Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/labs/csl/ZDN_Studentam_2013_mexmat/076_Otrbin_prt.pdf Дата изменения: Tue Jun 2 15:48:03 2015 Дата индексирования: Sun Apr 10 01:49:23 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 63

Slides \ 076_Otrbin.tex

Отрицательно биномиальное распределение.
1. Обозначение семейства распределений.
N BI N
(1)

2. Параметрическое пространство.
= { = (, )T , > 0, 0 < < 1}
(2)

3. Обозначение и область значений случайной величины.
N B I N (, ) N0 .
(3)

4. Функция распределения и плотность распределения. 4.1. Функция распределения и связанные с ней характеристики.
L(N B I N (, )) = N B I N (r; , ), r N0 ,
r

(4) (5)

N BI N (r; , ) =
j =0

nbin(j ; , ), r 0, r - целое.

4.1.1. Если обозначить


N B I N (r; , ) = 1 - N B I N (r; , ) =
j =r+1

nbin(j, , ),

(6)

то получим представление функции надежности N B I N распределений через функции распределения семейства бета-распределений и функции надежности биномиального семейства распределений:

N BI N (r - 1; , ) = B E T A(1 - ; r, ) = = 1 - B I N (r - 1; + r - 1, 1 - ).

(7)

4.1.2.
N BI N = (r; , ) = B E T A( ; , r + 1)
(8)

4.1.3. Аппроксимации для функции отрицательно биномиального распределения проводятся
на основе существующей связи между семействами распределений N B I N , B I N и BE T A (см. 4.1.1, 4.1.2, а также справочник [1]).

4.2. Плотность распределения и связанные с ней характеристики.
L (N B I N (, )) = nbin(r; , ),
где (9)

nbin(r; , ) =
Если целое, то

( + r) (1 - )r , ( )r!
r +r-1

r = 0, 1, 2 . . . .

(10)

nbin(r; , ) = C
т.е.

(1 - )r ,

r = 0, 1, 2, . . . .

(11)

1


4.2.1. Рекуррентное соотношение.
nbin(r + 1; ; ) ( + r) = (1 - ), nbin(r; , ) (r + 1) r = 0, 1, . . .
(12)

используется для последовательного вычисления вероятностей nbin(r; , ) .

4.2.2. Модальное значение.
r = ( - 1) ( - 1) 0,
1- 1- (1- )-1

,

если ( - 1)

1-

не целое число
1-

mod

две моды, если( - 1) если
1- 1 < .

- целое число

(13)

4.2.3. При фиксированных r и
nbin(r; , ) ;
при фиксированных r и (14)

nbin(r; , ) .

(15)

5. Интерпретация и области применения.
Это распределение иногда называют еще распределением Пойа. Если целое, то семейство распределений N B I N известно также под названием семейства распределений Паскаля. В этом случае величина + N B I N (, ) интерпретируется как число испытаний Бернулли с вероятностью успеха в отдельном испытании равном до появления -го успеха, или N B I N (, ) число осуществления неудач до появления -го успеха. Если = 1 , то имеем дело с семейством геометрических распределений. В страховой сфере (и в частности, в автостраховании) семейство N B I N используется для моделирования числа страховых случаев.

6. Стохастические представления и тождества. 6.1. Если N B I N (1 , ) и N B I N (2 , ) независимы, то
N B I N (1 , ) + N B I N (2 , ) = N B I N (1 + 2 , ).
d

(16)

6.1.1. Если целое положительное число, а Z1 , . . . Z н.о.р. случайные величины,
Z1 = GE OM ( ),
то
d

(17)

N B I N (, ) =
i=1

d

Z

i

(18)

6.2. Модель смешанного распределения. Пусть и случайные величины,
/ = P OI S (t), = G(, ).
Тогда
d d d

(19) (20)

= N B I N (, ),
где

(21)

= , =
2

(22) (23)

1 . 1 + t


6.3. Модель составного распределения. Пусть y1 , . . . , y н.о.р. случайные величины,
y1 = LOG( ),
независящие от случайной величины , где
d

0 < < 1,

(24)

= P OI S ().
Тогда


(25)

y1 = N B I N
i=1

d

-

,1 - . ln(1 - )

(26)

6.4. Если , то
N B I N (, ) -
1- 2 1-

= N (0, 1) + 0d (1)

d

(27)

6.5. Если ,

1-

0, а

1-

< , то
(28)

N B I N (, ) = P OI S () + 0p (1).

7. Характеристические преобразования распределений. 7.1. Характеристическая функция.
(t) = 1 - (1 - ) exp{it}


.

(29)

7.2. Производящая функция моментов.
ч(t) = 1 - (1 - )e
t

,

t < ln

1 . 1-

(30)

7.3. Производящая функция.
g (t) = 1 - (1 - )z


,

|z | <

1 . 1-

(31)

7.4. Преобразование Лапласа.
(t) = 1 - (1 - )e-
t

,

t 0.

(32)

7.5. Другие характеристические преобразования.

7.5.1. Производящая функция семиинвариантов.
k (t) = ln - ln(1 - (1 - ) exp t).
(33)

3


8. Моментные характеристики случайной величины.
Моментные характеристики отрицательно биномиального распределения легко получить из соответствующих характеристик биномиального распределения, осуществляя подстановку

n = - 1 = 1- .

(34)

8.1. Начальные моменты.
a1 = a2 = a3 = a4 = + 1- , (1 - 2 (1 - 3 (1 - 4 (1 + 4
(35)

) ) )

{1 + (1 - )}, {1 + (1 + 3 )(1 - ) + 2 (1 - )2 }, {1 + (4 + 7 )(1 - ) +

(36) (37) (38)

+ 6 2 )(1 - )2 + 3 (1 - )3 }.

8.2. Центральные моменты.
m m m
2

= = =

(1 - ) , 2 (1 - ) (2 - ), 3 (1 - ) {1 + (4 + 3 )(1 - ) + (1 - )2 }. 4

(39) (40) (41)

3

4

8.3. Факториальные моменты.
f f f f
1

= = = =



1- , 1-
2

(42)

2

( + 1)

, 1-
3

(43)

3

( + 1)( + 2)

.
4

(44)

1- 4 ... ... .............................. ( + 1)( + 2)( + 3) 1-

,

(45)

k

f

k

=

( + 1) ћ ћ ћ ( + k - 1)

,

k = 1, 2 . . . .

(46)

4


8.4. Семиинварианты.
k k k k k
1

= = = = =

2

3

4

r+1( ,0)

1- , (1 - ) , 2 (1 - ) (2 - 3 (1 - ) {1 + 4 kr (, (1 - ) (1 -

(47) (48)

), 4(1 - ) + (1 - )2 }, ) . )

(49) (50) (51)

8.5. Коэффициент вариации.
0 = (1 - ).
(52)

8.6. Коэффициент ассиметрии.
1 = 2- (1 - ) .
(53)

8.7. Коэффициент эксцесса.
2 = 2 + 6(1 - ) . (1 - )
(54)

8.8. Другие моментные характеристики. 8.8.1. Среднее уклонение.
b1 = E |N B I N (, ) - E N B I N (, )| =
где m =
(1- ) 1

2m( + m - 1)! -1 (1 - )m , m!( - 1)!

(55)

+ 1 = [a1 + 1]. m2 1 =. a1

8.8.2. Индекс рассеяния.
2 =
(56)

9. Информационные функции. 9.1. Информационная функция Фишера. 9.1.1. Пусть известная величина, т.е. единственным неизвестным параметром является
. Тогда I 0 ( ) = . 2 (1 - )
(57)

9.1.2. Если оба параметра и , и не известны, тогда I 0 ( , ) имеет весьма сложный вид 10. Аналитические свойства распределений. 10.1. Семейство N BI N является безгранично делимым, поскольку для любого n , n = 1, 2, . . . ,
t; N B I N , n
5
n

= (t; N B I N (, )).

(58)


10.2. О связи "хвостов"распределения отрицательно-биномиальных и биномиальных распределений для целых

P{N B I N (, ) m} = P{B I N (m + - 1, ) m}.

(59)

10.2.1.
+m-1

P{N B I N (, ) m} =
k =m

b(k ; + m - 1, ) =
m-1

(60)

( + m - 1)! = ( - 1)!(m - 1)!
0

v

(1 - v ) -1 v .

10.3. Семейство N BI N имеет убывающую интенсивность отказа при < 1 , возрастающую
при > 1 и постоянную (свойство отсутствия памяти) при = 1 , т.е. при геометрическом распределении.

10.4. Если N B I N (1 , ) и N B I N (2 , ) независимы, то
N B I N (1 , ) + N B I N (2 , ) = N B I N (1 + 2 , ).
d

(61)

10.5. Пусть , 1 ,
Тогда

1- r

. N B I N (, ) = P OI S () + 0d (1).
d

(62)

10.6. Пусть 1 , = const .
Тогда N B I N (, ) = 0d (1).
d

10.7. Нормализующие преобразования.
Принимая обозначения S h и S h синуса получим:
-1

для прямой и обратной функций гиперболического

10.7.1. При (см. [1])
sh
-1

N B I N (, ) d = N (0, 1) + 0d (1).

(63)

10.7.2. Преобразование Anscomb (1948).
- 0.5sh
-1

N B I N (, ) + 3/8 d = N (0, 1) + 0d (1). - 3/4

(64)

11. Моделирование случайной величины. 12. Статистические выводы. 12.1. Достаточные статистики. 12.1.1. Параметр известная величина.
Пусть y = (y1 , . . . , yn ) , yi N , yi н.о.р. случайные величины, i = 1, n ,

y1 = N B I N (, ).
Тогда S =
n i=1

d

(65)

yi полная достаточная статистика, S = N B I N (n, ).
6
d

(66)


12.1.2. Оба параметра не известны. Достаточной статистикой является вариационный ряд (y(1) , . . . y
(n)

).

12.2. Точечное оценивание. 12.2.1. Параметр известная величина.
ОМП имеет вид

n =
а

n , S + n

(67)

n = ^0

n - 1 S + n - 1

(68)

несмещенная оценка с минимальной дисперсией. Смещением ОМП является

b( ) = E {n - n } = E ^0

S (S + n )(S + n - 1)

> 0.

(69)

Список литературы
[1] Джонсон Н.Л., Коц С., Кемп А. Одномерные дискретные распределения. БИНОМ, Лаборатория знаний, М., 2010.

7