Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://chronos.msu.ru/old/RREPORTS/zaslavsky_sobstvennye_miry.htm
Дата изменения: Sat Dec 14 13:21:16 2013 Дата индексирования: Fri Feb 28 20:43:09 2014 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п р п |
© А.Заславский
СОБСТВЕННЫЕ МИРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
А. Заславский
ВВЕДЕНИЕ
Мы владеем понятием 'система'.
Мы можем рассуждать о системе, отвлекаясь от специфического (семантического) значения ее состояний и элементов (Общая система
[ 1 ] ).Мы понимаем, что окружающий нас мир (включая нас самих) также является системой, которую можно рассматривать отвлеченно, как общую динамическую систему (т.е. абстрактную систему с линейно упорядоченным множеством состояний).
Обладая некоторым запасом воображения можно представить себе внешнего наблюдателя
(в традициях классической науки - демона), для которого система 'наш мир' представляется упорядоченной последовательностью абстрактных событий (состояний, отнесенных к моментам времени демона), о которых можно сказать лишь одно, что они различимы.При этом мы знаем, что в системе 'наш мир', рассматриваемой с точки зрения ее внутреннего наблюдателя (т.е. нас) действуют в нашем времени известные законы движения и взаимодействия подсистем (физических тел).
А теперь представим себя в качестве внешнего наблюдателя некоторой системы, не имеющей прямого отношения к окружающему пространству. Примерами такой системы могут служить конечный или бесконечный автомат, электрическая цепь и т.п. В этом случае наблюдаемая система проявляет себя как временной ряд, не связанный геометрическими отношениями с пространственными объектами нашего мира.
Если запас нашего воображения еще не исчерпан, то можно представить существование второго демона, но уже в качестве внутреннего наблюдателя рассматриваемой системы, для которого эта система 'изнутри' видится так же
, как нам видится наш мир.В общем случае события динамической системы взаимно однозначно соответствуют
некоторым моментам времени внешнего наблюдателя и каждому моменту времени внутреннего наблюдателя.Иными словами, мы предполагаем существование собственных миров общих динамических систем, отображенных в собственных временах и собственных пространствах
.Однако внешне динамическая система представляется линейно упорядоченной последовательностью абстрактных различимых состояний
.Следовательно, если допустить возможность существования отношений
'собственный физический мир' на множестве событий общей динамической системы, то следует признать, что единственной внешней причиной таких отношений является линейная упорядоченность событий.А это значило бы, что математические (физические) законы собственных миров могут быть выведены как непосредственные следствия этой упорядоченности.
При исследовании данной гипотезы будем предполагать, что
внутренний наблюдатель собственного мира общей динамической системы является ее подсистемой, организованной как однонаправленный автомат с памятью.
1.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ (АКСИОМАТИКА)Общая динамическая система (ДС) в контексте данной работы это отношение линейного порядка (цепь событий) на абстрактном множестве, которое в общей теории систем называют объектом состояний общей системы.
Объект состояний не однороден, он представляет собой совокупность ансамблей событий с разными признаками. Каждый такой ансамбль является объектом состояний соответствующей подсистемы (подмножеством цепи событий). Любой из этих ансамблей может быть объектом состояний подсистемы 'внутренний наблюдатель'.
Каждому событиюРазличие или эквивалентность признаков
Вследствие изложенного в предыдущем пункте, различные наблюдатели, классифицируя события наблюдаемой ими системы по одинаковым признакам, получат тождественные множества классов состояний. Мощность состояния (количество событий с одним и тем же признаком) есть величина, одинаковая для всех наблюдателей. Именно эту величину, вследствие инвариантности к выбору наблюдателя, будем использовать в качестве меры состояния общей ДС в собственном пространстве. Пусть динамическая система при переходе от события
Рассматривая поведение ДС в ее собственном мире, будем различать два типа собственных пространственно-временных многообразий - виртуальное и реальное. Первое является отображением собственного мира ДС в абстрактном однородном и изотропном пространстве и времени относительно декартовой системы координат, не связанной с пространственными объектами мира внутреннего наблюдателя. Второе является отображением собственного мира ДС в реальном для внутреннего наблюдателя пространстве и времени относительно системы координат, связанной с одной из ее подсистем. В данном случае возможность двоякого представления собственного мира системы обусловлена тем, что величины, которыми измеряется изменение ее состояния (см. предыдущий пункт) не зависят от выбора системы координат. Вследствие того, что эти величины могут быть одинаково измерены как внутренним, так и внешним наблюдателем, имеется возможность отображать их в разных пространствах.
Задача состоит в том, чтобы построить адекватные математические модели этих многообразий
как следствия линейной упорядоченности цепи событий.2. ОСНОВНЫЕ ТОЖДЕСТВА ЦЕПИ СОБЫТИЙ.
Цепь событий ДС отобразим на диаграмме Хассе, как показано на рисунке 2.
Обозначим
(2.1)
Обозначим
(2.2)
Отношение количества
(2.3)
Суммируя (2.2) по индексу (
(2.4)
Отношение количества переходов из
(2.5)
Отношение
(2.6)
будем называть условной вероятностью перехода из
Суммируя (2.3) по всем индексам
(2.7)
. (2.8)
Аналогичными равенствами, известными
как уравнения Чепмэна - Колмогорова описывается кинетика марковских цепей.Преобразуем полученную систему тождеств к дифференциальному виду. Для этого приведем (2.7) к виду
. (2.9)
Поставим в соответствие элементарному участку цепи длительность
. (2.10)
.Тогда произвольному участку цепи соответствует длительность
. (2.11)
Среднее приращение вероятности
. (2.12)
В пределе, при
(2.13)
(2.14)
где
3.
ОСНОВНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ЦЕПИ СОБЫТИЙ.Так как количество состояний
Из этого с очевидностью следует первое неравенство цепи событий ДС:
. (3.1)
Если суммирование осуществляется по всем индексам
(3.2)
Вернемся вновь к модели ДС, изображенной на рис.2. Промежутку времени
(3.3)
где:
(3.4)
(3.5)
Эта величина естественным образом ассоциируется с понятием энтропии системы. Заметим, что
, применяя формулу Стирлинга к (3.5) в известном приближении (3.6)
Нас интересует приращение энтропии на отрезке времени
.
Подставляя сюда
. (3.7)
На отрезке времени
(3.8)
Так как
. (3.9)
Иными словами - энтропия общей динамической системы не убывает.
4. C
ОБСТВЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО - ВРЕМЯ ОБЩЕЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ.
В разделе 'введение' было высказано предположение о существовании внутреннего наблюдателя общей динамической системы. Без такого предположения не имеет смысла рассуждать о ее собственном мире. Совершенно очевидно, что наблюдатель должен являться подсистемой ДС. Это означает, что его собственная цепь событий должна быть подмножеством цепи событий общей системы. Вводя внутреннего наблюдателя, мы предполагаем, что на этом подмножестве задано отношение специального вида - автомат, способный запоминать и анализировать последовательности наблюдаемых событий. Функция наблюдения задается упомянутым отношением, как причинно - следственная связь состояний автомата - наблюдателя со всеми событиями наблюдаемой системы. Мы не будем детализировать конструкцию такого автомата. Принципы его
построения хорошо изучены теорией автоматов (см. например [2,3,4]). Для нас достаточно осознавать принципиальную возможность его существования. 'Если рассматривать человека как односторонний автомат, в котором направление движения ленты совпадает с осью времени, то, в сущности, это эквивалентно утверждению о том, что человек для того, чтобы осуществлять определенные виды деятельности, должен располагать памятью.' (Ф. Джордж [3]).Какую полезную информацию может извлечь из своих наблюдений наш наблюдатель? Он не может соотнести зафиксированные им события с чем бы то ни было в недоступном его восприятию внешнем мире. Следовательно, наиболее простой (естественный) способ адекватно отображать изменения, происходящие в его собственном мире
, состоит в том, чтобы классифицировать события по одинаковым признакам и фиксировать изменения мощностей полученных классов. При этом изменение суммы всех состояний системы воспринимается наблюдателем как изменение времени постольку, поскольку количество моментов собственного времени системы не может быть больше или меньше количества всех ее событий. Изменение количества состояний каждого класса в отдельности можно интерпретировать как изменение соответствующей координаты в пространстве состояний системы. Одним из достоинств такого подхода к определению наблюдателя, с нашей точки зрения, является отсутствие необходимости изначально приписывать цепи событий какую-либо алгебраическую структуру. При этом время - пространственные отношения проявляются как следствия статистических закономерностей распределения состояний в цепи событий, а не оказываются заданными изначально. Важно также то, что понятие 'расстояние' вводится со ссылкой на способ его измерения путем счета количеств состояний системы.Согласно данному выше определению, будем отображать виртуальный мир ДС в евклидовом однородном и изотропном пространстве относительно абстрактной декартовой системы координат. Эта система координат может быть как-то соотнесена с реальными объектами в мире внешнего наблюдателя, однако, безусловно, является абстракцией для внутреннего наблюдателя ДС.
По определению, каждое событие системы характеризуется одним из
.
Поставим в соответствие цепи
(4.2)
Каждой цепи событий
(4.3)
где:
Наглядное представление о том
, как отображается состояние ДС на временной и пространственных осях дает рисунок 3. При таком способе отображения на координатных осях откладываются отрезки, пропорциональные изменениям количества состояний соответствующего признака (т.е. отображаются частоты появления состояний системы, не зависящие от того, как собственно состояния интерпретируются наблюдателем).
Умножив и разделив правую часть (4.3) на
(4.4)
Пусть
. (4.5)
Выберем в качестве базиса ортонормированную систему векторов. В этом случае модуль вектора
. (4.6)
Потребуем, чтобы система ограничений на движение ДС в собственном пространстве состояний была минимальной. Это означает, что направление и другие параметры движения не должны ограничиваться ничем кроме тождеств и неравенств цепи событий. Как видно из (4.5), при заданном базисе, движение всех подсистем ДС возможно только в положительном направлении его полуосей
Раскладывая приращение вектора состояния системы
. (4.7)
Раскладывая приращение вектора состояния системы по осям базиса
, (4.8)
где векторы
Следовательно, вероятности состояний
, (4.9)
где
Необходимым условием однородности и изотропности собственного виртуального пространства состояний динамической системы является ивариантность его метрики к линейным преобразованиям координат. Следовательно матрица
. (4.10)
Обозначим
. (4.11)
Учитывая, что
, (4.12)
запишем (4.11) в виде
(4.13)
В соответствии с первым неравенством цепи событий имеем:
, (4.14)
. (4.15)
Собственное виртуальное пространство - время общей ДС, также как и виртуальное пространство состояний, будем считать однородным и изотропным. Это означает инвариантность время - пространственного интервала
Инвариантность время - пространственного интервала (4.11) и наличие ограничений (4.14, 4.15) - необходимые и достаточные условия для построения преобразований Лоренца и специальной теории относительности для общей системы, рассматриваемой в ее собственном мире. Так как эта теория до сих пор базировалась на опытном материале, ее невозможно было бы применить к абстрактной системе, чьи состояния не имеют отношения к пространственным объектам в нашем мире. Здесь же эта теория выглядит как статистический итог исчисления внешним или внутренним наблюдателем состояний общей динамической системы.
4.2. РАЗМЕРНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ
Динамическая система 'наш мир' является системой очень большой размерности. Тем не менее, наше восприятие ограничено тремя измерениями. Этот эмпирический факт до сих пор не получил какого-либо теоретического обоснования. При рассмотрении общей динамической системы мы не можем, опираясь на него, постулировать размерность пространства состояний, так как состояния абстрактной динамической системы, в общем случае, не отображены в физическом пространстве нашего мира. Поэтому нам придется разработать математическую концепцию размерности пространства состояний общей системы, исходя из статистических закономерностей их распределения в цепи событий.
Рассмотрим пример классической (механической) системы в трехмерном пространстве нашего мира. Система состоит из подсистем - материальных точек. Каждая такая подсистема определяется заданием трех координат и трех импульсов в каждый момент времени. Для описания поведения всей системы, состоящей из
Теперь рассмотрим этот же пример в ином ракурсе. Пусть имеется
(4.16)
Если
. (4.17)
Для вывода второго ограничения запишем пространственно - временной интервал в виде
. (4.18)
Из инвариантности подынтегральной функции следует существование интеграла движения
, (4.19)
где:
Выразив производные от координат через вероятности в соответствии с (4.9), получим
. (4.20)
Это равенство накладывает второе ограничение на вероятности состояний
5. ПОЛЕ В СОБСТВЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Как известно, наиболее общая формулировка закона движения механических систем в нашем мире дается принципом наименьшего действия (или принципом Гамильтона). Этим же принципом руководствуются в физике при выводе законов взаимодействия частиц с полем и уравнений поля. С математической точки зрения принцип наименьшего действия является постулатом, сформулированным как эмпирическое обобщение большого числа наблюдений за поведением механических систем. В теории оптимального управления вариационные принципы базируются на идее существования целевого функционала, конкретный вид которого обусловлен целью задачи управления поведением системы. Эмпирическая основа, а также отсутствие видимой цели эволюции, не позволяют без должного обоснования использовать эти принципы для формулировки закона движения общей ДС в ее собственном мире. Тем не менее, для того чтобы иметь возможность использовать хорошо разработанный математический аппарат, желательно сформулировать подобный вариационный принцип применительно к рассматриваемым системам без ссылки на результаты наблюдений в нашем мире.
5.1. ПРИНЦИП НАИБОЛЕЕ ВЕРОЯТНОЙ ЦЕПИ СОБЫТИЙ.
Эволюцию общей ДС можно охарактеризовать каким-то законом. Для внешнего наблюдателя это закон распределения состояний в цепи событий наблюдаемой ДС. Каждый такой закон обусловлен действующими в отношении рассматриваемой системы ограничениями. Последние могут регламентировать сочетания различных признаков в цепи событий, или (и) соотношение их количеств. В первом случае имеется, как бы набор грамматических правил, согласно которым формируются объекты состояний подсистем ДС, что можно интерпретировать как их взаимодействие посредством сообщений. Ограничения второго типа, базирующиеся на тождествах и неравенствах цепи событий, рассмотрены в предыдущих разделах. Они позволяют представить ДС в виде ансамбля материальных точек в собственном трехмерном пространстве и во времени.
При заданных ограничениях на распределение состояний можно указать такое распределение, которому удовлетворяет наибольшее количество возможных цепей событий. Системы с таким распределением состояний встречаются чаще в процессе наблюдений за окружающим миром, иными словами, являются наиболее вероятными.
Следовательно, если мы хотим получить наиболее вероятные законы взаимодействия подсистем общей ДС, то должны руководствоваться при их выводе принципом наиболее вероятной цепи событий. Этот принцип универсален, как для систем, взаимодействующих посредством сообщений (ограничения первого типа), так и для ансамбля материальных точек (ограничения второго типа), взаимодействующих, как будет показано ниже, посредством силового поля в собственном пространстве ДС.
Ранее (раздел 3), при исследовании неравенств цепи событий, было установлено, что логарифмическим эквивалентом количества возможных реализаций отрезка
Варьируя ансамбль признаков в пределах, обусловленных ограничениями, можно добиться такого распределения состояний на отрезке цепи
Выразим теперь принцип наиболее вероятной цепи событий математически в таком виде, чтобы из него можно было вывести уравнения движения материальных точек в функции их распределения в собственном пространстве ДС. Устремляя количество состояний на конечном отрезке времени к бесконечности, получаем возможность, в предельном случае, рассматривать собственное пространство - время ДС как континуум. При этом уравнения
движения сводятся к дифференциальным уравнениям, а взаимодействие подсистем с системой можно рассматривать как взаимодействие частиц с силовым полем, распределенным в собственном пространстве ДС.Запишем в общем виде
(5.1)
Учитывая зависимость вероятностей состояний от координат и их производных, данную задачу следует рассматривать как общую задачу Лагранжа. Для ее решения необходимо найти безусловный экстремум от интеграла
, (5.2)
где
Задача
(5.2) может быть упрощена и сведена к известной в вариационном исчислении изопериметрической задаче [5] в тех случаях, когда систему ограничений удается свести к виду: (5.3)
В этом случае
. (5.4)
Учитывая двойственный характер экстремальных задач, замечаем, что максимуму функционала (5.4) соответствует минимум функционала
. (5.5)
В этом интеграле первый член можно рассматривать как действие для поля, а последующие члены, как действие
для частиц и их взаимодействия с полем системы.Следовательно, принцип наименьшего действия, представленный функционалом (5.5), можно рассматривать как частный случай принципа наиболее вероятной цепи событий.
5
.2. СИСТЕМА ОГРАНИЧЕНИЙВ предыдущих разделах рассматривалась система без учета ее взаимодействия с другими системами. Изоляция системы формально достигалась тем, что учитывались только ее собственные состояния. Математически это выражалось условием нормировки, которое для изолированной системы имеет вид (2.8). Рассматривая ДС как ансамбль взаимодействующих материальных точек необходимо учитывать состояния всех ее подсистем. При этом условие нормировки следует записывать в виде
, (5.6)
где:
Также добавляется условие нормировки для системы в целом
. (5.7)
Для того чтобы математические выражения для приращений координат и время - пространственного интервала записывались одинаково, как для взаимодействующих подсистем ДС, так и для изолированной системы перепишем их в виде
, (5.8)
. (5.9)
Запишем уравнения (4.9) в развернутом виде для
. (5.10)
Суммируя правые и левые части выражения (5.10), получим
, (5.11)
где:
.
(5.12)
Интегрируя правую и левую части равенства (5.11), получим первое ограничение в виде
. (5.13)
Второе ограничение на
k - тую подсистему уже было сформулировано выше . (5.14)
Условие нормировки (5.8) для системы в целом запишем в виде
. (5.15)
5.4. ДЕЙСТВИЕ ДЛЯ СОБСТВЕННОГО ПОЛЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ.
С учетом ограничений (5.13, 5.14,5.15) функционал действия (5.5) перепишем в виде
. (5.16)
При варьировании этого функционала по координатам первые два слагаемых можно не учитывать, так как в них под интегралами находятся полные дифференциалы функций координат и времени (калибровочная инвариантность). Получаемые при этом экстремали представляют собой ансамбль траекторий материальных точек в заданном поле системы.
Последнее слагаемое есть та часть действия
, (5.17)
где:
Так как
Сумма второго и третьего слагаемого в (5.16) по аналогии с теорией электромагнитного поля есть та часть действия
, (5.18)
где:
Так как в подынтегральном выражении при произвольном поле и движении частицы скалярное произведение
Итак, мы видим, что общая динамическая система может рассматриваться в собственном мире как ансамбль заряженных частиц, взаимодействующих с калибровочным полем, адекватным известному нам электромагнитному полю.
Сумма
. (5.19)
Варьируя действие по координатам, получим известные тензорные уравнения движения зарядов в электромагнитном поле
, (5.20)
где индексы
. (5.21)
Первое слагаемое в (5.16)
есть та часть действия, которая зависит только от свойств самого поля. Для того чтобы получить замкнутую систему уравнений эволюции общей динамической системы необходимо выразить скорость производства энтропии
а) функция Лагранжа в подынтегральном выражении есть положительно определенный скаляр;
б) она не может быть функцией потенциалов, так как те не определены однозначно;
в) поле подчиняется принципу суперпозиции.
Пункты а) и в) в теории поля постулируются на основании эмпирических обобщений.
Положительная определенность функции Лагранжа связывается с необходимостью
Пусть цепь событий
k - той подсистемы представляет собой объединение двух цепей событий соответствующих подсистем , (5.22)
тогда вероятность
k - той подсистемы равна сумме вероятностей составляющих подсистем . (5.23)
Векторный потенциал поля по определению (5.12) является линейной функцией вероятности.
Так как базис зависит только от выбора точки в пространстве, то векторный потенциал в точке
. (5.24)
Следовательно, векторный потенциал поля, создаваемого сложной подсистемой равен сумме (геометрической) векторных потенциалов составляющих подсистем.
Скалярный потенциал подчиняется принципу суперпозиции, так как он также линейно зависит от вероятности (первый член в формуле скалярного потенциала, нарушающий аддитивность из-за множителя
,
. (5.25)
Численное значение
Поскольку действие для общей ДС имеет точно такой же вид, как и действие для электромагнитного поля с находящимися в нем зарядами, то можно утверждать, что в собственном мире динамической системы имеют место все известные электромагнитные явления.
Все изложенное выше относится к виртуальному миру ДС. Реальный собственный мир динамической системы это мир, воспринимаемый наблюдателем, связанным с какой - то из ее подсистем.
Движение подсистем ДС, как это видно из уравнений (5.20), в общем случае не равномерно и не прямолинейно. Следовательно, преобразование, связывающее виртуальную и реальную системы отсчета, также не линейно. Переход к криволинейным координатам пространства - времени, согласно принципу эквивалентности, соответствует дополнительному взаимодействию подсистем ДС с каким - то гравитационным полем. При этом локальный базис в каждой точке пространства - времени обусловлен не только векторными потенциалами калибровочного поля (как в виртуальном мире), но и переменной метрикой (потенциалами гравитационного поля) реального пространства - времени, также определяемых из принципа наиболее вероятной цепи событий.
6. СУПЕРВИЗОРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Пусть имеется некоторая динамическая система, которую мы наблюдаем в виде временого ряда абстрактных, по отношению к нашему пространству, состояний. Понятно, что собственный мир этой системы не доступен нашему непосредственному наблюдению. Однако из изложенного выше следует возможность математически реконструировать образ собственного мира, наблюдаемой системы, по распределению состояний в ее временном ряду.
Представляет интерес также и обратная задача: математически реконструировать, недоступную непосредственному наблюдению извне, цепь событий нашего мира по распределению материальных точек в наблюдаемом пространстве.
Математическое преобразование распределения вероятностей цепи событий ДС в распределение координат объектов ее собственного мира будем называть
прямым супервизорным преобразованием образа собственного мира.Математическое преобразование распределения координат объектов собственного мира ДС в распределение вероятностей ее цепи событий будем называть обратным
супервизорным преобразованием образа собственного мира.В данной работе ограничимся выводом супервизорных преобразований виртуального мира. Для распространения полученных результатов на реальные собственные миры динамических систем необходимо перейти к криволинейным координатам пространства - времени, используя известный математический аппарат общей теории относительности.
Для вывода искомых преобразований сопоставим уравнения движения материальных точек с тождествами цепи событий.
Уравнения движения материальных точек (зарядов) в собственном поле системы, согласно установленной выше аналогии с электромагнитным полем, можно записать в трехмерном виде.
, (6.3)
где:
Обозначим
Раскрывая производную в левой и векторное произведение в правой части уравнения (6.3), получим
. (6.4)
В компактной записи это уравнение имеет вид
. (6.5)
Запишем тождества (2.14), выделив в системе материальную точку, и обозначим ее состояния и переходы индексами
. (6.6)
Обозначив
. (6.7)
Подставим в эти тождества вероятности
, (6.8)
где:
, (6.9)
(6.10)
С учетом ортогональности матрицы
. (6.11)
Матрицу в скобках представим в виде суммы антисимметрической
, (6.12)
где:
, (6.13)
. (6.14)
Из равенства левых частей уравнений (6.5) и (6.12) следует равенство их правых частей. Но так как (6.12) является тождеством, это равенство должно выполняться почленно. Приравнивая члены с одинаковыми показателями степени
, (6.15)
. (6.16)
Однако, не трудно доказать, что первое из этих уравнений распадается на два уравнения. Действительно, так как
Следовательно, имеем три базовых уравнения для вывода супервизорных преобразований
, (6.17)
, (6.18)
. (6.19)
Для того чтобы найти коэффициенты преобразования
(6.20)
где:
В развернутом виде эта система насчитывает шесть уравнений второго и три первого порядка - ровно столько, сколько необходимо для того, чтобы выразить девять коэффициентов
6.1. ПРЯМОЕ СУПЕРВИЗОРНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Предполагаем, что нам известна цепь событий динамической системы, распределение состояний которой требуется преобразовать в распределение координат и импульсов материальных точек в ее собственном мире. Это значит, что известны все плотности вероятностей переходов
Из матричных уравнений (6.17, 6.19) имеем систему шести нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных относительно потенциалов поля
Для того, чтобы найти значения массы и заряда материальной точки, воспользуемся ограничениями (5.13, 5.14, 5.15), переписав их в виде
, (6.21)
, (6.22)
. (6.23)
Решая эту систему уравнений при заданных граничных условиях, а также, учитывая
, (6.24)
найдем для каждого собственного вектора
Таким образом, одной минимальной подсистеме цепи событий соответствует три подпространства материальных точек, отличающихся массой, зарядом и импульсом.
Предполагаем, что нам известно поле в собственном пространстве динамической системы, а также значения массы, заряда и скорости материальной точки, для которой осуществляется преобразование. Требуется найти распределение состояний соответствующей подсистемы в цепи событий рассматриваемой системы. Граф переходов подсистемы 'материальная точка' в цепи событий показан на рисунке 3, где обозначено:
Так как распределение вероятностей состояний подсистемы описывается уравнением (6.7), то задача сводится к отысканию девяти переменных
(
)
, (6.25)
где
7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
Результаты проведенного исследования доказывают существование собственных миров динамических систем, аналогичных нашему миру. Исследованные аналогии пока исчерпываются некоторыми физическими законами, определяющими свойства пространства, времени и поля. Однако есть основания предполагать, что они простираются гораздо дальше. Так, например, из принципа наиболее вероятной цепи событий (максимум энтропии), при учете различных ограничений на вероятности состояний, можно вывести
[8] уравнения равновесной и неравновесной термодинамики, уравнения состояния вещества.Что же нам дает теория собственных миров динамических систем? С одной стороны, появляется возможность сравнительного анализа поведения внешне не имеющих ничего общего систем, а также математического исследования Кантовской 'вещи в себе'. С другой стороны, некоторые физические законы нашего мира, традиционно считавшиеся эмпирическими, получают объяснение как следствия линейной упорядоченности цепи событий общей динамической системы.
Но предлагаемая теория также порождает очень серьезную проблему в философии. Смысл ее состоит в том, что любая динамическая система, в том числе нематериальная с нашей точки зрения (например: абстрактный автомат, программа, мысль) обладает в собственном мире всеми атрибутами материи: веществом и полем. Здесь могут возразить, что 'действующая' во времени программа всегда предполагает некоторый материальный носитель. Однако, как следует из вышеизложенного, ни количественно, ни качественно материальность этого носителя не может быть соотнесена с материальностью собственного мира порождаемой им системы.
И в заключение рассмотрим с позиций изложенной теории одно из самых интригующих противоречий современной физики, состоящее в том, что эволюция замкнутой системы с точки зрения термодинамики необратима, притом, что ее поведение, как системы материальных точек, описывается обратимыми во времени уравнениями гамильтоновой динамики.
Запишем уравнения движения материальной точки в виде
. (7.1)
Преобразуем обратным супервизорным преобразованием распределение ее координат и скоростей в распределение вероятностей состояний в цепи событий общей динамической системы. Получим распределение трех вероятностей
Следовательно, на вопросы, поставленные И. Пригожиным [9]: 'можно ли вывести оператор энтропии в рамках динамического описания' и 'может ли марковский процесс появиться при обратимой во времени динамике', можно дать положительный ответ. Формальные основания для этого дает математический аппарат супервизорных преобразований.
Рассмотрим содержательный смысл проблемы микроскопической необратимости. С точки зрения динамического описания материальной точки, задание начальных условий полностью определяет ее траекторию. До сих пор априори считалось, что вся информация об эволюции подсистемы 'материальная точка'
, заключена в ее траектории (волновой функции). Поэтому движение материальной точки, как бы, не создавало новой информации, (энтропия оставалась неизменной). Отсюда следовал вывод об обратимости эволюции отдельно взятой подсистемы 'материальная точка'. На уровне микроописания динамическая система оказывалась инвариантной к 'стреле времени'.Согласно известной теореме Пуанкаре, в рамках гамильтоновой динамки не существует функции координат и импульсов, которая обладала бы свойствами функции Ляпунова. Этот вывод Пуанкаре, как доказал Б.Мисра [9], остается в силе при любом усреднении функций распределения в фазовом пространстве.
Новая точка зрения состоит в
том, что материальная точка, как динамический объект в пространстве, является лишь частным образом динамической подсистемы. Как было показано выше, ее траектория полностью определяется распределением количеств состояний в цепи событий. Но знание распределения количеств состояний не достаточно для детального восстановления порядка их следования. Следовательно, детерминированная траектория не означает детерминированной эволюции. Задание начальных условий предопределяет лишь количество возможных 'сообщений' - последовательностей состояний в цепи событий, но не сами последовательности. Эволюция подсистемы информационно богаче движения отображающей ее точки в пространстве. Эволюция материальной точки сопровождается производством информации для внешнего наблюдателя. Если извне не накладываются специальные ограничения на содержание сообщений в цепи событий, то в каждый момент времени невозможно предсказать следующее состояние. А значит, эволюция материальной точки необратима постольку, поскольку непредсказуемо содержание сообщения, заключенного в последовательности состояний цепи ее событий. Эта неопределенность возрастает с увеличением количества событий, т. е. с течением времени. Рассматривая замкнутую динамическую систему, как целое (т.е. учитывая все последовательности состояний в цепи событий), получаем в соответствии с (3.9, 5.16, 5.25) , (7.2)
где интегрирование производится по всему объему пространства.
Таким образом, калибровочное поле динамической системы эволюционирует необратимо. Здесь нет никакого противоречия с теоремой Пуанкаре - Мисры, поскольку итеграл (7.2) не зависит от координат и импульсов материальных точек. Повидимому, приращение энтропии следует рассматривать как сумму двух приращений
, (7.3)
где:
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
СОБСТВЕННЫЕ МИРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ.
А. Заславский.
АННОТАЦИЯ
Рассматривается общая динамическая система как цепь абстрактных событий. Вводится понятие собственного пространства - времени динамической системы, в котором расстояние измеряется количеством состояний, отделяющих одно событие от другого, а время - количеством событий. Разработан в общих чертах математический аппарат преобразований, позволяющих отображать распределение состояний цепи событий в распределение силового поля и материальных точек (и наоборот) в собственном пространстве - времени общей динамической системы.
INTRINSIC WORLDS OF DYNAMIC SYSTEMS
A. Zaslavsky
ANNOTATION
Dynamic system is treated as abstract chain of events. The concept of intrinsic space - time of dynamic system is introduced, where the distance is measured by the number of status separating one event from another, and time is measured by the number of events within a system. The system of mathematic transformation is designed in outline. These transformations make possible to map over the distribution of status of events chain in the distribution of field and material points (and on the contrary) within the intrinsic space - time of common dynamic system.