Расчет внутреннего строения звезд и их эволюции производится путем численного интегрирования с использованием традиционной системы четырех дифференциальных уравнений строения звезд дополненных уравнением состояния плазмы. Решение этих уравнений позволяет найти пять независимых величин характеризующие внутренне строение звезды: давление P, температуру, плотность и текущие значения зависимости массы и светимости от радиуса и L(r). Подробно вывод этих уравнений можно посмотреть, например, в книге Зельдовича, Блинникова, Шакуры, "ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СТРОЕНИЯ И ЭВОЛЮЦИИ ЗВЕЗД" 1981 http://www.astronet.ru:8101/db/msg/1175488 и далее в списке рекомендованной литературы.

Для перехода к расчету эволюционных моделей учитывается изменение химического состава из-за ядерных реакций на каждом временном шаге. (величины -- весовые доли элементов: водорода ( ), гелия ( ) и тяжелых элементов ( )).

Остановимся несколько подробнее на этих уравнениях:

1.                   Уравнение энергетического баланса.

где - текущая светимость в радиусе , [эрг/сг]- скорость выделения энергии состоит из трех составляющих

Первое слагаемое - скорость выделения энергии при ядерных реакциях. Для расчета генераций ядерной энергии необходимо иметь формулы для скоростей выделения энергии в ядерных реакциях в зависимости от температуры, плотности, и химического состава

. Эти формулы дает ядерная физика. В настоящем практикуме рассматривается превращение водорода в гелий, гелия в углерод и несколько дальнейших реакций.

Второе слагаемое - скорость изменения тепловой энергии вещества звезды .

Третье слагаемое - потери энергии из-за излучения нейтрино не связанные с ядерными реакциями .

Таким образом, окончательно уравнение сохранения энергии выглядит как:

 

2. Уравнения переноса энергии к поверхности излучением и конвекцией. Чтобы рассчитать перенос энергии в лучистой зоне необходимо знать коэффициент непрозрачности звездного вещества в зависимости от химического состава, температуры и плотности. Ввиду сложности расчета этого коэффициента он вычисляется до сих пор лишь немногими группами астрофизиков в табличной форме. В частности в настоящей программе использованы довольно старые таблицы непрозрачности Кокса и Стюарта 1969.

Итак, для лучистого переноса энергии

где -постоянная плотности излучения , - скорость света.

 

Для конвективного переноса энергии в адиабатической зоне используется другое уравнение:

где - отношение удельных теплоемкостей при постоянном давлении к удельной теплоемкости при постоянном объеме . Это уравнение непригодно для расчета энергии в суперадиабатическом слое (при расчете модели Солнца этот слой важен). В этих слоях пользуются теорией конвекции (например теорией длины пути перемешивания ТДПП). В этой теории имеется параметр - величина порядка единицы, равная отношению среднего пути , проходимого конвективным элементом за время его существования, к шкале высот по давлению , где ). При этом предполагается, что средний путь, проходимый элементом, сравним с характерными размерами элемента. Для использования данной теории необходимо задать значение параметра . Т.е. является свободным параметром теории и его выбор играет большую роль в расчете модели Солнца.

 

Критерий для выбора между 1 и 2 уравнением называется критерием Шварцшильда и выглядит следующим образом, если:

 

то есть конвекция

 

т.е. при выполнении этого условия будет осуществляется конвективный перенос энергии и следует пользоваться уравнением 2. В противном случае пользуются уравнением 1.

3. Уравнение гидростатического равновесия, в котором газовое давление и давление излучением уравновешиваются гравитацией.

 

где , - гравитационная постоянная, - текущая масса внутри радиуса .

 

4. Уравнение массы

 

Для решения этих уравнений необходимо задать четыре граничных условия:

при

; на поверхности

 

Четыре уравнения имеют пять переменных и , поэтому необходимо дополнить эти четыре дифференциальные уравнения уравнением состояния вещества связывающим и .

 

;

Хорошо известное уравнение для идеального газа, можно использовать только внутри звезды, где все ионизовано, и оно совсем не годится на поверхности. В настоящей программе используются уравнения состояния вещества в табличной форме, которые вычисляются несколькими группами, например таблицы the OPAL group at Lawrence Livermore.

Сведем в таблицу все написанные уравнения:

 

Уравнения внутреннего строения звезды