Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://dfgm.math.msu.su/files/0diss/diss-morozov.pdf Дата изменения: Wed Jun 10 11:24:24 2009 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:38:03 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: экваториальная система координат

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Механико-математический факультет

на правах рукописи УДК 517.938.5+514.762

Морозов Павел Валерьевич

Тонкая лиувиллева классификация некоторых интегрируемых случаев механики твердого тела

01.01.04 геометрия и топология диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: академик А. Т. Фоменко

МОСКВА 2006


Оглавление
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Инварианты Фоменко-Цишанга
1.1 Интегрируемые гамильтоновы системы на симплектическом многообразии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Понятие интегрируемой гамильтоновой системы. . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 1.1.3 Теорема Лиувилля. . . . . . . . . . . . Отношения эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем. . . . . 1.2 Инвариаты Фоменко-Цишанга интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы . . . . . . . 1.2.1 1.2.2 1.2.3 Изоэнергетические поверхности. . . . Бифуркационная диаграмма. . . . . . Структура критических множеств на изоэнергетической поверхности. . . . . 1.2.4 Окрестности сингулярных слоев лиувиллева слоения на изоэнергетической поверхности. . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Матрицы склейки и допустимые системы координат. . . . . . . . . . . . .
2

6

16
16

16 17

19

20 21 22

23

23

25


1.2.6 1.2.7 1.3

Числовые метки. . . . . . . . . . . . . Формула Топалова. . . . . . . . . . . .

27 29

Интегрируемые гамильтоновы системы в механике твердого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 1.3.2 1.3.3 Фазовое пространство. . . . . . . . . . Основные случаи интегрируемости. Результаты лиувиллевой классификации интегрируемых случаев. . . . . . 35 . 30 30 32

2 Лиувиллева классификация интегрируемого случая Стеклова
2.1 Грубая лиувиллева классификация систем случая Стеклова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 Классификация круговых слоений Лиувилля . . . . . . 39 43

38

Классификация невырожденных положений равновесия 44 Круговые молекулы вырожденных одномерных орбит . Построение допустимых систем координат . . . . . . . 56 61

Определение взаимного расположения базисных циклов 67 Алгоритм вычисления инварианта Фоменко-Цишанга . Пример вычисления меченой молекулы . . . . . . . . . 69 69

3 Лиувиллева классификация интегрируемого случая Клебша
3.1 Бифуркационные диаграммы, семейства торов и их перестройки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 3.3 3.4 73

72

Классификация невырожденных положений равновесия 75 Круговые молекулы вырожденных одномерных орбит . Допустимые системы координат . . . . . . . . . . . . .
3

80 81


3.5 3.6 3.7 3.8

Определение взаимного расположения базисных циклов 83 Разрешение неопределенностей с ориентациями .... 89

Вычисление монодромии особенности типа фокус-фокус 91 Полный список изоэнергетических молекул случая Клебша . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 93

3.9

Эквивалентности случаев Эйлера, Клебша и Стеклова

4 Лиувиллева классификация интегрируемого случая Соколова
4.1 Гамильтониан и дополнительный интеграл случая Соколова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 4.3 Результаты П. Е. Рябова ................. 96 96

96

Невырожденные положения равновесия в случае Соколова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.4 4.5 4.6 4.7

Круговые молекулы вырожденных одномерных орбит . 106 Построение допустимых систем координат . . . . . . . 107 Определение взаимного расположения базисных циклов 109 Применение формулы Топалова . . . . . . . . . . . . . 112

5 Лиувиллева классификация интегрируемого случая КовалевскойЯхьи при g = 0
5.1 5.2 Бифуркационные диаграммы, семейства торов и их перестройки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.3 5.4 5.5 5.6 Классификация невырожденных положений равновесия 120 Круговые молекулы вырожденных одномерных орбит . 129 Построение допустимых систем координат . . . . . . . 131 Определение взаимного расположения базисных циклов 134
4

115

Гамильтониан и дополнительный интеграл . . . . . . . 116


5.7

Применение формулы Топалова

. . . . . . . . . . . . . 136 138 139 140

Список таблиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Список рисунков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Список литературы
......................

5


Введение
Актуальность темы
Диссертация посвящена вычислению глобальных топологических инвариантов слоений Лиувилля для известных случаев интегрируемости механики твердого тела. В работе находят активное практическое применение ранее предложенные методы вычисления инвариантов (метод круговых молекул [1, 2] и формула Топалова [3]), а также демонстрируются новые подходы и технические приемы. Механика твердого тела ведет свою историю с 1765 года, когда Л. Эйлером [4] была поставлена и решена задача о движении тела, закрепленного в центре масс в поле тяжести. Выдающиеся математики разных эпох, в их числе Лагранж, Кирхгоф, С. В. Ковалевская, Н. Е. Жуковский, А. М. Ляпунов, С. А. Чаплыгин, Л. Н. Сретенский и другие, внесли в ее развитие свой вклад. По сегодняшний день механика твердого тела остается одной из динамически развивающихся классических областей физико-математической науки. В наши дни в механике твердого тела можно выделить четыре основных направления исследований: 1. Поиск новых случаев интегрируемости, в том числе с привлечением компьютерных методов, получение полного списка интегрируемых систем (Х. М. Яхья [5, 6], Соколов [7, 8], Т. Вольф, О. В. Ефимовская [9],
6


А. В. Борисов, И. С. Мамаев [10] и др.) 2. Изучение интегрируемых систем c привлечением алгебраических методов, исследование свойств представлений в форме Лакса и спектральных кривых (М. Оден [11], Ю. А. Браилов [12], А. В. Борисов, И. С. Мамаев [10], В. В. Соколов, А. В. Цыганков [13] и др.) 3. Исследование топологии фазового пространства интегрируемых систем, классификация особенностей, построение бифуркационных диаграмм и определение типов бифуркаций, вычисление локальных и глобальных инвариантов слоений Лиувилля, траекторных инвариантов (А. Т. Фоменко, Х. Цишанг [14], А. В. Болсинов [15], А. А. Ошемков [16, 17], В. С. Матвеев [18], М. П. Харламов [19], П. Топалов [3], О. Е. Орел [20], П. Е. Рябов [21, 22, 23, 24] и др.) 4. Изучение и компьютерное моделирование систем близких к интегрируемым, КАМтеория (В. В. Козлов [25, 26], А. В. Борисов, К. В. Емельянов [27], А. И. Кирьянов [28] и др.) Данная диссертационная работа принадлежит к третьему направлению: она посвящена развитию техники вычисления глобальных инвариантов лиувиллевых слоений инвариантов Фоменко-Цишанга [1, 14] и ее практическому применению для нахождения полного списка инвариантов ряда известных случаев интегрируемости. Инвариант Фоменко-Цишанга также называют меченой молекулой или тонким лиувиллевым инвариантом. Вычисление инвариантов слоений в простейших случаях Эйлера и Лагранжа проводится прямыми методами [1], однако для более сложных систем потребовалось создание специальной техники. В работе [2] А. Т. Фоменко, А. В. Болсинов, П. Рихтер предложили метод круговых молекул и успешно применили его для вычисления инвариантов волчка Ковалевской. Ранее
7


П. Топалов [3] нашел формулу, устанавливающую связь между топологией несущего трехмерного многообразия и инвариантом Фоменко-Цишанга, что позволило ему полностью вычислить меченые молекулы для случая Жуковского. В настоящей диссертации показано, как комбинация этих двух подходов, с привлечением некоторых дополнительных соображений и технических приемов, позволяет вычислить полный список инвариантов ФоменкоЦишанга в случаях интегрируемости Клебша [29], Стеклова [30], Соколова [7], а также Ковалевской-Яхьи [5, 6] при нулевом интеграле площадей.

Цель работы
Вычисление полного списка инвариантов Фоменко-Цишанга и круговых молекул особенностей, классификация невырожденных положений равновесия для интегрируемых систем Клебша, Стеклова, Соколова и КовалевскойЯхьи (при нулевом интеграле площадей). Практическое применение и обогащение техники вычисления глобальных лиувиллевых инвариантов.

Методы исследования
В работе используются методы топологического анализа интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. При проверке невырожденности положений равновесия используются методы линейной алгебры и классической дифференциальной геометрии с привлечением компьютерных пакетов символьных вычислений.

Научная новизна
Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

8


1. Вычислены все инварианты Фоменко-Цишанга случаев интегрируемости Клебша, Стеклова, Соколова, а также Ковалевской-Яхьи при нулевом интеграле площадей. 2. Вычислены все круговые молекулы вышеперечисленных интегрируемых систем. 3. Получено доказательство невырожденности и дана классификация точек положения равновесия систем. 4. Получено топологическое доказательство изоморфности слоений Лиувилля систем Эйлера, Клебша и Стеклова для ряда значений параметров.

Теоретическая и практическая ценность
Полученные результаты могут быть использованы для установления изоморфизмов лиувиллевых слоений различных интегрируемых систем, при изучении возмущений исследованных систем, в том числе неинтегрируемых. Полное описание круговых молекул может быть полезно при составлении списка наиболее типичных особенностей слоений в интегрируемых задачах механики и физики. Подробно описанная и продемонстрированная на конкретных примерах техника вычислений глобальных топологических инвариантов может быть применена при классификации слоений других случаев интегрируемости.

Апробация диссертации
Результаты диссертации докладывались на международных конференциях: Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics (Киев, 2003), Международный семинар имени Лобачевского Современная геометрия и теория физических
9


полей (Казань, 2002). Результаты также докладывались на конференции Александровские чтения (Москва, 2006), на заседаниях Воронежской зимней математической школы им С. В. Крейна (Воронеж, 2002), на геометрическом семинаре проф. Книппера (Бохумский университет, Германия, 2003), на семинаре Динамические системы под руководством проф. А. М. Степина (мех-мат МГУ, 2001), на семинаре Некоммутативная геометрия и топология под руководством проф. А. С. Мищенко (мех-мат МГУ, 2006), а также многократно на семинаре Современные геометрические методы под руководством акад. А. Т. Фоменко и проф. А. С. Мищенко (мех-мат МГУ).

Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах, список которых приведен в конце введения.

Структура и объем
Диссертация состоит из введения и пяти глав. Текст диссертации изложен на 146 страницах и дополняется 10 таблицами и 19 рисунками. Список литературы содержит 46 наименований.

Содержание работы
Во введении формулируется цель работы, кратко излагаются ее результаты и содержание, а также освещается место данных исследований в современной механике твердого тела. В первой главе вводятся основные понятия и излагаются ключевые теоремы топологической классификации интегрируемых гамильтоновых систем [1, 14]. Также описаны фазовое пространство и дифференциальные

10


уравнения на алгебре Ли e(3) , которые возникают в задаче о движении твердого тела; перечислены основные известные на сегодняшний день случаи интегрируемости и достижения в области их топологической классификации.

Определение. Слоением Лиувилля, отвечающим вполне интегрируемой
системе, называется разбиение фазового многообразия M
2n

системы на

связные компоненты совместных поверхностей уровня интегралов f1 , . . . , fn .

Определение. Две интегрируемые гамильтоновых системы (M , v ) и (M , v )
называются лиувиллево эквивалентными, если существует диффеоморфизм : M M , переводящий лиувиллево слоение первой системы в лиувиллево слоение второй системы.
Будем рассматривать гамильтоновы системы с двумя степенями свободы, то есть такие, у которых фазовое симплектическое многообразие M имеет размерность 4, а интегрируемость гарантируется существованием лишь одного функционально независимого с гамильтонианом H дополнительного интеграла F . Всякий случай интегрируемости в механике твердого тела представляет из себя однопараметрическое семейство интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, при этом в качестве параметра выступает значение интеграла площадей. Изоэнергетической поверхностью называется поверхность уровня гамильтониана Q3 = {H (x) = h}. Полным инвариантом слоения Лиувилля на h неособой изоэнергетической поверхности является инвариант Фоменко-Цишанга, также называемый меченой молекулой или тонким лиувиллевым инвариантом. Он представляет из себя граф, ребра которого соответствуют однопараметрическим семействам торов Лиувилля, а вершины критиче11


ским слоям, в которых происходят бифуркации.

Определение. Класс лиувиллевой эквивалентности замкнутой окрестности особого слоя называется 3-атомом.
Оказывается, в подавляющем большинстве систем разнообразие бифуркаций ограничивается четырьмя наболее распространенными 3-атомами, которые обозначают A, A , B и C2 . Обозначения 3-атомов помещают в вершины графа. Способ склейки глобального изоэнергетического многообразия Q3 из этих универсальных кирh пичей задается числовыми метками трех типов: r, и n. Вместе с описанным графом они и составляют инвариант Фоменко-Цишанга. Последующие главы посвящены вычислению тонких инвариантов слоений для различных случаев интегрируемости и изложены в порядке возрастания сложности задачи лиувиллевой классификации конкретной системы. Во второй главе получена лиувиллева классификация интегрируемого случая Стеклова [30]. Отталкиваясь от общего утверждения Н. Т. Зунга [31], доказано важное с практической точки зрения

Предложение. На ребрах, соединяющих два седловых атома круговой молекулы вырожденной одномерной орбиты, метки r равны . На ребрах, соединяющих атом A c седловым, метки r конечны. В обоих случаях метки равны +1.
Вырожденные одномерные орбиты вместе с точками положения равновесия представляют из себя два главных класса особенностей интегрируемых систем на M 4 . С применением приведенного утверждения метод круговых молекул позволяет провести глобальный анализ системы Стеклова до конца. В этом случае интегрируемости основную техническую сложность составляет проверка невырожденности положений равновесия системы, что связано
12


с большим количеством параметров и сложными явными формулами интегралов. Крайне полезным здесь оказалось привлечения компьютера для проведения промежуточных выкладок.

Третья глава посвящена лиувиллевой классификации системы Клебша [29]. В этом случае наблюдается обратная ситуация: аналитическая часть задачи проста, однако топологический анализ требует крайней скрупулезности. Метод круговых молекул не дает окончательного ответа и только неоднократное применение в определенной последовательности формулы Топалова позволяет разрешить ключевые неопределенности. После этого остается вычислить ряд -меток, что достигается рассмотрением случая Клебша как возмущения случая Эйлера в классе интегрируемых систем. Следствием второй и третьей глав является топологическое доказательство двух естественных изоморфизмов.

Теорема
1. При достаточно больших значениях энергии системы Стеклова и Клебша лиувиллево эквивалентны случаю Эйлера. 2. При достаточно больших абсолютных значениях интеграла площадей системы Стеклова и Клебша лиувиллево эквивалентны случаю Эйлера как системы на четырехмерном симплектическом многообразии.
В четвертой главе получена классификация слоений для случая Соколова [7], который был открыт в 2001 году с применением компьютерных методов. При этом вновь применяется комбинация метода круговых молекул и формулы Топалова. Основную техническую сложность составляет проверка невырожденности точек положения равновесия системы, что связано с четвертой степенью и сложной явной формулой для интеграла F .
13


Наконец, в пятой главе дана лиувиллева классификация интегрируемой системы Ковалевской-Яхьи [5, 6]. Данный случай отличается тем, что представляет из себя не одно-, а двухпараметрическое семейство интегрируемых систем. Классический случай Ковалевской является однопараметрическим подсемейством, соответствующим нулевому значению гиростатического момента системы, и полностью исследован в [2]. Мы же в пятой главе исследовали другое естественное однопараметрическое подсемейство, соответствующее нулевому значению интеграла площадей. Результаты этих двух исследований должны сильно облегчить задачу лиувиллевой классификации смешанных случаев. С точки зрения лиувиллевой классификации наибольший интерес в пятой главе представляет метод построения допустимых систем координат бифуркаций в окрестности вырожденных одномерных орбит с применением формулы Топалова, а также предложенный способ вычисления топологического типа трехмерных круговых многообразий. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю академику А. Т. Фоменко, а также профессору А. В. Болсинову и доценту А. А. Ошемкову за постоянное внимание к работе, множество ценных замечаний и консультаций.

14


Публикации автора по теме диссертации
1. Морозов П.В. Лиувиллева классификация интегрируемых систем случая Клебша. Матем. сборник, 2002, т. 193, N 10, c. 113-138. 2. Морозов П. В. Топология слоений Лиувилля случаев интегрируемости Стеклова и Соколова уравнений Кирхгофа Матем. сборник, 2004, т. 195, N 3, c. 69-114. 3. Морозов П. В. Тонкая лиувиллева классификация интегрируемого случая Ковалевской-Яхьи. Вестник МГУ, сер. матем. и мех., (в печати) 4. Морозов П. В. Вычисление инвариантов Фоменко-Цишанга в интегрируемом случае Ковалевской-Яхьи. Матем. сборник, (в печати) 5. Морозов П. В. Лиувиллева классификация интегрируемых систем случая Клебша. Воронеж, 2002, Воронежская зимняя математическая школа 2002, с. 55-57 6. Морозов П. В., Фоменко А. Т. Новые результаты топологической классификации интегрируемых систем в механике твердого тела. Казань, 2003, Труды геометрического семинара, вып. 24, с. 107-120. В работе [6] А. Т. Фоменко приналежат теоремы 2 и 3 (об инварианте слоения Ливилля на трехмерной изоэнергетической поверхности), П. В. Морозову принадлежат теоремы 4, 5 и 6 (результаты и следствия лиувиллевой классификации случаев Клебша и Соколова).

15


Глава 1 Инварианты Фоменко-Цишанга
1.1 Интегрируемые гамильтоновы системы на симплектическом многообразии
1.1.1 Понятие интегрируемой гамильтоновой системы.

Рассмотрим глад-

кое 2n-мерное симплектическое многообразие (M 2n , ) с заданной на нем гладкой функцией H . Динамическую систему v = sgradH называют гамильтоновой динамической системой с n степенями свободы, а функцию H ее гамильтонианом. (Векторное поле sgradH определяется тождеством

(l, sgradH ) = l(H ), где l произвольный вектор касательного пространства, а l(H ) производная функции H вдоль l.) В локальных координатах

(x1 , . . . , x2n ) такую систему можно записать в виде системы обыкновенных
дифференциальных уравнений:

xi = {xi , H }, i = 1, . . . , 2n.
Здесь {, } скобка Пуассона на многообразии M 2n , определяемая симплектической структурой посредством тождества:

{f , g } = (sgradf , sgradg ).

16


Определение 1 Гамильтонова система v называется вполне интегрируемой по Лиувиллю, если существует набор гладких функций f1 , . . . , fn , таких что: 1)f1 , . . . , fn первые интегралы v (что равносильно условию {fi , H } =

0, выполненном при любом i на всем M ),
2)они функционально независимы, то есть почти всюду на M их градиенты линейно независимы, 3){fi , fj } = 0 при любых i и j , 4)векторные поля sgradfi полны.
Часто для краткости вполне интегрируемые по Лиувиллю системы называют просто интегрируемыми.

Определение 2 Слоением Лиувилля, отвечающим вполне интегрируемой
системе, называется разбиение многообразия M
2n

на связные компоненты

совместных поверхностей уровня интегралов f1 , . . . , fn .
Отметим, что в случае интегрируемых систем потоки sgradf1 , . . . , sgradfn коммутируют, поскольку

{sgradfi , sgradfj } = sgrad{fi , fj } = 0,
и являются полными. Это позволяет определить на многообразии M
2n

дей-

ствие абелевой группы Rn , порожденное сдвигами вдоль векторных полей sgradf1 , . . . , sgradfn . Это действие называется действием Пуассона.
1.1.2 Теорема Лиувилля.

Топология вполне интегрируемой гамильтоно-

вой системы в окрестности совместной регулярной поверхности уровня ее первых интегралов полностью описывается теоремой Лиувилля. Обозначим поверхность уровня за T :
17


T = {x M |fi (x) = i , i = 1, . . . n}.
Регулярность означает, что дифференциалы dfi линейно независимы на

T .

Теорема 1 (Теорема Лиувилля) Пусть на M

2n

задана вполне интегри-

руемая по Лиувиллю гамильтонова система v = sgradH и T регулярная совместная поверхность уровня интегралов f1 , . . . , fn . Тогда: 1) T гладкое лагранжево подмногообразие, инвариантное относительно потоков v = sgradH и sgradf1 , . . . sgradfn . 2) Если многообразие T компактно, то каждая компонента связности

T диффеоморфна n-мерному тору T n . Такие торы называются торами
Лиувилля. 3)Слоение Лиувилля в некоторой окрестности U тора Лиувилля T тривиально, т.е. диффеоморфно прямому произведению тора T
n

на диск

Dn.
4)В окрестности U = T n ЧDn существует система координат s1 , . . . , sn ,

1 , . . . , n , называемых переменные действие-угол, со свойствами:
a)s1 , . . . , sn координаты на диске Dn ,1 , . . . , n стандартные угловые координаты на торе T n , R/2 Z. б) =

di dsi .

в) Переменные действие si являются функциями интегралов f1 , . . . , fn . г) В переменных действие-угол гамильтонов поток выпрямляется на каждом торе Лиувилля из окрестности U , и гамильтоновы уравнения принимают вид

si = 0 ,

i = qi (s1 , . . . , sn ),
18

i = 1, . . . i = n.


Это означает, что на каждом торе поток v задает условно -периодическое движение, а траектории являются прямолинейными обмотками тора (рациональными или иррациональными).
Доказательство теоремы можно найти в [1, т.1, гл.1].
1.1.3 Отношения эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем.

В теории топологической классификации интегрируемых гамильтоновых систем традиционно рассматриваются несколько основных типов их изоморфизмов.

Определение 3 Две динамические системы (M , v ) и (M , v ) называются
топологически сопряженными (гладко сопряженными), если существует гомеоморфизм (диффеоморфизм) : M M , переводящий поток t , отвечающий системе (M , v ), в поток t , отвечающий системе (M , v ), т. е.

t = t -1 .
Другими словами, сопряженные системы получаются друг из друга регулярной заменой координат, поэтому сопряженность самое сильное отношение эквивалентности.

Определение 4 Две динамические системы (M , v ) и (M , v ) называются
топологически (гладко) траекторно эквивалентными, если существует гомеоморфизм (диффеоморфизм) : M M , переводящий переводящий ориентированные траектории первой системы в ориентированные траектории второй системы.
При этом не требуется сохранения параметра (времени) вдоль траекторий. Иными словами, траектории рассматриваются здесь как кривые без

19


параметризации, но с направлением, задаваемым потоком. Всякие две сопряженные системы, очевидно, траекторно эквивалентны, но не наоборот. Данная работа посвящена классификации некоторых известных интегрируемых систем из механики твердого тела с точностью до отношения ли-

увиллевой эквивалентности.

Определение 5 Две интегрируемых гамильтоновых системы (M , v ) и
(M , v ) называются лиувиллево эквивалентными, если существует диффеоморфизм : M M , переводящий лиувиллево слоение первой системы в лиувиллево слоение второй системы.
Это отношение эквивалентности можно несколько ослабить. В результате возникает понятие грубой лиувиллевой эквивалентности.

Определение 6 Две интегрируемых гамильтоновых системы (M , v ) и
(M , v ) называются грубо лиувиллево эквивалентными, если существует гомеоморфизм между базами соответствующих слоений Лиувилля, который локально (т.е. в окрестности каждой точки) поднимается до послойного гомеоморфизма слоений Лиувилля.
Несложно видеть, что отношение лиувиллевой эквивалентности есть ослабление отношения траекторной эквивалентности: здесь требуется сохранение лишь поверхностей уровня интегралов системы, в то время как отдельные траектории системы могут нарушаться.

1.2 Инвариаты Фоменко-Цишанга интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы
Будем далее рассматривать интегрируемые гамильтоновы системы с двумя степенями свободы, то есть случай n = 2. Тогда интегрируемость системы на
20


M 4 гарантируется существованием лишь одного функционально независимого с гамильтонианом H интеграла F . В этом пункте мы опишем основные этапы построения известного инварианта Фоменко-Цишанга (или меченой молекулы) [1, т.1, гл.4], который описывает глобальную структуру лиувиллева слоения на неособых трехмерных изоэнергетических подмногообразиях фазового пространства M 4 интегрируемой гамильтоновой системы с двумя степенями свободы.
1.2.1 Изоэнергетические поверхности.

Изоэнергетическими поверхностя-

ми называются трехмерные поверхности вида Q3 = {x M 4 |H (x) = h}. h Сразу ограничимся рассмотрением лишь тех h, при которых, во-первых, Q3 h компактна и, во-вторых, dH = 0 всюду на Q3 . Тем самым мы гарантируем, h что Q3 является гладким компактным подмногообразием в M 4 , а векторное h поле v = sgradH нигде не обращается в ноль. Наряду с лиувиллевой эквивалентностью на всем симплектическом многообразии мы будем говорить о лиувиллевой эквивалентности на избранных изоэнергетических поверхностях. Для того чтобы строго ввести это понятие, достаточно в определениях 5 и 6 заменить M 4 на Q3 .

Определение 7 Точку x Q3 будем называть критической, если векторы sgradH и sgradF в ней линейно зависимы.
Заметим что, сингулярные совместные поверхности уровня интегралов

T в Q3 это в точности те поверхности, на которые попали критические
точки, и теорема Лиувилля к ним не применима. Сделаем еще одно предположение о изоэнергетической поверхности, касающееся свойств критических точек. Легко показать, что критические точки на Q3 не могут быть изолированными. Поэтому предполагать, что дополнительный интеграл F является функцией Морса, бессмысленно. Однако в
21


случае динамических систем существует естественный аналог этого понятия.

Определение 8 Дополнительный интеграл F называется интегралом Ботта на данной изоэнергетической поверхности Q3 , если все его критические точки организованы в невырожденные критические подмногообразия.
Это означает, что множество критических точек является несвязным объединением некоторых гладких подмногообразий, причем каждое из них невырождено в следующем смысле. Второй дифференциал d2 F невырожден на подпространстве, трансверсальном к подмногообразию (в каждой точке). Другими словами, ограничение функции F на трансверсаль к подмногообразию является функцией Морса. В реальных интегрируемых задачах физики и механики типична ситуация, когда найденный дополнительный интеграл F является боттовским для всех h, кроме некоторого конечного набора значений. Случаев же, когда неботтовские значения h отсутствуют полностью, известно крайне мало.
1.2.2 Бифуркационная диаграмма.

Рассмотрим отображение момента F,

которое определяется следующим образом:

F : M 4 R2 (h, f ) F : x (H (x), F (x))
Образ критических точек при отображении момента называется бифур-

кационной диаграммой. Как правило она представляет из себя набор гладких кривых на плоскости, имеющих конечное число точек пересечения, касания и возврата. Возможны также и изолированные точки. Бифуркационную

22


диаграмму удобно использовать как некоторый портрет фазового пространства интегрируемой системы с целью визуализации структуры критического множества. Отметим, что при отображении момента изоэнергетические поверхности переходят в семейство параллельных вертикальных прямых.
1.2.3 Структура критических множеств на изоэнергетической поверхности.

Условие боттовости накладывает существенное ограничение на структуру множества критических точек в Q3 . Действительно, каждая компонента его связности должна быть замкнутым подмногообразием размерности 1 или 2. Из условия v = sgradH = 0, следует, что на этих подмногообразиях существует гладкое векторное поле, отличное от нуля в каждой точке. Следовательно, это или окружность, или двумерный тор, или бутылка Клейна. В известных примерах математической физики критические множества двух последних типов встречаются крайне редко и их появление связано, как правило, с неудачным выбором дополнительного интеграла. Топология таких особенностей подробно изучена в [1, т.1, гл.4]. Мы же далее будем предполагать, что все критические подмногообразия являются окружностями.
1.2.4 Окрестности сингулярных слоев лиувиллева слоения на изоэнергетической поверхности.

Изоэнергетическая поверхность Q3 представляет из


себя однопараметрическое семейство совместных поверхностей уровня T

интегралов системы H и F , параметризованное значением второго интеграла F . Если стянуть каждую компоненту связности поверхностей T в точку, то мы получим некоторый одномерный граф базу слоения Лиувилля (см. рис. 1). Над каждым ребром такого графа висит многообразие диффеоморфное T 2 Ч (0, 1). Вершинам графа соответствуют сингулярные слои. Типичной является ситуация, когда при переходе через критический уровень
23


число компонент связности T меняется. Будем рассматривать замкнутую трехмерную окрестность особого слоя в Q3 . Оказывается, что в боттовском случае c точностью до лиувиллевой эквивалентности существует лишь конечное число возможных перестроек (бифуркаций), если фиксировать количество критических окружностей на сингулярном слое.

Определение 9 Класс лиувиллевой эквивалентности замкнутой окрестности особого слоя слоения Лиувилля называется 3-атомом.
С конструктивной точки зрения, 3-атом это трехмерное многообразие со структурой лиувиллева слоения, содержащего ровно один сингулярный слой, при этом сингулярный слой предполагается связным. Край такого многообразия состоит из некоторого количества торов Лиувилля. Число критических окружностей на особом слое называется сложностью 3-атома. В [1, т.1, гл.3] изложен алгоритм, позволяющий явно перечислить все 3атомы данной сложности. 3-атомы принято обозначать заглавными латинскими буквами с натуральными индексами и звездочками. Четыре наиболее простых и часто встречающихся 3-атома (A, A , B , и C2 ) изображены на рис. 2. Если теперь в вершинах графа на рис. 1 поставить подходящие 3-атомы, то мы получим так называемую грубую молекулу. Грубая молекула несет информацию о базе слоения Лиувилля, а также позволяет локально восстановить его структуру вблизи как регулярных, так и сингулярных слоев. Справедлива

Теорема 2 (А. Т. Фоменко) Две интегрируемые гамильтоновы системы (v , Q3 ) и (v , Q 3 ) грубо лиувиллево эквивалентны в том и только том случае, когда их грубые молекулы совпадают.
24


Полное и последовательное доказательство фактов, изложенных в этом пункте, можно найти в [1, т.1, гл.3]. Здесь мы сформулируем основную теорему, на которую опираются эти доказательства.

Теорема 3 (А. Т. Фоменко) 1)Трехмерная окрестность сингулярного слоя
лиувиллевого слоения является расслоением Зейферта, особые слои которого (если они существуют) имеют тип (2,1). 2)Если особых слоев у этого расслоения нет, то окрестность представима в виде прямого произведения P 2 Ч S1 , где P 2 ориентируемая поверхность с краем из несвязных окружностей. 3)Структура расслоения Зейферта согласована со структурой лиувиллевого слоения, в том смысле, что всякий слой расслоения Зейферта (окружность) целиком лежит на некотором слое слоения Лиувилля.
1.2.5 Матрицы склейки и допустимые системы координат.

3-атомы описы-

вают локальную структуру слоения Лиувилля в окрестности особого слоя. Для того, чтобы восстановить структуру слоения глобально на всем Q3 , нужно знать гомеоморфизмы, по которым склеены граничные торы 3-атомов. Если на каждом из пары склеиваемых торов выбрать базисные циклы, то склеивающий гомеоморфизм задается целочисленной матрицей 2 Ч 2 с определителем +1. Но базисы можно выбирать многими разными способами. Оказывается, однако, что всякий 3-атом определяет на своих граничных торах некоторый цикл, называемый однозначно определенным циклом данной бифуркации. В случае минимаксного атома A это цикл, который стягивается в точку при приближении к критической окружности он определен лишь с точностью до ориентации. В случае всех остальных (седловых) атомов (A , B , C2 , . . .) это цикл, изотопный слоям расслоения Зейферта. При

25


этом ориентация цикла однозначно задается гамильтоновым потоком системы. Однозначно определенный цикл бифуркации всегда берется за первый элемент базиса на всех граничных торах рассматриваемого 3-атома. Выделить подобным образом какой-то один цикл из множества кандидатов на вторую позицию в базисе не удается. Поэтому ограничиваются выбором одного из множества циклов, обладающих некоторыми общими свойствами. Это множество в паре с первым циклом составляют класс так называемых

допустимых систем координат для данного 3-атома. Точное определение
зависит от типа атома и будет дано ниже. При этом группа замен внутри класса допустимых систем координат имеет уже очень простую структуру. Опишем условия, определяющие вторые базисные циклы допустимых систем координат. Здесь следует различать три случая: 1. Минимакстный атом A 2. Седловые атомы без звездочек, то есть представимые как тривиальное

S1 - расслоение Зейферта (атомы B , C2 , . . .)
3. Седловые атомы со звездочками, расслоение Зейферта которых имеет один или несколько особых слоев типа (2,1) (атом A и др.) В случае минимаксного атома A за второй элемент берут любой другой цикл, дополняющий первый до базиса. При этом ориентация второго базисного цикла фиксирована и задается гамильтоновым потоком. Для седловых атомов без звездочек дополнительно требуют, чтобы в совокупности вторые циклы базисов образовывали на 3-атоме глобальное сечение, над которым этот атом представим как тривиальное S1 -расслоение. В случае седловых атомов со звездочками такого глобального сечения не существует. Однако его всегда можно построить, удалив из 3-атома ма26


лые окрестности-полнотория особых слоев. При этом необходимо некоторым естественным образом закрепить это сечение вблизи особых слоев. Для этого рассмотрим границу окрестности особого слоя, являющуюся тором. На нем однозначно определены циклы слой расслоения и , стягивающийся в точку внутри полнотория. Второй цикл мы ориентируем так, чтобы

(, ) образовывала положительно ориентированную пару, не являющуюся
однако базисом, поскольку рассматриваемые циклы имеют две точки пересечения. Далее из соотношения = - 2ч определим цикл ч, дополняющий

до базиса . Так построенные циклы ч определяют сечение тривиального
расслоения на границах выброшенных особых слоев. Построенные сечения будем называть допустимыми, а высекаемые ими на границах 3-атома циклы будем брать за вторые элементы его допустимых базисов. Неопределенность в выборе ориентаций вторых базисных циклов седловых атомов и первого базисного цикла минимаксного атома A устраняется требованием согласованности ориентаций базисов, которое заключается в следующем. Зафиксируем ориентацию на изоэнергетической поверхности Q3 . Граниh цы всех 3-атомов этой поверхности делятся на положительные и отрицательные по направлению роста дополнительного интеграла f . Потребуем, чтобы тройка (1 , 2 , gradf ), где 1 , 2 соответственно первый и второй элементы базиса на торе, была положительно ориентирована в Q3 , если тор h относится к положительной границе атома, и отрицательно ориентирована в противном случае.
1.2.6 Числовые метки.

Инвариантами действия группы замен допусти-

мых систем координат на множестве матриц склеек молекулы являются числовые метки r, и n. Они вычисляются по матрицам склеек посредством
27


следующих явных формул. Пусть на ребре i молекулы стоит матрица склейки


тогда по определению:

ai b c
i i i

,

d

sign bi , если bi = 0 , если bi = 0 , i = . ri = sign a , если b = 0 , если b = 0 i i i
ai bi

Разрежем молекулу по всем конечным ребрам, то есть таким, что ri = . Куски, содержащие лишь седловые атомы, будем называть семьями. Метка

n определяется для всякой семьи, по формуле: ai + bi di + bi ci . ai

n=
вых.ребра

-
вхoд.ребра

-
внут.ребра

В [1, т.1, гл.4] доказывается, что метки не зависят от выбора допустимых координат. При выбранных допустимых базисах матрицы склеек по меткам восстанавливаются однозначно. Числовые метки имеют естественный топологический смысл. Так знаменатель метки r суть беззнаковый индекс пересечения однозначно определенных циклов бифуркаций, которые соединены соответствующим ребром. Метка {1, -1} говорит о согласованности или несогласованности ориентаций критических окружностей двух бифуркаций, когда такое сравнение корректно определено. А метка n Z равна числу Эйлера расслоения Зейферта, образованного семьей, которой она соответствует. Наконец дадим определение инварианта Фоменко-Цишанга и сформулируем основную теорему этой главы.

28


Определение 10 Грубая молекула W , снабженная метками ri , i и nk ,
называется инвариантом Фоменко-Цишанга (меченой молекулой, тонким лиувиллевым инвариантом).

Теорема 4 (А. Т. Фоменко, Х. Цишанг [1, т.1, гл.4]) Две интегрируемые гамильтоновы системы (v , Q3 ) и (v , Q 3 ) лиувиллево эквивалентны в том и только том случае, когда их меченые молекулы совпадают.
1.2.7 Формула Топалова.

Формула Топалова [3] связывает метки моле-

кулы с топологическим типом несущей поверхности. Она является одним из наиболее эффективных средств для вычисления инвариантов ФоменкоЦишанга и активно применяется в настоящей работе. Конкретный вид формулы Топалова зависит от структуры молекулы и получается в соответствии с алгоритмом, приведенным в [3]. Здесь мы укажем ответ для простых, наиболее часто встречающихся случаев, которых будет достаточно для наших целей. Пусть некоторая молекула W


не содержит семей из более чем одно-

го атома и после стирания внутренних ребер семей принимает вид дерева. Пусть также все атомы W имеют род 0. (Атомы A, A , B и C2 относятся к этой категории.) Тогда энергия молекулы N (W ), введенная П. Топаловым, определяется формулой:

0, если rkH1 (Q3 ) > 0 N (W ) = |TorH (Q3 )|, если rkH (Q3 ) = 0. 1 1
Заметим, что N (W ) целиком определяется топологией многообразия. Определим для каждой семьи число n = n + ~

ri + p , где n ее n-метка, 2

ri метки r на ее внешних ребрах, а p число звездочек данной семьи.
Укажем конкретный вид формулы Топалова для трех типов молекул. Ниже
29


за bi обозначен второй элемент матрицы склейки ребра ei . Предполагается, что все ребра ei конечны, то есть bi = 0. Под количеством звездочек семьи понимается суммарное количество особых слоев соответствующего расслоения Зейферта. Стрелка на ребре указывает, допустимый базис какого атома мы получим, умножив базис второго атома на матрицу склейки. 1. Молекула состоит из одной семьи F c p звездочками, из которой исходят ребра e1 , . . . en вида F - A:
ei

N (W ) = +2p b1 . . . bn n(F ) ~
e
0

(1.1)
e
i

2. Молекула состоит из фрагмента F1 - F2 и ребер Fj - A, ведущих в атомы A; суммарное число звездочек двух семей равно p:

N (W ) = +2p b0 b1 . . . bn (n(F1 )n(F2 ) - b-2 ) ~ ~ 0
e
0

(1.2)
e
i

3. Молекула состоит из фрагмента F0 - F2 - F1 и ребер Fj - A,
1

e

ведущих в атомы A; суммарное число звездочек семей равно p:

N (W ) = +2p b0 b1 . . . bn (n(F0 )n(F1 )n(F2 ) - n(F0 )b ~ ~ ~ ~

-2 0

- n(F1 )b-2 ) (1.3) ~ 1

1.3 Интегрируемые гамильтоновы системы в механике твердого тела
1.3.1 Фазовое пространство.

Определим пару (M 4 , ), возникающую в ме-

ханике твердого тела. Рассмотрим алгебру Ли e(3) группы Ли E (3) движений трехмерного евклидова пространства. На линейном пространстве e(3) определена скобка
30



Ли-Пуассона двух произвольных гладких функций f и g :

{f , g }(x) = x([dx f , dx g ]),
где x e(3) , а [ , ] коммутатор в алгебре Ли e(3). В канонических координатах:


(s1 , s2 , s3 , r1 , r2 , r3 )
на линейном пространстве e(3) эта скобка записывается следующим образом:


{si , sj } = ij k sk
где

{ri , sj } = ij k r

k

{r i , r j } = 0 ,

(1.4)

1


i, j, k

3,



ij k

1 = (i - j )(j - k )(k - i). 2

Пусть на e(3) задана некоторая функция Гамильтона H (s, r). Рассмотрим систему уравнений:

si = {si , H }, ri = {ri , H }

(1.5)

2 2 2 Функции f1 = r1 + r2 + r3 и f2 = s1 r1 + s2 r2 + s3 r3 лежат в ядре скобки

Ли-Пуассона и поэтому являются первыми интегралами уравнений (1.5). На совместных четырехмерных поверхностях уровня функций f1 и f2 :

4 2 2 2 Mg = {f1 = r1 + r2 + r3 = 1, f2 = s1 r1 + s2 r2 + s3 r3 = g },

ограничение системы (1.5) представляет из себя гамильтонову систему с
4 двумя степенями свободы. Поверхности Mg являются неособыми гладки

ми симплектическими подмногообразиями в e(3) , диффеоморфными T S 2 . Симплектическая структура задается ограничением скобки Ли-Пуассона из
31


объемлющего пространства e(3) . Система будет интегрируемой на поверх4 ности Mg , если на ней существует функционально независимая с H гладкая



функция F (s, r), такая что {H, F } = 0. Если такая функция существует
4 глобально на всем e(3) , то на каждом Mg возникает интегрируемая га

мильтонова система с двумя степенями свободы. Параметр g здесь имеет физический смысл постоянной площадей.
1.3.2 Основные случаи интегрируемости.

Фундаментальную роль в меха-

нике твердого тела играет случай интегрируемости Эйлера (1765 год) [4], который соответствует свободному движению твердого тела, закрепленного в центре масс. Укажем конкретный вид гамильтониана H и дополнительного интеграла F случая Эйлера:

H=

s2 s2 s2 1 + 2 + 3, 2A1 2A2 2A3

F = s2 + s2 + s2 . 1 2 3
Здесь вещественные параметры 0 < A1 < A2 < A3 имеют смысл главных моментов инерции твердого тела. Хорошо известны также случаи интегрируемости Клебша и Стеклова, которые соответствуют задаче о движении твердого тела в жидкости: Случай Клебша (1871 год) [29]:

s2 s2 s2 1 2 2 2 + 2 + 3 + (A1 r1 + A2 r2 + A3 r3 ), 2A1 2A2 2A3 2 1 2 2 2 F = (s2 + s2 + s2 ) - (A2 A3 r1 + A1 A3 r2 + A1 A2 r3 ). 1 2 3 2 2 H=
Случай Стеклова (1893 год) [30]:

s2 s2 s2 2 1 + + 3 + (A1 r1 s1 + A2 r2 s2 + A3 r3 s3 )+ H= 2A1 2A2 2A3
32


+

2 2 2 2 (A1 (A2 + A2 )r1 + A2 (A2 + A2 )r2 + A3 (A2 + A2 )r3 ), 2 3 3 1 1 2 2

F = (s2 + s2 + s2 ) - 2(A2 A3 s1 r1 + A3 A1 s2 r2 + A1 A2 s3 r3 ) 1 2 3

2 2 2 +2 (A2 (A2 - A3 )2 r1 + A2 (A3 - A1 )2 r2 + A2 (A1 - A2 )2 r3 ). 1 2 3

Здесь R некоторый действительный параметр. Как видно, эти два случая интегрируемости можно интерпретировать, как однопараметрические возмущения случая Эйлера в классе интегрируемых систем. Как известно, помимо случая Эйлера, существую еще два случая интегрируемости задачи о движении тяжелого твердого тела, подвешенного в поле тяжести: случаи Лагранжа и Ковалевской. Укажем для них вид интегралов H и F . Случай Лагранжа (1788 год):

s2 s2 s2 1 2 H= + + 3 + ar3 , K = s3 . 2A 2A 2B Случай Ковалевской (1889 год) [33, 34]: s2 s2 s2 1 2 H= + + 3 + a1 r1 + a2 r2 , 2A 2A A
2 s2 - s2 s1 s2 1 2 F= + a2 r2 - a1 r1 + - a1 r2 - a2 r1 . 2A A Также известен случай частичной интегрируемости Горячева-Чаплыгина 2

(1899 год) [35, 36]. У этой системы {H, F } = 0 лишь на одной поверхности

M

4 g =0

:

s2 s2 2s2 1 2 H= + + 3 + a1 r1 + a2 r2 , 2A 2A A
33


F = s3 (s2 + s2 ) - Ar3 (a1 s1 + a2 s2 ). 1 2
В приведенных выше примерах параметры A, B > 0 отвечают значениям главных моментов инерции твердого тела, a, a1 , a2 R определяют точку закрепления твердого тела. Оказывается, что все приведенные выше случаи интегрируемости задачи о движении твердого тела в поле тяжести допускают обобщения на случай наличия в системе постоянных гиростатических сил. Физически это означает, что с телом жестко связан волчок, вращающийся с постоянной угловой скорость относительно оси своей динамической симметрии. Данные случаи дают примеры возмущения описанных выше систем в классе вполне интегрируемых по Лиувиллю. Случай Жуковского (1885 год)[32]:

H=

(s1 + 1 )2 (s2 + 2 )2 (s3 + 3 )2 + + , 2A1 2A2 2A3 F = s2 + s2 + s2 . 1 2 3

Случай Лагранжа с гиростатом:

H=

s2 s2 (s3 + )2 1 + 2+ + ar3 , K = s3 . 2A 2A 2B

Случай Ковелевской-Яхьи (1986 год)[5, 6]:

H=

s2 (s3 + )2 s2 1 + 2+ + a1 r1 + a2 r2 , 2A 2A A
2 1

F=

s2 - s2 1 2 + a2 r2 - a1 r 2A -

+

s1 s2 - a1 r2 - a2 r1 A

2

-

2 4r3 (s3 + 2)(s2 + s2 ) + (a1 s1 + a2 s2 ). 1 2 A2 A
34


Случай частичной интегрируемости Сретенского (1963 год) [37]:

s2 s2 2(s3 + )2 1 2 H= + + + a1 r1 + a2 r2 , 2A 2A A F = (s3 + 2)(s2 + s2 ) - Ar3 (a1 s1 + a2 s2 ). 1 2
Параметры , 1 , 2 , 3 R задают постоянный гиростатический момент. В последние годы в связи с бурным развитием компьютерных методов и появлением высокопроизводительных пакетов символьных вычислений удалось значительно продвинуться в задаче нахождения квадратичных гамильтонианов уравнений (1.5), допускающих полиномиальный дополнительный интеграл. Отметим работы В. В. Соколова [7, 8], Вольфа и Ефимовской [9]. Обнаруженные случаи интегрируемости зачастую не имеют ясной физической интерпретации, что, впрочем, не мешает заниматься исследованием их топологии как интегрируемых гамильтоновых систем. Примером одной из таких систем может служить случай интегрируемости Соколова (2001 год) [7], подробно изученный в настоящей работе:

1 12 H = (s2 + s2 + 2s2 ) + r2 s3 - r3 , 1 2 3 2 2

2 2 F = s2 (s2 + s2 + s2 + 2(r2 s3 - r3 s2 ) + r2 + r3 ) + 2s3 (s2 - r3 )(r1 s1 + r2 s2 + r3 s3 ). 31 2 3

1.3.3 Результаты лиувиллевой классификации интегрируемых случаев.

Пе-

речислим основные известные на сегодняшний день результаты в направлении лиувиллевой классификации конкретных интегрируемых систем механики твердого тела.

35


Лиувиллева классификация случаев Эйлера и Лагранжа подробно изложена в [1, т.2, гл.5]. В работе [2] А. В. Болсиновым, П. Рихтером и А. Т. Фоменко был впервые предложен метод круговых молекул, ставший главным инструментом вычисления меченных молекул сложных интегрируемых систем, который также является основным методом исследований в данной работе. При помощи него авторами были вычислены все инварианты ФоменкоЦишанга волчка Ковалевской. Тем самым была завершена лиувиллева классификация всех случаев интегрируемости задачи о движении твердого тела, подвешенного в поле тяжести. До этого, в 1996 году, П. Топалов [3] получил общую формулу, связывающую числовые метки молекулы с топологией ее изоэнергетического многообразия, что позволило ему вычислить все меченые молекулы случая Жуковского, а в случаях Ковалевской и Сретенского получить конечный список альтернатив для тонких лиувиллевых инвариантов. Формула Топалова оказалась мощным средством для нахождения глобальных лиувиллевых инвариантов слоений и активно применяется в настоящей работе. Грубая лиувиллева классификация случаев Клебша, Стеклова и Жуковского была получена в диссертационной работе А. А. Ошемкова и опубликована в [16, 17]. Для системы Горячева-Чаплыгина О. Е. Орел [20] была дана траекторная классификация. Меченые молекулы случая Сретенского были вычислены В. В. Корнеевым при помощи метода круговых молекул [38]; ответ можно найти в [1, т.2, гл.5]. В серии работ П. Е. Рябова , О. Е. Орел, М. П. Харламова [21, 22, 23, 24] были построены бифуркационные диаграммы и дана грубая лиувиллева классификация многих недавно обнаруженных сложных случаев интегрируемости, в том числе системы Ковалевской-Яхьи и Соколова.
36


Отметим также более ранние работы М. П. Харламова [19, 43] и Т. И. Погосяна [44, 45, 46], в которых были впервые построены бифуркационные диаграммы многих упомянутых выше случаев интегрируемости. Данная работа посвящена подробному исследованию структуры слоений Лиувилля в случаях Стеклова, Клебша, a также Соколова и КовалевскойЯхьи (последнее при g = 0). Дана классификация всех невырожденных положений равновесия (см. 2.3), вычислены все круговые молекулы (см. 2.2) и инварианты Фоменко-Цишанга. Результаты опубликованы в серии статей [39, 40, 41, 42].

37


Глава 2 Лиувиллева классификация интегрируемого случая Стеклова
Вычисление тонких лиувиллевых инвариантов отдельных случаев интегрируемости механики твердого тела начнем с системы Стеклова [30]:

H=

s2 s2 s2 1 + 2 + 3 + (A1 r1 s1 + A2 r2 s2 + A3 r3 s3 )+ 2A1 2A2 2A3

2 2 2 2 + (A1 (A2 + A2 )r1 + A2 (A2 + A2 )r2 + A3 (A2 + A2 )r3 ), 2 1 1 3 3 2 2 F = (s2 + s2 + s2 ) - 2(A2 A3 s1 r1 + A3 A1 s2 r2 + A1 A2 s3 r3 ) 1 2 3

2 2 2 +2 (A2 (A2 - A3 )2 r1 + A2 (A3 - A1 )2 r2 + A2 (A1 - A2 )2 r3 ). 1 2 3

Порядок изложения для случаев интегрируемости выбран исходя из принципа движения от простого к сложному. Техника и приемы вычисления меченных молекул будут обогащаться при переходе к каждому следующему интегрируемому случаю. С этой точки зрения естественно начать со случая Стеклова, для которого метод круговых молекул [2] дает окончательный ответ с привлечением лишь некоторых общих дополнительных соображений,
38


справедливых для любой другой интегрируемой системы.

2.1 Грубая лиувиллева классификация систем случая Стеклова
Бифуркационные диаграммы и грубые молекулы для интегрируемого случая Стеклова были вычислены А. А. Ошемковым в работе [17]. В этом пункте мы вкратце приводим его результаты и вводим понятия и обозначения, которые понадобятся нам для вычисления тонких лиувиллевых инвариантов. Рассмотрим коммутирующую пару функций на e(3) :

2 2 2 H0 = a1 s2 + a2 s2 + a3 s2 + 2(a2 s1 r1 + a2 s2 r2 + a2 s3 r3 ) + a3 r1 + a3 r2 + a3 r3 , 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 2 F0 = s2 + s2 + s2 - 2(a1 s1 r1 + a2 s2 r2 + a3 s3 r3 ) - 3(a2 r1 + a2 r2 + a2 r3 ), 1 2 3 1 2 3

где a1 + a2 + a3 = 0. Как впервые заметил А. А. Ошемков, любой гамильтониан H случая Стеклова представим в виде,

H = H 0 + F0 + f 1 + f 2 ,
где

a1 = (2A2 A3 - A3 A1 - A1 A2 ), a2 = (2A3 A1 - A1 A2 - A2 A3 ), 3 3 1 a3 = (2A1 A2 - A2 A3 - A3 A1 ), = , 3 2A1 A2 A3 3 1 1 11 2 2(A1 A2 + A2 A3 + A3 A1 ) + + , = - A1 A2 A = 6 A1 A2 A3 27A1 A2 A3 = A2 A3 A3 A1 A1 A + + 5(A1 + A2 + A3 ) - 2 9 A1 A2 A3
2

3

,

.

Далее будем рассматривать интегрируемую систему с гамильтонианом

H0 и дополнительным интегралом F0 . Тем самым мы фактически понижаем число параметров с четырех до двух. Перенумерацией переменных
39


добьемся, чтобы

a1 < 0

a2 < a 3 .

Рассмотрим отображение момента F:
4 F : Mg R2 (f , h)

F : x (F0 (x), H0 (x))
В случае Стеклова при любом значении g бифуркационная диаграмма состоит из кривой, заданной параметрически:

f = -8чg - 12ч2 , h = -4ч2 g - 8ч3 , -(g + a3 )

2ч

-(g + a1 ),

(2.1)

и трех лучей лежащих на прямых h = ai f + 4a3 + 4g a2 (i = 1, 2, 3). Лучи i i задаются так: {h = ai f + 4a3 + 4g a2 , f i i неотрицательное число. Кривая (2.1), заданная параметрически с параметром ч, имеет вид, изображенный на рис. 3. a) g < -3a3 , b) -3a3 < g < -3a2 , c) -3a2 < g < -3a1 , d) g > -3a1 .
1 Для точки кривой, отмеченной цифрой i, значение параметра равно - 2 (g +

T - 12a2 - 8g ai }, где T некоторое i

ai ). Это точка пересечения кривой и прямой h = ai f + 4a3 + 4g a2 . Для точки i i
возврата кривой мы имеем ч =
g 3

при -3a3 < g < -3a1 . В точке касания

луча с кривой значение параметра на кривой равно ai . В результате для различных значений g получаем в общей сложности 10 качественно различных бифуркационных диаграмм. Они изображены на рис. 4. Соответствующие значения g таковы:

40


a) g < -3a3 , b) -3a3 < g < a1 - a3 , c) a1 - a3 < g < a1 - a2 , d) a1 - a2 < g < -3a2 , e) -3a2 < g < a2 - a3 , f ) a2 - a3 < g < a3 - a2 , g) a3 - a2 < g < a2 - a1 , h) a2 - a1 < g < a3 - a1 , i) a3 - a1 < g < -3a1 , j) g > -3a1 . На рис. 4 гладкие дуги бифуркационной диаграммы обозначены малыми греческими буквами с индексами. Окрестности их прообразов в Q3 представляют из себя боттовские перестройки торов Лиувилля, описываемые 3-атомами. Укажем их типы:

2A : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 9 , 10 , 11 , 4A : 7 ,
8 4

12

2 B : 1 , 2 , 3 , C 2C
2 2

: 1 : 2 ,
3

Регулярные точки отображения момента на R2 (f , h) являются образами некоторого количества несвязных торов Лиувилля. Эти торы естественным образом разбиваются на семейства, которые мы будем обозначать римскими цифрами I-V (см. рис. 4). Число прообразов для каждой области регулярности также вычислено в [17]. Имеем:

41


семейство число торов Лиувилля I II III IV V 2 2 2 4 2

В каждое семейство мы отнесли торы, которые испытывают одинаковые бифуркации на границах области регулярности. Появление пар торовблизнецов не должно нас удивлять. Дело в том, что фазовое пространство в случае Стеклова, обладает очевидной симметрией

: (s, r) (-s, -r),
такой что : (f1 , f2 , H0 , F0 ) (f1 , f2 , H0 , F0 ). Особо отметим, что регулярные торы Лиувилля могут лежать и в прообразах кривых бифуркационной диаграммы, как это происходит, например, с дугой 1 . Дело в том, что кривая 1 является бифуркационной только для семейства III, а для семейства II торов эта дуга является частью области регулярности. Этот эффект отражает тот факт, что бифуркационная диаграмма (вместе с регулярным точками) есть проекция базы слоения Лиувилля на R2 (f , h). В результате регулярные и особые компоненты связности одного слоя, удаленные друг от друга на M 4 , отображаются в одну точку плоскости. Исходный гамильтониан Стеклова H представим в виде H = H0 + K0 +

f1 + f2 , в силу чего при отображении момента изоэнергетические поверхности Q3 = {H (x) = h} будут отображаться в сечения бифуркационной h диаграммы семейством параллельных прямых h + f = c. При этом следует рассматривать только те прямые, которые пересекают бифуркационную
42


диаграмму по компактному множеству, не проходят через ее особые точки и пересекают дуги диаграммы трансверсально. Тем самым мы гарантируем выполнение условий регулярности, накладываемых на изоэнергетические поверхности. Несложно заметить, что представленной в этом пункте информации достаточно для того чтобы определить грубые молекулы этих поверхностей, что составляет грубую лиувиллеву классификацию случая Стеклова. После этого для получения инвариантов Фоменко-Цишанга нам остается вычислить числовые метки этих молекул. Однако мы решим более общую задачу: научимся вычислять меченую молекулу для произвольной допусти-

мой кривой. Под допустимой кривой понимается гладкая кривая, пересекающая дуги бифуркационной диаграммы трансверсально и не проходящая через е? особые точки. Потребуем, как и ранее, чтобы кривая пересекала образ отображения момента по компактному множеству. В конце главы мы предъявим алгоритм вычисления меченой молекулы для произвольной допустимой кривой в случае Стеклова и в качестве примера вычислим одну из изоэнергетических молекул.

2.2 Классификация круговых слоений Лиувилля
Точки M , N , P , Q, R, L и zi на рис. 4 являются особыми точками бифуркационной диаграммы. Они образованы точками пересечения, касания или возврата гладких кривых. Рассмотрим произвольную особую точку. Опишем вокруг нее малую окружность. Это частный случай допустимой кривой. В прообразе окружности имеется некоторое трехмерное многообразие, на котором возникает слоение Лиувилля. Инвариант Фоменко-Цишанга этого слоения называют круговой молекулой данной особенности. Оказывается, что, с одной стороны, круговые молекулы много знают о глобальном
43


слоении системы, а с другой их несложно вычислить, так как они целиком определяются локальной структурой слоения вблизи особенности.

Теорема 5 Круговые молекулы всех особых точек случая Стеклова приведены в таблице 1.
Доказательство этой теоремы будет получено в двух следующих пунктах.

2.3 Классификация невырожденных положений равновесия
В прообразах точек M , N , P , Q, R и L бифуркационной диаграммы лежат точки, в которых ранг отображения момента падает до нуля. Это образы слоев, содержащих одну или несколько неподвижных точек действия Пуассона. Будем далее называть их точками положения равновесия системы. Дадим определение невырожденности положения равновесия для интегрируемой гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Пусть на (M 4 , ) задана интегрируемая система с гамильтонианом H и дополнительным интегралом F . Пусть точка x M 4 такая, что dH (x) =

dF (x) = 0. Тогда на Tx M корректно определены два симплектических оператора AH = -1 d2 H и AF = -1 d2 F , порождающие в алгебре Ли sp(4, R) некоторую коммутативную подалгебру K (H, F ).

Определение 11 Положение равновесия x называется невырожденным,
если подалебра K (H, F ) является картановской подалгеброй в sp(4, R).
Известно, что в sp(4, R) существует ровно четыре несопряженных подалгебры Картана, различаемых по типу собственных значений ее элементов. В зависимости от них, невырожденное положение равновесия относят к одному из следующих типов: 1. ia, -ia, ib, -ib центр-центр,
44


2. a, -a, ib, -ib седло-центр, 3. a, -a, b, -b седло-седло, 4. a + ib, a - ib, -a + ib, -a - ib фокус-фокус, где a, b R+ . Теперь укажем эффективный способ проверки картановости подалгебры

K (H, F ).
Для начала заметим, что операторы A
H

и AF совпадают с линеаризаци-

ями векторных полей sgradH и sgradF соответственно, что позволяет легко вычислять матрицы, которыми они задаются в локальных координатах. Действительно,

(sgradH )i = xj x

j

H xk
ik

2H = = (-1 d2 H )i j j xk x
ik

Коммутативная подалгебра в sp(4, R) является картановской если и только если она двумерна и среди ее элементов найдется линейный оператор с попарно различными ненулевыми собственными значениями. Итак, сначала нужно убедиться, что операторы A
H

и AF линейно независимы, и затем

проверить, что некоторая линейная комбинация AH + чAF имеет попарно различные собственные значения. Невырожденные положения равновесия обладают многими замечательными свойствами. В частности окрестности их слоев в M 4 представимы в виде почти прямого произведения 2-атомов. Структура слоения Лиувилля вблизи особых слоев, содержащих невырожденные положения равновесия, полностью описана. Для случаев малой сложности (по количеству неподвижных точек на слое) имеются классификационные таблицы, в которых, в частности, указаны круговые молекулы. Изложению этой теории посвящена глава [1, т.1, гл.9].
45


Вернемся к случаю Стеклова.

Теорема 6 Условия невырожденности, типы и представления в виде почти прямого произведения для положений равновесия, лежащих в прообразах точек M , N , P , Q, R, L бифуркационной диаграммы указаны в таблице: условия невырожденности тип п/п произв.

M g (-, a2 - a3 ) (a3 - a2 , +)\{-3a1 } центр-центр g (a2 - a3 , a3 - a2 )
седло-центр

2(A Ч A) 2(A Ч B ) 2(A Ч A) 2(A Ч B ) (A Ч C2 ) (B Ч C2 ) 2(A Ч C2 ) 2(A Ч C2 ) 4(A Ч A)

N g (-, a1 - a2 ) (a2 - a1 , +)\{-3a3 } центр-центр g (a1 - a2 , a2 - a1 ) P g (-, a1 - a3 ) (a3 - a1 , +) g (a1 - a3 , a3 - a1 )\{-3a2 } Q R L g (a1 - a3 , a1 - a2 ) g (a3 - a2 , a3 - a1 ) g (a2 - a3 , a2 - a1 )
седло-центр седло-центр седло-седло седло-центр седло-центр центр-центр

Круговые молекулы точек M , N , P , Q, R, L указаны в таблице 1. Других
4 критических точек у гамильтониана H0 на Mg нет.

Доказательство: Координаты (s1 , s2 , s3 , r1 , r2 , r3 ) критических точек гамильтониана H0 на
4 Mg были найдены А. А. Ошемковым [17]:

x

M

= +(g , 0, 0, 1, 0, 0),

xN = +(0, 0, g , 0, 0, 1), xP = +(0, g , 0, 0, 1, 0), xQ = (0, (a1 - a3 )u1 , (a1 - a2 )v1 , 0, u1 , v1 )
46


u2 = 1

g + a2 - a1 , a2 - a3 g + a3 - a2 , a3 - a1 g + a1 - a3 , a1 - a2

2 v1 =

g + a3 - a1 , a3 - a2 g + a1 - a2 , a1 - a3 g + a2 - a3 , a2 - a1

a1 - a3

g

a1 - a2 ;

xL = ((a2 - a3 )v2 , 0, (a2 - a1 )u2 , v2 , 0, u2 ) u2 = 2
2 v2 =

a2 - a3

g

a2 - a1 ;

xR = ((a3 - a2 )u3 , (a3 - a1 )v3 , 0, u3 , v3 , 0) u2 = 3
2 v3 =

a3 - a2

g

a3 - a1 .

Отметим, что в силу невырожденности симплектической формы на
4 Mg , условия dH0 |
4 Mg

= 0 и sgradH0 = 0 эквивалентны. Проверка показыва-

ет, что поле sgradF0 в этих точках также обнуляется. Следовательно, точки

xM , . . . , xR и только они являются неподвижными точками действия Пуассона. Проверим невырожденность этих положений равновесия при указанных значениях g . Для этого вычислим матрицы линеаризаций векторных полей
1 2

sgradH0 и 1 sgradF0 в e(3) . Имеем: 2

1 1 si = {si , H0 }, ri = {ri , H0 } 2 2 s = (a - a )s s 1 2 3 23 s2 = (a3 - a1 )s3 s1 s3 = (a1 - a2 )s1 s2 r =a s r -a s 1 223 33 r =a s r -a s 2 331 11 r3 = a1 s1 r2 - a2 s2
6 H

+ (a2 - a2 )(r2 s3 + s2 r3 ) + (a3 - a3 )r2 r 2 3 2 3 + (a2 - a2 )(r3 s1 + s3 r1 ) + (a3 - a3 )r3 r 3 1 3 1 + (a2 - a2 )(r1 s2 + s1 r2 ) + (a3 - a3 )r1 r 1 2 1 2 r2 + (a2 - a2 )r2 r 2 3 r3 + (a2 - a2 )r3 r 3 1 r1 + (a2 - a2 )r1 r 1 2
3 1 2

3 1 2

Дифференцируя правые части уравнений получаем матрицу линеаризации A
0

векторного поля 1 sgradH0 в координатах (s1 , s2 , s3 , r1 , r2 , r3 ): 2

47


A6 0 = H
где


AB CD ,

0 (a2 - a3 )s3 + (a2 - a2 )r3 (a2 - a3 )s2 + (a2 - a2 )r2 2 3 2 3

A = (a3 - a1 )s3 + (a2 - a2 )r3 0 (a3 - a1 )s1 + (a2 - a2 )r1 3 1 3 1 (a1 - a2 )s2 + (a2 - a2 )r2 (a1 - a2 )s1 + (a2 - a2 )r1 0 1 2 1 2 0 ( - )s3 + ( - a )r3 (a - )s2 + ( - a )r2 2 B = (a3 - a2 )s3 + (a3 - a3 )r3 0 (a2 - a2 )s1 + (a3 - a3 )r1 1 3 1 3 1 3 1 3 (a2 - a2 )s2 + (a3 - a3 )r2 (a2 - a2 )s1 + (a1 - a3 )r1 0 1 2 1 2 1 2 2 0 a2 r3 -a3 r2 C = -a1 r3 0 a3 r1 a1 r2 -a2 r1 0 a2 2 a2 3 (a2 2
2 3

a2 2 a2 3
3 a2 3 3 2 2

a2 3

a3 2

3 3





0 ( - )r3 - a3 s3 - a )r2 + a2 s2 2 D = (a3 - a1 )r3 + a3 s3 0 (a2 - a2 )r1 - a1 s1 3 3 1 2 2 2 2 (a1 - a2 )r2 - a2 s2 (a1 - a2 )r1 + a1 s1 0

Аналогичные вычисления необходимо проделать для поля 1 sgradF0 . 2

1 1 si = {si , F0 }, ri = {ri , F0 } 2 2 s = (a - a )(r 1 3 2 s2 = (a1 - a3 )(r s3 = (a2 - a1 )(r r =s r -s r 1 23 32 r =s r -s r 2 31 13 r3 = s1 r2 - s2 r1
2 s3 3 s1 1 s2

+ s2 r3 ) + 3(a2 - a2 )r2 r 3 2 + s3 r1 ) + 3(a2 - a2 )r3 r 1 3 + s1 r2 ) + 3(a2 - a2 )r1 r 2 1

3 1 2

+ (a3 - a2 )r2 r3 + (a1 - a3 )r3 r1 + (a2 - a1 )r1 r2
48


A
A = (a1 - a3 )r (a2 - a1 )r 0 B = 3(a2 - a2 )r3 + (a1 - a3 )s 3 1 2 2 3(a2 - a1 )r2 + (a2 - a1 )s 3(
3 2

AB CD


6 F0

=



0

(a3 - a2 )r3 (a3 - a2 )r2
3 2

0 (a2 - a1 )r1 a2 2

(a1 - a3 )r1 0 3(a2 3 3(
1

a2 3

-

)r3 + (a3 - a2 )s 0

3

- -

a2 2 a2 3

a2 1

3(a2 - a2 )r1 + (a2 - a1 )s 2 1 0 r3 -r2 r1 0

)r1 + (a1 - a3 )s1 0

)r2 + (a3 - a2 )s

2

C = -r3 0 r2 -r1



0 (a3 - a2 )r3 - s3 (a3 - a2 )r2 + s2 D = (a1 - a3 )r3 + s3 0 (a1 - a3 )r1 - s1 (a2 - a1 )r2 - s2 (a2 - a1 )r1 + s1 0

Рассмотрим точку M . В ее прообразе лежит два симметричных положения равновесия x
M

= +(g , 0, 0, 1, 0, 0). Для определенности, возьмем точ-

ку соответствующую знаку +. В качестве локальных координат в ее 44 окрестности на Mg можно взять функции (s2 , s3 , r2 , r3 ). Тогда канонический

базис в касательном пространстве задается матрицей:

4 T Mg = -
r2 r1

-
r r
3 1



0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 01

r2 s1 -s2 r1 2 r1

r3 s1 -s3 r1 2 r1

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 -
r r
2 1

0 0 -
r3 r1

1 0
49

0 1

0 0 1 0 0 1 = 0 0 0 0 00


Ограничивая операторы A

6 H

0

иA
0

6 F

0

4 из e(3) на TM Mg , находим матрицы

симплектических операторов A

H

и AF0 :

(a1 = +( 0 (a3 - a1 )g + 0 (a2 - a2 )g + 3 1

+(a2 - a2 ) +(a3 - a3 ) 3 1 3 1 - a2 )g + 0 (a2 - a2 )g + 0 1 2 a2 - a2 ) +(a3 - a3 ) 1 2 1 2 2 2 0 a3 0 (a3 - a1 ) - a1 g 2 2 -a2 0 (a1 - a2 ) + a1 g 0 0 + (a2 - a1 )g 0 a1 + g 3( a2 1 - a2 3 ) + (a1 - a3 )g 0 a1 - a3 - g 0

A

H

0

0 (a1 - a3 ) a2 - a1 0 3(a2 - a2 ) 2 1 = 0 1 -1 0 a2 -

A

F0

Легко видеть, что эти матрицы линейно независимы при любых g : для этого достаточно рассмотреть квадраты 2 Ч 2 в левых нижних углах двух матриц. Следовательно, первое условие невырожденности выполняется. Проверим второе условие. Покажем, что при g {a2 - a3 , a3 - a2 , -3a1 , 3a1 } / матрица A имеет вид:
F0

имеет попарно различные собственные значения. Эта матрица





0 A1 0 B1 A2 0 B2 0 X= 0 C1 0 D1 C 2 0 D2 0
Уравнение на собственные значения: det(X - E ) =
50


= 4 - (A1 A2 + B1 C2 + B2 C1 + D1 D2 )2 + (A1 D1 - B1 C1 )(A2 D2 - B2 C2 ) = = 4 - b2 + 1 2 = 4 - b2 + = t2 - bt + = 0,
где

t = 2 , b = A1 A2 + B1 C2 + B2 C1 + D1 D2 , = = (A D - B C )(A D - B C ). 12 11 11 22 22

Для нашего случая имеем:

b = ((a2 -a1 )(a1 -4a3 )+(a1 -a3 )(4a2 -a1 )-g 2 ) = -(22a2 a3 +7a2 +7a2 +g 2 ) < 0, 2 3 = -4(a1 -a3 )(a2 -a1 )(g 2 -(a3 -a2 )2 ) = 4(2a2 +2a2 +5a2 a3 )(g 2 -a2 -a2 +2a2 a3 ). 2 3 2 3
Вычислим дискриминант квадратного уравнения:

D = (22a2 a3 + 7a2 + 7a2 + g 2 )2 - 16(2a2 + 2a2 + 5a2 a3 )(g 2 - a2 - a2 + 2a2 a3 ) 2 3 2 3 2 3
Как видно, дискриминант является квадратичной функцией от g 2 , принимающей положительные значения на +. Найдем точку минимума и минимальное значение функции D(g 2 ):
1 2 gmin = - 2 2(22a2 a3 + 7a2 + 7a2 ) - 16(2a2 + 2a2 + 5a2 a3 ) = 2 3 2 3 = 9(2a2 a3 + a2 + a2 ) = (3a1 )2 , 2 3

Dmin = (22a2 a3 + 7a2 + 7a2 + 9(2a2 a3 + a2 + a2 ))2 - 2 3 2 3 -16(2a2 + 2a2 + 5a2 a3 )(9(2a2 a3 + a2 + a2 ) - a2 - a2 + 2a2 a3 ) = 2 3 2 3 2 3 = 64((2a2 + 2a2 + 5a2 a3 )2 - (2a2 + 2a2 + 5a2 a3 )(2a2 + 2a2 + 5a2 a3 )) = 0. 2 3 2 3 2 3
Корни квадратного уравнения t1 , t2 R, так как D

0.

При g (a2 - a3 , a3 - a2 ) имеем < 0 и по теореме Виета t2 < 0 < t1 . Значит четыре корня i биквадратного уравнения на собственные значения имеют вид {+

|t1 |, +i

|t2 |}. Следовательно, особенность невырождена и

имеет тип седло-центр.
51


При g (-, a2 - a3 ) (a3 - a2 , +) имеем > 0. С учетом того что

b < 0, по теореме Виета имеем t1 < t2 < 0, а значит множество собственных
значений имеет вид {+i

|t1 |, +i

|t2 |}, и нужно дополнительно требовать,

чтобы t1 = t2 D = 0 g = +3a1 . Тогда особенность имеет тип центрцентр. Итак мы доказали, что при g {a2 - a3 , a3 - a2 , -3a1 , 3a1 } положение рав/ новесия x
M

в прообразе точки M невырождено. Не приходится сомневаться,
M

что при g {a2 - a3 , a3 - a2 , -3a1 } точка x

действительно вырождается,

так как при этих значениях происходят перестройки бифуркационной диаграммы в точке M . Однако, это не так для g = 3a1 . На самом деле при этом g вырождения положения равновесия x ные значения матрицы AF0 |g
=3a1 M

не происходит. Собствен-

совпадают, но среди линейных комбинаций

(A

H

0

+ чAF0 ) |

g =3a1

остаются матриц с попарно различными собственны-

ми значениями. Для того, чтобы в этом убедиться достаточно проверить, что собственные значения матрицы AH0 |
g =3a
1

не совпадают. Действительно,

сохраняя введенные обозначения, имеем:

0 4a2 - a2 - 2 1 = -3a a 12 0 -a2 a2 3 - 4a2 1 + 0 a3 3 - 4a3 1 +3a1 a3 0 4 a3 - a3 - 1 2 -3a1 a a3 0 0 4a2 - a2 1 2
2 2

+ +3a1 a2 3 0 2 2 a3 - 4a1 0

AH0 |g

=3a

1

-b = (a2 + 3a1 a2 - 4a2 )(a2 + 3a1 a3 - 4a2 ) + a3 (a3 + 3a1 a2 - 4a3 ) + a2 (a3 + 3a1 a2 - 2 1 3 1 2 2 1 3 3 4a3 ) + (a2 - 4a2 )(a2 - 4a2 ) = 32a4 - 4a2 (2a2 + 2a2 + 3a1 a2 + 3a1 a3 ) + 2a2 a2 + 1 2 1 3 1 1 1 2 3 23 6a1 a2 a3 + 6a1 a2 a2 + 9a2 a2 a3 + a3 a3 + a2 a3 - 4a3 a2 - 4a3 a3 = 48a4 + 4a2 a2 a3 - 2 3 1 2 3 1 1 1 1
52


8a2 a2 - 8a2 a2 = 4a2 (12a2 + a2 a3 - 2a2 - 2a2 ) = 4a2 (10a2 + 10a2 + 25a2 a3 ) = 12 13 1 1 2 3 1 2 3 20a2 (2a2 + 2a2 + 5a2 a3 ) > 0, 1 2 3

= 1 2 , 2 = (a2 + 3a1 a3 - 4a2 )(a2 - 4a2 ) - a3 (a3 + 3a1 a2 - 4a3 ) = a2 (a2 + 3a1 a3 ) - 3 1 3 1 3 3 1 33 4a2 (2a2 + 3a1 a3 ) + 16a4 - a2 (a2 + 3a1 a3 ) + 4a3 a3 = -4a2 (2a2 + 3a1 a3 - a1 a3 ) + 1 3 1 33 1 1 3 16a4 = 16a4 - 8a2 (a2 + a1 a3 ) = 8a2 (2a2 + a3 a2 ) = 8a2 (2a2 + 2a2 + 5a2 a3 ), 1 1 13 1 1 1 2 3 1 = 2 = 8a2 (2a2 + 2a2 + 5a2 a3 ), = 64a4 (2a2 + 2a2 + 5a2 a3 )2 > 0. 1 2 3 1 2 3

t2 - bt + = 0,

D = 4

b 2

2

- = 36a4 (2a2 + 2a2 + 5a2 a3 )2 > 0, 3 2 1 t2 < t1 < 0, {i } = {+i

b < 0, |t1 |, +i

>0 |t2 |}.

t1 , t2 R,

В прообразах точек N и P бифуркационной диаграммы лежат положения равновесия с координатами +(0, 0, g , 0, 0, 1) и +(0, g , 0, 0, 1, 0) соответственно. Проверка их условий невырожденности проводится путем тех же выкладок, что и в случае точки M , с применением циклической перестановки индексов у параметров a1 , a2 , a3 и переоценкой получающихся неравенств. Обратимся теперь к точкам Q, L, R. В их прообразах лежит по четыре положения равновесия, соответствующих разным знакам ui , vi . Начнем с точки Q. Для определенности возьмем особенность, соответствующую зна4 кам +. В качестве локальных координат на Mg возьмем (s1 , s2 , r1 , r2 ). То-

гда канонический базис в касательном пространстве задается векторами:

53


4 TQ Mg = 1 0 00 10

0 0 z g , где z = 2 - 2(a1 - a3 ). u1 0 1 -1
H
0

0 -1 0 0 0 0 01 00 00

Линейную независимость операторов A

и AF0 можно усмотреть хотя бы

из того, что они переводят вектор (1, 1, -1, 0, 0, 0)t касательного пространства в вектора (, , , a2 v1 +a3 u1 , -a1 v1 , a1 u1 )t и (, , , v1 +u1 , -v1 , u1 )t соответственно. Последние линейно независимы при любом g (a1 - a3 , a1 - a2 ). Дальнейшие выкладки по вычислению матрицы оператора A
F0

становят-

ся крайне громоздкими, поэтому в этом месте мы прибегли к помощи пакета символьных вычислений Matlab 6.5 Symbolic Math Toolbox. В результате было найдено уравнение на собственные значения: det(AF0 - E ) = (2 + 4(2a2 + a3 )g + 4a2 + 16a2 a3 + 16a2 )ћ 3 2

ћ(2 + 4(2a3 + a2 )g + 4a2 + 16a2 a3 + 16a2 ) = 0. 2 3
Напомним, что a1 < 0

a2 < a3 и a1 + a2 + a3 = 0, поэтому коэффициенты

при g положительны. Пусть t = 2 . Тогда корни уравнения t1 , t2 с ростом g линейно убывают. При подстановке минимального значения gmin = a1 - a в уравнение оно примет вид: det(A
F0 3

- E ) = t(t + 8a2 - 4a2 a3 - 4a2 ) = t(t + (3a2 )2 - (a2 + 2a3 )2 ) = 0, 2 3 (3a2 )2 - (a2 + 2a3 )2 < 0 t1 = 0, t2 > 0.

Подставляя максимальное значение gmax = a1 - a2 имеем: det(A
F0

- E ) = t(t + 8a2 - 4a2 a3 - 4a2 ) = t(t + (3a3 )2 - (a3 + 2a2 )2 ) = 0, 3 2
54


(3a3 )2 - (a3 + 2a2 )2 > 0 t1 < 0, t2 = 0.
В итоге, для промежуточных g (a1 - a3 , a1 - a2 ) будем иметь t1 < 0 <

t2 . Следовательно собственные значения i имеют вид {+i

|t1 |, +

|t2 |}, и

положение равновесия невырождено и имеет тип седло-центр. В случае точек R и L выкладки повторяются с циклической перестановкой индексов у параметров a1 , a2 , a3 . Для точки R будем иметь: det(AF0 - E ) = (2 + 4(2a1 + a2 )g + 4a2 + 16a1 a2 + 16a2 )ћ 2 1

ћ(2 + 4(2a2 + a1 )g + 4a2 + 16a1 a2 + 16a2 ) = 0. 1 2
Коэффициенты при g отрицательны и корни t1 , t2 линейно растут с ростом

g. gmin = a3 - a2 det(A
F0

- E ) = t(t + (3a1 )2 - (a1 + 2a2 )2 ) = 0,

(3a1 )2 - (a1 + 2a2 )2 > 0 t1 < 0, t2 = 0. gmax = a3 - a1 det(A
F0

- E ) = t(t + (3a2 )2 - (a2 + 2a1 )2 ) = 0,

(3a2 )2 - (a2 + 2a1 )2 < 0 t1 = 0, t2 > 0.
Для промежуточных g (a3 - a2 , a3 - a1 ) будем иметь t1 < 0 < t2 . Следовательно, собственные значения i имеют вид {+i

|t1 |, +

|t2 |}, и положение

равновесия невырождено и имеет тип седло-центр. Вновь циклически переставляя индексы, для точки L имеем: det(AF0 - E ) = (2 + 4(2a3 + a1 )g + 4a2 + 16a1 a3 + 16a2 )ћ 1 3

ћ(2 + 4(2a1 + a3 )g + 4a2 + 16a1 a3 + 16a2 ) = 0. 3 1 gmin = a2 - a3 det(A
F0

- E ) = t(t + (3a3 )2 - (a3 + 2a1 )2 ) = 0,

(3a3 )2 - (a3 + 2a1 )2 > 0 t1 < 0, t2 = 0. gmax = a2 - a1 det(A
F0

- E ) = t(t + (3a1 )2 - (a1 + 2a3 )2 ) = 0,
55


(3a1 )2 - (a1 + 2a3 )2 > 0 t1 = 0, t2 < 0.
Для промежуточных g (a2 - a3 , a2 - a1 ) будем иметь t1 < 0, t2 < 0. Собственные значения i имеют вид {+i

|t1 |, +i

|t2 |}. Условие t1 = t2

равносильно g = 3a2 (a2 - a3 , a2 - a1 ), но проверка показывает, что в этом исключительном случае собственные значения AH0 будут попарно различны. Следовательно, положение равновесия невырождено и имеет тип центр-центр. Тем самым завершена проверка условий невырожденности и найдены типы для точек M , N , P , Q, R и L. Сложности рассматриваемых особенностей не превосходят четырех. В таблицах невырожденных положений равновесия малой сложности, приведенных в [1, т.1, гл.9], для каждой особенности указаны представление в виде почти прямого произведения и круговая молекула. Зная типы 3-атомов, несложно определить, какую именно особенность мы наблюдаем в случае каждой точки. Теорема доказана.

2.4 Круговые молекулы вырожденных одномерных орбит
Точки возврата и касания zi (i = 1, .., 8) бифуркационной диаграммы представляют другой распространенный класс особенностей интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. В прообразе некоторой их окрестности гамильтониан H0 не имеет критических точек, а гамильтонов поток v = sgradH0 не обращается в ноль. Возьмем это за определение вырожденных одномерных орбит. Полной классификации этих особенностей на сегодняшний день не существует, однако некоторые их общие свойства позволят нам полностью описать их круговые слоения для исследуемой си-

56


стемы. Будем предполагать, что все объекты вещетвенно-аналитические. Отображение момента, как и ранее, будем обозначать через F. Рассмотрим точку

z бифуркационной диаграммы, такую что rk F|F

-1

(z )

1 и сформулируем

теорему Н. Т. Зунга [31] для нашего случая систем с двумя степенями свободы.

Теорема 7 (Н. Т. Зунг [31]) Пусть либо dim F-1 (z ) = 1, либо
dim F-1 (z ) = 2 и F-1 (z ) содержит регулярную точку. Тогда в окрестности U 4 (F-1 (z )) M 4 существует симплектическое аналитическое локальносвободное действие окружности S1 , свободное на торах Лиувилля и сохраняющее отображение момента F.
Рассмотрим круговое многообразие Q3 , лежащее в прообразе малой окружности с центром в z . Орбиты S1 -действия задают на нем структуру расслоения Зейферта, согласованного со слоением Лиувилля. Ранее мы обсуждали (теорема 3), что такое расслоение всегда существует на 3-атомах. Из теоремы Зунга следует, что расслоения всех 3-атомов на Q3 согласованы и образуют одно глобальное расслоение Зейферта. Отдельно отметим, что для положений равновесия этот факт неверен. Сделаем отсюда выводы о свойствах круговых молекул изучаемых особенностей. В условиях теоремы 7 справедливо

Предложение 1 На ребрах, соединяющих два седловых атома круговой
молекулы вырожденной одномерной орбиты, метки r равны . На ребрах, соединяющих атом A c седловым, метки r конечны. В обоих случаях метки равны +1.
Доказательство:
57


Хорошо известно, что равенство метки r бесконечности, является критерием того, что два седловых атома, которые соединяет рассматриваемое ребро, образуют единое расслоение Зейферта [1, т.1, гл.4]. С другой стороны минимаксная окружность атома A является слоем этого расслоения. Поэтому стягиваемый цикл атома A не может иметь со слоями расслоения Зейферта нулевой индекс пересечения. Следовательно, метка r ребра атом

A седловой атом конечна.
Докажем второе утверждение. Равенство метки = +1 означает, что критические окружности-траектории двух атомов имеют одинаковую ориентацию с точки зрения общего расслоения Зейферта. В прообразе точки на гладкой дуге бифуркационной диаграммы может лежать несколько критических окружностей атома. Известно, что в случае топологически устойчивых боттовских перестроек, они ориентированы одинаково [1, т.1, гл.3], поэтому далее можно рассматривать лишь одну критическую окружность. Но при движении вдоль гладкой кривой бифуркационной диаграммы и при пересечении особой точки, которая соответствует вырожденной одномерной орбите, эта критическая окружность непрерывно плывет, не меняя своей ориентации, т.к. v = 0. Следовательно, ориентации критически окружностей разных атомов также совпадают. Предложение доказано.

Замечание 1 Равенство всех меток = +1 равносильно ориентированности базы расслоения Зейферта, поэтому в нашем случае это сфера S 2 с

g ручками. Каждая звездочка на седловом атоме дает особый слой типа (1, 2), а каждая дробная метка r =
седловыми атомами.
58
p q

особый слой типа (p, q ). Эйлеров

класс Q3 в точности совпадает с n-меткой семьи, образованной всеми


Замечание 2 Матрица склейки на ребрах седло седло круговой моле
кулы вырожденной одномерной орбиты всегда равна

1

0

k -1 Это следует из определения метки r = и свойств матриц склеек.

, где k Z.

Замечание 3 Наряду с круговыми молекулами вырожденных одномерных
орбит иногда бывает полезно рассматривать круговые молекулы регулярных точек бифуркационной диаграммы, т.е. образов 3-атомов. Предложение 1 для них очевидно тоже верно.
Докажем еще одно предложение, которое хоть и имеет исключительно частный характер, на практике может быть применено для очень большого количества систем.

Предложение 2 Пусть точка z соответствует вырожденной одномерной орбите, а в ее окрестности бифуркационная диаграмма представляет из себя гладкую кривую с точкой возврата в z , меняющую при этом тип 3-атома с B на A. Тогда на ребре круговой молекулы B A метка r = 0.
Доказательство: Бифуркационная диаграмма рассматриваемой особенности изображена на рисунке 5. Произведем деформацию контура AB C0 D0 в контур AB C1 D1 . При этом топологический тип многообразия в прообразе не изменится: прообраз отрезка C D определяется в M 4 уравнением H = const, из условия же известно, что критических точек H в окрестности z нет. Остальные звенья контура испытывают гладкую изотопию, не встречая точек бифуркаций. Контур AB C0 D0 определяет круговую молекулу регулярной точки. В его прообразе очевидно лежит трехмерный тор T3 . Следовательно, круговое многообразие z тоже имеет тип T3 .
59


Круговая молекула рассматриваемой особенности состоит из двух атомов B и A и двух ребер: одно ребро начинается и заканчивается в атоме

B , второе ребро идет из атома B в атом A. Матрица склейки первого ребра
имеет вид, указанный в замечании 2. Пусть матрица склейки ребра B - A есть:

ab cd



Далее H1 (T3 ) = Z3 N (W ) = 0 и по формуле Топалова имеем:

n=n+ ~

ri + p/2 =

a k +- b 1

+

a a + 0 = - k, b b

(1.1) (a/b - k )b = 0 a = k b r = 0
Предложение доказано. Далее будем за r(xy ), обозначать r-метку ребра, которое соединяет бифуркации x и y . Напомним очевидное правило сложения меток: пусть для ребер, относящихся к некоторому семейству торов, известны метки

r(xy ) = r0 и r(y z ) = , тогда r(xz ) = r0 в том же семействе.

Теорема 8 Круговые молекулы особых точек zi (i = 1, .., 8) случая Стеклова представлены в таблице 1.
Доказательство: Легко видеть, что условия теоремы 7 выполняются для каждой из точек

zi , поэтому остается вычислить метки r на ребрах, ведущих в атомы A. Рассмотрим ребро круговой молекулы точки z2 , относящееся к семейству III. Оно соединяет бифуркации 1 и 5 . Из круговой молекулы точки P име-

60


ем r(1 2 ) = 0, точки Q r(2 5 ) = . Следовательно, по правилу сложения меток, r(1 5 ) = 0. Для других семейств торов получаем:

ћ точка z2 :
семейство II: r(1 2 ) = 0, r(2 2 ) = r(1 2 ) = 0 семейство II: r(1 1 ) = 0, r(1 4 ) = r(1 4 ) = 0

ћ точка z3 :
семейство I:

r(1 3 ) = 0, r(1 2 ) = r(2 3 ) = 0

семейство IV: r(2 2 ) = 0, r(2 7 ) = r(2 7 ) = 0

ћ точка z4 :
семейство III: r(6 5 ) = 0, r(2 5 ) = r(2 6 ) = 0

ћ точка z6 :
семейство V: r(12 9 ) = 0, r(3 9 ) = r(3 12 ) = 0

ћ точка z7 :
семейство II:

r(11 2 ) = 0, r(2 3 ) = r(3 11 ) = 0

семейство IV: r(3 3 ) = 0, r(3 8 ) = r(3 8 ) = 0

ћ точка z8 :
семейство V: r(4 3 ) = 0, r(3 9 ) = r(4 9 ) = 0 семейство I: семейство I:

r(4 3 ) = 0, r(3 1 ) = r(4 1 ) = 0 r(4 1 ) = 0, r(1 10 ) = r(4 10 ) = 0

Метки r на ребрах B A молекул точек z1 и z5 также нулевые в силу предложения 2. Теорема доказана.

2.5 Построение допустимых систем координат
Рассмотрим малый отрезок, трансверсально пересекающий дугу бифуркационной диаграммы. В его прообразе лежит многообразие с краем 3-атом.
61


Его край состоит из некоторого числа (в зависимости от типа бифуркации) граничных торов. Нам предстоит выбрать на каждом таком торе допустимую систему координат в его фундаментальной группе. Однозначно определенный цикл бифуркации будем обозначать . Поставим нашей целью предъявить на каждом граничном торе бифуркаций допустимую систему координат, выраженную в циклах . Для определенности договоримся ребра всех атомов ориентировать по возрастанию H0 . Другими словами, к положительной границей всякого 3-атома отнесем те торы, на которых значение интеграла H0 больше. В начале выберем допустимые координаты на седловых атомах. Рассмотрим точку P при a1 - a3 < g < -3a2 . Она имеет тип седлоседло. Ее 4-окрестность представима в виде прямого произведения 2-атомов

(B Ч C2 ). Его сомножители изображены на рис. 6. Граничные циклы атомов B и C2 обозначены за u, v1 , v2 и p1 , p2 , q1 , q2 соответственно.
Обозначим 3-атомы, близкие к точке P , соответственно Q1 , Q2 , Q1 ,

Q3 . Тогда имеем:
1. Q1 = C2 Ч u; 2. Q2 = (C2 Ч v1 ) (C2 Ч v2 ); 3. Q1 = (B Ч p1 ) (B Ч p2 ); 4. Q2 = (B Ч q1 ) (B Ч q2 ); Вспоминая определение допустимых систем координат на седловых атомах без звездочек, для первого 3-атома Q1 имеем:

(u, q1 )

(I )

(I I )

(u, -p1 )

C2 (u, q2 )
(I )

1 (I I )

(u, -p2 )

62


Стрелочки указывают направление роста H0 . Римские цифры над стрелочками обозначают семейство торов, к которому относится данный граничный тор. Знак минус требуется для согласования ориентаций систем координат на атоме. В прообразах остальных трех гладких дуг бифуркационной диаграммы, сходящихся в точке P , лежит по два экземпляра соответствующих атомов. Имеем для i = 1, 2:

(vi , q1 )

(I V )

(I I )

(vi , -p1 )

C2 (vi , q2 )
(I V )

2 (I I I ) (I I )

(vi , -p2 ) (pi , v1 )

(pi , -u) B

(I I )



1 (I I I ) (I V )

(pi , v2 ) (qi , v1 )

(qi , -u) B

(I )



2 (I V )

(qi , v2 )

Заметим, что при выборе допустимых систем координат на атоме Q1 мы произвольно поставили знак - у правых базисов, а не у левых. Тем самым мы фиксировали некоторую ориентацию на многообразии Q31 . Однако после этого произвола в выборе допустимых систем координат для остальных трех атомов нет: однозначный ответ дает условие согласованности ориентаций базисов. Теперь вспомним, что первый базисный цикл бифуркации всегда совпадает с ее однозначно определенным циклом. Откуда имеем:

1 = u, 2 = vi ,
63

1

= pi ,

2

= qi .


Тем самым мы выбрали допустимые системы координат, выраженные в однозначно определенных базисных циклах, для дуг 1 , 2 , 1 и 2 . Результат выглядит так:

(1 , 2 )

(I )

(I I )

(1 , -1 )

C2 (1 , 2 ) (2 , 2 )
(I )

1 (I I )

(1 , -1 ) (2 , -1 )

(I V )

(I I )

C2 (2 , 2 )
(I V )

2 (I I I )

(2 , -1 ) (1 , 2 )

(I I )

(1 , -1 ) B

(I I )

1
(I I I )

(1 , 2 ) (2 , 2 )

(I V )

(2 , -1 ) B

(I )



2 (I V )

(2 , 2 )

Аналогично, рассмотрев точку P при -3a2 < g < a3 - a1 , получаем допустимые системы координат для бифуркаций 3 , 4 , 3 и второй вариант допустимых систем координат для 1 :

(1 , -4 )

(I )

(I I )

(1 , 3 )

C2 1 (1 , -4 ) (3 , -4 )
(I ) (I I )

(1 , 3 ) (3 , 3 )

(I )

(I V )

C2 3 (3 , -4 )
(V ) (I V )

(3 , 3 )

64


(3 , 3 )

(I V )

B (3 , 3 ) (4 , 3 )
(I V ) (I )

(I I )



3

(3 , -1 )

B (4 , 3 )
(V )

4

(4 , -1 )

(I )

Здесь только необходимо пояснить выбор ориентаций вторых базисных циклов. Напомним, что при выборе допустимых систем координат для бифуркаций 1 , 2 , 1 , 2 у нас была альтернатива: взять такие знаки вторых базисных циклов, на которых мы остановились, либо одновременно заменить все знаки на противоположные. Однако после того как мы фиксировали выбор знаков для бифуркаций 1 , 2 , 1 , 2 , аналогичного произвола для дуг 1 , 3 , 3 , 4 уже нет. Покажем, что выбор знаков, указанный выше, является единственно верным. Из круговых молекул особых точек z4 и z6 следует, что 2 = 3 и
3

=
2

4 на торах семейства IV. Обратимся к допустимым базисам бифуркаций
точки z4 следует, что они должны быть одинаково ориентированы. Для

и 3 , соответствующим последнему семейству. Из структуры слоения вблизи
2

мы выбрали базис (2 , 2 ), поэтому для 3 следует выбрать базис (3 , 3 ), как и было сделано, а не (3 , -3 ). Таким образом устраняется произвол в выборе знаков вторых базисных циклов для дуг 1 , 3 , 3 и 4 . Осталось выбрать системы координат на атомах A. Напомним, что допустимые системы координат на A-атомах имеют одно существенное отличие: регулировка ориентации базиса осуществляется за счет соответствующего выбора ориентации первого базисного цикла (он определен однозначно только с точностью до ориентации). И это понятно,
65


так как у атома A второй, а не первый базисный цикл имеет естественную ориентацию, задаваемую гамильтоновым потоком. В начале сформулируем предложение, которое сразу следует из определения метки r (см. 1.2.6).

Предложение 3 Метка r( ) = тогда и только тогда, когда индекс пересечения циклов и на торах этого семейства равен 0 (т.е. циклы гомологичны с точностью до ориентации); r( ) = 0 модуль индекса пересечения и равен 1 и пара ( , ) образует базис;

r( ) = 1/2 модуль индекса пересечения и равен 2.
Выберем допустимую систему координат для атома 1 исходя из круговой молекулы точки z8 . Метки r = 0, поэтому пара (+1 , +4 ) образует базис на торах семейства I. Осталось разобраться с ориентацией. Перед
4

с необходимостью должен стоять знак + так как на соответствующем ребре круговой молекулы точки z8 стоит метка = +1. Знак перед 1 лишен смысла, так как этот цикл пока определен с точностью до ориентации. Поставим перед ним знак +, а ориентацию 1 выберем такой, чтобы базис

(1 , 4 ) имел такую же ориентацию, как и прочие базисы положительных
границ атомов семейства I. Итак:
(I )

A 1 (1 , 4 )
Для остальных атомов A из круговых молекул точек zi аналогично получаем:
(I I )

(2 , 1 ) A 2 (3 , 2 ) A 3
66
(I )


(4 , 1 ) A 4 (5 , 1 ) A 5 (6 , 2 ) A 6 (7 , 2 ) A 7 A 8 (8 , 3 ) A 9 (9 , 4 ) A 10 (
(I I ) (I ) 10 (V ) (I V ) (I V ) (I I I ) (I I I )

(I I )

, 4 )

A 11 (11 , 3 ) A
(V ) 12

(12 , 3 )

2.6 Определение взаимного расположения базисных циклов
Проанализируем информацию из круговых молекул и списка допустимых систем координат для определения взаимном расположении циклов на торах семейств I-V. Рассмотрим семейство I. На каждом торе этого семейства бифуркации определяют циклы 1 , 3 ,
10

2 , 4 ,



1

и 3 . В силу предложения 3

из круговых молекул особых точек M , P, R, z3 , z6 , z8 можно извлечь следующую информацию об индексах пересечения циклов:

67


пара циклов индекс пересечения

1 , 3 1 , 2 10 , 2 , 4 , 4 ,
1

1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1

1

1

3

1 ,

3

3 , 2 3 , 2 2 , 10 ,
3

1 , 4
4

С другой стороны, базисы на положительных и отрицательных границах атомов должны иметь разную ориентацию. В силу чего из списка допустимых систем координат следует, что базисы (1 , 4 ), (10 , 4 ), (1 , 2 ),

(1 , -4 ), (3 , -4 ) должны иметь одинаковую ориентацию, а базисы (3 , 2 ), (4 , -1 ) противоположную им.
Несложно убедиться, что эти условия определяют взаимное расположение всех циклов рассматриваемого семейства однозначно. Анализ остальных семейств торов проводится аналогично. Мы не приводим здесь эти рассуждения в силу их тривиальности. В каждом случае информации из списка круговых молекул и допустимых систем координат оказывается достаточно, чтобы однозначно определить взаимное расположение циклов. На рис. 7 представлен итоговый результат. Фундаментальные группы се68


мейств торов изображены в виде целочисленной решетки на плоскости, а циклы в виде векторов на ней. Это позволяет наглядно отобразить собранную информацию.

2.7 Алгоритм вычисления инварианта Фоменко-Цишанга
Рис. 7 следует считать ответом на поставленную в данной работе задачу. Действительно, зная взаимное расположение базисных циклов на торах и все допустимые системы координат, можно вычислить молекулу, соответствующую любой допустимой кривой. Действовать следует так: 1. Изобразить кривую на бифуркационной диаграмме. 2. Задать на кривой ориентацию. 3. Выписать допустимые системы координат на атомах, лежащих в прообразе кривой; подкорректировать ориентации атомов, согласуя их с ориентацией на кривой. Напомним, что при смене ориентации на седловых атомах, меняются знаки всех вторых базисных циклов, а в случае атома A знак первого базисного цикла. 4. Выписать матрицы склеек на ребрах молекулы, пользуясь рис. 7. 5. Вычислить по матрицам склеек числовые метки r, и n.

2.8 Пример вычисления меченой молекулы
В качестве примера применения вышеизложенного алгоритма вычислим метки молекулы, соответствующей вертикальной прямой, проходящей правее всех особых точек бифуркационной диаграммы. Это так называемая молекула больших энергий (для исходного гамильтониана Стеклова H ).

69


Ориентируем прямую по возрастанию H0 . Ей соответствует грубая молекула:

A C A
2

A

A

Выпишем допустимые системы координат атомов молекулы:
(I ) (I I )

A (1 , 4 ) 1 A (1 , 4 ) 1
(I )

(I )

(1 , 2 ) (1 , 2 )

(1 , -1 ) (1 , -1 )

C2
(I )

(2 , 1 ) A (2 , 1 ) A
(I I )

(I I )

2 2

1 (I I )

По рис. 7 вычисляем матрицы склеек:

2 1
1

2

11 10 1 1 0 -1


1

1 4
1

=



=

-

Вычисляя по матрицам склеек метки, получаем окончательный вид инварианта Фоменко-Цишанга для рассматриваемой прямой:
r=0 =1 r=0 =1

A C A
r=0 =1
2

A

n=2

A
r=0 =1

Сопоставляя этот результат с результатами лиувиллевой классификации случая Эйлера [1, т.2, гл.5], заключаем, что их молекулы больших энергий
70


совпадают. Следовательно, системы Стеклова и Эйлера лиувиллево эквиваленты на Q3 при достаточно больших h. Этот факт можно также получить, h рассматривая случай Стеклова как однопараметрическое возмущение случая Эйлера в классе интегрируемых систем (по аналогии с теоремой 11). То, что наши вычисления подтверждают этот вывод, говорит в пользу правильности проделанного анализа.

71


Глава 3 Лиувиллева классификация интегрируемого случая Клебша
В данной главе вычисляются тонкие лиувиллевы инварианты интегрируемого случай Клебша (1871 год) [29] движения твердого тела в жидкости. Существует также другая физическая интерпретация движение твердого тела, закрепленного в центре масс, в линейном поле сил [39]. Она приводит к тем же дифференциальным уравнениям. Гамильтониан и дополнительный интеграл системы, записанные в канонических координатах на e(3) , имею вид:

s2 s2 s2 1 2 2 2 2 + + 3 + (A1 r1 + A2 r2 + A3 r3 ), H= 2A1 2A2 2A3 2 1 2 2 2 F = (s2 + s2 + s2 ) - (A2 A3 r1 + A1 A3 r2 + A1 A2 r3 ). 1 2 3 2 2
Простота этих функций по сравнению со случаем Стеклова обманчива: для вычисления меток молекул приходится привлекать более широкий спектр методов. Именно поэтому мы излагаем главы, посвященные случаями Стеклова и Клебша в таком порядке. Отдельно отметим, что в системе Клебша наблюдаются все четыре типа точек невырожденного положения равновесия: центр-центр, седло-центр, седло-седло и фокус-фокус. При этом
72


особенность седло-седло имеет тип не прямого, а почти прямого произведения 2-атомов.

3.1 Бифуркационные диаграммы, семейства торов и их перестройки
В гамильтониан случая Клебша входят четыре параметра: A1 , A2 , A3 , и

. Полагая Ai =

|| и поделив гамильтониан на

||, мы получаем га-

мильтониан с параметрами A1 , A2 , A3 , и = +1. Таким образом, можно исследовать лишь гамильтонианы с = +1. Как и в случае Стеклова, все гамильтонианы случая Клебша представимы в виде линейной комбинации двух коммутирующих функций:

H = H0 + F 0 ,

2 2 2 H0 = (s2 + s2 + s2 ) + (c1 r1 + c2 r2 + c3 r3 ), 1 2 3

2 2 2 F0 = (c1 s2 + c2 s2 + c3 s2 ) - (c2 r1 + c2 r2 + c2 r3 ), 1 2 3 1 2 3

где c1 + c2 + c3 = 0, c1 < c

2

0 < c3 . Тем самым мы фактически понизили

число параметров системы до двух. На рисунке 8 показано, какой из гамильтонианов случая Клебша получается при различных значения и . Если прямая h + k = 0 лежит в зоне I, то имеем гамильтониан Клебша H = H0 + F0 с = +1 так называемы случай притяжения; если же прямая h + k = 0 лежит в зоне II, то имеем гамильтониан с = -1, называемый случаем отталкивания. Бифуркационные диаграммы случая Клебша были построены и исследованы Т .И. Погосяном [43, 44, 45, 46]. Они приведены на рис. 9. Будем
73


различать четыре качественно различных случая: a) g = 0 b) g 2 < p
1 2

c) p1 < g 2 < p d) g 2 > p
2

Здесь p1 = 3c3 -

9c2 - (c1 - c2 )2 , p2 = 3c3 + 3

9c2 - (c1 - c2 )2 . При 3

противоположных значениях g бифуркационные диаграммы одинаковы. Уравнение бифуркационной кривой удобно записать в параметрической форме, где h и k зависят от двух параметров x и y , которые в свою очередь связаны соотношением. А именно:

g h = -2x - (c1 c2 + c2 c3 + c3 c1 + 3x2 ), y g k = c1 c2 + c2 c3 + c3 c1 - x2 - (x3 - x(c1 c2 + c2 c3 + c3 c1 ) + 2c1 c2 c3 ), y
где y 2 = (x - c1 )(x - c2 )(x - c3 ). При этом бифуркационной кривой, является не вся эта кривая, а лишь ее часть, показанная на рис. 9. Асимптотами бифуркационной кривой являются три прямые: k = c1 h + c2 c3 , k = c2 h + c3 c1 и k = c1 h + c2 c3 . Гладкие дуги бифуркационной диаграммы мы обозначили малыми греческими буквами с индексами. Окрестности их прообразов в Q3 представляют из себя боттовские перестройки торов Лиувилля, описываемые 3-атомами. Их типы были установлены А. А. Ошемковым [17]. Укажем их:

2A : 1 , 2 , 3 , 4 , 2B : 1 , C
2 2

5

: 1 ,

2

Регулярные точки отображения момента на R2 (h, f ) являются образами некоторого количества несвязных торов Лиувилля. Эти торы естественным
74


образом разбиваются на семейства, которые мы обозначили римскими цифрами I-III (см. рис. 9). Число прообразов для каждой области регулярности также вычислено в [17]. Имеем: семейство число торов Лиувилля I II III 2 2 2

В каждое семейство мы отнесли торы, которые испытывают одинаковые бифуркации на границах области регулярности. Появление пар торовблизнецов не должно нас удивлять. Дело в том, что фазовое пространство системы Клебша, как и в случае Стеклова, обладает очевидной симметрией

: (s, r) (-s, -r),
такой что : (f1 , f2 , H0 , F0 ) (f1 , f2 , H0 , F0 ).

3.2 Классификация невырожденных положений равновесия
Точки M , N и P бифуркационной диаграммы системы Клебша на рис. 9 относятся к невырожденным положениям равновесия. Данный параграф посвящен их описанию.

Теорема 9 Условия невырожденности, типы и представления в виде почти прямого произведения для положений равновесия, лежащих в прообразах точек M , N и P бифуркационной диаграммы случая Клебша указаны

75


в таблице: точка условия невырожденности тип центр-центр седло-центр седло-седло
2

п/п произведение

M N P

gR gR g2 < p
1

2(A Ч A) AЧC
2

(C2 Ч C2 )/Z2


p1 < g 2 < p g2 > p
2

фокус-фокус центр-центр

2(A Ч A)

Круговые молекулы точек M , N , P приведены в таблице 2. Других кри4 тических точек у гамильтониана H0 на Mg нет.

Доказательство: Вычислим матрицы линеаризаций A
1 и 2 sgradF0 в e(3) . Имеем: 6 H
0

иA

6 F

0

векторных полей 1 sgradH 2

0

1 1 si = {si , H0 }, ri = {ri , H0 } 2 2 s = (c 1 s2 = (c s3 = (c r =s 1 2 r =s 2 3 r3 = s 1
6 H 2 3 1

- c3 )r2 r - c1 )r3 r - c2 )r1 r

3 1 2

r3 - s3 r2 r1 - s1 r3 r2 - s2 r1

(3.1)

Дифференцируя правые части уравнений, получаем матрицу линеаризации

A

0

векторного поля 1 sgradH0 в координатах (s1 , s2 , s3 , r1 , r2 , r3 ): 2

76


= 0 0 0 0 -r r
2 3

0 0 0 r
3

0 0 0 -r r
1 1 2

0 (c3 - c1 )r (c1 - c2 )r 0 s
3 3 2

(c2 - c3 )r 0 (c1 - c2 )r -s 0 s
1 3

3

A

6 H

1

0

0 -r

0

-s2

(c2 - c3 )r2 (c3 - c1 )r1 0 s2 -s1 0

Аналогичные вычисления необходимо проделать для поля 1 sgradF0 . 2

1 1 si = {si , F0 }, ri = {ri , F0 } 2 2 s = (c - c )(s s - c r r ) 1 2 3 23 123 s2 = (c3 - c1 )(s3 s1 - c2 r3 r1 ) s3 = (c1 - c2 )(s1 s2 - c3 r1 r2 ) r =c s r -c s r 1 223 332 r =c s r -c s r 2 331 113 r3 = c1 s1 r2 - c2 s2 r1
6 F0

(3.2)

Дифференцируя правые части уравнений получаем матрицу линеаризации

A

векторного поля 1 sgradF0 в координатах (s1 , s2 , s3 , r1 , r2 , r3 ): 2
0 (c3 - c1 )s (c1 - c2 )s = 0 -c1 r3 c1 r2 (c2 - c3 )s3 (c2 - c3 )s2
3 2

0 c1 (c3 - c2 )r 0
1 3

0 (c1 - c2 )s1 c2 r 0 -c2 r1
3

(c3 - c1 )s1 c2 (c1 - c3 )r3 0 -c3 r2 c3 r1 0 0 c3 s
3

A6 F

c3 (c2 - c1 )r2 c3 (c2 - c1 )r -c3 s3 0 c1 s1

0

-c2 s2

c2 (c1 - c3 )r1 0 c2 s2 -c1 s1 0

c1 (c3 - c2 )r2

77


4 В силу невырожденности симплектической формы на Mg , условие

dH0 |Mg4 = 0 эквивалентно условию sgradH0 = 0. Приравнивая правые части
уравнений (3.1) нулю, находим координаты критических точек гамильтони4 ана H0 на Mg :

x

M

= +(g , 0, 0, 1, 0, 0)

xN = +(0, g , 0, 0, 1, 0) xP = +(0, 0, g , 0, 0, 1)
Подставляя найденные точки в (3.2), убеждаемся, что они же являются неподвижными точками действия Пуассона. Проверим выполнения условий невырожденности. Рассмотрим точку M . Для определенности, возьмем неподвижную точку, ответствующую знаку +. В качестве локальных координат в ее 44 окрестности на Mg можно взять функции (s2 , s3 , r2 , r3 ). Ограничивая опе-

раторы A6 0 и A H

6 F

0

4 из e(3) на TM Mg , находим матрицы симплектических

операторов AH0 и AF0 :

0 0 = 0 -1 0 0 c3 - c1 0 -g 0 0 c1 - c2 1 0 0 g

)

A

H

0

0 (c3 - c1 )g 0 c2 (c1 - c3 (c1 - c2 )g 0 c3 (c2 - c1 ) 0 = 0 c3 0 -c1 g -c2 0 c1 g 0

A

F0

Легко видеть, что эти матрицы линейно независимы при любых g , и тем самым, первое условие невырожденности выполняется. Теперь прове78


рим второе условие. Покажем, что матрица A личные чисто мнимые собственные значения. Уравнение на собственные значения: det(A
H
0

H

0

всегда имеет попарно раз-

- E ) = 4 - b2 + = t2 - bt + = 0, 2 = t.

(3.3)

Для рассматриваемого случая имеем:

b = (c1 - c3 ) + (c1 - c2 ) - g 2 = g 2 - 3c1 > 0, = (c2 - c1 )(c3 - c1 ) > 0.
Вычислим также дискриминант D:

D = b2 - 4 = (g 2 - 3c1 )2 - 4(c2 - c1 )(c3 - c1 ) = g 4 - 6c1 g 2 + c2 - 4c2 c3 = 1 = g 4 - 6c1 g 2 + (c2 - c3 )2 > 0.
Следовательно, по теореме Виета уравнение (3.3) имеет корни t1 < t2 < 0, и четыре корня i биквадратного уравнения на собственные значения имеют вид {+i

|t1 |, +i

|t2 |}. А значит, точка равновесия невырождена и имеет

тип центр-центр. Циклически переставляя индексы, для точки N имеем = (c3 - c2 )(c1 -

c2 ) < 0. Следовательно, t1 < 0 < t2 и i = {+i

|t1 |, + |t2 |} собствен-

ные значения попарно различны, а положение равновесия имеет тип седлоцентр. Наиболее сложным будет анализ случая точки P .

b < 0, при g 2 < 3c3 , 2 b = g - 3c3 = b > 0, при g 2 > 3c . 3 = (c1 - c3 )(c2 - c3 ) > 0, D(g 2 ) = g 4 - 6c3 g 2 + (c1 - c2 )2 .
79


Имеем D(0) = (c1 - c2 )2 > 0, Dmin = D(g 2 = 3c3 ) = -9c2 + (c1 - c2 )2 < 0 и, 3 следовательно, D(g 2 ) имеет два корня

g 2 = p1 = 3c3 - g 2 = p2 = 3c3 +

9c2 - (c1 - c2 )2 3 9c2 - (c1 - c2 ) 3
2

между которым он принимает отрицательные значения. При отрицательно дискриминанте D(g 2 ) корни t1 и t2 сопряженные мнимые и точка равновесия имеет тип фокус-фокус. При g
2

< p1 , D > 0, b < 0, > 0, а значит t1 > t2 > 0, i =

{+

|t1 |, + |t2 |}, и мы получаем невырожденную точку типа седло-седло.
2

При g

> p2 , D > 0, b > 0, > 0, а значит t1 < t2 < 0, i = |t2 |}, и мы получаем невырожденную точку типа центр-центр.

{+i

|t1 |, +i

Сложности рассматриваемых особенностей не превосходят 2. Типы перестроек торов в их окрестностях известны. Из таблиц, приведенных в [1, т.1, гл.9], находим представления в виде почти прямых произведений и круговые молекулы точек. Исключение здесь составляет точка P , которая при

p1 < g 2 < p2 имеет тип фокус-фокус. Особенность такого типа не представима в виде почти прямого произведения 2-атомов, а ее круговая молекула это окружность, оснащенная матрицей монодромии. В п. 3.7 будет показано, что она равна

10

11 Теорема доказана.

.

3.3 Круговые молекулы вырожденных одномерных орбит Теорема 10 Круговые молеклы особых точек z1 , z2 , z3 и z4 случая Клебша,
соответствующих вырожденным одномерным орбитам системы, приведены в таблице 2.
80


Доказательство: В силу предложения 1 остается вычислить r-метки на ребрах B A. Точки возврата z3 и z4 подпадают под предложение 2. Поэтому их круговые молекулы целиком известны. В частности, имеем r(4 1 ) = 0 и r(4 2 ) = 0 в семействе III, что дает r-метки для ребер этого же семейства молекул точек z1 и z2 . Оказывается, что вычислить оставшиеся r-метки, относящихся к семейству II, из каких-либо элементарных соображений, как это было в случае Стеклова, невозможно. Позже в п. 3.5 мы убедимся, что они также нулевые. Здесь мы приводим этот факт для полноты. Теорема доказана.

3.4 Допустимые системы координат
Укажем допустимые системы координат 3-атомов в терминах циклов . Допустимые системы координат на седловых атомах 1 , 2 , 1 и 2 выберем исходя из представления особенности точки P типа седло-седло в виде почти прямого произведения (C2 Ч C2 )/Z2 , причем группа Z2 действует центральной симметрией на каждом из сомножителей. Имеем:

(1 , 1 )

(I I )

(I )

(1 , -2 )

C2 (1 , 1 ) (2 , -2 )
(I I )

1 (I )

(1 , -2 ) (2 , 1 )

(I I )

(I )

C2 2 (2 , -2 )
(I I ) (I )

(2 , 1 )

81


(1 , -

1 + 2

2

)

(I I )

B (1 , - (2 ,
1 + 2
2

(I I )

1

(1 , 1 + 1 )

)

(I I I )

1 + 2

2

)

(I I )

B (2 ,
1 + 2
2

(I I )



2

(2 , -(2 + 2 ))

)

(I I I )

Теперь выберем допустимые системы координат на минимаксных атомах

A бифуркаций 1 , . . . 5 .
Допустимый базис на атоме A 4 выбирается из круговой молекулы точки z3 , исходя из тех же соображений, что приводились для случая Стеклова.
(I I I )

A 4 (4 , 1 )
Отметим, что рассматривая круговую молекулу точки z4 , для этой бифуркации мы могли также выбрать базис (4 , 2 ). Отсюда следует, что пары (4 , 1 ) и (4 , 2 ) имеют одинаковую ориентацию. Позже в п. 3.5 мы увидим, что на ребрах молекул точек z1 и z2 , относящихся к семейству II, стоят метки r = 0. Это даст возможность выбрать допустимый базис бифуркации 3 . Мы указываем его здесь для полноты списка, однако пользоваться этим пока не будем:
(I I )

A 3 (3 , 1 )
Задача выбора допустимых систем координат для остальных атомов A является нетривиальной. В каждом случае мы легко найдем цикл, дополняющий первый до базиса, однако по требованиям допустимости он еще

82


должен иметь ориентацию, согласованную с гамильтоновым потоком вблизи бифуркации. Из-за отсутствия особенностей вырожденных одномерных орбит, в которых бы участвовали рассматриваемые атомы A, проверить это старым методом не удастся. Из меток r = круговой молекулы точки N следует, что циклы 1 и

1 гомологичны (с точностью до ориентации). Из круговой молекулы точки P типа седло-седло, получаем, что индекс пересечения
Следовательно, пара (
1 1

и 1 равен 1.

+ 1 ) образует базис бифуркации 1 . Рассуждая

аналогично, мы завершаем список допустимых систем координат:

(1 , +1 ) A 1 (2 , +2 ) A 2 (5 , +1 ) A 5
Позже в п. 3.6 будет показано, что правильный вариант в каждом из случаев соответствует знаку +, однако для этого будут привлечены нетривиальные дополнительные рассуждения.
(I ) (I )

(I I )

3.5 Определение взаимного расположения базисных циклов
Для определения взаимного расположения циклов будем рассматривать семейства торов I-III поочередно. Начнем с самого простого семейства III. На каждом торе этого семейства бифуркации определяют циклы 4 , 1 и 2 . В силу предложения 3 из круговых молекул особых точек P , z3 и z4 можно извлечь следующую информацию об индексах пересечения циклов:

83


пара циклов индекс пересечения

4 , 1 4 , 2 1 ,
2

1 1 2

С другой стороны, базисы на положительных и отрицательных границах атомов должны иметь разную ориентацию. В силу чего из списка допустимых систем координат следует, что базисы (4 , 1 ), (4 , 2 ) должны иметь одинаковую ориентацию, а базисы (1 , -
1 + 2
2

), (2 ,

1 + 2

2

) про-

тивоположную им. Несложно убедиться, что эти условия определяют взаимное расположение всех циклов рассматриваемого семейства однозначно. Результат изображен на рис. 10 в виде векторов на целочисленной решетке тора. Перейдем к исследованию семейства II. Рассмотрим круговую молекулу точки z3 . Из списка допустимых систем координат и рис. 10 находим матрицу склейки на ребре B - A, относящемуся к уже исследованному семейству III:


ние:
4



11 10

- 1
1 + 2
2



=

1

В силу замечания 2, на ребре относящемся к семейству II, имеем соотноше-


1

1 + 1

1 0 k -1

-
1
2


1 + 2

=

,k Z

Применяя формулу Топалова (1.1) к круговой молекуле точки z3 , Q3 T3 , =

N (W ) = 0, имеем:

84


1 ћ (1/1 + [-k /1]) = 0 k = 1 1 + 1 = 1 + 1 + 2 + 2 1 = 1 . 2 2

Проводя те же рассуждения для круговой молекулы точки z4 , имеем:


2


4

-1 1 -1 2


2
2


1 + 2

=



1

1 0
2 2

=

-(2 + 2 )

k -1

1 + 2

,k Z

1 ћ (-1/1 + [-k /1]) = 0 k = -1 -(1 + 2 ) = -1 - 1 + 2 + 2 2 = 1 . 2 2

Два полученных соотношения в купе с информацией об индексах пересечения из круговых молекул и об ориентации базисов из списка допустимых систем координат определяют взаимное положение циклов 1 , 2 и 1 , однозначно (см. рис. 10). Из круговой молекулы точки N цикл 1 гомологичен с точностью до ориентации циклу 1 . Вопрос об его ориентации будет решен в п. 3.6. Относительно цикла
3
2

пока сохраняется полная неопределенность, свя-

занная с тем, что мы не знаем r-меток в семействе II молекул точек z1 и

z2 .
Рассмотрим молекулу в прообразе вертикальной прямой, проходящей справа от всех особых точек бифуркационной диаграммы. Это так называемая молекула больших энергий (для исходного гамильтониана Клебша

H ). Выпишем матрицы склейки на ее ребрах для случая g 2 < p1 , насколько
они нам сейчас известны:
85


ab

0 +1

+1 0

A

3

A 2 C2
2

A

3

A 2
0 +1 +1 0

ab

Как известно, молекула больших энергий в механики твердого тела все-

гда имеет топологический тип RP 3 [1, т.2, гл.5]. Имеем H1 (RP 3 ) = Z2

N (W ) = 2, и применяя формулу Топалова (1.1):
2

b

aa 0 0 ++ + b b +1 +1

= +2 ab = +1

В результате для изображения цикла 3 на рис. 10 остается четыре варианта: (1, -1), (1, -3), (-1, 1) и (-1, 3). Вычисляя первые строки матриц склейки на ребрах круговых молекул точек z1 и z2 для каждой из альтернатив, убеждаемся, что только для случая a = b = 1 3 = (1, -1) все четыре метки равны +1:

3
3



11

- 1
1 + 2
2

= +1,
2 2

=

=

-1 1

1 + 2

= +1,

что в силу предложения 1 должно выполняться с необходимостью. Тем самым положение цикла 3 в семействе II нами установлено однозначно.

Замечание 4 Индекс пересечения циклов 3 с

1

и

3

с 1 равен 1,

следовательно, на ребрах круговых молекул точек z1 и z2 семейства II
86


метки r = 0, а базис (3 , 1 ) является допустимым для бифуркации 3 .

Замечание 5 К данному моменту нами установлено, что молекула больших энергий в случае Клебша имеет вид:
r=0 =1 r=0 =?
(I ) A

A

(I I )

C A
(I I )

2 (I )

n=2

A

r=0 =1

r=0 =?

Осталось уяснить взаимное положение циклов в семействе I. На этом семействе определены циклы 1 , 5 ,

1

и 2 , при этом извест-

но, что циклы 1 и 1 с точностью до ориентации гомологичны, а пара

(2 , 1 ) образует базис положительной границы атома.
Ориентация цикла 1 будет найдена в п. 3.6. Установим положение цикла 5 . Выпишем матрицы склейки для молекулы больших энергий для случая g 2 > p2 , насколько они на данный момент нам известны:
-1 1 0 1
3

a +1

b 0

A

A 5 C2 1

A
0

3

A 5
a +1 b 0 1

-1 1

Сделаем важное

87


Замечание 6 В случае Клебша молекула больших энергий одинакова для
любых значений g .
Действительно, соответствующие изоэнергетические поверхности могут быть переведены друг в друга гладкой изотопией с изменением параметра

g , не встречая особых точек бифуркационной диаграммы. Следовательно,
тип слоения Лиувилля на них не изменится. Рассматривая ранее молекулу больших энергий в случае g 2 < p1 , мы установили, что метка r на ребрах семейства I равна 0, а метка n = 2. В п. 3.6 будет доказано, что метка = +1. В результате на коэффициенты a и b имеем условия:

r = 0 a /b Z,

= 1 b > 0 b = 1, 1 a +2 1 b

n=2n=2 -
Тем сам положение цикла
5

= 2 a = 2.

однозначно установлено.

Для семейства I отдельно следует обговорить следующее обстоятельство. В случаях g 2 < p1 и g 2 > p2 алгоритмом вычисления меченой молекулы для произвольной допустимой кривой (п. 2.7) можно пользоваться без какихлибо изменений. Однако в случае p1 < g 2 < p2 , когда в семействе I сидит особая точка P типа фокус-фокус (см. рис. 9 c), так можно поступать лишь для кривых, проходящих слева от нее, то есть вдоль остова бифуркационной диаграммы. В случае, когда кривая проходит справа от точки P , метки молекулы устанавливаются из замечаения 6.

88


3.6 Разрешение неопределенностей с ориентациями
Для завершения Лиувиллевой классификации системы Клебша нам осталось устранить неопределенность, связанную с ориентацией вторых базисных циклов бифуркаций 1 , 2 и 5 . После этого ориентации циклов 1 и

2 выбираются исходя из требования согласованности ориентаций базисов
(см. п. 1.2.5). Воспользуемся следующим фундаментальным фактом.

Теорема 11 Случаи Клебша и Эйлера лиувиллево эквивалентны при достаточно больших значениях энергии.
Доказательство: Будем рассматривать случай Клебша, задаваемый парой (H , F ), как возмущение случая Эйлера, получающегося при = 0. Зафиксируем значение g = 0 и будем рассматривать однопараметрическое семейство бифуркационных диаграмм H Ч F . Анализ показывает, что при 0 имеем

ci 0 p1 , p2 0, поэтому, начиная с некоторого достаточного малого
значения , бифуркационная диаграмма примет вид, указанный на рис. 9 d, а в пределе превратится в бифуркационную диаграмму случая Эйлера. Отметим, что бифуркационная диаграмма случая Эйлера (см. рис. 12) качественно не отличается от бифуркационной диаграммы Клебша при g 2 > p2 . Рассмотрим вертикальную прямую, которая в процессе деформации остается справа от особых точек бифуркационной диаграммы. Из приведенных выше рассуждений следует, что это всегда можно сделать. Такая прямая соответствует молекуле больших энергий. Она испытывает гладкую изотопию и слоение в ее прообразе не меняется. Для случая g = 0 утверждение теоремы также верно в силу замечания 6. Теорема доказана.

89


Молекула больших энергий случая Эйлера известна из [1, т.2, гл.5]: она совпадает с молекулой, указанной в замечании 5, при этом все ее метки

= +1. Следовательно, и в случае Клебша метки , относящиеся к ребрам семейства I единственные, остававшиеся до настоящего момента не вычисленными, равны +1. Заметим, что остальные метки молекулы были вычислены нами без использования a priori эквивалентности Эйлера и Клебша. То что эти метки совпали с ожидаемыми говорит в пользу правильности проделанного анализа. Теперь воспользуемся найденной молекулой больших энергий Клебша для разрешения неопределенностей с ориентациями циклов. При g 2 < p1 на ребре семейства I имеем:


2
2

+

0 +1 +1 0


2 1

.

=

Из-за того, что метка = 1, заключаем, что имеет место случай знака +, и правильный вариант допустимого базиса для 2 :
(I )

(2 , 2 ) A 2
Рассматривая случай g 2 > p2 , для бифуркации 5 имеем:











5 +
1

=

2 +1 +1 0

-

1

(I ) , = 1 (5 , 1 ) A

5

2

Ориентацию второго базисного цикла для бифуркации 1 установим исходя из особенности точки N типа седло-центр. Согласно [1, т.1, гл.9] круговая молекула особенности типа седло-центр обладает свойством: = +1 на всех исходящих ребрах и = -1 на всех входящих ребрах, или наоборот в зависимости от ориентации на Q3 . Вычислим -метки на ребрах семейства I:
90


2 2



1 0 0 -1

-
1

= 1.

=

2

Тогда на ребрах семейства II должна стоять метка = -1:


1

1

1 0 0 +1

1 +1


II , = -1 (1 , 1 ) () A 1

=

и допустимый базис для бифуркации 1 теперь установлен.

3.7 Вычисление монодромии особенности типа фокус-фокус
Положение равновесия P при p1 < g 2 < p2 является особенностью типа фокус-фокус. Как известно [1, т.1, гл.9], всякая связная компонента сингулярного слоя в этом случае это тор с m перетяжками. Эти перетяжки и есть неподвижные точки действия Пуассона. Количество неподвижных точек на связной компоненте сингулярного слоя определяет класс ливиллевой эквивалентности особенности фокус-фокус и, в частности, ее монодромию. Если на торе фиксировать некоторый базис, то монодромия задается матрицей преобразования этого базиса при обходе особенности по окружности. Известно, что если количество перетяжек равно m, то в подходящем базисе матрица монодромии имеет вид

10

m1 Нам известно, что в прообразе точки P лежит две неподвижных точки,

.

однако не ясно, располагаются ли они на единственной компоненте связности сингулярного слоя, или же сингулярный слой состоит из двух компонент, то есть двух торов, каждый из которых имеет по одной перетяжке. Проведенный в предыдущих пунктах анализ поволит нам легко вычислить монодромию и тем самым убедиться, что имеет место второй вариант.
91


Действительно, рассмотрим бифуркационную диаграмму при p1 < g 2 <

p2 (рис. 9 c) и вычислим матрицу склейки на ребре семейства I молекулы больших энергий. Из замечания 6 нам известны все метки, поэтому с необходимостью получаем:
-1 1 0 1 21 10

A 3 C2 1 A 3
-1 1 0 1

A 2

A 2
21 10

Путь вокруг точки P представим в виде композиции пути, соединяющего дугу 2 с дугой 1 слева от точки P , и пути, соединяющего дугу 1 с дугой справа от нее. Матрица склейки первого пути равна
2

1

0

0 -1 склейки второго пути есть матрица склейки на ребре семейства I молекулы

, а матрица

больших энергий при p1 < g 2 < p2 и была только что вычислена. В итоге, находим матрицу монодромии U :

U = 2 -1 1 0



21 10

1 0 0 -1

.

=

Несложно убедитьс что эта матрица лежит в одном классе сопряженности я, с матрицей

10 11 10 11

. Действительно: 1 -1 2 -1 10 11 -1 1 -2 1 2 -1 1 0 .

U =C
-1



C =

=

92


3.8 Полный список изоэнергетических молекул случая Клебша
В предыдущих пунктах нами получен полный список допустимых систем координат и установлено взаимное положение циклов в случае Клебша. Данная информация позволяет вычислить меченую молекулу любой допустимой кривой в соответствии с алгоритмом п. 2.7. В качестве примера рассмотрим важный случай изоэнергетических молекул. Как уже отмечалось, изоэнергетические поверхности при отображении момента H0 Ч F0 переходят в прямые h + f = c с углом наклона из зон I и II рис. 8. Различные сечения бифуркационной диаграммы такими прямыми показаны на рис. 11. Часть из них для удобства изображена кривыми, которые соответствуют изотопным им прямым при других значениях параметров c1 , c2 и c3 . Номерам прямых на рис. 11 соответствуют молекулы в таблицах 3 и 4. В первой приведены молекулы с с матрицами склеек, во второй меченые молекулы. В последней таблице также указаны топологические типы соответствующих изоэнергетических поверхностей Q3 , вычисленные А. А. Ошемh ковым [17]. За N 3 обозначена связная сумма (S1 Ч S2 ) (S1 Ч S2 ) (S1 Ч S2 ). C учетом того, что молекулы номер 1 и 11, а также 10 и 12 совпадают с точностью до выбора ориентации на Q3 , получаем утверждение теоремы: h

Теорема 12 Полный список изоэнергетических молекул случая Клебша
приведен в таблице 4. При разных значениях постоянной площадей g и энергии h обнаруживается 10 неэквивалентых слоений Лиувилля.

3.9 Эквивалентности случаев Эйлера, Клебша и Стеклова
Проведенный анализ позволяет в частности установить естественные эквивалентности между случаями интегрируемости Эйлера, Клебша и Стеклова.
93


Теорема 13

1. При достаточно больших значениях интегралов энергии случаи Эйлера, Клебша и Стеклова лиувиллево эквивалентны. 2. При достаточно больших по модулю значениях постоянной площадей

g случаи Клебша и Стеклова лиувиллево эквивалентны случаю Эйлера
с ненулевой постоянной площадей как системы на четырехмерных симплектических многообразиях (то есть в смысле определения 5).
Доказательство: Первое утверждение теоремы сразу следует из совпадения молекул больших энергий трех систем. Для доказательства второго утверждения рассмотрим бифуркационные диаграммы случая Клебша при g 2 > p2 и случай Эйлера при g = 0 (рис. 12). Случай Стеклова рассматривается аналогично. Утверждается существование послойного диффеоморфизма четырехмерных поверхностей:
4 g

4 : Mg M

Здесь поверхность M соответствует случаю Клебша, а M случаю Эйлера;

g 2 > p 2 и g = 0.
Рассмотрим разрезы 1, 2, 1' и 2', разделяющие бифуркационные диаграммы на зоны, обозначенные римскими цифрами. Прообраз каждой из зон I, I', III и III' суть несвязное объединения двух одинаковых окрестностей особенности типа центр-центр. На рис. 12 изображен замкнутый диск D1 и открытый диск D2 , каждый из которых расслоен на окружности. Окрестность особенности центр-центр может быть задана
94


как D1 Ч D2 (то есть произведение 2-атомов A Ч A). Краем многообразия служит расслоенное на торы Лиувилля полноторие D1 Ч D2 . Прообразы зон II и II' являются четырехмерными окрестностями особенности седло-центр типа A Ч C2 и аналогичным образом могут быть представлены в виде прямого произведения открытого диска D3 и двумерной поверхности C2 с краем C2 из четырех окружностей. Две из них соответ+ ствуют разрезу 1 и образуют часть края C2 , а две других разрезу 2, их - обозначим за C2 . Краем четырехмерного многообразия служит C2 Ч D3 = - + ( C2 Ч D3 ) ( C2 Ч D3 ) объединение четырех расслоенных на торы Ли-

увилля полноторий.
4 Многообразия Mg и M 4 g

можно получить, приклеивая к базе C2 Ч D

3

ручки D1 Ч D2 с сохранением структуры слоения Лиувилля. Для этого требуется указать послойный диффеоморфизм двух полноторий. От выбора пар склеиваемых торов результат, очевидно, не зависит. А способ склейки каждой пары торов целиком определяется метками на соответствующем ребре молекулы больших энергий. Но они одинаковы, следовательно, мно4 гообразия Mg и M 4 g

будут послойно диффеоморфны.

Теорема доказана.

95


Глава 4 Лиувиллева классификация интегрируемого случая Соколова
4.1 Гамильтониан и дополнительный интеграл случая Соколова
Интегрируемый случай Соколова [7], обнаруженный в 2001 году, задается на e(3) гамильтонианом H :

1 12 H = (s2 + s2 + 2s2 ) + r2 s3 - r3 . 1 2 3 2 2 Дополнительный интеграл F четвертой степени имеет вид:

2 2 F = s2 (s2 + s2 + s2 + 2(r2 s3 - r3 s2 ) + r2 + r3 ) + 2s3 (s2 - r3 )(r1 s1 + r2 s2 + r3 s3 ). 31 2 3

Отметим, что этот случай интегрируемости был обнаружен при помощи компьютерных методов. В настоящей главе полностью исследовано лиувиллево системы Соколова: дана классификация невырожденных положений равновесия, вычислены все круговые и изоэнергетические молекулы.

4.2 Результаты П. Е. Рябова
Грубая лиувиллева классификация интегрируемого случая Соколова была получена Рябовым [24]. В этом пункте мы вкратце приводим его результаты.
96


Теорема 14 (П. Е. Рябов [24]) На плоскости R2 (f , h) бифуркационная
диаграмма системы Соколова представляет собой объединение гладких кривых i , i = 1, ..5, где

1 : f = -g 2 , h

1 2

(g 2 - 1), h g2,

2 : f = 2g 2 h - g 4 , 1 (g 2 - 1) 2
1 3 : f = (h + 2 )2 - g 2 , h

g2 - 1 , 2

4 : f = h2 , h 5 : f = 0, h h h

g2 - 1 , 4 g
1 2 1 2

0, если 0 g - 1 , если 2
g2 2

,

g 1.

1,

, если g

При противоположных значениях g получаем изоморфные системы, поэтому далее будем предполагать, что g

0. Следует различать четыре

качественно различных вида бифуркационных диаграмм (см. рис. 13): a) g = 0, b) 0 < g < 1 , 2 c)
1 2

< g < 1,

d) g > 1. Отметим, что при g = 0 в прообразе левой стенки бифуркационной диаграммы лежат критические торы. Далее будем рассматривать только некритические значения g . На рис. 13 гладкие дуги бифуркационной диаграммы обозначены малыми греческими буквами с индексами. В их прообразах лежат боттовские перестройки торов Лиувилля, описываемые 3-атомами. Укажем их типы:

97


1 : 2A 2 : 2A 3 : 2A 4 : 4A 5 : 2A 6 : 2A

1 : 2B 2 : 2B 2 : 2B 1 : C
2 2

2 : 2C

1 : 2 A
2

2A



Семейства торов Лиувилля обозначены римскими цифрами I-V. Каждая точка семейств I-IV образована парой симметричных относительно инволюции : (s, r) (-s, -r) торов. Семейство V состоит из четырех компонент связности. В прообразе прямых A, B, C, D, E, F, G, H и I лежат изоэнергетические поверхности Q3 c разным типом лиувиллевого слоения. П. Е. Рябов [24] h указал грубые молекулы, которые им соответствуют, и вычислил топологические типы этих поверхностей. Они таковы: A, B 2S 2 ; C, D, H, I S1 Ч S2 ; G (S1 Ч S2 ) (S1 Ч S2 ) (S1 Ч S2 ); E, F RP 3 . Нашей главной задачей является вычисление r, и n меток этих молекул.

4.3 Невырожденные положения равновесия в случае Соколова
В этом пункте мы даем классификацию невырожденных положений равновесия системы Соколова и вычисляем их круговые молекулы.

Теорема 15 Условия невырожденности, типы и представления в виде почти прямого произведения для положений равновесия, лежащих в прообразах точек M , N , P , Q, L, R бифуркационной диаграммы указаны в таблице.

98


точка условия невырожденноси M N P Q L R

тип центр-центр

п/п произведение

g>0 0 1 2

2(A Ч A) 2(A Ч B ) BЧC
2

седло-центр седло-седло седло-центр центр-центр седло-центр

0 1 2


1 2

2(A Ч C2 ) 2(A Ч A) A Ч C2

g>1

Круговые молекулы этих особых точек приведены в таблице 5. Других
4 критических точек у гамильтониана H на Mg нет.

Доказательство: Система уравнений Гамильтона v = sgardH , записанная в координатах

(s1 , s2 , s3 , r1 , r2 , r3 ), имеет вид:

si = {si , H }, ri = {ri , H }
2 s1 = (-s2 + r3 )(r2 + s3 ), r1 = r3 s2 - 2r2 s3 - r2 ,

s2 = s3 s1 + s1 r2 - r1 r3 , s3 = -r1 s3 ,

r2 = -s1 r3 + 2r1 s3 + r1 r2 , r3 = s 1 r2 - s 2 r
1

Приравнивая к нулю правые части уравнений, находим координаты крити4 ческих точек H на Mg . Найденные точки также являются точками положе-

ния равновесия системы.

99


усл. сущ. кол-во координаты

P, Q g R M gR

2 2 2 14

+(g , 0, 0, 1, 0, 0) + 0, + 0, +
g2 g 2 +1 g g2 +
1 4

, - ,

g g 2 +1

, 0,
2

g g 2 +1

, -
1 4

1 g 2 +1 1 g2 +
1 4

N, L g R Q
1 2

1 g2 + 4 -

1 g2 +

, 0,
2

,

g g2 +

g

2g - 1, 1 - g , 0, 2g - 1, 1 - g , 1 - g
H

1 4

Докажем, что для каждой из точек, собственные значения оператора A попарно различны, отличны от нуля и соответствуют указанному типу. Начнем с вычисления матрицы линеаризации A
6 H

гамильтонова потока

v = sgradH в e(3) в общем виде: 0 r2 + s 0 A6 = H 0 -r3 r2 -(r2 + s3 ) -s2 + r
3 3

0 -r
1 2 3 3

-s2 + r s1 0

3

r2 + s3 -r1 0 s
2 1

0 0 r
3

s1 -r

-s 0

-2 r 2r 0
1

-2(s3 + r2 )
2

0 -r1

2 s3 + r -s
2

r

1

-s 0



s1

Рассмотрим точки P и R. В прообразе каждой лежит по два симметричных положения равновесия с координатами +(g , 0, 0, 1, 0, 0). Проведем вычисления для случая знака +. В качестве локальных координат на M
4 g

возьмем (s2 , s3 , r2 , r3 ). Тогда канонический базис в касательном простран-

100


стве задается матрицей:




r2 s1 -s2 r1 2 r1 r3 s1 -s3 r1 2 r1

4 Mg =

0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0001
,R

4 T Mg =

-

r2 r1

-

r r

3 1

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 -
r r
2 1

0 0 -
r3 r1

1 0

0 1

T

P,R

И мы легко находим матрицу искомого оператора AH = A6 |TP H

M

:

0g 0 -1 AH = 0 1 -1 0
Уравнение на собственные значения:

g -1 0 0 1 -g g0

det(A - E ) = ( - 1)( + 1)(2 + g - 1) = 0 1,2 = +1,

3,4

=+

1-g

Как видно, при g = 1 происходит вырождение: точка P превращается в точку R, меняя свой тип с седло-седло на седло-центр. Проделаем ту же процедуру для точки M . В ее прообразе лежит два симметричных положения равновесия:

+ 0,

g
2

2

g +1

,-

g g +1
2

, 0,

g g +1
2

,-

1 g +1
2

.

Проведем вычисления для случая знака -. В качестве локальных координат возьмем (s1 , s2 , r1 , r2 ), тогда:

101


4 T Mg = 1 0 -
r r
1 3

0 1 -
r2 r3



0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0g

0 0
r 1 s3 - s1 r 2 r3
3

0 0
r2 s3 -s2 r3 2 r3

0 0 0

0 0 0

1 0 -
r1 r3

0 1 -
r r
1 3

1 0 0 1 0 g 4 TM M g = 0 0 0 0 00

6 Оператор AH переводит данный базис касательного пространства в вектора:





A ћT

6 H

M

= - -

0 0 0 0
1 g 2 +1 g g 2 +1

g (1+g 2 )



g 2 +1

0 - -
1 g 2 +1 g g 2 +1

1+ 2g

2

g +1

0 0
1+2 2g
2

0 0 -
g3 g 2 +1

g +1

0
g g 2 +1 g2 g 2 +1

0 0

0 0

4 Разлагая найденные вектора по выбранному базису в TM Mg , получаем мат-

рицу оператора AH = A6 |TM M : H

0 0 0 g (1 + g 2 ) 0 1 + 2g 2+1ћA = g H 0 -1 0 1 + g2 0 -g 3
В результате находим собственные значения det(

-1
2

0 g 0

g 2 + 1 ћ AH - E ) = 0

1,2 = +i

g 2 + 1,

3,4

= +i(g 2 + 1), соответствующие типу центр-центр. При

g = 0 они равны (+i, +i), и происходит вырождение.

102


Рассматривая положение равновесия, соответствующее знаку +, для точек N и L в локальных координатах (s1 , s2 , r1 , r2 ), имеем:





T

N ,L

4 Mg =

1 0

0 1
1 2g

0 0 0 1 0 0
1 4

0- 0 0 0

0 0 0

0 1 -1 4g 2 , 0 1 1 - 2g 0 -g
1 4

0

0 2 g+ 0 = 0 -g
1 2

- g2 +
1 4

-

1 2g

g2 + 0

1 4

0 0 g+ 0 0 g+ 0 -g
1 4 2 1 4 1 2g

1 g + ћ A6 ћ T H 4
2

-g 0 2g
2

2

0 -2 g 2 + 0 0 0 0 2 2g 0 -g
1 2

N ,L



-g

0 - g2 + 1 1 4 g 2 + ћ AH = 4 0 - 21g g 2 +
Собственные значения оператора

1 g

g2 + 0

1 2

0

-2 g 2 +

1 2

g 2 + 1 ћ AH : 4
1 4 i 2

1,2 = + =+ 3,4
При g =
1 2

1 - 16g

4

16g 4 + 12g 2 + 2

имеем 1,2 = 0. Мы видим, что точка вырождается, меняя свой

тип с седло-центр, на центр-центр. Наконец, рассматрим положение равновесия

-

2g - 1,

1 - g , 0, -

2g - 1,

1 - g,

1-g ,

103


лежащее в прообразе точки Q, в локальных координатах (s2 , s3 , r2 , r3 ). Имеем:

4 TQ Mg =
1-g 2g -1 1-g 2g -1

0 0 0
1-g 2g -1

-

1-g 2g -1

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0
1-g 2g -1

1 0

0 1

,

1-g 0 g-1 g 2 - 3g 2g - 1 1 - 3g 1 - g 2g - 1 ћ AH = -g 0 2 - 3g -g 4g - 3 0 1 2g - 2 Собственные значения оператора 2g - 1 ћ AH 1,2 = +(2g - 1) = +2i -2g 2 + 3g - 1
3,4

свидетельствуют о том, что при седло-центр.

1 2

< g < 0 точка невырождена и имеет тип

Итак мы закончили вычисление собственных значений оператора AH , но необходимо еще проверить его линейную независимость с оператором

AF . Из-за того, что интеграл F является сложным полиномом четвертой
степени, сделать это не так легко. Поэтому мы вычислим лишь часть коэффициентов матрицы линеаризации A6 векторного поля 1 sgradF в e(3) . F 2 Имеем:

104


1 2

2 2 {r1 , F } = -s3 r2 (s2 + s2 + s2 + 2(r2 s3 - r3 s2 ) + r2 + r3 )+ 1 2 3 2 2 +s2 (s2 r3 - s3 r2 - r2 - r3 )+ 3

+(r1 s1 + r2 s2 + r3 s3 )(s3 r3 - s2 r2 + r2 r3 ),
1 2 2 2 {r2 , F } = s3 r1 (s2 + s2 + s2 + 2(r2 s3 - r3 s2 ) + r2 + r3 )+ 1 2 3

+s2 (s3 r1 - s1 r3 + r1 r2 ) + (r1 s1 + r2 s2 + r3 s3 )(s2 r1 - r2 r1 ), 3
1 2

{r3 , F } = s2 (s1 r2 - s2 r1 + r3 r1 ) - (r1 s1 + r2 s2 + r3 s3 )r1 s3 . 3 (A6 ) F (A6 ) F
i+3,j

=

1 {ri , F }, 1 2 sj 1 {ri , F }, 1 2 ri

i, j i, j

3, 3,
P,R

i+3,j +3

=

Рассмотрим точки P и R. Вектор v = (0, 1, 0, 0, 0, 0)t T ствием оператора AH = A6 |T H
M

M под дей-

переходит в вектор (, , , 0, 0, -1)t , а под
M

действием оператора AF = A6 |T F

в вектор

(, , , (A6 )4,2 , (A6 )5,2 , (A6 )6,2 )t = (, , , 0, g , 0)t . Последние два вектора F F F
заведомо линейно независимы при g = 0, а следовательно и операторы A и AF будут линейно независимы. Для остальных положений равновесия линейную независимость операторов A
H H

и AF усматриваем из соотношений, приведенных ниже.

ћ точка M : v = (0, 0, 0, 1, 0, 0)t TM M , AH v = AF v = , , , 0, - , , , 0, 0, -
g g 2 +1 g
2 3 2

, -
t

g2 g 2 +1

t

,

(g 2 +1)

.

AH v и AF v заведомо линейно независимы при g = 0. ћ точки N и L: v = (0, 0, 0, 1, 0, 0)t T
N ,L

M,
105


AH v = AF v =

, , , 0,

4g 2 4g 2 +1

t

, - ,

2g 4g 2 +1

,
t
3 2

, , , 0,

g 2 (4g 2 -1) (4g 2 -1-16g 3 )(4g 2 -1) 4g 2 +1 4(4g 2 +1)

,

1 AH v и AF v заведомо линейно независимы при g = 0, + 2 .

ћ точка Q: , 1, 0, 0, 0, 0)t TQ M , t 1 AH v = , , , 1 - g , g--1 , 2g -1 , 2g g t AF v = , , , -g 1 - g , -g 2g - 1, 0 . v=( AH v и AF v заведомо линейно независимы при
1 2 1- g 2g -1

< g < 1.

Тем самым закончена проверка условий невырожденности. Отметим что при проведении промежуточных выкладок мы активно пользовались пакетом символьных вычислений Matlab 6.5 Symbolic Math Toolbox. После этого типы, представления в виде почти прямых произведений и круговые молекулы точек M , N , P , Q, L, и R определяются по таблицам приведенным в [1, т.1, гл.9]. Теорема доказана.

4.4 Круговые молекулы вырожденных одномерных орбит
Точки z1 , z2 , z3 и z4 соответствуют неботтовским критическим окружностям системы Соколова.

Теорема 16 Круговые молекулы точек z1 , z2 , z3 и z4 приведены в таблице 5.
Доказательство: В силу предложения 1 остается вычислить метки r на ребрах, ведущих в атомы A. Будем за r(xy ), обозначать r-метку ребра которое соединяет
106


бифуркации x и y . Рассмотрим ребра круговой молекулы точки z1 , относящиеся к семейству V. Они соединяют бифуркации 1 и 4 . Из круговой молекулы точки P имеем r(1 2 ) = 0, точки Q r(2 4 ) = . Следовательно, по правилу сложения меток (см. п. 2.4), r(1 4 ) = 0. Аналогично получаем:

ћ точка z1 :
семейство I: r(1 1 ) = 0, r(1 2 ) = r(1 2 ) = 0

ћ точка z2 :
семейство IV: r(1 6 ) = 0, r(2 6 ) = r(1 2 ) = 0

ћ точка z4 :
семейство II:

r(2 1 ) = 0, r(1 3 ) = r(2 3 ) = 0

семейство III: r(2 2 ) = 0, r(2 5 ) = r(2 5 ) = 0 семейство IV: r(2 2 ) = 0, r(2 6 ) = r(2 6 ) = 0 В результате не вычисленной остается только метка r на ребре AB молекулы точки z3 . В действительности, она равна 1 . Этот факт мы получим, 2 вычислив изоэнергетические молекулы. Здесь мы приводим его для полноты картины. Теорема доказана.

4.5 Построение допустимых систем координат
Допустимые системы координат на 3-атомах кривых 1 , 2 , 1 , 2 выбираются исходя из 4-окрестности точки седло-седло P , которая имеет тип прямого произведения B Ч C2 такой же, как в случае Стеклова. Стрелочки указывают направление роста F .

107


(1 , 1 )

(I )

(I I )

(1 , -2 )

C2 (1 , 1 ) (2 , 1 )
(I ) (V )

1 (I I ) (I I I )

(1 , -2 ) (2 , -2 )

C2 (2 , 1 )
(V )

2 (I V ) (V )

(2 , -2 ) (1 , 2 )

(1 , -1 ) B

(I )



1 (V ) (I I I )

(1 , 2 ) (2 , 2 )

(2 , -1 ) B

(I I )

2
(I V )

(2 , 2 )

Допустимые системы координат на атомах A выберем, пользуясь тем, что на соответствующих ребрах круговых молекул точек M , z1 , z2 , z4 r-метки равны 0. Для бифуркации 1 , ориентация второго базисного цикла устанавливается исходя из того, что при g 0 критические окружности атомов и 1 бесконечно сближаются. Получаем:
(I ) 1

A 1 (1 , 1 ) (2 , 1 ) A 2 (3 , 2 ) A 3 (4 , 1 ) A 4 (5 , 2 ) A 5 (6 , 2 ) A 6
108
(I V ) (I I I ) (V ) (I I ) (I )


(1 , 2 ) A

(I V )



1

Мы не будем выбирать вторые базисные циклы для атомов B в терминах . Обозначим их x , -y , -x , y .



3

иA





2

(3 , x )

(I I I )

B (3 , x )
(I V )

(V )



3

(3 , -y )

(2 , -x ) A
Из замечания 2 следует, что

(I I )



(I I I ) 2



(3 , y )

x = 1 + k1 2 , y = 2 + k2 2 , x = 2 + k3 2 , y = 1 + k4 2 ,
где ki Z неизвестны.

4.6 Определение взаимного расположения базисных циклов
Проанализируем информацию из круговых молекул и списка допустимых систем координат для определения взаимного расположении циклов . Будем рассматривать семейства торов Лиувилля I-V поочередно. Семейство I На каждом торе этого семейства бифуркации определяют циклы 1 , 2 ,

1 , 1 . Из круговых молекул особых точек M , P, R, z1 в силу предложения 3 получаем следующую информацию об индексах пересечения циклов

:
109


пара циклов индекс пересечения

1 , 2 1 ,
1

1 1 0 1

2 ,

1

2 , 1

С другой стороны, базисы на положительных и отрицательных границах атомов должны иметь разную ориентацию. В силу чего из списка допустимых систем координат следует, что базисы (2 , 1 ), (1 , 1 ), (1 , -1 ) должны иметь одинаковую ориентацию, а базис (1 , 2 ) противоположную им. Несложно убедиться, что эти условия определяют взаимное расположение циклов 1 , что
2

и 1 однозначно, а про цикл

1

можно утверждать,

1 =

1

+ l1 1 , l1 Z.

На рис. 14 фундаментальная группа тора изображена в виде целочисленной решетки на плоскости, а циклы в виде векторов на ней. Это позволяет наглядно отобразить собранную информацию. Семейство II Циклы семейства: 3 , 2 , 1 , 2 . Индексы пересечения циклов: пара циклов индекс пересечения

2 ,

2
1

0 1 0 1

2 ,

3 ,

1

3 , 2

Из меток круговой молекулы точки z3 следует, что 2 = 2 .
110


При этом базисы (3 , 2 ), (2 , 1 ) имеют одинаковую ориентацию. Перечисленные условия однозначно определяют взаимное расположение циклов этого семейства. Результат изображен на рис. 14. Семейство III Циклы семейства: 5 , 2 , 3 , 2 , 2 . Индексы пересечения циклов: пара циклов индекс пересечения

2 ,

2
2

0 1 0 1

2 ,

5 ,

2

5 , 2

Из круговой молекулы точек z2 и z3 следует, что 2 = 2 и 3 = 2 . При этом базисы (5 , 2 ) и (2 , 2 ) имеют противоположную ориентацию. Перечисленные условия однозначно определяют взаимное расположение циклов этого семейства. Результат изображен на рис. 14. Семейство IV Циклы семейства: 6 , 2 , 2 , 1 . Индексы пересечения циклов: пара циклов индекс пересечения

2 , 1 2 , 6 ,
2

1 1 0 1 1

6 ,

2

1

6 , 2

111


При этом базисы (6 , 2 ), (1 , 2 ) имеют одинаковую ориентацию, а базис (2 , 2 ) противоположную им. Перечисленные условия однозначно определяют взаимное расположение циклов 6 , 2 , 2 . Про цикл 1 можно утверждать, что

1 = -2 + l2 2 , l2 Z.
Более того, на ребре B A молекулы точки z3 метка r конечна, а метка

= +1, поэтому с необходимостью выполнено l2
Семейство V Циклы семейства: 4 , 1 , 3 , 2 . Индексы пересечения циклов:

1.

пара циклов индекс пересечения

3 , 1 ,

2

0 1 0 1

2

4 ,

2

4 , 1

Из круговой молекулы точки z2 следует, что 3 = 2 . При этом базисы (4 , 1 ) и (2 , 1 ) имеют одинаковую ориентацию. Перечисленные условия однозначно определяют взаимное расположение циклов этого семейства. Результат изображен на рис. 14.

4.7 Применение формулы Топалова
Результаты двух предыдущих пунктов позволяют выписать матрицы склеек изоэнергетических молекул с неизвестными коэффициентами k1 , k2 , k3 ,

k4 , l1 , l2 . Они приведены в таблице 6. Оказывается, что для того чтобы вычислить по этим матрицам метки r, и n, вовсе необязательно знать точные
112


значения всех коэффициентов. Легко видеть, что от k1 и k2 метки вообще не зависят, а от k3 и k4 зависит только n-метка на атомах A молекулы F.

Предложение 4 На атомах A в молекуле F метка n = -1; l1 = 1, l2 = 2.
Доказательство: Для молекул E, F применим формулу Топалова (1.3):

N (W ) = +2p (n1 n2 - 2nb-2 ) ~~ ~0
j

bj ,

где число n1 соответствует атому C2 , n атомам B или A , b0 коэффи~ ~ циент матрицы склейки на ребрах C2 B либо C2 A , а произведение берется по всем ребрам молекулы. Нам известно, что для молекул E и F Q3 RP =
3 j bj

H1 (Q3 ) = Z2

N (W ) = 2.
Для молекулы E имеем n(B ) = [- l1 ] = -1 (ведь l 2 Формула Топалова дает:
2 +2 = l2 (-2l1 (-1 + 1 - 2

1 ), n1 = -2l1 . ~

12 1 ) - 2(-1 + 1 - )) l1 = +1 + l2 l1 l2 l2

0

Для молекулы F n = n(A ) + 1 , n1 = -2l1 . Получаем: ~ 2~

1 1 +2 = 4(-2l1 (n(A ) + )2 - 2(n(A ) + )) 2 2 +2 = (-2l1 (2n(A ) + 1)2 - 4(2n(A ) + 1)) +1 = (2n(A ) + 1)(l1 (2n(A ) + 1) + 2)
При условии l
1

0 это уравнение в целых числах имеет единственное

решение n(A ) = -1, l1 = 1 l2 = 2. Что завершает доказательство. Теперь по таблице 6 можно вычислить все метки изоэнергетических молекул A,B . . . , I.
113


Замечание 7 Из молекулы E, в частности, следует, что метка r =
на ребре B A круговой молекулы точки z3 .
Сформулируем итоговый результат главы.

1 2

Теорема 17 Полный список инвариантов Фоменко-Цишанга для случая
Соколова приведен в таблице 7. При разных значениях постоянной площадей g и энергии h обнаруживается 9 неэквивалентных слоений Лиувилля.

114


Глава 5 Лиувиллева классификация интегрируемого случая Ковалевской-Яхьи при g = 0
Случай интегрируемости Ковалевской-Яхьи это обощение классического волчка Ковалевской на случай задачи о движении тяжелого гиростата. Во многих отношениях он является самым сложным из известных случаев интегрируемости механики твердого тела. Для всякого значения гиростатического параметра пара (H , F ) Ковалевской-Яхьи дает интегрируемую гамильтонову систему с двумя степенями свободы на каждой поверхности
4 Mg . При этом оказывается, что топологическая структура фазового про-

странства существенно зависит от обоих параметров. На рис. 15 на плоскости R2 (g , ) изображены кривые, разделяющие области с качественно различным видом бифуркационных диаграмм системы. Они были получены П. Е. Рябовым и М. П. Харламовым [21]. Как видно, при разных значениях параметров наблюдается 18 устойчивых типов бифуркационных диаграмм. Работа [2] посвящена описанию структуры лиувиллева слоения в классическом случае Ковалевской ( = 0). В этой главе мы решаем аналогичную задачу для случая g = 0. Исчерпывающее исследование по лиувиллевой
115


классификации всего множества значений параметров в рамках данной работы не представляется возможным. Тем ни менее, при изучении топологии слоений в какой-либо точке общего положения системы Ковалевской-Яхьи полная классификация двух образующих семейств может послужить хорошей отправной точкой. Отдельный интерес представляет исследование критических движений, например, соответствующих точке A.

5.1 Гамильтониан и дополнительный интеграл
Рассмотрим следующее обобщение гамильтониана Ковалевской:

H=

s2 s2 (s3 + )2 1 + 2+ + a1 r1 + a2 r 2A 2A A

2

Как впервые в 1986 году указал Х. М. Яхья [5, 6] для него существует дополнительный интеграл четвертой степени:

F=

s2 - s2 1 2 + a2 r2 - a1 r 2A -

2 1

+

s1 s2 - a1 r2 - a2 r1 A

2

-

2 4r3 (s + 2)(s2 + s2 ) + (a1 s1 + a2 s2 ). 1 2 23 A A
1

Здесь (A, A, A ) - главные моменты инерции твердого тела, параметры a 2

и a2 задают положение точки подвеса волчка в экваториальной плоскости эллипсоида инерции, а величину постоянного гиростатического момента, направленного по условию вдоль оси динамической симметрии волчка. При = 0 получаем классический случай Ковалевской.

116


Линейной заменой координат на e(3)

s = - a1 s + 1 A ~1 s2 = - a2 s1 - A ~ s = s 3 A ~3 r1 = - a 1 r1 + a 2 r2 ~ ~ r2 = - a 2 r1 - a 1 r2 ~ ~ r =r ~3 3

a2 ~ s2 a1 ~ s2

где =

a2 + a2 , добиваются исключения параметров A, a1 и a2 . В новых 1 2

переменных (s1 , s2 , s3 , r1 , r2 , r3 ), скобка Ли-Пуассона, определяемая соотно~~~~~~ шениями (1.4), будет пропорциональна исходной, а гамильтониан и дополнительный интеграл Ковалевской-Яхьи примут упрощенный вид:

s2 s2 (s3 + )2 H= 1+ 2+ - r1 , 4 4 2
2 1

F=

s2 - s2 1 2 +r 4

+

s1 s2 +r 2

2 2

- (s3 + 2)(s2 + s2 ) + 2s1 r3 . 1 2 2

Здесь и далее мы для простоты используем старые обозначения для новых переменных. За новый параметр обозначена исходная величина При этом уравнения (1.5) в координатах записываются в виде:

A.

s1 = - s22 (s3 + 2) s2 =
s1 2

r1 =

s2 r3 2

- r2 (s3 + ) + r1 (s3 + )
s2 r1 2

(s3 + 2) + r3 r2 = -
2

s1 r3 2

(5.1)

s2 = -r

r3 =

s1 r2 2

-

4 Итак, на всяком четырехмерном симплектическом многообразии Mg для

заданного значения мы получаем интегрируемую гамильтонову систему с двумя степенями свободы, задаваемую парой (H , F ).
117


В настоящей главе, отталкиваясь от результатов по структуре бифуркационного множества, ранее полученных М. П. Харламовым и П. Е. Рябовым [21], вычислены все инварианты Фоменко-Цишанга системы КовалевскойЯхьи при g = 0 (теорема 20). Всего обнаружено 10 типов слоений, соответствующих разлиным уровням энергии и значениям гиростатического параметра . Также получено описание всех круговых слоений (теорема 19) и дана классификация невырожденных положений равновесия системы (теорема 18).

5.2 Бифуркационные диаграммы, семейства торов и их перестройки
В этом пункте мы излагаем результаты М.П.Харламова и П.Е.Рябова [21], которые будут использованы нами в дальнейшем, а также вводим некоторые обозначения. Рассмотрим отображение момента F:

F : M 4 R2 (f , h) F : x (F (x), H (x))
В случае Ковалевской-Яхьи бифуркационная диаграмма будет зависеть от параметров g и . В [21] найден явный вид кривых бифуркационных диаграмм при всех значениях параметров, а также указаны кривые на плоскости R2 (g , ), разделяющие области с различными типами бифуркационных диаграмм (см. рис. 15). При замене знака у g или получаем систему изоморфную исходной, поэтому далее можно предполагать, что g ,

0. В рас-

сматриваемом нами случае g = 0 следует различать пять типов диаграмм (см. рис. 16):
118


a) = 0 b) 0 < 2 < 1 c) 1 < 2 < d)
8 33 8 33

< 2 < 2

e) 2 > 2 Гладкие дуги бифуркационных диаграмм мы обозначили малыми греческими буквами с индексами. В их прообразах лежат боттовские перестройки торов Лиувилля, которые описываются 3-атомами. Их типы указаны ниже:

A : 1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 9 , 10 , 11 , 2A : 3 , 7 , A : 1 ,
2 6 8

12

B : 1 , 2 , 3 , 5 , 2B : C2 :
4

Регулярные точки отображения момента на R2 (f , h) являются образами некоторого количества несвязных торов Лиувилля. Их число для каждой области также вычислено в [21]. Эти торы естественным образом разбиваются на семейства. Мы обозначили римскими цифрами I-VII. семейство число торов Лиувилля I II III IV V VI VII
119

1 2 1 1 1 1 2


Интересующие нас изоэнергетические поверхности Q3 лежат в прообраh зах сечений бифуркационных диаграмм горизонтальными прямыми A, . . . , J . Установлено, что они имеют следующие топологические типы: прямая тип Q3 h

A, B , C, F D, E , G H I, J

S

3 3

RP

(S1 Ч S2 ) (S1 Ч S2 ) S1 Ч S
2

Несложно заметить, что представленной в этом пункте информации достаточно для того чтобы найти грубые инварианты слоений Лиувилля на этих поверхностях. После этого для получения инвариантов Фоменко-Цишанга нам остается вычислить числовые метки молекул.

5.3 Классификация невырожденных положений равновесия
Дадим описание невырожденных точек положения равновесия системы Ковалевской-Яхьи.

Теорема 18 В случае Ковалевской-Яхьи при g = 0 и некритических значениях 2 0, 1, /
8 33

,2

точки бифуркационной диаграммы M , N , P , Q,

R и L соответствуют невырожденным положениям равновесия. Их типы и представления в виде почти прямого произведения указаны ниже.

120


точка

тип центр-центр центр-центр седло-центр седло-центр седло-седло седло-седло

п/п произведение

M R Q L N P

AЧA 2(A Ч A) AЧB 2(A Ч B ) (B Ч C2 )/Z2 BЧB

Круговые молекулы этих особенностей приведены в таблице 8. Других критических точек у гамильтонианов H на Mg
Доказательство: В начале необходимо найти координаты точек положений равновесия на фазовом пространстве системы. Будем искать их из условия dH |
M
4

=0

нет.

(x) = 0.

Тогда sgradH (x) = 0, а значит правая часть уравнений (5.1) обнуляется. Из третьего уравнения системы имеем r2 = 0. Тогда, если предположить что s2 = 0, то из четвертого уравнения (на r1 ) cледует, что r3 = 0, а из
2 2 шестого что r1 = 0. Но это невозможно в силу соотношения f1 = r1 + r2 + 2 r3 = 1. Итак с необходимостью s2 = r2 = 0.

После этого правые части уравнений 1, 3, 4 и 6 обнуляются автоматически, и мы получаем следующие условия на точки положения равновесия:

f1 = r2 + r2 = 1 1 3 f2 = r1 s1 + r3 s3 = 0 s1 s3 + s + r = 0 2 1 3 s1 r3 - 2 + r1 + s3 r1 = 0
координаты искомых точек имеют вид:
121

(5.2)

Пусть s1 = x, s3 = y , тогда из первых двух уравнений (5.2) следует, что


x, 0, y , +

y x2 + y
2

, 0,

x x2 + y
2

Подставляя в третье и четвертое уравнение системы (5.2) получаем:



xy 2

+ x = +

x x2 +y

2

2 2y + x2 + 2y = 0

(5.3)

Если x = 0, то с необходимостью y = -, и мы получаем два решения:

(0, 0, -, 1, 0, 0) и (0, 0, -, -1, 0, 0). Проверка показывает, что первое соответствует точке M бифуркационной диаграммы, а второе точкам N , P и

Q в зависимости от значения .
Будем искать остальные решения. Пусть x = 0. Второе уравнение (5.3) переписывается в виде x2 = -2y (y + ) y (-, 0). Подставляя выражение для x2 в первое уравнение, получаем:

y + 2 = +

2 -y - 2y
2

(y + 2)2 (-y 2 - 2y ) = 4 -y (y + 2)3 = 4

Исследуем вопрос: когда последнее уравнение имеет корень из интервала

(-, 0)?

f (y ) = -y (y + 2)3 f (y ) = -2(y + 2)2 (2y + ) ymax = -/2
Необходимым условием наличия корней является:

f (ymax ) =

27 16

4

4 2

8 33

Оно же является достаточным для существования корня yR (см. рис. 17). Для существования корня yL дополнительно необходимо потребовать: f (-)

4 2

2.
122


Найденные точки равновесия соответствую точкам R и L бифуркационной диаграммы. Отметим, что в отличие от первого случая, здесь в прообразе лежит по два положения равновесия соответствующие разным знакам

x.
Итоги поиска точек положения равновесия подведены в таблице.

точка

усл. сущ.

кол-во координаты

M

R

1 1 2

(0, 0, -, 1, 0, 0) (0, 0, -, -1, 0, 0) x, 0, y ,
y x2 +y
2

N , P, Q R R 2 >
8 33

, 0, -

x x2 +y

2

,
2 4

где - y (y + 2)3 = 4, y 2 (0,

),

x=+ L
8 33

-2y (y + )
y x2 +y
2

< 2 < 2 2

x, 0, y ,

, 0, -

x x2 +y

2

,
2

где - y (y + 2)3 = 4, y 2 ( , 2 ), 4

x=+

-2y (y + )

Теперь проверим, что в найденных точках положения равновесия оператор AH имеет ненулевые попарно различные собственные значения и установим типы точек. Дифференцируя правые части уравнений (5.1), получаем матрицу A6 линеаризации векторного потока 1 sgradH на e(3) в координаH 2 тах (s1 , s2 , s3 , r1 , r2 , r3 ):

123


0 -(s3 + 2) -s2 0 0 0 s3 + 2 0 s1 0 0 2 0 0 0 0 -2 0 6 AH = 0 r3 -2r2 0 -2(s3 + ) s2 -r 0 2r1 2(s3 + ) 0 -s1 3 r2 -r1 0 -s2 s1 0



Рассмотрим положение равновесия в прообразе точки M . Возьмем

(s2 , s3 , r2 , r3 ) за локальные координаты. Тогда канонический базис касательного пространства к M 4 в точке M имеет вид:

4 TM M =
Под действием оператора A
6 H

0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0001

он переходит в вектора:

6 4 A H ћ TM M = - 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0

0 2 + 2 -2 0 0 0 0 0 0 0

-1 0

124


Следовательно, матрица искомого оператора AH = A6 |TM H

M

4

:



0 0 0 +2 0 0 -2 0 AH = 0 2 0 0 10 0 0
Его собственные значения +2i, +( 2 + 2)i чисто мнимые и попарно различны при 2 = 2. Таким образом, при условии линейной независимости операторов A
H

2





и AF исследуемая точка положения равновесия невырожде-

на и имеет тип центр-центр. Аналогично для точек N , P и Q имеем:

4 TM =







0 0 0 - 0 - 0 0 0 100 0 0 0 2 - 2 0 010 0 0 -2 0 4 AH ћ T M = 0 000 0 00 0 0 -2 0 001 0 0 000 1 1 00 0
2



0 0 0 2- 0 0 -2 0 AH |T M 4 = 0 -2 0 0 10 0 0 Собственные значения +2, + 2 - 2 попарно различны и отличны от нуля
при 2 = 2, следовательно, при условии линейной независимости операторов

AH и AF положение равновесия невырождено. При 2 < 2 все собственные
значения действительны, получаем тип седло-седло случай точек N и P .
125


При 2 > 2 два собственных значения действительны, а два других чисто мнимые, и мы имеем тип седло-центр случай точки Q. Перейдем к рассмотрению точек R и L. В качестве локальных координат на M 4 возьмем функции (s1 , s2 , r1 , r2 ). Имеем:

4 M = 10 01
y x

0 0
(x2 +y 2 ) x2
3 2

T

0

R,L

00 00 00

1 0
y x

0 0 0 0 1 0 0 -2(y + ) 0 0

0 -(y + 2) 2(y + ) 0 AH = 0 - x 2 x2 +y 22 x +2y 2 0 2
x x +y

0
(x2 +y
23 )2

+2y

x

0
3x2 y +2y 3 +2x2 x2

Совершая подстановку в соответствии с тождеством x2 = -2y (y + ), получим:

AH = 0 2(y + ) 0 -
x 2y -y (y +2)

-(y + 2) 0 -
x -y (y +2)

0
(-y (y +2)) +2y x
3 2

0
(y +2)(2y +) y +

0

0 -2(y + ) 0

0

Рассматривая случай

0, y + 2 (, 2) > 0, из тождества -y (y + 2)3 =

4 имеем:

-y (y + 2)3 2 = , -y (y + 2) = (y + 2) y + 2 3 8 -8y (-y (y + 2)) 2 = = = -2y , (y + 2)3 -y (y + 2)3
126


откуда:

0 -(y + 2) 2(y + ) 0 AH = 0 - x(y+2) 2 +2 - y(yx ) 0 ч ч 0 0 0
(y +2)(2y +) y + H

0 -2(y + ) 0
находятся в явном виде:

0

после чего собственные значения чi оператора A
1,2 3,4

= +i = +i

2y 2 + 6y + 42 4y 2 + 10y + 42

Оценим знаки подкорневых трехчленов:

2y 2 + 6y + 42 = 22 (t2 + 3t + 2) = 22 (t + 1)(t + 2) > 0 при t = 4y 2 + 10y + 42 = 22 (2t2 + 5t + 2) = 42 (t + 2) t + = > 0, < 0, 1 2

y (-1, 0), =

при t (- 1 , 0) y (- , 0) cлучай точки R 2 2 при t (-1, - 1 ) y (-, - ) cлучай точки L. 2 2

Таким образом, в случае точки L мы имеем пару чисто мнимых и пару вещественных собственных значений, что соответствует типу седло-центр, а в случае точки R две пары чисто мнимых собственных значений, что соответствует типу центр-центр. В последнем случае еще необходимо удостовериться, что собственные значения попарно различны. Это легко устанавливается из:

2y 2 + 6y + 42 = 4y 2 + 10y + 42 2y 2 + 5y = y 2 + 3y y (y + 2) = 0 y {0, -2}, но y (-, 0).
Для завершения доказательства невырожденности найденных положений равновесия осталось проверить, что в каждой точке операторы A
127
H

и


AF будут линейно независимы. Из-за того, что интеграл F является сложным полиномом четвертой степени сделать это не так легко. Поэтому вычислим лишь часть коэффициентов матрицы линеаризации A6 векторного F поля 1 sgradF в e(3) . Имеем: 2
s2 -s 1 4
2 2

{r1 , F } = -

+r

1

s 2 r3 +

s1 s 2

2

+r

2

s 1 r3 +

+ 1 r2 (s2 + s2 ) - (s3 + 2)s2 r3 , 1 2 2 {r2 , F } = -
s2 -s 1 4
2 2

+r

1

s 1 r3 -

s1 s2 2

+r

2

s 2 r3 -

1 2 - 2 r1 (s2 + s2 ) + (s3 + 2)s1 r3 - 2r3 , 1 2

{r3 , F } =

s2 -s 1 4

2 2

+r

1

(s1 r2 + s2 r1 ) +

s1 s2 2

+r

2

(s2 r2 - s1 r1 )-

-(s3 + 2)(s1 r2 - s2 r1 ) + 2r2 r3 , 1 {ri , F }, 1 i, j 3, 2 sj 1 (A6 )i+3,j +3 = {ri , F }, 1 i, j 3, F 2 ri Рассмотрим точку M . Вектор v = (0, 1, 1, 0, 1, 0)t TM M 4 под действием (A6 ) F
i+3,j

=

оператора AH = A6 | H

TM

переходит в вектор (, , , 0, 2, -1)t , а под действиM

ем оператора AF = A6 |T F

в вектор (, , , 0, 0, 1 + 2 )t . Последние два
H

вектора заведомо линейно независимы, а следовательно и операторы A

и

AF будут линейно независимы.
Для точек N , P и Q имеем: v = (0, 1, 1, 0, 1, 0)t T M ,

AH v = (, , , 0, -2, 1)t , AF v = , , , 0, 0, 1 - 2 . AH v и AF v заведомо
линейно независимы при 2 = 1. Для точек L и R, представив их координаты в виде
y (y +2) 2 x(y +2) 2

t

x, 0, y ,

, 0, -

, будем иметь: v = (0, 0, 0, 0, 1, 0)t T M , AH v =
x2 (y +) 2

(, , , -2(y + ), 0, x)t , AF v = , , , -

, 0,

x3 4

- 2(y + 2)x . AH v

t

и AF v заведомо линейно независимы при y {-2, 0}, но, как известно, /

y (-, 0).
128


Тем самым закончена проверка условий невырожденности. Отметим что при проведении промежуточных выкладок мы активно пользовались пакетом символьных вычислений Matlab 6.5 Symbolic Math Toolbox. После этого из таблиц, приведенных в [1, т.1, гл.9], находим представления в виде почти прямого произведения и круговые молекулы. Теорема доказана.

5.4 Круговые молекулы вырожденных одномерных орбит
Дадим описание круговых молекул вырожденных одномерных орбит случая Ковалевской-Яхьи при g = 0.

Теорема 19 Круговые молекулы особых точек zi (i = 1, .., 6), а также топологические типы соответствующих круговых многообразий приведены в таблице 8.
Доказательство: С учетом предложения 1 нам остается вычислить метки r на ребрах, ведущих в атомы A. Рассмотрим ребро круговой молекулы точки z1 , относящееся к семейству I. Оно соединяет бифуркации 1 и 2 . Из круговой молекулы точки P имеем r(1 3 ) = 0, точки Q r(3 2 ) = . Следовательно, по правилу сложения меток r(1 2 ) = 0. Аналогично получаем:

ћ точка z1 :
семейство II: r(1 4 ) = 0, r(4 3 ) = r(1 3 ) = 0

ћ точка z5 :
семейство VII: r(7 8 ) = 0, r(8 4 ) = r(4 7 ) = 0

129


ћ точка z6 :
семейство II: семейство III: семейство IV:

r(6 4 ) = 0, r(4 3 ) = r(6 3 ) = 0 r(3 5 ) = 0, r(3 9 ) = r(5 9 ) = 0 r(3 6 ) = 0, r(3 10 ) = r(6 10 ) = 0

семейство VII: r(5 4 ) = 0, r(4 8 ) = r(5 8 ) = 0 Для точки z2 на ребре B A метка r = 0 в силу предложения 2. Точка z7 наблюдается только при = 0 и относится к классическому случаю Ковалевской. Ее круговая молекула указана в [2]. Несложно видеть, что недостающие метки молекул точек z3 и z4 нельзя вычислить таким элементарным способом. Окончательный ответ будет получен в последующих пунктах. Здесь мы приводим его для полноты. Определим также топологические типы круговых многообразий Q3 вы рожденных одномерных орбит. Рассмотрим точку z3 . Во-первых, заметим, что в действительности ей отвечает две несвязных особенности, которые спроецированы в одну точку бифуркационной диаграммы отображением момента. Этим объясняется наличие для нее двух круговых. Рассмотрим особенность, отвечающую молекуле AA A. Ее бифуркационная диаграмма изображена на рис. 18. Произведем деформацию контура AB C0 D0 в AB C1 D1 . При этом топологический тип многообразия в прообразе контура не изменится: прообраз отрезка C D определяется в M 4 уравнением H = const, а из теоремы 18 нам известно, что критических точек H в окрестности z3 нет. Остальные звенья контура испытывают гладкую изотопию, не встречая точек бифуркаций. Контур AB C0 D0 определяет круговую молекулу неособой точки бифуркационной диаграммы, более точно круговую молекулу 3-атома A кривой

6 . Такие круговые молекулы полностью описаны в [1, т.2, гл.1]. Приведем
топологические типы круговых многообразий для основных 3-атомов:
130


3-атом регулярная точка

тип кругового мн-ия

T

3 2

A A


S1 Ч S H
3

B C
2

S1 Ч (S2 + 2g ) S1 Ч (S2 + 3g )

Здесь (S2 + N g ) cфера с N ручками; за H 3 обозначено расслоение Зейферта со слоем окружность и базой T2 с двумя особыми точками типа (2, 1). Таким образом, круговое многообразие рассмотренной особенности точки

z3 , лежащее в прообразе контура AB C1 D1 , топологически является S1 Ч S2 .
Проводя аналогичные рассуждения для других вырожденных одномерных орбит и используя приведенную выше таблицу, получаем топологические типы остальных круговых многообразий точек zi . Теорема доказана.

5.5 Построение допустимых систем координат
Поставим нашей целью выбрать для каждого 3-атома допустимые системы координат, составленные из циклов . Допустимые системы координат на седловых атомах выберем исходя из преставления в виде почти прямого произведения особенностей точек N и

P типа седло-седло. Аналогичная процедура проделывается в [2] для классического случая Ковалевской, где особенности типа седло-седло в точности такие же. Поэтому нам остается выписать ответ. Рассматривая точку N с представлением (B Ч C2 )/Z2 , получаем:

131


(2 , -

2 + 2

2

)

(I )

B (2 , -
2 + 2
1



2

(2 , 2 + 1 )

(I )

)

(V I )

1 ,

1 + 2 2

(V I )

A



(V ) 1



(1 , - )

2 ,

2 + 2

2

A

(I )

(I V ) 2

(2 , - )

( , -1 )

(V )

(I I )

( , 1 )

C2 ( , -2 )
(I V ) (I I )

( , 1 )

Рассматривая точку P с представлением B Ч B получаем:
(I I )

(1 , 4 )

(1 , -3 ) B

(I )



1 (I I )

(1 , 4 )

(I I I )

(3 , -5 )

(3 , 1 ) B

(I )



3 (I V )

(3 , -6 )

132


(V I I )

(4 , -5 )

(4 , 1 ) B

(I I )



4 (I I )

(4 , -6 )

(V I I )

(5 , 4 )

(5 , -3 ) B

(I I I )



5 (V I I )

(5 , 4 )

(I I )

(6 , 4 )

(6 , -3 ) B

(I V )



6 (I I )

(6 , 4 )

Теперь выберем допустимые системы координат на минимаксных атомах

A.
На ребре круговой молекулы точки z7 , соответствующему семейству I,

r(1 2 ) = 0. Следовательно, циклы 1 и 2 имеют индекс пересечения 1
и образуют базис. Поскольку второй цикл имеет ориентацию, заданную гамильтоновым потоком, базис является допустимым для рассматриваемого атома A 1 . Рассуждая аналогично, получаем допустимые базисы для остальных бифуркаций. Исключением являются атомы A 5 и A 6 , для которых мы пока не можем указать вторые базисные циклы, из-за того что соответствующие r-метки круговых молекул нам еще неизвестны. Их мы найдем позже, а здесь приведем ответ для завершенности списка.
(I )

A 1 (1 , 2 )
133


(2 , 1 ) A 2 (3 , 1 ) A 3 (4 , 2 ) A 4 (5 , 5 ) A 5 A 6 (6 , ) (7 , 4 ) A 7 (8 , 5 ) A 8 (9 , 5 ) A 9 (10 , 6 ) A 10 A 11 (
(V I ) (I ) 11 (I V ) (I I I ) (V I I ) (V I I ) (V ) (I I I ) (V I ) (I I )

(I )

, 2 )

A 12 (12 , 2 )

5.6 Определение взаимного расположения базисных циклов
Проанализируем информацию из круговых молекул и списка допустимых систем координат для определения взаимного расположения циклов на каждом из семейств торов. Рассмотрим семейство I. На каждом торе этого семейства бифуркации определяют циклы 1 , 2 ,
11

, 1 , 2 , 3 и 2 . Из круговых молекул

особых точек M , N , P , Q и z1 , z7 извлекаем следующую информацию об индексах пересечений циклов :

134


пара циклов индекс пересечения

1 , 2 1 , 2 2 , 1 2 , 3 11 ,
2
2

1 1 1 0 1 1 1 2

1 , 1 , 2 ,

3

2

С другой стороны, базисы на положительных и отрицательных границах 3-атомов должны иметь разную ориентацию. В силу чего из списка допустимых систем координат заключаем, что базисы (1 , 2 ), (11 , 2 ) и (2 , 2 + 1 ) должны иметь одинаковую ориентацию, а базисы (2 , 1 ),
2 + 2 2 + 2

(2 , 1 ), (1 , -3 ), (1 , 2 ), (2 ,
ложную им.

2

) и (2 , -

2

) противопо-

Эти условия определяют взаимное расположение всех циклов кроме
2 - 2

11

однозначно. Последний цикл относится к классическому случаю Ковалевской и соотношение на него 11 =
2

мы получаем из [2].

Взаимное расположение циклов остальных семейств анализируется по аналогичной схеме. На рис. 19 фундаментальные группы торов изображены в виде целочисленных решеток на плоскости, а циклы в виде векторов на них. Это позволяет наглядно отобразить собранную информацию. Положение циклов 4 , 5 , 5 и 7 , однако же, определить таким методом не удается. Это связано с тем, что мы до настоящего момента не знаем некоторых меток круговых молекул. Данную неопределенность мы окончательно устраним в следующем пункте, пока же ответ для этих циклов
135


изображен пунктиром.

5.7 Применение формулы Топалова
Теперь мы используем формулу Топалова в варианте (1.1) для разрешения оставшихся неопределенностей. Рассмотрим круговую молекулу точки z2 . Находим матрицу склейки на бесконечном ребре:



-
2 2

1 0 1 -1

2 2 + 2 -
2 + 2
1


1

2 + 2

=

На конечном ребре матрица склейки имеет вид:









4

=

m1 10

,m Z

2

Топологический тип кругового многообразия - T3 , H1 (T3 ) = Z3 N (W ) =

0. Имеем: n=n+ ~ ri + p/2 = m - 1, (1.1) (m - 1) ћ 1 = 0 m = 1
4

Тем самым определено положение цикла семейства VI.

относительно других циклов

Далее рассмотрим круговую молекулу точки z3 , имеющую вид AA A. Теперь мы можем вычислить матрицу склейки на ее ребре, относящемся к семейству VI:

4 2



-1 1 -1 2


1 2


1 + 2

=

r=0



определим из уравнения

cd Топалова. Топологический тип многообразия - S1 Ч S2 , H1 (S1 Ч S2 ) = Z N (W ) = 0. В силу предложения 1 = +1 b > 0.
136

Вторую матрицу склейки молекулы

ab


n=n+ ~

ri + p/2 =

a a 1a1 -1+ + = -, b b 2 b2

(1.1) (a/b - 1/2)b = 0 2a = b a = 1, b = 2 r = 1/2.
Мы получили соотношение на допустимые системы координат, определяющее положение цикла 6 :

6 x



1 2 k 2k - 1


1

,k Z -

=

Вторая строка задает множество для выбора второго элемента допустимого базиса для 6 . В списке допустимых систем координат мы для определенности зафиксировали вариант соответствующий k = 0. Анализ круговых многообразий точек z5 , а затем z4 позволяет в точности аналогично определить положение циклов 7 и 5 и выбрать второй базисный элемент для 5 . Тем самым завершены вычисление круговых молекул, выбор допустимых координат и определение взаимного расположения базисных циклов, после чего вычисление изоэнергетических молекул превращается в несложную алгоритмическую процедуру. Из списка допустимых систем координат и взаимного расположения базисных циклов вычисляем все матрицы склеек изоэнергетических молекул. Результат приведен в таблице 9. По матрицам склеек вычисляем числовые метки. Сформулируем итоговый результат в виде теоремы.

Теорема 20 Полный список инвариантов Фоменко-Цишанга для случая
интегрируемости Ковалевской-Яхьи при g = 0 приведен в таблице 10. В зависимости значений гиростатического параметра и уровня энергии обнаруживается 10 неэквивалентых слоений Лиувилля.
137


Список таблиц
1. Круговые молекулы случая Стеклова 2. Круговые молекулы случая Клебша 3. Матрицы склейки изоэнергетических молекул в случае Клебша 4. Изоэнергетические молекулы случая Клебша 5. Круговые молекулы случая Соколова 6. Матрицы склейки изоэнергетических молекул в случае Соколова 7. Изоэнергетические молекулы случая Соколова 8. Круговые молекулы случая Ковалевской-Яхьи при g = 0 9. Матрицы склейки изоэнергетических молекул в случае КовалевскойЯхьи при g = 0 10. Изоэнергетические молекулы случая Ковалевской-Яхьи при g = 0

138


Список рисунков
1. Пример базы слоения Лиувилля 2. Основные 3-атомы: A, A , B , C
2

3. Различаемые случаи для параметрической кривой бифуркационной диаграммы системы Стеклова 4. Бифуркационные диаграммы случая Стеклова 5. Деформация кругового контура в окрестности точки возврата бифуркационной диаграммы 6. Представление 4-окрестности особенности в виде прямого произведения 2-атомов 7. Расположение однозначно определенных циклов бифуркаций на семействах торов в случае Стеклова 8. Зоны, соответствующие случаями притяжения и отталкивания в задаче Клебша 9. 7 Бифуркационные диаграммы случая Клебша 10. Расположение однозначно определенных циклов бифуркаций на семействах торов в случае Клебша 11. Изоэнергетические прямые с различным типом слоения в случае Клебша
139


4 12. Эквивалентность случаев Клебша и Эйлера на Mg

13. Бифуркационные диаграммы случая Соколова 14. Расположение однозначно определенных циклов бифуркаций на семействах торов в случае Соколова 15. Области различных бифуркационных диаграмм случая КовалевскойЯхьи в зависимости от g и 16. Бифуркационные диаграммы случая Ковалевской-Яхьи при g = 0 17. Условия существования решений yL и y
R

18. Деформация контура круговой молекулы вырожденной одномерной орбиты 19. Расположение однозначно определенных циклов бифуркаций на семействах торов в случае Ковалевской-Яхьи при g = 0

140


Литература
[1] Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия. Топология. Классификация. Изд-во УдГУ, 1999. [2] Болсинов А.В., Рихтер П., Фоменко А.Т. Метод круговых молекул и топология волчка Ковалевской. Матем. сборник, 2000, т. 191, N 2, с. 3-42. [3] Топалов П. Вычисление тонкого инварианта Фоменко-Цишанга для основных интегрируемых случаев движения твердого тела. Матем. сборник, 1996, т. 187, N 3, c. 143-160. [4] Euler L. Du mouvement de rotation des corps solides autour d'un axe variable. Memoires de l'academie des sciences de Berlin, 1765, v. 14, pp. 154-193 [5] Yehia H.M. New integrable cases in dynamics of rigid bodies. Mech. Res. Com., 1986, Vol. 13(3), pp. 169-172. [6] Яхья Х.М. Новые интегрируемые случаи задачи о движении гиростата. Вестник МГУ, сер. матем., механ., 1987, 4, с. 88-90 [7] Соколов В.В. Новый интегрируемый случай для уравнений Кирхгофа. Теоретическая и математическая физика, 2001, т. 129, N 1, c. 31-37 [8] Соколов В.В. Об одном классе квадратичных гамильтонианов на so(4) Доклады РАН, сер. матем., 2004, Том 394, N 5
141


[9] Wolf T., Emovskaya O.V. Classication of Integrable Quadratic Hamiltonians on e(3). Regular and Chaotic Dynamics, 2003, v. 8, N 2, pp. 1-7 [10] Борисов А.В., Мамаев И.С. Обобщение случая Горячева-Чаплыгина. Regular and Chaotic Dynamics, 2002, v. 7, N 1, pp. 1-10 [11] М. Оден Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем. Ижевск, Изд-во УдГУ, 1999. [12] Браилов Ю.А. Геометрия сдвигов инвариантов на полупростых алгебрах Ли Матем. сборник, 2003, т. 194, N 11, c. 3-16. [13] Соколов В.В., Цыганков А.В. Пары Лакса для деформированных волчков Ковалевской и Горячева-Чаплыгина. Теоретическая и математическая физика, 2002, т. 131, N 1, c. 118-125. [14] Фоменко А.Т., Цишанг Х. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Изв. АН СССР, сер. матем., 1990, т. 54, с. 546-575. [15] Болсинов А.В. Гладкая траекторная классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Матем. сборник, 1995, т. 186, N 1, с. 3-28. [16] Ошемков А.А. Описание изоэнергетических поверхностей интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Труды семинара по векторному и тензорному анализу, 1988, вып. 23, с. 122-132. [17] Ошемков А.А. Вычисление инварианта Фоменко для основных интегрируемых случаев динамики твердого тела. Труды семинара по векторному и тензорному анализу, 1993, вып. 25, часть 2, с. 23-110.
142


[18] Матвеев В.С. Интегрируемые гамильтоновы системы с двумя степенями свободы. Топологическое строение насыщенных окрестностей точек типа седло-седло и фокус-фокус Матем. сборник, 1996, т. 187, N 4, с. 29-58. [19] Харламов М.П. Топологический анализ интегрируемых задач в динамике твердого тела. Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1988. [20] Орел О.Е. Функция вращения для интегрируемых задач, сводящихся к уравнениям Абеля. Траекторная классификация систем ГорячеваЧаплыгина. Матем. сборник, 1995, т. 186, N 2, с. 105-128. [21] Харламов М.П., Рябов П.Е. Бифуркации первых интегралов в случае Ковалевской-Яхьи. Регулярная и хаотическая динамика, 1997, т.2, 2. [22] Orel O.E., Ryabov P.E. Bifurcation Sets in a Problem on Motion of a Rigid Body in Fluid and in the Generalization of This Problem Regular and Chaotic Dynamics, 1998, v. 3, N 1, pp. 82-91 [23] Ryabov P.E. Bifurcation Sets in an Integrable Problem on Motion of a Rigid Body in Fluid Regular and Chaotic Dynamics, 1999, v. 4, N 4, pp. 59-76 [24] Рябов П.Е. Бифуркации первых интегралов в случае Соколова. Теоретическая и математическая физика, 2003, т. 134, N 2, c. 207-226. [25] Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. М. Наука, 1978 [26] Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск, изд-во УдГУ, 1995

143


[27] Борисов А.В., Емельянов К.В. Неинтегрируемость и стохастичность в динамике твердого тела. Ижевск, Изд-во УдГУ, 1995 [28] Борисов А.В., Кирьянов А.И. Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа. Математические методы в механике. М., МГУ, 1990, с.13-18 [29] Clebsch A. Uber die Bewegung eines Korpers in einer Flussigkeit. Math. Ann., Leipzig, 1871, N3, S. 238-262. [30] Стеклов В.А. О движении твердого тела в жидкости. Харьков, 1893. [31] Nguyen Tien Zung. A note on degenerate corank-one singularities of integrable Hamiltonian systems. Commentarii Mathematici Helvetici, 2000, N 75 pp. 271-283. [32] Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью В томе 1 Собрания сочинений. Т. 1, 2. Москва, 1949. [33] Kowalevski S. Sur le probleme de la rotation l'un corps solide autour d'un point xe Acta Math. 1889, v. 12, p. 177-232; русский перевод: Ковалевская С.В. Задача о вращении твердого тела около неподвижной точки Ковалевская С.В. Научные работы. М.: Изд-во АН СССР, 1948, с. 153-220. [34] Kowalevski S. Sur une propriete du systeme d'equations dierentielles qui denit la rotation d'un corps solide d'un poimt xe Acta Math. 1889, v.14, p. 81-93. [35] Чаплыгин С.А. Новый случай вращения твердого тела, подпертого в одной точке. В томе 1 Собрания сочинений (тома 1, 2). ОГИЗ, М.-Л., 1948.
144


[36] Горячев Д.Н. О движении тела вокруг неподвижной точки в случае

A = B = 4C Матем. сборник, 1900, т. 21, N 3
[37] Сретенский Л.Н. О некоторых случаях движения тяжелого твердого тела с гироскопом. Вестник МГУ, 1963, N 3. [38] Korneev V.V., Morozov P.V. Calculation of Fomenko-Zieschang Invariants in the Integrable Sretenskiy Case. in A. V. Bolsinov, A.T.Fomenko, A.A.Oshemkov Topological Methods in the Theory of Integrable Systems Cottenham, Cambridge : Cambridge Scientic Publishers, 2006. [39] Морозов П.В. Лиувиллева классификация интегрируемых систем случая Клебша. Матем. сборник, 2002, т. 193, N 10, c. 113-138. [40] Морозов П.В. Топология слоений Лиувилля случаев интегрируемости Стеклова и Соколова уравнений Кирхгофа Матем. сборник, 2004, т. 195, N 3, c. 69-114. [41] Морозов П.В. Вычисление инвариантов Фоменко-Цишанга в случае Ковалевской-Яхьи. Maтем. сборник, в печати [42] Морозов П.В. Тонкая лиувиллева классификация интегрируемого случая Ковалевской-Яхьи. Вестник МГУ, сер. матем. и мех., в печати [43] Погосян Т.И., Харламов М.П. Бифуркационное множество и интегральные многообразия задачи о движении тела в линейном поле сил. ПММ, 1979, т.43, N 3, с. 419-428 [44] Погосян Т.И. Построение бифуркационных множеств в одной задачи динамики твердого тела. Мех. тверд. тела, вып. 12, Киев: Наукова думка, с. 9-16

145


[45] Погосян Т.И. Области возможности движения в задаче Клебша. Критический случай. Мех. тверд. тела, 1983, вып. 15, Киев: Наукова думка, с. 3-23 [46] Погосян Т.И. Критические интегральные поверхности задачи Клебша. Мех. тверд. тела, 1984, вып. 16, Киев: Наукова думка, с. 19-24

146