Статистическая модель идеального газа

Изложим качественно некоторые представления статистической физики на примере идеального газа. Хотя большинство предположений могут и не использоваться при анализе термодинамики идеального газа, но во-первых, эти предположения актуальны при рассмотрении более сложных случаев, а во-вторых, использовое общего статистического описания позволяет всецело определить идеальный газ, включая его энтропию, и все необходимые распределения (по скоростям или флюктуации средних величин).

Существуют два основных метода для описания распределений в статистической физике. Одно, это распределение Гиббса (или большое каноническое распределение) и второе, это распределение Максвелла-Больцмана (или микроканоническое распределение). Несмотря на то, что распределение Гиббса в некотором смысле более общее, наглядно представлять легче второй тип, то есть микроканоническое распределение. Поэтому мы начнем со второго.

Прежде чем перейти к описанию распределеннй, отметим общую черту (точнее, основной принцип) для обоих типов. Этот принцип состоит в том, что вероятность системы (или объекта) находиться в состоянии i (что это за объекты и состояния - зависит от типа распределения) пропорциональна e^-E_i/kT, где E_i - энергия этого состояния.

Несколько в шуточной форме можно сказать, что ситуация подобна случайному размещению книг на стелажах сложной формы. Каждое место, куда книга может быть поставлена, это состояние i, а высота полки, на которой мы ищем книгу - это ее энергия. Тогда для каждой книги можно сопоставить "температуру", характеризующую то, как часто эту книгу брали и ставили на место. А вероятность найти книгу на высоких полках (при умеренных "температурах") существенно меньше, чем на самых высоких. При этом форма стелажа и количество мест на каждой полке может быть очень разным - именно это характеризует конкретную систему.

Вернемся к микроканоническому распредtлению и опишем "стелажи". В начале, не будем вспоминать о квантовых эффектах, так сказать, чисто классическое описание. В основе лежит представление о фазовом пространстве или его еще называют m- пространством для одной частицы. Если рассматривать частицу из идеального газа, ее фазовое пространство 6-мерное, и состоит из 3-х координатных и 3-х импульсных осей. Частица, в общем случае, может занимать любое положение в этом пространстве, ограниченное по координатным осям размерами системы. Поскольку мы не предполагаем никаких внешних сил (сил тяжести, магнитных полей и т.п.), то энергия частицы не зависит от положения в пространстве, и вероятности всех доступных положений в пространсвенных координатах одинаковы. Тем самым мы способны нарисовать оси импульсов из фазового пространства, и оперировать с ними в дальнейшем. Энергия частицы определяется квадратом импульса и массой, то есть в пространстве импульсов все сферические "стелажи" имеют одинаковые энергии (находятся на одинаковой "высоте"). Однако объемы этих стелажей не одинаковы - они пропорциональны объемам шаровых слоев со средним радиусом p. Объем этого слоя очевидно равен 4pp²dp. Все положения внутри этого слоя равновероятны, так что если мы интересуемся распредление по импульсам (тоже, что по энергиям), то получим, что вероятность w(p) равна

В этой формуле начальная константа имеет смысл нормировки плотности вероятности, то есть находится из условия, тw(p)dp=1. Эту формулу легко переписать в виде распределения скоростей частиц, то есть

хорошо известное распределение Максвелла для скоростей частиц в идеальном газе. Легко понять, что можно использовать это полученное распределение для вывода макроскопического давления, в механическом смысле. Едиственное, что для этого нужно, это убедиться, что средняя энергия частиц E=тw(E)dE остается равной 3kT/2.

Упражнение. Покажите, что наиболее вероятная скорость частиц равна (2kT/m₀)^1/2, средняя скорость равна (8kT/pm₀)^1/2, а среднеквадратичная скорость равна (3kT/m₀)^1/2.

Вернемся к константе нормировки в распределении импульсов (2pm₀kT)^-1/2. Эта величина смысл среднего импульса частиц при рассматриваемом распределении.