Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://crydee.sai.msu.ru/~konon/Book/ch4L/node14.html
Дата изменения: Wed Nov 5 23:22:30 1997
Дата индексирования: Tue Oct 2 01:07:57 2012
Кодировка: koi8-r

Поисковые слова: m 11
Решения: Двойные и переменные звезды



previous up next
Next: Галактика Up: Задачи Previous: Солнце

Решения

13. Двойные и переменные звезды


gif 13.1 Первая величина есть лучевая скорость центра масс двойной.

Вычислим второй интеграл. Если центр масс двойной покоится, то для лучевой скорости нетрудно получить формулу tex2html_wrap_inline6165, где v -- орбитальная скорость, i -- угол между лучом зрения и нормалью к орбите, а tex2html_wrap_inline6171 -- полярный угол в плоскости орбиты, за один оборот пробегающий значения от 0 до tex2html_wrap_inline3617, так что tex2html_wrap_inline6177. Имеем
eqnarray2311
где a -- радиус орбиты.


gif 13.2 По периоду изменения блеска tex2html_wrap_inline3263Cep оценим ее среднюю абсолютную звездную величину: tex2html_wrap_inline6183. На первый взгляд, приведенных в условии задачи данных недостаточно для ее решения -- нужно знать среднюю видимую звездную величину deltaCep, которая нам неизвестна. Однако неявно эта информация есть: deltaCep, как показывает ее название, является четвертой по яркости звездой в созвездии Цефея. Но Цефей -- созвездие не из ярких, его звезды значительно, на полторы -- две звездных величины слабее звезд ковша Большой Медведицы. Поэтому в качестве разумной оценки среднего значения блеска deltaCep можно принять 4tex2html_wrap_inline5165. Теперь по известной формуле
displaymath6193
где r -- в парсеках, находим tex2html_wrap_inline6197, откуда tex2html_wrap_inline6199 пк.

Несмотря на столь значительное расстояние, tex2html_wrap_inline3263Cep прекрасно видна простым глазом. Это сверхгигант. Cветимость deltaCep, как и всех цефеид, очень высока. Ведь иначе цефеиды не могли бы служить "маяками Вселенной"!


gif 13.3 Естественно предположить, что частота колебаний блеска цефеиды tex2html_wrap_inline6205 меняется с годовым периодом за счет эффекта Доплера, обусловленного орбитальным движением Земли. Мы имеем:
displaymath6207
где tex2html_wrap_inline6209 -- максимальная величина проекции вектора орбитальной скорости Земли tex2html_wrap_inline6211 на прямую Солнце -- цефеида. Отсюда
displaymath6213
что совпадает с орбитальной скоростью Земли. Заключаем, что звезда лежит в плоскости эклиптики.

Период максимален, когда направление на звезду противоположно направлению движения Земли. Но, как легко сообразить (сделайте соответствующий чертеж), в конце декабря (зимнее солнцестояние) вектор скорости Земли направлен в точку осеннего равноденствия. Поэтому звезда находится на небе неподалеку от точки весеннего равноденствия, и ее экваториальные координаты tex2html_wrap_inline6215, tex2html_wrap_inline6217.


gif 13.4 По определению болометрической звездной величины имеем
displaymath6219
где tex2html_wrap_inline6221 и tex2html_wrap_inline6223 -- значения величины Q в минимуме и в максимуме блеска, соответственно. Изменения радиуса и блеска происходят, грубо говоря, в противофазе, так что в максимуме блеска радиус минимален. Положим поэтому
displaymath6227
Подставляя значения
displaymath6229
для относительного изменения радиуса цефеиды в ходе пульсаций находим
displaymath6231
В действительности изменения блеска и радиуса у цефеид происходят не точно в противофазе -- имеется фазовое запаздывание, которым мы пренебрегли. Однако полученная оценка tex2html_wrap_inline6233% близка к реальному изменению радиуса. Как видим, цефеиды совершают малые колебания.

Главная мораль этой задачи: расхожее представление, будто основной причиной колебаний блеска цефеид является изменение их размеров в ходе пульсаций, ошибочно. Главный вклад в колебания блеска дают вариации температуры, а не радиуса!


gif 13.5 Из третьего закона Кеплера находим большую полуось орбиты двойной системы
displaymath6235
Здесь P выражено в годах, а массы -- в массах Солнца. Далее, расстояние от пульсара до центра масс системы равно
displaymath6239
Зная r и P, можем оценить скорость орбитального движения пульсара: tex2html_wrap_inline6245 км/с. Из-за эффекта Доплера период пульсаций (обратный частоте) изменяется, причем амплитуда относительного изменения периода равна
displaymath6247

На самом деле эффект наблюдается как запаздывание (или опережение) времени прихода импульсов. Оно весьма значительно. Путь в 2r=0.34 а.е. излучение пульсара проходит за tex2html_wrap_inline6251с. Это и есть максимальное запаздывание (опережение). Полное число импульсов, которое испускает наш пульсар за такое время, составляет 1700. Это есть недостача (или избыток) числа импульсов при перемещении пульсара от самой дальней от наблюдателя точки орбиты до самой ближней (или наоборот). За полупериод, т.е. за tex2html_wrap_inline6253 пульсар испускает tex2html_wrap_inline6255 импульсов. Среднее за полупериод запаздывание (или опережение) составляет, таким образом, tex2html_wrap_inline6257. Ясно, что так как период пульсаций меняется синусоидально, то для получения максимальной величины надо это число поделить на среднее от одной полуволны синусоиды
displaymath6259
В результате получаем то же число (tex2html_wrap_inline6261), которое было найдено выше другим путем.

По сути дела, описанное запаздывание времен прихода импульсов у рентгеновских пульсаров -- это тот же зффект, по которому Ремер в 17 веке впервые измерил скорость света. В его распоряжении была эфемерида, рассчитанная по наблюдениям затмений Ио в период, когда Юпитер был в противостоянии, и наблюдения затмений Ио Юпитером, находящимся в соединении с Солнцем. Эти наблюдения показывали, что затмения спутника запаздывают по сравнению с эфемеридой. Ремер правильно объяснил запаздывание конечностью скорости распространения света и получил правильную по порядку величины оценку этой скорости.


gif 13.6 В задаче gif мы оценили угол, под которым с tex2html_wrap_inline3151Cen видна большая полуось орбиты Юпитера, и нашли, что он равен примерно tex2html_wrap_inline6265. Оценим теперь видимую звездную величину Юпитера для наблюдателя на tex2html_wrap_inline3151Cen. Радиус Юпитера составляет примерно tex2html_wrap_inline6269 (его нет во "Вселенной в числах", но его легко можно вычислить по имеющимся там данным о массе и средней плотности Юпитера). Видимую звездную величину Юпитера для наблюдателя на Земле можно найти точно так же, как мы нашли звездную величину Европы в задаче gif. Если считать альбедо Юпитера равным 1, то найдем, что в противостоянии tex2html_wrap_inline6271, что мало отличается от истинного значения tex2html_wrap_inline6273. Расстояние до tex2html_wrap_inline3151Cen -- 1.3 пк, или tex2html_wrap_inline6279 а.е. При наблюдении с такого расстояния видимая звездная величина Юпитера, если бы он находился в соединении с Солнцем, была бы равна
displaymath6281
Число 4.2, появившееся здесь, -- это расстояние до Юпитера в противостоянии (в а.е.). В элонгации (для наблюдателя с tex2html_wrap_inline3151Cen) звездная величина Юпитера будет еще примерно на звездную величину больше из-за влияния его фазы. (Для наших целей аккуратно учитывать это обстоятельство нет нужды). Солнце же с tex2html_wrap_inline3151 Cen имеет звездную величину tex2html_wrap_inline6287 (проверьте).

Таким образом, с одной стороны, угловое расстояние между Солнцем и Юпитером при наблюдении с tex2html_wrap_inline3151Cen достаточно, чтобы его можно было разрешить с помощью телескопа, но, с другой стороны, разность их звездных величин настолько велика, что слабый Юпитер скорее всего не будет виден вблизи гораздо более яркого Солнца (см. задачу gif про галилеевы спутники Юпитера, точнее, про Европу).

У наших коллег-астрономов с tex2html_wrap_inline3151Cen есть, впрочем, и другие пути обнаружить существование Юпитера -- длительные прецизионные измерения малых вариаций лучевой скорости и собственного движения Солнца (см. следующую задачу).


gif 13.7 Для простоты решим задачу в предположении, что вокруг Солнца обращается только одна планета -- Юпитер с массой tex2html_wrap_inline6293 и орбитальной скоростью 13 км/с (см. задачу gif). Отношение скоростей движения двух тел вокруг общего центра масс равно отношению их масс, в нашем случае -- 1:1000. Поэтому скорость движения центра Солнца составляет tex2html_wrap_inline6295 м/с. Именно такой (или лучше хотя бы раза в два более высокой) должна быть точность определения лучевых скоростей, чтобы астроном-инопланетянин, живущий в плоскости эклиптики, по измерениям лучевых скоростей Солнца мог заподозрить существование Солнечной системы. Для астронома же, изучающего движение Солнца с tex2html_wrap_inline3151Cen, амплитуда изменений его лучевой скорости будет меньше 13 м/с, а именно, tex2html_wrap_inline6299 м/сtex2html_wrap_inline3977 м/с. Здесь tex2html_wrap_inline5891 -- эклиптическая широта tex2html_wrap_inline3151Cen (оцените ее самостоятельно по координатам tex2html_wrap_inline3151Cen или даже просто по звездной карте).

Интересно, что в 1995-1996 гг. у нескольких звезд, подобных Солнцу (70Vir, 47UMa и др.), были обнаружены планеты с массами, близкими к массе Юпитера. Чтобы сделать это выдающееся открытие, потребовалось разработать методику и создать специальную аппаратуру, позволившие измерять лучевые скорости с точностью порядка 10 м/с. Измерения велись в течение нескольких лет. С 1994 г. лучевые скорости стали измерять уже с точностью до tex2html_wrap_inline6309 м/с. Хороший спринтер пробегает стометровку со скоростью около 10 м/с, а 3 м/с -- это бег трусцой.

К моменту сдачи этого задачника в печать (август 1997 г.) наличие планет с массами от 0.5 до 13 масс Юпитера надежно установлено у 9 звезд.

Когда вы будете это читать, эти данные, несомненно, уже устареют. С состоянием дел на сегодняшний день (когда бы это ни происходило!) вы можете ознакомиться по постоянно обновляемой электронной "Энциклопедии внесолнечных планет", доступной в Интернете по адресу

http://www.obspm.fr/planets
Вернемся к нашей задаче. Искомую точность определения собственного движения для наблюдателя с tex2html_wrap_inline3151Cen оценим с помощью известного соотношения
displaymath6315
где tex2html_wrap_inline5375 -- параллакс tex2html_wrap_inline3151Cen. Так как tex2html_wrap_inline6321, то, подставляя tex2html_wrap_inline6323 км/с, находим tex2html_wrap_inline6325 угл. сек./год.

Обнаружение планет около нескольких звезд по измерениям лучевых скоростей, о чем говорилось выше, было подтверждено выявлением по данным, полученным ранее на астрометрическом спутнике HIPPARCOS, периодических изменений их собственных движений.



HTML by Igor Drozdovsky
Sun Oct 26 14:40:19 MSK 1997