Б.В.Гнеденко, Курс теории вероятностей

Cодержание

Предисловие к шестому изданию 7
Из предисловия ко второму изданию 9
Из предисловия к первому изданию 9
Введение 11
Глава 1. Случайные события и их вероятности 16
 1. Интуитивные представления о случайных событиях 16
 2. Поле событий. Классическое определение вероятности 20
 3. Примеры 29
 4. Геометрические вероятности 38
 5. О статистической оценке неизвестной вероятности 45
 6. Аксиоматическое построение теории вероятностей 49
 7. Условная вероятность и простейшие основные формулы 54
 8. Примеры 62
Упражнения. 69
Глава 2. Последовательность независимых испытаний 72
 9. Вводные замечания 72
 10. Локальная предельная теорема 77
 11. Интегральная предельная теорема 85
 12. Применения интегральной теоремы Муавра-Лапласа 92
 13. Теорема Пуассона 97
 14. Иллюстрация схемы независимых испытаний 103
Упражнения. 106
Глава 3. Цепи Маркова. 109
 15. Определение цепи Маркова 109
 16. Матрица перехода 110
 17. Теорема о предельных вероятностях 112
Упражнения. 115
Глава 4. Случайные величины и функции распределения. 116
 18. Основные свойства функций распределения 116
 19. Непрерывные и дискретные распределения 123
 20. Многомерные функции распределения 127
 21. Функции от случайных величин 135
 22. Интеграл Стилтьеса 148
Упражнения. 153
Глава 5. Числовые характеристики случайных величин. 158
 23. Математическое ожидание 158
 24. Дисперсия 164
 25. Теоремы о математическом ожидании и дисперсии 169
 26. Моменты 175
Упражнения. 180
Глава 6. Закон больших чисел. 184
 27. Массовые явления и закон больших чисел 184
 28. Закон больших чисел в форме Чебышева 187
 29. Необходимое и достаточное условие для закона больших чисел 191
 30. Усиленный закон больших чисел 195
 31. Теорема В.И. Гливенко 201
Упражнения. 207
Глава 7. Характеристические функции. 209
 32. Определение и простейшие свойства характеристических 209
 33. Формула обращения и теорема единственности 214
 34. Теоремы Хелли 219
 35. Предельные теоремы для характеристических функций 224
 36. Положительно определенные функции 228
 37. Характеристические функции многомерных случайных 234
 38. Преобразование Лапласа - Стилтьеса 238
Упражнения. 244
Глава 8. Классическая предельная теорема 248
 39. Постановка задачи 248
 40. Теорема Линдеберга 251
 41. Локальная предельная теорема 257
Упражнения. 263
Глава 9. Теория безгранично делимых законов распределения 264
 42. Безгранично делимые законы и их основные свойства 265
 43. Каноническое представление безгранично делимых законов 267
 44. Предельная теорема для безгранично делимых законов 272
 45. Постановка задачи о предельных теоремах для сумм 276
 46. Предельные теоремы для сумм 277
 47. Условия сходимости к законам нормальному и Пуассона 280
 48. Суммирование независимых случайных величин в случайном числе 283
Упражнения. 288
Глава 10. Теория стохастических процессов 290
 49. Вводные замечания 290
 50. Процесс Пуассона 294
 51. Процессы гибели и размножения 300
 52. Условные функции распределения и формула Байеса 312
 53. Обобщенное уравнение Маркова 316
 54. Непрерывный случайный процесс. Уравнения Колмогорова 317
 55. Чисто разрывный процесс. Уравнения Колмогорова - Феллера 326
 56. Однородные случайные процессы с независимыми приращениями 333
 57. Понятие стационарного случайного процесса. Теорема Хинчина о корреляционной функции 338
 58. Понятие стохастического интеграла. Спектральное разложение стационарных процессов 344
 59. Эргодическая теорема Биркгофа - Хинчина 348
Глава 11. Элементы статистики 353
 60. Основные задачи математической статистики 353
 61. Классический метод определения параметров распределения 357
 62. Исчерпывающие статистики 367
 63. Доверительные границы и доверительные вероятности 369
 64. Проверка статистических гипотез 377
Дополнение. Очерк истории теории вероятностей 386
Глава 1. Предыстория понятия вероятности и случайного события 386
 1. Первые данные 386
 2. Исследования Дж. Кардано и Н. Тарталья 388
 3. Исследования Галилео Галилея 390
 4. Вклад Б. Паскаля и П. Ферма в развитие теории 393
 5. Работа X. Гюйгенса 397
 6. О первых исследованиях по демографии 400
Глава 2. Период формирования основ теории вероятностей 402
 7. Возникновение классического определения вероятности 402
 8. О формировании понятия геометрической вероятности 405
 9. Основные теоремы теории вероятностей 409
 10. Задача о разорении игрока 412
 11. Возникновение предельных теорем теории вероятностей 413
 12. Контроль качества продукции 415
Глава 3. К истории формирования понятия случайной величины 418
 13. Развитие теории ошибок наблюдений 418
 14. Формирование понятия случайной величины 420
 15. Закон больших чисел 423
 16. Центральная предельная теорема 425
 17. Общие предельные распределения для сумм 429
 18. Закон повторного логарифма 432
 19. Формирование понятий математического ожидания и 434
Глава 4. К истории теории случайных процессов. 436
 20. Общие представления 436
Список литературы 447