Специальный космофизический практикум:

Вариации относительной плотности атмосферы на орбите спутника

В. М. Журавлев

Цель задачи - проверка простой модели действия силы молекулярного сопротивления атмосферы на спутники, находящиеся на сравнительно невысоких близких к круговым орбитах.

Изучаются физические эффекты, связанные с учетом влияния молекулярного трения в атмосфере Земли на изменчивость кеплеровских параметров орбиты спутника. Кроме этого задача позволяет ознакомиться с влиянием солнечной активности на характеристики верхней атмосферы Земли на основе сопоставления изменчивости относительной плотности атмосферы на высоте орбиты спутника с данными о характеристиках активности Солнца.

В качестве измеряемого параметра в задаче выбран удельный коэффициент сопротивления движению спутника в атмосфере (коэффициент сопротивления, отнесенный к массе спутника). В качестве параметра, позволяющего оценить изменчивость удельного коэффициента, взят фокальный параметр орбиты, рассчитываемый по среднему движению (число оборотов в день). По данным о скорости изменения фокального параметра вычисляется удельный коэффициент сопротивления спутника, что позволяет оценить относительную изменчивость плотности атмосферы спутника на орбите. Для спутников с известными площадью поперечного сечения и массой вычисляется абсолютное значение плотности атмосферы на высоте орбиты спутника.

На последнем этапе предполагается проведение сравнительного анализа активности Солнца с изменениями абсолютной и относительной плотности атмосферы на высоте орбиты. В задаче предполагается использовать элементы самостоятельной обработки студентом реальной базы данных о положении спутника в любой подходящей системе программирования.

Задача может быть рекомендована студентам физических факультетов университетов и других ВУЗов.

Постановка задачи

Пусть спутник массы m движется по орбите, испытывая лобовое сопротивление атмосферы. Пусть на высоте орбиты концентрация молекул атмосферных газов равна N. Пусть площадь сечения космического аппарата в направлении, перпендикулярном движению равна σ. Тогда за время dt спутник столкнется с dN = N dV молекулами, находящимися в объеме dV = σ v dt, поэтому dN = N σ v dt (см. рисунок).

Будем предполагать, что удар каждой молекулы абсолютно упругий. Тогда за время dt молекулы передадут спутнику импульс, равный dp = 2 m₀v dN = 2 m₀v²σ N dt. Здесь m₀ - масса одной молекулы. Отсюда находим, что сила сопротивления, испытываемая спутником, равна

где ρ = m₀N - плотность атмосферы, γ = 2 ρ σ - коэффициент трения.

Рассмотрим движение спутника в потенциальном поле сил под действием такой силы трения. Уравнение движение спутника в декартовой системе координат имеет следующий вид

Умножим это уравнение скалярно на скорость движения спутника. После несложных преобразований получаем

Отсюда удельная полная энергия спутника E_m = E₀m меняется согласно уравнению

Предположим, что спутник движется по орбите с малым эксцентриситетом e << 1, т.е почти по круговой орбите. В этом случае радиальная составляющая скорости спутника значительно меньше скорости орбитального движения . Поэтому можно считать, что

где L - модуль орбитального момента импульса спутника, а L_m = L/m - удельный момент импульса. Тогда получаем следующее соотношение:

		(1)

Задачей данной лабораторной работы является проверка этого соотношения. Соотношение (1) можно представить следующим образом:

Здесь μ = M_EG. Поскольку предполагается, что орбиты спутников, изучаемых в данной задаче близки к круговым (малый эксцентриситет), то r ≈ p. Кроме этого в формуле для полной энергии отброшены возмущающие добавки, связанные с несферичностью Земли в силу их малости. В результате последнее соотношение можно привести к виду

		(2)

Таким образом, эта формула позволяет оценить относительное изменение плотности атмосферы на высоте орбиты спутника. Для вычисления абсолютного значения плотности атмосферы необходимо знать поперечное сечение спутника и его массу.

Задание

Для выполнения лабораторной работы необходимо в первую очередь выбрать из данных NORAD (см. Задачу 6 настоящего сборника) для определенного спутника (или спутников) параметры орбиты за достаточно большой период времени и пересчитать значения удельной полной энергии, удельного момента импульса и большой полуоси и построить их графики. Затем с помощью метода наименьших квадратов оценить скорость убывания полной энергии спутника. После этого можно рассчитать удельный коэффициент сопротивления атмосферы.

1. Для заданных преподавателем спутников за определенный период времени (с помощью написанной вами программы) выберите в отдельный файл данные по элементам орбиты.

2. Постройте графики изменения удельной полной энергии, удельного момента импульса и фокального параметра.

3. С помощью метода наименьших квадратов вычислите наклон графика как функции времени на совокупности интервалов времени.

4. Вычислите среднее значение в выбранных интервалах времени. По этим сглаженным данным проведите численную оценку производной величины .

5. Полученные в пунктах 3 и 4 данные выведите на один график. Сделайте анализ графиков и объясните его (возможно используя дополнительную информацию об активности Солнца).

6. Считая, что масса спутника и его поперечное сечение не меняются, оцените относительное изменение плотности атмосферы на высоте орбиты спутника. Сравните результаты, полученные для нескольких спутников.

Вопросы для подготовки к выполнению задачи

1. Как влияет на форму орбиты сопротивление атмосферы?

2. Опишите качественно изменение формы сильно эллиптической орбиты во время прохождения спутника вблизи Земли (перигея).

3. Опишите качественно изменение параметров почти круговой орбиты вблизи Земли за счет сопротивления атмосферы.

4. Чем могут быть вызваны краткопериодические увеличения коэффициента трения атмосферы?

Литература

1. А. Н. Матвеев, Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1986.

2. Физика космоса: Маленькая энциклопедия. Ред. Р. А. Сюняева. М.: Советская энциклопедия. 1986.

ї Научно-исследовательский институт ядерной физики им. Д. В. Скобельцына.