Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://crydee.sai.msu.ru/ftproot/users/vab/duffu_papers/diff2.pdf Дата изменения: Wed Nov 7 18:10:21 2007 Дата индексирования: Tue Oct 2 17:10:24 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

УДК 543.92-36-46

Диффузионное осаждение тяжелых элементов в недрах Солнца
А. Б. Горшков
1
1, *

В. А. Батурин

1 , **

Государственный астрономический институт им. П.К.Штернберга, Университетский пр., 13, Москва, Россия

Диффузионное осаждение элементов тяжелее гелия в условиях солнечных недр рассмотрено в рамках многокомпонентного гидродинамического описания. Многокомпонентное описание позволяет согласованным образом учесть эффект термодиффузии, а также ввести поправки за частичную ионизацию элементов с помощью среднего заряда ионов. Рассмотрен эффект взаимодействия тяжелых элементов с полем излучения, также влияющий на скорость диффузионного осаждения. Показано, что учет частичной ионизации в лучистой зоне заметно увеличивает скорость осаждения элементов тяжелее неона и, особенно, железа. Взаимодействие с полем излучения ведет к обратному по отношению к бародиффузии эффекту, заметному именно для частично ионизованных тяжелых ионов. Использованная схема может быть использована для изучения эффектов следующего порядка, а полученные профили химического состава для построения точной солнечной модели.

PACS: 96.60.Jw, 68.43.Jk 1. ВВЕДЕНИЕ

В настоящей работе мы продолжаем исследование процессов микроскопической диффузии в Солнце и ее влияния на эволюцию химического состава, начатое в работе [1]. В настоящее время достаточно хорошо известно, что определяющими диффузионными эффектами являются бародиффузия и сопутствующая ей термодиффузия, возникающие по причине наличия градиента давления и температуры соответственно. Бародиф* **

Electronic address: gorshkov@sai.msu.ru Electronic address: vab@sai.msu.ru


2 фузия ведет к очевидному разделению смеси на тяжелые и легкие компоненты, то есть, прежде всего, к осаждению гелия к центру, увеличивая эволюционный возраст Солнца. Эти два основных диффузионных эффекта, вместе с эффектом концентрационной диффузии, были рассмотрены в работе [1] для эволюционной последовательности моделей Солнца ([2]) с целью нахождения профилей водорода и гелия. Там же ([1]) были получены оценки скорости осаждения тяжелых элементов, рассчитанные в рамках MP-модели [3] для полностью ионизованного элемента на фоне пары основных компонентов. В настоящей работе мы исследуем диффузионное осаждение тяжелых элементов, включая два новых эффекта: влияние частичной ионизации элементов, а также влияние поля излучения, создающее эффект ?фотолевитации?. Кратко опишем представления о диффузионных процессах, принимаемые в настоящее время при моделировании эволюции Солнца. Все эффекты микроскопической диффузии являются дифференциальными, то есть основанными на разности влияния той или иной обобщенной термодинамической силы на разные компоненты смеси. Например, бародиффузия может рассматриваться как приближение распределения реальной концентрации ni (r) i- компонента к равновесному neq (r) в заданном поле силы i тяжести. Равновесное распределение определяется условием то есть чi = ч
th i

чi = 0, где чi пол-

ный химический потенциал компонента с добавлением энергии в поле силы тяжести,

+ i g (r) ([4]). Другими словами, равновесная концентрация каждоPi = -g i , если не учитывать влияние

го компонента близка к решению уравнения

самодиффузии (точное условие может быть получено через химический потенциал). Такая концентрация не совпадает с гидростатическим равновесным решением для смеси компонентов. Для оценки скорости разделения основных компонентов, водорода и гелия, дополнительно требуется лишь учет столкновений между водородом и гелием. В условиях плазмы звезд решение задачи требует учета свободных электронов. Даже пренебрегая массой электронов по сравнению с массой ионов (то есть столкновениями ионов и электронов), мы должны учесть обмен импульсами через взаимодействие заряженных ионов. Наличие поля электронов ведет к торможению переноса зарядов любого вида, то есть к эффективному увеличению сечения взаимодействия. При изучении диффузии тяжелых элементов их рассматривают как малую добавку к смеси H, He, e, так что число компонентов уже четыре. В своем движении тяжелый ион сталкивается как с ?всплывающим? водородом, так и с ?опускающимся? гелием.


3 Это создает т.н. эффект увлечения примеси потоками основных компонентов. Мы рассмотрели влияние эффекта увлечения на скорость осаждения тяжелых элементов и нашли, что эффект увлечения оказался довольно малым. Однако, скорость осаждения тяжелых элементов существенно зависит от заряда иона и передачи импульса через электронное облако. Например, если предположить, что железо на Солнце нейтрально или однократно ионизовано, то его бародиффузионное осаждение приведет к полному исчезновению из внешних слоев Солнца, то есть все железо сосредоточится в центральной части. Однако ионизация основных по населенности элементов (C, N, O) происходит довольно быстро с ростом температуры уже во внешних слоях конвективной зоны Солнца, а скорость осаждения быстро уменьшается с увеличением заряда иона. В результате описанного ?катастрофического? осаждения тяжелых элементов ожидать не приходится. Проведенные нами расчеты указывают на заметное уменьшение скорости осаждения при учете реального значения степени ионизации элементов. Для точного расчета скоростей осаждения мы использовали более сложную расчетную схему, предложенную [5] и пригодную для произвольного числа компонентов. В этом случае решается система уравнений Бюргерса для всех четырех компонентов, и в коэффициенты уравнения вводятся соответствующие поправки, связанные с зарядом каждого иона или другими эффектами (см. обсуждение фотодиффузии ниже). Кроме того, такая схема позволяет включить эффект термодиффузии в приближении более высокого порядка по сравнению с формулами MP-модели. При рассмотрении диффузии элементов с переменным по радиусу зарядом (то есть с меняющейся степенью ионизации) мы сделали ряд упрощающих предположений относительно взаимовлияния диффузии компонентов и реакций ионизации-рекомбинации. Главное предположение состоит в том, что процессы диффузии не меняют состояния ионизационного равновесия, рассчитанного в каждой точке в соответствии с термодинамическим уравнением состояния. Такое предположение достаточно оправданно в условиях Солнца, где скорости диффузионных потоков настолько малы, что концентрация компонентов меняется на несколько процентов в течение миллиардов лет. Другими словами, дополнительный поток ?внешних? ионов с другим зарядом пренебрежимо мал по сравнению со скоростью реакции ионизации. Поэтому эффект переменного заряда иона состоит в том, что в каждой точке исполь-


4 зуется свое значение среднего заряда (или среднего квадрата заряда) по данному иону. В работе [6] была сделана попытка использовать другой подход, когда ион в каждой степени ионизации рассматривается самостоятельно, как независимый компонент. Однако такой подход вызывает у нас сомнения, поскольку не представляется возможным решать уравнения ионизации совместно с системой уравнений Бюргерса для скоростей диффузии. В конечном итоге, даже учет сохранения числа ионов данного сорта оказывается проблематичным. Поэтому результаты, полученные в [6], хотя и понятны, но представляются необоснованными физически в отношении данного специфического способа учета влияния частичной ионизации. В частности, в [6] были получены почти сингулярные слагаемые, возникающие около каждой зоны ионизации из-за больших градиентов концентрации отдельного ионизационного компонента. Наша схема учета частичной ионизации более проста и основана на рассмотрении распределения состояний ионизации элементов по радиусу Солнца. Ниже, в главе 5 дано детальное описание этого вопроса. Здесь укажем лишь, что ионизация элементов C, N, O практически заканчивается внутри конвективной зоны, поэтому учет их частичной ионизации имеет относительно малый эффект. Для железа учет имеет максимальное значение и ведет к существенному повышению скорости его осаждения. С другой стороны, именно для железа распределение степеней ионизации имеет ряд особенностей, которые делают учет детальных реакций очень сложным. Перейдем к эффекту фотодиффузии. В англоязычной литературе утвердился термин ?фотолевитация?, то есть ?подъем? тех или иных ионов в поле излучения. Нам представляется необходимым уточнить смысл данного эффекта. Любой элемент вещества внутри звезды находится в поле излучения, причем поток излучения направлен вверх, то есть против силы тяжести. Кроме того, для элемента вещества с большой оптической толщиной можно считать, что поле излучения находится в термодинамическом равновесии с веществом, то есть излучение и вещество имеют равные температуры. На практике это значит, что фотон будет поглощен внутри данного элемента многократно. Общее влияние поля излучения в этом приближении описывается силой, равной

Prad , действующей на весь элемент в целом. Эту силу вполне можно назвать силой
фотолевитации. В модельное уравнение гидростатического равновесия входит как газовое, так и лучистое давление, и сила тяжести компенсирует градиент полного давления. В рамках


5 многокомпонентного описания естественно предположить, что для каждого компонента можно выделить силу со стороны потока излучения, которая пропорциональна вкладу данного компонента в непрозрачность, Другими словами, сильно поглощающий компонент приобретает некоторой импульс со стороны поля излучения, и этот импульс больше, чем импульсы для слабо поглощающих компонентов. Наиболее простой способ учесть такую силу это модифицировать ускорение силы тяжести в уравнении Бюргерса для соответствующего компонента. Строго говоря, сумма таких модификаций должна быть равна градиенту лучистого давления тем самым сохраняется справедливость уравнения гидростатического равновесия. В наших расчетах эффект лучистого давления учитывался только для тяжелых элементов, массовые содержания которых малы. Полученный результат состоит в уменьшении скорости осаждения к центру звезды. При этом эффект оказывается довольно ?плавным? по радиусу, поскольку отдельные области ионизации элементов слабо разделены между собой. Во внешних областях конвективного переноса эффект лучистой поправки существенно понижается, как это объяснено в главе 6. В целом, учет фотодиффузии приводит к уменьшению скорости осаждения на несколько процентов (до 14% в конвективной зоне для железа). 2. СОСТОЯНИЯ ИОНОВ ТЯЖЕЛЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ВНУТРИ СОЛНЦА

Поскольку целью статьи является изучение влияния частичной ионизации ионов на скорость диффузии, рассмотрим более детально распределение заряда ионов вдоль радиуса внутри Солнца для выбранных тяжелых элементов. В расчетах распределений состояний иона zj с атомным номером j (иногда вместо атомного номера будем использовать химический индекс элемента, например, zF e ) использовались рассчитанные по нашей просьбе дополнительные таблицы к уравнению состояния (УрС) SAHA-S ([7], [8]). Эти таблицы содержат концентрации каждого из шести тяжелых ионов nz , где z = 0...j , а j = {6, 7, 8, 10, 14, 26}. Основная используемая j в дальнейших расчетах величина это средний заряд ионов данного атомного номера, то есть
j

zj = ?
z =0

nz zj , ~j

(1)


6 где относительные содержания равны nz = nz ~j j расчетах мы игнорировали их присутствие. Поскольку энергия ионизации возрастает с z , то степень ионизации иона последовательно увеличивается, и относительные содержания nz отличны от нуля только для ~j нескольких (не больше 34) значений z . Часто большинство ионов данного элемента находятся в одном или двух состояниях z , z + 1. Тогда ошибка использования квадрата
2 среднего заряда иона (zj )2 вместо среднего квадрата заряда zj = ? j j z =0

nz . В термодинамических расчетах j

УрС SAHA-S учитываются также некоторые молекулы и их ионы, однако в наших

ется малой. Простые алгебраические выкладки показывают, что в ситуации ?парных? распределений ионов эта ошибка не превышает несколько процентов от самой величины. При расчетах средних зарядов внутри Солнца встречается более сложная ситуация, связанная с явлением ?пропуска? состояний ионизации. Для некоторых состояний ионизации нет точки по радиусу Солнца, в которой соответствующая концентрация ионов была бы больше, чем все остальные. Такая ионизация ?как бы? пропускается. В этом случае дисперсия распределения nz увеличивается, и ошибка при усреднении квадрата ~j заряда также растет. Для иллюстрации явления ?пропуска? ионизаций мы отложили на рис. 1 ионные распределения для железа nz e (r) как функцию радиуса в модели Солнца. Можно уви~F деть, что доля ионов в состоянии z = 11 и 13 никогда не превышает 15% общего числа ионов железа. При этом в точке, где n ~
11 Fe

z =0

nz (zj )2 оказыва~j

(r) максимально, содержание ионов с дру-

гими зарядами больше, чем рассматриваемого. Подобное явление можно обнаружить для кремния, тогда как для элементов с меньшим атомным номером оно отчетливо не выделяется. Остановимся лишь на некоторых особенностях ионизации тяжелых элементов в условиях Солнца. Рассмотрим элементы с двумя электронным оболочками K и L, то есть C, N, O и Ne из изучаемого набора. Ионизация электронов с L-оболочки происходит
z ^z постепенно, и приведенная энергия ионизации (Ij = Ij j 2 ) в изоэлектронной после-

^z довательности растет с небольшим декрементом Ij 1 практически одинаково для
всех элементов. В результате, средний заряд для этих элементов во внешней части кон-

^z вективной зоны довольно близок. Однако декремент потенциала ионизации Ij резко
возрастает (почти в десять раз), когда заряд иона равен z = j - 2, и должны ионизо-


7 ваться электроны с K-оболочки. Это ведет к нескольким следствиям. Во-первых, образуется область, где ионы накапливаются в состоянии с z = j - 2, то есть n ~
j -2 j

1.

В этой области средний заряд оказывается постоянным по радиусу. Во-вторых, при достижении соответствующей температуры, ионизация K-электрона оказывается четко выраженной в термодинамических параметрах, например, проявляясь как понижение показателя адиабаты. В третьих, после ионизации K-электронов ион может рассматриваться как гелиево- или водородоподобный, и довольно быстро (по радиусу Солнца) достигает некоторого предела, не равного полному заряду. Из более тяжелых ионов наибольший интерес представляет железо. Для него ионизация K-электронов вообще не достигается в условиях Солнца. Существует несколько менее выраженный барьер при ионизации 16-кратно ионизованного железа (z = 10, то есть ион подобен Ne), который проявляется похожим образом. Разница состоит в том, что такой ?промежуточный? барьер слабее выражен, а также в том, за его пределами ионизация не выходит на предельный уровень, а продолжает постепенно нарастать, аналогично ионизации L-электронов у неона. При рассмотрении ионизации в недрах Солнца мы должны иметь в виду разницу температурных градиентов в различных областях. В самых внешних областях конвективной зоны градиент температуры высок и ионизация происходит очень быстро для всех элементов. В адиабатической (основной) части конвективной зоны градиент температуры имеет почти постоянное значение, то есть (d lg T /d lg )S = 2/3. В области лучистого переноса ниже конвективной зоны градиент становится еще меньше, и химический потенциал электронов может уменьшаться с глубиной. Если ионизация насыщенная (как у элементов группы C-Ne), в этих областях степень ионизации может даже убывать с глубиной (если не учитывать зависимость внутренней статистической суммы от температуры и плотности). При ненасыщенной ионизации (как у железа и кремния) степень ионизации растет с глубиной, однако медленнее, чем в конвективной зоне. Для оценки скорости диффузионного осаждения важно отметить, что полная ионизация для CNO происходит внутри конвективной зоны, для Ne чуть глубже основания конвективной зоны. Наиболее важным для расчетов диффузии является величина заряда в лучистой зоне, и для указанных четырех ионов эта величина почти равна заряду ядра j . Для кремния и железа это не так, причем их средний заряд постепенно растет с


8 глубиной (рис. 2). Любопытной особенностью ионизации кремния является то, что его K-барьер простирается практически по всей лучистой зоне, так и не будучи преодолен до самого центра. Рассмотрим возможные физические механизмы влияния ионизации тяжелых элементов на скорость диффузионного осаждения. Первый эффект, с учетом которого мы проводим наши вычисления, состоит в том, что скорость бародиффузионного осаждения зависит от заряда (через сечение столкновений и взаимодействие с электронным полем). В действительности, зависимость сложная, но указанная пропорциональность является доминирующей. В результате, скорости осаждения в каждой точке должны рассчитываться с учетом заряда иона в данных условиях. Дополнительным упрощением является использование приближения среднего заряда и подстановка этой величины в формулы для оценки скорости. Более правильным было бы вычисление скоростей осаждения для каждого иона в отдельности, а затем нахождение средней скорости по всем ионам данного элемента. Однако с учетом особенностей распределения по состояниям ионизации ионов, описанного выше, мы полагаем, что ошибка приближения среднего заряда не превышает нескольких процентов величины. Второй физический эффект частичной ионизации связан с наличием градиента степени ионизации по радиусу. Физическое содержание данного эффекта близко к явлению амбиполярной диффузии. Более точно, этот эффект возникает из-за наличия градиента концентрации электронов, а не отдельных ионов. Градиент химического потенциала электронов ведет к диффузионному потоку электронов, который увлекает за собой ионы соответствующего заряда. Однако в рассматриваемой нами задаче общее количество электронов определяется основными, почти полностью ионизованными компонентами водородом и гелием, поэтому градиент электронной концентрации, вызванный, например, градиентом заряда железа, исключительно мал. Кроме того, для наиболее важной области лучистой зоны градиенты заряда ионов особенно малы, как вследствие малого градиента температуры, так и вследствие особенностей ионизации, описанных выше. Поэтому мы не делаем попытки учесть данный эффект. Отметим, что описанный эффект градиента заряда нельзя учесть с помощью рассмотрения диффузии отдельных ионов как независимых частиц. Градиент концентрации отдельного иона zj может быть весьма высок (в области быстрой ионизации) и он не будет компенсироваться градиентом иона zj + 1, как следует из условия сохранения


9 общего числа ионов. В результате возникает необъяснимый физически поток ионов, который получился в расчетах [6]. Третий эффект это влияние диффузионного потока на состояние ионизационного равновесия. Другими словами, ионизационное равновесие предполагает, что количество ионизаций с ионами zj уравновешивается количеством рекомбинаций ионов zj + 1, из чего находятся соответствующие концентрации nz и nz+1 . Если существуют внешние j j потоки ионов различных степеней ионизации, то уравнение баланса уже не будет выполняться. В результате стационарные концентрации становятся другими. Это и следует рассматривать как диффузионное смещение ионизационных равновесий. Однако из-за весьма малой скорости диффузии в условиях Солнца мы также игнорируем этот эффект в наших расчетах. Данное приближение мы называем приближением ?замороженного? состояния ионизации, то есть предполагаем, что ионизационные концентрации в каждой точке модели не зависят от того, есть или нет диффузионный поток любого вида. Четвертый эффект состоит в изменении сечения столкновений (интеграла столкновений) с учетом столкновений, ведущих к ионизации. Другими словами, помимо упругих столкновений, мы должны учесть неупругие (рекомбинационные), а также трехчастичные и так далее. Нам не известны математические модели для учета данного эффекта. Наконец, можно назвать пятый эффект, ведущий к изменению скорости диффузии. Перенос ионов нужно рассматривать как перенос частиц с внутренней энергией, дополнительной к кинетической. Вполне возможно, что такой перенос внутренней энергии (с последующей ее освобождением в реакции ионизации) может внести существенный вклад в остаточные тепловые члены в уравнениях Бюргерса (см. главу 3), и повлиять на оценку скорости термодиффузии. 3. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДИФФУЗИИ Рассмотрим основные уравнения принятой нами расчетной схемы и предположения при их выводе. Конечной задачей является получение относительных скоростей диффузии wi , то есть скорости компонента i относительно общего центра масс всей смеси. Основная расчетная схема (без учета взаимодействия с полем излучения) для


10 многокомпонентной смеси представлена в [5] и является непосредственным следствием уравнений Бюргерса ([9]). В свою очередь, уравнения Бюргерса восходят еще к самым ранним работам по теории кинетических уравнений. В книге Франк-Каменецкого ([10]) такой подход называется гидродинамическим представлением диффузионных процессов. Альтернативный подход был развит в книге Чепмена и Каулинга ([11]), его иногда называют методом Энскога. Следует подчеркнуть, что уравнения Бюргерса представляют собой прямое следствие уравнений Боголюбова-Борна-Грина-Кирквуда-Ивона (ББГКИ) для усредненных по моментам функций распределения частиц сорта s по скоростям и координатам

F

s

x, .
Следуя обозначениям [9], запишем уравнение Лиувилля для функции распределения

Fs Fs fsh Fs + sh + = t xh ms sh

dFs dt

(2)
coll

Отметим специфические особенности такой записи уравнений. Во-первых, уравнения рассматриваются для каждого сорта частиц s отдельно. Во-вторых, предполагается наличие внешних сил fs , действующих на частицы s с массой ms (индекс h соответствует координатным компонентам). Это существенно для описания плазмы в гравитационном поле звезды, и в дальнейшем полагаем, что f
sh

= ms gh + es Eh , где g ускорение силы

тяжести, а E электрическое поле, созданное электронами и ионами. В дальнейшем из уравнения (2) получают уравнения для центральных моментов, то есть величин вида

ps ... = m hk

s

ds (cs cs ...) Fs , hk

(3)

{}
где cs = s - us случайная, или тепловая скорость компонента, а us = s
F

средняя
1

скорость частиц сорта s. Получение набора скоростей us позволяет решить задачу, поскольку диффузионные скорости определяются как ws = us - u, где u = - средняя скорость всех компонентов системы. Определения для скоростей позволяют точнее понять смысл эффекта диффузии. Если вся система находится в равновесии в поле внешних сил, то диффузия состоит в разделении компонентов смеси, то есть скорости основных компонентов направлены в разные стороны. Помимо диффузионных скоростей ws , неизвестными являются компоненты тензора переноса импульса p
s hk

s us

и тензорные величины более высокого порядка ps i . Моменhk


11 ты более высоких порядков исключают из уравнений, используя т.н. приближение 13ти моментов ([9]). Относительно величин ps можно сказать, что симметричная часть hk соответствует термодинамическому давлению идеального газа, то есть ps =
1 3

(ps ). hh

Несимметричная часть тензора связана с тензором вязких напряжений. Тепловой поток, связанный с переносом кинетической энергии или компонента теплового потока, определяется как
s rh =

1 ps hk 2 ps

k

(4)

Оставляя в стороне подробности вывода, перейдем к итоговым уравнениям. Следуя [5], запишем уравнение сохранения числа частиц (эквивалент уравнения неразрывности)

ns + div (ns ws ) = r

ns r

(5)
nucl

В уравнении (5) учтен факт того, что число частиц (например, гелия) может меняться из-за ядерных реакций. Уравнение для импульса имеет вид

dps + s g - es E = dr

Kst [(wt - ws ) + 0.6 (xst rs - yst rt )]
t=s

(6)

Это уравнение еще называют основным уравнением диффузии, поэтому остановимся на нем чуть подробнее. Смысл членов в левой части достаточно очевиден и разбирался в предыдущей статье [1]. Слагаемое s g появляется как результат добавления слагаемого dp/dr при выводе уравнения и исключения средней скорости. Слагаемые в правой части появляются как результат усреднения интегралов столкновений. Первая часть (вида Kst (wt - ws )) выражает обмен импульсом между частицами сорта s и t, поэтому коэффициенты Kst иногда называют коэффициентами сопротивления, по аналогии с силой трения между потоками, движущимися с разной скоростью. Последнее слагаемое в правой части выражает эффект передачи импульса, возникающий при переносе кинетической энергии между потоками. Таким образом, уравнение учитывает влияние термодиффузии на итоговые диффузионные скорости. Этим, в частности, наши настоящие расчеты отличаются от более простой схемы в MP-модели, использованной в [1]. В MP-модели последним членом пренебрегали, и тогда для двух компонентов плазмы (ионизованные водород и гелий) получается одно уравнение, из которого можно получить скорости диффузии. Напряженность поля вычисляется в приближении отсутствия термодиффузии электронов, а парциальное давление ps оценивается через долю


12 соответствующего элемента в приближении полной ионизации из полного давления. В наших расчетах эти приближения не использовались, а решалась система уравнений для всех компонентов, включая электроны. Естественно, что суммирование всех уравнений импульса (6) дает нулевую правую часть (из-за симметрии входящих членов), а при малой напряженности E (оценка этой величины дается в [12]), приводит к обычному уравнению гидростатики, то есть

d dr

p

s

+g

s = 0

(7)

Мы сознательно оставили суммы парциальных давлений, поскольку в реальной модели Солнца выполнение равенства

ps = ptot неочевидно. По определению, парци-

альные давления ps представляют собой симметричную часть тензора кинетического давления газа. Общее давление в современном уравнении состояния может быть записано в виде

pE

OS

= pid + p

rad

+ pDH + pnonid

(8)

Первое слагаемое в правой части pid идеально-газовый компонент действительно близка к указанной сумме парциальных давлений, если пренебречь частичным вырождением электронов в условиях Солнца. Однако существует еще компонент давления излучения, наличие которого важно при обсуждении вопроса о влиянии непрозрачности вещества на диффузию. Кроме того, в условиях Солнца член поправки к давлению за кулоновское взаимодействие в приближении Дебая-Хюккеля (p
DH

< 0), вообще говоря,

не мал. Максимальное значение такой поправки может достигать 10% общего давления, хотя такое максимальное значение достигается в верхней части конвективной зоны, что несколько нивелирует вклад в оценки диффузионных скоростей. Существует также вклад в давление pnonid других эффектов неидеальности. Это различие между суммой парциальных давлений и полным термодинамическим давлением следует учитывать как в практической расчетной схеме (вычитая дополнительные члены из давления, используемого в равновесной модели), так и при попытке контролировать полученные результаты с помощью уравнения гидростатики. Наконец, в процессе решения мы должны определить вектор переноса кинетической энергии, связанный опять же с диффузионным переносом вещества. Для этого исполь-


13 зуются уравнения, выражающие, по сути, сохранение кинетической энергии частиц

5 dT n s kB = 2 dr

Kst
s=t

3 xst (ws - wt ) - yst [1.6xst (rs + rt ) + Yst rs - 4.3xst rt ] - 0.8Kst rs 2
(9)

В этих уравнениях xst = чst /ms , yst = чst /mt , чst = ms mt /(ms + mt ) приведенная масса, а Yst = 3yst + 1.3xst mt /ms . Численные коэффициенты возникают как в процессе оценки интегралов столкновений, так и при исключении моментов более высокого порядка. Подробный, но громоздкий вывод этих уравнений приведен в книге [9]. Таким образом, для получения диффузионных скоростей мы решаем систему уравнений (6) и (9) для каждой из четырех компонентов водород, гелий, изучаемый тяжелый элемент и электроны. Тем самым, в наших расчетах принимаются во внимание основной эффект бародиффузионного осаждения тяжелых элементов, эффект термодиффузии, концентрационная диффузия и эффекты увлечения тяжелого элемента диффузионными потоками водорода и гелия. Основное отличие от предыдущих расчетов [1] в MР-модели состоит (как было отмечено еще в работе [5]) в более точном учете термодиффузии. Вклад термодиффузии увеличивается примерно на 30% по сравнению с MP-моделью. Это довольно существенно (учитывая то, что термодиффузионный вклад составляет 3050% от основного, бародиффузионного вклада, [1]), однако следует иметь в виду, что численные коэффициенты, входящие в уравнение (9) для тепловых потоков, сильно зависят от принятой модели для экранированного кулоновского потенциала. Уточнение модели потенциала может вести к изменению результата в отношении термодиффузии на величину такого же порядка. Отме