Д.П. Желобенко

КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ ЛИ И ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

Имея в виду читателей-физиков, автор стремился сделать изложение по возможности более элементарным. Это, в частности, привело к тому, что пришлось опустить ряд интересных и глубоких вопросов, связанных с топологией компактных групп Ли, а также с общей теорией соответствия между группами и алгебрами Ли. В то же время сравнительно подробно рассматриваются вопросы, имеющие приложение к современным задачам теоретической физики.

Содержание

Предисловие 3

ЧАСТЬ I. ВВЕДЕНИЕ

Глава I. Топологические группы. Группы Ли 15

 1. Определение группы 15

 2. Топологические группы 19

 3. Параметрические группы и группы Ли 25

 4. Теория Ли 28

 5. Локально изоморфные группы Ли 34

 6. Инвариантные формы на группе Ли 40

 7. Метрика. Мера Хаара 42

 

Глава П. Линейные группы 46

 8. Полная линейная группа. Экспоненциал 46

 9. Полная линейная группа. Основные разложения 48

 10. Линейные группы, связанные с формами второго порядка 53

 11. Кватернионы 57

 12. Вопросы односвязности 62

 13. Вопросы комплексификации 66

 14. Преобразования в классе тензоров 68

 

Глава III. Основные задачи теории представлений 74

 15. Функции на однородном пространстве 74

 16. Терминология теории представлений 78

 17. Редукция основной проблемы 84

 18. Элементарные гармоники 86

 19. Алгебры и группы, связанные с уравнением 91

 20. Лемма Шура 94

 21. Теорема Бернсайда 99

 22. Групповые алгебры и их представления 103

 23. Формулировка основных задач 106

 

ЧАСТЬ II. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ

Глава IV. Компактные группы Ли. Глобальная теорема 111

 24. Определение компактной группы 111

 25. Формулировка глобальной теоремы 114

 26. Прием усреднения 116

 27. Свойство ортогональности 119

 28. Аппроксимационная лемма для линейной группы G 120

 29. Ряды Фурье на линейной группе G 122

 30. Завершение доказательства для линейной группы G 124

 31. Завершение доказательства в общем случае 12'/

 32. Гармонический анализ на однородном многообразии 129

 33. Характеры 132

 34. Теория представлений конечных групп 134

 35. Универсальность группы U(ri)

 

139 Глава V. Инфинитезимальный метод в теории представлений 142

 36. Дифференциал представления 142

 37. Неприводимые представления группы SU(2) 147

 38. Матричные элементы группы SU(2) 157

 39. О некоторых группах, связанных с SU(2) 164

 40. О некоторых проблемах инфинитезимального метода 170

 

Глава VI. Аналитическое продолжение 176

 41. Общий принцип аналитического продолжения 176

 42. Надкомпактные группы Ли. 'Унитарный трюк' Г. Вейля 182

 43. Бикомплексные группы и алгебры Ли 185

 44. Комплексная оболочка U(ri). Веса и корни 191

 45. Модель неприводимых представлений группы 517(3) 196

 

Глава VII. Неприводимые представления группы U(n) 203

 46. Существование старшего веса 203

 47. Единственность старшего вектора 207

 48. Различные модели d(a) 210

 49. Индуктивные веса 213

 50. Произведение Юнга 216

 

Глава VIII. Тензоры и диаграммы Юнга 220

 51. Описание Z- инвариантов 220

 52. Диаграммы Юнга 224

 53. Симметризаторы Юнга 227

 54. Характеристика неприводимых тензоров в терминах симметрии 231

 55. Принцип взаимности 237

 56. Реализация d(a) на прямоугольных матрицах 241

 57. Гармонический осциллятор 244

 

Глава IX. Операторы Казимира 250

 58. Универсальная обертывающая алгебра 250

 59. Операторы Казимира для группы GL(ri) 255

 60. Собственные значения операторов C_k 259

 61. Разделение точек спектра и алгебраическое доказательство полной приводимости 265

 62. Полное описание центра для группы GL(ri) 269

 63. Правило циклов 272

 

Глава X. Индикаторные системы и базис Гельфанда - Цейтлина 282

 64. Операторы левого сдвига на группе Z 282

 65. Индикаторные системы 287

 66. Алгебра Z-мультипликаторов и задача о сужении с группы на подгруппу 293

 67. Базис Гельфанда - Цейтлина 300

 68. Понижающие операторы в инфинитезимальной форме 305

 69. Нормировка базисных векторов 315

 70. Дифференциал d(a) 320

 71. Матричные элементы d(a) 325

 

Глава XI. Характеры 331

 72. Инвариантная мера на группе U(ri) 331

 73. Примитивные характеры U(ri) 335

 74. Весовая диаграмма d(a) 338

 75. Вторая формула Вейля 345

 76. Заключительные замечания 349

Глава XII. Тензорное произведение двух неприводимых представлений группы U(n) 351

 77. Метод характеров 351

 78. Метод Z-инвариантов 356

 79. Частные случаи 361

 80. Детерминанты Вейля 366

 

ЧАСТЬ III. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

Глава XIII. Основные типы алгебр и групп Ли 373

 81. Присоединенное представление алгебры Ли 373

 82. Идеал и нормальный делитель 375

 83. Основные типы алгебр Ли 377

 84. Разрешимые алгебры Ли 381

 85. Нильпотептные алгебры Ли 385

 86. Разложения Фиттинга 389

 87. Билинейная форма Киллинга - Картана 395

 88. Основные типы групп Ли 398

 89. Теорема Леви - Мальцева 402

 

Глава XIV. Классификация компактных и редуктивных алгебр Ли 406

 90. Компактные алгебры Ли 406

 91. Подалгебры Картана 410

 92. Базис Картана - Вейля 414

 93. Простые корни 417

 94. Структурная матрица Картана 421

 95. Простые комплексные алгебры Ли 425

 96. Вещественные формы полупростых комплексных алгебр Ли 431

 97. Завершение классификации 434

 

Глава XV. Компактные группы Ли в целом 439

 98. Инвариантные полиномы 439

 99. Алгебраические группы 442

 100. Разложение Гаусса 446

 101. Разложение Ивасавы 452

 102. Максимальные торы 456

 103. Фундаментальная группа и центр 462

 104. Теорема о линейности полупростой комплексной группы Ли 466

 105. Группа Вейля 469

 106. Существование комплексной оболочки 474

 107. Некоторые дополнительные результаты 480

 

Глава XVI. Описание неприводимых конечномерных представлений 486

 108. Основная теорема 486

 109. Старшие веса и сигнатуры 490

 110. Нормально вложенные подгруппы 494

 111. Полиномы на группе Z 496

 112. Завершение классификации 501

 113. Симплектическая группа 506

 114. Ортогональная группа 514

 115. Теория спиноров 521

 116. Вещественные формы 526

 117. Произвольные связные группы Ли 529

 118. Несколько замечаний 532

 

Глава XVII. Инфинитезимальная теория (характеры, веса, операторы Казимира) 539

 119. Разложение Картана - Вейля в универсальной обертывающей алгебре 539

 120. Представления со старшим вектором 542

 121. Классификация конечномерных неприводимых представлений алгебры X 546

 122. Формула Фрейденталя 550

 123. Формула Вейля для характеров 556

 124. Следствия из формулы Вейля 563

 125. Полиномы на картановской подалгебре, инвариантные относительно группы Вейля 565

 126. Операторы Казимира 569

 127. О вычислении собственных значений операторов Казимира 573

 

Глава XVIII. Некоторые задачи спектрального анализа конечномерных представлений 579

 128. Общая схема сужения с группы на подгруппу 579

 129. Сужение SO(n)/SO(n-1) 582

 130. Сужение Sp(n)/Sp(n-2) 587

 131. Тензорное произведение двух неприводимых представлений 590

 132. Сужения SU(m+n)/SU(m) X SU(n) и SU(mn)/SU(m) X SU(n) 592

 133. Сужение 5C/(n)/SO(n) 596

 134. Сферические функции в п-мерном евклидовом пространстве 601

 135. О представлениях группы движений n-мерного евклидова пространства 606

 

Добавление I. О бесконечномерных представлениях полупростой комплексной группы Ли 611

 1. Элементарные представления 611

 2. Пространство элементарного представления 613

 3. Дифференциал элементарного представления 614

 4. Вопросы неприводимости 616

 5. Аналог формулы Планшереля 617

 6. Теоремы типа Пэли - Винера 619

 7. Минимальные представления 620

 8. Классификация неприводимых представлений 621

 9. О полуприводимых представлениях 622

 

Добавление II. Элементы обшей теории унитарных представлений локально компактных групп 623

 1. Коммутативные группы 623

 2. Теорема Стоуна - фон Неймана 625

 3. Индуцированные представления 628

 4. Полупрямые произведения 631

 5. Нильпотентные группы Ли 633

 6. Разложение унитарных представлений на неприводимые 635

 

Добавление III. Унитарная симметрия в классе элементарных частиц 638

 1. Инвариантность и законы сохранения 638

 2. Элементарные частицы. Изотопический спин 641

 3. Унитарная симметрия в классе адронов 643

 4. Открытие Q-частицы 647

 5. Некоторые проблемы 648

Литература 650

Предметный указатель 660