Решения

9. Спектры Солнца и звезд

9.1 Фраунгоферовы линии -- это линии поглощения в видимой части спектра Солнца (линий в других областях спектра Фраунгофер в начале 19 в. наблюдать, естественно, не мог). Наряду с другими причинами, уширение этих линий вызывается тепловым движением атомов в атмосфере Солнца. Оценим характерную тепловую скорость атомов водорода на Солнце. Из условия

находим

Подставляя значения  эрг/K (постоянная Больцмана), T=5800 K (температура "поверхности" Солнца) и  г (масса атома водорода мало отличается от массы протона), получаем  км/с. (Это число полезно помнить. Оно порядка скорости звука в атмосфере Солнца.) По формуле эффекта Доплера при такой лучевой скорости длина волны видимого света  Å) смещается на величину  Å. Соответствующая ширина линий порядка  Å, так как скорости частиц газа могут быть направлены как к наблюдателю, так и в противоположном направлении.

Эта оценка относится к водороду. Для атома с массой m ширина линии будет в раз меньше (почему?).

Найденные нами ширины -- минимальные: тепловые скорости есть всегда. В действительности существуют и другие причины уширения. В итоге сильные линии (в частности, и бальмеровские линии водорода) оказываются значительно шире.

9.2 Из-за вращения один край диска приближается к нам, другой удаляется. Поэтому линия, которая была бы бесконечно узкой у невращающейся звезды, оказывается уширенной -- ведь к нам приходит излучение со всего диска, а из-за вращения в разных его точках лучевая скорость, а значит, и вызванное ею доплеровское смещение различны. Если ось вращения перпендикулярна к лучу зрения, то доплеровское уширение линии, обусловленное вращением, будет составлять

(А что будет, если угол наклона оси вращения к лучу зрения не , а i?)

Обратимся к конкретному случаю, указанному в условии задачи. Радиус звезды спектрального класса B0V можно принять равным . Поэтому периоду осевого вращения соответствует скорость вращения на экваторе  км/с. Линия с длиной волны  Å будет иметь  Å.

9.3 Линии H и K Ca II -- резонансные, т.е. они возникают при переходах с основного уровня. Линии же и возникают при переходах с первого возбужденного уровня, отстоящего от основного на 10.2 эВ. При температуре  K на этом уровне находится лишь очень малая доля атомов водорода, подавляющее же большинство  -- на основном уровне. Населенность i-го уровня можно оценить по формуле Больцмана

где  -- статистический вес i-го уровня (для водорода ) и  -- энергия его возбуждения (10.2 эВ для i = 2, т.е. для первого возбужденного уровня водорода). Поскольку энергии в 1 эВ соответствует температура 11600 К, то при  К оказывается, что . Поэтому при  K доля атомов водорода, находящихся на втором уровне, составляет всего . Но (напоминаем, что ), а , так что доля атомов на втором уровне составляет . Их концентрация существенно ниже концентрации ионов кальция (содержание кальция от водорода; кальций в солнечной атмосфере сильно ионизован, так как энергия его ионизации сравнительно невелика,  эВ). В итоге резонансные линии иона кальция оказываются сильнее бальмеровских линий.

9.4 Чтобы ответить на поставленные вопросы, следует прежде всего понять, почему есть бальмеровский скачок. Поглощение излучения в атмосферах с температурой  K вызывается нейтральным водородом. По коротковолновую сторону от бальмеровского предела при Å\ (скажем, на Å) излучение способно ионизовать атомы водорода со всех уровней, начиная со второго, по длинноволновую сторону от этого предела (скажем, на Å) фотоны могут ионизовать водород лишь с третьего и более высоких уровней. В результате на Å\ атмосфера оказывается более прозрачной, и мы видим более глубокие и потому более горячие ее слои. Излучение их сильное. По коротковолновую сторону от предела (на Å) непрозрачность газа велика, излучение приходит лишь из самых поверхностных, а значит, более холодных слоев, и потому оно слабее.

Теперь уже легко ответить и на вопрос о потемнении. Там, где непрозрачность велика (Å), во всех точках диска излучение приходит почти из одних и тех же, самых поверхностных слоев. Поэтому потемнение к краю должно быть мало. С излучением по длинноволновую сторону от предела (Å) положение другое. В центре диска оно приходит со сравнительно большой глубины, где горячо, а на краю луч зрения скользит по атмосферным слоям, и излучение приходит только из самых наружных холодных слоев. Значит, на этих длинах волн должно быть значительное потемнение.

Можно утверждать, что отношение яркостей в центре и на краю по длинноволновую сторону от предела заведомо больше, чем величина наблюдаемого в спектре звезды скачка (поймите, почему).

9.5 Мы настолько привыкли к тому, что излучение Солнца в первом приближении можно считать чернотельным, что обычно не задаемся вопросом, почему, собственно, это так. Между тем вопрос нетривиален. Действительно, если бы температура Солнца была не 6000 K, а 10000 K, то оно было бы звездой класса A0V, и спектр был бы совсем не похож на планковский -- имелся бы большой бальмеровский скачок на Å и т. д. Так почему же распределение энергии в спектре Солнца похоже на планковское? По сути дела, причина этого в том, что атмосфера Солнца почти серая, т.е. ослабляет проходящее через нее излучение неселективно. Это вызвано тем, что основным источником непрозрачности газа в солнечной атмосфере является не нейтральный водород, как у звезд класса A (последний поглощает излучение разных длин волн весьма по-разному -- отсюда, в частности, и бальмеровский скачок, см. предыдущую задачу), а отрицательный ион водорода (см. задачу ). Он поглощает видимое излучение всех длин волн почти одинаково. Температура в солнечной атмосфере, точнее, в тех слоях, которые мы непосредственно видим, различается не сильно и близка к 6000 K. Поэтому наблюдаемый спектр есть наложение планковских кривых со слегка различающимися температурами, входящими с весовыми множителями, учитывающими нейтральное, т.е. одинаковое для всех длин волн ослабление излучения при прохождении им слоев атмосферы, лежащих над тем уровнем, где свет был излучен. В результате и получается, что спектр Солнца близок к чернотельному с  К.

Что же касается Веги, то из-за более высокой температуры в ее атмосфере доля атомов водорода на возбужденных уровнях больше, чем на Солнце. Основным источником поглощения становится нейтральный водород, а не его отрицательный ион. Поглощение же водородом сильно селективно (см., в частности, задачу ). На разных длинах волн излучение приходит с сильно различающихся глубин, где температура заметно разная. В итоге спектр не похож на планковский.

9.6 Вблизи края диска луч зрения почти "скользит" по атмосферным слоям, и поэтому излучение приходит к нам из самых поверхностных и потому самых холодных слоев атмосферы (соответствующую температуру обозначим через ). Край диска будет излучать как черное тело с . В центре диска луч зрения направлен по нормали к атмосферным слоям. Поэтому приходящее к нам излучение зарождается в сравнительно глубоких слоях атмосферы, где горячее (соответствующая температура ). Идущее из центра диска излучение будет близко к планковскому с . Так как , то , т.е. центр диска ярче, чем край. Поскольку в серой атмосфере излучение всех длин волн ослабляется одинаково, глубина слоев, где излучение зарождается, одна и та же. Иначе говоря, и от не зависят. Однако отсюда вовсе не следует, что отношение , дающее величину потемнения на краю, не зависит от . Поскольку отличается от не сильно, это отношение легко получить в явном виде, воспользовавшись результатом из задачи :

где

Отсюда видно, во-первых, что величина потемнения к краю определяется градиентом температуры в атмосфере: чем быстрее температура растет с глубиной, тем больше отличие от , а как следствие -- больше и потемнение. При фиксированном градиенте температуры, т.е. при фиксированном отношении , потемнение в разных участках спектра оказывается различным из-за различий в значении показателя . В рэлей-джинсовской (длинноволновой) области () отношение яркостей центр : край равно . В виновской же области мы имеем , так что потемнение существенно больше и увеличивается при переходе к более коротким длинам волн.

9.7 Ответ неожиданный: масса атмосферы возрастет примерно в 10 раз! Поймем, почему так. Основным источником непрозрачности газа солнечной атмосферы служат присутствующие в ней в качестве ничтожной примеси отрицательные ионы водорода (см. задачу ). Они возникают путем присоединения к имеющимся в изобилии нейтральным атомам водорода свободных электронов, появляющихся при ионизации атомов "металлов". Если содержание "металлов", являющихся донорами электронов, уменьшить на порядок, примерно во столько же раз уменьшится и содержание отрицательных ионов водорода. Из-за этого прозрачность газа возрастет на порядок и станут видны более глубокие слои, так что масса атмосферы увеличится.