Next: Порядок выполнения работы
Up: Краткая теория
Previous: К-поправка
Для удаленных галактик в расширяющейся вселенной понятие
расстояния теряет однозначность. В случае Евклидового
пространства, каким бы способом мы ни измеряли расстояние до
объекта, получаем одно и то же численное значение. Например, зная
собственный размер объекта D и видимый угловой размер
находим угловое расстояние
или, зная болометрическую светимость L и измеряя принимаемый поток
F, имеем фотометрическое расстояние
причем
- просто расстояние.
В расширяющейся вселенной интервал между событиями
![\begin{displaymath}
dS^2 = c^2dt^2 - a^2(t) dl^2,
\end{displaymath}](img19.gif) |
(2) |
где
![\begin{displaymath}
dl^2 = \frac{dr^2}{1-kr^2} + r^2d\Theta^2 + r^2\sin^2 \Theta
d\phi^2
\end{displaymath}](img20.gif) |
(3) |
безразмерный элемент длины для всех возможных геометрий. Здесь
- плоское Евклидово пространство,
- пространство
постоянной положительной кривизны (сфера),
- пространство
постяной отрицательной кривизны.
- изменяющийся
(растущий) во времени масштабный фактор с размерностью длины.
Например, если
- время с момента начала расширения, то
- в пространственно-плоской (
) космологической
модели без космологической постоянной на стадии доминантости
материи.
Фундаментальная связь между красным смещением
удаленного
объекта и масштабным фактором
![\begin{displaymath}
1+z = \frac{a(t_0)}{a(t)}
\end{displaymath}](img28.gif) |
(4) |
где
- момент приема сигнала,
- момент испускания
сигнала,
.
По определению, физическое (метрическое) расстояние до объекта
![\begin{displaymath}
d_M = a(t_0) r
\end{displaymath}](img31.gif) |
(5) |
есть расстояние до объекта в момент приема сигнала.
Фотометрическое расстояние можно вычислить исходя из физических
соображений. Сначала найдем зависимость принимаемого потока
от красного смещения
. Энергия
каждого принимаемого фотона уменьшается в
раз из-за
эффекта Доплера, а время между приемом детектором двух фотонов
увеличивается в
раз по сравнению со временем в точке их
испускания. То есть
Так как в сферически-симметричном случае излучаемая энергия
распространяется на сферу с радиусом
,
получаем
![\begin{displaymath}
F \equiv \frac L{4\pi d_L^2} = \frac L{4\pi a(t_0)^2r^2(1+z)^2},
\end{displaymath}](img35.gif) |
(6) |
откуда
![\begin{displaymath}
d_L = a(t_0) r (1+z)
\end{displaymath}](img36.gif) |
(7) |
В частном случае пространственно-плоской вселенной (
), после
подстановки
в (2) и
интегрирования уравнения
(распространение света),
получаем
![\begin{displaymath}
d_L = \frac {2 c}{H_0} \left[(1+z) - \sqrt{1+z}\right]
\end{displaymath}](img38.gif) |
(8) |
где
- значение постоянной Хаббла в момент наблюдений.
При малых
имеем
![\begin{displaymath}
d_L \cong \frac {2 c}{H_0} \left[(1+z) - \left(1+\frac 12
z\right)\right] \simeq \frac {c z}{H_0} = d_A
\end{displaymath}](img41.gif) |
(9) |
В более сложной космологической модели с отличной от нуля
космологической постоянной
для данного
возрастает.
Next: Порядок выполнения работы
Up: Краткая теория
Previous: К-поправка
Dmitriy Bizyaev
2001-09-07