Решения

15. Туманности и межзвездная среда

15.1 Межзвездное поглощение в полосе V связано с избытком цвета известным соотношением

По условию задачи . Далее, истинный показатель цвета у звезды класса A0 равен нулю по определению показателя цвета. Поэтому искомый наблюдаемый показатель цвета равен

15.2 Поглощаемое туманностью излучение центральной звезды -- это излучение в далеком ультрафиолете (лаймановский континуум,  Å). При столь высокой температуре звезды большая часть ее излучения приходится на лаймановский континуум, и потому поглощается туманностью, ионизуя водород. В видимой же области спектра туманность прозрачна и для излучения центральной звезды, и для излучения просвечивающих сквозь нее далеких объектов.

15.3 Число фотонов, испускаемое за единицу времени с 1 см² черного тела температуры T, равно . Здесь  -- постоянная Стефана, а  -- это средняя энергия одного чернотельного фотона (см. задачу ). Так как температура звезды по условию задачи очень высока, почти все эти фотоны принадлежат лаймановскому континууму ( Å) и, значит, почти каждый из них может ионизовать атом водорода. Поэтому полное число ионизаций за 1 с близко к полному числу фотонов, излучаемых звездой за единицу времени:

Чтобы облегчить вычисления, температура звезды, заданная в условии задачи, несколько завышена по сравнению с теми температурами, которые обычно имеют звезды, возбуждающие свечение газовых туманностей. Звезда класса O5 имеет температуру около 50000 K и испускает ежесекундно лаймановских фотонов. Это неплохо согласуется с нашей оценкой, если учесть, что двукратное различие в температуре дает различие в числе фотонов в 8 раз.

15.4 Ионизовать водород способно лишь излучение с длиной волны  Å, или с частотой  с. Если считать, что спектр излучения звезды чернотельный, то искомая доля энергии равна

При  K для получения хорошей оценки величины функцию Планка можно брать в приближении Вина:

(Обосновать последнее утверждение, пользуясь решением задачи ).

В первоначальной версии рукописи здесь стояло: "В результате несложных вычислений находим ". Однако один из авторов настоял, что нужно воспользоваться этим случаем, чтобы проиллюстрировать, как грамотно вести оценочные расчеты.

Введем безразмерную частоту . Для водорода . Появившийся здесь коэффициент 160000 -- это энергия ионизации водорода (13.6 эВ) в температурной шкале. Это число очень полезно помнить. Оно часто появляется в самых разных астрофизических задачах. При K, заданных в условии задачи, мы имеем поэтому , так что

Ясно, что при экспонента меняется гораздо быстрее, чем , и поэтому

Это вполне приличная оценка (погрешность ). Ее можно уточнять, интегрируя несколько раз по частям и получая каждый раз все более точные результаты, но нам это вряд ли потребуется. Далее (см. задачу ),

Итак,

Советуем запомнить, что с очень хорошей точностью (на самом деле ) -- это часто помогает делать быстрые оценки. Поэтому , и мы получаем

Учить такой кухне прикидочных расчетов почему-то считается почти что неприличным -- а в результате студенты зря теряют массу времени попусту.

15.5 Основная составляющая газовых туманностей и межзвездной среды -- это водород. В областях HII он практически полностью ионизован (отсюда и их название). Поэтому , где и  -- концентрации протонов и электронов, соответственно. Полное число ионизаций во всей области HII за единицу времени равно полному числу ионизующих фотонов, испускаемых возбуждающей звездой и поглощаемых в области HII. Оно, очевидно, не зависит от концентрации частиц в самой области HII. В стационарном состоянии полное число ионизаций должно равняться полному числу рекомбинаций. Рекомбинации происходят при столкновениях протонов и электронов, и потому число их в единице объема пропорционально , или . Поэтому полное число рекомбинаций во всей области HII пропорционально , где  -- радиус области HII. С другой стороны, оно равно числу ионизаций -- фиксированному числу, определяемому параметрами возбуждающей звезды (ее радиусом и температурой). Итак, , откуда и следует, что .

15.6 Масса молекулы водорода H₂ примерно равна удвоенной массе протона, т.е.  г. Объем облака по порядку величины есть  пк см см³. Поэтому масса облака составляет  г.

15.7 Проходящее сквозь газ излучение ослабляется в e раз, где  -- оптическая толщина слоя газа. В центре линии L она равна , где N -- полное число атомов водорода на луче зрения. Будем считать, что поглощение становится заметным, когда . Соответствующая масса на луче зрения составляет  г/см². Ошеломляющий результат, не правда ли? Вывод: спектральный анализ обладает колоссальной чувствительностью. Он позволяет выявлять присутствие совершенно ничтожных количеств вещества.