В настоящее время существует большое количество способов записи и обработки получаемой в когерентном свете оптической информации о структуре того или иного физического объекта. Cамый распространенный из них состоит в получении с помощью оптической системы изображения интересующего объекта, его регистрации с использованием возможностей фото- и видеотехники и в последующей апостериорной обработке изображения. Другой способ, также получивший широкое распространение, основан на получении голограммы объекта. Этот способ, в отличие от первого, позволяет регистрировать информацию не только о распределении интенсивности света, отраженного или излучаемого объектом, но и о распределении фазы световых колебаний. Последнее обстоятельство создает дополнительные возможности по корректировке характеристик изображения. Однако свойства когерентных оптических систем , даже состоящих из традиционных оптических элементов (линзы, зеркала, киноформы, диафрагмы, маски и т.д.), не сводятся только к способности формировать оптические изображения. В ряде случаев их можно рассматривать как некие оптические процессоры, осуществляющие определенные математические преобразования, например, фурье-преобразования, по отношению к двумерной функции, определяющей распределение комплексной амплитуды на входе системы. Несмотря на кажущееся различие указанных вариантов использования оптических систем, их теоретическое описание имеет много общего.

В связи с этим изложение материала данной главы начнем с построения общей теории оптических систем.

В самом общем виде функциональная схема записи и обработки оптической информации приведена на рис. 3.1.1. Плоская монохроматическая волна 1 освещает объект 2, который размещают во входной (предметной) плоскости системы 3. Излучение, прошедшее объект или отраженное от него, попадает во входное отверстие (входной зрачок) 7 оптической системы 4. Пройдя элементы оптической системы, излучение выходит из выходного отверстия (выходного зрачка) 8 и формирует в выходной плоскости (плоскости изображений) 5 изображение объекта. Вблизи плоскости изображений располагается светочувствительный элемент 6 регистрирующей системы (фотопластина, матрица фотоприемников и т.д.)

В тех случаях, когда оптическая система играет роль оптического процессора, у входной плоскости системы вместо объекта 2 располагается преобразователь входных сигналов. Он, пространственно модулируя падающую на него световую волну, преобразует информацию, поступающую от некоторого источника во входной оптический сигнал. В одном случае преобразователь может представлять собой слайд, на котором информация записана в виде изменяющего коэффициента пропускания. В другом случае в качестве преобразователя может использоваться слой жидкости, рельеф поверхности которой изменяется под действием ультразвуковых волн или электронного пучка.

Рис. 3.1.1. Схема оптической обработки информации. 1-плоская монохроматическая волна; 2-объект; 3-входная (предметная) плоскость; 4-оптическая система; 5-выходная плоскость (плоскость изображения); 6-светочувствительный элемент; 7-входное отверстие (входной зрачок); 8-выходное отверстие (выходной зрачок).

, (3.1.1)

где  - некий линейный оператор. Линейность преобразования означает, что выходной сигнал от суммы входных сигналов равен сумме выходных сигналов от каждого входного сигнала в отдельности.

Используя свойство d -функции Дирака, можно представить функцию  в виде

(3.1.2)

Подставляя (3.1.2) в (3.1.1) и учитывая линейность оператора , можно записать

(3.1.3)

Таким образом, выходной сигнал  может быть представлен в виде суммы (интеграла) элементарных откликов  с весовыми коэффициентами . Поскольку d - функция  моделирует узкий и высокий "импульс" в точке  (точечный источник света), функцию

(3.1.4)

называют импульсным откликом системы. Учитывая последнее обозначение, выражению (3.1.3) придаем вид

. (3.1.5)

Импульсный отклик  называют также переходной функцией данной оптической системы, а выражение (3.1.5) получило название "интеграл суперпозиции".

Качество оптических систем во многом определяется тем, в какой степени им присуще свойство изопланарности. Под изопланарностью понимают инвариантность к пространственным смещениям, обеспечивающую выполнение соотношения

(3.1.6)

Форма выходного сигнала в изопланарной системе, тем самым, не зависит от пространственных смещений входного сигнала. Хотя реальные оптические системы редко бывают изопланарными по всей плоскости входного сигнала (изопланарность имеет место лишь на отдельных участках), все рассматриваемые системы мы в дальнейшем будем считать изопланарными. Это допущение позволяет нам представить переходную функцию системы  в более простом виде, считая ее зависящей от разности значений соответствующих координат

(3.1.7)

Интеграл суперпозиции (3.1.5) при этом принимает вид интеграла свертки

(3.1.8)

Применим к левой и правой части соотношения (3.1.8) преобразование Фурье

(3.1.9)

Из теоремы свертки следует, что

(3.1.10)

поэтому выражение (3.1.9) может быть представлено в виде

(3.1.11)

Введем следующие обозначения:

(3.1.12)

Функцию  принято называть передаточной функцией системы.

Перепишем выражение (3.1.11) с учетом обозначений (3.1.12)

(3.1.13)

Из последнего соотношения видно, что спектр пространственных частот выходного сигнала равен произведению спектра частот входного сигнала и передаточной функции. Выражение (3.1.13), как мы убедимся ниже, играет фундаментальную роль в теории систем записи и обработки оптической информации. Теоретический анализ мы начнем с простейшей оптической системы, состоящей всего лишь из одной линзы.

Как уже ранее отмечалось, линза является элементом, осуществляющим квадратичную фазовую модуляцию. Это означает, что распределение поля падающей на линзу волны Y x (x ,h ) будет связано с распределением поля световых колебаний за линзой Y 'x (x ,h ) соотношением

(3.2.1),

где так называемая модуляционная характеристика линзы Т(x , h ) равна
 

Рис. 3.2.1. Однолинзовая система.

(3.2.2)

где

(3.2.3)

Рассчитаем теперь переходную функцию однолинзовой системы. Для простоты будем считать, что апертура линзы существенно превосходит апертуру падающего на него светового пучка. Возьмем за основу формулу (1.2.40) гл. 1, исключив из нее легко учитываемый постоянный фазовый множитель -iexp(ikz). В соответствии с этой формулой входной сигнал y (х,у) после прохождения расстояния d₀ преобразуется в сигнал

(3.2.4).

Согласно (3.2.1 - 3.2.3), сразу за линзой сигнал принимает вид

(3.2.5).

Еще раз воспользовавшись формулой (1.2.40), получаем выражение для сигнала в выходной плоскости (после прохождения на расстоянии d1)

(3.2.6).

Используя выражения (3.2.4-3.2.6), запишем теперь в явном виде связь между входным y (х,у) и выходным y (х',у') сигналами

(3.2.7).

Отсюда видно, что переходная функция однолинзовой системы равна

 (3.2.8)

Положим d0=d1=F. В этом случае (3.2.8) принимает вид

(3.2.9)

Используя далее соотношение

(3.2.10)

и, полагая , получаем для переходной функции простое выражение

(3.2.11)

Если теперь ввести обозначения

(3.2.12)

то интеграл суперпозиции (3.2.7) можно привести к виду

(3.2.13)

Отсюда видно, что при выполнении условия d0=d1=F линза выполняет Фурье-преобразование сигнала: ее задняя фокальная плоскость является спектральной плоскостью входного сигнала. Таким образом, линза может предельно просто выполнять математическую операцию, представляющую трудность даже для сложных электронных устройств.

Заметим, что спектр с точностью до легко учитываемого фазового множителя будет формироваться в фокальной плоскости даже в том случае, когда d0>F. При этом условии выражение (3.2.7) приводится к виду (промежуточные выкладки мы опускаем)

(3.2.14)

Фазовый множитель

, (3.2.15)

не зависящий от вида входного сигнала, легко учитывается при последующей обработке.

Предположим, что плоский предмет, находящийся на расстоянии d0 перед положительной линзой, освещен монохроматическим светом. Обозначим комплексное поле непосредственно за предметом через y (x,y) Распределение поля, которое возникает на расстоянии d1 за линзой, обозначим через y '(x',y'). Наша задача - определить условия, при которых распределение поля y ' можно с уверенностью назвать "изображением" распределения поля в плоскости предмета y .

Ввиду линейности явления распространения волн поле y ' можно представить в виде интеграла суперпозиции (3.1.5). Тем самым свойства системы, создающей изображение, будут полностью описаны с помощью импульсного отклика h (см. (3.2.8)).

Чтобы оптическая система давала высококачественное изображение, поле y ' должно как можно меньше отличаться от y . Это означает, что импульсный отклик должен приближенно походить на d -функцию, т.е.

  (3.2.16)

где K - комплексная постоянная, М - увеличение системы, а знак плюс или минус учитывает возможность как прямого, так и обратного изображения. Поэтому "плоскостью изображения" мы будем называть ту плоскость, где (3.2.16) выполняется лучше всего.

Преобразуем (3.2.8) к виду

(3.2.17)

Соотношения (3.2.17) играет важную роль при определении зависимости между y и y '. Однако без дальнейших упрощений трудно определить условия, при которых распределение y ' можно с уверенностью назвать изображением распределения y .

Самые неприятные члены в приведенном выше выражении для импульсного отклика - это члены, содержащие квадратичные фазовые множители. Заметим, что два из них:

(3.2.18)

не зависят от координат линзы (x , h ). Эти члены определяют фазовое искривление в плоскостях (x',y') и (x,y). Если бы мы решили рассматривать формирование изображения между двумя сферическими поверхностями, а не между двумя плоскостями, эти члены можно было бы исключить. Однако можно показать, что и в случае формирования изображения между двумя плоскостями оба эти члена несущественны.

Опуская множитель , заметим, что в подавляющем большинстве представляющих интерес случаев конечной целью задачи формирования изображения является получение некоторого распределения света, которое будет воспринято детектором, реагирующим только на интенсивность (например, фотопленкой). Так как рассматриваемый член изменяет только распределение фазы, он никак не будет влиять на результаты измерения интенсивности и, следовательно, может быть опущен.

К сожалению, от фазового множителя  не удается освободиться столь же просто, поскольку он зависит от переменных интегрирования (x,y) интеграла суперпозиции. Однако в большинстве случаев, представляющих интерес, от него тоже можно избавиться. Если система, создающая изображение, ведет себя приблизительно так же, как идеальная система, для которой справедливо соотношение (3.2.16), то амплитуда волны в точке с координатами (x',y') будет определяться вкладом только очень малой области в пространстве предмета с центром в точке, соответствующей идеальному геометрическому изображению (рис. 3.2.2).
 

Рис. 3.2.2. Область R, в которой функция h для точки с координатами (x',y') имеет значительную величину.

Если внутри этой малой области аргумент  изменяется не более чем на долю радиана, то можно использовать приближение

(3.2.19)

Теперь экспоненциальный член можно опустить, так как он не зависит от (x, y) и следовательно, не влияет на результат измерения интенсивности в плоскости (x',y').

Воспользовавшись приведенными соображениями, перепишем выражение для импульсного отклика в виде

(3.2.20)

Чтобы получить совсем простой результат, рассмотрим случай, когда плоскость наблюдения расположена на таком расстоянии d1 от линзы, что удовлетворяется соотношением

. (3.2.21)

Это соотношение известно из геометрической оптики, где оно называется формулой линзы. Соотношение (3.2.21) определяет расположенную за линзой точку, в которой пересекаются лучи, исходящие из одной точки предмета (точка изображения). В приближении геометрической оптики выполнение формулы линзы означает, что импульсный отклик системы достаточно близок к идеальному. Предположение о выполнении формулы линзы позволяет свести импульсный отклик к виду

(3.2.22)

Определяя увеличение системы как

(3.2.23)

находим последний упрощенный вид импульсного отклика

(3.2.24)

Таким образом, если формула линзы справедлива, то импульсный отклик соответствует картине дифракции Фраунгофера на апертуре линзы, причем центр картины находится в точке изображения .

Перейдем теперь к анализу соотношения между предметом и изображением. Рассмотрим сначала свойства изображения, предсказываемые геометрической оптикой. Чтобы найти это идеальное изображение, допустим, что длина волны стремится к нулю. В этом случае дифракционные эффекты становятся несущественными. Производя замену переменных

(3.2.25)

выражение для импульсного отклика (3.2.24) можно переписать в виде

(3.2.26)

Так как  стремится к нулю, область значений (), где функция зрачка Р равна единице, будет безгранично увеличиваться, что дает возможность заменить Р единицей, оставив те же пределы интегрирования. Таким образом,

(3.2.27)

Представляя этот результат в интеграл суперпозиции (3.2.16), получаем соотношение, связывающее распределения амплитуды в точках предмета и в точках изображения

(3.2.28)

Отсюда следует, что изображение, получаемое в приближении геометрической оптики, представляет собой точную копию изображения.

Выводы геометрической оптики, конечно, приближенны. Более точное представление о соотношении между предметом и изображением можно получить только при учете дифракционных эффектов. Чтобы найти такое соотношение, вернемся к выражению (3.2.26) для импульсного отклика и произведем следующую дополнительную замену переменных:

(3.2.29)

Импульсный отклик в этом случае будет равен

(3.2.30)

Заметим, что h теперь пространственно-инвариантная величина, зависящая только от разности координат . С введением еще одного определения

(3.2.31)

распределение поля в плоскости изображения принимает вид

(3.2.32)

В этом выражении мы узнаем свертку импульсного отклика  и идеального изображения. Для удобства определим новую функцию

(3.2.33)

Свертку (3.2.32) тогда можно переписать в упрощенном виде:

 (3.2.34)

где

(3.2.35)

Соотношения (3.2.34) и (3.2.35) представляют собой конечный результат настоящего анализа. Они показывают, что при учете дифракционных эффектов изображение нельзя больше считать точной копией предмета. Полученное изображение дает несколько сглаженный облик предмета, что является следствием неравенства нулю ширины импульсного отклика . Это сглаживание может привести к значительному ослаблению мелких деталей предмета и соответственно к потере точности воспроизведения изображения. Точно такое же явление можно наблюдать в случае, когда электрический сигнал проходит через линейную электрическую схему. Если длительность импульсного отклика схемы велика по сравнению с "временем пульсаций" входного сигнала, то схема будет сглаживать входной сигнал. Таким образом, быстрые изменения входного сигнала не будут воспроизводиться на выходе.

При рассмотрении свойств системы линз будем считать, что все элементы, создающие изображение, помещены в один "черный" ящик" и что основные свойства системы можно полностью описать, определяя только конечные свойства этого устройства.

Согласно рис. 3.1.1, входом этого черного ящика служит входной зрачок, представляющий собой отверстие конечных размеров (эффективнное или действительное), через которое должен проходить свет прежде, чем он достигнет элементов, создающих изображение, а выходом - выходной зрачок (также эффективный или действительный), представляющий собой отверстие конечных размеров, через которое свет проходит после создающих изображение элементов на пути к плоскости изображения. Обычно считают, что путь света между входной и выходной плоскостями может быть достаточно полно описан в приближениях геометрической оптики. Таким образам, конечный размер обоих зрачков можно найти, строя по законам геометрической оптики проекцию наименьшей апертуры системы соответственно в пространстве предметов и пространстве изображений. Поскольку размеры получающихся зрачков определяются размерами изображенния эффективного отверстия, существующего где-то внутри системы, они могут быть меньше действительных физических размеров отверстий в входной и выходной плоскостях. Заметим, что при таком определении входной зрачок всегда является изображением выходнного зрачка и наоборот.

Оптическая система называется дифракционно ограниченной, если она преобразует расходящуюся сферическую волну, исходящую из любого точечного источника, в новую идеальную сферическую волну, которая сходится в точке, лежащей в плоскости изображения. Таким образом, конечное свойство дифракционно ограниченной системы линз заключается в том, что она преобразует расходящуюся сферическую волну, падающую на входной зрачок, в сходящуюся сферическую волну, выходящую через выходной зрачок. Для любой реальной оптической системы это свойство выполняется в лучшем случае только для конечной области в плоскости предмета. Если рассматриваемый предмет не выходит за пределы этой области, систему можно отнести к дифракционно ограниченной. Если в действительности фронт волны от точечного источника после выходного зрачка значительно отличается от идеальной сферической формы, то говорят, что оптическая система имеет аберрации.

Геометрическая оптика с достаточной точностью описывает прохождение света от входного зрачка к выходному, поэтому дифракционные эффекты играют заметную роль только на пути света от предмета к входному зрачку и от выходного зрачка к изображению. Действительно, все ограничения, налагаемые дифракцией, можно связать с любым из этих двух участков пути распространения света. Утверждения о том, что разрешение изображения ограничивается входным зрачком конечных размеров или выходным зрачком конечных размеров, полностью эквивалентны. Основная причина эквивалентности заключается в том, что один зрачок представляет собой просто изображение другого.

Представление о том, что обсуждаемые дифракционные эффекты обусловлены входным зрачком конечных размеров, было впервые введено Эрнстом Аббе в 1873г. Согласно теории Аббе, только определенная часть дифракционных максимумов, созданных сложным предметом, пропускается входным зрачком конечных размеров. Не пропускаются зрачком те максимумы, которые соответствуют высокочастотным составляющим предмета. Это положение иллюстрирует рис. 3.3.1, где предметом служит простая решетка, а оптическая система состоит из одной положительной линзы.
 

Рис. 3.3.1. Формирование изображения по Аббе.

В 1896 г. Релей высказал другую, фактически эквивалентную точку зрения, в соответствии с которой дифракционные эффекты обусловлены выходным зрачком конечных размеров. Тем самым, на сложные оптические системы могут быть перенесены соотношения (3.2.34) и (3.2.35), полученные для однолинзовой системы, путем замены апертурной функции линзы Р на апертурную функцию выходного зрачка системы. К сложным системам, формирующим изображение непосредственно применимо понятие передаточной функции.

Передаточная функция Н определяется как фурье-образ переходной функции , которая в свою очередь определяется преобразованием Фурье от фукции выходного зрачка (переходная функция будет выражаться формулой (3.2.35) в предположении,что функция P относится к выходному зрачку)

Таким образом, мы приходим к выводу, что для дифракционно ограниченной системы

(3.3.1)

Это крайне важное соотношение, так как оно дает информацию относительно поведения дифракционно ограниченных когерентных систем в частотной области. Так как функция зрачка Р всегда равна или единице или нулю, то же самое справедливо и для передаточной функции. Это, естественно, означает, что в частотной области дифракционно ограниченная система имеет конечную полосу пропускания, внутри которой все частотные составляющие пропускаются без искажения амплитуды и фазы. На границе этой полосы пропускания частотный отклик сразу падает до нуля, в силу чего частотные составляющие вне полосы пропускания полностью подавляются.

Поскольку функция зрачка системы играет принципиальную роль в формировании структуры изображения, возникает вопрос о возможности подбора такого амплитудного пропускания зрачка системы, при котором ослабляются боковые лепестки дифракционной картины резко очерченной диафрагмы. Появление боковых лепестков в дифракционной картине аналогично эффекту оптических выбросов или эффекту Гиббса. Как известно, эффект Гиббса полностью исчезает, если от зрачка, амплитудное пропускание которого описывается прямоугольным импульсом, перейти к зрачку, описываемому треугольным импульсом. Наиболее подходящей формой зрачка является такая, амплитудное пропускание которой описывается функцией Гаусса. Действительно, в этом случае картина дифракции далекого поля описывается фурье- образом зрачка, а фурье-образ функции Гаусса равен функции Гаусса. Боковые лепестки при этом полностью исчезают. Процесс аподизац