Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://astroschool.chat.ru/khalak.doc Дата изменения: Sat Jan 28 18:43:46 2012 Дата индексирования: Mon Oct 1 19:41:16 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http www.arcetri.astro.it

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ И ОБРАБОТКА АСТРОНОМИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Халак Василий



Научный руководитель: И.Л.Андронов,
доцент кафедры астрономии ОГУ

Одним из важнейших направлений астрономии в течение последнего времени
является обработка астрономических изображений, т.е. определение средней
освещенности в зависимости от координат изображения. Классический методом
является метод наименьших квадратов, позволяющий описывать данную
зависимость гладкой функцией, "гасящей" высокочастотные шумы, связанные с
погрешностью наблюдений.
Поскольку двумерное изображение, заданное в дискретных точках, можно
представить в виде наложения одномерных "разрезов", рассмотрим для начала
аппроксимацию функции z(x,у) по одной оси при фиксированном y:
z*(x) = a0 + a1 cos (x + a2 cos2(x + ... ak cosk(x + (1)
+ b1 sin (x + b2 sin2(x + ... bk sink(x
Поскольку значения z(x) заданы в дискретных точках xj=lj/n, где
n - число точек, а l - масштабный коэффициент, значения неизвестных
a0,...,ak,b1,...,bk, согласно методу наименьших квадратов равны (для
(=2(/n):
[pic]
[pic] (2)
[pic]
Соотношения 2 справедливы для всех m=1,...,k((n-1)/2 при нечетных значениях
n. При четных n, bk=0, а ak следует разделить пополам по сравнению с
формулой (2).
Нами была исследована зависимость формы сглаженной кривой (1) от числа
гармоник k.Вычисления проводились первоначально на калькуляторе, а затем
была составлена программа на языке GW-Basic для ПЭВМ. В качестве примера мы
задавали значения z(xj)=zj, равные
zj = A exp(-j-B)2/C ) + D RNDj (3)
и варьировали значения коэффициентов A,B,C,D. Здесь RNDj - случайное число.
Также строились зависимости [pic] и [pic] от величины k.
[pic]

На рисунке I показан график пробной функции
z(x)= 100*exp(-(x-8)2/18) + 60* exp(-(x-20)2/32)
(линия I), ее значения в точках xj=j, искаженные добавкой 10*RND
(кружки), аппроксимации по формуле (1) для k=4 (сглаживающая линия 2) и
k=16 (интерполирующая линия 3). Как видно из рисунка, значение k=4
достаточно для построения гладкой кривой, с хорошей точностью описывающей
сумму двух экспонент. Небольшое систематическое отличие для 19 "истинной кривой" I связано со случайным "выпадением вниз" четырех точек
подряд. В качестве генератора случайных чисел использовалась
последовательность команд на языке бейсик, вызывающих встроенный генератор
случайных чисел RND:
S=0: FOR K=1 ТО 6: A=RND: S=S+RND-RND: NEXT K
При каждом вызове значение RND меняется в интервале от 0 до 1, а сумма S
близка к нормально распределенной случайной величине c нулевым средним и
единичной дисперсией.
На рис.2 показаны зависимости относительной амплитуды
[pic], параметров [pic] и
F(k)/F(0). Как видно из рисунка, при k>4 значение последнего параметра
меняется незначительно, образует "плато", поэтому гармониками с k>4 можно
пренебречь, как отражающими высокочастотные шумы. Это же видно и по резкому
уменьшению амплитуд rk.

ОБЛАСТНАЯ СТАНЦИЯ ЮНЫХ ТЕХНИКОВ им.АКАДЕМИИ НАУК УКРАИНЫ

ОБЛАСТНОЙ ИНСТИТУТ УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ УЧИТЕЛЕЙ, ПЕРВЫЕ ШАГИ,

Выпуск V, Одесса, 1992г. Подписано к печати 18.06.92г. Формат 60х94 1/16