Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/department/probab/staff/stumat1/turtail.pdf Дата изменения: Wed Mar 20 18:37:02 2002 Дата индексирования: Sun Apr 10 02:44:36 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: собственное движение

Примеры статистического анализа финансовых данных
HFI ВведениеX что такое финансовые данныеc

ВероятностноEстатистические методыD по своему историческому происхождениюD E это определенная группа методов математической физикиF ВпрочемD и при самом их возE никновении совершались попытки применения в областях гораздо более широкихD чем фундаментальная или прикладная физикаF СтрахованиеD демографию и даже вероятносE ти судебных приговоров можно найти в старинных трактатах по теории вероятностейF Но в последние несколько десятилетий больший научный интерес и лучшую зарплату обещают приложения к экономикеD чем к классическим областям физики или техникиF Поэтому многие специалистыD учившиеся и работавшие как математики или физикиD переключаются на работу в области экономикиD в частностиD на финансыF Интересно представить себе реальные возможности применения мышления в стиле математической физики в этих вещахF ПоEрусскиD ?финансы? и ?деньги? E почти синонимыF Небольшое размышление поE казываетD что мы на самом деле плохо знаемD что такое деньгиF Еще сто лет назад в ходу были золотые монеты @вроде бы как основа денежной системыAD но они дополняE лись ассигнациямиF Специалисты по денежному обращению заметилиD что государствоD в сущностиD не имеет способа ограничить массу денегD обращающихся в странеD потому что при ограниченииD скажемD количества монет и ассигнаций в ход идут различные векE селяD расписки или билетыD которые обращаются примерно на тех же правахD что и такие деньгиD которые монопольно выпускаются государствомF До известных порD конечноD поE ка не возникает кризис доверия к суррогатам и весь народ начинает жаждать почемуEто именно ?настоящих? денегF Тогда @как это было в середине девятнадцатого векаA АнE глийский банк хоть и не перестает совсем выдавать деньги по вкладамD но делает это F F F трехпенсовыми монетамиD пока жаждущим не надоест стоять в очереди и кризис не успокоитсяF Ценные бумагиD такие как акции или государственные обязательстваD надоD очевидноD считать разновидностями денегF Они могут существовать и в безбумажном видеD тFеF в виде компьютерных кодовF При сколькоEнибудь нормальных условиях ценные бумаги ликвидныD тFеF могут быть быстро проданы на рынке @тFеF превращены в ту или иную валютуAD а следовательно @через валютуA и друг в другаF Вот и возникает всемирный финансовый рынокD который занимается в огромных масштабах темD что превращает одни виды денег в другиеF Он живет бурной жизнью благодаря спекулянтамD заветной I


P мечтой которых является выгадать чтоEнибудь на колебаниях курсовD по которым одни деньги превращаются в другиеF Для этого хотелось бы находить в общем хаосе какиеEто закономерностиD в том числе путем применения вероятностноEстатистических методовF Рассмотрим рисFID на котором представлен курс акций двух наудачу выбранных амеE риканских компанийF Для начала следует аккуратно сказатьD какие именно данные предE ставлены на этом рисункеF Это так называемые цены закрытия торговF Каждый день @исключая выходные и праздникиA на биржах Соединенных Штатов совершаются сделE ки с акциями многих различных компаний @ктоEто продает акцииD а ктоEто другой их одновременно покупаетAF Данные о ценеD по которой совершилась сделкаD попадают в биржевую информационную системуD а затем делаются доступными всем желающимF Особенное значение придается цене последней сделки с акциями данной компании в данE ный торговый деньX это как бы итогD на котором остановился рынок в данный день в своем процессе оценки акций этой компании @на момент закрытия торговAF Кроме тогоD могут быть установлены те или иные правила игрыD в которых участвует именно цена последней сделкиF НапримерD с учетом этой цены происходит исполнение опционов @об опционах смF нижеAF Но как бытьD если в какойEнибудь день сделок с акциями данной компании вообще не производилосьc Тогда нужно брать цену закрытия предыдущего дня и тFдF Таким образомD следует помнить о томD что при имитации тех или иных стратегий биржевой игры на основе прошлых данных о ценах закрытия мы не в состоянии точно воссоздатьD какими были бы настоящие цены сделок при применении этой стратегии в реальных условияхF По порядку величины разница может составлять единицы процентов от цены акцийD что в одних условиях может быть существенноD а в других E нетF Но в дальнейшем при описании имитаций действия стратегий мы не будем упоминать об этой неизбежной условностиF Есть еще одно обстоятельствоD о котором следует упомянутьF Время от времени та или иная компания производит со своими акциями так называемый ?сплит? @splitAD при котором старые акции обмениваются на новые в определенном отношенииD например QXPD тFеF две старых акции обмениваются на три новыхF Автоматически цена новой акE ции равна PGQ цены старойF ПонятноD что при рассмотрении динамики цен за какойEто длительный период нужно привести все цены к какимEто определенным акциямD обычно темD которые существуют на конец периодаF На американском рынке укрепилась немноE го странная традицияD когда целые доллары в значении цены считаютсяD естественноD по десятичной системеD но дроби после запятой E по двоичнойD напримерD SGQP доллара @дальше IGQPD кажетсяD не идутAF В файлах же данныхD конечноD все пишется по десяE тичной системеF Казалось быD могут возникать лишь такие десятичные дробиD которые соответствуют степеням двойкиD но изEза сплита это не всегда такF ИтакD по оси ординат на рисFI отложены цены последних сделок каждого дня с акциE ями данной компанииD приведенные к тем акциямD которые были на конец рассматриваE емого календарного периодаF Что же отложено по оси абсциссc Дело в томD что в файлах данных стоят календарные датыD но те @выходные или праздничныеA дниD в которые не было торговD пропущеныF Таким образомD по оси абсцисс фактически отложен номер дня торговD считая за нулевой день P января IWVW годаD но @по понятным соображениямA оцифровка дана в календарных датахF Иными словамиD в дниD когда нет торговD считаетE сяD что время как бы не идетD и поEвидимомуD это достаточно правильно для финансовых


Q данныхF В году примерно PSH торговых днейD и в связи с этим возникает вопросD как раE зумнее пересчитывать годовые проценты в дневныеX конкретно S7 годовых E это HFHSGQTS или HFHSGPSH в деньc ВидимоD более правилен второй способ @еслиD конечноD речь идет о какихEто расчетах на финансовом рынкеAF Теперь можно сказать краткоX на рисFI представлены данные о ценах акций двух американских компаний примерно за V календарных летX с начала января IWVW гF по конец января IWWU гF В каждом файле данных наблюдений несколько болееD чем 8 250 = 2000F Календарные даты обозначены по американской системеX HSFIUFWI означает IU мая IWWI годаF Данные представлены с некоторым огрублением в соответствии с возможностями компьютерной графикиF Первое наблюдениеD которое можно сделатьD глядя на рисFID состоит в томD что курсы акций чрезвычайно динамичныFПусть целью спекулянта является приобретение возможE но большего количества долларов @это не обязательно такX доллары лишь один из видов денег и можно было бы стремиться приобрестиD наоборотD побольше акций или чегоE нибудь ещеAF Тогда важно оценитьD за сколько времени можно @в принципеA получить тот или иной процент прибыли на вложенный капиталF Оцифровка оси абсцисс на рисFI произведена с интервалом примерно в IS месяцевF Мы видимD что в ряде случаев курс акций за половину этого срока меняется в IFS ! P разаF ИтакD если удачно @дешевоA купить и тоже удачно @дорогоA продатьD то можно менее чем за год заработать SHEIHH7 прибылиF Вот и возникает племя биржевых игроковD которые рассчитывают на свои способности удачно выбирать моменты покупки и продажиF ПосмотримD какое отношение к этому могут иметь вероятностные методыF
HFP Вероятностные модели динамики курсов акцийF

При одном взгляде на рисFI становится яснымD что в вероятностном смысле речь идет о нестационарных случайных процессахFНо в понятии нестационарного случайного процесE са пользы малоX нестационарность означаетD что распределения вероятностейD соответE ствующие процессуD какEто меняются со временемF Чтобы эти распределения какимEто образом узнать путем обработки фактических данныхD следовало бы создать ансамбль идентичных в вероятностном смысле реализаций данного случайного процессаF Но как создать ансамбль коммерческих компанийD идентичных даннойc В этом и разница между миром экономики и миром физикиD в котором ансамбль идентичных процессовD вообще говоряD возможенF Следующим ходом мысли является разложение наблюдаемого процесса на сумму деE терминированной и случайной составляющихF Детерминированная составляющая в экоE номике называется трендомD и вопрос состоит в томD чтобы так определить и вычесть трендD чтобы оставшаяся случайная составляющая оказаласьD по меньшей мереD стациE онарным случайным процессом @стационарность делает возможным определение вероE ятностных характеристик по единственной реализации процесса E за счет усреднения какихEто статистик по времениAF Рассматривая более или менее произвольный чертежD такое разделение можно с той или иной степенью надежности проделатьD но мы должны насторожиться при мысли о томD что оно далеко не однозначно @в случае курсов акцийAF НапримерD рассматривая акции первой компанииD можно сказатьD что до конца IWWQ


R года тренд был близок к нулюD а потом вдруг стал очень даже положительнымD так что акции в конце концов выросли в PFS разаF Но можно сказать и такD что до конца IWWI года тренд был отрицательным @акции упали в IFS разаAD а потом стал положительнымD да такD что акции выросли в R разаF Для акций второй компании можно выделить один общий тренд за все V лет или два разных тренда @один с IWVW по конец IWWI годаD другойD более крутойD с начала IWWP года до начала IWWU годаAD а при желании " три тренда или болееF Если же позволить выделять тренды не только в виде монотонно растущих или убывающих функцийD но также в виде тех или иных периодичностей @гармоникAD то имя всем этим трендам будет " легионF При любом выделении тренда можно добитьсяD чтобы модель неплохо описывала имеющиеся данные наблюденийD но будет совершенно неизвестноD продолжится ли такой тренд хоть какоеEнибудь время в будущемF НаконецD существует еще третий способ выделения статистически стационарных явE лений в нестационарных случайных процессахF Этот способ использован в применении к финансовым данным Башелье на рубеже IWEго и PHEго вековD а в применении к теоE рии турбулентности Колмогоровым и его учениками в середине PHEго векаF Он состоит в рассмотрении приращений процесса за не слишком большое время @отсюда возникло понятие случайного процесса со стационарными приращениямиAF Пусть St " курс акций в момент t @в случаеD когда речь идет о ценах закрытияD t дискретно и обозначает номер дня торговAF Если следовать подходу БашельеD то нужно рассмотреть разности @приращенияA

h St = S

t+h

- St .

(1)

Если законы распределения таких разностей оказываются не зависящими от tD то процесс St называется процессом со стационарными приращениямиFВпрочемD для финансовых данных считается полезным прибегать к логарифмированию

xt = ln St ,
так что рассматриваются приращения логарифма

(2)

h xt = ln S

t+h

- ln St = ln(S

t+h

/St ).

(3)

ЗамечаниеF Если St = 100 долларовD то что такое ln St c Иначе говоряD в какую степень нужно возвести число eD чтобы возникли IHH долларовc Ответ на этот бессмысленный вопрос состоит в томD что любые финансовые данные " это данные об отношенииD в котором обмениваются друг на друга единицы двух различных ?денег?D например акции и долларыF Иначе говоряD данные о курсах безразмерны @потому на рисFI шкала ординат оцифрована в безразмерных единицахD а не в долларахAF Переход к приращениям в случае теории турбулентности приводит к некоторым досE таточно интересным и даже удивительным закономерностям в смысле корреляционных и спектральных свойств этих приращений @речь идетD напримерD о приращениях проекции скорости турбулентного потока на какуюEто из осей координатAF Но для финансовых данных " как в случае Башелье @IAD так и в случае более современного подхода @PAD @QA " чрезвычайно трудно пойти дальше некоторой тривиальностиD суть которой станет ясной из рассмотрения рисунков P и QF


S На этих рисунках представлены при h = 1 день приращения логарифмов цен акций тех же двух компанийD что и на рисF IF @Обратите внимание на тоD что чертежи выполнены в разном масштабе по оси ординатFA Мы видим типичную картину белого шумаD тFеF последовательности независимых случайных величинF ПолучаетсяD что разности

t = 1 ln St = ln(S

t+1

/St )

(4)

похожи @при различных tA на независимые случайные величиныF В каком смысле трудно пойти дальше этой довольно тривиальной моделиc ТеоретиE чески предложить какиеEлибо модели с зависимыми величинами t D разумеетсяD вполне возможноF Но нужно на конкретном материале доказать пользу этих теоретически мысE лимых моделей для лучшего понимания фактических данных @а желательно также " и для какихEто практических целейAF И вот это оказывается очень труднымD как мы частично увидим нижеF ДопустивD что t = ln(St+1 /St ) " независимые случайные величиныD мы получимD что предположение стационарности по t сведется просто к томуD что распределение t при всех t одинаковоF В таком случае

Et = a, Dt = E(t - a)2 =
не зависят от tF Для приращения

2

h xt = ln S
получаем

t+h

- ln St = t + ћ ћ ћ +

t+h-1

Eh xt = ah, Dh xt = h 2 .

(5)

Пока что единицей времени у нас являлся один @торговыйA деньD t и h принимали цеE лые значенияF Но можно время выражать в других единицахD например в годахD и тогда t и h будут меняться на решетке с шагом IGPSHF Психологически естественно перейти в таком случае к модели с непрерывным временемX считатьD что St и xt = ln St определены для непрерывного времениD причем xt является процессом с независимыми приращениE ямиD а равенства @SA сохраняютсяF Простейшим из таких процессов является процесс броуновского движения с коэффициентом сноса a и коэффициентом диффузии 2 F Вот мы и пришли к знаменитой модели геометрического @или экономическогоA броуновского движенияD которую можно записать в следующем видеX

ln St - ln S0 = at + w(t),
где w(t) " винеровский процессF ЗамечаниеF Формулы @SA считаются справедливыми для не слишком больших значеE ний hF В какой именно области значений h справедлив линейный рост дисперсии прираE щенияD следует выяснять по фактическим даннымF
HFQ Сопоставление модели геометрического броуновского движения с фактическими данными

В нашу компьютерную эпоху совершенно не обязательно ограничиваться исследованием лишь цен закрытия торгов @впрочемD всегдаD кроме цен закрытия старались анализироE вать также цены открытияD тFеF первой сделки в данный деньD а также минимальные и


T максимальные цены за деньAF Можно получать и анализировать данные о ценах всех сделокD а также и данные о так называемых ценах спроса @skA и предложения @idAF Участники электронных торгов выставляют заявки на покупку или продажу тех или иных ценных бумаг по какойE то ценеF Вообще говоряD продажные цены @skA несколько вышеD чем предлагаемые цены покупки @idAD но в процессе торгов участники меняют цеE ны и как только возникает равенство или противоположное неравенство между ценами sk и idD соответствующие заявки автоматически удовлетворяются @совершаются сделE киAF Вообще говоряD можно получать @с какимEто шагом по времениA данные обо всех заявкахD которые на данный момент имеются в системе торговF Но обычно ограничиE ваются данными о наилучших ценах sk и idD тFеF о наинизшей цене sk и наивысшей цене idF ИтакD можно получать данные с шагом по времени порядка нескольких секундD которые отражают эти ценыF При работе с парой цен sk и id условно считаетсяD что ?просто цена? равна среднему геометрическому этой пары @тFеF ее логарифм равен средE нему арифметическому логарифмовAF Таким образомD возникают ряды очень частых во времени наблюдений либо двух ценD либо одной ценыF К любому из таких рядов может с тем или иным успехом применяться модель геометрического броуновского движенияD в которой время мыслится вообще как непрерывноеF Как всегдаD дело начинается с оценки параметров a и D входящих в модель @смF соотношения @SAAF Первая неожиданностьD с которой мы при этом сталкиваемсяD заключается в томD что параметр сноса a оценивается по фактическим данным крайне ненадежноF ПонятноD что если мы образовали разности

h xt = xt+h - xt = ln S

t+h

- ln St ,

то для оценки ah = Eh xt у нас нет ничего другогоD кроме суммы значений h xt D котоE рая равна ln(ST /S0 ), если H E начальный момент отрезка ряда наблюденийD по которому оценивается aD T " его конечный моментF Рассмотрим рисFID который имеет примерно PHHH наблюдений цен закрытия для каждой компании с шагом h = 1 деньF Для числа наблюдений T + 1D которые используются для оценки параметра a примем сначала умеE ренную величину порядка IHHF ПонятноD что отрезок [0, T ] длины IHH можно многими способами разместить на оси абсцисс такD что ln(ST /S0 ) будет принимать как положиE тельныеD так и отрицательные значенияF СледовательноD получаемые оценки для a будут колебаться около нуляD и никакой уверенной оценки a не получитсяF Дело в томD что моE дель с постоянным значением a фактически не может описывать динамику курса акцийX долговременная динамика определяется какимиEто малопонятными и для экономикиD и для математики трендами и цикламиF Переходя к приращениям логарифма курсаD мы как бы исключаем эти сравнительно плавные колебанияD но при этом бываем наказаны темD что не можем оценить параметр aD формально входящий в нашу модельF Если для данных рисF I мы используемD наоборотD очень большое T D скажемD T 2000D то какиеEнибудь оценки для a мыD конечноD получимF Акции s компании возросли за PHHH дней примерно в PFS разаD акции ss компании примерно в Q разаF Грубо говоряD ln ST /S0 1D тFеF a 1/2000 в деньF Мы сейчас увидимD что это значение крайне мало в сравнении с порядком величины случайных колебанийD который оценивается стандартE ным отклонением h.


U НаоборотD волатильность является вполне серьезным параметромD который можно оцениватьF ВпрочемD сначала предлагается немного изменить определение волатильноE стиF Из формулы @SA получаем

E(h xt )2 = Dh xt + a2 h2 = h 2 + a2 h2 . Поскольку в реальности ah всегда намного меньшеD чем h @тFеF a2 h2 << h 2 AD предлаE гается в определение волатильности не запутывать значение параметра aD которого мы все равно не можем толком определить по фактическим даннымD а положить просто E(h xt )2 = h 2 .
Иными словамиD предлагается составлять ряд значений

(6)

h xt = ln S

t+h

- ln S

t

(7)

с какимEто фиксированным h @напримерD h = 1 деньA и оценивать h 2 D усредняя квадраE ты величин @UAF При этом следует экспериментально проверятьD что изменение шага h не приводит к существенному изменению оценки для F Но главнейшее предположение модели E это постоянство волатильностиD тFеF независимость левой части формулы @TA от tF В математической статистике давно известен графический приемD с помощью котоE рого судят о постоянстве средних значений какихEто случайных величинF Для этого их значения x1 , x2 , ћ ћ ћD полученные в экспериментеD складывают нарастающим итогомD тFеF рассматривают сумму x1 + x2 + ћ ћ ћ + xt как функцию от числа слагаемых tD и рисуют соE ответствующий графикF Если среднее значение случайных величин постоянно и отлично от нуляD то @в силу закона больших чиселA при большом числе слагаемых график этих накопленных сумм напоминает прямую линиюF @А составить себе представление о томD насколько он может отличаться от прямой линии при определенном числе наблюденийD лучше всего с помощью метода МонтеEКарлоD моделируя на компьютере случайные велиE чины со строго постоянным средним и с такими законами распределенияD какие предпоE лагаются похожими на законы распределения реальных наблюденийFA Рассмотрим рисFRD на котором представлены так называемые ?накопленные квадраты волатильности?DтFеF нарастающие суммы (h xt )2 при h = 1 деньF @Те же компанииD что и на рисFIFA Графики этих суммD конечноD довольно сильно изгибаются @метод МонтеEКарло дает графикиD гоE раздо более близкие к прямымAD но в целом все же напоминают прямые линииF За восемь лет волатильность колеблетсяD но все же около какогоEто среднего значенияF ПринципиE ально важноD что наклон графика второй компании примерно в PFS раза большеD чем для первой компанииD и это соотношение примерно сохраняется на протяжении всего интерE вала наблюденияF @Для сравнения самих волатильностейD а не их квадратов нужно брать 2.5FA ИтакD волатильности акций различных компаний могут заметно различатьсяD приE чем волатильность предсказуема в том смыслеD что если за какоеEто время волатильность одних акций была большеD чем другихD то такое соотношениеD вероятноD сохранится и в будущемF ЗаметимD что участки более крутого роста кривых накопленной волатильности на рисFR могут быть глазомерно сопоставлены с участками большего размаха колебаний лоE гарифмов цен на рисF P и QF Но ясноD что с накопленными суммами работать несравненно удобнееF


V Обратим внимание на порядки величинD о которых идет речьF Для получения оценки @безразмернойA величины h 2 при h = 1 день нужно крайнее правое значение графика на рисF R разделить на число слагаемых 2000F В результате для первой компании получим 3 10(-4) D для второй 7 10(-4) F Стандартное отклонение величины t = ln(St+1 /St ) равно h и составляетD соответственноD HFHIU и HFHPUF Мы видимD что эти величины в самом деле на порядок большеD чем оценка для bf E t 1/2000, которая получается по всем наблюдениямF ИтакD если нужно оценить порядок возможных колебаний курса акций за небольшое время @порядка нескольких днейD а эксперименты с одним конкретным рынE ком показываютD что и за время порядка нескольких десятков днейAD то надо пользоваться понятием волатильности и ее оценкой по какомуEто числу прошлых наблюденийF КолеE бания цен за большое время при точном действии модели геометрического броуновского движения должны были бы @в основномA определяться значением параметра сноса aF Но на самом деле никакого постоянного значения сноса не существуетD а в экономические тренды и циклы можно вдаваться лишь с очень большой осторожностьюF Модель геометрического броуновского движения приносит и представление о норE мальном распределении приращений логарифмов ценF На рисFS представлены в нормальE ном масштабе @при h = 1 деньA эмпирические функции распределения этих приращенийF ЗаметимD что существуют несколько различные способы рисования подобных графиковF В точном смысле эмпирическая функция распределения E это ступенчатая функцияF Но изображаются обычно лишь середины ее ступенекF Нормальный масштаб " это такой переменный масштаб по оси ординатD в котором нормальная функция распределения изображается прямой линиейF Но оцифровка оси ординат может делаться @как на рисFSA не в значениях вероятностейD а в значениях квантилей нормального законаD отвечающих этим вероятностям @напримерD число @EQA на оси ординат на самом деле изображает вероE ятность HFHHIQS и тF дFA При большом числе наблюдений графикD естественноD огрубляется в соответствии с возможностями компьютерной графикиF Что же мы узнаем из рисFSc Графики эмпирических функций сходны с прямыми линиями вплоть до значений квантилей от @EPA до @CPAF Это означаетD что примерно WS7 наблюденийD в общемD охватываются нормальным закономF ПравдаD в нуле оба графика имеют ступенькуD которая возникает изEза тогоD что среди наблюденных данных слишком много значенийD в точности равных нулю @это означаетD что либо не было операций с акциями данной компанииD либо что операции былиD но цены закрытияD тем не менееD не изменилисьAF Стандартное отклонение в случае нормального закона можно оценить и по чертежу @напримерD используя тот фактD что расстояние между абсциссами тех точек графикаD которые имеют ординаты @CPA и @EPAD составляет примерно R стандартных отклоненияAF Для s компании получаем HFHIUD для ss компании HFHPTD что близко к вышеE указанным оценкам волатильности по сумме квадратовF @Это означаетD что наблюденияD не укладывающиеся в нормальный законD в данном случае мало влияют на сумму квадE ратовFA Но хвосты распределенийD конечноD не нормальныеX вероятности больших @по абсоE лютной величинеA наблюдений гораздо большеD чем соответствующие нормальные веE роятностиF Таким образомD возникает проблемаX нельзя ли получше подобрать какоеE то параметрическое семейство распределенийD чтобы все наблюдения @или хотя бы еще большая их частьD чем в случае нормального законаA описывались бы этим семействомF Эта проблема упирается в глобальную проблему статистической однородностиF СтаE


W тистик всегда пытается установить те или иные правила отбора наблюденийD которые призваны привести к статистически однородной совокупностиF Но что касается цен заE крытия торговD то в смысле отбора наблюдений некуда идти дальшеD чем ограничиться акциями одной определенной компании за какойEто период времениD и тогда вероятностE ные свойства должны быть одинаковы за любой интервал в пределах данного периодаF На рисF T и U даны эмпирические функции распределения для приращений логарифмов цен тех же акцийD но с разбивкой эмпирического материала пополамX первая и вторая тысяча наблюденийF Для s компании две эмпирические функции практически совпадают в пределах квантилей от @EPFQA до @CPAD а для второй компании совпадение гораздо хужеX примерно от @EIFVA до @CIAF Не значит ли этоD что приближение нормальным законом практически выбирает всеD что есть статистически устойчивого в наблюденияхc ПереE формулируем этот вопрос в терминах прогнозаD практическая важность которого достаE точно яснаF ДопустимD что мы собираемся застраховать коммерческие потери участников фьючерсного рынкаD для которых резкое изменение @чаще резким бывает падениеA цеE ны основного актива в течение суток может повлечь большие потериF Чтобы сосчитатьD сколько может стоить подобная страховкаD нужно примерно знать вероятность наступE ления страхового случаяF И вотD в тот моментD когда нам известна лишь первая тысяча наблюденийD мы пытаемся оценить такую вероятность для второй тысячиF Из рисF T и U совершенно ясноD что такой прогноз идеальным не будетF Теперь постановка вопроса о выE боре параметрического семейства выглядит такX можно ли путем анализа фактических данных показатьD что некоторое семейство распределений дает более точный прогноз вероятности будущих страховых случаевD чем нормальноеc ИлиD может бытьD статистиE ческая неоднородность динамики цен во времени в равной мере обесценивает расчет по любому параметрическому семействуc Чтобы понятьD о цифрах какого порядка может идти речьD сделаем грубо прикидочE ные страховые расчетыD не используя никакого параметрического семействаD а прямо по рисF T и UF Мы не будем вдаваться в величину страхового возмещения @это слишком зависит от тех конкретных условий договора страхованияD которые могут дать нечто жизнеспособное на страховом рынкеAD а прикинем лишь вероятность наступления страE хового случаяF Маржа @тFеF залогA на фьючерсном рынке может составлятьD скажемD S7 от цены основного активаF Это значитD что игрокD вложивший определенный капитал в покупку фьючерсов на поставку акцииD лишается его полностьюD если акции упадут на S7F Такое падение за один день явно нужно считать страховым случаемF НужноD слеE довательноD оценить по рисF T и U значение функции распределения в точке @EHFHSAF Не следует полностью забывать об особенностях компьютерной графики @середины скачков эмпирической функции распределения соединены прямыми линиямиAD но в окрестности точки @EHFHSA это мало искажает эмпирическую функциюF Поэтому просто измеряем по чертежу и получаем следующееF На рисF T для первой тысячи наблюдений @сплошная линияA значение ординаты равно @EPFRRAF Это квантиль нормального законаD которой соответствует вероятность HFHHUS @из таблицы нормального законаAF Для второй тысячи @пунктирA квантиль равна @EPFUHAD а вероятность HFHHQSD тFеF вдвое меньшеD чем ее оценка по первой тысячеF Для второй комE пании @рисF UA положение более благополучноеX получаемD соответственноD вероятности HFHPW и HFHPID которые отличаются менее резкоF Из этих чисел мы видимD что вероятности страхового случая многократно увеличиваются с увеличением волатильности @срF рисF RAD


IH а стало бытьD страховщик фьючерсных спекуляций @если такой найдетсяA должен знатьD что такое волатильностьF Кроме тогоD ясноD что оценка подобных вероятностей даже по IHHH наблюдений @а это четыре годаAD мало надежнаD если считать прямо по эмпириE ческим функциям распределенияD не используя никакого параметрического семействаF СледовательноD страховщик должен с удовольствием заплатить за подбор удачного сеE мействаD еслиD конечноD будет на фактическом материале доказаноD что с помощью него хвосты будущих распределений оцениваются более точноD чем без негоF Пока что ничего такого финансовой статистике не известноF В заключение данного пункта заметимD что если задача состоит лишь в томD чтобы формально установить неадекватность модели геометрического броуновского движенияD то нет ничего прощеF Имеется множество критериев для проверки статистической одноE родности наблюденийF НапримерD можно разбить длинный ряд цен закрытия @скажемD PHHH наблюденийA на последовательные отрезки умеренной длины @скажемD по IHH набE люденийA и применить тот или иной критерий равенства дисперсий @напримерD критерий Бартлетта " он есть в любом сборнике статистических таблицAF Такой эксперимент безE отказно отвергает гипотезу однородности @тFеF равенства теоретических дисперсий для всех групп по IHH наблюденийA на любом разумном уровне значимостиF Те отклонения кривых накопленных квадратов волатильности от прямолинейностиD которые видны на рисF RD оказываются высоко статистически значимымиF Вопрос состоит в томD для чего эта явно неадекватная модель @геометрического броуновского движенияA все же практически годится @и в какой степениAF На этот вопрос мы и будем отвечать в дальнейшемF
HFR Вероятностный подход к описанию динамики цен и просE тейшая спекуляция

Что вообще можно делать практически с данными о динамике цен акцийc Сразу возникаE ет мысль о простейшей спекуляцииD которая заключается в томD чтобы подешевле купить и подороже продатьX нужно только угадать подходящие моментыF Есть такая довольно популярная наука E технический анализD которая занимается гаданием по так называеE мым барEдиаграммамF Принципиально бар E диаграмма это то же самоеD что и графики типа рисFI и PD но информация там представляется несколько более полноF По оси абсцисс рисуется @как и на рисF I и PA номер дня торговD а над каждым днем рисуется не одна точкаD а вертикальная черта @барAD нижняя точка которой изображает минимальную цену сделки за данный деньD а верхняя E максимальнуюF Еще маленькими горизонтальными черточкамиD примыкающими к вертикальнойD показывается цена открытия и закрытия торговF @Эти ценыD естественноD заключены между минимальной и максимальнойFA ЯкоE быD на таких картинках можно усмотреть некие типичные фигуры @ ?волны Эллиотта? и другиеAD которые позволяют прогнозировать будущий ход ценD хоть и не наверноеD но с некоторой приличной вероятностьюF В общемD простейшая спекуляция @с техническим анализом или без негоA представляет собой типичную разновидность азартной игры " в том смыслеD что исход каждой отдельной спекуляции заранее не предопределенF ВпрочемD для тогоD чтобы обогатитьсяD вполне достаточно угадать направление будущего изменеE ния цен с вероятностьюD чуть большей половины @если в самом деле обладать таким даромD то не обязательно и играть на биржеX можно просто продавать прогнозыD какD по


II слухамD и делают некоторые научные группыAF Каково вообще отношение специалистов по теории вероятностей к азартным играмc Стараются думать о них как об экспериментахD обладающих статистической устойчиE востьюD тFеF допускающих вероятностное описаниеD и пытаются вычислить математичеE ское ожидание дохода игрокаF Если оно отрицательное или даже нулевоеD игра считается разорительной для игрока и надувательством со стороны владельца игорного заведеE нияF Нет серьезных сомнений в томD что такова рулеткаF Что жеD ознакомившись с этим классическим выводом теории вероятностейD люди перестали играть в рулеткуc Отнюдь нетF В Советском Союзе длительное время существовала государственная игра ?СпортлоE то?D о которой официально было объявленоD что математическое ожидание дохода равно минус половине вложенной суммыF И что же " игралиD и вкладываемые суммы были неправдоподобно огромныF ВидимоD само участие в азартной игре для достаточно многих людей обладает большой привлекательностьюD составляет род удовольствияD за которое не жалко заплатитьF Что касается акцийD то исследования за большие промежутки времени показываютD что тут вполне возможны такие стратегииD которые обеспечивают нечто вроде полоE жительного математического ожидания доходаF НапримерD стратегия ?uy nd hold? " ?купи и держи?D когда купленные акции удерживаются в течение длительного времени @десятки летAF ЕслиD в особенностиD вкладываемые деньги диверсифицировать между многими акциями @поEпросту отнести их в какойEнибудь фонд взаимных вложенийD котоE рый и займется диверсификациейAD то вполне вероятноD что в среднем за много лет они принесут больший доходD чем при вложении денег в банк или безрисковые бумагиF Но и доход не особенно великD и азарт пропадаетD в общемD спекулянту этого мало и скучноD и он обращается к краткосрочным спекуляциямF Отношение к краткосрочным спекуляциям у специалистов по теории вероятностей настороженноеF Модели типа геометрического броуновского движенияD когда логарифм цены акции имеет независимые @а следовательноD принципиально непредсказуемыеA приE ращенияD ни к каким спекуляциям не стимулируютF Сравнительная устойчивость вероятE ностных законов для приращений достигается путем исключения всякого рода трендовD что исключает мысль о долгосрочном прогнозеF ВпрочемD такие модели могут пониматьE ся как некое нулевое приближениеD допускающее дальнейшие уточненияD которые делают возможными прогнозыF ДействительноD эксперименты показываютD что во многих случаE ях можно обнаружить некоторые зависимости в распределениях приращенийD которые создают возможности для простейшей спекуляцииF НапримерD нередко бывает такD что наметившаяся в течение биржевой сессии динамика цены актива захватывает и начало следующей сессииF В отличие от технического анализаD который предлагает зрительно заметить некую типичную картинкуD здесь динамика актива определяется алгоритмичеE скиD напримерD в виде наклона прямойD аппроксимирующей фактические цены по методу наименьших квадратовF Если этот наклон положителенD то можно думатьD что следуE ющая сессия откроется с более высокой ценыD чем цена закрытия предыдущей сессииF ЗначитD надо в конце сессии купитьD а в начале следующей продатьF Что значит ?в начаE ле? или ?в конце?D тоже нужно определить алгоритмическиD и тогда стратегию можно будет испытать по прошлым даннымF Нередко такие испытания дают успехF Но вероятностные закономерности могут быть лишь локальными " действующими


IP на небольшое время впередF За малое время цена актива обычно изменяется лишь неE значительноD а следовательноD доход от каждой отдельной спекуляции невеликF Вокруг биржевых игроков кормится масса народуD начиная от персонала биржи @без которого вообще невозможны торгиD а тем более электронныеA и кончая разными финансовыми аналитикамиF Все они стараются брать за свои услуги плату в таких размерахD в каких позволяет рынок этих услугF ПосколькуD как показывает многовековой опытD люди готовы играть в азартные игры и при отрицательном математическом ожидании выигрышаD на рынке услуг создается возможность брать довольно высокую ценуF Таким образомD теоретически положительное математическое ожидание выигрыша может вполне превраE титься в отрицательное за счет разнообразных ?операционных расходов?F Кроме тогоD те особенности в динамике ценD которые создают возможность прогнозов вероятностными методамиD могут неожиданно исчезать по непонятным причинамF Вывод состоит в томD что хотя попытки простейшей спекуляции на основе вероятностных методов априори нельзя объявить безнадежнымиD все же это дело не дает устойчивых положительных результатовD и для демонстрации определенного результата нужно обратиться к иной постановке задачиF Таковы операции с опционамиD к которым мы и переходимF
HFS Опционы и их хеджирование

Ценные бумаги несколько условно делятся на основные и производныеF НапримерD акции коммерческих компаний считаются основными ценными бумагамиD поскольку теоретиE чески они дают право на часть реальной собственности той или иной компанииF ПравдаD если дело дойдет до ликвидации компанииD то сначала полагается удовлетворить всех кредиторовD а акционеры будут делить между собой тоD что останется после кредиторов @вряд ли много они получатX иначе незачем было бы ликвидировать компаниюAF Кроме основныхD обращаются так называемые производные ценные бумагиD которые так или иначе привязываются к основным ценным бумагам и спекуляциям с нимиF НапримерD это может быть так называемый фьючерсный контракт на поставку в некий будущий момент акций определенной компании по заранее оговоренной ценеF Благодаря хитроумE ной системе взимания и ежедневного перерасчета залоговD вносимых участниками такого контрактаD биржа имеет возможность гарантировать его выполнение @еслиD конечноD не случится какогоEнибудь кризисаAF С другой стороныD капиталы участников фьючерсных спекуляций вкладываются в залогиD и при резких колебаниях цены основного актива есть риск эти капиталы потерятьF Нас будет интересовать другой контракт E так называемый опционF Как и фьючерсE ный контрактD опцион имеет в виду совершение в будущем некоторой сделки по заранее оговоренной ценеD но @в отличие от фьючерсного контрактаA одна из сторонD именноD покупатель опциона @инвесторA имеет право отказаться от сделки @если в будущем цеE на основного актива на рынке окажется такойD что сделка по заранее оговоренной цене невыгоднаAF Зато в момент заключения контракта инвестор уплачивает другой стороне @эмитенту опционаD поEанглийски option writerA некоторую суммуD называемую ценой опE ционаF Опционы бывают очень разнообразнымиF Можно купить опционD который дает право покупки акции в будущем по заранее оговоренной цене @опцион куплиD или llAD а можно


IQ купить опцион на право продажи @опцион продажиD или putAF Может быть опционD котоE рый эквивалентен покупке @продажеA по наилучшей рыночной ценеD которая сложится в течение определенного будущего отрезка времени @либо по средней цене и тF дFAF Может быть опционD который можно исполнять лишь в какойEто определенный момент времени @европейский опционAD а можно условитьсяD что опцион может исполняться в любой моE мент до определенного срока @американский опционAF Способы употребления опционов в рыночной игре тоже весьма разнообразныX они могут быть средством спекуляцииD либо средством страховки от резких колебаний рынка и тF дF Мы для определенности будем рассматривать один простейший случай " так называемый стандартный европейский опционEколлF Условия этого контракта состоят в следующемF Эмитент @продавецA опциона обязывается в некоторый будущий момент времени t = T продать инвестору @покупателю опционаA акцию определенной компании по оговоренной цене K F За это инвестор уплачивает эмитенту определенную сумму cD называемую ценой опционаF Когда наступит момент t = T D акция на рынке будет иметь некоторую цену ST F Если ST > K D то инвестор воспользуется своим правом и купит акцию по цене K D а если ST K D то исполнять опцион невыгодноD он просто теряет свою силуD и цена опциона c для инвестора потерянаF В первом случае @когда опцион исполняетсяA инвестор может дальше поступить двоякоF Если его целью было приобретение акцииD то он просто радуетE ся томуD что акцию удалось купить дешевлеD чем она стоит на рынкеF Опцион выступает как средство страховкиD потому что в будущий момент времени T владелец опциона заE ведомо может купить акцию по цене не выше K F Но если целью инвестора является спекуляцияD то он тут же продает по цене ST акциюD доставшуюся ему по цене K F Это эквивалентно получению дохода (ST - K )+ = max(ST - K, 0)F Обычный сценарий финанE совой математики не вдается в количественную оценку пользы страхованияD а рассматE ривает лишь спекулятивный вариант получения дохода от опционаF Зато доход можно рассматривать достаточно общего вида " не только функцию (ST - K )+ D но и произвольE ную функцию вида f (ST )D а в более изощренных вариантах теории и функцию от всей динамики цен f (S0 , S1 , ћ ћ ћ , ST )F В частностиD на практике нередко встречается так назыE ваемый ?опцион со шляпой?D для которого функция выплат равна min{(ST - K )+ , L}D где L " некоторое заранее оговоренное число @максимально возможная выплата по опE ционуAF В спекулятивном варианте сценарий действий покупателя опциона сводится к уплате в момент t = 0 цены опциона c и к получению в момент t = T оговоренной в конE тракте выплатыF Точнее говоряD будущий доход принято дисконтироватьD тFеFD напримерD для стандартного европейского опционаEколл рассматривать величину

exp(-rT )(ST - K )+ ,
где r " некоторое известное значение ?банковского процента?D которое предполагается неизменным на период действия опционаF ВпрочемD для уяснения смысла игры на опциE онах можно пока считатьD что r = 0D поскольку при обычных сроках действия опциона @несколько недель или месяцевA влияние дисконтирования невеликоF Почему игра на опционах может быть привлекательна для спекулянтаc Рассмотрим очень часто встречающийся случай K = S0 F Спекулянт может вложить свои деньги прямо в акцииD купив в момент t = 0 одну акцию по цене S0 D рассчитывая в какойEто будущий момент времени t = T получить доход (ST - S0 )+ путем продажи этой акцииF При покупке опциона он получит тот же самый доходD но на практике цена опциона c


IR оказывается гораздо более низкойD чем цена акции @в типичных условиях чтоEто порядка IH7 от S0 AF Таким образомD один и тот же доход можно получить при покупке опциоE на за счет намного меньшего вложения капиталаD чем при игре на акцияхF @Зато акцию не обязательно продавать именно в момент t = T X можно в случае чего и подождать в надеждеD что цена акции подниметсяD а опцион после момента t = T становится пустой бумажкойFA ГоворятD что опцион является @для его покупателяA финансовым рычагомF ВообщеD использование производных финансовых инструментов @опционовD фьючерсов и тFдFA резко повышает азартность спекуляцийD и в томD отчастиD их смыслF @Другая часть смысла в томD что они могут применяться и для целей страховки от неожиданных колеE баний рынкаFA Но теперь самое время разобратьсяD чему может равняться цена опциона и почемуD в частностиD при K = S0 цена опциона может быть значительно ниже цены акцииF Впервые с математической точки зрения вопрос о цене опциона рассмотрел век наE зад БашельеF В современном нам теоретическом сценарии игры на опционах эмитент опциона хеджирует свое обязательство @о хеджировании смF нижеAD но в том сценарииD который рассматривал БашельеD о хеджировании нет речиF Эмитент просто получает с покупателя начальную стоимость опциона c и далее не делает ничего вплоть до момента расплаты t = T D когда ему нужно выложить из своего кармана выплату (ST - K )+ @дисE контирование у Башелье также не учитываетсяAF Возникает типичная азартная игра двух игроковD в которой в качестве генератора случая выступают колебания цен на рынкеF На такую игру специалисты по теории вероятностей всегда смотрели такD что хорошо бы ей быть безобидной @хотя безобидная игра и является за большое время разорительной для того игрокаD у которого невелик начальный капиталAF Условие безобидности испокон века записывается в виде c = E(ST - K )+ . (8) Вопрос состоит лишь в томD как вычислить математическое ожиданиеD стоящее в правой части соотношения @VAF Для этого нужна вероятностная модель динамики цен акцийF Исследованием вопроса о модели и занялся БашельеF Надо сказатьD что его подход соE храняет практическое значение до настоящего времениD особенно при исследовании тогоD что может случиться с рыночными ценами за небольшое время @порядка нескольких днейAF Башелье стал исследовать приращения

h St = S

t+h

-S

t

(9)

самих рыночных цен @а не их логарифмовX логарифмы вошли в употребление лишь приE мерно с середины двадцатого векаAF Подобно томуD как выше говорилось о логарифмахD медленные экономические тренды он при этом потерял и не обнаружил заметно отличE ного от нуля математического ожидания Eh St D но нашелD что
2 E(h St )2 h0 ,

(10)

где постоянная @тFеF не зависящая от t и hA величина 0 должна быть названа волаE тильностью по Башелье @это волатильность самих ценD а не их логарифмовAF Выясним приблизительную связь между волатильностью 0 по Башелье и принятой в настоящее время волатильностью для логарифмовF


IS Пусть курс акций совершает за небольшое время небольшие колебания вокруг некоE торого приближенного значения S X St S F Напишем приближенное равенство

h ln St = ln S

t+h

- ln St = ln(S

t+h

/St ) =

= ln(1 + h St /St ) h St /St ,
еслиD конечноD h St мало по сравнению с St D что обычно и бывает при h порядка одного или нескольких днейF СледовательноD волатильность 0 по Башелье связана с принятой в настоящее время волатильностью для логарифмов приближенным соотношением

0 S ,
где S St " примерное значение курса акцийF Предполагая нормальность распределения и независимость приращений @WAD полуE чим модель броуновского движения для курса акцийD из которой и вычисляется правая часть @VAF Однако @как говорилось выше в применении к логарифмам курсаA не следует переE оценивать надежность того выводаD что Eh St = 0. @Либо надежность той или иной не равной нулю оценки величины сноса по фактическим даннымFA ДопустимD что в начальE ный момент t = 0 эмитент опциона просто получает с покупателя цену опциона c и в дальнейшем не делает ничегоF Тогда в момент расплаты t = T D если всеEтаки придется исполнять опцион @тFеF в случаеD когда ST > K A эмитенту придется купить подлежаE щую поставке акцию по ее рыночной цене ST D что эквивалентно томуD чтобы выложить сумму (ST - K )+ из собственного карманаF Если экономическая ситуация @которая не может быть предсказана какойEлибо вероятностной модельюA на самом деле окажется таковаD что за время действия опциона акции существенно вырастут в ценеD то эмитенту придется заплатить значительно большеD чем он получил в начальный момент с покуE пателя опционаF Современная математическая наука об опционах предлагает эмитенту совершенно иной сценарий действийD чем это было во времена БашельеD смысл которого сводится к томуD что если покупатель опциона имеет право получить много денег за счет колебания рыночной стихииD то эти деньги будут выплачены не из кармана эмитентаD а за счет рынка в целомF @Молчаливо предполагаетсяD что и эмитент опционаD и его покупаE тель " это бесконечно малые величины в сравнении с рынком в целомFA Разница между моделями броуновского движения и геометрического броуновского движения в данном случае мало существеннаD поскольку такой сценарий возможен в любой из этих моделей и различаются лишь математические деталиF Эта новизна заключается в идееD так сказатьD ?следящего? хеджирования обязательE ства по опциону @слежение происходит за курсом основного активаD тFеF в данном конE тексте " акцийAF Теоретический сценарий следующийF Получив с покупателя в момент t = 0 некоторую сумму cD эмитент добавляет к ней еще некоторую суммуD взятую из собE ственных средствD и покупает определенную часть акцииD которая в дальнейшем может подлежать поставкеF @Формально предполагаетсяD что акцию можно покупать любыми частямиD но практически речь идет об одновременном хеджировании многих опционов на большое количество акцийD так что можно забыть о томD что акции по природе дискретE ныFA Во все следующие моменты времени @вплоть до момента окончания срока действия опционаA процесс хеджирования продолжаетсяF Качественно он сводится к томуD что при


IT росте курса акции дополнительно докупается ее какаяEто доляD а при падении E какаяEто доля продаетсяF При этом средства для дополнительной покупки берутся эмитентом со своего счетаD а при продаже возвращаются назад на этот счетF Эти покупки и продаE жи сбалансированы таким образомD что в том случаеD когда исполнять опцион нужно (ST > K )D у эмитента на руках в момент t = T оказывается целая акцияD а если опцион исполнять не нужно @тFеF ST < K AD то эмитент полностью продает акциюF Теоретически предсказывается следующее чудоF Если начальную цену опциона и стратегию покупок и продаж в зависимости от коE лебаний курса акций выбрать правильно @в соответствии с некоторыми формуламиD коE торые мы рассматриваем нижеAD то при любой @возможной в моделиA динамике курса акций за время от H до T эмитент не получит ни прибылиD ни убытка @после исполнения обязательства по опционуAF Если угодноD уплаченная за опцион цена будет в точности равна расходам на осуществление хеджированияF @Качественно расходы на хеджироваE ние объясняются темD что при росте курса акция дополнительно покупаетсяD а при паE дении E продаетсяD так чтоD вообще говоряD получается такD что она дороже покупаетсяD чем продаетсяFA Иными словамиD математические рассмотренияD о которых речь нижеD приводят к предложению создать новый вариант игорного заведения для азартной игрыD в которой генератором случайности являются будущие колебания курса акцийF Игрок в данном случае " это покупатель опционаF Игорное заведение " это эмитентD а точнее " фирмаD выпускающая на рынок опционы @фирма в данном случае понимается как организация профессионаловD так как практически лишь профессионалы могут осуществить следящее хеджированиеAF Игрок вносит необходимую сумму при покупке опционаD а фирма с поE мощью этой суммы предоставляет услуги по осуществлению хеджирования @иD конечноD берет за услуги какуюEто дополнительную платуD которая в теории не рассматриваетсяAF Поскольку хеджирование всегда стоит одинаково @по крайней мереD в теорииAD то цена опциона является справедливой как с точки зрения фирмыD так и игрокаF Игрок же расE считывает на счастливый случайD который в данном случае состоит в значительном роE сте цены акций за время действия опциона и может как наступитьD так и не наступитьF Выигрыш выплачивается игроку @если выплачиваетсяA не за счет эмитентаD а за счет рыночной стихииF Получается нечто вроде извлечения энергии из практически неограE ниченных источников вроде ветраD морского или речного течения и тFдF КонечноD совсем без затрат и без риска такое извлечение невозможноX в данном случае вместо средств на постройку ветряной мельницы возникает цена опционаF При этом справедливая цена опциона с точки зрения оплаты хеджирования не обязательно является выгодной для покупателя с точки зрения его положительного доходаF Нашей ближайшей целью являE ется математическое понимание и критическое сопоставление с фактическими данными вышеописанного чудаF
HFT Некоторые понятия и математические обозначенияF

Сейчас мы введем некоторые понятия и обозначенияD с помощью которых в финансовой математике думают о различных вещахD в том числе о хеджировании опционовF ПредпоE лагается существование некоторой основной валюты @напримерD долларовA и по меньшей


IU мере двух видов ценных бумаг " безрисковых @бонD государственных долговых обязаE тельствA и рисковых @акцийAF Средства того или иного оператора финансового рынка предполагаются помещенными в эти два вида бумаг @а доллары существуют только для удобства перевода одних бумаг в другиеAF СчитаетсяD что в тех временных масштабахD с которыми мы будем иметь делоD цена @в долларахA единицы бон Bt растет по экспоненE циальному закону Bt = ert , B0 = 1, (11) где r " детерминированная и известная процентная ставкаD а t " момент времениD приниE мающий неотрицательные значенияF Цена же акций St считается меняющейся довольно быстро и случайно " в соответствии с той или иной моделью случайного процессаF Само время t может считаться дискретным @напримерD меняющимся с шагом hD где h " один торговый деньAD или даже меняющимся непрерывноF Абстракцией непрерывного времени нужно пользоваться с определенной осторожностьюD проверяя ее предельным переходом при h 0F Абстракция постоянной и заранее известной процентной ставки также требует определенной осторожностиD но здесь мы будем ею пользоваться лишь в течение таких промежутков времениD которые имеют порядок времени существования опциона @обычно несколько месяцевA и от тех небольших возможных колебаний процентной ставкиD котоE рые могут случиться за такой срокD обычно мало что зависитF СчитаетсяD что активы @тFеF боны и акцииA абсолютно ликвидныD тFеF в любой момент времени могут быть мгновенно обменены друг на друга в соответствии с их долларовыми ценами Bt и St @в частностиD нет разницы между ценами покупки и продажиD нет операционных расходов и тFдFAF Оператор финансового рынка @в частностиD хеджерD тFеF эмитент опционаD который хеджирует свое обязательствоA имеет в каждый момент t портфель ценных бумаг (t , t ), состоящий из t бон и t акцийF Его суммарный капитал @в долларахA естьD очевидноD

Xt = t Bt + t St .

(12)

Важным понятием является понятие самофинансируемого портфеля D которое отражает ту ситуациюD когда у оператора рынка нет никаких внешних источников доходов или расходовD и единственноеD чем он может заниматьсяD это перемещение средств из бон в акции и обратноF Запишем основные уравнения эволюции капитала в случае самофинанE сируемого портфеля для дискретного времени @момент t меняется на момент t + hAF ЗамечаниеF В математическом анализе с незапамятных времен утвердилось обознаE чение f = h f = f (t + h) - f (t). (13) Но в финансовой математике часто пишут

X t = X t - X
Мы не будем следовать обозначению ИтакD если капитал Xt в момент t Xt+h в момент t + h c За время от самофинансируемом случаеA только

t-h

.

(14)

@IRAD а будем понимать под Xt разность Xt+h - Xt . выражается формулой @IPAD то каким будет капитал t до t + h капитал портфеля может измениться @в за счет эволюции цен бон и акцийF Иными словамиD

X

t+h

= t Bt+h + t S

t+h

,


IV а следовательноD

X t = X

t+h

- Xt = t Bt + t St .

(15)

Кроме изменения капитала за счет эволюции цен активовD оператор может по своему жеE ланию изменить в момент t + h состав портфеляD но без изменения суммарного капиталаD а лишь перераспределяя капитал между бонами и акциямиX если в момент t + h происходит перераспределение средств между активамиD то должно соблюдаться равенство

X
Из @ITA получаем

t+h

= t Bt+h + t S

t+h

= t+h Bt+h + t+h S /Bt+h .

t+h

.

(16)

t = t+h - t = -t S

t+h

(17)

Равенство @IUA означаетD что в момент t + h количество бон t было израсходовано на приобретение дополнительного количества t акций по цене St+h . Если постулироватьD что в любой момент времени t @в том числе и в момент t + hA капитал портфеля выражается формулой @IPAD то любое из равенств @ISAD @ITA или @IUA может быть принято за определение самофинансируемого портфеляF В случае дискретE ного времени все эти равенства тривиальны и не выходят за пределы обычного здравого смыслаF Их роль заключается в томD что они позволяют совершить предельный переход к случаю непрерывного времениD в частностиD определитьD что такое самофинансируемый портфель при непрерывном во времени перетекании средств из бон в акции и обратноF @Только в варианте непрерывного времени верноD что при правильном хеджировании хеE джер с вероятностью I остается в конце концов с нулевым приращением капиталаFA Для читателейD знакомых со стохастическими дифференциаламиD заметимD что такое опредеE ление самофинансируемости производится путем замены приращений на стохастические дифференциалыD и это правильно в конструкции предельного перехода от дискретного времени к непрерывномуF Но нам нет нужды вдаваться в подробности техники стохасE тических уравненийD так как наша задача инаяF Мы хотим составить себе представление о томD насколько хорошо выполняются выводы теории при хеджировании с разумно маE лымD но конечным шагом по времениF Сами формулы мы получим на уровне некоторых эвристических соображенийF
HFU Цена опциона и хеджирование обязательства в теории БлэкаEШоулсаEМертонаF

ВспомнимD что речь идет о применении методов математической физики к финансовым проблемамF В данном пункте мы демонстрируем весьма типичную ситуацию для маE тематической физикиF Некоторая задача @в данном случае " задача определения цены опциона и стратегии хеджированияA решается на основании заведомо неадекватной модеE ли явления @геометрическое броуновское движение для динамики цен акцийA и какихEто дополнительных соображенийD которые силы математического доказательства не имеют и могут быть признаны лишь эвристическимиF Но в результате получаются формулы @они были впервые получены авторамиD указанными в заглавии пункта в IWUQ гFAF А в математической физике известноD что в случае удачи формулы бывают умнее тех сообраE женийD из которых они получены @Генрих Герц говорилD что формулы умнее их авторов


IW " применительно к электродинамике МаксвеллаAF Убедиться в томD что в данном случае идет речь о подобной удачеD можно разными путями " отчасти теоретически @выписыE вая некоторые другие формулыAD отчасти экспериментальноD проверяя точность действия формул на реальных ценах акцийF Но сначала выведем сами формулыF Хотя речь все время идет о стоимости хеджирования обязательства по опционуD но начнем мы с попытки расчета цены опциона с точки зрения математического ожидания будущего дохода его покупателяD тFеF принципиально " с той же формулы @VAD которой пользовался еще БашельеF Только на этот раз учтем дисконтирование будущего доходаF @Дело в томD что модель геометрического броуновского движения прекрасно согласуется с древними представлениями о дисконтировании с помощью известного банковского проE центаD чего нельзя сказать о модели просто броуновского движенияD которой пользовался БашельеFA ИтакD принимаем для динамики курса акций модель следующего видаX

h ln St = ln(S

t+h

/St ) = ah + (w(t + h) - w(t)),

(18)

где a и " некоторые константыD w(t) " винеровский процессF Волатильность сравниE тельно надежно оценивается по фактическим даннымF Будем считать ее известной точноF Коэффициент сноса aD наоборотD сколькоEнибудь устойчиво по фактическим данным не оцениваетсяF Каким же его принятьc Казалось быD разумно принять снос равным нулюD поскольку при его оценках полуE чаются близкие к нулю числаF Ан нетX нужно поступить несколько хитрееF Соотношение @IVA означаетD что St+h = St exp , где " нормальная случайная величина со средним ah и стандартным отклонением hD не зависящая от St F Простое вычисление показываетD что

ES

t+h

= ESt exp(a + 2 /2)h.

(19)

Равенство @IWA означаетD что среднее значение курса акций растет со временем экспоE ненциально с коэффициентом a + 2 /2. С другой стороныD единица бон растет в цене экспоненциально с коэффициентом rF Если бы одни ценные бумаги росли в среднем скоE рееD чем другиеD то операторы финансового рынка это в конце концов бы поняли и стали бы вкладывать деньги только в те бумагиD которые растут быстрееF Рынок с двумя актиE вами превратился бы в рынок с одним активомF Поэтому разумно принятьD что средние скорости роста акций и бон должны быть одинаковы и мы получаем важное для дальE нейшего равенство r = a + 2 /2. (20) Этим равенством и нужно воспользоватьсяD чтобы какEто определить неизвестный коэфE фициент сноса aF КонечноD использованный нами аргумент представляется чисто схоластическимF На самом делеD если и можно говорить о какомEто коэффициенте сноса для логарифмов цен акцийD то он во всяком случае является переменным во времени и неизвестным по этой причине для операторов рынкаF Они бы и рады выбрать на будущее время актив с большей в среднем скоростью ростаD но не имеют способа это сделатьF @НапримерD в UHEх годах двадцатого века американские безрисковые бумаги в самом деле росли в среднем


PH быстрееD чем акцииD но выяснить это удалось только апостериориFA Но подобными аргуE ментами полна математическая физикаF Равенство @PHA можно переписать в виде

E((S

t+h

/Bt+h ) | St ) = St /Bt ,

(21)

что означаетD что дисконтированные цены акций образуют мартингалF По этой причине соответствующие меры на траекториях случайного процесса St принято называть марE тингальнымиF Таким образомD выражение для цены опциона мы получим как математиE ческое ожидание некоторой величины по мартингальной мереF ИтакD рассмотрим стандартный опционEколл с ценой исполнения K и моментом исE полнения T F Чему равна его цена v (t, St ) в момент t, 0 t T D если акции в этот момент стоят St c Покупатель собирается получить доход (ST - K )+ через время T - t. Дисконтируем поэтому доход множителем exp(-r(T - t)) и постулируем равенство

v (t, St ) = E{(ST - K )+ exp(-r(T - t)) | St }.
Вопрос состоит лишь в томD чтобы С этой целью заметимD что ST на с параметрами a(T - t), T - ТогдаD в силу известного правила величиныD получаем


вычислить правую часть последнего равенстваF = St exp , где " нормальная случайная величиE t. Обозначим ее плотность распределения через p(x). о вычислении математического ожидания случайной


v (t, St ) =
-

(St e - K )+ p(y )dy =
ln(K/St )

y

(St ey - K )p(y )dy .

(22)

Непосредственное вычисление по формуле @PPAD в которую вместо p(y ) подставлена норE мальная плотность с указанными выше параметрами @причем a определено из соотношеE ния @PHAAD дает следующий результатF Введем два выражения x+ (t) формулой

ln(St /K x+ (t) = + T -t
Тогда

r + . 2 K (x- (t))Bt , BT

v (t, St ) = St (x+ (t)) -

(23)

где " функция ЛапласаF Формула @PQA представляет собой знаменитое выражение для цены опциона по БлэкуE ШоулсуEМертонуF Формально мы рассуждали с точки зрения математического ожидания дохода покупателяD воспользовавшисьD впрочемD предположением @PHA мартингальности мерыF Поскольку параметр a исключен с помощью выражения @PHAD полученный ответD естественноD не зависит от aF ОднакоD если бы оказалосьD что на самом деле более праE вильным было бы какоеEто другое значение aD то это повлияло бы существенно на цену опциона с точки зрения покупателя @ясноD что чем больше aD при постоянном D тем


PI выгоднее опцион для покупателяAF Тем более удивительно то обстоятельствоD что цена хеджирования опциона вовсе не зависит от a и определяется выражением @PQA независимо от тогоD верно или неверно предположение мартингальности @PHA @все этоD конечноD в рамках модели геометрического броуновского движения и хеджирования в непрерывном времениAF Качественно причина этого состоит в томD что при любом a колебания логарифE ма цены акцийD связанные со сносомD имеют порядок ahD где h " малый шаг по времениD а колебанияD связанные с диффузией имеют порядок hD тFеF существенно большеD чем колебанияD связанные со сносомF Но прежде чем обосновывать эти утвержденияD выведем сами формулы для стратегии хеджированияD демонстрируя опять эффективность эвриE стических соображенийD казалось быD вполне наивныхF Какую долю акции должен иметь хеджер в момент tc Хеджер стремится @по возE можностиA избавиться от неопределенностиD связанной с колебаниями курса рискового активаD тFеF акцийF В его портфеле имеется @EIA опционD поскольку он его продалF НаверноD в портфеле хеджера должно быть такое количество акцийD чтобы капитал портфеля был возможно более стабильнымD а это значитD что колебания стоимости акций в портфеле должны компенсироваться колебаниями стоимости опциона @а для последней у нас есть выражение @PQAAF Иначе говоряD хеджеру предлагается иметь так называемый EнейтральE ный портфельD количество акций в котором t = t дается формулой
t = v (t, St )/ St .

Вычисляя с помощью формулы @PQAD мы должны дифференцировать по St два разаX St входит в @PQA в качестве множителя у первого слагаемогоD а также под знак фукции Лапласа через величины x+ (t) и x- (t). Поэтому в процессе дифференцирования возE никнет производная функции Лапласа " плотность стандартного нормального закона F ОказываетсяD имеет место тождество

Bt St (x+ (t)) = (x- (t)), K BT

(24)

проверить которое можно непосредственноD используя явное выражение для (x). С учеE том тождества @PRA получаетсяD что результаты дифференцирования по St D входящему под знак функции D дают в сумме нульD и окончательно
t = (x+ (t)).

(25)

Сопоставление общей формулы @IPA для капитала @в данном случае " капитала хедE жераAD формулы @PQA для цены опциона и формулы @PSA для количества акций в портфеле хеджера наводит на мысльD чтоD возможноD цена опциона @PQA на самом деле при любом t равна капиталу хеджераF И в этой теории это действительно верноD при условииD что это верно в начальный момент t = 0F ВпрочемD при t = 0 этого легко добитьсяD положивD чтобы начальная цена опциона c равнялась v (0, S0 )D иными словами

c = S0 (x+ (0)) -

K (x- (0)). BT

(26)

В самом делеD получив с покупателя опциона в момент t = 0 цену опциона @PTA и следуя стратегии @PSAD хеджер должен будет в этот момент купить долю акцииD равную (x+ (0))F


PP Для этого ему придется занять @скорее всегоD со своего собственного счета в бонахA суммуD равную как раз второму слагаемому формулы @PTAF Другими словамиD если через t обозначить капитал хеджера в момент tD то автоматически выполняется соотношение
0 = -

K (x- (0)). BT

Можно доказатьD что формулы @PTA для начальной цены опционаD @PQA для цены опE циона в момент t и @PSA для стратегии хеджирования образуют некое гармоническое единствоF ИменноD если обозначить
t = (x+ (t)), t = -

K (x- (t)), BT

(27)

то капитал

Xt = t St + t Bt = v (t, St )

(28)

будет капиталом некоторой самофинансируемой стратегии с начальным капиталом @PTAF Это означаетD что капитал хеджераD который занимается лишь перераспределением капиE тала между акциями и бонамиD в каждый момент будет в точности равен цене опционаF НапримерD если покупателю опциона надоест эта бумага и он не захочет дожидаться момента исполнения T D то он может в момент t вернуть опцион эмитентуD получив за него столькоD сколько он стоит в момент tD тFе v (t, St ). При этом хеджер окажется с нулевым капиталомF Или можно самофинансируемость портфеля понимать такD что хеджерD приE держивающийся стратегии @PSA для числа акций в портфелеD всегда будет иметь долг в бонахD в точности равный t . Как же можно доказать самофинансируемостьc Дело в томD что это утверждениеD которое является центральнымD в том смыслеD что благодаря ему сводятся концы с конE цами в теории хеджированияD верно лишь в случае непрерывного хеджированияF Но само непрерывное хеджирование требует определения самофинансируемости в терминах стохастических дифференциаловX именно портфель Xt = (t , t ) называется самофинанE сируемымD если выполняется соотношение в стохастических дифференциалах

dXt = t dSt + t dBt .
Проверка этого соотношения применительно к портфелю @PVA сводится к непосредственE ным вычислениямD которые выходят благодаря тождеству @PRAF @И она выходит при люE бом значении aD независимо от условия мартингальности меры @PHAFA Но для наших целей нет необходимости пользоваться техникой стохастических уравненийD поскольку хеджиE рование в непрерывном времени все равно практически нереализуемоD и вопросD конечE ноD состоит в томD насколько точно выполняются выводы теории при разумно маломD но конечном временном шагеD с которым производится подправление портфеля хеджераF Исследованием этого вопроса мы займемся в следующем пунктеF Здесь же мы обсудим в заключение некоторые варианты теоретического сценария игры на опционахF ИтакD начальный капитал эмитента и стратегия хеджирования не зависят от параметE ра сноса a модели геометрического броуновского движенияD а математическое ожидание дохода покупателя опционаD разумеетсяD зависитF В теории рассматривается такой сценаE рийD при котором покупатель опциона хеджирует свои потери @беря в долг акцию частями


PQ и продавая ееA так успешноD что в конце концов оба @покупатель и продавец опционаA остаются с нулевым капиталом при любом значении параметра aF Такое теоретически возможноD но вряд ли представляет какойEлибо практический интересF Кроме европейских опционов с фиксированным моментом исполнения t = T D часто встречаются американские опционыD которые можно предъявлять к исполнению в любой момент t T D получая при этом доход (St - K )+ . Казалось быD такая возможность для покупателя опциона создает дополнительные трудности для хеджераD но практически вряд ли следует этого опасатьсяF Дело в томD что при нормальных условиях на рынE ке @вне моментов кризисаA опционы вполне ликвидныD тFеF их можно достаточно быстро продаватьF Продажная цена опциона не может быть меньшеD чем те деньгиD которые за него можно получить прямо сейчас @тFеF (St - K )+ .A СледовательноD выгодней продать опционD чем предъявить его к исполнениюD и хеджер может не беспокоиться о томD что опE цион поменял владельцаF Только в моменты биржевых кризисовD когдаD допустимD остро нужны деньги немедленноD а опционы потеряли ликвидностьD можно ожидать предъявE ления к исполнению американских опционовF Но кризисные явления вообще не могут быть охвачены стохастической финансовой математикойD которая так или иначе говорит о вероятностяхD а следовательноD о статистической устойчивостиF На протяжении многих лет теоретики немало удивлялись томуD что реальные бирE жевые цены опционов не совпадают с ценами БлэкаEШоулсаF Разницу пытались списыE вать на неточное знание будущей волатильности @мы уже виделиD что волатильность не остается на самом деле строго постояннойAF Возникло понятие имплицированной @или неявнойA волатильностиD которая получается путем приравнивания цены опциона @PQA реальной цене и решения получившегося уравнения относительно волатильностиF Если бы этот прием рассуждений приводил к удачеD то можно было бы определять по фактиE чески наблюдаемым ценам опционовD какую именно волатильность ожидают в будущем операторы рынкаF К сожалениюD даже простейший стандартный опционEколл имеет два параметра " срок исполнения T и страйкEцену K F По смыслу рассужденияD имплицироE ванные волатильности не должны зависеть от этих параметровF На самом деле " зависятF НапримерD график зависимости имплицированных волатильностей от отношения K/St на вид напоминает улыбку @так называемая ?улыбка волатильности?AF Реальные ценыD так сказатьD смеются над усилиями теоретиков их объяснитьF Но надо сказатьD что основE ная масса сделок с опционами заключается незадолго до окончания срока их действия и для страйкEценD близких к текущей цене активаF ПонятноD что речь не идет об эмиссии таких опционовD а о томD что спекулянты продают друг другу ранее выпущенные опциоE ныD которые оказались у них на рукахF Проблема хеджирования и мартингальность мер совершенно не интересует таких спекулянтовX им бы нужно по возможности точно узнать математическое ожидание выплатD которые через несколько дней будут причитаться по этим опционамF Вот они и пытаются сделать этоD прогнозируяD как умеютD динамику цен акцийD и в соответствии с этим прогнозом определяяD за какую цену они хотят купить или продать опционыF Сведений об исследовании качества таких прогнозов мы не имеемF


PR
HFV Исследование дисбалансов при хеджировании опционов

Обратимся теперь к исследованию возможностей применения формул для цены и стратеE гии хеджирования опционовF ОпятьEтакиD нужно остановиться на какомEто сценарии дисE кретного применения таких формулD которые обоснованы в непрерывном случаеF ПервоеD что следует сделатьD это определить значение волатильности D от которой все и зависитF Единственный сколькоEнибудь объективный способ это сделать " воспользоваться оценE кой волатильности по какомуEто числу прошлых наблюдений цен акций данной компанииF Выбор этого числа " дело специальных экспериментовF @А еще можно учитывать все прошлые наблюдения с какимиEто весамиX тогда мы столкнемся с проблемой выбора весовFA ДопустимD что вопрос о выборе значения волатильности какEто решенF В начальный момент времени t = 0 хеджер получает за опцион цену c БлэкаE Шоулса и может сформировать свой портфель (0 , 0 ) в соответствии с теоретическими предE писаниямиX 0 = 0 , 0 = 0 . Дальше нужно выбрать какойEто шаг по времени h и в моменты времениD разделенные этим шагомD какEто подправлять портфельF С учетом операционных расходов не рекомендуется поправлять портфель слишком частоD а скаE жемD один раз в день @по ценам закрытияA или один раз в неделю @тFеF в пять торговых днейAF Теперь уже не получится такD что и количество бон в портфелеD и количество акций совпадают с теоретическимиD так что нужно чемуEто отдать предпочтениеF Для хеджера естественно беспокоиться об акцияхD как о более непредсказуемом активеD и мы примем такой сценарийD когда в дискретные моменты количество акций делается равным теоретическомуF @Но можно было принять количество бон равным теоретическомуD что было бы неизбежнымD если представить себеD что хеджер берет боны не из собственного капиталаD а получает от некоего фондаD который дает ровно столькоD сколько требуется теориейFA ИтакD мы постулируемD что при t = k h, k = 0, 1, . . . количество акций в портфеE ле @которое мы теперь обозначим (t) и соответственно количество бон обозначим (t)A дается равенством (t) = t .
При этом (0) = 0 в силу сценарияD при котором цена опциона @начальный капитал хеджераA равна цене БлэкаEШоулсаD но при t = 0 равенство теоретического и реального числа бон соблюдаться не будетF Таким образомD возникнет дисбаланс D(t) = (t) - t ,

равный разности между реальным и теоретическим числом бон в портфеле в момент t = k h. Весь вопрос состоит в томD велики или малы получающиеся значния дисбалансовD а в особенностиD последнее значение D(T )F Теоретические формулы для состава портфеля таковыD что при t = T и ST > K имеемX T = 1, T = -K/BT . Опцион в этом случае исполняетсяX хеджер отдает имеюE щуюся у него акцию по цене K @в долларахAD что в бонах составляет как раз -K/BT D и погашает создавшийся долг в бонахD оставшись с нулевым капиталомF При ST < K количество акций и бон в портфеле хеджера равно HD но и опцион исполнять не нужноF Капитал хеджера опять нулевойF Случай ST = K в модели геометрического броуновского движения возможен лишь с вероятностью HF НоD впрочемD при компьютерной имитации дискретного хеджирования последний случай возможенF В этом случае обращающийся в


PS нуль знаменатель в формулах БлэкаEШоулса заменяют какимEто малым положительным числомD и тогда получаетсяD что при t = T количество акций в портфеле равно IGPD а количество бон равно -K/2BT , так что и в этом случае долг хеджера в бонах погашаетсяF Отсюда ясноD что дисбаланс D(T ) равен как раз капиталу @в бонахAD который остается у хеджера после выполнения обязательства @если его нужно выполнятьAF Его разумно сопоставлять с начальным капиталом хеджераD тFеF с ценой опциона cF Таким образомD возникает понятие относительного дисбаланса D(T )/c. Рассмотрим подробнее порядок величины чиселD которые могут возникнуть при дисE кретной реализации хеджированияF Пусть для t = k h известны значения (t) = t и (t). РассмотримD что произойдет при переходе от t к t + hF В момент t + h нужно приобрести дополнительное количество акций (t) = t+h - t D на что потребуется дополнительное количество бон (t), задаваемое формулой

(t) = - (t)S

t+h

/Bt+h .

(29)

Каков порядок величины (t)c Обращаясь к формуле @PSAD мы видимD что порядок изменения величины (t) = t определяется порядком изменения x+ (t)D который @при достаточно больших значениях разности T - tD стоящей в знаменателе выражения x+ (t)A зависитD главным образомD от приращения ln St F Последнее имеет порядок величины hF Таким образомD (t) меняется на величину порядка hF В общемD при увеличении курса акций St увеличивается и (t)D хотя это утверждение не совсем точноD поскольку в выражении для x+ (t) имеется и второе слагаемоеF Плавные изменения аргумента x+ (t) функции (t) превращаются в резкие по мере приближения t к T D но это не приводит к резким изменениям самой функцииD если величины St заметно отличаются от величины K D поскольку функция Лапласа мало меняется при больших по абсолютной величине значениях аргументаF Однако если при приближении t к T значения St колеблются воE круг значения K D то возникают резкие колебания количества акций в портфелеF ПонятE ноD что такой режим практически совершенно нежелателенD и стратегия хеджирования БлэкаEШоулса на практике должна дополняться какимEто правиломD прерывающим слеE дящее хеджирование при возникновении подобных колебанийF ВпрочемD при имитации хеджирования по реальным данным о ценах акций @результаты которого описываются в дальнейшемA подобные ситуации не исключалисьF ПонятноD что имея данные о реальной динамике цен акцийD можно произвести скольE ко угодно опытов имитации хеджирования по указанному сценарию @когда реальное коE личество акций совпадает с теоретическимA и получить большое количество значений дисбалансов в отдельных опытахF Как оценить эти результаты в целомc Ведь в опытах получаются как малые значения @относительныхA дисбалансовD так и очень большиеD доE ходящие до нескольких единицF @НапримерD если относительный дисбаланс равен @EIAD что иногда случаетсяD то это означаетD что хеджер должен был бы получить двойную цену опционаD чтобыD как полагаетсяD остаться с нулевым капиталомFA Когда применение теории не во всех случаях дает хороший результатD вопрос ставится более мягкоX может бытьD хотя бы в большинстве случаев теория действует неплохоF @Сравните с ситуациейD когда мы хотим оценить эффективность того или иного метода лечения определенной боE лезниF Ответ дается в статистических терминахD напримерD что в IGQ случаев достигается выздоровлениеD в IGQ E улучшение и в IGQ никакого эффектаFA Но чтобы статистическая


PT оценка результата вообще имела смыслD нужна определенная статистическая устойчиE востьX если для какогоEто количества прошлых опытов называются определенные цифры эффективностиD то мы должны предполагатьD что и в будущем эти цифры окажутся сходE нымиF На практике в каждый данный момент мы ничего не знаем о будущемD а судим об устойчивости результатов путем их сравнения на различных частях того материалаD коE торый имеетсяF Это называется еще ?представительностью выборок?X подразумеваетсяD что если взять из материала выборки достаточного объемаD то они окажутся ?предстаE вительными? в том смыслеD что полученные по ним результаты будут близкимиF Эксперименты с имитацией хеджирования опционов по реальным данным показываE ютD что нечто подобное статистической устойчивости в самом деле существуетF Строго говоряD динамика цен акций статистически неоднороднаX лучшееD что может предложить наука для достижения статистической однородности " это перейти к логарифмамD но и после этого на графиках накопленных сумм квадратов приращений заметны такие отклонения от прямолинейностиD которых не должно было бы быть в условиях статисE тической однородностиF И тем не менееD с ростом числа наблюдений однородность как бы восстанавливаетсяX приращения графиков за два отдельных месяца могутD скажемD отличаться вдвоеD но если брать IHHH наблюдений @тFеF за четыре годаAD то различие приE ращений делается менее резкимF Если же взять достаточно большой материал @несколько десятков компаний за несколько летAD то статистический подход обретает как бы второе дыханиеX результаты тех или иных статистических обработок получаются похожими при различном выборе компаний и периодов времениF @В случае дисбалансов при хеджироваE нии опционов результаты дополнительно стабилизируются переходом к относительным дисбалансам " тFеF выражаются в долях начальной цены опционаFA Целесообразно начать с изложения некоторых возможностей для теоретического исE следования дисбалансовF Можно получить некоторое приближенное выражение для дисE балансаF Рассмотрим приращение дисбаланса
D(t) = D(t + h) - D(t) = ( (t) - t ).

(30)

Мы будем приближенно исследовать это выражениеD опятьEтакиD в стиле матемаE тической физикиD считая приращение времени h малой величинойD но надеясь на тоD что результат будет применим и при конечном значении h @напримерD при h = 1 деньAF ПонятноD что приращение @QHA определяется @при выбранном и фиксированном A знаE чениями курса акций St и St+h F ОбозначимD как и ранееD ln(St+h /St ) = t D тFеF

S

t+h

= St exp t ,

(31)

и постараемся получить приближенную формулу для @QHA вообще без всяких вероятE ностных предположений о t F Сделаем лишь предположения о порядке величины t при малых hD а именно 2 t h, t h. (32)
2 Будем вычислять @QHA по формуле ТейлораD учитывая члены порядка t , t и h и преE небрегая членами более высокого порядкаF При этом воспользуемся явными выраженияE ми @PUA для t и t и выражением @PWA для (t)F ПриближениеD в котором учитываются первые и вторые степени некоторых случайных приращений и первая степень приращеE ния времениD характерно для концепции диффузионных случайных процессовF Поэтому такое приближение мы будем называть диффузионнымF


PU
Техника вычислений заключается в следующемF В выражения для t и t входит St через величины x+ (t)Y соответственноD в выражения для t и t войдет St+h D котоE рое мы заменим по формуле @QIAF В конечном счете получатся функции от St , t и hD которые нужно разложить по формуле Тейлора при фиксированном St D считая малыми h и t @учитывая лишь члены указанного выше порядкаAF После вычислений для саE мих выражений (t) и t получаются малоинтересные громоздкие формулыD но для их разности @QHA происходит довольно удивительная вещьD которая еще раз доказывает удивительную удачность формул БлэкаEШоулсаEМертонаF ИменноD с учетом тождества @PRAD сокращаются все члены порядка t и почти все члены порядка h и остается довольно простое выражениеD которое мы будем называть приращением дисбаланса в диффузионE ном приближении @корочеX диффузионного дисбаланса A и обозначать Ddif (t)F Формулы следующиеX D(t) Ddif (t), (33) 2 2 K (x- (t))(t - h 2 ) St (x+ (t))(t - h 2 =- . BT Bt 2 T - t 2 T - t Сам диффузионный дисбаланс Ddif (t) определим как сумму его приращений в точках t = 0, t = h, . . . вплоть до точки t - hF @СчитаетсяD что t " целое кратное hFA В частностиD если T " целое кратное hD то Ddif (T ) определяется равенством

где

Ddif (t) = -

Ddif (T ) = -

K BT

T -h t=0

2 (x- (t)(t - h 2 ) =- 2 T - t

T -h t=0

2 St (x+ (t))(t - h 2 ) . Bt 2 T - t

(34)

Для физика является убедительным следующий аргументF Поскольку равенство @QQA верно с точностью до o(h)Dа число слагаемых в @QRA равно T /hD то равенство D(T ) Ddif (T ) верно с ошибкойD стремящейся к нулю при h 0F @МатематикD конечноD таE ким рассуждением не удовлетворитсяD а потребует какойEто равномерной по t оценки ошибки при замене истинного приращения дисбаланса на приращение диффузионного дисбалансаFA Но поскольку делать h менее I дня по ряду причин бессмысленноD надо признатьD что в своих надеждах на аппроксимацию истинного дисбаланса диффузионE ным мы рассчитываем не столько на строгое доказательство @будь то на уровне физики или математикиAD сколько на удачуF ДействительноD в очень многих случаях вычисленE ные по реальным данным D(T ) и Ddif (T ) достаточно близкиF Исключением из этого правила является такая ситуацияD когда St оказывается близким к K при t близких к T @это те случаиD когда и само хеджирование по БлэкуEШоулсу следует какимEто споE собом прекратитьAF ИзEза малого @при t T A знаменателя T - t в этом случае даже малые значения t приводят к большим изменениям x+ (t)D и формула Тейлора перестает действоватьF ВпрочемD и из самого вида формулы @QRA понятноD что эта форму моE ла жет на чтоEнибудь либо годиться лишь в том случаеD когда малый знаменатель T - t компенсируется малыми же значениями (x+ (t))F Эксперименты показываютD что в большинстве случаев диффузионный дисбаланс явE ляется вполне разумным приближением для точного дисбаланса @из нескольких тысяч экспериментов лишь в IEP 7 случаев приближение оказывается плохимAF В тех же слуE чаяхD когда на приближенное выражение для дисбаланса @QRA можно ориентироватьсяD из него видно довольно многоF


PV
2 Приращение диффузионного дисбаланса равно нулюD если t = h 2 F Иными словамиD когда мы выбираем значение волатильности D мы как бы планируем будущий теоретиE ческий портфель хеджера (t , t ) в расчете на такие расходы на хеджированиеD которые 2 = h 2 F Если при какомEто t оказалосьD что 2 > h 2 D то приращение отвечают случаю t t дисбаланса отрицательноD тFеF требуется превышение фактических расходов (t) над запланированными t F При этом безразличноD в какую сторону произошел скачок цены 2 акции @тFеF положительно или отрицательно t AF Если t < h 2 D то появляется экономия в сравнении с запланированными @на момент перехода от t к t + hA теоретическими расходами t F При этом простота выражения для диффузионного дисбаланса позволяет легко оценить порядок величины возникающих чиселF При h = 1 день типичное значение h составляет примерно HFHPF ДопустимD что значение t оказалось @по абсолютной величинеA впятеро большеX t = -0.10D тFеF за один день акции упали на IH7 @такие случаи хотя и редкоD но бываютAF В такой ситуации игроки на фьючерсах могут потерять весь капиталD а что случится с хеджеромD испольE зующим стратегию БлэкаEШоулсаc Допустим для примераD что T = 100 днейD t = 50 днейD K = S0 F В такой ситуации начальная цена опциона c составляет примерно IH7 от цены акции S0 @она зависит еще от банковского процента rD но слабоD поэтому значение r мы не выбираемAF Что касается величины множителя (x- (t))D то возьмем его наихудшее @тFеF наибольшееA возможное значение около HFR F @Оно получается при x- (t) = 0.A При таких числах приращение диффузионного дисбалансаD отвечающее t = 50 есть примерно (-0.03K/BT ). Поскольку при K = S0 величина K/BT по порядку есть цена акции @ 10cAD то при подобной рыночной катастрофе хеджер за один день теряет QH7 денегD полученных за опционD что довольно многоF Если же t близко к T D напримерD t = 99D то мы получили бы в U раз большее числоD еслиD конечноD оно не компенсируется большим значением |x- (t)|D тFеF близким к нулю значением (x- (t))F Мы еще раз видимD что тот случайD когда St близко к K при tD близком к T D является крайне неудачным для хеджированияF КонечноD постоянную величину нельзя выбрать такD чтобы при всех t выполнялось 2 равенство t = h 2 F Речь может идти о выполнении такого равенства ?в среднем?F Чтобы обсуждатьD что такое ?в среднем?D приходится вернуться к вероятностной моделиD в коE 2 торой мы приходим к условию Et = h 2 D тFеF волатильность и здесь разумнее считать 2 связанной с Et D чем с дисперсией Dt F В рамках вероятностной модели с независимыми приращениями логарифмов цен t нетруден расчет тех или иных характеристик диффуE зионного дисбалансаF ПравдаD статистические ансамблиD о которых при этом приходится думатьD имеют тенденцию плодиться и размножатьсяF В рамках ансамбляD связанного с рядом цен акций одной фиксированной компанииD трудно говорить о свойствах оцеE нок волатильности по какомуEто числу предшествующих наблюденийX если всего имеется PHHH наблюдений @этоD скажемD за восемь летAD а мы хотим создать независимые опыE тыD в которых волатильность на будущие IHH наблюдений оценивается по IHH прошлым наблюдениямD то таких опытов можно набрать всего IHF В математической статистике свойства оценок параметров всегда относятся к такому ансамблюD в котором данная оценE ка по данному числу наблюдений независимо повторяется много разF Но если рассмотреть рынок акций многих компаний @за те же восемь летAD то тут уже можно говорить о стаE тистических свойствах оценок волатильностиD причем сразу ясноD что в таком ансамбле


PW систематической ошибки @в оценках будущей волатильности по прошлым наблюдениямA 2 не будетF Таким образомD на уровне здравого смысла гарантируется равенство Et = h 2 D ^ где " это оценка волатильности по прошлым наблюдениямF СледовательноD в ансамбле ^ многих опытов имитации хеджирования мы ожидаем близкого к H среднего значения дисбалансаF Если рассмотреть сумму @QRA в рамках модели геометрического броуновского движеE ния при известном значении D то @в силу независимости приращенийA получится сумма некоррелированных слагаемыхD каждое из которых имеет нулевое среднееF Дисперсия такой суммы равна сумме дисперсий отдельных слагаемыхD которые легко вычислить @и результаты просуммировать приближенно или в численном виде точно с помощью компьютераAF Но здесь уже не стоит ожидать совпадения такой теоретически вычисленE ной дисперсии с выборочной дисперсией тех дисбалансовD которые получаются в опытах имитации хеджированияD потому что сюда не включается разбросD связанный с оценкой будущей волатильности по прошлым наблюдениямF До известной степени представление диффузионного дисбаланса в виде суммы @QRA ориентирует на теоретическое ожидание нормального распределения для наблюдаемых в опытах хеджирования дисбалансовD хотя математических предельных теорем такого рода и не известно @слагаемые в сумме @QRA имеют различные распределения изEза множителей (x- (t))D которыеD в общемD приближаются к нулю с увеличением tAF Таким образомD выражение @QRA для диффузионного дисбалансаD в общемD ориентиE рует на определенные ожидания статистических свойств дисбалансовD которые могут наблюдаться при имитации хеджирования по реальным даннымF ЗамечаниеF Формула @QRA кажется несколько экзотическойD поскольку основана на тождестве @PRAF Можно дать менее экзотический вывод этой формулыD если основываться на хорошо известном в теории диффузионных процессов дифференциальном уравнении для цены опциона v (t, St ) = E[(ST - K )+ exp(-r(T - t))|St ]. Такой вывод обобщается на случайD когда функция выплат по опциону не есть обязательE но (ST -K )+ D а может быть произвольной функцией вида f (ST )F В этом случае получается приближенное выражение для дисбалансаD имеющее вид линейной комбинации величин 2 t - h 2 некоторыми зависящими от St коэффициентамиF Но в общей теории хеджиE рования опционов рассматривается также ситуацияD в которой функция выплат может зависеть от всех значений St , 0 t T . Для такого общего случая пока что ничего не известно о дисбалансахD которые могут возникнуть при дискретной реализации стратегий хеджированияD установленных для непрерывного времениF Теперь мы можем обратиться к изложению результатов некоторых экспериментальE ных исследований дисбалансовF ПонятноD что мы не можем рассчитывать на создание вероятностных моделейD адекватно отражающих динамику цен акцийF Поэтому экспеE риментальные исследования должны исходить из реальных рыночных ценF К счастьюD огромное количество подобных данных доступно непосредственно в электронном видеD и трудность состоит только в выборе материалаF Для исследования был взят рынокD соE стоявший из акций примерно PHH американских компаний @цены закрытияA за время с начала IWVW года по конец января IWWU года @тFеF несколько более V летAF Большинство компаний @но не всеA присутствовали в данных за весь период @несколько более PHHH наE


QH блюденийAD но имелись и более короткие файлы данныхF Надо заметитьD что по числу компаний это менее IH7 компаний всего американского рынкаD причем выборка опреE деленным образом смещенаF Эти компании были выбраны апостериори в начале IWWU годаD как компанииD акции которых на тот момент представляли наибольший интерес для спекуляцийF @Всего в списке PIS названий компанийD но ввиду тогоD что не все комE пании присутствуют с самого началаD мы говорим об этом рынке как о рынке ?примерно двухсот? компанийFA Отдельный эксперимент имитации хеджирования по реальным данным состоял в томD что файл данных с ценами акций определенной компании разделялся на последовательE ные куски определенной длиныF Для каждого куска @начиная со второгоA волатильность оценивалась по данным предыдущего кускаD а затем производилась дискретная реализаE ция стратегии хеджирования опционаD в результате чего получалось значение дисбаланса @а также вычислялось значение диффузионного дисбалансаAF Эти значения делились на начальную цену опционаD тFеF окончательно рассматривались относительные дисбалансыF К сожалениюD условия всякого экспериментального исследования имеют массу паE раметровD значения которых невозможно перебратьD и приходится останавливаться на какомEто произвольном сочетании параметровF Длина кусковD на которые делились файE лы данных была принята равной IHID тFе каждый кусок в отдельности может быть обознаE чен как отрезок целых чисел [0, T ]D гдеT = 100F Шаг хеджирования h был принят равным I днюF СтрайкEцена опциона принималась равной начальной цене акцииX K = S0 F Что касается банковского процента rD то в разных опытах его значения варьировалисьD но поскольку при разумном порядке значений r от него мало что зависит @на интервале T = 100 днейAD в большинстве опытов считалосьD что r = 0F Неблагоприятные для хеE джирования по БлэкуEШоулсу случаиD когда St близко к K = S0 при t близких к T в данной обработке не отбрасывалисьF Результаты около QHHH опытов хеджирования в указанных условиях представлены в виде эмпирической функции распределения для относительных дисбалансов на рисFVF СобственноD на нем две эмпирических функции " одна для точных дисбалансов и одна для диффузионныхD но в масштабе чертежа они практически сливаются @что доказываE ет и тоD что диффузионное приближение для дисбаланса оказалось достаточно точным для целей статистического исследованияAF По ходу опытов отчасти проверялась и стаE тистическая устойчивость тFеF близкое сходство эмпирических функций распределенияD получаемых при разбивке исходного материала по группам компаний иGили по периодам времени @понятноD что сколькоE нибудь исчерпывающая проверка однородности невозE можнаAF Мы видимD что на рисFV представлено распределениеD в общемD близкое к норE мальному с нулевым средним @медиана близко совпадает с нулемAD но имеющее тяжелые хвостыD особенно левыйX отрицательные значения дисбалансов доходят до @EPAF @В случае такого дисбаланса хеджер должен был бы получить за опцион не цену cD а цену 3cD чтоE бы остаться с нулевым капиталомFA СомнительноD чтобы стоило искать распределениеD отличное от нормальногоD которое описывало бы эти хвостыD поскольку сама статистиE ческая устойчивость хвостов @тFеF тоD что для возможных другихD в частности E будущихD данных хвосты окажутся сходнымиA ничем не доказанаF Но оценку стандартного отклоE нения того нормального законаD который описывает основную часть всех наблюденийD лучше произвести не по сумме квадратовD а каким Eлибо робастным методомF Классики в свое время любили брать половину расстояния между квантилямиD отвечающими веE


QI роятностям HFIT и HFVRF Тогда прямо по чертежу V мы получаем значение HFPP в качестве стандартного отклонения для относительных дисбалансовF Иными словамиD примерно в PGQ всех случаев относительный дисбаланс не превосходит PP7F Хорошо это или плохоc С точки зрения финансовых расчетовD при которых ростовщики любят высчитывать десятые доли процентаD этоD конечноD плохоF Но давайте сравним результат с другими прикладными возможностями теории вероятностейF НапримерD существует такая класE сическая областьD как теория ошибокD которая берется указать границы для ошибки опреE деления той или иной физической константы по ее наблюдениям в опытеF Каждый знаетD что имея наблюдения x1 , x2 , . . . , xn и владея основами теории вероятностейD можно не инE тересоваться темD что это за наблюдения и какие для них источники ошибокD а поEпросту вычислить x и s и сказатьD что истинное значение измеряемой величины лежит в довериE ? тельном интервале x + k s/ n с заданной доверительной вероятностью 1 - F Значение ? k берется из таблиц нормального закона и в зависимости от доверительной вероятноE сти HFWS или HFWW может равняться IFWT или PFSVF Но ведь мы не знаемD какое именно из этих двух значений доверительной вероятности следует взять и потому приходим к вывоE дуD что с точностью PP7 длина доверительного интервала вообще не определенаF Кроме тогоD науке известно слишком много случаевD когда в реальной ситуации такие довериE тельные интервалы теории ошибок вообще опровергаются последующими более точными наблюдениямиF Иными словамиD точность PP7D которая подтверждается фактическими даннымиD очень даже хороша для вероятностных методов вообщеF Если обратиться к теоретической оценке стандартного отклонения для дисбалансов @с указанными выше параметрами опционовAD считаяD что значение волатильности составE ляет HFHP в пересчете на I деньD то получаются следующие результатыF ПредположимD что теоретическая модель геометрического броуновского движения действует точноFМожно вычислить методом МонтеEКарло стандартное отклонение для точных дисбалансовD а можно вычислить @также в модели геометрического броуновского движенияA и стандартE ное отклонение диффузионного дисбаланса @QRA путем писания формул с интеграламиF Оба метода дают согласующиеся результаты HFIH @для относительного дисбалансаAF ИтакD опыты на реальных данных дают результатD который лишь вдвое хужеD чем тоD что могло бы быть при точном действии вероятностной моделиF Это замечательный успехD который вряд ли бы получился при статистическом исследовании применимости теории ошибокF Надо полагатьD что дело здесь в том втором дыхании вероятностноEстатистических метоE довD которое заключается в установлении статистической однородности для достаточно большого @по периоду времени и по числу компанийA рынкаF Подобного явления трудно ожидать для ансамбля физических опытов по измерению константD да и исследование в этом случае представляет огромные технические трудности по сбору первичного материE алаD который заведомо нельзя получить в готовом электронном видеF ИтакD вывод состоит в томD что хотя теория БлэкаEШоулсаEМертона не обладает той точностьюD которую требует традиция для финансовых расчетовD она все же вполне приE годна для грубой ориентировки в ценах опционов и требует для своего применения лишь какойEто оценки единственного параметра " волатильностиD что совершенно элементарно делается по прошлым данным о динамике ценF


QP
HFW Несколько замечаний о гипотезахD которые можно высE казать в связи с изложенными результатами о дисбаланE сах

Предыдущие результаты ориентируют в томD какие могут быть реальные дисбалансыD но только для того частного случаяDкогда T = 100, K = S0 D для которого проводились опыты @кроме тогоD предполагалосьD что r = 0D но значение банковского процентаD поEвидимомуD мало существенноAF Как быть при иных значениях параметров опционаc Как показывают опытыD цифра PP7 для стандартного отклонения относительных дисбалансов не может быть не зависящей от параметровF Дело в томD что при увеличении страйкEцены K по сравнению с начальной ценой акций S0 резко падает цена БлэкаE Шоулса cD и относительные дисбалансы D(T )/c оказываются большимиF Обратная карE тина получается при снижении K в срвнении с S0 F Нормировочный множительD который стабилизирует дисбалансы @делая их независимыми от исторически сложившейся номиE нальной цены акцийA не может равняться cF Что можно предложить в качестве нормиE ровочного множителяc Дело в томD что при любых параметрах опциона можно сравнительно быстро расE считать теоретическое значение стандартного отклонения дисбалансовD тFеF то значениеD которое получилось бы при точном действии модели геометрического броуновского двиE жения с заданной волатильностьюF Это можно сделатьD напримерD методом МонтеEКарло для точных дисбалансов или теоретически для диффузионных дисбалансовF @МыD конечE ноD выдвигаем ту гипотезуD что диффузионное приближение будет действовать при люE бых параметрах опционаD а также " что распределение дисбалансов останется примерно нормальнымD без чего мало смысла в вычислении стандартного отклоненияFA Такое станE дартное отклонение будет пропорциональным начальной цене акцийD так что при делении на него @так предлагается нормировать реальные дисбалансыA цена акций исчезнетF ВыE двигается гипотезаD что при T = 100 для рассматриваемого рынка реальные дисбалансыD нормированные теоретическим стандартным отклонением @своим для каждой компанииD поскольку оно зависит от волатильностиA будут иметь примерно нормальное распредеE ление с нулевым средним и стандартным отклонением P @тFеF сохранится то отношение реального стандартного отклонения к теоретическомуD которое имело место при K = S0 AF Почему выдвигается такая гипотеза и откуда берется число P для данного рынка @и что должно быть вместо P для времени действия опциона T = 100Ac Анализ формулы @QRA для диффузионного дисбаланса показываетD что дисбаланс определяетсяD главным образомD точностью оценки будущей волатильности по прошлым даннымF Этот вывод подтверждается опытамиD при которых волатильность оценивалась по будущим данным @такое возможно при имитации хеджированияD когда прошлые и будущие цены акций на самом деле содержатся в имеющихся файлах данныхAF В этих опытах @опятьEтаки для T = 100, K = S0 A относительные дисбалансы уменьшились вчетвероX стандартное отклонение оказалось HFHS вместо HFPPF Была исследована экспериментально @для рынка PHH компанийA точность оценки буE дущей волатильности по прошлым даннымF В каждом отдельном опыте брались две оценки волатильности 1 и 2 по двум соседним сотням приращений логарифма курса акцийF Составлялась статистика ln(2 /1 )F Эмпирическая функция распределения этой


QQ статистики приведена на рисF W @в нормальном масштабеAF Мы видим на этом рисунке нормальное распределение с нулевым средним и стандартным отклонением @оцениваеE мым по квантилямA чуть больше HFPHF Каким было бы распределение указанной статистики при точном действии модели геометрического броуновского движения @со строго постоянной волатильностьюAc Мы имели бы разность ln 2 - ln 1 D где 2 " это случайная величинаD имеющая 2 Eраспределение с числом степеней свободы n = 100F Распределение это асимптотиE чески нормально с параметрами (n, 2n)D илиD если угодноD приближенно имеет вид n(1 + 2/n)D где N (0, 1)F После извлечения корня и взятия разности логарифмов получаемD что ln 2 - ln 1 (2 - 1 ) 1/2n, что соответствует нормальному распределению с нулевым средним и стандартным отE клонением 1/n = 0.1F Таким образомD для рассматриваемого рынка точность оценки будущей волатильности по IHH прошлым наблюдениям вдвое хужеD чем было бы при точном действии вероятностной моделиF ПоEвидимомуD и дисбаланс при хеджировании опциона с T = 100 будет вдвое больше @в смысле стандартного отклоненияAD чем тот дисбалансD который можно рассчитать методом МонтеEКарлоD моделируя ряд цен акцийD оценку волатильности по IHH предыдущим наблюдениям и хеджирование с волатильносE тьюD равной этой оценкеF Таким путем предполагается возможным исключить параметр K опционаD но что касается параметра T D то нужноD видимоD для ряда значений T эксE периментально изучать @по данным конкретного рынкаA точность оценки волатильности по какомуE либо числу прошлых наблюдений @не обязательно равному T AF
HFIH Условно гетероскедастичная модель

На графиках последовательных значений приращений логарифма цены акцийD несомненE ноD можно во многих случаях наблюдатьD как размах колебаний графика пульсируетX то увеличиваетсяD то уменьшаетсяF Термин ?гетероскедастичность? в статистике означает переменный разброс значений какихEто наблюденийD и в этом смысле приращения логаE рифмов цен гетероскедастичныF Это означает их статистическую неоднородностьD еслиD конечноD наблюдаемую неоднородность не удается свести в рамках какойEлибо статистиE ческой модели к одинаково распределенным случайным величинамF Волатильность ценных бумагDразумеетсяD подвержена влиянию окружающих эконоE мических и политических факторовD но количественно выразить подобные влияния не удаетсяF В науке с давних пор признано правилоDназываемое ?бритвой Оккама?D согласно которому не надо вводить в исследование такие факторы @или сущностиD или существаAD с которыми все равно ничего нельзя сделатьF Вот и делается попытка описать переменную волатильность с помощью того единственногоD что доступно количественному наблюдеE ниюD а именно с помощью самих цен рыночного активаF Таких попыток делается многоD каждая из них в отдельности имеет мало шансов на успех @потому что ясно ведьD что на самом деле многое зависит именно от внешних факторовD которые не введены в модельAD но после обсуждения всех этих попыток в литературе возникает и укрепляется мнениеD какие из них являются более удачнымиF


QR Среди удачных моделей источники охотно называют модели типа egrD qegr и сходные с ними @egr означает eutoegression gonditionlly reterosedstiD qegr E qenerlized egrAF Особенно удачной @в смысле использования небольшого числа параE метровA считается модель qegr@IDIAF Эта модель заключается в следующемF Генератором случая считается последовательность { k , k = 0, +1, +2, . . .} независиE мых одинаково распределенных случайных величин такихD что E k = 0, E 2 = 1F Эти k величины создают приращения логарифмов курса акций t = ln(St+1 /St ) по формулам

t =

tt

2 , t = 0 + 1

2 t-1

+ 1

2 t-1

,

(35)

где 0 , 1 и 1 " положительные числаF Таким образомD волатильность t в момент t выражается рекуррентно через t-1 и t-1 D причем происходит некое ?самовозбуждение? 2 волатильностиX если значение t-1 оказалось большимD то вероятнее всего окажется больE шим значение волатильности в следующий момент t F Таким образомD внешние воздейсE твия на рынок в модели заменяются самовозбуждением волатильностиF Модель @QSA предлагается для описания ежедневных цен закрытия торговD в то вреE мя как для колебаний цен внутри сессии она не рекомендуетсяF Этим данная модель отличается от более простой модели геометрического броуновского движенияD которая мыслитсяD как применимая с тем или иным успехом в любых временных масштабахF При работе с реальными ценами акций неизбежна замена тех или иных усреднений по ансамблю реализаций @которого нет в наблюденияхA усреднениями по времениF ПоE этому параметры 0 , 1 , 1 в @QSA выбираются таким образомD чтобы модель задавала стационарный случайный процессD в котором теряется статистическая зависимость межE ду значениями процессаD разделенными достаточно большим интервалом времениF Если 2 положить s = 1 2 + s D то получается следующая формулаX s
2 2 2 2 2 22 t = 0 (1 + t-1 + t-1 t-2 + ћ ћ ћ + t-1 . . . 1 0 ),

из которой ясноD что условием потери зависимости t от 0 @при t A является стремE 2 2 ление к нулю произведения t-1 . . . 1 F Логарифмируя и учитывая независимость величин s D мы видимD что это приводится к условию

E ln(1

2 s

+ 1 ) < 0.

2 Это условие предполагает лишь конечность математического ожидания для ln s F Если 2 2 же потребоватьD чтобы существовало Es и чтобы Et в пределе не зависело от 0 D то получаем несколько более сильное условие 2 1 + 1 = Es < 1.

(36)

Поскольку в модели @QSA величины t и

t

независимыD имеем равенство
2 t-1

2 Et = 0 + (1 + 1 )

.

Таким образомD даже небольшое нарушение условия @QTA приводило бы к быстрому росту 2 Et с ростом tD что совершенно бессмысленно при тех тысячах значений tD с которыми имеют дело в финансовых данныхF


QS В литературе сложилась традицияD в силу которой для оценки параметров модели @QSA постулируется какоеEлибо распределение величин t @напримерD нормальное N (0, 1)AD либо распределение СтьюдентаD нормированное условием E 2 = 1 и тFдFAF После этого модель t становится параметрической и параметры оцениваются методом максимума правдоподоE бияF ЗамеченоD что при этом сумма оценок параметров 1 и 1 нередко подходит близко к критической границе @QTAD а встречаются и публикацииD в которых граничное значение I превышаетсяF Нам не приходилось видетьD чтобы авторы публикаций применяли просE тейший и совершенно необходимый тест моделиD состоящий в делении ряда наблюдений на несколько частей и сравнении получающихся для каждой части оценок параметровF Поскольку от предположения стационарности ряда во времени уйти нельзяD такие оценки должны получаться разумно близкимиF ИзвестноD что оценки максимального правдопоE добия не являются робастнымиD а финансовые данные не могут не быть ?засоренными?F Поэтому во многих случаях оценки параметров по частям одного и того же ряда набE людений должны расходиться настолькоD чтобы поставить под сомнение возможность подбора моделиF Наш интерес к qegrEмодели связан с проблемой объяснения дисбалансов при хеE джировании опционовF Казалось быD модель @QSA направлена как раз на выяснение стаE 2 тистических свойств величин t D которые и входят в выражение @QRA для диффузионного дисбалансаF ДействительноD опыты по реализации модели @QSA с помощью метода МонтеE 2 Карло показываютD что вид графиков накопленных сумм величин t в зависимости от сочетания значений параметров может быть почти любымF В этом смысле графики на рисFRD построенные по реальным даннымD в принципеD объяснимы qegr E модельюF Объяснимы и наблюдаемые значения дисбалансовF Но те же опыты показываютD что для подобного объяснения сумму 1 + 1 нужно приблизить к единицеF Однако при этом графики накопленных сумм делаются неустойчивыми в том смыслеD что при разных случайных числахD генерируемых датчиком в качестве значений величин k D получаютE ся непохожие друг на друга графики даже при тысячах значений tF Финансовые ряE ды оказываются слишком короткимиD чтобы с ними можно было работать с помощью qegrEмодели с близкими к критической границе @QTA значениями параметровF Если сделать 1 + 1 = 0.99D то по двум тысячам значений t нельзя надежно оценить даже 2 стационарное значение Et D в то время как по реальным данным такая оценка вполне возможнаF Что касается объяснения дисбалансов при хеджировании с помощью qegrE моделиD то принципиальная возможность подбора такого сочетания параметровD которое объясE няет дисбалансы порядка HFPP или какиеEто другиеD недостаточнаF Хотелось бы большеE гоF НапримерD оценивая параметры qegrEмодели по первой половине ряда цен акций определенной компанииD мы хотели бы объяснить те дисбалансыD которые получатся при имитации хеджирования по второй половине ряда данныхF Если бы этот опыт удавалE сяD хеджер мог бы научиться отличать те компанииD которые в будущем дадут большие дисбалансыD от компанийD для которых дисбалансы окажутся малымиF Но понятноD что такое возможноD если оценки параметров по первой и второй половине ряда окажутся близкимиF Кроме метода максимума правдоподобияD который априори возбуждает сомненияD 2 параметры модели @QSA можно оценивать и по дисперсиям и корреляциям величин t F Нетрудно выписать уравненияD связывающие параметры со стационарными @по времениA


QT значениями этих величинF НапримерD известноD что 1 + 1 = r2 /r1 D где rk " коэффициE 2 2 ент корреляции между t и t+k F Однако опыты с реальными данными @тот же рынок PHH компанийA принесли печальный результатX оказалосьD что оценки коэффициентов корреE ляцииD полученные по первой и второй половине ряда наблюдений цен акции одной и той же компанииD как правилоD совершенно различныF Эти величины по порядку составляE ют несколько сотых и могут колебаться вдвое и большеD не говоря уж об их отношенииF ПравдаD было замеченоD что при усреднении коэффициентов корреляции по нескольким десяткам компаний получаются уже устойчивые @для первых и вторых половин рядовA числаF Но если отправляться от таких усредненных корреляцийD то получаются столь малые значения оценок параметров 1 , 1 D что дисбалансы не объясняютсяF И конечE ноD теряется возможность отличать компании с большими дисбалансами от компаний с малыми дисбалансамиF Чтобы выдвинуть какуюEто гипотезу для объяснения этогоD обраE тимся еще раз к рисFRF ПонятноD что большие дисбалансы при хеджировании возникают в моменты резкого изменения наклона графика накопленной суммы квадратовF Но таких моментовD можно сказатьD нет на графике для первой компании и имеется один @илиD может бытьD два для второй компанииAF И это за восемь лет наблюденийF Иными словаE миD резкие изменения волатильности не становятся еще предметом статистики за восемь лет наблюдений @в рамках акций одной компанииAF А поскольку именно изменения волаE тильности являются предметом qegrEмоделиD то применение этой модели к динамике цен одного фиксированного актива представляется @по совокупности изложенных выE ше наблюденийA бесперспективнымF ВпрочемD некоторые надежды могут возлагаться на ?второе дыхание? статистического подхода при укрупнении массивов исходных данныхD напримерD при переходе к данным по рынку в целомF Нелегко предложить обоснованное улучшение старой и заведомо неадекватной модели броуновского или геометрического броуновского движенияF
HFII Практическое значение хеджирования по БлэкуEШоулE суEМертону

Одно дело " теоретический результатD хотя бы и подтвержденный в определенной меE ре анализом фактических данныхD но другое дело " возможность и необходимость его практических примененийF Тут очень многое зависит не столько от математики или маE тематической и прикладной статистикиD сколько от возможных на практике вариаций теоретического сценария предполагаемых примененийF Если теоретик думает об одном сценарииD а на практике возможен инойD в чемEто лучшийD то это может вести к радиE кальным переменамF Вот мы и рассмотрим возможные вариации сценария хеджирования опционов и вытекающие из них выводыF ИтакD цена опциона по БлэкуEШоулсуEМертону дается выражением

v (t, St ) = E [(ST - K )+ exp(-r(T - t))|St ],
где E означает усреднение по мартингальной мереF Эта цена как начальный ориентир достаточно разумна для покупателя опционаD поскольку покупатель вряд ли может отE личитьD какая мера " тFеF мартингальная или нет " описывает будущую динамику цен акций @если вообще можно говорить об адекватном описании динамики цен за оставшееся


QU время T - tD возможно " довольно большоеD помощью какойEлибо вероятностной мерыAF Она также разумна и для эмитента " в рамках того теоретического сценарияD в котором эмитент является хеджером и ничего не хочетD кроме тогоD чтобы остаться в конце концов с нулевым капиталомF Последний вывод подтверждается многочисленными опытами на реальных данных по крайней мере в среднем @средний дисбаланс устойчиво оказывается близким к нулюAD а разброс дисбалансов в отдельных имитациях хеджирования оказыE вается удивительно малымF Вытекает ли из этогоD что на мировых биржах опционы торгуются по ценамD разумно близким к указаннойD а эмитенты опционов рассмотренным выше образом хеджируют свои обязательстваc Если эти вопросы задавать знатокам делаD то ответы получаются достаточно уклончивыеF Достоверно известно @и написано в ряде источниковAD что в IWUQ году предприимчивые электронщики выпустили в продажу на Чикагской бирже опционов микрокалькуляторD который вычислял цену БлэкаEШоулсаD и с успехом его продавалиF Но вот хеджировались ли опционы по БлэкуEШоулсу " об этом источники умалчиваютF Дело в томD что данные о хеджировании опционов нельзя извлечь из обычной биржеE вой статистикиX биржа сообщает о ценах сделок с акциямиD но о томD кто именно купил акции и с какой целью @тFеF с целью хеджирования или нетA умалчивает @коммерческая тайнаAF ВпрочемD данные о ценах сделок с опционами доступны и при их анализе обнаруE живаетсяD что цены существенно отличаются от теоретических @?улыбка волатильности?D которая упоминалась вышеAF Но что касается хеджирования " какие здесь возможны вариантыc Спокон века известна тривиальная стратегия хеджирования ?прикрытый опцион?F Она состоит в томD что одновременно с продажей опциона хеджер покупает акциюD коE торуюD возможноD придется в будущем поставить по цене K D и больше не делает ничего до окончания срока действия опционаF Пусть для простоты K = S0 F Тогда в начальный момент хеджер как бы предоставляет покупателю опциона заем S0 D который в случае исполнения опциона возвращается без процентовF Цена такой услуги равна банковскому процентуD который начисляется за время действия опционаD тFеF намного нижеD чем цеE на БлэкаEШоулсаF В теоретической модели хеджер потому берет большеD что хеджирует опционD опасаясьD что цена акций к моменту T упадет и покупатель опциона откажется от сделкиF ТогдаD согласно теоретическому сценариюD тот хеджерD который ограничился стратегией прикрытого опционаD должен освободиться @причем " с омерзениемX он же хеджерD а не спекулянт3A от ненужной ему акцииD продав ее по цене ST < S0 и понеся при этом потериF Но если рынок акций в целом растущийD то ведь хеджер может и оставить себе эту акциюD в надеждеD что в не столь отдаленном будущем цена опять подниметE сяD так что теоретическая угроза потерь не слишком реальнаF ПустьD напримерD эмитент опциона " это оператор финансового рынкаD который в отношении акций вообщеEто дерE жится стратегии ?uy nd hold?D но с благотворительными целями дает возможность тем игрокамD у которых не хватает денег на покупку целой акцииD поиграть на опционахD выE деляя для прикрытия часть имеющихся у него акцийF Для такого хеджера цена опциона " это банковский процентF КстатиD если опцион ничем не прикрытD то при его выпуске биржа берет с эмитента немалый залогD и не вполне ясноD какой залог она возьметD есE ли эмитент скажетD что он будет хеджировать по БлэкуEШоулсуF А прикрытый опцион залога не требуетF Для рынка PHH компаний были проведены эксперименты по сравнению стратегии


QV БлэкаEШоулса со стратегией прикрытого опционаD в которых потери эмитента вычисляE лись такD как положено в теории @тFеF эмитента заставляли сбрасывать акциюD если не исполнялся опционAD а ценаD получаемая с покупателяD во всех случаях равнялась цене БлэкаEШоулсаF ЕстественноD в случае следования стратегии БлэкаEШоулса средний остаE ток капитала у эмитента равнялся нулюD а если следовать стратегии прикрытого опционаD то в среднем эмитент сохранял у себя PS7 полученных за опцион денегF ПравдаD разброс результатов в отдельных опытах хеджирования в случае стратегии БлэкаEШоулса был намного меньшеD чем в случае тривиальной стратегииF ИтакD преимущество стратегии БлэкаEШоулса не в дешевизне хеджирования по этой стратегииD а в удивительной стаE бильности получаемых с ее помощью результатовF ПолучаетсяD что на уверенно растуE щем рынке эта стратегия практического значения не имеетD но на непредсказуемом рынке @каким был американский рынок акций в IWUQ году или какимD возможноD будет когдаE нибудь складывающийся в муках российский рынокA идея следящего за ценой основного актива хеджирования опциона заслуживает серьезного вниманияF КонечноD стратегия БлэкаEШоулса не может применяться в точности в виде теоретических формул @хотя бы потомуD что иногда возникают резкие колебания количества приобретаемых акцийAD но ведь теоретическая идея при ее практическом применении обычно разлагается на составE ные элементыD к ним добавляются какиеEто новые и из полученного сочетания чтоEнибудь выходитF