = -h

и

h

-

1 4 . 22 S1 S2 = Q2 Q2 12
. Подставляем в него

Из первого уравнения

2 S2 = Q2 + Q 1

2 3:

2 S1 (Q2 + Q2 ) = Q2 Q2 . 1 3 12
Далее из второго уравнения

(1.4.13)

2 2 S1 Q2 = S3 Q2 1 3

. Подставляем это в (1.4.13):

2 2 Q2 (S1 + S3 - Q2 ) = 0. 1 2

(1.4.14)

Q1 = 0,

значит,

2 2 Q2 = S1 + S3 . 2
Теперь воспользуемся тождеством (1.4.15), мы получим

(1.4.15)

S 2 = Q2 - g

2

. Подставляя в него (1.4.12) и

g=0

. При этом

k = -h, h (1),

-

1 4

. Ровно то же самое

получается при подстановке случай нам не дает.

g=0

и случае

то есть ничего нового этот

6) Теперь докажем, что мы перечислили все нетривиальные случаи, когда косые градиенты

H

и

K

линейно зависимы. Остальные (тривиальные) случаи

45


линейной зависимости приводят к точке

(0, 0).

Обозначим через

ij

миноры

2Ч6
матрицы

sg rad H


. и

Приравняв следует, что

sg rad K миноры 13



23

к нулю, получаем следующее: из , а из

13 = 0

Q2 [(2S2 S3 - Q2 )Q1 - S1 S2 A] = 0

23 = 0

получаем, что

Q1 (S1 S2 + Q1 Q2 ) = 0.
Мы получили следующую альтернативу: либо

Q

1 или

Q2

равно 0, либо

выполнено 5). Разберемся теперь с тем, что происходит, когда равно
I.

Q

1 или

Q2

0.
(случай

Q1 = 0, A = 0

Q1 = 0, A = 0

разобран в 3). Из

34

следует, что

S1 S2 = 0
1)

Рассмотрим различные случаи: соответствует случаю

S1 = 0, S3 = 0 (S1 = S3 = 0

1

в теореме). В этом .

случае ненулевым может быть только минор

14 . Q3 = -S2 R1 , Q2 = S3 R1

14 =

2S2 S3 - Q2 Q2 A

S2 A -S2 A

= -S2 A(2S2 S3 - Q2 + Q2 A) =

= -S2 A (2S2 S3 - Q2 + Q2 (2Q3 + 1)) = -2S2 A(S2 S3 + Q2 Q3 ).
По условию, a) b)

A = 0,

значит, либо и

S2 = 0,

либо

S2 S3 + Q2 Q3 = 0.

S2 = 0,

тогда

Q3 = 0

h = k = 0. (S, R). Q3 =

S2 S3 + Q2 Q3 = 0.

Здесь удобнее вернуться к переменным

-S2 R1 , Q2 = S3 R1
2 R1 ). S3 = 0,

, так как

2 S1 = 0. S2 S3 + Q2 Q3 = S2 S3 - S2 S3 R1 = S2 S3 (1 -
разобран в п. (a), поэтому

случай

S2 = 0
и

2 R1 = 1,

откуда

R2 =

R3 = 0.
2)

При этом

g = 0,

k = -h,

то есть мы получаем случай

5

в теореме.

S2 = 0, S3 = 0 (S2 = S3 = 0

соответствуют случаю и условия

2

в теореме) следует, что

Из тождества

S1 Q1 + S2 Q2 + S3 Q3 = 0
46

S3 = 0


Q3 = 0.
I I.

Получаем, что . Из

h = k = 0.
получаем, что

Q2 = 0

23 = 0

S1 S2 Q1 = 0

. Последовательно

рассмотрим ряд случаев. 1)

2 Q1 = 0. 34 = 2S1 S2 A.

Но случаи

Q1 = S1 = 0, Q1 = S2 = 0,

Q1 = A = 0
2)

уже разобраны выше. Но

S2 = 0. 25 = 2Q1 (S1 Q3 - S3 Q1 ).

Q1 = 0

(случай

Q1 = S2 = 0 (S, R).

разобран выше), поэтому

S1 Q3 - S3 Q1 = 0.
, так как либо

Перейдем к переменным

Q1 = -S3 R2 , Q3 = S1 R2
2 2 (S1 + S3 )R2
3) . Либо

2 2 S2 = 0. S1 Q3 - S3 Q1 = S1 R2 + S3 R2 =
В обоих случаях

R2 = 0,

S = 0.

h = k = 0. S1 =
были

S1 = 0, 12 = -2S2 S3 Q1

должен быть равен нулю. Но случай

S3 = 0

соответствует п. 1 теоремы, а случаи

Q1 = S1 = 0 Q2 = S2 = 0

разобраны выше. Случай бифуркационных некритических точек будет разобран ниже в параграфе 1.7. Итак, нами доказана следующая

Теорема 5.

4 Рассмотрим M1,g , g R. Тогда

При = 0 бифуркационная диаграмма отображения момента состоит из следующих кривых:

42 g 2 - 1 1) луча k = -h + g , h , 4 при этом в прообразе получаются 2 критические окружности;
2

2) параболы k = -h2 - h, h R, при этом в прообразе 2 критические прямые; 1 1 4 2 g 2 - 1 3) отрезка k = ,- h , 4 2 4 1 1 при h < - в прообразе будут 4 критические прямые, а при h > - 4 4
47


Рис. 1.9: Бифуркационная диаграмма отображения момента

2 критические окружности; 1 4) луча k = -h, h - . 4 Причем типы (1 - 3) являются критическими значениями, а тип 4 некритическими бифуркационными значениями.
Замечание 5.

При = 0 бифуркационная диаграмма отображения мо-

мента совпадает с пересечением бифуркационной диаграммы, полученной с помощью ретракции c so(4), с образом отображения момента.
На Рисунке 1.9 изображена бифуркационная диаграмма отображения момента. При этом сплошными линиями показаны критические значения, а пунктирной линией некритические бифуркационные значения.

1.5

Индексы критических точек

Будем по-прежнему работать в координатах

(S, Q).

В этих координатах

4 M1,g

является поверхностью уровня функций

f1 = S, Q = 0, f2 = S 2 - Q2 =

g

2

. Векторы

grad H , grad f1 , grad f

2 имеют следующий вид:
48


grad H = (0, 2S2 , 0, 0, 0, 1), grad f1 = (Q1 , Q2 , Q3 , S1 , S2 , S3 ), grad f2 = (2S1 , 2S2 , 2S3 , -2Q1 , -2Q2 , -2Q3 ).
Матрицы вторых частных производных имеют следующий вид:

GK , GH

и

Gf

2

функций

K, H

и

f

2

000 GK = 000 000 0 0 0 0 0 0

0 0 0 , 0 0 -2 0 0 0 , 0 0 0

0 0 0 -2 0 000 0 0 0 0 0 0

00 0 0 0 GH = 0 0 0

000

2 0 0 0 0 0 0 0 000 000 000 000

49


200 Gf2 = 020 002 000 000 000 0 0

0 0 0 0 0 0 0 . -2 0 0 0 -2 0 0 0 -2

Для вычисления индексов критических точек нужно сделать следующее: 1. Находим зависимость точке. Пусть

grad K , grad H , grad f

1и

grad f

2 в критической 2.
2

grad K = A(S, Q)grad H + B (S, Q)grad f1 + C (S, Q)grad f

2. Составляем матрицу 3. Находим базис

G = GK - A(S, Q)GH - B (S, Q)Gf1 - C (S, Q)Gf

.

e1 , e2 , e

3 в касательном пространстве в критической точлинейно независимых вектора, ортогональных

ке. Для этого надо найти векторам емлющем

3

grad H , grad f R
6
.

1и

grad f

2 в смысле скалярного произведения в объ-

4. Вычисляем матрицу формы ство, натянутое на

~ G

ограничения формы

G

на простран-

e1 , e2 , e

3.

5. Одним из собственных значений матрицы

~ G

будет

0

. Нужно найти зна-

ки двух других собственных значений матрицы

~ G.

Число ее отрицательных

собственных значений и будет индексом критической точки. 6. Поскольку в нашем случае матрица

~ G

будет

3Ч3

матрицей, то уравнение

на ее собственные числа будет иметь следующий вид:

~ ~ 3 - tr G2 + + det G,
где

= 11 + 22 +

33 сумма главных миноров матрицы

~ G.

50


У нас одним из собственных чисел матрицы

~ G

является

0

, следовательно,

~ det G = 0,

а значит, для определения оставшихся собственных чисел у нас

есть следующее уравнение:

~ 2 - tr G + = 0
Это означает, что для определения знаков собственных чисел достаточно определить знаки декс будет равен индекс равен индекс равен

~ tr G

и

.

Если

< 0,

то корни будут разных знаков и ин-

1;

если

~ > 0, tr G < 0

, то оба корня будут отрицательными,

2

; если

~ > 0, tr G > 0,

то оба корня будут положительными,

0. k = -h2 - h.
Это точки,

1. Рассмотрим точки, находящиеся на параболе где

S2 = S3 = Q1 = 0
2

,а

S1 , Q2 , Q

3 удовлетворяют условиям:

h=Q

3,

2 S1 - Q2 - Q2 = g 2 3

. Как мы уже выяснили, эти критические точки образуют

2

критические прямые. Мы имеем следующую зависимость между :

g rad K

и

g rad H

grad K = -(2h + 1)grad H = -(2Q3 + 1)grad H
Матрица

G = GK + (2Q3 + 1)GH будет 0 0 0 2(2Q3 + 1) 0 0 G= 0 0 0 0 0 0

иметь следующий вид:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2

0 -2 0 0 0 0 0 0 0

.

51


Нам нужно найти знаки собственных чисел этой матрицы, ограниченной на касательную плоскость к

Q3 g

,h в критических точках.

Учитывая условия на критические точки, мы получаем следующее:

grad H = (0, 0, 0, 0, 0, 1), grad f1 = (0, Q2 , Q3 , S1 , 0, 0), grad f2 = (2S1 , 0, 0, 0, -2Q2 , -2Q3 ).
В качестве базиса в касательной плоскости к критическим точкам можно взять следующие векторы:

e1 = (0, Q3 , -Q2 , 0, 0, 0), e2 = (0, S1 , 0, -Q2 , 0, 0), e3 = (Q2 , 0, 0, 0, S1 , 0).
Матрица ограничения формы ное векторами

G

на касательное пространство, порожден-

e1 , e2
2 3

и

e3

, имеет следующий вид:

2S1 Q3 (2Q3 + 1) 2Q (2Q3 + 1) ~ 2 G = 2 2S1 Q3 (2Q3 + 1) -2Q2 + 2 (1 + 2Q3 ) S1 2 0 0 Очевидно, что 0 действительно является ее собственным
2 ~ tr G = 2 -Q2 + (1 + 2Q3 ) Q2 + S1 2 3
Если Если же ,



0 0 0

числом.

~ G = -42 Q2 Q2 (1 + 2Q3 ). 23
следовательно, индекс равен 1.

2Q3 + 1 > 0, 2 Q 3 + 1 < 0

т.е. , то

h>-

1 2 , то
и

< 0,

~ tr G < 0

>0

, следовательно, индекс равен 2.

2. Рассмотрим теперь точки на луче

k = -h + g

2

,

h

4 2 g 2 - 1 4

. Зави-

симость градиентов имеет следующий вид:

grad K = 2grad f2 - grad H
52


Матрица квадратичной формы

G = GK + GH - 2G -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2 0 0 0 G= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 000

f2 будет следующей:

. Критические точки удовлетворяют следующим условиям:

S1 = S3 = Q2 =

0.

Градиенты в критических точках имеют следующий вид:

g rad H = (0, 2S2 , 0, 0, 0, 1),

g rad f1 = (Q1 , 0, Q3 , 0, S2 , 0),

g rad f2 = (0, 2S2 , 0, -2Q1 , 0, -2Q3 ).
Базис в касательном пространстве можно выбрать следующим образом:

e1 = (Q3 , 0, -Q1 , 0, 0, 0),

e2 = (S2 , 0, 0, 0, -Q1 , 0),

e3 = (0, 0, S2 , 0, -Q3 , 0).
53


Ограничение

G
2 1

на касательное пространство, порожденное векторами

e

1,

e2 , e3

, имеет следующий вид:

-Q - Q ~ G = 2 -S2 Q3 S 2 Q1
Можно убедиться,



2 3

-S2 Q3
2 1 2 S2

S2 Q


1

Q- Q 1 Q 3 . 2 2 Q1 Q3 Q3 - S2 ~ что матрица G действительно 0
.

вырожденная, то есть

одним из ее собственных чисел будет Найдем сумму главных миноров:

=4 =4

2 2

2 2 2 2 2 2 (Q2 -S2 )(Q2 -S2 )-Q2 Q2 -(Q2 +Q2 )(Q2 -S2 )-S2 Q2 -(Q2 +Q2 )(Q2 -S2 )-S2 Q 1 3 13 1 3 3 1 1 3 1 2 2 2 (Q2 + Q2 + S2 )(S2 - Q2 - Q2 ) = 42 g 2 (Q2 + Q2 + S1 ) > 0. 1 3 1 3 1 2
. Это значит, что индекс равен

2 3

2 ~ tr G = -4S2 < 0

2.
1 4 ,

3. Рассмотрим точки, лежащие на отрезке них

k=

-

1 2

h

-

1 4 . На 1 2 ,

g rad K = 0.
2.

Эти точки удовлетворяют условиям:

Q1 = 0, Q3 = -

S3 = 2S2 Q

С учетом этого градиенты имеют следующий вид:

g rad H = (0, 2S2 , 0, 0, 0, 1), 1 , S1 , S2 , 2S2 Q2 ), 2 1 g rad f2 = (2S1 , 2S2 , 4S2 Q2 , 0, -2Q2 , ). g rad f1 = (0, Q2 , -
Поэтому в качестве базисных в касательном пространстве можно выбрать следующие векторы:

e1 = (Q2 , 0, 0, -S2 , S1 , 0), e2 = (-42 S2 Q2 , 0, 2S1 , 1, 0, 0),
54


2 e3 = (0, -S1 , 0, Q2 - 42 S2 Q2 , 0, 2S1 S2 ).
Получаем, что матрица

~ G

имеет следующий вид:

~ = 2 G
У нее

2 -S2

S2 -1

S2 (Q2 - 4 -(Q2 - 4

2

2 S2

Q2 )

.

S2

2

2 S2

Q2 )

2 2 22 2 S2 (Q2 - 42 S2 Q2 ) -(Q2 - 42 S2 Q2 ) -42 S1 S2 - (Q2 - 42 S2 Q2 )2

2 2 ~ tr G = 2 -1 - 1 + 42 S1 S2 - Q

2 2

2 1 - 42 S2

2

< 0,

22 2 = 164 S1 S2 1 + S2 > 0,
это означает, что индекс равен

2

.

Таким образом, мы доказали следующее

Утверждение 1.5.1.

1. Прообразы 2. Прообразы 3. Прообразы 4. Прообразы

Индексы критических точек имеют следующий тип: 1 кривой k = -h2 - h, h < - имеют индекс 2; 2 1 кривой k = -h2 - h, h > - имеют индекс 1; 2 42 g 2 - 1 2 кривой k = -h + g , h > имеют индекс 2; 4 1 1 4 2 g 2 - 1 кривой k = ,-
1.6

Доказательство полноты векторных полей

sgrad H

и

sgrad K
Мы будем рассматривать векторные поля тах

sg rad H

и

sg rad K

в координа-

(S, Q). e(3) ( = 0):

Приведем координатное представление этих полей для случая

sg rad H = (2S2 S3 - Q2 , Q1 , -2S1 S2 , (2Q3 + 1)S2 , -S1 , -2S2 Q1 ),
55


sg rad K = (Q2 (2Q3 +1), -Q1 , -2Q1 Q2 , -(2Q3 +1)S2 , -2(S3 Q1 -S1 Q3 )+S1 , 2S2 Q
Определение 16.

1

Непрерывная функция называется собственной, если про-

образ любого компакта является компактом.
Для доказательства полноты векторного поля следующая

sg rad H

нам понадобится

Лемма 1.6.1.

(см. работу У. Гордона [30])Пусть непрерывное вектор-

ное поле на гладком многообразии M . Тогда полно, если на M существует гладкая функция E , собственная непрерывная функция f и константы a,

b, такие что для всех x M выполнены следующие условия:
1. | (E (x)| 2. |f (x)|

a|E (x)|, b|E (x)|. sg rad K
нам понадобится следующее клас-

Для доказательства полноты сическое

Утверждение 1.6.1.

(см., например, книгу А. Ф. Филиппова [31]) Пусть

дана система y (x) = f (y , x), y Rn , x R. Если f непрерывна и при всех (x, y ) удовлетворяет условию |f (x, y )|

a(x)|y | + b(x), где функции

a и b непрерывны, то для любого начального условия (x0 , y0 ) существует
глобальное решение задачи Коши.
Следствие 1.6.1.

Если f непрерывна и линейна по y , то векторное поле

f (y , x) полно.
Возьмем

2 2 2 f = E = S1 + S2 + S3 + Q2 + Q2 + Q2 1 2 3

. Очевидно, эта функция

является собственной.

56


|sgrad H (f )| = |(sg rad H )1

f f f f + (sg rad H )2 + (sg rad H )3 + (sg rad H )4 + S1 S2 S3 Q1 f f + (sg rad H )6 | = |(2S2 S3 - Q2 ) ћ 2S1 + Q1 ћ 2S2 - + (sg rad H )5 Q2 Q3 - 2S1 S2 ћ 2S3 + (2Q3 + 1)S2 ћ 2Q1 - S1 ћ 2Q2 - 2S2 Q1 ћ 2Q3 | = = |2(2S1 S2 S3 - S1 Q2 + S2 Q1 - 2S1 S2 S3 + 2S2 Q1 Q3 + S2 Q1 - S1 Q2 - - 2S2 Q1 Q3 )| = 4|S2 Q1 - S1 Q2 |
2 + S3 + Q2 + Q2 + Q2 ) = 2f . 1 2 3 2 2 2(S1 + S2 + Q2 + Q2 ) 1 2 2 2 2(S1 + S2 +

Сначала мы докажем, что

S2 (t), Q1 (t), Q3 (t)

являются непрерывными

функциями времени, определенными для любого момента времени, а потом для оставшихся переменных Обозначим

S1 , S3 , Q

2 применим следствие.
через

2Q3 + 1

через .

~ Q3 , 2h + 1

~ h.

~ 3 = 2Q3 = 42 S2 Q1 Q

2 2 ~ ~ h = S2 + Q3 , h = 2h + 1 = 22 S2 + Q
В новых координатах имеем:

3.

~ ~ ~ sg rad K = (Q2 Q3 , -Q1 , -2Q1 Q2 , -S2 Q3 , S1 Q3 - 2S3 Q1 , 42 S2 Q1 ) S = -Q 2 1 ~ Q = -S2 Q3 1 ~ Q = 42 S Q 21 3
2 ~ Е ~ S2 = -Q1 = S2 Q3 = S2 (h - 22 S2 ).

2 ~ Е S2 S2 = S2 (h - 22 S2 )S2 ,

57


2 d d S2 = dt 2 dt S2 = + 2

2 ~ S2 (h - 22 S2 ) dS2 ,

2 ~ S2 (h - 22 S2 ) dS2 + C1 ,

2 22 ~ 2 = + - (h - 2 S2 ) + C , S 4 dS2 = +t + D, 2 ~ (h - 22 S2 )2 +C - 4
Мы видим, что в числителе стоит корень из многочлена четвертой степени, имеющего различные корни при

~ h=0

и

C = 0.

Как известно (см., например,

книгу А. Гурвица и Р. Куранта [32]), решение такого уравнения выражается через эллиптические функции. Оно существует для любого момента времени и является непрерывно дифференцируемым и периодическим.

2 Q3 (t) = h - S2 (t),

поэтому

Q3

тоже является непрерывной функцией,

определенной для любого момента времени.

Q1 (t) = -S2 (t),
Функции

значит, и

Q1

непрерывная всюду определенная функция.

S1 , S3

Q

2 удовлетворяют следующему линейному обыкновен-

ному дифференциальному уравнению:

S = 1 S= 3 Q = 2

~ Q3 Q

2

-2Q1 Q2 ~ Q3 S1 - 2Q1 S3 S1 , S3
и

Правая часть является непрерывной по t, следовательно, ствуют при любом моменте времени. Это означает, что поле полным.

Q

2 суще-

sg rad K

является

58


1.7

Топология совместной поверхности уровня

H

и

K
H

При изучении топологии совместной поверхности уровня гамильтониана и дополнительного интеграла

K

мы будем использовать теорему Лиувилля

(см. Теорему 1). Отметим, что полнота векторных полей

sg rad H

и

sg rad K

является существенным условием в этой теореме. В случае двух степеней свободы и полноты указанных векторных полей теорема Лиувилля утверждает, что связные регулярные поверхности уровня гамильтониана и дополнительного интеграла диффеоморфны двумерному тору, цилиндру или плоскости.

Теорема 6.

При регулярных, то есть не принадлежащих бифуркационной

диаграмме для отображения момента, (h, k ) совместная поверхность уровня H и K имеет следующий тип (см. Рисунок 1.10): 1. Пустое множество в камере 1; 2. Два цилиндра в камере 2 (под параболой); 3. Четыре цилиндра в камерах 3 и 4 (над параболой, но под лучом k =

-h);
4. Два тора в камере 5 (над лучом k = -h, но под лучом k = -h + g 2 ). Доказательство.
Камера 1. Покажем, что камере

1

соответствует пустое множество.

1

ограничена кривыми

k=

1 . 4 k = -Q3 - 2 (Q2 + Q2 ) 1 3
Докажем, что

1 , k = -h + g 4

2

и

k = -h2 - h.

k

1 1 -Q3 - 2 Q2 = -(Q3 + )2 + 3 2 4
2
.

1 4

.

Докажем, что

k

-h + g

2 2 k + h - g 2 = -Q3 - (Q2 + Q2 ) + S2 + Q3 - g 2 = (S2 - Q2 - Q2 - g 2 ) = 1 3 1 3 2 2 2 2 22 (Q2 - S1 - S3 ) = (S3 R1 - S1 R3 )2 - S1 - S3 = (S3 R1 - 2S1 S3 R1 R3 + 2
59


22 2 2 2 2 2 S1 R3 - S1 - S3 ) = - (1 - R3 )S1 + 2S1 S3 R1 R3 + (1 - R1 )S
Здесь мы воспользовались тем, что Покажем, что

2 3.

Q2 = S 2 R2 - g

и

R2 = 1.

2 2 2 (1 - R3 )S1 + 2S1 S3 R1 R3 + (1 - R1 )S 2 1 - R1 S3 )2

2 3 не меньше, чем

2 ( 1 - R3 S1 +

(нужно выбрать знак, противоположный знаку

S1 S

3 ) и, значит, неотрицательно.

Пусть для определенности

S1 S3 > 0

. Тогда

2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1-R3 S1 - 1-R1 S3 )2 = (1-R3 )S1 -2 (1-R1 )(1-R3 )S1 S3 +(1-R1 )S3 = 2 2 2 2 2 2 22 = (1-R3 )S1 -2 1-R1 -R3 +R1 R3 S1 S3 +(1-R1 )S3 = 2 2 2 2 22 = (1-R3 )S1 -2 R2 +R1 R3 S1 S3 + (1-R1 )S 2 2 2 2 (1-R3 )S1 +2S1 S3 R1 R3 +(1-R1 )S3 ,
так как

2 3

-

2 22 R2 + R1 R3

-|R1 R3 |

R1 R3

.

Если же

S1 S3 < 0

, то

2 2 2 2 (1 - R3 )S1 + 2S1 S3 R1 R3 + (1 - R1 )S3
Покажем, что

2 ( 1 - R3 S1 +

2 1 - R1 S3 )2

0.

k

-h2 - h

при

h
2 3

-

1 2 . 2
, так как

k = -Q3 - (Q2 + Q2 ) 1 3 h -
1 2 , а функция

-Q3 - Q
2

-h - h x

Q3 = h - S

2 2

x - x

возрастает при

-

1 2 ,
:

>0

.

2. Мы имеем следующую систему, задающую

2 Mh,k

2 h = S2 + Q3 , k = -Q3 - (Q2 + Q2 ), 1 3 S1 Q1 + S2 Q2 + S3 Q3 = 0, 2 Q + Q2 + Q2 = S 2 + S 2 + S 2 - g 2 . 1 2 3 1 2 3
Из второго уравнения имеем:

(1.7.1)

60


0
откуда

Q2 = -(Q3 + Q2 + k ), 1 3

(1.7.2)

Q 2 + Q3 + k 3

0

(1.7.3)

Если в формуле (1.7.3) строгое неравенство, то получаем два значения для

Q1

, отличающихся знаком, если же в формуле (1.7.3) равенство, то Выразив

Q1 = 0.

Q3

из первого уравнения системы (2.7.2) и подставив в неравен-

ство (1.7.3), получаем:

2 2 (h - S2 ) + (h - S2 )2 + k
или

0,

(1.7.4)

2 2 4 h - S2 + h2 - 22 hS2 + 3 S2 + k
Обозначим

0.

(1.7.5)

2 S2

через

x

.

Тогда неравенство (1.7.5) перепишется так:

3 x2 - (2h + 1)x + k + h2 + h
Дискриминант уравнения

0.

(1.7.6)

3 x2 - (2h + 1)x + k + h2 + h = 0,
соответствующего неравенству (1.7.6), равный Если

(1.7.7)

2 (1 - 4k ),

неотрицателен.

k + h2 + h < 0 |S2 |

, то корни уравнения (1.7.7) имеют разные знаки. Это причем, если

означает, что

C (h, k ),

|S2 | < C (h, k ),

то для

Q

1 имеем
.

два значения, различающиеся знаком. Если же

|S2 | = C (h, k ),

то

Q1 = 0

Это означает, что проекция совместной поверхности уровня гамильтониана и дополнительного интеграла на плоскость

(S2 , Q1 )

является окружностью.

61


Если

k + h2 + h > 0,
2 Mh,k

то

0 < C1 (h, k ) (S2 , Q1 )

|S2 |

C2 (h, k ).

Это означает, что

проекция

на плоскость

является двумя окружностями.

Фиксируем при

S2 , Q1 , S2 = 0

(заметим, что

S2

может равняться нулю только

k < -h2 - h).

Тогда система (2.7.2) перепишется так:

Q3 = h - S 2 , 2 k = -Q3 - (Q2 + Q2 ), 1 3 Q = - S1 Q1 + S3 Q3 , 2 S2 2 Q + Q2 + Q2 = S 2 + S 2 + S 2 - g 2 . 1 2 3 1 2 3
Выразив из первого уравнения системы (1.7.8) нения

(1.7.8)

Q3 S3

, затем из третьего урав-

Q2

, мы получим одно уравнение на

S1

и

. Оно задает нам слой над

точкой для

(S2 , Q1 ).
и

Подставим в четвертое уравнение системы (1.7.8) выражения

Q2

Q

3:

Q2 + 1

(S1 Q1 + S3 Q3 )2 2 2 2 + Q2 = S1 + S2 + S3 - g 2 , 3 2 S2

2 2 2 2 2 2 2 2 S2 Q2 + S1 Q2 + 2S1 S3 Q1 Q3 + S3 Q2 + S2 Q2 = (S1 + S2 + S3 - g 2 )S2 , 1 1 3 3 2 2 2 2 2 2 (Q2 - S2 )S1 + 2Q1 Q3 S1 S3 + (Q2 - S3 )S3 = (S2 - Q2 - Q2 - g 2 )S2 , 1 3 1 3
Правая часть равна доказали в п.1). Рассмотрим левую часть как квадратичную форму относительно переменных

(

h+k 2 - g 2 )S2 < 0,

так как

k < -h - g

2

(это мы

S1

и

S

3 . Матрица квадратичной формы имеет следующий вид:



Q-

2 1

2 S2

Q1 Q3
2 Q2 - S2 3



Q1 Q3

62


Определитель этой матрицы равен матрицы квадратичной формы равен Если

2 2 2 h+k S2 (S2 - Q2 - Q2 ) = S2 ( ). 1 3 k+h 2 2 Q2 + Q2 - 2S2 = - - S2 . 1 3

След

k > -h

, то определитель положителен, а след отрицателен, и урав-

нение задает эллипс, то есть топологически окружность. Если же уравнение задает гиперболу, то есть топологически две прямые. При

k < -h

, то

S2 = 0

получаем систему:

h = Q3 , k = -Q3 - (Q2 + Q2 ), 1 3 S1 Q1 + S3 Q3 = 0, 2 Q + Q2 + Q2 = S 2 + S 2 - g 2 . 1 2 3 1 3 S3 = - S1 Q h
1
.

(1.7.9)

2 k+h S1 Q2 2 2 - + Q2 = S1 + 2 1 - g 2 . h

Q2 = - 1

k + h2 + h

.

В итоге получаем:

k + h 2 k + h - g S= Q+ h2 1
2 2
Правая часть меньше

2

0

, так как

k < -h + g

2

.

k+h < 0

, так как ).

k < -h2 - h (S2

может равняться нулю только при

k < -h2 - h

Уравнение задает гиперболу, то есть топологически две прямые. В итоге, мы получаем следующее.

63


При

k < -h2 -h

мы имеем расслоение над окружностью со слоем две пря-

мые. Учитывая то, что совместная поверхность уровня является ориентированной, мы получаем, что это может быть либо цилиндр, либо два цилиндра. Но число связных компонент равно в этом случае двум, так как совместная поверхность уровня на куске параболы

k = -h2 - h, h < - 2

1 2

представ-

ляет собой две критические прямые индекса диффеоморфно При

. Поэтому в этом случае

2 Mh,k

2C

2

. у нас расслоение над двумя окружностями со

-h2 - h < k < -h 1 4

слоем две прямые. Учитывая ориентированность

2 Mh,k

, а также то, что при

k=

1 1 ,- 4 2
.

h<

совместная поверхность уровня является четырьмя

критическими прямыми индекса

2,

мы получаем, что

2 Mh,k

диффеоморфно

4C

2

Наконец при

k > -h

мы имеем расслоение над двумя окружностями со

слоем окружность. Из-за ориентируемости

2 Mh,k

и того, что при

k=

h

42 g 2 - 1 4

11 , < 4 4

совместная поверхность уровня является двумя критическими

окружностями индекса

2 2, Mh,k

диффеоморфно

2T

2

.

Мы видим, что помимо критических значений бифуркационной диаграмме также принадлежит и луч

k = -h (h

-

1 4

), так как топология совместной

поверхности уровня меняется при переходе через этот луч.

На Рисунке 1.10 представлено расположение камер, отвечающих разным совместным поверхностям уровня мерам в Теореме 6.

H

и

K

. Номера камер соответствуют но-

64


Рис. 1.10: Расположение камер, отвечающих разным совместным поверхностям уровня и

H

K
Перестройки

1.8

Мы опишем перестройки торов и цилиндров Лиувилля изучаемого случая Соколова. 1. На границе бифуркационной диаграммы возникает перестройки вида



T

2

или



C

2

(рождение тора и цилиндра соответственно). Первая из

них обозначается обычно вторая же получается из

A

(см. книгу А. В. Болсинова и А. Т. Фоменко [12]),

A

заменой окружности на прямую (вместо тора

T2 =

S1 Ч S

1

здесь будет цилиндр

C2 = S1 Ч R

1

, вместо критической окружности


критическая прямая). Обозначим вторую перестройку

A.

Как это принято

в компактной теории, число перед буквой, означающей перестройку, будет означать, что одновременно происходит несколько бифуркаций такого рода. 2. В изучаемой системе встречается еще один аналог хорошо известной перестройки

B (T

2

2T

2

). Перестройку

B

можно описать так (см. книгу

А. В. Болсинова и А. Т. Фоменко [12]): исходная окружность перетягивается, возникает перемычка, получается восьмерка, которая затем распадается на

65


две окружности. Вся эта картинка умножается на окружность. У нас же картинка будет умножаться на прямую, а не на окружность. Мы получим новую перестройку

C

2

2C

2


, которую обозначим

B

.

3. В интегрируемом случае Соколова присутствует некомпактная перестройка, для которой нет компактного аналога. Это перестройка без критических точек. Тор перестраивается в два цилиндра. Перестройку можно описать следующим образом. Рассмотрим функцию функцию неявно в виде

f

, заданную

(x + cy )2 + (1 - c2 )y 2 = 1.
Легко видеть, что если

c2 < 1,

то линией уровня

f

будет гипербола, то есть

топологически две прямые. При ные прямые. При

|c| = 1

линией уровня будут две параллель-

c2 > 1

линией уровня будет эллипс, то есть топологически

окружность. Критических точек у функции

f

нет. Описанная перестройка

(две прямые переходят в окружность) происходит без критических точек. Умножаем описанную перестройку

"

две прямые

окружность" на окруж-

ность. В результате получаем перестройку

T

2

2C

2

, которую обозначим

S

. На Рисунке 1.11 представлены перестройки торов и цилиндров Лиувилля

для случая Соколова

66


Рис. 1.11: Перестройки торов и цилиндров Лиувилля

67


Глава 2 Случай Соколова на so(3, 1)
2.1 Введение

В этой главе мы исследуем слоение Лиувилля случая Соколова на

so(3, 1).

Описана топология изоэнергетической поверхности гамильтониана (см. Теорему 7), бифуркационные диаграммы отображения, заданного гамильтонианом (см. Утверждение 2.2), и отображения момента (см. Теорему 8), индексы критических точек (см. Утверждение 2.6.1), а также совместные поверхности уровня гамильтониана и дополнительного интеграла (см. Теорему 9). Также было доказано, что поток векторного поля, отвечающего гамильтониану, неполон (см. параграф 2.5).

2.2

Бифуркационные значения гамильтониана

Бифуркационные значения гамильтониана значения, являющиеся бифуркационными для отображения

4 H : M1,g R(h).

Критическими точками

гамильтониана являются те точки, где косой градиент гамильтониана равен нулю.

68


Выпишем явно поле

sgrad H

:

{S1 , H } = 2S2 S3 + S1 R3 - R1 S3 , {R1 , H } = 2S2 R3 + S1 S3 - R1 R3 , 2 2 {S2 , H } = S1 S3 + S2 R3 - R2 S3 , {R2 , H } = S1 R3 + S2 S3 - R2 R3 , 2 2 {S3 , H } = -2( + )S1 S2 , {R3 , H } = -2(R1 S2 + S1 R2 ) + R1 + R2 -
2 2 - S1 - S2 .
Можно убедиться, что при формулы

=1

(случай

so(4)

) мы получим в точности

(5)

из работы А. А. Ошемкова и Г. Хагигатдуста [27].

Приравняв нулю

sgrad H

, получаем следующее

Утверждение 2.2.1.

Для произвольного = -2 критические точки га-

мильтониана образуют следующие двупараметрические семейства. При этом

sgrad K в этих точках тоже равен нулю.
1) (0, 0, S3 , 0, 0, R3 );
2 2 2 2) (0, S2 , 0, R1 , R2 , 0), где R1 + R2 - S2 - 2R1 S2 = 0; 3) (0, S2 , S3 , 2S2 , + S2 , + S3 ) при 0; 2 2 2 2 4) (S1 , 0, 0, R1 , R2 , 0), где R1 + R2 - S1 - R2 S1 = 0; 2 5) (S1 , 0, S3 , + S1 , S1 , + S3 ) при 0.
Замечание 6.

Утверждение 2.2.1 это обобщение Предложения 1 из ста-

тьи А. А. Ошемкова и Г. Хагигатдуста [27].
Мы изучаем систему на

4 M1,g

, поэтому надо добавить еще условия

f1 = 1,

f2 = g

.

69


Утверждение 2.2.2.

Для любого < 0 критические точки гамильтониа-

4 на на M1,g перечислены ниже:

1) при всех g R имеются 4 точки вида
2 2 (0, 0, S3 , 0, 0, R3 ), где S3 + R3 = 1, S3 R3 = g ,

при этом h = k = 0; 2) при всех g R имеются 2 точки вида

1 (0, S2 , 0, - S2 2S2 - при этом h =

g 1 2 (1 - 4 g 2 ) 2 , , 0), где S2 = + S2 2 4 2 (2 + ) ( + 2 )(1 - 4 g 2 ) 1 - 4 g 2 иk= . 2 4

Известно, что в некомпактном случае помимо критических бифуркационных значений могут быть некритические (см. пример в Главе 1). Но в нашем случае выполнено

Утверждение 2.2.3.

Бифуркационные значения гамильтониана случая Со-

колова на so(3, 1) (при < 0) являются следующими кривыми на плоскости

(g , h):
1. h = 0, g R; - (2 + )(1 - 4 g 2 ) , g R, 2. h = 2 причем эти точки являются критическими значениями.
На Рисунке 2.1 представлены бифуркационные значения гамильтониана.

70


h 0.2 g 4 2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 2 4

Рис. 2.1: Бифуркационные значения гамильтониана

2.3

Топология изоэнергетической поверхности

Теперь исследуем топологию изоэнергетической поверхности личных значениях дырками.

Q3 g

,h при раз-

g

и

h.

Обозначим через

2 Dk

открытый двумерный диск с

k

для гамильтониана слу - (2 + )(1 - 4 g 2 ) чая Соколова на so(3, 1) ( < 0), h = 0, h = , 2 2 диффеоморфна D3 Ч R.
Теорема 7.

Изоэнергетическая поверхность Q

3 g ,h

Доказательство.

Без ограничения общности считаем, что

= -1.

Фиксирусистему:

ем значение вектора

S = (S1 , S2 , S3 ) и рассмотрим относительно R S R + S R + S R = g, 11 22 33 S R - S R = - S 2 + S 2 - h. 21 12 2 1
в пространстве

Она задает прямую

l

R3 (R),

если векторы

(S1 , S2 , S3 ) и (S2 , -S1 , 0)
. В этом слу-

линейно независимы. А они зависимы только, если чае

S1 = S2 = 0

h = 0.

Но значение

h=0

всегда является критическим (см. Утвержде-

ние 2.2.3). Прямая

l

пересекает сферу

R2 = 1 - S

2

не более чем в двух точ-

71


ках. Множество точек верхности Прямая

S

, для которых существует пересечение, есть образ по-

Q

3 g ,h при проекции

(S, R) S

. Обозначим его через

P

3 g ,h

R3 (S ).

l

пересекает сферу тогда и только тогда, когда

((0, l))2
где

1 - S 2,
до начала координат, причем равенство

(0, l)

расстояние от прямой

l

соответствует случаю, когда прямая пересекается со сферой по одной точке, а строгое неравенство по двум. Вычисляя

(0, l),

получаем:

((0, l))2 =

g + S2 P

2

2 (S2 -

2 S1 - h)2 2 + S2 S1 2

1 - S 2.

Следовательно, множество

3 g ,h задается неравенством

2 S 2 (S2 -
Обозначим

2 2 2 S1 - h)2 + ( S 4 - S 2 + g 2 )(S1 + S2 )

0.

(2.3.1)

2 v = S2 -
В новых переменных

2 S - h, 1

2 2 u = S1 + S2 ,

2 z = S3 .

u, v , z

неравенство (2.3.1) представится в виде:

uz 2 + (2 u2 - u + v 2 )z + u(v 2 + g 2 + u2 - u)
Теперь подставляем

0.

(2.3.2)

= -1.

Тогда квадратичное по

z

неравенство (2.3.2)

перепишется следующим образом:

uz 2 + (2u2 + u - v 2 )z + u(u2 + u - v 2 - g 2 )
Сначала рассмотрим случай, когда равенства

0.
2 2 u = S1 + S2

(2.3.3) , то из

u = 0.

Поскольку

u

нулю следует, что

S1 = S2 = 0,
72

откуда в свою очередь следует,


что

h=0

. Но, как мы уже знаем, значение

h=0

является критическим

(см. Теорему 1). При этом также оказывается, что сама прямая влияет на топологию прямую

h=0

не

Q3 g

,h , то есть при проходе на плоскости

R2 (g , h)

через ,

h = 0,

не пересекая ветви гиперболы

1 h=- + 22

(2 - 1)(4g 2 + 1)

топологический тип

Q3 g

,h не меняется. Такая же ситуация наблюдалась и на

so(4)

(см. работу А. А. Ошемкова и Г. Хагигатдуста [27]), и на

e(3)(см.

Главу

1). Далее считаем, что

u > 0. D
уравнения (2.3.4)

Найдем дискриминант

uz 2 + (2u2 + u - v 2 )z + u(u2 + u - v 2 - g 2 ) = 0,

соответствующего тому случаю, когда в неравенстве (2.3.3) стоит равенство:

D = (2u2 + u - v 2 )2 - 4u2 (u2 + u - v 2 - g 2 ) = (v 2 - u)2 + 4u2 g 2 > 0.
Мы видим, что уравнение (2.3.4) всегда имеет корни

z1 , z2

. Поскольку

z

0,

то нужно вычислить, когда неравенство (2.3.3) имеет неотрицательные

решения. Заметим, что для ненулевых корней знаки однозначно определяются знаками суммы и произведения корней. Разбирая все варианты, получаем, что образ кость

P

3 g ,h при проекции на плос-

S1 , S2

состоит из всех точек

(S1 , S2 ),

таких, что

(S1 , S2 ) = (0, 0)

. Про-

образом любой внутренней точки

(S1 , S2 ) (Pg3,h )

при проекции

: P3

R2 (S1 , S2 ) (-


является прямая или же дополнение к интервалу

z+ (S1 , S2 ),

z+ (S1 , S2 )) -,

в зависимости от знака

u2 + u - v 2 - g

2

(если знак

+,

то прямая, если

то дополнение к интервалу), где

z+ (S1 , S2 )

единственный положительный корень уравнения (2.3.4) (при

u2 + u - v 2 - g 2 <

0).
73


Нам осталось определить при различных регулярных на плоскости переменных

(g , h)

вид области В

R2 (S1 , S2 ),

задаваемой неравенством

u2 + u - v 2 - g 2 < 0.

S

оно перепишется следующим образом:

12 2 2 2 2 2 (S1 + S2 )2 + S1 + S2 - ( S1 + S2 - h)2 - g

2

0. S
1 , получа-

Переписывая последнее неравенство относительно переменной ем неравенство:

2 - 1 4 2h 2 S1 + 1 + S1 + 1 - 2
которое эквивалентно следующему:

2

4 2 S2 + (1 + 2h)S2 - g 2 - h2

0,

-
2 S1 2 S2 +

1 + 2 h 2(1-2 )

2

+
2

4g + 1 + 2h + 2 -1) 4( 2(2 -1)
2

2


2 S1 ,
(2.3.5)


(2.3.6)



2 S2 +

1 + 2 h 2(1-2 )

+

4g + 1 + 2h . - 4(2 -1) 2(2 -1)

Заметим, что левая часть всегда меньше нуля. Правая часть будет больше

1 S2 тогда и только тогда, когда h < - + (2 - 1)(4g 2 + 1). 22 1 Если h > - + (2 - 1)(4g 2 + 1), то правая часть будет положительна при 22 1 |S2 | > const, const зависит от g и h. В случае h = - + (2 - 1)(4g 2 + 1) 22 3 правая часть будет больше нуля при S2 = 0 и равна нулю при S2 = 0. Pg ,h
нуля при всех будет иметь следующий тип: 1) при

h=0

и

1 h<- + 22

(2 - 1)(4g 2 + 1)

имеем пространство

R3 (S )

с

вырезанными из него ?однополостным гиперболоидом? и прямой

S1 = S2 =

0,

при

h=0

эта прямая ?вклеивается?; и

2) при

h=0

1 h>- + 22

(2 - 1)(4g 2 + 1)
74

имеем пространство

R3 (S )

с


вырезанными из него ?двуполостным гиперболоидом? и прямой при

S1 = S2 = 0,

h=0

эта прямая ?вклеивается?.

Для получения изоэнергетической поверхности необходимо склеить два экземпляра многообразий казана.

P

3 g ,h , описанных выше, по их границе. Теорема до-

2.4

Бифуркационная диаграмма отображения момента

Рассмотрим теперь отображение момента для случая Соколова на

so(3, 1)

H Ч K : { (S, R) | f1 (S, R) = 1, f2 (S, R) = g } R2 (h, k ), (H Ч K )(S, R) = (H (S, R), K (S, R)).
только тогда, когда Точка

заданное формулой

(S, R)

будет критической тогда и

sg rad H S
и

и

sg rad K

будут линейно зависимыми. Удобно

перейти от переменных

R

к переменным

S

и

Q.

Аналогично тому, как это

сделано в работе А. А. Ошемкова и Г. Хагигатдуста [27], можно показать, что при

S=0

это будет диффеоморфизм

4 M1,g

на свой образ. Поэтому бифур-

кационную диаграмму можно искать в переменных перепишется следующим образом:

(S, Q).

При этом скобка

{Si , Sj } =

ij k Sk ,

{Si , Qj } =

ij k

Qk

,

{Qi , Qj } = q

ij k Sk , где

q = S 2 -

R2 = 2 S 2 - 1.
Мы также будем использовать следующее полезное тождество:

1 - q2 Q =S R -g = - g 2 , = 0. 4
2 2 2 2
Теорема 8.

4 Рассмотрим M1,g , g R. Тогда

при < 0 критические значения отображения момента состоят из следующих кусков:
75


(2 + )(1 - 4 g 2 ) , 2 при этом в прообразе получаются 2 критические окружности (0, S2 , 0, Q1 , 0, Q3 ). g2 2 2) параболы k = -h - h - , h R, при этом в прообразе 2 критические прямые (S1 , 0, 0, 0, Q2 , Q3 ). - (2 + )(1 - 4 g 2 ) 1 1 - 4 g 2 ,- h , 3) отрезка k = 4 2 2 q при этом в прообразе будут 2 критические окружности (S1 , S2 , S3 , 0, Q2 , ). 2 4) изолированной особой точки h = k = 0.
1) куска параболы k = h2 - h + g 2 , h

-

Доказательство.

Обозначим

2 Q 3 - q
и

через :

A, q + 2 Q3

через

B

.

Выпишем координаты

sg rad H

sg rad K

{S1 , H } = 2S2 S3 - Q2 , 2 S1 S3 + Q1 , {S3 , H } = -2( + )S1 S2 , {S2 , H } = {Q1 , H } = S2 A, {Q2 , H } = S1 B , {Q3 , H } = -2( S1 Q2 + S2 Q1 ), {S1 , K } = Q2 A, {S2 , K } = Q1 B , {S3 , K } = -2( + )Q1 Q2 ,

{Q1 , K } = [2 (S2 Q3 - S3 Q2 ) + q S2 ]A, {Q2 , K } = [2(S3 Q1 - S1 Q3 ) + q S1 ]B , {Q3 , K } = 4 Q3 (S1 Q2 - S2 Q1 ) - 2q (S2 Q1 +
76

S1 Q2 ).


Сначала мы перечислим случаи линейной зависимости при

sg rad H

и

sg rad K

< 0,

когда соответствующие куски бифуркационной диаграммы отоб-

ражения момента являются частями кривых порядка не выше 2, причем то, что в этих случаях косые градиенты линейно зависимы, будет проверено непосредственно. Затем будет показано, что все возможности, когда косые градиенты линейно зависимы, сводятся к этим или же приводят к точке 1)

(0, 0).

S1 = S3 = 0.

Отсюда следует, что

Q2 = S3 R1 - S1 R3 = 0.

При этом

матрица, составленная из косых градиентов, приобретает следующий вид:


Очевидно, что

0

Q

1

0

S2 A

0

-2S2 Q


1

0 Q1 B 0 S2 AB 0 -2S2 Q1 B
и

.

sg rad H

sg rad K

в этом случае линейно зависимы, так как

они просто пропорциональны с коэффициентом пропорциональности, равным

B

.

Легко проверить, что зависимость

h

и

k

на данном куске бифуркационной

диаграммы выражается следующим образом:

k=

2 h - h + g 2 . h.

(2.4.1) Рассмотрим

Найдем теперь критические точки и область изменения следующую систему, задающую критические точки:



S2 R2 = g ,
2 S2 - S2 R1 = h,
(2.4.2)

S 2 + R2 + R2 + R2 = 1. 2 1 2 3
Она имеет решение при фиксированном когда

S

2 в том и только том случае,

77


2 g 2 (h - S2 )2 + 2 2 S2 S2

2 1 - S2 .

(2.4.3)

В случае строгого неравенства имеем 2 точки и 1 точку в прообразе при проекции критических точек на (2.4.3) в случае равенства. Обозначим образом:

S

2 2 через

y

. Тогда неравенство (2.4.3) перепишется следующим

(2 + )y 2 - (2h + 1)y + g 2 + h2

0.

(2.4.4)

Неравенство (2.4.4) имеет неотрицательные решения тогда и только тогда, когда

D = (2h + 1)2 - 4(2 + )(g 2 + h2 ) 2 h + 1 2 + > 0.

0,
(2.4.5)

0.

Здесь мы учли, что

Из системы неравенств (2.4.5) следует, что область изменения имеет вид:

h

при

<0

ма

- (2 + )(1 - 4 g 2 ) h , 2 + (2 + )(1 - 4 g 2 ) (2.4.6) , h 2 h - 1 . 2 + (2 + )(1 - 4 g 2 ) 1 2 <- при + > 0, поэтому систеНо 2 2 - (2 + )(1 - 4 g 2 ) (2.4.6) равносильна неравенству h . Получаем 2
2)





две критические окружности.

S2 = S3 = 0.

Отсюда следует, что

Q1 = S2 R3 - S3 R2 = 0.

Матрица

косых градиентов перепишется следующим образом:

78


-2 S1 Q2 -Q2 0 0 0 S1 B . Q2 A 0 0 0 -S1 B A 2 S1 Q2 A
При этом

k

на этом куске бифуркационной диаграммы выражается через

h

следующим образом:

k = -h2 - h -

2 g.

(2.4.7)

Аналогично первому пункту получаем следующую систему:



S1 R1 = g , 2 - S1 + S1 R2 = h,
(2.4.8)

S 2 + R2 + R2 + R2 = 1. 1 1 2 3
Она имеет решение при фиксированном

S

1 тогда и только тогда, когда 2 1 - S1 .
(2.4.9)

2 g 2 (h + S1 )2 2+ 2 S1 S1
Обозначим

2 S1

через

x.

Нужно, чтобы следующее неравенство имело неотри-

цательные решения:

2 h 2 + 2 x + (1 - - )x - (g 2 + h2 ) 2
При

0.

(2.4.10)

<0

дискриминант соответствующего уравнения положителен, поэто-

му неравенство (2.4.10) имеет решение при любом

hR

.

Это значит, что мы имеем 2 критические прямые. 3)

Q1 = 0, A = 2Q3 - q = 0.

В этом случае

sg rad K = 0.

k=

1 (1 - 4 g 2 ) 4

Ниже (см. доказательство Теоремы 9) будет показано, что в критические точки образуют при этом две критические окружности.

79


4)

Q2 = 0, B = q + 2 Q3 = 0. 1 - 4 g 2 2 k = - (1 - 4 g ) > . 4 4

Это решение не существует при мента на плоскости

<0

, так как образ отображения мо-

R (h, k )

2

не лежит выше прямой

1 - 4 g k= 4

2
(это будет

показано ниже, см. доказательство Теоремы 2.7). 5)

(2S2 S3 - Q2 )Q1 = S1 S2 A, 2 ( S1 S3 + Q1 )Q2 = S1 S2 B , Q1 Q2 = 0.
6) Теперь докажем, что мы перечислили все нетривиальные случаи, когда косые градиенты

H

и

K

линейно зависимы. Остальные (тривиальные) случаи

линейной зависимости приводят к точке

(0, 0).

Обозначим через

ij

миноры

2Ч6
матрицы

sg rad H


. и

Приравняв следует, что

sg rad K миноры 13



23

к нулю, получаем следующее: из , а из

13 = 0

Q2 [(2S2 S3 - Q2 )Q1 - S1 S2 A] = 0

23 = 0

получаем, что

Q1 [(

2

S1 S3 + Q1 )Q2 - S1 S2 B ] = 0. Q
1 или

Мы получили следующую альтернативу: либо

Q2

равно 0, либо

выполнено 5). Разберемся теперь с тем, что происходит, когда равно
I.

Q

1 или

Q2

0.
(случай

Q1 = 0, A = 0

Q1 = A = 0

разобран выше). Из

13 = 0

следует,

что

S1 S2 Q2 = 0

Рассмотрим различные случаи: (случай

1)

S1 = 0, S3 = 0

S1 = S3 = 0
80

разобран выше). В этом случае


ненулевым может быть только минор

14 . Q3 = -S2 R1 , Q2 = S3 R1 S2 A

.

14 =
2)

2S2 S3 - Q Q2 A

2 2

(S2 Q3 - S3 Q2 ) + q S2 A
и

S2 = 0, S3 = 0, S1 = 0

(случаи

S 1 = Q1 = 0

S2 = S3 = 0

разобраны

выше). Из тождества

S1 Q1 + S2 Q2 + S3 Q3 = 0 14

и условия

S3 = 0

следует, что

Q3 = 0.

Из равенства нулю минора

следует, что

Q2 = 0,

далее из

25 = 0

следует, что 3)

B = 0.
тогда

Но случай

Q2 = B = 0

разобран выше. . Но случаи

Q1 = 0,

2 34 = -2( + )S1 S2 AB = 0
уже разобраны выше. (случаи

S1 = Q1 = 0,

S2 = Q1 = 0, Q1 = A = 0
I I.

Q2 = 0, Q1 = 0, B = 0 23 = 0

Q1 = Q2 = 0

и

Q2 = B = 0

разобраны

выше). Из случаев: 1)

получаем, что

S1 S2 = 0.

Последовательно рассмотрим ряд

S2 = 0,

тогда

25 = 2Q1 (S1 Q3 - S3 Q1 ) = 0,

откуда

S1 Q3 - S3 Q1 = 0. S2 = 0
.

Перейдем к переменным

(S, R): Q1 = -S3 R2 , Q3 = S1 R
. Либо

2 , так как

2 2 2 2 S1 Q3 - S3 Q1 = S1 R2 + S3 R2 = (S1 + S3 )R2
случаях 2)

R2 = 0,

либо

S = 0.

В обоих

h = k = 0.
, тогда

S1 = 0

12 = 2S2 S3 Q1 B = 0
и

, откуда

S2 = 0

или

S3 = 0

. Но

случаи

S1 = S3 = 0

S2 = S3 = 0

были разобраны выше.

На Рисунке 2.2 изображена бифуркационная диаграмма отображения момента случая Соколова на

so(3, 1).

81


7

h 2 4 6 8

2

4

6

Рис. 2.2: Бифуркационная диаграмма отображения момента
Как и в случае с бифуркационными значениями гамильтониана, оказывается, что бифуркационные значения отображения момента в случае Соколова на

so(3, 1)

совпадают с критическими (см. параграф 2.7).

2.5

Неполнота поля

sgrad H

Мы покажем, что критические траектории, являющиеся прямыми, неполны, что означает, что теорему Лиувилля применять нельзя. Поле

sgrad H

имеет следующий вид:

{S1 , H } = 2S2 S3 - Q2 , 2 S1 S3 + Q1 , {S3 , H } = -2( + )S1 S2 , {S2 , H } = {Q1 , H } = S2 A, {Q2 , H } = S1 B , {Q3 , H } = -2( S1 Q2 + S2 Q1 ).
82


Подставив в него

S2 = S3 = Q1 = 0,

получим следующую систему:

S = -Q , 1 2 2 2 2 Q2 = S1 B = S1 (q + Q3 ) = S1 (2 S1 - 1 + Q3 ), Q = - 2 S Q . 3 12
Выразив

Q3

из условия

2 h = - S1 + Q

3 и подставив во второе уравнение,

имеем следующую систему:

S1 = -Q2 , Q = S 2 S 2 - 1 + 2 (h + S 2 ) 2 1 1 1 = S1 2 22 2 S1 ( + ) - 1 + h. 2
(2.5.1) Из системы (2.5.1) получаем дифференциальное уравнение на

S1

:

2 2 Е h). S1 = -Q2 = S1 (-2 2 S1 (2 + ) + 1 - 2 2 Е S1 S1 = S1 (-2 2 S1 (2 + ) + 1 - h)S1 , 2 d S1 d 2 2 = S1 (-2 2 S1 (2 + ) + 1 - h) dS1 , dt 2 dt S1 = + 2 S1 (-2 -2 22 2 S1 ( + ) + 1 - h) dS1 + C1 , 2
2 2

S1 = +
Видно, что при

22 S ( + ) + 1 - 2 1 -2 2 (2 + ) S1

h + C,

<0

производная

асимптотически растет квадратично,

поэтому траектория не является полной.

83


2.6

Индексы критических точек

Аналогично тому, как это сделано для случая дующее

e(3),

можно доказать сле-

Индексы критических точек имеют следующий тип: g2 1 2 1. Прообразы кривой k = -h - h - ,h<- имеют индекс 2; 2 g2 1 2 2. Прообразы кривой k = -h - h - ,h>- имеют индекс 1; 2 - (2 + )(1 - 4 g 2 ) 3. Прообразы кривой k = h2 - h + g 2 , h > 2 имеют индекс 2; - (2 + )(1 - 4 g 2 ) 1 - 4 g 2 1 4. Прообразы кривой k = ,- Утверждение 2.6.1.

2.7

Топология совместной поверхности уровня
2 Sk

H

и

K

Обозначим через

двумерную сферу с

k

проколами.

Теорема 9.

При регулярных, то есть не принадлежащих бифуркационной

диаграмме для отображения момента, (h, k ) совместная поверхность уров2 ня H и K , обозначаемая Mh,k имеет следующий тип: 1. Пустое множество 1-4 g 4
2

при k > -h2 - h - g 2 и h < - 21 , пустое множество при k > стое множество при k > h2 - h + g 2 ;
2 2. 2S4 при k < -h2 - h - g 2 , (h, k ) = (0, 0) при g = 0;

, пу-

3. 2T 2 при k > -h2 - h - g 2 и k < h2 - h + g 2 . Доказательство.
Мы будем использовать следующее

84


Утверждение 2.7.1.

Пусть на плоскости R2 (x, y ) дан эллипс с центром в

начале координат, заданный уравнением ax2 + bxy + cy 2 = d, где b2 - 4ac < 0,

ad > 0, и эллипс, заданный уравнением px2 + q y 2 = r, где p, q , r > 0. Тогда
указанные эллипсы пересекаются тогда и только тогда, когда выполнено следующее неравенство:

(b2 - 4ac)r + 2d(aq + cp)

2

4d2 (aq - cp)2 + b2 pq ,

(2.7.1)

при этом если правая часть равна нулю, то эллипсы совпадают, если неравенство в (2.7.1) строгое, то эллипсы пересекаются по четырем различным точкам, а в случае равенства и ненулевой правой части (2.7.1) касаются по двум точкам. Доказательство.
Параметризуем эллипс следующим образом:

x=

r cos p

,

y=

r sin , [0, 2 ). q

Подставляя параметризованные значения в урав-

нение первой кривой, получаем:

ar br cr cos2 + sin cos + sin2 = d. p pq q
Переходя в тригонометрических функциях к двойному аргументу, имеем:

ar br cr (1 + cos 2) + sin 2 + (1 - cos 2) = d, 2 2 pq 2q ac b 2d a c ( - ) cos 2 + sin 2 = - -. pq pq r pq
Как известно, функция

A sin t + B cos t

принимает значения от

- A2 + B

2


до

A2 + B

2 , причем для внутренних точек данного отрезка существует два

различных прообраза на

[0, 2 ),

а для точек

+ A2 + B

2 существует один

85


прообраз на

[0, 2 ).

Поэтому для того, чтобы пересечение двух кривых суще-

ствовало, необходимо и достаточно, чтобы было выполнено неравенство:

2d a c ( - - )2 r pq

a c 2 b2 ( - )+ , pq pq a2 2ac c2 b2 - + 2+ , p2 pq q pq

4d2 a2 c2 4ad cd 2ac + 2+ 2- -4 + r2 p q pr qr pq 4d d a c (- -) rr p q 4d2 pq - 4d(aq + cp)r

b2 - 4ac , pq (b2 - 4ac)r
2

(b2 - 4ac)r2 + 4d(aq + cp)r - 4d2 pq
Дискриминант

0.

D

соответствующего уравнения равен

16d2 (aq +cp)2 +16d2 pq (b2 -

4ac) = 16d2 (a2 q 2 + 2acpq + c2 p2 + b2 pq - 4acpq ) = 16d2 (a2 q 2 - 2acpq + c2 p2 + b2 pq ) = 16d2 ((aq - cp)2 + b2 pq ) 0
. Учитывая, что

b2 - 4ac < 0

, получаем:

-4d(aq + cp) + 4|d| (aq - cp)2 + b2 pq 2(b2 - 4ac)
или

r

-4d(aq + cp) - 4|d| (aq - cp)2 + b2 pq , 2(b2 - 4ac)

(b2 - 4ac)r + 2d(aq + cp)

2

4d

2

(aq - cp)2 + b2 pq .

Следствие 2.7.1.

x2 y 2 + 2 = 1 (b a > 0) и окружность x2 + y 2 = 2 a b 2 R пересекаются тогда и только тогда, когда a2 R2 b2 , причем если
Эллипс

a2 = R2 = b2 , то кривые совпадают, если оба неравенства строгие, то
точек пересечения четыре, иначе две.

86


Мы имеем следующую систему, задающую

2 Mh,k

:

h = - S 2 + S 2 + Q3 , 2 1 k = Q q - Q2 + Q2 + ( - )Q2 , 3 3 1 2 S Q + S2 Q2 + S3 Q3 = 0, 11 2 2 Q + Q2 + Q2 = 1 - q - g 2 , 1 2 3 4 q = 2 (S 2 + S 2 + S 2 ) - 1.
1 2 3
Будем рассматривать проекцию

(2.7.2)

2 Mh,k

на плоскость

R2 (Q3 , q ). q -1
. Разберем

Из последнего уравнения системы (2.7.2) следует, что сначала случай, когда

q = -1. S1 = S2 = S3 = 0, 0
а из

Из пятого уравнения системы (2.7.2) следует, что четвертого, что считаем, что

Q1 = Q2 = Q3 = 0
.

и

g=0

.Это особая точка ранга

. Далее

q < -1

Из первого уравнения системы (2.7.2) следует, что чай

h

Q3

. Разберем слу-

Q3 = h. S1 = S2 = 0.
поэтому Отсюда и

Из первого уравнения системы (2.7.2) следует, что из третьего уравнения получили точки ранга

S3 Q3 = 0, S3 = 0, 0

иначе

q = -1,

h = Q3 = 0,

. Далее считаем, что

Q3 < h. Q
1и

Из второго и четвертого уравнений можно выразить

Q2

.

Q2 - Q2 = Q3 q - k + ( - )Q2 , 1 3 2 2 2 Q + Q2 = 1 - q - g 2 - Q2 . 1 2 3 4
Применив следствие, получим следующую систему неравенств на

(2.7.3)

Q

3и

q

,

87


для которых существуют

Q

1и

Q2

, удовлетворяющие системе (2.7.3):

2 ( Q + q )2 k + - 2 g 2 , 3 2 4 q2 1 (Q3 - ) - g 2 - k . 2 4

(2.7.4)

Из второго неравенства следует, что для существования решения необходимо, чтобы

откуда

k

- 4 2 g 4

2

1 - 4 g 2 , k 4 42 g 2 - 2 , то есть 4

(2.7.5)

правая часть первого нера-

венства в системе (2.7.4) неотрицательна. Первое неравенство задает на плоскости между парой параллельных прямых

(Q3 , q )

точки, не находящиеся

2 q=

- Q3 +

2 k + - 2 g 4

2

(2.7.6)

Будем для краткости называть эти прямые ?сплошными? (они будут обозначаться на рисунках сплошными линиями). Второе неравенство задает на плоскости лельных прямых

(Q3 , q )

точки между парой парал-

q = 2 Q3 +

1 - g 2 - k . 4

(2.7.7)

Будем называть эти прямые ?пунктирными?, на рисунках они будут обозначаться пунктирными линиями. Система (2.7.4) задает на плоскости

(Q3 , q )

две полосы, граница каждой

из которых состоит из двух параллельных лучей и отрезка, причем внутренним точкам соответствут

4

точки

(Q1 , Q2 ),

удовлетворяющие системе (2.7.3),

граничным точкам (за исключением угловых)

2

, а угловым точкам 1.

88


Иными словами, для существования решения системы (2.7.3) необходимо и достаточно, чтобы прямых. Пусть

(Q3 , q )

лежали вне ?сплошных? и внутри ?пунктирных?

Q3 = 0.

Тогда выразим

S3

из третьего уравнения и подставим в

пятое. Получим:

q+1 , 2 (S1 Q1 + S2 Q2 )2 q+1 2 2 S1 + S2 + = , Q2 2 3
2 2 2 S1 + S2 + S3 =

(Q +

2 1

Q2 3

2 )S1

+ 2Q1 Q2 S1 S2 + ( Q3 = 0

Q2 2

+Q

2 3

2 )S2

Q2 (q + 1) =3 . 2

Таким образом, при

существование решений системы уравнений,

составленной из первого, третьего и пятого уравнений системы (2.7.2), эквивалентно существованию решений у следующей системы:

- S 2 + S 2 = h - Q3 , 2 1 2 2 (Q + Q2 )S 2 + 2Q1 Q2 S1 S2 + (Q2 + Q2 )S 2 = Q3 (q + 1) . 1 31 2 32 2
Применяем Утверждение 2.7.1. Здесь

(2.7.8)

Q2 (q + 1) d= 3 , p = - , q = , r = h - Q3 2

a = Q2 + Q2 , b = 2Q1 Q2 , c = Q2 + Q 2 3 1
.

2 3,

b -4ac = 4Q Q -4( ad > 0

2

2 1

2 2

Q2 1

+Q

2 3

)(Q2 2

+Q ) = -4Q

2 3

2 3

(Q2 1

+Q

2 2

+Q2 3

) = -4

Q2 3

1 - q2 2 ( -g ) < 0, 4

, поэтому условия Утверждения 2.7.1 выполнены.

aq + cp = (Q2 + Q2 ) + (Q2 + Q2 ) 1 3 2 3

- = Q2 - Q2 + ( - )Q2 = Q3 q - k . 1 2 3

89


Поэтому

1 - q2 Q2 (q + 1) 2 r(b - 4ac) + 2d(aq + cp) = (Q3 - h)4Q ( -g )+ 3 (Q3 q - k ) = 4 Q2 = 3 (Q3 - h)(1 - q 2 - 4 g 2 ) + (q + 1)(Q3 q - k ) .
2 2 3
(2.7.9)

aq - cp = (Q2 + Q2 ) - (Q2 + Q2 ) 1 3 2 3
Следовательно,

- = Q2 + Q2 + ( + )Q2 . 1 2 3

(aq - cp)2 + b2 pq = 2 Q4 + 1

2 4 Q2 + ( + )2 Q4 + 2 Q2 Q2 + 2(2 + )Q2 Q2 + 3 12 13 2 2 + 2 2 2 +2 Q2 Q3 - 4 Q2 Q2 = 12 2 2 4 24 = Q1 + 2 Q2 + ( + )2 Q4 - 2 Q2 Q2 + 3 12 2 + 2 2 2 2 22 Q2 Q3 . + 2( + )Q1 Q3 + 2 2

(Q3 q - k ) = = + +

2

22 2 Q1 - Q2 + ( - )Q3 = 2 2 Q4 + 2 Q4 + ( - )2 Q4 - 2 Q2 Q2 + 2(2 - )Q2 Q2 + 1 2 3 12 13 2 4 -2 + 2 2 2 24 Q2 Q3 = Q1 + 2 Q2 + ( + )2 Q4 - 2 Q2 Q2 + 2 3 12 2 2 + 2 2 2 2 22 Q2 Q3 - 4 Q4 - 4 Q2 Q2 - 4 Q2 Q2 = 2( + )Q1 Q3 + 2 3 13 23 2 1 - q2 - g 2 ). 4

= (aq - cp)2 + b2 pq - 4 Q2 (Q2 + Q2 + Q2 ) = 3 1 2 3 = (aq - cp)2 + b2 pq - 4 Q2 ( 3
Отсюда

(ap - cq )2 + b2 pq = (Q3 q - k )2 + Q2 (1 - q 2 - 4 g 2 ). 3
90


Неравенство (2.7.1) перепишется в виде:

Q2 3 (Q3 - h)(1 - q 2 - 4 g 2 ) + (q + 1)(Q3 q - k ) 2 Q4 3 (q + 1)2 (Q3 q - k )2 + Q2 (1 - q 2 - 4 g 2 ) , 3 2
или

2

(Q3 - h)2 (1 - q 2 - 4 g 2 )2 + 2(Q3 - h)(1 - q 2 - 4 g 2 )(q + 1)(Q3 q - k )+ + (q + 1)2 (Q3 q - k )2 (q + 1)2 (Q3 q - k )2 + (q + 1)2 Q2 (1 - q 2 - 4 g 2 ). 3 (q + 1)2 (Q3 q - k )2
в правой и левой частях, и перенеся все

Уничтожив одинаковое слагаемое а также сократив на

(1 - q 2 - 4 g 2 ) = 4 (Q2 + Q2 + Q2 ) < 0 1 2 3

в правую часть, получаем:

(Q3 - h)2 (1 - q 2 - 4 g 2 ) + 2(Q3 - h)(q + 1)(Q3 q - k ) - (q + 1)2 Q
Обозначим

2 3

0.

(2.7.10)

h - Q3

через

x, q + 1

через

y

. Тогда

q = y - 1, 1 - q 2 = -y 2 + 2y

,

неравенство (2.7.10) перепишется в новых переменных так:

x2 (-y 2 + 2y - 4 g 2 ) + 2xy (Q3 (y - 1) - k ) - y 2 Q2 3
Сгруппируем (2.7.11) по степеням

0.

(2.7.11)

y

:

(2xQ3 - Q2 - x2 )y 2 - 2x(x - k - Q3 )y - 4 g 2 x2 3
Заметим, что

0.

(2.7.12)

2xQ3 - Q2 - x2 = 2(h - Q3 )Q3 - Q2 - (h - Q3 )2 = -h 3 3
.

2

,

x - k - Q3 = -h - k

Неравенство (2.7.12) поэтому можно переписать в следующем виде:

h2 y 2 - 2(h - Q3 )(h + k )y + 4 g 2 (h - Q3 )2
откуда

0,

91


(h-Q3 ) h+k -

(h+k )2 -4 g 2 h h2

2

y

(h-Q3 ) h+k + (h+k )2 -4 g 2 h2 h2
(2.7.13)

.

Но

y = q + 1 < 0,

а правая часть неравенств (2.7.13) неотрицательна, поэтому

окончательно получаем систему

(h - Q3 ) h + k -

(h + k )2 - 4 g 2 h2 h2

y < 0.

Итак, множество точек на плоскости

(Q3 , q ),

при которых система (2.7.8)

имеет решение, имеет вид угла (с внутренностью) между лучами

q = -1,

Q3

h

и

-(h + k ) + q+1=
пересекающимися в точке

(h + k )2 - 4 g 2 h2 (Q3 - h) h (h, -1)
2

, Q3

h,

(2.7.14)

. Последний луч назовем ?точечным?, он

будет обозначаться на рисунках точечными линиями. При этом внутренним точкам угла соответствуют ?точечному? лучу

4

точки

(S1 , S2 ),

удовлетворяющие системе (2.7.8),

2

точки.

Заметим, что

h0

lim

-h - k +

Поэтому при

h=0

и

k

0

?точечный? луч станет вертикальным лучом , ?точечный? луч будет иметь вид

(h + k )2 - 4 g 2 h2 = 2 g 2 h2 - , k

,

если если

k

0;
. .

k>0

-1, Q3 = 0, 2 g 2 q+1=- Q3 . k q

а при

h = 0, k > 0

Посмотрим, когда ?точечный? луч проходит через точку пересечения нижней ?пунктирной? и нижней ?сплошной? прямой. Обозначим точку их пересечения

(Q3 , q ).

Для этого уравнение ?точечной? прямой должно совпадать

92


с уравнением прямой, проходящей через точки этой прямой:

(h, -1)

и

(Q3 , q ).

Уравнение

q+1 Q3 - h = , -1 - q h - Q3
или

q+1=-
Приравнивая коэффициенты при дующее уравнение:

q +1 (Q3 - h). h - Q3

(2.7.15)

Q3 - h

в (2.7.14) и (2.7.15), получаем сле-

-h - k +
откуда

(h + k )2 - 4 g 2 h2 q +1 =- , h2 h - Q3

(h - Q3 )(-h - k +

(h + k )2 - 4 g 2 h2 ) = -h2 (q + 1).

После переноса слагаемого с корнем в левую часть, а остальных слагаемых в правую и возведения обеих частей в квадрат получаем:

(h-Q3 )2 (h + k )2 - 4 g 2 h2 ) = (h-Q3 )2 (h+k )2 -2(h-Q3 )(h+k )h2 (1+q )+h4 (1+q )2 ,
откуда

-4 (h - Q3 )2 g 2 h2 = -2(h - Q3 )(h + k )h2 (1 + q ) + h4 (1 + q )2 .
Пусть

h = 0.

Сократим последнее уравнение на

h

2

:

- 4 (h - Q3 )2 g 2 = -2(h - Q3 )(h + k )(1 + q ) + h2 (1 + q )2 .
Обозначим

(2.7.16)

h - Q3

через

x

, уравнение (2.7.16) перепишется так:

-4 (x )2 g 2 = -2x (x + Q3 + k )(1 + q ) + (x + Q3 )2 (1 + q )2 ,
93


или

4 g 2 - 2(1 + q ) + (1 + q )2 (x )2 -2x (1+q ) (Q3 + k - Q3 (1 + q ))+Q2 (1+q )2 = 0. 3
Сгруппируем последнее уравнение по степеням

x

:

(4 g 2 - 2q + (q )2 )(x )2 - 2x (1 + q )(k - Q3 q ) + (Q3 )2 (1 + q )2 = 0.
Необходимо отметить, что при единственное решение

Q3 = Q3

и

q=q

система (2.7.3) имеет

Q1 = Q2 = 0.
откуда

Поэтому

k - Q3 q = (

1 - (q )2 - g 2 - (Q3 )2 = 0, 4

- )(Q3 )2

и

-4 (Q3 )2 (x )2 - 2x (1 + q )(
Так как

- )(Q3 )2 + (Q3 )2 (1 + q )2 = 0.

Q3 = 0

по предположению, то получаем следующее уравнение:

- 4 (x )2 - 2x (1 + q )( Q3
и

- ) + (1 + q )2 = 0.

(2.7.17)

q

находятся из следующей системы:

q = 2 Q - 3 q = 2 - Q3 -

1 - g 2 - k , 4 k + - 2 g 4
2
(2.7.18)

2

. D
:

Рассмотрим дискриминант уравнения (2.7.17), который обозначим

D = (1 + q )2 ( - )2 + 4 (1 + q )2 = (1 + q )2 ( + )2 . 4 (1 + q )( - ) + (1 + q )( + ) 1+q x1 = h1 - Q3 = = , откуда h1 = -4 -2 1 11 1 11 2 2 - - Q3 + 4 - g - k + Q3 = - 2 + 4 - g - k . 2 2 Заметим, что точка (h1 , k ) лежит на правой ветви параболы k = -h - h - g
2
.

94


(1 + q )( - ) - (1 + q )( + ) (1 + q ) x2 = h2 - Q3 = = , откуда -4 2 1 1 2 2 h2 = - Q3 - k + - 2 g 2 + Q3 = - k + - 2 g 2 . 4 4 2 2 2 2 Заметим, что точка (h2 , k ) лежит на куске параболы k = h - h + g .
Итак, мы получили, что ?точечный? луч и нижние ?пунктирная? и ?сплошная? прямые проходят через одну точку только при значениях параметров

h

и

k

, лежащих на кусках парабол, составляющих часть бифуркационной

диаграммы. Аналогично можно показать, что ?точечный? луч имеет больший угол наклона, чем прямая, соединяющая точки параметров

(h, -1)

и

(Q3 , q ),

при значениях

h

и

k

, лежащих в области под кусками парабол на бифуркаци-

онной диаграмме, и больший угол наклона при значениях параметров вне данной области.

h

и

k

Посмотрим, как расположены ?сплошные? и ?пунктирные? прямые, а также ?точечный? луч относительно друг друга. Во-первых, они все имеют неотрицательные коэффициенты наклона, так

-h - k + (h + k )2 - 4 g 2 h2 -2 как 2 > 0, > 0, 0. h2 -h - k + (h + k )2 - 4 g 2 h2 < 2 тогда и Заметим, что h2 2 2 когда k > -h - h - g . Поэтому ?точечный? луч имеет
наклона при значениях параметров

только тогда, меньший угол

h

и

k

над параболой

k = -h2 - h - g

2

и больший угол наклона при значениях ?пунктирные? прямые. Заметим, что гда, когда

h

и

k

под данной параболой, чем

-h - k +


k>

(h + k )2 - 4 g 2 h2 -2 < 2 h 2 2 h - h - g . Поэтому ?точечный? h
и

тогда и только толуч имеет меньший

угол наклона при значениях параметров

k

, лежащих над параболой

95


Рис. 2.3: Случай 2

k = -h2 - h = h
и

2 g , и больший угол наклона при значениях параметров

k

под данной параболой, чем ?сплошные? прямые.

В зависимости от значения параметров возможны следующие случаи: 1. При этому

1 - 4 g k> 4
пусто.

2
система (2.7.3) не имеет решений в силу (2.7.5), по-

2 Mh,k

1 - 4 g 2 2. При k = две параллельные ?пунктирные? прямые 4 1 q = 2 Q3 + - g 2 - k сливаются в одну прямую q = 2Q 4
этом при

3 . При

h

не из отрезка

1 - -; 2

(2 + )(1 - 4 g 2 ) 2

?точечный? луч

пересекает ?пунктирную? прямую между ?сплошными? прямыми, а внутри отрезка ниже ?сплошных? прямых (см. Рис. 2.3). Это означает, что первом случае пусто, а во втором представляет собой ности.

2 Mh,k

в

2

критических окруж-

g2 1 3. При k > -h - h - иh<- 2 2 Рис. 2.4), поэтому Mh,k пусто.
2
96

угол и полоса не пересекаются (см.


Рис. 2.4: Случай 3

Рис. 2.5: Случай 4

4. При

k = - h 2 - h -

g

2
и

h<-

1 2

угол и полоса имеют общую сторону

(см. Рис. 2.7). В этом случае мы получаем луч, над внутренней точкой луча находятся

4

точки при проекции

2 Mh,k

на плоскость

(Q3 , q ),

а над вершиной

2

. Таким образом,

2 Mh,k

состоит их двух критических прямых.

5. При

g k < -h - h -
2

2
и

(h, k ) = (0, 0)
2 Mh,k

угол и полоса пересекаются так, на плоскость

как показано на Рис. 2.6, проекцией

R2 (Q3 , q )

является

закрашенное множество. При этом над внутренними точками находится

16

97


Рис. 2.6: Случай 5
точек, над сторонами

8,

над вершинами

4

. Чтобы получить тип

2 Mh,k

в

этом случае, необходимо склеить

16

экземпляров закрашенного множества по

соответствующим сторонам. Можно убедиться, что в этом случае получится

2S

2 4.

6. При

k = -h2 - h -

g

2
и

h>-

1 2

?точечный? луч совпадает с нижней

?пунктирной? прямой, как показано на Рис. 2.7. Закрашено множество, являющееся образом проекции точками находятся го? отрезка

2 Mh,k

на плоскость

R2 (Q3 , q ).

Над внутренними

16

точек, над внутренними точками верхнего ?сплошно-

4

, над внутренними точками верхнего ?пунктирного? луча

4 2

точки, над внутренними точками нижнего луча (на верхней) и

2

, над угловыми точками

1

(на нижней). В этом случае

2 Mh,k

является особой поверхно-

стью и представляет собой две пары цилиндров, склеенных по образующей (одна пара представляет собой ?восьмерку?, умноженную на прямую).

7. При

g k > -h - h -
2

2
и

k<
98

2 h - h + g

2

множество проекции


Рис. 2.7: Случай 6

Рис. 2.8: Случай 7
представляем собой четырехугольник, изображенный на Рис. 2.8. Над внутренними точками находятся Склеив

16

точек, над сторонами

8,

над вершинами

4.

16

закрашенных четырехугольников по соответствующим сторонам,

получаем

2T

2

.

8. При

k=

2 h - h + g

2

точка

(h, -1)

находится на нижней ?сплошной?

прямой справа от ?пунктирных? прямых, а угол наклона ?точечного? луча и ?сплошных? прямых совпадает, то есть ?точечный? луч является подмножеством нижней ?сплошный? прямой. Образом проекции является отрезок,

99


на внутренними точками которого находится откуда

4

точки, а над концевыми

2,

2 Mh,k

представляет собой

2

критические окружности.

9. При

k>

2 h - h + g

2

точка

(h, -1)

находится справа от ?пунктир-

ных? прямых и между ?сплошными? прямыми. При этом угол наклона у ?сплошной? прямой больше, чем у ?точечного? луча. Поэтому угол и полоса не пересекаются, то есть

2 Mh,k

пусто в этом случае.

100


,

101


Литература
[1] Фоменко А.Т. Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем // УМН. 1989. Т. 44, 1(265). С. 145173. 3

[2] Фоменко А.Т. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем // Докл. АН СССР. 1986. Т. 287, 5. С. 10711075. 3

[3] Фоменко А.Т. Топология поверхностей постоянной энергии некоторых интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости // Изв. АН СССР. Сер. матем. 3 1986. Т. 50, 6. С. 12761307.

[4] Фоменко А.Т. Теория бордизмов интегрируемых гамильтоновых невырожденных систем с двумя степенями свободы. Новый топологический инвариант многомерных интегрируемых систем // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1991. Т. 55, 4. С. 747779. 3

[5] Фоменко А.Т. Топологический инвариант, грубо классифицирующий интегрируемые строго невырожденные гамильтонианы на четырехмерных симплектических многообразиях // Функц. анализ и его прил. Т. 25, 4. С. 2335. 3 1991.

102


[6] Фоменко А.Т., Цишанг Х. О топологии трехмерных многообразий, возникающих в гамильтоновой механике // Докл. АН СССР. 1986. Т. 294, 2. С. 283287. 3

[7] Болсинов А.В., Рихтер П.Х., Фоменко А.Т. Метод круговых молекул и топология волчка Ковалевской // Матем. сб. 2000. Т. 191, 2. С. 342. 4

[8] Харламов М.П. Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела. Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1988. 4

[9] Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Траекторная классификация геодезических потоков двумерных эллипсоидов. Задача Якоби траекторно эквивалентна интегрируемому случаю Эйлера в динамике твердого тела // Функц. анализ и его прил. 1995. Т. 29, 3. С. 115. 4

[10] Ошемков А.А. Вычисление инвариантов Фоменко для основных интегрируемых случаев динамики твердого тела // Труды семинара по вект. и тенз. анализу. 1993. Т. 25. С. 23109. 4

[11] Рябов П.Е. Бифуркации первых интегралов в случае Соколова // Теоретическая и математическая физика. 2003. Т. 134, 2. С. 207226. 4, 20

[12] Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Ижевск: РХД, 1999. С. т. 1, 2. 4, 65

103


[13] Лепский Т.А. Неполные интегрируемые гамильтоновы системы с комлексным полиномиальным гамильтоном малой степени // Матем. сб. 2010. Т. 201, 10. С. 109136. 4

[14] Bromb erg S., Medina A. A note on the completeness of homogeneous quadratic vector elds on the plane // Qualitative Theory of Dynamical Systems. 2005. Т. 6, 2. С. 181185. 5

[15] Москвин А.Ю. Топология особенностей дробно-рациональных интегрируемых систем, диссертация на соискание звания кандидата физикоматематических наук. 2010. 5

[16] Новиков Д.В. Топологические особенности интегрируемого случая Соколова на алгебре Ли 8

e(3)

// Матем. сб.

2011.

Т. 202, 5.

С. 127160.

[17] Новиков Д.В. Топология изоэнергетических поверхностей для интегрируемого случая Соколова на алгебре Ли

so(3, 1)

// Вестн. Моск. ун-та.

Сер. 1. Матем. Мех. 2011. 4. С. 6264. 8

[18] Новиков Д.В. Топология новых интегрируемых случаев на алгебрах Ли

so(4), so(3, 1),

and

e(3)

// Тезисы международной конференции по

дифференциальным и функциональным дифференциальным уравнениям (DFDE). Москва, 2008. С. 110111. 8

[19] Новиков Д.В. Топологические особенности новых интегрируемых случаев // Тезисы конференции ?Александровские чтения?. Москва, 2006. 8

104


[20] Новиков Д.В. Топологический анализ интегрируемого случая Соколова // Материалы конференции ?Ломоносов-2011?. Москва, 2011. 8

[21] H. Poincare // Bull. Astr. 1910. Т. 27. С. 321356. 19

[22] Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. Ижевск: РХД, 2005. С. 576. 19

[23] Борисов А.В., Мамаев И.С., В.В. Соколов. Новый интегрируемый случай на

so(4)

// Доклады РАН. 2001. Т. 381, 5. С. 614615. 19

[24] Соколов В.В. Об одном классе квадратичных гамильтонианов на Докл. РАН. 2004. Т. 394, 5. С. 602605. 19

so(4)

//

[25] Соколов В.В. // Теоретическая и математическая физика. 2001. Т. 129, 1. С. 3137. 19

[26] Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых систем дифференциальных уравнений. Москва-Ижевск:

Факториал и изд-во Просперус Удмуртского ун-та, 1995. 20

[27] Хагигатдуст Г., Ошемков А.А. Топология слоения Лиувилля для интегрируемого случая Соколова на алгебре Ли

so(4)

// Матем. сб. 2009. Т.

200, 6. С. 119142. 20, 21, 24, 35, 36, 37, 69, 73, 75

[28] Хагигатдуст Г. Бифуркационная диаграмма некоторого класса гамильтонианов на алгебре

so(4)

// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех.

2005. 6. С. 310. 21

105


[29] Хагигатдуст Г. Топология изоэнергетических поверхностей для интегрируемого случая Соколова на алгебре Ли 401, 5. С. 599602. 21

so(4)

// Докл. РАН. 2005. Т.

[30] Gordon

W.

On

the

Completeness

of

Hamiltonian

Vector

Fields

//

Pro ceedings of the American Mathematical So ciety. 1970. Т. 26, 2. С. 329 331. 56

[31] Филиппов

А.Ф.

Введение

в

теорию

дифференциальных

уравнений.

Москва: УРСС, 2010. 56

[32] Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. Москва: Наука, 1968. 58

106