Б. Л. Ван дер Варден

АЛГЕБРА

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

Предисловие редактора 9

Из предисловий автора 10

Схема зависимости глав 14

Введение 15

 

Глава первая ЧИСЛА И МНОЖЕСТВА

 1. Множества 17

 2. Отображения. Мощности 19

 3. Натуральный ряд 20

 4. Конечные и счетные множества 24

 5. Разбиение на классы 26

 

Глава вторая ГРУППЫ

 6. Понятие группы 28

 7. Подгруппы 35

 8. Операции над комплексами. Смежные классы 39

 9. Изоморфизмы и автоморфизмы 42

 10. Гомоморфизмы, нормальные подгруппы и факторгруппы 45

 

Глава третья КОЛЬЦА, ТЕЛА И ПОЛЯ

11. Кольца 49

 12. Гомоморфизмы и изоморфизмы 56

 13. Построение частных 57

 14. Кольца многочленов 60

 15. Идеалы. Кольца классов вычетов 64

 16. Делимость. Простые идеалы 69

 17. Евклидовы кольца и кольца главных идеалов 71

 18. Разложение на множители 75

 

Глава четвертая ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

 19. Векторные пространства 80

 20. Инвариантность размерности 83

 21. Двойственное векторное пространство 86

 22. Линейные уравнения над телом 88

 23. Линейные преобразования 90

 24. Тензоры 95

 25. Антисимметрические полилинейные формы и определители 97

 26. Тензорное произведение, свертка и след 102

 

Глава пятая ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

 27. Дифференцирование 105

 28. Корни 106

 29. Интерполяционные формулы 108

 30. Разложение на множители 113

31. Признаки неразложимости 117

 32. Разложение на множители в конечное число шагов 119

 33. Симметрические функции 121

 34. Результант двух многочленов 124

 35. Результант как симметрическая функция корней 128

 36. Разложение рациональных функций на простейшие дроби 131

 

Глава шестая ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ

 37. Подтело. Простое тело 134

 38. Присоединение 136

39. Простые расширения 138

 40. Конечные расширения тел 143

 41. Алгебраические расширения 145

 42. Корни из единицы 150

 43. Поля Галуа (конечные коммутативные тела) 155

 44. Сепарабельные и несепарабельные расширения 159

 45. Совершенные и несовершенные поля 164

 46. Простота алгебраических расширений. Теорема о примитивном элементе 165

 47. Нормы и следы 167

 

Глава седьмая ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП

 48. Группы с операторами 171

 49. Операторные изоморфизмы и гомоморфизмы 173

 51 ????????????? 174

 51. Нормальные и композиционные ряды 176

 52. Группы порядка р" 180

 53. Прямые произведения 181

 54. Групповые характеры 184

 55. Простота знакопеременной группы 189

 56. Транзитивность и примитивность 191

 

Глава восьмая ТЕОРИЯ ГАЛУА

 57. Группа Галуа 194

 58. Основная теорема теории Галуа 197

 59. Сопряженные группы, поля и элементы поля 200

 60. Поля деления круга 202

 61. Циклические поля и двучленные уравнения 209

 62. Решение уравнений в радикалах 211

 63. Общее уравнение n-й степени 215

 64. Уравнения второй, третьей и четвертой степеней 218

 65. Построения с помощью циркуля и линейки 224

 66. Вычисление группы Галуа. Уравнения с симметрической группой 229

 67 Нормальные базисы 232

 

Глава девятая УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА

 68. Упорядоченные множества 237

 69. Аксиома выбора и лемма Цорна 238

 70. Теорема Цермело 241

 71. Трансфинитная индукция 242

 

Глава десятая БЕСКОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ

 72. Алгебраически замкнутые поля 244

 73. Простые трансцендентные расширения 250

 74. Алгебраическая зависимость и алгебраическая независимость 254

 75. Степень трансцендентности 257

 76. Дифференцирование алгебраических функций 259

 

Глава одиннадцатая ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ

 77. Упорядоченные поля 266

 78. Определение вещественных чисел 269

 79. Корни вещественных функций 278

 80. Поле комплексных чисел 282

 81. Алгебраическая теория вещественных полей 285

 82. Теоремы существования для формально вещественных полей , 290

 83 Суммы квадратов 294

 

Глава двенадцатая ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

 84. Модули над произвольным кольцом 297

 85. Модули над евклидовыми кольцами. Инвариантные множители 299

 86. Основная теорема об абелевых группах 303

 87. Представления и модули представлений 307

 88. Нормальные формы матрицы над полем 311

 89. Элементарные делители и характеристическая функция 314

 90. Квадратичные и эрмитовы формы 317

 91. Антисимметрические билинейные формы 326

 

Глава тринадцатая АЛГЕБРЫ

 92. Прямые суммы и пересечения 331

 93. Примеры алгебр 334

 94. Произведения и скрещенные произведения 340

 95. Алгебры как группы с операторами. Модули и представления 347

 96. Малый и большой радикалы 351

 97. Звездное произведение 355

 98. Кольца с условием минимальности 357

 99. Двусторонние разложения и разложение центра 362

 100. Простые и примитивные кольца 365

 101. Кольцо эндоморфизмов прямой суммы 368

 102. Структурные теоремы о полупростых и простых кольцах 371

 103. Поведение алгебр при расширении основного поля 372

 

Глава четырнадцатая ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР

 104. Постановка задачи 378

 105. Представления алгебр 379

 106. Представления центра 384

 107. Следы и характеры 386

 108. Представления конечных групп 388

 109. Групповые характеры 392

 110. Представления симметрических групп 398

111. Полугруппы линейных преобразований 401

 112. Двойные модули и произведения алгебр 404

 113. Поля разложения простых алгебр 410

 114. Группа Брауэра. Системы факторов 413

 

Глава пятнадцатая ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ

 115. Нетеровы кольца 421

 116. Произведения и частные идеалов 425

 117. Простые идеалы и примарные идеалы 429

 Ни. Общая теорема о разложении 434

 119. Теорема единственности 438

 120. Изолированные компоненты и символические степени 441

 121. Теория взаимно простых идеалов 444

 122. Однократные идеалы 447

 123. Кольца частных 450

 124. Пересечение всех степеней идеала 452

 125. Длина примарного идеала. Цепи примарных идеалов в нетеровых кольцах 455

 

Глава шестнадцатая ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОЛЬЦАХ МНОГОЧЛЕНОВ

 126. Алгебраические многообразия 459

 127. Универсальное поле 462

 128. Корни простого идеала 463

 129. Размерность 466

 130. Теорема Гильберта о корнях. Система результантов для однородных уравнений 468

 131. Примарные идеалы 471

 132. Основная теорема Нетера 474

 133. Сведение многомерных идеалов к нульмерным 478

 

Глава семнадцатая ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ

 134. Конечные R-модули 482

 135. Элементы, целые над кольцом 484

 136. Целые элементы в поле 487

 137. Аксиоматическое обоснование классической теории идеалов 493

 138. Обращение и дополнение полученных результатов 496

 139. Дробные идеалы 499

 140. Теория идеалов в произвольных целозамкнутых целостных кольцах 501

 

Глава восемнадцатая НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ

 141. Нормирования 509

 142. Пополнения 515

 143. Нормирования поля рациональных чисел 521

 144. Нормирование алгебраических расширений: случай полного поля 524

 145. Нормирование алгебраических расширений: общий случай , 531

 146. Нормирования полей алгебраических чисел 633

 147. Нормирования поля рациональных функций D(х) 539

 148. Аппроксимационная теорема 542

 

Глава девятнадцатая АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

 149. Разложения в ряды по степеням униформизирующих 545

 150. Дивизоры и их кратные 550

 151. Род g 554

 152. Векторы и ковекторы 557

 153. Дифференциалы. Теорема об индексе специальности 560

 154. Теорема Римана-Роха 564

 155. Сепарабельная порождаемость функциональных полей 568

 156. Дифференциалы и интегралы в классическом случае 569

 157. Доказательство теоремы о вычетах 574

 

Глава двадцатая ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА

 158. Понятие топологического пространства 580

 159. Базисы окрестностей 581

 160. Непрерывность. Пределы 583

 161. Аксиомы отделимости и счетности 584

 162. Топологические группы 585

 163. Окрестности единицы 586

 164. Подгруппы и факторгруппы 588

 165. Т-кольца и Т-тела 589

 166. Пополнение групп с помощью фундаментальных последовательностей 591

 167. Фильтры 595

 168. Пополнение группы с помощью фильтров Коши 598

 169. Топологические векторные пространства 602

 170. Пополнение колец 604

 171. Пополнение тел 606

 

Предметный указатель 608