Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/tffa/programs/fa_2014_s_3_1_problems.pdf Дата изменения: Thu Jun 5 13:47:30 2014 Дата индексирования: Sun Apr 10 00:51:51 2016 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: m 63

ЗАДАЧИ ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ, предлагавшиеся на лекциях для I потока математиков, весенний семестр 2014 г.. Лектор А.Я.Хелемский. 1. 2. 3. 4. l2 . Спектр гильбертова сопряженного оператора к T есть (T ). Если r (T ), то p (T ). Если p (T ), то p (T ) либо r (T ). Найти спектры диагонального оператора, оператора левого и правого сдвига в

5. Найти спектр оператора сдвига в l2 (Z) и в L2 (R). 6. Найти спектр оператора умножения на существенно ограниченную функцию в L2 [a, b]. 7. Найти спектр оператора неопределенного интегрирования в L2 [0, 1]. 8. Спектр элемента чистой алге бры может быть любым подмножеством в C, в том числе и пустым. 9. При гомоморфизме спектр может сохраниться, а может и уменьшиться. 10. Спектр элемента банаховой алге бры и даже оператора в гильбертовом пространстве может быть любым компактным непустым подмножеством в C. 11. Классическая сходимость последовательностей в C [a, b] не может быть задана с помощью одной нормы. 12. Вейерштрассова сходимость последовательностей в O(D0 ) не может быть задана с помощью одной нормы. 13. Покоординатная сходимость последовательностей в не может быть задана с помощью одной нормы. 14. Описать сходящиеся последовательности в сильнейших полинормированных пространствах. 15. Хаусдорфово полинормированное пространство нормируемо его система преднорм содержит эквивалентную ей конечную подсистему. 16. Хаусдорфово полинормированное пространство метризуемо его система преднорм содержит эквивалентную ей не более чем счетную подсистему. 17. Оператор дифференцирования в O(D0 ) непрерывен. 18. Оператор покоординатного умножения на последовательность в непрерывен. 19. Операторы умножения слева и справа на ограниченный оператор в полинормированных пространствах (B(H ), so) и (B(H ), wo) непрерывны. 20. Описать непрерывные функционалы в . 21. Описать непрерывные функционалы в (B (H ), wo). 22 . В l1 нормовая и слабая сходимости последовательностей совпадают. 23. Из ограниченной по норме последовательности в пространстве, сопряженном к сепарабельному, можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность. 24. Последовательность n сходится в S tp n (t); t R сходится классически. 25. В пространстве D топология d строго сильнее топологии s, а последняя строго сильнее топологии e. 26. Ни одно из трех пространств пробных функции не нормируемо. 27. Пространства S и E метризуемы. 28. Пространство D не метризуемо. 1


Функционал v .p. R (t) dt это обобщенная функция порядка 1. t 34. Функционал (k) (k ) это обобщенная функция бесконечного поk=1 рядка. 35. Непрерывная функция порождает регулярную обобщенную-функцию-с-компактным носителем она имеет компакный носитель. 11 36. Последовательность горбушек, сосредоточенных на отрезках [- n , n ]; n = 1, 2, . . . и имеющих интеграл 1, сходится в D к -функции 37. Всякая регулярная обобщенная функция есть (m + 1)-кратная производная от некоторой m раз гладкой регулярной обобщенной функции. 38. Найти производную функции Хевисайда. 39 . Найти производную функции ln |t|. 40. Любая обобщенная функция обладает первообразной, и все еѕ первообразные отличаются на постоянную. 41. Определить оператор дифференцирования в S . 42. Определить оператор умножения на гладкую функцию в D . 43 . Любая обобщенная функция, сосредоточенная в нуле, есть линейная комбинация -функции и еѕ производных. 44. Верно ли, что в действительном гильбертовом пространстве только нулевой оператор может иметь нулевую квадратичную форму? 45. Для T 0 единственный положительный оператор, дающий в квадрате T это T . 46-48. Найти семейство подпространств, ассоциированных с проектором, с оператором умножения на независимую переменную в L2 [a, b] и с компактным самосопряженным диагональным оператором в l2 . 49 . Спектр самосопряженного оператора совпадает со множеством точек возрастания ассоциированного семейства подпространств. 50 . Охарактеризовать точечный спектр самосопряженного оператора в терминах ассоциированного семейства подпространств. 51-53. Проверить, что спектральная теорема в еѕ аналитической форме верна для проектора, оператора умножения на независимую переменную в L2 [a, b] и компактного самосопряженного оператора в l2 . 54-55. Проверить, что спектральная теорема в еѕ геометрической форме верна для проектора и компактного самосопряженного оператора в l2 . 56. Найти преобразование Фурье ступеньки и проверить, что эта функция не интегрируема по Ле бегу. 57. Найти преобразование Фурье первых четырех функций Эрмита. 58. Если eb|t| (t) L1 (R); b > 0, то F () продолжается до голоморфной функции в полосе {z : |I m(z )| < b}. 59. Если eb|t| (t) L1 (R); b > 0, и R tn (t)dt = 0; n = 0, 1, 2 . . ., то = 0 почти всюду. 60. Система Эрмита является ортонормированным базисом в L2 (R). 2

29. 30. 31. 32. вен. 33.

D плотно Оператор Оператор Оператор

в S , а S плотно в E . дифференцирования в S и E непрерывен. умножения на гладкую функцию в D и E непрерывен. умножения на умеренно растущую гладкую функцию в S непреры-


61. Указать коммутативные диаграммы, связывающие классическое преобразование Фурье, оператор сдвига и оператор умножения на e-iat . 62. Свѕртка горбушки со ступенькой даѕт шляпу. 63. Свѕртка функции из L1 (R) с функцией D даѕт функцию из E . При этом ( ) = . 64. Последовательность свѕрток функции L1 (R) с горбушками, сосредото11 ченными на отрезках [- n , n ]; n = 1, 2, . . . и имеющими интеграл 1, сходится к в L1 (R). 65. Свѕртка функции из L1 (R) с функцией из L (R) существует, ограничена и равномерно непрерывна. 66 . Свѕртка функции из L1 (R) с функцией из L2 (R) существует и принадлежит L2 (R). 67. L1 (R) это банахова инволютивная алге бра со свѕрточным умножением и инволюцией (t) (-t). := 68. Оператор 2 F : L1 (R) C0 (R) это инволютивный гомоморфизм банаховых инволютивных алге бр. 69 . Определить свѕртку обобщенной функции из D с пробной функцией из D по аналогии с определением дифференцирования в D . 70. Верно ли следующее утверждение: если (t) S и R tn (t)dt = 0; n = 0, 1, 2 . . ., то = 0 почти всюду? 71 . Не существует слабо непрерывного оператора в D , продолжающего преобразование Фурье в S . 72. Преобразование Фурье умеренно растущих обобщенных функций является продолжением классического преобразования Фурье. Вывести отсюда теорему единственности классического преобразования Фурье. 73. Разновидность теоремы обращения: если F () интегрируема, то F F = почти всюду. 74. Указать коммутативные диаграммы, связывающие преобразование Фурье в L2 (R), оператор сдвига и оператор умножения на e-iat . 75. Найти оператор в l2 , являющийся моделью преобразования Фурье в L2 (R). 76. Найти оператор в L2 [a, b], являющийся моделью преобразования Фурье в L2 (R). 77 . Множество функций вида ; , L2 (R) есть в точности образ классического преобразования Фурье.

3