Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://mmmf.msu.ru/archive/20072008/z8b/10.html
Дата изменения: Sun Apr 10 00:53:06 2016
Дата индексирования: Sun Apr 10 00:53:06 2016
Кодировка: Windows-1251
Клетчатые доски | 8 класс | Кружки | Малый мехмат МГУ

МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководитель Коробицын Дмитрий Александрович
2007/2008 учебный год

Версия для печати

Занятие 10. Клетчатые доски (19.01.2008)

1.
На клетчатой плоскости дано 5 произвольных узлов целочисленной сетки. Докажите, что середина хотя бы одного из отрезков, соединяющих какие-то два из этих узлов, также является узлом сетки.
2.
Можно ли в клетчатой таблице а) 4×4; б) 5×5 покрасить некоторые клетки так, чтобы любая клетка таблицы граничила по стороне ровно с одной закрашенной клеткой?
3.
Можно ли на доску 6×6 поставить 8 ферзей так, чтобы каждый из них бил не более одного другого?
4.
Дно коробки 5×5 выложено квадратными плитками 1×1, на каждой из которых стоит одна из стрелок →, ←, ↑ или ↓. За один ход разрешается, выбрав любые две плитки, повернуть одну из них на 90° по часовой, а другую - на 90° против часовой стрелки. Можно ли за несколько ходов придать всем стрелкам направление, противоположное первоначальному?
5.
На клетчатой доске размером 1000×1000 стоят красные, синие и зеленые фишки (в каждой клетке - не больше одной фишки). Рядом (в соседних по стороне клетках) с любой красной фишкой стоят 2 синие, а рядом с любой синей - 3 зеленые. Докажите, что есть зеленая фишка, рядом с которой нет красных.
6.
На шахматной доске расставлены n фишек так, что в любом квадрате 3×3 находятся ровно 3 фишки.
а)
При каком наибольшем n это возможно?
б)
При каком наименьшем n это возможно?
7.
Узлы клетчатого квадрата 17×17 раскрашены в красный и синий цвета. Известен цвет узлов на границе квадрата: все узлы на верхнем краю и все узлы на правом краю, кроме самого нижнего - красные, а остальные - синие. Докажите, что найдется клетка, у которой ровно две вершины - красные, причем эти вершины соседние.

Вы видите ошибку? Выделите ее и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS