Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://dfgm.math.msu.su/files/0diss/diss-zuev.pdf Дата изменения: Sat May 23 11:15:56 2009 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:27:48 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п р п р п р п

Московский Государственный Университет им. М. В. Ломоносова Механико-Математический факультет

На правах рукописи

Зуев Константин Михайлович

УДК 514.74, 517.927.25

Формальный метод сдвига аргумента и геометрия интегрируемых геодезических потоков
01.01.04 геометрия и топология

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научные руководители: академик РАН А. Т. Фоменко, д.ф.-м.н. А. В. Болсинов

МОСКВА 2008


Оглавление
Введение 1 Формальный метод сдвига аргумента
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Гипотеза МищенкоФоменко . . . . . . . . . . . . . . Метод сдвига аргумента . . . . . . . . . . . . . . . . . Критерий полноты: полиномиальный случай . . . . . Критерий полноты: алгебраический случай . . . . . . 1.4.1 Сдвиги рациональных инвариантов . . . . . . Критерий полноты: общий случай . . . . . . . . . . . 1.5.1 Формальная теорема Фробениуса . . . . . . . . 1.5.2 Формальные инварианты представлений . . . 1.5.3 Определение и коммутативность Fa (I (g)) . . . 1.5.4 Лемма об иерархии, порождаемой парой билинейных форм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.5 Лемма о паре кососимметрических билинейных форм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.6 Критерий полноты Fa (I (g)) . . . . . . . . . . . Конструкция Болсинова . . . . . . . . . . . . . . . . . Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Вещественные алгебры Ли малой размерности Надстройки автоморфизмов торов . . . . n Построение римановой метрики на MA+1 n Оператор БельтрамиЛапласа на MA+1 . Спектр и собственные функции оператора Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... ....... ....... Бельтрами .......

3 11
11 14 18 21 22 25 27 34 40 42 44 49 52 56 57

1.6 1.7

2 Геометрия интегрируемых геодезических потоков
2.1 2.2 2.3 2.4

62

63 64 66 67

Библиография
2

78


Введение
Настоящая диссертация посвящена исследованию вполне интегрируемых гамильтоновых систем и состоит из двух независимых частей. Первая часть диссертации мотивирована геометрическим доказательством гипотезы МищенкоФоменко [24], полученным А. В. Болсиновым [7]. Гипотеза МищенкоФоменко утверждает, что для каждой вещественной или комплексной алгебры Ли существует полный коммутативный набор полиномов на ее двойственном пространстве. Для случая полупростых алгебр Ли эта гипотеза была доказана А. C. Мищенко и А. Т. Фоменко при помощи разработанного ими метода сдвига аргумента [23]. В общем случае доказательство было впервые получено С. Т. Садэтовым [26]. Оказалось, что доказательство становится возможным, даже если вместо поля вещественных или комплексных чисел рассматривать алгебры Ли над абстрактным полем. А именно, теорема Садэтова говорит, что гипотеза Мищенко Фоменко справедлива для произвольной конечномерной алгебры Ли над полем нулевой характеристики. А. В. Болсинов в работе [7] изложил чисто алгебраическое доказательство Садэтова на более явном языке пуассоновой геометрии, что сделало доказательство конструктивным и позволило эффективно работать с конкретными алгебрами Ли. В основе доказательства лежит конструкция, которая сводит задачу к алгебре Ли меньшей размерности над новым полем, являющимся расширением исходного. Это позволяет действовать по индукции: на каждом шаге мы сводим задачу к построению полного коммутативного набора полиномов для алгебры меньшей размерности и действуем так до тех пор, пока не получим абелеву или полупростую алгебру Ли. В последнем случае остается применить метод сдвига аргумента [23]. Однако, хорошо известно, что метод 3


сдвига аргумента дает полный коммутативный набор полиномов не только в полупростом случае, но и для многих других классов алгебр Ли. Поэтому, естественно было бы применять его не только к полупростым, а вообще ко всем возникающим в процессе индукции алгебрам. Техническая проблема заключается в том, что критерий полноты для коммутативного набора, построенного методом сдвига аргумента, известен только в вещественном и комплексном случаях [5]. Имея такой критерий для произвольного поля, можно было бы существенно упростить описанную процедуру построения полного коммутативного набора. А именно, делать индуктивный шаг, понижающий размерность алгебры, только в том случае, когда коммутативный набор, построенный методом сдвига аргумента, не является полным согласно новому критерию. В первой части диссертации мы строим обобщение метода сдвига аргумента (формальный метод сдвига аргумента) для алгебр Ли над произвольным полем характеристики нуль и доказываем критерий полноты для коммутативного набора полиномов, построенного этим методом. Перейдем к краткому изложению структуры и главных результатов первой части диссертации. В разделе 1.1 мы напоминаем основные определения, формулируем гипотезу МищенкоФоменко в терминах пуассоновой алгебры P (g) и обсуждаем центральную идею ее доказательства. В разделе 1.2 мы напоминаем метод сдвига аргумента [23] и критерий полноты для вещественного и комплексного случаев [5]. Начиная с раздела 1.3 мы рассматриваем алгебры Ли над произвольным полем K нулевой характеристики. Хорошо известно, что инварианты коприсоединенного представления, вообще говоря, не обязаны быть полиномами. В вещественном и комплексных случаях этот недостаток можно легко устранить, разложив инвариант f в ряд Тейлора в окрестности точки a g

f (a + x) = f (a) + fa,1 (x) + 2 fa,2 (x) + . . .
и взяв вместо самого инварианта полиномы {fa,k }kN . Одна из трудностей, с которой мы сталкиваемся при переходе к абстрактному полю, это отсутствие на поле K априорно заданной топологии, и, как следствие, отсутствие дифференцирования функций на g , разложения их в ряд и т.д. В разделе 1.3 вместо кольца всех инвариантов алгебры Ли I (g) мы рассматриваем центр ее пуассоновой 4


алгебры Z (g). Таким образом, мы ограничиваемся рассмотрением только полиномиальных функций на g , а в этом случае дифференцирование можно определить чисто алгебраически (формально), без понятия непрерывности. Недостатком такого подхода является то, что нам может просто не хватить полиномов из центра для построения полного набора. Поэтому мы должны потребовать, чтобы меньшее, вообще говоря, множество Z (g) совпадало со множеством всех инвариантов I (g) в смысле функциональной зависимости. В результате получается следующий критерий полноты для полиномиального случая (см. также [45]):

Теорема 4. Пусть g конечномерная алгебра Ли над полем K характеристики нуль, trdeg Z (g) = ind g и a geg . Коммутативr ный набор полиномиальных a-сдвигов центральных функций является полным тогда и только тогда, когда

codim(gK ) 2. sing
Здесь geg обозначает множество регулярных элементов (относиr тельно коприсоединенного представления алгебры Ли g), g sing = ? ? g \ geg множество сингулярных элементов и gK = g K K обоr ? значает алгебру Ли над алгебраическим замыканием K основного поля (аналог комплексификации для вещественного случая). Отме? тим, что условие полноты codim(gK ) sing 2 допускает естественную интерпретацию без использования алгебраического замыкания основного поля (см. Замечание 13). В разделе 1.4 мы отказываемся от условия trdeg Z (g) = ind g и исследуем более широкий класс алгебр Ли класс алгебраических алгебры Ли. В этом случае из теоремы Розенлихта [50, 12] следует, что можно ограничиться рассмотрением рациональных инвариантов. Далее, для построения сдвигов рациональных инвариантов над произвольным полем K, мы используем алгебро-геометрический формализм [31], позволяющий каждой рациональной функции и ее регулярной точке сопоставлять взаимно-однозначным образом формальный ряд Тейлора. В итоге, для алгебраических алгебр Ли критерий полноты имеет следующий вид:

?

5


Ли над полем K характеристики нуль и a geg . Коммутативr ный набор полиномиальных a-сдвигов рациональных инвариантов является полным тогда и только тогда, когда

Теорема 5. Пусть g конечномерная алгебраическая алгебра

codim(gK ) 2. sing
В разделе 1.5 мы отказываемся от условия алгебраичности и рассматриваем произвольные конечномерные алгебры Ли. В этом случае, в отличие от вещественных, комплексных или алгебраических алгебр, отсутствует группа (Ли или алгебраическая), в частности, нет ни коприсоединенного представления группы, ни инвариантов этого представления. Тем не менее, оказывается, можно естественным способом определить объекты, играющие роль инвариантов. Если K = R или C, то хорошо известно, что аналитическая функция f A(g ) является инвариантом коприсоединенного представления тогда и только тогда, когда adf (x) x = 0. В этом определении участd вуют только структурные константы алгебры Ли g, поэтому оно имеет смысл для любого поля K. В случае произвольного поля надо лишь договориться, что понимать под f . Ограничиться только рациональными функциями K(g ), как это позволяла сделать теорема Розенлихта в алгебраическом случае, нельзя, так как теперь алгебра Ли не обязательно алгебраическая, и в этом случае рациональных инвариантов для построения полного набора может не хватить. С другой стороны, хорошо известно, что в вещественном или комплексном случае инварианты могут быть глобально не определены, и тогда мы вынуждены рассматривать локальные инварианты, которые по своей сути являются сходящимися рядами. Эти соображения приводят к следующей естественной идее: под инвариантом (точнее формальным инвариантом) коприсоединенного представления мы будем понимать формальный ряд из кольца K[[g ]], удовлетворяющий некоторому естественному условию (типа adf (x) x = 0). Тогда d однородные части таких формальных инвариантов будут аналогами сдвигов классических инвариантов. В разделе 1.5 мы реализуем описанную идею. В параграфе 1.5.1 мы доказываем необходимый технический результат формальную теорему Фробениуса, которая является формальным аналогом классической теоремы об интегрируемости распределений. 6

?


Теорема 7 (Формальная теорема Фробениуса). Формальное распре-

деление D = span {v1 , . . . , vk } на Kn постоянного ранга k формально интегрируемо тогда и только тогда, когда все коммутаторы [vi , vj ] линейно выражаются через v1 , . . . , vk с коэффициентами из K[[x1 , . . . , xn ]].

В параграфе 1.5.2 мы вводим понятие формального инварианта для любого (не обязательно коприсоединенного) представления алгебры Ли и доказываем существование максимального набора таких инвариантов. Существование максимального набора формальных инвариантов является прямым следствием формальной теоремы Фробениуса.

регулярного элемента a V существует набор {F (1) , . . . , F (s) } из s = dim V - dim g + St(a) формальных инвариантов представления в точке a, дифференциалы которых в нуле линейно независимы.
В параграфе 1.5.3 мы рассматриваем коприсоединенное представление алгебры Ли ad : g gl(g ). Используя результаты, полученные в предыдущих параграфах, мы определяем набор полиномов Fa (I (g)) в пуассоновой алгебре P (g) как набор однородных частей формальных инвариантов представления ad в регулярной точке a g и доказываем его коммутативность. Такой метод построения коммутативного набора полиномов мы называем формальным методом сдвига аргумента. Доказательство критерия полноты набора Fa (I (g)) (параграф 1.5.6) почти автоматически следует из двух лемм из линейной алгебры: леммы об иерархии, порождаемой парой билинейных форм (параграф 1.5.4), и леммы о паре кососимметрических билинейных форм (параграф 1.5.5).

Теорема 8. Для любого представления : g gl(V ) и любого

Теорема 11. Пусть g конечномерная алгебра Ли над полем K
характеристики нуль и a g
reg

регулярный элемент.

1. Коммутативный набор Fa (I (g)), построенный формальным методом сдвига аргумента, является полным тогда и только тогда, когда

codim(gK ) 2. sing

?

2. Коммутативный набор Fa (I (g)) является полным в регулярной точке x geg тогда и только тогда, когда прямая r ? ? } не пересекает множество (gK ) . {x + a | K sing 7


В разделе 1.6 мы напоминаем конструкцию, лежащую в основе геометрического доказательства гипотезы Мищенко-Фоменко [7]. Заключительный раздел 1.7 первой части диссертации посвящен примерам применения критерия полноты коммутативного набора полиномов, построенного формальным методом сдвига аргумента. На основе результатов, полученных в первой части диссертации, готовится статья в журнале Математические Заметки. Во второй части диссертации мы рассматриваем геодезические потоки на надстройках автоморфизмов торов и продолжаем исследования начатые А. В. Болсиновым, И. А. Таймановым, А. П. Веселовым и Х. Р. Дуллиным в работах [8, 9, 34]. n Замкнутое многообразие MA+1 называется надстройкой автоморфизма A : Tn Tn , если существует расслоение
n p : MA +1

- S

T

A n

1

многообразия над окружностью S 1 со слоем тор Tn , такое, что монодромия расслоения задается матрицей A S L(n, Z). n Многообразие MA+1 обладает интересными свойствами. Простейший нетривиальный пример с

A=

11 01

был рассмотрен Л. Батлером [36]. В этой работе была построена 3 аналитическая риманова метрика на MA , геодезический поток которой интегрируем по Лиувиллю при помощи гладких интегралов, но неинтегрируем в классе аналитических функций. Последнее утверждение было доказано при помощи топологических препятствий к аналитической интегрируемости, найденных И. А. Таймановым [28, 29]. Таким образом, было показано, что некоторые из этих топологических препятствий не мешают гладкой интегрируемости. Г. П. Патернайн [47, 48] доказал, что если геодезический поток на замкнутом многообразии интегрируем, то, при выполнении некоторых дополнительных условий, его топологическая энтропия равна нулю. Он также предположил, что топологическая энтропия интегрируемого геодезического потока на замкнутом многообразии всегда равна нулю. Отметим, что топологическая энтропия в примере Батлера нулевая, что согласуется с гипотезой Патернайна. 8


А. В. Болсинов и И. А. Тайманов [8] опровергли эту гипотезу для 3 гладкого случая, рассмотрев многообразие MA с автоморфизмом

A=

21 11

.

Обобщив конструкцию Батлера, они построили первый пример C интегрируемого геодезического потока с положительной топологической энтропией. Аналогичные результаты имеют место и для случая n > 2 [9]. Квантовым аналогом задачи об интегрируемости геодезического потока на многообразии является описание спектра и собственных функций оператора БельтрамиЛапласа. В статье [34] авторами 3 построен базис в пространстве L2 (MA ), состоящий из собственных функций оператора БельтрамиЛапласа, которые описываются при помощи решений так называемого модифицированного уравнения Матье. Во второй части диссертации мы рассматриваем многомерную ситуацию n > 2 и главным результатом является описание спектра и построение собственного базиса для оператора Бельтрами n Лапласа на L2 (MA+1 ), который описывается при помощи решений одномерного уравнения Шредингера. Перейдем к краткому изложению структуры и главного результата второй части диссертации. В разделе 2.1 мы напоминаем основные определения связанные с надстройками автоморфизмов торов. В разделах 2.2 и 2.3 мы описываем риманову метрику и оператор n БельтрамиЛапласа на MA+1 . Раздел 2.4 посвящен доказательству основного результата:

и Q (z ) задаются формулами (2.10) и (2.6) соответственно. Тогда набор функций {[ ],k , \ {0}} {1, cos k z , sin k z } где k N образует собственный баn зис оператора Лапласа-Бельтрами в пространстве L2 (MA+1 ). При этом функции [ ],k отвечает собственное значение E[ ],k , являющееся собственным значением оператора Шредингера на прямой с потенциалом Q (z ).
],k

Теорема 13. Пусть функции [

Результаты полученные во второй части диссертации опубликованы в статье [18] и доложены на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2006). 9


Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям академику РАН А. Т. Фоменко за постоянную поддержку и внимание к работе и профессору А. В. Болсинову за постановку задач, плодотворные обсуждения и ряд ценных замечаний и идей, определивших направление развития этой работы. Автор также благодарен всем сотрудникам кафедры Дифференциальной геометрии и приложений Механико-математического факультета Московского государственного университета за помощь в течении его учебы.

10


Глава 1

Формальный метод сдвига аргумента
Одним из центральных направлений теории вполне интегрируемых систем является исследование уравнений Эйлера на двойственных пространствах алгебр Ли:

x = ad

df (x)

x, x g , f C (g ).

Уравнения Эйлера являются естественным обобщением классических уравнений динамики твердого тела и важность их изучения определяется прежде всего тем, что они возникают во многих задачах математической физики [4], [30]. Метод сдвига аргумента, предложенный А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко [23], позволяет проинтегрировать уравнения Эйлера, т.е. построить полный коммутативный набор интегралов, для многих классов вещественных и комплексных алгебр Ли. В первой части диссертации мы разрабатываем формальный метод сдвига аргумента аналог классического метода сдвига аргумента для построения коммутативного набора полиномов на двойственных пространствах алгебр Ли над произвольным полем.

1.1 Гипотеза МищенкоФоменко
Рассмотрим произвольную конечномерную алгебру Ли g над полем K нулевой характеристики. Лиевская структура на g индуцирует на симметрической алгебре S (g) K[g ] скобку Пуассона-Ли, ко11


торая определяется как кососимметрическая билинейная операция, удовлетворяющая следующим свойствам: 1. Если полиномы f , g S (g) линейны (в этом случае их можно рассматривать как элементы алгебры Ли g), то их скобка Пуассона-Ли совпадает с коммутатором в алгебре, т.е.

{f , g } = [f , g ].
2. На полиномы более высоких степеней скобка Пуассона-Ли распространяется при помощи правила Лейбница:

{f g , h} = f {g , h} + g {f , h}.
Структура ПуассонаЛи превращает симметрическую алгебру S (g) в пуассонову алгебру P (g) = (S (g), {ћ, ћ}), ассоциированную с g. Скобка ПуассонаЛи естественным образом продолжается на поле рациональных функций K(g ). Cоответствующую пуассонову алгебру будем обозначать через Frac(P (g)) = (K(g ), {ћ, ћ}). Каждой конечномерной алгебре Ли g можно сопоставить два целых числа: размерность dim g (характеристика линейной структуры) и индекс ind g (характеристика лиевской структуры). Хорошо известно, что число алгебраически независимых попарно коммутирующих полиномов в P (g) не превышает 1 (dim g + ind g). 2

Замечание 1. На протяжении всей работы, если не оговорено противное, коммутативность будет пониматься в смысле скобки ПуассонаЛи.
ным, если он содержит 1 (dim g + ind g) алгебраически независимых 2 полиномов.

Определение 1. Коммутативный набор F P (g) называется пол-

Любой коммутативный набор полиномов F порождает коммутативную пуассонову подалгебру K[F ] P (g). Коммутативная подалгебра A P (g) называется подалгеброй максимальной размер1 ности, если trdeg A = 2 (dim g + ind g). Подалгебра A называется максимальной, если она максимальна среди всех коммутативных подалгебр P (g) в теоретико-множественном смысле. Вопрос о существовании полных коммутативных наборов впервые был сформулирован в работе [24] в виде следующей гипотезы. 12


Гипотеза (Мищенко, Фоменко, 1981). Пусть g вещественная

или комплексная алгебра Ли. Тогда в P (g) существует полный коммутативный набор полиномов.

Эта гипотеза пришла из теории интегрируемых гамильтоновых систем. Напомним, что такими системами называются те, которые обладают полными коммутативными алгебрами первых интегралов. Таким образом, на языке гамильтоновых систем, эта гипотеза может быть сформулирована так: на двойственном пространстве g каждой вещественной или комплексной алгебры Ли g существуют полиномиально интегрируемые гамильтоновы системы. В 1978 г. она была доказана А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко для полупростых алгебр Ли [23]. В 2003 г. С. Т. Садэтов доказал гипотезу МищенкоФоменко в общем случае [26].

лива для произвольной конечномерной алгебры Ли g над полем K нулевой характеристики.
В работе [7] А. В. Болсинов изложил доказательство Садэтова на более явном языке пуассоновой геометрии, позволяющем эффективно работать с конкретными алгебрами Ли. В основе геометрического доказательства теоремы Садэтова, предложенного Болсиновым, лежит следующая лемма:

Теорема 1 (Садэтов, 2003). Гипотеза МищенкоФоменко справед-

Лемма 1. Любая алгебра Ли g над полем K характеристики нуль
удовлетворяет одному из следующих условий: 1. Существует коммутативный идеал h g, не являющийся одномерным центром g (т.е. либо dim h > 1, либо [h, g] = 0); 2. Существует идеал hm g, изоморфный алгебре Гейзенберга, и при этом центр g совпадает с центром hm , Z (g) = Z (hm ); 3. Алгебра Ли g полупроста или g = g0 K, где g0 полупроста.
Оказывается, что в первых двух случаях можно сделать индуктивный шаг: свести задачу о построении полного коммутативного ~ набора в P (g) к построению полного коммутативного набора в P (g), ~ ~ где g новая алгебра Ли над новым полем K, которая, однако, имеет строго меньшую размерность dimK g < dimK g. А в третьем ~~ 13


случае достаточно применить метод сдвига аргумента: в [23] было доказано, что этот метод дает полный коммутативный набор для вещественных и комплексных алгебр, а в [7] указано, что из общей классификации полупростых алгебр Ли следует, что в полупростом случае метод сдвига аргумента дает полный коммутативный набор полиномов для произвольного поля характеристики нуль. Таким образом, процедура построения полного коммутативного набора устроена так: если алгебра Ли полупроста, то применяем метод сдвига аргумента, а если нет то делаем индуктивный шаг. Однако, хорошо известно, что метод сдвига аргумента дает полный коммутативный набор полиномов не только в полупростом случае, но и для многих других алгебр Ли. Поэтому, естественно было бы применять его не только к полупростым, а вообще ко всем алгебрам Ли, возникающим в процессе индукции. Техническая проблема заключается в том, что критерий полноты для коммутативного набора, построенного методом сдвига аргумента, известен только в вещественном и комплексном случаях [5]. Имея такой критерий для произвольного поля, можно было бы существенно упростить описанную процедуру построения полного коммутативного набора. А ~ именно, делать индуктивный шаг g g, понижающий размерность алгебры, только в том случае, когда коммутативный набор в P (g), построенный методом сдвига аргумента, не является полным. Нашей целью является обобщение метода сдвига аргумента на случай произвольного основного поля характеристики нуль и получение критерия полноты для коммутативного набора полиномов, построенного этим методом.

1.2 Метод сдвига аргумента
Метод сдвига аргумента является универсальной конструкцией, позволяющей строить семейства функций в инволюции на двойственных пространствах алгебр Ли. Впервые этот метод был предложен А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко [23] как обобщение конструкции С. В. Манакова [22], которая применялась к алгебре Ли so(n). Предположим сначала, что наше основное поле K является полем вещественных или комплексных чисел. Тогда скобка ПуассонаЛи двух гладких функций f , g C (g ) определяется следующей 14


формулой:

{f , g }(x) = x, [dx f , dx g ] = ck x ij

k

f g . x i xj

Ясно, что эта скобка при ограничении на пуассонову алгебру P (g) совпадает со скобкой, описанной в начале раздела (1.1). Пусть G группа Ли ассоциированная с алгеброй Ли g. Аналитическая функция f A(g ) называется инвариантом коприсоединенного представления Ad : G GL(g ), если f (x) = f (Ad x) g для всех g G, x g . Другими словами, инварианты это функции, постоянные на орбитах коприсоединенного представления Ox = {Ad x | g G}. Кольцо инвариантов алгебры g будем обознаg чать через I (g). Хорошо известно, что функция является инвариантом f I (g) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующей системе линейных однородных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка:

ck x ij

k

f = 0, xj

i = 1, . . . , dim g,

(1.1)

где ck структурные константы алгебры Ли g относительно базиij са, соответствующего координатам x1 , . . . , xn . Полиномиальные инварианты в физической литературе называются также классическими инвариантами Казимира, а в теории инвариантов целыми или регулярными инвариантами. Хорошо известно, что если аналитическая функция является инвариантом, то и любая ее однородная часть, полученная при разложении в ряд, тоже является инвариантом. Поэтому аналитические инварианты по существу ничем не отличаются от полиномиальных. С другой стороны, система (1.1) может иметь локальные решения, которые не допускают глобальных аналитических продолжений, например, рациональные решения. Поэтому естественным является разрешить аналитическим инвариантам иметь особенности, т.е. рассматривать далее инварианты в классе функций аналитических почти всюду на g . Из теории дифференциальных уравнений в частных производных следует, что максимальное число функционально независимых инвариантов равно min corank (ck xk ), т.е. совпадает с индексом алij гебры. Напомним, что по определению индекс алгебры Ли ind g = 15
x


min dim Ann(x), где Ann(x) = { g | ad x = 0} и, как не труд
но подсчитать, dim Ann(x) = corank (ck xk ). Так как dim Ann(x) = ij codim Ox , то в терминах группы Ли G индекс определяется как коразмерность орбиты общего положения ind g = min codim Ox . Отметим, что количество функционально независимых инвариантов коприсоединенного представления группы Ли может быть строго меньше чем коразмерность орбиты общего положения. Это связано с тем, что для пространства орбит может нарушаться аксиома отделимости, так как коприсоединенные орбиты не обязательно замкнуты, даже локально. Такие группы иногда называются дикими [19]. Простейший пример дикой группы Ли был построен Ф. И. Маутнером в 50-x годах и позднее переоткрывался многократно [19].
x x

Пример 1. Рассмотрим семейство 5-мерных групп Ли G , которое
зависит от вещественного параметра и имеет следующее матричное представление:

G



eit 0 z1 g (t, z1 , z2 ) = 0 eit z2 , 001

t R, z1 , z2 C.

Если иррациональное число, то коприсоединенная орбита общего положения является двумерной с трехмерным замыканием (ситуация типа всюду плотной обмотки тора). Ясно, что в этом случае G имеет не более двух глобальных инвариантов. Для произвольного фиксированного элемента коалгебры a g определим семейство функций Fa (I (g)), образованное сдвигами всех инвариантов в направлении a (a-сдвигами),

Fa (I (g)) = {fa, (x) = f (x + a) | f I (g), K}.
А.Т. Фоменко и А.С. Мищенко показали [23], что это семейство коммутативно относительно скобки Пуассона-Ли. Однако, как уже было отмечено, инварианты не обязаны быть полиномами, и, следовательно, коммутативное семейство Fa (I (g)) не обязано лежать в пуассоновой алгебре P (g). Этот недостаток может быть легко устранен при помощи конструкции предложенной А.В. Браиловым.

Определение 2. Набор полиномов F P (g) называется набором

полиномиальных a-сдвигов функции f , если он функционально эквивалентен семейству Fa (f ) = {fa, (x) = f (x + a) | K}, т.е. 16


если элементы F и Fa (f ) почти всюду функционально выражаются друг через друга. Пусть функция f является аналитической в точке a. Рассмотрим ее разложение в ряд Тейлора в окрестности точки a:

f (a + x) = f (a) + fa,1 (x) + 2 fa,2 (x) + . . .

(1.2)

Легко проверяется, что семейство Fa (f ) и набор однородных полиномов {fa,k }kN функционально эквивалентны, поэтому {fa,k }kN является набором полиномиальных a-сдвигов функции f . Рассмотрим набор однородных полиномов, состоящий из полиномиальных a-сдвигов всех инвариантов алгебры Ли g:

{fa,k | f I (g), k N} P (g).
Так как этот набор функционально эквивалентен семейству Fa (I (g)), то он является коммутативным набором полиномов в P (g), и мы будем обозначать его также через Fa (I (g)). Соответствующая коммутативная подалгебра K[Fa (I (g))] P (g), порожденная этим набором, называется подалгеброй Мищенко-Фоменко. Пусть g обозначает множество всех Ad -сингулярных элеменsing тов g , т.е. g = {x g | codim Ox > ind g}. sing Другими словами, сингулярными являются в точности те точки x g , в которых падает ранг матрицы (ck xk ). Множество регулярных ij элементов greg = g \ gsing является открытым всюду плотным подмножеством g . Отправной точкой в исследовании полноты коммутативного набора полиномов Fa (I (g)) является следующая теорема [23]:

или комплексная полупростая алгебра Ли и a geg . Тогда коммуr тативный набор полиномиальных a-сдвигов инвариантов Fa (I (g)) является полным.
В более алгебраических терминах это означает, что коммутативная пуассонова подалгебра Мищенко-Фоменко K[Fa (I (g))] P (g) является коммутативной подалгеброй максимальной размерности. На самом деле, набор Fa (I (g)) является полным и для многих других алгебр Ли. Имеет место следующий эффективный критерий полноты [5]: 17

Теорема 2 (Мищенко, Фоменко, 1978). Пусть g вещественная


Теорема 3 (Болсинов, 1988). Пусть g конечномерная вещественная или комплексная алгебра Ли и a geg . Коммутативный набор r полиномиальных a-сдвигов инвариантов Fa (I (g)) является полным тогда и только тогда, когда

codim(gC ) 2. sing
Здесь gC обозначает комплексификацию алгебры. Если g полупроста, то codim (gC ) = 3 и полнота набора Fa (I (g)) автоматичеsing ски следует из критерия. Предположим теперь, что мы хотим обобщить описанную выше конструкцию построения набора Fa (I (g)) и получить для него критерий полноты аналогичный теореме 3, на случай произвольного поля K характеристики нуль.

1.3 Критерий полноты: полиномиальный случай
Одна из трудностей, с которой мы сталкиваемся, это отсутствие на поле K априорно заданной топологии, и, как следствие, невозможность говорить о дифференцировании функций на g , как в (1.1), или разложении их в ряд, как в (1.2). Таким образом, определение полиномиальных a-сдвигов произвольных инвариантов над абстрактным полем затруднительно. С другой стороны, полиномиальные a-сдвиги полиномов можно определить чисто алгебраически (раскрыть скобки и п