Специальный космофизический практикум:

Вычисление проекции кеплеровской орбиты спутника на географическую карту Земли

В. М. Журавлев

Цель задачи - приобретение навыков моделирования движения спутника по орбите с привязкой его положения к реальным географическим координатам.

Задача реализуется в любой среде программирования (Pascal, C, C++) или интегрированных пакетах математических вычислений, имеющих возможность визуализации расчетных элементов орбиты.

В задаче предполагается реализовать возможность адаптации реальных навигационных данных о кеплеровских параметрах орбиты для вычисления текущего положения спутника на орбите без учета возмущающих факторов. В качестве усложненного варианта задачи можно предложить введение в расчетную схему учета второй зональной гармоники и трения в атмосфере.

Эта задача позволяет познакомится с принципами моделирования орбитального движения спутника вдоль орбиты. Необходимость иметь знания в этой области для физика, занимающегося космофизическими исследованиями, обусловлена тем, что одной из проблем обработки данных со спутника является их привязка к пространственным координатам. Эта проблема связана с невозможностью получать данные о положении спутника на орбите и о параметрах орбиты от служб слежения непрерывно. Такие данные поступают несколько раз в день или даже в несколько дней, а информация со спутника имеет дискретность по времени от долей секунды до нескольких часов. Поэтому приходится вычислять положение спутника на момент получения данных, пользуясь программой моделирования движения спутника.

В задаче предлагается написать небольшую программу вычисления географических координат проекции положения спутника на небесную сферу в заданный момент времени, если известны кеплеровские параметры орбиты спутника. Предлагается это сделать без учета несферичности Земли и других возмущающих факторов.

Основные формулы для моделирования. Случай кеплеровской орбиты

Будем предполагать, что все кеплеровские параметры орбиты известны, например, из данных NORAD. Для того, чтобы получить изображение орбиты в проекции на вращающуюся Землю с учетом движения спутника по орбите, полезно воспользоваться следующими формулами для предварительного вычисления декартовых координат спутника в неподвижной системе отсчета, связанной с удаленными звездами. Эти формулы таковы:

		(1)

где ξ и η - вспомогательные орбитальные координаты, а направляющие косинусы P_x, P_y, ..., Q_z вычисляются по формулам

Направляющие косинусы должны удовлетворять следующим условиям, которые служат для контроля правильности вычислений:

Видно, что величины P_x, P_y, ..., Q_z вычисляются один раз при поступлении информации о новых параметрах орбиты спутника от наземных служб, поскольку содержат только параметры кеплеровской орбиты.

Для вычисления движения спутника по орбите в проекции на небесную сферу необходимо воспользоваться формулами пересчета декартовых координат в сферические

где λ - долгота точки проекции положения спутника на небесную сферу, θ - ее широта, а декартовы координаты x, y, z и расстояние спутника от центра Земли r вычисляются по выше приведенным формулам.

Текущее положение спутника в неподвижной системе координат вычисляется с помощью решения уравнения Кеплера относительно эксцентрической аномалии E

где E - эксцентрическая аномалия, n - среднее движение, t₀ - эпоха, M₀ - средняя аномалия в эпоху. Численное решение этого уравнения наиболее просто можно получить с помощью метода итераций

Начальным значением следует выбирать

а заканчивать процесс итераций при достижении требуемой точности, т. е. когда величина E_k+1 - E_k становится меньше заданного значения. Для эксцентриситета e ≤ 0.5 число итераций не превосходит 5 при точности 7-8 знаков после запятой.

Переход во вращающуюся вместе с Землей систему отсчета производится изменением формулы для долготы

где Ω_E - угловая скорость вращения Земли, t_s - момент времени совпадения осей вращающейся и неподвижной системы координат, [ f ] - целая часть числа f. В круглых скобках в этой формуле стоит дробная часть числа оборотов Земли вокруг своей оси.

Обратим внимание на то, что в этих формулах декартовы координаты положения спутника меняются со временем. Поскольку данные о времени от NORAD поступают в сутках, то удобно эти формулы привести к этим единицам измерения времени, а угловые переменные к градусам, что соответствует естественным географическим координатам.

Скорость движения спутника по орбите:

В декартовых координатах:

Литература

1. Г. Н. Дубошин. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1968, 800 с.

2. А. Н. Матвеев. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1986.

ї Научно-исследовательский институт ядерной физики им. Д. В. Скобельцына.