Решения

3. Инструменты

3.1 При обнаружении камерой препятствия на пути марсохода передатчик сообщит об этом на Землю, и Центр управления в ответ пошлет сигнал двигателю аппарата. Сигнал должен прийти до того, как марсоход достигнет препятствия. Поскольку 1 а.е. -- это 500 световых секунд, на преодоление расстояния в 3 а.е. (удвоенное среднее расстояние от Земли до Марса) уходит 1500 с. Поэтому безопасная скорость движения марсохода не более 10 / 1500 м/с = 7 мм/с, или около 40 см/мин. Поистине черепашья скорость! Вспомните теперь, в каких пределах меняется геоцентрическое расстояние Марса и уточните найденную оценку. Быстрее всего марсоход мог бы двигаться при великих противостояниях Марса, когда r уменьшается до 55 миллионов км. Они всегда бывают в одно и то же время года (в августе -- сентябре). Как вы думаете, почему?

После того, как рукопись с приведенным только что текстом решения была сдана в издательство, произошли замечательные события, непосредственно относящиеся к теме этой задачи. 4 июля 1997 г. космический аппарат "Pathfinder" ("Следопыт") совершил посадку на поверхность Марса. Вскоре небольшой управляемый с Земли шестиколесный марсоход размером с большую детскую игрушку (его длина -- 65 см) пополз по Марсу со скоростью  см/с -- в полном согласии с полученной только что оценкой.

Метеостанция, установленная на "Следопыте", ведет измерения температуры марсианского "воздуха" в месте посадки. Днем она поднимается до C, ночью падает до C. Любопытно, что самая низкая температура воздуха, зафиксированная на Земле, практически такая же (C, станция "Восток", Антарктида, 21 июля 1983 г.).

Чтобы обеспечить всем быстрый и надежный доступ к информации о Pathfinder'е, текущей и архивной, НАСА размещает ее в Интернете одновременно на многих серверах ("зеркалах"), разбросанных по всему земному шару. Если вам окажется трудно "пробиться" непосредственно в НАСА по одному из следующих адресов:

"Следопыт" -- первый из серии садящихся на Марс исследовательских аппаратов, запуск которых будет проведен НАСА в ближайшие годы. Предполагается, что в 2005 г. образцы марсианского грунта будут доставлены на Землю.

3.2 Любая экваториальная установка, в том числе и немецкая, будет одновременно и азимутальной, если телескоп установлен на полюсе -- неважно, южном или северном.

3.3 Всего глазом видно звезд, блеск их заключен между (Сириус) и . Глаз способен в принципе заметить разницу в , так что всего имеется градаций яркости. Это дает 7 бит информации на звезду. Кроме того, звезды различаются по цвету  -- скажем, разных цветов (хотя вряд ли и это глаз способен различить у слабых звезд). Получаем еще три бита информации. Положение звезды на небе в дотелескопическую эпоху можно было определить с точностью в лучшем случае в . В радиан содержится угл. минут. Координат две, но вторая (скажем, ) изменяется всего в пределах , а потому ее задание с точностью до предоставляет (а не ) возможностей. Всего -- 27 бит для положения звезды.

Итак, о каждой звезде можно было получить следующее количество информации: 7 битов -- блеск, 3 бита -- цвет, 27 битов -- положение; итого битов на звезду. Общее количество информации о звездах, доступной людям в дотелескопическую (а правильнее будет, пожалуй, даже сказать -- и во всю доспектроскопическую) эпоху развития астрономии, буквально поражает своей мизерностью:  бит килобайт.

Конечно, любой, даже самой простой дискетки на 360 килобайт, о каких все успели уже давно забыть, хватило бы за глаза для записи всех этих данных. Реально же к моменту изобретения телескопа было собрано менее 10% этой информации -- каталогов слабых по меркам того времени звезд не существовало, блеск и цвет оценивались грубо.

А как обстоит дело сегодня? Вот данные о количестве информации, собранной астрометрической космической обсерваторией HIPPARCOS. Она работала с конца 1989 г. по июнь 1993 г. и передала за это время на Землю  Гигабайт  байт данных. Результат обработки этих данных -- каталог HIPPARCOS'а (июнь 1997 г.). Для звезд их положения на небе даны в нем с миллисекундной точностью, еще для звезд -- с точностью миллисекунд. HIPPARCOS получил также ценнейшие данные о собственных движениях и о параллаксах звезд. В частности, им впервые надежно измерены тригонометрические параллаксы цефеид, а это -- основа построения шкалы расстояний во Вселенной.

3.4 Расстояние от Земли до Луны равно примерно 400000 км, а разрешение глаза  радиана. Поэтому наименьший линейный размер образований на Луне, различимых невооруженным глазом, составляет  км. Наибольшие кратеры имеют чуть больший размер и близки к пределу разрешения. В бинокль с шестикратным увеличением кратеры уже хорошо видны.

3.5 Размер наименьших деталей на Земле l, которые можно сфотографировать из космоса, определяется угловым размером диска дрожания звезды. Примем его значение равным одной угловой секунде. Тогда при расстоянии в 200 км от поверхности Земли имеем  м. Пользуясь ухищрениями, добиваются и большего разрешения, но как -- это уже, вероятно, военный секрет Полишинеля. Не будем его раскрывать.

А чем определяется наименьший размер деталей на Луне, которые можно сфотографировать из космоса?

3.6 Оценим радиус R тела, которое на гелиоцентрическом расстоянии r = 40 а.е. (середина пояса Койпера) имеет звездную величину (проницающая сила наземных 10-метровых телескопов Кека и космического телескопа Хаббла). Освещенность от тела на Земле (или на Солнце, расстояние от Земли до Солнца много меньше расстояния до тела) равна

где  -- "светимость" обращенного к нам полушария тела, A -- альбедо тела,  -- освещенность от Солнца на поверхности тела. (Как вы думаете, почему в данном случае вместо казалось бы очевидного точного равенства ?) Освещенности от Солнца на Земле и на теле пояса Койпера относятся как

Поэтому

Обратите внимание, что освещенность убывает здесь как четвертая степень, а не как квадрат расстояния! С другой стороны,

где  -- видимая звездная величина Солнца (), m -- видимая звездная величина тела ( -- предел, доступный телескопу Хаббла). Из двух последних выражений получаем

Принимая альбедо равным 0.2 и подставляя r = 40 а.е., находим  км. Обратите внимание, что , так что на ближнем и на дальнем краях пояса Койпера значения R различаются в  раза.

К началу 1997 г. в поясе Койпера было обнаружено 46 объектов, за восемь месяцев 1997 г. открыто еще 9. Предполагается, что там имеются десятки тысяч тел крупнее 100 км.

Обширная программа поиска транснептуновых объектов (ТНО) выполняется на двухметровом телескопе Гавайского университета, на котором и открыта львиная доля этих объектов. Звездная величина обнаруживаемых на нем перемещяющихся относительно окрестных звезд ТНО (на чем и основан метод их поиска) -- около . Оцените самостоятельно проницающую силу этого телескопа; диаметр зеркала 2.2 м. Размер доступных ему ТНО легко оценить по выведенной только что формуле (проделайте это!).

Электронный каталог тел пояса Койпера доступен в Интернете по адресам

Из всех ТНО, об обнаружении которых имелись сообщения к концу августа 1997 г., наибольшую полуось a = 84 а.е. имеет тело, движущееся по сильно вытянутой орбите (e = 0.58). В афелии оно удаляется от Солнца на 133 а.е. Удивительно, что у примерно 40% из известных к настоящему времени ТНО большая полуось та же, что и у Плутона (хотя пространственное расположение орбит другое). Эти объекты получили название плутино (plutino), или по-русски -- плутончики. Период обращения плутино, как и самого Плутона, находится в резонансе 2:3 с Нептуном. Расположение Плутона и плутино на орбитах таково, что тесных сближений с Нептуном не происходит.

3.7  Cen -- звезда . Значит, фотонный поток от этой звезды составляет примерно фотонов/(смс). Фотонный поток от Солнца в

раз больше и составляет примерно фотонов/(смс). Аналогично, фотонный поток от звезды в раз меньше и равен фотонов/(смс) или 1 фотон/(мс).

3.8 Сначала -- несколько слов о телескопах Кека. У. Кек (W.M. Keck) -- американский богач, пожертвовавший 130 миллионов долларов на разработку и строительство этих телескопов. Они установлены на вершине горы Мауна-Кеа (правильнее -- Мауна-Ки, но у нас принято говорить Мауна-Кеа) на главном острове Гавайского архипелага на высоте 4200 м над уровнем моря. Первый телескоп вошел в строй в 1993 г., первая пробная фотография на втором телескопе получена 27 апреля 1996 г., а в регулярную эксплуатацию он был передан 1 октября 1996 г. Предполагается, что в недалеком будущем эти два телескопа начнут работать в режиме оптического интерферометра с базой  м, что должно будет позволить получить разрешение в (на длине волны 2 микрона).

А теперь -- непосредственно к задаче. Согласно задаче , фотонный поток от звезды равен фотонов/(смс). Площадь зеркала телескопа Кека  см². Поэтому от Веги каждую секунду на это зеркало падает фотонов. От звезды телескоп Кека получает в  раз меньше фотонов, чем от Веги, или примерно 1 фотон в секунду.

3.9 При лаймановский предел смещается с  A на  A. Из-за высокой непрозрачности межгалактических газовых облаков (тех самых, которые порождают так называемый лайман-альфа лес в спектрах квазаров) излучение с  Å доходить к нам от объектов с почти не будет. Поэтому регистрация излучения сверхдалеких галактик (с ) возможна будет лишь в ИК-диапазоне, на  Å.