Ж.Серр

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ КЛАССОВ

Книга известного французского математика Ж. Серра стала одной из классических книг по алгебраической геометрии. Она не требует больших предварительных знаний и вводит читателя в круг современных вопросов. С большим педагогическим мастерством в ней излагается ряд основных понятий алгебраической геометрии (алгебраические кривые и поверхности, теорема Римана - Роха, якобиевы многообразия кривых и т. д.).

Книга рассчитана на научных работников, аспирантов и студентов старших курсов университетов и педагогических институтов.

Содержание

От редактора перевода. 5

Глава I. Сводка основных результатов 7

1. Обобщенные якобиевы многообразия 7

2. Абелевы накрытия 9

3. Другие результаты 12

Библиографические замечания 13

Глава II. Алгебраические кривые 14

1. Алгебраические кривые 14

2. Локальные кольца 15

3. Дивизоры, линейная эквивалентность, линейные системы 16

4. Теорема Римана - Роха (первая форма) 19

5. Классы распределений 21

6. Пространство, двойственное к пространству классов распределений 22

7. Дифференциалы. Вычеты 25

8. Теорема двойственности 27

9. Теорема Римана - Роха (окончательная форма) 29

10. Замечания к теореме двойственности 30

11. Доказательство инвариантности вычета 31

12. Доказательство формулы вычетов 35

13. Доказательство леммы 5 37

Библиографические замечания 39

Глава III. Отображения кривой в коммутативную группу 41

 1 Локальные символы 41

1. Определения 41

2. Основные свойства локальных символов 45

3. Пример локального символа: случай аддитивной группы 48

4. Пример локального символа: случай мультипликативной группы 50

 2. Доказательство теоремы 1 54

5. Основная редукция 54

6. Доказательство в случае характеристики нуль 56

7. Доказательство в случае характеристики р > 0. Сведение задачи к двум случаям 58

8. Доказательство теоремы в случае характеристики р > 0. Случай а) 59

9. Доказательство в случае характеристики р > 0. Сведения случая б) к случаю унипотентной группы 61

10. Окончание доказательства. Случай, когда G - унипотентная группа 63

 3. Вспомогательные результаты 65

11. Инвариантные дифференциальные формы на алгебраической группе 65

12. Фактормногообразие по конечной группе автоморфизмов 69

13. Некоторые формулы для накрытий 74

14. Симметрические произведения 76

15. Симметрические произведения и накрытия 78

Библиографические замечания 81

Глава IV. Алгебраические кривые с особенностями 82

 1. Строение кривой с особенностями 82

1. Нормальная модель алгебраического многообразия 82

2. Случай алгебраической кривой 83

3. Построение кривой с особенностями по ее нормальной модели 84

4. Особые кривые, определяемые модулем 87

 2. Теорема Римана - Роха 88

5. Обозначения 88

6. Теорема Римана - Роха (основная форма) 89

7. Приложение к вычислению рода алгебраической кривой 91

8. Род кривой на поверхности 92

 3. Дифференциалы на особой кривой 95

9. Регулярные дифференциалы на X' 95

10. Теорема двойственности 98

11. Равенство п_Q = 2d_Q 100

12. Дополнения 102

Библиографические замечания 103

Глава V. Обобщенные якобиевы многообразия 104

 1. Построение обобщенных якобиевых многообразий 104

1. Рациональные дивизоры 104

2. Отношение эквивалентности, определяемое модулем 106

3. Предварительные леммы 108

4. Закон композиции на симметрическом произведении Х^(p) 110

5. Переход от бирациональной группы к алгебраической 112

6. Построение якобиева многообразия J_т 114

 2. Универсальный характер обобщенных якобиевых многообразий 115

7. Гомоморфизм группы дивизоров X в J_т 115

8. Каноническое отображение X в J_т 117

9. Универсальное свойство якобиевых многообразий J_т 121

10. Инвариантные дифференциальные формы на J_т 123

 3. Строение якобиевых многообразий J_т 125

11. Обыкновенные якобиевы многообразия 125

12. Соотношения между якобиевыми многообразиями J_т 126

13. Соотношения между J_т и J 127

14. Алгебраическая структура на локальных группах U/U⁽ⁿ⁾