Успехи современной биологии, 2003, том 123, ? 2, с. 115-137.
© П.В.Фурсова, А.П.Левич, В.Л.Алексеев

УДК 57.02.001.57

Модели каждого из методов, безусловно, обладают своими достоинствами и недостатками. Так, дифференциальные или разностные уравнения позволяют описывать динамику процессов в режиме реального времени, тогда как вариационные методы, как правило, предсказывают лишь конечное стационарное состояние сообщества. Но на пути имитаций с помощью уравнений возникают трудности как принципиального, так и технического характера. Принципиальная трудность состоит в том, что не существует систематических правил вывода самих уравнений. Процедуры их составления основываются на полуэмпирических закономерностях, правдоподобных рассуждениях, аналогиях и искусстве модельера. Технические трудности связаны с высокой размерностью задач по моделированию сообществ. Для существенно многовидовых сообществ, потребляющих многочисленные ресурсы, требуется подбор сотен коэффициентов и анализ систем из десятков уравнений. (Если изучается сообщество из w групп организмов, потребляющих m ресурсов, то соответствующая система дифференциальных уравнений должна содержать, по крайней мере, w + mw + m уравнений с 2w + 4mw параметрами, требующими идентификации.) Обычные приемы снижения числа переменных - их агрегирование или учет только доминирующих групп организмов - непригодны во многих задачах экологии. С течением времени существенную роль начинают играть редкие и малочисленные виды, которые, тем самым, следует включать в число переменных на начальных этапах моделирования. Агрегация переменных может нивелировать результаты управления функционированием сообществ. При работе с системами из десятков и более дифференциальных уравнений оказывается, что проследить причинные связи (для отладки, исключения ошибок, интерпретаций) в системе уравнений также сложно, как и в реальной экосистеме. В конце концов, оказывается, что мы не можем узнать, чему обязаны полученными результатами: реальному положению вещей, ошибкам в исходных данных, недочетам алгоритма или еще чему-либо. Модели, основанные на экстремальных принципах, как правило, преодолевают "проклятие размерности", но сохраняют произвол в выборе самих исходных принципов.

Согласно экстремальным принципам в реальности осуществляются лишь некоторые состояния системы, а именно, состояния с экстремальным значением числовой функции или функционала, называемых 'целевой функцией', которая определяет развитие природной системы. Широкое применение экстремальные принципы получили в физике, механике, термодинамике, экономике, теории управления. В биологии вопрос о 'целевой функции' стал более популярен с распространением эволюционного мышления в противовес статическому видению мира [54]. В настоящем обзоре достаточно подробно представлены следующие экстремальные принципы: принцип минимума общего осмотического давления [46]; принцип максимальной общей скорости биохимической реакции [55]; принцип минимизации поверхностной энергии в развитии эмбриона [30]; принцип оптимальной конструкции [18]; принцип максимума жизненного репродуктивного успеха особи [21, 47]; принцип максимальной биомассы потомства [3]; принцип выживания [22]; принцип максимизации репродуктивных усилий [56]; принцип максимальной неожиданности протекания эволюции [1]. Описан вывод логистического уравнения роста популяции, основанный на требовании экстремальности функционала действия [52]. Представлено применение принципа максимума Понтрягина в биоэкономической модели [27]. В работе содержится принцип стационарного состояния открытых систем [17]; принцип максимального разнообразия [36]; принцип максимальной обобщенной энтропии [4]; принцип минимума потребления лимитирующего вещества [15]; принцип максимума мальтузианского параметра [19]; принцип максимума использованной энергии [16]; принцип максимального суммарного дыхания [51]. Описаны экстремальные свойства сообщества с горизонтальной структурой [20]. В основе, так называемых, моделей динамической структуры, представленных в работе, лежит максимизация скорости изменения общего потока энергии через систему, асценденции, эмержентности, эксергии, косвенных эффектов, индекса зрелости [31, 32, 41, 42, 43]. Использование термодинамики для решения проблем эволюции отражено в принципе наименьшей диссипации энергии и принципе наискорейшего спуска [2].

Обзор не претендует на полное освещение всех возможных применений экстремальных принципов в биологии, и тем более на подробное описание, поэтому лишь перечислим еще некоторые из них: максимальное рассеяние энергии [49, 45, 38], максимизация биомассы [37], максимум устойчивости органического вещества [53].

С.Шустер и Р.Гейнрих [46] применяли метод условной экстремизации при изучении стационарного течения биохимических реакций. Они принимают, что общее осмотическое давление промежуточных продуктов в реакции можно записать в виде

,

где и обозначают, соответственно, концентрацию и коэффициент осмотического давления i-го промежуточного продукта реакции (зависимость только от является упрощающим предположением). Естественно, что осмотическое давление в клетке не может превосходить некоторой критической величины. Поэтому авторы считают, что при стационарном течении реакции, при котором все не зависят от времени, должно принимать минимальное значение при ограничениях

.

Здесь - некоторые равновесные константы реакции, - элементы стехиометрической матрицы реакционной системы. Ограничения - неравенства имеют смысл положительности скорости всех промежуточных реакций. Таким образом, при стационарном течении реакции, концентрации промежуточных продуктов , находятся как решения следующей задачи

(1)

В качестве примера С.Шустер и Р.Гейнрих рассматривают реакции метаболизма эритроцитов человека [46]. Поскольку эти реакции довольно сложные, то авторы получают лишь общую качественную картину решения задачи (1) в этом случае. Они отмечают, что эта картина согласуется с известными экспериментальными данными о метаболизме эритроцитов.

Еще одно приложение метода условной оптимизации к исследованию биохимических реакций демонстрируют Т.Вильгельм с соавторами [55]. Они рассматривают биохимическую реакцию, состоящую из n элементарных шагов. Состояние реакции авторы характеризуют вектором , где - константа скорости прямой (обратной) реакции i-го шага, . Авторы вводят гипотезу, что при стационарном течении общая скорость реакции должна быть максимальна при ограничениях на величину и при фиксированной константе равновесия реакции . Таким образом, для описания стационарного течения реакции авторы используют экстремальную задачу

(2)

Здесь и предполагаются известными параметрами задачи.

Авторы рассматривают несколько конкретных примеров, для которых результаты решения (2) согласуются с экспериментальными данными.

Н.Гоэл с соавторами [30] при помощи задачи на условный экстремум изучают один из ранних этапов развития эмбриона млекопитающих - процесс перехода между ранней и поздней морулой. Этот переход достаточно хорошо изучен. Он включает 4 этапа: клеточное деление, компактификацию, переферическое склеивание и появление внутренних клеток (интернализация). Компактификация состоит в том, что контактирующие части поверхностей клеток, возникших после деления и имеющих форму сфер, увеличиваются до такого состояния, что все внутриклеточное пространство, необходимо существующее между близко упакованными сферами, удаляется (путем индивидуальных деформаций первоначально сферических клеток), в то время как целый эмбрион приобретает сферическую форму. При этом компактификация идет именно до такого состояния, когда эмбрион приобретает форму сферы и не далее.

Для объяснения компактификации и интернализации авторы предлагают гипотезу, что клеточная конфигурация строится таким образом, что она минимизирует поверхностную энергию (- число клеток в конфигурации) при условии фиксированного общего объема. Таким образом, получается задача на условный экстремум

(3)

В выражении для поверхностной энергии в (3) - площадь поверхности стенок i-ой клетки, находящихся в контакте только с окружающей средой (и не имеющих точек касания с другими клетками) и - общая площадь стенок i-ой и j-ой клеток, V - объем. Параметр задается как некий весовой фактор для межклеточных поверхностей, отличающий их от стенок клеток, имеющих контакты только с внешней средой (для таких стенок параметр считается равным единице).

Задача (3) сложна для аналитического решения. Поэтому авторы пытались решить ее численно для случая плоских (двухмерных) клеток и для некоторых специальных случаев трехмерных клеток [35]. Оказывается, что при минимум в (3) реализует конфигурация, при которой все клетки имеют форму кругов (или сфер) и каждая касается соседей только в одной точке, а при минимум в (3) реализует конфигурация, при которой каждая клетка деформируется таким образом, что внутриклеточные пространства исчезают, а вся совокупность клеток приобретает форму сферы (круга в двухмерном случае). Таким образом, по мнению авторов, процесс компактификации можно описать путем уменьшения в (1.5) с 2 до 0. (Физический механизм этого уменьшения авторы трактуют, связывая с концентрацией ионов в окружающей эмбрион среде. Из экспериментальных наблюдений известно, что при компактификации эта концентрация уменьшается.)

Другим важным результатом численного исследования (3) оказывается тот факт, что при достаточно большом числе клеток конфигурация с внутренними клетками имеет меньшую энергию чем конфигурация без них (независимо от ). По мнению авторов, это может служить возможным объяснением интернализации.

Таким образом, по мнению авторов, модель (3) достаточно адекватно описывает некоторые сложные процессы происходящие при развитии эмбриона млекопитающих.

Вопрос об оптимальности в биологии подробно изучался Р.Розеном [18]. Основой для его рассуждений является естественный отбор, в результате которого живые организмы приобретают признаки, оптимальные для данных условий, т.е. такие, которые не скажутся отрицательно на их способности конкурировать с соперниками. Основная гипотеза заключается в том, что организмы, обладающие биологической структурой, оптимальной в отношении естественного отбора, оптимальны также и в том смысле, что они минимизируют некоторую оценочную функцию (принцип оптимальной конструкции). Эта функция определяется исходя из основных характеристик окружающей среды.

Одним из приложений принципа оптимальной конструкции является моделирование кровеносной системы. Рассмотрена задача нахождения оптимального угла отклонения боковой ветви от основного ствола. Радиусы ствола и ответвления считаются известными: r₀ и r₁. В качестве оценочной функции выбирается сопротивление кровеносной системы, которое согласно принципу оптимальности должно быть минимальным (участок АДС на рис. 1).

Зависимость полного сопротивления R_T участка АДС от угла ответвления q выглядит следующим образом

где k - коэффициент пропорциональности, зависящий от вязкости и плотности жидкости; λ₀ - длина отрезка СВ.

Дифференцирование функции R_T(q ) по q и приравнивание результата нулю дает оптимальное значение угла

.

,

где f - поток жидкости; K - постоянный коэффициент пропорциональности; R_T - полное сопротивление; V - объем изучаемого участка.

На основании принципа оптимальной конструкции Р.Розеном также была высказана гипотеза о том, что аллометрические соотношения, имеющие место в живой природе, могут быть выведены из условия минимизации некоторого функционала, и показывается, как эта гипотеза может объяснить теорию трансформации д'Арси Томпсона.

Принцип максимума жизненного репродуктивного успеха особи. Методы вариационного исчисления применяются в эволюционной экологии. Оптимизационный подход основан на предположении, что в процессе эволюции вида при заданных внешних условиях и физиологических ограничениях оптимизируется удельная скорость роста популяции, которая выступает в качестве критерия дарвиновской приспособленности. Это позволяет формулировать задачу эволюционной оптимизации жизненного цикла в терминах математической теории оптимального управления как задачу нахождения оптимальных жизненных стратегий распределения энергетических ресурсов индивида между ростом, размножением, добыванием пищи, защитой от неблагоприятных влияний внешней среды и репарацией (вклад энергии в репарацию означает вклад в 'будущее выживание') [21].

Общая оптимизационная задача выглядит следующим образом [47]

Здесь u(t) - часть энергии, затраченная на воспроизведение; l(t) - функция выживания; d(t) - смертность, включающая четыре компоненты: две контролируемые и две неконтролируемые индивидом; a - постоянная часть неконтролируемой (внешней) смертности; bt - неконтролируемая смертность, возрастающая с возрастом со скоростью b; p(t) - текущий уровень смертности, регулируемый вкладом энергии v(t) - (часть энергии направленная на выживание); c ³ 0, c = const; q(t) - скорость старения, контролируемая вкладом энергии в репарацию w(t). Последнее равенство означает, что никакие другие нужды организма, кроме воспроизводства, выживания и репарации, не включаются в модель.

Целевым функционалом является жизненный репродуктивный успех особи. Этот функционал применим в тех случаях, когда численность популяции меняется не слишком быстро, иначе, правильнее было бы использовать удельную скорость роста численности популяции μ, получаемую из уравнения Эйлера-Лотки [21]. Однако, рассматривая множитель как часть выживания, можно считать, что оптимизация удельной скорости μ эквивалентна оптимизации R₀ в присутствии дополнительной константы внешней смертности μ [47].

Изучение модели идет по пути рассмотрения частных случаев. Задача о распределении энергии между воспроизведением и выживанием описывается исходной системой при условии, что w(t) º 0. Вариационная задача решается применением принципа максимума Понтрягина. Оптимальная стратегия задается выражением: , где функция x(t) - решение уравнения

Предположение о неопределенности максимальной продолжительности жизни Т (Т = ¥ ) и постоянстве u(t) º U дает оптимальное значение U = 0.5 (при a = b = d = 0); (при b = d = 0).

Условие v(t) º 0 означает распределение затрат энергии между воспроизводством и репарацией. В этом случае гамильтониан выглядит следующим образом

где

Для нахождения оптимальной стратегии необходимо решить четыре дифференциальных уравнения, что можно сделать только численными методами. Другой путь - дискретизация задачи и применение динамического программирования, последнее позволяет построить графики зависимости u от t и q, q от t для разных наборов параметров a, b, c.

Важным результатом решения этой частной задачи является получение увеличения скорости смертности с возрастом. Данная зависимость хорошо согласуется (по крайней мере качественно) с реальными наблюдениями. Обычно ускоренный рост интенсивности смертности с возрастом описывается уравнением Гомпертца-Макехама (α, β, γ - неотрицательные константы; t - возраст) или уравнением Вейбулла (показательный рост). Получение же такой зависимости из вариационной задачи позволяет объяснить ее требованием эволюционной оптимальности, а именно, необходимостью увеличения с возрастом трат энергии на размножение за счет уменьшения трат на репарацию [47, 21].

Принцип максимальной биомассы потомства. Другой аспект изучения распределения организмом энергетических затрат на рост и размножение заключается в попытке объяснить общую закономерность развития многих животных и растений, которая состоит в том, что размножение начинается тогда, когда рост в основном закончен [3]. Предлагается следующий экстремальный принцип: в онтогенезе комбинация между тратами на рост и размножение оптимальная в отношении естественного отбора организмов такова, что биомасса потомства одной особи за все время ее жизни достигает максимума. Для формализации этого принципа вводят обозначения: M(t) - масса ассимиляционного аппарата организма в зависимости от времени t (0 £ t £ T); j (t) - доля M(t), идущая на рост самого организма, 0 £ j (t) £ 1; y (t) - средняя вероятность того, что организм доживет до момента времени t, y (0) = 1, y (Т) = 0.

Предполагается, что за время жизни организм не расходует все свои ресурсы только на рост (), и все, что не тратится на рост, идет на размножение (1 - j (t) - доля M(t), расходуемая на размножение). Функция ¦ (t) считается известной и является коэффициентом пропорциональности между приростом M(t) в константной среде и j (t)× M(t) (dM(t) = ¦ (t)× &