Äîêóìåíò âçÿò èç êýøà ïîèñêîâîé ìàøèíû. Àäðåñ îðèãèíàëüíîãî äîêóìåíòà : http://dfgm.math.msu.su/files/0diss/diss-korovina.pdf Äàòà èçìåíåíèÿ: Wed Sep 9 09:05:36 2009 Äàòà èíäåêñèðîâàíèÿ: Sat Apr 9 22:41:28 2016 Êîäèðîâêà: Ïîèñêîâûå ñëîâà: ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ð ï ð ï ð ï ð ï ð ï ð ï ð ï ð ï ð ï ð ï ð ï ð ï ð ï ð ï

`÷ `ù ù ý mø F hd `g æe ç ` e ¿ äf dg ô Te Cû ü dâ m æë ` äe hg äg 8à `ì e ó µ ¿ á òè ñð © ÿì x ö e d ä¿ éà è &e Cï î Cí m 3ë ` he äg äg 8à `ì e C & 5 °ë #ê d éf äè dà ö d µõ df ãô à å vf äö `e ` e d $ áà þ ¿ ¾ ~ $ xg fa c bY he g uy xW fw ve Ct $a ur dW Ct $a sr dq pi hg ue x½ #e « a dt ka b¼ ke R¼ vc ba g he uc xW ¸ vW Ft »y ° hi c hW xw 3 hW fe dc ba g fy °e Fi uy a »c b· fe dº Ca ht ¶ FW y fy ¹e b· e ´ fi v xi µ¸ di Xt e x· he °¶ t 5W µr i W ´ ¤¨ d² ± °¯ x® ± °¯ x® ¬¦ «¸ ¤ { © @ { ¨ ª { 2¦ © @¨ § 2¦ ¥ ¤¸ ¢ ¡ D p @ o z u ` ` u u| z u F u z } ~} u| {z y Ix w mU IP IS 8G lP T6 5q pP v hr uU B t s hr IU fq pU on mU lP k6 TS 8G kj G i hf g f ` e d § ` C & 8 t dW t x dg ¤a f he g y xW fw ve dt 8a ur dW dt 8a sr dq pi hg fe dc ba `Y XW VU TS RG IQ 8G IP !G I7 HG FE D9 CB 9 A @9 87 6 5% 4( 3% $¸ " ©( ¤¨ ¤ ¤) 2 1 ¤0 #) ) ©( '¨ &% $¸ #" ! ¤¸ ¡ ¤ ¤ ¥ ©¸ ¤¨ §¡ ¦¥ ¤¸ ¢¡


` ` u| z z | ÷ F ù



} u| u| ù Ñ

}

à ãô uå ¿ C ` ¿ ¨ ` ` ð uå à ä¿ mà ä à ¿ ` `e mf à à

¿ f ¿ f ¿ å ¿ ¿
¡

| | | |

z å ä¿ à R ð de Cô ö äà ©g C f æå f d ¾ `e 4å `e © he `g ¤e f hå `g e ¿ hå hg à `d ©e æ ¡ f ä¿ mà ¨ C z ±| u z u éþ äè à ` he `à z ` `e uå ¿ C f ` ¿ f f f h¿ `à e hå `g e ¢ f `e f d ` z vd ö de uô 3 î þ ¿ ä z k äè à hå } k } å ä¿ à H ð de ô sö äà ©g C f æå f hå `g e ¿ ä¿ `à © Ü xÇ Î xÌ G9 0F } } } C ¿ ¨ hå g ¿ ¨ C ¾ 2 `à ãå `g e `¿ ãå äg à `d e ð 3} 0 ô &ö ` e å ¿ C f F ¿ #f î þ ¿ u # ãå `g e u¿ ` ä `à ` e ð # î þ ¿ å ¿ C f F ¿ &f C X¿ hè `à hå g äf §g 0 Cô ö ¨ © de p f hå `g e u¿ ` ä à ` e ð ¤ e ¿ å ¿ C f F ¿ §f e `¿ ) ô `e ä Ð `f e `þ ¡ f | # hå `g e u¿ ` u f hd äg à ¾ `f hå hà ¤ ä à ä¿ äe Ð &f C X¿ äè à hå g hf æg Cô 3ö `f ãå `g e ¿ å ä¿ dà ô F `f hd " e f hå `g e ¿ ` h `à ` e ! e hd äg à ¾ f hå hà ¤ ä à h¿ ~e uÐ


à f u d e ¿ ~¿ äè à `f ` e f Ý ¿
¡ ¡

Rß ÷ } R u pí bÒ Rê u Rß `
)C B

` 3 f f ¡ d ¿ 8 å `e ` ãå `g ) ãô à å `f `e Q© `þ X hå `g e éà è v mö C ¿ g hf #g P C ¿ ¿ F äè `à ãå g äf æg ¨ C ¿ he `g #e Cf ãô và äö ée EB fØ `Í `Ì × xÛ ED ¡ f d V â ð ä¿ và ö g # C ãô 3g mf © oe

$ì Ñ Ð ãå `g ¿ ¾ éþ e ¿ F $è à Ï Ç hå g ¹ç æø

z ÿ} ±| × 54 pÆ
A



u u
54

pÆ
3

u¾ f å C e äd f h¿



Ñ÷ Ñ÷ ~} `| | `| | } }

ãå `g e ¿ h¿ `à © äe g #e ¨ hd äg ¾ hè `à hå g äf ¡ f h¿ ãô bÚ hÏ Î Ì `Í dÌ `Ë

à &g dà !× f Ѿ

©g p `þ uå ¿ f ð f F æ ¡ f ¡ d ¤ î þ `¿ C å `þ uå ä¾ hà &g C ¤¿ C ¾ C `¿ e ¿ æ¿ ¡ f sö à xÙ dÎ fÝ hå äd à Öå C Ñ &Ð u f C dà ©Ì g ° Ñö
Z

ãô d §¦ ä¿ à $e FØ d `

h¿ và sö à ` le e dx %$ u z u hå äg à `d e ð Ð e d¿ ~ö he là hå g hf §g f uå äd `à e î f I d sö xà ä¿ à e ` ãå `g le `Ç v× @B hÎ Î dÌ 8e py %$ u f d d sö xà f d d sö xà xÏ hÏ @9 !8 76 Í ô ` e äe 1¤ 5Ð å ô le ¡ f å hf C f l¿ (' ÷ ð %& ÷ ` Rï %$ ÷ f F ¿ C f l¿ f d sö xà 3g ¥© ä éà f l ¾ f h ¥¤ áà þ ~e Ð Ì xÇ Ï vÛ Í å e ¿ ãå `g


©Á ©É È Õà ÔÅ îÄ ÖÁ VÀ lÞ ú

Z

`e å hd à C ` 8å à f h¿ dà ` `e © C ©¿

Rê u Rê ` ±| Ì Ü ! Rß g
!

` | ` |

| |

|

u ` |

` | ` | ` | ` | ` | | Â CÆ Ó Ê

¸¢ ¸¢

÷ Rê z ÿ} Rß Rû `

å e C¿ ` ` ` d mf è ¿ C ` Ü d hÌ xÏ

î Ë Tå le Î éÌ

bÒ ù Rß ù

f ! u u ` ±| Ì 3Ü u ` ±| Í dÌ Ë




| | Ñù | Ñù | |
he

|

)

z z z z × pÆ
X T

} `| Fz F | Ñù ` `

uô hÏ ä¿

)8 B f× xÏ D 5d ¸¢ u z u h¿ 5g ¸¢ ÿ} u e u m u u ó| ` ±| u z `Ç h× `Ï g 7B

Ù `þ å å 0 ô h hÐ à k ` e `d e å e # u f hd äg à ¾ äf hÐ và äö he äà x¤ ¡ f h¿ à ¨ # f & ¡y ¿ C h ¤ xw f Ѿ ° ¡ f h¿ 0 ô $f v sô `à å äe ¤ ve ö h `à ` $å à d f ¿ s éà ©è © & ¡y ¿ C xw ©f hÏ Ï a Ü xÌ FÎ sb fe bÚ dÎ dË B Ü r6 ¸e ¤Ï )q hÝ dØ )B pC hÛ Î éÙ FÍ )B iC )B `Ë X× lÏ fg xÌ ID Ì lÙ g °Ì 6 Ü Ï Ü Ia Ì hÇ xÎ Ï fe 06 éË Í Ý `Ç v× @B Î hÇ Î hÌ Ø dÛ hË dÏ xË d8 cb Ú xÛ Î Ü B Ì Û Ü C Ñö Ñ §Ð ô `f h ¤ xÚ Î xÇ 8 Æ W xÛ
!V E6 ¡

@B )D B `Y

`÷ `ù F F } `÷ ÷

à `g

Ü ¡6 Ç Û áà þ `¿ äè à äe `à ¡ d ¿ 8 à ¨ C w ¡ f C ä Cà `Ç D× 5Ú Ç Ú µÛ Ø × @W f ¨ éà Ñ df ~ å md æ¿ Ð f 3e äd à
¨

p `f ãå `g e ¿ h¿ `à © äe g #e e äd hg à ¾ f ¿ e ¿ f `f hå g e `¿ å h¿ dà ô F `f äd " e ¿ ` e å äd à C ` 3å ¡ f f ` e å ¿ C f F ¿ 8f à f h¿ và sö à ` le µß p å ä¿ à H ð de ô sö äà ©g C f ¦å hå `g e ¿ ä¿ `à å ¿ f F ¿ !f Q þ ¿ ` e å äd à ` §å Q þ d¿ ô e 3 ¤f f hå `g e ¿ å ä¿ Cà ô F `f äd S e ¿

äd f ¨ h `à © he ` `e uå

Ñ Ð ä ô C

Ü Ì hÇ hÏ DØ sô `à å ¾ `¿ e 4å P C `¿ ` e ©ì F hå g # ¡ f d ¿ `à de Iô RÒ %$ ` v ut f u¾ 'Í × @V Ï )a xÌ EV Ï hÇ df hà pê %& pß %$ k äè à ` h¿ à e äd f `¿ e ¿ ä `à uå f
!g 06 Ë 8 u× xÌ 8 × ô ~ è f 8 à & à f hg à ¾ æå f

@D xØ Ø 5U bÆ äe pí 8 u

î bÒ bï z Iô bÒ Ì CØ fÏ u hà Ry l Ry


} äe hà `
S p(4, R)

ì



Cf ô

f {Ò ö ¤ è C `d þ @¾ ¿ hÌ xÏ

Î
¤

2

¤ e `¿ ) ãô à å ~ g u d f ¿ F ` ~e Ð C ` © he à u f äd hg à ¾ f å äd dà ô é è äf g à ä ¤ f äd hg à ¾ `f uå äd dà uô é è äf g u ä i¤ äö e 2 ¡ ä dà sô `à © ¦ ãå `à f C ö ¿ f e `¿ {e e `¿ ) ãô à å F ` de sö dà à ¡i ¡ ¿ C u ~ äe äg `à hå g ¿ ` hå g e ¤ `è e `¿ ) ãô à å ~ g u ád C ¿ à f ` hå g 1 và áö e ä¿ dà sô và sö à ` Ve ° ` e `¿ he äg g ` u d `¾ `e å Ii © äe g Õe Ii Ö¿ y `f v äö e ä à ¿ üà å s ¤ ¿ C äe ¤ `e h dà Ñô ¿ å `f ¡© ` e e `¿ uå äd à e $d à f h¿ dà ãô dà sö à §e `è `e ãå e d l `þ å f © ` He i ãå `g e ¿ h éà ~è Ð f `þ uå `f © ` e f d ¾ `e 3å ` `e Q© `þ # å ¹e å äf g `f Ñ Ð à 1¿ þ f å k «è e hå ¡¤ ¿ C ! `e uå f¾ å Ñ Ð e ` `e uå äd `à ¦ å C ¿ df `ö `e e d uÐ #f e ¿ ä¿ dà ô hå `g he vg q g hå à F á äþ Ð C ¿ hz 0 w )& G ~ q{ ~ ) ¨ $ v C # P~ & 2~ | ~ q g hå à F á äþ Ð C §¿ &à ¡y d å d `¾ e æå ãÐ à ä ¡ `f hå g 2 và 4ö F e `¿ äe hg g F u æ å `f ¡© ` «e ¨ Ii ` ãå `g ãå `à ` å e îe fÒ l éþ è äf g `f Ñ #Ð e ¿ 1 à þ ` e å äd à df sô äg 3à C P~ #& 1~ | ~ q `g hå à F á ~þ Ð ¿ d `¾ he í pÆ (A dÆ Ó Æ s dà ô e î þ ¿ ` `e uå äd `à f ` e å äd à ` å î þ `¿ ) ô C ä 2¤ `à å ¿ f 0 ô ve ö éf è s ¤ `f d ö g `à e ¿ h¿ và ©ö #y e d u d `à ée äè à 0 ãô và ö à ` ©e þ ä ¤ à `f ` ãå g 1 dà Hö `e ` e ¿ äe äg g F q g hå äà éà è f f äf Ð C ` o lw u{ $ G ~ q
M x
4

©

e ¹ `e äe xÏ Î å he

w

pÆ `d `à Ce `à de
0

`e å hå à ° Ñö `f $f pw $f hþ ä¿
w


¤

`f v lö `à e `g e ¿ hå hg vþ ©ö Py u éþ hè `à ãå

äd äg à à `d 8d g äf g

¾ vf äö »e de e ¿ ä¿ éà à f

`g Ôå e f ô k è f h¿ và

i F á h à ð è 8ë sö `à

~þ Ð C ¿ e `¿ ` de sô 0 ô uô p 0 ô uô `f e ãå
M
4

}{ )y 0w 2 y i~ }v m|

@{ ¨z 2' y dv v Pw ' 0x iw "v q

þ `g à `g ãå

F

@{ ¨z 2' y dv v Pw ' 0x iw v Cf uô #f C ¡ dv v Pw ' 0x w à f ä¿ &à y áf e `¿ ) ô `f f å C `e å äe ¤ e d på f hå h¿ 8à ì ` ée `è he $à 8ì ì df ö de sô g e d Hå Q he ¤ e ¿ 0 Ñô h 1¤ à `f ãå `g e `¿ ãå äg à `d e l à hå `g e ¿ ` h `à ` e H î þ ¿ hå hg éà `è ` äe g `þ å h¿ 1

à `¿ e é è e d áà þ ä¿ Ð h Xg
0

` F á à à f ö
S¦

CÆ `f `¿ `f

d ¿ xÏ Î
2

à

u C ä 1¤ à ¿
Ii

å ¾ p éè uô `f å hd g

e kf `è e `f dà uô

f ée è ` 8e ì d f f $f ow e 2 k é è hf g `è e ¿ ä
H sgrad F F

e äd f d u¿ äè à f éà uè ã à Q

hg à ¾ l 'ì h 1¤ á `þ

è F de hè ä¿ Ð `e ô m¤ e

n

d Tö 2i `g © `f q `g å ¡i 0 ô å Ii f å f )i ô `è e äd äg à ¾ è v Hö
`

hÒ

lk j¦

þ ` `e `à µ éf `f uå é è äf Xg e å ãå à C Ѿ C `à uå ¿ à C¿ ô e ` hå à ¾ e dd ö v hå g hf g

å hd äd dà uô µ¾ f è äè à

` ée 'e k `è ` e

sô ¦g à Tå äè à ` `¿ `e

äf I¤ v sö à ` Te t v ô hå g hå e äd à ¤¿ C éf è s ¤
F

éf è sô và g hf å e Ñå ) uô

á Ð à u© g éf g `¿ hg »ß e Ii Ñ f h
F

g f äþ f ã r áè äe å ¿ hå g äè

`f Tå t Ñ Ð à f ä¿ ¡ f ä¿ ` e C ¿ Ð h ê éþ è hf éþ è hf g F 5 4f he ¤ l ß ¿ ¿ v ö à
v

(3 CÆ Ó Æ s hÌ e å e $ à ` `e Iô üÒ ` e Då sô {g # de sô g ô ô `f $f w f f ¡ Ó CÆ Ó Æ ts hÌ ~ hÐ à ¿ e ¿ ~ hÐ à l¿ e `¿ ) f d © e äd «g ) sô `à å f d¿ ô f kÐ l vþ äö `e © `e h à å ¿ f è 1¤
H

ô e `¿ e ` ~f »g f `

fÌ FØ Ì Í à `f e é¿ §è C w #{ fÌ FØ Ì Í `è ve &ö ¨y `è e ¿ h éà e `¿ uå d C k hè à ` äe 8 §ì fÌ FØ Ì Í ¿ df ô C ¿ e f 0 ãô `à uå äf de §ö f ¨ Ð ` © `e he éf è ¡ h¿ å ée hè äg g
4

¨h d Pd gf d e d h ¨ ! # I ¥

0

sgrad F (x)

sgrad H sgrad F

M

(M 4 , )

x

xM

R

2

4

sgrad H (x), sgrad F (x)

sgrad H

v = sgrad H

R

2

Tx M

O (x)

4

ö

äe g

x

sgrad H (x)

O = O (x)

O

~e Ð C ` © è p ¡ `f hå và ée hè äg h hå à ° C e ¦¿ #y ` å k ¡¤
¡ 0

¿ F ` Iô he í f ` å 8 g e # l f à P &

g ö æe $è ~ö `e

he à ` 8e g 2 ê ` ç ¿ C ~ e

ÌÜ

D4

hå g 2 và ö 8
$ G ~ D4

ÌÜ

&d C ¿ v ö `è e d í e
D4

è é hà `¿ ` ÌÜ

d ¿ `g e ¿ ée `è ¤ e à ä à h ê

C ¿ l ì å e e é¿ è hå g


z e Ö¿
#y
x L = {x}

¡y

¤

`f #å î `þ © äe g î þ `¿ ) ô ¿ ä¿ và
Ii

he ¤ e v¿ ¹e î ãå `g &ö #y e

äö ue þ ¦¿ ¢e ã á `þ

f `f äà g ä à

`¿ !e `e få v äö e h à @ îe Ôâ ¿ f

áà þ ¿ h¿ và ©ö #y e á æ¿ e `d 0 ô e äd äg à æ¿ à & y h và äö äe Hg p
¨

þ ä à å © C ¾ C ô uô
0

u¿ f `¿ dy ä và sô g `è `f $f
©

Öe hà `g « df ãô äö he æg ãå &à #y ée e hd äg à ¾ f å f ä¿ `à
w ¡

hg ¤à `e uå f¾ å Ñ Ð è p d ` `e äe df ô ãô c üâ de sô g de ¤
L L

à

`è ö

df `þ



e å ¾ ãô g hà îà â

`e p q `g ¿ C ` hà à v¿

hå `g ãå à & © äe sö Ð e

) sô `à å ~ Ð ¨ © `e äe pg ¨ Ð C i hå à u¾

`d ve #ö ÷ `g e C¿ ãô «g `è

`à `à å `e ô e e äd

e C¿ ô ¨© C æ îô hg à ¾

le ß 8 &à ëy `þ !© ¨ ÷ f å df ô

à C ¾ C `e &å 3 `è e C ¿ d
C


sô og hè à $f à C ¾ C `¿ he äg g C Cf Iô F `è e
#

e ãô @g 0t ¤ ¿ k hè

«f C ¿ `è e vd ö v ô de ô C ¿ ¤ äg g i $ê

ä à @ ¤ 3 Q þ C ¿ ~ Ð

¨ `ù k äè à f d `¾ e ¿ ä éà `è `d ve

` äe §å he ¤ Vö áà

`d e f à © d `¾ `e sô g `è q `g ãå äà å P u dd `e © äe g ¤e e é¿ lè hà æà `þ h à `
°

d¿ ~ö be `e 2å © äe g e ãô à éà à C ¾ C è äd hg à ¾ C ô e `þ © z
å ±

e d C îe pâ Ii d df è $f ö v ô s¤ e h¿ à ¾ l v îô

sô ée `f æ ó|

è f g è vf uå îô 8ù
å

æe ç u ¦¿ ¡y `f å ée hè äg e vd Ñö v `f ò ð e ô sô !© Fz k hè à `

p äd à ¨ u¾ v äö e g h ê ô H¤ ð á u¾ äè äe hà í

@¨ 0z 0 2 ly ¸{ )y ¬ )y ®

P¨ ¨x P' ê

w { I 0w d¿ 0¢ d x ã

w I{ dw ¢ )$ }v ¬ à

G | Q )ª 1v )' é y I$ d¥ ix ¬v | °

{ ~ P è² '

0w 0w d¿ 0¢ d x ã y 0z 0 P$ P¨ d$ 7¢ õ | dx #¢ ~ ã 2à | dx #¢ ~ ã ± ô ä ± ö ± ½ ±

0$ 0® hw u d$ ¢ #¥ ~ p u $ #& 2~ P| H~ ¯ å ± #á ±

~ v 1y ¬| #à ~ v 1y | 0$ 0® hw d$ I¢ ¥ ~ ¶ # ¦$ #& 1~ | H~ ¯

þ 0 )y H¿ à i~ v 2 2y g| 0$ 0® hw d$ I¢ #¥ ~ p u $ #& 2~ P| H~ ¯

)w v w

d$ I¢ ¥ ~ s u $ #& 2~ P| r~ # d$ ¢ 1| y 0¥ hw 0 0® iw dv v ¾² ¯

x { )~ # ~ §¢ 0z 2 Py y )' )w x® hµ º z & I¨ hw P x² ' ~ ¥
M
4

)y dw ¨¢ h$

0w Pw ¨ $ q #& P~ ¦~ )~ p{ 0$ § $ ) $ § ¦~ ~ 2' y v 0x

æ q `g ãå à 0 ô p ` 1© hà )¤ ô ° äö e ãå " à u¾ ãô g `è e d å î p f q `g ãå à 0 ô § ` e `e å hd `à éf è # hå Cf ãô äg mà C )~ 0 Py u i~ Pz 1' )y q `g ãå à F á ~þ Ð C H¿ d ¾ `e å 0 ¨

sp(4, R) sgrad H sgrad F sgrad H

`z C u F C u µ ¨ vd e ` 1© hà hå `g e ¿ hå g g C ¾ éf C ¦¿ ¡y `f v

`ù C ö v ô )¤ ô ° o¾ kâ áè þ ¿ äö e h

÷ ¥ Æ R¤ ð äö e # 1 à ¿ df à ¿ ¦ ¨ F
C


f 2 dà ô e î þ ¿ ` e å äd à éf è # hå g ¾ éf áè þ ¿ 1 à ¿ df {ô q `g ãå à ° &ö #y e ` e f e ` 1© hà )¤ ô ° äö e e ¿ `f å å éè `è e «d q g hå à 0 ô þ h i¤ äö e « `e ãå $f "w C ` 2© äà )¤ ô hë

Æ ps lÛ v ô e v ö e `¿ ) ô k e 1© äà C 1© äà Î fÌ FØ Ì $f w þ F hå g ¿

sgrad F

sp(4, R)

Tx M

4

sp(4, R)

x

p

1

p

2

q

1

q

2

°

±

°

°

d x ~ ¹{ )~ 0 2 ly ¸{ )y ¦ ' )~ §~ uv $ · 1 y 0 0 ¶w pw 0$ 0w # ~ d )µ v lw u{ ¦$ ´ #¨ h$ 0$ 0 w ) G ~ ~ ¢ ° t¯ hz 0$ 0 w ) G ~ ~ g¢ )y dw 2¢ 2| ¡y 0¥ hw d ¢ y v ® I{ 2w | )y dw ¢ )$ ¬v « dw ¢ #¥ ~ ¤ P # P~ & 2~ | ¤~ # )~ 0 2 Py u i~ Pz 1' )y ¸ Q dª Px ' 2 2| y d© 2x | ¡ hw | )~ h 2 1| )y 1 ¢ ~

2 2 2 2 H = H (p2 + q1 , p2 + q2 ) F = F (p2 + q1 , p2 + q2 ) 1 2 1 2

°

H = H (p1 q1 , p2 q2 ) F = F (p1 q1 , p2 q2 )

°

2 2 H = H (p1 q1 , p2 + q2 ) F = F (p1 q1 , p2 + q2 ) 2 2

°

#á ±

þ 0 )y H¿ )à þ 0 2 )y »¿ 0$ 0® hw d$ I¢ #¥ ~ °

¼ ' ¨~ 0 Pw ´' I¨ hw Q© dª x 2 iy ¬v »| ¡¨ w

dÆ Ó s
¨¤

g

B

ß

Ì

hÛ dÎ hÒ e `¿
©

ô

B F× C× xÛ lk `e f å ¨ C ¿ h¿ he lg ¢ bÆ

hÏ å v¾ å C và &ö
T

Ø U s (X p q g hå à éè `è e æd ¿ uå 8 y e ` e CÆ Ó Æ s hÌ

«

Dy



xÏ

ÌÜ à l è äf g 0¤ ô ° 0¤ ô ° Í Ì Ü

d k è äö e äö e
D4

` 1© hà )¤ ô ` hå g e

C



H = H (p1 q1 + p2 q2 , p1 q2 - p2 q1 ) F = F (p1 q1 + p2 q2 , p1 q2 - p2 q1 )

dim L > 0

e Ii

`

¾ `e å ãô g h à ¿

HF

Y


h hg

å

` ãå äg &à #y `¾ e ©å u áà e hå `g @e hå è e å e ¿ à ¿ ¿ he &g hà éà äd à C à e `

C 1© à ' u f $ ì C h ¤ f r i 0 ô `d e é¿ è $f 5w e `¿ ãå äg à © `e äe ¤ e Tå
t

äe ¤ e ` `e à f ¡i éf è ¿ ì f f d ¿ ¨ v ô k è `à e äd hg à
K

å e hd à ¡ ¿ vf f ¡ï h ä é¤ l ì q `g ¾ f å äd

8¿ Ð ¦f ö `à äe ¤g `à F põ f sÞ de `¿ ` e ãå à F f dà ô é è

å á ` ãô »g äf g

`f e hå `g he g l éþ äè à hå `e å hd à C Q `þ © äe äe ¤ `e © äe å k äè hg g C `à e ¿

g hf Vå `g »e `g 5e h éà

`e Dg f d Ð $f å `f ¿ vf äö he ¤ e ` f hè è v ö

e æ¿ µç p `þ © äe g æe de ãô 8g å ¹f à C ¾ þ ¿ hå à ä `e å e hd à ¿
H

÷ éf è ¡ f ` e å äd &à ry f `¿ e ì¦ `e Tå dt hè C ãô og `è `e ãå ì ¿ e é `è e md e g ` æe ç 1 à g hå hà éà 8è
q
H

à ` 4å éf áè áà þ ¦¿ ¡y `f v à `¿ ` e u ¤ è C ¹¿ ~¿ Ð ¨ ä mg e f d ¿ l ì `¿ )
ú
U

`þ © äö e f äd à f `¿ g ô C f

`g 3e q `g å ¡i 0 à X¿ q `g Ôå i 0 à ¾ f å f &d h¿ `à de ãô g `e h dà d C é `è e d à f ` å k äè Cà
¡
U

å

ô ô q g ô uô `f ãå `g ~f Ð C ô © e

2 i~ ¬v | ¦~ P~ #& 1~ | ~

¦~ )~ h d ¢ 0$ ® { ~ ÷¢ Pw ¡¨ )w v ¨& ù'

z # ¨~ #& ¨~ 1' |

dª 0µ 2 )y ® y 2 ì| # )~ ~ ý| øç û ü I 0w ¿ d$ 0¢ w ã 2w 2| | )$ v ì¢ u 0$ ) G ~ d 2¢ y $ xâ

l

i¢ ° à uf äe ¤ ée äe `g e q @¿ @ u å mà ¡ ) äö

~f Ð ` © ãå à d f è d ¡i 0 ô ¾ ` ãå &g e à ä à I g å `e å d `e h

`e he ¤ e é¿ ä¿ Ð `e ¤ `f 8å dà ãô ì ` uå uå `f hå éà è å `¿ © e v äö µ 1 `à ãå `g
P

©è C ¾ dà «ö ä¿ à e e e ¿

0 y 1v ¨$ )' ¨w ' ¢ ²

# )~ ) G ~ d 2¢ y $ þ



d äg å à e u e áe ö

8f ì à F ` ¿ `¾

hf äg `d e äe hg e å

g v ô d î þ ¿ à ä à å ¿ æf `g `d 8e
¦

C `¿ ) ä éà uè s å d ~ö òì ãð `g

ô à u `d
¨

`d Ce á `þ h© g 8e ì uô

#w i~ ð® ¦~ ~ I{ ë® hw I #¥ )~ ÿ® 0$ 0® hw

å d f bà uô
lk



äf

`à hg ` `à `g ¿ ` `e
¡y

áà °

`þ hô
©

© #y

p f F å äf §g Öf #y Fe ~ e ¦ e `d ) ô e äd hg à D¿ è f hå éà è 5å f f d 8f ì äf hg g v uô Xd e ¿ ` `e uå äd à C !å `à hå g hd `à å `¿ e d hè à © æe hà dà ô `e ´© » q `g hå à & 2ï ` ó| } ` ¹| hè à ` he `à 8å &à ¡y d å d P á äè dg p f ä¿ và ö `à ~ uÐ `f e C !¿ e é¿ p f ä¿ và ö `à ~ uÐ `f e ¹ äe ¤ ée è d C ô e ! C `f !å e `d ) ô e 'å à ¿ éf è # hå g e ¿ ä¿ à © `f å f hå `g e ¿ ä¿ `à © äe `g e äà `g ¤ à C ¾ C sô g `è ée äè à 0 uô ä mà 2 g ä à ¿ `è e ¿ ä¿ và &ö #y e á `þ h à e d v¿ äö ue ` &| à v ô h¤ C ¿ ä g f ` e hå và ~ö x© ` å h¿ à H ð de Cô sö hà &g C `f 4å f hå `g e ¿ ä¿ `à © he `g ¦e éþ hè `à ãå g äf g e `e å f f ` e å äd à C ` ¤å ý éþ hè `à ãå g äf g `e ä à @ f f ` e å äd à ` ¹å äe 1¤ k äè Ð 8f ì ` ée `è he éà `è äe ó¤ ¡ f ¿ F `e ` ãå äg à ã og ve ö i ãå `g e ¿ `¾ e Hå 3g ÿà 'å C hw 2 | )~ h # ~ 2¢ 2| ¡y 0¥ w i~ qv )~ #® ~ ÿ ve «ö i ãå `g e ¿ `¾ e Iå g u # ãå `g e `¿ ãå äg à `d e f d å ¤ xÒ k h¡ f q g hå à 0 ô i ) ãô là òñ p å ä¿ à H ð de ô sö äà g `f å ä à de ãô g î `þ © he `g e u # ãå `g e `¿ ãå f `e å hd à C ` ¤å u ©f à f ä¿ dà sö `à ` e §f vþ äö `e © `e h g éf è ¡ ä¿ à h `à ãå ¤g ` è d ö g xÒ lk S ã ¨ ÷ C á hè mg à f h¿ dà ãô dà sö à $e f `e de Cô sö hà g p e hd äg à ¾ `f å Cf ô ãô I põ 1 à hå `g e ¿ ä¿ `à © äe `g Öe u f ï 1 `à ãå `g e § I 0w 2 Py 2 ¨y ¨' ¡¨ hw P| )~ 0 Py & 2~ | ~ u dà ãô ág éþ hè g `è e ¿ ) ô `d de Ñô C ô e ¦ S¦ C ¿ å ä¿ dà ô F `f hd `e h dà ô uô f u ¡ f ä¿ à de ãô ¦g `f de ãô g äà `g $ ° ö ¤ e d à C ¾ C sô mg hå `g e ¿ ä¿ `à © äe `g ¦e ¨ C ¿ h¿ và &ö y e á `þ ä à '¿ ¨ e ¿ ~ Ð `d e 2 | ` he ¤ `e îå éà è e l y á áè þ ä¿ à C¿ ô e á `þ q `g ãå à F á äþ Ð `d áe à `f ` Ce ãô `g l e ä éà è f u î þ `¿ ) ô ä à î þ ¿ hå äg à ~ Ð f ã hà `g « 0 Cô pö p h éà è f 8 é µ 1 `à ãå `g e ¿ h¿ `à © f `d e mf pï ãå à 0 sô và sö à ` 3e à f ä¿ à ¾ f ¿ C h ¤ 'e `à e d f fí u ` V| µ f &à ¡y f !¿ e ¿ ° ¤ö he º¤ î C hw 2 | l~ }{ iy v 2® y © | $ H )y à `f ` de sô `g îø à `f ` de sô `g V `à e ¿ ) ãô à å f d¿ ô e ` ve Ôö e d¿ ~ö s ) 0 ô ô `f $f xw f ä¿ `à Ce ãô g ä `à de sô §g î `þ © he `g oe `f ãå `g e ¿ hå äg à `d üe áà Cþ ô k 4è q `g Ôå i F f ` å k hè äg g C ° ö ¤ e d ¦ Ii `¿ ) ô `d Ce ô ô e Ö kf ) dþ ô k è q g å i ` f ` å k äè äg g C ° ö ¤ e d ¦ Ii ¿ ) ô `d de ô põ f f ¨ F uå äf g `à v u # ãå `g e ¿ hå äg à `d e u f @f ¡ `f ` ãå g 1 dà !ö F ` e `¿ äe hg g F å `f © ` «e î `þ © äe g @e f p f à æ¿ h p # de sô #g äe ¤ `e © äe g $e he ¤ e ¿ h¿ và ©ö #y e á þ ä à ¿ ì¦ äe 2¤ äà `g ¦ à `f 3å 'e &à ¡y d æå uå f `

df dô l þ `¿ k äè à 0 uô ä mà hå § hè `à ãå g he `g 'e äg g v hå dà Ñö © à mà 2 uà xÒ ©ø `e å hd äd à `¾ `e å î å C ¾ df d ¾ `e «å î `þ d `¾ `e 4å e `e ` he "¤ e ¦¿

é `è e æd 2 g ä à ¿ ¦g î éþ äè à d Q þ ¿ ä¿ ä¿ dà sô và sö à ¥C !¿ è ¦f í î þ ¿ © `g 4e `f ãå Ð e ¿ e © e äe à f &å `è `e
© 3e he äe `g `g $e ée è

ô F © f hå 4e #y de h¿ &à e ä¿ à d ` ¦e ãå le

H

K

(M 2 , )

U \K

he



g g e

»¿ v ö `è R ð e 5 äà hå äg

| xÒ lk æ ée è ~ de Cô ö äà ¦¿ ¨y F Cà ô îe û à `d

ô ô e ãå à ¾ 8 C `f å
w

`f $f )i $ô e å ¾ h 1¤ à å ¿ f `à hå hg uà f e ¿ ¾ `e å ô 8 # å e hå `d e hå `à ãå äg à ` k e ) ô `e å äg à hg e `d fß
P


f C ¾ C ãô 4g f Tå 0t á `è de ô C f h¿ `à å e « áè þ `¿ ) ô `e ä Ð `f e ü g & ¡y ¿ C h ¤ w C ¾ C sô 'g Tf ) f f éf áè þ ¿ v ô ¤ éf è mf i ° Ñö C ` ` he g ` è v ö g ¦ C ä Cà uô v t C ¾ C sô Dg õ v sô `à Õå äe ¤ ve f C ¾ C ãô !g áà éþ hè `à f ä 1¤ à å ¿ f q `g å ¨i F f å k äè hg g C ¤ 3z `à v ô m¤ kâ hà à `¿ © e v äö e q ég ¨ } h éà è f C b¿ á îè Ò
i å

ä à ö ä `à è `f C u

¿ 'f å ` e ¿ ` v

éf è f hå `g Ñù R|

å h¿ éà d éf è e ¨ u d u


`è ée è C ¿ vf ö 8 u ¦Þ | }

0w w i ¬ )y ´² I¨ I ¨ ' i~ 1 ìx @¨ 0z 0 2 iy ¬v ¨y iy #® "~ 0$ P' ~ #¢ ~ # )~ ÷® I¨ dw 2¢ 1| y 0¥ Pw ¦¨ Py # 1~ ¦y ì )w v w )$ ¬v y

¦~ ¨~ 0 ¬ y ' p dw 0¢ lw u{ 0$ 0 Pw ì ¨¥ P$ ¨ P$ é¨ @¨ 0z h 2 iy 1 0¢ # ~ s¢ @¨ )z G ~ # ~ 2¢ )y § hµ | )~ h 0 2 iy uv ¨$ ' ¨$ ' ¢ r² u 0$ ) G ~ d 2¢ y $ xâ

C h¿ à ï à l vþ äö `e © `e h
r

P ` P e d ä¿ éà `è e ï î ÿí m 3ë f áè `þ e ¿ äf Cg ô îe û ü â ë hå `g e d¿ ô e à C ¾ C ãô g `è e vd ö v ô ¤ f á è e hd äg à ¾ äf ¤ de ô e ` `e å f C Ѿ ° ö ~ Ð Tå t
å ° hw P| )~ 0 ¨ H y ' )~ ® øç û ¹ü I 0w ¿ d$ 0¢ w ã 2w 2| | )$ v ¢ u 0$ ) G ~ d 2¢ y $ xâ ¢

)y dw 2¢ 2| ¡y 0¥ hw y ) ¬ )y P ² ¨~ ¡¨ 5w y 0z ) ¬ ly j{ à ä I¨ w 0$ » @¨ 0z 0 ¡y 0¥ 0w ¨ $ · P ~

u Ð e e f
æ w

f he î äè è d q à à å
0

f 1¤ à éþ f g hå ` `e &ë p

d ì ¢f h¿ à ¨ ` h¾ ` f ¿ ` ` ~e Ð à f å 0 Cô ö ` d å e Ii ¿ ö d éf è C ¿ df m¦ de g ¿ 0 Ñô h 1¤ à hè à ` he `à å `à ` à sô
å

¿ l i C F #í ãô và `à ô uô `f

g 1 à ä¿ à h `à hå g v sô g f Ô¾ äe 1¤ mà ï ) ô e ð© u¾ ãô ág C ¿ q `g hå à & © e © ke à f É ÷ ` de e äd à f `¿ á `þ F ` å
¡ f å Fe µ ¡ k hè äg g ée `è © ` »e `è e $f òw k

d f ¤¾ ` à m ¡ h¿ à ¨ 2 à oô ~ 5ö `¿ ) sô Õ ve &ö ¨y 1ö f

ãô g © äe f ¿ df e `è hå à v

à ãô và ö à he ¿ 2 à ¿ df ¡ f d Ð mf i `à ve sö dà sô lg C ¿ vþ d $f ì äf

f h¿ dà ¤ e ` § è å F {d f ¨ u

5 ·¢ ð¦ ô ð e `¿ ¿ l §ì ä¾ `à p f äö `e © `e äg g v

s 0 C © e v 8ö f `d hå g å ¤e ã 0 q g å ¡i ä g 1 à uô d e

` `e «å he ¤ e e ¢ ¡ f h¿ 0 fô h¿ à ä ¿ ` e

C ¿ ` e å å à ¨ C è d à hå g å äd à

ä¿ dà ` ©| uô d $¿ C ä `è { f v

©ö `à f ve g Ce f ö Ѿ

y h v ô e § î g Dö i e è ~ ãô f e

à 5¾ ¨ ` ~ hå C © f äö g v¿ $f éà è và ö

hf g

ée g ` f ° Ñö

f

hg g C »¤ © þ ä¿ ãå `g vf äö Fe ¾¦ å äd à ` Ñ pÐ C

~¾ e v¿ 'ö ¡ f §© ` e áå g §¦ à ü¿ á ãô g f ¾ ) 0 ô å `à å

`e å ¿ ° ~f Ð F ¿ `¾ © he è de ` #å hf g H¿ hå

ö `f h h¿ à `e Q© þ äè à è ~e Ð è uô `f e ¿ h¿ e 1 hg

' i~ G ~ p @¨ 0z ) ¡ v x 2 iy g I¨ 2 | )~ h 1| iy 1 #¢ ~ È' vç û "ü I 0w ¿ d$ 0¢ w ã 2w 2| | )$ v ¶¢ u 0$ ) G ~ d 2¢ y $ xâ
(U, K )

p f hå `g e `¿ å h¿ dà ô F f äd S e ¿ ` e å äd à ` æå e hd äg à ¾ äf ¤ de ô e ` `e 8å äg g v uô ¦d hå à ãô và ö à ` e
#Õ ÃÔ #Ä ÃÔ Ä ¡Å #Ä Ö !Á À



q

þ C ¤ ¡ hf ¤ de ô e ` `e Öå e å d¾ e h¿ g x ¡ f ¿ ä g f ` 'e he ¤ `e ãå ¹ 5Ð fl éþ hè `à ãå g äf !g éf è ¡ f ` e å äd à ` ¤å éf áè þ ¿ 0 Ñô h 2¤ à hg à f r i 0 ô ð s ±| ` ó| u &ù g f o¦ `f hå g e Ö¿ y `d pe C ¿ î þ ¿ h¿ `à de sô äg g C e ¿ ) ô C `f f ` å p 2 dà ô e d v ãô g f ¾

U K


ã ) u¾ ãô 3g f © æe ¿ ` © ~e Ð C R ¨ ` Pß d h éà `è 1 `g e Ï ¨ k hè à F á ~þ Ð C ¿ d å ø ãå `g e ¿ h¿ `à © äe g e ¨ ¡ï 1 à hå `g e « C ¿ C ` © ~e Ð C 8 `z »¦ ¨ ` á `z á îè Ò é z # P~ & ¨~ 1' o| dª 0µ 2 )y 2® y |
# )~ # ~ n| }{ y 2 )| w s| @¨ lz }{ y )x )w · 2 y 0 0 Ìw I 0w ¨¿ d$ 0¢ w ã w 1| | i$ v s¢ # 0$ d )µ uv d$ #¢ i~ v ix Gv )~ È® u d$ 2¢ 2| ¡y 0¥ hw d ¢ y v ® I{ `w ç



l þ ¿ å ä¿ dà ô F `f hd e ¿ ` `e å hd à C ¤å de Cô ö äà òg ð de Cô ö äà ¤g `f å äd à `¾ e «å î `þ © he `g @e î þ ¿ h¿ và ©ö #y e á þ ä à ¿ `f `e ä g u # ãå `g e ¿ hå äg à `d ¹e `à v 'ö áà `þ þ© )i ¹ô `e å k¾ á è f u¾ ô e ¿ k `è å l RÎ ð C ¿ k `è © e b "k éà äè à äe `à Då e hd äg à ¾ äf äg g v uô @d d ö dà ô Í xÒ
lk x å i~ 2v 1y ¬| #à i~ 2v 1y | 0$ 0® hw dw I¢ #¥ ~ Ì P~ #& 1~ | Ì~ # )~ 0 0 2 Py è u i~ ¨z 2' )y s hw 2 | )~ h 2 2| iy 1 #¢ §~ ¸' vç û pü I 0w ¿ d$ 0¢ w ã 2w 2| | )$ v Ì¢ u 0$ ) G ~ d 2¢ y $ xâ

~ Ð à ¿ â
æ

u ÷

ã &à ¡y d üå } v ô ¤ á äè g è¦ vþ äö `e © `e h Ög éf è ä¿ à h `à hå g ` uè v Iö «g hÒ lk e 0 Cô ýö å ¿ C f F ¿ f Q þ ¿ ` e å äd à C ` å f vd ö d ô ˤ Q þ C¿ ô e ä¿ à ¾ C ô l vþ äö `e © `e h «g 1 à h¿ à ä à hå #g d ãô g f æ¾ äe ¤ e `¿ ) ô `e ä Ð `f e u ¨ C ¾ C sô ug 0 ô éö P ~} |
~ ¢ 1| y 0¥ hw 0 0® iw dv v ì² # )~ 0 ¨y è u i~ ¨z 2' )y é hw | )~ h 2 1| )y 1 ¢ ¶~ Ê'

ó| u ù $} h¿ g ¿ C `¿ äe e Õ îô `þ ¤© ãô à 5 E¢ á

éà äè à ` äe hÐ à h à ©¿ à å `e © C
Éî ¶¢ å

à 3å 8d à f ¿ C ä¾ éà è e `¿ 0 ô C f 2 à ä hg &à úy `e å h¿ à ï à 3 ¾ v ö

hz 0 Pw 0& q p~ # P~ #& 1~ | ~

øç û rü I 0w ¨¿ d$ 0¢ w ã 2w 1| | i$ v p¢ u 0$ ) G ~ d 2¢ y $ xâ

z

`

ô F


y

f å `g

8f uô f è e

d ä `f

hå à ãå f


k hå g ¡ f dà ô df äà n© &à p `è ` © e &à {ö ¤ ä à @e ô

hè `à e ä dà ô e f ¦ ¨y ° ãå à F á

äf g ô `f ýe ~e Ð C hf äþ Ð `d

ä¿ à ä ýÐ Ôô hg g v Õ d áè þ ä¿ î C f h¿

f d uô §d ` `e ` ¦¿ #y de dþ ô k `à å e

`¾ e å hf ¤ ä à he ¤ à ¿ ãô g e ¿ è à `¿ ¹ d ô C

e ¿ ä¿ ë ã ) `¾ `e ~e Ð ä 2¤ `à

e å f v¿ hå `g hå å ¿ «f

äd à ` ¢å sö à ä Ôg &à e `¿ å h¿ dà ve ¢ö hå e ¿ h¿ éà è f f ä¿ à


{g e þy à `¿ ô F f và ö 0 ë ¾ ~¿ «Ð

d C v¿ äö æe µ äe @Ð Câ p f äd `e ô Q¤ `þ ¢ hå &à à f ¿ ¡ df u f v¿ sö à

q `g ãå `à f d h dà ô #y ée ô à h ug f

e ¦¿ y C df ì u d k è ¿ ` î k C » éþ

hd C f ä¿
¡y t

¡

¤

¿ C

)

¿ C üg © ¡y e î þ ¿ ` e éà à g ¿ `¾ e f hå e
þ

è äf C ` ä !g
¤

ãå &à #y ée è `f hd e d `¿ e å à ` å `e he g 8 ì `f © © ¢e ãå éà `è üå ¢ à ä¿ äe Ð f ä¿ `à å e äg mà I ã g ä à ¿ f ô Cô ö © ¦ Ð f C x e ä¿ äe `d me äè äg g äg g C

è e ¿ ¿ C Q© `þ áè þ ¿ ¿ C ` Q© `þ î p f äf ¡¤ ä à h¿ S ¡ `¿ å h¿ éà `è ée è õ à f h¿ và ©ö dy h `à ` å ä dà uô v lt `f áå `è e `d he ág `þ e p e ¿ å ä¿ Cà ô F `f äd

Ö ¿ `à äè å `g e å

¿ äe ` ¿ hå hå ¿ ¾ p

uô v t þw C ¿ ¿ F ` hf g d å ` © e hf e ` g ö C ä¾ `¿ e hd äg `à ä à h¿
¡¤

ä Cà ä ¤ e e C &g ve à f äf

C f 5å e äf g $f ì ¬f e å e ¿ © t© 3ø u f
l

`f å k äè `à ãå d 8f 'ì î þ `¿ e ¿ ä îà äd à l¿ C ¿ y ¿ C ä f d `¾ ô `e
¨ï )

éà hè `à ãå g äf g äf 8g e å he ¤ e `¿ ) ô ô `e ä Ð `f â ã 0 éf è å ä¿ Cà ô F ¨¤ m w `e 4å e © äe ¡ `¿ `
©

g dà `f `¾ à 5å de ô Ð f © e C ô v C ãå C e e å `f k hå g 3e ¿ C f ¾ `f `e ~ ` `f `g e

uå ä¿ e d f e u éà è äd l å e & f

ô ` ` # ä dà ¿ ` äè à ) ô äd hg à

éf äd à hf g 2 à ãå äà

äf Ð äf hg u df éè ä¿ à dþ ô à e à å ä ¤ `f I¤ Iå à ¨ F f h à ä¿

Ce ãô Ög uô f © g v uô 4d ô äg g C ä ¤ hå hg à è `¿ e ¿ ` e å e l `e òw å éþ d ýö g `¿ ` e © )i ô hå `g e `¿ hå ~e Ð f


h¿ `à e hå hå g `f ãå e ¿ ` e uô d vf ö P C h g à C `¿ äe #Ð ! è e hd äd à C ` å hå äg à y e äè `à ãå g äf äè à hå g hf à C ¾ è e hd `e uå ¾ p hg à `d He C ¿ q g å

`g © `g e ¿ å äd à e ¿ h¿ `à ¿ `¿ e ¾ C ãô `e å f¾ äg à ¾ `f è é¿ è #g 0 g C ãô g äg à ¾ `f q g hå i f `
i

Vå þ © å ä¿ dà ` 'å ` ãå `g f 2g hè á è hå hà ¤ de ô C f hå à ` Cô 3ö f `e þ© )i hè à hå hà ¤ à F á h¿ à ` f ` å

ä à äþ Ð å ée k äè



©

`¿
¤

e g g
¤

à f e u mf `f ãå `g

ä¿ à ¾ ¿ ` `e ï ) ô e ¿ hå

ä uÐ f uå äd à C `e l© C äg à `d

q `g ãå Vå `g ¿ äè ue ý

à 0 ô i ) sô e `e q `g hå à C à hå g hf 'g î þ `¿ hå à f xÒ
lk Ì¡

là ñ ¾ ä Ð `f d `¿ e d 8f ì hf

h `à de e ¿ ¦d F äg g d ä

ãô g ä¿ éà v uô »d C `

î `þ è Df Fë ¦ö `f ãå `g C ¿
¨

he ` d e ¿ `e d `¿ ô k g
© #

`g e äö e å ä¿ å hd

u # f dà ô F à C ` `

ãå `g e u `f Õå ø
0

¿ hå äg à v¿ äö 8e å hd g e f Ѿ °

`d e 1i éà è ¿ ` `e ö Ñ 3Ð

e
¨¤

ä¿ Cà ô F ÿ u sô g he `f ãå éà `è þ ¿ h þ ä¿ à
nt

éà hè #f u¾

äe hà lâ e å
ð t¢

ö

`g

äà éà ã

`d `e f ô ô å ä¿ `f `g e äd hg à e æ | Ñ 'Ð lk s

`g
¤

df ` î
¤

f hå `d sö à } Ñ äe f `à

f å à

å

ô

e §ö g ` d sö

þ

`g ä¿ ¿ à d á à ` ©ö á

e e å f ¾ ¿ å

Ð

#

ö

hd à

hå hå

g hf g e H `g e V¾ 4å f áà þ m ýw !¿ &d `è e ¿ C ä éà ¡y d è $e C f F á ~þ äg à `g g Fe Fe éf

`g

`

` Ð

`g ©ö de ug
¤

þ ä¿ hg C D¿ v ô g¤ uå ¿ C ô ù¤ hâ äþ Ð `d e h¿ à þ ¿ ` le u å f `e hå p ¤e s Då # de ¿
¨

¦

ö

uå ¿ f d p S¦ `f e p¦ C ¿ g äg e I
# © ¤

&à

)

¹ f ä¿ ò ¡ ° Ñö Ñ !Ð q á þ ä à '¿ o þ h¿ dà ô ä à ¹ Öå äe ¤ e d¿ ` ãå g `e h ãô lg he ¤ `e hd ¸ e e `¿ å p e ` h äf Cg
©


ô f

d
¤

¡

`f äd ` e `e © he `g üå ¢ è v ô e `à hå g äf Ce ãô v ô Ñö Ñ `g © he `g ¤ `e ` p ãå à v h à ö à ¦ äþ f ` e dd ö ¿ ° y ã `à © äe äd à C l¿ `þ è `þ d à ¤¿ g ô là

¶¤ ¡ mà ¨ hf ¤ 'e C he ¿ ©ö #y Ñô ä hÐ f ~ ` äd à C ¿ pf ö C f &å e ô ` ä¿ dà sö ` hå hå ã # ó| và q uå äd ¾ ãå éà e và à `

¨ äd à ¤ e þ å e è¦ e ¿ f äà lg `¿ uå ¿ 3f à ée f e ä¿ sô ¿ äö u `è dà f 'å

C §¿ ` e e `¿ ) ãô Cà `f ãå `g e ¿ äe ¤ `e © äe è e d¿ ô à ¿ ° p ' u f äd hg à `è e l Q þ d¿ ô ÷ k ` e d &ö 2y éà `f ãå `g e ¿ ¡y d à C ¾ C ãô à þ ¿ ~ g

¾ `y e z å ¿ uè hå ¤å 1g v ô f

å e C dà ô F he ¤ e ke ~} g xÒ p ¿ e ¿ F q g å k µ f F 1 Ð h à `d ã u äè mà Dâ e p ` uå

ãå ue u ä¿ à

äd hg à ¾ ~f ãÐ và äö z à v ô ó¤ hd ´ e ¿ ` ¾ `f uå df ô sô sô à 5 Æ¢ á Óî & "à f ä¿ `à e C f ` ¿ §f 0 Cô ¢ö `e å ä¿ à R ð de hå Hg f `f ` `e uå ¿ C f f ¡ f h¿ dà ãô q g hå à ` df ô xÒ lk m `g e u¿ ` ä `à e ¨ e d ÷ ` ±| p ð de Cô ö äà g
R

hå äe å ¿ Cô ãå `g ` và ãô X ä¿ þ C

f ä¿ f ` Öå h¿ và Ñå ) f `e uå F ä¿ dà à f e g T è äg à ï Fð sö `f ãå `g

`g `f e ¿

à Ѿ e à Ð F de `f `à e `f äà ¿ e h¿ `à

@ f hd à ¦ ãå {g à ä¿ äe ô îe «û f äe g e C

¿ l §ì ` e ãå à C f hå `g e `¿ ãå vg äè à ` he e & à þ ¿ he `g Öe f ¿ `e å de ãô g e d q uå ä¿ à R ð `à v !f C ¿ e » f å d


d ¨e d )Ñ Ò e Ò Ñ



e §¾ f `þ Ñå å
q q

å hå å `f g å

d äö p q à Ð å k hè ) Ñô ãÐ d q `g e {e g hå F ä äe I¤ ¿ å `÷ Ò
|

e 5d äg g v¿ `g ãå e `¿
å

f X S¢ i 1 å Ôö º¢ k à ° &ö y h ô k è
0 v

áè þ ¿ ` ãå `g e `¿ i ô `e äè Ð 8f ì `g © e ` 8e ì

`e uå uå ä¿ ~ Ð ` u å

äd à dà e § ée `è f 2¿ Ñå

C 4å ô ` l þ e å äd « Ñô ä
)

§d `f ä¿ dà ô hÐ à

Ii hd o à ¾ C ô é è äf e ¿ h¿ éà 2 î

äd å 2i éà e å hd à C e `¿ e éf æg i hå `g p Ѿ ° ä¾ éà è å

Ð df ô © ¿ ` `e f ve ö è f «ë þ ¿ h¿ à

F á äþ f ` å à # e v Õö à ¿ á îè

| dx #¢ ~ ã 2à | dx #¢ ~ ã 0$ 0® hw ¶ ~ ¬v »| ~ P~ #& 1~ | ¶~ hw 2 | )~ h 1| iy 1 #¢ ~ §' z # P~ & ¨~ 1' u| w I{ I 2 )y 2® y | 0 0w 2 y ~ ¬v | @¨ ¨z 2' y dv v Pw ' 0x iw v I 0w ¿ d$ 0¢ w ã 2w 2| | )$ v ¢ u d$ 2¢ 2| ¡y 0¥ hw d ¢ y v ® I{ `w ç

P{ Px P'

vç û ü



v



` hå g u f ï u© Ð C hg à æ å q `g ä¿ mà Ð `d ve `g e ¿ C ` §å ¤ `e © äe hå à ° Cô ö äà 3â ¡ f d d `þ uå ` ãå 5g &à ú

`e ä ¦g áà ô `e s© z `à le Ô `à `à d ãå à F á ' f hg à `d f ä à e äe ¤ y ã `g © C f ¿ ¨ d ö à á à u ¿ C f ` d 8å
¡y 0 %Ð 0

hå g `f å ¿ C p

äè à hå ¦f f å ã lg å hd à C Ôå `à © «e e å à ` à ä à å ¿ ©f © y ¿ C ä ¦ p á è f ` ¿ uf ã ) éf è ve ¤ö f ¾ C ô e ` e df Ñô xÒ lk å ¿ {d q `g ãå à `f hå g e `¿ ãå } u ¤ µ ãô «g he ¤ `e ¨ V â Fð h¿ ¨ k è xÒ lk § 2f áà éþ è f ä¿ dà sô và


© he và ö vf äö f vf äö sö à

hå `g e ¿ å äf ¤ h à ä¿ ¦ ¦f # de d 1å è 8à äì 3g î å e äd à §¿ C ä Cà uô v ¿ C h¾ éà è uå äd à C ¿ ¤f éf q `g å µ p 1 à hå p ¿ ¦f Q þ d ve üö p 1 e ¿ h éà f d d ö ¤ e ¿ ä¿ dà ç e ~ à ¹¿ e `d ) d à » q `g ãå ~ là D ` | éþ è vf äö

f &ø f ` `e à ¡y à h ` e »f à f ¿ ` `e f F è f ¦å hì g F Ð u d Xe è ¡ «e äe # © he d ö © he ` le áà

Ñ ¤Ð è e áè þ ¿ ¨i ° ©ö e ¿ ` e å ¿ e è s à #y e ¡ f ô e §å à F á `à `e Ñ © äe

` ÕÐ

g `e

è pf på áè þ e ¿ `¾ ö ~ oe F

`þ uå ¿ `à ãå `e å e ©å g d §ö à

C ` ¿ f à g `à å d §d e hå éà è ì`f f `è ée äè à `g e ý

f hd l ø å f v¿

¿ e vþ äö xÒ lk ö dà ãô

f äd à å hd `è e ~ö © ãå `g ¿ ä¿ dà ô F f k äè è `f

äg d¿ 1f e `e å

¾ `f 1e å `e å å #¾ á

dà uô é è hf g f Ѿ ° ö ~ Ð u `f ãå F `f hd hg g C d ãå éà `è üå ¢ u


Ñù |

k hè òè u áè à ` 3å
q

f å e ` å

g

e e g ¿ äè g §f

m ë e C e
Ï

`à å e © C § 8d ` he äg äg 8à `ì e p d ~ C ¿ u f äd äg à & 5 °ë ê d éf hè và ö d o è 0 sô `à å df ~ö he 1¤ ©à éþ äè à hå g hf g ` ` hå g `e ä g áà þ v ö ¤ e d è¦ ¡ f ¨ F uå äf ug P C `¿ ) ô `d Ce

à ¾ `f e ` áà `þ ¿ ô

¿ k ud h e ô e

è f `¿ `à å k ` ¤ äd à C « ¨

à e ¿ hå `g ð e ~f ì þ ¿ Ñ hå hå à å k q Ôå ¾ ä Ð
¡ #

d ¾ ` `g `e ãå

¿ # e uÐ $f «¿ f ` i C g 8

3 ` e äg 3f `e å

° ö Ñ 4Ð u `d ö f e d he ¤ v ô ó© Ii C `f ãå `g e `¿ ãå äg 8¿ à ¨ï ) ô F ¿ f î

3f f Ѿ å `d ve ° äö µ s ) 0 Ñô ¿ f

` e ä¿ à `e x© þ ¿

¿ ãå `g e éà `è e @ï d `e I© C ô ÷¤ `d !e e # de ãô ©g ` e å äd à

© Ñ ` e ô îe î @í ë äe hg à C ` h à à §¾ ¤ `g ¦e `g e e `¿ hå ¿ he C `

'Ð m © ¨y éà uè ã `e © he Öå Iß î

¿ hf dg ` á `þ á þ hå hå þ `¿ hå g

dû ü äg hg $à ì `e å e C¿ ¿ ä éà äè ãå äg à

â e ë ô Ð d


©



e å e

e ` ±| ` ±| f ¾ `f hå g

`| | µ f d `¾ e 5å &à y à 3f f v¿ äö e Cà ãô ág éþ äè g f d `¾ e å áà `þ © he `g e 1f ¡ `f hå g 2 và »ö F e `¿ äe hg g F u X dà éþ hè pg d `¾ `e © å üe Ð C ` © &e 8 ì `f o© þ üô ¨ C ¾ C sô ¬g vf ýö áà þ ` `e å ` 5| v ö Ñ ée äè m C g f ¹Ð ` `à u ¿ d `¾ u C X¿ e hå éà è f ä 2¤ `à e î C å ¿ ¦å ¨ þ ¿ ä¿ C 4 f h ¿ ¦f Iy &à Py C ` © äe Ð Vf á éè è à ` `e Q© þ { `è e ¿ ¾ à C ¾ C ãô g uÐ f he ¤
F (M 4 )

å C h df hô e v¿

ä¿ éà ¤ C Ð C äö e

è ée 'è ¡ f h¿ vf @ö î þ ¿ `¿ f l kß & ô ö éþ
0

&à ¨y C e f ï 2© dà éè è C

3å ãô ág `e d y h ¤ C

#Õ ÃÔ #Ä ÃÔ #Ä Ô #Ä Ö !Á À

`¾ C &ö

hà `g § à
ì¦

xw

&ö

éè è C h ¤ C vf î ¿ ô C v f ¨y ¦¿ C f å à þ `¿ §è ¡ å ~ Ð `¿ 0 ô `e å !d


äd à ve à ve ¡ f áà þ

`e å ¨y ¾ C sô ¨y ä¿ à h¾ äà ` `e å

ã d 'g d äg e d

0 ô uö å éà `è ée p¾ ö ¿ e ä à hd à `¾ f h¿ `e å & î `þ

§ö ã 0 0 5 h¿ &à äd 'g `f hd f vd ö

þ uô sô g C e ` `¾ v ô

`¿ e f d `f $f w f &¾ f hå h © å e `è #y pè p éf `¿ ) ô `e å þ ¿ ¿ hd `g
¤

`e ée e î ` e

8 éþ f äe Ð è ` `d Ce F ` md Ð

` hè å ` 5å de C e ` éf ô uô ~e e hå

ì `f ý© à ` äe à e ` e ` © e de ãô !g 2ô e Cf ô §f å `f

e h éà è à f ` hå ãô g f d l þ áè þ 8¿ `f $f Ð f põ äd `g he 'g

f dg sö dà sô g á¾ `à e ` e `¿ uå d C é mw à à `¾ `e $å î e ¿ á¾ `þ

å e äd à ¿ q `g `è e §d 0 ô ô F ` ãå äg f ä¿ à de Iô ¤Ò x `þ © he `g Ve uÐ !e 'f ) Ñô
©

e `d ) ô e hd äg à ¿ þ ¿ `f ãå `g e ~¿ uÐ hå à 0 ô `f $f &à #y e é¿ è ö 2å f Vf &à ¡y d æ¿ ä éà
R2 \

î þ `¿ ) ô ~ à 2

`f µ å §è ãå

~ Ð `d e D ±| ` g ä g þ ä¿ à ¿ e §d ` ` #y e ãô §g $g uÐ e å ¿ à äg à f ä¿ `à Ce ãå `g e ~¿ î þ f ã 0 q `g äà éà è f
R2 \

¦

±| ` '| e é `è hå hg &à `f de sô ä ¹g d ¡ f å hd äà äg `e hå

e ` hå hg &à #y e é¿ Cè ÿà å

å ä¿ éà è ée 4è f f ä¿ à ¨y C ` © e å 4e f © uå `f © ` Öe î `þ © he `g le Ð C © 3e q `g hå à F á ~þ Ð ¤¿ à f ä¿ à ¨y C ` © e å æe q `g hå à F á ~þ Ð Ö¿
h$ 0 2 ly { l~ Ê{
F : M 4 R2 , F (x) = (H (x), F (x)).

# ~ r{ #{ $ · 0$ Pw # )~ 0 )~ 0w ¨¿ d$ )¢ 1 x ã Úw ×

}{ )y 0w y P $ q & ~ ÿÙ I I

CÆ Ó CÆ Ó CÆ Ó hÌ xÏ Î fÌ FØ Ì Í Ì Ü

)Ç P ! #Â ¸ u Ñ Ý Û P f ¥d Ø

iÇ ¨ ! # I Û fÜ Â dÑ d ¸ u hÑ

F



= { (H (x), F (x)) | x : rk (dH (x), dF (x)) < 2} R2 .

H

F



`e ãå f d §å ¨ `e `f ¤ø ¿ ¿ e hå

å ä¿ éà è `¾ áà `þ © he F ` e df ¸ ãå g v ¤å þ ¿ ¾ df hô `à ¤å he ¤ ve d l ì

&ø e å ¿ ¿ mø áà v sô f

ée §è ¡ `g e `e ô äe Ð of ô © Öe ¨ Ð ¢ ö ä à ` `f © `e

f ¨y C uå e ä¿ ¿ C é¿ q «å éf

ä¿ à ¾ 8ø à d ¿ h¿ à g å i f d Tå ét á

` lg f äè u¾ è hè `à

å d à æ e vf ö äf g

å ô ¿ hå g

R2 \



H F



H

f d d f å

é¿ hà ä¿ ~ ä à

f e Ð &è ¾ `e `g & ¤ e à `¿ `è e g df uô ée è ü
¤ y

8 v¿ äö $e f d ° ö e é d å ã e æ¿ ç

D4


|
i

C ~¿ uÐ ä dg à f ä¿ à ¾ ~¿ Ð `à e äd hg ¿ ä ¤ g hå
¦ { ~ q{ ~
P
2

`è `e ãå ¨ i C h¾ `à ` å ¦e µ ¡ `¿ ` e o ¡ f ¿ df {ô e å Ö¾ µ 1 mà 2i éà è üf ~ g ` æe §ç 1 à f d ¿ ¨ C ä¿ Ð h g ¨ C ¿ h éà è v ö q g hå à F á äþ Ð C ¿ q{ ~ { ~ u| ° u f ©¿ ) ô ve ö 3 ` äè à æ ¦f å ¿ C u ~ äe §g ¿ éà `è e ©d p ÿd ¦å i ãå `g e `¿ uå ä¿ dà ô ` `f hd ê e ¿ `e å hd à C g hå à 0 ô ù äè à hå g hf g F v ¹ö hå `g e ¿ ä¿ &à y d ` äe @g ¨
q
f:P M
2

v u Ñ ` äd hg à

e d å 'f l uì 5g p 2 à f ¨ H$ à ö df uô f à f å äè Ð i f ä¿ à ô e

ù v u z uÐ # © e »å g ¾ hf ¤ de

ÿ

uå

e `¿ u ~ l


µ ã

«è


ãå g 1 và d ` df ¬ô ä¿ à f df sô äg fà f r i C

1ö hå g e ¿ äè à `e å h¿ à ï ¦e ¡ ¿ C á `e hå § f å e ¦

`f ` à f de ô è h¾ `à `

y 0 #® 2~ | dw ¢ 1| y 0¥ w

à
¡

©

`g g

f e `e ¿ C

hd äg å e å e u ~

à ¾ éf è C `è e hå x `þ © e å äe ¤g ¬g

Ð
)z

l

) äö å ¨i Ð xÏ Î ) ô ve ¿ F f f äe ù¤ Ôå i F xÏ Î



¿ vf ö f ¤ ¤¾ µ q éþ hè `à hå äè Ñ )~ ¨ ' vf §ö `à m h¿ `à de sô g C

¡y d ` he g X ü xÒ lk « üå ¢ pÆ (X CÆ Ó dÆ Ó äe g à f ä¿ &à fß `d `e å e § f P i~ qv )~ #® ~ q `g x bÆ %T CÆ Ó CÆ Ó hÌ f ` `e uå äd à C &å ãå `à 2© à ` ¤å l þ äf pg e ` `e å 8f ì ` ée `è he éà `è H iy 2® )y o q `g x pÆ A CÆ Ó CÆ Ó hÌ e ä dà ô ô `f df 4ô
t 1 -1

`e ä à h F á ~þ fÌ FØ Ì ö î 0 ` e f ` `e å hd ãå `à á ~þ Ð fÌ FØ Ì f ) äö

¾ `f uå f hå g ¿ df d C é `è Í Ì Ü D 8 ¿ C u ~ äà Cà ô IV lÌ ¡g Û hè `à hå g de ô e é¿ è C IV lÌ ¡g Û `þ © e ÿà à Ñ¿ Í Ì Ü D ` äè à å à f à @å hå mà C Í Ü D à h à ä¿ C äg ©¿ Ì `e ä
2 2 2 t 2

w @{ 0z h 0 2 iy uv ¨$ )' Pw ' P¢ ²

~ 1' iy dv v ¨w ' 0x )w v

® ~ df uô ©f äd hg à ¾ éf è C ¿ `e ä à 8 à f ã g df sô äg «à ° ö Ñ ¹Ð ü xÒ lk ãå à d u¿ l mì ¡ `¿ sô {g `f de sô g q

`à m F á þ d C ` e & 1 g å i ô Px ¨ ¦$ &

Í Ì Ü D 4 Í `e © äe g ãå äg éà `è äe g ` hå g e
¥© ¢

u f äd hg à ¾ éf è ¿ vf ö ~ äg g v uô Hd äe ¤ e `d e f Èï äà dà ô `e © 0 Cô Hö Ôå Ii f `f hå g e `¿ å h¿ dà ô F `f äd e ¿ `e å hd à C ` å ¡ f h¿ à ï e `¿ å e d ¡ï df ô f hå äg à ` e ¦¿ #y ée è f hå `g e `¿ å h¿ dà ô F f äd e ä dà ô ô i f q `g hå à 1© à ` få l þ ¿ F ` e f å ä¿ à f ` e ¡ ~f Ð ` © `e he ¤ e é¿ éà äè à hå g hf §g f r i C ä¾ à ` å e ¦ `d `e å e I éà äè à hå g hf 4g ~è Ð 8f ì ` ée è äe éà `è he l¤ hå `à ` hå hg à h $g df sô äg Ñà C w @{ 0z 0 2 ¡ ~f Ð C ` © `e he ¤ e é¿ &è C $¿ áà þ ¿ ¿ v ö Ñ Ð éþ äè à hå g hf mg à p q `g å ¡ ¿ C u Ñ he 8g à Ö¿ ãå &à #y ée æè f f ä¿ &à Py C ` hå éà è 8 ¤ß i f uå ä¿ à f e Ce uô ¡ ¿ ~ he g à f h¿ &à ¨y C ` © ¡ ~f Ð C ` © `e he ¤ e é¿ pè Cf ãô ég î p f f å ä¿ à f ` e äè à f h¿ à éþ äè à hå g hf {g `e ä à 1 f f `e å hd à C ` å ¡ f ¡ 0 ~ö e ä à h à Cf ãô äg &à C w @{ 0z h 0 2 iy uv P$ )' ¨w ' ¢ ̲ )~ ) G ~ d 2¢ y d$ þ ê dw 2¢ 2| ¡y 0¥ w ~ Gv )~ ¡ ~f Ð C ` © `e he ¤ e é¿ è C 1¿ áà þ ¿ ¿ ° ö Ñ ¹Ð l éþ äè à hå g hf og à f éþ hè `à ãå g äf §g e `e å l à f ä¿ `à de sô ¦g e ä dà ô ô `f df mô p éþ hè `à hå g äf 4g ~è Ð 8f ì ée `è äe 8à 8ì ì vf Õö hå à ` ãå äg mà I q g å i ` á ~þ Ð C ¿ u ¡ äf Ð C ` © e äe ¤ e é¿ è C ý¿ áà þ ¿ ¿ ãå à 0 ô hå vg ö à `e hå g ¿ C ` ãå `g e l ß f `þ uå ä¿ à `¿ e é `è e d áà þ ä¿ Ð h pg ãå äg à e $å µ 0 ô uô f u u f ùw ¡ f h¿ `à de éf è u d `¾ `e å e å §¾ á è f é¿ `è e 8 { C ¿ I 0w Py i~ ¬v | ¨$
H (x) F (x)
2

1' iy dv v ¨w ' 0x )w v

x pÆ (3 CÆ Ó dÆ Ó hÌ xÏ 3¿ f g äd Cà uô é `è e à hå `g e ¿ ` h `à ` e m F è f
B (M 4 ) B (M 4 )

Î fÌ FØ Ì d 𠢡 î þ `¿ hå g ¿ Ѿ C ä¿

Ð `e

M

M

M

=



t 1

:M

F (M 4 )

1

M



v

1

v1 v



M

2

1

M

M

4

2



t 2

B (M 4 )

1



- R M :M
2

©¨

°Æ


hg à `à uå Ì è e ä¿ à
Èy

d sö à e d
4

äe g `e
©

¡ ¿ e 8f ì ` `¿ C `e !å `e

l ée h {g å k¾

`à e ¦¿ `è he éà e á è

¨y F `è äe ¤ Õ hè à f hå éà è

¾ uå f g F h p Ó e $e à å ` `f `g Õ
¥¤

f ä¿ à à ¾ `f e u¿ §¦ CÆ Ó CÆ v¿ äö f ` e ` Ce ãô 5å ¢ pÆ

~¿ §Ð d `à ` e hÌ 2 à äd à è CÆ Ó CÆ Ó

`è e äd `à e ¿ ä¿ ¨ C `¿ xÏ Î fÌ FØ è f é¿ 3å ¡ f f `d ãå äg &à hÌ xÏ Î

xÛ á
¤ #y

¸

ä¿ à

¾ hf Î xÛ å e

` `f

e

äf g `e å
¸

¿

e äd hg à à ` hå hg &à hÌ xÏ ` © `e
¨y

å ¾ å
4

1

: M1 M M
1

M

M

v

M

2

1 2 1

¦ ` e h g
4

2






` hà Ð Vf e



ô e ¢ è Ii d¿ ó




¿ mf e ¿ á¾ p 0 ô `è `e

e hå Ð ` © `e e éþ éè è C ä ¤ vf ö e ¿ `¿ e f d z ¡ï ï ) ô e 1© à è C ä ¤ vf f ¨ u d u e p à ¿

ä à `þ © uô `f ãå e

è de ãô g e f 5¿ $f ýw ` p q g

f ¤¾ ê¢ l e ` e å # © ve

è mf éþ éè oå f ö `¿

¤ Q þ d¿ l ì `f © p h éà è f á¿ lg ` ée è ö e ¿ l ì f Ê© Ôå à f v¿ ö dà
s

C `e å © `¿ e f i F á ãô `g e



f ` å f á Cg ô µ d l hþ g ` hè x f è C

g s d d äd h¿ ~¿ g ¿ © `þ `¾ `¾ ve

Ñ | ée hè äg ¨ p ¡ f éf è ~ ì `f oe `f ¿ ú¦ éf

h °ê i à Ѿ C äd dà ö î hå g e ¿ è u d

ó| äg à `e © ©g f å ãö ãÐ `à

à v

»©

°

v ö ¤ `e #å l þ ä¿ à é¿ hè `à å ~ 1Ð C ) ô e d áà þ `¿ 0 ãô `à uå Öf #y de ô e æ p h éà è f C ¿ và ö `f » ` ±| ` ©| g f C ¢¿ e ¿ ~ Ð `d e D áà þ ¿ ) ãô à å C f å {e @f áà þ `¿

e

»

`¾ `e #å e 2© ø e äd à p¿ þ ¤ q `g Ôå i C à Ii ãå `g ä¿ sö à »e ' éþ þ ¿ ) à å e e ¡ ä¿ à 1 @d ä¿ å C å à `è ©ö ¨y å C å e è
#y ¨




e v¿ äö e f `à e `¿ ) ãô à å ¦f y Ce ô e e v¿ äö e f hå `g e ¿ `¾ `e å `e å #f áà þ `¿ ) sô `à å ¦f #y de ô e T õ ~ hg g v uô d ` v !ö C ¿ e h¿ dà ãô dà ãö Ð C 0 ô e d C 8¿ ì ée `è äe éà `è he ¤ F
P 2 \K

þ `¿ C¾ á è ~e Vå hå äg à

å h¿ và ö f Ð C © e `þ ÷© ãå &à e é¿ §è f
y

h| g f v á h à s I¤ d me áà þ `¿ å éf è F ud d i f h¿ u 0 q `g hå à ~ §Ð äe g s # ó¦ ` äe hg g ) sô `à å ¦f #y ¿ f $ è f d å C #y ée Xè 1 dà ô hå `g e ä¿ Ð h
K

äè g ¦ ¹ö ¨ & v ö ¿ éf áè ä¾ hà äg à ö à éþ `è e áà þ ¿ uô §d de ô e ) ô ì C ä 0 ô e Dd u ¢g å

¨ï ) ô `e hå g áà þ þ `¿ v ô h à ¢¿ à f å &à ¡y á¾ `þ © oe Ð f he ¤ C §¿ e $d `à e `¿ ¤ 1© e md áà þ `¿ `f ãå ÷ `e h¿ à `¿ e é

Õ #Ä ÃÔ #Ä Ô #Ä Ö !Á À





éà ä `f e @

2i

éà è Ð

p e

x| g ä ò¤ ãô và ö e v¿ äö d å «g
q d8 b

ä

`e | þ ~¿ Ð ¨ ä g
(P 2 , K ) K

F á à à C¿ é `è
EB

f C f `e `e ud ä¿ Ð 1¿ i f d `¾ á `þ e Î hÌ Ø dÛ
K

C lw @{ Pz ' ~ v 2 2y ì| q `g Ôå i F á äþ Ð C ¿ éþ `è e s ) 2 à f d l ì `f ¶© e h¿ g d k è f ¿ éf ¹è u ` ±| ` °| g f á äè g ¦ §ù f ä¿ à h `à hå »g þ ¿ f põ `f ø h á äè à C Öd g i hå `g e u¿ ` ä à ` e C C o q `g ãå à F á ~þ Ð C ¿ { l~ { ~ ¨ Æ
K



å d å S¦ df `è ¡ï e ¿ ` à f u ¿ ä éà hÌ @V Ï
A

à f ô pf h `à Ö de sô `g e dÌ fB 8 ×

4} ä¿ à h ée `è e å ¤ ¿ F ` e df Ii d ö dà ãô è v ¤ö e Ü Ç lÌ )g B

`à ãå 'g å q `g ãå à ô äe Ð uf g þ ä¿ `¿ å d C Ì a dÌ

~þ å ô e Î hÇ

` ó| ì C ä¿ Cà å å æ¾ h hË dÏ xË

f C p h þ ¿ mf ¡ï à ` 4e 5e uÐ f å `g ãå à 0 ô CÆ Ó CÆ
P
2



è f C à m äà g ¦ `è e å e hå `g he mg `è 8e ì và Ó hÌ xÏ Î 3
P
2

A

y=y

0

B

D1



F1

Q3 := F

S 1 â (0, 1]

-1

( )

hd à ¿ f `e © e e äe g ¾ `e å å e å Ñ Ð
d

` `e å e ãå `g 5 ß å ¡ ¿ Ѿ Ð ãå ` å ¿ `è ë f äè `à Cà x



à d à 2¿ ` e å ~ &Ð mf dà sô và d §å $ø áà v¿ äö dà ô e 0 ãô `à 0 ãô `à ` ãå äg &à è e pd

` ` l ãô f à f f de f é¿ ° &ö

¨y

C ~¿ `à `à e e Vå C é¿ ãô mà e »d e 8 ¤y



C¿ g ô


ó á hè `e ¡© df å `e ãå ¡© df ô p¤ áè ö @¤ fÌ FØ Ì Í

ÌÜ

D4


~} |
#Õ ÃÔ Ä #Ä Ô #Ä Ö !Á À

á è e ¿ C f ¿ `e Ñå ) uô éf è s "¤ q `g ãå à 0 sô v ô C ä 2¤ `à å ¿ 8f he ¤ e `¿ ) sô `à å f d¿ ô e ` de ö C ` `e Q© þ l å 8e å hf g `f ~ îÐ à á¿ à f h¿ `à de sô $g e ä dà ô ô `f l þ `¿ å Ce uô $ d Tö 1i `g m e `d å ée `è © e e `¿ 0 ô C `¿ e f C Tf «g þ ` e üå `e å ¾ hå à ¾ ~¿ Ð 5e e Tå dt 8 @{ 0z 0 0 Py u i~ Pz 1' )y &à ¡y d å Ce ãô 3g Q `þ © äe g #e e d å äè `à à C ¾ C ãô «g `è e hå ð þ `f ¦å u f e ä¿ à ä¾ éà `è å e de îô `þ © &à y ¦ d 8 y s ) f f h¿ và sö à ` m `e á äè 4g à f ä¿ dà sô và sö à ` e ¦ éf áè þ ¿ ä¿ và &ö #y e á `þ h à ¿ q g å i ô È C ¿ à mf ¨ © 2y Cà »ô p f s ) 0 ô uô `f $f w éþ äè à ` äe à $å uÐ 'f hå à d sö Cà ãô 3g d vd µ éf è C ` e æå éf áè þ ¿ C Ö¿ ¡ f ä¿ à de ãô mg ` `f Ce ãô 5g áà þ ¿ 0 Ñô h 2¤ à ü hà `g ü à C ¾ C ãô «g `è e hå ð ʦ þ `¿ uå d C é `è e d µõ äà à {¿ ¬¿ è ¦f #y de ô 8 ' p e dd ö v ô H¤ ð q `g ãå à s ¤ v ô e v sö à xÒ lk ãå `g e `¿ ãå äg v ô k è ¨ C ` e å e äd à ¿ µ ` å h¿ à H ð Ce Cô sö hà g C f å äè `à de sô g q g hå à ô
¨ Ò



!

P ë d ¶ )Ç P h d Ñ



Þ
M
4

%Ð I
Q

C w #{ $ { ~ H$ à ä &à ã d `d e å e ¤ F e `¿ `e Ñå ) ô éf è s ¶¤ e `¿ ) sô `à å hf `g e `¿ å He è e `¿ å ¿ C f F ¿ hf ¡ ~f Ð C ` `è e ¿ h éà è s à ` Öå 7ß `è e ¨ï ) ô `e H© ¸Ï è e ` `e å e hd à ¿ ¦ # de sô ¤g he ¤ `e © he `g «e ãå `g å s ¤ v ô e © e ¦¿ #y ée è hè à ~f Ð C ` © `e he ¤ e é¿ vè äö e áè þ `¿ å ¿ C f F ¿ Xf áè þ ¿ h
Õ #Ä ÃÔ #Ä Ô #Ä Ö !Á À
F
-1

¡y d © `e he ¤ e e ¿ hå äg à éà è s à

¦å Ôå i F á é¿ uè f ~f `d e ð ` §å q g hå

~þ Ð Ð C P v à ô

C ¿ à f d © `e äe ¤ e é¿ vè äö e ô k uè e hå § e µ äf I¤ d

Q
3 3

L

L

U (L)

L

y

y

y

0 0





L

s

s



(y )





m m

và à Ð f `g d ä
¡

¸d





ä¿

C



sö df ~e hå `¾ h éà dà f à

kâ | e hd à ¿ hå à ¾ ¦ ß

U (L)

` De d df Tô à u¾ `è ä¿ g ¿ `¿ à ä 8 d l e d e ¿ ä¿ và #y e `e å áà he `g è v 'ö Ôå ô ô `f `f à ¾ f ¿ ¤ $e `d e ) ¨ ¿ ä à å


`è e ãô g ~e ãÐ `þ ` &ö `þ © q `g df ¦ô C h h à ä

sô à f `e ãå § â à ¿ xÒ lk ¿ vf äö e á `þ h à ¿ e hà îg â i 0 ô Ce ãô üg hà îg áà þ ` `e å éà uè ã à á `þ ãå `g 5


í å ¾ ö

M

4




lk

`g

Ð

g `f ¡y lf hg g C s ¤ ¿ hd d



d iµ 1v 0$ 0w 2¿ )y ® 1|

q

C sô C d `¾ uå é h¿ &à ©

z | f d `¾ e 4å hå `e å µ¾ e ¿ ~ Ð `d e § hå dà Ñö © ÿ} ÷ u ¦ à f ¿ C h¾ éà è Ñ ¤Ð 'f ÷ `e å ¾ hå à C Ѿ C ä¿ Ð e `à Ce ãô g `è `e © äe `g e ¿ hÒ à C ¾ C sô g `è `e ãå b f þ å C ¿ vf ö ` e e d à f äd äg à ¾ `f å hd dà uô é è hf g `à de ãô g `e © he `g !e i ~ö © f ò¿ uð e d d 0 Cô ö è f å ée äè hg g f Iê hà à r i C sö dà à áè þ d¿ ô e D q g hå à ô e ¿ ¾ hf ¤ de ô ü¿ kë `þ g å f ¾ f ¿ C h ¤ 8e ée è vf äö Fe ~ © he à `¿ p d Tå à 8¿ `e hå df sô ég î f f áè þ C¿ ô e H q `g ãå à 0 ô de sô Hg Q þ © äe `g e `e uå $¾ å å f ä¾ »g ~è pg C Öå f »ö ¿ éà þ l f `è k¿ `à u¿ f e e Ö¿ df ~ö `e Ð `e h
¡
y F
0

he `g e f ä¿ Cà § ãå hå g p¿ 2 à ¹g hå à e ©å ä¿ à `¿ e ¨y C ` e ¦¿ y ée

äf à hg 8à `¿ äe ¿ 0$ u h 1g f He Öf he k ô

C ` `e å @e e d ã
± ÷& ¤

hg

e df

f



f C
é©

µ p f

d
Ȧ



g

ée ¿ ¾ u C ô Cf hô e f ©

à

`à

q g å ã è á äè ) Ñô

Q© `þ u ¨ C v¿ äö üe u å ä g ée {è ¾ `e §å éà ¿ s

¡ f ä¿ à ¾ C sô Xg á äè à hå g ` Ô| g f &d &à ¡y à ¿ ` e áè `þ © äe éè è C h ¤ C ¿ C u ¡¤

h¿ éà î þ hf ¤ d d g ¤e vf à d

Ð !f mf `e å e äd à f äd hg à ¿ µ ã ± "$ hå hg à d áè þ ¿ ¾ e ¿ `¿ `¾ e ¢å e

m2

`è e ¹ f u e å V¾ `f uå df ô C p ä ` | g e î Ð C î à f d äe `g ¢e ve


¤ q å 0 è f ' ä¿ Ð C ì `f &ö ¨y 8

`g å `f ãå éà Cô «ö C ¿ uÐ hå `g ãå ly

F u© uÐ 4f å «e ée è ¦¿ y ée äè p d u d ò¦ áà `þ ` å `e äe g ß d `f hå hg hà à r i C

s1

ä éà æd f d d sö dà sô

üè î `þ à ¤¿ 1 à i h¿ à g d i è C p¿ p éà è f `f à d C ô e ÈÏ hå à ¾

#y ée ~ © äe Õ¿ ¿ ~ f p h hå hg C ô Xg hå

` `e và ö e l bß ¨ © Ѿ C `è `è `e å Hè v f và ö ä à ä¿ d u $ le ~¿ Ð §e

Q© `þ å ¦e å à ` pe á hè g ¦ `¿ 0 ô C f 2 à ä z ` ±| ¤ù y dà áô ) Ñô ä¿ Ð ¹e `e Tå t e ` uå ä¿ à l ©g e d e ä¿ Ð &e f `f ãå `g e m¿ © ô C h 1¤ à å ¿ ¹d î þ h¿ g æ ° u f dd ö hå pg e ¿ ä¾ à à h `à ãå Dg e d p¦ q `g å æ å ° ö Ñß s z ` ó| u ù C ` hå g hå `à å `e u} à `f
y
0

d v `¿ ¿ ¾ C ¿ he Ôg de ãô

g vf uö `è ~e Ð C äè à f h¿ à ` å `¾ e ¤å `è ~e Ð C ¡ f h¿ à ¾ f ¿ ¤ e `¿ 0 ãô `à uå f è f ¿ éf è r¦ s¤ Cô !ö e Ö¿ äg à ´© g à h¾ `¿ e äd hg `à "© Ð C i ãå äe g þ ¿ Ñ Ð äe g C df Iô t C p¿ 1 mà e ¿ `¾ `e å
¡

äd à hô ` äg g Ô

Õ Ä #Ä Ô #Ä Ö !Á À

%$ &
0

%$ #
y
m

æ

å `f © ` 4e î `þ © äe e e ¿ ) ô ~ g ä `à h g ¿ f d `¾ e uå
F (U (L))

g æe éf è ~ Ð C ` © Ce hå ú ¤ø ãå g v ô © C å e `f ãå `g e `¿ ãå äg à `d

m

) @e f §e 3

Ñô ©¿ P C ¿ $d e k éè

s ¤ ä¿ à vd ö è

¿ C é¿ äè `à v ô ð¤ ä ¤ C

æ äd å `d äe df ¹ö

à `¾ e 4å î e g d ~ `õ ±| u ¿ `¿ e
¨

s

`þ © he f ` F| f ¨ u

`g 8e d g d u

Ð C e f l ì

f © æe ¿ vd ö v ô ì¤ m¿ Q f "© ãå

s

áà `þ Ñ Ð `d he I¤ þ ¿ ¿ Ñ Ð äg 3à `e

f 3d q `g Ôå i 0 ô e e d `¾ e v uö `d äe g d `d e ä x ö `f Rå $ }{ iy v 2® y
y
0

F = F (f , s)

df Iô t éþ hè å C e å
x
j

#

à ` äe à f d `¾ )y ê xÒ © `e e äè äg g C © `e e ¤ e hÐ ô e ve ¿ ä g ée ~è Ð `e ¿ ä g 8 &à Py ° e d¿ ô e © 3e hè à ` äe à ¨ © y dà äà dà ô îe

§å q g hå hå hà éà è

f

© | $ H )y

F (L)

3| s ¤ ¿ C e ¿ f " à ád þ å xÒ

L

L



s1



s2



m

f = p1 q

F

-1

1

(y0 )

L

s = p2 + q 2



s2

y

2 2

0



L

s

m1

U (L)

L

m m2

1

H = H (f , s)

H f

x

e

à

ãô

R

` ée ` ä d¿ f
#y

f §g

`g

H s x

j

=0

xj L

`e
©



Ñ lÐ à 8¿ à f ` de ãô g

pi , q

j

=0
i

k ðd

Tà ¤û z d y å û ô ö ö

÷

y0 =

lk

}


&e

è

0

C e ô e î `g ãå è
Ii

g



¿ å he `g ¿ éè d éþ
Ï

#å

C ¿ C ¿

he ¤ î à e q `g e dß

è ~ g d| g `¿ ) sô `e å e å ¾ `e å ¦d ¡y f

¿ d

~¿ Ð e ãå `g $ äà éà hå dà Ñö ï à ` Vå þ

© e `à e ¿ h¿ `à © þ ¿ ¾ f f éþ ÿ© &à ¡y e d Ï l äd g C

° ö ¿ hå g äe 2¤ à ¡i ä ¤ ` ãå äg à ä ¤ C df ö `d e ï à ` éè è C ä ¤ vf ` e å
Ii °

ø¦ ãô dà sö à ¾ df ô e e ¿ `¿ e 'd å `e ö e e äd à ¿

Ñ÷ | e ¿ ä¿ à © äe `g e å Ö 0 Cô ö 2 5d e ¿ ` ` å e äe kg `à e e f © éf è # ãå Tå it ã g f v á hè g ¦ ¿ `¿ e u ì f © hå à 0 ô hå vg
©

h¿ `à d # ó| f ¨ `e he

`f hå g k `è e ãå `g ãå `à l ì `f ÿ} ` x| d u l g ãå

0 ô ö à `f hå g e Ö¿ y C ~ p f ¦d C ¾ `e i f g C ¾ i ö à

l$ { ~ ¨ È$ ~ ¨~ P' i~ v 2 2y §| ¦~ 2 y )© 2 # i~ 2¨ # )~ s® ¦~ i~ G ~ ~ ¢ )y ¸ 0$ h 0 2 iy uv P$ )' ¨w ' P¢ è² ~ 2' y dv v Pw ' 0x iw v 0z h d ¨¢ 0$ l® q{ ~ ¢

¡ v

$ 0 ¨w ¸'

hw 2 | )~ 0 2 Py #& 1~ | Ê~ #w ~ ¬v ý| 1y ¨| m'

~ ¢ 1| y 0¥ 0w # )~ d$ ¢ ° y $ d¥ )x ¬v ¸| '

I 0w 2 y i~ }v ¸|

¨$ 1' iy dv v ¨w ' 0x )w v

$ ¦ ~ ¢

þ 0 )y H¿ #à ~ v 2 2y | 0$ 0® hw ë hµ | )~ 0 2 Py #& 1~ | p~ u l$ }{ )y ¡ v ® y 2© | $ ¬ )y u # 0$ 0 ¨y è u i~ ¨z 2' )y p u $ Q& ª

õ he `f Ð `f Ö|

p ` ¨ k 0 ô e ä áà éþ

å h¿ à H ð è vf äö Fe ö dà ô ô `f hè à 0 uô

de Cô sö hà mg C ~ © he à ü¿ µ C df ô e h à g C

f ¡ f ¿ ä à ¿

Öå `f ãå `g e k è ` 8e f å ¡ f ä¿ ä¿ éà è f $ë áà þ ¿ ä¿

¿ h¿ `à © ì ¿ pf dà sö `à ä ã ` và &ö #y e

¨ `g 4e q g e p á `þ h

à ` äe à ©å `¿ ãå äg à ãå f l » ée è d äd hg à ¾ f g ¢ f hå
@
d )h Ò Â

k hè ãå `g e `è `e he ¤ o¦ f à ¤¿ äà

ä¿ à `d e ¦ üß và ö ¿ e ¿ `g e ¿
A@


d¿ ô e á 0 ô ô k `è f X d þ å ä¿ Cà ô
98 2
A

`þ C `f `e å X e h¿ `à e F `f

e ¿ `¾ `e lå äà Cà $f w ¡ f h¿ `à de äe ¤ e ` de Cô ö ¿ ~ g f ` »e Vå ` ãå `g 1 ` å h¿ äd Ì `e h dà

ô îe sô ¢g äà »g `þ §© à H ð ô uô `f

dû þ äe 2¤ à hå à de Cô sö Cf

m

éà `è å d ¡ 0 ~ö `e y ée è hà g C ô ¡ f

CÆ Ó xÆ T CÆ Ó e å # q g ` ãå Ög ¡ f ¿ C äö e X äe ¤ `f å f hå `g h¿ à ~ XÐ f d
U (L)

Þ

) 76 I

hå

i

f g hå à äà `g
q

he è hg `

g

© e äe e f e

0

à f `à

e

Ii

à

g

à ãå



äè

g

¿ è

à
u

à hd g vf ö f éf éþ è `e å ð 1 þ ¿ ) ô `e
Q

1

`è e è k `f ä Ð `f

l ì `f © P hå c i hå `g he g `à de sô #g $ ì C ä ¤ äe ¤ þw à f h¿ `à de C ¿ q g å i f h¿ và sö `à ä Ð ä éà è v oö ` 8e ì 4g á ãå `g 5 $ß e f `è
A

F ` e `¿ `è e e © sô Ög k `f e C ¿ hè ã `e å

Cô ö hg à äe `g `g `è f v¿ éf C `à e ¹ è
54

äà §g ãå `d e #e `è þ ¿ hå e äö e `à ée è è f r d g ¿ ¿ ` ` f ` å

hå `g e ¿ ä v¿ äö e C ¡ï h `à & å ¡i f i ° ö ~ éf è # hå e f å ée äè äg g f
f

ãå `à ` å éà uè ã à ü¿ å © © `f hå g ãô và ö f ä à h ¤Ð `g e ¿ ` ä¿ à f ` ê p `
2

äe g `e á þ hå à ¾ q 2y dà 8ô f `¿ Ie e ¿ `¾ e å ` Öe f d ¿ m bï å è f å f h `à ` e éf e à ~f uå ä¿ à R ð de Cô ö
f
1

ée éf è Ð äà g

¨ C ä¿ g d k è f ¿ éf oè {d ¡i f ä¿ à h¾ äà hg à ä à 0 ô à f ã ¿ f ¡ï h `à å ¡i 0 ô h å ä¿ à R ð `¿ ) sô `à å hf `g e ¿ å e å e hg ê f è l ì &à ¡y d f à å hd dà uô é è hf ` he é¿ è ¦ ãå `g e ¿ h¿ `à ©

g f ¡ f äd äg © `e C `f
10

d ¿ ¾ `f ¤ e 8å `f
Ñ v

ø `e f {d `e uå v¾ à Dà f h¿ và sö `à ä Ð `f e Ö @ Ii © äe `g Ôe C ü¿ de Cô ö äà üg `f må éf f å éè è e ud å d ` ãå ug e äd ` ée `è e å þ å e ¿ ä¿ à g éf áè þ ¿ ä éà è `è he `g me h éà è f ¤ è è

i f h¿ à `f ãå éà `è üå `à ée è l ¤ e ¿ h¿ &à u d `¾ fe f ä¿ và ö `à à ¾ `f uå äd å d ` ãå hå g hå `à å v ýö q `g `e å { e f ` å ée hè

`e he g Ôå i 0 ô ` de Cô ö äà g äg g h ê
2

Ü P 32 Ç d e h d e

)

hÑ

0 (' I



P

2

V = (P 2 , K )

A

V

P

2

f

AâV

C he ¤ `e © he äè mà k `è C '¿ 0 ô `à ée è d
V

`g v `e uô 3

f d !e äe ¤ `e ö C ` ` å `f $f `e ãå g
K

è

ä¾ hà äg )¢ µ fß #y e í ~ Ð f dà uô é

AâV

K

AâV

¡

de

`à

`e

V = (P 2 , K )

B (U )

ée ÿ} ` f þ `à ` hd ` e d

à f h¿ à Ѿ $ 8 u å ¦f #y de à ¿ q ~¿ Ð `e © 'e `d e
ß

` ãå `g `d 'e ¡y f ¿ C §d hå g

ãå `à ` å e hå » e î þ `¿ C f d ` e `e hå äg f Cà ô ö i ` de ãå à F ä à ¿ r i F C ` ãå `g
å

äe Ög e ) ãô à å hå g Cf Ôô `e ä Cô ö äà 'g Ii m `e hå g ¿

¿ ~ Ð `d ` å ¦e df à ¾ df 8 á þ d á þ d e l ß

lÛ å ~ g e

g Ì Ü B dy h và ` e 0 å e hd ä¿ `à Ce e ä¿ `à © he

Öf f ` `e à f ¿ ¾ `e å

Ò

ÌY äö äe g Cô ö à ¿ ãô g `g e

à h à Ce ãô g


é¿ è

e è äf g f



s

V



= 1 +

s

AâV

A

2

V

AâB B V
s

3e `¿ `à

e uô f ô e d

f

1

2

AâV

g

¦

V






| Ôå i ` hå g å h g f ¤ f ¿ e df sô äg à s¦ éf è # de sô g éf áè `þ © he `g ©e g e ` `e å e hd à §¿ ö ¿ å ä 8à ì 2 à æ à f h¿ `à de ãô hg g C & e h¿ dà ãô dà sö à e
3 2

h è v ö ~ C hå g äf g `e e hd à ¿ Í Ü D 4 l ì `f ©
Q
3

q g ¨ ¡ ) äö `e C ¿ éþ hè `à ãå g äf ¦g ¡ f ` e å äd à C ` ©å ¨ è f ` `e uå äd à C uå áè þ `¿ ) ô C ä 2¤ `à å ¿ ¦f ¨ C ¿ ) ô ~ g ä e hå Xø d$ ¢ ¨ h$ © i~ v ù® u 0$ d iµ 1v ¸$ i| H y 2' )| $ þ ¸ Cf `è `e å ð è f ` å ée hè äg g h ê Æ ` ±| m r i äd hà äg à h à o h I¤ d ö

d h¿ `à ãå g

Ii

C ¿ ) ô C h 1¤ `à uå ¿ &f ¨ F © )i 5ô `e `à h g ¿ C `å ãå `g uô f ã )y 0w 2 y 2¥ 2y | y )~ d iµ 1v ¸$ i| H ` C| g f ¦ à d `¾ e $å dd ö v ô ¤ Ii C ô k è
Ii
Ptr Q y=y
0

õ i hå g éà `è `e å ð C ¿ `e uå u¾ 1 u| å F¾ µ ¨ d å e u¿ ` ä `à ` e ¦ P y 1' )| ¨ $ â dÆ Ó @ éþ éè è C h ¤ C Ñö © f ¿ ð Ii
)
P
2
2



QP

Ñ I Ý

@

e h Ñ 3I P f » P h ë d S iÇ

AH

e Ò u

ã ` ±| ` b| g f C á hè g EC f d ä éà `è 2 `g `e h DC ø k `è `e å Ö he ¤ `e ` de ô sö äà g äe ¤ `e hå g e
Õ Ä B #Ä Ô #Ä Ö !Á À
B = (P 2 , K )

#Õ ÃÔ Ä B #Ä Ô #Ä Ö !Á À

v = sgrad H

C ¿ ä éà pÆ (X CÆ Ó vf &ö e d d

e u¿ F h `à ` e ¤ e ¿ u ù u u z e ¿ hå äg à hå à u hd äà hg à ä à éþ ` Ì d hè äg
P

3

P

2

tr

K

1

Q

1



: Q3 - P
S 3

y

0



s



3

m

B (U )

F (U (L))

B (A â B )



1

v

Q3 := F
2

-1

( )

s

è hÌ xÏ ¿ `¿ è f

d &ö P C Î fÌ FØ e f ` å ée

éà 5Ð hè `à å Ì g h

ê

Ä

0 GF I


{ )~ 0$ 0w # ~ d )µ v lw u{ ¦$ ê
P
tr

I{ dw ¢ | ' 1~ )| q l~ { |

y ¨x ' 1| y d© 2x |

y ¢ h$ #© i~ v ®

# )~ d )µ uv ¸$ )| ¬ y 2' )| $ þ

g ä ä¾ e
3

v ö ¤ `e å q `g ãå à ° &ö y e ` e
v

k äè `à ãå g äf 5g Tå t `è e ¿ f `¿ `e Ñå ) ô éf è s ¶¤ ` ` e `¿ e å 0 uô éf è s é¤ ¨ C ¿ h¿ dà ãô và ö à ` e e ¿ hå éþ è ` 8e

P

è f Ѿ C ä¿ Ð g e ¿ ©ì e

vd ö e v¿ ä¿ dà v ö

d ô v¤ g vþ äö e ãå `à hå äg mà h g ©ö #y e á `þ h à '¿ ãå `à d ö dà ãô g e å °¾ ãå `à d ö dà ãô g ° Tö
»
P w = sgrad H
tr

1i

# 2| áõ `è `e hå äö `e © e f f ä¿ à )i ô g üå )¢

C ¿

õ ` `e å e `¿ xe äe ¤ e å éà è e l hy C #¿ ¿ ä¿ và &ö #y e á `þ h à ¿ `d 0 ô e äd `g e x e ¿ ä éà `è e d¿ ~ö 3e e 5¿ E¢ `f ãå `g e ¿ h¿ và &ö y e á `þ ä à $¿ F ` ãå `g ) sô `à å ~ Ð `d ve mö 0 $ô x `f hå g `e å ¿ éd è ~ Ð Ð f ãå `à d ö dà ãô g hå g `e å ¿ éd è e ¿ ä¿ dà ©ö #y e á `þ h à 3¿ ¤f `e å ¿ éd è Ñ 3Ð q `g ãå à 0 ô `e å d¾ å Ñ Ð u d e ¦ ée è vf äö Fe ~ © äe là å ¨~ ' 2 å 0$ S # i~ 1 hx d d¢ )x þ 2 ¶| # ~ ¢ 1| y 0¥ hw d 2¢ iy v l® I{ w ´| q | iy 1v )' l$ d{ G ~ UT pÆ å d ` ãå g Ii äd hg à ¾ `f uå äd dà uô é è äf g C ¿ è à d ¿ F 5 æß ¡ f ä¿ à ¨y C ` © e å æe éf è d `¾ `e §å éf áè þ ¦¿ ¡y `f v äö e h à æ¿ q `g å ¡i 0 ô éþ äè à hå g hf #g éf éf è f hd äg à ¾ vf äö e f ä à g f dd ö & Ce uô e `¿ ) ô ä g ä `à h g ¿ C å ¡ f h¿ à ä¾ hà äg à h à
¸{ )y 0w y P $ q
y
Q
3

á ~þ Ð C ¿ e hd à ¿ ¦ ô e
0

`e å uð e d d d `¾ e på ¨ C äe ¤ e d å Cô

e `¿ ) ô ä g ä `à h g ¿ C å

sö

he
¤

`f ` ãå `g äà ©g C æ¿ ` Hå i `¿ ) ô f Ñ u d #y de e äe e ä¿ ` he `à äg u¿ ä Ð ô à 3å ¿ ée `è Ce ãô ` ÿà på

é¿ ¿ ` ü¿

e y äè Ð `e « þ `è äe 8à C 8¿ ` `è he $à Vå ¥© &à #y ée hg g C ¤ ¡

¦¿ 8¿ ì ì `þ f ä¿ à

ée ée ée ãå de ãô

f 8ì ì 8ì ì df fè # à p µ

¿ ~ g vf ö ö f ¿ F ` ` å h¿
tr tr

f ` !e ãå `e hå hg à H ð Ce
2

äe 2¤ à he `g e u¿ ` ä à h Cô sö hà §g

© 4e ¤ `e `à Ig äà

Ð ¤f hå å éà `è ` e C äe 5à e ¿ Ñ `f ¤å # de

`à C e l ¤ e Ð sô 4g

äg à h à 3 f à f ä¿ ) uô éf è s ʤ i f ` e å äd 5ß à f h¿ à ä¾ hà «g `è `e å uå f hå g e æ d u Cd ö ¨ v ô k mè `e å ¾ á è ` ±| ÿ} ` | éþ äè dà `e hå ë hà îg éâ Ôy e 8¿ $å e 3d Cf f `d de df ãô hg à ¦ hå äe `g !e äf Ð df ô © sô !g éà è $ö äe ¤ e
1

©

à à h¾ à C `à e ð ¢ e ¿ ¦f à ` hå `g ì ä¿ `g e p

~ äd e v Rf `à $à g à à

ãå `à ` å e îe q `g hå à ¿ u ) ô C h g `à ä g ¿ hg ¾ f hå äà hå và ~ö ö » `þ 2 v u ù v © «e ì df ö C ¡ f ä¿ ` ä `à Ce ãô g `¿ h à à u| äe `g 8ì ¤ e u¾

Ò pÆ (3 pÆ ä `à $ áà 1¤ à å ¿ f C ` ¢å hå ¡¤ ä à h¿ © ó| d å `e hå g e z ` hè à r i à à h¾ äà 8g và ãô g î g ¿
Q

(X dÆ Ó hÌ xÏ `þ h à ` hÐ à ä `à ` hå hg à ~e Ð f è p » Câ ¦ 0 Cô ée è `e å ð 0 sô và sö à ~f Ð C ` © `e ö `f © `þ © he `g 5e ãå äè à r Ii h
s

H ` he C à äg à

h iy fÌ FØ `¿ äè h @g å ée hå à ô þ e F ä `à ã ±|

Ì Í Ì Ü D å h¿ éà `è ée và ö `à ` e l k `è `e å hè äg g h ê äd hà äg à h à Ѿ C î¿ Ò å d `è e Ð df ô ä à h $à ì 1 à uå pf â C `f è äe å ¿ u
"¦
2

P

V

3



P

P2 â S

tr

= {H = const}

#& ~ ¸~ q `g ãå à F à d ¾ `e æå e ` `e å â `¿ 0 ô `e ~ uÐ `f e ¹ö e å é¾ e ¿ ~ Ð à C

`d e Ô ¨ ¾ C ãô @g äè

he 1¤ 'à ãå à ä¾ hà F ` e ¿ `e Ñå ãå `g 5 kâ mà © ©e ' s I¤ d
( )

H = const



x

v

P

tr

(w , v ) = (w , sgrad H ) = w (H ) = 0 w Tx Q3 ,

P



v

tr

Q

P

tr

x1 , . . . , x

w = sgrad H

v

n

:P

P

Q3 = F

tr

tr



Ptr , x y



P

P



tr

tr



-1

xP



tr

P

Q

v = sgrad H

tr

3

M

P

P

4

P

H

tr

H : Ptr R

°

Ñ |
y Gv )~ ¹® Py )~ 0 q ~ d ¢ y ' ~ ' )~ # ~ d iµ v w #{ $ $

X

 e

xÆ T pÆ `e ä Xg Xg i h¿ äà {g `è e

g f

`f

(X CÆ Ó hÌ xÏ Î Ì 9W áè þ h¿ äg à h `à å ¿ ¦f à ä à hå g e v¿ äö îe 5g `¿ ) ô ~ g h `à ä g ¿ C hå g e `¿ ) ô ä g ä à ä `d

EB Ø Ì æÜ ãå à ° d ô © k `à hå g äf ` ¤å g ¿ ` 8å Ð hd `g e )

Í ö hè 8 ô e



hd `à ¦ å Öf dy h và äö äe g e v ö äè và ö C ¿ æ p ée è $e òì ð
| )µ }v y ¨ P$ P¨ d$ #¢ ~ (A

V

RÆ (X CÆ Ó f ¾ f ¿ è ¡ f ` f Î & C e à @¾


lÛ g g #Ì S ä ¥¤ ¢ e å äd à ` å d `¾ he í
¦ d$ 0¢ d$ x

R
4

f `

ß ð hå g å
æ

è

8ö v C

å


Ñ |
P
Q3 w = sgrad H H=0 P
tr

8à ì C f hå `g e m¿ © &e f ä¿ à ¾ f ¿ C h ¤ e hÐ îà û C l¿ k hè `à hå g äf ©g ¨ C ¿ ¿ F ` e f I d sö à ø C `¿ ) ô ä g ä à ä g ¿ ` å ¨ C ` e å e äd à ¿ ø à ~f Ð C © `e äe ¤ e é¿ vè äö e ¹ `à e äd hg à ¾ `f ãå äà ¤ h à ä¿ ~e `e f d `e ` de ô sö äà 8g C `¿ 0 ô ~ g h `à ä g ¿ C ` å dà ô C


P P
e h Ñ 3I P f d

Ç

QP

Ñ I }Ý

hg e' P

Û d dÑ d

!

Ç Â ¶ I ¨ f  d e

)

î þ `¿ `þ uå ¿ C hå &à #y ée `f ãå `g e
°
P
tr

ô ä g ä à ä g ¿ ` f ` ¿ Õf å è `e å ¾ ¿ å ä¿ dà ô F `f hd
å
P

å c¦ f ¾ ä Ð e ¿ ~ e ¿
ÿ

k `è e f Ð `d e ` `e uå

å ée è äd à

ð H vf äö ãå C

C ¬¿ Fe ~ © he và ~ö s© å e

äè à ¿ hà hd äg

`à ãå g äf g î d C f å dà ô ° ö ¦ à ¾ hf ¤ de ô
3

s P p h éà è f C¿ ó á hè g ¤¦ þ å ¿ C f F ¿ æf `f ãå g e 2f C ¿ à ä¿ äe Ð `à d ö dà `þ ` e `¿ he 1¤ à u # e ` `e 8å f e Ñå ) ¨ © e hå g e u¿ Ѿ ° ö uô éf hà F ~ $Ð è s t¤ `f hå g dà ô `e © e h `à ` e o u f ä¿ mà 2ï à

3

e ¿ ä¿ ¿ å ¿ f äd äg à 8 0 ô
eR
w

à ¡y d ` C f F ¾ `f ãå äà ¤ áö e å ¾
w
v Q v

he ¿ h ãå

w

$ ¦ ~ â
Q
3

0z 2 y #® 1~ ´| dw 2¢ 1| y 0¥ w ~ qv )~ #® ~ § I¨ I 0w 2 y 2¥ 2y §| I¨ hw P »² 0$ ¹ iy ¦ d$ 0¢ d$ x I 0w 2 y 2¥ 1y p| y 0z d )µ uv ¸$ )| ¬ y 2' )| $ þ p )y dw ¢ )$ }v #¨ $ { ~ ¨ H$ à ä ±
Q

w

I¨ dw 2¢ 1| y 0¥ hw 2 ¦y i H )y P ² ¨~ ¡¨ Rw ¶¯ 0$

w

å 0z 2 y 0 I ® 2~ | ° )y 0w 2 y 2¥ 2y | dw ¢ 1| y 0¥ w P i~ qv )~ #® ~ w 0$ è iy d$ 0¢ ¨ d$ x dR dw #¢ ~ # )~ Ê® ~ I ¥ y ~ ¢ h$ å Py )~ d )µ uv }$ i| ¬ ¨y 1' )| ¨ $ þ v y ~ ¢ )$ }v ò y ¨x ' 1| y d© 2x ¥| P$ 0~ â )y 0w 2 y 2¥ 2y ø| y )~ d iµ 1v ¸$ i| H y 1' )| ¨ $ þ ø y ~ ¢ )$ }v v Py P~ Q& )ª v w
Q
3

)~ ) G ~ d 2¢ y $ þ

dw ¢ 1| y 0¥ w P i~ qv )~ #® ~

h

)y d$ 0¢ d$ x
w

q °
tr

g hå à ` á ~þ Ð C ¿
å )x v 0¢ 0w ¿
P

C ¿

|


h$ ) H y ã 2 fy °

a`
å

I 0w 2 y ~ ¬v 2| | $ }{ Py i~ ¬v | )~ 0 y }{ iy H )y ® ¡ Gv )~ ®
tr

2 y Q© dª ¨x ' | 2 ¨y ' ~ 2~ | 0$ )y 0w ¡y 0¥ 0w ¨ $ · ~

I Pw ' 2 )| ¨y G | 2 )y ¡ 2v i' ¨

G | 2 )y ¡ 2v i'
w

Py ¦

)y 0w 2 y 2¥ 1y Ë|

¦~ )~ ) G ~ d 2¢ ¨y n' r }{ iy ¦ ' 0$
:P

¦~ P ~ ²

{ )~ 0$ 0w # ~ d )µ v lw u{ )$ û



qv )~ »® ¦~ )~ ) G ~ d 2¢ ¨y u' 0 )w G ~ d 2¢ y $ þ

@¨ 0z d )µ uv $ · 1 y 0 0 §w iµ qv P~ P ó'

{ ¦~ ) ¨w P' 2 Ì| q | iy 1v )'

iy d$ 0¢ ¨ d$ x

YR

)y 0w y P $ q #& ~ u~ ~ I p¥ ¢ h$

-2 s

s

(v , M 4 )

P

t=1

tr

(v , M 4 )

=

sgrad H

: Q3 - P

P

2

tr

Q

3

°

3

c

hµ | 0x È® w

°

hw 2 | )~ h 0 2 iy uv P$ )' ¨w ' ¢ p² # ~ p² 0w r® x )x q )x q § I¨ hw Q© dª Px ' 2 | 2 ¨y ' # P~ 2~ | I¨ dw ¢ 1| y 0¥ hw 2 ¦y i ¬ )y ² ¨~ ¡¨ w ° P$ ¨' I{ 0w þ l~ }{ 1| | $ å 0z h 0 y 1v ¨$ )' ¨w ' ¢ ² Y

$ { ~ H$ à ä

± pÆ ¤ RÆ (X CÆ Ó lÛ g Ì Ü B Ì vç û êü ¨y P' « hµ 2 | x R $ õ k hè à ` äe à æå P & Ii d ö dà ãô ©g C ¿ ~ Ð `d ve µö â bR { ~ #¢ ~ # )~ x® å i F á äþ Ð C $¿ &à ¡y d lå éà )î C # )~ 0 P$ P' )~ 0w d¿ Px k äè `à ãå g äf g F e `¿ `e Ñå ) ô éf è k pÆ (X pÆ (X dÆ Ó hÌ xÏ Î fÌ FØ Ì Í Ì Ü D °

@{ 0z 0 ¨ ¨$ ' i~ hw 0 )y )w G ´~ q | x }{ y Q© )ª 1v )' 0w 0w d¿ 0¢ d x ã

P

tr

Q

3

v

v

P

tr

P

tr

P

tr

Q

3

å

Q dª ¨x ' 2 2| y d© 2x |

z }{ y 2 )| 2w | 0z $ x hµ 2 | 0x ®

3

Q

Q

3

Q

3

å

0$ p 0z h 0 2 iy uv ¨$ )' Pw ' P¢ ² )~ ) G ~ d 2¢ y $ þ u dw 2¢ 2| ¡y 0¥ w i~ qv )~ #® ~

z ¸{ y )| 2w ð| y P' ° )y dw ¨¢ h$

dw #¢ ~ )~ ® ~ ¥ °

0w þ d 0x ¨ s' hµ | x )~ h ¨ $ q & Ù

P

tr

= {H = const}

Q

P

tr

hå g ¨ de uô ¿ f ø

s Q3 = F Q
3

tr

-1

( )

ä r¤ `è Ð 3f `à e Ѿ C ¿

`e © äe `g 5 ¿ å ¿ C hå `g u


&e C ¦¿ vd ö & f F F p d É

5å

I@

IÑ ¨e d Ñ

Û d dÑ d s

) (f I

à



äè

5

¢

uô `e å `þ äf g
©

¨ de ô e Vå `à hå g

äd hg C ¢f ãô g

mà ¡ï f vd ö & ¾ hf ¤ de Q© `þ ¿ hè ° Tö 2i `g
R

üå

¢

± &

iy 4


ù

ì e uå f ` `e ` he ¹¤ e ¦¿ #y ée è á è © C ` e ©å å #e f ä¿ mà ¨ C ` © v ãô © $ ' )y 0w d¿ 0¢ d x T pÆ (3 pÆ ¤ dÆ Ó ` ¿ g ` d Ñ e `¿ 0 uå ¿ äf ãô g uÐ à äè xÒ uå e $å à f © ¿ hå à `g e `¿ å `e Q© `þ lk e ` d ãô ` ãå äg à Ѿ
w
x

á `è
å

d äf g Ì îþ éþ lf è d f $à

$ ¦ ~ â

I¨ hw Q© ª ¨$ ' 0z 1 ¢ 0$ °

hw 2 | ~ 2¢ | i~ v ® 0$ Ê { I 0w 0 )w ùv

¨ 0$ 0 Pw 0 q ~ ~ ø¢ ¨y ' 2 1| y ¥ d$ ¥¢ '

I{ )w þ # l~ }{ 1| | º$

@¨ ¨z ' i~ }v Sx I¨ dw ¢ 1| y 0¥ 0w )~ ¨ d$ ¸¢

@{ 0z h ¨ 0$ 0 w ) G P~ ~ p¢ 0z 0 ® ~ # l~ { ¦~ ¶ # i~ G ~ ~ ¢ 0w 0w 0 iw rv y 0z h 0$ 0 w ) G ~ ~ ¢

iy G ~ r 0$ ý 0$ 0 w ) G ~ þ¢ $ }{ y 2 )| 2w | # 0$ d )µ qv ¨~ ¨' ¡¨ w )~ ®

c

hµ 2 | x



sð à `f hå g 2 và mö áà þ ¿ ä¿ éà hè à ä à 4 å F ~e Ð ) ô e ä g 4f e `¿ ) ãô à å Ñ uÐ # © e à !¿ f ä¿ mà ¨ C ` ' v sô g f ¹¾ ¡ f ä¿ và &ö #y Fe C #¿ å e `f hå g ée è äf g f Ñ ¤Ð k p f hå `g e ¿ ä¾ à `¿ e hd äg `à ë© g ¿ éf è df uô 'f g )i uô ! e ¿ C ¡ f h¿ à ¨ ` ! de ãô g f ¹¾ `e å x¾ á è df sô kg î I 0w 2 y ¨© $ ¦ r' ~ ¬v )| Iw ¹¥ e h¿ dà ãô và ö à ` e 0 ô ô `f $f 5w à `e æå è ve ©ö Py u d C ¿ e ¿ ) ãô à å
1 = c 2 = c s2 = 0
1 2

CÆ Ó pÆ ¤ dÆ Ó lÛ g R 0 $ô ¦f y Ce F ` ve ö
c
1

xõ p q g å i fô è d á `þ éþ äè à hå g hf ¤g f f ` e î þ `¿ ãå äg éà `è ` he ug î

ö å äd þ ¿

`f ' ãå b ô äe à C ` 0 Ñô

äà éà è vf b I¤ ãð à `f Vå ) 0 ô uô ã 1¤ à § C

ô he ¤ hå g 2 `f ¤¿ e

ãð à f ` và §ö î $f w å b¾ `e

hå g 1 þ ¿ ä¿ C ` e ¤å q `g

và 4ö î éà hè à ä å u¦ d ô hå à 0 ô

þ ¿ h¿ éà äè à u f C ä 2¤ `à å § 0 ô

à h hd äg ¿ #f ô `f

à © à ¾ ¦f

3 ¨ C ¿ f `¿ e ¿ ¿ C f $f ¸w éþ

¿ ä g d `¿ e Ñå ) äè à `

f ~ áà uô éf he `à uå

CÐ k äè à þ ¿ ¿ ä g f è s ¤ ¡ `¿ f ` hå dg


hå g ~ ` e sö dà

hf Cg p d ` `e ` he l¤ à Ѿ C ¿ f 8Ð u 3 # hå `g e u¿ ` ä à ` e sô 'g Ð pf è f v¿ Ôö ¢

3 x # Y ! q y qx wv ut p # sp r qp i

v = sgrad H

1 ,

2

(x mo d 2 , y mo d 2 )

y

°

¡ Gv )~ ý® I 0w q ~ d ¢ y $ þ u 0$ d iµ 1v $ · 1 y 0 0 w u 0$ d iµ qv ¨~ ¨' ¡¨ #w i~ ®

c

(x(t), y (t))

s1 = 0

=

c c

2

1

v

å

hµ | x

@¨ 0z 0 2 ly ¸{ )y ¬ )y ®

R

lim x(t) t y (t)

`à hå g ¿ C ` ãå `g e m 4¿ f f d ¿ l ì 4e d Öd ¡ f ä¿ mà ¨ C ` § f f d ¿ l hà g ~f Ð F p© `è e ¿ ¿ C ` Q© þ q g hå à F á äþ Ð C '¿ q `g hå à C Ѿ C ~¿ Ð e © ¤e à ¡y d «å e ¿ á¾ `þ © e ¦ I 0w y l þ è ¦f 0y ô de ~ö e e vd ö d ô ù¤ hà dà ô ©x ` de ô d f î þ h¿ g ~f Ð å C ¿ df `ö `e e ©d ` `e Q© `þ ¦ äe ¤ e `¿ ) ô å h¿ éà è ° ö ¿ l ¤ì æ ` de uô d f " ~ g äf Ð F "© ` `e Q© `þ ! e ¿ ) ãô à å Ð f hå `à C sö dà sô «g d fd e ¿ `¾ `e Öå hà dà ô îe û à ` e æå C ¹¿ å ¿ vf ö ` `e e #d C ü ä äg g d uô Dd äe ¤ e d e f pï äà dà ô `e © Cô ö q `g ãå à 0 sô và sö à ` e f ä¿ mà ¨ C µ ¡ f ä¿ mà ¨ C ` © v sô g f æ¾ ¡ f ä¿ Cà ãô và ö à ` e `à
(, µ) =

~d Ð Cf ô h© C C hè `à d `¿ e 'd e e q g hå à ! å ¤e å äf `d 0 ô `e å äè g f ¾ à `f ©d ¦ å

1

äf g ãô `à và ö à f Ñ v¾ á ¡ `¿ e Ð e

8f ì äf `g e ` ¤e f à hå g á Ö¿ #y ée

~e Ð C è f g f ée è hÌ FØ Ì Í äf Ð ¿ ¿ Ð ä à Q© d¿ à e be | ä¿ ¨ de sô g hf f ¾ éf äe C è f éè äè å 8e `¿ mà 3g Ð 8è ó|
å

¦¾ xÏ F x© f à ` C u ` u ÷

© «e hå `g Î fÌ Q þ hè à ©¿ e ó| u ÷ ` ` ! äd hg à © ýe ` ¤|

R

B (U )

(, µ)

f í `f Ñ Ð ÜD 4 ` Q© `þ â u u ä ¤ éè hè dà ô


¿ vf ö í
w å

G ~

S
I¤



~¿ Ð e Ò

c2 = 0

g #Ì ô äe x d ô dà Iô


Cf ãô äg kà s

¹ @{ 0z d iµ ¬v y ¨ 0$ 0¿ )w þ # ¸~

df ô k è ` e á ~þ Ð C o¿ h ê¤ 1 à ¿ ô 8e Hy
)

X¿ e `¿ 2ï à à C

2 à ¿ ï à `¿ e à C ¾ C `¿ { e ¾ C ãô g q

1 Ð î p q g hå à ` à f ¿ C e Cf ãô äg à C


2 )y 0 iy þ d 0x ¨ '
H=0

g hå
¡i

hè `à hå g äf ¤g f hå `g e ¿ å ä¿ Cà ô F `f äd à ¡y d ` he g e äd hg à ¾ hf ¤ de ô e `e å `þ © C ) ô e d `e hå g `e î Ò ¿ C f `¿ e å 0 uô éf è s p¤ hè à &¿ C ¿ 0 ô le y P¼ )~ h 0 2 iy uv ¨$ )' Pw ' ¢ s ¤ äe ¤ e d¿ ~ö `e g 8f à f h¿ dà ô C C ¿ å h¿ à f 5 ¢ 8 @{ 0z d )µ ¬v y 0$ 0¿ )w þ # ~ e `¿ 0 ãô `à uå Öf #y de ô e o ) ô e d )µ }v y 0 èw u ~ Gv )~ ó® q `g ãå F äþ Ð C ¿ è C `¿ e FØ Í Ü D 4 Ñö C g d (X RÆ ¤ CÆ &d C ¿ F á hå à Ó hÌ xÏ ¤¿ q g hå äþ g `
Q©

ãå `g e u¿ ` ä `à e I

éà è `e å X f ¨ ée ãô g è e Ö¿ hå à h¾ `à å `è e ¦¿ #y de à F á äþ Ð C `¿ ` e ¦ he

u| ° k `è `e de ô e `e oå f o Cf uô f C §¿ e d `e å e `¿ ) sô `à å C ¡ f ` å e df uô f áè þ ¿ ) ãô à å Öf #y de ô ã ¦ @{ 0z d )µ ¬v y 0 w u i~ qv )~ ý® q g hå à F á äþ Ð C ¿ k ð © 0 ¿ ` `e uå äd `à F ` e `¿ e `è ö Ñ #Ð à ) ô e d C #y #â µ f f ä¿ Cà ô C Ñå ) uô éf è s ¤ df ãô hg ô e 2 )y h )y ¨ ' f ¿ `g e ¦¿ y `d e P C å e äd à ¿ è f ` å ée äè äe g ¦ $ ì ä ¹¤
1¤

C 3¿ e X f de ô e ` `d `e å `e `f C e ) mà Ii
C

ô e » q `e f å e å e ) ô e ô e $d `à ` ãå `g ãå

äe ¤ e g hå à v e ` e ¿ `e »d ãå e ` e `à ` å e

`è `e å ¤ Ñå ) uô éf è »¿ f C ¿ à l @{ 0z l ¿ ¾ f ¿ C äg g f dê he ¤ `e © he
K

ì C ä ¤ R k pÆ C ) ô e `g 4e ¡ f

ád éþ Î fÌ à ° `þ 5

à f Ì ä dà sô

á Ì `g le

ß

x # 9 # 3 x
Q
3



qp G qp ¥r qp i

ãå Ñ Ó g 3 v¾


e `e å `d ve ö
4

¨

` hå ä à ` hå `g e

¿ g e e ¿ `¾

Xf áè þ ¿ ¿ Ѿ C ~¿ Ð e `e å é¾ `e lå ¤g Q

0 0$ )w ¦ ¨$ )' 0 Hw à

`à

#y

g f



C ¿ éþ hè `à ãå g äf æg e v¿ äö Fe g Df `è `e uå ¿ C f q g äe 1¤ mà ¡i 0 ô 5 å ¿ f F ¿ f ð à f ä¿ à Ѿ C ä¿ Ð C «¿ ãå à ¡ df ô ¤ à ¿ kâ e ¿ Ѿ C ä¿ Ð e v¿ äö äe à ¹¿ ¿ C ` Q© `þ ¹ Vå `þ ¶© hå &à #y ée è hå `g e u¿ ` µ `f hå g e `¿ ) ô `¿ e f e ` e © ve pö i ãô hà g f u¾ î þ ¿ ä¿ à ` hå hg à `à ¤ `e © C «¿ q g hå à ` á ~þ Ð C {¿ q{ ~ á áè þ ¿ ä¿ à d¿ ô e á `þ Ö å å f ä¾ ©g e ¦¿ y ée $è à vd C ¹¿ 0 ô e æ äe ¤ e ¿ ` `e uå äd `à hd à `¾ `e ¤å `f hå g e ¿ ä¿ dà ©ö #y e á `þ h à C `f å # de sô g he ¤ `e © he `g e äe ¤ e ¿ ä¿ và &ö #y e á `þ ä à ¿ ãå `g e `¿ ãå äg à 0 ô e & he ¤ e ¿ `e å hd `à § `f hå g `e ` e `¿ e Ñå ) uô éf è s »¤ C uô hf g e uå p éf áè þ ¿ ä¿ và &ö áà `þ © äe g le äà `g 3 df ãô ég 0î à d ¾ `e å p éþ hè `à hå g äf #g f f Ñ uÐ f ~ à ¿ df mô v ãô ô e äe ¤ e ¿ ` e å äd `à u ` ` e `¿ e å 0 uô éf è s ¤ C ¿
0

d ãô g f de uô æ e `¿ ©e à f ä¿ à y Ce hè à F f å e á `þ ä à 4¿ q `g ¾ áà þ ¿ ä¿ `à f d `¾ e

`e å hd à C ` @å v¿ äö äe à «¿ å `f ãå éà è éþ hè à F f bÆ T pÆ ¥¤ CÆ ¦¾ ä à ä ) ô ~ g h `à ä ô e v ö à äè hg g C ¢ `e å Ôå i 0 ô hå `g © äe g ø #å áà `þ © he `g

è f äd hg à ¾ hf ¤ de ô ÷ `e å T¾ e ¿ ~ Ð ¹Ð ée è vf äö `e Ñ © äe là å k äè hg g C hÌ xÏ Î fÌ FØ Ì Í Ì Då è f ` å ée hè äg g h ¿ C ` §å e ¿ h éà `e Rå p ` uå ä¿ à R ð de éþ 4è `d ) ô e hd `g le å å f ä¾ &g e Ö¿ f ãå `g 5 Cß oe è f ` å ée hè äg g h
x1 , . . . , x i µ
n

ê

x # 9 # 3 x


p & qp ¥r qp i
B (U )

e f ¹d 1 mà Ii hå `g ãå `à ` å `e äe Cg p f hå g ¾ C ¿ e `d ) ô e lå à &¿ ° F hå g ¿ ` hå g e ` e hd `g §d î þ ¿ 0 Ñô h 2¤ à uÐ f `è de ©ö ¨y »d C ¿ C h¿ dà ãô dà sö à {e ¡ f ä¿ à P C ` § ¡ f d ¿ m ï pÆ (A pÆ ¤ dÆ Ó hÌ xÏ Î xÛ IV lÌ ¡g Û ¸

P

tr

i

i = -µi i > 0

ö §¿ `d e

k

... : n }

ÜD ê è v Cô ö ß #y ée d ¾ `e

P

tr

H>0 <0

e ¿ ` `e uå äd à C å e äd hg à ¾ hf ¤ f q `g ãå à ¡ ¿ C u Ñ he g áè þ



i =

x1 , . . . , x

-1 i

n



K



Z

P

tr

P

U (L)

tr

å ð C D¿ `f hå g e ¿ ä¿ e Vå
¦

e

`è
d



C

t

x1 , . . . , x



n

x

i

w = sgrad H

= {1 :

L

C

äà g è å

ö


3d à à

r

q

2©

df

0

` e ä¿ g f de ô I¤ e v¿ äö e
x

á äè vg hd äè à f ä¿ îf `à e
x

¤ à `¾ e ¦å &à #y de `¿ ) sô `à
K

q g éf è C ô sö à î å ¦f #y de

f è Ög ô e l

i ád f ¾ C ô e f `f hå e v¿ äö e

`þ å p µ » éþ g hå `à å ãå à

Æ u C ) e ¿ h¿ è à `e äe lg ád éþ è f
K
i

ô e éà äè ` è m

d h à « sô và äè

` C &Ð '¿ å ¨i `e ` Ce ô ¤ # ve &ö ¨y d ` &e f ¿ `y $ ä¿ ! `è sö à à »¿
4

F á ~þ Ð ¡ `¿ ` e 8 C u v ãô Ð !f `è ì ä ¤

d 5 ß ëÏ ¤ f ¿ và sö Ð C § f ve &ö ¨y 5d 8 e ` 1© à
- K

üf ß df #ô éf äd hÐ à ` l i ~ö

ëÏ f è C ¡ å 'e f e ) ô © f ò¿

d C ¿ æ `¿ e ¹d Ii e d `à e ãð `à e d

!¦ ` äg ¿ ä¿ `¿ d

ó| u ÷ ` R| g f & à mf i ô ) éà hè à ä à p Ii ãô `à å C f å è f ` å ée hè äg

F ` le g h

#Õ ÃÔ Ä d #Ä Ô #Ä Ö !Á À

` ±| ÷ ` R| g f &à y d å á îè Ò
N1 = { = 0}, N
i+1

dw I¢ ¥ ~ ð y Pz #& 2~ P| ~ u' q | Q ª d$ º¢ hz P ' °

¸{ )y 0w ¡y Q¥ )ª v 2¢ )| w P$ ¨ å

0w 0w 0 )w ºv 1y ¨| g' @¨ )z G ~ # ~ ¥¢ ¡¨ èw q{ ¨~ è ¨ d$ ¢ 0$
N = { = i }

dw 0¢ 0w d )µ qv ¦~ x l~ I{ l® 0$ s )~ d¿ iµ qv ~ Ê¢ { ~ P x² 0w Q

Q ª P$ )' Pw P& ¨ $


c|

2 y $ 0$ ¨® ' 2~ |
x
i

#¢ ¨~ ¦¨ iy þ # u~ º 0z d )µ uv I$ ¥ 0$ ¤ I ¨ ' i~ 1 x 0w 0w 0 iw mv

R

# ~ ' i~ }v x

# ~ ¢ )$ ¬v

# i~ G ~ ~ ¢ )y 2 y Px ' 2 2| y d© 2x |
K
m
1 i

G i| u h$ Q© )ª 1v )'

d$ ¢ #¥ ~ ë I 0 iy þ d 0x ¨ ' # 0$ 0 y ' )| 0 Pw ¤y $ ¦ ~ â °
m

$ ã $ · Ì 0z 0 hw
m
1


°

¬ ¨y '

c

0x d¿ iµ Gv ~ x¢ x { )~ 0 ¨ P$ ë ð¢ )y hw Q© ª d$ º¢ z I{ )w ®

l$ q{ ~ Ú$ )~ d¿ iµ qv ~ ¢ Py )~ d )µ qv ¨~ ¨' ¡¨ w )~ ®

c

hµ 2

#y

1

à f ä¿ và ) ô Q þ `e F ` de
¨

ö `à ` e &d å e ô þ¤ w

e ¹ è mf i ` C f ¿ ä »¤ äd à ¿ äè à ä `à Q© f
s

á à `þ 3 ô he

äþ g f ¿ h¿ à hå ò ãð à
I¤

`e á ` å ¿ à h¾ `g å `f ` ãå

äè à f 'e d g 1 và

ä¿ &à ©f 1 à ô C Ѿ ö áà

de Cô ö à m¿ 2ï à `¿ C ©¿ äà à þ ¿ ä¿

õ C `à éà äè à

q ég &¿ äd ` ãå äg à ä à

e ä¿ hè ä à æ äè à ä 0 e g îe Fâ à ¾ `e © Ѿ ¿ ¾ à `

¿ Ð $å pd þ ä¿

éà ô bâ dà sô

à ä C e và sö

e ` de ô I¤ á è f ` mf i ¿ ~¿ Ð e d¿ ~ö he e k `è e

| x R pÆ § ¡ `¿ ` `e uå äd à C vf sö à äe g à §¿ C ä¿ å à

)

¤ pÆ ¥¤ CÆ Ó hÌ xÏ e § f ¿ Cf å Q þ `¿ ) ô ß `d ~e ãÐ à dà sô và sö à ` e ô e d `è
N

K

C=C

m

CS

m

,...,S

m

(P , K ) K

,...,K

K

°

,...,K

å

¬ Py & iy lw u{ 0$ 0¿ # ~ p¢ q 2| )y hw Q© )ª 1v )' ° $ ã $ · $ q 2& iy

K

m

°

C

p

1

N

p

N

1

å

)y d¿ )µ qv ~ ¢ 0$

{ = const}

)~ 0 y }{ iy H )y ® # )~ d )µ }v Py iy ®

# ~ ¢ #¥ ~ ê

iy q 2& )y È { P~ è ¨ d$ ÿ¢ $

N

i

N

i

S

m

å

= = 2

j =1 p

)w ®

°

°

I P ' i~ 1 x dw P¢ ¦¨ )y þ Ù ±

Î Ì 9W 4ô î ä g ä `à ` å e ðÏ ¨ C ve &ö ¨y

EB Ø þ `¿ ) h g ¿ f ¿ h¿ éà d 8

Í Ì ô C dd ö äè à h v

- i

x

- 1

N

1

x

+ 1

+

i

x

+ 4

N

x

K

+ 2

x

N

- 4

2

j =1

i

x





- 2

m

m

j

j





i = 1, . . . , p

x

x

- 3

+ 3

N

3

i

i

m

+ i
p

ê

± '

&

X

± $

ãå

æÜ må

c

 `g e f ô à
¤



q

g hå à ` á ~þ Ð C ¿
l



¤

`e e `¿ `e Ñå ) ô éf è s ´¤ { ~ 0 ¨ 0$ )w P$ )' 0 p ` `e å C ä à ` #e Q þ ¿ ¾ Ð f u §f è `f ` e å äe 1¤ lÐ 5 uå ¿ C f ` éà `e uå °¾ ãå `à d ö dà ãô 8g &à ¡y d q

g hå à 0 ô

`à hå g ¿ C ` ãå `g e p C »¿ à f ä¿ và ö `à ~ Ð f e X `à e ¿ 0 ô hd g i ~ö © f ò¿ ãð `à e d Hw à q C f ø u© v æö C ¤¿ å Cf ãô và sö Ð C ¿ ä¿ &à y ` äe ¤g e f ä¿ và &ö dy ä `à


f ¿ ¿ f `è &å

C h S¤ î `þ e å ÷ ÷

`g ãå à F á Q þ ¿ å ãå `g e § C D¿ äè à ` | ¡ f

~þ Ð C ¿ ° ö ¿ hà dà ô `e hå g hf #g f h¿ &à #y de Cô
l

f ä à hå og F hå `g e sö à



±

' ¡

d äè và ö `à ` éà è ¿ C R k pÆ u pÆ hå ¹ e ¦¿ y ée è hd äg à ¾ äf ¤ de ô å l 5Ð RÆ

ä he ¤ `e @å `e å C ¿ dÆ Ó hÌ xÏ Î `g 5 Cß å ¿ e ` `e å `è `e CÆ Ó hÌ

pÆ ¤

å y ¬v | z }{ o| ~ ° ' ly { ~ ¨ o$ w ° 0$ z }{ y 2 )| 2w | # ~ ' )~ # ~ d )µ v lw u{ ¦$

ts r )q k 5n )i po n Qm lk ji

hw | )~ 0 2 y 0 #® 2~ ¶| ~ ¢ 1| y 0¥ w P i~ qv )~ #® ~ #° hg å hg å ½ I 0w 2 y u ~ v iy c® ¡¨ w 1| | i$ v r¢ 1y ýy hµ 1| y 0µ 2® y

0¿ 0w $ · p @¨ 0z 0 ¬ ly { )~ ~ P~ t

dª hµ P| )~ I #¥ ~ ¶| 0$ 2 iy ¬v Py 2 iy #® ~

` e äd hÐ à å e ` `e Q© `þ `f ãå `g e u¿ ` ä `à ` e î þ ¿ ¾ f ¿ C ä ¤ ã hà `g
x
+ i

hå `g e o à f ä¿ à e d 2 &à e

2y

Ö¿ '


Ð

fÌ Ø sö Ð C `à g f ê `d e ß å e äe g sö Ð C v¿ äö e è s ê
- i

Cf uô f äd þ `è e

f h¿ éà ~è f hÐ à å h¿ dà ãô và å ¿ C
- i

Ð ©f ¿ v sô và ãö e C ) ô ö à ` e f F ¿ f

f ¾ Cf ãô `à X Ð f d `¾ e d he ¤ ve &ö à ¿ v sô và ãö `g ãå à 0 ô
q
x
+ i

°Æ e¦ pÆ ¤ ä¿ à `¾ Öe e hå dà uô d C ä¾ `à å hd g vf 2ö éd è ~ Ð éà hè à ` Ö à f P © v ö ¢g e e v¿ äö he 8à hå g äf g e d¿ ~ö e u d `e `
t
i

Í và äg à äè äg Iy u 5 ` và Ð e uô éf h hå g

2

và ö

äö e

d `¾ e på

hå hg à ¾ e hd 1¤ dà &ô ¿ ¾ ~¿ Ð e d¿ ~ö he là p f ¿ C ä ʤ f ` Ce uô d f p 1 à ä à ¸ î þ ¿ `¾ þ u u ä ¤ i f h¿ à `f 1© Ð C `è `e ãå à f ¨i `f 1© Ð C o `à e ¿ `¾ e hå dà ô d ãå à ° ö ~ Ð ì C h ¤ ° ö ¤ fe í p éf è dà uô d ~ Ð Ð {f ¨ k äè à u¾ ô e m hå g e u¿ F h `à ` e ¨ å ¿ ¿ f ¾ Cf ãô `à Ii è ~ lg à ëy hå C ¿ C ä¿ y 1å f v¿ äö e C o¿ q `g å ¿ `f d ö &g ` 0 ô e d `è e v¿ äö e på hå hg à he mí ` u ¿ f ¾ df sô `à à Êy {å {f u v¿ äö ¢e C ¿ å s ¤ `f ¨y d 0 Cô {ö `e uå '¾ á `è `e å q `g ãå à C ¾ )i uô d ~ oÐ ãå `g e ¿ Ѿ C ä¿ Ð C f ~d ãÐ à ` å e u `d ) ô e äd g e à dd ö & Ce uô C ¿ éþ hè `à m à ¿ ¡ ä à Tå §t h à Ii ¿ ä éà `è f d `¾ `e Xå Ð of ¡ f h¿ à éà äè à h à 0 Cô ö `à ée è vf äö Fe ~ © äe à ¿ p ` hè à
t
i

Ó hÌ dÏ Ë `Ç é× h à ä à ©å d ãô î þ ¿ h¿ `à ` ãå è f ` å ée 2 `à ãå `g e ¦¿ ø ãå `g e ¿ ä¿ `g ãå `à dà ô ö f #y ée d ãô e C ä¿ e e å 0 è ` hè äg g å `f Ð `e ` f e è f
~ P

`à h C ¿ è ¿ Ѿ `¿ e å ée äè à Ѿ C ä¿

¥© ¢

x

~ l C 1 (P ) ~ ~ [l] C1 (P )/B1 (P )

y Px y ¬v ò| ¨¢ d$ ¤¢

@{ 0z 0 y ¬v Py 2 )y ® Ì~ )~ h d ¢ iy G ~ ¢

G | 2 )y ¡ 2v i'

f

CÆ


e

w

l

[l]



t

~ ~ : C 1 (P ) B 0 (P )

(Ptr , K )

= (l)

~ ~ : C 1 (P ) Z 1 (P )

äö e f h à Ð C ` © e è f å ée äè hg g f uê
~ C 1 (P )

éà `è e å © C ¿ éþ hè `à hå g äf 3g `e ` e ¿ `e Ñå ) uô éf è s ¸¤ { ~ 0 ¨ 0$ )w P$ )' 0 Hw à ¡ äf ¤ de ô ée `è äe ¤ äg g v üô y Æ s Ó pÆ ¥¤ CÆ Ó hÌ xÏ Î fÌ FØ Ì Í Ì Ü D 4 äè à `f hå g 2 và ö de uô d f `e hå g ¿ C ` ãå `g e v äö e C '¿ ¡ f äd `à e ' ¨ `¿ ) ô C ¿ äe ¤ e å ` e
Z w

l=

K

~ ~ ~ Z = [ (l)] H1 (P ) = Z1 (P )/B1 (P )
i



ti K

i

(Ptr , K ) ~ Z 1 (P ) P
tr

ß äf g
4

~ g f
¸

~ ~ ~ C1 (P ) Z1 (P ) Bi (P ) i = 0, 1



fÌ FØ f ä C f uå xÏ Î

à ä `à ©å ãå `g 5 éà `è e l y éþ hè `à hå g Ì Í Ì Ü D à ée è F l¿ ¿ C f ` ¿ xÛ IV lÌ ¡g Û

x

~ P

¤


}
v = sgrad H
s

þ h¿ à d¿ ô i hå g e H ° ö ¤ fe ée è f hå


e d¿ &í g

á þ h e ¿ `¾ `e å äà dà ô e f à ` ve uö e ` e å e äd
y=y

ô îe fû C ¿ éþ `þ uå ¿ C f ` ¿ §f ¨ e d ä¿ d ¾ `e å 2 à r i äd äà hg à ä à ã à u¿ 0 Cô ö à äf Ð C `
Û d dÑ d d
Z Q3 = F
-1

äè `à éà `è e ±| ` e äe
©

ãå g äf ï ð ±| u e é¿
¤

g f ` F ` e ¿ hf à f ä¿ dà dè ~ö e
w

`e dg sô và 4 `à


å hd ô îe sö à e `¿

à C Öå ýû 1 à ` ©e á uå ¿ C f

à f f äè `

h¿ và sö `à e äe `à Då g g ¦ äf ¿ {f è f


P

Ç P I

QP

Ñ I }Ý

{g |' P



Ç fÂ



å ° &ö y h `g © e f

f C Ö¿ éà hè `à hå g äf g e ¿ ¿ ` ` e f I d ö à
Q
3

à å

e

à &à f hf
¤ Ii

¡¤

ô F `f äd à v ö C ` ` uô éf è s ¤ C `à C ` 5 $ß ä d å 5 Cà ãô ¿ ¿ F áè hà à ág éþ
P
tr

#f `¿

ä¿ Cà hå Ñå ) îf g ` C ¿

¦¿

þ `¿ äè

hå và å

~e á

à

e äd hg à ¾ hf ¤ de ô e `e å d C ¿ f hå `g e ¿ d ¿ ` 5 ß ¡ f h¿ &à ¨y C ` © `e å e `è äe Ð C ` © ue y P & ¨i ° ö v ô © §e k hè `à ãå g äf g F ` e `¿ f ä¿ &à Py C ` © e å ©e © e ¦ ÿ} u z u| ¡ f h¿ &à #y de Cô ö à de ô ¿ ¤ &à y d ¤å V µ f vd ö de uô X e `¿ ) uå df ãô và ö à ` §e &à ¡y d å § è ¡ f `e å hd à ¿ ä éà è v $ö å C ` Q© þ e ¦¿ #y ée è e ¿ ¾ äf ¤ de hå `g e ¿ ` h `à ` e ò ð `d e å

v v Q3 = F
-1

å »g e 3 ô ä à C ô e

h©

¤ Ce ô e ` e #y ée Rè e e è ` g è f hd è hf d hå ` Ii g ` 4å üf u¿ å à D¿ Cg &à y ¿ áà äg ¾ hå hà ¤

¿ C f F ` ve e ¿ h¿ &à | `þ å s # à u z ` {| ±| u V ¾ `f uå u vd sô ug äè C ô e f ~ g f ä g ä äe Ð f
P
tr

hå `g e ¿ ä¿ &à 4 3e å f e ¿ ` de ãô e ¿ he g q g å `f e ¿ à å d ¤å à f ¿ F à f ä¿ à ¨y 0 ô C ä 2¤ `à 0 $ô x s Ii g Ii ¿ ó| u Cà `e y è f d
É ` äà ¦¿



Q þ áà `þ dà ãô và Ii

`e å e d ° î f d áà ö `è ée è ~ f d i u
Ç ëd

`þ f þ `¿ ) ô g 8 äd äg à ¾

3d @¨ z I{ hw 2 | 0x #® P~ ¥ `e ~ Ð f e e `d ) ô e ¦ y i u `¿ ) ô `f ãå äà ¤ h à ä¿ äe Ð f à
QP
Ñ }Ý

s

¿

hg g v uô &d å à ¿ ä g ä `à h g ¿ C à ` hå hg


f `d å C à Ѿ

e mf ï © e Hå Ii {d {
H @

ó| ô ée å C

y ` äe æg `e ` äe g¤ ` g ve §ö q g hå ` `e uå äd à C C «¿ hå g ` ãå g e ` e ` hå hg à C ` © e å 3e å ¿ f Ii hd äg à ¾ f å ¿ C f F à f h¿ dà ãô Q `þ e `e î `þ f Ii `¿ ) ` Q© þ ä
P
tr

e äd äg à ¾ äf e ä¿ §g e ¦¿ 0 ô e á `þ f f h¿ và `f v ö üg áõ C ¿ hd äg à ¾ `f å h g e ¿ Ñ Ð å d ) ô ä g ä à ä à h¿ f Ii à ` Ce äd à ¿ üf u f hd ô ~ Ð f e `à oå df hà ¤ ¿ ö e d `e à ä

sö à `e ¿ dà u ä uÐ `e hè e à ãô hg

ä g ãå h¿ éà uô é ve ¤ö ãå g ¿ à e äd `f § Öà p
s

q

g å f h¿ éà ~è Ð §f `e 5å É
¡ v

iÇ

¡d Ò I !Ü Â f Ñ Ý d )h Ò Â ¤ Û d dÑ d

38 92 xw

I

hg ' @

d dÑ d u

§f ¿ uô éà ` ve 5Ð

° Ñö Ñ !d « `è e å sö Cà ãô

f hd äg à e `d ) C 2¿ äà
[l]

¾ ô e éþ äè äg g

`f å hd dg `à ãå v uô

d $ @ì éà äè g äf ¢g d p

îô `þ © ¡ f à hå g hf g §e f f k è ` 8e ì ¿ 5f &à hy e `d ) `e ` e `¿ `e Ñå ) uô éf è s ¤ éf è å ¿ C f F sô `à å f hå vg ö à u C `e Q© `þ å e
0
~ ~ : C 1 (P ) Z 1 (P )

h¿ &à ô `e hå ¿ f å q g

¨y C 3g q g q g f Ñ

© `e å e i ¹ ée `è e ' «g å Öf dy h và äö äe g à å ¡i 0 ô s e `¿ ) ãô à å `f hå g `e uå V¾ ¤Ð à ¿ f
(, Z ) Z

`d 0 ô e & 2 và Xö e h¿ g è

~è Ð 8f ì äd `g e f he ¤ `e 5å f `¿ e e f ä¿ dà
¡

` ée è äà éà `è e 8 `¿ ) sô `à sô và sö à

~e Ð äg g v y å ` ` ¹e

{H

=

const}

[l]

~ ~ C1 (P )/B1 (P )



P

tr

Z

~ ~ ~ ~ C1 (P )/Z1 (P ) + Z1 (P )/B1 (P )

t=1

( )



Q

~ ~ B0 (P ) + H1 (P ).

3



P

tr

Z

0

¤ Ôå f `f I¤ d ` å

i F á ` ãå `g ãå `à 1ö e ée hè äg g

äþ g f ` e ` å e äe g dd ö v ô ¤ h ê

ww

d IÑ {2 d Pd I f  h

) 7z

`

å `¿ #¿ `e

F ¿ ö dà Iô k µ äd
¡y d

g dà

( )

`þ å 0 ãô `à å `f ãå `g ÷ u z ` h g áè Hë e "¦ Ñö "© äd hg à C ¾ C è f ¾ æ¿ ¿ þ `¿ ) ô ä à ä¿

hè à ` ¿ ` `è u d ¿ éþ éè dà uô é ö & ¨ mà © æþ ¦e ãå à ä g ¿ `e hå hg

8f äà à Ò äe g he fà í e F 5 ß hè dà ô â è äf g de uô e ¦ ç và ~ö © ` å éà `è


f g

Ð


`z ¿ f d C ~¿ Ð f å ¡i 0 ãô và ö à ` æe e `¿ 0 ãô `à å F ` ve ö dà ãô §g C ) ô e d áà þ `¿ ) sô `à å f ` å e C ¿ k è `e å ð à f ä¿ à f u© Ð C å i ãô và ö à ` e éþ hè `à hå g äf g e ¿ ¿ F ` e f I d sö à C éþ hè `à ãå g äf g `d `e å e f ée è e f f vd ö de uô e ¿ ) ô ~ g ä `à h g ¿ f C ) ô uô sô `è e f Cà
v

~¿ Ð ä
¤

ì


u f ¿ hå äg äe ¤ `e
q 0

©

d g g f


`¿ ) ãô ) uô éf f å ô e §d Ö f hd Ög Cf ¦ô éf è df gf
v

g å Cô æö
֩

d

F

`þ

p e äè mà

d

uå f ô `g ä¾ e v¿ I¢ ¿ ` äe `¿ à f hå à ° f ¿


à å ¦f y Ce ô e è s ¤ d h¿ à f 5 ¢ C f äg à ¾ f q `g ãå à uô If üg hè äf 1© à e ô `g le hå ö äe ä¿ v¿ Ð e hd ° e Î xÎ
tr

ï à `¿ l C D¿ Cþ ãô và ö à äà ©à &f $à fe uí á áè þ `¿ ) sô `à å f ` å 'e df Ôå å &e `f ãå `g ée è äf g `f Ñ ÔÐ m i de ` äè à ` hå üg e ¿ `¿ e å e `¿ ée è î þ ¿ ä¿ dà sô g f á¾ `þ d f ¡ de ô F ` ve ö dà ãô g `e áå p f hå `g e ¿ å ä¿ vd ö de uô « e `¿ ) ô ä g ä à ä g ¿ ¡ # `e ãå `g äe lg äà g äf Ð F n© `è e `¿ å v C æ¿ `f 1{ ¡¨ w ã G ~ { 2~ y q{ ~ t w
P
tr

«f áè 8g å ¾ ä¿ à ô F C ` #å he ö ¿ ` de sô `g
P
tr

e ld C ¿ þ ¿ ) ãô à å Öf `e © he `g me md e ¿ Ñ Ð u d e P C ` ! f `f äd e ¿ éþ äè à hå g ¤ ée äè à hd äà hå »g H ¨ C § u f d d
å

f d C ä¿ #y de ô f f ä¿ à l hå dà Ñö ¡ d ¿ 8 ¿ ` e å hf #g ág `þ x ¿ ¿ ~ g f f ¦¿ hå

!ì äd e ¿ v à ¿

¦Ð q g å e k `è ¡y df ô ø© äà dà f hå à ` ¿ F ` uô d f Ñ 5Ð µ
c'

i ãå e å f ô ° Ñö `g e ¿ 1å `è e f § 3f ¡ f | 8f

`g $e e ) m f e d C ä¿ &à y `e å ¿ C I d sö v uô ä¿ mà ¨ C ±| `

¿ C e 8d f hå Ôö ` F f " ` H |

` äà mà e ¿ e 4g e ¿ f äö e äe ¤ e ¡ f k äè à

¿ üf Ii à ¿ h¿ `à ) ãô q `g ä à æ ä¿ dà d ¿ m ` äe à

à ` ` ãå `g hd äg ãå `g å f à 0 1 à sô và ï »å â

{f áà þ ¿ C f `¿ `e Ñå C å µ 1 dà hå hg ld ãå å e äe `à ¿ ãå `à å e äe d¿ ` ve ô f ¿ 8 sö à ¤e e bÆ CÆ Ó CÆ Ó à Ѿ `à ` © `g ` ô e ¡ d ` %T pÆ RÆ (A pÆ




ö å `d ) 8ì g ¿ Ѿ C hÌ xÏ hÌ xÏ

0 w # ~ 2' iy ¬ )y ®

dx 0¢ # i~ þ S º 0z q ~ # ~ ¢ Q dª Px ' 2 1| y d© x |
Q
3

¸{ y )| 2w ÷| @¨ 0z 0 P$ ' i~ 0w d¿ x 2 iy ÿ ' )~ 0$ 0w # ~ d )µ v lw u{ ¦$ ´ dw ¢ 0$ P ¶¨ w w dw ¢ h$ #© i~ v ò® y 0z d )µ uv }$ i| ¬ ¨y 1' )| ¨ $ þ ý )y dw ¢ h$

0ª 0w ¨¿ h$ 0 2 )y )w G ~ P$ ~ ¢ w
Q
3

°

I¨ nw

0 hw Q© 0ª I $ ¨ 1~ ó|

P$ ~ ~ d¢ iµ Gv ~ ë ¹w $ ¦ ~ ÷ 0z h 0 y 1v ¨$ )' ¨w ' ¢ r² )~ ) G ~ d 2¢ y d$ þ x dw ¢ 1| y 0¥ w P i~ qv )~ #® ~ z }{ y 2 )| 2w | hw l² $ P ~ â å 0$ è 0z h 0 y 1v ¨$ )' Pw ' P¢ ¹² ¨~ 1' iy dv v ¨w ' 0x )w v °
v

w

~ ¥ °

°

I{ èw u ~ Gv )~ P® iy Q
-1

R

å

y Pz )' )w 1 »¢ y Pz ' ~ v 2 2y h| )y hw Q© ª d$ ¢ 1y 1| )y ¬ )y ®

¡ v h$ 0 y q{ ~ S{ I 0w y P $ q #& ~ ~ @¨ 0z h 0 0$ )w ¦ ¨$ )' 0 «w I¨ w 0$
v

Py ¦

w

àä

w å

z ¸{ y )| 2w |

¨z ' )~ # ~ d iµ v w #{ $ m 1 °

)y dw ¢ )$ }v

ó| u ` R| } {~ ÷ u z ` R| } ¥ pÆ (3 RÆ CÆ Ó lÛ g Ì Ü B Ì
R
å ° 0ª 0w ¨¿ h$ 0 2 )y )w G ~ $ ¦ ~ " ~ d¢ )µ qv ~ r ¶w P$ ~

@{ 0z 0 q ~ ¨ 0$ 0 w l& { ~ ¶¢ q | iy 1v )' þ )y Pw ' ~ ¬v | ÿx 2y )y P y ¬v | ð~ 0$ 0$ 0w # ~ d )µ v lw u{ ¦$ è ¢ 0$ P ò¨ «w å 2 y Px ' 2 1| y d© x p| P$ ~ ¢ ° #¨ d$ ¢ h$ #© i~ v c®

¤'

0 hw )© 2 # ~ 2' iy ¬ )y ® 0 hw Q© 0ª I $ ¨ 1~ |

P' ~ 0 ¨ 0$ )w P$ )' 0 w dx 0¢ # i~ þ Ì $ 1{ ¡¨ w ã G 2~ y { 2~ y q{ ~ «
w w

lz }{ y 2 )| w r| P$ 0~ â å }{ |
P

hz 0 ¨ 0$ )w P$ )' 0 pw )y hw Q© dª Px ' 2 | 2 ¨y ' # P~ 2~ | @¨ 0z d )µ uv }$ i| ¬ ¨y 1' )| d$ þ ù 0$ « 0$ Ë

0z y #® 1~ | dw 2¢ 1| y 0¥ w ~ qv )~ #® ~ w å ± å ½ö w H y I{ )w ¨® 0$ R ¯ w
w P , , Z

y 0z 0 ¨$ ' i~ 0w d¿ x iy w I{ dw 2¢ ¨| P' 2~ i| G ~ þ{ |
w

°

hµ 2 | x

R

¨x ' i$ ¬v w

u¨ l$ q{ ~ H$ à ö

@¨ 0z ã q l~ { 2~ y { ¦~

w #{ 0$ ¨ 0$ 0w # ~ d iµ v w #{ $

lz }{ y 2 )| w Ì| ¨z ' )~ # ~ d iµ v w #{ $ ð )y dw P¢ ¨ i$ ¬v ð y P' È

0z $ g hµ | x R CÆ Ó RÆ CÆ Ó lÛ g Ì Ü B Ì Y p ¡ f ä¿ và &ö dy ä `à å F d 8ö à mf Ii d sö Cà ãô g

( , , Z )

Q3 = F

-1

Q3 = F

c

( )

( )

FF

°

#¨ $ { u{ $ · 0$ w p @¨ 0z 0 # )~ 0w ¿ d$ 0¢ 1 x ã w ë& 0$ ¶ w x ¹ y lz I{ hw | 0x ® P~ ¹ y )z uv $ { °
v

c

$

)~ 0 2 ¨y ' 2 | y ' # ~ 1~ | y P' 0z $ hµ 2 | x

I¨ I Pw P¨ $ q #& ~ ¦~ P )~ {

lz }{ y )| 2w |

v



°

°

P

v

(, , Z )

( , , Z )

v

v

P

:P

tr



(, , Z )

tr

Ptr ,





` e à Ð hÌ Î xÛ

IV

¿ å d $ 0 ô )i ô m `à hå g å ß C ` äö ¦e )V B 4Ç lÌ ¡g Û
°

¸

: Ptr , ,Z

R
Y

c


÷
q

¡y

h¿ g ¤ " e &à hè ãå

è

ö

¤ )B C

f f ä¿ dà sô äà à äe ¤ e `¿ ) sô `à `à e ¿ å ¿ g hå hà éà
q

và `e © å C è 8f

sö à ` )i 2ô F ve sö f F &à y 5

ue f ¡ f dà Iô !Ò ¿ $f g C ¿

d ö `f # å h¿ à f ` e f þ hå g e °w äà mà Ii d
U (L)
m

g hå äà C h¿ f ¿ C `¿ ãå äg à sö Cà ãô

éà è dà ãô ä ¤ d g hå

f «f ¡ dà sö à hå g $e e Ö¿ à ¾

f å e uå C 2¾ d y ¿ ~¿ Ð e `e

à ` ä¿ à f ` f Ѿ C ~¿ 2d q Cf ãô äg Tå t Æ

`e å C ©¿ v uô ue ¡ v¿ ö dà ãô ¹Ð C h¿ dà ãô và `g å F f ` $à p P & ï h¿ xÏ hÏ ¡9 Û xÇ Î

d f `g e ö à å k éà hÌ Ï

he ¤ e hå ` e äg g C $ v ÜB Ü

µ d å äe ¤ e g à ` e ¿

¨

¿

~f Ð ` © he ¤ e ` e å ¿ ä¿ éà lè E C ` e d å ¬¿ &à #y ée è à `e $å C ¿ Ù Ê pÆ (3 pÆ ¥u CÆ Ó C ¿ f 3 e Ö¿ ¿ ô d i uô d f &à òy `¿
Q© þ §d à ág ø vf äö &è °
Q
s

e `¿ ) ãô à å ¦f y Ce ô e Õ v îô `þ «© ` de uô d f C C `þ Ii ¿ ¾ f ¿ C h ¤ Ii m Ii hå g hå `à å `e äe §g å 1 Ð 3 v ô à e `¿ ) ô ä g ä à ä g ¿ ` 4å e ¿ ° Ñö Ñ ¹Ð df ãô hg 3à e x¿ á áè þ ¿ ä¿ á `è e e ¿ `¿ e f d 8 ì `f © e f Hd {d f f ä¿ &à ¡y Cf ¡ f ä¿ à de ãô hg g C de sô g `e Tå ¹t b uô d f ¤ Q þ ä¿ g äf Ð F m© ð de Cô ö äà &g C f 4å Ce ãô &g äe ¤ `e © äe g ¤e `f ãå `g e `¿ ãå äg à `d #e
Z

© e å ¾ d f x dà sô và sö `d `e å ô © f Q þ e ¿ ä éà

æ H h¿ dà uè ã

h¿ 3e e f ãô và à á

i f ~f F © he ¤ e Ѿ C ~¿ Ð e ° ö ~ vÐ µ q g f ö ` e e à ¾ 3

Ð ¿ ¿ à `þ hå

å h¿ à f e ` e å v¿ äö e 1 à f r i F ¿ Ѿ C ~¿ ég è df
q

` e `à ` q `g hå å hf ¤ Ð e v¿ ~ö `e
0

å C ` ãå äg à Ѿ à 0 ô ä¿ à f ` 8e # ãå g äö e ¿ C ¿ éþ S ¡

ô
¡ )

e `g

¿ f

à

C

Ii `e å e d hÐ à h à R¾ l éþ éè è C h ¤ C ð e ¿ å ¿ C f F ¿ f e ¿ ¿ F å ¿ C f uå q g `f ~ Ð

î þ ä¿ g ~f Ð F È© è e ` `e Q© `þ ¹g q ég äè à h `à u© Ð C ' v ô C Ѿ C î¿ pÒ p éf áè éþ è hf g `f þ å ¿ C f F ¿ f Tø u d `¾ `e å Ii ¿ ¿ ` ` e hf g d $f $ì äà $à ãÐ u mf i hd äà äg à ä à v ° î `þ f ¤d î éþ è `f ãå `g ve 8ö hà äg g v ô Öd ¦ `e f e f e ¿ ¿ ` ` h¿ à ä¾ hà g äe 0 Ñô h 2¤ à & ¿ h¿ `à e ` ãå `g vf ¤ö ¿ `¿ ¿ C ` e d 8f F 'ø å ¿
e þ å äf g ¿ of þ

e f f ì C f

d F ¿ f C ` `e 3å F

l ì `f © of Tø ¡ f î þ ¿ ¿ f áà þ

~ !Ð à ä à §d !d e hf ¤ e C ¿ e `e

q `g å ¡i æ¾ u mf e ¿ h¿ `à þ å ¿ e © äe g d $f ¿ ) ô ~ g ` de uô d f å v¾ á

` ãå vg sö C f `g 4e C 3ì f ä `à h x î è f hå éà

äö `e Ñ à h F ¿ d g ¿ þ ä¿ `è üå

`f ` Ce ãô `g æ f e h à ¦¿ C of ø d ¾ `e 'å C å ÷¦ `f ãå å C ` g äf Ð F h© C dÆ Ó pÆ u
¢


s@

I Ñ e }

{g 6

Ç Â d dÑ d


P

Û Ñ Pe d Ñ ¨ f  I f

É

e df Cô ö `à C h g è `e hå 8e hß f `è e ` § h¾ à § hå và ö f u # ãå `g e ¿ hå äg à `d e u f d å He hf ¤ C ¦ö e ¦¿ Iy u ¿ df sô äg 3à f å e ` e d
P
tr

C e Q© e 4 p

#¿ ¡ `f `þ ' ¿ h¿ éà `g å
q

` de sô `g 8 hÐ `à ¹© ¹g å f u hå `g e lè h `f © ve ö e äd 2¤

` ¹| $f ±| ` | éþ # e ¦¿ #y ée !è e ¿ `f ãå `g e dà ô ` Ce ãô và ö à o

äè à ` ¾ hf ¤ de ¿ hå äg à ` ` hå

äe ô C g ä¿

à ©å ¿ `d §e `à



U (L)

3

Q

3

f ` e ä ¤ f e e è f e


U (L) U (L )

Z





s



Z

Z

P

tr

U (L)

f e e â â ß }
¡g

` é¿ ` 4Ç ` `d h¾ äà

g

1e q `g ö ¤ e Cd

C vf ö 1 à æ h¿ à d f


F v vf `e
Q©

`e

# f f à #å äe ¤ ¿ ¡ f à ~f Ð ¤ ¡ f à hÌ xÏ Î )V B F ` e à ãå `g u #y ée bè ä¿ à f p Tå è éþ éè ¨¤ e ¸¦ ì ãå äà éà è å à u¾ ô $ö áà Ii Q© ¦ äö Ñ Q© § u u¿ ` `à e Q© | `þ `e þ ä `þ `þ hÌ xÏ

å ` `g e `e ` CÆ Ó

å ä¿ e ¿ ¾ f å ä¿ ` © `e he å ä¿ hÌ xÎ f å ä¿ e ¦¿ Iy à f e ` e è C ä å h $à f p ` ãô Xg ` de `þ ä là f d å e e å e e å e å e Î xÛ IV lÌ

Û
¸

) 7

ì `à å ¾ d



å hë å

F ` e ` ¤| f ï ¡ ä¿ 4ë °

df Ñô éà éà è

è ` 8e hè à ` he H e å ô e
)


` f Öd y f ¿ d ãå g df 'ô ãå `à hå `g ãå `à ` å `e äe 4g u ) ô e §d `è e ¿ ¿ C ` Q© `þ ¢ ` `e å Q þ ¿ ¾ f ¿ C ä ̤ hè Hà ¡ f Ii hå g hå `à å `e äe g f k `è `e å @ e 0 ô e @d i ~ö ¡© f ¿ sð `à e d d è f ` å ée äè f d ¾ `e å ~à Ð C © `e e ø 0 ô uô `f $f òw ¡ f ä¿ à de ãô «g `à Ce ãô g `è `e © he `g Xe C X¿ $ ì C ä Ȥ he ¤ hè à f ä¿ à y Ce ô e D f f ` `e å äe Ð f de ö i hå `g e ¿ `¾ `e §å »g q `g ãå à 0 sô và sö à ` De ¡ f ä¿ à h¾ äà ug he ¤ e `¿ ) ô ~ g h `à ä g ¿ C ` ¹å C f d u ¤d C f ¿ ä ÷¤ äe 2¤ à k `è `e å u C ) ô e d äe ¤ ve &ö ¨y Dd Cô ¤ö `e å T¾ å Ñ Ð `d ve !ö e ¦¿ Iy 5 å ¨~ ' 2 | )µ }v y ¨ P$ P¨ u éà éè äè dà Vô q `g hå à ° ©ö y ã `g © e ¡ f ä¿ à ä¾ äà Ôg äe ¤ e `¿ ) ô ä g ä à ä g ¿ ` må f ¿ F ` e ` hå hg à h kg `g e ` îe â pÆ pÆ CÆ Ó hÌ xÏ Î xÛ lÌ
{ ~ ë ' y P~ Q& )ª v { ~ ã $ · ´ 0w 0w ® ~ # ¨~ ¡¨ w P~ Ê ~ ° dv v ¨w ' 0x w dª hµ 2 | )~ #¥ ~ ¹ ÷| q | iy ¬v Py 2 iy #® ~ hµ 1| y u¨ $ G ~ ó å 0$ iz v 0¢ 0w t¿ y 0z 2 )| Pw P¨ ¦$ & y 0z q ~ P '
P
tr

)~ I ¥ 0$ P 1¨ )~ ~ 0w 0w ¨¿ l$ d{ G ~ ã 0 ëw ~ þ² ð~

R



þ ¿ C ` Q© `þ 0 s u ¡ äf Ð C ` © e äe ã # ó| ` T| g f p¦ à d `¾ Cô ö þ

Z Q
3 2

ô ö z u d p ¤ e é¿ dè `e uå e å ¿ C f
2 tr

¦ ~ö e v¿ F

f 0 Cô e ¿ d ãô và ö î þ `¿ å ¿ äö !e u ¿ ¢f q `g Ôå

s

i

ö ¦g hå f mf C ¾

và ~ö F i df ãô Ð

f vd Ñö »© `e ãå ¿ 3f C hd äà äg à C »

å i ° Ñö C & de ô @ j "¦ e ¿ ¿ ¿ f vd Ñö ä à é ° î d Vd µ q `g e ¿

` ` he g áà þ ¿ ` ` äe g d & de ô éþ è f hå å ` ä¿ `à hå hg

m

8þ ì ) ô ~ ô ¤ äe ' áà `g u ` © ~e Ð à h

C h g ä ¢g þ `¿ ve æö C « Cg

¤ áà `à h g þ ¿ ) ô ~ e e v¿

äe 4e u #f ¿ pÆ (A pÆ C þ ~ g ä ¿ C ` hg g uÐ f ¦¿ à `f oe 8ø
y
0

þ © C ` Q© h `à v uô Iy 5 ö `f h

`g í g 4d à `¾

§å `e ` de sô à `f

x R bÆ %T pÆ u CÆ Ó lÛ g g #Ì S df sô äg Cà Ñ )~ 0 P$ ' 1~ | )$ ¬v 1~ | dÆ Ó hÌ xÏ Î fÌ FØ Ì Í Ì Ü D 4 de sô `g ¹ f f d F v ö ä `à hå là ãå à í

å b¾ p f î `g ¹ `à `e ` de sô `g


`f ` þ uå l `à



#Õ ÃÔ Ä #Ä Ô #Ä Ö !Á À
0 m

à ô

)¢

` `



e `¿ ) ô ä ä g i de ãô ö à hg g á¾ f ä¾ 1¿ oe þ ¿ ä¿ h¿ dà ãô g à ¦¿ y ée

à ä g ¿ ` `è `e © he `g h¾ à h hg à 0 Cô g p ÿd e ¿ 1f à `þ äà d 5å

C ` d e å f `è ée p ¡ f

`e © å e u uÐ df ô ë© ¾ q `g hå à C ¾ ä¿ äà g he ¤ e è ~ö `e ~ © äe à hà @g he ¤

Q© `þ f ~d µ à h¾ df h¿ à ä¾

C `¿ ¿ e `¿

`e å ¿ ¿ æf p ô $f w ô e f òå ð ) ô h ä g ¿ C dà d `è ä g ¿ C
0

f uô `f ~ g uô ô ~ g

F d `à f h `à

f hå `g ée è ` `e å å ¡ $e ` å f f e ä¿ g ~f Ð F ` å `

hf g `f î þ ¿ à T í p ` `e å ~e © hè `e Q© `þ @

~ Ð le e `e 0 2¤ à C 1¿ f h¾ {g î Ð f e ó f à hå ve ö à ¿ C ~¿ Ð


`g Ñô h ä¿ à `è ¨i hå g e

äà hå `g ¿ Ѿ

C ¿ ` þ ¿ ¾ 8 æß e e v¿ äö

¨ hå `à üå de uô d f ù hf ¤ de ô ée p f ä¿ i f äe à ¿ e

ä¿ à hå äg p 0 à `è he p¤ mà ¨ C k è `d ) ô

~ uô `e hg ` 8e `e @å

Ð æf ¡ `f $f Q© `þ g v uô f f ì ¿ ¬f å F


`è e §d ä¿ d å á þ

f h¿ à ä¾ hà Ög äe ¤ ëw ¡ f h¿ `à de ãô ` e å e äd à &à ¨y ` & l ¿ l ì ¡ f ¦f y h và äö äe å f ¾ u e

g ¦g hå và ` hå f ä¿ à îè p

F

-1

(1 ) Q2 = F

1

-1



(2 )

2

y



s





2

1

KQ

P

3

1 tr

y

y

Q

3 1



s





2

1

P



K

°

X

B (U )

L=F P

-1

(y )

Q1 =

Q

y

3

ãå `g 5 ß äg g f ê `e © he `g e ¿ ä
¤ d$ #¢ ~

` ±| u Û
¸

V

å

(X ¥u IV ¡g ° 2 y ¨x ' 1| y d© x »| )~ # ¶~ )w ¬v 1| y y I$ d¥ ix ¬v | q | Q ¨ª ¨$ )' )w 1v ' 0$ h$ 2 2| | ~ '

)y 0w ¡y ¥ 1y | y )~ d iµ 1v ¸$ i| H y 1' )| ¨ $ þ

ã d$ R º z #& 1~ | x~ P$ ' i~ 2w | 0¢ w ã hµ |



u

å ö å




q `g å ` ° ö ~ «Ð å ã ¤ ée Xè ¡ f ä¿ à h¾ äà ¹g áà þ `¿ ) ô ~ g h `à ä g ¿ C ` !å áà þ ¿ C ¿ 8þ ì ä ¤ áà þ ~¿ Ð C # å f ¾ C ô e « f d 2 dà uô äd «g 2 à r i C sö dà e Ö¿ #y ée pè à ` `e å C ¿ v uô d f è &à ¸y he ¤ `e oå f äe ¤ e v¿ äö pe Ð f e
L

`à `e sô `g å ¦¾

Ce ãô g å äe Ð e e

`è `e © «f `e å ¤f f f d C v¿

he `g &e T¾ k äö Öe

C hå à è ` e v¿

æ¿ éf ¾ 8e äì ö

´y

å

à Ö¿
¡

h à


~e Ð `e dà sô `g lÌ ¡g ì ¤ äg g v d




`

»f `f
©

D¿ v¾ d uô C f

¦¿

ä¿ è d `

å

¿ y f d he ¤ p f d 1 Cà
#

¿ å ãå `e Ce 8g hå v ¹g C ¿ g
K

§è ¤å f ` `e e å hf Cà ãô ` ä C
Q

dà Ög và » 5g

ý©

4

e à

ãå

hf à ¿ Tå t e Û¸ ä uô éà d h `à e hd à ¿ g C

e g d

Q þ © Öe î þ ~¿ ! à #¿ f k e Ö¿ #y å f ¾ ô e i © e à `e C ¨ `g f k ` ì ¡
X

8e $ þ ` ãå `à ¿ &f
Ii

©ö
0

Ñô h ô 8e ) ô ô `þ » äe `g Ñ ö `f ~ö `e e
r i

#y

ée è

äe `g Ð C f ée è C äe `g å Ii è hå g

&à Ð è äà à 1¿ hå 8e df oô

`e «å f ãå `g e ¦¿ äì dà 8ö à ì ä ¹¤ `e 5å A `e !å à `g e ¦¿ Iy ` å `e äe »g p éf è m r i e Ö¿


u hå ` hå

vf äö !e C `d e ¦å `e uå e ¿ h¿ äà dà f )i ô `e uô äd Xg `d e Ii hå g C ¾ `g e ¦¿ y g hå `à å

q `g `è `e e hd g ¿ 'f l áß ¿ á¾ äe 2¤ `d e `e he xg

å le áß C v¿ äö 5 f e ä¿ g l þ `þ © e ঠéf áè `f
U

# ãå ¤g à e h¿ `g e ¦¿ ô ¤ äe u C q ì þ ¿ h¿ dà ãå g C ¤¾

ã ¤ ée C »¿ A à y `d q g þ ä¿ å `f å h ¤ ô hå äg dà e ¿


«¿ hå `g e &å C Ð Öf uô äd äö e à @ `þ © he #y `e å Ñô h 1¤ à

` `e å î y `d å F ` e f ä¿ à ä¾ äà g å d ~ö f þ ä¿ ) # de sô g ¢ µ q `g De pg C ` ¹ f è

þ ¿ 0 «e ä äg g v éf è ` äe ¤ e `¿ þ ¦¿ 0y dà sô và Tö äe ¤ `e © å f ¿ C u e Då và ¿ ä j¤ ¦

e äö
¤

å Öf
K

`f e hè `g e e v¿


å

`g e `à ée ô äd å Öô

Ì

Ñô

f

d

ä

§ ä à ä à å e äè hg äd g Ö¿ le ß 1 dà u sö à e `¿ he xà ê C
© ¢

` f Öd f ä¿ C h

e ¦¿ `d ¦¿ Hß C ` hå g å ¤ Ce »e `þ

$å

f hå äg à ~ Ð ãå à ` å ée è C C H e ¿ Ѿ C ~¿ Ð hè à ¿ C 1¿ e Ö¿ y ¿ äè à C ¿ ì î þ ~¿ Ð C
B (U ) L

« äe ¤ e ¤ e C ` `e äö e ¦ å C Q© `e å ¡y f ¿ và ö `à ~ uÐ þ¤ &à ÿy Ð f `f

hå dà ãô y é¿ d 1 dà `è e ä à `þ 4 p ` e e d å hå `f e ! áè å `e Öå Öf ãå `g e ¦¿ Iy
X

g Cf éþ ¿ vf u

uf hå `g è ä æg &à py og q `g å vf î þ ¿ ¾ äf Q þ ¿ 0 C ¿ f `è e ¿ ¿ è © q `g äö me C &¿ 2 g `d e e

¦¿ y `d e `e å `e å é¾ `e ä Ð `f e de ô ée `è he §¤ h 2¤ à 1 ¿ F hf ¤ # ãå C ` Q© `þ # ¨ hå à 0 ô f df ô F äf ¤ # å ` Q©


C u¿ p Cf 5ô 5 { äe ¤ `e hå µ 1 `à ãå `g å 2 Ð e g f 8 & r i äd äg à ¾ äf ãå 'g f `¿ `þ df ô

#y e é¿ ì C dà sô `g le y y l ' p éf è hå `à ô e ` e © `e å u¾ e ¦¿ #y ée

é å df ä é¤ f äf ¤ Ce ô ß C uô d f ¤ q `g u f á Ð ` © e ` q `g Ôå `e må ô `f $f p üå à `e `è e å ` e `è ~e `e å he Cg 0 ô d ýè á
1

2¤ à d he ¤ äì dà ö ä g ä `à ve 3ö hd e e `f he g p hå g C ` C ~ © e ` e ¤å `è e h¿ i äd äà è mf 0 ô ãå ¹w ¡ f ¿ ` q g

ì C ä ¤ éf áe p f hå `g e e `¿ á þ îf pÆ ¥¤ pÆ u CÆ Ó de ãô g `è `e ¿ ¾ f ¿ C e à ¾ f ` e å e þ h à h C ©å à på þ C »d f d `¾ ¾ ée äè `è f f å k Ii ¦¿ y ~ö ¦e e ä¿ g ô e #d `à e v ô ¤ he Tg p F ì© ¡ hg ö de áà hg à h¿ ãô Ce u f d ~ v e ä à ¿ dà ãô 1g ãô g hå à h g uô 'd ¾ )i uô
L

è ~¿ Ð và ¤ö â à î þ äd hg `¿ á h g ¿ `¾ e `e å e ãå g C e hå å F 1¾ `e ~ © e ) h¿ g g ~f Ð à ä à Ii d `f g C §¾ `à de äe hg g v hå à C

¿ ` e å C u¾ î ä à ¿ Î xÛ IV ©e C {¿ ¿ äe ée ì¤ å i v¿ äö he ¤ ä ÿ¤ ¡ e u¿ ` þ ` `e å k d 1 Cà uô äè p e ¹¿ `è `e ãå #g f d ` Q© þ `g e ¦¿ Iy ä¿ dà sô và 2¾ `à å ~e Ð C ` þ 0 Ñô h 1¤ 8f g 8 `þ © äe 5g hd f ` `e å e `è

áè þ `¿ hå g ä à hÌ xÏ © he `g ¶¤ `è he '¿ e f ¿ hå `g !å áà F f hg g C ô ¤ äe ¿ ¿ C 2 `à ãå e ¿ ãô g f F ` ¿ à å ¿ ãô g Q äg à ¾ Ð `g

ée è äe îe â
¤

S

1

KâS

L

K

e e

de

ô d ãå à

äd `d ` à ¾

L

Kâ


à e ¿ ä éà è d !ö 2 `g de ãô éà è f f ~f Ð ` © `e he ¤ e é¿ vè äö e § v ô k lè e ¿ `¾ `e å ãå `g ve ö ø e å `¾ å å f h¾ !g äè và ~ö T û p P F f ©d P k è `f ãå `g `
¨
F
-1

à `e



f

e á äè p P F
f
2

`¿ ) ô ~ g ¹g ã ) 2 å e f d

I{ hw 2 |

¿ e

Ce

hå g df ô
Ii i

©

¹e



C



`è e `¿ f de $ö ¨ C ô áè `e uå æ¾ v¿ u d `f å h à d dÆ 0x #® ~ V 1 mà i þ â l éþ éè ¨¤ e Ð ä¿ e ` `à l h¾
2





å

uå ¿ C ¿ ) p éf e `à `¾ `e å CÆ Ó ` á è C ä å ¾ è e ¿ ãå `g ãå ì 8g e 4g P &
¨ ©

` ¿ f ý `e ä Ð `f e p éþ è f hå g ` ö `f h à 5¾ u¢ è f r 1i éà è !f ¨ Ó pÆ 3 hÌ xÏ d C ¿ C vf 5ö e ¿ `¿ å s ¤ v ô e Cà ãô và ö à ` e ` å e äe g f e Ö¿ #y ée è `è ° ö Ñ Ð
¨i
f
s

`þ © e å é¾ ø ãå `g 5 ve 'ö q `g Ôå i ± & ±| ` ó| ¤ e Ö¿ #y ée i äd hà äg Î fÌ FØ Ì Í Ì f Öd y e f d l hè và ~ö T e ¿ Ѿ C ä¿ Ð C ¿ ¦ 8à å î¾ å s ¤ d `e ãå f ` C ¿ ~ g
K P

` æe ç
4

`è © ue e #y è C 0 uô ¿ l
¡

`¿

hè

°

¤



h `à ä g ¿ C ` å à f ¨i à ¿ e d ) ô `e å f ¦ f f d ¿ l ì e ` e å e äd P u dd ö v ô ¤ ¨ C ¿ ) ô å ¡ ¿ C u Ñ he ©g e î þ `¿ ) ãô dà äö å áe C ü¿ e h¿ à d¿ ô `f hå g e hd `g de uô C ¿ ã å ä 8à ì 2 à æ h¾ `à ` å e ¡ `f ` ãå g 1 dà Dö Ii ¿ å s ¤ v ô e &à ¡y d å e f u u f ìw äè à f ä¿ `à Ce ãô g Ii ¿ ì ø hå g 5 µß p f hå `g e è ée `è `e å e ä¿ Ð h g
y {H, f2 } = 0
-1

à ä à `¾ `e å `è e d e # © 8e T à `f å ¿ Ce ãô äg éà äè à Ö¿ #y æe å e ä¿ lg e f ô F þ `
M
4

hd äà hg à d ¿ ä Ð `f Ñ uÐ á `þ éf è f ä¿ `à ¿ ä¿ e `¾ ¿ F å h¿ dà 1 áè



e ¦¿ §¿ f ö ãå `g

äe `g ée ô d fe Ií 5 ß

æ p äf I¤ d §ö Ii `¿ ) 8f ì C h ¤ q q g hå à F á à ¿ à `f Vå þ ` de sô `g e hå vf ö ` `e e d g C i de ãô g ä à á &à y d Ôç l éþ è äf g C Ö¿ I ö ¿ uf f äd `e h de Cô äà »g q `g ãå @¾ å d ö `e uå
2

à f vd sô `à å ä g ¨ & äþ Ð C d C ¦¿ 5 à C ¾ q `g Ôå ´¦ C uô ¤å è f `f Ñ hÐ e ¿ C ¿ dà ô uô f à F á å f

ö v ô ¤ áà g d Ii r i 0 ô ¿ l~ e d v¿ äö C sô #g äè mà i 0 ô d f ë ` å ée hè äg g à «¿ e `¿ ä¿ Cà ãô và ö k `è e å æ u u df 5ô dà hþ g f ` e h¾ g äè dà

`è e h¿ g ~f h uê s ) ô `¿ e à ` e ãô ág éþ hÐ à Ñö © `f


` © ¿ h¿ `à f d u¿ å å f d hå g h à !¾ và ãå `g e ¿

äö Fe s à ä à X f D f d l ì `f e ¡ f ä¿ à ¾ f ¿ C ä ¤ e ãÐ îà û
$ #

#Õ ÃÔ #Ä ÃÔ Ä l #Ä Ö !Á À

%$ &
f
2

s # $ ±| ` ±| u v g f C á äè g ¦ f d `¾ `e å ãå `g e ¿ hå äg à `d e Ii C ô k è è f å ée äè hg g f Ôê l éþ éè è ä ¤ C df ö e ¿ ¿ e f d l ì `f Ì© ¨ ` f ¢d ¨ F ` Ce Cô sö hà g ø và ö Q¤ ãå `g 5 ß
@
d )h Ò Â

)@


38 92


|

iÇ

)H

e Ò u Ð

Ä

I 0 Ð



AH

e Ò u Ñ

Þ

M

M

4

Q3 â I

W

B (M 4 )

y

2

H

2

P 2 â S1 â I



s

s

y



W

f

s



s

(s, f2 )

y

y

W

s

W

P

M

y



4

s

( ) =: Q3 M



W

=F



4

(W )

V = (P 2 , K )


y

s

u

dþ ô k è `¿ ) ô

f2 = 0



s

s

f2 s


f

2

R2 (H, F )

s I¤ d ö ß 0 ô g f äè Ð `e à h à ÜD 4 f ¿ d ì `f © û e v¿ äö e ì ä ¤ ô e

©


)i ô e ¢ hå g e `¿ ) ô ä g ä à ä g ¿ Ô 8í áè þ `¿ ) ô ~ g h `à ä g ¿ C ` å å C ` Q© `þ



sô g 0 ô e ¡ ¨¤ h¿ # de sô s e ¦¿ #y ée oè à `è e
K âS v
1

`ù f ` `e uå äd à C $à ì ` ée `è äe éà $g he ¤ `e © he `g e ãå `g e f ä¿ à h¾ äà 1g `à `e å hd `à 3 q `g
3

&å è äe hå e ¿ ¿ ä¿ e hå à °

î `þ å ¿ ¤ de `g hå hg à h¿ #y e éà ` ` ¿ ) g ä e
L

e ¿ và ©ö hè à ô ~ ©ö #y e

éd è Ñ Ð ãô ©g Q `þ © äe e ¨ á à ¦¿ e §e f ¦ `à ¿ C å `¿ de `d þ ä v¿ äö h g © e
L

Ð f ¡ f ¿ F á hþ g C 5g ¢ C $¿ hå g ~d Ð ø `e uå F¾ å F e `f uå ¿ C s 0i ô e å !¾ h à ä à e ¿ h éà `è e v¿ äö ©e e
Q sgrad
3

` Q© þ î dà sô e `¿ ) ô ä g ä äe ¤ e å d ¤ hå và ~ö © e `è e ¿ å hè &à ¨y v ö g `d 0

`e uå C¾ e v¿ ö f ä à 5¾ i¢
0$ h $ ã $ · ¹ ¦~ P~ & 2~ | Ê~ ¡ v ÿ y i~ ¬v t| 0w 0w ¨¿ d$ hx 0 2w ´| # )~ 0 2 y 2© )y ® P$ ¨ { P~ #& 1~ | ë~ 0$ { ~ 2¢ 2| ¡y 0¥ 0w #® ~ # l~ { ¦~ ó
P
tr

éþ è $e ì e v ö r hè và ö 8
å °

¨~ ' 2 | )µ }v y ¨ P$ P¨ d$ #¢ ~ å ±

}{ )y 0w 2 y u ~ qv )~ "® G | 2 )y ¡ ¬v Py 2 )y ® ~ I 0w 2 y 2¥ 1y þ| 1| | )$ v ð¢ ~ I ¥ ± dw ¢ 1| y 0¥ 0w #® ~ l~ { ¦~ H s¯ # )~ # ~ 2y y Gv ¨~ ¹& )y
P
tr

2 y ¨$ ' Pz ¨ d$ ¢ )~ ® ô
s

y i~ }v m| { P~ #& 1~ | ~ då e å ½ $ r{ ¸{ iy v ¯ ° 2y 1| | )$ v ¢

2 y Px ' 2 1| y d© x x| $ q 2& iy ð ¦~ 1 y ~ P~ è ¨ d$ ¢
s

dw ¢ ¨ h$ © i~ v g® $ ã d$ R ¦~ P P~ #& 1~ | ¶~ 0w 0w y u i~ qv )~ ® ' ~ dx P¢ ¨ h$ #© ~ v "® ~ w
sgrad H

{ P~ Q& iª v ' hµ ¨ $ q º& ¨z u' )~ è u ~ { å

I{ ¡ Gv )~ ® 0$ d )µ uv ¸$ )| ¬ y )' ¨ $ þ
P
tr

å # ~ ¢ 1| y 0¥ hw d 2¢ iy v l® I{ w | ° q | iy 1v )' ° )~ d iµ ¬v y ¨ ¨$ ' P~ 2 iy }v | ° w °

0$ S # i~ 1 hx d d¢ )x þ |

P
tr

0$ 0 2 Py è u i~ ¨z 2' )y

$ { G ~ ã

i¼ I ¨w ' ~ ¬v | ÿx )y hw Q© dª x y ¬v s| 0z )y i Gv )~ º® ¨z ' # d$ ¢ h$ å d$ ¢ h$ #© ~ v ® u 0$ d iµ 1v ¸$ i| H y 1' )| ¨ $ þ }{ )y ¨w ' i~ ¬v | §x 0$ ¨ $ P$ ¨


~ I ¥ $ 0~ â

y ¨x ' 1| y d© 2x | # ¨$ )' 0w 1 Ê¢

0w Pw P¨ d$ #& ~ ¦~ )~ l p{ '

# $ I{ hw 2 | 0x #® P~ è hµ | x
(s, f2 ) = const

R

lÛ g g #Ì

Ii

à Ñ Ð
æ

u à

hå F

Öf &à ¡y d #å e x¿ à ¿ å C d à C ¾ C ãô &g
tr

à è # de ãô e hd äg à à `f ` de


`f ` «g ¾ f hå sô `g l ¿

à éè

ä

f éf p d ` u u

u `d `e e « e `d 0 `e 'å ö ¤ e 8 áè `¿ 0 ô 1 g v vd & de d `

å ô ° $ß þ !å Ñö å

C ä 2¤ `à å ¿ ô C f Q© ô ãå ãå g Ii

s

§f q g `þ C ¿ hd äg à ¾
P
tr

e he à ãå äd å h | v¿ g u¿ `à &à
¡

`è à de ä å ãô C p¦ à ¿ äg `f
2

g

pÆ (3 CÆ de sô `g l e `¿ ) ä à hà ¤ ä à uÐ äà à v¿ `g e 0 ô éf `þ Ì© è Fe à !¿ XÐ Ö¿ ¿ g C å vf äö e e ¿ Ce á hè C µå
P
tr

Ó pÆ 3 và ö 0¤ ô ä g h¿ ~e sö dà sô e Vå ~ © he y ¾ hf ¤ de



u¦ d$ ¢ ¨ h$ © i~ v ®

# 0$ d )µ uv ¸$ )| ¬ y 2' )| $ þ Ë

0 ô e éf è f vd þ f å äd Cà à f ¿ F ø éþ
v

`f Q© `þ ée è éþ è è r i 0 ô ö u å d uô è äf ` hå ãå g

P

é `e äè `à

vf äö Fe ~ © $e ì ¡ f ` e å ¾ x¦ de uô $ d ` ãå §g &g µ `f hå hg à h g äf g è

`d ¤¿ `g e à 8à z ` e e äè f `

å e ¡ ä ¿ h¿ và ` 2å ì 1 äö Fe F h Py u e å äd

f ¦d hå !f å h $à h `à !å `e å f¾ &ö y e á `þ ä áè þ `¿ ) ô æ f ä¿ `à Ce dà bô á äè g ¡ f ä¿ à e äd d »ö éþ $è g på áè þ äè g Hf ` e ve à C `

° ö ì 1 à ` ©¿ 1¤ à äg g äà ¾ f à ¾ C ¾ ¿ ) ô

e ô ¿ ¿ C ãå îà C h

¡ `à äg g lg p ` f C s ¤ Df ¡y ¢å $ ã è ãô e ¿ ) ô å uå `f hå ¤ và » X äà ¤ ä¿ Ð f f f dÒ ã u ¦| à f ä¿ Cà e `¿ ) ô 1¤

f ä¿ e ¹ e à # de e «e h à # ó| `à uå ¿

de sô e h¿ å ¿ d 3g k¾ ö `f äe z ` Öf `à

~ g ä éà è å å F ` ãô và ö ä g ä

`à ¹e ° à `à h

h g ée ö ~ å hf ` g ¿

sgrad

ô C ¿ ë

à f ä¿ à h¾ äà g

P

P

tr

tr

sgrad s

Q3 = F

=0

°

=0

°

y S )w }v 2| y iw ¬v 1| y °

~ ~ ë ly { i~ Q ± ö¯ ±

sgrad

0 = w () = (w , sgrad )

-1

( )



sgrad s

Q

sgrad H sgrad s



w Tx Q3 ,

P

tr

C ) ô e d C ©¿ q `g ãå và ö C h g C de k `è `e å ì C h h¤ Q `þ © äe g He ø và ö å Ñ Ð `d e m e ¿ ¾ `e å ãå `g ve ö

-1

`g le `ß à ä g ¿ ` å ö f î â
2

` `e å hd `à `d le ß ô e äd `g le ß

½¯

ä g ` å ¤f v `þ © hå è ¡ f df ô `þ å ¾
1 æ

¿ îô `è e ¿ © e hg và ö

P

L

sgrad

L=F

v = sgrad H

x Q3 .

(y )

K

L

V



(s, f2 ) = const
tr

P

v = sgrad H

P

tr

S

P

tr

Q

3

C ¿


|
S Mi = {Si () | (-1, 1)} M {H, f2 } = 0,
4 i f2 p2

ãô dà `è ée è ~ !g â Ð © `e he ¤ e é¿ &è C ¿ äd le éß `f ` ãå `g è ` å ée hè f ä¿ à ¨y
1

2 à f d ¿ l $ì q `g ãå à 0 ô äe ¤ e å éà `è e l Ñy éf è `f ` de sô `g 8 q `g ãå à ° ö ~ Ð f å 2 Ð © e Ö¿ #y ée è å C ¿ vf ö ` `e e ud î þ `¿ ) ô `d Ce 4ô à ` hå hg à Ѿ d â `e å `d `e uå ¾ p d §å f å C ` Q© `þ e ¦¿ y ée 8è `d ) ô e hd `g le ß © Hx ée äè à ` he `à `þ å ¿ vf ö ` `e e d äè à h `à Q© `þ `f ãå `g e ¿ hå äg à `d e æâ d `¾ e e f æd `d äe g od ø éþ éè è C h ¤ C vf 4ö e ¿ ¿ e f d l ì `f »© ãå g C æ¾ q `g hå à 0 ô » å h¿ éà f hå g 2 éà äè äà og `è ~e Ð C ` ¥© Ú¢ éf è 0 ô e e ¿ ä¿ và &ö #y ¡ `f ` ãå g 1 dà «ö F ` e `¿ äe hg g F å `f © e î þ ¿ ä éà `è e v¿ äö pe î þ å u ¿ éd è Ñ ¢Ð î þ ¿ h¿ và &ö y e á `þ ä à ¿ F ` ãå g 1 éà hè äà pg u f äd hg à ¾ f hå éà è C ` e d¿ ~ö @e q `g å © dy ä và äö äe g f hå `g e ¦¿ y `d e ¡ p f f å h¿ à f ` $e áà `þ ` e d C ¿ vf äö Öe Ôå 1i éà è f `e å C¾ 0 ô e 3 éf è f ` `e uå äd à C æå éf áè þ ¿ ) ô C h 1¤ `à uå ¿ §f q `g Ôå i 0 ô g f 5¿ 0¢ ) ô e §d `f ãå `g e ¦¿ Iy u `d 8e è f ¾ ~¿ Ð `e ¥© P¢ ± ë' C ¾ C sô mg ä¿ à y ée äè Ð `e h à î¿ à u¾ ãô !g äè mà ¨ï C Ô¿ 5 `e uå ¾ P éf è 2 và ö üf 1 g h Ð p f f å h¿ à f ` 8e áà þ ¦¿ #y de éf è mf 2i éà è 5f p éf è d uô d f ù éf áè þ `¿ ) sô và sö à { f ` `e å hd à C «å Ð f ve &ö ¨y d 0 Cô ö q g å i f hå `g e Ö¿ y d e áà þ ¿ ¾ f ¿ C h ¤ äè à ¾ f l þ å ¿ éd è ~ hÐ à ¿ f f ` `e å hd à C å áà þ `¿ ) ô C p áà `þ ` e d C ¿ df ~ö ©e éf è mf 2i éà è f µ éf è v uô d f » éf áè þ `¿ ) ãô dà sö à © f ` `e å hd à C îå Ð f ve &ö ¨y d 0 Cô C ) ô e d `f ãå `g e ¦¿ Iy u `d &e áà þ ¿ ¾ f ¿ C h ¤ äè à ¾ f R l þ å u ¿ éd è Ñ ãÐ à ¿ f f ` `e uå äd à C å áà þ `¿ ) ô à 0 ô e d p¿ `þ å ¿ éd è Ñ Ð 0 ô e ¤ f f `e å hd à C ` $å áà þ `¿ ) ô Õ #Ä ÃÔ Ä l #Ä Ö !Á À
xS S1 S
2 i

$

%$ &

$ #

sõ ó| u v g f C á hè g ¦ ¨ C ¾ C ãô 3g f å à mf Ii d sö Cà ãô g þ Ö¿ #y ée ~è Ð `e 2 dà ô e d Ð §f äe ¤ ve &ö ¨y ¹d 0 Cô Öö k ~è uÐ $f ì ` ée `è äe 8à 8ì ì vf Öö ve ö i ãå `g e ¿ ¾ `e å #g e å p¾ ¨ e ¿ hå äg à ~ 5Ð

Si () (-1, 1)

dà f ~f 0 ô e å g å `è ée §è e ` e

4ö ` `g f f f á ve ¾

á C e f îg å ` Ôå

f ä¿ à ä Ð å Ñ Ð u d áà þ ¿ ) ô e ô e ` e ô p ä 2¤ `à å ¿ f ¨ q `g 1¤ à å `à å f 8ö C h C ä
2¤

f d `¾ mö e Ö¿ f ¿ C ä hè &à ¨y `f å e ) ô hà ä¿ à f i 0 ô ¿ f hà îg ¿ 8f hà îg

H=p

ãå `à ` å e äe g äg g h ê C ` © e å e þ u u ä ¤ e å Ò 5 C
y ¤

`d me x d æâ e
©



æâ æâ d

v

S1 S

2

R

2

sgrad H sgrad f

f2 = f2 (p1 , p2 , q2 )

S

i

v

=0

dH (x) = 0

f2 q2

x

=0
2

p

1

q

1

f

2

S1 () S2 ()

p 1 , q1 , p 2 , q

s

2


±

he hè e

F É i C ¾ C ãô ¬g hå à ` ãå `g hå à ` å `e he ¤g u ` ±| u u g f ¤ á îè Ò Ì¦ äà hg g v uô d `è e äd äg à ¾ f ` e å ée `è äe t¤ &à y `è `e å C Ö¿ y ô ve ¹ö C ¿ De f þ ¿ F ` e äf g d 8f Xì `e f d þ `¿ e 1d `è e hå È f l Tß f áè þ ¿ `e å hd `à X C `¿ ) ô ä g ä à ä g ¿ ` @å v îô þ é© C `¿ 2e `þ © `e å ¾ p d 2å þ ¿ f ï ä `à ¤ `à v ö Ii m r i ¡ ¿ df sö `à å `f v äö e 1 1 dà ô e Dd Ð 2f `è ve &ö ¨y d C ¿ ø ) sô à & ¨ï 8 m $ ì C ä ò¤ he ¤ `e ãå þ ¿ f ¡ï h `à hè `à © ì C ä m¤ q g hå à 0 ô äè à de ãô g áè `þ © he `g Xe g äe 1¤ ¬à äè à f h¿ à ä¾ hà äg à h là ©ß à f h¿ à ä¾ hà g i ~ö © f ò¿ ãð `à e d ¬d ± p& f ± $ ó| u v g f æ f C ¾ C ãô g e `d ) ô e ¢å þ ¦¿ #y ée ~è Ð l 0 Cô ö f f ¨ å ä¿ à f ` üe f ~f Ð C ` © `e he ¤ e é¿ è äè hà `g D C »¿ e ¿ h¿ và ©ö #y e á þ ä à ¿ `d 0 ô e äd `g le »ß f 0 Cô ö e ¿ h¿ éà äè à ` e v¿ äö e þ `¿ e ` `e ãå g áà þ ¦¿ #y de ô e `e `f å e þ `e © df §ô l þ ¿ F e `f uå ä¿ à f ýe `e ` e d C ¿ vf äö e `e © Cf ô f þ ` e å äd à ý `e å 3¾ hå à C
sgrad
i ~ f2 p1

áõ è f ¾ C ô e ã ` ±| u ¦ îf ±| ` ±| u ´¦ P F f `¿ C î Ò áà þ ¿ ¿ # `e hå g e o ø và ö


` ó|
¦ 0

Cô 4ö ` ` e d C ¿ vf äö ¤e `è `e ãå e u bf

õ e ä¿ à d¿ ô e á `þ $ `à de ãô g `è e © äe `g ©e C ¿ v ô C h 1¤ à å ¿ 'f he ¤ e äd äg à ¾ vf äö e f h à § 0 $ô x C ¿ f ¾ df ãô à ¤ `e å x¾ e d¿ ö `f # ° ~ö d å e


`e f d q `g hå à 0 ãô dà sö à e
1, ~ f2 p1
s

`e å hà I¤ d ö ¿ `è e hå éà è C $ &à ¡y d §å q `g ãå à 0 ô

~ f2 sgrad H. p1

`d 0 ô e äd `g le ß

#

ó| ` ±| u
¦

áõ è f ¾ C ô e Ö å ¿ vf ö ` `e e md éà hè `à ãå g äf 3g e ¿ ¿ C ` Q© `þ X â
H = p1 , p2 q
2

v ö ¤ fe í hÐ à h à 3¾ q `g Ôå i © ¨y C á þ ¦ e ¿ ) ô `d de ô `þ å ¿ vf ö ` `e e d C 4¿ e å µ¾ á è f u¾ ô e ! f f ¡ d ¿ 8 !ì e `¿ à '¿ &e éà hè à ` äe à Öå e ' ° Tö 2i `g üå ¢ u d `¾ `e å ' C ¿ ä¿ dà ©ö #y e á `þ h à ¿
P M
2 f2 p2 q 2 f2 p2 2

f ` å k ¦è e å d¾ hå à C Ѿ C ä¿ Ð Öe e Tå )t

¡

~f Ð ` © `e he ¤ e é¿ è

`à å h¿ à `¿ e é è e ©d C &¿ ~ g ` æe ç

S1 S

a, b

2

sgrad s

sgrad H sgrad s p
1

f ãå `g e ô e d
æ



~ ~ f2 = f2 (p1 , p2 (p1 , q1 ), q2 (p1 , q1 )) = f2 (p1 , p2 (p1 ), q2 (p1 )) =: f2 (p1 ) = f2 (H ).

2

sgrad s = a sgrad H + b sgrad f2 ,

sgrad s

sgrad f2 (x) =

sgrad s = (a + bc) sgrad H.

=: c

s

s (y ) =

M

sgrad H

4

2

2 f2 p2 q

P 2 â S1 â I

2 f2 2 q2

p1 q

2



1

M ,

4



s

S

1

sgrad H S
2

S1 , S

M

2 i

vf äö e ô e C ¿ Tå
t

I& ` ±| u v g q `g å è üg m Ii f äf g d 8f ì à ä à Q© îþ â C p d 5å `þ e d C ¿ Cà h¿ dà ô C Ѿ C ~¿ Ð e `e

¤


` `à ve &ö ¨y d è `e hå e b ¡ ¿ ` e f ¿ df ô q `g ãå à ~ g u d dà ô e ' à e ¿ ` e å äd `à 3 x éà `è e l Ty å «e uå q g `f ~ æÐ à T¿ ÿà Tå à de ãô g è `e © äe g ¤e C ¿ þ ¿ ¿ # `e hå g e f
H f2 s f2

)

`g d à ¿ H ` å df
)

e ¿ h¾ à `¿ e äd hg `à "© e ) ô e Öd à ¡y d på äè à e d 8 x hå `g u h `e ¡i f Ñ uÐ f ` ãå éà è C C Ii ` e å e äd à ¿ hè éà `è u Ð `e p à 0 ô e d C ¿ þ å C å f Ѿ C ¿ æ C f ` å k 4è è `e hå e lù h¿ `à C ¨ ` á `þ å f ¾ & ° ö ¤ fe Öí `à e `¿ `f å e è Öf #y de ô e v sö à 8 ¦ß `e C ) ô e !d he ¤ `e © he `g e þ ¡ f ¿ C h p¤ @ q `g ãå à ád `þ å `d e å e ¹ `e xå
( ij )
34

f «d e `¿ ¿ vf ö ` e e d e ¦¿ y ée äè Ð `e þ ¡ f ` å k ¦è uå ¾ á hè &à ¨y df ãô

34

ãå ô ä 1¤ e ` `e å h à Ö¿ e ) ãô à å `d le 'ß hg à e å

d

ó| u ¦ `e å d¾ á è f u¾ ô e e ¿ ä¿ éà hè à ` ` e d¿ ~ö e f `d ) ô e hd `g le fß å C ¿ df `ö `e e d h è e `¿ å ` © 5e l þ ¡ f ` å k è `þ uå ä¿ à `¿ e é `è e d `e å ¾ d áå `þ å C C «¿ ãå `g T dà sô và Hö `è ée è ä og îâ e `¿ ) ô ~ g h `à ä g ¿ C ` ¹å C ) ô e d þ f ¿ C ä ´¤ » q g mf i C ¡ f ¿ C h ¤ 1 à ¿ 2ï à `¿ § {f 1 à ¿ h¿ à ` å ¿ » {¿ f d ¾ `e §å ¡ f ¡i ¡ ¿ vf ö `à äe lg ß `d äe hÐ à å e ùÏ Q Ii `¿ ) ô C ä 2¤ `à å ¿ »f i ~ö ¡© f ¿ ð i u d d è Öf #y de ô e v ô I¤ X hå à h¾ `g å e `è de ô C Ѿ C ¿ `è e hå ý f e ¿ ä¿ éà hè à ä à hÐ à ä à V¾ dà ~ö `e ã à h à $ f $ 1 à r i F ¦f øy `þ X Ii m r Ii ` ãå `g hå à ` å `e he Ñg Ii ¿ å C ` Q© þ H e Ö¿ #y ée è `þ å C ¿ vf ö ` `e e od `e ` de ô I¤ `à ` ãå äg à Ѿ d â à ) ô e d C ¿ `þ å C ¿ vf ö `
Õ #Ä ÃÔ Ä l #Ä Ö !Á À
-
2

$e ì 1 mà ¿ vf ö ` `e e d ád `þ å ¤f þ ` `e å e hd à ¢¿ 0 ô e H l lß ¡ `f ä¿ éà äè à ä à Ii `e e Õd hè à ä à
i
s

dÁ
Ö

sgrad s = -

sgrad s =

å à ¾ sô và e `¿ ¾

H s

12

sgrad f

sgrad f2 =

R



13 x



x, y

-

sgrad H =



H H sgrad f2 sgrad s + s f2 sgrad s + sgrad f2 sgrad = s f2

=0

23

14 y

f2 f2 + 24 x y

,

f2 = f2 (x, y )

u

sgrad f =0
13

s, , x, y



34

0u1

=

( 13 24 )2 + ( 14 23 )

=0

sgrad f

2

14

f2 f2 + 34 - 34 . y x x y



= 0.

2



ij

sgrad s =

2







s

, u

äe ¤ `e å þ ¿ f ¾ df sô îà â e `þ

( ij ) P
2

äe ô ¿ Q© hg d ¿ á sö s d ó| ä ä üå

`þ ¦ ` å
¢

à ¤f hå C à ô e ä¿

å µ e ¿ à Ѿ ä¿ và &ö ` ue g ä à g S °

`g Ce ` â #y e ` g ¿ Tö 2i `g

° ö ¤ fe í

Ii

v d þ ¿ Ð d e ö `

Q©

ö Ñ «Ð ° Ñö Ñ ) ô e Tå t f d hå g 2 và de ô I¤ îþ â


° f C

} f 2 dà ô e áà `þ f d áà þ `¿ ) ô C ä 2¤ `à å ¿ f äà `g hå à u hd äà hg à ä à C ` `e å e d ¡i f d ¿ l ì ø Ii f d Ii vd Ñö v ô ¤ å `f e ` hå g e e ¦¿ Iy u ¿ è $ `e uå C¾ ` `è e å e ! q g å vf äö Fe g æ e ` `e å 0 ô e ¤ î `þ f ¹d î þ ¿ ) ô C h 1¤ `à uå ¿ ¤f 0 ô ¤ö éf áè þ `¿ ) ãô dà sö à ¤ q `g å ¡i 0 ô C ) ô e d þ f ¿ ä é¤ `d ) ô e hd `g e p q g å vf äö Fe g X u f ¤¿ Ð »f Q `þ ä à V e `¿ 0 ãô `à å F ` ve ö dà Iô TÒ f éf è d ô C ä 2¤ `à å ¿ æf uå ¿ hå g ¿ e Öd ve {ö i ãå `g e ¿ `¾ e å ¹g q g å i ô i i sö à ä à `¾ {e i `e ä g áà þ ` `e å e bd å e éf è ¡ f ¡ d ¿ 8 ì éf áè þ `e å e äd à «¿ q `g Ôå i ° ö ~ ¦Ð áà `þ f 4d áà þ `¿ ) ô C ä 2¤ `à å ¿ f éf è ~ ©g ° ö ¤ he pí e ¿ ä¿ `à hå `g ãå `à ` å `e äe g f 1 dà ô e æ î `þ f ¤d î þ `¿ ) ô C ä 2¤ `à å ¿ f ¿ de uô d C ¦¿ ` de ô I¤ ¦ äe g h¿ äà ¤ ¿ #å ãô ág éþ hè 'g å 2i éà è f f f f ¡ d ¿ 8 Cì dà ãô dà ö `è ée è ä g â à f ¿ df sö §à f Cà ô u ¿ # q `g uå ) äö Fe g C f Cþ ô C ä 2¤ `à å ¿ pf äè à ¾ f p f æ d ~¿ §Ð äe ¤ e d¿ ~ö «e f hå `g e ¿ ä¾ à ¿ e hd äg `à p© «d q g å ` äè à ` hå g f f f ¡ d ¿ 8 ýì 0 Ñô 1¿ å e áà þ ¿ ¾ Cf ~ô å e d Tö 2i `g C §¿ áà þ `¿ á þ ä à ä à ¿ e h¿ à d¿ ô e á þ f f d u¿ l »ì 0 ô ¤ö à C ¾ C ãô og `è `e ãå c â l `þ ` e d C ¿ df ~ö e f f d C ~¿ 4Ð ë ` | ± 2 äg và ö æ I& ` ±| u ° g f æ ¨ C ¾ C Iô ± ± p& f $ ` ±| u ° g f § u ¨ u¾ ãô §g u f `e © ©e ¦ e å v¾ á è `f ãå éà f e `d ) ô `e å và ö v¤ hå g 5 áß ã ) 2 dà ô e ¹ uÐ uf äe ¤ de ©ö ¨y »d 0 ô ö þ ¿ ¿ þ å ä¿ à ¿ e é `è e d ð d C ä¿ 'Ð &f å ä¿ à ¿ e é `è e d ð e d C v¿ äö e §¦ éf è äf I¤ v ö Vå `þ © å h ¤ ée 4è 2 dà ô e 5 à f ä¿ dà ô C ¿ de uô d C &¿ e ¿ ä¿ `à hå `g ãå `à ` å `e äe g Cf uô f ¦ ` e d ~¿ !Ð å e `f ãå `g ée è äf g `f Ñ ¤Ð ¹ e å k¾ á è `f ãå éà
Õ B #Ä ÃÔ Ä l #Ä Ö !Á À
s



e d ) ô `e å e ¿ Ñ Ð d ü à f ä¿ và ö `à ` e Ö u f e å å &e uå q g `f ~ üÐ à ¿ d bd x ö `f # hå äà éà è $f ¡ h `g Ce ô e ý Ii ¿ h¾ à `¿ e äd hg `à © C u¿ î þ å ¡ d¿ ~ö e
,

¦



f `d ) ô e hd `g le ß } ` ±| u g f $ C ¿ dà ô e u î þ ¿ ` `e uå äd `à ¦ Ð f
1
= 0.

u = 0, 1

=0

f2

sgrad H sgrad

H s H f2

=0

sgrad H sgrad

s f2

õ

0

0

1

1

g (u)du

f (u)du

0

1

g (u)du



(0, 1)

H f2

0

=0

f (u)

H s

sgrad H

sgrad f2 = k (u)

f (u) =

g (u)

g (u) = const · f (u)
H f2 H s

P

1

H s H k (u) f2



=0

sgrad

u

s

u

u 0, 1

f2

g (u) =

k (u) = 0

sgrad H
s k( f2

r (u)
u)

u

u

f (u)

0

sgrad H

1

f (u)du

sgrad g (u)

5Ò


`è üå

¢

# `e ãå `g e 4¿ df uô f `è üå ¢


à ¿ ` e è e v¿ äö &e C §¿ df îô `þ x© f d `¾ e 8å áà þ ¿ ¾ f ¿ ä x¤ ! e `d ) ô `e !å hå dà Ñö S© k äè dà ô © e e `¿ ) ãô à å F ` de sö dà Iô fÒ à f ¾ Cf ~ô å §e `e å p¾ á è f ¾ C ô e v f f d ¿ l
¡

de

&

á îè !Ò d C ~¿ ýÐ he ¤ e ä¿ Ð C ä à h `à å



¾

Fz u v¿ äö e å df sô `à ä mà ï e å «ö å i C h¾ `à ` å e f d ¾ `e ¤å áà þ f h¿ à ä¾ hà Ög äe ¤ e v¿ äö Fe g Öf 4 df ãô `e å h¾ á `è `e æå ¤ ¹ì ¨ F f ` å k hè äg g p e ¿ ¾ äf ¤ ± e å !¾ p ¨ ` á `þ å f ¾ 3 ã ë e ¿ l þ ¿ ¾ Cf hô Ð C f
s f2

å {¾ e ¦¿ ¾ f ¿ ä ¤ df sô äg à C C sô g `e ãå `g xg ` ±| ô C ü¿ z ` ó| v g f äf ¤ Ce C ü¿ ë C ~¿ 4Ð

¾ äe °ë ô f d

Q

Õ #Ä ÃÔ Ä l #Ä Ö !Á À

%$ &

$ #



ô 2¤ v¿ f `

à

o© ¤

d

° Ð

© )i

îè lÒ l þ `¿ ) ãô à å ¦f y Ce ô e d Tö 1i g f f d ¿ l @ì ü p q g å ) äö Fe `e uå Ô¾ µ ¨ F á þ å f ¾ Ô å f `e ` ãå dà ô ` ve ~ö e v¿ ~ö ` ãå à »¿ äè à f e à d¿ sö dà sô `g e & q g hå à ô p áè þ ¿ ä¿ à ` hå hg à h Tg äà dà ô `e © f C ¿ e d¿ ö `f ä à l¾ ¨¢ e ¿ ¿ ° ö ~ Ð ö à ä à C ¢¿ h¿ `à C f q g å vf äö Fe g æg ¡ f h¿ và ö C ` äe !g äd à `¾ `e å à f ` hå g å h `g å Ce C §¿ ãå `g e `¿ á þ ä à h à i f d ¿ l ì uå `f e mf Ii d sö Cà ãô ¢g q `g å 2i éà è f 8 á ã éf è v hô Ð éf áè þ ¦¿ ¡y `f d ~ö e ä à ¿ ée äè à ãô và ö à ` e ¦ e ¿ f ¾ df ãô à e ¿ ¿ `e ô q dg ô 0 ô Ñö C ä à h à `è `e ãå È f `þ © `e uå ¾ d îå e
0 1

C ä põ ¡ ãå g $ ì ö ~ `¿ 0 ô

h¿ à ¾ f à ¿ f `à å ¿ Vf h¿ à ¾ f hè và ~ö ä ¤ äe sö à ~ g h `à ä

¿ C ä ¤ ¾ df ãô `à ¿ C ä ¤ æþ ç e © äe `g e h à C ¿ g ¿ C `

g (u)

h(u)du =

0

äà

± $ z ` ó| v g f g C f Ô¿ à f e
0 1

á

e

å

s

=0

0

g (u)du

r (1) - r (0) = 0

de ô hå g `þ © e å ¾ µ f ¿ uÐ of e Vå $ ì C h r¤ he ¤ `e © he `g ýe è ¿ f ¡ï h `à áè þ ~¿ Ð C o è v
r (1) - r (0) = 0
u
0 1

¾ ð ¿ hg Cà uå `f

è å e å e u
î

H s H f2

r (1) - r (0)

f

g

h

1

g (u) 0
u
1

#y ée Cf ãô ég dà ÿà `è å

r (u)du

h(u) = r (u)

[0, 1]

f (u) g (u)

0

f (u) g (u)

f (u) g (u)
f g

û

r (1) - r (0)

h(u)

h

1

f (u)du f (u)


`÷
¨
sgrad f
2

å

q g hå à 0 `à &à sy »å ä¿ mà Ð å ée f

ád

5

` »å ¨ C ¿ ) à ¤ &à Ìy df ãô ég î ì C ä µ ¡ f ä¿ à è
=0 P

î è à f dà ö

þ ¿ f d `f ¹

ô Df 2 à äè hg g á äè mà f

de ãô v¿ äö Ñ dê µ ¡ï f ä¿ à h¾

1g e © `g X¿ «e å äö @f u ì þ þ ¿ mà Ñ þ© à T¿ è äe

`è e Ôå éf áè Ú¢ p äà g î

äe vf ä¿ e þ ¿

ue Fe » C ä ¤ 2 à )i #ô ` `e å ée

¤

& P © 2y dà Iô å vf äö Fe î þ ¿ mf ¡ï ä à u 'Ð q g å ô e ¦¿ #y ée ~è äg g d uô d

`f hå g e áà þ ~¿ Ð C ¹ å ã ¤ Ð `e ø `e ¹ô
þ© 0i

ô e `¿ ) sô `à å `f hå g X hå à ¡ ¿ vf ö ée 5è `à de sô ug `è à å F ` äe Ð df ô
s

¡ f 2 và ¤ö `à äe g `e © äe C ¾ ä à ¹

` e å äd à C e ` 2© e ` 1© à p `g me ¿ C ãô «g u e Ö¿ #y ée

îô éà

©

Cà ô u ¿ 4 ¡ f h¿ à Ѿ C ~¿ Ð áà þ ¿ ¿ ° Ñö Ñ æÐ sö à h à C C 4¿ à u¾ ãô g `è `e ãå ¸ â p 2 dà ô e «d s äà `g u 0 Cô p ä éà è f C ¿ µ q `g uå `f © ve 4ö e Ö¿ #y ée è ¡ f ä¿ à

f ¿ l &ì #Ð v¿ äö «e ¡ f ä¿ e þ ¿ ¾ df 3à 8f dà §

df à ä¿ hô Ñô Ð

° ö `þ ~è uÐ C ©¿ æ

f e ¦¿ #y ée 5è &à ¡y d Öå 1 dà ô e þ ¿ f ¾ df ãô à þ ¿ ¿ ¿ ö f å e
i

å F ` e ád `þ ãå `g C ¿ e `þ © e å é¾ f d ¿

äe ©g p d C `¿ 0 l ¤ì

e ¦¿ #y ée ¹å å ° ô d `f å d ) ô

è á ö h e äd

`è äe Ñ ¤Ð `à 8 `g e

Ð C e Ö¿ à $¿ R p

` © e è f d #y ée è và ö ¤ f ¿ f äd hg à ¾ f

sô å g Cd f C e e


f d e v 3d ¿ d C d C ¾ sô
)

e

uå

u

ãå

äe ¤ ô d î vf ö ¿ 8 `¿ ) 1 g C h Ð f d

ì `à uô Dg ô d

ä ¾ `è { F

ô hå `e ` e

ÿà æ §f &¾ ä¿ «g

0

å `f e hå `g e e ¦¿ #y ée ©è `e ãå `g e I äà Cà ô `e ¥© & q ég hè ÿà ¤å e ¿ ) ô d `f uå ä `à gy

¿ 3ö d C ä¿ h¾ äà #g ä äg g µ C ) ô dí à ¡ f i f ¡ æd ¨ å k `è `e å à &à y 2 g à C ¾ g ãå e
h(u)



Ȍ e
q



ä üg e » 5è á

f ¡ `e uå u¾ p l¿ e è © e

`¿ u `f hå e `¿ e

hå `g e ¤Ð sö à ä ée äe ¤ `g & C ¿ `g 0 ô ~ g `¿ ä g ä `à F ö f f `¿ f f ¨ f k äg g C hà à äe ¿ à Hf e e äè ä¿ ~ Ð e `
=

ä¿ `à e ° ö Ñ à `¾ hè äà e `¿ ) ô d ô C g ` å ¤ ä hå äg f `

e u¿ § `e ÿà å e dà p &à

ó| Ö 4f f d ld à ãå `g e hà e `¿ 0 ô

d ud &à ùy d dà ô `e Ì© § d `f å h

`à

á áè þ ¿ ¿ ~ Ð `d ö à F á äþ Ð `d e dà e É v¿ e d må e ¿ `¾ `e å ée è ¿ ¾ `e å å f ãå `g ég äè à F á äþ Ð `d éþ e
2

ve ô äö `à Õe dà ô

§ C ãô `è `e &à ðy e ¦¿ è `e uå o¾

ãå à C


f

8g C



Ð e e ï à h g `þ `è å hè g e g ¿ h `à ¾
î ¢ §¤

`e å ée ¤d áè å f e e v¿ äö f i C h¾ dà ô © e
ï

d ¿ 8 Cf 5ô ¿ h¿ éà è f d ~¿ Ð e à h¾ äà äe S¤ `¿ ) ô ãå `g e C `¿ å äf ` å e 8 &à
u

à C ¾ C sô Dg `è e hå Ì dâ p `e f ¦d ä äg Ö¿ #y ée è e d C v¿ äö `e äè dà ô © e l `ß ãö hÐ à C `¿ e `þ © e å ¾ m Ii d å ãå và ö `f e v¿ ~ö ` ãå à k¿ äe ¤ `e 4å éà ÿd bå ãå à ° mö à 3¿ äe 2¤ à ¾ f ¦¿ à f ä¿ Cà ãô y e å f e v¿ äö e f hå `g e `¿ ) µ u f r i ád éþ è f 3 C ¿ `þ © e å h¾ á

g v ô 'd äe ¤ e Ii `è e Iy e ¿ `à {à E hà à ãô à `f hå g 2 và f ` å hf d 'å à
sgrad s r (u)

l h å f è f

hd äg à ¾ áè `þ f h¿ éà äè Ö¿ #y ö æg e f h¿ dà ãô

`e å Iy u ~e Ð C f ` f d à ` de sô g Ôå é¿ äè à ä à
tr

Ѿ C ä¿ è þ ` ¹e F `à `e hå

3ì F j!¦ à C f ë lí à f ` äg g v f ä¿ à h¿ ä 2¤ `à å 2 Ð ) e !d F 3g `e på f d `¾ y e å v sô và ö

e

«f f ée `è e « f ¿ $e ì C ä x¤ î ¡ f h¿ à Ѿ C ~¿ lÐ áà þ f `e uå é¾ e v¿ å à äd hÐ à )i ô e § u vd ö & ¨ de uô H e ä¿ lg p 2 dà ô e 1 éþ mè f ± e 2 äg và ö æ $ ` ±| d &ö e hå äg éà è ¨ ` ¾ C ãô Xg è e à ¾ p f f F å §g e ô C g e uô ¤f q `g uå éà äè éà f i ÿ `è C ô ä `à X¿ ¾ 2g © q ¨i éà u ì äe © äe áà ¾ C ä d f `e 8 å h¾ de ãô 3d ~è Ð ¿ lf ãô à e å ©å æg e ¿ ) à C `g å C ä ¤ þ ¿ Ce uô d Ö¿ #y ée
sgrad s [0, 1]

# hd äg äf `¿ 0 Tå t f ä¿ ée ~ g C ãô & 2 ¤ `e f ¿ ä¿ Ð ¤è e

df e $ 'g ¿ C e hå `è ¦e à `à © à 3¿ e v¿

e

¿ h¾ à `¿ å f lå d îô e hå p f f ¡ï Cf ãô C ) ô ö `f h à

f2

s

=0

0

r (1) - r (0)



å

s

tr

sgrad s

sgrad s

s

H f2

=0

= 0,

=0

ô C h 1¤ `à uå df ãô ég Úî $ ì C h p¤ ð¤ äe ¤ `e © ä¾ äà g äe ¤ e à C ¾

¿ uf ãå à »¿ äe ¤ äe `g Öe `¿ ) C sô

h `à ô e 2© à ô e `
¨y ¤

§à f d `e å

g d éà è f ` e

f (u) g (u)

P

r (u)

h(u)

sgrad

sgrad H

f (u)

h(u)

¿ f ¡ï à y Ce @e C ` à y Ce à ¿ d f sö `è h¾ äe sô â æ¿ äd &¿ sô `è e y sô và à ¿ í hf

á ` u f ä¿ `e © äe g ¡ f ä¿ ô ä g ä ¹g é p à 5d uf © å à ¾ ` ` h e ä¿ h ä h ¿ ` ` Ð þ C `e à 'å C `à g ` e C ¾ f d
©

`e C e C éà dà g C å e C Iô

ä g 5å ¿ vf ve &ö {g f v l sö C å g 5Ò

%

Ð f

ég

5¾

e d


F ô dd e
r e ¿ á þ ä à ä à ¿ `è e d ì u mf i hd äà äg à ä à § å Ii hå hg à h ¢g äà äg g v

s

p

l©

`e

ö v ô å ée `è i & #y e e ãå
¡

ä `à h g ¿ C å ö f vd Ñö & de ô sö Cà ãô {g ÿ} ` ±| u ý q hå à F á vþ ö v ô d d ¾ `e Öå §d f f `g hå à 0 ô à d `g à ãô à `e ég
Ì q



5f
2

å éd
þ©

f

ã Cà e hå ãô `à C
¦

e `¿ hà `g `e uå ô `e le g f sö dà
i
y
0

e `d 0 ` ` hå hà à &à ¡y d

ô `e må g ä¿ `à ¨i & $å ée e
x©

md å ã d ÷ ö ¤ `e 5å lÐ ¸ à Ñ &Ð `à äö Fe ~ © vd h ä î `e

e T¾ v © è vf

hå ÷ `à de e he à

8f î uô d `f e `¿ ãå l¦ á ¿ sô g )i 4ô u¿ µ `

ä ý¤ q g hå à d u f e à ¾ f ` ` Ö he 1¤ à äg e hå à ° hè ¿ Ñ Ð `d ~ è © §e ¿ å á è f hå éà Ce Cô sö hà f äd hg sô `g d e Ð äe g x¾ à H ð
2

`þ `è de à Vg è `e `e å h¿

`è üå @¢ g C f o à Ð
2

ô `g

Ö¿ #y ée hg ¿ äg `



mà

` h `¿ ¿ g
f
2

e äà dà e ` hå `à î ` hå `à `è äe


uô u áà ) #y de ãô g h¾ à `¿ e 4g äe ¤ `e ` hå hg &à 2ï à ~ Ð e e ¿ ä ` e he
y

ô hå þ he e äg e

&à hå ä¿ g v hå å v f

`¾

Dd

) ô ä g Cô Ö¾ hå à æ¿ ß o¾ áè dþ sô g hå `g e å f d `¾ © ' q ée è hf `g üå þ¢ ve ©ö Py u Iô ¦Ò p éà `è e l hd à `¾ `e å Ii ` å à ` e ` `e å ó| u
y
2 0 s

¢è f à @¿ #y e é¿ hg à mà 2ï à ô d hg à f uô d Dd e `g

¿ C `à g C Ð 'f è 4è dà ö `f ö h¿ à ¨y `f e
¦

e å ü¾ µ d ¤ î þ ¦¿ y ée he ¤ `è e ` e å à ~ Ð he ¤ e ü &à y d å và ~ö S© &à ¡y lf ` e å äd à ` 5å f f ` `e å ó| u ` é| g Ce ãô $g äe ¤ C æ¿ f d å ü¾ ãå `à d hå h g 2 dà äg à e ¿ &ö ¨y ¹d ãå `¿ ãå äg ve ¨y !d v¿ ` ãå là `¿ ) ô à Ñ `e ` ãå ö å á¾ ä¿ Ð `e s ©å @å e äg mà Cf ãô he ¤ ve ¿ p `f f `à e de uô § 0 ô Ö ãå à

s

`g e &ö ~ö e oÐ `e C Ѿ C

ée ø

Q©



à

~f Ð Cf `f ãå v Tö 1i ¹f äe ¤ ` ve ö dà ¤ e må e hå g ¨ d äè g ¿ C è `à ãô ¹g I¤ ò ãð `g e ä¿ `à
0
P

à mf b uô d Q þ à f h¿

Ii f ¿ h¿ dà ãô à ä¾ hà

l ` ãå i ~ö dà sö g à

ö de f hå `g e ¦¿ è `à e ¿ ¤g Ce ãô Ð C m ` þ ¿ h¿ à g e å F ¿ f f äd hg à ` de Cô ö Ôå ãå `à ` å e ¡© f ¿ uð à üe e e `¿ ) ô ä
G
2

¾ `è ¾ f äà g C Ii äe g e ¿ g ä

ä g è d u Ѿ C à ä

þ `¿ 1 mà d © äe g #y e é¿ C # d C d¿ éà òè ð å ée `è f d e H hå `à å f å d ä¿ Ð e v¿ g ¿

ô ä g ä `à h g © ¹e « ãå ãå à ` å ée äè äg e 2 dà ô e ©d üè mà ï h¿ éà ` hå hg &à #y e é¿ ~ö e hå » f vd ¤ î þ ¿ `e å ve &ö Ii d¿ ~ö e ~ Ð `e äe g äè hg g C m C hå äö &e q g hå hà éà ` 5å å C Ѿ C
µ

`g u è ~¿ Ð

`e å he u ¤f äè e © $e

¤ e ¿ å ä à ¿ 8 hå và ~ö

¿ C ` 8à ì 2 p ` © °

å df uô Xf äè Ð `e e äd à H¿ e v¿ äö 8e äà `è á `è Ce `e uå F¾ hå hd à C oå f R á hè g `e © äe `g e `¾ e å å #e ö dà ãô g ô e §d Ð ) ãô à å F 0 Cô vö äe à `d 'e `e uå h¾ µ ~ g h `à ä äg &à #y e é¿ ãå `à d ö dà © e ô he `þ § `f ãå æ ¡ f e må Q þ ¿ ö 2¤ äà `g
y
1

&à

e ¿ ä¾ à `¿ e hd äg `à ë© ãå `à `e á à 8¿ ° ö ¤ e ¿ 8f e 0 ô e # hå &à #y ée uè à @¿ ì C
sgrad f
2

hå hg à F¿ ° ¨ ¡ f ä s¤ he

h ©g C ¾ C ` e å äd `e he ¤ ©

° ãô &g à C `g Xe

ö 1¤ hà `g © ã äà g $ ` 3å ¨ C e ` 2© à

`e å v¾ e & å `¿ 0 ô C # # à

å Ii ä 2¤ `à `e å

`f ãå éà hå äg mà å ¿ ¿ éd

`è å &e h g 3f ¦f `e è ~ Ð
ù¦

e ¦¿ #y ée 5è ¡ f h¿ à ä¾ hà üg å C¾ äà hg g v e å ã °

à `f ` ãå g 1 ¿ hå äg à `d de sô äg g Ñô h 1¤ à ü å h¿ éà `è p ¡ ¡y d í áà þ `¿ 0 ô uô Xd `è e hd ö 1¤ hà `g u à

sgrad s2 = G1 sgrad s + G2 sgrad f

u

#e

dþ

g p

sô
¤

á d ãå ä à Ð v

He he hå äg u mf

e

ö v uô d ¿ å F f f éþ Öè ä à ©¿ g f ¾ he 1 `à ãå `g e v¿ äö »e à ` å `e he µg Ii ` ãå ãå `g © `e äe ¤ e hå xÏ Î Ð C Ȥ äe ã ýg 3 hÌ å Ii ` ãå
(, µ)

@e

Q

f

p f ~f ì C h ` ãå äg à T CÆ Ó RÆ ã h à ve ö uô $d C pÆ pÆ ô h äd ¾ á Ð
¤

Î

¿ éd è Ñ ¹Ð q g hå à F æå hå g e `¿ ãå äg à è vf äö Fe C ¤¿ `è `e `f ~ æÐ e ¿ á þ f h¿ à à ~ d 0 ô ¤ö e å ¡ f ä¿ à ¾ f ¿ C ä ¤ °y u mf Ii Ôå Ð f ve &ö ¨y §d C ¿ f d `¾ `e å ` ãå `g ãå `à ` å e äe g `e Q© `þ f X $ hd à ¿ å F `e éþ éè hè dà æô 5Ð bÆ hå g 5 Cß và «ö áà ¿ h¿ éà äè à â ~f Ð F ÿ© Ce ø i © uð e d ée äe hå ÷ Ò h¾ äà î `¿ 0 ° äg ô f `à ¿ ` å äg f å è äe á `þ ~ö 8è ä¿ à ä ~ g h à ¾ X¿ e
y y

þ ä g ãô g f ¿ ¤ e æg g v ä g ` `e h¿ à d¿

þ #d C ée ô e

¿ (A CÆ Ó ~ g hg à `è ~e &à X `e

ry

¡ f ¡i d f ` Q© þ 5 3 hÌ xÏ `à ä g ¿ C f ` e å ée C ` © e `è `e ©å å ¾ t¦ `e

` de sô `g äè hg g C ég î å `f h¾ d e äg à e äà `e ¿ äg d `g ` äe g e äg à e ¤ © ö à lÌ ¸ `g ` äe g ô ô ö g © 5 lÌ ¸ ` ¤ è è f © © ô
¤ Q© `þ à `¿ e `d Ì© à g v uô å e `d vè äö e 0 Cô è ¡g Û å e d f e ` ve äf Ð F ß ¡g Û e é¿ ã hà `g í y dà éd è Ñ
s

à `f å k Cf ãô C e ¿ ¿ hå Cà ô äe ãå `à ¿ hå e é¿ äe `g pe y ée xÛ IV ãå `à è v ¡ d¿ þ ä¿ ãå `g xÛ IV &å he `è he ë¤ f d å å ¿



W (y )

G

W (yi )



µ

1

C 4¿ e ` e å

g

©ö

i áà þ ¡ f C 8¿ à h¿ dà fô

3 f `¿ ) ä g ¿ C è ) e d äè à ` Ög f
f

e d ô h¾ éà ô hå ° ö

¤

f f i ä à ä Ñ Ð `è e Vd

const

2



s2 = G(s, f2 ) G

tr

y

(s, , s2 , 2 ) (s, )

0

sgrad f



sgrad f

2

s



¿ l ì Cô ö äà g ¿ ` å
¨y

d ` de g 5Ð ve &ö

d



(s2 , 2 )

G1

° ö ¤ `e å

Ð


`
w 0 Pw P' i~ ¬v | »x ¡¨ ¶w G | 0 w )~ #¨ 0$
s = P (s2 ) (s, f2 ) = const s2 = G(s, f2 ) P
tr

å

Py

y 2 )| )w v y



¨z ê'

{ )~ 0 ¨ $ q º& ¨z x' 0$

)~ 0 y I{ w

¨

Py 0 ¨w ê'

q{ )~ ¨ )'

Ó pÆ 3 lÛ và mö e ¦¿ äè hf g d 8f
P
tr

ã à äà `g ¦ Q éþ hè à äd äà ág þ î b uô d f ø ¡ ä à h `à «å ãå `g 5 îß f ¦d ¡y P Ð f u à f ä¿ &à #y de ô sö à C á îè üÒ e ¿ ` de ãô g
q | iy 1v )' ° y ¬v Py 2 iy #® ~ I 0w d¿ 0¢ d x ã ~ ° I 0w 2 y ¨ $ q #& ~ # ~ uv 0$ 0w 0¿ iy ¬ y ¸ã ã w u iw ¬v |
H
P

°Æ e¦ CÆ §' hw 0 ¨ 0$ )~ u l~ { hå g df «ô `è e ¿ ¿ C ` Q© `þ © C ¿ å d ãô µ ãå `g 5 pß f ¿ d ãå g df ô Q þ `e å e äd à o¿ hè `à ve 3ö q g hå à d ` e å ` e p ¨ Ð &f ¨~ '
P
tr

å
H
P

0$ g }$ i| G u~

¸{ )y 0w y P $ q #& ~ ù~ @{ 0z 0 2 ¨y ' 2 1| Py è u ~ x q | iy 1v )' ø )y r iy d$ 0¢ ¨ d$ x å ± ° hz 0 ¨ h$ 2 )| # ~ »¢ P~ ò dª hµ 2 | )~ I #¥ ~ ð | )~ 0 2 ¨y ' 2 | 2 ¨y ' # P~ 2~ |

E

0$ 0w # ~ d )µ v lw u{ $ H §¯ )~ I ¥ 0$ P 1¨ )~ # ~
w

iy qv )~ ®

Q )ª ¬v ¨y iy #® ~

±

R& m¯

qv )~ ¤®

{ i~ uv $ · 1 y 0 0 ¶w q | iy 1v )'
P
tr

qv )~ ë® )µ qv P~ ¨ '

0z 2 )y ) qv )~ º® ¨z t'

~ c¥

¢ h$

lz d{ G ~ ã

)~ d )µ ¬v y 0 2w | )~ h # H~ ¯

~ ' )~ # ~ d )µ v lw u{ ¦$ Ë

2 y Px ' 2 2| y d© 2x |

y ¢ h$ #© ~ v é® # )~ d iµ 1v ¸$ i| H y 1' )| ¨ $ þ s # ~ ¢ )$ ¬v ´

õ k äè à äe `à 3å ¨ Ii d sö Cà ãô ©g C ä¿ à C¿ ô e á `þ


å F á äþ Ð C ¿ hè và ~ö © &à ¡y d å
x (x)

äè à hå g hf g Ii d í pÆ X CÆ à d ¿ F 5 æß ¡ f h¿ éþ hè `à ãå g äf g f ` e å ãå `à hå äg mà h g
i
P
tr

~

äö e `è äe Ð C ` © æe äà æà «g hå à v ö C ` ` he g ` äè à ` C ¿ ) ô ve ö f d `¾ `e å ¤ f v ö g 1¼ iy d$ 0¢ ¨ d$ x R ¸{ )y 0w y P $ q #& ~ ¨ & r i ° ö d ô © e k äè à hå g hf g F ` e ¿ `e Ñå ) uô éf è s §¤ å df ãô dà sö à Öe e ¦¿ #y ée ¤è `f ãå `g e u¿ ` ä `à ` e ð e äd äg à ¾ `f ãå äà ¤ h à ä¿ äe Ð !f É äe ¤ e é¿ Öè e ¿ ä¾ à `¿ e hd äg `à l© dà sô và ö `è ée è ~ &g C d¿ m ` he äg g v ô d `e å ¾ e h¿ lg u¦ äà hg g v uô d `è e äd hg à ¾ f ` e å ée `è he ¤ `è `e ãå ¸
t=1 w = sgrad H
P

f f ¨ F uå äf 'g e ¿ ¾ äf ¤ Ce ô C ¿ 4 e `¿ å i de ãô `g © ë f ` de ãô g ' `è e ¦¿ y 3¿ u mf i d ` e ` hå Cà ô ` ve ~ö q `g å C `f Q© þ ä à h `à å ãå và ~ö ©
P
tr

w = sgrad H

: Ptr P

P

tr

w

w

=

sgrad H



#° ±

P

P

t=1

tr

w

á

0$

q{ ~ ) Pw P' 2 | 1~ c|

y $ 0$ P® P' 2~ |

0$ ð )y d$ 0¢ d$ x

R

)y 0w 2 y ¨ $ q #& ~ # ~

¼ I Pw ' ~ ¬v | ðx )y hw Q© dª x y ¬v | y qv )~ ¸® y )~ ) G ~ d ¢ y ' g Ì Ü B Ì ô C ¿ ë Y

|

hw 2 | )~ 0 ¨ ¨$ '

$ X pÆ ¤ dÆ Ó pÆ 3 lÛ b ¨ e ¿ ¾ hf ¤ de C # )~ 0 P$ P' )~ Ó pÆ 3 hÌ xÏ Î fÌ FØ Ì &à ¨y C © `e å e äè à äd à C ` Då e `¿ ) ô 1~ | i$ ¬v 1~ | `è `e D¿ `e å ¾ á hè &à ¨y

iy d$ 0¢ ¨ d$ x

f

2

á

H

P

°

å

P¼ )~ 2 )y ) qv )~ º® Pz '

g Ì Ü B Ì Y #y ée ¦è e hå à f ä¿ à h¾ äà g

2 | )µ }v y ¨ P$ P¨ d$ #¢ ~


±

2 )y 0w d¿ 0¢ d x ã

w

R$ ¤¯

I Pw P' i~ ¬v | x I 0w d¿ 0¢ d x ã ±

0w d¿ Px iy

Í Ü D 4 `f hå g 2 và ö C 1¤ à å ¿ f g e ä g Ì h hå `d le ß

R

)y 0w 2 y ¨ d$ #& ~ # ~

B (M )

R
± H' ¯ R& ¯ ± R$ ¯

4

s2 = G(s, f2 )

H = H (s, f2 ) = H (s, s2 ) HP = HP (f2 ) = HP (s2 )

B (M 4 )

w

B (M 4 )

H 2 ( P (s2 ), s2 )

ÿ} ` ó|
¦

HP (f2 ) = HP (s2 ) = 2

H 1 ( P (s2 ), s2 )

ds2 , µ



ì

æ

V


4 hd

d ¿ F 5 ýß hè à f ä¿ à äg à ¾ `f å hd dà uô é è hf lg s ¤ u v ö C &¿ I¤ v ) ô `e ä Ð `f e m e ¿ e ¿

¨y C ` © hå à ¡ #ö q g C ` Q© þ ¿ ¾ hf

e ¹e e ¿ ¿ C ~ Tg à f hå à ` © e l ä¿ à ä¾ äà ! q `g
¤

å u © à de ô

g äe Py C f C ¿

F he g v ô ä¿ ¨y C ` å f ä¿ üg e `¿ ) ô äö Fe

` à ¹e `à uå vf

¤ he ¤g © e å 5e à ä¾ äà ~ g h C ¿

° ö ¤ fe í s áà þ ¿ ä¿ éà äè à ä à
d

õ và ö `f @ è e `¿ 3 `f å ¿ e Ö¿ #y ée è f Ð f ¦ v p éf áè éþ è hf g `f ~ hÐ à 3¿ q g å i ô ¥ à ¿ f f hå `g e ¿ ` h `à ` e Ô C ü¿ e å ¾ å f é¿ `è e ä g 5 ée è vf äö Fe ~ © he à Ñ¿ ¡i f d ¿ l ì `f uå C ¿ þ © `e 5å è f u¾ ô e
2



z ` ó|
¦

¤ )

`e Då q `g ãå à C ¿ e Ö¿ #y ée è äè à ` é
`

uå v¾ f e

å `f Q© þ vd ö & `¿ ) sô

å d ¨ de `à å F

f ä¾ C ä¿ uô ve

©g e ¦¿ æÐ và ö e `¿ sö dà Iô éÒ
y

hÐ îà îû á áè þ `¿ ) sô `à å ¦f #y de ô e ¤ de ¡ `f ¡ f ¿ u ád þ å e ¤ äe 2¤ à Ii d ö dà ãô d `¾ e å hå và ö 1 à h à `d
+ v
H s

îô ` ¹g e å

`þ © de sô `g ¹ Ð he ¤ `e e hè à


`þ © `e uå T¾ p d ¢f `f å h à `f ` ãå g 1 dà ö f


äö e

ée æè `f ãå `g e ¿ ¨ © 3e ¡ f p d ` ô ä g ä à ä g ¿ ` å 2 d `¾ e å ` äè à
=±

~ «Ð `è `e ãå e

¿ h¿ éà äè à h

¿ ¾ dà ô à

v¿ äö Fe lg Ö æ f d ¿ l ì
=0

$e á


d ée è `f ¿ e `¿ ä¾ hà
#

f f #å h¿ ô f
© ¤

` ãå !g ¨ ãå `g ve df `ö `e e hå hg à `d g äe ¤ e ãå `g e u¿ ` ä Cô @ö e
0

à © C d à ¾ f å äd q `g ãå à 0 þ `¿ ) ô u ý Ii äè ô ~ g ä `à h e # î þ `e uå à `f äd hg {ö 8d î æe ¿ ) `à ` `d ) ô
M
4

k äè à hå g hf æg P C `e å ` äè à ô é è îf vÒ 2 à d de kô ` ° g ¿ C `¿ hå hg éà de ãô
å 0

î þ äö e u å 1d C å hå ¡ h¿ e à e äe


à à Ѿ ¹d ~â ö hå `g e u¿ ` Då ` ãå äg à Ѿ Õd `è g @¨ 0z ) g » hå È å d ä `à f ` e å


` hå hg ~ hÐ `à ` he e ô e

ö `f Ö æ hå và ö 2 à ä à ö `f ¦ q g hå à 0 ô $ ã ±| ` ±| u ¢ à f ä¿ Cà ãô `d 0 ô e äd `g e Ñ f å C Q© `þ á e ¦¿ éf è f ä¿ à ¿ C Ii ¿ ä éà è v ö ø à e `¿ ) ô f 1 à h pg ã C »¿ ¹ ¡ï df ô ÿà üå p ô uô `f $f èw C ` e ¿ `¾ `e å ãå `g me #x à d ¿ F 5 ß hè à f î þ `¿ ) ô ä 1¤ à å ¿ Hf ) ô ve ö 1 f ¿ df
w ds2 d s
2

hå äà éà è `d `e å e hå hà éà è Vf và ö à ` y ée è æ C ` e v ô C Ѿ C df e å C p¿ ä¿ à ¨y C ` sö à C ¿
f
2

äè à `f ` ãå g e `¿ ) ô u d äè g c¦ `e h¿ à ä¾ hà #g `è äe ¤ e ¿ ¿ C äè à h `à Q© ¦ f ¨ © y dà e å 1e g f v ö §g e
HF

1 và !ö de ô u¦ f e hå Q Q© `þ @ `þ 1 `¿ ` ô p hd ãå à ° ö å ©¾

Ô¿ f f 3 `¾ ` ` uå f

C `g à u på g ä `à

e { ée è vf äö Fe ~ © äe là

¨~ ' 2 | )µ }v y ¨ P$ P¨ d$ #¢ ~

(s, +

(s, f2 ) = const

H s

t, s2 , 2 +

s

2

t=1

2 +

v

t

w = sgrad H

H s2

H s

2

t)

H s2

(s2 , 2 ) P

= 2 +

(s, , s2 , 2 ) M

sgrad H =

P

dH P ds2

tr

dHP = 2 ds2

=

H H + , s s2 2

(s, , s2 , 2 )

4

H s

.

H s2 H s

÷ ` ó|
¦

¡

`f ` Ce ãô `g 8 Ð &f ° ö ¤ fe í

ä¿ à ¾ f ¿ C h ¤ e `e äe x¤ à Ѿ C ¿ f à f ` e å äd à ` å

ä à ` e â

e äd à ` å

v ¦x 2 iy

H

s

P

s

2

HP (s2 )

HP (s2 ) = 2

s = P (s2 )

HP (s2 )

à Ii f áè þ

` à ¡y d uå á ã d e hå ÿ f !g î þ ¿ ` e å ~e Ð 'f `à ä g ¿ C ` 'å df sô äg z ` ±| u


} ` ±| u ¦ C ¤ P F uà hå và ~ö h© ¦ dà Ñô è `

HP (s2 )

l `f äè Ñå

v = sgrad H

å d hå g ¨ ée `è e ~e Ð ` © e hå 5g ¢ C ãô Xg â

`d `e å þ© )i 'ô e å ¾ 8e ì

i f e ü F ` e e å R¾ á hå à d ~¿

d u¿ `¿ `e è å ée ©Ð äe

¤ ¤

¢f ) éf è s ÿ¤ ãå üå ¢ á `g q `g hå à v lö à

»ì uô éà `è e § he u

f `è C ¾

H 1 ( P (s2 ), s2 ) H 2 ( P (s2 ), s2 ) t= .

s2 = G(s, f2 )

ds2 . (s, f2 ) = const
2

(s, f2 ) = const

P

(s2 , 2 +

tr





= ± 2
2

f

2

dH P ds2

)

V


Fù } áõ è f u¾ ô e C
d

îf ` ±| u ¦ ¨ F á þ å f ¾ l &à ¡y d &å C ã ` ±| u §¦ îf ` ±| u ´¦ ¨ F f ¿ C î Ò hå à d sö Cà ãô g
H2 -H H(P (f2 ), f2 ) = HP (f2 )

hå `à C sö dà sô g

R$ ¯

å å ° då e å å )~ è # l~ { y ô ½ l$ }{ iy G 1~ y 0$ )y i Gv )~ º® ¨z l' $ P ~ â

©

Cf ãô äg Cà ãå và ~ö äg à ã $g le ÿ} u z ` u éþ äè à ` äe à 3å
s, f
2



ô



q `g å `f © ve ö C `¿ e C ¾ C ãô g Q þ ¿ hå g ¾ å `e ãå j ¦ å ¦f y Ce ô e # e äd äg à ¾ `f ãå äà ¤ h à ä¿ äe Ð f à C ¾ C sô lg Ö f f ¡ ud C sö à ¦ f f ¿ F `e ` ãå ` ±| u ¤ &f ÷ ` ±| »g `e å l¾ å «e å hf g `f ~ lÐ e `è ve &ö e å 5¾ ¡ f `e uå î¾ hå à C ¨ vd ö v ô ¤ e ¿ `¾ e å hå ÿ} ` ó| ¦ ¡
HP (s2 ) H(s, f2 )

d ¿ l Hì ¨ d på ãå Ѿ C ~¿ Ð e e Tå vt f g ve ö df sô äg f d ¿ l ì
B (M 4 ) P (s, f2 )

`à hå vd ö à å `e hå g
P

äg mà de $e df ¦ô

h uô u å hf Ð f

à g `f dd ö æd
¨y

å î ~ Ð e vd Ñö v v ô ¤ C ¤¿ e å f¾

à C ¾ C ãô g e å C¾ ÿà 3| ée äè à d vd ãå dà ö ¤ þ ¿ ä¿ éà äè à ¤ `e µ ¨ F á þ å f
H
P

á `è `e © äe `g e h ¹g áè þ `¿ © ve ~ö I äà dà ô e © f C l¿ å C `f Q© þ 5 e `¿ ) ô u d de Ôô e ¦¿ #y ée áè à f h¿ à ä¾ hà ág `à e `¿ ) ô ~ g h `à ä g ¿ C ` 8å `è e hå le ß

HP (f2 ) = H(P (f2 ), f2 )

H(s, f2 ) = -2 s

| x R pÆ ã 5 q g å `f äe `à áå ¦g à ` å ée äè
Q
3

P (s2 ) s

(s, f2 ) = H (s, f2 )

P (f2 ) = P (s2 (f2 ))

P (s2 )

HP (f2 ) = -2 P (f2 )

å ±

áõ è f ¾ C ô e

(P (f2 ), f2 ) = const

(s, f2 )

dP + = 0. s df2 f2



ó| u
¦

H (s, f2 ) = H (s, s2 (s, f2 ))

dHP dHP = df2 ds2

H

f

dHP = 2 df2 H

H2 =

s f

2

2 2

=

H 1 = H1 -

s2 s2 dP + s df2 f2

s

s2 dP s2 + s df2 f2

d

` ó|
¦

dHP dP = H1 + H2 . df2 df2

` ó|
¦

H

1

s 1 f

-

2 2

H H

1 2

s2 2 s

+ H2 = 2

(s, f2 ) = H (s, f2 )

H2 s 2 , s2 s f

H H

(s, f2 ) = H (s, f2 )

2

1 2

uÐ Cf äe ¤ e 5å éà `è e l y

,

.

áõ è f ¾ C ô e ã ÷ ` ±| u ÷¦ ¨ ä Ð ) ô e ä g Cf `e å Ð &f

`d 0 ô e äd `g le ß 5Ð
å ¨~ ' 2 | )µ }v y ¨ P$ P¨ d$ #¢ ~ hµ 0 w u i~ qv )~ ®

V


hµ

u

ö 3

Í fÌ Ø
¾© ¦



q

CÆ hè à å ãå `g `g e

Ó pÆ 3 ¡ï 2 à ¡i ¡ ä¿ `g e u¿ ` Ôå i ã ¦ e ä¿

hÌ dÏ `¿ ) éà è ä `à g v hg à

Ë ô f ô 3g

`Ç é× ° e ¤ he ä à å

d ¦

l¿



HP (f2 )

dd ö v ô ¤ d ¿ l ì dd ö v ô ¤
¡g

ä à » å e uå î¾ á è å 5¾ w pÆ CÆ

å hf g `f f ¾ C ô e $e å hf g Ó pÆ 3 hÌ

~ î µ `f ~ xÏ Î

XÐ e ¡ f lÐ e xÛ IV lÌ

Û

¸


}

| uô d f ¶ 1 mà Ii hå `g ãå `à ` å `e äe dg p `f ` ãå éþ äè à äe `à Hå `à ` ãå `g ) sô `à å ~ Ð `d ve §ö d 'd å h $à ì 1 à æ ¡ f h¿ `à de sô äg g C 2 Ce ãô g C `e å C ¿
d =


g 1 và 4ö e ¿ h¿ éà äè à h à ! sô ág éþ äè ¦g hå hà éà è f p ô uô `f $f w à 4å µ ¡ `f ` ãå g 1 dà Hö k è ` 8e ì hð 2| P C `¿ ) ô f ä¿ à ä 8à 8ì ì vf ö uô d f ò ) Q þ ¿ ä¿ dà sô và sö à ` e e ¿ Ѿ C ä¿ Ð e v¿ äö e ¦ và ö ¤
F F=

và


h¿

à ä à ` f

uô éf è s ë¤ 8 à C ¾ C sô g äè ¨ï å `e he Cg å h¿ éà `è ée 8è à f f hå C ¿ `à þ ` e à C ¾ äf Ð C à f »è C V â ð
(µ-1 (0)/G,

ø 1 mà ï `f å 2 `à ée äè è
µ

ö i¤ éà æè f äf Ð à ! hå à 0 ô á ~þ Ð C ¿ &à ô `e ä
¡i 0
MW

ô ä 1¤ à å ¿ ¤f ¡ f äd hg à ¾ vf äö e f h à ¤ q g hå hà éà è f i `f ` ãå g äg ¾ f å äd Cà uô é è äf ¹g à hå hf 'g # )~ 0 ¨$ ' i~ 0w g à ¨ © {e hâ þ `à e vd ö v ô §¤ e ¿ ° `g ãå à 0 ô p ¨ þ u C ` © `e äe `e ä Ð e ¡y d Ð e ! á å d ¤ e é¿ ! `e ãå å ¦ `e `è e å ` ãå g è C ¿ g à C ` e `¿ he ä¿ éà è éà ¾ C äg e hd äè sô g ` hå g à g äè ¿ f
q d

éþ äè à hå g hf æg 1 dà ö äà à r Ii e ` `e å e hd à ¤¿ d¿ x iy d h ì¤ e Ñö Ñ Ð f ~f Ð # u C
e
)Ç

e ` e `¿ e å 0 ` ãå `g hå à ` 0 ô ö f ` e å e äd à 4¿ ` © `e he ¤ e é¿ ¿ ãå g ¿ Ä
)

@

d P

@

d !g d ¨ ! dÑ d

AH

e Ò u

f f ä¿ à y Ce ô e v ö à v à å ã z ` ±| u ¸¦ dþ Ñô è ` 8e Dì `è e hå à ¾ l g þ ä¿ à d¿ ô e á `þ & Ñù ±| ` ó| # &f ` ±| u ! `f ` ãå vg sö dà Iô Ò CÆ vÓ Ó CÆ Ó pÆ 3 hÌ xÏ Î xÛ IV lÌ ¡g Û ¸ `à ée hè `à 2© à ` 'å ãå à äd à Vå `þ § f ° ~ö d å e
H s

áõ è f ¾ C ô e î ` ±| u ¦ Tf ` ±| u ÷¦ f f h¿ à `¿ ä 3g f & ó| u ¤ ¡ `f hå vg ö dà ãô æg hå `g ) sô `à å ~ Ð `d ve mö e ¿ ¾ äf ¤ de ô C ¿ ° ö ¤ `e 8å ` ±| u ù¦ uÐ f `è `e ãå e $f à C ¾ C ãô 2g `è e hå « â å ¨~ ' 2 | )µ }v y ¨ P$ P¨ d$ #¢ ~
| I 0w d¿ 0¢ d x ã # ¦$ Q& iª Ìv q | 0 w # ¦~
df2 + G (s),

G ¨~ P' ¦~ ´ ¡y ¨¥ 0$ ü
H
s2 1 f2

I 0w d¿ 0¢ d x ã

u d$ ¢ )$ }v ù

# ¦$ Q& )ª v

c

hµ 0 w
HP (f2 ) = P (f2 )

É

H2 (2 + H1 ) = H2 , H1



å hµ 2 | x R Æ s Ó CÆ Ó pÆ 3 hÌ dÏ Ë `Ç é× Í fÌ Ø u i~ qv )~ »® )~ è u ~ ¹{ $ ¦ ~ â } z ` | ée hè à ` äe à lå !g q `g ãå `à h g v ô ¤ äe 'g å Ñå ) Ñô ä hÐ xà ê à T í 7¦ á äè à f h¿ à ï à 3 q `g hå à 0 ô `e å ¾ e v¿ ö f ° ~ö d å e

è f ¾ C ô e ° áà éþ äè à s ¤ d ãô 8g áà þ `¿ © de ~ö e § ) äö `e f l ß

G (s)

°

å

H(s, f2 ) = -2 s

>0

H(s, f2 ) = 2

MW

(s, f2 ) = s

(M , )

H = 2 f2 H

H

2 (s, f2 ) = 0

s2 1 f2

2 H

-H

s2 2 f2

1 2

s 1 f

s2 2 s

H

H

G

2 2

s2 2 f2

-H

s 2 f

-H

,

= H2 ,

2

2

s2 2 s

G

s2 2 s

.

dP df2

=0





H(s, f2 )



â ¨y © e å e ¿ äè Ð C äf g å e å éf è s ¤ mà © e ê



` © e ` hå g ¢¿ ° C h¿ và

äe ¤ e 1 và lö ö ¤ e ö g

é¿ ©è 5 áè 8d # ç



mà ä¿ à `g e éþ hè `¿ e C ãô g f d

C »¿ C ` ä éà hå g 0 uô äè d sö xà

%Ð Ð

V

¸{ )y Pw ' ~ ¬v | x Py


}
M
r ed

# ~ d{ G ~ ã |

}{ )y Pw ¨ $ q & ~ ¦~ )~ l m{

I{ dw ¢ 1| y 0¥ hw d 2¢ iy v l® I{ w é| q | iy 1v )'
1

)y 0w 2 y i~ }v | y )~ 0 #® i~ þ # ¨~ ¡¨ w 2y y Q© dª ¨x ' 2 | y ' # ~ 1~ u| w

@{ 0z 0 #® i~ þ # ¨~ ¡¨ #w ~ u¢ q | 2 )y 1v )' å

~ I g¥ ¢ h$

@{ 0z # ¨~ #& ¨~ 1' ´| G | 2 )y ¡ 2v i' °
-1

0$

0z 0® d® 0x R )y ¨w ' )| 2 Py h ~ ¥ °

I{ èw # i~ qv )~ ® 2 )y Q

R

@{ 0z ) v ¦x 2 iy ì G | 2 )y ¡ 2v i'

t| )y Pw ¨ $ q & ~ ¦~ )~ l ù{ y ~ 2¢ 2| ¡y 0¥ hw d ¢ y v ® I{ 2w | y )~ ) ¬ ly I{ q¨ iy hz ¡y ¥ c hµ 2 | x R pÆ (3 pÆ 3 pÆ 3 lÛ g Ì Ü B Ì þ h "¤ ¡ f ` hå g 1 và ö §ø ¡ `f ` ãå g 1 dà ö F e `¿ äe hg g F u Ö äe ¤ äe I¤ v Öö 0 ô ©ö 1 g de uô `f e hå ©g e 5¿ ` «| v ô f¤ á hè pg å h¿ éà `è ée &è à f h¿ &à ¨y C ` © `e å e `à äe I¤ d 4ö 2 `g de ô F f ` å k hè äg g hà à ¿ h ê dÆ Ó pÆ (3 pÆ 3 hÌ xÏ Î xÛ IV lÌ ¡g Û
(M , ) µ = F : M R, p F (p). R
2

q

`e å C¾ µ ¨ d å ¡ f ¡ d ¿ 8 ¤ì hå `à ` hå hg à h µg ÿà µå `e ` e `¿ äe hg g F à `f hå g 2 và Öö `e ãå x hå g l bß á è f äd hg à ¾ vf äö e f h à ð g hå à 0 ô Q `à e ` `e å e `d þ ä r¤ à `f hå g 2 và ö `à e hd äg à ¾ f å äd Cà uô é è äf Ôg `à e vd ö d ô ¤ q g hå äà éà è `f p éf è F de ãô ©g éf áè þ l¿
S 1 Symp(M )

±| u
¦

põ `f ãå `g e ¦¿ Iy u `d $e à `f ` ãå g 1 dà $ö `à e äd hg à ¾ `f uå äd dà uô é è äf g `à e vd Ñö v ô ¤ e ¿ ° ö ~ Ð `è e ` e å e d C ¿ à ~f Ð ` © `e he ¤ e é¿ è `à e äd hg à ¾ f å äd dà ô é è äf g ø ãå `g 5 ß
q sy 9v ¢ § ¦x ¥¤ ¸¢ p # !p 7¡ hp ¡
G=S
1

° ö ¤ e dd à C ¾ C ãô g ¦ ¿ hå g ¿ V â ð C ä¿ dà ö g # ¹ç f f d d sö à { i f ¡ ud u ` hå g `¿ e Dd äè mà ¡ï f 5 ¢ 0 ô e f ` `e å hd à C #å ) ô ve ö « äf ¤ `f d ö fg põ f hå `g e ¦¿ y `d 4e à `f ` ãå g 1 và §ö `e ` e `¿ he äg g ` q `g ãå äà éà è f f ~f Ð ` © `e he ¤ e é¿ è C ¿ `è `e ãå le ¤ß `è de ~ö e f ä à { g `þ å ¿ éd è Ñ Ð ô e äe ¤ e ¿ ` `e uå äd `à f f ` e å äd à C ` å hà îg â
sgrad F 2

2

sgrad F

(M , )

dt (p) = sgrad F (p). dt

õ

1

à f d ¿ l #ì q g hå à ° Ñö Ñ dÐ m i `f hå g 2 và $ö hà à Ii hå g hå `à å `e äe dg uå ä¿ éà `è ée 8è à f h¿ &à ¨y C © `e å &e ° ö ¤ fe í

t t .

v = sgrad H x R

}{ )y Pw ¨ $ q & ~ ¦~ )~ l 2{ # )~ r® G | 2 )y ¡ 2v i'

~ u¥ ¨¢ h$

h$ 0 2 ly { l~ { I 0w 2 y ¨ d$ #& ~ # ~

}{ )y 0w 2 y ¥ 0$ P ¨ Y ¢

# l~ ¸{ y )| 2w è| # ~ ' )~ # ~ d iµ v w #{ $

¸{ )y § 0$ È )~ 0 ¨ $ P$ ¨

M

S

1

Q3 := F

Q

3

°

}{ )y Pw P¨ $ q #& ~ ¦~ P )~ "{ G | 2 )y ¡ 2v i' y ¢ h$ å °

Q

3

S

á

= Q3 /S

1

(x)

R

1

F

F :M R

F

Q3 /S



MW

°



MW

=

Q

3

,
1

{ ~ ' )| # ~ 1' ¶| # l~ }{ iy ¬v ¨y iy #® ~ G ~ d ¢ $

T
±

±

R& ¯

w #{ h$ 0 w )& G p~ G | 2 y P$ ¨ P$ ¨ )y Pw P¨ d$ #& ~ ¦~ )~ l { $ P ~ â

R$ ¯

¸


F }
F
-1

©

0

ö `f ¦ `f å v¿ äö e ø l þ å `f © De ) ô éf áè þ `¿ f
M
r ed

hå hà éà è f ve ö lõ `f hå hg `à `

2

k è ` 8e å `þ å ¿ vf ö e e d $
t

!ì ¨ h¿ éà `è ` `e e ¦¿ #y ée

äd hg à ¾ ée ¬è hè «d áà þ è
MW

`f uå à f `¿ u


äd h¿ ô u

dà uô é è äf &à ¨y C ` `d de ô éþ äè

3g å `e å e q `g äè à h `à Q© à ` he `à å

¿ vf ö ` `e e æd u `f ãå È dâ hå à ° ö Ñ Ð îþ 5â `e hå `g 0 ãô `à å Ñ Ð `d
pµ
-1

` © `e äe ¤ e dà sô ¹g v ` ãå `g e » ì
Ii

ö

'e e `¿ uå äd à e ©d ve §ö q `g ãå à äd `g u ` e ãå `à d ö dà ãô g `f hå g e `¿ å ¿ C f F ¿ f h à 5¿ d à d `¾ `e §å ve &ö ¨y ¬d æâ Ð pf þ ` e å äd à 4 `è `e ãå le ß


f äf e å k¾ hå `à lÐ i f ä¿ à è C ¿

p

Ð C C sö `¿ e ` 8e

äd Cà

é¿ ` `e uå Tö üå ¢ » C v¿ hd à ¾ f å hå g e

è 1i `g e äg µ `f

Ö¿

éþ è $e æì e ¿ h¿ dà ãô dà sö `e e d hå `g e ¿ ä¿ và &ö #y e á f I d ö ¿ f k è ` 8e và ö å f © ` æe q `g å ¨i ~
1

à å k¾ `þ ì g


©ì ¿ ã hà `g 0 Cô ö f ä à `¾ He e `e å uô é è äf §g hå à y `d #e `f ` ãå g p ÿd
©
p

å

¿ h éà `è e Ð `f e d ô


e d

C ¿ e å u ¿ # å C ¿ dà ãô dà ö `è ée è ~ !g á äè à äf Ð C ` `è `e ãå e C ¿ e v¿ äö `e © `e h $g hå `à ` hå g 1 và ÿ} é
z ¸{ y )| 2w §| 0$ 0 h$ 2 )| 0 ¨ Ú$ ·¡ à 0$ Py 2 i| ¦ S$
(Tp Q)


8 `e lö d

k C äe ¤ e é¿ 5f C `¿ p ©

f ¿ ` e ` #è q g å d C é ä¿ à

e å äe hå à `è h¿ g

! 1í

Ð C



iy ¬v | lz }{ | u' y 0z 0 ¨ ¨$ '

v¿ äö e `d ) ô e hd `g e m i hå `g e u¿ ` ä à ` e h à äf u¤ 2 g 0 ô l `e hå hg &à #y e é¿ è ` e å d $ ì ååå ö ö ö z }{ iy G 1~ y ¹ ¨~ ' 2 | )µ }v y ¨ P$ P¨ d$ #¢ ~ ¦ Ö ãå và ~ö "© éf è k äè `à ãå g äf æg éf è `f ãå ë d &ö 2y éà ©è u uÐ î Ò i~ 0w d¿ x 2 )y é of z }{ y 2 )| w S| y 0z 0 P$ P' )~ 0w d¿ Px iy ¤ de ô ü¿ Cë 0$ 0 ¨ h$ 2 )| 0 ¨ Ú$ ·¡ à 0$ ¨y i| "$ C )y 0w d¿ d¢ x 2 iy `e ãå `g e å F á äþ Ð C ¿ he ¤ `e ãå Ò pÆ X pÆ (3 pÆ 3 hÌ xÏ Î xÛ IV lÌ ¡g Û ¸
h$ 2 )| 0 ¨ Ú$ ·¡ à 0$ Py 2 i| ¦ S$ )~ 0 0 ~ 2 | )~ ® )y 0w ¡y ¨¥ 0$ P ¨
Q3 /S
1

q

å C ¾ Cf hô Ð C äè và ~ö © µ k äè `à ãå g äf #g î `þ ` e `¿ `e Ñå ) uô éf è s ¤ 3e d ` `e ` he )¤ e ¿ ¾ hf )y 0w d¿ d¢ Px iy ø à v ô ¤ `e ãå Ii ¿ ¿ ä g f ` pe i f d d ö à p hè và ~ö © ó| u X u z | p i u ¿ ¿ ~ g f ` »e m i f d d sö à å ä¿ éà è ée è 0$ 0 g hå à ` á ~þ Ð C &¿ C d ö à e u u # f `f hå vg ö dà ãô 4g mf u u éà äè à ` he `à å 4 C
P å ±
(Q3 /S 1 , H(f2 ) = H (s, f2 )
MW

¿ ¿ ä g f 5 ¢ bÆ T pÆ (3 RÆ 3 hÌ xÏ Î fÌ FØ Ì Í Ì Ü
s

åå ¢ R ¯
MW

{ )~ 0$ 0w # ~ d )µ v lw u{ $ ¥ »| lx }{ y 2 )| w »| ¨x ' )~ # ~ d iµ v w #{ $ » hµ 2 iy þ # l~ }{ 1| | d$ Ú )~ è # l~ { 0w Pw ¨ $ q #& P~ ¦~ )~ { q{ ~ 2¢ 1| y 0¥ hw d 2¢ iy v ® I{ 2w | 0$ x $ 0~ â
3

y )~ d iµ ¬v y }$ | d$ #¢ ~ ò¢ 2 y $ ¨¥ 0$ P u¨ P~ #& ~ d$ I¢ #¥ ¨~ P ¨ y f' ¨` ¯

I 0w d¿ 2¢ y i~ »® u d$ 2¢ 2| ¡y 0¥ 0w # )~ d$ ¢

: Q3 Q3 /S

1

å

åå ° y )y 0w 2 y ¨ d$ #& ~ # ÿ~ y )~ 0 ¨ ¨$ ' i~ 0w d¿ x 0 0 w

v , w Tp Q

å ±

MW

pÆ (A pÆ 3 pÆ 3 hÌ dÏ Ë `Ç é× Í fÌ Ø
@¨ z Q& )ª xv v

c

Tp Q/Tp Q

sgrad F (p)

= Ad dµ +

Ög d `¾ `e å hÐ à h à ý¾ hå `g 5 lß µ éf è me x pÆ ¤ RÆ (3 pÆ 3
(0)/S
1

Tp (M



(sgrad F , w ) = w (F ) = 0,

pF

pQ

Q3 /S 1 =: M

r ed

TQ

)

(Tp Q)



j =1 3 2

(x)

Bj d dj + (v , w ) = Q
r ed 3 t (

S

1



t (p)

MW

)=

j =1 2

(D (p)v , D (p)w )

Cj dµ dj + D d1 d2 . Q3 = {F = const}. F 1 ) Q (P 2 ,
3

` `e e d ~ e f á¾ `þ
¡g

å 2 à ¡ f h¿ hÌ xÏ Î

¿ vf ö ¡ 0 ~ö `e dà ãô g xÛ IV lÌ

Û

¸

)

¾© ¦

V




)y 0w d¿ d¢ Px iy D4 0$

Py


`} }

õ hå g e u¿ F h `à ` e & C ¿ è $e ¦ì ä à ä `à å è f ¾ f ¿ C ä ¥¤ i¢ e `¿ ) sô `à å ` ` ve sö Cà ãô g p f C ä¿ dà ©ö #y e á `þ h à ¿ `¿ e è `e hå e p ée è ` 8e ì e äd hg à ¾ `f uå äd dà uô é è äf g q g hå à ô he ¤ `e å éà `è e l y v Ñö u `d å Ce e å
dµ = D=0




Q

3

= (d dµ +

,·

= d dµ +



MW

A = 1 Bj = 0

j =1

= D d1 d
2 j =1 2

Cj dµ dj + D d1 d2 )



Q

3

Cj dµ dj + D d1 d2 .

2

=

MW



.
µ=const



Cô &ö e å v¾ hå `à C sö dà sô g ° ~ö d å e

= D d1 d2 , Q
3

`d 0 ô e äd `g le ß


z }
u= f
-1

hå à d sö Cà ãô ©g ° Tö 1i g 5å 0¢ p ¡ f ¡ d ¿ 8 §ì ô u ¿ hå &à #y ée ©è Vå þ i© á hè à f h¿ à ü¾ )i ô äd g f ~ §Ð ¨ vd ö v ô ¤ ¨ ` `e å e hd à ¿ ø và ö
f

e Ö¿ #y ée è ã z ` ±| ù k äè à ` he `à å ¦ C ¿ äe äg g C df Iô
t P$ 0~ â 0 hw Q© dª Px ' 2 | y ' # ~ 1~ | y { ~ ¨ ó$ 0$ ° hz 0$ 0 w ) G ~ ~ t¢ å

e h¿ à d¿ ô e á `þ # `f ` ãå g 1 và 4ö e ¿ h¿ éà äè à h à 3 0 Cô ö `e å C¾ å s ¤ d ô e ée äè à äe `à å 2 g f ¨ï F ` äe Ð ) ô e h `g îe â å ¨~ ' 2 | )µ }v y ¨ P$ P¨ d$ #¢ ~


qv ¦~ Hx à )y ¨w ' 2 )| Py ¶ @¨ 0z 0 y }{ iy H )y ® $ ¦ 0$ ® º 0z ) ¬ ly P{ ¨x P' ¤ 0$ )y dw ¢ 1| y 0¥ hw d 2¢ iy v l® I{ w ê| y 0z ) ¡ v x 1 )y


c c

$

0µ y ' i~ 1 x

I 0w 2 y 0¥ 0w $ · ù~

)~ d iµ ¬v y 0 2w | )~ h # H~ ¯ hµ 2 | x

R

CÆ Ó CÆ ád 2å



4¿ è ` 8e ì Ii hd äg à ¾ f å äd f f ä¿ éf
q

¥© ¢

¿ e `f ì à e

¿

f e

` $d à
ëw

`e

V p ée è ¢ e `¿ ) ô å ¿ ~e Ð ¨ C ¿ `¿ e f d l ì `f © m p f éf è ¡ f ä¿ à Ѿ C ) ô ve ö # f f ä¿ à Ð C 8 d hà dà ô ¿ g ` å df § ¦¿ ä g C mf äd à ` éå ô ~ à ée è
#y ·¢ ¦
2

Ii

f å ` °

1

`è

g è ) ¾ C æô d á `þ f e © `g y ` äg `¿ ¿ f e d à g ãå à ~ `è
¤ d
s
4

¾ ~¿ à å

à

å f 0 ô e d u md å C è ée e å d¾ Ôå i C
P

¿ ` hå m f f q `g ãå `à ` Q© `þ è ~ ug â hå à h¾ `à `


d `à ¤ q e Xd pì m¾ &à ue ¡ và 4ö mf ¦¿ #y ée C I à î ¿ éd è q `g äè à h ä¿ Cà ãô ¿ à h à 8à

å

¦

`f ãå `g éf ã ±| ÿ} ` &| k e ä dà ô ô `f
(s, )

e e ä uÐ e He g u¿ è äè à df

Ð e f 5¿ ¦ ä `à å C ¿ äe `à ô C

f ä¿ dà ©ö dy ä C ¤ e å éà `è e ¬ e ¿ ä ö ` e e od õ 5¿ Ê¢ p ` uå ä¿
AâV

hå äe e ` e vf

hd

Ó pÆ A lÛ g g p d 5å þ å § Ii `e å u k ä ¨¤ C è `f üå ÿ¢ ¿ C h ãÐ îà û 3 f ãå le äà ég à e ô ` © 3¿ `è e è dà e Ö¿ #y ä¿ Ð e v¿ i 0 ô e d `à ë `f ` Q© e e ¿ C § å C ¿ ö ~ Ð ö C ¿ å ä¿ f ` å
A

äe è¤ ö `f )i ô `e ¿ uÐ q `g Ôå i ° è s ¤ f v ö ©g ä¾ äà #g `è `e ãå r $d q `g Ôå i 0 ãx h¿ éà äè à h à ¹ `g Ce uô ¡ d¿ ô e ` å ¦ e Tå t ¿ 8 éà ö ä¿ éf þ 0 ô ` `è © F ö äà g ©y è áè ée à R ð


v ¿ e å de Cô

ãå äà éà è Xf f ¤¦ pf 1 q `g uå ) äö Fe ö ~ Ð k è `e å ¤ äe ¤ ée hè à ° &ö y e C ¿ `þ å ô Ú äe ¤ e `e å e ¡ f ` e å äd `è e hå e µ á `þ `þ © e å ¾ á É p 0 ô uô `f $f à 8å 1 à f ¡ d ¿ 8à ì ée `è äe 8à 8ì ì e X g d mö ¡ f ä¿ dà sö `à ä C f å
H g
M s
4

Cà uô é è äf s g hå à fô è C ¿ «¿ `f hå g e d p `f ãå vf ö ` `e e 5d éf è # de ãô ` $å î þ ô C ä 2¤ `à å äe Ð C ` © C `e &å b ô he I¤ ò ãð 8 ì q `g vf ö g vf {ö Ð `f e 8 he hå `g e ¿

f V
2

¿ ä¿ à e ¦¿ å F ) ô C uf è f C ¿ `f ` ãå ° ö `è e Vå e ¿ ä ée è ä¿ `à © he

f ¾ ~¿ Ð `e Q þ `¿ 0 ô » å C f f d ¿ l äe `g «e f hå `g `d æe ¡ e äf g d 8f C $¿ ¡ f ä¿ ä 2¤ `à å ¿ Rf hd äg à ¾ df ~ö å áà C uô d f 1 và ö î þ Ð à f h¿ `à de ¹ë 1 à éà è v ö ä¿ l C f &å `g e Ii `¿
x, y s

f l Õì è äe ¿ ä¿ à Ð f e
)

`f å h vf ö ` e e å ¿ © hå g 2 Ñ áÐ e de ãô hg g `þ å f ä à þ ¿ h¿ éà è e ¿ h¿ éà äè ãô &g d ¿ 8à ì ` ée `f hå g e ô `e ~

g hå à u `f ãå ÷ ¡y d f ä¿ à ¾ ée `è 8è `è f ä¿ à ä¾ Ñ Ð ¦ C ãå äà éà è à l và ö à H e éf è q `g ãå à 8ì ì vf © äe `g le è
'

éè è C ãå éà `è ¤ 4e ß `¿ ) hå éà C R¿ `þ ü Ѿ C q `g Ôå vf ö ` à `è Cà ô F ée hè äg

Ñ P

H {g

 # ë d Ý P 32 ! # ¸ Ñ ¨

©

P Ñ h

0

f u d Ý Ü I ¨ 92

Þ
0

'

A=D



C ¿

sgrad s

de ô ¤ C sô và ö ée è äö e g Ce ãô g äd


e f ä¿ e Vå g h

ê

0

M

4

2

M

M

4

4

D2 â P 2 .

x, y

(x, y )

(s, )

u, v

M

(s) cos ,

1 s = (u2 + v 2 ). 2

s = f (u2 + v 2 ),

v= D
2

sgrad s =

x, y

f

f2 (x, y )

-1

sgrad s

(s) sin , M sgrad s = M
4

¤

V

#° ±

@{ 0z 0 P$ ' i~ 2w | 0¢ w ã

#Ì

S

e d vf ö

P

4



sgrad s


s = 0 f2 = (s, )
2






¿

q
=



2 à f å k è å C ¿ vf ö ` `g ãå à ° ö ~ Ð u å d ` ãå 4g ¨ äd hg à ¾ f å äd dà ô é è äf `g s z ` ó| u mù C `¿ he äg g df Iô t äè à ` he `à å &à ¡y d ñå á äè g ¦ õ f 1 à f ¡ d ¿ 8 ì e dd ö v ô H¤ ð q g hå à ô ¿ C f `¿ `e Ñå ) uô éf è s §¤ á è ~e Ð C © e è f d `f hå g 2 và Öö ¨ C ¿ ä¿ éà äè à ä à `e å d¾ ãå `à d ö dà ãô lg ±| ` ±| éþ éè hè dà 5ô 5Ð pÆ (3 CÆ Ó RÆ A hÌ xÏ Î xÛ IV lÌ

e vd Ñö v ô ¤ q `g ãå à 0 ô
2



¡



f à å éà `è e d ` d Tö 2i `g
f (s) = 1 s 2

`e uå v¾ á è f ¾ C ô e C µ 0 Ñô 8¿ éà `è e dd ` C Tö 1i `g dà ãô à å Öf #y e é¿ Ôè C ¿ `þ å C ¿ vf ö ` `e e d à f äd hg à ¾ f å äd dà ô é è äf Tg &à ¡y d å ø
= 1 df -1 (s) ds d. 2 ds 1 df -1 (s) sin ds + 2 f -1 (s) ds f
-1

e `¿ ) sô `à å ` ` ve sö Cà ãô g

H (s, f2 (x, y ))

1 s = 2 (u2 + v 2 )

à å µ 0 Ñô ¿ `d 0 ô e äd `g le ß

M

4

du dv = ds d

s,

s, , x, y

du dv =

1 df -1 (s) cos ds - 2 f -1 (s) ds

-1 0 c d . -a -c 0 -b -d - 0

e `¿ å h¿ dà ô F `f äd l à f ` de ãô g & `e Tå ¡t

sõ `e å d¾ á hè à F á `þ uå f ¾ ì¦ ö `f 3 f © Öe ãå äà éà è Cf äè à hå g hf g ` e `¿ `e Ñå ) uô éf è s m¤ u f r i F á hþ g f ` e µ f ä¿ à `¿ C î þ `¿ ) ô C f ä¿ à h 8à î þ ¿ h¿ éà äè à h à © å 3e f f d ¿ l 8ì à f vd Ñö v ô ¤ ø

H

$ì ì vf pö k hè éþ è ` 8e æì `f
AâV

`à ãå g îf Ò hå g e dd ö v ô 1 hg và ö

sgrad H

abcd

H H +c , x y H H H +b -a = k - s x y H H x=k d , + s y H H y = k -c - , s x

s = k -d



0

1

a

C



b



s, , x, y

f

=0

-1

,

±| ` ó| u
¦

k = (- + (ad - bc))



F÷ } µ ¡ f ä¿ à ¾ f ¿ C h ¤ #e f hå é äè và ö ¨ $ d á è ¡ `f ` Ce ãô `g @ áè þ ` `e å e hd à ¿ uå `e ` ãå dà ô ` ve ~ö þ ¦¿ 0y ô ve ö f 5¿ l¢ µ éf áè þ `¿ ) ô e ~ Ð `f e ¢ Vå `þ Ì© å h ¤ ée «è à ¿ f f d ¿ m ï
abcd
-1

và ö

¤

(s) sin d

(s) cos d

f

-1

(s) = 2s

A=D

s

s



f

2

H

v=

¤ æ

`e e ©d f í C ¿ Û
¡g

¸


}
d

÷ ó|
¦

õ å ¦e å q g `f Ñ lÐ à #¿ f f d ¿ l 8ì äà `g `e å v¾ hå à d sö Cà ãô îg ÿ} ` ±| ¦ 5Ð


sõ d ` ó| u ÷¦ ¡ `f ` de sô `g § äè à hå g hf g î ` ±|
¦ d




hå à h¾ dà ô
k = 0).

õ ãå `à d ö dà ãô g ° Tö 1i g å de å ¿ éd è ~ Ð k è ` e ï `e å ¾ e v¿ ö `f f f d ¿ l æì ¡ f ä¿ Cà ãô và ö à ` 8e 5Ð
k

põ `f ` de sô `g áà éþ è vf äö Fe ~ © äe à '¿ å ¨i u hd `à Vå `þ
sgrad s = k - +d -c x y ,

õ

sgrad s =

sgrad s



k · (- ) = 1,

` ó| u
¦

µ d å

¦

d=c=0

a a b - y x b - c d - y x

-

c=d=0

c s + s d + s +

+

= 0,

= 0,

` ó| u
¦

c=d=0

a a b - + y x s b -

-

= 0,

ÿ} ` ó| u
¦

a b - + = 0. y x s



z ó|
¦

= ds d + a(s, x, y )ds dx + b(s, x, y )ds dy + (s, x, y )dx dy ,

ö `f ¦ hå hà éà è f `e uå µ¾ hå à d sö Cà ãô vg p `f ãå `g e `¿ ãå g C ©¾ d ° Tö 2i `g üå


¢

äè à f ä¿ à ¨ï e `¿ å e äe g þ ¿ Ñ uÐ ä §g f

= (x, y , s), a = a(x, y , s), d = 0, b = b(x, y , s), = 0. = 0, = 0, = 0. = 0, c = 0,

è `f hå vg äö le ß

sgrad s =



`d 0 ô e äd `g le ß

è df ãô g f á¾ îþ â


F }
1 f2 f2 - x y y x f2 f2 - x y y x

e

¡ f ä¿ à h¿ éà ~è Ð ©f ve ö i hå `g e ¿ `¾ `e 5å g f å s ¨¤ v e å $¾ e `¿ ãå äg `à ä Ð lf he ¤ `e «å éà `è e l y p éf è å h¿ à f 8f 8ì äì e {d éf áè þ ¿ ¿ # e d &ö 2y éà oè þ ¿ Ñ uÐ ä g f 0 ô e æ áà þ ¿ ` e å 3e `è de ô ¾
e1 = sgrad s(x) (a1 e1 + a2 e2 )x

1

`è ô hå äd à

e hå e & `g e I õ

le vß ã e ¦¿ Hg e ä¿ à

e ô

I¤

`e `f & uô ä

F hå `g 0 ãô `à å Ñ Ð `d ve üö Cô áö e d v¿ äö e u hå à h¾ `g å p f 5¿ ·¢ ¦ 3¬ « ª å d ~ö © g ~f Ð ` u© å C Q© `þ à `d ãå à ï à ! ! e ¦¿ Iy ` ãå `g e `e å d $ `f © Xe q `g Ôå i 0 ô &ö y e ` e î ø p ¡ `f ) ô f Ôå và ö ¡¤ hå g 2 và ve ö éf u `f
i

u ¿ à C lì và ö p 0 ô þ

2 df pô ° ö $ ¦¿ d Ö¿ fe bí `þ © C ¿ e üå þ ¿ äe ¤ e ©

hå à e ¿ e ¹å à ~ö 3 v à ` ô D Ð à d e C e äd

F hå g ¿ C ¤ö äe ¤ `e hå p éf è å è s ¤ f v ö !g `à e ¿ h¿ và å éè `è e d
2

f

#å C §¿ ä )¤ ~ö e # Ö å `f $f ¤ à f `d e å e !


$¿ u f äd hg ¾ e d å e q `g d å å C ¿ vf ö ` `à å ¿ ` 4d áà `þ de ¨ ¿ `¿ hå og ø `f ãå e Ö¿ #y ée §è w ` `f ` g «ö h¿ dà ãô dà sö à ~¿ Ð ¹e `e e å
åå y ¡¨ úw
{s, f2 } = 0

à f C þ ãå `e uå

f ¿ `¾ `e vf ö C vg sö à he Tí 1 dà ¾ hå
°

¿ þ `e e e f & e à ¾
2

u à ` `e å C ¿ u¦ #y ée 4è `è e hå e h¿ éà è Ñ HÐ C¿ ô e á `þ 3 à ` Æ e Ö¿ ¨y ` å ¾ df ~ô å Ôe å e Öd áà `þ ` de ô I¤ å df ãô dà sö v ` e §å Q dþ ©ö ¨y 1 dà e f ~f Tå 7t p $f Sw `d
H M
x 4

à ¿ C ¹¿ e hå 1© e ö ¤ oe e å äe ¤ î © `e 2g ø

{ ~ u{ ¸$ | 0$

)~ ®

d$ ¢ ~ # )~ ® ¨$ ' )~ # ~ d iµ v w #{ $ ° ¡ dv v Pw ' 0x w

hµ 2 | i~ G ~ ¢ g| $ P ~ â 0 w ~

}{ )y ¨w ' i~ }v | úx ¦

@¨ lz }{ y P$ ' $ P$ ¨

P' )~ q ~ t

I{ )w þ # ~ }{ 1| | $



áõ `è ~e Ð C ` © Xe è mf Ii d ö dà ãô #g q `g hå à ä Ð ` © äe à î ±| ` ó| u S¦ k hè `à ãå g äf &g

= c(s, x, y ),

` ó| u
¦

x=-

1 H , y 1 H y= , x

s = 0,

b H a H H - + . s x y

d

` ó| u

const, f2 = const}

c(s, x, y ) :=

c(s, x, y )

c(s, x, y ) = c(s, f2 )

å
sgrad H {s =

d ) ô e äd `g le ß
å ê~ å

¨~ ' 2 | )µ }v y ¨ P$ P¨ d$ #¢ ~ 0 2w )| ¨w ' P$ ¨ )y y ¬v Py

iy G ~ 0$ u dw I¢ #¥ ~

pÆ A CÆ Ó pÆ A lÛ g g #Ì

sgrad s =





¾ å e y å ¿
¤

¤ he éþ éè ée `e 5å d éà `è ` `e é¿ uè
2

`e l hd `à C và ö

và ö
¤

e

1

e

[·, ·]

= sgrad s = 1 = A sgrad s + B sgrad f2 2 1 f2 f2 +B a -b + =A y x f2 B f2 B -b + a = A+ y x


d

` ó| u
¦

ä¾ `g å ©e d ô C Ѿ C ¿


sgrad s sgrad f

Z

2

[sgrad s, sgrad f2 ] = sgrad{s, f2 } = 0,

sgrad s =

,



R

2

2

R

1 =
2

sgrad s, sgrad f sgrad f

i = 2 a

H

2

#y

`e © äe g í hè dà ô äè Ð `e

x

i

R2 /H

x

2

x

V

S




F } u u ¦ e ä¿ à C¿ ô e á `þ 8 à 0 ô e d `è e hå C !¿ ¡ `f hå g 2 và æö e ¿ ä¿ éà äè à ä à ¤ e ` `e å # 0 ô &ö ° ö ¤ he dí k `è e å ' e ) ô e 'd i ~ö ¡© f ¿ sð `à e d d è f ` å ée hè äg g h ê C ¿ éþ hè `à hå g äf #g e ¿ ¿ F e f I d ö à # ¿ f `¿ `e Ñå ) ô éf è s t¤ ø và ö
x=- 1 HP , y 1 HP , y= x



±| u u
¦

d

éà hè `à hå g äf g à vd Ñö & de ô C #¿ q `g å F ` e f C sö à © C ¦¿ 0y ô ve Iö ±| ` ±| u¦ k hè `à ãå g f Í
Ç d d Ñ
B (U ).

d



H

Ò u

Ä

%Ð 0

'
{ l~ #{ }$ g| 0$ g hµ 1| y

¨y ' 2 )| d$ þ 2 | i~ ® 0$ u I 0w d¿ 0¢ d x ã iy ¬v ¨y ¤

° åå åå hµ | i~ G ~ 2¢ §| ~ I ¥ 2 y x 2 iy ¬v | ô ½ ä I ¨w ' P| 2 iy }v è| w ä ½ ä lz r{ }{ y "v ¨ ü pÆ (X dÆ Ó pÆ A hÌ dÏ Ë `Ç é× Í fÌ Ø p 2 dà ô e §d ã hà `g 3 0 Cô Xö `þ ` e d C ¿ df ~ö #e `f hå g e ` e äd g `e å p h¿ ~à uÐ ä g ä¿ à ` e ' `d 0 ô e äd `g le ß f ¡ f d ¿ l ì hå hg à hå `g e ` e äd «g # de sô #g äe ¤ `e © äe g «e 1 dà ô e 4d uÐ pf `è ve &ö ¨y #d C !¿ e å f¾ á è f u¾ ô e ` ±| ý éþ éè hè dà {ô `è `e å å 0 ô h hÐ à 1 g h Ð ) ô e I p f hå `g e ¿ á þ ä à ä à ¿ f h¿ &à ¨y C © `e äe §g 5Ð å ¨~ ' 2 | )µ }v y ¨ P$ P¨ d$ #¢ ~ 0$ )~ ® d$ #¢ ~ # )~ "® P$ P' )~ # ~ d )µ v lw u{ $ hµ | i~ G ~ 2¢ S| $ 0~ â
{s = const, f2 = const} c(s, x, y ) c(s, x, y ) = c(s, f2 )

å

åå y



°

hw 2 | )~ 0 ¨ ¬ ¨y P' )~ u® # ~ h² 0$ S dw I¢ #¥ ~

ê~ å

0 2w )| ¨w ' P$ l¨ )y y ¬v Py m

I ¨ ' i~ 1 x ~ )~ h 1| ly u{ ' 1~ | hµ 2 | )~ 0 ¨ ¬ ¨y P' )~ §® dª 0x ) ¡ v x 2 iy ¬ )y Ì dª 0x P ¡¨ u 1' ù|

I{ )w þ # ~ }{ 2| | $

bÆ T CÆ Ó pÆ A hÌ dÏ Ë `Ç é× Í fÌ Ø

hå à u hd `à Vå `þ î ` ±|
a =-

¦



f ä¿ dà sô và sö à ` §e îf d Ñù ±| ` ±| ¦ 5Ð ÿà å
q #y

¦¿ #y g ~f Ð F ` e å `þ å f

ée ~è Ð e ¦ © äd à ` å ü¾ w và ö
2

f ° ö ¤ he dí ã ) f d `¾ `e ©å å æe 0 ãô `à uå Öf #y e é¿ &è C ¿ ¹ ¡ï Cf ô å e 1 `g de ô C ¾ df ~ô å e dà ô e `þ © e å d¾ p d &å å ` Q© `þ & ` e å äd `à m `e å ¾ á è f ¾ C ô e u s f f ä¿ à h¾ äà g ¿ å © y dà &ô `d ) ô e hd `g e ¦ he 1¤ à f e `¿ 0 ô ~ g h `à ä g ¿ C ` &å ` `e oå q `g hå à ~ g d Cà ô à ` e &å
X=
f2 x y

f e ¦¿ þ å e { p¿ þ

g ée ¿ éd e å ¿ ¿

`f ~ uÐ e è äà è ~ 'Ð f f ©¾ p ¨ ` á e hå `g e

H
x

e

A, B

1

A+

f2 f2 -b y x

B

-

B=0

f2 y x

f2 f2 -b y x

X

A =: F (s, f2 ). B

d

Ñù ±| ` ±|
¦

HP = HP (f2 )

c(s, x, y ) =

c(s, x, y )

a

H H (s, f2 ) + (s, f2 )F (s, f2 ) = c(s, f2 ). s f2

s2 = G(s, f2 ) V

¤

s, f2 , = const

= 0,

P 2 (s) = {s = const, = const}

c(s, x, y )

P 2 (s)

2

sgrad H



c(s, x, y ) s f
2

V

q{ ~ u{ ¸$ |



¤


f

ÿ

ù z á äè `à ãå g äf #g e ¿ ¿ ` ` e f å äd `à e ä §g #f e ¿ ¿ F e f I d ö à ' e ¿ h¿ `à ` ãå `g ãå `à ` å e äe ¤g f hå `g e e hd og ø u ¦ õ ¡ï df mô q g å i ¾ df ~ô å e k `è `e å ¤ è C ) ô e ©d u mf Ii ` ãå `g ãå `à ` å e äe Ñg p ~f Ð C © `e äe ¤ e é¿ 5è ` e äd g Td äè à hå g hf 3g u `f ãå f hå `g e ` e äd g `e å ¾ á è vf ö `f u ã ±| ´¦ Tf ÿ} u ¤¦ éþ äè `à ãå g äf §g P F f `¿ C î Ò CÆ Ó pÆ (A RÆ å F á äþ Ð C ¿ hè và ~ö C
# )~ 0 ¨ ¨$ ' i~ hw d 2¢ y i~ ® "|
1 f2 x = - H2 , y 1 f2 . y = H2 x



±| u
¦ ¨



ö `f ¦ hå éà è ¦f hå dà Ñö © vd ö de uô & C î¿ ` ±| "¦ `d e å e æ ¡ f hd `à e `e å d¾ á è f u¾ ô e s ` ó| u ¦ ä Ð 0 ô e ä lg 0 z ` ±| à `f hå vg ö dà ãô g á hè g å ¦e uå äf g `f Ñ 5Ð à ¿ e ãå `g e ` e äd Cg µ d å e `¿ å hd à ` e ©d C ä¿ dà sô và sö à ` e f äd à e ¨ d f 'í vd ö de uô C ¿ ó| ¦ u d `e å e i f äd `à e &à ¡y d å è f ` å ée hè äg g h ê
d



Ç d d Ñ ¨e Ñ Ý

C ¿ å ä¿ Cà ô F `f äd k `è e å ` e hd `g ld uÐ f è ve ©ö Py u d I¿ ±| u x¦ k äè à hå g hf ©g `e å ¾ á è f ¾ C ô e ° ~ö d å e `e uå °¾ ãå `à d ö dà ãô g ` ó| H éþ äè à ` he `à 8å Ð §f f
V dHP dHP = G = 2 df2 ds2 2
H s2 H s

s d ó|
¦

H (s, s2 ) = H (s, G(s, f2 )) = H (s, f2 ),

HP (s2 ) = HP (G(s, f2 )) = HP (f2 ),



ãå `g 5 ß p `f ãå `g e `¿ ãå g C »¾ Câ f f d ¿ l #ì e vd ö d ô "¤ e `e å e äd à §¿ 0 Cô ö
G

H H G H = + , s s s2 s H G H = , f2 s2 f2 dHP dHP G = , df2 ds2 f2

G1 = A G 2 = B

H2 G 2 , H1 G 2 - H 2 G 1

d

è C ) ô e #d u f r Ii ` ãå `g hå à ` å `e he g u u ¦

x=-

H2 G 2 f2 2 , H1 G 2 - H 2 G 1 y H2 G 2 f2 2 y= . H1 G 2 - H 2 G 1 x



ÿ} u u
¦

2 G2 v H1 G 2 - H 2 G 1 G2 = 2



) A x©

sô `à å ¦f Ð #f `è hÌ xÏ Î äè à

#y e é¿ de ©ö ¨y xÛ IV lÌ hå g hf §g

ú

0 (' 0

'

v

r ed

v

pr oj

và ö
¤

v

r ed

=

pr oj



,

M

P 2 (s)

4

P 2 (s)

V

&è C ¿ d C ¿
¡g

Û

¸
t

Tå

° ö ¤ `e å


u| z

Ú¢ ¾© ¦

ã ±| ¸¦ dþ Ñô è ` 8e l ö `f # Q þ `¿ x §f è ` 8e ì Ii äd hg à ¾ `f uå äd dà uô é è äf vg å C ¿ vf ö ` e e &d ` `g ! ä¿ ¾ hå `è ¤ v © mf ¿ ¤ à m Ð `d ¦ö å Ii h å f ä¿ `à u å 2 à
z }{ y 2 )| w | 0$ 0 h$ )| 0 Ú$ ·¡ ¨à 0$ 2 Py 2 i| ¦ S$
MW

&

ö e e sô ¤g
¤

e ¿ ¿ F ` á `þ å f ¾ m à f ãå `g hå à ` ¦¿ äe 1¤ Öà V `à e 8¿ ì ` ée `è lå éà `è e d d à
¦

he ¤ `e ãå S äe Ð F S© q g hå à 0 ô Ð f hå à d sö dà sô g f
Q3 /S
1

`à e `¿ å C ¿ vf ö ` `e e fd á îè fÒ ée è df ~ö `e ~ © äe là v và ö f ¦ C 4¿ à C ¾ C ãô ¤g è e v¿ äö üe f C ¿ éþ è $e &ì e v¿ äö ãå à ` å ée äè äg g C e Ö¿ y 5 u u l éà äè à ` he `à Öå Ôf ±| p `f de sô $g áà þ © äe `g §e ~f Ð C © `e
P 2 (s) Q3 /S P 2 (s)
1

¡

å f Fe g µ Ôå vd ö äe ¤ e

g ` Xe ¡ f h¿ à ¾ ¿ Ñ ` ãå `g å ¨ de uô µ é¿ ¬è hå
'

he f g `g e

Cì á à `f ÷ u f u ä de #e ä 8à 8¿ ì

äè vg ãå à &ö áe `f f ì ée

éþ äè à hå hå à ` å `e f f ¿ C ~¿ Ð `e © v f ä¿ dà ô h g e © de sô ©g C æ ¡ f h¿ `è äe 8à 8ì ì

hå vg hå g äe `à de mf {x
«w



å

®

iy ¬v | lz }{ |

u 0$ 0 ¨$ ' i~ 0w d¿ x iy c
(P 2 (s), )

u 0$ 0 P$ P' )~ hw d 2¢ y i~ 2® |

` p à à ð à

`f ` d f ` #y ée è ¿

hå g ¿ V â

á ± 0z ã G l~ { ~ d 2¢ iy v ® I{ 2w | w I Pw P¨ d$ #& ~ ¦~ )~ l { R$ ¯ CÆ äè à ` äe à ¢å Ii m r i C sö dà sô g äè à ¨y `d ve ö he ¤ `e áå éà `è e l y ã g¦ ) ãô à å Öf #y e é¿ lè C Ö¿ q `g Ôå i C ¾ df 'ë ` ±| f f ¿ C h¾ éà è Ñ Ð C ¿ Ñ Ð d äè à hå g hf g e ¿ ¿ F e `f uå äd `à e ä g f e ¿ ¿ ` ` e f y C ¿ ãå g ¿ î â ð C h¿ và ö g æ ç dà sô ág éþ äè ©g æ ¨ C ¿ ¿ ` ` e f I d ö à 3 æf P C ¨ ¿ ¿ F ` e f I d sö à 5 lõ éþ äè à hå g hf g `þ ` e `¿ e Ñå ) uô éf è s ¤ f ` ¢å f f hd äg à ¾ `f å hd dà uô é è hf g `e © he g d ©ö y éà è þ ¿ Ñ uÐ ä g d u d õ g e ` `e Q þ ¿ h¿ `à ` ãå äg `à ãå äg à å h 8à ì 1 à æ f ä¿ `à Ce ãô g ¡ f h¿ à ä¾ hà g ð ¡ ~f Ð ` © `e he ¤ e é¿ vè äö e `à hå hg à Ѿ u d 1 å F f å k äè hg g C § ~f Ð ` © `e he ¤ e é¿ è ` e å d $ 3ì ¡ ~f Ð ` © `e he ¤ e é¿ è d äö e f 2 P F á `þ å f u¾ 3 äe ¤ `e §å éà è e l C ä¿ dà ö g # 'ç dà ãô ág éþ hè 3g e ¿ ¿ ` ` e f I d ö à ø hè à 3¿ u¿ ée äè à hå g hf g e ` e `¿ e å 0 uô éf è s ¤ ~f Ð ` © `e he ¤ e é¿ è `à e äd hg à ¾ `f uå äd dà uô é è äf g `à e ¿ ä éà è v ö à e ` `e å e hd à ¿ e h¿ `à e ` ãå `g e Ce îô p P C f ¨ C ¿ ¿ F ` e f C sö à ø éþ äè à hå g hf g þ ` e `¿ e å 0 uô éf è s ¤ à v ö f C å d hå g ¨ g hå hà éà è f `è e ` e å e ¬d C ¿ á äè à C d g hè à ~f Ð C ` © `e he ¤ e é¿ è áè þ ¿ ä éà è v ö q g hå à 0 ô ú q
3

Ó xÆ T pÆ A ~ô å e f I d ö à ¿ ¿ F e ¡ ~f Ð ãå à ¡ ~f Ð e Ö¿ ¤y C g `þ © ¿ ¿ F e äd hg à ¾ u dd ö &
)

u µ `f uå äd `à `f uå äd dà uô Ce uô ¬


° ö `f § dd ö & Ce uô { Ii `¿ 0 ô ~ g h `à ä g ¿ C ` 3å df ô F f ` å k hè äg g éþ è `e å ©¾ e `d ) ô he í
hP
d ¸e ëd

38

 uÝ

P

Û Ñ

Ò ! d m vÛ



rÑ



) 76 )

'

Q3 /S

(Q3 /S 1 ,

1

MW

Q

(P 2 (s), ), (Q3 /S 1 ,

Q

3

P 2 (s)

{s = const, = const}.

MW

)

= µ = s 1 = x 2 = y (Q3 /S 1 , ) Q3 /S Q
3 1

g hf he ¤g ä¾ éà 3e à


#g ¨ ` è ~ &Ð `f ` C

D Q
3

å hd `à d¿ ö ä ãå vg à à ¾ ¿ h ö `e dà è
¡

e `f C e h¿ dà ô å `e he ¹g å f `¿ å C ¿ e å äd l dy p
¡ å

f vf ô f f h¿

e `f sö hå hg C ` é ä¿ `à `à e

de

h g à l¾ ¾ ¤ e e d îf Ò sô g ` ãå g

¨~ ' 2 | )µ }v y ¨ P$ P¨ d$ #¢ ~ Q ª $ 0$ P® P' 2~ | ±

V

R& ¯

Ü B h¿ éà î Ò `à e he ¤ e îe â
¤

Ì

Y

è f

ä g é¿ è

lÛ g Ì `¿ Fe e ¿ 1 u uÐ uå äd © `e ~¿ Ð `e he
©

e é¿ è

â e ä g é è äf g Tå t


` z
(H) = -i ln |H - H(xi )| + c(H), (H)

à `g g e Ü u

3 &à ¡y `f ) Ñö f ä à ¿ ô

# ó| u z ¦ xõ ö `f ' ãå äà éà è f `d ãå g C ¾ Ö e à vd ö & ¨ de uô ' C H¿ éþ äè à hå hå äg à pd ãå à F `f 1© Ð C ì C h s¤ áà þ ` e å ã à d ¾ `e & r Ii

Hd ¨ `¿ å C © 8e C ¿ f ¾ df ãô `à
{ ~ 1| iy 1 ù¢ q

¦

¨

° g hf g e ¢d &å ` ãå `g

ö ¤ he µí à d ¿ `f å e ¿ ¿ F e f C ¿ ß d e ¿ `f uå 0 ô hå à ` å `e he 8g å
sgrad H

h `à I d ä `à e æ ¿ C

` ãå à ö à hå à f f

#¾ `e hå ! ¡ f h¿ ¾ rÏ Ð pf f ~ Ð f F ¿ òf ð

`è d 3ö © df uå ä¿

e ¾ )i uô d ~ ` d d è h¿ à Ѿ C ~¿ 4Ð `è e d ø

¿ ä¿ à ` äè à ¿ ð Ii i f à `¿ e é

¦ e äd hÐ à å e ¿ ) ô ~ g ä `à h g ¿ C äe `g e ä à 1© à ©

¿

i ¹ ée f d `¾ `e å ã à á þ e ¿ ¿

è e æ `f ãå ì hå à 1¾ Ð F ` e f

`g ãå á äþ Ð C Ö¿ ) d @g hè à äd äà ág hÐ à ¾ äè và ö `à e l f de ©ö ¨y ýd ! `¾ e
I

à F ¨ k à h `è d sö à



f þ T ` 8 d

`¾ `e å `e éà `è `e å 8ß à d å i
P
tr

© äe e i C hå g v ¾ `e e à ö de e i ~ö ©

g ¤¿ Då vd äe `g

hå `g e `¿ hå ô ¥© ¢ è f å uô ¡© f ¿

)

1¤

f ê &ö å vd ö é¿ «è

f ¡ `f å `¿ e e `d e ¿ ¿ ä äg g v ô Xd u f hå Tâ ì C ä ¤ äe ¤ `e © äe g e
ä 0z ¨ $ q º& ¨z '
P
2 tr

ô e äd hg F ` he g v ` he äg f ä¿
¡
P P
2 tr 1 tr

à ¿ ô ¤ he g v ô à y Ce
w

à à q `g uå ¦g å C ` Q© þ Xd u f hd äg à ¾ ô e 0 Cô ö
v
1 tr

© ve ö C `¿ e e Ö¿ #y ée ©è f ` `e å ée `è äe `e uå §¾

° ö ̤ î ãå `à d

hg à `d De q g ¨ i $ ì C ä r¤ 1© à ée äè hg g C D $ ì C h Ȥ äe e `¿ 0 ô ~ g h `à ä g ¿ C ` å ð i u d d è f å ée p è C ¿ ±| u z u éþ äè à ` hà `g f 0 Cô þ ¿ ä¿ mà 2 à Ñ hÐ à u¿ äe ö dà ãô g ` ±| u éþ éè

å
Q Z
3 1

ô `è e ¤ `e äè hg g f h¿ và äe à 'ö f ¤ e hè dà Õô

å ° °° #° Q ª $ 0$ P® ' 1~ | 0$ ¸ ¸{ y )| 2w p| @¨ 0z 0 ¨$ ' i~ 0w d¿ x iy hz 0 0$ )w ¦ ¨$ )' 0 hw ~ då e å å åå ½ )y 0w 2 iy }v Py iy #® ~ }{ H| ¹¯ y i~ }v ù| { P~ #& 1~ | h~ 0$ m Q ª $ 0$ P® ' 1~ r| z ã $ · y z #& 1~ | x~ I¨ w )w ¬v 1| y y ¡ v dw ¢ ¨ h$ © i~ v ® )w ¬v |
H f2

h

hå à


v ö

hÐ `à © éf è f ¡ f ä¿ &à ã ` Ii `¿ e å á¾ p è f

hå äd `g #y de p 0 ô d å ée äè

`g å äe »è äe © e hå hè ó| h `à è mf »å @f `¿ ) ô è C
P

u @ g ` ée ô e m g á d `f å df uô hg g f µê

he ¤ `e g 2¤ à ¤g e l éþ éè

hè à `f ` ` ±| g f 1i éà è ~ g h `à ä ä ¨¤ C vf

éà `è e l y u äè ¦ q `g ãå à 0 äè g ¦ e ¦¿ #y ée ~è Ð ` å à ¿ `¿ e f Ce ãô `g á 5f g ¿ C æö e
P Ñ Ý
y P
tr

$à ì C ä r¤ `è `e © he `g ©e dd ö & Ce uô î þ ¿ ) ô ~ à hå g hf g î þ ¿ ¿ ` ` e f ô þ à `f de ãô g m `e Tå t `e 8 e { f f d ¿ l d `¾ e «å à mf i d l ì `f "© `e f $d ß
Ñ e } Ñ Ý

C ¿ äà `g æ `f ãå `g e g ä `à h g ¿ C å C ¿ I d ö à à f ¿ F ` e ` hå hg à e å u¾ &à ¡y d hå {ì e ` `e å e hd à ¿ `è e d 8f äd hà äg à h à V f áà `þ `e de Cô sö hà g Ï '¿ å ¦f 2y dà


R CÆ Ó ¿ ¨ © éf è h {g Öå q g 5 «ß ì C f ô
y

(X RÆ A ¡ f ä¿ ¿ C f `¿ à `f hå à s ¤ m Ii ¤ q g d à f vd d `¾ e 'å

g Ì Ü B ¾ f ¿ C å 0 uô éf ¿ C s m¤ ô e d sö à ãô `à å ~ 0 ô ö d ô u¤ `à ãå `g 5 ß

g 6 2
IÛ ý Ü Ph d f ¸

d dÑ d ¸

@

Ñ e d IÑ

È

0 GF 0

'



i

w = sgrad H

y

pÆ (A RÆ h `à ` ` ` hå g de e ¿ ä¾ 5Ð pÆ

(X pÆ A å § î ) ãô à uô áà à `¿ e RÆ pÆ

(3 (X A

hÌ þ ¿ å Ñ þ äd äg à

± då e å ô ½ x { }{ iy ëv w ° )~ 0 P$ ' 1~ | )$ ¬v 1~ |

dÐ µ f f ` e å äd è f Ѿ C ä¿ Ð f ` å ée hè äg g h `è e ¿ ä¿ `à hå ãå `g 5 ã ±| u z d ã à á `þ hå à X¾ Tå ` u ~d hÐ à ` å f ¨i u ád éþ è éþ hè `à xÏ FØ Ì Í Ì ) å s ¤ ée `è Ð ö 0 $ô `¿ ) g ä à ä g ¿ p© `à hå äg mà Î xÛ IV lÌ

i

hµ | x

(H)

H

P



Q

1

3 1



:= F

HP = 0

2

H f2

(y ) = 0



(y ) = 0

-1

(1 ) Q

Q

3 2

3 2



:= F

s



f

2

-1

(2 )

P

w = sgrad H

x

i

Q

x

i

3 1

K x

i

P

tr

` å `e ¥© ¢ ê © äe g ß f ¦ f hå e f hå g äf g
D4

e h `g x
¡g

` å


Î fÌ ãô à `d de ô ä ãå hÌ xÏ

Û

h g
¸

Q

3 2

pÆ

3e C `g hå

lÛ

à uå e

ÌY h ¤ e è s f
¤

v `¿

0

l ß g d


z
å ° $ 0$ 2 iy v #¥ ¦~ )~ l {
n a
i

{ ~ P ² )w Q

R

0$

}$ 1| | )$ v ¢ I 0w d¿ 0¢ d x ã

c

0w 2 )y 2® y |

{ )~ 0 )w qv )~ x® º )z G ~ ~ ¢ )y

c

P¼ ~ ' )| 2 y ' $ þ ~ 2 2| y { Ä
()

1y ly I{ w

¦~ ¨~ Q& )ª v v #Ä Ö ¸Á À

V

bÆ T pÆ (X RÆ A hÌ xÏ Î Ì
9W

EB

Ø Í Ì æÜ Â

dÁ dÁ

à · êé èõ dÁ 3 ¼ 3 ã ° ¢» 9ô Õ Ä Ä 9
0

I¤

¦ö

`

f ¾ `e ©å ä `à h g e
`

f à
#y

`e à ¢g z

ô

z u d f C g `à å å C
0

¿ ¤ Öe hå g C à
2¤ r i

d g ä 4 C ä ¦¿ `f

e hd äà å f `f uå
å

u `e C Ô u

d

`¿ ~ à C ée g

`d



e § f ä¿ &à y `f f î `þ f ð éf ð éf è dà Ii `¿ 0 ô `e ~ uÐ `f k éè hè dà ô ¸¦ ¡ f
sgrad H x l
1

v 4d q `g ô e e h¿ &à

s u hè à ` è vd ö v ô ¤ éf è äd e § éf áè þ `¿ ) sô e ¿ ` e å äd `à © $f i f de Cô ö à he ¤ e `¿
() H = xy H

Ѿ 4d ¦f ¿ ¿ ãô `à

g äf ¥© )¢ e éf `¿ 0 ô `e #y e C h¿ vf e ld v ô l è f ` å `è e h `g
l
2

f ¦ ä¿ Ð `e áè þ de ô ö ` `e @ì å s ¤ ée

d 'ö ) ô uÐ `f ¾ f C Ѿ hè äg D äe

#y

à d ¾ `e ¤å `e © äe g #e
þ {¿ t ¾ ¼ q p± 3² {à Á ° ± ©¨

à f ä¿ à Ѿ C ä¿ Ð ø



ve ö ¿ C å è d ö f ¨ C ` e å e e `¿ ãå äg à `f ãå `g C sö dà sô g Ð 8à ì C h f u
ÈÖ
l
1

ud & d $e e uô 4 f hd r¤ © äe ¿ l

R
2

äf I¤ d 4ö f d `¾ e ©å å e ¡ `¿ ` e 4 f f ¿ df 3ô de ô ô © üe u ` hå de ö df uô ±| u `à ée è ¿ á þ äd `g Ce hå à è `e f d
hå g d uå ud `e ` `à Vå `þ Ö g e C C¿ «ì ¨ C

éf è mf ¡© ä à ¡y d Ii h mà s¦ ä lg &à ä à

¡ `¿ i hf ¡¤ å è äd hg à ¾ 8 s } à f h¿ &à »y e å ä à ¿ ø

÷Á

þ {¿ t ¾ ¼ q {± Á ½ 3¨ p¼ ¨ j» 3² º ´ dÁ uÁ ¹ p¸ ² ° %$ &
K

}Ä hä Á · { #Á ± ° q tö ± á ± Ö {° e· %$ & t¶ µ t´ q¨ p± 1² 3² 1 ± Ö ° a¯ %$ # #Õ ÃÔ Ä Ä #Ä Ö !Á À

%$ #

c(H)

x

i

H H(xi ) H(xi )

ã



3 äg à ¿ ` å ée äd dà ¨ de hô e å

f f ¿ df ä à u vf ö ` `e e äè äg g f uô é è äf Ð f Ð h ê C¾ p df ô f và ö

l

2

P

n

H=

H = xy = 1

Pn () = a0 + a1 + · · · + an

() = -Pn () ln() + c(),

H

nN

y

xy =

(x, y )

K

l

1

c()

xy = 1

l

2

x

n

hz 0 2 )y 0w 0¿ w ¸ã ã ² ~ ¢ Py

x

i

C

n

[0, 1]

ô d ê
¦ ¤

y

g


và ö `¤

0

põ f ä¿ éà äè à ` æ mf ée `è e 3 f hè `à ä uÐ f ` ãå éà è C 8 Cß ô e äe ¤ e ¿ ` e å äd `à i f `e å hd à C ` å è f ¾ ~¿ Ð `e ¥© ¢ å ¨~ ' 2 | )µ }v y ¨ P$
å Py
{|xy | < 0 , -1 < x, y < 1}

Py )~ q ~ # ~ ¢ )y

c

°

I{ dw ¢ 1| y 0¥ 0w # )~ d$ p¢ G | 2 )y ¡ 2v i'
x
i

1| iy 1 "¢ ~ ¨¢ $ â 2 2| iy 1 ¢

å

I{ )w þ # ~ }{ 2| | $

i~ }v )| Iw l¥ Py )~ d )µ ¬v y 0 w u i~ qv )~ ® då e då e å ä # ~ r{ }{ y v | g

0w Pw ' 2 | y ' # ~ 1~ »| È' hz 0$ 0 w ) G ~ ~ s¢ 0z d$ º& Pz '

0z 0 hw



¬ ¨y u' hw 2 | )~ h 2 2| iy 1 #¢ ~ ' hµ 2 | x

q

2 `| R| éf è 2 dà ö Öf he ¤ `e ãå 0 Cô 3ö q ég hè `à h Ð ) ô e h Cf ãô äg à 8 I{ dw ¢ 1| y 0¥ 0w )~ ¨ d$ ¢ å ã ±| u z S¦ å f ¾ `g å ` ` ~e Ð 0 ô e ä g `e ¦ hå `g e Ö¿ #y ée ~è Ð `e Ö ãå g ° &ö `e å v¾ l `þ å ¿ vf
c(0) = 0

`g F á C ô ö `

îe â äþ e æ `e e

y hå Ð C ¿ mf Dd hè

äg à hè à d à ä

¤d và ~ö © ¿ `f å `à Q© þ
å

f hd hå äg h `à ` © z

äg à à ãå à u z

¾ f `¿ e ¿ 8 y pÆ ¥¤ pÆ &¾ C ©¿ } éþ éè
Py °

d (X pÆ z äè Cà

R °Æ e¦ pÆ (X pÆ A å ` Q© `þ § A hÌ xÏ Î fÌ FØ D äè à f h¿ &à ée `è

ô

i ¹ á

lÛ d Ì Í #y de e ¢

0$ 0 w ) G ~ ~ ÿ¢ $ }{ y 2 )| 2w | # 0$ ) ¡ v x 2 iy 2 y Px ' 2 1| y d© x |
H

hw | )~ h 2 1| )y 1 ¢ ð~ h' $ P ~ â
S

0$

0$ 0$ 0w # ~ d iµ v w #{ $ ë d$ I¢ #¥ ~ § # ¦$ #& 1~ | ~ # P$ ' ~ v 2 2y §| # 0$ 0 Py u i~ Pz 1' )y c hµ 2 | x R pÆ (X pÆ (X RÆ A lÛ g g #Ì S P } © x éþ hè à ` äe à 3å ©f ~ g ` æe ç éþ éè hè dà ô hè à f ä¿ mà © `e © §e è mf Ii d ö dà ãô g q `g å ` ` ~e Ð 0 ô e ä g `e ! ée è vf äö Fe ~ © he à b¿ ã ±| u z r¦ ¡ ä à h `à ¤å uå f ¾ C ô e `þ © `e 5å
(x, y )
i,j =0

0w 0w y u i~ 2v P¨ $ { ~ 2¢ ¨| P' )~ q i~ v 2 y » '

w #{ h$ 0 )y 0w 0¿ w ¸ã ã 2² ~ ¢ c|

P H(S ) = 0

å

~ ¥

u d$ ¢ h$ °

y q{ ~ $

Q ª $ 0$ P® ' 1~ |

(x, y )

°

H=

= (z )dx dy

H = xy





z = xy

dx dy , dt dt

-xdx + y dy = (xy ) x2 + y 2



u z
¦

() =

-xdx + y dy = (xy ) x2 + y 2





= (x(t), y (t)),



a



ii

0<<

= sgrad H =



()

-xdx + x d

S

0

x2 +

t [0, ()].

aij xi y j .

-

()

0

y x , , (xy ) (xy )

2 x2

dt = (),

x

=

1

()

x+

x2 +

2 x3



2 x2

d

u z u
¦

= ()



1

} z µ f äd hg à ¾ f ¿ e ¿ od ø ãå äg à æd Q þ ¿ ¿ ` Q© `þ `e å C¾ á è f u¾ ô e C
1

(0) =

dx = () ln x x

i

e å d¾ p ¨ ` á `þ å f ü¾ w

= - () ln - (0) ln + o(1).
1 0

dx sgrad H

° ~ö d å e `è `e ãå e § f ° ö ¤ fe í
P¨ d$ #¢ ~

V

g #Ì 8 y ÌÜD 4 Cô ö à

S

Ò

± & $ ±


`z z
(x, 0) = (0, 0) + xg (x), (0, y ) = (0, 0) + y h(y ),

áõ è f ¾ C ô e 4 `è `e ãå le vß p f f d u¿ l $ì à f vd Ñö v ô t¤ ø
(x, y ) = (0, 0) + xg (x) + y h(y ) + xy k (x, y ),

và ö `f ¦ k è `f hå dg sö à & C ¿ ¦e e å µ¾ ãå `à d ö dà ãô g f f d ¿ l æì f hå `g e vd ö d ô l¤ Ð &f `e å C¾ á è `f hå éà è Ñ kÐ d } u z ¦ Ð f d ô C ä 2¤ `à å ¿ &f äe ¤ e `e å äè à f ¿ F ` äe Ð C ` © he à æ ö à ä là ß è f ¾ C ô e
-xdx + y dy = ( (x, 0) - (0, 0)) x2 + y 2


ãõ ÿ} u z ¦ Ð ¤f ô C h 1¤ `à uå ¿ #f Q `þ ä à @ äè `à h Ð C ` © äe à l ß
+ =





¤

0

äg à &d `þ

Q©

à $å

©

p f ä¿ dà hå hg à e å ä¿ ) `e ãå äg à å C ¿ vf äe ¤ `e © äe éf è C ` p ä éà è

sô g f á¾ `þ hå hg à d þ ¡ f ¿ C h ʤ à `¿ e é `è le y de Cô sö hà g ¦ e © äe `g d Q þ `¿ 0 ô `e ~ uÐ `f e ö ` `e e 4d 0 ~ö `e C 5¿ 0 ô e ¦ `g e è C ` 2© à éf 1© à T ©g ¡ f ä¿ à h¾ äà äg f C R¿ e Ö¿ #y æe

d he ¤ `e ãå & ö `f e `f hå g e `¿ ãå p hè à ä à ¿ hå hg à e ` `e å þ ) ô ä ä à f d `¾ Ѿ C ~¿ à äe ¤ áè à hç ¿ `¿ e ¿

hd `à g ä `e Ð e

Cô ö f d uô ¡ ¿ f d e b ~ g he ¤ e `¿ ) ô ve ä g ¿ ¡ ¿ v¿ äö äe à ¤¿

äè dà sö `à ` e 8 ¿ l ýì ¨ å æe «ç ée ) ô `e ~ Ð f ö D è s ¤ `f ` å 1 g df C u ~ äe g á `è `g Ôå i C
q

(x, y ) -1 < x, y < 1

@

sõ d u z mß ` `e å e hd à ý¿ q g hå ô ¿ vf ö ` `e e «d `f hå ¿ f éf C `ö
|x|, |y | = 1 |xy | <

`e æd ¾ å ä e

u éf `f ` hå e è s © ) e ä u e å `e lå «d


ð u z è ¡ g t¤ þ `e `g å µ å e Hd îe pâ `f ` äe ¤ d þ pÆ ¥ pÆ

éè e d ô F ~e `f

hè dà 0 ô l Ð äg à ö Ög ¦d áà `þ Ð C ` áè þ ¿ hå hg à
Q©

3ô e `d ©f ãå ãå äg à hå g Xe © !e þ `þ

à u 3å 1 g f s ¡¤ f d ) ô `e d à

mf ï äd äg à `à v äö `f ãå ä Ð `f e f hd äg

þ `¿ `e Ñå þ å F ` äe f `¿ e © e `þ ü ` à ¾ f

å d ) ô ¿ df Ð ) ô ¿ u ©d ¦¿ #y © `e å `e ãå äg `¿ e ¿

ée Cè ¾ à 8 y

() =

=









-xdx + y dy ( (x, 0) - (0, 0)) x2 + y 2

( (x, y ) - (x, 0) + (x, 0) - (0, 0) + (0, 0))

(x, y )

-xdx + y dy x2 + y 2

(x, y )

-xdx + y dy x2 + y 2

H = xy



ÿ} u z u
¦

0





-xdx + y dy ( (x, 0) - (0, 0)) x2 + y 2

( (x, y ) - (x, 0))

-xdx + y dy + x2 + y 2

1



1

( (x, 0) - (0, 0))



(0, 0)

-xdx + y dy 2 + y2 x

dx . x



z u z u
¦

f ° ~ö d å e

ô ° Ð é g d å f f
¤

C

(X A

C ¿ Ñö Ñ è äf ¾ `e 1d &ô Ð ç ì ä © he `g e äè Ð f
¡g

¦ áà de sô `g äd hg à `e å f¾ Ñö © z z äe 1¤ Ð éà `è $ ì f ¿ C pÆ hÌ

þ ¿ ¾ äf ¤ de q g å i ¾ `f uå äd dà uô p d uå f f ¿ sð à f d 1 éþ éè hè dà f e ¦¿ #y æe e l Cy $ ä ý¤ he ¤ `e h ¥¤ uå ¡ ä¿ éà xÏ Î xÛ IV lÌ

Û



g (x) h(y ) k (x, y )







và ö
¤

0

( (x, 0) - (0, 0))

dx , x sgrad H

¸


sõ d z g f ¸¦ þ `¿ C C l ì C ä g¤ `è `e © he `g ©e e § u ¦f å d h éà ~è Ð æf df ãô hg và ° î þ `e å e d
Õ Ä Ä l #Ä Ö !Á À
I
4

áõ è f ¾ C ô e

f î ÷ u z ¸¦ ã z u z !¦ ã ÿ} u z ¦ 5Ð





} z ¦ ! ô C h 1¤ à å ¿ f f p e `¿ ) ãô à å F ` de sö dà Iô pÒ p ¡ f ¡ d ¿ 8 ¤ì 0 Ñô ¤¿ f hå `g e `¿ hå hg à `d Öe ¹ ¨ C `¿ á þ h à h à ¿ ø và ö ¤ f
r ()


e å C¾ á è f ¾ C ô e ° ~ö d å e &à ¡y d å

=



( (x, y ) - (x, 0) - (0, y ) + (0, 0))



e ` e å

1

k

,y y

-xdx + y dy ( (x, y ) - (x, 0)) x2 + y 2

(x, y ) - (x, 0) - (0, y ) + (0, 0) = xy k (x, y ),

dy = r () ln 0 y

-xdx + y dy = x2 + y 2

0,

1





xy k (x, y )

dy . y

d

÷ u z u
¦

1

dx ( (x, 0) - (0, 0)) + x

0

1

0

( (0, y ) - (0, 0))

dy + o(1) y



þ ¿ Cf Cô Öö ` e d f `¿ 0 ô äe I¤ ée è X u d C ~¿ Ð å e f hå `g ée è äf g `f Ñ 1Ð æ á hè à f ¿ F äf dà uô d f Cf uô f ¦ hè à f ¿ ~ hÐ à å e he ¤ e `¿ 0 ô `e ~ uÐ `f e Ð $f uå f ¾ C ô e l e ¦¿ #y ée mè ãå äg à Öd f hd äg à ¾ f `¿ e ¿ 8d `e uå u¾ ãå `à d ö dà ãô hg u z ¦ ¡ f ä¿ à ¨y C á `þ 5Ð u z ¦
() = (0, 0) ln +
0 0

I1 =

1

dx ( (x, 0) - (0, 0)) , x

1

0

I

3

y

I

2

I2 =

I

( (0, y ) - (0, 0))

1

1

( (0, y ) - (0, 0))

x

-xdx + y dy x2 + y 2

dy , y

d

u z u
¦

I3 =

0 -1

0

( (x, 0) - (0, 0))

dx , x

I4 =

0 -1

0

và sö hÐ `à ¦ `e å

÷ z df uô f `þ å h¿ à f 8f 8ì äì e 3d q g å e T d u z u ð ÿ} u z ¦ e `d ) ô e &å v ä g ` æe ç éþ éè äè dà lô Ð 8f à ¿ þ å C ¿ vf ö ` e e d ø df sô äg Öà e å d¾ á è `f ãå éà `è üå ¢
x, y H (xy ) H (0)

( (0, y ) - (0, 0))

H = H(xy ) dy . y

0






` e ¿ ¿ F ` e f I d sö à C ¿ C f `¿ `e Ñå ) uô éf è s g¤ ¡ `¿ e ' f e ¿ ¿ F ` e f I d sö à C ¿ C f ¿ `e Ñå ) uô éf è s r¤ ¡ ¿ ` e @ C ¿ f vd ö de uô ¡i f äd à e Ii ¿ Ѿ C ä¿ Ð e v¿
H H
2 1

z f ¿ df $ô § q `g å äf Ð C ` © `e å Xe þ ¦¿ 0y ô de ö ¢¿ éþ hè `à hå g äf g f f ¿ $f w á è `e ` ãå g `e h g è f Ii d ö dà ãô g Ii m r i ° ö d ô © e äö òe ð e é¿ è f ~ Ð è f ` å ée äè äg g C `f hå g e `¿ ãå äg à d e â
P
2 tr

Õ B Ä Ä l #Ä Ö !Á À

à 2
K

he g v g

hè äg g f äd hå ° ö
2i
l
1

äd hà äg à à Q© îþ e ¿ ¿ F à ` å f

h `â ` `e he

d `¾ e ¤å &à èy ã à å pf f v¿ äö De $ ì ä p¤ C 1© à H df ô vd ö de uô ü ¿ `þ ãå äg à ld i ~ö © f ò¿ ãð à f d u ád hà à &¿ 0 ô ¤ö hè à ä áà þ `¿ ) ô ¾ ¿ å C ` Q© `þ e ¦¿ Iy u ¿ `è `e ãå p f l îß e ¿ h¿ `à ` ãå `g hå `e he g d &ö 2y éà !è å f `¿ C ä ¹g e ¿ ¾ `e å ãå `g ve æö äe ¤ `e hå § 0 $ô Rx
©

þ f $ ì C ô ¤ he §g `þ uå ¿ C f
P

¿ C ä è¤ u h ¤ u ¿ C ) ô e `d ve Ñö & ` ¿ !f
x
i

f

&à

e

0

`g

h¿ ` df

©

`e æe Ñô

ô

` å F



i

îÒ d g `e

$ö

¨y

è C ö &
©

áà þ ¹d éf þ ` e `¿

K

¿ ä¿ `à áè þ ¿ e å äd à ô ä
)



Ce ` à ` ` à ve

g
©

1©

ö & äe

F òf ð C ` uô 0 ô `f Ñå ) Cf ô à g &d äö g `f
K

e

è äf `à © 3e l ì C e hå
P
2 tr

C f f ö C & ¨ de å d Ñ Ð f ¿ ) ãô å vf dà Iô hÒ
î

¿ &à ¨y he g ! uô ~ à ¿ å ~ `e p mf

e å å ©¿ à è v C Ö¿ C ¤e u

ã d } u 2f `þ © e å ü¾ µ d å f ¡ï h `à è f ` å ée d ¿ v sô và ãö Ð C # de ô @ Cô ö uå f `¿ C h g q `g hå à å ¨i p¾ d sö Cà ãô 'g ° Tö ~ Ð f ä à ¿ df è C ¿ mf x 5 ¹ß f ä¿ à ¡i 0 ô x à vd ãô g áà þ ¿ ä¿ à ` hå ¿ # å C @¿ è vd d `¾ `e 'å î `þ ì C h hå à f d éf d ¿ ` q g å f ¾ å f ¹¿
K l
2

g f ¦ h ê hÐ à å f h à 5g ¢ C ` äe üå ¢ v f C à ` å uô îe uô g & `g e sô g ` 2© © e ¨ de Ò ¨ de ¦e `þ he
1 tr

0 Cô ö `à ée è ~ $g Ôå i ° ö C hå `g © he 4g Cf e `¿ 0 ãô `à ) ãô à å ~ g ¹d q g å ¤ áà þ ¿ h¿ `à ` ãå `g © îe g ä `à h g ¿ C å C ¿ ã ì 'd hå `g e äd g de uô æ ¨ C ä ¤ e q `g Ôå i äd `f ãå `g e ¿ ¿ `

f

C `¿ hà äg ` äe

y `e 'å äe 8g &à ` ve ö dà ô i p à éþ äè à hå ä ¤ äe ¤ ) sô `à å ä à h à g d ô ¤

å v¾ p df ¡y d å Iô dÒ p `d d °å å ¿ F 5 @ß hf g © äe g @e g Cd p ÿd f dd ö & äe §g à `f

e ¿ è å ÷¦ Ce de ãô

uô f ¦ de ö & i ° Ñö C ¡ f ä¿ ¿ ` d uô u g ¹
P

f 0 Cô 5ö uô § F v ` he g ¨y C ` © e f I d pd þ & ¨ de uô `f 7 e `¿ à d¿ ô e 3 ö ãå e ä¿
2 tr 1 tr

à ¦ö å »e ö à `e å $ à ) ãô e á `þ

Cô ¢ö þ å ¿ d ¿ ` l æß Cô mö hå à v d ve ö éf ` e f ¨ hd áà þ f ä g 'd à ` de sö ãô ég è C f `à m ¿ å F df

© §¤ Q © å då e å ½ ä z }{ iy G 1~ y ¹ ¨~ ' 2 | )µ }v y ¨ P$ P¨ d$ #¢ ~
K

i p Gì p æë ðó ¨ ¤ ò ¦¤ § 3ñ ðÿ p# ï # py î¤ ®í p # sp ì p ë

P

P

2 tr

x

x

i

i

P

1 tr

2 tr



P

Z

1 tr

P

P

P

P

2 tr

1 tr

2 tr

K

P

P

1 tr

2 tr

P

1 tr

P

2 tr

Q

3 1

Q

P

1 tr 3 2

z

e g ¾ e
V


z è d ä¿ à u¾
I
j

Cf uô f å Ñ hÐ à ` å e ée è vf äö Fe ~ © äe à Ô¿ 8à ì ä §¤ è `e © äe g $e î þ ¿ ) ô `e ä Ð `f e ¤ å ue `e hå hg à @d u f hd äg à ¾ f `¿ e ¿ d 0 ô 3ö å ¨i ° ö C ` äe lg d z ¦
1 (x, 0) = 2 (x, 0) P
1 tr

å và

C

éf è å ` ` à d sö e å


f ve sö Cà ãô d¾

Ñ

r i ° ö C ` äe Ôg mg ` Cà ãô ég æg u z 1 éþ éè äè Cà ¦ô h à ä à å hè &à ¨y e ¿ ¾ hf
f H1

¤

e hå hg à d 5Ð `d me x de ô ü¿ ë

f H1 f H1 2 tr

h¿ äè

Ñ

f

`þ uå ö u ¿ ~ g å 1e
Ii

¡ï )

hå g ä¿ k Ð C
2

i ° Ñö u C ¿ `à C ö `à ~ Ð äg g C 1 Cô

C Ö¿ éf ¡ f ` ` he g Ð u d ve î þ ¿ e 1 mà ö $à ì f
0

C ä

e `à äe µ `f

å Ö¾ uå ä¿ ¤ `e hå g

e à `¿ e Xå éà e `¿ ãå

v¿ ö é `è `è g C

`f h à e d e 1d $¾

¦

`¾ oe à ¿ f &f s å °

`è h `d Ñö C

`e ¾ d sö dà sô g `e le ¡ f `à äè à ` f ` å ve uô î þ ~¿ ¦¿ 0y ô ve ö
x 0 , xy

å ãå ö ` `

hå à ¦ß ée de he Dg þ

`¾ `e ¦å éf áè þ f ¿ C ä ¤ ô e @ 0 Cô e `¿ ) sô `à þ ¿ f ¾ Cf ãô `à e å ¾ hå ¿ C f ` ¿ If ð z © k éè hè f á `þ k f ¤ `e áå le å äf g f Ñ ¡ f ` ãå `g ãå `à å þ `¿ C ú¤ `è `e © he e ¿ f d éf e Ö f f Ð ` `g e
H Z
1

¿ ¾ ö ! fð à Iw v ö Ð e äe g C d `e å



d u¿ l {ì ¦ ã å ¿ C f F ¿ òf ð f ¦ è C ¿ vf ö ¡ f ä¿ dà ö C ` ` he g Ñ òÐ ãð Ð f ~ Ð f ä à ¿ df 8ô `e å ¾ e ¿ hå hg `à ~ 5Ð



¿ þ `¿ C

f

0

õ ¿ å ¿ vf ö ` `e e ©d § u @f äè à ï f ô e o áà þ ¿ ` e å äd `à `e å ¹¾ e `¿ hå hg `à ~ 5Ð å ¨~ ' 2 | )µ }v y ¨ P$ P¨ d$ #¢ ~
¼ 0$ c Q ª $ 0$ P® ' 1~ |
(x, y ) (x, y ) K y=0

@¨ 0z 0 d$ º& Pz '

'

w

0w 0w d¿ 0¢ d x ã

dw I¢ #¥ ~
K

# P~ #& 1~ | ~ Q

hw 2 | )~ h 1| iy 1 #¢ ~

1¤

à ¾ f ¿ C h e ¿ h¿ `à ` 4¿ ` e hå hg ` ¹e d pd å

éf è `f ãå q g å ¡i 0 ãô và ö C ¿ è $e ì u f ã d u z ¦ e `¿ ) ô e ~ Ð `f e § üå ¸¢
P

à ` e hd äg à ¾ `f å hd dà uô é è hf ug éf è þ `¿ C # î þ ` e C 3¿ ` `e ãå äg à !d u f äd
j = 1, . . . , 4 (x, y ) f K

` å h¿ à `¿ e å e Hd þ hg à ¾ f
I
j

de ô é ¿ ¿ e

ä `è e df Cô ¿

ì C h ¤ à å ¿ ¢f d q `g Ôå i Cö p f äd g §d þ f
x
i

þ © äe ¡ f h¿ 0 ô 4d å ¿ C h §¤

`g &e C #¿ éf áè þ ¿ ä¿ à Ѿ C ~¿ Ð ° ö ¤ fe Ôí Ñ hÐ à ` å 'e e Ö¿ y g å ¡i 0 ãô và ö à
q



f


è

`g e ¿ hg à de îô © à f ß ì h¿ à ¿ df à
#y

s
¡i

f

Ѿ

µ f ` f { p ¨ F á ô
¡ 0

l ì C ä ð¤ `è `e © äe `g me äè à ¨ © ¢ f f ¡ d ¿ 8 ì e `e å &¿ 0 Cô Ñö ée éè hè dà mô ug f f ` hå g hå `à å `e he 4g þ å C ¿ df `ö `e f hå ô ¤ ) `e ãå q ¿ 8 ¡ e d C e Ö¿ e å f þ å hå hg äd à hå `g f và ©ö ` «å e ¿ ä¾ à `¿ ¾ ò¦ v e å °e
#y

ô ve e hd ~ö e f á è

ö ¢ äg `à ä ~e Ð

` hè à ò© §d à f f C © ¢e

` X `g å d è f

ãå `à éf hè ¿ l äd hg

ã äg à ` ì à ¾

à h ãå g è f `¿

`à å ° f e ¿

¿ ¹f äö e ä¿ à d

à ¹¿ f ä à ¾ ~¿ f hå

á ö v `è ¡ d Ð `þ ` Ö

e äd à e üd è f vd g ý¿ f f áè hg `à ` e

hå `þ 8 à f ~ö @e ée è

`d §e ¦ h¿ &à ¨y i Ce ãô C ~¿ «Ð r Ii f äd à e

` C æ¿ C `e å ¢e Dg è `e © äe à ö de ` `g hå à ` å d © vd ãå {
P
1 tr

Ii

g ¢e uô `e he ví



u RÆ (X pÆ A ¤ Ce p éf ãå `g hå à ` å f f d ¿ à æd î á è f ` å Ii hå g `e å ©¾ d h `à ¢å hè à C¾ ¹ ï d f f h¿ ve ©ö Py u µ ¡ `¿ ` e §¿
P

1 tr

H1 = xy

H2 = f (H1 )



1 (0, 0) = 2 (0, 0)

#¨ h$ 0$ 0 w ) G ~ ~ ¢

¡

pÆ

¡ ä à `þ © e å

æe ç

üg

lÛ g g è ¡ f d ¿ `e he g l #ì ãå `g þ ¿ ` Q© ée ß hå `à äe g å ` ä à â df mô ¦¿ ¨y &à ¡y ¡© f Dd e p f ¿ hå g ¿ hè `g le å `e ~ g Q© îþ e df ô ¿ f éþ hè `à
P

K

(x, 0) =

(0, 0) = 1

1 (0, y ) = 2 (0, y )

(0, 0) = 1

1 (x, y ) 2 (x, y )

x = 0, y = 0

sgrad H2 (x, 0) =

sgrad H1 (x, 0) =



1 (x, 0) = 2 (x, 0), 1 (0, y ) = 2 (0, y ).





sgrad H

1 2 (x,0)

1 1 (x,0)

0

0

-

-

1

1 2 (x,0)

1 1 (x,0)

j = 1, . . . , 4 0 sgrad H x
i

sgrad H

f (x, 0). x H1

0



1



sgrad H

1

Ij j = 1, . . . , 4



2

2

P

K

2 tr

æ

V

#Ì

l ì 5 ß `þ f

S

1 tr

F å ¾ df ô äf g


z
¨y
X F (U (L))
i

F áè `þ C df uô pf áè `þ h dà ô g å ô ` ãå äg và &ö #y `e å !e e ¿ ä¿ `à hå äg à hå ég ¸î p f hè à ä à Q© îþ Öâ s æ| p ` ãå g ó| ÿ} ` æ| g f ¦ å ä¿ éà `è ée è ¡ f h¿ &à áè þ ¿ ä¿ `à hå hg `à hå hg à ¨ C ` e å e fd dß ¦d ¡y f ¿ d Ii Vå þ äd g §Ï `e © he ug ãå
Ñ P

` ãå f ¦d C ` à 0 ô
{8
°

äg &à #y ¡y f ¿ © `e å ¢e hå

e é¿ æè d Ð C vg ö à
)H

éf è v ô I¤ d e ¿ e hå ãå g df ô ` © e hå à ` á þ `e hå
e Ò
B (U )

H {g

 # ë d Ý e h å

@ 32

Ñ e u iÇ P 0$ ¸

0$ dw I¢ #¥ ~ t P~ h$ #© i~ v ® I$ 2¥ ly #{ P$ ¨ å

# ~

w

¨~ )' )w 1 Ì¢ ¨~ ' ~ v 2 2y r| 2¢ y ¥ ~ § q¨ 1y ¨| è' v § dw ¢ ¨ h$ © i~ v ® z 1| | )$ v ý¢ )y dw 2¢ 2| ¡y 0¥ 0w #® ~ # ~ q{ ~ )y dw ¢ h$ ¸{ H| p¯ # ~ )' )w 1 ´¢ ¨~ ' ~ v 2 2y x| 0$ ´ dw I¢ #¥ ~ # ~

z { u{ $ · 0$ w x )~ 0 # )~ 0w ¨¿ d$ )¢ 1 x ã Pw & # ~ )' )w 1 ¢ # ¨~ #& 2~ P| ~ ± ° y 0z ¨ ' )z H iy 2® )y R §¯ hµ iy þ # ~ }{ 1| | $ g )~ u l~ "{ ~ # ° y 0z d iµ 1v ¸$ i| H y 1' )| ¨ $ þ Q dª ¨x ' 2 2| y d© 2x o| I¨ 0w ¤ ¸' ~ I ¥ #¢ å å #° ± å å ô ½ ö )y 0w y Q dª Px ' 2 2| y d© 2x | ° w #{ P$ ' ~ ¬v ´| lw @{ 0z 0 w )y

s

`e C

dÏ u äö e ) ô ¢e `è ée
Ii

f äà

` ãå áà
©

¿ C


d u
`



è `f


è

0

° hw )© G )| ¨w ' P$ Ú¨ )~ ¨ ' 0z ¬ iy ® )y #¢ P~ h$ #© ~ v þ® ¨$ ' 2 )| y }{ 2y | Q dª Px ' 2 1| y d© x | dx d¢ iµ qv ~ ¢ | ð~ R Æ s Ó RÆ (X pÆ A hÌ C ¿ ~ Ð `d ve üö ±| u z å i v ö C ` ` he g f 0 Cô ö þ å ¿ C f F ¿ òf ð f `e uå ü¾ hå à d sö Cà ãô g ° Tö 1i g 5å ¢ l `þ e d C ¿ vf `þ å h¿ à f 8f 8ì äì e d #f e Rå p `d ve ö de uô ! u äf `à © e 0 ô !ö P F ` e d C ¿ df ~ö ©e 8à ì C h x¤ æ¿ d éf è C ¿ vf #ö `d å i v ö C ` ` he g C ©¿ v ãô và sö Ð C ¦ ` e ~d hÐ à ` å è `e hå e Ñ F ` e d ¿ vf äö Ôe d éf è C ¿ vf ö 8 và ö #¤ `¿ C Ô ° äö Fe ~ e # C f ~¿ Ð C ¤ d ãô và sö Ð C « éf è ~d ãÐ à ` å ¤e C ©ö y éà «è 1 dà ô e !d ` e hd `g d þ C de ©ö ¨y d 0 Cô bö dà ãô dà ö f Cô ö å i ° Ñö C ` ` he g C ¦¿ d ãô và sö Ð C ` e ~d hÐ à ` å pe þ hå à d sö dà sô g ° Tö 2i `g üå ¢ `è e ¿ ¿ Ñ Ð u d ve îö e ¤ äè à ¾ f ~ i f d ¿ l ì Ii ¿ á þ ä à ä à ¿ »¿ q `g Ôå i C ¾ df ~ô å e f 1 Cà ô e Dd 0 Cô !ö ° äö e f ä à X f f d ¿ m Tï á è C 0 ô e d è `f hå è mf Ii è C ¿ f ¾ df ãô `à þ ¿ ) ô C `¿ e f ` e e áè þ ` e å e d e ` ve äö `e Ñ e { C h¿ éà äè à ` Ö p f äd g {d C ¿ æþ ç á äè à h¿ éà äè à C ¿ F ~e Ð f hå éà è C `è äe Ð C ` © Õe áè þ ¿ h¿ `à ` ãå äg `à ãå äg à C `¿ me µ ¡ f ` e å äd à C ` å i ~ö y q g hå à h îà û f ~d ãÐ à ` å «e áà þ `¿ ) ô ãå `g e `f ãå ò q `g å ¡i 0 ãô dà sö à pe d 8 üy f C 0 ô e pd î þ ¿ ãô và sö Ð C f ~d hÐ à ` å e áà þ `¿ ) ô hå `g @e ä à h `à 1å äè và ö `à ` e l áß µ `e © he Xg d &ö 2y éà »è df ô C ` äe g C ¿ þ `þ © e å ¾ p d å e ¿ h¿ éà äè à h à e ` de ô I¤ o `¿ ` e o f f ¿ df ô ¦ v ãô dà ãö Ð C f ~d ãÐ à ` å e f ¿ C ¿ äè dà sö `à ` e { »f C ) ô e §d h I¤ d ö I¤ v ö à mf Ii ` ãå `g ãå `à ` å e äe g è f å ée äè hg g C f å i v ö C ` ` he dg ã ` e hå hg à 3d u f hd äg à ¾ f `¿ e ¿ æd éf è C f ¿ C ä ë¤ C ©ö y éà è l ì ä »¤ e ¦ e d `e å e § äè à å d ä éà äè Ð `f ÿà å ¦ e 8 uå d ä éà ~è uÐ &f u ©f df sô äg Fà p hd à `¾ `e uå ä¿ dà ©ô q Fg u mf ï ãå `g @e þ ¿ df Cô üö `e uå F¾ á ° ã à ¦å ¦f u f v¿ äö e ì C ä ¤ Q `þ © he `g §e df ô äd hà äg à h à X þ f ¿ C ä ¤ u Xf `þ © `e å ¾ p d må å C ` Q© þ e ¦¿ #y ée Cô Hö þ hå äg à ¦d à f äd hg à ¾ f `¿ e ¿ æd e å h¾ ãå `à d ö dà ãô §g ° Tö 2i `g üå @¢ l þ ¿ df ô ö &à py `e !å ¤f e v¿ äö ¤e f äd `g u #d
P
2 tr

Ë `Ç é× Í fÌ k hè à ` 1 à e hd `g le ß þ f ¿ f ä¿ éà hè è ä {g â ¿ C h ¤ ` `e å e `g ãå `à ` å à è df f ò¿ uð ¨ ` Q© `þ f ¿ C ä s¤ þ `¿ 0 ô C 8 f ä¿ &à y ãå éà `è üå ¢ d `¾ e 5å f uå äf dà uô d f
P l
2 tr

P

1 tr

P

1 tr

K



i

P

c(H)

1 tr

Z

K

K

P

2 tr

K

=

c(H)



i

Z

K

P

1 tr



P

s

å

w @{ 0z 0 2 iy ¬v Py 2 iy #® ¹~ )~ h d ¢ iy G ~ S¢ q | Q 0ª ¡ 2v i' 0w 0w d¿ 0¢ d x ã hw ¥² ~ I ¥

}{ y 2 )| w u| hw 2 | )~ h 0 2 iy uv P$ )' ¨w ' ¢ x² )~ 0 q ~ d ¢ y $ þ " lw u{ h$ 0 0$ )w ¦ ¨$ )' 0 w å ðâ å ä ly }{ iy G 1~ y § ¡ )~ P$ ¨ d$ ¢ P~ ° 2 Py d x & ö ¬v 2y )| w ¥ hw 2 | l~ I{ 2w )| Pw ' P$ ¨

F

2 tr

U (L)

c(0) = 0

P

X

ä¿ à äè d g ¿

` hå à C ¬¿ C `

g hå `à hf g `è ãå `g e

å `e he g ¦ d $f ì Ñ Ð ~e Ð ` © e l ß
) (f 0

d Ñ ¶

ü

¨ ! # I h

'

1 tr

K

=0

Q

3 1

P

2 tr

c(0) = 0

K

Q

3 2

Ø he fà í h à ä ¤ à ` ¾ ¿ g ö f d ¿



i

e å hd à e äe sô và d C u Ѿ C ¿

`f v ö &à
y






`ù ÷ f 3 e vd ö v ô R¤ ð q `g ãå à 0 ô và ö ¤ äè à f ä¿ mà ï e `¿ å `e äe pg þ ¿ Ñ uÐ ä g f f f d ¿ l 4ì d ) ô e äd `g le ß RÆ (3 è `e å h¿ à f 8f 8ì äì e d áè þ v¿ äö `e © `e h ug äe g f ä¿ à h `à ãå Dg ä¿ dà ô `¾ äe ¤ e C æ¿ ¡ f ¡ d ¿ 8 3ì ¨ `¿ á þ ä à ä à æ¿ ¨ C `e å e äd à ¿ ø
[0, h] (H) = - ln(H) + c(H) c(H) c0 (H) C
n

pÆ ¤ pÆ A hÌ xÏ Î xÛ IV lÌ ¡g Û ¸ C ¿ ~ äg g v uô d é¿ Õè ø và ö C
= Pn (H) C
n

f d ¿ l ì ø u ÷ ¦ ±| ÷
¦

äe ¤ e 5å éà `è e l dy





`e å d¾ hå và ö `f ¦ e hd 1¤ $à w C ¿ ~ äg g v uô 3d ¡ f d u¿ l oì ø `è e å ä¿ à f 8f 8ì äì e d áè þ v¿ äö `e © `e h ©g äe g f ä¿ à h `à ãå g `è e h¿ dà uô `¾ he ¤ e é¿ 3è q `g ãå à 0 ô và ö ¤
Pn (H)
(i) ( i (H) = -Pni) (H) ln H + c(i) (H), n

uå f ¾ C ô e © e ¦¿ #y ée 5è &à ¡y d f Ví d C ) ô e ©d he ¤ e ¿ ¿ ` Q© `þ à ¡ f ¿ C h ¤ 2 à ¿ ï à `¿ C ¿ i f ä¿ à ¾ ~¿ ÖÐ ãå `à h `g ãå `à ` å e äe g ¦ C §¿ ¡ f ¡ d ¿ 8 3ì ¨ `¿ á þ ä à ä à ¿ d f `¿ ) ô äe I¤ ée è d he H¤ ð à f ¿ C ä ð¤ 1 mà ¨ © 2y Cà Cô ö C ¿ f Ñ k `è e å « þ ¿ mf ¡ï ä à h éà `è e ¿ hå à C Ѿ C ä¿ Ð `e © e 1 hg và ö æ
c(i) (H) m
i

p è

d

`è

`à å ¤ f h¿ &à
¤

d ` äè à ` # hå è f ä¿ éà è f Hg f d f `¿
i

)

å §e à ¾ l Öß ô äe I¤

° ö ¤ fe d f ~¿ Ð `e © f ée è d

í i f h¿ à Ѿ `¿ ) ô he ¤ ée è d e ãå f d ¿ l ì ¡ `¿ @ C X¿ äe 2¤ Xà
i (H) P H
tr

C ~¿ 4Ð Ö he H¤ `g 5 xß e å `f 1© Ð


`è e ¿ ð f ` ` e d f è ¡ C D e
i

¿ ¤Ð 1 å Ö `d ¿ äe I¤ f ô î 5ç

° ö ~ `¿ ) ô ¿ df Ö¿ #y æe

mà e å ée è þ `¿ k `è

Ii e ' ) ô `e å

` ãå `g F ¤ u ä g ä » e

ãå `à ` å e äe Cg e `¿ `e Ñå ) ô éf `f ãå Ð ¤f à ä g ¿ ` ¦å ô e ¤d
)

`à e

C ä 2¤ äö e à d ô è f ` ö ¢å C e

å ée e

$ `à f I d
P

`à å v ~ö & F
©

Rg ~þ

ö

f f d ¿ l ¤ì f f h¿ dà ô ãå vg `è e hå § H ¨ C ¿ ¿ ä g f ~ 5Ð v uô d f ´ §f v uô d f ÷ q `g he 1¤ 2 à Ii hå g hå `à å `e äe ¤g p f äö e e ¡ f h¿ &à ¡y `f
P
tr

sö à ©e ÿ} u z à f ä¿ &à #y de Cô ö C ¿ éþ hè `à hå g äf 3g e ¿ ¿ ` ` e p ¡ f ä¿ à P C ` § ¡ f d ¿ m $ï à r i F hf ¤ # ãå ¦g uÐ uf f # $ # )~ )w H )y S® 2 )y 0w d¿ 0¢ d x ã q `g f `e å hd à C ` Õå e `¿ ) ô ä 1¤ à d ö äö e f h à Q þ d¿ ô e o ãå

à `e hå hå à å à C

g äe F á ¿ f Ѿ C

e `¿ 0 ãô ö à ¦ e vd Ñö g ~f Ð Ð #¿ ) ô ve ä¿ Ð `e © e

w = sgrad H

¡

s ¤ ée `è e f ä à de ô { f d ¿ l
X

e h `g æ 1 à e ãå g df ì


e f æd e `¿ ) ô s è¤ hè à `f hå g 2 và ¤ö ve &ö ¨y ¤d 3d } z ¦ I¤ d ö u f vd ö `¿ ) ô `e ~ Ð f e °z p hå g 3 q `g å `f © ve ö C `¿ e f d ¿ l $ì g ãå à ° ¿ ) ô ~ g ä `à h g ¿ C !ô ` `e 'å C ¿ hè `à Tå it i f h¿ à Ѿ `d `e å ãå `g 5 ß CÆ Ó pÆ ¤ RÆ A hÌ
H N
i

()

hf d

¤

F C äe ~¿ 'Ð xÏ Î

ä¿ ` äe ée g äè fÌ FØ

i



m

[0, h]

i

c0 (H) = -a1 H ln H + c1 (H), i (H) = - (H) n [0, h] h c0 (H)
m

(H) = -Pn (H) ln H + cn (H),

C

1

n

i

ln H + c(i) (H).

tr

c1 (H)

H=0

dà ãô dà «ö `è ée è ~ &g C ¿ `e å

a1 R,

[0, h]

H

cn (H) i H

¤

và ö
¤



m

i

N

cn (H)
(i)


©

N

i+1

ö

Ð ö

¿ ©f ) ô ve ö f ä¿ &à y `f v #y de à i ¹ ¨ `è e hè äg g ê ° äö h à g è Cg äà äf Ð F äè ág `þ ì æ è ¿ Ñö Ñ à 2 và à 8f e `f Ì Í Cô ö ée h e f 8 g äd hà ¿ ° hå g ÌÜ

D4


| ÷
s=0 B (U )
2

éf áè þ ¿ ) ô ~ Ii f å å f ä¾ «g e Ö¿ #y ée è

s

g ä `à h g ¿ C å q Fg f ¡i 0 ô ¸ î `þ f !d `e ` ãå d 8ø f ¦ à f h¿ à `¿ u ¤ f Ii f ¹d ãå e ¿ h¿ `à ` ãå äg à hå ég øî s ) `f ãå `g e ¿ h¿ dà ãô và ö à ` e Cô ö ¦ à hå g Cf Xô C ¿ f d `¾ e å `f ãå `g e `¿ ãå äg à `d e ¿ å ¿ vf ö ` `e e d à `
2

g 1 éà à ° ö f hå hg à Ѿ

hè äà !g h à ä à på è f ` å ée äè äg g f ê ~ Ð à f ä¿ à `¿ C ¹ e å ¾ áà þ ¿ h¿ éà äè à h à ¹ å ` Q© `þ d â å ¨~ ' 2 | )µ }v y ¨ P$ P¨ d$ #¢ ~
s

å ° u¢ 0w 0w 2 y iw v 0& 0w S® )w ¶® hw 2 | )~ I 2¥ )y # ~ 2¢ 2| ¨y & ¶¢ G | 0 lw }{ iy þ »| )~ 0 # ~ # )~ # ~ { ¦~ ~ å å hg å å å ° ° ä )| )w ¸{ | º 0z h 0 $ 0 h$ | 0$ y { )~ Q ½ h$ 2 )| )w év 1{ ¡¨ w ã G l~ { 1~ ly { ¦~ ù 2 y Px ' 2 1| y d© x | )~ I #¥ ~ v 1y iy qv P~ & åå ° y )~ d )µ uv }$ i| ¬ ¨y 1' )| d$ þ é' G | Q ª d$ º¢ hz P é' w 0z d )µ ¬v y dv 1v $ 0$ ® ¨$ ' )| $ þ | i~ ® y 2 )| )w v { )~ 0 d$ º& Pz p' 0$ I 0w y © $ p' 0w 0w d¿ 0¢ d x ã I P P' )~ 1 éx 0w 0w 0 )w xv P$ 0~ â å 0$ d )µ uv 0$ 0w ¿ )y 2® 2| )y u l$ }{ y 2 )| w p| hµ 2 | x

RÎ

p¿ và dà ô

à

vÌ

§¦

lÐ và

éà

Cê 'e
¡y

RÆ

Æ 7 bÚ hÏ Î Ì Qø p éf áè þ `¿ ) ô C f 1 à ä äg à #¿ q g å i ô &à ¡y d å e ¿ á¾ `þ he 1¤ mà © Xe äè à C ¾ C ãô æg q `g ãå à 0 ô " C ¾ C sô ¤g Q þ `¿ 0 ô C f 2 à à ¿ f e å h¾ ãå `à d ö dà ãô ¤g Ce ãô 4g äe ¤ `e © u î þ ¿ ¿ F ` e f C
H1 (0, 0) =

ÛÜ © 3e ä hg 8à äe g ¤e sö à `à d `¿

à ¿

e ¿ á¾ p 2



è `e ä à `f ` de è ð
i

e

` de

á ãå g äf §g à ±| è¦ ¡ f ¿ à hå g hf Ð v¿ ö `f ! e ~ Ð `f à ¡y d
i

å

"t

hè `à ä g éþ «f Ii d¿ ãô g f



ãô `

xÏ xÏ E9 @8 Ѿ ° ö Ñ 8Ð )i Ñô hå ¿ ä¿ ÷ éè äè ãô ö à f Ñö de ¿ &ö ä `þ îy hå ä¿ Ð `e g Iô þ ¿ `g e éþ và & ä¿ và g ã Ѿ C C df áè à ¹e å
H f2

¡ y

äè e ~ö $ 8 f f Öd
4

d ¿ f

`¿ C f á kg p éf áà þ ¿ ¿ ` ` e f å äd à ä¿ g ÷ hå và È© Ii `¿ g C {¾ á îè dÒ u z ` Öù à `f ` Ce d ` `e `e Q© þ
H s

äè ~ö ãå ±| hè uô µ C `

XË f v f u vd áè þ e 8 à C äe hg `g he ¥¤ ¤ å

©

hf g

`e

f u # de sô e ä¿ g e ` hå g

`þ © He q g ¡ à »¿ C ¿ ê¦ u à `f dà ¿ d sô he 1¤ mà e ` p| p d ¿ {ì q g å g Ii ¿ E ¤ `e å éà e å ¤¾


Ñô `g î u l C ¿ he `e ä g

f ¡i f ¾ e ` Ce ãô `g f ~d Ð Cf ¡ï 1 à ¿ f f d $ Ð Vf d vf äö äe þ¤ ¿ # e hå `è e l y e v¿

0 ô l vf ö # ã ô © C ) ô ° #ö u¿ l ì $÷ à f p ä éà è `g e ö `f h à

`¾ 3e



d )µ uv 0$ 0w ¿ )y 2® 2|

`

Ii

ô ¾ `¿

`è

à

å ù¦ éà è ã ¤ hÌ IV lÌ ¡g Û ¸ à »g ô df hå &d e å e ¿ hg à hÌ ¡g Û ¸ xÏ Î Í D 4 ©¾ C f l Öd g df ¿ C 0 è s ¤ « e
i
1

`e hå è à he ¤ e `¿ ) sô hå `g ée è hf d §d `þ äè à #

f và g å C `e hå

h¿ ¾ f ¿ äö e äè à `f ~ Ð ¿ ö ` `e e g ` h g

à å vf g äe

` hå g Cf Öô `è e ¿ ¿ C ä ¤ 1e `e © äe g ãå à 0 ô f ä¿ à å ée äè hg g C © å h¿ éà ±| d ø ~f Ð F »© `è e ¿ ¿ C ` Q© þ

8 ì i þ© )i ¿ !d hå g Cf 3ô hè äà `g o C ¿ df sô Q© `þ Ii m r hå vg ö à ée 4è Q þ ¿ ¿ v } | ée éè äè dà þ à mf Ii hå
2

äg Cà 0$ ` ãå e $ö § !ô áà f ¿ C `g ãå `à

`g hå à ` å ¿ ¾ `e Då q ég äè à éþ äè à 0 ãô ä ʤ `þ ` å `e äe ug

`e he g äà Cà ` f dà sö å h¿ à p ¡ `f

p `e f e hå

x6 çû xÏ hÏ Î Ì Í f hd äg à ¾ ~f Ð 8f mì þ `¿ C Ö e ¿ ä¿ &ö #y e á `þ ä à ©¿ ©ô `e ` ãå `g ) sô `à å ~ å F ` e ` hå hg à H hå `g e ¿ ä¿ dà sô e á `þ ä à ¿ Cf îô `e å x¾ äe ¤ `e å 0 © e hå `g 5 ée äè à ` äe à æå ¨ ä¿ à ` hå g ¿ vf sö «à üg `e å C h© e Ö¿ `f ~ ÖÐ à ¿ éþ äè à d ) ô e äd `g le )y k à hå g îf Ò C `e äe ¤ e é¿ © e hå e ¿ ¤ æþ ç C ¿ vf ö ` e 4f v uô d þ ¿ h¿ éà

~f Ð ` C ä áe l é `è g 2 và

äè © `è »e `þ å ¹d ö áà

dË @B §D B ì áà þ `¿ ) ô ä hà äè à ` ` e v¿ äö pÆ ¤ pÆ ¤ RÆ A Ð `d ve üö &à h ¢g hå dà Ñö Tö `þ h à ¿ hå ì© vd ö §ö e Ö¿ y ÿà ß pÆ X pÆ ¤ pÆ A k hè à 0 sô và sö p ¡ f h¿ `à de sô #y ée è `à hå g hf @g f hå `g ß bÆ T pÆ ¥¤ pÆ A pÆ A pÆ ¤ pÆ A hÌ è ð } ãå g C f å e C `e e ¢d f å h «g f § q `g he 1¤ mà äè à h à ø
f

å ä¿ xÏ Î xÛ ` e ` ä dà ô hg à Ѿ u ) ô C f xÏ Î xÛ fÌ FØ Ì 3¿ f ¡y f ¿ §d f `¿ e å r¦ ó| F äf ãå

f = p1 q

ss

2

s, f

2

H

i

hà

H1 =

H s

H2 =

4g

©

Cô

H2 (0, 0) = 0

ä¿ à

#y

`þ



¤ pÆ A g #Ì S µ ¡ f y Ce ô e Vå ã ¤ ée è hÌ lÌ ¡g Û ¸ f á xÒ lk © `f `¿ ãå g C ¾ `f s ¤ ` e

xÏ C¿ µ de uô

lÛ g ä¿ à `þ © å Î xÛ IV hè g ã Q hå g e uå ¿ C ¡i `¿

¤

`f & 2 à ä IV lÌ ÌÜ d ¿ ãå uô éf î p # ãå ©g `g 5 ß

Ð f

0

X

B (U )

f

s 0, f2 0

H = H (s, f2 )



m

= {s = const} Ptr (0) = F
s

f

X

df2 = 0.

P

tr

(0, 0) = 0,

f2 = 0
-1

s, f2 = f2 (x, y )

(m )

M

H = H (s, f2 )

H f2



B (U )

f

m

2

y

(0, 0) = 0

0

s0
s

H1 (0, 0)



H

H2 (0, 0)

X

V

R

¿ ì

¾

ô

ô


F ÷ `e ` e d ¿ vf äö pe þ h¿ `à e ` ãå `g © e ¿ h¿ `à ` ãå äg à Ѿ d u ¡ ¿ ` e 4 î þ ä¿ Ð C C k¿ } u ÷ m¦ éþ äè à hå g hf g ` ±| p á äè ug l éþ è e hd äg à ¾ f å äd Cà uô é è äf g f hå `g e ¿ ä¿ và &ö #y e á `þ ä à ¿ Ñ Ð hð Ð f `d ) ô e hd `g le ß RÆ pÆ ¤ pÆ A hÌ xÏ Î xÛ IV lÌ ã ÿ} ÷ §¦ îf ÿ} u u §¦ f ä¿ à ¨y C á `þ @ äè à f h¿ à `¿ äg và sö Ð ¦
q 2

g hå à u¾ ô e ÷ ÷¦ à f h¿ &à ¨y C á Tþ îâ s ÿ} ÷ u ¦

¡ d

õ `è e ¿ C f `¿ `e Ñå ) uô éf è s ¤ g C ¿ éþ hè `à ãå g äf 3g 0 Cô mö ° äö e f h à l éþ äè `à ãå g äf $g e ¿ ¿ F ` e f I d sö à 8 Cô ö C á¿ ° äö e f ä à f d ¿ l ¢ì ø và ö e `à f
(s, f2 ) Ptr (s) (s, f2 ) = (s, f2 ) = Ptr (s) 1 K (s, f2 )(s, f2 ) 2 H=f Ptr (s) s = 0
2

f d ¿ l ¢ì ø ÷ u ¦


îì

e h¿ à d¿ ¿ éþ ¿ l Õå äè

C f ä¿ mà ¨ C ` » ¡ f d e `¿ ) ô ä g ä `à h g ¿ C mf ¡ # `e ãå `g äe g
Ptr (s)

ô hè à g äf

á ãå mà ä¿ Ð F

þ C g äf æg e øï `þ e à h¾ äà äg à ä ` ` e
©

¿ ¿ ` ` ä¿ à ä¾ éà à o q ä¿ g è

e f `è å «e `g äe 2¤ f `

`e å ¦g ãå à uô f u ô d l ì Ôå
Q
0

f
¡

C

e `þ
0

§

å v

C¾ u v ° ö u df æô f å Ii ä Ð C d ve u dd äà `g o e » Ð
¤
Q
0

¨y



áà þ ¿ ¿ ` ` e f I d ö hà áê u k äè `à $ $ ` ` hå g 1 éà äè hà g `d ve ö ¨ F © he lg ¢ e ` hå g 1 éà äè hà g vd ö de uô Ii `¿ ) ô ~ g h `à á áè þ p éf áè þ ¿ ä éà uè ã à Xå q `g Ôå i 0 ô à äf Ð C ` © e äe ¤ e é¿ dè ~ö e à f pd f # 2© äà g
Ii
s
m

ãå g äf g ¨ de uô Ð å 3e äà mà ä g ¿ C ` ¿ h éà è e `¿ å ¿ C f hå à ü¾
Ä
B (U )

)i Á

¿ ¿ F ` e e v¿ äö e q g `f Ñ ¹Ð å C ` Q© 4ö q `g hå à F ¿ f `à uô d e 5¿
· {½ dÁ ·

m

þ¢

`d ve ö de uô $ Ð §f de ©ö ¨y &d I d ö à © ° äö e f ä à # 1 à f d ¿ l de îô `þ s© d 8 îy á `è e ` e å áè `þ h à r i 0 ô ÿ v uô d f f å ée hè äg g C ¦ p ¡ f ä¿ à P C ` i f `e hå g 2 éà äè äà 8g `à e vd Ñö f C sö à » q g hå äà éà è If q `g uå 0 ô `è `e ãå ò f » hå dà dd ö v ô ì¤ df ô F ~e Ð C © e f `¿ 3e p e Ö¿ #y ée è ~f Ð ` © `e he ô ¡ äà mà Ii ` ãå `g ãå `à ¡ ~f e ` `e å e hd à ¿ hå à ` ãå `g ãå `à ` å e äe g l éþ éè è C ä ¨¤ C vf ö e ¿ `¿ e f ¨ u
±
Ö Á

d u l ì f

©

÷¼ hä ù {¿ t ± ° 9² hã p p² ± ðý á
y
0

#Õ ÃÔ Ä d Ä 3 #Ä Ö !Á À



s



C ¿ 8ì dà ô v d ¿ v ô ¤ Ñö © `à hå hg éà ¤ e é¿ ` å e Ð C `

©

`è vè äö äe g `e he

e é¿

ô C Ѿ C h¿ Xg ` ` äe g g q `g he 1¤ mà i df sô g f á¾ `þ © e à ¡y d ö & ¨ de uô ¤ ö & Ce uô `þ © e å é¾ p f he ¤ ve &ö à ~f Ð ` © `e vè äö e äè à î `þ f d Ð `e f
Ptr (s)



è `è üå g äf ö & # ãå `e 5å hè ve h éà 0 $ô he vè ¾ ve &ö ` de

`f ãå éà äà f vd F äf ¤ `þ © å éþ uÐ f ¨ C ¿ d få d ¤ e é¿ f V f d e

Ptr (s)

U (L)

K (s, f2 ) =

(, µ)

H1 G2 -H2 G H 2 G2

1

Ptr (s) s > 0

(s, f2 )



(s, x, y ) = 0 Q
s



x=-

1 f2 (s, x, y ) y f2 1 , y= (s, x, y ) x

0

s

G(s, f2 ) = s2 (s, f2 )

=F

Q

µ

=

s

-1

({s = s0 }) s0 = 0

m

X

s

` 8e ì ¡g Û ¸ ä g

(s, f2 ) (, µ)

¤

Ð F © ¨ de uô »g Ð f `à hå g äf g &ö ¨y d è v ö x äö e &


¢

¨y 8 y Cô ö äà g


` ÷
s0 s0

ã hà `g

å

þ Ñ &à ä hg

ä g hf $g äe Ð ) Ð C & u hd äg ¡y d à 4¿ k

he à øï `þ $ äà `g d he ¤ `e 8å éà `è e l ãô và «ö `è ée è ~ ©g C 4¿ è `e hå e e h g 3f &à ¡y d å ée è vf äö Fe ~ © äe à C #¿ q g å i ¾ df ~ô å le à ¿ e ¿ h¿ pÆ ¥u pÆ ¤ pÆ A hÌ xÏ Î øï `þ 5Ð df äè `à ãå g äf !g Cf ãô äg °à e `¿ 0 ãô `à å F ` ve
H 2 G2 H1 G2 -H2 G
1

å d¾ á è f u¾ ô e e ¿ ¾ hf ¤ de ô C ¿ d äe ¤ e 5å éà `è e l y f vd ö d ` e `d ) ô e hd `g e
G
2

f þ ä¿ à d¿ ô e á `þ &à ¡y d å f f d ¿ l Öì F hå g `e ä mg áà þ e 3 ¡ f d ¿ l #ì ¨ vd Ñö v ô t¤ ø å f Ѿ C ä¿ Ð C ã ÿ} ÷ ÷¦ ée äè à á hè g ¦ e ¿ f ¾ df sô `à » q `g ãå à 0 sô và sö à ` e `e å I¾ å ã ÿ} u !¦ á äè g C §¿ 8f dà sô g f ¾ `è `e å u ¡ `¿ ` e u Ö î éþ äè à hå g hf g áà þ ¿ ¿ F ` e f I d sö à f `e å ¾ ãå `à d ö dà ãô g äe ¤ e ¿ ¿ µ 0 Ñô ¹¿ `f ãå `g e `¿ ãå äg à `d !e de sô à `e vå C `¿ 0 ô C f 2 à d u ÷ ¦ `e p d då 4 C `¿ á þ h à ä à ¿ µ u ÷ ¦ f õ e h¿ à d¿ ô e á þ î } ¤¦ dþ p P u dd ö v ô H¤ ð e ¿ ä¿ `à hå `g ãå `à ` å `e äe g e 3 ¨ vd Ñö
d

Ñô è $e $ì Ð 3f 0 sô `à å ¦f #y e é¿ 3è 0 Cô ö ° ö ¤ he í v ô ¤ f e C `¿ á þ h à h à ¿ 1 hg và ö
c(s, f2 ) G1 (s, f2 ) = f
2



ú

å áè ä¿ ` ` ̦ äè éf äd

á äè 2 à à f f d

`à ãå g äf ¤¿ C T¿ ä¿ &à #y de `¾ `e Iå

üg ¡ ¿ ÿà éå ô sö à áà `þ © he `g

hå g e ¿ e îe hà `g

¿ ¾ hf ¤ h¿ à d¿ ! äè

V â de ô ô à ¾

Fð ¿ e á f

h¿ và ö g C ä¿ `à þ § 2 à l $þ

æ e `¿ ì C

áõ è f ¾ Öç e 3 î þ ` hå g ` e s äà ä ¤ áà `þ © äe
0

C ô e î à C @¿ äè f I d ö à ö de uô µ `f hå g e ¾ `e Tå áà ¿ ¿ F à `g H 0 ô g e f
P (s)

e vd 5ö f d

`¿ e à f ä¿ 5 C `¿ ãå þ © äe

& ¿ "¦ &à ¡y f v ¦ î þ ¿ ÿ} ÷ g C ¾ mâ `g Ie &à 5y

`e ö ¿ ¿ u µ `à må

þ ¿ e k è f f f

s2 = G(s, f2 )

ds2 df2

Ptr = Q

Ptr (0)

(s, f2 ) 2



õ hå à d sö dà sô îg z ÷ u §¦ Tf ±| ÷ u ¦ lÐ vã e ¿ ä¿ éà hè à ä à » e ` de ô I¤ 1 mà Ii hå `g ãå `à ` å `e äe «g e © ÿ} ÷ u ¦ `è e ¿ C f `¿ `e Ñå ) uô éf è s S¤ g éþ hè `à hå g äf g hå `g e e hd og ø f C ) ô e &d C #¿ `f ` ãå g 1 và §ö e ¿ h¿ éà äè à h à 3 q `g hå à 0 ô e å C¾ he ¤ `e 8å Ð Öf hå `à C sö dà sô g ¦ z ÷ u ¦
s
2

G2 (s, f2 ) =

1 (-(s) ln f2 + c(s, f2 )) , 2 (s) (1 - ln f2 ) f2 + c(s, f2 ), G(s, f2 ) = 2

G2 (s, f2 ) =

f

2

(s) c (1 - ln f2 ) f2 + (s, f2 ). 2 s

÷ ÷ u

¦

(s, f2 ) = 0

ln f

2

H H2 G 2 H1 G 2 - H 2 G 1 H

G1 (s)f2 ln f G2 (s) ln f2

f2 0

G

s=const

1

(s)

s c(s, f2 )

2

1

Ptr (s)

2

f2 0

=

H H

0.

1

2

(s, 0) = 0

f2 0,

G(s, f2 ) (s)

f2 = 0

P (s)

C

Ptr (0)
1 df2 ds2

(1 - ln f2 )f2 0

(s, x, y )
2

s

¿ ¿ f ` hå g Cà F ` ô ~¿ Ð mà

vy ã ¸ ÿ} u ¿ 1 hg `à ` ãå äg à xÛ IV lÌ å f ¾ ö dà Iô

¡g

Ò

u ¦ và ö æ Ѿ d Û¸ ~¿ Ð

æ

`è `e ãå e § f

`à ãå e Tg ô
2i

äe g è f ë


` f äd g à df

à å à hå hg v¿ äö

hå hg `à hf ¾ le å

`d ) ô e æg ¡ f ¨i ãô và ö à æ æå éà `è e l `e à äf ù¤ q `g f ¿ e e äg 8à ä ¤g äe ¤ e © ä éà è mf

hd `g le ß ° ö C ` q `g hå hà éà ky ÿ} u z Ôå i 0 ô ¿ ä¿ éà è f


`

h ¿

¡ 1i

à ¨ ¡ `¿ ô ~ g f ¡ d h ég sö dà sô
¤
s

} ÷ f ¡ f h¿ he ¤ `e © )i Xô 0 Cô uö `e å á¾ he ¤ `e ¹å Ð f hå à d sö dà sô »g `e f ¢d e ` de Cô ö äà `¿ ) ` f à ¾ hå `à C d ô
q g å i ád `þ å `e Tå t å h¿ à vf ö ä ̤ f d `¾ e Då þ ¿ f ¾
sf
2

î þ ¿ h¿ h¿ dà `e © he Cf ãô `à C

éà äè à h ãô Cà ô ô C `g e `f sô và sö à

à 8 hå g ¤

e `¿ ) ä à e `¿ ãå äg ud f

sô `à å ¦¿ 'f à d å 1 à

hf `g e ¿ `e h dà Ñô Xe de ä à § e

å e ¡ f ä¿ à ä¿ à C¿ ãå `à ô k «è « e ¦¿ #y ée hè

P C å à f

g e & hå hg vd ö

g

` # e `à ä g ¿ 8 mì v Tö e þ
sf

C ` `¿ î `g ¿ f

f d ¿ l ì f ¿ df «ô å ` e u f f þ ¿ ä¿ éà äè à üå ø¢ ¾ df ãô `à ©
s

`e å d¾ à f d å å f f d `¾ e ¤å `f ãå `g e `¿ ãå äg à `d ¦e þ ä¿ à ¾ f ¿ C ä ¤ #e å f Ѿ C ~¿ æÐ pf C `¿ á þ ä à h à ¿ e å ¾ Öø he ¤ e ` e å © Ð Öf h hå à ` ãå äg à ã g `e å b¾
-a(s)h(0) +
s c1 e f2

¿ f `d ) ô ãå `à d
)

ãå g þ e ö dà

`¿ e `¿ á hd `g ãô ¹g

æd 3f 0 þ h à h e ° e ä¿ f ä¿ à
¡

Ñô Ö¿ à ¿ à d¿ `¿ C

hå g e à ¡y d ô e á `þ & ' äe ¤

`¿ ãå äg à d §e hå `à ` hå hg à h 'g `è `e ãå e å C ä¿ à ¾ f ¿ C h ¤ e hà à v¿ ö dà ãô `g le °ß `e ä à & uÐ f î Cþ ô k ¤è f l ß
f2


2

f

p ÿd å

và ö 0¤

`d ) ô e hd `g e C ° Tö 2i `g üå

õ f f î ÷ ÷¦ q ég äè `à h Ð ) ô e ä `g `e & F e î¿ Ò f õ e ä¿ à d¿ ô e á `þ f f ¡ d ¿ 8 ì Cô #ö `e å I¾ hå à d sö dà sô mg ÷ u ´¦ Ð f `e å é¾ &à ¡y d §å è `f ãå éà `è üå ¢
K (s, f2 ) n=0 H H n=1
1 2

d

u ÷
¦

h(0) = lim

f2 0

H

(s, f2 ) = (s, f2 ) = -(s) ln H

P (s)

f

2

(f2 )

=H

H

P (s)

(s, f2 ) = -(s) ln f2 + c0 (s, f2 ) ~

d

Ñù ±| ÷
¦

P (s)

(f2 ) = h(f2 )f

(0) = 0

= -((s) + a(s)h(0)f2 ) ln f2 + c1 (s, f2 ). ~

f

e

~ hg g v uô d

f

f f d ¿ l 'ì R e à f vd ö v ô ¶¤ f
s

e þ `¿ á þ ä à ä à ¿

áõ è f ¾ C ô e T d Ñù ±| ÷ ¦ 5Ð e $ à f dd ö v ô f f d ¿ m ï f
c0 ~ s

< const < 0

1 (s) C - a(s)h(0) ln f2 = - (s) + a(s)h(0)f2 ln f2 < - - f2 f2 f2

f2 = 0

a(s) (s) > 0

c

0

c0 ~ = - (s) ln f2 + , s s = -((s) + a(s)h(0)f2 f2 (s) - a(s)h(0) ln =- f2

= -((s) + a(s)H



f

2

P (s)

h(0) = 0

1 c1 - a(s)h(0) ln f2 + f2 f2 c1 f2 - a(s)h(0) + . f2

(f2 ) + c0 (s, f2 )

P (s)

(f2 )) ln H

f2 0.

C>0

f

-

s 0 f2 = 0

äe ¤ e ¿ ¿ F ` e äf g d 8f ãå `g e `¿ 0 ãô dà ô ô C 8 ß i f ©d ¿ df Ôô `e å ¾ hå à C Ѿ C ä¿ Ð ä à ¦ f f d ¿ l f hà `g ¹ `d ) ô e hd `g le ß


{s = 0} =

s

2



(s, f2 )

0, f2 0

f2 0 H
P (s) P (s)

ì e ì

(0) = 0

K (s, f2 ) =

(f2 ) + c1 (s, f2 ).

c1 ~

c

1

s = {f2 = 0}
H 1 G 2 -H 2 G H 2 G2

f2 0. C
1

, s f2

(0, 0)
1

¤

(s, f2 )

f

2

¢


Fz ÷

d
2

Ñ ±| ÷
¦
f



e « ¨ vd ö d ô H¤ ð f e « ¨ vd Ñö v ô 7¤ ¡ f ¡ d ¿ 8 ì hå à ` ãå äg à ã hg s ±| ÷ S¦ e ä¿ à C¿ ô e á `þ 8 và ö ¤ f d `¾ e #å `f à f ¾ df ô C u¿ hå `à u `f å ¿ C s p¤ `e Tå ºt à d `¾ e ¹å ¹ de sô g f §¾ `à e ¿ ¿ F ` e äf g d 8f §ì `à e p ` äè à ` e å k f » `f ãå `g e ¿ h¾ à `¿ e äd hg `à p© »d q g å éf äè à h ©g ó| u ÷ ̦ ãå g C ±| ÷ ¦ p d C ä¿ mÐ ãå à ¡ ¿ ~ he g e å ¾ ` `è e å « ¿ å ä¿ dà ô F `f hd C ¿ `¿ e å e `¿ ée è `| ±| ÷ ¦ áõ è f ¾ C ô e ã d ÷ ¦ h Ð ) ô e ä lg 0 f `f ãå `g e ¿ ¿ `e å e ¿ ée è # f e å ¾ e ä¿ lg 5 ã e `d ) ô e 5å à ©¿ ¦ s äà `g 3 v Ñô è ` 8e Fì ÷ u ' 8f ÷ Ö ¡ f ¿ ä¾ éà è ~ ÖÐ ¨ F á þ å f ü¾ `w ã d ÷ »¦ à f ä¿ dà ô hå vg ö à ¦ `e f Öd ée è ~ 8g C ¦¿ ¡ f ä¿ mà ¨ C ` Ö f f d ¿ l mì v sô và sö à à f ä¿ và ö `à ` e m å F ve sö

n=1 s0 K2 + K 2 = 0 (0, 0)
f
2

(s) + a1 (s)f2 c1 - a1 (s) ln f2 + (s, f2 ) f2 f2 - +fa21 f2 - a1 ln f2 + c1 (f2 ) -( + a1 f2 ) - a1 f2 ln f2 + c1 (f2 )f 2 = (0, f2 ) = -( + a1 f2 ) ln f2 + c1 (f2 ) -( + a1 f2 )f2 ln f2 + c1 (f2 )f2

K2 + K 2 = 0

(0, f2 )

1 K (0, f2 ) = f2 2

(0, f2 )

(s, f2 ) = -((s) + a1 (s)f2 ) ln f2 + c1 (s, f2 ),

ãõ



0 Cô ãå `g e `¿ ` e å @¾ ¨ F

q

q `g uå vf sö `à I© æ q `g hå à hå 5g `d ) ô e f © C h¿ à d¿ ô e á þ T d `g å `f © ve ö C `¿ e äe ¤ e hå » dà sô äg g $f e ¦¿ y m¿ h à ä

2 (s, f2 ) = -

a1 = a1 (0)

1+

a1 f2 ln f2 +a1 f2

-

c1 (f2 )f2 +a1 f2 c1 (f2 )f2 +a1 f2

(0, f2 )

(0, f2 ) =

1 f2 ln f2



~} ±| ÷
¦

f

=

f2 ln f2 -

áõ è f ¾ C ô e $ à ¡y d Tå z ÷
¦
f2 0.

¡

f h¿ dà ãô dà sö à æe îf d ~ ó| ÷ g¦ uÐ Cf äe ¤ e 5å éà `è e l y

1 2 1 G22 (s, f2 ) = 2

(s) c1 (s, f2 ) - ln f2 s 2 (s) (s) - + a1 (s) ln f2 + a1 (s) + c1 (s, f2 ) - f2 f2 2 f 2 (- (s) + a1 (s)f2 ) ln f2 + G
2

f f

¦

pö ã ãå äg e äd h dà

÷ à `d à ¿ ¤ô `e

e å C¾ ÿà å e å ¾ äe ¤ `e áå à `f ` Ce ãô kg w
¢

G12 (s, f2 ) =



s>0

1 K2 + K 2

K 2 = - 2. K

f2 0

c

1

(0, 0)

K2 + K

(0, f2 )

2

(0, f2 )

s

f2 0

C

2

1

f 2 0. f2 0,
2

è f ¾ C ô e ° ~ö d å e uô C¾ å de d d C x `e å Ȧ C æe `e å ø ¨ ` uå I¾ á hè µ ¨ hf {g ô e &à ¨y d â e d `d me

f2 0
m

hà í

hd `g e ÷ u ¦ $ô x
0


`÷ ÷ p hd &à ¡y f ¿ ¤d u mf Ii hå äg à ` å `e he g äè Ð 8f ì ` ée `è he éà `è äe t¤ ø Cf ` ée `è e å æ `f hå g e ¿ ä¿ à © äe `g æe u mf
:V V : V B (U ) : B (U ) B (U )

¡i 0

ãô và ö à ` @e ~è Ð 8f ì ée `è äe 8à 8ì ì vf ö ø à hå uô
¥© ¢

µõ ¡ f h¿ &à

Ii

¨y C ` å `f `à ¹g u } ¡ f Q e &ö 2y éà éf f u u h¿ `à ©



ã ¿ ¿ ¹¤ f df he d h uô uå ãå ¿ ` ée
I@

`è äe éà äe

p f ¦d ¡y f ¿ ¬d `d e ï à ` e d `è e ¿ ¿ C ` Q© `þ X Ii q `g ãå `à `f å hd `à e « Q þ å `f ãå `g e m e ¿ Ѿ C ~¿ Ð e f &à y d f éf è k p µ q `g hå à 1© à ` Ñå äe ¤ `e kå éà `è
d dÑ d ´
V V V

hå `à ` ` ãå `g ãå `e å e #d v¿ äö e e ¦¿ Då 8 è `e å éf ~f Ð C © e l y u

e ¿ ä¿ à hå g hå `à å `e `e he g `à ` å e äe g k `è e C h¿ hå g Cf æô å e #y ée è k `è e å f `þ áè `þ de Cô sö hà Ög «g `e äe ¤ e é¿ §è ¡i f ` | p µ d ÷ òð «| è
@
V

` hå g hå `à å `e he 8 ì C ä ¤ å 5 hå `g e ¦¿ hå e ¿ ä¿ éà è 0 ô e &d å hd bà í ¥© ÿ¢ µ å ä¿ à R ð de å h¿ à f ` ¤e `f ` de sô `g ü


Cg `è e © y `d 3f f p `è ve &ö f ä¿ Cô ö äà ¤g uô ¡ ¿ ãå à d `

äe 5g @e Ii f Öd ¨y à de ãô C ~ he `e hå

d põ Hg `f g dà ô

Ñ | ¾ f ¿ ¤d `e © î `þ `f ~è uÐ $f ` ve ~ö

p C ä ãå g ©g dà ô `g e ì xÒ

lk ¥

© `e hå `g ãå ¨ © þ ` Öè df pô he `g Öe è `e uå ¾

&e F v @ö ` å `e äe ¦g @| g f dy h và äö äe Ñg å e äd à 4¿ áè þ ¿ ¿ u f ~þ `à d §ö þ S¤ Q þ ¿ á äè à s ¤ v
A@

è f ` å ée hè `e hå r è f Ѿ ¹ á äè g ¦ p ô uô `f f ` hå g hå `à Ñ ä ¦g q `g Ð © ø ¿ ö ~ ¤Ð ãå ` å hd à C ¢å d sö à à uÐ F ° `e ô e
Þ

@

Û IÑ Pe d Ñ

Û ! Â Ý p I ¨ f  d e

IÑ ¨e d Ñ

Ñ hÑ

f ¿ `¿ `e å e `¿ ée è ¡ f d u¿ l 5ì e å ¾ hå à C Ѿ C ä¿ Ð 5e e hå P x ö Ñ Ð C ü¿ 2 g ¨ ¨ C ` ä Ð îe Fâ `à å ¿ ãå g `¿ e d d ø `e uå x¾ ãå `à d ö dà ãô g z ±| ÷ r¦ f ~} ±| ÷ u ¦ Ð °f á `è ~e Ð ` © Xe è f d í h µ `f hå g e ¿ ä¾ à `¿ e äd äg à u© d q g å éf äè à hå g ã d ÷ §¦ ¨ ` á `þ å f ¾ C e ¿ ) ãô à å F ` ve ö dà Iô Ò f
1 ln f
2

d

÷ ¦ &à y d æå ¨ ä Ð 0 ô e ä g Cf ` `è e hå le ß

K2 (0, f2 ) K

K2 (s, f2 ) =

=

=

(0) H12 H2 - H1 H22 (0, 0) - (H2 )2

H1 G 2 - H 2 G 1 f2 H2 G 2 H12 H2 - H1 H22 (s, f2 ) (H2 )2 H12 H2 - H1 H22 (s, f2 ) (H2 )2 H12 H2 - H1 H22 (s, f2 ) (H2 )2 H12 H2 - H1 H22 (s, 0) (H2 )2

H1 G 1 - f 2 H2 G 2 G G -G G - 12 2 2 1 22 (s, f2 ) (G2 ) G GG - 12 (s, f2 ) + 1 22 (s, G2 G2 G2 (s) ln f2 (s) + - f2 (s) ln f2 (s) f2 (s) f2 0. - (s)

(s, f2 ) =

H2 (0, 0) H1



z ±| ÷
¦

f

K2 K

B (U )

(0, f2 )

f2 0

: V B (U )

´¢ ¡y

ô e d `e å #g f


äg g h ê C ä¿ Ð `e u ) $f ðw å `e he Ôå i 0 ô

2

(0, f2 )

B (U )

f 2 0.

f2 )

(s, f2 )

(0, f2 )

B (U ) B (U )

`g 5 ß `þ © e å ¾ æþ ç
¥v )

'


F ÷
¡ï
V V

h `à e à
0 ¨

k `è f f `e Ñ Ð

¤

è å 'e å `g u lå å

' $ à ä¿ lf l 1© äà !¾ f u ` g f áf uÐ

ä¿ ` æe ¤ `e © å e ` è Ð df à ` &¿



p f äe ¤ ¿ à d

`e å 4 $ C h éà uè ä éà © äe `g !e ¨ f `¾ e 5å i ~ö
±å

ì ¤ he ¤ `e © `e å ¾ ãå à è `e hå ð e C 2© à ýf l `d ãå äg &à ry C ò¿ uð e d
å

ä u &¿ Ö¿ ` e © f

he `g ¹e 1 à f F h éà uè h Ð C `¿ ) sô `à å hf `g þ ¿ mf ¡ï ä à ¤ ` `e © l¿ äe 5d Q þ ¿

C ä éà v äö e e ¿ å hå e d h¿ dà ãô g

'¿ l `þ q g 5 éß ` e f á¾ `þ

¿ F ` ¿ f i ãô g k `è `e å ä¿ éà hè dà f
Z

e f ¿ f F ¿ uô ¡ ¿ f á¾ þ å ¿ C f ¹ $ u¤ äe ¤ e ãô Q vþ &ö ¨y 8 e å ¿ C


I d ö f Ce D `þ ì C h uÐ f Q `

k ~ he F © äe `y f F

`è `e å g ¿ `g ue b sô ¿


ée h # `e à
V

`è

h `à í ä ¿ d
¤

¡ f ì C ä &à ¨y þ ¿ F à @ è e f Q vþ

&à ¨y äe ¤ ` © `e e h éà ô 3f `e © &ö ¨y 8
°

© `e å äe `g !e þ © ¿ Ñ ¿ f ¡ï q `g ãå y pÆ (A µÆ

§¦

mf `à 1© à å ¾ k ô pÆ A hÌ

`è e 3 f !f ¿ f f ¿ F ` e `e å $ $ ` e å e `e xÏ Î xÛ IV lÌ

s

1© à ì äd à f ¡g

Û

d
¸

dv v ¨w ' 0x w S #¨ $ G ~ » 0$ ' ~ v 0¢ 0w S¿ @¨ 0z )| Pw P¨ ¦$ ð& )y Pw ' 2 P| 2 iy ¬v | ¢ d$ S¢ uw 0 0w ¡y ¥ 1y ¶| @¨ 0z d iµ 1v ¸$ i| H y 1' )| ¨ $ þ @¨ 0z 0 $ q º& ¨z ' )~ d )µ ¬v y 0 2w | )~ h # ~ q | Q 0ª }v )| Iw º¥ ¨z ' hz 0 ¨ 0$ )w P$ )' 0 w
Z

P' 2~ 1| | i$ v ¢

1y ¨| ' °

{ ~ ² å

)w Q R ¯ ä ö å ½

# ¨~ )' )w 1 ¶¢ ¨~ ' ~ v 2 2y | 0$ u # )~ 0 y }{ iy H )y u® )~ # ¶~ 0w 0w d¿ 0¢ d x ã ¢ d$ ¢ ° w y ¢ 0w d »¢ 0$ ý 0ª 0w d¿ 0¢ d x ã ¢ d$ ¢


hz 0 ¨ 0$ )w P$ )' 0 w 2 )y I $ ¨ 1~ |
C
s

I 0w 2 y ¨© $ ¦ ò' 0ª 0w d¿ 0¢ d x ã °

å

w @{ 0z 0 P$ ' 1~ | )$ ¬v 1~ ´| G | Q )ª 1v )'

w

° ¨¼ ~ I ¥ )y dw ¢ h$ ¡ v u w v u 0 0w 2 y 2¥ 2y p| @¨ 0z d )µ uv }$ i| ¬ ¨y 1' )| d$ þ ' 1~ 1| | i$ v u¢ q P~ º& Pz ' 0 0w 2 y ~ ¬v ¶| @¨ ¨z 2' y dv v Pw ' 0x iw ðv ¨ $ ¤&
:V V · v v

° °

1{ ¡¨ w ã G ~ q{ 1~ ly { ¦~ 1{ ¡¨ w ã G l~ { 1~ y ¸ã ã w

' ~ { ~ ¨ $

P$ ~ ¢ $ ¦ ~ â ' w

z { ~ Ì$ y 0z ã G ~ { 2~ y @ã ã w ~ 1' iy dv v ¨w ' 0x )w v 0$ 0® hw ° 1' y i~ }v | z # ¨~ #& ¨~ 1' ¸| @¨ Pz #& 2~ P| ~ w I{ I 2 )y 2® y ¤|
v

0z h 0 2 iy uv ¨$ )' Pw ' P¢ ² þ 0 )y H¿ à i~ v 2 2y |

°

hµ | x

R

Q dª ¨x ' 2 | y ' # ~ 1~ | I{ w w åå å ± g ± ö½ ® à ½ I{ I ¨w ' ~ ¬v | ¤x vç û ü

I¨ w ¨~ 1' |

y lz }{ y ¨$ )' )w þ ¨ l$ }{ 1| | $

P{ Px ¨' ì o|

c

i

Vå me à f p d ` g df ô

` ±| u z q g `f e ` äe ¤ &à y å

äè à ~ dÐ à Ѿ C ¿ `e !å

Ñù ó| z î à e ` de Cô ö Ð C ` © ¤e æf he ¤ `e © )i æô

`f hå vg ö dà ãô Ig &à ¡y d äà ¦g ¤¿ f d `¾ e Öå å df ãô hg à `e å R¾ hå ô æö df ãô hg µà C w @{
0
B (U )

0z 0 ¨$ ' 2~ | )$ }v 2~ ì| q

äe `à ~å á îè f f f hå à ` ãå `g ãå `à `g Ôå i F


Ò p f f f ä¿ à ¨y C ` å e á ~þ Ð C

vd ö & ¨ d ¿ l ` © e å äe g ¿f
V

de uô e `¿ ì þ ä¿ à e 3e f k `è e å f ä¿ &à


¡

) ô ä g ä `à h ` ãå `g e z äe 2¤ à r ` © `e üå ¨y

2 | x R pÆ 3 °Æ §¦ pÆ A lÛ g Ì Ü B µ 1 à g ¿ C uô f `e f ° p á f é¿ è e 8 ` he Cg ãå g ) ô d `è e ) ô fÌ FØ Ì Í Ì Ü ¢

Ö hå g e CÆ Ó

å ä äg g d Ö `e å d¾ hå `à å `e k °Æ §¦ RÆ A hÌ
V

d è å xÏ Î

B (U )



vv

(C )

C

U

°

¨ P| )~ h 1| iy 1 #¢ ~ ° hµ

UU

U

Z

v

V

=

V

å

$ ¦ ~ § ~ d¢ )µ qv ~ è éw $ ~

'

0z h 0 y 1v ¨$ )' Pw ' P¢ u² )~ ) G ~ d ¢ y $ þ dw ¢ 1| y 0¥ w P i~ qv )~ #® ~ °

I¨ 2 | )~ h 1| iy 1 #¢ ~ '

)y hw Q© 0ª G ~ ' 2 iy 1v ' P~ d x @¨ 0z 0 ¬ ly { G¨ iy hz 2 y «¥

vv

UU

°

°

»¼ Q dª Px ' 2 2| y d© 2x | °

·

°

·



: B (U ) B (U )

ÌY §¿ d d df ô
D4

e d


¿ de oà å

I

w

`e {å

d he




q

e é¿ `e äe Ö¿ y 0 ô `e ãå äg vd Ñö ¿ ô ¸¤ 8f ì

»

)

ô

vd ö C
¤

è


Öf à ô
Ii

éà u

e v

©

¿ u

8ö

©

C Ö¿ à f e ¿ ä¿ éà è ~e Ð C ) e vd ö Ii ¿ ` Ii `e `f å ã e ¿ C ` © è f vd ö f e à ~f Ð `
P
tr

ä¿ `à de sô Ög `à hè à ä à X © e áè v ô ¾¤ m¦ e `e å äe Ð Hf å e äd à ¿ Hg e ý äe g v ô é¤ q `g vd ö de uô `¿ ) ô ~ g h `e he ¤ e é¿
©
Q
3

e ¿ `e ` ¿ ä¿ @ äà è f ` hå và `g uå á äè uå 0 `à ä g vè äö e

Ñ Ð pf äè à ~f Ð C © `e äe ¤ ô 2 à Ii hå g hå `à å hå à # hå `g e ô äg à h à { ée äè éþ è ö 1 dy ä {g `g d ô 1¤ à äf Ð `e é¿ f vd Ñö v x ãå ée éà äè Ð `¿ g ¿ i ~ö C äà äg à ä à à `à e vd ¿ mf à
hå äe ¤ e &à #y h `à ä g 1 mà ¿ C f `e å ¿ C

u d ¹ I¤ hg `à hå hg äd hà äg g C à h à dà ~ö he C ` © à ¿ ) ô ~ ` å e `¿ å `
s

e vd ö è è è C ` áå i hd F ¿ uf f F


f Ñ ö f ä¿

pè è f Dg ¨ C ¿ d e uô `f $f éà îè fâ & de ô q `g q g hå à ` ée `è he ¿ Ôð Ii d äf I¤ d d ô Ȥ i ~ö à ¿ ~


¨ C `¿ `e hå e ô ù `è äe ¤¤ kd &à y e dd © f ò¿ ãð he #g q g

& `¿ `è d ö `à hå à

g hå à 0 ô d ö ¿ Tf `d e å e Q vþ &ö ¨y u ~ g h `à ä g ¿ p # de sô Hg e e d C d¿ ~ö ¿ ` `e uå äd à æå hè à ä `à Q© ô x¤ `è ~e Ð e d d éþ äè ô p áè

2

le C þ ` `à þ `¿

à ` `e ¡ f ~ Ð `¿ ) ô ä g ä `þ © e å m¾ & ¨ de uô Ví `e © he `g 1e f @å f â `e e m q hg ãå g äf g `e ô C f f
)
U (L ) Q
3

äà ` ãå

äè mà Ii hå `g ãå `à ` å ãå éà è C u C ä¿ dà sô và g ¿ C Xå p `f ãå `g e ¦¿ i u d å u vd ö Ii vd ö d ô 1¤ à æ¿ e Ö¿ #y `e f pd `f ãå `g e vd 0 ô uô `f $f òw ` e ` äè à ~f Ð C © `e äe ¤ e Ð C å h¿ éà `è ée 8è f f ä¿ à ¨y C à r i 0 ô u h à p 0 ô ýö hè à ä à Q© là å hµ 2 | l~ I{ w )~
å
Q P
3 tr

þ `à

` ÷ dd ö v ô ¤ q ¿ ` ` e f 8 ¢ `



e

¨~ ' 2 | )µ }v y ¨ P$ P¨ d$ #¢ ~

Cô 4ö d ve ö & ¨ de uô î þ `¿ ) ô ä g ä à ä g ¿ ` 8å ` äe hg g v uô ¦d u f hd äg à ¾ f ` `e å ée `è äe l¤ C ` `e Q© þ m äe ¤ e ` `e å e hd à ¿ e ¿ ) ãô à å äf `g e `¿ å ¦e î þ ¿ h¿ dà ãô g f á¾ `þ p `e f d `e de Cô sö hà g C ¿ þ å ¿ C f F ¿ f f ¡ f h¿ à ¨ ` i f ¡ d ¿ 8 ì he 1¤ mà i ¿ C u ~ äe g
vv :U U B (U ) : B (U ) B (U ), , , Z

k äè Ð 8f ì ` ée `è he éà `è äe »¤ ve ö å ` ` e éf è $e hì và äö e © e ¦¿ #y ée è C ¿ i f ¡ äd `à e Ii ¿ ä¿ à ` hå hg `à ãå äg à v ö ¤ e µd ° ö ¤ `e Öå e `d ) ô `e æå 'f v ö ¤ `e då C f Öå äe ¤ e ¿ ` e å C ¿ `f º© è e æd ¡ ä¿ éà mè à °¿ k ~è uÐ $f ì ` ée `è äe éà è äe äe ¤ e ¿ ` e å äd à ` å de ö å F ` e éf è ` 8e äì và äö e Ô e ¦¿ #y ée è v ö ¤ fe í p f må Q þ ¿ ` e å C ¿ f º© `è e üd äe 2¤ mà ¿ ` ` e hf g d $f $ì f
¤
:U U

©

de sô `g he `g ¤e
`

è

äè Ð 8f ì ` ée è ¡ `f ` de sô `g ' à mf ¡i `e ` ãå dà ô ` ve ~ö u f ` uå ä¿ î þ ¿ ä éà uè ã à á þ hå à ¾ X áà éþ äè à F f å k äè hg g pÆ (3 µÆ
Q q

`è he éà `è à R ð de Cô C 8 l vþ pÆ A lÙ
§¦

äe ¤ ä dà ö äà ¤g C äö `e © `e ÌÜ
g

ô ô `f f #å ä h g éf è Ì Ç pÛ
IB

df 4ô Q þ ¿ à de ãô g î `þ ¡ h¿ à ä à hå §g dË B Ü hÏ
)8

Ø

¥6 g

` e ¿ ` à
0



à e ¦¿ å F e `e ãå p `þ © ¿


`è e hå le y ¿ f C h éà å `
1¤

ß uè 8e ì


QC d ) u ¿ C h

©

e 3 ¿ ¦Ð hå `g u `f v ö hÒ lk Ü xB 3û pD xÛ è ~e äe s¤ e å `f ) äf g å è
UU



å F þ g hå å F Cô ö

df Ñô è ` 8e `e å ¿ `f º© `è ô ó à `f ` f `¿ C h g `è Cf ô þ
¹ ¡ï

äì à h e hd C de sô `g `e å e Ö¿ y

y ée uè äf g d á `è äe e å ¾ g ãå

u ¢ 8f ì ~ Ð Ð C ` © e f `g e ¿ ¿ F `
V

äè à ` he `à © äe `g e ä g è f d Xí äe g v ô ¤ äe
V

Xå h¿ &à p ¡ ée `è `e g he

àf

k ~è Ð 8f ì ô e äd `g e @ u `f ãå ¤ î `þ à f ä¿ &à Py C

` ée è á áè e `¿ äe g e ` © e

° ö ~ `e h g g Ì Ü xÌ áõ éà `è he þ ¿ ` `e ãô à å f 5å ¢ bÆ

T

Ú Ð C äe ¤ ¿ e `¿ ä éà °Æ §¦ RÆ

A

5 Cß R| u e ø Î xÇ © De ¿ ` `e à º© `è e e ¿ ¿ f

` # ãå `g Î fÌ Ø è mf uå äd d `þ uå f hÌ xÏ Î

Q3 U (L)

vv

= (Q3 )

( )

P

tr

å

§g de äè Xå ô



(Ptr ) Q

3

(Ptr )

P

tr

Q

3

Q

P

tr

f ` `à h

3

`e äe sö à Iy u & ¨ ée ö v e é¿ vè `

C ¿ ` e `d e uô Ð `e 2¤ à ¿ Ð f äö e

¥© ¢

` © e å e îþ â
X



Z

2¨ #& 1~ ðy

V



| `d e
U

ß



ãô g `f å f ì
¸

µ T d ÷ òð ¿ hå äg à ãå `g 5 dÛ xË dÏ hË 8 Ii d sö Cà f 2g e C ` ¿ g d 8f C å å h f ~ xÛ IV lÌ
¡g

Û


&à


y

`f hå `¿ e hå he äd ~ `à ö

ô e ä g g g ä d ¦ hè
v
n



mß ¡ f ` e å äd `e §¾ hè
# © A
P
tr

à 3 à © ä

¿ C pÆ

d ve ö & ¨ de uô f f ` `e å äe Ð f f f vd ö & ¨ de uô ! ß éf è uf ~ de uô ëÏ dà ö ¤ f C X¿ hè `à ãå g äf f C ¿ äè à hå g hf g s ÿ ¡ï df ô Ii `¿ ) ô ~ g h ug äè à hå g hf g Ii ¿ ¿ F e f
P
tr

I

ü `e uå `¾ C ¿ e å df ô ¤f 3g î þ hå g e ` ó| 3 `à ä g ¿ d ö à
v

p q g hå `à î¾ ãå `à d éf þ `¿ ) ¿ ¿ ` e `¿ h¿ dà ô F éè äè dà C ` e ¿ p hg à ä¿ áè F å üå `f hå

h Ð ) ö dà ãô ô ~ f I `f ô á 2 Xà à ä à

h `à sö à äd ó g¦ Ii æ e

` ÷ 5f 2 äg và sö Ð þ ä¿ f äè à hå g hf Xg g ¿ C ` 3å éf è f ãå `g e ¿ h¿ &à ¡y d ¨ C ¿ ` e å äd à C Ii `¿ ¿ ` e å ~e Ð f C &¿ f Ö¿ #y ée è `d
P v
tr

` ` å ) ô vd e å e

` g e g g ¨ g h u mf

äe g å ô ¦¿ ã Ii à de äg à äf ä g C de uô ô e l


h¿ dà Vå äd hg ¾ ¿ © ée `è

C

xÏ

¿ äè

`

f à F `f `þ © å ¾ hf ¤ ¤ Ce ô e ` ©å e e `¿ ) f ã ±| u e ¨ï ¿ vd e e #y æe e ö ýå ¦¿ þ `¿
P

pÆ

ée `è äg à d sö e `¿ ¿ ¿
A

xÏ

0



`à ée è ~ kg &à y e må q g å f ¾ C ô le ß u d `e å e $ å e hå l `e uå `¾ ãå và ö `f 8 e d¿ Ñö u h¿ dà ãô và ö à ` e f hå `g e Ö¿ y d e e ¿ e ` `e å e hd à @¿ C ¿ 2 à ¨ & 2y dà ô p `f ãå hå `g e Ö¿ y d «e ¨ ° &ö ¨y fd e ¿ ä¿ éà è µ `f hå g e `¿ á þ h à ä à ¿ f h¿ &à ¨y C ` © `e ±| u u ¦

2 R \ Q

sô à

ý



©

hà

ãô hà g f H¾ î dþ uô äf g üâ à à ¾ i ãå `g ¦¿ Iy 0 ¾ e e ãô và f ä¿ h¾ äà äg äà äg à Cô ö `f ãå `g äè à äè à f f h¿ e `f å `¿ 0 à ä¿ à h¾

¿ C `d `e 3e à ä à !

ä ¤ e @e q `g hå à å ¾ hå à e æ å @ q `g hè `g u f
q
v

å Öf #y de ô e © ãå `g e `¿ 0 ãô `à å F ` ve ö dà ãô `g e ô he I¤ H éþ hè `à ãå g äf g f d 0 ô ¹ äè à f ` d sö Cà ãô g éþ hè `à hå vf äö `e e 3 e Ö¿ #y ée à ¡i 0 ô à ¡y d ô µ 1 `à ãå `g r i 0
v

)

)

Fe hå

Ö

ve

3g å

à F ` vf Ñö

¤

©

hå à ° p f e d e ¿


Ñö C d C v¿ h¿ `à

` ` he Hg d &à Ôö ¸¢ p ` ãå äg à hå

éþ hè `à ãå y d `f ãå `g `e ` äg Öà e ä¿

g äf å e dà sô

¤g e à ¿ `e Ñå ) uô và sö à


¿ ¿ éf ` $e

F e f I d d ¿ F 5 ß è s ¤ e à ¿
P
tr

e Ö¿ #y ée ©è § ãå `à Q þ `e å e ì f 1 à h 1 và ö äf g f hå `g à f ä¿ à e å ` l ì y `d éþ hè `à hå g ! f ` äè f h¿ &à ¨y C ö f à äè à 8f hå g g ¦è e ¦¿ l ö à à hå dà 8 R

äö e e ` ä ¦e äf e ¿ hå g

`d å e h g ¿ C ¢¿ Ð hð 5Ð ¦ þ å `f g ¿ `¿ ~e `g e ¹ è `e © ô ve ö § e ¿ ¿ ` äd à C ` ©å `e å ¤e g ä¾ à hf {g Ii ¿ p
V

å e `e 0 ô ô æe à ä à ¤¿ e hå g e e å vf äö ` e f ô ve ö C ¿ ~ Ð `è e ¿ ` ` e

äe ¤ `e ` e X $f #à à f lÐ Ú xß ã 0 @ df ô g f e I d ö à # ¡ h Xg e f I d

¿ µ `f 0 ô f ¦ m f ¿ hå dà l ö à

C ` e éþ è g e `f éf è e Ö¿ f ¿ ö à Ì© þ 4 uå

` ¿ k d `f e

`

à f ä¿ à ¨y C ` © e å 8e e ä¿ Cà ãô và ö à ` e

C `¿ he ¤ `e Tå éà `è e l `y k `è `e å ¦ å d ` ãå g

e å C¾ p ¨ d `f hå g e `¿ ) ô Dg hå `g e ¦¿ y `d hè à f ä¿ à ä¾ f d `¾ `d »e e d Då ¡ f h¿ `à de ãô g äè `à éf áè `þ h dà ô uô `f ö e à f ä¿ hå hg à h @g äè &à Py u `f v ö vg õ à C ¾ C ãô Dg ãå g äf g ¨ C ¿ ¿ ` ` hå g e äd hg à ¾ `f ãå `g e e ¦¿ y ée è C 8¿ ãå à ° ö ~ Ð `f ãå `g
x P P P
tr tr

f u äö å à ä

¤

äe

C @å `à

x

å `¿ e f e ãå p äà hg à ä à `e å `e © ve &ö ¨y ud de sô æg he g Cf Öô g à ¡y `f m d e x è e dd ö e f I d uå äd dà uô é 8 à u d ¿ F e ¦¿ Iy u
P

tr

$f ` e 0y ô e C hè å
P





g v ô ¤ ö à è äf g

5 ß `d e

P

tr

ãå

`è le

© )i ô 0 Cô ö e h¿ &à ¡y d äe Êw åf u ád Ñ Ð hå Ö¿ y uô pw

P

tr

ä¿

ãÐ



tr

° ~ö hå hg à äd à §g Ñ

`f

nk



( nk - t) mo d 2 0

tr

t (x ) := lim

tR

k

d `e å e ` hå là ` e å ~e `g e ¦¿ f fë C äe {g Ð
P

i ÿ ée `è s ö de uÐ `e ãå é Iy e e ` ¤ u v ö ð ¿ å Ce uô 4 å `f e `
# à vd f u `d `è he þ `¿ f q `g
k

e k uô C 5¿ `e e d hå g

g Ð üf hå & 2 `à `e ä 5g ¿ ÿ¦ e `¿ ) sô `à å F å e äd à p¿ 0 ô ô ¤ å f ãå `g e Tö 2i `g # f hå `g e à f ä¿ &à

t

`g e d éà g äf ©g ve 5Ò à `f à ¹ `þ u© ¦¿ `d $e áà å e
¨y

Ö¿ y äè `à ãå sö dà Iô $f §w de îô y ` © `e

u d ¿ F 5 äd p e ¿ ¤ ée è ô e `e 4å ` e å `e å `¿ ) sô `à å ~ Ð ä ä `à h g pÆ ¤ °Æ e¦ §¦ f ¨ C &¿ `f ãå F e f I uô `à h g C RÆ (X °Æ §¦ ô `¿ e f C d `¾ e å g ß ¿ ` de `e ç C
P
tr

© he á 8e å hÌ e h¿ à ) ô hÌ 'f î þ

d¿ 1 mà Î f ä à Ô 0 Cô g ä ` `e å Î `d ¿ ) ô

¨y e å e §å ö de uô dà ô x ÿà f ¡ ãå g C xÛ ¡g Û ¸ e å #y ée è ö å e à ` ~e xÛ ¡g Û ¸ ) `g e eâ
tr

C ` © 5Ð & ¨ hå à h¾ `d me å # `e IV lÌ § ¦f e Ö¿ `d e ä g ¿ Ð f IV lÌ ô e hd hå g

f C ¿ C ¿
)i

P

v

tr



sgrad

v

(x ).

tr

P

tr

Q

P

3

tr

P

sgrad s

tr

Q

P



tr 3

ä¿ à à C ` f vd &g Ñ Ð &à
¨y

¿ ¾ å

ø ô


ù
1 n : ··· : P
tr tr tr n
k

u C `¿ å hd à ` e îd u ì¦ ¡ f ãå à h `à å ¿ 'f `è `e ãå e
© ¤
i H

áà þ `¿ á þ h à h à 1¿ ø



äe ¤ e 5å éà `è e l vy p f f ¡ d ¿ 8 3ì 0 Ñô #¿ `f hå g e `¿ ãå äg à d e $ áà dþ ô k è e ¿ h¾ à `¿ e äd hg `à l éþ äè `à ãå g äf §g e ¿ ¿ F ` e f I d sö à 3 ¿ C f `¿ e å 0 uô éf è s ¤¤ ø và ö
=
i - i () -i ln H + ci (H) = lim = lim lim H0 - ln H + c(H) H0 1 -

áõ è f ¾ C ô e 3 f vd ö & ¨ de uô 3 e `¿ ) ô ~ g h `à ä g ¿ C ` §å 1 mà ¡ # `e ãå g C 4¿ 0 ô «ö `è e hå f l dß l éþ äè à hå g hf §g e ¿ ¿ ` ` e f I d ö à Cô vö ãå äg à d f d ¿ `f å h `à ` ãå à ¾ 2 à Ii hå g hå `à å `e äe !g éf è C f ¿ ä x¤ d &ö 2y éà 4è ° äö Fe ~ e # ` äè à ø và ö u u ¦
i () ,



'd

`

e må
)

`þ

`à

©

hå ä à å ¿ i hà äg à h à © ~e Ð f T Ð


äf `g f h¿ &à
¤

e Ö¿ #y ée üè uå ¿ C f ` ¿ f ð uå ä¿ à `¿ e é `è e d ° ö ¤ he ` e ~d ãÐ à ` å ¦e î þ ¿ á þ ä à ä à X¿ i ÿ ée `è e á g `è äe Ð C e `¿ 0 ãô `à uå Öf #y de ô e e ¿ 5e `e å ¾ p f hå `g e m¿ © e ¡ f h¿ à ¾ ) Ñö © f ¿ sð `à e d ¤d è f ` å ée hè äg g &f de sô g Q `þ © he `g e p `d ve ö de uô é Iß f ~ de ô þÏ 0 Cô îö ` e å ¿ C f F ¿ òf ð df õ l þ `¿ å Ce uô 2 d Tö 1i g þ ` e å áà þ ¿ ) ô C `¿ e f C f
Z P
tr

`í ° d `¾ ` © ¤e áè þ `¿ f ¿ ä ¤ Te hÐ Ð ¹f è u vd ö & ð ð à C p¿ þ `e uå ¾ äe
P P

î `þ © äe `g ô `e ~ Ð f e å å f e ` Q© îþ â ¨ de uô H i ¿ ` ` e dd ô ¡y d ` he e å Õf f

n

he à 5¿ D h¾ ¤g s ) Q ~ de `e kå 8g à hå `g e

» þ hå äè dà þ uô `à e `¿ á

d ì C h ¹¤ Q äg à $d &¿ Ñö I û p 2 dà ô ¿ h¿ à f ï g i ~ö © f ¿ ¿ ä¿ à mf 2ï g d ¿ ` l #ß f þ ä à ä à

e u f C e uå ` ¿ Ôð u f ée h ö á f

å F © he `g ©e vd ö &d q `g C S¦ Ii d `d e å e ¿ f

e f u mf de uô f ï ¿ C f d è à ä à 3å `e å C¾ h¿ &à ¨y C

¡

õ `à ` ãå g ä¿ à C © § C ãô dà sö à 3 Dd hè và ö 1 à ä là ß à `e Xå äè mà Ii ` ãå `g ãå `à ` å e äe &g C ¿ f ä¿ mà ¨ C ` # `è de ãô g f T¾ g å ¨i ° ö C ` äe mg f f hå `g e ¿ ä¿ &à y d ` äe Ôg Ñ Ð hð Ð f å i v ö C ` ` he g `e å ¾ á è `f ãå éà `è üå ¢
( nk - t) mo d 2 0 = t (g (x)) = lim t (x) = lim nk (x),
k

p d å ¦ sô äà g f ¾ î dþ sô à ÷ `f ãå `g e `¿ ) sô `à å ` ` ve sö Cà ãô `g e ¤ á è f ¾ C ô e f d ¾ `e å e þ© )i pô `f uå `¾ e 0 ô ö `è á äè Ð 8f ì ` ée `è he éà `è äe ¤ f ã 5 e d `e å e 4 u f r i ` hå g hå `à å `e he g ãå `g e ¿ h¿ &à ¡y d ` he ©g hå à d sö dà sô Ð f e å ¾ å Ñ Ð `d e 8 e ¦¿ y $¿ ä à h fà í p q g hå à ¡ ä¿ éà è à Ô¿ à d
xP nk
tr

e h¿ à d¿ f e hå e l l mf äè à hå g hf æg î üg à u d ¿ ¿ ` 5 Öß

þ i s þ F f ä¿

ä¿ g ¿ ¡¤ ¿ ¿ F 5 'ß ¡ &à Py C

e e äd à ¤¿ 0 Cô °ö sõ ó| ¦ `¿ à f éþ hè `à ãå g îf Ò ` ãå `g 5 f ö à ¦ à u d ¿ F f © e å 'e `f ãå `g e ¿ h¿ &à ¡y d hå `g e ¿ ä¿ &à y ` äe g äg g
g : Ptr P t v
t

he ¤ ~e ãÐ äe og e ä¿ &à ` © e

` e å ä à ¿ ø I d Py C ` å Öe f
tr

v

R\Q

ô e á `þ V



i ()

(1 : · · · : n ) =

t (g (x)) = g ( t (x)).





(g (x)) = g ( nk (x))

lim

k

k

(g (x)).



tg =g

ci (H) ln H-c(H) c(H) ln H-c(H)

, ci (H) c(H) i
t

=

i ,

¤

ê f



f

äg g f ê x ô e 5Ð

à äd äè à ¾ ` å è vf è © `e

ô fð äè u¾ äe g

e å ¾ á äè g ß 5 ß äe g v uô d


î F

µ hd

æ

äè &ö

g h `à ä ` ±| üe `e î f d 'f è uô ¢f

e d C v¿ äö e þ ` `e å e hå g 2 éà þ © äe `g e d è mf ¡ # `e ãå áè
P
1 tr

ä ô äg `e éà §g è
tr

f

äà g l q è vf äö äe à 1 Ö¿ y Ie Ô de ` 1 `g uå
é¤ Q ¨y

Ð Cf dà ö å $¾ äè hà ¾ d

~ à p d q `g å

`d ve ö à ¿ hà üg äe ¤ áè éþ è 2y éà kè g C ¿ éf

de uô æ `e å V¾ ãå `e hå 1 à hå ä üg &à ÷y hè he ¤ `e 'å áè þ ¿ ` `e

î à `g e `à éà `è å ~e

þ `¿ 0 ô ~ äd à Vå `þ Ö¿ y å ug ã 5 è e 8 ky á Ð f df

g ¿ C ` å u éþ éè hå äg à y e þ ¿ ` e å ~e © ¤e hå dà éf è f e

äþ hg g äè dà 3ô é¿ Ôè uÐ 'f df Ñö © hå g

u| v uô $d à Ð uf `e uå e þ h¿ uô §f f ¢¿ ` è
P

f hd äg à ¾ V¾ à ü¾ )i ô f ¡ # e d @ö d
P
1 tr

f ée è äe ¤ uå å «e ée `d f hå `g e hå `d ve Ñö & ì C h å &
P
tr

ãô g uô ä
¤

` `e å `f hå éà è g C ¿ ¶¦ &ö 2y éà #è
P

¨ß

à ¤¿ `e Ñ © d ô e þ © äe Ñ òÐ Ï e

g å Ii ¤¿ hà `g hå g e `e Ö¿ #y ée

' u ¨ u¾ d ve ö & ¨ de äå á `è 8e ì ãå äà éà è f f u vd ö & ¨ de
P
2 tr

#Õ ÃÔ Ä ÁÀ Ä l #Ä Ö !Á À

Ii

ó| Ô g f á äè g ¦ f éf áè éþ è `f ãå `g ` de »ö ` è v ö d ©ö y éà è å © ¨y ~ Ð e Ö¿ #y ée è ~ de uô i þ© )i {ô e å Ö¾ á hè `à å q g å F ~e Ð ) ô e ä `g e ée è vf äö Fe ~ © he à p¿ &à ¡y d §å 1 hg và ö æ
f
2

õ q `g å éf hè à ` ãå g ) ãô à å C h¿ éà è C ~¿ 8Ð d 8d ` e äd hÐ à å áe à f h¿ à ä¿ éà äè Ð 5f `e uå ¾ he ¤ `e C ` `e Q© `þ å e å äf g `f Ñ 4Ð à 3¿ à f h¿ à


©f C C «¿ Ii &à ¡y d

h¿ dà ãô và ¿ F ` e de Cô sö #å ée

ö à ` äf g d hà g 1 mà è vf äö Fe

Öe e `¿ å hd 8f ì ì i hd ~ © äe là x

à ` e C h ¤ Q äà äg à ä à p f dd

i () = -i ln H + ci (H) = -i ln f2 + ci (f2 ),

Td `þ 5 ö &


= - ln H + c(H) = - ln f2 + c(f2 ),

Ii ~ de uô Ô å f Ѿ C ä¿ Ð áë s ° ö 2¤ äà `g i f d u u ¦ e ãå `g e ¿ h¿ dà ãô dà sö à ýe Ii `¿ hå g e Ö¿ y `d ¹e q `g ãå d

f

i

ä¿ à C¿ ô e á `þ $ à vd ö & ¨ de uô # Fe ~ de uô & C 3¿ ¦f e å p f ¦d ¡y f ¿ Öd ` e hå g df lô Ð f `è ve &ö ¨y &d C ¿ ) ô ` © de ô g¤ &à y d æå µ f f ` e å ~e Ð Öf äà ¤à `e ¡© df ô f vd ö de uô 2 à ¡ # e hå g C «¿ e ` `e å e hd à ¿ à 0 ô u f vd ö de uô ¹ `e Ñ Ce uô § hå g e Ö¿ y `d !e ¨ ° &ö ¨y 4d `e uå R¾ p ¨ F á þ å f ¾ µ `è `e ãå e
¡

e ä¿ à C¿ ` äè à Tå Ð $f hå Ѿ C ~¿ Ð

ô e á ` `à C äe 2¤ ¤à

`þ 3 `d ve e áå sö dà sô 5g `e e îå

ö i u `¿ Tå It l hå à `

de á þ þ ãå äg à
¨

uô æ u mf ä à ä à hå äg à d ã mg


©

ä¾ `¿ `à © d Ôf h¾ dà ô à å e è éà ¢ ~ de 0 Cô ö Ce g © he `g e æå f d `d e


u he `g !e µ `e Ce uô


u¦ `e uå C¾ `e uå h¾ á `è e hå f «d ß `e u ¡ f ` e å

å ` ` ve f ~ de uô ~e uÐ f

sö Cà ãô « éÏ C f u

g hå và ~ö s ¤ d ô `e Q© `þ `g hå à
q

i© p e v ö » å ¿ C
¡

# `e ãå g C §¿ 0 ¿ C ¿ C ¿ vd Ñö & de ʦ ãô dà sö &à u¦ `¾ ~ u

f hå `g à e å u ~ äe

e ¿ hå g à d hf g `f 5g

ô dà ô & ¿ 8 mf df ãô `d ve ¾ he ¤ `e `e è ~ Ð ¿ f

ö äà f f ¡ d ô u à @ #y `e §å d å ée à æ¿ §¦ C

x p f hå `g Tì à f h¿ à i ` `f u© hg ¤à e å I¾ ö de uô ãå lÐ ) g &à y u u ¦ `e ¾ df ãô `à æ

e ¿ ä¿ éà Ð C á 3 s # `à e å 5¾ `e å

à äè Ð `f ãå f ãô b¾

e hd äg hå à e äd hÐ `è üå ô § `è `e Ii å ~ Ð e ä¿ lg



P P

2 tr 1 tr

P

lim

i ()

-i ln f2 + ci (f2 ) i () i = lim =. f2 0 - ln f + c(f ) 2 2

tr

y

y

0





s

1

2 tr

uô







2

1



2



m




` C ¿ e h¿ à d¿ ô e á `þ 4 ã äà à è f Ѿ C ~¿ Ð e © e ¦ f éf áè `þ f d d &ö 2y éà è q g 1 à mf ¡ ) äö Fe C '¿ f d ¾ `e å `f ãå `g e ¿ hå äg à `d e `f ãå g C ¾ hd à `¾ `e ¤å ã hà `g « 0 ô §ö ° ö ¤ he fí p f ¦d ¡y f ¿ ¹d hå g df 3ô i ~ö © f ò¿ uð e d §d hè à ä à Q© îþ â
Õ Ä ÁÀ Ä l #Ä Ö !Á À
y
1

f

2y

è

æ uô

f d æ¿ `g ¿ äè ãå g éf u & f
i



`þ

0

C ©ö
Q©

1Ð 1g `e &à

de uô



df uô f Cô §ö Fe ~ Fe ~ de

sö Ð C å e ©d mà øï d &ö éf áè hå `g å ¿ « uô © C

`þ éà è p f de ` `e

d f `¿ ) I¤ å Ï f vd Ñö de å vd hå ` e l hå g ` ` v éþ d d F ¿ of 2¤ # e ¨y «d #ö å x¾ ~ `e ¤è þ ¦

ô äe & ö g ¿ ve Öö dd äe Cô å Öe å

h à ô Ö de uô hå g è &à y à ¡ `e hf g `f

i ~ö © f ò¿ ãð à ¦e hf g `f ~ $Ð à e u f d u $d C f ©ö &ö è f `e æå hå C à f ä¿ á &à d e hx ¿ F `

å òå ð Cß d µí g äè lÐ à

2y éà à d ¾ ¿ äè Py u æ¿ f f

ée à Ѿ à e dd

¢d `f ãå `à è è ~ C ä¿ d `¾ ô `e

&à y e ¦¿ äf Ög dd ö d &à he ¦å å `è

d å Iy u `d î þ ¿ ¿ Ce uô Ii Ñ Ce `e ¦å hå à v y `e e ¿ ä¿ à
PP

à ä `à Q© Tþ e ¿ hå F ` e f éf è f äè éà ¦è ö C ` ` he g uå «f e f 2ï g C ¦

s

â É C h¿ &à #y de à d `¿ e d ¤¿ ¡ C sö à § éf è f ï e Fe ¦ C ©ö y éà ¨y Ñ Ð u å ¿ C f f ¨i u hd äà hg à ä à Q þ ¿ h¿ à v¿ äö !e 2 à e å C¾

s

å

e ¿ ä ô ¤ q g hå

s

¤

de g C he

ï

uå ãå

u æ 8f e h g C ¡ f f ¡ ud C sö à ¦ `e uå äd à C må è ø F ¿ òf ð à v ° î `þ f !d f ï g C r i äd äà hg à ä Ñ Ð `d e Ö ée p éà è C 8¿ à ô à ¿ à m ¨i ãô ô C Ѿ C q '¾ uå `g `þ ¿ `e hg e f ¿ éà hà
2 q ¡

äà

`g

1¤

#

î þ ¿ ¾ f ¿ C ä ¤ ã hà `g 4 e d 2 dà uô d ~ Ð Ð §f q `g ãå à C ¾ C ô e `f hå g e u¿ F h `à ` e 4 à ~f Ð ` © `e he ¤ e é¿ è à e dd ö v ô ¤ d u d e d C v¿ äö Ôe á äè à äf Ð C ` © `e äe ¤ é¿ dè ~ö e è f vd ö d ¨ ~ de uô # å Fe 1 `d ) ô e hd `g e Ö &à ¡y d §å ' h à ä à å e Ö¿ #y ée §è à dd ö & Ce uô e ¿ ä éà è v {ö C ¿ éþ äè à hå g hf g e ` e `¿ e å 0 v sô và ãö Ð @ ` e äd hÐ à å »e äf ¤ de ô C ¿ q `g å C ¾ C ô e V á `è äe Ð C ` © 1e è f d í ãå à ä¾ ¨ ä Ð 0 ô e ä g µf è C ¿ f ¾ df ãô à p è f r Ii ä g hå `à å `e äe ©g áà þ ¿ ) ô C `¿ e f ` e e R 2 `à hå g e Ö¿ y `d 'e Ð of Ii d ©ö Py u æd e ¦¿ y ée æè ° ö ¤ fe xí $ ì C h "¤ he ¤ `e © he `g !e ãå g C ý¾ ` äd hÐ à å {e e 1 dà ô e ¢d Ð ¬f è ve ©ö Py u d C ¿ hè à ä `à Q© Tþ â ã u áà þ ¿ ä¿ à f ã d u u¦ hå à hd `à Vå `þ 3 f v Ñö u q g hå hà éà è 3f u §f pf þ h¿ à ¾ f ¿ ä ¤ e f f f ¡ d ¿ 8 8ì hà `g C p ÿd då l þ ä¿ à ¾ f ¿ C ä ¤ e áà þ ¿ h¿ à à ~ hÐ à R¿ l hþ äg g v ô ¤d å Ii hå hg à h §g `e uå p¾ e v¿ ö `f ä à ¾ 3e e på F hå g 2 éà ã hà `g & 0 ô !ö è mf © ©e q g hå à ô h Q þ ` e å e d $ ì ä ¥¤ he ¤ `e © he `g 8e e d ) ô `e ©å q g å i
ti K
i

uô éf è g å e p f hå Ii © g C ¸¦ `d å de f F hå g äè äà ¤g ä g ©d
c
i

äe à å hå f äè he f ä¿

d lö ¶ ä C ¾ C ¢¿ #¿ #¿ C f &à #y d §g î à mà 2 à

g äg hà df q `g F é¿ l `þ e

ó| u d ` e å äd à `e å d¾ e e h¿ à d¿ ô dd ö & Ce C ¾ C sô g î éþ è f vd à f è vf äö `e Ñ 2 `à ãå `g e ì ` ée è f vd hå à e ¿ ¾ à 2i éà ãô và äö e ' hè à ¿ f ð 8è `à e `¿ 4ì `è `e f 3d ã ` ãå g d ve Ñ Ð `d
Z P

)

f C á îè ` å à ä¾ éà è Ñ Ð uô & l mà øï hå `g u ` ve ö & ¨ de `e f äe là Iy u 8à 8ì ì vf ö & ¨ de ée äè hg g C ¤ de ô ü¿ è !f &à ) ô ¨i ád þ If d é `è ß § 0 ö ¨ de uô hd `g e u ð C le g & ô e
2 tr



tr

f éþ f u e

1

$g

y

f
©

uô d `d e uô ë
y

¦¿

äe hf å

e d å e d

Cô ö



2



P

tr

Pß d ãô và f e ` `e C v¿ p de îô `þ ¥© u¦
P
1 tr

`

e

P

l=

c

[l]

[l]

[l] C1 (P )/B1 (P )



2

P

1 tr



P

c

P

2 tr

2 tr

P

P

tr

c

i

(s, f2 )
K P
1 tr

W

g h¿

hè !e

ô

Ò hå å e


ö

ö

P

tr




ï

äg à ©¿
è©

h¿ dà å áà `e k¾ äe éà he

þ g C d `e

hå à ÷ éþ ä C Ö¿ è
æ

áà þ `¿ 0 ô ~ äè à f ` hå g 1 và ¤ö ~è äè Ð 8f ì ` ée `è he éà

s

g h `à ä g ¿ äe 2¤ Xà äö Ð 8f ì ée `è äe ¶¤ `e

p C ` e `è å l

ô å `è þ ä¿

v `þ f p e è¤ äe à d¿ ô e á

äö e 8 &à y d à f vd ö d få k I¤ v ö hå `þ éþ hè


õ e å v¾ ¤ ¦ å Ð 8f ì ` ` hå hg à he `à å v ô äè `à à `


t ¤

äe ¤ å uå ) Fe s à he éà Ce ãô
¡

äö ée `è h îg `f `

f ä `è äe ÿà îå `g «
p¤

e `d ) ô e hd ä¾ @g äè và ~ö à áà é¤ éf è F ` uå `f df sô äg ¹à

s

`¿ ãå uå C

Ö¿ e ` dç u 0 ~ g h `à h @g éf « e é¾ è `f ãå éà `d ve

C æþ ô `e ~ö e á ¿ ~ Ð

g ) ãô g ¿ hè äà `g #y ée è ö hå

å

`g ée è vf äö Fe ~ © äe à C¿ p d 5å

1

g hå sô d

uf q ä¿ dà Ii f d äö å ¦e ¿

d C é `è e d f ¾ df ãô `à e ¿ à ` `g e
1 éà äè hà og è f ãå ve sö Cà ãô 3g hå và ~ö å Ñ Ð `d e $
c(s, f2 )
2

å ¤e d þ sô và h à

hè äà `g § C ¿ 0 Ñô 3¿ å !e î `þ f d u f ¨ï e ` Fe ¹ `e ` ãå g 1 éà ve &ö ¨y @d C D¿ e `¿ ) ãô à å F ` de sö dà e å I¾ e ä¿ lg w äà mà i d¿ ô e e å p¾ e v¿ ö `f H dþ Ñô è ` 8e ì `e ãå `f ãå `g e `¿ á þ ä à h à ¿ Ð lf ° ö ¤ e å
W
f (s,f2 ) f2

hå `g e ¿ äö å e ¨ C hè äà «g ô e äd g 8e kß sô g ä à ä à ¿ ~ éÐ f d ¿ å !e f uÐ &f © e îe bâ C 8¿ å le C

1

ä¿ dà sô và u `d ) e `¿ á þ 0 Ñô à C ¿ 0 Ñô

2

©ö y éà hå `g `¿ á ä¿ Cà ãô

`¿ 0 ô F © de ô µ 0 Ñô ¿ Ii f î e ä¿ dà þ à å e Dè ¿ ä và äö

hà éà è æf và äö å e 2å i C u f ¨ï e `¿ å h¿ dà ô `e C ¿ f ¾ Cf

©ö ¨y ` Fe F f uå R¾ ãô `à l

e Rå e `¿ uå C ¿ d C e ` hå g äd å ` ` e å `¾

à d `¾ `e å T s z ò¦ &f } ò¦ ¨ ` f `¿ î VÒ s # &à #y `e å à d ¾ `e ¤å f
¦
y

¦

áõ è f u¾ ô e e u C `¿ á þ h à ä à ¿ và ö p ¢
¡
c



z

và ¿

õ äd à `¾ ä¿ à e Ö¿
W

ã

¡ ¡

C

¦

¤

e §å ã hà `g § ` e ü ãå `g #y è hå df f Ð hå ä à u ¡ à f à ä¿ ¦Ð © ö í
© q

0 Cô ö è Cà ãô ¡i f d `è e ¿ ¿ éà è C C ) äö Fe ~ e `e uå °¾ C
f W
2

f f d ¿ l $ì ¡ `¿ ` e u f f ¿ df ¦ d d f f ä¿ và ö `à ` e e ÷ éþ l þ ¿ `f de ô e ¤ äà Ôà äà à ¿ ä `à ã äè à f ä¿ à Ѿ C ä¿ ¦Ð he Ög ãå à ° ö C ó| u z éþ hè à ` he `à §å ` ãå `g ) sô `à f ¿ d l «ì `e å T¾
¡

lô ãå `à hå `g ãå `à ãå g df oô hè äà `g éè äè Cà ô f `e p h éà g 0 `d ve ö e `d le f ` äe å ~ Ð á äè &à
¨y

1

`à ` ée f è ô ö ¿ îß

å `e äe g C D¿ `è e d e f äe ¾ hf ¤ de C 1¿

å df sô và f ä¿ g d k è ¿ ¦ u e ¿ ä¿ à ô C ¿ ' e `è e `
y

sö à ` @e ° ö ¤ fe !í f ¿ éf è d `¾ `e $å f ï g ¿ å )i ô ãå éà è C

hÐ à C he `g »

ée g Ñ æ¾ ä¿ ° `g hå

ô f ` mf Ѿ C ¤ he à 0 ô



f ¾ C ô e 3ö è ée l ì ` Q© `þ ø v ° î å f ¾ ¤¿ e ¿ `e å î¾ &à f f d

ÿ} u u
¦

: B (U ) B (U )

å Ñ Ð `d de éè äè Cà 8ô uÐ ` uå áà mf i v



ö äè bà 'f hå à þ f ö v ô

¨í © ~e Ð h ê d sö Cà ãô g `e Tå 8d à f dd ö v ô ée ©

hµ 2 | )~ #¥ ~ ¨ h$ 2 | ~



f d f d f ä¿ à ¾ f å ée hè äg g `¿ á þ ä © f e ¿ `¾ `e å à
ln

`¿ á ` ãå



& ° ö ¤ he Cí è ~ ¹g â s d C f ä¿ mà ¨ C ` mà Ii
1

`þ f )i uô d á þ ¡y d ¿ l #ì

3d mf ï ~ ÖÐ dà Ñö ä à à 3¿ uå v¿ ö `e å


u hå ä e e

f ä¿ à P C þ ä à f f d ¿ `g ãå `à ` å ãå `g 5 ß e ` `e ' 0 »© e Ö¿ #y q `g ãå à 0 ô `f h à 5¾ ¢ e äd à §¿ 0

õ `à ãå g df «ô `è e ¿ ¿ ` Q© `þ

B (U )

&ö ¿


h

2y éà è e d å C h ¤ e ê h à ¿ hå `g me x
W

cf

f f0

c(s, f2 )

c(s, f2 ) = -(s) ln f (s, f2 ) + (s) ln f2 + c (f (s, f2 ))

f

(f (s, f2 )) = -(s) ln f (s, f2 ) + c (f (s, f2 )),

c(s, f2 )

f (s,f2 ) f2

= -(s) ln

(s, f2 ) = -(s) ln f2 + c(s, f2 ),

f

c(s, f2 )

f (s,f2 ) f2

f (s, f2 ) + c (f (s, f2 )). f2

f = const

[l]



f (s,f2 ) f2

W



m



2

f = f (s, f2 ) f

B (U ) c(s, f2 ) (s, f2 ) [l]

V

¤

` h à l e äe ¿

ì g

Cô ö ée è


Cô ö


q

} ä¿ 8à ì ` ée `è he 8à $ì ì vf ö ` e `d de ô H© ð Ð §f Q vþ &ö ¨y 8 µy á áè þ ¿ ä¿ dà sô và sö à ` e e ¿ Ѿ C ~¿ Ð e v¿ äö e g hå à 0 ô ´ à ¿ `d de ô H© ð ã mf ée `è e f C ¿ §g q `g uå äf `g e h¿ à ä à § f Ñ uÐ f ` ãå éà è C C ¦
U (L ) B = {Ptr (s) | s 0} U (L )
s

C ¿ éþ äè `à ãå g äf #g 0 Cô 4ö `d de ô R© ð Q þ ` `e å `d e ¾ # q `g å f e ` ãå g C ¿ he ¤ ve &ö f ¨ ée `è e f l ß C ¿ éþ äè `e ` ãå
F B = {Ptr (s) | s 0} U v s B (U ) U (L) U B (U ) v

e ¨y à hå äg &à

hd à 4¿ uå `f e 3d 0 Cô ö l `þ g hf ¬g 0 ô ö e é¿ æè q `g
#y

` ãå `g å ¿ C d ãå à F

e ¦ f de ô H© á ~þ

e F ð Ð C

Ö¿ #y ée !è ` hå g 1 éà äè hà ¿ Öf he 1¤ à r i ¡ ¿ C u Q þ ` `e å e hd à ¿ df µÆ §¦ °Æ 1¿
q{ ~ ¢ i~ v H& à ä
B (U )

#g è Ñ he g ô C ` Q© pÆ A hÌ
§¦


C ¿ à m¿ u C ¿ 2 à f hd `à e å å f ä¾ g à `d e ¾ ¤ ' à ¦d ¡y f ¿ ¤d ¿ q `g å ¨i & ¨ C ä à « f `¿ e ¦ `e hå g ¿ ` hå g e § C ¿ `f hå g e hd `g de uô © æg å « e å `þ © e å
-1





å `à ãå à

hg à e g ô
2

e

` e hå !¿ d `è è `f C m `à Q© þ Id

©ô C sô g f m¾ v¿ äö e f ÿà e ¹d hå " © C ¤¿ q g ée è vf äö `e Ñ 'e df sô äà g `f ` ée

-1

õ ¤ !f 2 &à Py C ` éþ ¹è p d FØ Ì `Í Ì e p 2 å ø e å p¾ e å i F äf © äe à D¿ f Ñ Ð e vd è `e å ð

f è à äf


ve

`à e éd g éè
1

`¾ må u C

e

¿

f vd Ñö & de ô ve ©ö Py u d 8 Ð C ` © e äe ¤ &ö ¨y 8 Ñy Ö `¿ ) ô ä g ä `à h î þ


f ¤ `f ãå î e é¿ dè ~ö `e å df ~ö `e g ¿ C på f d `e
(m )

e ¤ f éþ ã ` ãå g

T¾ fe ¦í É `è e d¾ p d å è `e å ð X ¿ h éà uè ã à 3å f ä¿ à h¾ äà hg à ä è C ä ¤ vf §ö e µ éà hè äà ¤g `à e äd hg à ¾
P (s) U

`g e ¿ hå m C ¿ f ä¿ à h¾ `à hå g hå `¿ å ¿ e ¿ e f ¨ u è f hå éà è
s

hå ð à e `¿ ä éà f

äà mg `à f d d C

`d df à å F `e l ¿¦ C `

ï 0 ô ° 8ö ã 0 f áà `þ f d v¿ äö e 4 e ¦¿ y ée e v¿ ö `f ä uå f ï h¿ éà è F äf ¤ # ãå 'g f `¿ ) ô ä g ä à ä g ¿ äe g ¿ f hå `à ` hå g hå `à q `g hå à ä Ð f ` hå éà ì f © C ¡ f f e v¿ äö e `à e vd ö v ô
s
m m

Öd y f ¿ &d C è i f à ¾ e e ¦¿ y ée ` hå éà è C ` å hè à ä `e f å `e he g è C C 5 e ¿ C h ¤ e å hå `g e äd g de uô éþ äè
¤
v

¿ ä¿ `à #¾ d § C à hå g

hf »g 0 Cô ö è f ` å ée äè äg g C

Õ Ä ÁÀ Ä l #Ä Ö !Á À

m

÷ éþ éè hè dà ô ` ãå `g ) ãô à å Ñ Ð u d ve !ö e ¿ ¾ äf ¤ de ô C ¿ éë ã d u I g f é á hè g ¦ à d ¾ `e å ã ¡ C ô C ä 2¤ `à å ¿ f `è e äd hg à ¾ vf äö e f ä à 2 1 mà Ii hå `g ãå `à ` å `e äe g ¦ ¡ f ` hå g e ¿ ä¿ dà sô và sö à ` e e ¿ Ѿ C ~¿ Ð e v¿ äö e f ¨ ée `è e f äè à ä Ð f hå éà è C i ` e `d

s

ãå à 1 và f de ô

C h¾ `à ` å e ö e ¿ h¿ éà äè à h à d Ii ` de Cô ö îà Ò ð 3 ` `e Q© îþ â Æ a Û q Ó
R©
s=0

{(s, f2 ) = const}

(s) s = 0

`e

g df å ¡ hå g `¿ e å ãå `g å hå hg uå

`e f d `à hå hg à `e ` ãå g 1 éà hè îà Ò u f r i äd hà äg à h à

R2 (H, F )

B (U )

Q3 (s) = F

Q3 (s)

( (s))



s

P (0)

y

ss0

0

(0) =

R2 (H, F )

y

0

(s)



s



BB
s

{s = const}

P (0) = F



R2 (H, F )

F

-1

(m )

B

P 2 â [0, 1)
s

à ¾ C ô © e å e 5å Ü
D4

`e hå e f ä¿ þ xÏ Î fÌ

à ¾ C ô
¤

s 0 P (s) s0 =

ä¿ lg # ãå g 8 ß ¦ Ñö v ô Ð f

¤


Ii
z

~è Ð 8f ì ` ée è äe éà `è he S¤ q `g ãå äà éà è æf `f å h ©g e d à då l éþ äè à hå g hf mg áà þ ¿ ¿ F ` e f C sö à æ f r i s ¤ d ` he g


¿ þ à
¤



áà ¿ ` f à ß ©e g

~è Ð 8f ì ée `è äe éà `è he ¤ e å ¾ hå à C Ѿ C ä¿ Ð me e Tå t l þ ä¿ &à y ` äe g f ä¿ và Ñö C ` ` he @g uô äf ¤g f p 0 Cô #ö hè và ~ö © C ¤¿ äè `à ãå g äf &g î þ ¿ ¿ uå f ¾ C ô e & e ¦¿ #y ée ©è äe 1¤ §à pf ãå `à hå hg à
Q

å æe e ¿ ` C ée äè F e h g


h à
1

å ` vd ¿ `à

mà h g äe ¤ F ¿ 'f î äe ¤ y d #å ¿ h¿ ãô dà Cg hà uê C 8¿ &à g äf ¦g I d sö à @¦ á e f I
s s

e ! hè d ö



Ôf f
)

Ñö

§e q ` ä è s ¤ hå C D¿ þ ä g ä


g ¿ e ¿ ¿ `à h

g å C ¾ df ~ô `à ` e ¹ ¨ C ¨ C ¿ h¿ `à V â ð å 5¾ á è F ` e g ¿ C



äè C å »e q `g á äè q `g F `

þ `¿ á þ à `f ` ãå g ¿ q g ¨ à f Ôå 1i éà è `g ° vd ãå äà éà è e ¿ `e Ñå

h à m¿ C và ¹ö äö e ¹ 2i éà è f g `f ~ HÐ e & de ô © f 8 uô éf è s ¤ q `g

4¿ e ¿ ¿ F ¨ `¿ å ¿ f u k äè `à ãå g äf g vd ö d ô »¤ l u f v¿ ö äà `g he 5g ß ` u vd ö & ãå äà éà è f
B

e ` F F éþ hè C ¨ de `d

hd `à e ¿ Rf e ¿ `e Ñå ãå g äf {g ö hè `à ãå uô @ i u de ô R© ð

h &g å ãå `g e u¿ ) uô éf ¿ de uô g äf ©g î `¿ ) ô F

å ¿ ` C f f å `d ve
I

k éà äg dà éà d ¿ ö

v

P (s), s > 0

P (s) s 0

q

h uè ãå `à ä¿ ö hå `è sö

Py u §d þ ` `e uå äd à C ve ¨y d 0 ãå `g e `d å ãå äg à hå äg Và p d `à å ¦f #y e `d `e å ÿd å ¦ éà F f ö C è



ve ©ö ¿ &ö `f `à ` sö à ) sô ã p C e à f #
Py

äè g äè g

ä à ä à §¿ ãå `à hå äg de ô e ` `e $å ` `e å ¿ C f ¿ ` ` e f I d ö à C sö à å ` á ~þ Ð C @¿ éþ äè `à ãå äf þ ¿ ¿ F ` e f ÷ ¸¦ ã hè `à äf 4g P C ¿ ¿ F ø ãå äg `e hå g ¢ç sô ág éþ äè g å he ¤ å éà `è e à ¤ Ce ãô ö à © q g f d ö à m q ¿ ä éà è


3g î ã ãå g v ýö @à # e `è 2 à de uô

dà `e và d î þ

f l l Ôy P & g ¨ & v Vö Ð

ß áà þ ¿ ¿ ÷ u u ¡i 0 ô r i 0 ô &f ve ©ö

hå ¿ k k u ld

è C I d ä¾ éà à hå à hå 8

P (0)

v

P (0) = F

s=0

-1

(m )

s0

f `e uå ¿ `à ãå f

q g äd à C éþ äè g äf æg d ö I

`f e Öå äg à hå g e F à ¦ ö

~ ¦Ð f hd hf ¤g ¿ ¿ ãô và f

á ¾ hf þ e l äè `à ãå

s0

P (0)

(s) : P (s) P (s),

:BB,

è f ¾ ~¿ Ð `e © e hå x e ¤ q ég è `f ãå äg éà è Í ãð `à uå ¿ !f ) ô ve ö ¹ v ~ö `e ~ e « ` hè à ` ø Ii `¿ ) ô ä 1¤ à å ¿ ¢f è f ` å ée äè äg g f Rê å e ¡ f h¿ &à ¡y `f v uö ` hè à ` ¹ k q `g ãå à ¡ ¿ äè à h¾ äà hg à ä à áà `þ ä à ` å h¿ éà `è ée è e e hå ¤ e { 1 g P s ¤ `f m &x 0 ô e i f ` à u d ¿ F 5 æß ¡ f h¿ &à ¨y C ` © è f å ée äè hg g C Ñ e ¿ ä¿ éà è f ~ë u ÷ u z ` D| éþ hè à ` ° ö `f & éf è u d de ô ¹© C ©ö y ¨ he 1¤ à r i s ¤ d äe g ¡ f ä¿ à e ` ãå `g e äe ¤ e `¿ f d ` ãå g `¿ le ky ¦ß à `¿ ` e ò ýÏ `è de ©ö ¨y ¹d

c t v s P 2 â (0, 1) â S
1

he `à 8å ` ãå `g ) éà è ¡ f h¿ à Ð f hå `à C ¿ éþ äè à
P (s) ~

° ö ¤ sô `à å ~ Ð &à ¨y C `¿ ` e u @ C sö dà sô hå g hf #g

fe í `d ve © `e å `è g e áà þ ¿

Vö le de e `¿ å ¿ F

e ¿ ¾ ö ) sô và X¾ ` e


hf ¤ de à f äö å &e å f I d

d ¾ `e å ô C ¿ 5 å v h¿ &à ¨y C © `e å C ¿ k e å äf g f sö à ¤ hå à s ¤
(s)

x U \P (0)

s

x Q3 (s) s > 0

òå uð `e å `e å

e

s : P (s) P (s) s : P (s) P (s)

§e d `¾ e Hå ve ö hå g l fß d C ve e d u 8d hd à C å
x

ãÐ à ä à ¾ ¾ `e å q `g hå hà ö å e éþ Fè p f f ¿ ) ô C
z

Ii

`z ¿ h¿ à ¾ C ô le å Ii m éà è f f ä¿ h¿ dà h 1¤ `à

Cß e 0 ô e u ) äö Fe ~ e h $ p &à y `f v uö ` äè ô C ¤¿ `è uå ¿ f
t= x P (s)
tc c

`

f à e d `¾

hè à ` © f `e å 0 ô q g hå à ãå `¿ å C ` © `e å ãÐ

C #¿ f uå äd à C hd à C ` !å `¿ ) ô e ¡i uå äd à C `¿ C `g 5 Iß 8e Ö f à ä à ¾ è `¿ ãô và e e ~è Ñ Ð `¿
d Ii ö g äè éà Ð 8f e ` he
s (z ) z

v

c

v

z = (z )

z = (z )

s (z ) = (s (z )) ~ (x) P (s) s P (s)

P (0)

s=0

P (s)

z

å C h ¤ å ve ö !å å l ß
¥© ¢

Tå t Æ ¡a ¤Û he à ¿
¤

f ` `e e f ` `e à f ` `e hè và sö f Ѿ C ) ô e ~ ¦¿ #y ée è f v¿ ì ée á þ g Q þ

d ¾ `e uå äd à C à ` e ä¿ Ð `e Ð `f e è e äö le ß `è äe éà `è h à h ` e å

qA

e d

Cô ö å $ô x d Ð f 5å é¿ è e

C à ~ Ð hf g hf g Æ ¡a ¤Û

q3


à f


C ` `f `¿ Ѿ ` ä¿

C ¿ h

1

e ` #ô à ö »


å f

`g äö hè à


Ï

Vå

ä¿

` C {¿

`à d


d

f `e å hd à ` å äd à C ¹å å ¾ e ` e äd à ` 0y ve ö å å f ¿ ~ ` e å
P (0)

e e å ô e ä¿ à f f

hå äd Hå à

e

f

è å hf e ¿

C

¿

îð

à

þ ¿ ä¿ f Ð Cf ô á ÿà e H å ¤¦ ° Q ãå äg à và sö à å ãå `g e u¿

Vå f &à y äö e vþ éf vf äö ` ä

`à hå äg à X d S© Ñ Ð Iß f d f ©ö Py è îð éþ `e h `à `

hå hg à ) ô e äd å vf f ä¿ éà ¿ df ô å ée h à u ¡ ` `e äè hå g à ä e C { d f à à 3 C ¿

à C äè É &à äè d e

ä¿ à ¨y C ° ö h¿ &à ¡y áè þ hå éà è f à f ä¿ à e ¿ h¿ `à ty f `¿ à hå g hf ¢g bd á è ¿ h¿ éà è

å e df uô f mf ¨ © y dà e Ö¿ 0y ô ve e ä à à ¿ äe ¿ ä¿ ` f f ` e à ` he g {e å ¦¾ è `f ¿ ¿ e f ée äè R ¿ F
P (0)

` © e »¿ u ` äe !g d ö á þ C § mà ¨ C C ä¿ ¬Ð ãå `g hå e î þ å f ¹ë

h ¤ e áè `þ å `e á F `g e p ¡ f

hå éà è üå ·¢ f I d ö à dà sô và »ö `è äf ¡¤ # hå

ãå g f f Ô¿ µ ¡ f ° ö ¤ e ýf è ¡ f `þ Ì© e ¦¿ hå äg à hå hg à ¿ l ì i ¿ vf äö »e ýg f u¦ á v ée è g äe


hè `à ãå g äf g sô và sö à ~ g Râ e hå hÐ
¤

C ` å ` uå C v¿ ö `f å à f äf g f he g à C ` ¿ äè î þ ¿ éþ äè à æg hå à ú© f

÷ ¿ äè à ä¿ éà äè à ` áè f f ä¿ à e ` ãå `g e à 5¾ ¢ p ` hè à ` § `à e ~d è f ~d uÐ df ô ì© e &à ¨y © `e üå ¢ µ ¡ `¿ ` Ñ Ð d å f ¿ `¾ `e `à ` `à ` å `e äe g `e å ¾ 2 éà `è ` he g Ð C hå g î þ ¿ ä¿ à ` hå hg `à ` ` f I d ö à v sô hå g hf f f `e å hd à C ` å ° ö C äe g `f e e Ö¿ #y ée #è
¡

od ` d hå hg å hf g e pg ` uå `¿

ô e ¿ e Ö¿ 0y ô C ¨y Xd ã C v sô và sö &¾ e Ôå i 0 äd à C ` ä¿ `à e ` Py C ` © g d å äd à

ä¿

f f ` `e

`g e `¿ å e f ü¾ `w ¿ C u Ñ he g
¡ ¨y

§¦

¡ f f `þ f f äà uà f f

¿ ¤ f à å 8f ` à e à C

F hf `e å hd h¿ à f e å äd u `d ) ô `e å hd

# hå ¢g f C ` å å 8ì äì C ` §å äd g e ` §å

vf mf ãå
0



hå ¿ hf ¿ e hd
¤

äd

° å C ¿ vf ö ` `e e d q g hå à 0 ô Ú hà ¤ & f dà ô C ä 2¤ `à f ` e å g `e Tå
q g hå à ô å Öf y dà 2ô d f à f ¿ F hf ¤ # ãå
v sgrad f sgrad s
2

ée è e f D e ä¿ vf äö `e h à ä à `e å ¾ e ¦d f f f f `e å hd à C ` ¦å f ä¿ mà ¨ C ` i f f f ` s ä¾ hà #g î þ ¿ äf g d 8f tï è `à e ¿ p éf $f §w ¬f ¤ äg à ¾ vf ) äö Fe ã ¿ &f

ô e å ¿ äd à C v
¡t

) f ¿ F ` ð D 1 dà 0 ô äe ` å ô ä

h¿ à e «¿ ô e ô `f e hd uå à å
1¤

e md e f ¾ ~¿ he ¤ `e ¦å à `þ # u `à ` å `e f C ¿ à `e ö è ée `¿ à ãå g å # hå

ö

f hå à å và ö I¤ u mf Ii ` ãå `g ãå `à ` å e äe Ög



Cà ãô và ö à ` e C ¿ ÿà å á è f ¾ C ô e u l þ ` e d C ¿ vf äö e e `¿ ) ãô à å äf g e `¿ å e þ å áà þ `¿ ) ô ä 1¤ à å ¿ #f å vf äö `e ä à ä à ¤ d ¿ l ¤ì ãå à ¡ ¿ C u Ñ he g à f ä¿ &à e å äd à C ` å áà þ `¿ 0 ô C ä 2¤ `à å ¿ 1f å î þ `¿ ) ô ä g ä `à h g ¿ C @å è ä äg g d uô Dd ì ʦ 0 ô ô `f $f Ìw C ` e å u h¿ `à e ` ãå `g e à f h¿ &à ¨y C ` © `e å e è å h¿ à f 8f 8ì äì e pd éf áè þ ¿ ¿ # `e à `e ¬å `è e `¿ hå à d `¿ e d 8 ¦ µ äö e f ä à ¡ f ` `e å hd à C å ¨ ° &ö à ä à 0 ô ö f f ` e å he ¤ e äd äg à ¾ vf äö e f h à « è ¡ f ` `e å hd à C ` à `¿ ` e u $ C ¿ ãå äg à fe í vd ö de uô ¿ å df ~ö `e

2

f à f 8f 8ì äì lf hf å Py C ` © e å fe äö `e ä à ä à áè þ ¿ ¿ C ` Q© Ii hå `g ãå `è e hå le ß `g e g 2 à ô uô f u u f Èw ¨y «d dà sô và à C áí e $å e & å d ¾ `e &å ' ° g `f e e å


uå äd ¿ # ¿ `f '¾

¡

g df ô F ` äe Ð ) e V `e g `f e ! ` f f ä¿ Cà e d å ve &ö vf äö Fe ~ 1© là m f d ¿ l ¢ì ¦¿ y H¿ `e å hd à C ýå q `g g f f ` e å l¿ Q¢ e à f ä¿ &à e ä¿ `à e ` hå e ¿ å hd à C å e ¿ ) ãô à å äf å ¾ p ¨ F á þ å 4Ð b ãå à éà `è e l y ` e Õå `è ve &ö f r Ii ` ãå `g äe «g C ý¿ áè þ 0 ô ö e ¿ ¾ `f º© `è e d e ¬å `è e ` `e å g «â «d e ä¿ dà y ©¿ ) sô `à ` de ô ÷© è e 1 1 `g è ~ e e ¦¿ g e `d å ¿
1

sô và sö f å ¦f f de ô
#y

f ä¿ &à Py C ` © e å e à f ä¿ `à e ` hå g e à e `¿ ) sô `à å C ¾ `¿ e ld ¢ Æ a Û

sgrad s

ô ¿
k

§d à ` 1 à de 1 à à ¿ ¿

à e è
¤ ¢

8 å `e he ¿ df ¿ ¿ df C Cô ` C R e é¿ ¿ C h hå 5g

v

v

sgrad f



v

2

P (0)

S





sgrad s

v



sgrad s

P (0)

P 2 â (0, 1) â S

sgrad f

P (0)

~ : U (L) U (L ).

v





1

sgrad s

P (0)



P (0)



v



sgrad s



P (0) P (0)

P 2 â {0} â {pt}

sgrad f

P (0)

sgrad f



2

sgrad s

2

v

P (0)

éþ è g ô ve ö C ¿ C ¿ ` e å à ä¿ lg ô å g å e hå e 8 ` e y d



g ô

ô ö

qT


`
q

g å 1i éà è §f u `d ) ô e äd g e m µ ¡ f ä¿ dà sö `à ä Ð `f e ¢ äe ¤ ée è d

d f hå éà è f hå hg `à ` e Ö¿ #y ée è

Õ B Ä ÁÀ Ä l #Ä Ö !Á À

· 3¨ p¼ h¹ ¦Å sÄ ¨ t ¾ ¦¼ ² · 3¨ ¼ Ö Ô ´ ° ö ¨ ê õ ° µ¨ t´ ¨ µ t´ ¨ Ã



å å f h¾ g

g ¿ C ` ãå `g e g & `f hå g e ¿


Cô & ¿ g

C î¿ à éå ° `d de ô R© ð ¿ å áà Ö
0 ¨

¹ ï

«¦ f ä¿ éà hè à ` Fð hå &å `f hå g e `¿ ãå äg à d îe äà ~è Ð `e 1 hg và ö æ ~¿ Ð `e © e ãå f F ¿ !f à e ` `e å e df ô å f ä `à ` e u ée á `è ée f ä ä `¿ `e
s(x)

`g 5 ¹ß hd à @¿ hå `à `d de è vf äö `e Ñ © äe ~è Ð 8f ì
0

vd ö ` hå ö à ée `è

e p ß éf © e ¡ f h¿ à d `¾ `e ©å &ö e ¿ ¾ äf ¤ de uô hå `à å `e he g Ce uô æ î ãå `g e äe éà `è he "¤ q g
¨


áè þ `¿ å C d ö F d ¸Ï ¾ f ¿ C ä ¤ îe hÐ îà û i ~ö © f ò¿ Ôð Ii d de ô C ¿ Cë 1 à C ¿ ) ô ~ g ä `à h g ¿ à þ `¿ ) ô ä g ä à ä g ¿ `¿ á þ h à h à u¿ `e hå à 0 ô à f
x U (L) x



&à ãå

` Ñ e


«¦

I

x
#y

ä u é¿ e hå hg {à
#y

C `

Ö


&ö

©

ã
i

e ýè

ãå

f

g «Ð F e f ` f I éà à h¿ ¨y Q ¿ ¿ `à ãå äg
)

&à v ö

«e å q þ ¿ ¿ C ¿ ¿ ` p f ä¿ à f Cô ö e f { f

`f ` e äè &à þ h¿ hå `g

Ñ ` C ¿ ` e ¿

¿ á þ ä à sö à ¦ `e å d¾ ö à ! q g hå `à e ¿ ä¿ `à å e `g # ) sô `à äg ¡ f ä¿ f ` e `è e e à `¿ e

e d d `e hå ãå ô C

à ¦¿ å f h Ð ) ô äg à hå ¿ `à å ¦f ¡y f e p

D¿ `è e g ¤f e f é¿ f uå ä¿ à

0 ¡ f h¿ q g hå à `g e `¿ ) ô C `¿ e f d 3í ¿ q `g Ôå hå e hd g 8ì hì e

Cô ö `g ! f hå 0 ô å ¾ C `g e f ¡ $f

¡y `f v ö `g Öe F hå `g ¿ e f ` e e ` e ÷ ¦ C ¾ Cf ~ô å e $ {d ) äö `e C

ä¿ éà äè à ãô `à å ` e q `g å f »f hè `à à 8¿ p f

îf e `¿ `d ve §ö ¡ ä¿ à f ¡ g ¡ f ÷¦ á g d d ¿ ` l ß à `

D Ð uå ` ãå u g äf d h¿ éà äè

F ve g ¡ï h `à 0 $ô $f e æd ä¿ và ` à C ` þ hè f f ` à C ãô ¦ ¿ ¿ ä¿ à © e C `¿
§

) sô `à å f h¿ à 8ì hì e å äd ¤g p và ö à ¡ f è `e hå

sö dà sô Ñ §Ð f oå î `e å hd e ¨y C ` e `¿ 0 ô

`¿ ) å F å e e f

s

P (s) s 0

p f vd ö de uô 2 h éà `è e ¿ hå à ¾ à ~f Ð C © `e äe ¤ e é¿ vè äö e ! `à e ¿ å ¿ C

x U (L )

`d Ce ô H© ð { $ s } Ö g f e Ö¿ #y ée è df uô f äd à `¾ e µõ ¨ C ¾ C ãô ©g F v Dö þ ¦¿ #y ée
x
0

· s(x0 ) > 0

r

C d ` uå ä¿ &à

Dd è f Ii ` ãå å `¾ `e å 8å Ð §f I¾ e C `
Py

BB

V

x0 P (s(x0 ))

d



P (0)

A

P (0)

~ (x0 )

d ö d Û
qX



` å ée äg g h ê `g hå å `e he g hè à f ve ¨y 8 y ¨y v¿ ö à 5¾ ¢ © e ¢ Æ a ` e éþ hå g hf g k hå g hf g Fe Cô sô và C ¿ ¨y e d ö à f è e e


hè à ` ¿ &ö ve &ö `f h 5å ¡ ¿ äè à äè à æ¿ äö å He ve &ö f I ée ` e `



~ ~ ~ W ( (x0 )) = {x U (L ) | d( (x), (x0 )) < , s (x) < }. W (x0 ) = {x U (L) | d( (x), x0 ) < , s(x) < }, ~

sõ z u u ° g f á hè g "¦ å ¦f #y de ô e æ `f ãå `g e ¿ ¨ © #e f ä¿ à ¾ f ¿ C h ¤ e ãÐ `à ú© e Ö¿ #y ée è `e å @¾ á è `f ãå éà è Ñ Ð å d u¿ u äè mà d Tö vþ sö à ¬ e ¿ ¾ äf ¤ Ce ô C ü¿ ë äe ¤ e þ© )i 4ô 0 Cô ö C ¿ C `¿ á þ h à h à ¿ e å d¾ ÿà å
d( (x), x0 ) < ~
2

õ e h¿ à d¿ ô e á `þ

he ¤ `e þ© 0i 'ô 0 Cô mö ° ö ¤ fe í
xB

f ¦ `e å u¾ `à hå `à ` hå hg à h g `e éå e `¿ á þ ä à ä à ¿ à f ä¿ à ¨y C ` © e å «e d ) ô e äd `g le éß hè à ä è ¡ `f de ãô g æ f ¡i d ` `e ` ãå dà ô ` de Ñö s äà `g 3 f § ô u Ö¿ å e þ ä¿ dà sô và äö å e þ ¿ f ¾ df ãô `à 8 è `e hå e m f d ) ô e äd `g e Ñ `e uå ¾ á è f hå éà è 5å f ä¿ à ¨y C ` © e å Öe f f ä¿ `à e ` hå g e © f d d µ q `g Ôå i 0 sô và sö à ` e v sô g f
¤

&

ï¦

¡

0

~ ~ W ( (x0 )) = {x U (L ) | T (x ) < , d( (x ), (x0 )) < } ~

ß f ¿ ° ö ` e Ö he ¤ e ã ¡ C sô ág éþ äè #g f ¿ Cô ö q äg hà à Ii 2© à `
P (s(x ))

hå ág e ¦ f å p ` hè
x

`þ l© äà Cà df d `¾ e ¤å à ` D
v

hå ô `e © f ¿ ¹Ï äe uô f 0 ô e df uô f ô C ~ö ée üè e 0i
v

g l dß ¤ e hå « f f ` `e vd V `à e ¿ ) ô

d ¾ uå äd à ö k è

`e å C de f ¿

`à e ø uå e `¿ 0 ô C uô rß i `e ä éf lè hå à ¾

¿ ) ô `e ä Ð `f e X è f ` å ée df uô f ä 2¤ `à å ¿ æf ) ô ve ö u f f ä¿ g »Ï C ¿ f d `¾ `e !å ¡ f ¿ ~¿ Ð `e © e Cf uô f
T (x ) x

d( (x), (x0 )) <


B B P 2 â [0, s
max

ãå `g © ° ö ¤ he í
¤

éþ ~è Ð 8f ì ée `è äe éà `è he

c ( (x))

Ptr (s(x))

T (x)

2 (0, )

1 <

c(x) c ( (x))

= min(1 , 2 )

T (x) <

(x ) Ptr (s(x )) ~

W (x0 ) = {x U (L) | T (x) < , d( (x), x0 ) < } ~

c

c

cmin cmax

max

min

c

min

= sup{c ( (x)) | x B : d( (x), (x0 )) < },

= inf {c(x) | x B : d(x, x0 ) < },

·

,c

d(x, x0 ) < 2 d( (x), (x0 )) < .

max

1

>0

(0, s(x0 ))

c c ~ T ( (x)) = T (x) · < 1 < 1 c c d( ( (x)), (x0 )) = d( ( (x)), ~ ~~

~ ~ (W (x0 )) W ( (x0 )),



`e uå °¾ ãå à äd `à Vå þ ¦ ° Tö 2i `g üå
¢

· s(x0 ) = 0 ~

P (s)

x

P (s(x))

s(x0 ) - > 0

s>0

x U (L) ).

cmax < cmin ~ (x0 )) < d(x, x0 ) < ~ (x) ~ c(x)

è ¦f #y de ô le ß e d å à Q© îþ â

¨¢ s d Ô¾ và ö

¤

hè äg g h ê &à ¡y f v ö ° ö C e và ö ¤


' ~ 0 ¨ 0$ )w P$ )' 0 Êw
n

{ ~ h¢ 2 |
V

p ä à 1© à ¢f ¿ mf ¡ï ä à å Öf dy h và äö äe g
l

i~ ¥ ° ö ¤ he k `è `e å

ô e ô sô

he ¤ `e ãå " ô x à å ¿ C f `à hå hg à Ѿ u ¤d T e ¿ ä¿ éà è f ¿ df ô 3 hå à ` á ~þ Ð `d
¡


`
1© © i

hg

áà þ `¿ ) sô `à å f ` å e f áà C 0 ô e üd áà þ `¿ 0 ãô `à å C

B (U )

è e éþ g `f Ð å f ¿ å ) C ¾ à å de f ¿ `e éà `è


¥©

ß

C

©

he

¿

äg mà ¿ æg

¦e

í ä `à ì C h Ȥ © à 3e äè à ` `f hd È ` y ée µè f sö sö à ` 3e 0 áè e ' C '¿ k `è f h¿ u© v `e f ` uô g m y å S¦ `e e `¾ î q á æe à `f ¿ de &à å ¾ e d Ð `d Ð C á k è d f x d ãå và uâ p Ce ô e ! de
K

¾

` e d¿ ãå uå ä¿ dà e ¦¿ #f ä¿ dà Öf #y de C à Öf ô l `¾ äè þ d ~¿ äè ãå äg
V

2© à Ö Q `þ ` `à å ¿ f dà Cô å Cf ¡ hå à à þ ä¿ !e ö 8 dg ` k

÷¦

î `þ C hÏ ` e hå g `¿ ` e © f ¤d q `g å éf hè à f ¡ f h¿ à

e d df ß î `þ h dà ¿ &ô ¡ f ä¿ ` ãå e ¿ `¿ `e å f f
¨


¿ kô df ¦g C

F ¿ Xf f Vë l e à ¿ å C ¡ f ` à þ ¿ ) ãô f å ©e u C ~¿ VÐ ) òô Ï uÐ ¤f và ö `à ` e e `¿ ée Vè d ¿ l §ì



e ¿ ` hè `à hå e å p¾ ¿ !e ©f C sô g Öf #y áà þ ¿ Ö| à © äe §g ve &ö ¨y ¡ f ¿ f à f ä¿ à

å äd à äf »g å Ñ F áà þ ¿ `è e `¿ ô e 5 ) ãô à å f h¿ à d 2y C ~ f d e ¤å ~¿ ¤Ð &ö üd g `¾ ¾

å `è `g e `¿ `d e ' ¡ f ãô à å `f å e ¿ #y de e å æè î f Cô ö `f hå g e `e uå ¾

© hè e á `¿ C á `¿ e

và ô f C g C Ð à à ¿ ~

he e ä¿ ö e p 8g å Ô î å `f ô ©è îô þ

©

¿ f g @e f ä¿ dà hè &à ¨y å äd à ` e 4 þ ¿ ä¿ 1 dà ô h¿ à ¨ ö C ` h¿ à `f äf Ð F q g å v¿ ~ö `þ å f `e u ÷ §

h `à ' f f C hå `g 5 ß Æ s Ó µÆ sö à ` ©e e v¿ `d ve ö u u ` Xå e äd hg à e i f k è ` ö ` d á äè à f &d f ä¿ à `f 1© Ð ` f f d ¿ he e `¿ e df ãô Ð $ i ~ö © f å h¿ à f df ~ô å #e æf hå p ä¿ à ä¿ `à á ¿ d C ~¿ f 3d `e de Cô hè dà §ô â `à à # lg C f f ¾ là à éà éè


éà §¦ pÆ e éþ hf ¤ 8e ì à f § 4ì à ò¿ ãð `à ` ©e `e hå lÐ e sö hà RÆ u °Æ

§¦

d d ¢ §g d &ö h äg p `f ãå `g æd f f pÆ A hÌ

hå g df &ô äe ¤ `e þ© )i 4ô 0 ô §ö 0 ô uô `f $f


w

õ f f ä¿ `à Ce ãô #g f hå g #¾ e ¿ 0 Ñô h 2¤ à © $ pÆ ¥ °Æ §¦ pÆ A hÌ xÏ Î xÛ IV lÌ ¡g Û ¸
p¦

d e à `¾

h h ~ ¿ C f

æ f f ä¿ ã ¡ g 1 dà ¤ö e äe à ¿ ãå
©

dà ô f h¿ ¿ à ¿
i

`g þ hå hf g df þ d 8f `d


2 à 2 g å he ¤ `e

`¿ e d df ô ãå `g vf sö Cà ãô g Tå t °

à ¡y d e éþ `f ãå `d

s } ß f h¿ éà äè à á îè Ò ¡ `f ` ãå è vf äö `e Ñ ð C !å è ̦ `g ée de ô
R©

¿

C ©¿ »Ï à ~¿ Ð å Õe h¿ h à u f hå `g e `¿ hå hg à á þ ä à

C Ѿ C éà äè à 1 à hå `g e ¿

ãå f ¿ ä à

e `¿ á `g ée è ô î e f ¿ q g

à `f ) ô ì å F

à ¿ ¦ Ð à h 1¤ `à 1 à ä ~e Ð ) ô

& ï d äe ¤ } `¿ Ce ãô g äe uå æf 0 ô ve ö g ö f ` µ d e q g hå

s ¤ ¿ d e ä `g

¤ `e hè $å à

äe 1¤ mà © äe `g à f ä¿ e ¿ ãå `g e

Tö vþ sö ~f Ð df ¡y `f v §ö e å hå à ¨ï ) ô

à ô © ~ Ð g ve ö x

Õ Ä ÁÀ Ä l #Ä Ö !Á À

(s, f2 ) X

B (U )

= +1

(s, , f2 , 2 ) = ( (s), , (f2 ), 2 )

= -1

d C ä¿ ÖÐ e áà þ `¿ ) sô `à

V

K

y

0





germy0 (, , Z ) X B (U )

Öf äe

¡ï

ì

æ

D4

sô và và e

`à

e C

`¿ e Cà ãô g C ¿ äe g
¢

ä è «¿ A hÌ äö mà 2 äè à ` ¾ de ô ¿ ¹f ä¿ u© Ð C C `e uå R¾ l d e

hè `à xÏ Î 3à q `g he `à æå e `e h 8 g á è C ä¿ Ð

â

ô e d ô le ß df ô ~¿ Ð
©

8f fÌ FØ Ü uå `f ¡ vg sö æå hg d Ð ) ô hå à C ` `f ãå e ) è de hè à ä îþ ãå ¿ d e äd
¡©

g C hg f
¡g

`à

2y éà à ©¿ e ¿ h¿ &à xÏ Î

äf g d Ì Í Ì © ve ö `f ` ãå g v uô e ä lg ° ö éà `è üå © ¦f #y à Q© pè þ îô `þ ¹© h¾ à `¿ ¡y df ô xÛ IV lÌ

Û

¸




`ù

0

éf
Q©

ãå g äf §g éf è f

` ô sô

`à



hå

¤

C X¿ hè `à å #e á è f hå éà è 5å E¢ å ¤e uå q g `f ~ #Ð e vd ö v ô ¥¤ à äf Ð C ` © `e äe ¤ e é¿ vè äö e 5 `à e ¿ å ¿ C f F f @ 3f dà ãô g f ¾ `è e å ¦ C ¿ hè `à ãå d ô C ä 2¤ `à å ¿ uf äe ¤ e hd äg à ¾ df ~ö e f ä à 3 à f h¿ à à e f @d `e ` de ô sö äà g ¡ f ~ Ð f hå éà è C v ö 1¤ äà g éþ hè `à ãå g äf ¢g e vd ö v ô R¤ ð e
s C


¿ g äf Ѿ C f vd C `¿ 0 ô

üf @g ~¿ Ð ö d ~ à

ÿ} u §¦ îf `f Ñ ©Ð e vd ö v ô H hè `à ãå g äf g éà uè v »ö Õ `d ¿ F ` e f C sö à hå ô ø ãå äg à ã Tg à ô `e å ¿
s, s 0 C


î

C

`è e ¿ C f `¿ e # q ég äè à ä Ð 0 f dd ö & và sö à e k Ôå 1i éà è f v ö k¾ å Ñ Ð u d e
å

å 0 uô ô e ä Ce äè à ¤ `e Få ¹ e
C

¨~ ' 2 | )µ }v y ¨ P$ P¨ d$ #¢ ~
s0

ô ö ãõ ¡ q g f e ¿ h þ ¿ ø H¤ ð à ` `e

© )i

ÿ} ÷ §¦ »¤ å C ` î þ ¿ ¿ ` ve Ñö & de ý þ å ¿ g é dà Iå p 0 sô `à å f F ¿

è ¡ f ä¿ à `þ © e ¦¿ e f I d 3 ãô và ö à f F ¿ và pö `è ée f `f hå vg ö f `d e hå `g

õ `¿ C #y ée è ö à sô § q `g ¤f `e å è ~ g â f d ¿ l à he xe ê CÆ dÓ
f
2

ì `e å C¾ µ ¨ d å e vd ö v ô R¤ ð hå hà éà è f Ó °Æ e¦ pÆ A hÌ xÏ Î xÛ IV lÌ ¡g Û ¸
¦


ÿà å

`e å d¾ à f d å
r (0) = 0, r (W1 ) W2 ,



¡

f ¡ d ¿ 8 æì ¨ C ¿ á þ ä à ä à §¿ f

f 8 e å ¾ á è f é¿ `è e C ¿
¦

sõ 5 äè à hå g hf #g î þ ¿ ¿ F ` e f I d sö à dà sô và sö à © Öe ãå và ö f ä¾ à f î þ ¿ ä¿ Cà ãô và ö à ` `e µ f d ¿ l Öì f hå `g e `¿ å h¿ dà ô F f äd Q hg g v uô d q `g ãå à F á äþ Ð C ¿

s=0

â â Z : R RP n â R

1 1 (1 (s) : · · · : 1 (s), 1 (s), . . . , n (s), Z1 (s), . . . , Zl1 (s)), s 0, 1 n 1

2 (2 (t) : · · · : 2 (t), 2 (t), . . . , 2 (t), Z1 (t), . . . , Zl2 (t)), t 0 n 1 n 1



0

e ¿ h¿ éà äè à h à ä¿ éà è ~ æÐ ¨ i ãå g C ä Ð `e Ö he ¤ e hå 3g ¨ C `¿ á þ ä à h à ¿ Ñô ¿ `f ãå `g e ¿ hå äg à `d e Ôå Ii ` ãå äg à ã g Cf ãô äg ¢à C lw @{ 0z h 0 y 1v ¨$ )' Pw ' P¢ ² q `g Ôå i F á äþ Ð C ¿



f d u¿ l &ì C ` e © C &¿ F m Cx µ `f hå g e `¿ å h¿ dà ô F `f äd ù i f h¿ à ï e `¿ å æe äè mà Ii d sö Cà ãô ©g e
n+l

s=0

P (s)

1 (s) = 2 (r (s)), i = 1, . . . , n, i i

1 2 Zj (s) = Zj (r (s)), j = 1, . . . , l.

1 (s) = k (s)2 (r (s)), i = 1, . . . , n i i

r : W1 W2 , r (s) = t,

s (1 (s) : · · · : n (s), 1 (s), . . . , n (s), Z1 (s), . . . , Zl (s)),

(1 (s) : · · · : 1 (s)) = (2 (s) : · · · : 2 (s)) RP n ), 1 n 1 n

k (s) k (0) = 0

(s) (s) Z (s)

x=-

f2 1 (s, x, y ) y f2 1 y= , (s, x, y ) x s0 P (s) s0 P (s) W1 , W s
2

éf è g îe uô ¦ hå g hf â

s ¤ g e å ¾ g f
V



P (0) R s,

Ö¿ y 5


¨ | )~ h 2 1| )y 1 ¢ ~

hw | )~ h 0 2 iy uv ¨$ )' Pw ' P¢ r² # )~ ) G ~ d 2¢ y $ þ Ì # ~ 2¢ 1| y 0¥ w ~ qv )~ #® ~ n å

hw #© ~ { )~ u® 0w ®

y { ~ ¨ ò$ 0$ Ê

0$ d¿ )µ qv ~ È¢ y 0z d iµ ¬v y ¨ 0$ 0¿ )w þ # ~

Èw y 0z d iµ ¬v y 0 èw # i~ qv )~ ù®

0$ È )y 0w 2 )y w P& P¨ $ ( ¯ ~ I ¥
U

)y dw ¨¢ h$
U

w

y ¨x ' 1| y d© 2x t|

$ P ~ ¢

$ P ~ Ê
v

~ d¢ iµ qv ~ o

tw

$ ~

2' Py i~ ¬v n|

@¨ Pz #& 2~ P| n~

I¨ #w ~ 2' |

¨ |
y
0

°

$ ¦ ~ hµ y {

0z h 0 y 1v ¨$ )' Pw ' P¢ l² ~ 2' y dv v Pw ' 0x iw v ' y z }{ y ¨$ )' 0w þ $ ¸{ 2| | $ °

)~ h 2 1| )y 1 ¢ ò~ @¨ 0z ) H y j{ à ô @¨ )z G ~ # ~ 2¢ )y é ê' 0z h 0 2 iy uv ¨$ )' Pw ' P¢ p² )~ ) G ~ d 2¢ y $ þ dw ¢ 1| y 0¥ ¦w i~ qv )~ #® ~ å â )~ 0 y ' 2 | y ' # ~ 1~ | w v ÿ h$ 0 y { l~ g{ I¨ I 0w 2 y ¨ $ q #& ~ # ~ )w ÿ® 2' Py i~ ¬v | @¨ z #& 1~ | r~ Pz P¨ $ q #& å 2 | x R 0$ d¿ iµ Gv ~ ¢ y 0z d )µ }v y ¨ 0$ 0¿ )w þ # ~ w y 0z d )µ ¬v y 0 w u i~ qv )~ ÿ® 0$ r )y 0w 2 )y w P& P¨ $ þ µ d x 0& 0w H 2à y ~ ¨¢ d$ ¢ )~ ¨ ° ° ~ ¨ ¹$ 0$ x w z { ~ ¨ l$ y 0z ã G l~ { 1~ ly { ¦~ t Q dª ¨x ' 2 | y ' # ~ 1~ ù| I{ w ¨ P| )~ h 1| iy 1 #¢ "~ I¨ å å å ± g ± ö ½ ® à ½ { I Pw ' ~ ¬v | ¹x )y hw Q© 0ª G ~ ' 2 iy 1v ' P~ d Sx Sw z # ¨~ #& ¨~ 1' ì| w { I )y 2® y 2 r| P{ Px P' ý| vç û ü

#à i~ 2v 1y p| 0$ 0® hw ¶ 1' y ~ ¬v s| @¨ 0z 0 ¨y è u i~ ¨z 2' )y Ì @¨ z #& 1~ | È~ I¨ #w ~ 2' |

c

f f f

`þ



Ñö

C `¿ ) ô C f 1 à ä äg à 5¿ k äè `à ãå g äf mg f ã äà g f & 2 à f d ¿ l ì e vd Ñö v ô H¤ ð q g á è f vd Ñö v ô H¤ ð q g mf i ô ã ¸ u ÷ ¦ C Ñô è ` 8e îì á hè g ¦ 0 ãô `à uå Öf #y e é¿ è C ý¿ `è `e ãå e q `g å ¨i C ¾ df ~ô å e äè à hå g hf g e ` `e å f `e ä à µ 0 o f hå `g `þ uå ¿ `e $g Ð Cô ö Q þ ¿ ¿ # `e ãå `g e ) ãô à å ¦f y e é¿ §è C ¿ q g å i ¾ df ~ô å s f æ f dà ãô g f D¾ `è e å C å Öe uå q g `f ~ ¦Ð e vd ö d ô H¤ ð éþ î þ `¿ æ f ¦ Ôå i ° ö ` ` äe Xg µõ f ä¿ à ¨y C
2

e äè à hå g hf f f hè `à hå g äf 3g hè `à ãå g äf 3g ` © e äe æg u


g e d u¿ l `e h e ` e å f r Ii d

` `e å ¤ì à p § æf sö dà sô

e vd C f ä 'f ãå

uå C f ` ¿ ` å äd à ` 4å ä à `f hå ô ë¤ d ö f ` ¿ f ð Tf à `þ uå ¿ C f äd `à Vå þ
Z

¿ e e v ` à

lõ éþ äè à hå g hf æg e ¿ ¿ F e f I d ö à

2 H2 G2 H1 G2 -H2 G f2 0

fð ve &ö g e ` ¦ ð ` ¿ `à ée hè

è e ¿ C f ¿ `e Ñå ) uô éf è s l¤ §g f

, Z

s=0



ð f ð | `à 2© à í


lim

1

hå à ô



H

(s, f2 ) =

H

x=-

H2 G 2 2 (s, f (s, x, y ) H1 G2 - H2 G1 2 H2 G 2 y= (s, f2 ) (s, x, y ) H1 G2 - H2 G1

vv

C

2 H H1



2

UU

(s, 0)

f

C



vv

°

hµ 2 | x

R

°

¨ | )~ h 2 1| )y 1 ¢ È~ @¨ 0z ) H y j{ à ô @¨ )z uv $ { ° hµ | x

R

RÆ I3 Ó °Æ §¦ RÆ A lÛ g Ì Ü B Ì u `d ) ô e äd g e

UU

}{ y 2 )| w ¶| v " 0 0w ¡y ¥ 1y u| @¨ 0z d iµ 1v ¸$ i| H y 2' )| $ þ ' 1~ 1| | i$ v S¢ G ¨~ º& Pz S' w °

P' l~ { ~ ¨ ¤$

1{ ¡¨ w ã G l~ { 1~ ly { ¦~ ° °

~

c

$ q º& ¨z ' hw ² ' þ 0 2 )y ¿ Y

} ¨y d e îd 5Ò u

v

vv

y

0

v

°

=

:V V

V



#° ±
V

ly { ~ ¨ $ 0$ ¤

germy0 (, , Z ) = germy0 ( , , Z )

2

f2 y f2 , x

v

)

s, f

2

(germy0 (, , Z ), ) V s s V C


å

|
G P~ & 0$ ¶ q | 2 )y 1v )' " þ 0 2 )y H¿ #à ~ v 1y | 0$ 0® hw 1' y i~ ¬v ´| @¨ z #& 1~ | p~ @¨ 0z 0 Py u i~ Pz 1' )y ' }{ y )| 2w | @¨ Pz P' )~ # ~ d )µ v lw u{ $ { ~ 0 0$ 0w ¨$ )' 0 nw @{ 0z ) qv )~ ® ° @¨ z ¸{ y 0x )w · 1 y 0 0 w { ¨~ ¨ $ q & n~ I{ dw ¨¢ $ â å ö @¨ 0z 0 ¬ ly { G¨ iy hz 2 y ¥

»¼ Q ¨ª $ 0$ ¨® ' 2~ | ' ~ 0 0$ )w ¦ ¨$ )' 0 Sw dw h¢ | i~ }{ )y 0w 2 )y w P& P¨ $ þ )~ ¨ ¨$ ' i~ 0w d¿ x 0 0 w å

½

V


F å i ° Ñö C ` ` he g
¤


å i ° Ñö C ` ` he g f 0 Cô ö ` e å ¿ f d C ¿ `þ uå ¿ C f ` ¿ f ð
Ii ©
Z


Py

ãô

C

`þ © `e `e å ¿ áà þ ¿ f f d


å x¾ á f ¿ C Q© ¿ l ì

`è ~e Ð C ` F ¿ f `þ » þ © `e

He f `d u å î¾

è f d hå g e f ¨ï C äe ¤ e ãå äg df !ô f
s

å df ãô hg ` e î Då q ég

å f à å v f äè à © ve

m

f d hå `g C f F v äö e ¹ và ö #g e Ö¿ î `þ éö f e
U

e f ¿ f f `d de sô äg à h¿ à ä f f h à ä à å #y ée ¹è `e f d î `þ f hå `g


e ã hå à `è l ¦ì Ö¿ y ãå å h¾ sö äà hg à

å g e d ¿ þ u `e ` de ô e `¿ hå

ß `e üå ¢ u¾ ô e ö C ` äe g hå äg à `d e ô x lå à &¿
©
s

&à `à hå äe «g h¿ dà p P u § å f hå 8e þ F¿ g


C ô

g ¿ ` å `e he `g e f

e $ hå g ì ` ¤ ` ¿ `e
¤

å à

»©

`e ãå

¿

F ð `è è äe

à de

à ¦ ãå hå f ä¿ `¿ ` f f ¿ df ©ô å 0 à © q g å #y hå ÿ e å ¾ ô dà Ñö he `e à f hå äg
¨
UU

ì

ä g à ¾ `e `ë d å à C f ì ` à ¨y `d
Q©

f á `þ ¤ dà ô ô C éþ éè hè dà å v ãô ¤ i ~ö © `à q `g ¿ ¹ì ãå äe `f hå F f f á

fß

u `d à f h¿ C ` © e å g äf ug Cô Cf îô `þ º© ãô dà sö à & ï h¿ éà f f ¿ df ¾ 4 f kß e `¿ ÿ© và ö i¤ p e ¿ ä¿ éà `þ © e hå äg à `d § dâ l þ ~è @ e å V¾ á éà `è he ¤ ¿


f l éþ äè à `


à ¾ ~¿ 4Ð Öf å `f `¿ ` e f f ¿ `g å ¨i u ád þ å 3 f f ä¿ dà sö `à ` f 2 à ä hg à m¿ k äè à ~è uÐ $f u u f ¡ f h¿ à ¨ ä Ôå i ° ö ` ` äe !g he `à å ¡ `f ` Ce ãô `g o


ü

k

å

å uÐ $f äè C `

ä 4å ä à ée þ '

îþ â ¿ òf äe éà me Tx &à y

¨~ ' 2 | )µ }v y ¨ P$ P¨ d$ #¢ ~

î `¿


`f

d

`¿ 0 ãô `à uå äf `g e ¿ å e ¿ C ` å äe äg g v uô d {Ð hå à ¿ C u ~ äe g `d @e u f ï ¡ ä¿ éà è F ` e äf g d 8f !ì f
:U

` Cg §f d `g þ å hd `e C å «ö

he he


î þ ¿ u f äd hg v k äè Ð 8f î þ `

ä¿ Cà à ¾ ö ¤ e ì `e å e

ãô g f á¾ f `e d u ` ée `è he hd à '¿

þ e å å ée ` ° e éà he F `

` `è he ê¤ ö ¤ `e å `è äe ÷¤ C 4¿ å

éà `è ` he g uå éf è d þ ¿ ) ãô ÷ D df sô äg à äe éà è äe äè à ` he i f ¡ d î þ © ¿ f à C¿ ô e Ôå i ° ö F ¿ Q `d e å ¬f `e å hd à è ` 8e 5e hf Ög ée `è ée ý ãô »g `e å þ ä¿ C f Q© þ ) ô e ¿ e éf

§å 8 `g e ¿ `þ @ C f ` `e v ` äì và äö

î äe hå e ö ¤ ve e

C ¿ ¿ `¾ e å ¡ `è `e å và ö 8g e ¦¿ f ò¿ uð e d F ` äe Ð ) ¡ ¿ C u Ñ g e `¿ ãå äg à `d hå g e ¹ þ ` e å e d p d ve ö & e & e å §¾ à ý¿ ãå `à «å C Ce ãô g 4 e Ö¿ #y ée


v ãô dà sö `g de ö e 3 ô h hÐ ée mè e ¹d f e h `g `e g d Xe å hå g 5 0 Cô fö de uô æ uå hå hg à å he ¤ `e © è °

hå å h¾ Ii xÒ þ h ýg ¿ `g e ö ¤ he

R

äè Ð 8f ì ` è ¡ `f ` de sô `g ' à mf ¡i `e ` ãå dà ô ` ve ~ö u f ` uå î þ ¿ ä éà uè ã à á þ hå à ¾ X áà éþ äè à F f å k äè hg pÆ I3 Ó

ée `è ä¿ à g C µÆ §¦ pÆ

he éà `è äe ¤ ð de Cô ö äà ¤g 8 l vþ äö `e © lÙ g Ì
A

ä dà ô ô C f `e h g Ü IB Ì

`f #å ä éf è Ç pÛ

df 4ô Q þ ¿ à de ãô g î `þ ¡ h¿ à ä à hå §g dË B Ü hÏ
)8

de sô `g © he `g ¤e ` è Ø ¥6 g Ü

e 3 ¿ ° u `f `e h v ö g ÌÜ
xB

3û

ö ~ ¦Ð hå `g 5 g hÒ lk ø xÌ pD Ú xÛ Î
UU

Cß ` u # ãå `g xÇ Î fÌ Ø

vv

UU U U

¤

e

x`à d 2ö ø ) ô ~ g h `à ä g ¿ 0 Cô Öö `d de ö & f p f ä¿ mà ¨ `e å C ¿ `f º© `è e d pí p f ¹å Q þ ¿

§ á äè Ð 8f ì ` ée `è he éà `è äe äe Ð C ` © e `e å fð è f d d Ce uô ¡ ¿ ~ he g à f ä¿ ô ve {ö æþ fç f hè e h¿ 8g È l þ ä¿ &à y d ` g u hd `g «d C ¿ áà þ ¿ `d Te e ¦¿ y »¿ df ãô hg îà µ ¡ `¿ ` e `g e ¿ `¿ e å e `¿ ée 3è ¨ ` á `þ `à e ` hå g e 0 Cô ¤ö è `e `e å d¾ e ¿ Ñ Ð `d e ¦ de îô F ~e Ð ) ô e ä `g e $ e Ö¿ y e h¿ 8g uô ¿ C u ~ äe äd à `¾ `e #å î `þ © äe g e `f ãå `g e Ö¿ #y ée $è à C ¾ C ãô @g `è d å mà h g à C ¾ C ãô og `è `e ãå ~è Ð 8f ì ` ée f hå `g C ` å C ` e Q© `þ Ce uô § î þ `¿ C ` f f d ¡ ¡ h¿ éà è u ` `e å C ¿ `f º© `è
v v v v

è äe 5 ß Ö 0 ô ¿ l à «¿ # ãå `g e §d

he ¤ `e ãå e ~ g h `à ä g ì d C ~¿ e `¿ ãå äg à äe 2¤ !à ¿

R| µ T d ÷ òð | e ¿ hå äg à `d e ãå `g 5 ß dÛ xË dÏ hË 8 U



Z

U

: B (U ) B (U )

:V V

:U U

vv

U (L) U (L )

: B (U )

¡ f ä¿ ¿ ¤ q äf Ð df ô © C `¿ 0 ô C


e ¿

) ô e äd g 8e &à ¨y C ` © e à e ¿ ä¿ à æö å ¨i ° p `f ãå `g e ¿ Ve f è î hà dà ©ô e `d 0 ô `e f ) ô ä f d è »f å ¾ p e hè Q©
Z





B (U )

B (U )

germy0 ( , , Z ) germy0 (, , Z ) = B (U )







=

germy0 ( , , Z )

Z

U

m





s

germ

s

y

0

(, , Z ) v v

-1

s

=

=
m

¦

¤

f

V




å ¡¨ ìw hw P| )~ 0 Py & 2~ | g~ y P' y z Q& ª w y 0z d iµ ¬v y 0 èw # i~ qv )~ u® 0$ ° q | Q ª P$ )' w P& P¨ $ x { ~ P ² )~ ®
B B

`
x )x q l 0x p 0z h 0 2 iy uv ¨$ )' Pw ' P¢ ² )~ ) G ~ d 2¢ y $ þ }$ 1| | i$ v ¢ ¦~ P )~ # ~ ° 0$ d¿ )µ qv ~ ¢ y 0z d )µ ¬v y 0$ 0¿ )w þ # ~ ° ¸$ 2| | )$ v ¶¢ ¨$ P' S 0$ # ~ 2' y dv v Pw ' 0x iw ´v 1| | )$ v ¢

å

I 0w y © $ r' 0w 0w d¿ 0¢ d x ã ¨¢ 0$ P ¨ P Px ¨ )µ qv )~ ® )| w @¨ 0z q ~ # ~ ¤¢ ¡ v

°

q{ ~ ¶$ hµ 0 w P& P¨ $ g ' ¨~ #& 2~ P| )~ ® p| @¨ 0z ã G ~ q{ 1~ ly { ¦~ 1 )y p ix ¬v )| Iw ¥ )~ ® q | y P$ ' 2z )| 0w #® ~ ° )~ d )µ }v y ¨ ¨$ ' P~ 2 iy !v ç 0 hw hw P| )~ h 0 y 1v ¨$ )' Pw ' P¢ ù² å w

s

{ l~ { ~ ¤$

þ 0 )y H¿ #à ~ v 2 2y §| 0$ 0® hw È hw | )~ 0 2 Py #& 1~ | "~ 2y | ' °

0z d )µ uv 0$ Pw )' )w þ È $ ¦ 2 1y ¨| È' l$ q{ ~ ì$ ~ ~ ¨¢ h$ Ê

Ë
°

dx 0¢ ¬ ly #{ 2µ | ¨~ ' °

s

Ê

c

{ ~ 0 0$ )w ¦ ¨$ )' 0 Ìw q | 2 )y }v Py iy #® ~ 2y | ' å ¸± ðâ å ðâ å å ä )| )w ( ¯ ° hz 0 0$ 0w ¨$ )' ü
y
0

p ÿd å p e f 3d `e ` Ce Cô sö hà ©g ¿ f f f ¡ d ¿ 8 §ì ãå à ¡ ¿ C u Ñ he g µ î þ ` `e å ò ð îe Râ ãå à ¡ ¿ C u Ñ he g äà à f f ä¿ à ¨y C ` © e å &e Ð f `à ve &ö ¨y ¤d d d d µå p ¡ f ä¿ à P C ` i f d ¿ l æì ãå à ¡ ¿ C u Ñ he g µ î þ ä à ò ð îe °â u u u { éþ hè à ` äe à Xå è ¡ `f de ãô g 4 hå à d ` e ` hå Cà ô ` ve ~ö à f h¿ &à ¨y C ` © `e å Ce áõ è f u¾ ô e
Õ d Ä ÁÀ Ä l #Ä Ö !Á À 0

Cô ö äe ¤ `e 5å

ã ÷ u F g f ` á hè g u¦ q `g hå à 1© à ` ©å df ãô hg `à è `e hå » f 8 mf ï h¿ éà uè ` µ ¡ f h¿ à ¨ C ¡i f d ¿ l ì he 1¤ mà


s

i

¿ C u ~ äe g

) e d © &à y `e å ¦f 0y ô ve äö e e ¦¿ #y ée è d 2ï à ` C »¿ ¡ f h¿ à ¨ C ¢ f f d ¿ l »ì ¡ `¿ ` e » mf i s ¡¤ ` äe Ig
: s
s s

©å äe 1¤ à e Dd ~è Ð f ¿ Cf »ô äè Ð 8f

è f 8f ì f ì ` ée

Ѿ C ä¿ ée `è hå `g e ¿ `è he éà

Ð `e © e ¦ äe éà `è he g¤ ) ãô dà ô ô `è äe é¤ hå

f Öd `e uå C à

¡y f ¿ æd p¾ hå à d C « ~ ` ãå äg mà I

2 äà `g © k ~è uÐ $f ì ` sö dà sô g `e f òÐ hð 5Ð Q ã ug `e uå î¾ hå à C Ѿ

ée `è äe éà è äe ¤ ve ö #d e ` de Cô ö äà g f C ~¿ Ð «e e Tå t

-1
s

Z

( , , Z )

U =

( , , Z )

-1

- 1 (U )





= : B (U ) B (U )





= ( , , Z )

= (, , Z )

: B (U ) B (U ),







-1

: s





s





s

U







s

= (, , Z )

s



(, , Z )

Z

°

0$ u # )~ 0 2 ly }{ iy ¬ )y u® # )~ # p~ I 0w d¿ 0¢ d x ã # $ G ~ # ~ 2¢ )y u w ° I{ w d¥ )x qv )~ ®

@{ 0z ) qv )~ ® ~ I ¥

z ¸{ y )| 2w é| # )~ 0 ¨$ ' i~ 0w d¿ x iy s hz 0 0$ )w ¦ ¨$ )' 0 pw q | Q 0ª 1v )' { ~ 0 ¨ 0$ )w P$ )' 0 w ° å §É å å §É å ° ö äw½ ä w #{ $ r{ ¸{ iy v 2µ )| hw ' ¨$ ' ¨~ ¨ )µ qv )~ 2® | ~ ' )~ 0 2 ly I{ w

q | y h$ #© i~ d® "x )~ d )µ v 2w p| I 0w ¨¿ d$ hx 0 2w

p| hw 2 | )~ 0 2 Py #& 1~ | s~ # ~ ¢ 1| y 0¥ 0w )~ ¨ d$ ë¢ y I$ d¥ ix ¬v | ¡ pÆ IA Ó °Æ e¦ pÆ A hÌ dÏ Ë `Ç é× Í fÌ Ø u ¦ k äè à äe `à æå q `g ãå à ¡ h¿ éà è f F ` ãå `g ) ãô à å Ñ Ð u d ve §ö f ä¿ mà ¡ï ä `à Ñ 4Ð 0 $ô x



å

{ ~ $

# ~ ' i~ v 2 1y |

5

2 y | i~ ®

Z

I{ )w þ # ~ }{ 2| | $ ¨¢ 0$ P ¨ °

xÆ dT Ó °Æ §¦ RÆ

A

hÌ dÏ Ë `Ç é× Í fÌ Ø



y ¢ #¥ ~ » ð' y 0z 0 y ¬v )| Iw º¥ ¨z '

¨

@{ 0z ) G ~ d 2¢ y $ þ å 2± §É å å å ä ® }{ H| ¯

B (U )




} ` ` e ä¿ 2g éþ è 8 5
q

g hå à ô


C ¿

$e ãÐ `à © g ä à ä g ` å ¿
0

$ô

xõ ö `f ¦ hå hà éà è #f f hå `g e ¿ `d ve ö de uô î þ `¿ ) ô ~ g h `à ä g ¿ C ` uå `e hå g 2 éà äè hà Tg äà dà ô fx và µ î þ f d `e hå g 2 éà äè äà g äè à ä `à Q© `þ ` e å ¿ C f F ¿ f äè à f ä¿ và ö `à ` e `è e ¿ C f `¿ e å 0 uô éf è s x¤ f e uå ud u ` hå g
{s = const} = 1 + D
2

© æe ¡ f h¿ à ¾ ö `f ¤ I î ~ Ð ¡ f h¿ và Tö äe Cg

s

d è

å hd à d äè f d hå 5

0 Cô ö à f ¨i ° ö Ñ éÐ s C 1¿ ô he ¤ ãð éf è f äd hg à ¾ f å äd dà p ãå `g 4 e ¿ ä¿ éà è
2

à f ` ô é è h `à å d f '

f hå `g e hå g 1 và äf ¦g g C # `

u¿ ` ä à ` e ¹ C ¿ ¦ §ö éf áè þ ¿ ä¿ éà äè à ä à § ãå `g e u¿ ¡ f äd hg à ¾ `f uå äd dà uô é ¤| p Ö á äè 'g
P 2 (x, y )

q `g Ôå ` ä `à e è äf ¦g å ° ö

hå g 5 ß &f i 0 ô u f äf `g e ¿ à f `f 1 ãå

e ¿ ä¿ à ` hå g f hå `g e u¿ ` ä à þ äd g vf ä¿ và ö `à ~ Ð f e `g e ¿ h¿ `à © he `g

hå `à å `e ` e ¤ å C ¿ df ¦ö áà 8 `à e Ii

he ¦ `ö `e le þ ä éà ée d à ¾

g ¿ ¿ è hd äg

f 8y è v $ `à f `¿ e
98


f f ` ée f d ¿ ö q g ée è ¿ d


f ¿ C ä ¤ þ `¿ ) ô ä )i ô © è f ` å ¿ l æì `e å l ì è éf è å 2i éà è !f 8 à è f ` å
Þ

ée hè äg g e ` `e þ å f ` å ée C å ãå `g f ä¿ &à #y de ée hè äg g
0 (z )

P ! Â d I e

I@

IÑ Pe d Ñ iÇ Ñ Ñ e P

Ñ )Ý Ò

d dÑ d ¨ ! # I f E Ñ ¨

H g

f u g d Ý Ü P I ¨ 32 P I Ç d e h d

±õ ÿà å f ` e d C ä¿ DÐ äè à f h¿ à ä¿ éà äè Ð Df áè þ ¿ ä¿ éà äè à ` ` e v¿ äö 3e u f ¿ uÐ #f q hg à f r i C ¾ C ô e 3 ©f e ¿
(germy0 (, , Z ), ) = (germy0 ( , , Z ), ), Z

ö ¤ `e 5å f D¿ ýè Cf ä¿ à


f ä¾ g ¿ C u ` å k u å ¦¿ #y de
A

è äö Vg äè g C C F e `e

Fe à þ è ð `f
IV

° ° u éþ à f C ¿

`e å ¨i uÐ `à å ãô à Ѿ C ¤Ð C «¿ ~¿ oÐ

å f äg ä¿ d

& ¨ C © e `d ) ô e `è e hå le ß ãå à ¡ df à f ä¿ à

lõ þ Ve äà áà å à ô # à h¿ éà ~è
j

` `e ¨© C 8¿ áà þ ` `e å ¢¿ ` ée ~è uÐ f T¿ ã ) Q þ Ð f hå à
i

à f r e d $f ì ` ¿ ¦¿ #y de ä¾ dà ô

i ° ö C ` äe g e `d ) ô `à å 5f e ¿ `f ée `è äe éà è äe ¤¤ î þ ¿ f ¾ df sô `à o ã äà g 1 ô e `e `f å e C C Õ¿ f f
U (L) U (L)

e ¤¿ éf ãå `¿ ãå äg à ` `e à C å C ä¿ Ð D¿ hå à ¡ ä¿ à f `


8å à `g e uå äd f d q `g å ä¿

áè þ `d Xe `à hå à éà è e à

`¿ uå ä¿ dà i f hå äg à ¾ ¡ ä¿ éà äè d f ä¿ à ä¿


ô å uå ä¿ 8e å i å ` f Ð d å ¦ C IÐ å ò¦ Q þ Ó °Æ §¦ pÆ
IX

` uå ¢d f ~¿ éà ~è

`f hd g à f p à ¡y p ÿd 5Ð pÆ

ée ~ äe äg ¿ ô hÌ xÏ

vf áà f Î xÛ

~ © he `e å `f å ¿ òf å e lÌ ¡g Û

Õ ÁÀ Ä ÁÀ Ä l #Ä Ö !Á À
B

P (s)





1

D2 â P

2

AV

(germy0 (, , Z ), ) = (germy0 ( , - , -Z ), - ).

2

s

P (s) = {s = const, = 0}. (s, ) D 2 (s, ) f2 (x, y ) 1 = ds d 2 = (x, y )dx dy
2



P (s)

AâV





Z

2

H = H (s, f2 )

P (s) P

éþ è ` 8e §ì e äd äg à ¾ `f å hd dà uô é è hf g hè à f h¿ à ¾ f ¿ ä

¥¤ ¢

¿ hå g ê g

D

2

¿ x h ê e äg g ß ãô Ð h ê
'

C

¿ e d Fe
¸




Fz
i = 1 2 1 Zj = 2 x=- P (s) H1 (s, 0)i , H2 H1 (s, 0)Z j , H2

$ P ~ â ¡ v ' ~ 0 0$ )w ¦ ¨$ )' 0 Hw à 0$ « z }{ y 2 )| 2w c| w hz 0 2 )y # )~ l® q{ ~ ¢ w
s

$

{ )~ 0$ 0w # ~ d )µ v lw u{ $ |

i

2v ý ' ~ 0 0$ 0w ¨$ )' 0 Hw à

hz 0 )y )~ ® { ~ ¢

c

°

hµ 2 |

x R pÆ f k ãå

i

å

f

¾ df ~ô å e
æ 1

e áå å C X¿ u f uÐ f
#

v ö `e å «¿ D
s

` hå C ` ` he ¾ hå f ä¿
¡

éà è C g à ¾ à ¾
f
2

C å `è e ¿ C ~¿ Ð Xe e ~¿ !Ð áà

Xe å f `¿ `e Tå t þ ¿ h¿ `à

é¿ `g e

e ¿ C ò¦ d `à #y e áà © he «ö è
0

` hè `à `þ è `e f `¿
å

(3 RÆ pÆ A fð g g C f C q g å á è `f µÒ u F

¿ äf ¿ ¿ T¾ î

lÛ ¡ f ä¿ `d 0 ô F ¿ å i C ãå éà è ` ãå g


vd ö de uô

hf g `f ~ ¤Ð à Ñå ) uô éf è s ¤ p hd à `¾ `e ¢å ` ãå `g © äe ug î ã §¦ îf ¿ ) ô ~
Ii


p¿ g î `þ å # ó| g ä `à

d u d éþ hè © he `g i v h g ¿

à `¾ `e §å s äà `g 3 f `è e ¿ C f `¿ `à 3g f éþ äè à hå g e äà g p 0 Cô ¢ö Q ö ` he og hè `à ãå g äf Dg ù¦ `à ãå g äf g `þ ~ö © f ò¿ Ôð
i
f
2

hd ¿ ãå g äf ã C ` äè C å

0 ô »ö e Ñå ) hf æg þ ` e u äf å ¿ d Ii

`þ ` e d uô éf è s ´¤ e ¿ ¿ F ` d C ¿ vf äö Ôe `à © Xe f f F ¿ $f d è


¿ §g e d `¾ hà f

vf äö d f I ) sô e #å à 3¿ å ée

uå sö à å ¦f `þ Cô äè hg g

f ê

¨~ ' 2 | )µ }v y ¨ P$ P¨ d$ #¢ ~
s

å

¨~ )' )w 1 ¢

q d

xÏ xÏ Î Ì Í dÌ vË @B rD B p Ó pÆ pÆ A lÛ g g #Ì ~ ' ~ v 1y S| )µ qv P~ ¨ ´' 2 )y 0 ~ 2 | )~ ® 0 0$ )w ¦ ¨$ )' ü Æ Û xÇ Î xÛ Ï Ü dÛ xË hÎ Ï F ÷ u # &f ÷ u # f ¿ C h¾ éà è Ñ Ð á îè µÒ ã 5 hè `à hå g äf æg î þ ¿ ¿ ` ` e f I d ö à # ãô và ö à `g ãå äà éà è xf µ `f hå g e `¿ ãå g C 4¾ µ á hè à '¿ C ¿ r¦ u f ¾ e § å ¤e q `g ãå à C ¾ df ~ô å e à ¿ h¿ `à ` e 4 `e uå µ¾ á è f é¿ è e 8 u ¦
S
P (s) s=0 1 f2 (x, y ) y 1 f2 y= . (x, y ) x f2 (x, y )

õ `è e ¿ C f `¿ e å 0 uô éf è s l¤ 3g äè `à ãå g äf 8g &à y d å è f å ée äè hg g C 8 s á äè g C 0 ô e md C ` `e Q© þ å &e uå äf g `f Ñ üÐ à ¿ 8à ì C ä §¤ `è `e © he `g me C ¿ þ ¿ f ¾ df ãô `à 4 `e hå x sô và sö à e ¿ µ `f hå g e `¿ ) sô e ! C ) ô e !d he ¤ ve &ö ¨y d 0 Cô uö q dg uô ãô và ö à ` e # ó| r¦ ) sô `à å ¦f #y e é¿ è # å Fe ¤ e å é¾ á è `f ãå u ¦
Ii
H 2 G2 H1 G2 -H2 G

¿ ¿ F ` e `f å hd `à e h Hg u ¿ hå g ¿ V â ð u ä¿ và ö g # ¦ç e { Ii ¿ ¿ F ` e f C sö à § f
x=- 2 f2 H2 G 2 (x, y ) H1 G2 - H2 G1 y H2 G 2 2 f2 y= (x, y ) H1 G2 - H2 G1 x

±| u
¦

e d h¿ éà `è e ï Fð ` e ¿ äf dg ô Te ¦û e { Ii ¿ ¿ ` ` e f I d ö à v lõ éþ äè `à ãå g äf 8g `à d ö äè à F f å ée äè hg g C

P (s)

2

c

P





Z

j

f2 (x, y )

x=-

f2 1 H2 (x, y ) y 1 f2 y= H2 . (x, y ) x

1

i Z

P

2

å

°

°

)y ¨ ' i~ 1 x 0$ s lz }{ y )| 2w ¶| # )~ 0 P$ P' )~ 0w d¿ Px iy y q{ ~ $

j



Z



Z

g g #Ì S à ¾ ~¿ Ð e äd `g le ß

éà hè äà g
V

P (s)

÷ u ¦ và äö å e éà `è üå ¢


`÷
2 H2 2 H2 (s, 0)(s) = (0, 0)(0), H1 H1 2 H2 2 H2 (s, 0)Z (s) = (0, 0)Z (0), H1 H1

ã ÿ} p¦ ãå à äd à Vå `þ § f ° ~ö d å e

éþ éè hè dà @ô `è e ` hå g ) ãô à å Ñ Ð `d de 5ö 3g f hf ¤ de ô C ¿ ¦ le Cß f 0 Cô kö f ó| u 1 k éè hè dà ô ¦ e å 4¾ á äè à å q g å F ~e Ð ) ô e ä `g e ée è µ ¨ C ` e å e äd à ¿ üg )i uô d `e f md à d `¾ e æå e v¿ äö Öe ! Q þ ¿ h¿ dà ãô g f á¾ `þ g hå à 0 ô `f hå g e ¿ ä¿ à © äe `g 4e e hd äg à ¾ f `¿ e ¿ ud è `e å ¿ f F ¿ 4f f äd hg à ¾ `f uå d $ &ì
q
H H2 (0, 0) 1 (s, 0)0 , H1 H2 H H Z (s) = 2 (0, 0) 1 (s, 0)Z0 . H1 H2

ÿ} u
¦

¼

¡ v

h$ 0 0$ )w ¦

¨$ )' 0 Hw à I 0w ¡y ¨¥ 0$ P ¨ 0z 2 iy }v )| Iw º¥ ¨z ' hµ | x R pÆ (A pÆ ¥ pÆ A hÌ xÏ Î Ì 9W EB Ø Í Ì æÜ Â ` e å ¿ C f F ¿ 3f ¤f q g hå à h¿ `g e d à f ä¿ à h¿ éà ~è Ð 8f &à ly `à e d ©å e ¿ `¾ e å e å d¾ hå à C Ѿ C ä¿ Ð e `e Tå t
l= 1 H1 (s, 0)l. 2 H2 (, , Z ) Z

¦

2

éf d u ãô dà sö à ¦

õ 0 ãô `à uå Öf #y e é¿ &è C $¿ &à ¡y d æå q `g Ôå i C ¾ df ~ô å Te ±| u à ä à `þ uå ä¿ à f ¡ $f 8ì hì e d e `¿ 0 ãô `à å F ` ve ö dà Iô uÒ ã G ÷ !¦ á äè g f sô `à å ¦f #y e é¿ @è C ¿ q `g Ôå i C ¾ df ~ô å e i Ce ãô Xg `è e © äe `g e e ¢ ¡ f h¿ &à ¡y `f v »ö `f hå g e `
)
1

0

ãô `à uå Öf #y e é¿ è ¿

¹ ¡ï

Cf ô
q

`g å ¨i C ¾ df ~ô å e d
¦

f ±|
¦

éþ äè à hå g f
Í

å



¨~ ' 2 | )µ }v y ¨ P$ P¨ d$ #¢ ~

2 H2 G2 H1 G2 -H2 G

1

k éè hè dà ô éf è 0 ô ve ) sô `à å ¦f m i hå g ve &ö ¨y f ° ö ¤

p¦ äè à ö q `g #y e é¿ e ` e äd {g ud C V¿ `e å le

hå g hf g Ôå i §è C q `g Cà á

äf `à © 0 sô và sö à ¿ q g hå à C ¾ df ãô và {ö `è `è äe Ð C

me 0 ` 1e å i ~ô å ée è ` © e

Cô #ö `þ ` e d v và sö Ð C ¾ df e f f e à ä¿ &à ¡y f v ä ýg s d u ` e d C

áè ãô ~ô å f Vâ áè `þ

#ö ¿ df

¿ vf äö e f ~d ãÐ à ` üå `e å hd à C ` 5 hè `à ãå ù¦ ¦f ±| ~ö e e
i

è C ¿ f ¾ df x¢ å e v¿ äö e g äf g äf `à © {e ù¦ Cô ö ¿ ä¿ éà hè à ä à
(s, f2 )

0 Cô ö f f å i `e

sô `à & éf áè þ `¿ `¿ e f f f ` u uf à å ¦ ` ¡ `¿ e hå à ä¾ `g
2 H2 G2 H1 G2 -H2 G

d ` e å äd v ö C ` ` de ô

I¤

) ô C põ ¦ ` he Xg

¡ ` e ` e ° äö `e Ñ © `e uå äd à C å C ¿ Q ±| ú¦ f hå `g e e hd `f ãå » f f ¿ df #ô hà !à áà å e de ô ¾ ¿ hè
(s, f2 )

&e þ ¿ g `g e þ à ä à

2 H2 G2 H1 G2 -H2 G

(s, f2 )

{f2 = const}

f2 0

(0) = 0 ,

¼

P (0)

1

(0) = 0 ,

(s) (s) Z (s)

°

°

0w 0w d¿ 0¢ d x ã w ¨y 0 Pw '

((, , Z ), )

(s) =

(s) = 0 ,

P (0)

P (s)

à `¿ C å f `¿ ä g
¨~ ' 2 | )µ }v y ¨ P$ P¨ d$ #¢ ~



Z (0) = Z0 .

(s) =



0

V

2

s

±| §¦ ¡ f ä¿ vf äö Fe ~ © äe là å e ¿ h¿ éà äè à h à `e hå hg à he í bÆ %T pÆ

æ e v¿ äö 3e ¡ f d ¿ l ì å ¿ f F ¿ æf ` e © C ¿ pÆ A hÌ xÏ Î xÛ IV lÌ ¡g Û ¸


q{ )~ ¨ )' ¹ ë' hµ ¨ P$ P¨ d$ d¢ x )~ u l~ ¹{ $ 0~ â

0$ s lz }{ y )| 2w ¶| # )~ 0 P$ P' )~ 0w d¿ Px iy

¦

H2 H1

(s, 0)

l

l

f ¿

` e `d e `g e
V

¦¿

e îd ã ä¿ éà à # `e `g äè à f Iy `¿ ) ãå
Q©

Ò ±| hè ãå ¾ u ô îþ â


F ã ) éf è ¿ f ¡ï h `à ' ` è d ö 3g Q éþ äè `à u `f å h¿ à f ` 4e ¡ f äd `g Ce uô 4 äe I¤ d ö `e © )i ¦ô df uô f f¦ ó| ` ±| ¦ éè äè Cà ¦ô 5f ±| u g f á äè g ø f õ k è `e å © F v ö F e ä¿ Dg è f ` å ée hè äg g h ê CÆ Ó pÆ u RÆ ÈA Ü lÌ @g Ï æÜ Â µ `f hå g e ¿ ä¿ à © äe `g #e e äd äg à ¾ f `¿ e ¿ u hd à #¿ h éà è f © v ô ¾ ä¿ g è `f e ` ãå `g le ß
(germ0 g , ) A = (D 2 (s), s = 1 (u2 + v 2 )) 2 V =D
1

lp ¦§ 3¤ x x p & ¤ p§ ¤ pÏ q¤ y § 3Î ¦x 3¤ x # y ©x ¥ ó 9 ¸Í p # p GÌ p ë

'Ð uå

¿

äà &à e à f ¿ `e ` þ ¿
Q

å ¾ C h¾ de Cô `e

p P u d éà è Ñ Ð Ôf ö äà g þ å hd à C `

å Ñù ±| u à f ¿ F ` e hf g d &å hà 3à e å R¾ p
AâV

`f å F h¿ dà ãô dà sö 8f uì ãå u d bå
P

h dà à `g µ `

ô uô e á é å h¿

y ä¿ à `f Cf mô hå g e ¿ ä¿ à © äe `g 4e Cf Öô hå à ` ãå äg à hè g ¦ à T í y `è e ¿ ¿ ° ö ~ 3Ð hà à ¿ ¿ à H ð Ce Cô sö hà 3g C `f §å hå g e df
¡i
g : [0, + ) RP n â R
n+l



ð

f g



sô `à ö å `f äf g ä¿ và g í

y

1

å ° m p áè éþ éf è

¦ö ãå `f ãå `g è f hd äg

à s ¤ ée `è e ¿ å ä¿ dà q g à ¾ f `¿ e

e ó| u Ö ô F `f hd ¸ mà ¡i 0 ô ¿ od `f hå

k éè äè `e h p p g e ¿ ä¿

$à w y q g 1 dà ô uô f u u df `f ãå `g e ¿ h¿ `à à © äe `g Xe hà

mà Hô © he `g e `g df
H

0 ô f ä¿ à ä ä éà ô q `g

à ¿ §Ð f d è f ¹ å ¡i 0 ô

Xø äè à `¾ `e å p d ` `e Ì à
!

C Ñ «Ð ¿ ä¿ à © g e ` h¿ và sö à ÿ ¡ï df ` he ¤ mà ¿ õ `g e


`è e äe `g ¹e `e Ö å ~ Ð `f e ô © `e ` `e
'
V

C å ¿ C T Ò f d ¿ l ì ) ô `e ä Ð `f e æô hå `à ` hå hg `e ãå h C Ö¿ ãå `à » áè éþ è d f ` ée `e p df 2ô hå þ ¿ ä¿ `à
Q
A

` `è à hå äg

¨ vd Ñö v @ ä¿ `à à h Rg å !e Q þ è f äd e å 2 äè ` ãå äg mà à hå hg {à

f F ¿ #f Q þ d C ~¿ ô H¤ ð C äe ¤ e å `¿ ) hg à ¾ à f I ã ãå à



Pd f f  d Ñ d

Ñ

) 7 )

s z u p¦ ãå `à d ö dà ãô g u p éþ éè äè Cà ô `è `e ` ãå `g ) sô `à å ~ Ð `d ve ö g f hf ¤ de ô ¿ § e § ° ~ö `d å °e ã ¸ u é¦ f ±| u é¦ ¡ f h¿ à `¿ u ° á äè g ¦ C ¿ hè `à ãå g äf lg î þ ¿ ¿ F e `f uå äd `à e ä g sô và sö à ø &à y C ¿ e ¦ e ¿ h¿ `à ` ãå äg à hå äg à f e ¿ ¿ F e f I d ö à i u uÐ ä g f ` ±| k éè hè dà ô `e å d¾ á äè à §å q `g å ` ` ~e Ð 0 ô e ä g `e ¦ ée è vf äö Fe ~ © äe là
å
H2 (0, 0) H1 (s, 0)0 , 2 H2 H (0, 0) H1 Z (s) = 2 (s, 0)Z0 . 2 H2 P (0) 0 = 0 = (s),

¨~ ' 2 | )µ }v y ¨ P$ P¨ d$ #¢ ~

z u
¦

¼ ¨y 0 Pw ' ¡ v q{ )~ ¨ )' ¸ ' hµ ¨ P$ P¨ d$ d¢ mx )~ u l~ m{ h$ 0 0$ )w ¦ ¨$ )' 0 Hw à
(, , Z )

lz }{ y )| 2w p| # )~ 0 ¨$ ' i~ 0w d¿ x iy g v R ¯ $ ¦ ~ â
P (0) (0 , 0 , Z0 )

å

I 0w ¡y ¨¥ 0$ P ¨ 0z 2 iy }v )| Iw º¥ ¨z ' hµ | x R pÆ (X pÆ ¥ pÆ A hÌ xÏ Î Ì 9W EB Ø Í Ì æÜ Â võ `è he ¤ u v ö ð e ¦ he ¤ e é¿ äè à Ö¿ å F ` e Cf ô è ` 8e äì à h à © e Ö¿ #y ée &è u m à f ä¿ &à #y de Cô ö à l ß

¼

0$

(s) (s) Z (s)

±

°

°

z }{ y 2 )| w n|

# )~ 0 2 y ' 1| y 1| y

VC



{±1}

` e å éf ¿ C f éà `è e å vf uå äd dà ö `à ~ ãå d f ~¿ Ð

äd `| e l ` uô è Ð e äg fe

à ±| u `è ` y h `à é f à îe â

` å å ¿ f

V

(s) =

~ (s) = 0 (= 0 ),

0w 0w 0¿ d x ã


`
I

Ö e hå #y e h¿ à `¿ &ö ¨y d ¿ e § þ
q

é¿ áè þ ) ãô d¿ ~ö e
å

¦è hå äà éà `¿ ) ô à å äf `g e ~ Ð `f

è f `¿ e


f e ä¿ à å e î

`¿ e w ä 8à 8ì äè à ¾ f þ `¿ ãå

Vx ¢ ì vf ö g C ¾
V

f ä¿ mà áè þ ¿ p f f à

2ï à ä¿ `à ` e ¿ d u¿ l ì f h¿ à `¿

¡ f ád `þ `à C

¿ ` ` `e © e q v ö äà mà `à

` ãå äg mà `g ãå à 0 i F e `¿ ) ô

ã ô á äþ C f

§g éà ¤ à Ð h ä¿ à


hè à ` he f h¿ à #g p h 8à $ì

`à å `¿ C éf è ì vf

e å ä¿ à f ö `à

`e å 4¾ f ¡ d ¿ 8f $ì hì e d¿ ~ö e

e v¿ 8 ì e ` e v¿
¼

ö `f h `f d éf äö äe à

p f à 5¾ "¢ á hå m uÐ áè þ ¿ ¿ e

ä¿ à ï à hè à f f ve ¿ # `e hå g v¿ äö e

` C g g hå

hg &à e î äà éà lè

¨~ ' 2 | )µ }v y ¨ P$ P¨ d$ #¢ ~

å

}{ |

°

0$ 0® hw ò ¦~ P )~ d )µ ¬v Py l~ ê{

þ 0 2 )y H¿ #à i~ 2v 1y c|

hµ $ q #& P~ )~ è® )~ u l~ Ì{ $ ¦ ~ â

I 0w d¿ 0¢ d x ã 0$ $ P$ ¨ Ii © i

éè á &ì
¨



© ¡ ©

äd äg

hf H

à `f ée ô ¿ `
¦

¡

¾ uè ä F ¿ C

dà äf §g v îô `þ © ô g ä ` ¤å C «¿ ée è e g Hì f ú¦ `è ¦ C
(s, x, y )

uå äd äà dà ä à hf ` Q© `þ

uô é è & x s g ¿ d 8f # ó|

`þ i f $e ì äe Ð C ` å d

` `e uå p¾ d ¿ 8 e e áè hå g

dà {ô `è Ð C ` ¿ ä¿ éà à `f å hd þ ) ô `e ä hg à ¾

hè ~e e ¾ ¿ äd

m r pe è mf dà uô é Ð `f e f å äd

è f å è dà ô


` hå g hå d å Ñö Ñ mÐ g hå và q g hå é è îf uÒ

`à å `e he @g hè &à ¨y `d me ux f v ô ¾ ä¿ g e ¿ ä¿ à ` hå hg ~ö © à C `f Q© `þ á è e ¿ C f ¿ `e Ñå ) uô éf


f f `à ãå äg à e k ¡ f è s ¤ áè

d å 4¾ è ` d éþ è

pÆ (3 pÆ u RÆ C ¤¿ ¿ l 3ì d uå 8e ì ¿ lï ~ 1g &à
A
s



e äd hg e ¦¿ #y e `¿ ) `è e ¿ à ¿ ó| u

g e áè C ` å e á hè à

ø ¨ ` äd ¾ å dà è hf #g Tg p ¨ äd hg à ¾ þ C vf ` $d î þ ¿ ) ãô dà ô ô C C 2© å f ä¾ và uû á `è e å 4 `e © )i $ô ¿ è d ¿ á¾ `þ © me C 5¿ `à 2© äà g éþ è `þ å `e hå g e 4 äg à `¿ å à å ä éà s ¤ v
M1 : x, y = 1

C `f ¿ `e g ô e

e å hd ö »¾ äè ¦ö v sö

¢ uô é `e e f ~ö T e à »

= ds d + (s, x, y )dx dy + a(s, x, y )ds dx + b(s, x, y )ds dy ,

¨

o¿ Ô $ ì è `e å e

`è e ¿ C f `¿ f ¿ e ¿ d ø ° u f ä¿ dà ô f C &¿ å f ¨ © `e uå 0 ô ãå vg sö à $ô Fx éà `è e å
0

`e Ñå ) uô éf è s ¸¤ F h là áß l éþ C Ô¿ f f © e e Ö¿ #y ée è m e ¦¿ #y ée `è e ` e å
D
1

f äè à hå d `¾ e $å d ¾ `e »å i f 5è äà `g & C l¿ à

g hf æg f hå r q `g Ôå ¡ ud u ` e å 4¾ f h¿ `à de

`à d ö q g å i 0 ô hå g `¿ e d d å µ sô ©g hå à

i ád `þ å k e d C v¿ äö f äd g de uô ° Ñö Ñ Ð
V

#Õ ÃÔ Ä Ä l #Ä Ö !Á À

R2 (x, y )

= ds d + dx dy

f2 (x, y )

(s, x, y )dx dy

°

e u å d ` ãå !g

AâV

a(s, x, y )

(s, x, y )

AâV

AâV

b(s, x, y )

M0 : x, y = 0

(s, x, y )

å

$ d{ q ~ ã z #& ~ ¥

¢ h$

a(s, x, y ) b(s, x, y )

= ds d + (s, x, y )dx dy + a(s, x, y )ds dx + b(s, x, y )ds dy

b a - + = 0. y x s

± e å å åå °å ½ ä p¯ µ P| i~ v I i qv )~ º® Pz Ì' z & ~ I ¥ y ½ ä ¨x ' i$ ¬v )~ 1 hx d d¢ )x þ 2 | ° # ~ 2¢ 2| ¡y 0¥ hw d ¢ y v ® I{ 2w | ° i$ ¸v z &

hw P| )~ 0 Py & 2~ | c~

0w 0w d¿ 0¢ d x ã

0$ ò hµ 2 | x

R


hå g Ð ãô g f

S

H = H (s, f2 ),





lÛ g g #Ì e å d å C © ve äö e à vd ö & ¨ de uô f f ä¿ à ¾ ~¿ e ¿ u¾ äè `à 2å
y

è ¿

q

å å

e äd hg à ¾ `f e è f ` å ée hè äg g C h ¤ he ¤ e ¿ ¢ éf è C ¿ mf f uø `è e å § e f d ¿

uå äd h Tê 0 ¡ï ä hå `g `e l ©ì

dà uô é å d á è Ñô h ¤ à e e äd g de å e hå g


äf g hå g `g e äf g ¾ uô ¾


`
0 < f (0) < 1 f (0) > 1 f (s) > 1
(s,1,1) (s,0,0)

`f ãå `g e ¿ hå äg f hå `g µõ ¨ C ¾ C ãô æg f ` »å éþ !è `d ) ô e hd `g le Rß ã e
f (s) 0 < f (s) < 1
1

©

¤

à `d #e ée äè à F f e ¿ hå hg à `d æe ée äè þ ¦¿ #y ée ~è Ð `e C µ äè à
(s, x, y )

` å k hè äg à ` f ` å # de ãô ©g äe h `à i© äö e

g k äè äg `e © 3 hå

¦ `e å g C © äe g !e éf hg æà e

C¾ Ö `e è # å S¦ à

å s uå C¾ hå g e f ä¿
¡© ©

¤ d ô e © å s ¨¤ `¿ ãå äg à dà ©ö dy ä

e v ô d à `

¦¿ y ée e © e æe éf áè å hà

î þ `¿ 0 ô ~ g h `à ä g ¿ C ` 5å ã äà g I¿ à d ¿ F 5 Ôß ` e `d e å e f hå `g e ¿ ¾ df ô `e f f d ¿ l mì e dd ö v ô ¤ e ¿ ¿ v ö Ñ Ð sö à h à C 8¿ `e © )i lô ä¿ `à 5 e `þ © e å ¾ he ¤ `e må q `g å f © ve ö e Ö¿ #y ée è i f ¡ d ¿ 8 !ì è ~e Ð C
M
0

å C à `g

o


ä à òÐ ¿ h¿ `à &ö !e áè Iy `f g » f äe sö dà sô 'g d
1 ¡ 0

&g

he ¤ e d å 5Ð u

u f äd hg à ¾ f ¿ e ¿ d 0 Cô {ö § ã hà `g f u f f d ¿ l ©ì ¡ f ä¿ à ¾ ~¿ Ð d ) ô e äd `g e F p éf è f hd äg à ¾ f `¿ e ¿ d q `g l vþ äö `e á `þ à éf è uå ¬¿ q g å i C ¾ df ~ô å ¤e
(s, 1, 1) (s, 0, 0)
2

d `¾ `e 1å Ôå i 0 ô f r i C ä¿ éà äè Cà ãô

hf Q¤ Ñ ` ãå äg và þ ¦¿ uå äf g å ° ö hå `g e ¿ å g ô

ãð Ð f #y `e u 5¿ Ñ 8Ð ` ` äe ä¿ `à © ãô và ö "

3è f ¦¿ #y ée æè f dþ ô k æè q ég hè à F à v¿ ö dà ãô `g e ¢ hè &à s äè îô `þ © ) ` © ve äö e ° î þ ¿ å e 1 à hå þ ¿ ~ Ð # © e à ¿ áe hà `g á à `¿ ° î `þ e ¦¿ #y ée ¤è ¡ f ä¿ dà þ ¿ f f
(s,1,1) (s,0,0)

h à ð îe â ô hå vg ö à ¾ df sô `à ¤ ÿà å


ä¿ `à Ö ãå và ~ö © å ¿ C f F ¿ òf ð
M
0



õ à f h¿ à Ѿ C ~¿ áÐ C $¿ q `g å & y e é¿ `è ve 5ö f ä¿ à `¿ C $ î þ `¿ ) ô C f h¿ à ä f vd ö & ¨ de uô d `¾ e å éþ hè `à hå g äf 4g e `e ãå à ` å ée äè äg g C hå hg à fe í y è ` 8e ì C ¿ è ` 8e ì å
= {
-1 1

e ¿ 8à å f h¿

ä¿ à ` 8ì ì vf l à u éà è Ñ

hå g hå `à 3ö hè d ¿ Ð df

å `à ãå F 5 ãô hg

`e he g df g äf g `f hå g C ©ß `d `e å e 3 »à hå và ö
M
1

uô k¾ áà f ~e Ð `f

f à d `¾ `e &å `þ C l ß y f Ñ uÐ f ~ à ¿ df ô e `e 5å

h¿ `à C © uå ¿ C f ` ¿ f ð á `è ~e Ð C ` © e è f d í
M
0

f



áà þ `¿ ) ô ä g ä `à h g ¿ C å &f

d éþ hè `à hå g äf pg e ä à ¤ à d ¿ ` 5 ß f hå `g e u¿ ` ä à
{s = const}

'd uå `d `e å äè ` e ð p

) ö ô Q¤ `þ e f f ~ à `f ` de sô `g áà þ ¿ å

f Ð f ä à ¿ 3 q `g å ¨i ° ¿ C f F ¿

vd ö df ô ö Ñ 'Ð Õf hè

& ¨ de `e å ¾ á u f ©¿ à F

uô è ¦f #y de ô e v ö à f vd ö f ` å k hè äg g C
P (s) M
1

d ¾ `e å l ß & ¨ de uô æþ ç

P (s)

M0 :

x = 1 x (s,0,0) y = - 1 y (s,0,0)

f

(s, x, y )

inf f (s) > 0 M0 : s ~

~ =

P (s) x = x 1 y = -1 y

(s, 0, 0) (s, 1, 1) : 1 2

=0

M1 :

M1 :

: -1 }. 2



RP

=

(A â V , , H )

M

1

1 :

(s, x, y )
1

x = ( y = -

x = (x - 1) 2 y = -2 (y - 1)

2 s,1,1)

2 (s,1,1)

s

(x - 1)

(y - 1)

,

M0 M

(A â V , , H )

1 (s,x,y )

f (s)

à `f sô `à ` e `g e

f ¾ ¿ ¤ e ¨y me vd uô ãô g ¦ å é¿ è å îe

f `d ö & de ¦f ð ¿ ä¿

d C h x ¨ de g #y e â `à © he

`g e




`ù µ éf áè þ `¿ ) sô `à å ¦f #y de ô e 3 q `g Ôå i 0 ô éþ äè à hå g hf g e `¿ ) ô ä à å ¿ C f F ¿ òf ð `þ å h¿ à `¿ e é `è e d hà `g ¡i f ä¿ dà sô và sö à ` 2e e Õ u `d ) ô e äd g e u F hå g ¿ C ` ãå `g e 3 e d `¾ e §å e `¿ ) ô e ~ Ð `f e © Vå `þ © ãå &à #y ée lè à &¿ å ¿ C f F ¿ òf ð à f ä¿ à ¾ ~¿ Ð ° î `þ h à ð îe â
¡i

f d ¿ l ì æ¿ f ä¿ à ¾

#

hè à ¡ï f 5 x¢ `f å F ä Cà ô uô `f df ô äe ¤ e d å f hå `g e ¿ ä¿ `à © he `g He i äf ¤ Ce ô e ` e #å f r i 0 sô và sö à ` ð e hf g d 8f ì Ñ ¤Ð uf ¿ C ` Q© þ ¤ `e å f¾ hå à C Ѿ C ä¿ Ð !e `e g C f @å F ä Cà ô uô `f df ô äe ¤ e ¿ ¿ ° ö ~ Ð xÒ
lk Ê

f ¿ C h ¤ e áà þ `¿ ) ô `e å ¿ f F ¿ ¤f xÒ lk òáà þ ¦¿ #y ée ~è Ð Ce p éf è ` 1© à #f Tå ºt p ` å h¿ à H ð de Cô á f f ¿ F ` e ` hå hg à h @g
l

C f î þ ¿ `e éf è sö hà #g C `è `e å ¤e g

f æå q `g ` å hd à hà è C f ï ä ¤å ¿ f F ` `e

` `e `g ¿ f C e

Ôå 1i éà è f `e C 4å u #f ¡ f ` å ée hè äg g `à g ãå `g e ¿ h¿ `à © äe ¿ Xf áè þ ¿ C ¿ è f
n
2

å d¾ f ä¿ à h 'ê ã `è `e å g §e hè ` e å äd hå `à å e

hå và ö `f ¦ e hd 1¤ Ѿ C ä¿ Ð e ` hå hg &à ó| ÿ} ` | k äè ¤ `e de Cô sö `à hf g d 8f ì à C ` å áè þ ¿ éþ è h à

$à w #y e à ` äe hà §g ¿ æ ¿ ° Ñö ä hà í

! p# ï ÿ ð# ¸Ð p & !p (Ì p ë
1 inf {-w + 2, 2w - 1} = 0.




i f ` de ãô l þ v¿ ö f ä

þ v¿ ö `f h à `¾ e u o f '| õ


þ v¿ ö f ä à

`e å æ¾ f

`è `e ãå e e © C ¿ 1 à ¿ df ô f d ¿ l ì g ¤ le ß è f Ѿ C ä¿ Ð `e ¥© ¢ à `¾ Ce # Cf R| õ d ä `à e l ß è Öf #y de ô e sõ Ce ãô g f C¾ uå Öf #y de ô e Cd p d¿ ô e Ñ 9ß de ãô g f C¾ å ¦f y Ce ô e d ä à ` e l ß è Öf #y de ô e sõ © de sô g f $¾ `à e `¿ 0 ãô `à uå Öf #y de ô e 9ß å v ö F 3d Q þ d¿ ô e `¾ Re u Rf ` k| õ d h `à ` e l ß è Öf #y de ô e sõ d áõ è ~e Ð C © Xe è f r Ii d sö dà sô Dg è f hå `g le ß à vd ö de uô 3 1 hà `g ¿ u | põ `f ` de sô `g à f Ii d ö dà ãô ¦g å f ä `à ` e ¦ e ¿ `¾ `e å hå `g me x `f hå g v ô © e ¤ q g å vf äö Fe ¿ `è e d df sô à u dd ö & Ce uô f hå `g e ¿ hå hg à `d ¤e ée äè à F f ` å k hè äg g ¦ ¦ `e å d¾ å s ¤ v ô e ¦ e ¦¿ #y ée #è f
(s, x, y ) = (s, x, y ) = 0 (s, 1, 1) = f (s) (s, 0, 0) = 1 f (0) = 1 g (s, t) (s, x, y ) = f (s) (s, x, y ) = (s, x, y ) = (1 - f (s)) P (s) t=
x+y 2

RP

n

(s, x, y ) = g (s, t) > inf {g (s, -1), g (s, 2)} = inf {-f (s) + 2, 2f (s) - 1}

V



g (s, t) = (s, x, y ) = f (s)t + (1 - t)

g = (, , Z ) : [0, ) RP n â R

x+y 2 2

x+y 2

t

(f (s) - 1) + 1.

+ 1-

s

1 2

P (s)

< f (s) < 2

x+y 2

x+y 2

+

-1

+1 > 0.

.

2

+ f (s).

-1 < x, y < 2



s

n+l

>0

.
1 2

é¿ è à å ¦ F Ñ Ð

< f (s) < 2

-1 < t < 2

(s, x, y ) =


äe 2¤ à r i äd äà hg à ä à ' e `¿ ) ô ~ g h `à ä g ¿ C ` Cå ~d ãÐ äe ¤ `e © äe `g e e ` 1© à l `à e `¿ ) ô `e ~ Ð f e è f ` ée hè `à ãå g äf »g `e e `¿ `e Ñå ) ô éf è s Ȥ f è $e ì P
# i~ G ~ # ~ ¢ 0$ 2¿ iy qv ~ t¢ 0 ¨ 0$ )w P$ )' 0 Ëw }{ )y 0w )y Pw P& ¨ $ Ê


à ` å Öe äe ¤ å ée hè äg g h ê C ä m¤ áè `þ © äà à r Ii d


| e dd ö v ô »¤ ) ô ve ö ãå C ¿ he `g !e g è `e å ð i sö dà sô #g q g å `f © de ö C `¿ e
P P P
1

¤

`g e u¿ ` hå ~ö © f è C ¦¿

ä `à g l ß ò¿ uð F `

` e á e ãå `g

D äè äè à &¿ d d ãô à
)

&à y à ~ Ð f Cê $ ì ä C ¿ è f ` å ée hè äg g h ê å Ñ Ð u d ve Öö 0 $ô x

y ¨x ' 2 2| y d© 2x |

¦~ )~ d iµ qv ¨~ ¨' ¡¨ #w i~ x® w

å c| y $ 0$ P® ' 1~ | ° ° º 0z 0 q ~ d ¢ y $ þ u 0$ h 0 2 iy uv ¨$ )' Pw ' P¢ ² ~ 1' iy dv v ¨w ' 0x )w v hµ 2 | )~ 0 2 Py #& 1~ | ~ ° l~ I{ hw 2 | 0x #® P~ " # P~ Q& )ª v y 0z d iµ ¬v y ¨ 0$ 0¿ )w þ # "~ þw y 0z d )µ ¬v y 0 w u i~ qv )~ ® $ { ~ ¨ $ ¦~ P~ Q& iª uv
(germ0 g , ) V = (P 2 , K ) AâV g

@{ 0z 0 P$ P' )~ 2w | 0¢ w ã |

sö dà sô


ãô

à

r i C hè g r¦ ¤ e ¿ hå ðf
Z

ð

põ f f ¨ Ñ Ð df s ð hå äà éà è f `d e hå `g e he ¤ `e å éà `è e d Ôf s hå à ¿ Cf uô f áè éþ è f hå `g u ` ve ö q `g ãå à 0 ô e ¿ h¿ `à ` ãå `g ãå `à ` å e äe g q `g å ¡i 0 ô f h¿ à Ѿ C ~¿ Ð äà à s
n+l

ô ~ à § hè à `| ±| u $ à f ¡ f ˦ éf è å ¿ äà `g þ ` `e
(s)

` à {å Ii ¿ C éà è Ñ ä¿ Ñ¾ C ä¿ DÐ F df sô
¨©

äe h¾ à f C ¿

m Ð á äe ¿ f äg »à

C

# ~ I{ hw | 0x #® ¨~

v V pÆ ¥¤ pÆ u pÆ A lÛ Ög h à ä à å hè &à ¨y `à uå `f hå dg sö à äe d `¿ e Dd å e f hå `g ée ð éf áè éþ è `g ãå à


hå äg à

de Ñö f ä¿ p `þ
lk

xÏ å g f df d ¿

¡ f ä¿ à Ѿ C ä¿ ©Ð áà éþ è `f hå g ` ve ö µ f ä¿ à Ѿ C ä¿ 'Ð à e ¿ 1 à ¿ df ô å Ii ä Ð ` © e å ¿ C f F ¿ òf ð ¡ f h¿ f ä¿ à Ѿ C ä¿ !Ð î éþ è `f ãå `g ve ¦ö F ` ãå g ¿ C hå `g e & uå ¿ C f ` ¿ f ð hè à f h¿ à Ѿ C ~¿ Ð áè þ ¿ ¿ ° ö Ñ æÐ g g å i ` á ~þ Ð C ¿ q
R
n

å ©e äà mà ¡ q g f Ñ vÐ à Ѿ C ~¿ TÐ áà éþ è `f ãå à f r i F á äþ g f ` þ `¿ éà `è e å u C ý¿ f ä¿ à ¾ ¿ æ
¡
~ H 1 (P ) (, , Z ) V

`e `g ` pe µ ¡ C xÒ å ¿

C f

á äè g ó¦ éf áè éþ è f hå g ` ve ¢ö Vå `þ © þ ¦¿ 0y ô ve ö à ¡y d å ` e å ¿ C f F ¿ òf ð `e å ¿ f F ¿ 'f và ö `f # @ q g å Ii ä uÐ df ô ~ à áà éþ è `f ãå `g ` de ö äà `g ! e å



hè `à xÏ Î ¨ î þ hf 3g 1y Ð éf è

éf áè þ ¿ ) ãô à å Öf #y de ô e éf äè hà `g äe og 0 ãô à å `f ãå vg sö à hå hà éà è f å F á äþ Ð C ¿ äè dà Ñö © éþ è
: · · · : n } RP
n

¡ f ¡ d ¿ ï pÆ X pÆ u pÆ A hÌ y e é¿ $è hà `g ¦ å Ii ä Ð ` © &e F hå g ¿ C ` ãå `g e 3 `e ` ãå p f hå `g e `¿ hå g C !¾ â ` `e uå ¿ C dà ©ö dy ä à ` å þ ¿ Ñ Ð u d ve æö uå ¿ C f ` ¿ 8f äà ¦à `e å C¾ µ ¨ Ès äà `g » vf ö à ä Xg df sô äg Ià C lw F ¿ òf ð à f h¿ à Ѿ C ~¿ Ð ¨ þ bÆ %T pÆ u pÆ A hÌ ã ¤f ð f ä¿ à Ѿ C ä¿ Ð ° á äè à hå g f¾ e ¿ Ñ Ð u d e ! hå dà Ñö g© &à µ d `¾ `e å df sô äg $à 8 à f ä¿ à Ѿ C ¿ æ pÆ (A RÆ u pÆ A hÌ


xÏ Î fÌ FØ Ì Í Ì Ü

w = sgrad H

F e

îô

` ð

fÌ FØ Ì ¿ C f C hå `g ¿ f `þ E© ¨ æå q g fÌ µ `



ÌÜD 4 ¿ òf ð v äö e vf ð â hå và ö C ¿

@{ z I{ hw 2 | 0x #® P~

e

FØ ä e î ! å ä¿

äf Ì éà f å þ å 5

g d Ì Í è ð ` `e å à `¿ e

8f ì æ ÜD 4 C ¿ îe â e hd à ¿


é `è e d
D4

@{ z I{ hw 2 | 0x #® P~

Z



Z



- H RP Z ~ B 0 (P )
n

g = (, , Z ) : [0, ) RP n â R

= {

(, Z )(s)

K



Z



germ0 g

R

l



K

i

C



q

g Ì `d ¤ e è äf f hå F á

Ü B Ì Y me dd v ô ¤ g Ñ Ð `g u ve ö C ¿ x ö `f ` äþ Ð

Î

Í


F
P$ ¦¨ )y ¨z ¬' 0à dw 0¢ 2 iy v ¨¢ ó' 2 )y 0w ¿ d$ ¬ )y #® ~ d q

m

g `f ô f

` e å ¦e ã þ è f ä¿ éà `e å e hd ô `e ä Ð à ` e i u ` e `¿ ) 2d q g
|mi |

å hf ¿ df è à ¿ `f e



äd g d I 0w ã 0 ¡i f ~f Ð e é Cf Ii ¿ ä éà `è e d¿ Ce ãô g f $ ¹ ° î þ ¿
mi > 0 m
i

¡ f h¿ à `è e d ãô äg uà p ~ö e ¾ à ¿ ~ g f

ä¿ éà è f è f d 2 dà uô Ii ¿ h¿ e ¿ ä¿ à ` ` 2e 1 à


§ u f ¾ `d ¢ `à ` ãå äg hå hg à f ¡ ~f

©f vd ö ~¿ Ð `e ¥© 7¢ i f ä à `à `à `à Ð e é è e

Ii

m

¡i 0

`g äþ Ð C ¿ '¿ å Ñå #ö d ¦ ä `à 2© à d å F ` e f ` å ée hè f C ãå à F á ~ 8Ð à hd `g ¢d è ô " m
K
i

i

5 Ð å d äg g ä à

f h à e æd e ¡ f C h à Ñô ä ãÐ à §¦ f ¨ C Cf ãô äg fà p f `è ve &ö ¨y d C å e ¦¿ y ée è $ ` e Ii m ©
P

¿ ¿ ° &ö äe 5 ¢ °Æ §¦ RÆ ä à ¤e ¡ f ¿ Ñ hÐ 8 ãô ì C h ¤ e hå à
K m
i

2¤ à ¨i u pÆ A î þ ¿ à á `þ ý 8à ì C ä hà g f »¾ à å ée äè hg g
K

C Ce `d e å e hÌ FØ Ì Í Ì Ü D 4 å dà ãô x f d ä à «e df uô ¤ h à e ¿ d `e ` îe Ò ` `è ve &ö ¨y ¦¿ #y æe ç
m

Õ Ä Ä l #Ä Ö !Á À

¿ å ö v á `þ
©

¡ f ¿ ~ hÐ à á `þ o f f d 1 dà uô d ý f f ä à 5 ë¢ l éþ hè `à ãå g äf g `þ î `þ ` e ¿ `e Ñå ) uô éf è s é¤ u f vd ö v ô ¤ Ð f e å D¾ d éå e vd Ñö v ô ¤ þ f f ä¿ dà sô và sö à ` De f ! áà éþ è vf äö Fe ~ © äe à î¿ p f d 1 dà uô hd «g `e å T¾
)y 0w ¨ P$ ¦¨ iy Pz ¶' q

v g e `¿ `e Ñå ä¿ dà sö `à å å f
m
i

f C á îè ) ô éf è ` e k p ä¾ ¤g e
m
i

vÒ p s ¤ ¡ f ¦¿ y ée ü¿ æö d
` 0

éf áè þ à f vd ¿ Ñ hÐ à è



¤

å e ¿ ) ãÐ à ö
K

hè

`d e Q þ p `d ~e ô ve
)

f

äd g d ¸{ ô C Ѿ C `¿ e ä à ` å e Q þ `¿ ) ¤ `f v ö g äe þ `¿ ) ô ~ g
Q

v ÿà °å ô ä g ä `à h 1¤ à è h `à ä g ¿

` g f C `
i

~e ãÐ à ~ ¿ C å å ée äè å `

`g ãå à Ð Ö ¿ vf hg g C ` e ä¿

F á äþ s 1¤ à äö e f g hè

Ð C ¦¿ ¡ f h `à Ì© è äf mà 2 à q `d ~e ãÐ à ` à ä `à Q© Tþ

C h Cà uô äd g å f å e Xâ m

à ` e Tå t C ¤g f þ ¿ df Cô ¾ C ô le ¤ß ¡ f vd ö v ô ¤ f C ä à ` e
i
w m
i

Ii

`¿
i

hà ¤ `f v f `¿ ) I¤ à ` ý¿ ô e å C ` C q e å ¦¾ å h¿ và ©ö Ñ
K

© òe ð e q `g @f f x éþ $ Ð C è d `d e å ` `e uå y d ä ¤ f ¾ df C ¿ e 3 ` äè
i

é¿ è f å ¨i C d 1 Cà hè à ` ì ä ` © e e äd à C å è à ãô `à © hÐ à ~ à `
P

äe 2¤ Öà 'f uÐ Xf äè ` ` e `¿ e å áè f ` å ée ` 1© à & ¡ f Ð C 8 `þ © `e uå
i

ö

ß

Q þ v¿ äö `e äè à ¦¿ ©d è hf dà uô îd C ©¿ d f `¿ ) ô

g 8f f dâ dà ô e he ¤
i

$ äd g ~d Ð Cf ô »© e ¿ ¦ à e ¿ ée è d

4d # ~ ã hà `g © C de ` e å äd §Ï Q þ

0¢ 2 iy v ¨¢ é' äè f à ` 2© à îô `þ © f `à æ `e ` e ¿ `e Ñå `e å e äd à !¿
M
i

`à ~e Ð $ å `¿ ) uô éf e `¿ ) sô

C »¿ i ©¿ ¡ f ä¿ ¤ f f è s ¤ `à và äö å 'e

f à »e i u ¿ à v ` äè à ` ` à 3å de e `¿ äe Ð f ` è f `

C ä ¡y `f `e å hd `¿ 0 ô &à y d

` ö C å Hå

¿ ~ g f äà ¤ e ©ö ¨y æd he ´¤ pf å ée hè äg

5 ¢ å 8f ¡ f g h fê

ö Ög ô he C è © e $ Ö¿ d #y `e dà f f `

C ` ô¤ f ée f &à ì C `g å @¤ e å äd

Mi = [0, mi ] â [-, ]

à ` Öå hà `g u f

M

K

i

K

i

K

i

K

P

mi > 0

K

m

w

K

mi < 0

m

å f d d

)

K

m

ä¾ `à å xÏ Î fÌ ä¿ éà hè i f ¨ C C ¿ ãå `g e 2© à C e

q


¡

`g à þ ` C hè uô &à å f

Ñ ¾ uô he `à

Ð 3 C ô e `d å C



äf g ` e



C ¿ å e îþ â è s ¤ ãå `g e

m

i

Ôå i 0 ô hè `à hå g C h à hf g â ` 2© à & `d äe hÐ à y à á 0 uô éf `¿ ) ô äg g h ê 3¿ `d e å e å äd à å v¾ `à e d

e ` å e hå å

M

i

e ` 2© à


l¿ g å e ög C ¿ ç

Ѿ e h¿

Ð

s p¤ hè h¿ dà ô C äe 2¤ ¿ `¿ 0 ãô `à uå ¿ ) e ¦å và ) å #y de e ¿ hè f æþ äg îe äè hå hf v¿ $e þ C Ð å dà ` ¿ ¦g à äö ¿ ~¿ e ô 8f à f ô Öf `è à hå à ` ãå ¿ å g g `g le

éf è s ` ¦f à C f ` f F ð æ e

à f e e `d ãô à e ¾ á e ¿ k h¿ `à e

C äf `g e ¿ v sô ô e ' ° ö ~ h¾ Dg æâ g æß |

y ¹ ¨~ ' 2 | )µ }v y ¨ P$ P¨ d$ #¢ ~

¿ Î å 3¾
2

¿ f pÆ u pÆ A If ð l þ hå äg `à ãå g hå mg à ä¿ à Ѿ C f
Q

` e ¾ `þ d `d äà
0

éà ãå äg

C



e äf ì Ì Í Ì 4 å ô ` äf äd g å 0 uô s ¤ äd dà uô äf g d C ¿ g è u äd hÐ å e k hè `à äf g `f å h `à ¾ e ¿ ` `e `à C © hå d ö¤ hå

j

à ¿ ¿
¡

e

g d 8f ÜD dà ô éf è é è vf äö ée à hå g ` ãå à å hd hg à và 8 &ö ¨y h ê ve ö
¢

0

f

áè þ ¿ hÌ xÏ e à d äf g ` f äd hg à ä¿ æÐ áè vþ &ö ¨y è `e å à @d 0 ô e ¤ ~þ Ð C l¿ q `g ãå à ü `à hå hg C m¿ ãå äg § è f é¿ Öè e 2 à ä g `þ uå v uô md è s ¤ `à


¿ &f C ¿ d $å g e
¢

` äà ¤ éï `è e `e å & C 3¿ q `g uå `f © ve ö `¿ e © `e å v¾ l éþ äè à hå g hf æg ée `è e äd g &f `d `e å e ` ` e `¿ e å 0 uô å ° ö C ` äe 8g C ¦¿ 0y ô ve ö ¡ f å h¿ à f 5 ¢ k `è `e å » þ f ¿ C h d¤ p d ` `e äe ÿ¤ e © u ä I¤ ÿà å f ¦ v uô d f ÿ äe ¤ e ¿ ä¿ dà sô và sö à ` me e ¿ ¾ ~¿ Ð e d¿ ~ö ¦e f f uå ä¿ à f e `è e `e Q© `þ mg e ¿ ä¿ éà äè à ` ¡i f ä¿ dà sô và sö à ` §e e 3 Vå `þ © ãå &à #y ée è `e Q© `þ æ å `e ãå è `è e hå ¶ f l hß áà þ `¿ 0 ãô `à å C f å ¹e k `è `e å « 1 Cà ô e ud f `d f u© Ð C æ ` `e uå ¿ C f ` F d ö Ð ¤f he ¤ e v¿ äö ¤e ` `e Q© `þ ¤ e hå `g e ! hå å ¿ C f F ¿ 4f ¡ f h¿ à Ѿ C ~¿ Ð `e ` ãå g ä¿ `à C $ v ö ¤ fe í C ¿ ° ö Ñ ÔÐ &à y C 4¿ ¡ f å ä¿ à ` `d Ce ô H© ð e $ ì C h "¤ `f ãå `g e ¿ hå äg à `d e ð } C ¿ éþ hè `à ãå g äf $g à éf áè þ `¿ C æ `f ãå `g e ¿ `d e ` äe ©g d p éf è å ¿ C f à `¿ ` e `è ve &ö ¨y ¹d f¿ `d de ô H© 0 ¨ C ¿ ¿ F ` e f C sö à ò¦ q `g ãå äà éà è f äe ¤ e ` `e å e d õ s ¤ ¹ï Ö e ä¿ và ö `à ` e ¦ ãå và ~ö g© `e hå `g 0 ãô `à å Ñ Ð `d me x å hg då e å ä z }{ iy G 1~ `è `e uå ¿ C f ` k è `e å äe ¤ e ¿ ¿ ° ö dª )µ }v Py # l~ j{ à q g hå à F á äþ Ð C ¿ k hè `à ãå g äf g ¨ C ¿ h¿ `à e ` ãå `g le ß RÆ )i Ñô æ¿ éf áè þ `¿ C # q `g å C ¾ C ô e ' e `¿ 0 ãô `à uå `f ` ãå g 1 và Xö `þ å ¿ C f F ¿ f ð f f ä¿ dà sô và sö à ` e f éf áè éþ è vf äö `e Ñ © äe à Ñ¿ d ãô và sö Ð C éf è äd hÐ à å Ôe å C Ñö ¹© `f ãå `g e ¿ `¾ e áå k hè áè þ ` `e å e ¢d e m p f ~d hÐ à ` å pe e å $¾ á è `f ãå éà è æ éà `è `e å ¢ C ¿ ¨ C ` e å e äd à æ¿ q `g å f u¾ ô e m à å Ñå ) Ñô ä ãÐ à D dâ p f `d e å e ¢ `þ ` e `¿ e Ñå ) uô éf è s ¤ vf l þ å d Ôf uå f 2ï Ôg e vd ö v ô Ú¤ e ¦¿ #y ée ~è ` © lx ée äè à ` he `à å 1 g ä Ð ) ô e Ñ he ¤ `e å éà è e l Ñy äè à f ` e äd hÐ à å Öe f d `¾ `e ¦å q `g å ¨i F äf Cà uô äd Fg 1 à f ¡ d ¿ 8 ¦ì ¿ F ` äe Ð f hå éà è C C ¦ î þ ` `e å e d Ð áè þ ¿ ¾ f ¿ C h ý¤ e q `g å vf äö `e ä Ð `f e d 2 dà uô îd ©Ò C uô `f C 1 äè mà Ii d ö dà ãô g e 2 g v uô f u¾ ô e `þ © `e uå é¾ l `þ hå hg à 4d à f äd äg à ¾ f `¿ e ¿ u ¹d h à ä à Hå è äf dà uô îd Ò Ð @f ve ©ö Py u d 0 ô #ö `¿ C I hå hg à ud he ¤ e äd hg à ¾ f `¿ e ¿ Dd f ` å ¿ X q `g hè à ¡ 0 ~ö `e C ¿ f f `e å hd à C ` ¦å äd g &d e 4 f ä¿ &à y `f v Öö f ä¿ éà hè à ` § ¡ f d ¿ m Cï ã ÿ I{ dw 2¢ 1| y 0¥ 0w # )~ d$ u¢ q Cg e d í g¦ à d `¾ `e å `e © he `g e 1 à r Ii ` ãå `g hå à ` å `e he ¢g » å ¿ f F ¿ f ð `e å h¿ à `¿ e é `è Cà ô e Ô `à e ¿ ` e å äd à m `e ` e `¿ `e Ñå ) uô éf è s ¤ f è ` 8e «ì è f ` å ée hè hå g F f hå g d ô © Ôe và ö `f 8 f hå `g e äd g de è `f hå vg ö à l ß þ ¿ mf ¡ï ä `à u u f r i © y d ée µ hå äg à #d C o¿ éþ äè `à ãå g äf §g à mf ¡ï 1 à hå É k hè `à hå g äf æg ¨ C ¿ h¿ dà ãô và Tö þ # ¨ ` `e å e hd à !¿ q `g ãå `à 2© à ` å e @ è C C¿ f éf è å ¿ C f F ¿ §f éf áè `þ h dà Ñô l¿ g hè `à hå g äf g ¦ f §g äè `à ãå g äf g Ii `¿ hå à ` ãå g 1 dà ö p `f ãå `g e ¿ hå g C m¾ u ãå äg mà he í p f hå `g e ¿ ä¿ &à y ` äe §g e äd hg à ¾ hf ¤ de ô e `e ¦å p éf è C ¿ f `¿ `e Ñå ) ô éf è s §¤ éf è f äd `g ` he g ` ée ©è g éà `è `e å `è e ¿ ¿ ° 4ö C ¿ hè `à ãå g äf ¤g î `þ ` e `¿ `e Ñå ) C ¿ $ ì ä ¤ 1 à h à e d î þ ¿ h éà `è e v¿ äö e þ ä ¤ à f ` hå g 1 và ö hå `à u f I d ö
-j ln |H|. w = sgrad H H R2 (x, y ) AâV j dx dy =0
m

ô F á e §d äg g C uô 8 `g e äe ¤ ô C ~ hg g uô éf ¿ f

à è `e Q vþ ` hè äg g å ãå `g ¡ï f 5 ` '¿ &à ¡y ¿ ` hå h à 5

F ` fÌ FØ d g df `¿ e `f uå e á ¿ e ¿ äe ¤ à ¿ ô ud ¦d å ée `¾ `e äè mà C f 5f hå g f C



Z

Z



m

Z

w

P

Z

Z=0

P 2 (s)

P

|x| < 1 |y | < 1 |H| <

A

K P 2 (0)

g (s)

H

0



m



K

w = sgrad H

H = xy

K



áà

V



V

V

d


}
= ds d + a(s, x, y )ds dx + b(s, x, y )ds dy + (s, x, y )dx dy . AâV Z s

Ii

` é Ñ
¡

dy ¨

ä ` & ö µ h¿ `à `g C


å
l¤

` `e dà uô `g f 3e $¿ ¿ C éà ¿ `þ

¿

éf

ä¿

Ce
1i

f áè


)

Ð

~¿

f f d ¿ l § q `g k `è e å ud hå `e Ñå ) ô éf è l¤ à ô H© e à e ád & hå ` éf à F hf dà uô X þ Cô F å `¾ äe ¤ e 2 g ¨ï © p è e V 8g å ¾ d ãô e 3 éf `è uô
i ¹

s hà `g `d 8å `e ée `è

f

C ¿ ¿ f `¿ e `¿ uå äd ð î éþ hè f `þ © `e i ¹ ée u f d ýå ãå à ¡ h¿ éà
V

5è à ¿

¡

ì uå d de `è e ¿ df f hå à g f ¨ C

u ` ð X e ö `f sö Cà á ä à

å ¦f g `è p ` e ve ~ö 8g ° Ce e e

¿ è ug `d Tö d å ¾

C 3ì à và äö he g r i ° e hå f d `è e hå ô H© ð $ g 5å ¢ e §d f
m

¡ `¿ ~ ¦Ð e & l ¦ì f l ß å `f à þ `¿ ä à e

ãå äg ãå à

¢ )

3 v
¨y

1©

ã d 'ö ¦f
¡

C ò ô e è `à C äg ©à 1 u `d

à ¤å

è

ÿ

¿ ée `à

è

#ö ö f f
Q©

¨ C ¿ h¿ à ¾ C ô e `e å C¾ e d ) ô `e @å è `f ãå éà `è üå å vf sö Cà ãô 1g `è `e uå ¿ C f ` ¿ f ð æ p 1 à f he ¤ ée äè à ~ hÐ à á þ ð he ¤ ée äè à ` äf dà ô `d ¦ C ¿ df Cô `à e ¿ ¿ v ö Ñ #Ð v ô ¡ ¿ f ¹ uå ¿ C f ` ¿ f ð à ¿ ` e @ `è de ©ö ¨y d C ¤¿ ¡ f ¿ Ñ ãÐ à á p éf áè `þ © )i Iô g äè à hå g hf lg å f u¾ ô e df sô và äö ée è e T g `e å ¾ f éþ äè `à ãå g äf Ôg å ¿ C f i ¹
Z

`þ éf ée F

q g ¿ l e f ð f å ð ¿ òf
0

e u å e ¡ f d ¿ l ¦¿ `e å v¾ è f vd ö v ô à f ä¿ à ¾ C v äö e á h¿ à Ѿ C ~¿ Ð `à ô e ~ Ð `f e ld à f d Öå å ¦e hå å f ¾ C ì e då à f d ¿ l þ d 1 Cà uô ¿ C f Ð f e ð ãå à éà p ô
s

¨

`

1¤

Q þ `e å e `e © äe g e g i ) sô và è f vd ö v ô

ud å ä g î äö ée è ð §g `d
l¤


e å þ ¦¿ y q g de ô R© ð

äè à h `à ée äè Ð `e hå à 0 æ `e

Q© `þ F ô k ãå `g e

éþ v ¤ö hè 8 äà

Õè ¡ `¿ ` e u C ¿ Ð f `è e hå ý f l ß `à hå g äf g à `¿ Cà ô `e © v ô C Ѿ C h¿ g
P 2 (s)

ô e dd ö h¿ &à ì `d ¤ F ¦¿ y ¡ h¿ 2 dà hè ` e u è `f e

éè äè dà ô á hè `g ã z ` ±| S¦ df ô d e e ¦¿ Iy u ¿ s ¤ pï he ¤ e ` e å éþ è ` 8e !ì e äd hg à ¾ `f uå äd éþ hè `à ãå g äf &g hå `g ée è hf g `f ~ ÖÐ q ì 2 äg và sö Ð ¦ å e å äf g å f h¾ g e Ö¿ #y ée #è f hå `g e ¿ © å d ~ö Q© à ` 1© à ¹ `è de ©ö ¨y 5d C áÐ `à e ¿ ¿ ° ö Ñ 8Ð v uô ¿ f $ å C mà 2 5à e ¦¿ #y ée è ¡ f ¿ ~ hÐ à á ée è f hå `g u ` ve Tö `à `e © )i lô å f ¾ ¤ Vå `þ p© hå &à #y ée è e ¿ h¿ Ôå i ` hå hg à h &g e å ¾ ¨ e `¿ hà g `f ~ ¦Ð e vd ö d ô ¤ ãå và ~ö © å ¿ @e è f d d e ¦¿ ¨y F h à C¿ ô ì¤ `e å uð e d d hå và ~ö u© à ` C ` © `e å $e `à e vd ö v ô t¤ ø © `e å f¾ p d å `d Ce ô H© ð ¤ h à ä f f C ä à ` ¤e e `e å e äd à §¿ i f ð If ð éf áè éþ è f hå `g u ` ve è ¡ f ¿ ~ hÐ à á `þ ò uð f d 2 dà uô `d m Tè à ¿ ¡ f ¨ C ä à üe `e uå ¾ e ¤d 2 à f å h¿ à f ` §e e ¿ ¿ C hå g äf g f f ¿ df ýô áà þ `¿ ) ô ä áè þ C ¿ hå g e ¿ ä¿ éà è f ë ` hå g e ¦ he ¤ `e ãå 0 $ô x p `d Ce ô H© ð
g (s) m s
m

à å `¿ á D è

ãå dà ô ` de Ñö ¡ f h¿ và sö `à è äf $g `à å s Ð à ¿ f ä¿ à ¾ f ` e äd g ©d f F ¿ òf uð f d 2 dà uô 5 e ¦¿ #y f éë å ä f he ¤ f F ¿ òf å ý¦ hè de ©ö ¨y ) e äd g 8e `f C ée e $ 3g à à C 3¿ h à ` &e e ãå äg `à ä þ à Iy l ¿ å C á `è e å äè hå g hf g hå `g Ð `e `è ô å `è ä C `¿ $ 2f Ô à `f e
P
2



à f ¿ C h¾ éà è Ñ Ð á äè lg µ 0 ãô à å `f ãå vg sö à e dd ö v ô H¤ ð q g hå à 0 ô `e `è e ¿ ¿ ° ö ~ 3Ð e h¿ g v ô ¤ he pg k `è e å f å h¿ à f ` e äè à hf g d $f ì Ñ !Ð
¡i
g V C

D äe å ¾ C ¿ 5 d ä Ð C ä

¤ e dd ö å s ¤ v å ¡i ¡ df `d e å e © g éþ ¹è

v ô Ȥ ô e ô ` e à f è

ãå äà éà è `f hå g $ à $¿ h¿ dà ô C `e hå 8e

f e ¿ ä¿ à Iy § C pß `
g

ée è `f hå g ` ve Xö Cà ãô và ö à ` e 0 Cô f f ¡ 0 Ñô f ¿ k ¿ ú p¦ 1 dà ô e d `d Ce ô H© ð æ e 1 éþ

ö è à i f äè à hå

`e © )i ¢ô ¦¿ #y ée ¡ï 1 à uå ä¿ à ug f e mf g hf

`d e hå `g e è äe ¤ `¿ ) ô x f e 2 à f h¿ dà ô `

H = H(f2 )

¿ C ä ¤ me î éþ hè à Ñ ð ¡ f `d & f f ée è ¡ f ¿ C f F `e å éà `è e ð ¡ f và ~ö © à ud C «¿ vß à f v äö e ¤ `è `e ãå éf áè þ ¿ 2 à ¡ 0 Ð f g F ` å ¿ F
Z Z

e ©

è






e

e å 4¿ e ¿

hà dà hå à ° e f C f `e ` ãå h à ã d ) ô éà `è i f Ñ Ð sö hå hg `g

ãÐ îà û ãÐ à á `þ d ¿ l C h à ` C h à ` ¿ f ð l y d ¿ l &¿ `d e äd g ä¿ à ¾ e Ö¿ #y ée le ß ¿ ° Ñö Ñ ~ö `e C äö e ô x ö C ` ä¿ à f ` ¿ òf ð g 1 éà hè ä hà í `| ±| u e äd `g e l y ä¿ à ¾ ~¿ dà sô `g ! `e f





{g1 (s) : · · · : gn (s)}

f

Z

= (s, x, y )dx dy
2



äd hg à ¾ `f uå äd dà uô é è äf ug è f ` å ée hè äg g f f d ¿ l f
a(s, x, y )



0

m

b(s, x, y )

$ u u f d ¹å å ` © ve äö

0

(s, x, y ) P 2 (s)

& e h¿ f hå

f ¿ e à `¿ e é `g e u¿

`þ $ô `è ` ä

è ` 8e ì © e å ¾ x e od ø à ` e ì e e

ì d ~¿ Ð è äe g e äà g
¦

Ð

f

Ð


Fz

põ Q þ ¿ ¿ ° ö Ñ Ð å ¿ C f F ¿ «f he ¤ e ¿ ` e å äd à C ` å äe ¤ e C¿ ô e ¤ `à hå hg à Ѿ u d « ° `¿ e `þ © `e å R¾ p d å Ñö h© e `¿ &e `e å ã ¦ `¿ de C 8¿ ãå à ` å ée äè äg g C df sô äg f `e å `g e ¤f e ¿ `g e `¿ ãå äg à `d ` hå g ¦¾ P F

(s, f2 )

ä¿ dà &e Ö e C

©ö #y e á ée hè `à hå éà è C `è e

`þ h à f ä C & hå le

§¿ v îô `þ © C 1¤ à å ¿ f hå dà `f ãå `g e äd `g de ô ß

ãå äà éà è f u ¡ f ` `e i f uô d 3¿ f mà f F¾ s d u ÷

k hè `à å hd à C ¿ d l þ ¿ à ¦ e

ãå g äf g æå æì Cf Cô 4ö d ¾ `e å ¿ ~ Ð

¨ C ¿ î þ `¿ ) å C ` Q© e ¿ @ )i Ñô `d e

h¿ e ` le ß ô h ¿ &f C ¿ `þ q à hå 5g ¢ ¾ ¿ Cà ô e ¿ C I à ¿ îþ â `à C f de îô ãå `g 1¤ à å `g ãå vf sö 5à `¿ `þ þ© mà
øï

ãõ u S¦ e h¿ à d¿ ô e á `þ ¦ Vå `þ © e ¦¿ 0y ô ve ö `e å C¾ á è f é¿ `è e h `g C

H (s, f2 )

dHP H2 G 2 , = 2 df2 H1 G 2 - H 2 G 1

G 2 H1 = 1+ . H2 G 2 HP

e ¿ ¿ # `e ãå `f ãå à e ¿ ` e å äd `à u ë¦ u ¦
(0, 0)



è f ¾ C ô e ° ~ö d å e ¿ C f ¿ `e Ñå ) uô éf è s x¤ `f uå C ¿ þ © `e 5å


(germ0 g , )

(0, 0)

H (s, f2 )
G G
2 1

(s, f2 ) 0

f2 0


¤

`÷ p `d ãå à ° ö ~ DÐ u f ¿ C ¿ i f ¨ å ä¿ à f l r¢ l éþ éè è C ä ¤ vf Xö e ¿ `¿ e f d 8 ì `f ê© è d h¿ `à hå g d f à mf i ~ hÐ à h¾ g Cf l dþ uô d f å C ` © ée è vf äö Fe ~ © he à C¿ e ¿ ä¿ éà è f Cë de uô d f x î þ ä¿ g äf Ð F h© C ` `e äe `g e h Dg ãå `à hå äg mà h Xg f d ¾ `e Då `e © äe `g ¢e e äd äg à ¾ `f å df ô ãô " à C ¾ C ãô «g « e å á¾ å `f ãå éà `è
© å I 0w 2 y ¨© $ ¦ ò' 0ª 0w d¿ 0¢ d x ã 0 0w y ~ ¬v | 2¢ y #¥ ~ S 0® hw c ° w
B (U ) B (U ) UU

e å e f ä¿ à Q© þ ¦ å e ée
°

` e ¡y df he ¤ e è vf äö

`¿ e å 0 uô ô © f » ¿ Ѿ C ä¿ Ð `e Ñ © äe


éf è s f e v¿ äö e là
å å ½
0

2 )y I $ ¨ 1~ | 2 )y I $ ¨ 1~ |

ö

á ±

i¼ w #{ ¨$ ' )| # ~ 1' ¶| w I{ hw Q© dª x 2 iy ¬v ´| 0 hw Q© ¨ª $ )$ v #& ~ 1{ ¡¨ w ã q l~ { 2~ y ¸ã ã w R ¯ ± ~ ¢ )$ ¬v H ¯ 1{ ¡¨ w ã G ~ { 2~ y q{ ~ ° dw ¢ 1| y 0¥ ¦w i~ qv )~ #® ~ 2 y Px ' 2 1| y d© x p| $ ~ ¢ 0w Ù å Pz # P~ #& ~ 2' |

$ ~ § ~ d¢ )µ qv ~ rw $ ¦ ~ r P{ ¨x P' |

¢ ¡y #¥ ~ @¨ z #& 1~ | ~ I¨ dw ¢ 1| y 0¥ hw 0 0® iw dv v ¹² I¨ #w ¨~ 1' | )~ ) G ~ d 2¢ y $ þ

I¨ 2 | )~ h 2 2| iy 1 #¢ ~ @¨ 0z ) H y I{ q¨ iy hz ¡y ¥¥ ¶' 0z h 0 y 1v ¨$ )' Pw ' P¢ ² w { I )y 2® y 2 | w
v v

Pz ' )~ ~ d )µ v w #{ $ y z ¸{ y 0x )w · 1 y 0 0 w y 0z )| 0$ # ¨~ ¦¨ iy H )y y P'
A

c

`

3 v ö ä¿ ` `
¨

hµ 2 | x

R

$f e

ãå `à á `à

RÆ u © e ` ãå äg e d




å C ¿

Õ Ä Å Ä 3B #Ä Ö !Á À

dà ãô l vþ 1 à v îô

0 Ñô ¤¿ f hå `g e `¿ hå hg à `d #e ä¿ 8à ì ` ée `è he 8à $ì ì vf ö å ä¿ éà è ée !è ¡ f h¿ &à ¨y C ` © `e å e Ð C ` ù x ö `f ãå äà éà è f f d `¾ e Då `e © he `g pe e hd äg à ¾ f å df ô ãô f hå `g e `¿ hå hg à `d «e « k éè è df Xö éþ ë¦ e è ãå à ä Ð `d ve 4g å

`g e u äö `e © `e ä¿ à h `à `þ ë© k

à f h g hå g äè à

¿ éf `è äe

ä¾ éà è ~ Ð è ä¿ à de ãô g f ý¾ `à 3å ¨ F

&à h `à hå áè ä là

¡y d å á Hg ` è þ `¿ 0 ô `e pß ¨ ~}

äè g v ö ~ uÐ | ãô

¨ ~} | `à å e © C D p d 2g hÒ lk éà C ¾ C sô g `f e ¹ g xÒ lk ¨ C ¾ à l É¢ á Éî ¸¢ `þ å Ñå ) Ñô ä

u Xd 2 äg þ å Ñå C ãô g 0 ô ãÐ à þ

và sö @Ð ) Ñô ä üö ~} ¿ F
Ñ

C hÐ à | e

¿ ` ` { `f df Ñô
i

© °e õ ä ¤ C ã r df Ñô n äè C ¿ ~ Ð è ` 8e hì

@

d )h Ò Â

A@

e h Ý f  Â

6

{u1 0, u2 0} R2 .

`è e `e `e áà `þ

C äd äg hå g ¿ © he `g f

¿ `à de à df C e l e hd äg v !ö

à f ä¿ ¾ `f å ` ãå `g e od à

sô g `e ä dà ô ãô Ôß f à ¾ f å df à ¹å
x
0

ô uô e d ô ãô v ô

`f $f `¿ © ve ~ö `¾ e å ý `è äe he
I¤

"w å h¿ H µ 0 ô uô `f `e © äe g Xe Ð C ` © e q g `e ãå `¿
¤

éà `è hå g 2 à e `e

ée `è e å è ¡ f w þ `¿ ãå äg à r i 0 ô hå g ~þ Ð

F &à ¨y e å d e @ C © e
0

i f ä¿ dà `e å e Ii ` ãå `g h éà è s à þ ¿ f ¡ï h `e ãå ø

ä e ' Ð © e g ` äe g he ¤ ¾ e hå 4 e `¿ 0 ô C ä ¨¤ C

Ð `f C å e `þ ãå à Ð f k éè è

`è ée è d å ô e ` e å ø ~ g h `à ä vf ö P C
U

g ¿ ¿ `¿

Æ s bÆ T lÛ g Ì Ü B Ì Y 8¿ ì ` ée è äe 8à 8ì ì vf ö và &ö #y `e å e à u¾ ãô g è u d `¾ `e å ãå `g 5 Ôß f d ¾ `e å C ` 'å à f ¡ 0 ~ö `e î `þ e f d 8 ì îf û v ô I¤
B (U ) x
0

ée

©

sö `à è ~e

µ} f Ö ¿ hè à `à ` $e Dg
)

Dö

ä g æþ
¹©

g P C ` he hì ô e f d ~ö

!¿ `¿ e f 4å f `d k äè à f C ¿ F ` `à d

B (U ) B (U )

lz { )| 2w |

Q þ ¿ d 8 e df äe `à ¢å $ç l e Cf ô ô u¤ `e

¿ `d e û Ñô ` 8e e Tå vþ e 8e äì

~ Ð ì îf è ¨ C ` äö `e © è ` ãå â

x

°

x

0

y

0

y

: U

â ä g g ì


0z h 0 2 iy uv ¨$ )' Pw ' P¢ ² P{ Px P' Ê |

w

dw 0¢ # i~ þ $ ~ ¢

$ ~ ~ d¢ )µ qv ~ » w P$ ~ y 0z 2 )| ¨ 0$ ¨~ ¨ iy ¬ )y ù

w

I¨ dw ¢ 1| y 0¥ hw 0 0® iw dv v p² I¨ 2 | )~ h 1| iy 1 #¢ ~ ¤' z }{ y 2 )| 2w | Pz ' )~ ~ d )µ v w #{ $ Ê

0z h 0 y 1v ¨$ )' Pw ' P¢ ² )~ ) G ~ d 2¢ y d$ þ p ~ ¢ )$ ¬v y z }{ y )x )w · 1 y 0 0 ùw

Pz # P~ #& ~ 2' Ì| lw I{ I 2 )y ® y 2 | y 0z d iµ 1v 0$ 0w 2¿ )y ® 1| )y ò y '
(y0 ) =

P~ 0& )w v '


Q ¨ª $ 0$ ¨® ' 2~ »| P~ 0& )w v 0w # ¶~ iw ¬v 1| y å

lw @{ 0z h 0 y 1v ¨$ )' Pw ' P¢ S² G | Q )ª 1v )' $
y
0

w

ly r{ #{ $ · 0$ w u # )~ 0 # )~ 0w ¿ d$ )¢ 1 x ã w ë& S¢ @¨ 0z d iµ ¬v y ¨ ¸$ | d$ u¢ P¨ ¨x P' m

0w 0w d¿ 0¢ d x ã y 0z # ~ ¨' ¡¨ #w i~ ®

c

y I¢ ¥ ~ S é' I 0w 2 y © d$ ¦ r' 0w 0w d¿ 0¢ d x ã ¬v ¨y iy ®

c

¬v 2y )| w »¥ d$ 0¢ # i~ þ p G | 2 )y ¡ 2v i' ê' # z # P~ & ¨~ 1' §| w { I )y 2® y 2 | r P{ ¨x P' " |

dw I¢ #¥ ~ p # P~ #& 1~ | u~ # ~ 2¢ 2| ¡y 0¥ hw 0 0® )w dv v ² hw 2 | )~ h 1| iy 1 #¢ ~

z }{ y 2 )| 2w è| # ~ ' )~ # ~ d iµ v w #{ $ § # ~ }{ y )x 0w R 2 y 0 0 Ìw )~ )| 0$ # ¨~ ¦¨ )y ¬ )y

)~ d )µ uv 0$ 0w ¿ )y 2® 1| )y { ~ 0 0$ 0w ¨$ )' 0 w @{ 0z ) G ~ d 2¢ y $ þ I{ dw ¢ )$ ¬v @{ 0z i Gv ð~ R pÆ I3 Ó p »f éf è f vd ö v ô ̤ q g å i ô s f Ѿ ° Ñö Ñ !Ð à f hd äg à ¾ äf Ð 8f ¹ì áà þ `¿ ) ô ä à ¤ hà `g » `f å `¾ e V äe ¤ `e #å éà `è he 1¤ mà © e äè à C ¾ C ãô g q `g hå à 0 ô c éþ hè `à ãå g äf Dg e `¿ ) ô f 1 à h äg à ¿ C ¾ C ãô kg ¨ ~} | e ä¿ à h¾ éà
u1
(0,0)

Æ éf e `è å

s

bÆ T áè þ îd ¤e de

lÛ g ¿ ) ô C f ) ¡ f ä¿ à îô `þ r© d

à d `¾ e å `e © he `g e e äd äg à ¾ `f å df ô ãô § ¢

# )~ d )µ uv 0$ 0w 2¿ )y ® 1| )y ò q

xÒ lk CÆ vÓ Ó Æ f hå `g e ¿ å ä¿ Cà ô


dà uô é f d ô sô

e `¿ ãå

e vd Ñö v ô ÿ¤ e å f ` e ` äe x¤ sô ág à C ¾ C ãô ¤g `è `e ãå r â s z ó| ¦ù `e ¿ f `¿ `e
u
1 2 = p2 + q1 , u 1 2

éþ äè &g hè à ` uå $¾ Ñå ) ô

ãå äà äe à á è éf è

éà è mf v ö ¤ fe í p e vd ö d ÿå á hè Fg å C ¿ vf ö ` `f hå éà è å e ¦ î s ¤ f d `¾ e oå e © äe `g
u1 , u
2

ô H¤ ð `e e 4d þ ¿ h¿ e e
1

q `g u f äd äg à éà äè à h à äd hg à ¾

g hå à F á äþ Ð C ¿ p 0 ô `f å hd 2 à df ô ãå à ¾ { `f uå ¦ k ée ¿

c

`g ãå ãå `g f C
g¦ IV

0 dw ¢ ¨ i$ ¬v x Q

å

&à

u f vd Ñö v ô ¤ 0 Cô 5ö å ¿ f F ¿ Öf ã 5 äè Ð 8f ãå g C »¾ þi ¡i ¿ ä¿ à å `¿ 5 `e üø Ii de ô I¤ V 5 å vf äö `e ã à h à Ô d e Ö¿ y ô ve ö e å ¾ `e ¢å ` ãå äg


Q þ ì ` hå ¾ `e 8å mà I ã

¿ `e ée `è g C ©¾ ¨ F ` @g e

å hd à C ` he éà `è äe t¤ ¡ ¡ ¿ ä¿ Ce ô ¤ á e D hå à C

'å ø à å Ѿ C

p å u `¿ ¾ hå ~¿ Ð e

ÿd vå µ ` v hg à e éþ hè

f äd ô I¤ ~å à `

þ hg à å he `à

d¿ ô e ¾ `f å f ä¿ éà è ¹å à

h¿ `è 8è `f `

à C ô e `e ¤ q g ä å vf äö `e ä¿ à ¨y C ¹ `à `e

¾ å ¥¤ $ ¡ f de sô `g

è hf 'g î þ ¿ l Hì `f hå g e á äè `à ¡y d ¦å i d¿ ô e ã à h à l v ` © e å $e h là ß Æ

s bÆ T F `f f ä¿ mà ` `e å e vd ö v ãå äg à g äf æg îô þ 0© á `þ 3 ô I¤ ü äd à `¾ e $å Ó Æ s bÆ s

hÌ xÏ Î fÌ FØ Ì äd " e ¿ ` ¨ C ` Ö ¡ hd à ¿ 0 Cô ö ô R¤ ð q d e î þ ¿ ) ô C ~} | å e © ¡ f ` ãô g æ C f ä j¤ `f å Î xÛ
T
C
2

`à de ¿ å hÌ xÏ

2 p2 + q 2 , 2

(y0 )

°

{ I 0w y 2v ' $ ¨® 0$ )~ ®

y

0

T r (x0 )

(u1 , u2 )

T r (x0 )

°

°

x

0

x

0

1 , (y0 )

T r (x0 ) = ((y0 ), sign 1 (y0 ), sign 2 (y0 )),

sign 1 (y0 ) = sign 2 (y0 ),

C

= 0,

x

0

u2

(0,0)

pi , q

i (y0 )

sign 2 (y0 ) = sign 1 (y0 ).

= 0.

i

T r (x0 )

T r (x0 )

å

F f f d C ~¿ 4Ð éf è ãå äg éà è å ¡ h¿ éà `è e hå `g e ¦¿ #y ée ~è Ð e & ¹ ¡ï df mô 2 g v ô ` á `þ å f ¾ e ¿ h¿ éà è f °ë e ¿ `¾ e å äè hà `g ` äe $g à ¿ C ¿ F ` e df Ñô è ` 8e äì g v îô `þ © k hè à ` he `à ¦å ãå ¸ ~} | à å `e © C â pÆ IA Ó Æ s bÆ T hÌ xÏ Î xÛ IV lÌ ¡g Û ¸
sign 1 (y0 ) sign 2 (y0 )

°

¢ ¡y #¥ ~ @¨ z #& 1~ | ~

V

dw 0¢ # i~ â y ¢ #¥ ~ Py

Ì Ü B Ì Y 2 à ä hg à ¿ y Ce ô e 8 y

df sô äg à Í Ì Ü D 4 e å äd à ` å f d ¿ l ì ¿ ¿
¸

H = H (u1 , u2 )

=



à 5 2 à « f e `e ¿ äe

0 ô ß à ä hg â hå d ¾ C u ~ lÌ ¡g Û

g

å


`

©

e ¿

C ¿ þ ¿ f ¾ df sô `à ¢ `e ä à ¢ f ä¿ à h¿ éà ~è Ð f äe ¤ e ¿ ä¿ éà hè à ` ` e v¿ äö «e ve f d e ` ©å `è e hå le ß p 1 pà Ii ¿ å C ` © e C 4¿ f ä¿ mà ¨ C ` 4 f f d ¿ l `e Tå t ` Ce uô d f î þ h¿ g ~f Ð ` © vd ö d ` e m à f ä¿ à ä¿ éà ~è uÐ 'f hå à C Ѿ C ~¿ Ð

` e d ö lì ¦e u

C ä¿ ©Ð i hå g à f ä¿ à ä¿ dd ö d `

vd e ¿ éà e Ö

ö `¾ e ~è uÐ &f ä¿

e # ¤å @g hå éà äè

f ä¿ å à ¾ #g ¨

à h¿ éà F f ~¿ Ð ue d æå

~è Ð 3f å k äè i sö à d u æd

f Ii `¿ å ` hg g C « e ¦¿ y ä à `¾ ¢e i `e h mg äè à ` ' `e ©å
`


`
¦ ¦



ó| u z



#

ó| ` ±| u z
¦
R
i

ø þ å C ¿ vf F hå g ¿ dþ ô f ä¿

å ö ` ` hå à ä

C ¿ vf e e g e 8à 8ì

ö ` Xd î 4 f ì vf

e e ud V á þ ¿ ä¿ à ` f h¿ dà ô ö ø

è ¡ f h¿ à ¨ ` å i C h¾ `à ` å e `þ hå hg `à ãå äg 1à kâ e å hå äg dà ©ö #y `e å «e `è e `¿ uå ° ö ¿ ãå Ög f l ß $f Qw à ` 2© äà )¤ ô m ¦ ` f
S dx f , dx g e(3)
i

põ å I¾ e `e å

d Öå C ¿ vf ö å ¿ h¿ `à ` å

uå vf ` `e uå f ãå `g éè `è

ö 0 ô Q¤ e d ¦ ä¾ g e hå à ` å e d hå

þ `d © C ¦¿ y ée è `e he g à à ¾ ~¿ Ð
x

e hd ¦g hå v è s ¡¤ `f v ö g ¿ þ 1© äà 0¤ ô f d ¾ `e 8å f f d ¿ l ì `e © e và ö ¤
x e(3) [a, b]


õ f f d u¿ l 3ì u f vd ö v ô x¤ î þ ¿ ) ô `e ä Ð `f e 4 v ö `¿ äe hg g F 5 ß uð $f xw `d © e hd #g C ä¿ Cà ãô và ö à ` e hè à 3¿ 8 f F ` ãå g ¿ C hå `g e æ F ve ö df uô d ä !à äe ¤ e ¿ ä éà uè s à ` å f ä¿ à ¡y `f v §ö þ u u ä `e hå g ¿ ` hå g e « `à e ¿ 1 à ¿ Cf ô `à e ¿ ä éà è f hå hg à ï è f ` å ée hè äg g h ê f w à ` 1© hà )¤ ô «d `à e ¿ ä¿ `à hå g e v ö
d  x Ñ I 0 e d P v



d

Æ

d Ñ d

æÓ

d Ñ ! iÂ

@Ñ
¨

d )h Ò Â

ú

îè

à `

u ÿ} u z à f ¿ ä¾ éà è ~ $Ð &à à ` `e å `è e ¿ h éà uè v 4ö 8f à h 8à î éþ hè `à f ä 1¤ à å ¿ f ¡ f h¿ à ¨ C f ¡ d ¿ 8 ì F ` ãå g `e h g áà `è v p e äà lè &à ô d æ ¿

ä à f à
¹

C và
©

h¿ g C

uô uå

¡y

f e
¤

¤

4f

¦Ð

y d äì #g þ ä¿ ã d d à ¤å #y de à e C 1¤ å éà &è ¿ dà

à §¿ `f äe ¤ e u mf ï he ¤ ve e Tå ¥t éf áè þ f 5 g t¦ C à f ä¿ à


hå hg &à ¡y uô äf lg à C ¾ ¿ ¾ f hå è hf äg hà `g ¤e äe ) ô ¶© `¾ `e å ãå `g ve §ö ö ä `à «å ¿ ¾ f ` ãå éà u C dà éà äè à hå g hf ¿ ¿ ` g d 8f üì mg & `e uå p ` á ~þ Ð `d me ä dà v u¾ ãô pg áà F á hþ
¡y

`e ä F ¾ ô `f v

# $å v éà éè e ¿ äe ¤ e ô v ÷t e äf q g hå à êt f ö à mf

i

C ãô g ¤ äe I¤ é¿ éè è äf hg pg ¡y ¿ C äx © éþ hè `à g f ` $e

e hå ¹ ö à f f f hå `g Xe f `e å e h ¤ hw ¡y ¿ C ä f ä l éþ äè
5P

e h¿ &à éà éè hå hg äd à k ¤ 1¤ à å à hå g

å f hå éà è d bd äf `g ¤e &à dþ uô hf ¿ ä¿ dà ô ` hè §g f hf f f ¡ ä e f äd hg à ¾
P
ë

¾ á è ¡y `f v !ö è hf ug ¡y # å C `¿ uå `à ãå g äf w hf ) ¿ f ø hf @g à
3Ò

~ Ð &à «¿ #g `f ä à ¿ d `¾ äf hg
Y2

¹¦ äg g k y è f e ¿ h¿ dà ô e hd s e à h¿ h v mf éf è e oå e g v uô «d d ¸

` h ä¿ ä¿ à v
I

å á e ¿ hg à ä ãô `à lå å ä¿ à e ¿ ô e h f ä¿ à å äd à `à uå ¿ è ée uô h à ö q g

dÒ éà è å ¿ f ä¿ © `à ` ãå C f `f v ` å ¡ éf áè d ~ å i `
A

p þ h¿ d mö ¦¿ þ h¿ à ¾ &à ¡y f v ö äe ¿ ä¿ dà äg ¤d ãå µ d `¾ `e ¤ö å î¾ p äg à ¾ äf ¾ ~¿ þ v ô ÿ¤ DÐ d ãô `à å k äè
¤ e à Ѿ e e f äd f ä¿ à `¿ Hg f `

¾ C e `d e ô e æ¿ h à ~ö e hå `g Ce ô u f éf è f Hå äe äg g C

Ñ

I P

iÇ I )Ñ SÒ

!Ü Â

¸Û 32 v

iÇ P Ý 5Ç

!

ù

P
vÛ



Ò Ñ Ñ

Ò ¸ § Ü P I P ! Â d I e

Ç d IÑ Pe d Ñ

Ç d e h  IÝ E

S1 , S2 , S3 , R 1 , R 2 , R

I

F

þ
0

Ñô ê ¾ F Ö¿ C ß à ä¿ sô u e
¤

d v u¾ ä

ô

e

éf ö

à hå `e `g g

ô e å e # u e `¿ f ¿ ¡ Cf d ~ uÐ f hf ¤ Ö¿ y `f `¿ hå g C ` e ¢å ï 0 ô `e r i ° ¤ de `ö h `à « `à v

å Ñå ) f hd äg à ãô dà ô ô hå à ãô `à å he à ä¿ p äö e ä à I hå è C h© e ¿ ¾ C ` äe ` å he ô ù¤ e

¤

ä hÐ xà äf hÐ và äö 8 á äþ Ð ve ö ä `¿ ` ¤g v C Ѿ C éà è å ãå ` è de ãô à hå n â


Ò ¸ 0

e(3)

{i, j, k } = {1, 2, 3} =

f

R

3

g

{Si , Sj } = ij k Sk ,

e(3)

3

e(3)

1 2



(i - j ) (j - k ) (k - i)

e q `g hå à F á ~þ Ð ¿ ±| ` ±| u z

e `d © e hd g äe g

f ä¿ à `¿ C k äè à hå g hf §g ¡i f ä¿ dà sô và sö à ` e `à ` ãå g ¿ C hå `g e C ¿ d$ ¬ iy v lw I{ I 0w 2 )y P ' $ i õ

Si = {Si , H },

{f , g } (x) = x ([dx f , dx g ]) ,

{Ri , Sj } = ij k Rk ,

e(3)

Ri = {Ri , H }, f




và ö

¤

g

e(3)

e(3) dx f



{Ri , Rj } = 0, dx g

¤

he äà
¤

C

`d e ` å `à å Ð e ve ö v ö å

¡y #

F


à `f
d



`à à mà

P

l dþ
¨

he

¤

q g hå à ` và hè äg g e f þ å dþ ¡y #
3 3

f ` å k äè äg g C C p d 5å ö ¤ v ô C ¿ hå hg `à ~ 5Ð ø äg g k !è à uô hf ¦g Cà ô e # o i f
+
2 S2 2A

) `e uå F¾ f ¡ ä¿ `à å ` å h¿ à h¿ &à ¡y `f

v !ö


à ~d ãÐ à ` uå f ä¾ g e hå äg éà è î äe ¤ e ¿ ä¿ hå à ` ãå `g `è e ¿ Û ÜW Î Û Ü
©

¡a

#Û

ÂS
W

f d ¿ `è `e ãå ¿ C h ¤ IÐ v e å b¾ è s ð¤ xÛ !V @6 Ø



e ¿

i
T S
2

`à
1

Ü

WU

@6



¨

P ¡

¡ f h¿ ä¿ hà à hå dà g f `¿ hÌ xØ ä à df ô sô äg g ¿ ¨ C

Då å v sô 0 h¿ à ¾
¡©

s å å f h¾ mg e ¦¿ #y ée e 8¿ ì ée `è `e å hd dà uô é è hf g `¿ äe hg g F 5 ¤ß `d © e hd #g `e uå
c=1

ó| ó| u z è p `f ée f¾ e ¿

´¦ `d ãå `g e m¿ è ~ g hå hg `à

© e hd Ög © 'e u C ä¿ và ~ 5Ð `µ

å f ¿ F f &ö #y e f h¿ dà

C u ~ ¾ f ¿ á `þ ô

äe 3g C ä ¤ h à ¿ ãå vg sö

õ C üe à à

` e å là äf Ð C he

C ¿ e dd ` h¿ } à h ` © e äe ¤ e e ¿ h¿ à
¤

éþ hè `à éà è Ñ $à hì 4g é¿ dè ~ö ¿ vf ö

hå g äf lg Ð Ii ¿ pd i f e 5 `e ãå `à äe g f

æe põ ¿ ¤f ô u¤ ¿ C Û v &ö à ¿ h¿ `à de C ` e d

ä `à å C Ö ¿ `e å `f

C ä ¤ ô C h 1¤ 8 h he ¤ ve éf è s ´¤ W xÛ !V è f ` và ö ©g `è e `¿ f ¿ C ` ue q hg

ãÐ îà û `à uå ¿ f hg g k è ä `à å gø Ø ée hè äg g h ê e Ö¿ #y ée Cè p ÿd å ãô `à å ~ g `d e d ä ¤ Ñe s ±| ` ó| z ¦ ô äà à
r i 0
·

`e uå °¾ å å f h¾ g hè và ~ö © f hå `g Q þ `¿ ) sô `à å f d¿ ô e ` de ¹ö ¡ `f ` Ce ãô `g ¤ u f hå f l hß C ¾ C sô g å F ` he äg à å ä¿ à r @ äe ¤ e ¿ ä¿ dà ô ä à d Ñ VÐ f f ¡ ä à ¿ f éf è å h¿ éà `è ée è éf áè f ä¿ à ¡y `f v »ö hå `à ` hå g hå `à å `e he »g k hè `à ãå g äf Dg ãå þ õ
2 S1 2A 2 S2 2B 2 S3 2C

i

à h `à å þ `¿ v `è e

à ¾ f ¿ $e ¿ df æô Ñö © g v ãô à å ö e Ñå ) uô

à äf Ð C ` © e äe ¤ e é¿ dè ~ö e & `à e ¿ h éà è s à á `þ ãå à ¾
â R, R= H S â R.

X è f ` å ée hè äg g h ê ä à h à e î â C ¿ và ö ¤

õ $ `ì äe ¤ ` lf ¤y ¡ f ä¿ à ¿ C § î þ ¿ h¿ à © e © 8e &à ¡y d 3å e Ö¿ #y ée 5è ` ±| u z Ȧ ¡ f ä¿ à `¿ C b ¡ f f d ¿ l 3ì q `g hå à 0 ô p `è e ¿ f `¿ `e Ñå ) ô éf è s l¤ kà î ã ±| ` ±| u z ¦ ée hè `à ãå g äf ¤g `e ` e ¿ `e Ñå ) uô éf è s ´¤ q `g ãå à 0 ô ` ±| u z 5¦ C ¤¿ ¡ f d u¿ l ¤ì ¨ vd ö v ô ´¤

S = (S1 , S2 , S3 ) R = (R1 , R2 , R3 ) e(3)


và h¿ à Ѿ e C
¨

ö `f © C ~¿ Ð `d © e `e å e

Ö å ~ g f e © e 0 ~ö äd ©g äe g äd à ¿ ø


e(3)

·

f äd hg à ¾ `f uå f ` de sô kg Öw ` ó| z ¦ `è e ¿ C u dd ö v ô ¤ ¨ v ô C f ¡ ä¿ `à å C ¾ C ãô g he ¤ e ve ö ä `à !å äe `è de ô
3

f `¿ ô ud e î äd äg ¤ e ä 1¤ à

e 0 è s ¤ Ög k á ¨ C ` e å à I¤ ö q g å i à äf v uô Xd f ¿ f éà éè è äf hg þ `¿ ) sô `à

å u hf ¾ ¾ å ¿

uô éf `þ v hg g ` ãå f áè

hè e äd F ä¿ äà `g å f

hå g äf ¤g H¿ ø f ` å k © `e © «e f hå hg &à d¿ ô e `

de §ö f

å äè và Cà ãå f `¿

©e và ~ö ö u¤ uô ä `à ` `e Ñå

æ¿ l ÿ© le u © ¡y à d Ñ ãô å e äe ¤g ô éf ýg
)

H

S

3

4 2 2 2 M0 = {f1 = R1 + R2 + R3 = c, f2 = S1 R1 + S2 R2 + S3 R3 = 0},

R6 (S1 , S2 , S3 , R1 , R2 , R3 )

S=

K=S

H S

[-1, 1]

HL =

H

3

E

âS+

=

2 2 2 HL = S1 + S2 + S3 + V (R3 ).

2 S1 2A

U (R) = V (R3 )

2 2 2 HE = S 1 + S 2 + S 3 .

+

H R

U (R) = aR

+

2 S3 2C

A=B

+

+ aR

V (x)

ABC

H

M

4 0

K=S

`ù Ñù | p 2 `à hå g e Ö¿ y `d e @d î `þ ` de ô sö äà !g à `f ` ãå `g å h g å e f éþ äè à hå g hf g hå `g `e `e å å `e r© hå `à u `f å ¿ C s s¤ f hå `g de ô ud u á `þ ä¿ `à f ä¿ hà à ¿ df oô äè à ¦¿ 2y à ð e ô C h 1¤ `à uå ¿ f Q þ ¿ ) ãô à å f d¿ ô e ` ve ¢ö éà î ß ì
w

å e ü

§

à å ø

K=


áè è ~e áè á `è ö h¿

´¤ e `¿ e

g hå ¿

e f ô


u ¿ `f

C ä
¨¤

å è ä è à Ô å

v å C î e d

f C h © áè `f hd `à ` h ä à éè äf k sö ` ð `

þ ¿ ¾ Ð C þ `¿ äe Ð C ãå `à 1¤ äà g 8 g f dà ô éþ äè à F h¿ éà `è

¿ oe å © e hg à k Ñ XÐ ãå vg f e ï

þ áè ¿ C éè k ` e

@ `e © he å v ö ¿ áè þ `þ ãå `g e 3f 8f g C ©¿ vf ö ¨ h ¤ C vf uö y ¿ C hè g u dg ô îe »û
¤ C © äg ¿ hf

d &ö 2y éà g î þ ¿ ä¿ `à hå hg h¿ à `¾ e ãå g v ô © ¿ `¿ e f à C ¾ C sô m ðw ¨ C `f e © e éþ à f ` he
2

è u h¿ `à de à 2 à è e d g äè ¾ C sô éè è `à §å g

uf å äf Cà sô äg g C I þ f r i C hå » e ¿ h¿ l ì `f © å mà © e mg 0 $ô ~x ä ¤ C df »ö f `f ` ãå
A

| uô äd @g Tf µ p f ` `e å e $¿ ì ` ée `è äe sö dà sô g q éà è of 4ø î ¿ vf ö ` `e $ á éè è C áà þ ¿ ¿ e `g hå à ` å `e he
H, K
3

Ñù | à ¡ f d¿ ô 8à g hå à `þ e 5d ä ¤ å f g

~f Ð C © `e ` e å e d¿ ô e F v ö 8ì ì vf ö ` á äþ g f f ¤d q Fg v ô ¾ 8¿ vf ö î þ ¿ vf ö ` `e e d l ì f ä¿ à de
¡

¤ e é¿ e ¤ 2 å 2 Ð f hå `g e à mf ¡ ) å &e df `¿ e f üd v © þ ãô g ` ä

2 `g uô f C q e y ` à ` e `à ãô g C 8 ö d 8 ì ãô 5å ¤ ve ¿ Ð d e

¤e ¤ u¿ ä¿ äö Fe ° à Ñ dà ô

de D¿ Ö¿ ä Ce g äe u ô `f

u¾ ô e äg à mf 5 î g ¿ `à v Öö v ô `f ò© î ö h `à ` p ` ±| $f §w å
3

#Õ ÃÔ #Ä ÃÔ Ä l #Ä Ö !Á À
=1

f

äe g äd hg ` `¿ ö

` hå äe à ¿ à ¾ `f ãå äg à e

ä¿ à f
t

h¿ ä¾ éà äe Ð ` `à ä¿ ¾ ¤ h ` `è he

¨ & `e © ' f ~¿ hå à à 1 à 8ì ì df
0

¤

d ô u äd dà ô ée @è ¨ C e hd äg à ¾ `f hå hà ¤ ä à u # ãå `g e u¿ à f Vå `þ © å ã ¤ ée #è f d ©ö y éà è þ 8¿ ì î `þ © äe g äe à ¿ s äà
H=h
0

à ä¿ ä à äf ée `g

Dè f e »Ð ä¿ $à C ¿

g hå `à å `e he ¤g C ¿ ~ Ð C ¿ 0 ô uô `f $f ìw i ãå äà ¤ h à ä¿ ~e Ð ©f î þ þ© ã g ¡ f § î þ ¿ ¾ df ãô Ð C 3 0 Cô î `þ © )i ô f C ä Cà uô v
=1 g

3 Tz g f ¹ h¿ `à f `e © äe )i ô ¡ f ä¿ `à de sô g Ѿ C he ¤ `e þ© 0i »ô ö © C ä ¨¤ m éw äè ¡ ~f Ð C hf g 0 ô

±| ` ±| u de ãô g C ¿ ä¿ Ð y ¿ f äè à hå g

8 I 8g C ©ö `þ h dà Cô «ö `à ãå g äf ` © `e he uô `f

C ä Cà uô v Èt ° Ñö Ñ Ð y éà è þ 8¿ ì è äe 8à 8ì ô uô f u u 5ô e `e å e d v¿ $¿ ì ` æg 0 ô ô `f xw f e é¿ vè äö e f äd äg à ¾ »g e $f
w

df äö Ôe f ä¿


f Ѿ ` ée äe ¤ l þ $f u `à Ce ãô

f `g u¿ ` ä à vf e ¨ ¿ f ée äe 8ì ì vf ä¿ Ce dÒ p `e ãå h à ä¿ fë

hå ì ád `è `à `f ¿ h¿

e ö &g 8à Iô äà ¤ éà è

qÿ ÿ p s 3v Ø 3 x ¤ ÿ uÇ p # qp ¥i sp ì



` e Ö å ¤ `à 2© à `g oe f m¿


Ñ÷ R| v ÷ á äè vg p h¿ `à ve &ö ¨y d f h¿ `à de ãô mg î `þ h dà ô uô `f Cf Ôô ` e `f îå à f ä¿ dà sô và sö à ` me q l dþ ö m¦ ä


ô

hå hg g hå Ñô `à Ce

`à ~ uÐ lf `g à 0 ô ¹ hd dà ô ée æè ãô §g î

e f ä `þ © he

C `à ¤¿ äe ve u `¿ $e

i

ã

¿ f
¤

dx ¢ y qv l~ {

# 0$ 2 y 2¥ ly {

p| ¿ pf UC ä¿ äe Ð f ` h `à `g e `¿ f


g

q

"¤

äe ¢å ä¿ g d å à C ãå ÛC C Q© hg à `f ãå e f `à e ãå à ¾ df


üå

)

5å ¢ á ¨¤ & "ï áè &d `d e f ú¦ `g hå ¾ ä¿ Ð è © è C 3¿ uÐ f hå hg à ~e `e 8å ée ¿ C

hè `à Ð f `þ ¡ f ` {f d u¿ e ¿ `¿ å g äe g à ¿ e ¢ Xf m vf ä mg
0

¡i f e e äd `è e Ce ãô 2 äg và © ¡y ¿

d ¿ l {ì f ¨ k è ` äg à ¾ `f ãå äà hå le áß 8g äe ¤ e © äe sö 5Ð §| þ C h ¤ ÿw

!f 8e ì ¤ h à hå `g `g 4e v ô üf C

e ¿ f hå f h dà

uô

v §t

éà äè à Ii ¿ ` `e e ¿ ¿ ` e ¢ ¨ hå hg à `d F å äf g å äè à hå g

`à hd ` äd à e hf g

e þ ¾ h¿ f f f

C äà ` ~ô d

¤ äe ¢g 1 u| f h à ä¿ à e ¡¢ u 8f ì äf

e `¿ ` de á hè ¦g h¿ `à de sô g ~e Ð f `¿ ) ô `d u ` §| éþ hg g v uô &d

sô `g ve i$ v è `e `g ¤ Ce áô à äè à e ¿


ä dà ô uô á µ `f hå ©¿ hå `à ã äe `à «å `è ` e å äd

`f g äg he à

e u¿ à h ¤ de ` å

df ¢ô i F h `à e ¢ `à å ¿ g ô 3 q `g à ä Ð
¡

e ` f ¿ f ä¿

$ è e f ¾ ä à Ð e Tå

å e hå `è e hå Ð @f 2 `à ãå `g å ¿ C k è e äd hg à h à å F ` ~e f d `¾

`f h à å ¾ á `g `e ä¿ à

¦¿ hå `è ©ö Py ãå äg à F ¿ ì ¿ f ãå äà ¤ `e uå ô e h g f

h > h0 }

r i

d

RP

V

A

r = 1/2

RP

äe

¦è `g

p `þ
i

d

F

#

`e å C ¿ 5Ð d e
¦

à f äà `e f ä¿

©

g e äà à ~e à å ô à `e ¿ `¿ @ »f v¿ à
2 Q

g

þ ¦¿ må f u z ¿

© `e å äf ¤ è F äd hg à ¾ mà Ii he 'g ãå à å e l #y ée ~è d éf è C g f f F

C¾ p ãå Tg hå f hå h hg à 0 å Ð `e ¿ df C ¿ Df

@å l þ ¿ ¡¤ ä ä à e Ð Ôö ä ¿ ©

è C ` `e !å ` hå g h¿ l¿ hå vg ö h¾ à C u¾ ã þ d¿ ô

e äö ãô u| e

` e

=1

=

{H =

Ѿ C ¿ ö à ¿ © äe g äe Ð f

hå g äf $g ä là ß ä¿ à P C ve ¨y ` ` e y f f äö Fe he &ö ä à ¦¿ å `e hå ~ © $ô x


F Ñù |
H= H=
i,j =1 n i,j =1

w #{ 0$ 0$ 0w # ~ d )µ v lw u{ $ ð È| z }{ y 2 )| w Ì| ¨z ' )~ # ~ d iµ v w #{ $

y 0z d iµ 1v $ 1 hx 0$ ¤

¨y ¨'

0$

I{ )w þ #



¡

e Tå ft µ f ~f Ð C ¿ 1 à Q e `¿ ) ô C å s C hå éà è C hå và ~ö §© ä dà


xÏ Ï dà å äd f ¡¤ ¿ äè g ` C i e `e
%Ð

` `

îþ Câ ` å e äe g
æ

` © `e he ¤ e é¿ mè à sy þ `¿ å h¿ dà ô F f äd C ¿ e § å `f e ó| ó| u z g f ¸¦ dþ à f ä¿ à Ѿ C ä¿ mÐ `à C ¾ C Iô uô
v ót i

` Ñô äe I¤ TÒ ã
d

`è `e ©å C ¤¿ e ¿ ` `e hå g e o äd dà ô ée d Tö d e ` ±| u z


ý¦

`d e å e å hd à C å f ¡i 0 è à 1© à & Ö¿ #y ée äè Ð hè `à hå
aÓ

~ }{ 1| | $ Æ º 'Ï áõ `è äe Ð f äd hg à ¾ äf hÐ và äö f ~f ô `e ä Ð e ¨ Ñ Ö| C ¿ éþ hè `à hå g äf #g `e ÷¦ f g äf g v¿ äö «e å F
T M
n

¢¡ Ç Ü xÌ )D ýB C ` © Xe è äe hà ÿ¤ à ¿ ` Ð C ` © `e he ¤ '| } e d 3å ô C f å k äè

f r e e é¿ è üf i f ä¿ f h¿ hg g C
i e Ò

C sö `è e C uå ä à mà ¨ `à å hè
×

E9 xÎ sô 'g hg à ¾ éà 3e ýç ` H ¤ &à #y ée

3Ü Â vf ö hå äà à hå f f h dà Ñô ýè éþ

Ó pÆ 3 `þ $ ä ~e hf o d Dì å å I¾ ô Q¤ à h¿ g ¿ f u¿ l 4¿ è e

f Xf ` e ä¿ è df `e á è

g Ì h¿ ©ö dy è ` `e `¿ å 0 à äg à ~ ãô f á¾ ` `g ãå `à éà è

lÛ và e e hå g ãå `f ãå

ÚÆ

d Ñ d

Ph d Pd f iÇ ¨

{8

d Ñ S iÇ

AH

F

~ e D Ñô vf Ñô
§

v e C å

©

df sö à ãå `g

l þ `¿ å h¿ dà ô F f äd e ¿ ` e å äd à ` på éþ äè à hå g hf ¦g e Cå C ` ãå éà è C $ à ä¿ éà uå vf äö Fe ã à ä à å d ~ö © à å ã 5 hè `à ãå g äf g î þ ä¿ Ð C 0 Cô lö ée è äf g `f Ñ ãÐ à m¿ 2 g df ô éf áè þ ¿ ä¿ &à y ` äe g q `g å ¦ Py u d e ~ g äf Ð F o© î þ ¿ ¿ ` Q© `þ ¡ f h¿ à ¨ dþ uô d f é áà þ ä¿ g äf Ð F © å C ` Q© þ `è äe Ð C ` © e áè þ ` e d C ¿ vf äö e äà dà ô ° Dö l p 0 ô uô `f $f èw ` e ` `e å F hå g 2 éà äè hà pg å ` ` ~e Ð f ` hå éà è C C ¢ `e © df ô uð d pd ée l C ¿ ¡ f ä¿ mà ¨ C ` f f ¡ d ¿ 8 §ì å f `¿ ä 3g e ¿ `¾ e å hå `g de ö `f ãå `g e `¿ uå ä¿ dà ô ` `f Cô ö äè à hå g hf g î éþ äè à F f ` å k hè äg g ¬ f h¿ `à de sô Õg î `þ h dà ô uô f u u df ô `þ å
0 Õ #Ä ÃÔ Ä l #Ä Ö !Á À

è ` dþ è dþ hd e hå

æÐ `f Q© `þ f f hd dà äö `e Ñ hd dà e `g e 2

vd ö ô ¤ f ¦ þ hå éà è C C ¡ d 8 ì df ãô ég ô ée ` 2© à äe à á `è äe Ð C ` ô ée à ` 2© à D `è ¿ ` `e hd à C å hf g

d ` ¿ è 8¿ $è å C uô

à f © e e ¿ f `e å !¾

s I¤ v mö 8 I¤ © d ) ô e äd `g Sî ° ` `e å ¨i C ä¾ `à f d f í hå g ¿ ` e ¿ ä¿ lg è ä¿ `à ä¿ dà ô e

{H = h}

{½ p ² ° Ã ² Ù

° 3 h¼ ù Ý



V (R3 ) 0

n

g ij (x)pi pj + V (x),
{H = h}

g ij (x) pp h-V (x) i j

T M

n


@D

0

pÆ

X

e

Ð

à

Ü h å uô éf 5Ð

B Ì Y `à ` å e hd à ¿ è s ¤

ö
¦

¿ e


q

g hå à v ö Ñ !Ð 0 ô uô `f $f pw `e Öå ° ö ¤ he pí
.

õ äè à `f ` de sô `g `e uå x¾ å å f ä¾ 4g e ¦¿ #y ée Rè p `f ãå `g e ¿ ¨ © ¹e ¨ F f ¾ f ¿ C h ¤ &e là #ø ô ä 1¤ à å ¿ ¤f Q þ `¿ ) ãô à å f d¿ ô e ` ve ö
p = t H= 1 + tg2 2 (h - V (sin )) F =p


õ

è å ¿ vf ö ` `e e Xd è f hd äg à ¾ f ä 8à äì §g æd ) äö Fe s à ä là ß
ds2 =

và ö 0¤ f äf Ð C ` © `e äe ¤ e é¿ è C ¿ f d f ` hå éà §è e ` e ¿ k è f `è e `d e å e è f hd äg à ¾ äf hÐ và äö he äà ¤ q g hå à 0 ô f f ä¿ và &ö dy ä `à å `è `e ãå æ k äè `à ãå g äf ¤g ¨ C `e å æ `e å b¾ à f ¿ k è f ¿ p è `f å C ` ¥© ¢
)y ¨ ' i~ 1 ¹x 0$ ÷ 0z h 0 y 1v ¨$ )' ¨w ' ¢ þ² )~ 0 q ~ d ¢ y $ þ ~ ¢ )$ }v 0 dw ¢ 1| y 0¥ hw 2 ¦y i H )y P ² ¨~ ¡¨ sw º 0z ) H y j{ à
h > max V (x) (2n - 1)

w

å ±

}{ y 2 )| w ´| I¨ w ¨y #& ¶~ ¡ v R ¶¯ 0µ y ' i~ 1 x hµ 2 | x

º 0z 0 ¨ P$ ¨ P$ ¨

uv 0$ 0w 0¿ y )~ p® 0 dw P¢ ¨ i$ ¬v

$

x { ~ 2¢ 2| ¡y 0¥ 0w þ 2 ly ¶{ s¢ º 0z h d$ #& ~

G ¨~ ¡¨ 2 y

ij

c

c

g

V (x)

°

z & ~ I ¥

y ~ ¨¢ h$

0w ¦w ) ¬ )y P þ² )y 0w 2 y ¥ 0$ P ¨ y ~ °

{

)µ qv P~ »& )~ I #¥ ~ h$ P| P~

°

R

n

c

M

h

å

°

°

2n-1

c

gij (x) = (h - V (x))gij (x).

f d f hå éà ©è `d `e å e ' äe ¤ e hd äg à ¾ äf hÐ và äö he äà ¤ à `¿ ` e & C T¿ d ` ±| u z S¦ äe ¤ e ¿ å ä¿ Cà ô F `f äd e ¿ ` `e å hd à C @å i f h¿ à ` å ée äè äg g C m d f å 1 à ä à µ d ` ±| u z ÿ¦ å Ôe e ¦¿ #y ée mè üf i å ä à ` æe 5ç f ¿ f m mf ée `è e $ f l ß
ds2 = gij dxi dx {HL = h}
j

lz }{ y 2 )| w h| $ P ~ â
Q

å

hµ 2 | x 0$ Py

Q

2n-1

= {H (x, p) = h} = {H (x, p) = 1}

v = sgrad H

r=1

W (t, ) = (h - V (sin )) - + tg2 t2 0.

C p¿ EC v ö ¿ Cf uô f

` Ñù | de uô d f ´ î þ h¿ g ~f Ð F © uÐ #f äe ¤ e v¿ äö Öe `à hå hg à Ѿ u æd b õ e ¿ Ѿ C ä¿ Ð e v¿ äö «e ä¿ Cà ãô và ö à ` e g ~f Ð F §© e d # hå `g e `¿ hå hg à `d e â F hå g 2 éà äè hà {g äe ¤ e hd äg à ¾ f ` ãå éà è C C e v¿ äö 1e C `e på C X¿ g äf Ð F © ¡ ä à h s ¡ f h¿ à `¿ u f ¿ ` e Õd ø và ö ¤ äè à `f de ãô g Q þ `e ãå ¢ø ±| u §z g f C ¿ C ä¿ à ¨y C ` © äe Ð f h 8à äì g C ¿ ô uô `f $f ¸w C
2

C


.

ãå äg ©à u d `e å e Ö äe ¤ e äd hg à ¾ äf hÐ và äö äe hà ¤ he ¤ `e ãå " ¿ C f `¿ `e Ñå ) uô éf è s 0¤ p éf è F ` Ce ãô 3g éf è äf I¤ m x
ds2 = h - V (sin ) d2 + + tg2 d 2 + tg
2

à h $à hì &g C ¿ è f u¾ ô e



[x1 , x2 ]

v = sgrad H

h - V (z ) (dx2 + dy 2 + dz 2 ) . 2 x2 + y 2 + z

x = r cos cos

y = r sin cos

z = r sin

(r, , )

x1 (t) x2 (t)
2 p +

H=

p2 + tg2

1 2

M

n

W (t, ) = 0
x

î © `g e à Q© hf `g `¿ e ¦ kÐ h äì g


3å ä `à Ce ãô g hè à ä `¿ ) sô `à å ¿ v ö Ñ ýå ¡ f `à å e ¿ ` e

`þ îþ e à hd `à

he â å 8à e l

ß



å

R


} Ñù |
I1 = 1 2
=const



xõ ö `f Ö Ôå 1i éà è æf ¡ `f hå g 2 và 8ö áà þ ¿ à f h¿ à Ѿ C ~¿ ÑÐ p h éà è f C ¿ ` e ` e üå `e hå g 2 éà äè äà mg f r i 0 sô và sö à ` e p ` ãå éà è C p õ è v ô d f S à mf i ä¾ `à å îe µ ¡ `f ` ãå g 1 dà
H I1 H I2 I2 F I1 F

ä¿ éà v ô ø 3ö áà

hè à ä à 8 hà g ~f Ð ` p© äè mà ¨ï C »¿ â ä 1¤ à å ¿ ¦f äe ¤ e ¿ ) ãô à å f d¿ ô e ` ve ö þ ¿ h¿ éà äè à h à ø và ö ¤
I2 = I
1 2 1



±| u z
¦

hå äà g `f Ñ 8Ð e éþ è ° ö ¤ fe uí e ¦¿ y ¿ e å u¾ éf è ¡ f

vd ö v ô ð¤ hå dà Ñö »© ¿ ¦e d hå dà ö `f e d¿ Ñö u ` hå ` de ãô g D q `g Ôå i ° ö ~ Ð
(-, - + µ)

Ff e 1d «ø là ` ±| Cþ uô d

ö `f Ö ãå äà éà è 3f ¡ f ä¿ à P C ` æ ¡ f d ¿ l $ì à C ¾ C ãô @g äè mà © ©e ¦ e å è C e v¿ äö e äè hà `g l C ¿ 5d g © å ° ö Ñ Ð f 5¿ Ð e v¿ áà þ ¿ ¿ ~ g f «e `e å ` `e Ôå `à `è äe I¤ u u z f u áà ` ãå d $ö g f þ ¿ g 1 éà C ¿ 8 C ä¿ dà sô hè äà «g `è e hd äg à ¾ f ` hå éà d X¿ þ h¿ &à ¨y C © ~e Ð f và sö à ` «e e ¿ Ѿ C ä¿
(, + µ) Q T S
3 2

C hå
3

î



µ `f `¿ ¾ e ¿ `è e {å

å ° ö þ ¿ ä «¿ g ~f và ~ö ´© e «ø he ¤ e

C å d ~ö éà ã à d 1 Ð Ì© df sô và e d `f å 0 `f $f ` hå hg

` uè F ` µ ` e

äe g à ` Vå å äd `g u ô uô å à

© à 3¿ Cà uô äd &g f sö à ` Xe hå x Ð §f mw ` à Ѿ d u

hå g e 5 `e å ¦¿ y ve &ö ¨y i ~ö µ ¡ f

và å e e v¿ `f ¹ `è `e C le l C á `è ~e Ð ¿ `è e d g C ò ð

) sô e è !d © f h¿ `à de

äö ö D¿ é¿ Fð ãô hg

u f p¿ Ð f `è ãå ¹ f l `ß l þ ¿ e ` `e «å `à hå C ` © He è f d f {d e hè he e ¿ h¿ dà ãô
¤ #Õ ÃÔ Ä Ä l #Ä Ö !Á À
Q
3

ve &ö ¨y `f ` de ô g 2 éà äè Tí µ ¡ f &à 2y à dà sö à

áà ¿ C ` Q© `þ e à C à l äe 2¤ äà `g hà C äf ù© ä¿ dà sô và e å e hd `g !d F ä C ýè ãô ég î R d¿ ~ö e ¸¦

d î Dg ` Ð @e

C ` äf Ð F ¢ äö !e C p¿ ü¿ u¿ g e d¿ ô éþ e ¿ ¾
3

{ = const} µ = { = const}

hå äg à è è `è e

l `



f

`f æ `d hd `g ¤© äd g `à éà hè Ѿ e v¿ ãå h g à h¾
#y

þ ¿ ` 2© Ð F ð Cf ~¿ Ð e



Ö ü sö à v #ö uô d de ãô

d¾ e ¿ C hå éà g ~f Ð F §© à äd `g u @d T¾ á è äþ g äf Ð F e ` e Vå ` Xe e ¿ C @¿ q `g mf g uå 1 Ð
Q
3

I

2

2

(px dx + py dy ) F

t

RP

µ

(F ) =



td = t,

=-

I + t, t 0 I2 = . I - t, t 0 S

1 2 1

,

x


2

x

1

1



2

I1 =

1 2



1

(px dx + py dy ) Q

~ 5Ð C å e f u¾ ô e v¿ äö me C ¿

=

ãå éà è ) ô e ` e ` ãå g 1 C ä¿ Ð và ö C i ~ hÐ « e Ö¿

e d äà g äö e C g f ée è


Fz Ñù |
#Õ ÃÔ Ä Ä l #Ä Ö !Á À

sÄ ¹
W (f ) W (f )

qÄ ²

g e
q

`g

äö äe äà p

Ôå

P

e ! C ` `e e hå l þ h d `e å e f ã äà g 0 hè và ~ö © v äà mà Ii d k hè `à
¨
2

Cô ö éþ à sö Cà f ä

1è `f hå g `e å C #¿ ãô !g ãå à `à å ¿
2¤

e ¿ éf C Ѿ f e

© e è å C ~¿ Ð ¿ 2 à

ð ` `e å ãå à F f »¤ ÿà Öå éf áè þ ¿ h¿ ¡ f h¿ à C ¿ vf ö ` e !e `e Tå Et ¿ df oô
P

¾ f e Ñ ¿ °

¿ #d éf T| ö ~

ö `f ! å `f g C u Cf ãô ég ºî á u f ä 2¤ `à å ¿ f á þ ä à ¿ q `g å ä ¤ Xe ãÐ îà &û µ ¡ f è f äd hg à ¾ vf äö e f Ñ | Ð à ` `e å `è e

iÇ P

ãå vg sö à u h 8à äì ¹g e `è de ô C ä 2¤ `à å ¿ f áè þ ¿ e ¿ 2 à ¿ df ô e `¿ ) ô ` ¡i 0 ô f d `¾ `e å và äö e f h à sð à äd hÐ d ¿ l 1ì ¨ äd hg à ¾ vf ä à 3 éf áè þ `¿ ) ô F © de ô u ¿ ä éà è v ö df uô 1f à h
{8
d Ñ u
f

¦¿ Iy 1 à ¿ de ô ê¤ à f hd à å äö e f x¤ q `g d f ` ãå 8à äì 2g De

V¿ P ~ V| u æô hå à ° q g hå à 0 à ¾ `f å f C ¿ à P u i 0 ô éà ¤è F ä dà e ¿ h


Ñ | ö v ô © e ô d äà e ¿ ¿ ° dd ö v ô f ô uô `f éà è v
y

e uÝ

e h f !

)@ )H

e Ò

ü

d

@



ú

0 (' 0

ã å e å q g `f Ñ Ð f

t

äà à ¿ 2 ä¿ dà sô g f á¾ `þ d îô `þ Ê© # dà ö `f äè &à #y `e Ñ e ¦ & ¡y ¿ C h ¤ w f Ѿ ° ö Ñ ¬Ð ¡ f ä¿ mà ¨ C ` µ df ô F ` e ` hå hg à h æg f ¿ ` e æd `f hå è `þ © e å d¾ p d 3å q `g hå à ¡ ä¿ f f ¡ d ¿ 8 §ì e `¿ 0 ô C ä 2¤ `à å á¿ dþ ~ö e { 0 sô `à å ä¿ éà è C ä¿ Ð f ¿ ` e d
¦
1 (t) =
x2 (t)

P Ñz | ãô à 5 É¢ á Éî ¢ f d ¿ m ï éà è hå éà è C và ö

ø

`¿ C T # ó| u u z ¦ Cà ô è ` 8e ¦ì e 3 ¡ f ä¿ à P C ` 3 ¡ f d u¿ l dì e ¿ ) ãô à å F ` ve ö dà Iô Ò
I= 1 2
=const

I2 - = (t) = - - t

I t

W (t, )d .

- 1, t 0



u z
¦

( + tg2 (x)) t

u u z
¦

õ å Ñå ) Ñô ä ãÐ à # Q þ ¿ ) ãô à å C ¾ `¿ e 5d
¢

x

1

x

2

t

x

x1 (t)

ds2 = f (x) (dx2 + dy 2 )

h - V (sin(x)) - ( + tg2 (x)) t

[0, L] f (0) = f (L) = 0 f (x) 0

!å F hå g 8à äì ug f äd äg à ¾ d f

¿ u¾ ~f hå

` hå ãô g ãÐ và æà 4ç

d 4ì dà å k äè hg p ée äè `à và ©ö #y e

äg ä

m¤

f å mf `e f d f ¡ `f ` de g ¦ ö ~ uÐ äà ¨ C áà þ df §ô e ö C ¿
F

x [0, L]

(x, y ) = (-x, -y ))

©

W (f )

W (f )
I t

u



Cf



f þ )i ô © e `þ ` ãå éà uè sô `g

e ¿ f © e å ¾ e hå u f hå

+ 1, t 0

.

2

W (t, x)

dx

1,

ds

f (x)

à `e å ¿ ä¿ `¿ ) `


å e äd éà hè ô ãå `g 5

å f ä¾ g à ¿ ø à ä là ß de ô ¤
©

ß

¤

và ö
¤


`÷ Ñù | h¿ `à C ¤ ãô và ö à $ à C ¾ C sô g `è e hå Vâ p h¿ và ©ö #y e á þ o è è hf g d k Xè Q þ `¿ ) ô `d Ce ¤ô ° ö ¤ e îd v ö ¤ `e Då Xf h¿ à ä `à å Ñå ) Ñô h hÐ hà ê RÆ (3 pÆ (A pÆ X hÌ xÏ Î xÛ IV lÌ ¡g Û
åå ° 0z P ' $ y
f (x0 )

# )~ 0 w 0¥ )w ¬v y §' G | Q )ª ¬v ¨y iy #® ý~ dª hµ 2 | )~ ) qv )~ ®

)y & iy h 0$ ì I 0w y © $ ÷' 0w 0w d¿ 0¢ d x ã iz ¬v Py 2 )y ® $ 0~ â y

lx q{ ~ ë$ S¢ 0w 0w y )w v 0& )w u® )w p® iz v dx ¢ y qv l~ { åå ° y
0



lÛ è d f ä¿

I¢ #¥ ~ S ó' P{ lx I{ w | ¢ $ { º 0z 0 ¨ ¨$ ' i~ )w qv ¨~ ¡¨ «w 1y ly I{ w I 0w d¿ 0¢ d x ã u d$ ¢ )$ }v ´ hµ 2 | x R CÆ Ó pÆ (A pÆ X l dþ Ñô hd dà ô ée è `è e å Ö e òå Fð `è e d §d hå à ` ãå `g ãå `à ` å e äe 3g î þ ` e å e $d Ð æf Q dþ ©ö ¨y Cd ée uè î þ ¿ ¿ F e df ô äe Ð Hf e d ) ô e äd hg à 1¿ df uô f ¿ vf äö »e và äö e f ä à hè `à `e ä g äè à `e ä g C §¿ hå hà éà è f f ã hè à và ö !¤ ` e äd hÐ à å ¤e î þ Ö¿ #y ée ~è Ð `e ¹ u f d ) ô e äd hg à &¿ Ð ¹f ¿ vf äö e ø
1 (t) = L
x
1

xõ ö `f ¦ hå hà éà è Cf và ö ¤ µ C ` 1© à ¢ C $¿ hè à f ä¿ à `¿ C `è e ¿ ¿ ° ö ~ $Ð µ 0 ô uô `f $f pw à ` `e »å C ¿ ¡ f ä¿ à P C ` f d ¿ l 1ì Ñ | ` e `d e å e u f äd hg à ¾ äf hÐ và äö äe hà ¤ î éþ äè à f h 1¤ à å ¿ f f f d 8f ì äf hg g v uô d e ä¿ g d ô ¤ îe Ò
¡ Õ Ä Ä l #Ä Ö !Á À
0 L
x
2

u z g f C á äè g f f d u¿ l ©ì e áà þ ¿ ä¿ à e ` ãå `g e C p ¨ ä à h và ö ãå à C Ѿ C ä¿ Ð `e © e e ¿ h¿ `à ` ãå `g ãå `à ` å e äe g à ä 8à äì §g f à ` e {å î þ ¿ ä éà è v Dö C ¿ d f hå éà §è u f d ¢å ` e `d e å e f äd hg à ¾ ~f ãÐ và äö äe hà ê¤ î éþ hè `à f ä 1¤ à å ¿ f e ¿ 2 à ¿ df ô dþ Ñô äd Cà ô ée Xè áà `þ I© ä ¤ þ ¿ ~ Ð `d e © Ñ ±| z g f p 8
f (x) W (f )

|F | > min(f (x))

min f

f

2tdx , f (x) - t2

î éþ hè à 0 sô và sö à ` e

¦

g g #Ì S äf g d k è ¿ m ï à `¿ C và ö ¤

x

[x1 , x2 ]

f (x0 ) = lo cmax f (x) > 0 f (x0 ) = 0

å

°

f (x) - t2 = 0

f (x)

±



¸

f (x0 ) f (x0 ) t±

A

lim

f (x)

(t)

p

±
y

2 2 L

= t = const

f (x) - t2 0

-

W (f )

A

f (x0 ) f (x0 )


F Ñù | e ä¿ éà è ~ æÐ q g hå à F á äþ Ð `d ve 'ö f ¡ f d ¿ l æì î þ `¿ á þ h à ä à 3¿ ã äà g § 0 Cô ö C ¿ h `à ¦ v Ñô è $e ¤ì ¡ ¡ v¿ ö dà ãô g e ' Tå ft C !¿ ¡ f d ¿ l !ì ¨ C `¿ á þ ä à h à ¤¿ P F þ© )i oô ø f và ö ¤
b

F h dà ãô g

¦

f

å f h `à ` e © e ¿ `¾ `e å ãå `g ve ö e å ¾ e v¿ ö `f h à 5¾ 0¢
t2 s < f (x0 ),

à d ¾ `e å à äd hÐ à å e C &¿ C `¿ á þ ä à h à ¿ e å u¾ á hè &à ¨y `d me x
s = f (x0 ) (s) = - 2 , f (x0 )

f

`f hå g e ¿ `¿ e å e `¿ ée è v ô F ä à å ¿ Ôf C ¿
x f (x0 ) t
0 2

îd áà þ `¿ å ` © e p f f d u¿ l pì ø
f (x0 )
1

ä à ä `à å è ¦f #y de ô le ß e ¿ h¿ `à ` ãå `g ãå `à ` å e äe g và ö
1 (s) 2 (s)

¨

põ ¡ f ¿ F ` äe Ð C ` © he à D è f d¿ ô e á Tþ Câ C ¾ C ãô §g ãå à ` å ée äè äg g C § e ¿ `¾ e å hå `g de 3ö ¡ f h¿ à ¨ ` ! f f d u¿ l ì `f ãå `g e `¿ ãå à ä¾ à æ¿ C ö `f î â å ¨~ ' 2 |

)µ }v y ¨ P$ P¨ d$ #¢ ~

t

f (x0 )

1 (t) = L

x

2

1 = 2 L f (x) - t

2tdx

x

0

1 + 2 L f (x) - t

2tdx

x

2

f (x) - t

±| z
¦

1 = L

x

t

2

2t1 (s)ds 1 + L s - t2

(1 (s) - 2 (s))

f (x0 )

x

1

t

2

2t2 (s)ds 1 = L s - t2

f (x)

f (x0 ) - s,



z
¦


(x1 , x0 ) (x0 , x2 )

sf (x0 )

lim (s) = lim

= lim

= lim

=-

x1 x0 -

x1 x0 -

sf (x0 )

-

1 = 2f (x0 )

1 2f (x0 )

f (1 )(x1 - x0 )

-

f (x0 ) - f (x1 ) - lim x2 x0 f (x1 )

1 1 - f (1 (s)) f (2 (s))

f (1 ) 2

[t2 , f (x0 )]

(x1 - x0 )

s = f (x0 ).

x1 x0 -

lim

2 , f (x0 )

p ÿd å

1 , 1 [x1 , x0 ] 2 , 2 [x0 , x2 ] i , i x

=2 -

(x)dx =2 (x - a)(b - x)



u z
¦



põ de Ñô è ` 8e æì q ég äè à ä Ð ) ô e ä `g e ¦ h à ä hà í s d F C ä g hg và ö æ
1

a
(x)

a



-

0

/2

(a sin2 s + b cos2 s)ds,

0

|x1 - x0 | |x 2 - x 0 | - lim x2 x0 + x2 - x0 x1 - x 0

2

- lim

x2 x0 +

[a, b]
+

s f (x0 ) x1 x

2t(1 (s) - 2 (s))ds , s - t2

x1 < x 0 < x 2 .

f (x0 ) - f (x2 ) f (x2 )

f (x0 ) - f (1 (s))

2tdx

x = a sin2 s + b cos2 s f (2 )(x2 - x0 ) -
f (2 ) 2 2

(x2 - x0 )

0

2

x2 x

0



¤

V


` Ñù |
4 (t) = L
0 /2

z ¦ e å v¾ hå `à C sö dà sô îg d ÷ u u z ¸¦ ã z u z g¦ 5Ð 0


~d ãÐ à ` å $e Ð æf f d `¾ e $å áà þ ¿ `¾ `e å 2y éà `è e o ø 1 hg và ö e ¿ ¾ hf ¤ de ô C ¿
t
t

d

å Ii ` ãå äg mà I ã g d ãô và ö à # f ` lå äà `g 3 df sô äg à
t0 t0



`d ) ô e hd `g e b á áè þ v¿ ö f ä à `¾ e q `g ãå à 0 ô » à #¿ å d #ì å `e Tå @t
f (x0 ) L 2
u

äè và ö ¨ C §¿ `è `e ãå le ß e å x¾ &à ¡y d på è `f ãå éà `è üå ¢

á `è ~e Ð C ` © e è f d í
4t = L

áõ è f ¾ C ô e I ó| u u z ë¦ uÐ Cf p d 5å

1 (t) = L

f (x0 )

2t(1 (s) - 2 (s))ds 1 = L s - t2

f (x0 )

2t(1 (s) - 2 (s))

(f (x0 ) - s)(s - t2 )



ÿ} z
¦

f (L) = 0

t

0

/2

t

2

lim

(t2 sin2 s + f (x0 ) cos2 s)ds.

lim t(t2 ) = lim t(1 (t2 ) - 2 (t2 )) f (x0 ) - t

õ
f (0) =

f (x0 )

lim t(t2 )

(t) =

(0) = 0

=

t

4

lim

f (x0 )

4t L

0

/2

t

lim

(t2 sin2 s + f (x0 ) cos2 s)ds

2

f (x0 )

2 2 (u) = L

2

z z
¦

lim

t0

lim t1 (t2 ) = lim

t0

f (x0 ) - t2 =

= lim

t0

t0

t0

f (x0 ),

f (1 (t2 )) t = lim f (1 (t2 )) t0 f (1 (t2 ))

÷ z
¦

f (t ) 2 2 1 (t ) 2 = = lim t0 f (t )1 (t2 ) 1 lim t2 (t2 ) = - t0 2f (0)

lim t(t2 ) =

t0

f (x0 ) - t

t(t2 sin2 s + f (x0 ) cos2 s)ds


2 f (x0 ) , f (0)

} u u z ¦ f f ä¿ &à Py C á `þ C e `¿ ) sô `à å ` ` ve sö Cà ãô g
æ

2

lim t1 (t2 ) - lim t2 (t2 ) ,

t0

[0, 1 (t2 )]

1 , 2f (0)
t0

-

f (x0 ) - s

f (x0 ) f (x0 ) ds


` Ñù |
d

z
¦

° ° 0z P ' $ )~ 0 2 ly I{ w $

w

I 0w 2 y © d$ ¦ ' 0w 0w d¿ 0¢ d x ã # )~ # ~ ¨' ¡¨ #w i~ ® )z ¬v Py 2 iy x® $ ¦ ~ â
x

lx { ~ ¨ ë$ S¢ 0w 0w 2 y )w v 0& )w u® )w È® )z v dx 2¢ iy qv l~ { iy q 2& iy 0$ åå y
f (x0 ) = lo cmax f (x) > 0 f (x0 ) = 0

° y I¢ ¥ ~ ¥ ' P{ x I{ 2w | ¨¢ l$ ð{ º 0z 0 ¨ ¨$ ' i~ )w qv ¨~ ¡¨ Êw 1y ly I{ w I 0w d¿ 0¢ d x ã u d$ ¢ )$ }v ð hµ 2 | x R bÆ T RÆ (A pÆ X lÛ g g #Ì i ã I¤ v mö # f d ¿ l ì uÐ 4f v¿ äö #e 2 à ) äö `e ä à h à p e ¿ h¿ éà äè à h à þ ä¿ éà è ~ Ð à f ¾ df ô C ¿ å Ii `f å ¿ s m¤ ` e ~d hÐ à ` å e C ¿ e §d C 1¿ ` de ãô dà å sö à ¡ f h¿ và ö C ` äe g à ¡y d å ¤ f f d ¿ l ì `f ãå `g e ¿ `¿ e å e `¿ ée ¬è ¡ `f ` Ce ãô `g e å ¾ e ä¿ lg ¨~ ' 2 | )µ }v y ¨ P$ P¨ d$ #¢ ~ 0z y #® 1~ | )~ P ' )z ¬ iy ® )y å w 0z 0 # ~ # )~ # ~ {
(t) 0 (t)
f0 (x0 ) max y0

0w 0w d¿ 0¢ d x ã y ¢ h$ g hµ | x hw P ÿ² w °

R

)~ 0 2 y ' | 2 ¨y ' ~ 2~ | á

w

y P¢ ¦¨ )y þ ~ q{ ~ P r² 0$ ÿ x P{ x I{ 2w | ¢ $ { x { )~ # ¥~ )~ þ® )~ P P' )~ § Q 2ª ly I{ w
f0 (x) f (x)

° ° ° y P¢ ¨ iy þ # ø~ y s q{ ~ h §w { )~ # ¥~ 0$ 5 y 0z 0 2 iy }v Py iy #® ~ 0w 0w d¿ 0¢ d x ã hµ | x R RÆ hå à u hd `à Vå `þ ¦ e äd 1¤ Cà lô ±| u z éþ éè hè dà 4ô 1 g de ô F ` e 1© à ¦å f e å u¾ )i Ñô Ö¿ h¿ `à C 3 ô C ä 2¤ `à å ¿ uf e `¿ 0 ãô `à å F ` ve ö dà Iô uÒ ã u z ¸¦ i f ä¿ à ¾ à d `¾ `e Ôå ü )i Ñô ü¿ C ¿ C f d `¾ e Tå éà `è e d và ãö ãÐ `à f m ¡ f d u¿ l ©ì
t=0 s=0

(0) = 0

x

0 max

x

max

å

0 (t) =

1 (t) = L

1 L

x1 (t)

x (t)

0 1

x2 (t)

x0 (t) 2

2tdx f (x) - t

f0 (x) - t

2tdx

max f0 (x) = y0 max f (x) = y

2

2

=

f (xmax ) y

å

t±

f (x0 ) f (x0 ) f (x0 )

°

°

lw u{ 0$ 0 w 0¥ )w ¬v y §' G | Q )ª ¬v ¨y iy #® ý~ dª hµ 2 | )~ ) qv )~ ®

å

°

#¨ d$ I¢ ¥ ~ » ´' G | Q ª $ ) hw 2 | P~ S I 0w 2 y ¥ 0$ P ¨ (A

2 2 L

1 2f (x0 ) (5f (x0 )2 - 3f (x0 )f (4) (x0 )) - + f (x0 ) 6L f (x0 )3 -f (x0 )

d

ãõ ÿ} u z ¦ à f h¿ &à ¨y C á þ X äè `à u f h¿ à ä 8à 8ì ì vf äö e l Cß ` ±| u z éþ éè hè dà ô F hå `g 0 ãô `à å Ñ Ð `d ve îö uÐ xf ÿ} u z ¦ de Ñô è $e ©ì q ég hè `à h Ð ) ô e h `g `e 8 F ` ãå `g ) sô `à å ~ Ð `d ve ö 0 $ô x å ¨~ ' 2 | )µ }v y ¨ P$ P¨ d$ #¢ ~ z ¦
V
± lim
f (x0 )

4 (t) = L

4t + L
0 /2

0

/2

(t2 sin2 s + f (x0 ) cos2 s)ds

(t2 sin2 s + f (x0 ) cos2 s) · 2t sin2 sds, f (x) (t) A (t) 0 (t) f
(4)

(x0 )

s=0

0

S

V

$ P ~ â

c

¨

pÆ (A pÆ X hÌ dÏ Ë e ¿ ¿ ~ Ð `d ve ~¿ Ð `è e ¿ h¿ và `¿ ) ô C h 1¤ à

`Ç é× 5ö `è ö å á¿

Í fÌ Ø 5Ð e hå le ß C {¿ ø vþ äö e


Ñù `| |
x2 = -x1 + o(x1 ).
t

äe ¤ e $å éà è e Cd



f f d u¿ l æì î þ v¿ äö `e ä Ð `f e §
) o(x5 ) i

pÆ µõ ¡ f h¿ và ©ö dy h `à ` å m à mf Ii d ö dà ãô 3g q `g uå # © ve ö C ¿ e @ è C '¿ äe 2¤ à ¡ï 2 à ã d ÿ} u z g¦ à f h¿ dà ô ãå vg sö à `à he I¤ v 4ö q `g å `f © ve ö C `¿ e $ à ¡y d å è å h¿ éà è h ¤ ¤ ä¿ à #e äf g f Ñ æÐ `f hå g e d å
Ai (t) = = -
ff 3

~} ±| u z
¦

õ ` de uô 2 fà ¤í ö d © Ö ) sô `à å C h¿ éà è C ä¿ 3Ð 'f 0 ãô `à uå df ãô g f @¾ è ¦f #y de hô Ð f ê sõ `| ±| z
¦
Ai (t) Ai (t) = - 2f (xi )
3



±| u z
¦ ¦


=
t

4 (t) = L

/2

8f (x0 ) (t2 ) + L

d

õ f å C 1¿ ée è df ~ö `e ~ © äe à 1¿ he ¤ ée äè à s ¨¤ v ãô g he ¤ e ` e å ¡ f h¿ dà ãô g f á¾ `þ 0 Cô ö 0 ãô à å ¦f y e é¿ è ve ö i hå g e ¿ `¾ e Hå §g ó| u z éþ éè hè dà {ô `à ` ãå `g ) sô `à å ~ Ð `d ve 1ö e ä¿ dà sô g f á¾ `þ o de îô `þ Ê© &à y § `à ée hè à s ¤ v sô §g `à e ä là ß Ñù ±| u z ¦ è f ¾ C ô e ° ~ö d å e
lim
f (x0 ) t

t

x1 = 1 (t2 ) x2 = 2 (t2 )

lim

(t2 )

f (x0 )

t

lim

t=

f (x0 )

(t2 ) =

0

f (x0 )

ds ·

t

t

lim

d dx

lim

lim

f (x0 )

f (x0 )-

f (x0 )

-

1 f (xi )

d dx

1 (t2 ) - 2 (t2 )

d dx

2

1

1 f (x2 )

1 f (x1 )

0

/2

f (x0 ) - f (x2 )

f (x0 ) - f (x1 )

sin2 sds ·

f (x0 ) - t

1 , f (xi )

`| ±| u z

Ai (t) =

t

lim

f (x0 )

(t2 ) =

i

2f (xi )(f (x0 ) - f (xi )) + f (xi )

t

lim

f (x0 ) - f (xi )

f (x0 )

(A1 (t) - A2 (t))

t

2

d

Ñ ±| u z
¦

xi = xi - x0 i = 1, 2

(4) f2 - f f )x4 + o(x4 ) i i 12 4 - 4 3 -f x3 |x | + 5 2 f 2 f 2f -f xi |xi | + ii 3 2 (4) ff + ( f12 + f f )xi + o(xi ) 3 4 3 -f |x | + 5 2 f 2 f 2f -f xi |xi | + o(x2 i i 3

x3 + (- i

lim

f (x0 )

x1 = -1, x2 x
0

(A

pÆ X lÛ g g #Ì ô ° Öö 0 $ô x äà à v¿ sö Ð le ß
0

S

f (x0 ) - f (xi )

lim

2

f (x0 )

1 , f (x2 )

1 f (x1 )

(t2 )

f

(X RÆ `¿ ) C $¿ C æd

Cô ö 1 hg và ö

æ

äè `à h Ð C ` © äe à l ß ° ö ¤ `e å è f Ѿ C ä¿ Ð `e
¥© ¢



và ö
¤


`| `| | áõ è f ¾ C ô e C
f (x) = t x2 x 1 + o(1) = 2 + o 2 x1 x
f (x0 ) 3 1 2



¡

e

å då ä



f `e å

lz r{ }{ y v ¨~ ' 2 | )µ }v y ¨ P$ P¨ d$ #¢ ~

`e hå g h¿ `à C e ä¿ à d¿ ô e á `þ f ä¿ à `¿ C 3 éf è ¡ ¿ ` e æd q `g å ¡i 0 ô u `d ) ô e äd g 8e ß då pÆ ¤ pÆ A pÆ X Ï X pÆ (A pÆ X g g hÌ !Ø vÛ Ë `Ç °× hÝ FØ Ì Ç Û ¥¤ µÛ
f (x0 ) x
1

i8 pB ¸

áõ è f u¾ ô e s d Ñù ±| z ¦ à f h¿ &à ¨y C á `þ © &à ¡y d å § s ±| z éþ éè hè dà ô `à hå `g ) sô `à å ~ Ð `d ve ö f `à e ¿ ä¿ và ö C ¿ ¦
lim
t f (x0 )

¡ 0

ô hå vg äö le ß

xõ ö `f Ö ãå äà éà è f ¡ f ä¿ &à ¨y á `þ ' ) sô `à å df sô g f ¾ `è ~e Ð C ` © e è f d f í &à ¡y f ¿ þ ¿ v ©ö å d ~ö h© ÷ #z f z u Xz éè hè dà ©ô F hå `g 0 ãô `à å Ñ Ð `d me x
t

pÆ ¤ RÆ (A pÆ X lÛ g g #Ì
S

ff

3

+

+

=



A1 (t) - A2 (t) 23 ff 5 2 2 f ff -f (|x2 | - |x1 |) + -f (x2 |x2 | - x1 |x1 |) 3 3 f 3 f f (4) 3 + 2f -f (x1 |x2 | - x2 |x1 |) + o(x2 ) 1 12 4 3 f f |x2 | - |x1 | 5f 2 x2 |x2 | - x1 |x1 | + 2f -f |x1 ||x2 | 3 |x1 ||x2 | 9 |x1 ||x2 | 2 (4) x1 |x2 | - x2 |x1 | f ff + o(x2 ), + 1 12 4 |x1 ||x2 |



lim

2f

|x2 | - |x1 | 1 f (x0 ) =- . |x1 ||x2 | 3 f (x0 )

-f

2

|x1 ||x2 | + o(x2 ). 1

áõ è f ¾ C ô e C



`e å d¾ p P F á `þ å f u¾ l &à y d å C ÷ dz u z z éþ éè äè dà 4ô ¨ ä Ð ) ô e ä lg h¿ `à C ¦ ) ãô à å C ä¿ éà è C ~¿ Ð

t

lim

f (x1 ) = f (x2 )

f (x0 )

(t )

t

lim

2

f (x0 )

t

(t) =

lim

f (x0 )

2 8f (x0 ) (5f 2 (x0 ) - 3f (x0 )f (4) (x0 )) 4 - + L2 f (x0 ) L4 6 2f (x0 )3 -f (x0 ) 2f (x0 ) (5f (x0 )2 - 3f (x0 )f (4) (x0 )) 1 2 2 + - = L f (x0 ) 6L f (x0 )3 -f (x0 )

(t2 )

(A1 (t) - A2 (t)) =

t

1 1 f (x0 )x2 + o(x2 ) = f (x0 )x2 + o(x2 ), 1 1 2 2 2 2

=

-

5f 2 - 3f f (4) 6 2f 3 -f

f (x0 )x
f 9
2

x

+2

2

2 1

5f 9

- 2 f12 + 2f 3 -f

2 2 2 1

2

x1 < 0 x 2 > 0

.
2

C ¿ F ` ãå g ä¿ `à C # f hå g C 8¾ à f ¿ C 3d 0 sô và uö ° ~ö d å e ÿà å
V

ff 4

(4)

2


`| |
Py $ þ y u{ $ 0$ u® I 0w 2 )y y 1{ ¡¨ w
0 (t)
x2 x1 x x
1 2

# )~ ¨~ ¨' ¡¨ #w i~ ¶® )~ d )µ ¬v y 0 w u i~ qv )~ o® i¼ lw u{ ¨$ ' 2 )| # ¨~ 1' ¶| w I{ hw Q© dª Px y ¬v c|

y $ )$ v #& ~

I 0w 2 y ¨© $ ¦ §' I 0w d¿ 0¢ d x ã u h$ Q© dª ¨x ' 2 | y ' # ~ 1~ | I 0w d¿ 0¢ d x ã # d$ ¢ ¨ i$ ¬v ë hµ | x

y $ )$ v #& ~ d



IÑ Ç d I

Þ

) 76

F



å ¦f y e é¿ `è ve ö e Ö¿ y d¿ õ he ¤ e ¿ ¿ Ñ Ð `d ve 5ö &à y m uÐ 4f hå à d sö dà sô g è f ¾ C ô e C
x1 < 0 < x
2

f f d ¿ l ì

`e å ¾ f V áà dþ ô k 5è e ¿ ä¾ à ¿ e hd äg `à v© à f d &å q g å 1i éà è 5f `e å ¾ p `f ãå `g e `¿ ãå g C ¾ hå à C Ѿ C ~¿ Ð üe `e Tå

(t) (t)

x2 x2 x2 2 + (t) 2 = (1 + (t)) 2 = 1 + (t) 1, x2 x2 x2 1 1 1

1 + (t) =

1 + (t) x2 2 1. 2= x1 1 + (t)

å f Ѿ C ä¿ &Ð d

x2 = -x1 + o(x1 )

áõ hè äà éà è f z z éþ éè äè Cà §ô ` hå g ) ãô à å Ñ Ð `d de &ö e ¿ ¾ äf ¤ Ce ô C ü¿ ë ¿
2

1 1 1 1 f (x0 )x2 + f (x0 )x3 + o(x3 ) = f (x0 )x2 + f (x0 )x3 + o(x3 ), 1 1 1 2 2 2 2 6 2 6

1 1 f (x0 )(|x2 | - |x1 |)(|x2 | + |x1 |) = f (x0 )(x3 - x3 ) + o(x3 ). 1 2 1 2 6

è f u¾ ô e u z u 3z éè hè dà 3ô ¨ ä Ð 0 ô e ä g Cf ` e h¿ dà uô æ¾ ¡ f ¿ F e f h l¤ dà ãô `g e ° ~ö d å e
å hg å då ä

|x2 | - |x1 | x 3 - x3 1 f (x0 ) 1 2 = + o(1) |x1 ||x2 | 3 f (x0 ) (|x1 | + |x2 |)|x1 ||x2 |

õ

f z u 3z éè äè Cà 3ô ¨ ä Ð ) ô e ä g &f F e ä¿ dg e ¿ ) ãô à å F ` ve ö dà Iô Ò

F ` ãå g ä¿ à C # f hå g l¾ `à © e à f h¿ và &ö y h `à ` å $ `à e ` e Tå â
x x

C sô ág éþ äè g e ¦ e å C¾ p P F á `þ å f 5¾ w ° ~ö d å e e ¿ ) ãô à å F ` ve ö dà Iô Ò
t

1

2

[-T , T ] = =

= -1 + o(1)

x1 < x 0 < x

1 f (x0 ) 1 + 1 + o(1) + o(1) 3 f (x0 ) -(-1 - 1 + o(1))(-1 + o(1)) 1 f (x0 ) =- + o(1) 3 f (x0 )

1 f (x0 ) 3 f (x0 ) (-1 +

x

1

x2 -1. x1

1-

f0 (x)

x2 x2 2 + (t) 2 . x2 x2 1 1

)(-1)

x1 < 0 < x

3

x x

1

2

t

+ o(1)

2

T 2 = sup f0 (x) T > 0 t f (x0 )

á

°

x[0,L]

°

y P¢ ¦¨ iy þ # m~

¸{ 2y | ' 0$ ±

½¯ Y

R

CÆ Ó xÆ T pÆ X lÛ g Ì Ü B Ì



lz r{ }{ y v ¨~ ' 2 | )µ }v y ¨ P$ P¨ d$ #¢ ~

V


Ñ `| |
(2 - 3) < 0, L ||v ||
C
3

áõ è f ¾ C ô e C ÿ} z éè hè dà {ô ¨ ä Ð ) ô e ä lg ð dà Ñô ¢¿ è è hf g d k è Q þ `¿ 0 ô `d de ô ãå äà éà è Df à ¡y d å
min
11 , 44

¨

ãå `g 5 Rß è df sô g f á¾ `þ ¤ #f ÿ} u z ée éè äè à {¿ éþ hè `à hå g äf ¹g e ¿ h¿ à ~è Ð hå `à ` hå hg à h g ¡ f h¿
2

k Cà `e à Ѿ

è è hf ô q ég ! ¡ f h¿ C ~¿ §Ð äe
2

g d k &è à äè à ä Ð ) ô à ¨ ` ¹ `e !ô
¤ þ© )i

d `¾ `e ¦å ! e ä `g e ¡ f d ô §ö `e
0

¡ f h¿ éþ hè u¿ l 4ì e uå R¾ á

à e ¿ å äè &à

C ä¿ éà è p¾ à `d
¨y

f f ¡ d f f of ë p e d °å le hß

° k uè è äf g d k üè he ¤ e `¿ 0 ô `d de bô he ¤ e ¿ h¿ `à ` ãå g ¿ vf ö à ¦ f d `¾ `e &å f hå `g e ¿ ãå `g e ¿ ¾ `e hå à ¦¿ C h¿ à ` ve mö v îô `þ ¸© à å áè þ ¿ ä¿ à ` hå hg à h g q g hå à ô È ±| } z éþ äè à äe `à Xå à `d ` e df Ñô è ` 8e ì
@¨ z I{ hw 2 | 0x #® P~ # ~ ¢ )$ ¬v
v
C
4

I¨ I 0w 2 y ¥ 0$ P ú¨ ~


)w ®

2 y h$ | $ 1¨ ¨~ ' ° )w ¬v 1| py ~ I ¥ °

)~ 0 # ~ # )~ # ~ Ê{
0 > 0

0w 0w d¿ 0¢ d x ã °
0

y Q© dª ¨x ' | 2 y ' # ~ 1~ | )~ 2 )y ) qv )~ º® Pz '
[0, L]

z ¸{ y )| 2w t| y ~ ¢ h$

# )~ 0 2 y d© x 1{ u¨ ¨~ '

~ ¥

P$ ' ~ ¢ h$

y P¢ ¨ iy þ # h~ 0$ þ y ¢ h$ u 0$ 0 2 iy ¬v ¨y iy #® ~ 0$
x
0

P{ lx I{ w | ¢ $ { º 0z d iµ 1v d$ #¢ ~ v 0 w # ~ )~ P ' i~
f
0

2 2y y I{ w °

~ )~ d )µ uv d$ #¢ i~ ÿv # ~ I¢ ¥ ~ )w v w

d$ P¢ ¦¨ )y þ è~ { )~ 0¿ # ~ v¢ |

y $ 0$ P® ' 1~ ø| )y

~ d¢ )µ qv ~ » iw ¬v 2| y

f0 (x) = 0

x

f0 (0) = f0 (L) = 0 f0 (0), f0 (L) > 0

á

°

°

0w 0w d¿ 0¢ d x ã $ P{ lx I{ w | ¢ $ { ±

f0 (x)

[0, L]

å

v (x)

°

°

°

v (L) = 0 v (0) = v (L) = 0

y i~ G ~ # ~ 2¢ )y å

v (0) = v (0) = v (0) = v (0) = 0



Ii

¿ 8 $ì à f ¿ F ¦f ¨y d ¿ l ¹ì e ¿ h¿ à 2 à ¨i hå g C ä Ð `e hå à ãå g C ä Ð `e 3 e ¿
||v ||
- 1-t C 1-t
3

v ô 1¤ og ø ~è Ð e ¤ e ¿ `¿ `e å à `¿ e å e `¿ ée Rè


dà e `¿ f ä¿ e

ö v¿ Ð e ée ãå và ~ö à äè Ð `e h à `¾

0¤ äö `e ~ ¤è v¿ ö `f

ö ¤ he hå hg à `e © C k è

Cí e `d e 5 ãå `g 5 ß pÆ (A bÆ T RÆ uX `e å v¾ á è `f ãå éà `è üå i¢ ` e ò¿ ð pÆ (3 bÆ %T pÆ X hÌ
f0 (x) = 1 - x

ä¿ à Ü á äè à xÏ Î xÛ

d¿ ô e á `þ lÌ @g Ï æÜ Â `f ` de sô `g lÌ ¡g Û ¸
IV

y ¢ h$

I 0w d¿ 0¢ d x ã # d$ ¢ )$ ¬v hµ 2 | x ± ä¯

f (x) = f0 (x) + v (x)

°

I 0w 2 y © d$ ¦ '

2 y Px ' 2 2| y d© 2x Ì| $ P ~ â °



å

$ þ 2 ly #{ d$ 0$ ® I 0w d¿ 0¢ d x ã

v (x)

v

vC

f (x)

1 0 (t) = L



,N

v (x) =

3

(0) =

C

( )

= 24 min
4 2

f (0) 2 - = L L8 L 4 x , <
2 2

2tdx 2t x = arcsin 2 - t2 L 1-x 1-t

0

11 , 22

(4)

2 , ,
1

4 24

1/2 2 24

, x2 min

2-

x2 min

24

v (0) 8
(4)

24

=

d u §d ` hè à ` `e &å

=

f d ¿ m ï ó| ÿ} u vz g f C á îè Ò

11 , 22

11 , 22

[0, L]

2 , 2 ,
1 1

- 1-t

1-t

2 24 2 24
2

=

0 > 0

2 t L

f (x) = f0 (x) + v (0) = x0 = 0


©

e

R

ö¯


~} `| |
dx =: c1 (f0 , t) + c2 (f0 , t) + c3 (f0 , t) f0 (x) - t2

éþ éè è ã $g dà ö `f © ' uå `f hå dg sö à © e ¦¿ #y ée è ° ö `f ¹ ô C ä 2¤ `à å ¿ f `e uå C¾ ãå và ö `f ¦ e v¿ ~ö ` ãå là d

0



f

ä¿ 4Ð á à `


k



ä ¿ d¿ Ð ãÐ

` e



`à de ô hè äà `g R ô C Ii ~d ãå và ~ö

0

`f ` ãô `g 8 î f f f h¿ ¨ ` sô `à ¦f #y ï g ° # `g x¾ d å h
Q©

dà sô `g ì ¡ f d e hà dà ô `d ¤e ä¿ mà

¦

!è hà D C H¿ 2¤ `à å ~ö e ~ à ` å © f ¿ f ¾

ä¿ à Ѿ Xà d e «f `f e e î Ѿ ° ö ~ Cf ãô `à

f



¦ `e Tå h¿ dà ãô dà l Hì `e å e hd à ~x u `f ãå ë ~è Ð `e ! f f
(t)

C d ¿ hå 8 þ uÐ ý C &¿

¿ f ¾ df ãô `à å F ` e f hå à þ ä à ä à ¿ å ée hè äg g C ¤ å f ¾ f ¿ C h ¤ å e äd à 4¿ C ¿ e ¿ h¿ à ~è C ¿ `¿ e å e `¿ ée ©è
[0, T ]

& $¿ à f h¿ ä à å ¿ «f e `e å e äd à å df `e ~ Ð e 5e ¦¿ #y ée è `f e ¿ © Ð `e ~d hÐ ` å e e `e å
(t)

C ô e hå g à C `¿

e ¡ f ¡ f ä¿ mà e `¿ e C¾ å

ä¿ à ¾ ¨ C d `f ~ Ð `d

f ¿ ` ãå e '

g ° &à ¡y #y è `à å f d u f df sô `à à à å C ¦e ãÐ `à ¡ d u¿ l `g e ãå äg à `¾ `e å
v

üö ée ¿ ¾ äd hÐ ä ¤ f `¿ e ¿

d 8å à hè à ¾ f üd p ¡ e `¿ e q ég äè ¸© ÿà æì `e `d e äè ãå `g ve
(t)

mà hå å à ö

Ce p à å u p `à C ¿

hå ãå `þ hå à

`d ©e v äà à v¿ sö d u¿ l i de ô e D 5e C `¿ e ¿ hå äg à ¡ f éþ è h¾ à î¿ ÿ}
v

u z

v îô þ r© à ¡y d å äè mà ¡ f éþ è C ¿ `¿ e å e `¿ ée Cè
f f
0

¨

¨ ¿ l ` f u¿ ì å Ñö ` ~d ãÐ å `è äö e g ï à ¿ ä¿ à ¡

8

ì © `e µ k è C áà `e ¾ Ð

Ѿ C ä¿ #Ð äè f f e »d C §¿ sô kg w è


` hå g hå `à å `e he `g ¡ f h¿ à `à ` å e äe g ¡ f ä¿ à P C è $f îf à Ñö I Cû p q f h¿ à ä¿ éà äè Ð hè à ¿ C T¿ f h¾ g `è `e &à ¡y d »å ° ö ` ` äe g ô mf ée à f 2i éà ãå e « äè dà 8 f ¡ f `è e 2 f l
f

f ä¿ à f C ¿ ¡ `f ` de e Ö¿ #y ée

à ¾ f d ¿ l ì î þ v¿ ¡ f ä¿ C hå éà è

è è hf g d `à Öö q `g å 2i éà äö ä Ð `f e H u à éà ~è uÐ f è C þ ä¿ éà

` d `e ä¿

k 8è è mf e f f e äd hÐ à è ~ Ð

¨ & r i Ii ` ãå `g ãå f `è e e ¤ å ¾ å ä¿ ä¿ @Ð å e ô ¿ df

v¿ äö e å à Ѿ C Õg e ¿ 2 à

ß

å å då ½ô

C © 3 ¡ i ° à ` å & d ¿ Õf `d


¡ f d C ` æe {ì äe hÐ à

d l he g e v¿ ü¿ f å e

z }{ iy G 1~ y ¹ ¨~ ' 2 | )µ }v y ¨ P$ P¨ d$ #¢ ~

#Õ ÃÔ Ä B Ä l #Ä Ö !Á À

[0, 1 ] [T - 2 , T ]

`þ å C¾ è î¿ he ¤ ~¿ `þ © `e

3¿ ¿ `¿ he ¤ ée è d ¿ l ì `d ) ô e ¿ `¿ `e uå `¾ f `f ` de sô äf g d k þ ¿ ä¿ dà ãå ¹ å e ¡ f h¿ uå ¤¾ µ q `g
0



f0 (x)

f

0

v

C

4

0 (t)

= f -f

0C

[1 , T - 2 ]

à ¾ ãå »¿ `e

f ¿ C ä và ~ö © å e Tå vt p



e ¿

)

`

¿ ä uÐ f ä¿

C



è

h ê } ãå `g 5 ß äè Ð à äd hÐ à sô và sö à g `e å e `¿ f hå `g u ` le ß hd `g le ß `e å e `¿ `à e `g 4 f u hå sô và u äd à và ö `


f0 (x)

¤ ¦e hå e ¦¿ ô C ä 2¤

m = min 0 (t)

[-T ,T ]

f d `¾ `e Öå hå `g e `¿ hå hg à

ô ¾ ä¿ Dg è f ` å ée hè äg g


2t L

t=0

x

1

+

L-



+
x
2

L-





f d ¾ `e §å ~f Ð df ô ©

¦

2t L

x

1

x

2

t=0

dx f0 (x) - t
4



2 0

e

f u¿

t

à f ä¿ à sö à !e f
r i 0

`e å e ` e

ée è ve ö ée

f (x) = f0 (x) + v (x)
v


v (0) = v (L) = v (0) = v (L) = 0

f0 (x)

min

11 4, 4

,

4 24

t

[0, T ]

d l
l



f sö à hÐ C å f

©

è å ß ` e å e äe g ve ö
V


z `| |
dx = = x (x) + y 2y dy = 2 (x) 2x (x) + x x (x) + x (x)
x2 (x) 2

và ö
¤
x
1

p d ` `e ` he l¤ à Ѿ C l¿ )


và ö 0¤

f © ° ö ¤ `e å
(2)

e ä¿ à C¿ ô e á `þ

y -t
2 3

f `e uå v¾ `à e d å
y v

¡

f å ¦e å äf g `f Ñ Ð e `¿ á þ h à h à ¿ f d u¿ l »ì d ) ô e äd g e p `f å ¨ C ¿ e Ö¿ #y ée äè Ð `e è e ¿ ¤¿ à f ä¿ à ¾ f ¿ C ä ¤ ¤e `à ée hè `à 2© à í
= 2 L
L-

"

à ä g ¿ 2e e d v¿ hg


C

áõ áè Cþ ô k Öè e d¿ ~ö he I¤ ) ô e hd å v ãô và ö g e ¦¿ #y ée è ¡ f h¿ à ~è Ð `e hÐ `à © f ¡ f ¿ F ` e f ä 1¤ à å ¿ f éf è v sô và f # e å b¾ å å f ä¾ Ög e Ö¿ #y ée è `f ãå `g e ¿ ¨ © ¹e ¡ f
t < min{ f0 ( ), v

¦g v ô éþ è ` sö à ô C ä h¿ à ¾

C ä 2¤ `à e {¿ ¡ éf 2¤ `à å ¿ f ¿

å ¿ f áè þ kf ä ¤ e

¦f äe 2¤ h¿ à ¾ f ¿ ¿ F ` u EC f hÐ Tà pû

v¿ sö à ä ¤ äf g sö à h he

¤

äe ¤ e hå äè à å 8f ì u¦ e e ¿ ¿ F `

H g ` e å e hf

e v¿ äö `è `e ãå è de ô `è `e g d 8f

`e ~ uÐ `f e e m µ C h 1¤ `à uå ãå g f l æì he ¤ e

$ 1 `à ¿ f ß ` e

0 < 1 <

c=

d d 2t c2 (f0 , t) = dt dt L

c > 0 1 > 0

m 3

(1) f ( ) > t2 , f (L - ) > t2 ,



f (x) - t

||v ||

f (x)

y min{f0 ( ), f0 (L - )} > t2 .

L-

C

f0 (x) - t

d d m c2 (f , t) - c2 (f0 , t) < dt dt 3



} z ¦ °õ u f ¿ uÐ ¦f he ¤ `e h à æ e v¿ äö `e ~ uÐ `f e 8 g e d ) ô `e §å q `g å C ` © ~e Ð C ¦ e ¿ `¾ e å hå g ve ö `è `e ãå e # å d hå g Ii ` e d C ¿ df ~ö e å 2i éà è f f dþ ô C h 1¤ `à uå ¿ f hC à f ¿ ¨ C l äy C ±| } z ¦
c1 (f , t)
4

2y dy = (2x (x) + x2 (x))dx

d d 2t c1 (f0 , t) = dt dt L

y 2 = x2 (x),

f0 (x)

<

2

3

a · y 2 = f0 (x)

dx = 2 L f0 (x) - t2

-

1

c3 (f , t)

dy =
2 3

f0 (x) - t

dx



||v ||

f0 (x)

(x) +
C
0



(x)
2 3 [,L- ]

= max |v | <

(0) = 1,

x (x) 2

f0 (x) - t

< c x [, L - ].

L-

dx

a=

x2 (x) 2

dy = (1 + h(y ))dy , d dt
f0 (0) 2 2

dy .
1

à ¡y d å

põ e ¿ ä¿ éà äè à ä à § h¿ éà è Ñ Ð äè và ö `à ~ uÐ `f e l ß



ãå `g 5 ß

`è `e ãå le ß

t f0 (x) - t

2

dx =

f0 (L - )}

y

à f h¿ à ä¿ éà äè Ð f ãå `g e ¿ h¿ `à © he `g e `g ãå à 0 ô
q

å e äd à !¿ Cô ö


Ñ÷ `| |
2 g (t ) ay - t = a
t a

è `e hå 8e dß f d &ö 2y éà ©è d `¾ `e 3å ¨ C `e å e äd à ¿ ø p f f ä¿ à Ѿ C ä¿ @Ð `è e ¿ `¾ `e å 2y éà `è e e ée äè à ` äe à å 1 g df ô F ` äe Ð ) ô e ä `g `e éþ è 1 hg và ö æ µ 1 à f ¡ d ¿ 8 ì e ¿ h¿ à ¾ f ¿ ä ¤ e q `g ãå à 0 ô
t a

¨

dà ö

¤

f f © de ô k è e ¿ ä¾ à `¿ e äd äg à © q g hå à ô Q &à ¡y d å e å F¾ á äè &à Py u d e ø `e å ¾ e `¿ ãå äg `à ä 5Ð f f f d ¿ l 4ì `e © äe ¦g d ©ö y éà ¢è uå
h(y ) ln( ax + ax2 - t2 ) ~ (t + th(t)) a
t a

f ¡ d ¿ 8 æì ¡ f x f þ ¿ Ñ uÐ ä 4g ¿ hå g ¿ e 3d ¨
y0

h¿ d `

dà ãô dà sö ¨ v Cd å `e å e

à e ô k $è e `f ãå éà hd à ý¿

5Ð 0 ¿ h¾ à `¿ e äd hg `à `è å me e Ö¿ Py V â hg và ö æ ø

y

ã


¦f `¿ á þ ä à ä à ¿

õ và ö `f ¤ q g hå à ` á äþ g f h à ä à î } u z ¦ ° ö ¤ he í d ) ô e äd `g e ¦ f § ¨ v ô k Öè e ¿ h¾ à `¿ e äd hg `à t© ø và ö
h(y )
d c dt 1

(f0 , t)

2d d t c1 (f0 , t) = dt L dt





y0

t a



y

(1 + h(y )) ay 2 - t2

dy

(x)



} z
d ¦

t0

h(y ) =

(x) + 1 + a1 x + o(x) + x(a1 1 + a1 x + o(x) 2 = - 1 = 1 - a1 x + o(x) - 1 1 + 3a21 x + o(x)

= -a1 x + o(x) = -a1 y + o(y ) = y g (y ),

C ¿ h¿ à ¾ f ¿ ä ¤ ¤e ¨ C ` e å e äd à ¿

và ö

¤

`e å v¾ hå à d sö dà sô ¦g ° Tö 2i `g üå i¢ p f d ¿ l ì f d ¾ `e §å ~f Ð df ô © và ö `f § # k è `f hå dg sö à 4 C ¿ #e `e uå p¾ e v¿ ö `f
y=0



y

~ h(t) = h(y )

ay 2 - t

(x)

x (x) 2

2d = L dt

2d ~ (1 + h(t))t = L dt

2



y

dy =



t

1 2 = g (t ) ax - t a

h(y )dy 2 - t2 ay -1=
t a



y

h(y ) = y g (y ),

2

ay 2 - t

y g (y )



ln( ax + ax2 - t2 ) a
2

1 + a1 x + o(x)

~ h

t a

dy = g (t )



y



y



t2 a

2 y

2 - t2 ay

2 - t2 ay = dy dy g (t ) h(y ) g (y )
t a



+o(1)) 2

y

a1 = (0) = g (0),

t a





2 ay - t a

ay 2 - t

~ h(t)



t a



-1

y

y

y



t a

-1
y



2 2

dy (0) = 1 h

©

1

¤


0

ô `à e

2

C à f h¿

C

å ä h¾ þ äf Ѿ

f

ð ð

þ $ à f ` e I

h `e uå
C

éà è e l e å 5¾

uå ¿ éà 5f f ãô ¢Ð 8

»¿ äè à °¾ hà dà ô `e ¹© à ¿ ÿ} ÿ} u z ¶¦ å §e 1 `g de ô C ¾ df ~ô å ve ã d } ÿ} u z ¶¦ e ¿ ¾ hf ¤ de &à ¨y C á `þ Ñ ° î þ `e å ò ð `e á Ñ ° î `þ h à ð `e `þ © `e å Ѿ p d ä¿ mà I äè Ð `e è e ¿ ð å f ¾ f ¿ C h ¤ e e Ö¿ #y ée uè e å I¾ e v¿ ö f e 3 `à de ô k 1è äè à å Ñ Ð f à f h¿ à ä¿ éà äè Ð æf éà è ` e ¿ ð e æ `à Ce ô h¾ à f ä¿ à ä¿ éà ~è uÐ Öf éà è ` e ¿ ð e Ö à de ô k uè e © äe #g ~ !Ð hå à e # de ô k è md à f ä¿ dà ô F © ve ö e ¿ ä¿ éà è Hf Cë p `d `e F © ve #ö Q 8y f # } } u z ê¦ f f ä¿ &à #y de ãô Ð C `è e hd äg à ¾ f å `e uå é è põ e v¿ äö `e ä Ð `f e H e ` `e å à f ä¿ à l e ¿ C Q© `þ à f h¿ à ~è Ð `e p df sô äg Ôà ¿ d ¿ l ì e d¿ ~ö e ~ Ð `f e ¤ Dg hå và ö ~e Ð `f e D `e uå Ô¾ å `¿ e e Ö¿ y 5 ô ãå g C æ¾ ¨ C `¿ 0 ô hå `g de ä¿ `à C f î ÿ} ÿ} u z ¦
0
a - t )

ô ¿ å C ` Q© à 5¾ ¢ k uè ãå à ä¾ dà ô dà ô ` e `¿ á þ ä à h g C ä¿ {Ð q g å f éþ hè à ` äe à æå à ä¿ éà 5 µ 1 à f ¡ d f f ä¿ à ¨y C á
2 y

à ¹¿ å ä¿ f è ~ ¿ `þ

f Vç è å ö f ä¿ à f f q `g ãå g äè Ð ` de f ì # h¿



d d f f q g hå à ÿ} }

z

¦
- 1 t

è f ¾ C ô e s d } z §¦ h Ð C ` © he à l ß f § P v ô k Öè e ¿ ä¾ à ¿ e hd äg `à »© `e ãå ) e `¿ ) sô `à å ` ` ve sö Cà ãô vg p `f ãå `g e ¿ h¾ à `¿ e äd hg `à 2d q g å éf äè à hå ýg 0 ãô `à å C ä¿ éà è ~¿ Ð 3 f ä¿ à ¾ f ¿ C h ¤ e f f d ¿ l ì `e ãå ê ) sô `à å df sô g lf
= = g (t ) a(ln( ay +
2 ay - t a 2 g (t ) ay - t 2 2 ay - t2 ) - ln t) t0

~ - (t + th(t))

2 aL

t [0, 1 ]

¥C

g äè `à ãå g äf g ø he ¤ e ¿ ¿ Ñ Ð `d ¨ & ¨ © e ¿ è f ¿ C hd
m 3

`| | v ãô và ö à ¦ hå g ée è äf g f Ñ Ð `e å C¾ e 3å ©f C `¿ 0 ãô `à uå Öf #y de ô dþ sô và sö à m å df ãô g f á¾ `þ 8 e ¦¿ y ée è } u u ©z éè äè dà ©ô h Ð ) ô f d `¾ `e ¦å p q å k )i Hô g `¿ 0 ô ô
0 ô Dö C ve ö Ð pf e C ` © de ~ö e u è hf I¤

C

Ѿ ° ö ~ Ð î þ ¿ ` `e å hd à C å f f ¡ d å m¾ &à ¡y d å è f hå éà `è üå ÿ¢ ` de ô ä 1¤ à å ¿ æf C u f ¿ C ãd v ö ýg uå f hå g e 1 e Ö¿ #y ée
f (0) > 0 f (x)

g å i ` ¿ 8 §ì å C u `f `e è e ¿


f ` `e © ¿ hå © e ¾ hf ¤ de

e © e à ¡y d {å ¹ö î¾ á äè à å f ä¾ g æþ á à øï þ o e h¿ à ä¾ éà e
f (x)
1

h g $f hå g è # hå äg g C Cô ö d ¨ `e uå ¿ 3

i

ä¿ éà sö d f `¿ ° g p e dà uô

~ ~ (1 + h(t) + th (t)) ln



1

(0) = +

t a - t ( ay +

v (x)

~ h(t)

a

2

f0 (x)





f0 (x) + v (x)

ay +

C

1

2 y

ln( ay +

t=T

t0

2 ay - t

2

2

2

2

- ln t

a 2 - t2 ) - ln t y a

C

2

-

ln t a

f (0) = f0 (0) + v (0)

h(y )

t0

f (0) = 0 f (0) > 0

C

4

f0 (x)

v (x)

-1

t0

(x)

0 (T )
0 4

å e

e e e éf `g äè

`e å ¾ `¿ ãå äg e ¿ ä¿ f f

e d¾ p ¨ ` á á è hå éà `è å e à Öe h à ä `à © `g #e éf áè þ l ì à f


å f d he d ¿

`þ å f he 1¤ äà à å ¿ ä¿ d `e

ü¾ w g á và ©ö y à l è f å ée äè hg g áê và &ö #y e á `þ h à @å e ¿ h¿ éà è «f uå ¾ hå à d sö dà g C ¿ f ¾ df sô è de ô C h 1¤ `à uå ¿ de îô `þ c© d 8 f ¿ g f á¾ ãå g `¿ éà è ¿ à e i `e g ¿ ¿ ä¿ df å e f äè f î h îe & `¿
(T )

0 (T )

(T )

} ¦

v

f ß f ¿ sô `à f y `þ e d e h e e Ð â d ` à ¿ Fô
k

h¿ dà ãô e å ¿ ~è uÐ æf ä à `¾ l Öì éà äè Ð d uå `þ ¦ e ¡ f h¿ á þ 3¾ Q þ

éà è äe ¤ ä¿ éà à ð ¿ Ñ Ð à ¨ h à h `¿ v



©




Ñ `| |
s = f (xi (s)) = f (x0 ) + f (i ) 2 xi , 2

dà sô và ö `è ée è ~ Xg â s G z ÿ} u z ¦ 3 ¦f e å C¾ à ly à å
1

hè à ¾ f ì¦ f d ¾ `e å áà þ ¿ `¾ `e å 2y éà `è e áà þ ` e å e äd à ý¿ ø ÷ } z
¦
f (1 ) + f (2 )
f (1 ) f (2 ) 1/2 f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 1 ) f ( 2 ) 3/2 1/2

d





z } z
¦

ãõ u z ì¦ ö `f ¦ hå hà éà è æf ©f C `¿ 0 ãô `à uå Öf #y de ô e 4 d Tö 1i g # ¡ f d ¿ l ¦ì hå 0 äe ¤ e 5å éà `è e l y µ f f d ¿ l ì e `¿ á þ h à ä à ¿ å Õe `è de ô C ä 2¤ `à å ¿ of q `g ãå à 0 ô à ée äè à s ¤ d ãô »g `à `e h à 1 hg và ö æ
4 (t) = L
0 /2

põ ¡ f h¿ à ¨ ` f f d ¿ l ì Cô dö d z þ¦ à f ä¿ à ¨y C á `þ ¹ è f å ée äè hg g f ê y f d `¾ e å `f ãå `g e `¿ ãå äg à `d e 5 å vf äö Fe g f e Ô `e 5å C `¿ 0 ãô `à uå Öf #y de ô e f `e å Cf ãô äg Öà `e å C¾ `à e d å å ` Q© `þ © e ¦¿ y ée °è p ¨ `¿ á þ ä à ä à ¿ f f d ¿ l æì î þ v¿ äö `e ~ uÐ `f e ¤ ¡ f ä¿ à Ѿ C ä¿ Ð
C
4

||v ||

i , i [1 (s), 2 (s)]

è f r Ii ¡i f d ¿ V 2 `g de ô ` ` îô `þ ë© ÿ}

d sö dà sô #g ÷ z #f z l ¹ì ãå è `f ãå vg sö f ~e Ð 0 ô e ä g æf `à hå `g 0 ãô u z éþ éè hè dà ô à ` hå g )
uT
2

u éþ éè äè dà pô à xß µ ¡ f ä¿ à f `à Ñ Ð `d ve ö f å Ñ Ð `d de ¤ö
(u)

z 8 å ãô à

è f C y Ce hô Ð f d u¿ l fß f 8 pß

v äö e 1 éþ ¹è äe ¤ C æ äe ¤ e hå x ãå g C l ¤ì à f ä¿ &à #y de ãô Ð f ãô à ée äè à
- f (2 ) I2 (f ; t) - tT
f (2 ) 2

<

1 , 1 [x1 , x0 ] 2 , 2 [x0 , x2 ]
3

4t (t2 sin2 s + f (x0 ) cos2 s)ds + L

(s) = (1 (s) - 2 (s)) f (x0 ) - s

(T )

|x2 | - |x1 | 1 =- |x1 ||x2 | 3

`e hå 0 ¾ ¨ C `¿ C `à e và ö à s ¤ d ãô

=-

=

=

I1 (f ;t)

x2 =- x1

f (1 )(1 (s) - x0 )

-

f (x0 ) - f (1 (s)) - f (1 (s))

f (1 )

I1 (f ; t)

-

f (1 ) 2

f (1 ) 2

(1 (s) - x0 )

f (x0 ) 1 + f f (1 ) , f (2 ) T
2 0

-

/2

,

f (x0 ) - f (2 (s)) f (2 (s))

x1 =- x2

(t2 sin2 s + f (x0 ) cos2 s) · 2t sin2 sds,

f (2 )(2 (s) - x0 )

-

f (2 ) 2

(2 (s) - x0 )

f (2 ) f (1 )

I2 (f ;t)

2



3

= f (x0 )



i

hg và ö

æ

© e hè ¿ ì ê
¤

I¤

f

$ô äd ¹ ©g `à

bx ö `f H `è v C h¿ và ö hg `f å `e å é è äe 3f Cà ãô g å 3 ä

dà ô ¤ à ¾ 2¤ «à e ` e

äe hf f à h

v æö 3¿ v îô g f ¾ `è e `à å è

áõ ! þ !© äd hg à ¤å f ` å

è C he ¤ é¿ e h¿ éà ¾ å d ö äg g
¨

~e Ð e ¿ f ä¿ và ée hè

à è $ C h và ö

¿


f (xi ) = = (f (x0 ) - f (xi ))
1/2

=

gi (µi ) = -

° d `¾ e å î þ ¿ `¾ e å 2y éà è e ¤ u f `d 0 ô e äd äg à 3¿ î þ ¿ h¿ dà ãô g f á¾ `þ p f f ¡ d ¿ 8 ì î þ v¿ äö `e ~ Ð f e ¡ f ä¿ à Ѿ C ä¿ §Ð å e uå q g `f ~ Ð f v e ¿ ä¿ `à hå g hå `à å `e äe g df ô f 1 hg và ö æ

1 2f (µi )(f (x0 ) - f (µi )) + f (µi )2 = (-1)i (pi + qi |µi |) 2 2(f (x0 ) - f (µi ))3/2 [x0 , x2 ] µi = µ i - x
0

µi = µi (x) [x1 , x0 ]

p

i

q

i

f



} z

¦

`e uå v¾ hå dà ö `f e v¿ ~ö ` ãå là ° và ö `f @ `è äe I¤ d ö î d ~} ó| u u z ¦ à f ä¿ à y Ce hô Ð C $ &à ¡y d å äè mà ¡ï f ä à ä là ß

Ñ `| |

p f d C ~¿ 3Ð ¨ F á þ å f ¾ C e `¿ ) sô `à å ` ` ve sö Cà ãô §g f
x2 =- x1 f (1 ) . f (2 ) f (x0 ) 2 f (i ) 3 xi + xi , 2 6 1 f (1 )x3 - f (2 )x 1 3
3 2

äe ¤ e 5å éà `è e l y

° ~ö d å e ° ~ö d å e và ö f
=- 1 3

f (1 )x2 = f (2 )x 1

2 2

s = f (xi (s)) = f (x0 ) +

f (x0 )(|x2 | + |x1 |)(|x2 | - |x1 |) =

|x2 | - |x1 | 1 f (1 )x3 - f (2 )x3 1 2 = |x1 ||x2 | 3 f (x0 )(|x2 | + |x1 |)|x1 ||x2 |
x2 1 f (1 ) - f (2 ) x1 = 3 f (x0 )( x2 - 1)(-1) x1 3 x x
2 1

f (1 ) + f (2 ) f (x0 ) 1 +
f (1 ) f (2 )

f (1 ) f (2 ) 1/2

3/2

f (1 ) f (2 )

1/2

.

f (xi ) = f (x0 ) - f (xi ) =

i (1 ) 2 f (x0 ) + f (x0 )xi + xi 2 (4) i f (x0 ) 2 f (x0 ) 3 f (2 ) 4 - xi - xi - xi 2 6 24 (4) i f (x0 ) 2 f (3 ) 3 f (x0 )xi + xi + xi 2 6 i f (4 ) 2 xi f (x0 )xi + 2 2 i2 -f (x0 )|xi | + gi (µ )xi 2 f
(4)

¤


ù |
|I2 (f ; t) - I2 (f0 ; t)| < m . 2
i

`þ © å C C 4f e `f
0

d¾ p d å ¿ ä¿ Ð üe C 1 g ¡ & 1 g d uô e # f

¿ ` Q© `þ µ h¿ éà ~è Ð f de # ~è Ð f Ce ô k f d ¿


e äf g `e © à 4¿ é¿ 4è ¡ f k hè äg g

d 8f î þ ¡ d v ¢g

f 8e ô g

¡

è d ` e © $è u mf Ѿ C ~¿ ©Ð å d ¿ 8
¦

ÿ} u he H¤ ð ¨ © e ì î

z ú¦ ¡ f h¿ ©} ve §ö q 2y Cà Ñô à C à f q g þ v¿ äö `e ~

&à `g å ¾ `f Ð f

#y de ä C sô ~ vÐ e

hô i ¹ à þ v¿ äö ¤g © e l f ¾ df sô ä¿ à Ѿ

Ð © áà äè mà þ ¿ ¡ f

¨ ée `è `e ~ Ð f e g¦ `à o Tø C ä¿ §Ð å

áõ `è e p g l dß d `¾ e $å î þ ¿ `¾ e å 2y éà ¦e à f ¡ q g `f Ñ bÐ l `þ

~e Ð C ` © Xe è mf Ii d ö dà ãô 'g å `f hå `g e ~¿ Ð C å 3e îf è e Ô f f d u¿ l $ì î þ d¿ ¦ d uå ¿ hå g ¿ e d áà þ ` e å e äd à ¿ ø
0

ãå vg sö à ¦ hà dà ô x f ~ö e ~ Ð `f e à d ¾ `e &å và ö ¤
1

áõ è f u¾ ô e T d ~ ó| u z hð `| ±| z »¦ 3g f äf ¤ Ce ô C ¿ le ß

xi = i (t2 ) xi = xi - x

A + A i xi + A i x 2 + A i x3 1 2i 3i , i i i i i B |xi | + B1 xi |xi | + B2 x2 |xi | + B3 x3 |xi | + B4 x4 |xi | + B5 x5 |xi | i i i i

d

e Ö¿ d &ö f f }

#y ée vd ö 2y éà h¿ à f z

áõ è f ¾ C ô e s } z ¦ &à ¡y d 3å ¨ F á þ å f ¾ C e `¿ 0 ãô `à å F ` ve ö dà Iô Ò
0

và ö
¤

x

A, B

x

Ai (t) =

A + A1 x 1 + . . . A + A 2 x2 + . . . 1 1 - 1 2 B |x1 | + B1 x1 |x1 | + . . . B |x2 | + B1 x2 |x2 | + . . . 2 1 AB (|x2 | - |x1 |) + B (A1 x1 |x2 | - A2 x2 |x1 |) + A(B1 x2 |x2 | - B1 x1 |x1 |) + . . . 1 1 = 1 2 |x1 ||x2 |(B 2 + B (B1 x1 + B1 x2 ) + . . . )

=

2

A |x2 |-|x1 | B |x1 ||x2 |

x

1+

1 B1 B

µ1 [x1 - x0 ] µ2 [0, x2 - x1 ]

Ai , B j

x1 +

1 + B (-A1 - A2 ) + . . . 1 1

(t2 ) = A1 (t) - A2 (t)

i k

2 B1 B

i = 1, 2 j = 1..3 k = 1..5

2f (xi )(f (x0 ) - f (xi )) + f (xi ) Ai (t) = - 2f (xi )3 f (x0 ) - f (xi )

x2 +

f

1 B1 B B2

2 1

(t2 ) = A1 (t) - A2 (t),

x1 x

2

) de uå äf g và ö f g ä 2 ¨

ô k è ý¦ `f Ñ pÐ `è Ð ) ô e

e e `¿ e `¿ 4 `e

` `e å á þ ä å v¾

áõ `è äe Ð C ` © Xe e hd à ¤¿ î þ ¿ h¿ dà ãô g f á¾ `þ p R ð } ve !ö å à h à ¿ e å m¾ b ~ö e á `þ å v sô à f f e ¿ å ¡ ¿ 8e °ß ` e vd ö d ` e ! f 2ï ág þ H þ
µ1 µ (t2 ) = A1 (t) - A2 (t)
2

è å de và ö ä¿ Cà ä¿ dà

r i C &à y d ` e Ö¿ ô hå dg uô ¾ þ

'g å f ° µ f d `¾ f d u¿ l $è ã d ÷ ÿ} å C ~¿ Ð `e ©

¿ ü¾ u F á¾ `þ sö dà sô å f #y ée sö à h¿ à Ѿ

u e §å ì u z t¦ f ¾ ¤e éf

hå `g e & `e © î þ d¿ h C ô e p è ¡ f

§ì i u ` `e å e ¿ ä¿ éà hè à ä à ¿ 8 4ì d u d p `þ © hè à C ¿ f ¾ §¿ # | Ö¿ ¦è d f í ¤e `g à `d e ~ å e à g ô le ß ¦¿ 8è } u z ¦ và ö æ e äe g ~ö e à ä e `¾ e
#y ée `f ãå Ð `f e å 1 y ée å äe ¤ e
x
1

0 < m < min 0 (t)

[-T ,T ]

C ¿ äè à ¾ äà dà ô ve &ö ¨y 3d f de ö å de uô ` p d å
>0

e þ© à f ä¿ à h¿ î hè à ä
f

&¿ ãå à éà ~è Ð þ d¿ ~ö à Q© îþ

e Ѿ f ~ Ð Râ

Ii v uô ¡ h¿ éà à vå



ô 4è l f

hå g `¿ e Hd ¿ î ä¿ éà äè à ä !d P k ¿ ä¿ dà sô


å ¿ äç C þ ¿ #ì d e

hè à äè g f

Ii ¿ F à hà dà ô Ö äf ¤ e à f ` å p

(t2 )

(t2 )

f

v=0

xi µ

f=f
2

(t2 )

hd à ¿ 5 Ð f R ð } e å ¾ æþ lç hå g 5 ß `e å 4¾ e `¿ ãå äg é ä Ð ) s é¿ 'è 1 hg

f

f


u| |
I1 (f ; t) + I2 (f ; t) > I1 (f0 ; t) + I2 (f0 ; t) - m |I1 (f ; t) - I1 (f0 ; t)| + |I2 (f ; t) - I2 (f0 ; t)| < = 0 (t) - m min 0 (t) - m = 0.
[-T ,T ]

õ C ¿ ) ãô à å Öf #y de ô e k éè è ã ¦g hå » `e uå v¾ µ q ég äè à v ©ö y `à I©

á è f ¾ C ô e v

0

Cô üö à f h¿ &à ¨y C á `þ
j

à f ä¿ à ¿ C
x [a, b]





`þ © e C ¿ hè à ¾ äà dà ô e r© à Ö¿ î þ ¿ ä¿ éà hè à ä à Ô Ð ©f de ©ö ¨y ¦d f f ä¿ à ä¿ éà ~è uÐ ¦f f ì¦ î þ ¿ ä¿ éà äè à ä à 3 u hf ¤ e é¿ æè ¡ f d ¿ 8 æì å e ¡ f d ¿ l mì d d `e å ¾ á è f ¾ C ô e ü e ¿ ¾ äf ¤ de ô C ¿ ¨
f (1 ) f (2 ) f (1 ) (t2 )

å C¾ p d å ' q `g ãå à d îd z h¿ éà uè
ï

l ß
¢

hå à ¡ h¿ éà } z ¦ & f hå `g å


¾ ~¿ Ð ~è Ð 8f de î ée è df ~ö C ` Q© `þ
f

5e ô # ~ç ÜC ô þ e ~ Ð `f e `e äe à ¿ f de ô hå

C de k fè d¿ ~ö ~ © ¦ 1 `g

5g



f (2 )

|I1 (f ; t) - I1 (f0 ; t)| <

f hå `g e m¿ © §e ¡ f ä¿ à ¾ f ¿ C ä ¤ le hÐ îà û ã hà `g 4 0 ô ¦ö f `þ © `e uå V¾ f d `¾ `e å
m . 2

f

he ¤ `e þ© 0i 'ô 0 Cô f å å f ä¾ ©g ã hà `g 4 0 ô ö hå `g e `¿ hå hg à `d 2e Ii d å äè

f0 (x0 )-f0 (a) 0 4

f0 (x0 )| < /2 0

à h `à Q© îþ Öâ

(i)

=

f0 (a) = f0 (b)

t2 [f0 (a) + , f0 (x0 )] 0

[1 (f0 (a) + ), 2 (f0 (a) + )] [a, b].

äe ¤ `e þ© )i 4ô 0 ô uö áõ è f ¾ C ô e C
f (x) = t

|(I1 (f ; t) + I2 (f ; t)) - (I1 (f0 ; t) + I2 (f0 ; t))|

f

0

ÿà å ã v p æ h¿ à d¿ ô e á `þ Ö e å ¾ ô ãå vg äö e v e `¿ ) sô `à å ` ` ve sö Cà Iô ÔÒ hg và ö æ
i = 0..4 j = 1, 2

|f (i) (xj (t2 )) - f0 (x0 (t2 ))| |f (i) (xj (t2 )) - f0 (xj (t2 ))| j

¨ ¤

à äd hÐ à å ©e C 3¿ ¡ ¿ ` e d F © Öe hå hà éà è f
||v ||
C
4

I1 (f ; t)

|xj (t2 ) - x0 (t2 )| |a - b| < , 1

i = 0..4

m 2 m |I2 (f ; t) - I2 (f0 ; t)| < 2 I2 (f ; t) 2 = 3
(i)

f (i) (xj (t2 )) xj µ

|I1 (f ; t) - I1 (f0 ; t)| <

< < /2

(a, b)

+ |f0 (xj (t2 )) - f |v (i) (xj (t2 ))| + 2 ||v ||C 4 + + 2 2

x

2

0 0

(i)

|a - b| < /2

t2 [T - 2 , T ]

(i)

= , 2

(i) 0

mm + =m 2 2 (x0 (t2 ))| j (t2 ) |f0 (x) -
(i)



h à ä à §å ¨ F á vþ ö d uô îd Ò



1

s v ô e d e `¿ ) sô `à å ` ` ve sö Cà Iô ÔÒ ÷

ö ° ö ¤ he áí z hå g 5 ß d } e ¦¿ #y ée è


` |
4t = L
0

d

ãõ ¡ f h¿ à `¿ C § f ¿ ` e od ø ý¦ è f u¾ ô e s d u u z ¦ de Ñô è ` 8e ì 1 g f ï ` ` ~e Ð 0 ô e ä g `e F ` e ä¿ $g ã ÿ} u z g¦ ã ±| u z ¦ è ¡ f ¿ F ~e Ð C © äe à e ¿ ¾ hf ¤ de ô C ¿ ë Ñù ±| ÿ} u z ¦
||v ||
C
0



sõ "¦ e ä¿ à d¿ ô e á `þ ã f æ e å p¾ `à e d !å hå à ` ãå äg mà I ã §g `e Rå p ¡ f ¿ F ` e f ä 2¤ `à å ¿ ¤f éf è v sô và sö à ¤ g 1 `à ãå `g e ¿ h¿ `à © he `g e ãÐ `à © `è de ô ä 1¤ à å ¿ {f q `g hå à 0 ô î `þ þ© 0i §ô å e uå äf g `f Ñ {Ð e ¿ á þ ä à ä à u¿ d ÿ} u z ê¦ ¢ à f ä¿ &à ¨y á `þ p `à e ¿ ) ô C h 1¤ `à uå á¿

y
2

hà `g § éf áè f vþ äö e

f þ ¿ ¿ F ` e äf g d 8f ì ¤ d ÿ} u z ¦ 1 `d ) ô e hd `g le ß
<
4



õ ` de ô C ä 2¤ `à å ¿ 3f s à ` 4å éè è ã g è ¦f #y de hô Ð e å C¾ p d å þ ¿ C Q© `þ þ å ¿ hå g `¿ e d f ' õ f e d¿ ~ö e ~ Ð `f e hå g e `¿
¡

f h¿ à ¨ C f f d ¿ l ì



)

f Cê hå å vf äö `e g `f e ¦ `e å C¾ å `¿ e d `¾ `e #å f hå `g e `¿ hå hg à `d 3e e ¿ ¿ F sô `à å ¦f #y de ô e hå à f å ¿ C
2

f0 (y1 ) = f0 (y2 ) = T 2 -

t [1 , T - 2 ] = T 2 - (T - 2 )

d 2t d1 (f0 , t) := dt L

2t 0 (t) = L

=:

=

2

2t L

x



1

x

2

x

1

y

t = T [T - 2 , T ]

dx = 2 L f0 (x) - t2

1

+

dx f0 (x) - t

t [1 , T - 2 ]

y

1

y

2

+

0 (t)

y

2

x

2

2



2





dx . f0 (x) - t2

y

2

y1 < y

f0 (x)dx

d

} z
¦

° ö ¤ he í

`g u C p 1 `g de ô ` e s ¤

d 5å hå 5g Ú¢ äf g d 8f ì e Tå t

t

2t L



2t L

x

1

y

1 (s) 2 (s)

t [1 , T - 2 ]

1

x

+

1

y

1

y

2

x

2





f0 (x) - t

t [1 , T - 2 ]

dx

2 = L f0 (x) - t2

1 |d1 (f , t) - d1 (f0 , t)| < m 2

dx

y

1

2

=

2 L

f0 (x1 )

2 = L
f0 (y1 ) t
2

t

t1 (s)ds 2 = 2 L s-t

2





/2

m = min 0 (t)

2

2

t(1 (s) - 2 (s)) 2 - s

t(1 (s) - 2 (s))ds s - t2

(t2 sin2 s + 2 cos2 (s))ds,
[-T ,T ]

f0 (x) = s

( 2 - s) (s - t2 )
y
1

t

2



2

f0 (x) - t

t1 (s)ds s - t2

2

2

4 > 0

ds
3

f0 (x)

}


¦


|
1 |d2 (f , t) - d2 (f0 , t)| < m. 2

äe ¤ `e © )i 'ô 0 Cô Öö f f ¦ e å C¾ `à e d Tå ¦ hå `à ` hå hg à h Cg áõ è f ¾ C ô e © äe ¤ `e 5å ÿà å å e å q g `f Ñ ¹Ð e `¿ á þ h à ä à ¿ 0 Cô ö f f h¿ &à ¨y C á þ ! @ f f d ¿ l #ì áà þ `¿ 0 ô C ä 2¤ `à å á¿ dþ ~ö e f df ãô hg Cà `f ` de sô `g 8 Ð pf þ h¿ và ö ¿ ¦ 0 Ñô Ö¿ å 'e C ä¿ dà sô và äö å e f f d ¿ l #ì ¨ v¿ äö `e ~ Ð f e à ` hå hg &à #y e é¿ ¦è ¿ e å C¾ p ¨ ` á `þ å f ü¾ w
· t2 (T - 2 )2 < T 2 - · · 1 (u), 2 (u) M · f0 (i (u)) f0 (i (u)) y1 y
2

xõ ö `f ãå éà è f T # `| ó| } u z ´¦ ¡ f h¿ &à ¨y C á `þ @ `è ée äè à s ¤ v ãô g `è e `e å © `e l à f ä¿ &à ¨y á `þ à e `¿ ) ô ä 1¤ à å á¿ vþ äö le ß
2 - t2 sin2 s - 2 cos2 s = (u) = 1 1 - f0 (1 (u)) f0 (2 (u)) 2 - t2 sin s 2 - t2 sin s

bõ ö `f ' ãå éà è f I `| ±| } z §¦ ¡ f h¿ &à ¨y C á `þ @ `è ée äè à s ¤ v ãô @g `è `e h à © à f ä¿ &à Py C á `þ `à e `¿ ) ô C ä 2¤ `à å á¿ vþ äö e D `è `e ãå e » f ° ö ¤ he æí è f Ѿ C ä¿ Ð `e ¥© ¢
2 u := t2 sin2 s + 2 cos2 (s) [t2 , 2 ] [1 , 2 ]

: [t2 , 2 ] R (s) = (1 (s) - 2 (s)) 2 - s. y x2 1 dx d 2t = + d2 (f0 , t) := dt L f0 (x) - t2 x1 y2 /2 4 = (t2 sin2 s + 2 cos2 (s))ds L



`| ±| ÿ} u z
¦

° ö ¤ he í



t [1 , T - 2 ]



±| ÿ} u z
¦

(u) = (1 (u) - 2 (u)) 2 - u sin2 s -

=

M := [x1 , y1 ] [y2 , x2 ]

f (1 (u)) f (2 (u)) 2 - t2 sin3 s + (f (1 (u)))3 (f (2 (u)))3 1 sin s 1 - - f (1 (u)) f (2 (u)) 2 2 - t2

-

+ 2t

2

0 0 1 (u), 2 (u) [x1 , y1 ] [y2 , x2 ]

5 > 0 5 < =
2 0 /2 2 0

f (y1 ) = f (y2 ) = T 2 -

(t2 sin2 s + 2 cos2 (s)) sin2 sds

2 - t2 > 0

4

d2 (f0 , t)

1 (u) - 2 (u)

4

2

-u

2

||v ||

||v ||

C

C

f

2



0

0

< <

sin2 s

4

5

2 - u =

và ö
¤


} | áõ äè à f ä¿ dà sô g f á¾ `þ @ áè éþ è d ¤ q g hå à ` á ~þ Ð `d ve mö k éè äè Cà &ô Tå
t å )w »® $ 2 y h$ 2 | $ 1¨ ~ ' 0$ ~ ~ P~ Q& )ª ðv 2v " lz }{ y 2 )| w | # ~ P ² y ' d$ )~ 0 2 y ' 1| Py è # ~
0 (t) >1 1 (t) ± 1 =
x
1

°

)w ¸®

}{ ¡y 0¥ )w ®

°

y ¨$ ' z d& x

c

I 0w 2 y © d$ ¦ ' I 0w d¿ 0¢ d x ã $ ¦ ~ â
V

0$ 0 # ~ # )~ l~ { ¦~ P )~ þ 2 ¶| I ¨ ' i~ 1 ¹x ¦~ ~ 2¢ 1| y 0¥ hw 2 ¦y i H )y P ² ¨~ ¡¨ w å ± 0w 0w )¿ ¬ )y 0 hw w #{ h$ 0 y { l~ l{ w @{ 0z ¨ ' i$ ¬v lz h{ y $ d¥ )x ¬v o| { ~ ë² H' o¯ )ª v 0x y # )~ s® hµ | x R RÆ (3 pÆ (X pÆ X lÛ g g #Ì &à ¡y f C¿ á hè Ög `e hå `g ) sô `à å ~ Ð `d me x

w I{ hw Q© ª $ 0$ P® ' 1~ s| r P{ ¨x P' g u| $ H y v x ¸{ y )| 2w | dª dx 2¢ 1| y 0¥ 2w 2| | )$ v ¢ }{ 1y ly I{ ùw ± å då ä ½ ¯ è$ $ · $ z ¸{ y )| 2w | 1v 0$ 0w 0¿ 2 å 0$ h 0 2 iy uv ¨$ )' Pw ' P¢ ë² )~ 0 q ~ d ¢ y $ þ ± w y 0w 0z P$ ¨ d$ d¢ ¤x ¦~ ¨~ Q& )ª Êv
Q3 = {HL = h}

{ i~ þ 2 ly #{ d$ 0$ ð® | $ ¬ iy v



w #{ $ þ y u{ $ 0$ ® Ì| è$ $ · $ é l$ }{ y )| 2w p| ~ I ¥ v $ 0~ â


I 0w ¡y 0¥ 0w ¨ $ · r~ y 0z h iy 1 0¢ # ~ é¢ 2y y qv P~ R& ¯ å

{ )~ þ 2 ly #{ $ ¦ 0$ é® ý| $ H y v

I{ hw 0© 2 # i~ 2¨ # )~ ® @{ )z G ~ # ~ 2¢ )y ø | $ ¬ iy v )y ¨ ' i~ 1 sx 0$ hµ | x



ly }{ y 2 )| 2w l| 0$ h 0 y 1v ¨$ )' Pw ' P¢ Q² )~ ) G ~ d ¢ y $ þ 0$ # ~
C
4

R

{ i~ uv 0$ 0w 0¿ y # )~ p® w

Û d Pd !Ü Â Ò f Ñ Û I !Ü #Â d d h e

0z y #® 1~ |

w

å då 0w 0w d¿ 0¢ d x ã ½ ô lz }{ iy G 1~ y ó I¨ I ¨w ' i~ }v | x ¡ bÆ T bÆ %T pÆ X hÌ dÏ Ë `Ç é× Í fÌ Ø hå à u hd `à Vå `þ ¦ e ¿ h¿ dà Cô sö éà hè à &¿ u u ¤z ¡ `f hå vg ö dà ãô 3g 8f ó| } u z éþ äè à ` he `à 8å 5Ð è f ï h¿ éà ¦è å C f Q© `þ © e Ö¿ y ¿ p d 5å

0

áõ è f ¾ C ô e ã ±| ÿ} u z !¦ ã d Ñù ±| ÿ} u z §¦ ¨ ` á `þ å f ü¾ w

0 f0 (xmax ) f (x0 ) max

=

f (xmax ) f (xmax )

| (t) - 0 (t)| = |d1 (f , t) + d2 (f , t) - (d1 (f0 , t) + d2 (f0 , t))|

(t) > 0 (t) - m 0.

|d1 (f , t) - d1 (f0 , t)| + |d2 (f , t) - d2 (f0 , t)|

1 1 < m+ m=m 2 2

1 2 3 4 5

g=0



0 (t)

( )

V (x)

å

q{ ~

{

iµ qv P~ r& )~ #¥ ~ h$ | ¨~ ý 0w s® $ ¦ ~ â å

}$ 1| | )$ v ù¢

I 0w d¿ 0¢ d x ã

c

q{ i~ þ 2 ly #{ $ ¦ 0$ ÿ® ë| è$ $ · $ » $ ¸{ y )| 2w p| q | 2 2y y I{ ëw hµ | x Py h$ #© ~ v u® # 0$ 0 0 ~ 2 | )~ g® hµ | x

R

CÆ Ó RÆ (X pÆ X lÛ g Ì Ü B Ì
Y

Þ

GF

F
å

V (x)

å

{HL = h}

= (h)

h

V (x)

°

)y ¨ ' i~ 1 x

{ ~ ¢ 1| y 0¥ hw 2 ¦y i H )y P ² ¨~ ¡¨ ¶w 0$ ¦~ ~

iz 1v 0$ 0w 0¿ 2 y # )~ §® )y dw ¢ h$

Q dª Px ' 2 1| y d© x |

{

iµ Gv ¨~ È& )~ I #¥ ~ h$ 2 | P~ È ¦~ P P~ Q& )ª v l$ }{ y )| 2w t| å G | 2 2y y I{ w hµ | x q{ i~ þ 2 ly #{ $ ¦ 0$ ®



V (x)

y }{ y 2 )| w | °

R

R

<1



x

2

h - ( + tg2 x)t ( + tg2 x)t

2

dx, h >0 Q3 =

å

¨~ ' 2 | )µ }v y ¨ P$ P¨ d$ #¢ ~

V

S

å ö

å ½




`z |
0$ 0 # ~ )~ # l~ {
·
C
4

0w ¶® ~

y d{ G )~ u )~ §® 0$ 2 y 0¥ 0w d$ R ~ ¨y

0

I 0w d¿ 0¢ d x ã )w }v 2| y
0

lw u{ ¨$ ' i~ }v Ì| w I{ w )x ÿ ~ ¥ °
v
C
4

V

¨ I 0w ¡y ¨¥ 0$ P p¨ @¨ lz I{ hw | 0x ® P~ ´ )w ® 0$ 0 ~ # )~ # l~ { ¡¨ gw q | iy ¬v Py 2 iy #® ~
Q3 = h

¦~ i~ uv $ Ú{ )~ #¥ ~ h$ | ¨~ ë 2v

¨z ' ~ ¢ h$

(A (X X

¡

± å då 0µ 2 ¨y ' i~ 1 ux 0 dw 2¢ 2| ¡y 0¥ hw y ) ¬ )y P ² ¨~ ¡¨ uw w ä ½ ¯ lz }{ y 2 )| w | uv 0$ 0w 0¿ 2 y # )~ ë® hµ | x R pÆ ±| u z z ¦ và ö )¤ ! à øï þ # q dg ô F f å k äè hg g C # Q þ ` `e å e Cd d ö `f 4 hè à © §e `è `e §å îd d f ä¿ mà ¨ C ` i f d u¿ l ì f hå äg à f e ¦¿ y ée è þ ä¿ éà è ~ ¢Ð ¡ f ä¿ à ä¿ éà ~è uÐ f à ~d ãÐ à ` å e äè hà `g © C æ¿ d C ~¿ Ð hå à ¡ ¿ C u ~ äe &g C `¿ ¦e `e å C¾
du dx

õ i u v¿ äö `e ~ Ð f e Ö å df sô g f á¾ `þ © e ¦¿ #y ée è ¡ ä à h fà í hå `à C sö dà sô ¦g ° Tö 2i `g üå ¢ d ~¿ 'Ð ãå `à hå `g ãå `à ` å `e äe ©g F ` e h¿ g và ö
± =- 1 = d -b + 1 t h - ( - 1)t (t) =

C ä¿ éà è Ñ Ð
¦
1 =
y
1

Fz Ñù ±| p ` ãå g ã d u u z !¦ ã u u z @¦ á hè Cg d C ä¿ 4Ð hå à ` ãå `g hå à ` å `e he g và ö
± t

=-

1 =

1

y

=

1

y

y

-

2

2

(1 - y 2 ) c

(1 - y 2 )

1 -b arcsin d

sin(x) = y , a = t, b = (1 - )t, c = h - t2 , d = h - t2 + t2 )

c d

d

a + by



=

c - dy

b

c - dy

(h - t2 ) - (h - t2 + t2 )y

+ tg2 x =

2

t + (1 - )ty

(t) =

1 , + tg2 x

2

dy +

(a + b) c 1- d

2

2

(1 - )t ± 1,

dy =

1

y

-

c d

(h - ( - 1)t2 )



( - 1)t . h - ( - 1)t2

c d

h( - 1)

c d

=

+

2

(1 - y 2 )

(a + b) arctg

t h

a+b

1 V (sin x) h + tg2 x



` ó| z m¦ éþ hè `à hå g äf g ) ö `à ~ uÐ `f e l ß hå dà ö `f e hd 1¤ $à
w

{(S, R) = h}

f (u) =



°

z }{ y 2 )| w | I 0w 2 y © d$ ¦ ' I 0w d¿ 0¢ d x ã $ 0~ â
V



2

( )

v (u) =

V

°

± å då ä ½ ý¯ z }{ y 2 )| 2w ¶| I 0w 2 y ¨© $ ¦ ¶' I 0w d¿ 0¢ d x ã

h

å

°

I¨ I 0w 2 y ¥ 0$ P "¨ I¨ hw

{

iµ Gv ¨~ h& )~ I #¥ ~ h$ 2 | P~ å

$ þ 2 ly #{ d$ 0$ ® å ± då e då ½ ¯

c - dy

3

2

.

1-

dy

c d

2

dy =

c 1- d c -y 2 d

t

y

v (u)

RÆ pÆ lÛ g g #Ì

S

¤



-


c d

c d

=

¤


y æþ ç 4e e µ¿ `à å e äf

P C ¿ ` l þ `¿ å è z | P


e å äd à h¿ dà ô F C hå éà è ¿
Ii

` å f ¿ F

q `g ãå äd h à C ý áè e df ¨

äà éà 3¿ e `þ Ñô

è f ¿ e è `

à `e å d C ¿ 8e hì

`¿ ` e hd à C vf äö g Ôå

`è e hd äg ` °å p f `¿ ` e u e à f r Ii ° &ö y h `à
i

à ¾ f ' à ` ãå `g hå ` Cå ~ö

hå f à e

÷ hà ¤ ä à äd hg à ` å `e `þ å

| h¿ ~e uÐ f ¾ `f ãå äà ¤ h à ä¿ he Vg © y ¿ Ñå ) Ñô ä ãÐ à
f f

`è ve ~e C ä ¨¤ § áà

&ö ¨y d Ð &f áà þ ä¿ m nw éþ þ ¿ ¿ v ¤ö

C ¿ `e Ð C 4 C hè `à hå g äf e å ¾

uå ¾ ¿ g e å

p df áà þ å ¾ `f

ô Ñ Ð ¿ h¿ à á `è ` © ve

`d ve ¾ f ¿ `e å e «ö q `g

ö &à ä ¤ ä ãÐ hå à
v

hå 5g

¢

`g &
f

4è `e h¿

è

0y

f ¿ hå g g d k è þ © äè hà î¾ e C ` ¿ e 3d

e å ö

) ô `e ä &Ð `þ © p f ãå dà ô ` ö 0 Cô {ö mà 2 å f ` r Ii C `
¨
V

è ¤g e Ö¿ l dþ ÿà »å

p f ä¿ mà î þ `¿ ) ô hå `g §e s äà f à å g h¿ &à e ¿ `¿ è 0 Cô éà éè f ¿ F ` ãå g C ` y 5 V Ñô äd dà ô uõ u e 1© ` he p ée z u z

C ` æ f e C éþ uè f hå m ô ve 'ö e `¿ ée uè hè dà ô v

d k è äf g `g « 2© à v îô éf ô

l ¦ì è äf d k {è `e uå ' à þ v© è C ` ãå `e ` ãå

éà è C dà ô ` ve

ô

e `¿ de îô ` `e ` ~ DÐ ¤à 1 à ä¿ mà ¿ dß d k è e hd äg ì

`è e äd äg à d à ¾ `f

f C 8 g è ¿ l

Ð `f e ø df ô v ö C ` ` he g de Ñö § e äd 2¤ dà ô `è de sô và sö à `e hå dà ô ` ve ~ö ` ãå `g hå à ` å `e he g f d ¿ l ì f ä¿ à å le üß à ¾ f `¿ e ¿ u d Ï `¾ `e å hå hà ¤ ä à ä¿ äe Ð f he ¤ `e © )i ô
f f

0

d ¡ f ä¿ ¡ f ä¿ à ¨ï 1 mà Ii Cô ö `e å

à P C e `¿ å ` ãå `g ¹¾

` {e à ãå `à ` å `à e d

f f d f ä¿ à ¾ e äe vg l å
0

u¿ l ì ¿ æ dþ Ñô äd dà ãå `à

¡ f h¿ ¿ `¿ `e å ô ée #è hå hg à

và sö à e `¿ ée 0 ô h ýg


}{ iy G 1~ y ¹ ¨~ ' 2 | )µ }v y ¨ P$ P¨ d$ #¢ ~

f
Ii



)

g

e

p ãô ég





ãå `g e `¿ 0 ãô `à å F ` ve ö dà ãô `g u z u z éþ éè äè dà ô à f ä¿ và l dþ ô C f ¡ ä¿ `à å e ü à f d Cf ãô
V C 4 ([-1, 1])

e å p¾ å F ` de sö dà sô 4g hå và ~ö © } ãå éà è §f hå và ~ö ¶© f d ¿ l !ì `e e 4 q üg &ö dy ä å e ¿ ä¿ äg 8à e

u {z ¨ C ¿ å ¾ d Ii m `à å { éà è f å ©¾ d

éþ éè äè ãô và ö à 8å éà ) äö Fe `e &å å F `å `à

e ¿ `¿ e å e `¿ ée &è v îô `þ © `þ © `e uå C¾ `e ` e d &å e C¿ d `¾ `e 'å u `f ãå h à f ä¿ à ¾ ~¿ Ð e ¿ v ö Ñ å R¾ µ d å h éà è f C ¿ ¨ C `f Q© þ R å lg `è e hå éà è C C ¤ «g C ä Cà uô v §t f Ѿ ° C ¿ sô và sö à h õ i f ¿ F `e 1© à ¹å `è e v¿ äö 'e ¡i `¿ ` e » `è e äd hg à ¾ `f ãå äà ¤ h à ä¿ ~e Ð ¢f C « @g © ¡y ¿ C h ¤ Ëw éþ hè `à hå g äf g 0 Cô ö ~ö `þ © e å ¾ p d å å ` Q© `þ ve Ñö hå à 0 ãô và ö à ` Ve ¡ d ö f f dà sô `g e ¦ f f d ¿ l ì k uè è äf è äe ¤ e ` ãå æg i `¿ ` e u kö d ó| u z t¦ éþ äè `à ãå g äf æg ¡ f h¿ à ¨ ` ¤ ¡ f d u z u oz éà éè äè dà ô le ß ` | å ½ då e då z p q `g uå f ï C 3¿ ¡ f ä¿ à P C ` # Vô d z x¦ Ð ¦f p Ii v¿ äö `e ä Ð `f e o ' ° ö ¤ fe ví è ` e ò¿ ð e î þ ¿ ä¿ à ¾ f ¿ C ä ¤ $e e ¿ ä éà `è e `¿ C & hå à å ée äè hg g C $ e Ö¿ #y æe ç df f ` å k hè äg g C ¤ äè &à #y ée Dè 3þ ç l þ h¿ à d¿ ô e á `þ $ hå hg &à #y e é¿ è `è e `¿ å d é `è e 8d ©¿ ¡ f d ¿ l Hì
v (4) (x0 ) ± n H V
L

f d ¿ l ¦ì hå `g e ¿ `¿ `e uå ä `à hå à ¾ Ii ¿ h¾ à °¿ q g å î pÆ u z u »z ø bÆ è
h V

å k¾ e 0 C ` ~d ãÐ `




d ô hå g d ` ±| u z ˦ éþ äè à hå g hf Dg 2 g f ï F ` ~e Ð ) ô e h `g `e H `e må ãå à d ` `e hå dà ô ve ~ö ¤ hà g ¦ e ¿ h¿ à ~è Ð
v (u)

¡ f ä¿ à P C ` @ ¡ f d ¿ l ì df à Ii hå g hå `à å `e äe g p f C hå éà è C æ ¡ f ä¿ à ä¿ éà ~è e ä à ¿ ¡ f ä¿ à P C `
V C 4 ([-1, 1]) 0 (t)

`þ © e sô äg ©à ä¿ mà ¨ uÐ mf à ¡ f

p `¿ à d ¿

d å Q© `þ ¤ å F dà Iô ©Ò ` f l ì à äè C ¿ ¿ éà éè äè

ãô `à f å @e l @ì

å ` ve d hà `g z

C ö ¿ & u «z

e Ö¿ ±| f ä¿ `¿ dà @ô

#y ée ÿ} u z mà I `e å e `¿ le ß

vn (x0 ) = vn (x0 ) = 0

dà

å e `¿ ée è `¿ e äd hg `à © `e ée è
¸ ¸

IV

Û Û

IV



ée è hå `g äf g
V

d¿ ô e á `þ X pÆ (X pÆ X hÌ éþ éè hè dà ô T pÆ X pÆ X hÌ p p ée äè éþ äè à ` äe à å äè Ð `e è ée Öè he ¤ e å

f ä¿ à à ¿ xÏ Î xÛ `f ` de xÏ Î xÛ e ¿ `¿ `e à ` äe à è `e hå Ë f hå pg éþ

äè Ð hå &à #y lÌ ¡g sô `g 8 lÌ ¡g å e `¿ @å e `f ` de sô l ß hè `à hå g

¨~ ' 2 | )µ }v y ¨ P$ P¨ d$ #¢ ~

V

¤

vn (x) n

h>h

0

V C 3 ([-1, 1]) \ C 4 ([-1, 1])

x

=h



0

f

C

3



V h

H

L

=h

t

V

h

vn (x0 ) = vn (x0 ) =

0

f = f0 + v V 0

V

`e å


` |

å e ö e äd


ì

f Ce & à `¿

hå `g e îô îþ ¡y ¿ ` e

Ö¿ #y de sô g éû ~ Ð df ô C h ¤ pw k `è ve &ö

~ òÐ hð C ¿ u äè `à ¦d
¨y

uÐ f ä¿ à v¿ äe ¤ e ¿ ä ãå g äf g P z C Ö¿ ä

~ö ` å ~ »Ð à å i ¡ é | à å dà uô v gt

¨ C ¾ C ãô g `è e @d mf ée `e © üâ k äè `à ãå g äf ¹g

P

äe ¤ `e hå p `è e f å e & Ii

Ð è f hå

Cf ô C ¿ 1 g d ¡ q g g hå `à

¡ ô F ` ve `f Ñ áÐ å `e äe ¦g

f äd hg à ¾ ö dà ãô hg g `è e v¿ C


h

`f uå df f ` e hå éà ä Cà uô

ô C ¿ @ `e uå á¾ de ô C f ä¿ à è C è à ¾ v ö
v ¹t

å e `f Ñ 'Ð

e d C î e ä g hå `g


v¿ äö áe þ ¿ ¾ q `g e ¿ å

b Ñô e h¿ à df hô Ð ãå à 0 sô và ä¿ Cà ô F

è ` 8e ä¾ éà è 0 Cô sö à ` `f


|
f# e h0 5 !7Ä ² Ö
Ä Ä

° ©¨ 0

dÁ Á

¸
%#
Ö

fÁ

#Á #Á

ö ê¨ e &§ Ô ¦
!w w &§ Ô ¦

dÁ

t´

dÁ

¾ h¼ Á {¸ pà 3² ã ¨ ´ q ±
¸Ö

¥² tõ ¨ Ã t #Å Å t¿ ö ¨ ¨ {
#Á ± #Ö

° Á ¯ 3² {» #Á ± {ù À B ÃÔ #Ä uÖ %# !$ t Ô ¨# qÄ q¨ ± ¾ h¼ fÁ ´ ² Ã dÁ h½ Ô ° » ¨ Ö

dÁ 3² { #Á Á ° ¨ t¿ {± p

t pö ö ° q ± ö 3² Á °

° ¨ q ± à 3¨ ¦¼ 3² p Ä t Å ² ° é {Ô dÁ ¥² õ ç² Ä ¿ ã q¨ ± µ s² {ö { Á

² ù {¿ { 3² qÀ #Ä dÖ C# B dU CT 2 ° Á · þÄ 8 @# ¨ · µ ´ Á · Ö { Á à Á · ¦ã 9² ¼ à êÁ

¨ Ã ¨ ´ ÃÔ 1Ä {± !# Ô { Á ã ¨ Á ¨ " @Ä 6 þÄ 3¨ p¼ ¨ » Ú¨ V6 Á · Ö

ÈÁ ´ {¸ Á !$ Ô # {Ô ° » éÁ ! %# s² ö ¨ { !S0Ä S Ô { Á à 3¨ p¼ ¨

¦¼ E² ´ ¿ ã q¨ qÁ IÖ p¼ ± #Ö ¨ » q¨ º±

° ÷¨ |õ q¨ ö ¨ ½ 3¨ h¼ Á ° » ¨ ± µ ´ þ {¿ { ¨ © øÄ ( þÄ 3 iÄ ã h ° q ö ¨ ¢» 3² þ t¿ {ö dÁ {

q¨ ¦± à ¨ ° Y ù q¨ ±

°
D$

¨§ #Ô Ô ¦ &§ ¦Å Ô ¦ &§ ¦

q é ° Á dÁ fÁ ´ pÔ 3² °
ìÖ fÁ

° à q {± { 3 ¦ã ² · q q¨ ± ·

¼ ¨ t
IÖ

a0 !C¸Ä pw Gw Ä #Å 6 þÄ t !
tÖ

ö ê¨ e ± Ö qÁ Ö fÁ ´ ² à ¦ã é ¯ #Ä dÖ C# B ¸ ¨ ¯ 9² ¼ q ± °¨ ¯ y$ ÃÔ 2Ä ± ± Ö qÁ Ö p¼ Ȩ © &§ 3² { Á ã ±
Ö qÁ Ö

$¦

q

IÖ uÖ IÖ

¸ 9
6 Ä

p¼ Ȩ © i§ À ¦ 9² ¼ · p¼ Ȩ © &§ d ¦ à ö
Ö

úÀ ¦Å s ö ã
øÄ ( Ä

)Ä

e h0
IÖ )Ä IÖ IÖ IÖ

VU %T !# Ô !$ Ô B# 5A 0 · dÁ t ± Ö È r( !G)Ä Á · fÁ ´ 3² { Á Uã ù ¨ · Ö { qÁ Ö uÖ 9² ¼ · dÁ 9² ¦ã ² ê¸ þ ¿ ´ Ä t d }Ô ¦Å t d ÃÔ #Ä Ö %# dÄ dU CT %# qÀ 3 1Ä {± %# #Å #Å #Å 3 Ä · é ÷² e ¨ à 3¨ ã ° q tö w± · fÁ ´ 3² { Á ã ö 9² ¦ã ² ¸ % Á · Ö { qÁ Ö uÖ 9² ¼ · té ö ÷ã t¾ ± #Ö ¨ t {± 3 ¦¼ s² {ö #Á ö · fv Ä 3$ úÀ Å qÀ #Ä IÖ %# )Ä » t¿ {ö %# t y$ ÃÔ 1Ä {± C# pB t iÔ # · dÁ ° t¨ ¹ Ö ºÄ ´ q p± ² C# pB t QÔ # · dÁ ° t¨ ¹ ºÖ ºÄ ´ q p± ©² a0 !xGÄ Bw )Ä dÁ dÁ pà ² · QÁ õ qÁ Ö uÖ 9² ¼ · E² ´ ° ¨ A B6 ÚÄ ¿ ã t¨ t¹ q¨ ö t¿ ö ¨ q¨ ± ¾ h¼ fÁ ´ ² à ¿ ´ q é ° Á ° à q {± { Á t¾ ± #Ö ¨ t {± 3 ¦¼ s² {ö #Á ö · v pÔ 3² ° q¨ ± · ² ° !6 @Ä Ä t ¦Å }Ô ¦Å t 9d !# ÃÔ )Ä » t¿ {ö %# t 3 %# t t )Ô ºÄ ´ q p± E² ´ Ä ° IÖ f# Ve ¥ »À {Ô #Á ± Ö q ö ¸ ö ² ° 3 h¼ ù Ý 3² {» #Á ± ´ q ± Ö qÁ Ö {Ô dÁ pà ² · QÁ õ qÁ Ö uÖ 9² ¼ · pÔ 3² ° q¨ ± · ² ° 56 ºÄ ´ q ± Ö qÁ t¿ ö ¨ q¨ ± ¾ h¼ fÁ ´ ² à ¿ ´ q é ° Á ° à q {± { Á t¿ {± p 3² Á ° s² {ö { ´Á þ {¿ ° q¨ ± · ² ° s6 EÄ 6 Ä Ä t t iÔ p# ä ± q {± qÁ Ö ° q {ö dÁ ! é {ù Á · Ö ± ° é 3´ ã á t´ 3¨ ã {ù Á · Ö ¾ ¼ q p± 9² ã # {Ô Á à 3¨ p¼ ¨ » q¨ ± # {Ô Á ° ± µ t´ ¨ ! &A ÚÄ ¿ ´ q ± Ö qÁ uÖ t¿ ö ¨ q¨ ¦± ¾ h¼ fÁ ´ ² à þ ¿ ´ q é ° Á ° à q {± i EÄ Ä tÀ !V)Ä #Á ± #Ö ¨ ½ 3¨ ¼ ÷Ö ù 3¨ ¦¼ E² ´ ´ q ± Ö qÁ Ö · ¨ Ö dÁ » ý ÚÄ ¿ ã t¨ t¹ q¨ ö ìÖ fÁ h´ {Ô » q ± Ö Ô h´ té ¿ ´ q é ° Á ° à q {± { ¥Á {Ô dÁ pà ² · QÁ õ qÁ Ö uÖ 9² ¼ · pÔ ² · Ö { Á à 3¨ p¼ ¨ » Ú¨ 36 @Ä 6 þÄ c ¨ · µ t´ ¨ 8" )#
Á

{´ {Ô r ¨ · 9Ä 9² ¼ t¿ ± #Ö ¨ · µ # · Ö ö d ¨ · B #Ä IÖ %# Ö ´ ý ö q

» q µ t´ q ò± ¨° t´ ¨ è ½ µ t´ » q ± Ö tö p±

© &§ ¦

° Ã q {± { Á {¸
¢" )# øÄ ( øÄ R(

%# #Å 2Ä s± %# t t Ô f# 5e d0 c !SÄ 9² ¼ q è± ¨ Ã 3¨ 3² Á · q¨ ± ¨ » Á · Ö { Á ¸ 3 ã ¨ Ã Á vÁ

ö ¸
Ö #Á

© 3§ B ¦
À

²·

© &§ ¦
Ö

Ô

!)Ä uÁ t¹ ¨ · QP 9² ¦ã ² ¸ ÿÁ 9² ¼ q ± ¨ à 3¨ ã Ä }Ô ¦Å D$ #Ä Ö C# pB )Ä » t¿ ö !# · 5( !4)Ä Á · {é » t¿ ö

¿ ã é ° 76

ÃÕ )Ä

! é ¼ ÿÖ ¿ @Ä 6 þÄ X ¨ · {± S# qÀ t Ô Ä ² ² ° 3 h¼ ù Ý ¦¼ 3² p ² é t´ 3 h¼ ù Ý 1Á 3²
%# #Å 2Ä ± %# td !$
Á
so(4)

{ ¦¼ é t´ ° t´ ¨ h¼
Á dÁ

© &§ ¦ © ¨§ Ô ¦

!Ä

ö 3² ! é ¼ Ö ¿ ´ q é ° Á ° Ã q {± {
ìÁ

ã ° q tö î± !` ± ° » Ä t ¦Å ° q tö ± t )Ô B# Á ¼ gÁ Ä td ´ {¸ QÁ õ °

Á · fÁ ´ 3² { Á ã 3² ¨ I0 {» dÁ {à { Á ° ¥Y ÃÔ #Ä dÖ !# hÔ VU 9T %# 2Ä · fÁ ´ 3² { Á ã îö 5A @0 ÃÕ Ä 90 8# é {¸ Á ² 32 ¹ 3 ¼ ¯ ëÁ ² ° d Å pB d #Ä IÖ !# ÃÔ )Ä » t¿ ö µ¨ t´ ¨ ¸ Ä
e(4)

´ q é ° µ t´ ¨ · fÁ ´ 3² ! é ¨ ° ¨ é ¼ Ö Ô # 3² ² °

{¸ q þ {Ô dÁ 3 h¼ ù

3² { Á ã pÔ ¼ Ö ô þÄ IH U± hÁ {¿ ° µ è ½ 3¨ Ý {Ô

vÁ 3¨ ¼ { Á {¼ ¨ Ã ¨ ° » t

´ !² 1A Ä Y Ä ý ö ¨ · Á ¦¼ 3² p 3² )Ä à · èé f" Á ° Ȳ 9( Ä Y Ä ý ö ¨ · » ù q p± p² ± 1Ö dÄ ¹ Ö Ö ´ q Ö qÁ Ö t¿ ö ¨ q¨ ¦± ¾ h¼ Ä Ä s² ö tà hö Ô Ä t $ ¦Å #Å Á q ¥ö uF vÄ ( øÄ f( ö 3¨ ¿ ¦ã 9² ¼ · è¨ sF !9Ä ² ° !6 øÄ ( Ä ce 3² { #Á ö $ Å qÀ #Ä Ö C# B )Ä » t¿ 3ö %# ± Ö Ô !´ té ö ã ýÖ ´ q ¨ u" )# vÄ ( þÄ s ö ¨ { qÁ ¨ à 3¨ ã ° q tö ¥± · fÁ ´ º» pù 3² é ¼ ý ºÄ ´ q r" )# øÄ ( þÄ q ö ¨ { qÁ 9 Ä {Ô dÁ pà ² · QÁ õ qÁ Ö ¨ &" )# øÄ ( þÄ V ö ¨ { qÁ t¿ {ö %# s B 1Ä {± %# #Å t ýÔ qÁ rÖ t¿ ö ¨ q¨ ¦± ¾ h¼ ©² a0 )# øÄ ( Ä g ö ¨ { qÁ Ä t ¦Å #Ä Ö %# þÁ Vb a` ² · dÁ ¸ q¨ tö !# ¨ ¯ )# øÄ ( Ä W ö ¨ { qÁ ± ¨ ² R Á pÔ 3² ° Ô ¼ ¥é GF )# vÄ ( þÄ E ö ¨ { qÁ q¨ ± · q ö ¨ » ² ° 3² { 10 )# øÄ ( þÄ ' ö ¨ { qÁ ¨ à ÚÁ {¸ Á ¦¼ 3² { )Ä à · pö ² ° Ä Ä ¨ ·

fÁ ´ ² p¼ Ȩ » t¿ ° ÷ õ p¼ Ȩ é à ) p¼ Ȩ fÁ ´ p¼ Ȩ ! èé " t t¹ Ȩ

Û )Ñ ¨Ò d d Ñ f ¶Â e Ý

ú


|
C )v t e ¸ Ä ± !°@v av } @y V T vÄ j a U y s @q 3 U @| ¯ aq y} s @t av G} p{ ®y }
Ä

av } r s ut | G} ¬«

3v qU r s ut r U h gª Ä § | 3| © U hv ¨ i§

qÀ ¦ td ¦

t Å {B )Ä @ @ ¨# qÄ #Å t Ô Ö t d )# Ä )w q d C )Ä u{ az 5} G Ä fy 3y 4U !G#Ä 3r y}
U xy r r uz av } ut a| !} uw )v t

s ut @z ) )t )q q § 1¦ sr aq p} !| uz )v tt @ )v ut @z s fy 3y U Q 3v U r sr 3t U u{ )z xt 1 r y uz %r u Qr av } @t 3v U )z )q ft ay h} 3| ¥U r uy 3| U C aq } uy 3| VU 8T þÄ ¸Ä 3v pU r 3r } )t 1q ¤ &§

)v )t 3q 5U )# Ä Å Ä c @| 3 U % d &§ t ¦ pB ¦ d | s t | eo )v )t 3q 4U X 3§
}Ô

Å À B

)Ô )Ä @ C ¨# Ä Ô

t Ô Ö f

u{ z 5 3 ¡Ä iw CU )v ut sr 3q U p þÄ o þÄ n &§
Ä 3y U | a eU r !|

t ¦ t ¦

Ä pB t iÔ %# t t ¦Å s pB 3 Õ y$ Ô 9 y# sr ut a| } @ ¾Ä t S ¥ Ä y} x @n Ä v V C¸ ¦Ä @z f 3y 4U !¢dÄ 8U @ v 3y CU c r s q ¡ z 3v sU t r )y t v t r s @q a p} !| @¢ uz )v ht r y ¨¡ uz %r u hr r 3v sU ut az y} G ut r 3r } q þÄ gn z s @q 3 U av } )# Ä R CU Ä t t ¦Å t !$ h )Ä @ % ¨# qÄ qÀ Ô Ö y$ ÃÔ Ä %w 8# ! 3 sU 3q ¥U 3 U g !C#Ä 3| CU p{ U sr Vt r 3| 5U h fy y s Vq % Ä o )# Ä Ä t y$ )# )Ä u{ az 5} 1 z s St yw SU 8 Ä w Bn !u¦Ä z av } ut a| 3} w )v st @ av G} { p r s 9t pÅ 8U @ v 3y CU C u{ Gz a 1U Cr 3v sU ut az } @q s aq y} 9 a U r CU qÀ Å ÃÔ )Ä @ % !# hÔ VU CT ¨# qÄ t t Ô Ö 3f hz y# r s ut az } y C u{ az g} @ ¡Õ ) @t uv 3| ¢U !9 Ä

U dz u{ )z xt Q r y z Sr u r av } @t 3v U )z )q ft ay h} s @q a p} !| z )v st a U 3v sU ut az y} G ut r 3r } q j u 3| U z &~ p} u| dz u{ 3z SU U uy xr

n ¡Ä iw CU )v ut sr 3q U p þÄ o þÄ n &§

Ä qÀ ¦Å sd pB #Ä dÖ %# dU GT C# pB 2Ä ± %# #Å t )Ô # À ý ý ý Ve m {Ô #Á ± Ö q ö ¸ l !¢ÚÄ ¿ ã t¨ t¹ q¨ ö »Ö fÁ {´ {Ô » q ± Ö Ô h´ té ö ã ¶Ö ´ q ± Ö qÁ Ö t¿ ö ¨ q¨ ¦± ¾ h¼ fÁ ´ ² à ¿ ¨ t {± 3 ¦¼ s² {ö #Á ö · kv {ù Á ° q {± Á {° · Á {± p 3² Á ° s² {ö { Á {ù Á · Ö { Á à 3¨ p¼ ¨ » A¨ d6 þÄ H à p ² @2 øÁ ji )# EÄ 6 #Á ± #Ö Ä

¦

#Å ¦

}Ô

Ä qÀ #Á tö ± Ö h± {Ô » p¼ ¨ » Ú¨ ¥6 @Ä t iÔ # · dÁ

!7#Ä

VU ST %# #Å 2Ä s± %# td !$ Ô )# ºÄ ´ q p± E² ´ Ä ° Ö # À ý ý ý de Q {Ô #Á ± Ö q ö ¸ g !G)Ä #Á ± #Ö t¿ ö ¨ q¨ ± ¾ h¼ fÁ ´ ² à ¿ ´ q é ° Á ° à q {± { gÁ dÁ Á à ° gv ù ¨ { h Ô q¨ ± #Ö ¨ Y» ù q Ä #Å d t¿ ö 3 {¼ h¼ #Á !ö {é Á ¼ ¿ ´ {¸ QÁ õ ° µ¨

° q¨ ± t´ ¨ ° µ h´ té ö ã 3² ´ q ±

Ö qÁ SÖ

µ¨ ´ q ± #Ö ¨ Å Ô B t´ ¨ {¸

é ° Á ° à q {± { h ° q ö ¨ » ÃÔ #Ä IÖ %# ¦Å ÃÔ )Ä » þ {¿ ° q¨
hÁ

Á· {Ô Á Ã t¿ {ö %# ± ·

{Ô 3¨ t ²°

76 Ä e Ä I

Ô ¦


dÁ

q¨ þ± 3¨ |ã !` t¾ 9² ¼ ¯ Ä e
uÖ Ä

y$ Ô ¦
Ô¦

t¿ ± ¦Å {
fÁ

e h0 r !

C# B )Ä » t¿ ö %# t y$ ¨Ô 2Ä ± %# t t ¨Ô # · dÁ ° t¨ ¹ 2Ö ºÄ ´ q p± ©² B0 !!)Ä #Á ± #Ö ¨ t {± 3 ¦¼ s² {ö #Á ö · fv ù ¨ · Ö t´ ¨ ° µ h´ té ö þã 3² · Á ° ± µ ´ t¿ ö 3 {¼ h¼ #Á !ö {é Á ¼ ö ¨ · q¨ ± ¨ » % Á · Ö { Á ¸ 3 ã ¨ à {Ô Ä B Ô ¦Å Ô #Ä IÖ %# t t )Ô !# )Ô )Ä » ù ¨ · Ö { #Á {± Á {° · #Á ± #Ö ¨ t ± Ö {° · æ¨ Ûö ° ² · p s² é fY p 3² dÁ q¨ ± ¾ h¼ fÁ ´ ² à rÁ {Ô #Á tö Ä t ¦Å }Ô %# t t Ô Ä é {¸ Á ¦¼ 3² p ² é t´ ¨ ° ¨ {¸ q |± "Á é t´ ¨ ° q¨ ± · q ö ¨ Y» ² ° 3² { fÁ ´ òÖ ¿ ã é ° ö 3² é ¼ rÖ ¿ ´ q é ° Á ° à q {± { Á {¿ t ö ¨ #Ö ¨ Ô {¼ |ã ¨ · µ t´ ¨ " ö q¨ {± p 3² Á ° s² {ö
)Ä Á ºÄ

{ Á Ã 3¨ p¼ ¨ » pà ² · QÁ õ qÁ Ö {ö %# #Å 1Ä {± f# Ö ù 3 jã pÔ 3² t #Ä Ö B# 5A 6 !Ä 9² ¼ q dÁ 3 ¼
ëÁ

Ö dÁ

{ µ ´ ° ê @0 ÃÕ Ä @0 %# Y± ¨ Ã 3¨ ã ° ¿ ( Ä
Á

° Ö )# ºÄ ´ q p± E² ´ q é ° Á ° {± { Á h ¨ · t´ ¨ X" ¨§ Ô #Å }Ô ¦Å d qÀ dÖ %# d ° » Á Ö qÁ Ö 6 þÄ R ¨ · t´ ¨ X" &§ ° t¨ ¹ Ö ºÄ ² 0 s² ö ¨ p s² ¼ ý &§ Ä td t d #Ä Ö ° q¨ ± ¼ ý &§ {° · ¨ » Ú¨ 6 i§ À t » t¿ ö { Á ã îô &§ d
V2
dÖ !# Ô

Ô¦

´ 9² ° 6
Ö S#

° ° t¨ ò¨

dÁ

» t¿ ö S# qÀ y$ ÃÔ 1Ä ± %# td t Ô # · dÁ ° t¨ ¹ Ö ºÄ ´ q p± ² x0 !!Ä ² {¸ Á ¦¼ 3² p ê² ¨ à ¨ ° q ¢± !` {¾ » t´ ¨ · ² {½ p ² ° à ² Ù 9² ¦ã ² |¸ ¿ ´ q é ° Á ° à q {± { "Á {Ô dÁ pà ² · QÁ õ qÁ Ö uÖ 9² ¼ · pÔ 3² ° q¨ ± · Ä #Å d }Ô ¦Å t ´ q p± ©² 0 !Ä ² {½ p ² ° à ² Ù dÁ 9² ¦ã ² ¸ {± p 3² Á ° s² {ö { gÁ ù {¿ ° q¨ ± · ² ° 96 1Ä {± uÁ ¹ ° ´ q ± Ö qÁ Ö t¿ ö ¨ q¨ ¦± ¾ h¼ fÁ ´ ² à ¿ ´ q é ° Á ° à q {± { SÁ #Á ± #Ö ¨ t {± 3 ¦¼ s² {ö #Á ö · v ù ¨

² ÃÔ #Ä ©¨ ° q¨

% Á

±

à ¿ h¼ & ² · ÃÔ 2Ä ± S# {¼ ¼ 5v q {± Á
%# )Ä

´ Ä Ã q µ ÃÔ #Ä ´ q ± µ ´ q p± {ö Á $ ¦Å @Ö {ö Á !½ é ¦¼ 3² )Ä ´ 3² ´ 3 #Ä h Ô ¼ ° {° · ¼ C

!¨ A îô &§ Ô ¦ ¹ Ö ö ° îô 3§ B Ô ¦

ã q¨ ± µ ê´ 3² { òÄ þÁ a2 ² ÁÀ )Ä » t¿ {ö %# !$ y$ · Ö { #Á {± {» Á · ² ° Û± {ù Á ° s B ¦Å #Ä IÖ
Ä

± #Ö ¨ { q¨ ܱ c s² ö ¨ p s² ¥)Ä #Á ± #Ö ¨ eY Ä dY ö 3¨ t¾ ± uÖ 3² { %# q tö ± Á · fÁ þÄ ö ¨ · Ä #Ô }Ô ¦Å t p» ÷² ¦Å s² ö A² 6 )# Ä þÄ æô qÀ t iÔ # · #Á ± #Ö ¨ t ± Ö ° ¯ 5Ä þÄ eô » t¿ {ö S# qÀ 1Ä {±

%# t !$ Ô


`ù Ñ |

y#
Ä

¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦

C s

ðÅ

Ä !$

#Ä Ô #Å #Å | s ut @| 3 CU 1 @z u )z ut uz Cr v !w ¦Õ uz )v ut @| 1| V !u¦Ä r s ut )z ut a| } @q ! @ )v t r Cr S U ¥ Å Cr ¥U 3| ¥U r z av } ut a| 3} w )v @t aq G} 3 sU !q ¾ Å ft y fr Vv 3¨ #Ä S 8U e fT 1 lo av %} X &§ td B Ô d Å Ô t ¦ )Ä @ y %# #Å ¦Å ÃÔ ¡Ä &w %# 3$ qÀ PÔ )# )Ä u{ az g} y Ä & ¦Ä | ey Bn !3¦Ä r s @q a p} a| G} %¢ r r C s« ft ay G} v r y ¡ uz Sr r r C )v at p} uz | @| a Ä c o &§ t Ä s pB Å qÀ t )Ä @ l d Ô Ä @w C# pB t iÔ y# z ut @| { r )z t ¥ )Ä u{ az g} !¥¦Ä r y z Sr u lr s @q a p} !| z )v 5t @v av } @y d T av 1} @t 3 U 3 } 7 a gU 3v sU ut z C @v 3v U t C u{ dz @z 3 ¥U a c} %r u a| } y Q| 4U ¢ Ä Ä En iw sU q r o 3§ pB Ä td t Ô ¨# w Vw | s )t )q q ¢ u uz 3v 5U @¢ )z ut r | 8 )w @t Vv º y# sr ut r C u{ ½z C 1{ g !7Ä 3v sU ut r )y t v R r s @q a p} !| %¢ z )v ft r y ¡ uz %r u r r 3v sU ut az y} G t r 3r } q Ä Xn z s @q 3 U &§ t Ä #Å #Å Å pB !$ )Ä @ @ C# pB 0Ô Ä @w C# pB td )Ô )Ä @v Vv @n )Ä u{ az g} l !Ä @ @v u !r © U uq r uz p{ s xt u p{ s t s dq dª | C )v t a{ d} T | )v Qt v 8 @ @v u p{ s t s !q ) aq } ut uz v | ² Vt | C p{ sr @t 3v U )z )q ft ay h} | C p{ sr ut Sz ) aq G} av f} v )z aq G} u{ | o 3r } | ¢ V © º þÄ r @v av } uy pr Cr © ¸ &§ t Ä td t )Ô %# Ô ¦Å À )Ô #Õ Ô ¦Å )Ô )# )Ä u{ az g} sU ut )z ut !r ¢U f 3y 4U !9Ä r s ut )z ut a| } @q ! @ )v ut Er u{ )z xt )q )q St @w 3 sU t Å 3q CU uv e| n GÕ w Ä r y uz Sr r av } @t 3v U )z )q ft ay d} m s @q a p} !| z )v Vt a U ! 3 sU 3q ¥U 3 U Rz s ut z s @q f Sy Ä @ @v 9 ¼ v s t » v C ! V T ¨§ Ô Ä t #Å #Å l %# G} 3v sU q a| x} gp az p} )z ut r | 8 )w @t ev Gº y# sr ut r C u{ §z C 1{ f !¥)Ä 3v sU ut az } )t 3q ¥U E av } !t @ av p} !| a } V a| } @q ! @ )v ut r a 5U 3v sU ut az i} )¹ ut a| y} C )v )t sq s ut z s @q f y u r Vv 9¨ Ä ¤ } av p} )| t &§ #Å Ä ¦B qÀ Ô Ö #Å }Ô Å Ô )Ô %# 9 ¦Ä Sr 1{ )Ä u{ az g} )Ä e ¸ !¦Ä r s ut u| z fy y r u{ )z xt ¸ r 3q U @t av } ¬y s ut z s @q f Sy u ·r a U 3v sU ut z C e d¸ Ä ¶n # )v t uz Cr )v t dµ )# Ä ¤ Ä # v r a| g} &§ t ¦ t Ô y# r r 1| E 3v U v a| } q C Õ 3| ¥U e´ l¨ !GÄ ! 3 sU 3q ¢U 3 U dz s ut z s @q f y u fr U Wz 3v sU ut z C U u| uz v %w )# ¥Ä m 3v U ay } aq %} @ )# ¥Ä g %² V 5 &§ !$ ¦ Ä 3$

úÀ ¦Å t d )Ä @ @ C# pB t ¡Ä Cw %# t !$

)Ô )Ä u{ az 5} ÚÄ 8 @ Vv n