Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/content_root/programs/kaf/special/opu/varisopu-osm.doc Дата изменения: Mon Nov 10 08:55:14 2008 Дата индексирования: Sun Apr 10 03:14:56 2016 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: вариационное исчисление

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
проф. Н.П. Осмоловский
1/2 года, 4 курс, отделение математики
1. Простейшая задача вариационного исчисления. Слабый минимум. Первая
вариация интегрального функционала.
2. Лемма Дюбуа-Реймона и ее абстрактный аналог.
3. Уравнение Эйлера.
4. Сильный минимум. Игольчатые вариации. Условие Вейерштрасса.
5. Лемма о правом обратном отображении для линейного сюръективного
оператора.
6. Теорема Банаха-Шаудера об открытом отображении.
7. Накрывыние с константой a на открытом множестве полного метрического
пространства. Теорема о накрывании для линейного оператора.
8. Теорема Милютина о накрывании для суммы двух операторов: накрывающего
с константой a и стягивающего с константой b.
9. Метрическая регулярность нелинейного отображения и ее связь с
накрыванием.
10. Производная Фреше. Непрерывная дифференцируемость по Фреше в точке и
строгая дифференцируемость. Формулировка теоремы о среднем для операторов.
11. Накрывание и метрическая регулярность для строго дифференцируемого
оператора.
12. Оценка расстояния до нулевого уровня нелинейного оператора.
13. Теорема Люстерника о касательном многообразии.
14. Теорема об отделимости двух выпуклых множеств.
15. Теорема Дубовицкого-Милютина об отделимости конечного числа выпуклых
множеств. Следствие для конусов.
16. Лемма о нетривиальности аннулятора подпространства.
17. Лемма о замкнутости образа линейного оператора, действующего в
произведение пространств.
18. Лемма об аннуляторе ядра линейного сюръективного оператора.
19. Производная по направлению, производная Гато. Касательный конус к
множеству в точке. Необходимые условия локального минимума функционала на
множестве.
20. Правило множителей Лагранжа в задаче с ограничением типа равенства.
21. Лемма о непересечении аппроксимаций в точке минимума в гладкой задаче
с ограничениями типа равенства и неравенства.
22. Общий вид линейного функционала, неотрицательного на
полупространстве.
23. Правило множителей Лагранжа в гладкой задаче с ограничениями типа
равенства и типа неравенства.
24. Канонические задачи оптимального управления A и B. Связь между ними.
25. Правая обратная к монотонной кусочно линейной функции на отрезке. О
подстановке правой обратной в измеримую ограниченную функцию (измеримость
функции, полученной в результате подстановки).
26. О подстановке правой обратной к монотонной кусочно линейной функции
[pic] в липшицеву функцию [pic], удовлетворяющую уравнению [pic].
27. Управляемая система и расширенная управляемая система, связь между
ними.
28. Связь между канонической задачей B и ее расширением - задачей [pic].
29. Формулировка теоремы о неявной функции для банаховых пространств.
30. Нелинейный оператор, определяемый задачей Коши для системы
обыкновенных дифференциальных уравнений. Производная Фреше этого оператора.
Система уравнений в вариациях. Следствие для конечномерного оператора [pic]
концевых значений.
31. Формулировка принципа максимума в канонической задаче B.
32. Индекс [pic], функции [pic], [pic], [pic], [pic] на [pic], их связь с
оптимальным решением [pic] задачи B.
33. Оптимальность траектории [pic] в задаче [pic].
34. Конечномерная задача [pic] индекса [pic] и ее оптимальное решение
[pic].
35. Условия стационарности в конечномерной задаче [pic]. Частные
производные конечномерного оператора [pic] по [pic] и [pic].
36. Анализ условий стационарности в конечномерной задаче [pic]. Вывод
сопряженного уравнения и условий трансверсальности (в [pic]) в качестве
следствия из этих условий.
37. Анализ условий стационарности в конечномерной задаче [pic]. Получение
интегральных равенств и неравенств (в [pic]) в качестве следствия этих
условий.
38. Переход от независимой переменной [pic] к переменной [pic] в условиях
принципа максимума индекса [pic].
39. Конечномерный компакт [pic]. Лемма о равенстве нулю измеримой
функции.
40. Организация принципов максимума индексов [pic]. Непустота пересечения
компактов [pic] по [pic]. Завершение доказательства принципа максимума в
канонической задаче B.
41. Формулировка принципа максимума в канонической задаче A и его вывод с
помощью принципа максимума задачи B.
42. Лемма о равенстве [pic] на отрезке [pic] (где K - компакт, U -
замкнутое множество) и лемма о непрерывности функции [pic].
43. Лемма о липшицевости функции [pic] (где K - компакт) на отрезке
[pic]и лемма о производной этой функции по t.
44. Понятия экстремали и гамильтониана [pic] управляемой системы.
Множество [pic]. Теорема о том, что для любой экстремали [pic] всюду на
[pic]
45. Липшицевость функции [pic]; уравнение [pic]; эквивалентное
определение экстремали, не включающее компоненту [pic].
46. Уточнение условий принципа максимума (ПМ) в канонической задаче A.
Сопряженное уравнение на компоненту [pic] как следствие остальных условий
ПМ. Формулировка ПМ, не содержащая этой компоненты.
47. Каноническая задача A на фиксированном отрезке времени. Условия
принципа максимума для нее. Автономный случай.
48. Задача с интегральным функционалом на фиксированном отрезке времени.
Принцип максимума для нее.
49. Принцип максимума в задаче быстродействия.
50. Понятие понтрягинского минимума.