Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://crydee.sai.msu.ru/~vab/Sci_library/calcules/CD_alebra.contents/serr.htm
Дата изменения: Thu Jun 20 00:00:00 2002
Дата индексирования: Sun Dec 23 17:23:19 2007
Кодировка: Windows-1251
Поисковые слова: cygnus loop
Ж

Ж.Серр

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ КЛАССОВ

Книга известного французского математика Ж. Серра стала одной из классических книг по алгебраической геометрии. Она не требует больших предварительных знаний и вводит читателя в круг современных вопросов. С большим педагогическим мастерством в ней излагается ряд основных понятий алгебраической геометрии (алгебраические кривые и поверхности, теорема Римана - Роха, якобиевы многообразия кривых и т. д.).

Книга рассчитана на научных работников, аспирантов и студентов старших курсов университетов и педагогических институтов.

Содержание

От редактора перевода. 5

Глава I. Сводка основных результатов 7

1. Обобщенные якобиевы многообразия 7

2. Абелевы накрытия 9

3. Другие результаты 12

Библиографические замечания 13

Глава II. Алгебраические кривые 14

1. Алгебраические кривые 14

2. Локальные кольца 15

3. Дивизоры, линейная эквивалентность, линейные системы 16

4. Теорема Римана - Роха (первая форма) 19

5. Классы распределений 21

6. Пространство, двойственное к пространству классов распределений 22

7. Дифференциалы. Вычеты 25

8. Теорема двойственности 27

9. Теорема Римана - Роха (окончательная форма) 29

10. Замечания к теореме двойственности 30

11. Доказательство инвариантности вычета 31

12. Доказательство формулы вычетов 35

13. Доказательство леммы 5 37

Библиографические замечания 39

Глава III. Отображения кривой в коммутативную группу 41

 1 Локальные символы 41

1. Определения 41

2. Основные свойства локальных символов 45

3. Пример локального символа: случай аддитивной группы 48

4. Пример локального символа: случай мультипликативной группы 50

 2. Доказательство теоремы 1 54

5. Основная редукция 54

6. Доказательство в случае характеристики нуль 56

7. Доказательство в случае характеристики р > 0. Сведение задачи к двум случаям 58

8. Доказательство теоремы в случае характеристики р > 0. Случай а) 59

9. Доказательство в случае характеристики р > 0. Сведения случая б) к случаю унипотентной группы 61

10. Окончание доказательства. Случай, когда G - унипотентная группа 63

 3. Вспомогательные результаты 65

11. Инвариантные дифференциальные формы на алгебраической группе 65

12. Фактормногообразие по конечной группе автоморфизмов 69

13. Некоторые формулы для накрытий 74

14. Симметрические произведения 76

15. Симметрические произведения и накрытия 78

Библиографические замечания 81

Глава IV. Алгебраические кривые с особенностями 82

 1. Строение кривой с особенностями 82

1. Нормальная модель алгебраического многообразия 82

2. Случай алгебраической кривой 83

3. Построение кривой с особенностями по ее нормальной модели 84

4. Особые кривые, определяемые модулем 87

 2. Теорема Римана - Роха 88

5. Обозначения 88

6. Теорема Римана - Роха (основная форма) 89

7. Приложение к вычислению рода алгебраической кривой 91

8. Род кривой на поверхности 92

 3. Дифференциалы на особой кривой 95

9. Регулярные дифференциалы на X' 95

10. Теорема двойственности 98

11. Равенство пQ = 2dQ 100

12. Дополнения 102

Библиографические замечания 103

Глава V. Обобщенные якобиевы многообразия 104

 1. Построение обобщенных якобиевых многообразий 104

1. Рациональные дивизоры 104

2. Отношение эквивалентности, определяемое модулем 106

3. Предварительные леммы 108

4. Закон композиции на симметрическом произведении Х(p) 110

5. Переход от бирациональной группы к алгебраической 112

6. Построение якобиева многообразия Jт 114

 2. Универсальный характер обобщенных якобиевых многообразий 115

7. Гомоморфизм группы дивизоров X в Jт 115

8. Каноническое отображение X в Jт 117

9. Универсальное свойство якобиевых многообразий Jт 121

10. Инвариантные дифференциальные формы на Jт 123

 3. Строение якобиевых многообразий Jт 125

11. Обыкновенные якобиевы многообразия 125

12. Соотношения между якобиевыми многообразиями Jт 126

13. Соотношения между Jт и J 127

14. Алгебраическая структура на локальных группах U/U(n) 128

15. Структура группы V(n) в случае нулевой характеристики 130

16. Структура группы V(n) в случае положительной характеристики 131

17. Соотношения между Jт и J определение алгебраической структуры группы Lт 133

18. Локальные символы 136

19. Случай поля комплексных чисел 137

 4. Построение обобщенных якобиевых многообразий; случай произвольного основного поля 141

20. Спуск основного поля 141

21. Главные однородные пространства 145

22. Построение якобиевых многообразий /т над совершенным полем 146

23. Случай произвольного поля 149

Библиографические замечания 150

Глава VI. Поля классов 151

 1. Отображение х R хq - х 151

1. Алгебраические многообразия над конечным полем 151

2. Расширение и спуск основного поля 152

3. Торы над конечным полем 154

4. Отображение х R х-1Fх 156

5. Квадратичные формы над конечным полем 158

6. Изогения х R хq - х коммутативный случай 159

 2. Накрытия и изогении 162

7. Определения, относящиеся к накрытиям 162

8. Построение накрытий как прообразов изогении 163

9. Частный случай 165

10. Случай неразветвленного накрытия 167

11. Случай кривых 168

12. Случай кривых; ведущий модуль 169

 3. Проективные системы, связанные с многообразием 172

13. Максимальные отображения 172

14. Некоторые свойства максимальных отображений 176

15. Максимальные отображения, определенные над полем k 178

 4. Поля классов 179

16. Формулировка основной теоремы 179

17. Построение расширений 182

18. Окончание доказательства теоремы 1. Первый способ 185

19. Окончание доказательства теоремы 1. Второй способ 187

20. Абсолютное поле классов 189

21. Добавление: след отображения 191

 5. Отображение взаимности 193

22. Автоморфизм Фробениуса 193

23. Геометрическая интерпретация автоморфизма Фробениуса 194

24. Определение автоморфизма Фробениуса в расширении типа a 195

25. Отображение взаимности. Формулировка результатов 197

26. Сведение доказательств теорем 3, 3х, 3" к случаю кривых 199

27. Ядро отображения взаимности 201

 6. Случай кривых 203

28. Сравнение групп классов дивизоров с обобщенными якобиевыми многообразиями 203

29. Группа классов иделей 206

30. Явные законы взаимности 208

 7. Когомологии 210

31. Критерий существования формаций классов 211

32. Некоторые свойства класса когомологий 214

33. Доказательство теоремы 5 216

34. Отображение в группу классов циклов 218

Библиографические замечания 221

Глава VII. Расширения групп и когомологий 222

 1. Расширения групп 222

1. Группы Ехt (А, В) 222

2. Первая точная последовательность для Ехt: 225

3. Другие точные последовательности 227

4. Системы факторов 228

5. Главное расслоенное пространство, определяемое расширением 231

6. Случай линейных групп 232

 2. Структура связных (коммутативных) унипотентных групп 235

7. Группа Ехt (Gа, Gа) 235

8. Группы Витта 236

9. Леммы 237

10. Изогения с произведением групп Витта 240

11. Структура связных унипотентных групп. Некоторые частные случаи 243

12. Другие результаты 244

13. Сравнение с обобщенными якобиевыми многообразиями 245

 3. Расширения абелевых многообразий 247

14. Классы примитивных когомологий 247

15. Сравнение Ехt (А, В) с Н(А,BA) 249

16. Случай В = Gт 251

17. Случай В = Gа 252

18. Случай, когда В - унимпотентная группа 255

 4. Когомологии абелевых многообразий 257

19. Когомологии якобиевых многообразий 257

20. Нерегулярная часть отображений jm 260

21. Когомологии абелевых многообразий 261

22. Отсутствие гомологии с кручением на абелевых многообразиях 264

23. Приложение к функтору Ехt (А, В) 267

Библиографические замечания 269

Литература 271

Указатель 278