Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://dfgm.math.msu.su/files/0diss/diss-novikov.pdf Дата изменения: Tue Dec 24 17:16:57 2013 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:40:37 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п р п р п р п

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

на правах рукописи УДК 517.938.5+514.762

Новиков Дмитрий Вячеславович

Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем с некомпактными поверхностями уровня
01.01.04 геометрия и топология диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители: Академик РАН А. Т. Фоменко, Проф. А. А. Ошемков

Москва 2013


Оглавление
Введение 3

1

Случай Соколова на

e(3)

22

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Бифуркационные значения гамильтониана Топология изоэнергетической поверхности ............ ............

22 23 28 35 48 55 59 65

Бифуркационная диаграмма отображения момента . . . . . . . Индексы критических точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Доказательство полноты векторных полей Топология совместной поверхности уровня Перестройки

sgrad H H
и

и

sgrad K

.

K

........

.............................

2

Случай Соколова на

so(3, 1)

68

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Бифуркационные значения гамильтониана Топология изоэнергетической поверхности ............ ............ .......

68 68 71 75 82 84

Бифуркационная диаграмма отображения момента Неполнота поля

sgrad H

.......................

Индексы критических точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1


2.7

Топология совместной поверхности уровня

H

и

K

........

84

Литература

102

2


Введение
Описание работы

Актуальность темы

Диссертационная работа посвящена исследованию топологических особенностей интегрируемого случая В. В. Соколова (далее случай Соколова) на алгебрах Ли

e(3)

и

so(3, 1)

. Это гамильтонова система с двумя степенями

свободы. Указанные случаи отличаются от большинства известных систем тем, что совместные поверхности уровня гамильтониана и дополнительного интеграла являются некомпактными, а в случае гамильтониана является неполным. Как известно, основы теории топологической классификации были заложены А. Т. Фоменко в работах [1], [2], [3], [4], [5] и других. Указанный новый подход в изучении интегрируемых систем, предложенный А. Т. Фоменко, был затем продолжен А. Т. Фоменко и Х. Цишангом, см., например, работу А. Т. Фоменко и Х. Цишанга [6]. Ими был открыт топологический инвариант интегрируемых систем (именуемый инвариантом Фоменко-Цишанга). Это граф с числовыми метками, являющийся полным инвариантом таких систем: две системы лиувиллево эквивалентны, если и только если графы

so(3, 1),

кроме того, поток

3


Фоменко-Цишанга совпадают. Далее школа А. Т. Фоменко разработала методы вычисления меченых молекул, см., например, работу А. В. Болсинова, П. Рихтера и А. Т. Фоменко [7]. Бифуркационные диаграммы многих важ-

ных интегрируемых систем были вычислены М. П. Харламовым в книге [8]. В серии работ А. В. Болсинова и А. Т. Фоменко [9], А. А. Ошемкова [10], П. Е. Рябова [11] и других были найдены классифицирующие инварианты для многих конкретных физических и механических интегрируемых систем. Как правило, в таких системах совместные поверхности уровня интегралов компактны. Результаты теории топологической классификации, полученные школой А. Т. Фоменко, подробно изложены А. В. Болсиновым и А. Т. Фоменко в книге [12]. Однако теория топологической классификации некомпактых систем до сих пор не разработана, например, нет конечного списка атомов данной сложности (даже само понятие сложности в некомпактном случае пока что не определено). Мы надеемся, что результаты настоящей диссертации смогут быть полезны при построении такой теории. При анализе некомпактных систем приходится сталкиваться с проблемой полноты полей. Полнота является существенным условием в Теореме Лиувилля, в компактном случае она получается автоматически. В отсутствии полноты (а в случае Соколова на

so(3, 1)

так и происходит) связные ком-

поненты совместной поверхности уровня гамильтониана и дополнительного интеграла не обязательно являются торами, цилиндрами или плоскостями. Аналогичная ситуация наблюдается в случае комплексных гамильтоновых систем с неполными потоками в работе Т. А. Лепского [13].

4


Заметим, что даже тогда, когда потоки полны, доказательство этого факта может быть нетривиально. Для доказательства полноты нет общих методов, например, критерий того, когда однородное квадратичное поле в

R

2

является

полным, появился совсем недавно (см. работу [14]). Автору неизвестны работы, где приводятся критерии полноты для полиномиальных векторных полей степени

2.

Среди работ, посвященных доказательству полноты потоков,

отметим диссертацию А. Ю. Москвина [15], в которой исследуется полнота потоков интегралов, полученных методом Садэтова. Другим препятствием при анализе некомпактных систем является то, что в некомпактном случае могут быть некритические бифуркационные значения (например, так оказывается в изучаемом случае Соколова на

e(3)).

Соот-

ветственно для построения бифуркационной диаграммы недостаточно найти критические точки и их образы. Необходимо изучать, как устроена совместная поверхность уровня. Сама общая задача определить и классифицировать некомпактные перестройки (по аналогии с компактной классификацией), в рамках которой в настоящей работе проводится исследование случая Соколова, поставлена А. Т. Фоменко.

Цели исследования

Диссертационная работа преследует следующие основные цели: 1. Исследование топологии случая Соколова на 2. Исследование топологии случая Соколова на

e(3). so(3, 1).

5


Методы исследования

При исследования применяются методы теории топологической классификации интегрируемых систем, разработанной А. Т. Фоменко и его школой, а также методы топологического анализа, разработанные М. П. Харламовым. Кроме того, используются дифференциально-геометрические методы, методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и линейной алгебры.

Научная новизна

Результаты работы являются новыми и заключаются в следующем: 1. для случая Соколова на

e(3)

ћ

описана топология изоэнергетической поверхности гамильтониана (см. Теорему 2);

ћ

найдены бифуркационные диаграммы отображения, заданного гамильтонианом (см. Утверждение 1.2.3), и отображения момента (см. Теорему 5);

ћ ћ

вычислены индексы критических точек (см. Утверждение 1.5.1);

описаны совместные поверхности уровня гамильтониана и дополнительного интеграла (см. Теорему 6);

ћ

доказана полнота полей

sgrad H

и

sgrad K

, что является важным усло-

вием в теореме Лиувилля (см. параграф 1.6).

2. для случая Соколова на

so(3, 1)
6


ћ

описана топология изоэнергетической поверхности гамильтониана (см. Теорему 7);

ћ

найдены бифуркационные диаграммы отображения, заданного гамильтонианом (см. Утверждение 2.2), и отображения момента (см. Теорему 8);

ћ ћ

найдены индексы критических точек (см. Утверждение 2.6.1);

описаны совместные поверхности уровня гамильтониана и дополнительного интеграла (см. Теорему 9);

ћ

доказано, что поток векторного поля, отвечающего гамильтониану, неполон (см. параграф 2.5).

Теоретическая и практическая значимость

Полученные в работе результаты имеют теоретическое значение. Предложены методы доказательства полноты полиномиальных векторных полей, анализа топологии гамильтоновых систем с некомпактными поверхностями уровня, в том числе в случае неполноты потоков. Описанные примеры систем с некомпактными особенностями могут быть полезны для построения теории некомпактных особенностей.

Апробация работы

Основные положения диссертационной работы докладывались

ћ

на конференции ?Александровские чтения? (Москва, c 30 мая по 02 июня 2006 г.);

7


ћ

на конференции ?Ломоносовские чтения? (Москва, c 17 по 27 апреля 2006 г.);

ћ

на международной конференции ?Dierential and Functional Dierential Equations 2008? (Москва, с 17 по 24 августа 2008 г.);

ћ ћ ћ

на семинаре в Университете г. Бохум (Германия, май 2008 г.);

на конференции ?Ломоносов? (Москва, с 11 по 15 апреля 2011 г.);

на семинаре имени В. В. Румянцева по аналитической механике и теории устойчивости под руководством чл.-корр. РАН В. В. Белецкого и проф. А. В. Карапетяна (Москва, 23 октября 2013 г.);

ћ

неоднократно на семинаре ?Современные геометрические методы? под руководством акад. А. Т. Фоменко и проф. А. С. Мищенко (мехмат МГУ имени М. В. Ломоносова).

Публикации

По теме диссертации опубликовано

5

работ [16], [17], [18], [19], [20], из них

2

в изданиях по перечню ВАК. Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем

Диссертация состоит из введения и двух глав. Текст диссертации изложен на

106

страницах. Список литературы содержит

32

наименования.

8


Содержание работы

Во Введении приводится постановка задачи, кратко излагаются необходимые понятия, дается обзор полученных результатов.
Глава 1 состоит из

8

параграфов и содержит исследование случая Соко-

лова на

e(3).

В первом параграфе кратко излагаются полученные в Главе 1 результаты. Во втором параграфе находятся бифуркационные значения гамильтониана. Основной результат параграфа следующее
Утверждение 1.2.3

Бифуркационные значения гамильтониана случая Со-

колова на e(3) (при = 0) являются следующими кривыми на плоскости

(g , h):
1. h = 0, g R;

4 2 g 2 - 1 2. h = , g R; 4 1 3. h = - , g R, 4 причем точки вида 1 - 2 являются критическими значениями, а точки вида 3 некритическими бифуркационными значениями.
Третий параграф посвящен исследованию топологического типа изоэнергетической поверхности уровня гамильтониана. Доказывается следующая
Теорема 2

Топология изоэнергетической поверхности уровня Q

3 g ,h

случая

Соколова на e(3) при регулярных, то есть не принадлежащих бифуркационным значениям гамильтониана H , (g , h) имеет следующий тип:

1 ; 4 1 2. Двумерный диск с тремя дырками, умноженный на R, при h > - , 4
1. 2R3 при h < -
9


4 2 g 2 - 1 h= , h = 0. 4
В четвертом параграфе находится бифуркационная диаграмма отображения момента для случая Соколова на
Теорема 5

e(3).

В нем доказана следующая

Бифуркационная диаграмма отображения момента случая Соко-

лова на e(3) состоит из следующих кривых:

42 g 2 - 1 1) луча k = -h + g , h , 4 при этом в прообразе получаются 2 критические окружности;
2

2) параболы k = -h2 - h, h R, при этом в прообразе 2 критические прямые;

1 1 4 2 g 2 - 1 3) отрезка k = ,- h , 4 2 4 1 1 в прообразе будут 4 критические прямые, а при h > - при h < - 4 4 2 критические окружности; 1 4) луча k = -h, h - . 4 Причем типы (1 - 3) являются критическими значениями, а тип 4 некритическими бифуркационными значениями.
Пятый параграф посвящен вычислению индексов критических точек. Его результатом является следующее
Утверждение 1.5.1

Индексы критических точек случая Соколова на e(3)

имеют следующий тип:

1 имеют индекс 2; 2 1 имеют индекс 1; 2. Прообразы кривой k = -h2 - h, h > - 2 4 2 g 2 - 1 2 3. Прообразы кривой k = -h + g , h > имеют индекс 2; 4 1 1 42 g 2 - 1 4. Прообразы кривой k = ,- 1. Прообразы кривой k = -h2 - h, h < -
10


В шестом параграфе доказывается полнота векторных полей

sgrad H

и

sgrad K

.

В седьмом параграфе исследуется топологический тип совместной поверхности уровня гамильтониана ной результат следующая
Теорема 6

H

и дополнительного интеграла

K

. Его основ-

При регулярных, то есть не принадлежащих бифуркационной

диаграмме для отображения момента, (h, k ) совместная поверхность уровня

H и K для случая Соколова на e(3) имеет следующий тип:
1. Пустое множество над верхней границей бифуркационной диаграммы; 2. Два цилиндра под параболой k = -h2 - h; 3. Четыре цилиндра над параболой k = -h2 - h, но под лучом k = -h; 4. Два тора над лучом k = -h, но под лучом k = -h + g 2 .
Восьмой параграф посвящен описанию перестроек случая Соколова на

e(3).
Глава 2 посвящена исследованию случая Соколова на

so(3, 1)

и состоит

из семи параграфов. В первом параграфе кратко излагаются полученные в Главе 2 результаты. Во втором параграфе находятся бифуркационные значения гамильтониана. Основной результат следующее
Утверждение 2.2.3

Бифуркационные значения гамильтониана случая Со-

колова на so(3, 1) (при < 0) являются следующими кривыми на плоскости

(g , h):
1. h = 0, g R; 2. h =

-

(2 + )(1 - 4 g 2 ) , g R, 2
11


причем эти точки являются критическими значениями.
В третьем параграфе находится топологический тип изоэнергетической поверхности уровня гамильтониана. Доказана следующая
Теорема 7

Изоэнергетическая поверхность Q

3 g ,h

для гамильтониана случая

(2 + )(1 - 4 g 2 ) , диффеоморфна Соколова на so(3, 1), h = 0, h = 2 открытому двумерному диску с 3 дырками. -
Четверный параграф посвящен нахождению бифуркационной диаграммы отображения момента. В нем доказана следующая
Теорема 8

Бифуркационная диаграмма отображения момента случая Соко-

лова на so(3, 1) состоит из следующих кусков:

(2 + )(1 - 4 g 2 ) 1) куска параболы k = - h + g , h , 2 при этом в прообразе получаются 2 критические окружности (0, S2 , 0, Q1 , 0, Q3 ). g2 , h R, 2) параболы k = -h2 - h - при этом в прообразе 2 критические прямые (S1 , 0, 0, 0, Q2 , Q3 ). - (2 + )(1 - 4 g 2 ) 1 - 4 g 2 1 3) отрезка k = ,- h , 4 2 2 q ). при этом в прообразе будут 2 критические окружности (S1 , S2 , S3 , 0, Q2 , 2 4) изолированной особой точки h = k = 0.
2 h 2

-

В пятом параграфе доказано, что гамильтоново векторное поле случая Соколова на

so(3, 1)

неполно.

В шестом параграфе находятся индексы критических точек. Доказано следующее
Утверждение 2.6.1

Индексы критических точек случая Соколова на so(3, 1)

имеют следующий тип:

12


g2 1 1. Прообразы кривой k = -h - h - ,h<- имеют индекс 2; 2 g2 1 2 2. Прообразы кривой k = -h - h - ,h>- имеют индекс 1; 2 - (2 + )(1 - 4 g 2 ) 2 2 3. Прообразы кривой k = h - h + g , h > 2 имеют индекс 2; - (2 + )(1 - 4 g 2 ) 1 1 - 4 g 2 ,- 2
В седьмом параграфе найден топологический тип совместной поверхности уровня гамильтониана ющая
Теорема 9

H

и дополнительного интеграла

K

. Доказана следу-

При регулярных, то есть не принадлежащих бифуркационной

диаграмме для отображения момента, (h, k ) совместная поверхность уровня

H и K случая Соколова на so(3, 1) имеет следующий тип: 1 - 4 g , пустое множество при k > h2 - h + g 2 ; 4 2. Две двумерные сферы с четырьмя проколами каждая при k < -h2 -
1. Пустое множество при k > -h2 - h - g 2 и h < -
2 1 2

, пустое множество

при k >

h - g 2 , (h, k ) = (0, 0) при g = 0;
3. Два двумерных тора при k > -h2 - h - g 2 и k < h2 - h + g 2 .

Основные понятия и определения

Определение 1.

Симплектическое многообразие (M , ) это гладкое 2n-

мерное многообразие M с заданной на нем невырожденной замкнутой 2формой , называемой симплектической формой.
Определение 2.

Для любой гладкой функции H на симплектическом мно13


гообразии (M , ) векторное поле косой градиент функции H (обозначается

sgrad H ) определяется из следующего соотношения: v (H ) = (v , sgrad H ),
где v произвольное векторное поле на M .
Определение 3.

Динамическая система на симплектическом многообра-

зии M размерности 2n, соответствующая векторному полю sgrad H , называется гамильтоновой системой с гамильтонианом H и n степенями свободы. В локальных координатах (x1 , ћ ћ ћ , x2n ) на M она имеет вид

xi = (sg radH )i = ( -1 )ij
где
-1

H , xj

матрица, обратная к матрице симплектической формы . Скобкой Пуассона называется билинейная кососиммет-

Определение 4.

рическая операция на пространстве гладких функций на M , определяемая следующей формулой:

{f , g } = ( -1 )ij

f g . xi xj

Гамильтонова система в терминах скобки Пуассона может быть записана следующим образом:

xi = {xi , H }.
Определение 5.

Функция F называется (первым) интегралом гамильто-

новой системы с гамильтонианом H , если F постоянна вдоль интегральных траекторий этой системы.
Ясно, что

F

первый интеграл тогда и только тогда, когда

{F, H } = 0

14


Определение 6.

Гамильтонова система на симплектическом многообра-

зии M

2n

называется интегрируемой по Лиувиллю, если существует набор
2n

гладких функций f1 , ћ ћ ћ fn на M

таких, что:

1) f1 , ћ ћ ћ fn первые интегралы системы; 2) f1 , ћ ћ ћ , fn функционально независимы на M 2n , то есть почти всюду на M
2n

их градиенты линейно независимы (точки, в которых градиенты

линейно зависимы, называются особыми); 3) {fi , fj } = 0 для любых i и j от 1 до n; 4) векторные поля sgrad fi полны для всех i от 1 до n, т. е. естественный параметр на их интегральных траекториях определен на всей числовой прямой.
Теорема 1.

(Лиувилля) Пусть v = sgrad H - интегрируемая по Лиувил2n

лю гамильтонова система на симплектическом многообразии M

с инте-

гралами f1 , ћ ћ ћ , fn . Тогда неособая (то есть не содержащая особых точек) связная компонента совместной поверхности уровня интегралов f1 , ћ ћ ћ , fn диффеоморфна T k Ч R
Определение 7.

n-k

, где T k k -мерный тор.

Отображением момента для интегрируемой гамильто-

новой системы с интегралами f1 , ћ ћ ћ , fn называется отображение F : M

Rn , заданное формулой F (x) = (f1 (x), ћ ћ ћ , fn (x)).
Определение 8.

Пусть F : X Y дифференцируемое отображение мно-

гообразий. Отображение называется локально-тривиальным над точкой

y0 Y , если существует такая окрестность U точки y0 в Y , что F
диффеоморфно F
-1

-1

(U )

(y0 ) Ч U , и этот диффеоморфизм замыкает диаграмму
15


(p2 проекция на второй сомножитель)

F

-1

U
Определение 9.

-1 nn nnn F nnn 2 np vnnnnn

(U )

/

F

(y0 ) Ч U

Бифуркационным множеством, или бифуркационной диа-

граммой, отображения F называется множество бифуркационных значений, то есть тех точек y Y , над которыми F не является локальнотривиальным.
Определение 10.

Точка x X называется критической для отображе-

ния F , если ранг дифференциала отображения F в точке x не максимален. Критическими значениями называют образы критических точек при отображении F .
Замечание 1.

Критические значения принадлежат бифуркационной диа-

грамме. Доказательство.
ражения Действительно, если точка

xX

критическая для отоб-

F

, то по определению ранг дифференциала отображения

F

в точке

x

не максимален. С другой стороны, если отображение над точкой

F

локально-тривиально

y = F (x),

то

F

равно

p2

в некой окрестности точки

x.

Но

p2

отображение постоянного ранга, равного размерности точке

Y

. В критической же

x

ранг

F

меньше, чем размерность

Y

.

Определение 11.

Изоэнергетической поверхностью Q3 гамильтоновой си-

стемы с двумя степенями свободы называется поверхность уровня гамильтониана H .
16


Определение 12.

Слоение на M , образованное связными компонентами

совместных поверхностей уровня интегралов f1 , ћ ћ ћ , fn , называется слоением Лиувилля, соответствующим этой системе.
Пусть

g

конечномерная алгебра Ли с базисом

e1 , . . . , e

n, а i

g

соответ. Пусть ,

ствующая коалгебра с дуальным базисом

1

,...,

n

, то есть

i (ej ) = j

x1 , . . . , x
а

n аффинные координаты на

g

, соответствующие базису

e1 , ћ ћ ћ , en

c

k ij структурные константы алгебры Ли

g: [ei , ej ] = ck ek ij

.

Определение 13.

Скобка Пуассона-Ли на пространстве g задается сле-

дующей формулой:

{f , g }(x) = ck x ij
где f и g - гладкие функции на g .
Определение 14.

k

f g , xi xj

Уравнения

xi = {xi , H },
задающие динамическую систему на g , где H гладкая функция (гамильтониан) на g , называются уравнениями Эйлера на коалгебре Ли g .
Они часто встречаются в механике и физике. Например, различные задачи о движении твердого тела задаются уравнениями Эйлера на коалгебре Ли

e(3)

.

Определение 15.

Функции, принадлежащие ядру скобки Пуассона-Ли, на-

зываются функциями Казимира.

17


Постановка задачи
6

Рассмотрим следующее семейство скобок Пуассона-Ли на пространстве

R

:

{Si , Sj } = ij k Sk ,
где

{Si , Rj } = ij k Rk , S

{Ri , Rj } = ij k Sk ,
и

Si

и

Ri

компоненты трехмерных векторов

R,

ij k знак перестановки

(123) (ij k ), а

произвольное действительное число. При

> 0 ( = 1)
алгебре

получаем, что скобка соответствует алгебре Ли Ли

so(4),

при

=0

e(3),

а при

< 0 ( = -1)

алгебре Ли

so(3, 1).

Функции Казимира:

f1 = S 2 + R 2 ,
где

f2 = S, R ,
.

ћ, ћ

скалярное произведение в

R

3

Классические интегрируемые случаи на этом семействе алгебр Ли включают случаи Эйлера:

H = AS, S , K = S, S ,
Лагранжа:

12 2 2 H = (S1 + S2 + S3 ) + R3 , 2 K = S3 ,
Ковалевской:

12 2 2 H = (S1 + S2 + 2S3 ) + R1 , 2 2 2 2 S1 - S2 K= - R1 + 2

2

2 2 S1 - S2 - R 2
18

1

+ (S1 S2 - R2 )2 .


Здесь

A

постоянная симметричная матрица,

,

произвольные действи-

тельные параметры. Рассмотрим гамильтонианы вида

H = AS, S + b, S Ч R ,
где

A

постоянная симметричная матрица,

b=0

постоянный вектор,

Ч

-

векторное произведение. Подобные гамильтонианы могут представлять интерес, например, в рамках модели Пуанкаре-Жуковского, описывающей движение твердого тела с эллипсоидальной полостью, заполненной вихревой жидкостью, см. работу А. Пуанкаре [21]. Другие возможные приложения квадратичных гамильтонианов обсуждаются в книге А. В. Борисова и И. С. Мамаева [22]. Новые интегрируемые случаи уравнений Эйлера с квадратичным гамильтонианом и интегралом четвертой степени на этом семействе алгебр Ли были найдены А. В. Борисовым, И. С. Мамаевым и В. В. Соколовым в работах [23, 24, 25]. Случай Соколова:

2 2 H1 = - S1 + S2 + S1 R2 - S2 R1 , K1 = Q3 ( S 2 - R2 ) - Q2 + Q2 + ( - )Q 1 2
Случай Борисова-Мамаева:

2 3 , где

Q=SЧR

.

H2 = ( -

2 2 2 )S1 + 2S2 + S3 + S1 R2 - S2 R1 , 4
2
, где

2 2 K2 = 42 S2 S 2 + 4S2 (S2 Q3 - S3 Q2 ) + Q2 + Q2 - S1 R 2 3
Можно считать, что и

Q=SЧR

.



равно

1, -1

или 0. Действительно, замена

R = 1 R
| |

=

| |

, при

= 0,

приводит нас к этому случаю.

19


Как известно (см., например, книгу В. В. Трофимова и А. Т. Фоменко [26]), ограничение скобки Пуассона-Ли на орбиты общего положения коприсоединенного представления соответствующей группы Ли задает гамильтонову систему на

4 Mc,g = { (S, R) | f1 (S, R) = c, f2 (S, R) = g }, c = 0.

В нашем случае

можно считать, что

c = +1

. Действительно, замена

S=

|c|S , R =

|c|R

приводит нас к этому случаю, при этом векторное поле жается на

sg rad H

просто умно-

|c|

3

. Здесь существенно, что гамильтониан является однородным.

Поэтому в этой работе мы считаем, что

c = 1.

Кроме того, следуя работе А. А. Ошемкова и Г. Хагигатдуста [27], без ограничения общности можно полагать, что

g

0,

поскольку при замене

(S1 , S2 , S3 , R1 , R2 , R3 ) (-S1 , S2 , S3 , R1 , -R2 , -R3 ) f1 , H , K
сохраняются,

f

2 меняет знак.

Далее можно считать, что

>0

, так как замена

S1 -S1 , R1 -R1

,

-

приводит нас к этому случаю.

Как и в работе А. А. Ошемкова и Г. Хагигатдуста [27], при следовать только случай

>0

можно ис,

0< f



, так как при замене

S1 S2 , R1 R2





инварианты

f

1,

2 сохраняются, а гамильтониан и дополнительный

интеграл меняют знак (что не влияет на топологию). Под изучением системы мы понимаем исследование слоения Лиувилля, слоями которого являются связные компоненты поверхностей уровня гамильтониана и дополнительного интеграла. Слоение Лиувилля случая БорисоваМамаева на

e(3)

исследовано в работе П. Е. Рябова [11], где указанный слу-

чай назван случаем Соколова. Лиувиллево слоение интегрируемой системы Соколова на алгебре Ли

so(4)

описано в работе А. А. Ошемкова и Г. Хагигат-

20


дуста [27], а также в работах Г. Хагигатдуста [28] и [29]. В настоящей работе мы будем изучать строение интегрируемого случая Соколова на оставшихся в указанном семействе некомпактных алгебрах Ли

e(3)

и

so(3, 1)

.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность А. Т. Фоменко и А. А. Ошемкову за постановку задачи, постоянное внимание и помощь. Кроме того, хотелось бы выразить признательность М. П. Харламову за ценные обсуждения и поддержку. Без помощи указанных людей эта работа никогда бы не была написана.

21


Глава 1 Случай Соколова на e(3)
1.1 Введение

В этой главе мы будем изучать строение интегрируемого случая Соколова на алгебре Ли

e(3).

Оказывается, что в исследуемом случае связные компо-

ненты совместных поверхностей уровня гамильтониана и дополнительного интеграла могут быть торами или цилиндрами. Мы опишем топологию изоэнергетической поверхности гамильтониана (см. Теорему 2), бифуркационные диаграммы отображения, заданного гамильтонианом (см. Утверждение 1.2.3), и отображения момента (см. Теорему 5), индексы критических точек (см. Утверждение 1.5.1), а также совместные поверхности уровня гамильтониана и дополнительного интеграла (см. Теорему 6) для случая Соколова на

e(3).
и

Отметим также и то, что нам удалось доказать полноту полей

sgrad H

sgrad K

, что является важным условием в теореме Лиувилля (см. пара-

граф 1.6). Изучаемый случай характерен тем, что, в отличие от большинства известных случаев, на бифуркационной диаграмме кроме критических значений

22


будут и некритические бифуркационные значения. Кроме того, большой интерес представляет и анализ перестроек случая Соколова на мы тоже проводим (см. параграф 1.8). В настоящей главе также исследовано, что происходит при ретракции с

e(3),

который

so(4)

на

e(3)

с бифуркационной диаграммой для отображения, заданного га-

мильтонианом (см. параграф 1.2), и для отображения момента (см. параграф 1.4). Оказывается, что в этих двух случаях бифуркационные диаграммы являются пересечением бифуркационных диаграмм, полученных при по