Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://matematika.phys.msu.ru/files/stud_spec/130/Teor_Difr.pdf Дата изменения: Thu Dec 16 22:28:37 2010 Дата индексирования: Mon Oct 1 23:44:31 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: фазовая скорость волны

МОСКОВСКИЙ ГОСУ ДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА

Физический факультет

А.Г. Свешников, И.Е. Могилевский

Пособие по курсу

Математические задачи теории дифракции

Москва 2010


Свешников

А. Г.,

Могилевский

И. Е.

Математические задачи теории дифракции / Учебное пособие.
М.: Физический факультет МГУ, 2010. Пособие по курсу ?Математические задачи теории дифракции? написано на основе специального курса лекций, который авторы в течение ряда последних лет читают на физическом факультете МГУ. В книге рассмотривается применение методов математического моделирования к задачам распространения и дифракции установившихся колебаний в сплошных средах. Основное внимание уделено так называемому ?резонансному? случаю, когда длина возбуждаемых волн имеет тот же порядок, что и характерные размеры неоднородностей. Данный курс входит в учебный план кафедры математики физического факультета МГУ, но может представлять интерес и для более широкого круга студентов, аспирантов и научных работников, специализирующихся в области математической физики и ее приложений. Рецензенты: д.ф.-м. н., профессор А.С. Ильинский, д.ф.-м. н., профессор Ю.А. Пирогов
Свешников Алексей Георгиевич Могилевский Илья Ефимович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ
Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д.1, стр.2

c Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, 2010 c Свешников А.Г., Могилевский И.Е., 2010


ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Г л а в а 1.

Математические модели теории дифракции (постановка и обоснование). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. У ановившиеся колебания (10). ст Пойнтинга (12). 1.2. Вектор Умова

9 9

1. Уравнения Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Потенциалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Векторный и скалярный потенциалы (13). Герца (15). 3. Функции Боргниса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Поля электрического и магнитного типов (17). 3.2. Представление решения однородной системы уравнений Максвелла в виде суперпозиции полей электрического и магнитного типа (20). 4. Дополнительные условия в задачах дифракции установившихся колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Граничные условия (27). ности (33). 4.3. Принцип 4.2. У ловия на бесконечс амплитуды (35). 4.5. У ловия с предельной 2.2. Вектор

13

17

27

4.4. Принцип предельного поглощения (35). на ребре (36).

5. Лемма Лоренца. Формулы Стрэт тонаЧу . . . . . . . . . . . . . . 5.1. Лемма Лоренца (37). ца (40). 6. Теоремы единственности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Постановка задачи (42). 6.3. Скалярная ле (46). ха (48). 7. Разрешимость задач дифракции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1. Скалярная задача с условиями сопряжения. Уравнение ЛипманаШвингера (52). 8. Задачи дифракции на непроницаемых рассеивателях. . . . . . теле (47). задача 6.2. Лемма Реллиха (44). на металлическом тедифракции 5.2. Следствия леммы Лорен-

37

42

6.4. Скалярная задача дифракции на прозрачном 6.5. Электромагнитный аналог леммы Релли52

57


4

Оглавление

8.1. Задача

Дирихле

(59).

8.2. Задача

Неймана

(65).

8.3. Третья краевая задача (67).

Г л а в а 2.

Методы решения задач дифракции. . . . . . . . . . . . .

71 71 77

1. Интегральные уравнения задач дифракции. . . . . . . . . . . . . 1.1. Дифракция на идеально проводящем теле (71). 2. Итерационные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Метод простой итерации (78). дифракции (84). 2.2. Метод минимальных невязок (81). 2.3. Диссипативность операторов теории 2.4. Интегро-функциональные уравнения задач дифракции (90). 3. Метод дискретных источников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Скалярная задача (94). функций (97). 3.2. Выбор системы базисных 3.4. Ал3.3. Диполи В.Д. Купрадзе (101).

94

горитм численной реализации МДИ (105). 4. Дифракция на осесимметричном теле . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.1. Проекционный метод определения амплитуд дискретных источников (109). 5. Метод антенных потенциалов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6. Классические задачи теории дифракции. . . . . . . . . . . . . . . 119 6.1. Дифракция на сфере. Метод Г. Ватсона (119). 6.2. Дифракция на полуплоскости. Метод ВинераХопфа (126). 7. Дифракция в неоднородной среде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 7.1. Скалярная дифракция на теле в локально неоднородной среде. Парциальные условия излучения (134). тическое тождество (138). решения неполным методом Галеркина (140). 7.2. Энерге7.4. Задача 7.3. Построение приближенного

электромагнитной теории дифракции в шаровом слое (148). 7.5. Общая задача электромагнитной дифракции на локальном теле в неоднородной среде (151).

Г л а в а 3.

Направляющие системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

1. Открытые направляющие системы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 1.1. Свободные электромагнитные колебания вне системы идеальных ков (155). бесконечных 1.2. Типы волн цилиндрических открытого проводнидиэлектрического

регулярного волновода (157).

1.3. Дисперсионное уравне-

ние для импедансного бесконечного цилиндра (160). 2. Волноведущие системы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 2.1. Типы волн регулярного волновода (162). 2.2. Строение нормальных волн регулярного волновода (165). торный базис регулярного волновода (167). ние регулярных волноводов (169). 2.3. Век2.4. Возбужде-

2.5. Возбуждение нере-


Оглавление

5

гулярных волноводов (175).

2.6. Скачкообразные неодно2.7. Излучение

родности нерегулярных волноводов (187). шетки (190).

из открытого конца волновода. Фазированные антенные ре-

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197


ПРЕДИСЛОВИЕ

Математическая теория дифракции является обширным разделом математической физики, понимаемой как теория математических моделей физических процессов и явлений (см. ?Математическая энциклопедия?, т. 3). Задачи распространения и дифракции волновых процессов различной физической природы во многих случаях играют ключевую роль в понимании физической сущности изучаемых явлений и в оптике, и в акустике, и в радиофизике, и в гидроаэродинамике, и во многих других разделах современной физики, служат базой теоретических и прикладных исследований, возникающих при этом самых разнообразных проблем, включая задачи управления физическими процессами. В настоящее время для решения этих проблем все большую роль играют методы математического моделирования, заключающиеся: 1. в последовательной формулировке математической модели изучаемого физического явления; 2. в строгом обосновании ее математической непротиворечивости (однозначная разрешимость, корректность и устойчивость к входным данным); 3. в выборе наиболее эффективных аналитических или численных методов ее решения; 4. в выяснении адекватности предложенной математической модели изучаемому физическому явлению путем сопоставления результатов вычислительных и реальных физических экспериментов; 5. в случае необходимости в дополнительных усложнениях первоначальной математической модели и повторении предыдущих этапов работы с окончательно выбранной моделью; 6. в проведении необходимых для решения исходной теоретической или прикладной физической задачи серии вычислений. Все перечисленные этапы применения методов математического моделирования к задачам распространения и дифракции


Предисловие

7

установившихся колебаний в сплошных средах различной физической природы и рассматриваются в данной книге. Основное внимание уделено именно установившимся волновым процессам, когда длина возбуждаемых волн имеет тот же порядок, что и характерные размеры неоднородностей (так называемый ?резонансный? случай). Перейдем к более подробному изложению содержания книги, состоящей из трех глав и приложения. Первая глава посвящена постановке и обоснованию математических моделей дифракции установившихся электромагнитных и акустических колебаний в сплошных средах различной структуры. Эти модели сводятся, в основном, к внешним краевым задачам для уравнений Максвелла и Гельмгольца. Рассматриваются различные типы граничных условий и условий излучения на бесконечности как в случае дифракции на локальных рассеивателях, так и в случае неограниченной области решения задачи (дифракция в слоистой среде, на полуплоскости). Во второй главе рассмотрены математические методы построения аналитических и численных решений поставленных задач, включая методы интегральных уравнений, метод дискретных источников, неполный метод Галеркина, итерационные методы, в частности, ?метод минимальных невязок? и ряд других специфических методов (метод ВинераХопфа, метод Ватсона и другие). Третья глава посвящена математическим моделям волноведущих систем, как открытым направляющим системам (диэлектрические волноводы и световоды), так и радиоволноводам, включая нерегулярные волноводы с различного типа нерегулярностями (неоднородное заполнение, геометрическое возмущение боковой поверхности волновода, сочленение волноводов различного поперечного сечения и излучение из открытого конца волновода). В приложение помещены от тиски ряда оригинальных статей авторов в ведущих изданиях по математической физике, в которых более подробно рассматриваются отдельные, представляющие значительный теоретический и практический интерес проблемы, кратко упомянутые в основном тексте. Книга написана на основе курса лекций, который авторы в течение ряда последних лет читают на физическом факультете МГУ. Этот курс входит в учебный план кафедры математики физического факультета МГУ, но может представлять интерес и для более широкого круга студентов, аспирантов и научных работников, специализирующихся в области математической физики и ее приложений.


8

Предисловие

Методы исследования установившихся колебаний во многом определяются соотношением между характерными размерами неоднородностей среды и длиной ней волн. В длинноволновом

(a)
в

() случае,

распространяющихся

a,

задача оказывается

близкой к стационарной, и для ее решения можно пользоваться квазистационарным приближением. В коротковолновом случае,



a

, возможно разложение решения исходной задачи по сте-

пеням малого параметра

методы сингулярных возмущений. Наконец, в промежуточном случае,

a

, что позволяет с успехом применять

a,

при отсутствии малых параметров, наиболее эф-

фективными оказываются прямые численные алгоритмы, в том числе и высокопроизводительные вычисления. Этот, так называемый резонансный случай, и является центральным в нашей книге. Авторы МГУ выражают глубокую благодарность профессорам СераАлександру Николаевичу Боголюбову, Анатолию

фимовичу Ильинскому и Юрию Андреевичу Пирогову, а также доценту кафедры математики физического факультета Наталье Евгеньевне Шапкиной, взявших на себя труд внимательно ознакомиться с пособием и сделавших ряд ценных замечаний. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 09-01-00408а).


Глава

1

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ (ПОСТАНОВКА И ОБОСНОВАНИЕ). 1. Уравнения Максвелла
Начнем с формулировки и обоснования основных математических моделей теории процессов колебаний в сплошных средах. Физическая природа этих колебаний весьма разнообразна и является предметом исследования ряда разделов современной физики. Одними из центральных являются процессы электромагнитных колебаний в различных средах. Для них основной математической моделью является известная из общих курсов электродинамики система уравнений Максвелла.

rotH =

1

D 4 + j + jст c t c B c t divB = 0
1

(1.1.1)

rotE = -

(1.1.2) (1.1.3) (1.1.4)

divD = 4 + div j + j t
ст

=

0

(1.1.5)

E = E(M , t), H = H(M , t) напряженности электрического и магнитного полей; D = D(M , t), B = B(M , t) векторы электрической и магнитной индукции; j = j(M , t) вектор плотности электрического тока; = (M , t) плотность электрического заряда. ст Плотность сторонних токов j = j ст (M , t) считается заданной
в СГСЭ и использованы следующие обозначения: величиной, которая возбуждает электромагнитное поле. Система уравнений (1.1.1)-(1.1.5) представляет собой систему из 5 уравнений относительно 6-ти неизвестных, 5 из которых векторные, одно скалярное. При этом не все уравнения

Обсуждение. Здесь система уравнений Максвелла записана


10

Гл. 1. Математические модели теории дифракции...

независимые. Так, из уравнения (1.1.2) следует (1.1.3), а из (1.1.1) и (1.1.5) следует (1.1.4). Таким образом, система (1.1.1)(1.1.5) недоопределена. Чтобы доопределить систему, вводятся дополнительные связи между неизвестными, описывающие материальные характеристики среды, в которой рассматривается изучаемый физический процесс. Эти связи могут быть различными в зависимости от свойств среды. а) Локальные, линейные, однородные, изотропные среды

D = E, B = чH, j = E,
где

, ч

диэлектрическая и магнитная проницаемость,





проводимость среды. б) Локальные, линейные, неоднородные, анизотропные среды

D = (M , t)E, B = ч(M , t)H, j = (M , t)E,
где элементы тензоров процессов

, ч,
и

зависят от пространственных волн в киральных,

и временных координат. Такие связи возникают при описании распространения дифракции плазменных и оптически активных средах, в полупроводниках, ферритах и т.д. в) Нелинейные среды, например, в задачах нелинейной оптики. В таких средах

D = + |E |2 E

кубическая нелинейность,


г)

тензор нелинейности, то есть модуль вектора электрической

индукции

ческого поля

D(M , t) пропорционален кубу напряженности электриE(M , t). Нелокальные среды D(M , t) = A [E(M , t)], где A линейный
t

или нелинейный оператор. Например, в случае временной дисперсии

D(M , t) =
-

(M , - t)E(M , )d .

При определенных условиях система уравнений Максвелла с соответствующими материальными уравнениями среды является полной и может быть использована в качестве математической модели изучаемого физического процесса.

1.1. Установившиеся колебания. Во многих случаях изучаемый физический процесс носит характер установившихся колебаний, при которых временная зависимость искомых неизвестных имеет периодический характер заданной частоты



. Тогда

для искомых неизвестных в уравнениях Максвелла, являющих-


1. Уравнения Максвелла.

11

ся действительными функциями пространственных координат и времени, можно использовать представление

- E (M , t) = Re E(M )e

-i t

,

и аналогичные представления для остальных неизвестных. В этом представлении зависящий только от пространственных переменных вектор

E(M )

носит название комплексной амплитуды

вектора напряженности искомого электрического поля. В случае линейной среды материальные характеристики которой не зависят от времени, для комплексных амплитуд получим уравнения

E(M )

и

H(M )

rotH = -

i 4 E + E + j c c rotE = i чH. c k0 =

ст

,

(1.1.6)

(1.1.7)

Используя выражение волнового числа ную диэлектрическую проницаемость

c

и вводя комплекс-

=+i

4



,

(1.1.8)

систему уравнений Максвелла для комплексных амплитуд можно представить как

rotH = -ik0 E +

4

c
,

j

ст

,

(1.1.9) (1.1.10) (1.1.11) (1.1.12)

rotE = ik0 чH divB =
0,

divD = 4 , -i + div j + j
Замечание 1.1.1
которой

ст

= 0.

(1.1.13)

В случае однородной среды, характеристики



и

ч

имеют постоянные, возможно, комплексные

значения, уравнения ( 1.1.9) и ( 1.1.10) можно записать в виде

rotH = -ik E +

4

j c
,

ст

,

(1.1.14)

rotE = ik чH

(1.1.15)


12

Гл. 1. Математические модели теории дифракции...

где

E, H

и

j

ст

так называемые приведенные комплексные

амплитуды электромагнитного поля и тока

E=
а

E, H =

ч H, j

ст

=

чj

ст

,

k=

ч k0

приведенное волновое число. В дальнейшем мы

всегда будем полагать, что уравнения установившихся полей записаны для приведенных комплексных амплитуд, сохраняя для них прежние обозначения

(E, H, k )

.

1.2. Вектор УмоваПойнтинга. Важной физической характеристикой переноса энергии электромагнитным полем является вектор УмоваПойнтинга, определяющий временную и пространственную плотность потока энергии правлении единичного вектора

n.

Wn (M , t)

в заданном на-

В случае установившихся колебаний с периодом

T

T

Wn =

1

T
0

-- E Ч H ћ n d .

(1.1.16)

Используя выражения для действительных векторов через комплексные амплитуды, получим 1 2

- E

и

- H

Wn =

Re [E Ч H ] ћ n .

(1.1.17)

Теорема Пойнтинга. Данная теорема является математическим выражением закона сохранения энергии. Пусть установившееся электромагнитное поле создается в замкнутой пространственной области

D

с гладкой границей

S=

= D

заданным током

j(M ), M D

. Из уравнений Максвелла

(1.1.9-1.1.13) для комплексных амплитуд сопряженных выражений имеем

E

и

H


и их комплексно

rotH = -ik E + j, rotE = ik чH
,

rotH = ik

E + j

,



,

rotE = -ik ч H

k=

. c

Используя формулу векторного анализа

div [E Ч H ] = (H ћ rotE) - (E ћ rot H )


2. Потенциалы

13

и формулу ОстроградскогоГаусса, получим

Re ([E Ч H ] ћ n) d =
S

= -k
D

Im |E|2 + Im ч|H|2 dV - Re (E ћ j ) dV .
D

(1.1.18)

Здесь мы для сокращения записи в выражении возбуждающего 4 тока в (1.1.14) опустим множитель , считая, что он включен в вектор энергии

j.

Этой формы записи мы будем придерживаться и

c

в дальнейшем. Воспользовавшись выражением полного потока 1 2

W=
через границу

Re [E Ч H ] d
S

(1.1.19)

S

области

D

, окончательно получим

2W

+k
D

Im |E|2 + Imч|H|2 dV = -Re (E ћ j ) dV .
D

(1.1.20)

Второе слагаемое в левой части (1.1.20) характеризует диссипативные потери в среде за счет отличных от нуля ее проводимости



и магнитной вязкости

мощностью внешних источников магнитное поле.

Im ч, j,

а правая часть определяется создающих данное электро-

2. Потенциалы
Как уже было сказано, полная система уравнений Максвелла содержит пять векторных и одну скалярную неизвестную величину, что сильно затрудняет ее прямое исследование. Естественно желание получить эквивалентную систему уравнений для меньшего числа неизвестных. Это обычно достигается введением вспомогательных функций, называемых потенциалами, через которые выражаются искомые неизвестные, что может быть осуществлено различными способами.

2.1. Векторный и скалярный потенциалы.
случай линейной однородной среды которой равна нулю

Рассмотрим проводимость функцию

(

1,

ч 1),

( 0)

,

и

введем

векторную


14

Гл. 1. Математические модели теории дифракции...

A(M , t) и ры E и H

скалярную

(M , t),

через которые неизвестные векто-

выражаются соотношениями

H = rotA, E=-
Вектор

(1.2.1) (1.2.2) скалярного потен-

A

носит название

A - grad. c t векторного, а
1 1

циалов. Добавим дополнительное соотношение для потенциалов

A

и

divA +

= c t

0,

(1.2.3)

носящее название условия градиентной инвариантности. Непосредственной проверкой можно убедиться, что если

A

и



являются соответственно решениями уравнений

-2

A-
1

2A = -j, c2 t2
1 ,

(1.2.4)

-
где

2 = -4 c2 t2

(1.2.5)

j

и



связаны уравнением сохранения заряда

c + divj = t 4
напряженностей среде.

0,

(1.2.6)

то выраженные через них по формулам (1.2.1) и (1.2.2) векторы

E

и

H

электрического и магнитного поля удо-

влетворяют системе уравнений Максвелла в данной однородной Аналогично можно рассмотреть и случай пространственно неоднородной среды с материальными характеристиками

ч(M ), (M ).

При этом выражения для напряженностей

(M ), EиH

через соответственно векторный

A

и скалярный



потенциалы

оказывается несколько более сложным, чем (1.2.1) и (1.2.2).

Замечание 1.2.1

Выбор потенциалов

A

и



не является од-

нозначным. Как легко проверить, уравнения для потенциалов ( 1.2.4), ( 1.2.5) и выражения ( 1.2.1), ( 1.2.2) не изменятся, если заменить потенциалы

A

и



на

A = A + grad =-
где

,

(1.2.7) (1.2.8)

t

,



произвольная достаточно гладкая функция.


2. Потенциалы

15

Замечание 1.2.2

При

= E

0 можно положить



0 и огра-

ничиться одним потенциалом через который векторы и

A

или антипотенциалом

A

,

H

выражаются по формулам

E = rotA H=-
При этом вектор

,

(1.2.9) (1.2.10)

1

A 4 + j. c t c

A

удовлетворяет уравнению

-2
причем в силу

A -

2 A 4 j =- 2 c2 t2 c t
1

,

(1.2.11)

=

0 из ( 1.2.6) следует

divj = 0.
Замечание 1.2.3
В случае установившихся

(1.2.12)
колебаний

из ( 1.2.1), ( 1.2.2) для комплексных амплитуд потенциалов и напряженностей электромагнитного поля получим

H = rotA, E = ik A - grad, -2 + k 2 A = -j, +k
2

(1.2.13) (1.2.14) (1.2.15) (1.2.16)

= -4 .

2.2. Вектор Герца. Во многих случаях для построения математической модели процесса колебаний эффективным оказывается потенциал

,

носящий название вектора Герца и связанный

с векторным потенциалом

A

соотношением 1

A=
что

. c t

(1.2.17)

Из соотношения градиентной инвариантности (1.2.3) следует,

div + =

0,

(1.2.18)

а из (1.2.1), (1.2.2) получаем выражения для векторов напряженностей электрического и магнитного поля через вектор Герца 1 H = - rot c t , (1.2.19)


16

Гл. 1. Математические модели теории дифракции...

E = grad div -
Введем вектор поляризации

2 . c2 t2
1

(1.2.20)

P0

, положив

j=

1

P0 . c t

(1.2.21)

Тогда из уравнения сохранения заряда (1.2.6) получим

+
что дает

1 4

divP0 =

0,

divP0 = -4 .
Герца

(1.2.22)

Непосредственной проверкой можно установить, что если вектор

(M , t)

удовлетворяет уравнению

-2

-

2 = -P0 c2 t2
1

,

(1.2.23)

то выраженные через него по формулам (1.2.19), (1.2.20) векторы

E

и

H

удовлетворяют исходной системе уравнений Максвелла.

Например, используя формулы векторного анализа, можно записать следующую цепочку равенств:

divE = div grad div - = div = div rot rot + -2 -2

2 c2 t2
1

=
1

-

2 c2 t2

=

(1.2.24)

-

2 c2 t2
1

= -divP0 = 4 .

Аналогично проверяется и выполнение остальных уравнений системы Максвелла.

Замечание 1.2.4

В случае установившихся колебаний выра-

жения для комплексных амплитуд полей плексную амплитуду вектора Герца

E

и

H

через ком-



принимают вид

H = -ik rot, E = grad div + k 2 , -2 i = - j. k

(1.2.25)

а уравнение ( 1.2.23) для вектора Герца переходит в уравнение

+k

2

(1.2.26)


3. Функции Боргниса

17

Замечание 1.2.5
пряженности

Введенный вектор Герца, через который на-

E

и

H

выражаются по формулам ( 1.2.25), носит

название электрического вектора Герца и обозначается случае

=

0 аналогично введению антипотенциала

ввести магнитный вектор Герца и

H

м

м

A



э

.В

можно

, через который поля

Eм

выражаются соотношениями

Eм = ik rotм , Hм = grad divм + k 2 м .
При отсутствии магнитных зарядов вектор ряет уравнению
2

(1.2.27)

м

удовлетво-

+k

2

м =

0,

(1.2.28)

что позволяет переписать выражения ( 1.2.27) в виде

Eм = ik rotм , Hм = rot rotм .

(1.2.29)

3. Функции Боргниса
3.1. Поля электрического и магнитного типов.
В нашем

стремлении уменьшить количество неизвестных в системе уравнений Максвелла можно продвинуться и дальше, доведя при определенных условиях их число до двух скалярных функций. До сих пор рассматриваемые методы введения электромагнитных потенциалов никак не были связаны с пространственным видом области

D

, в которой ищется решение системы уравнений

Максвелла. Теперь введем некоторые дополнительные условия. Пусть область

D

такова, что в ней можно ввести ортогональ-

ную криволинейную систему координат

(x1 , x2 , x3 ),

однознач-

но связанную с декартовой прямоугольной системой координат

(x, y , z ): x = x (x1 , x2 , x3 )
;

y = y (x1 , x2 , x3 ) h
1

;

z = z (x1 , x2 , x3 ) .
этой системы

Подчиним коэффициенты Ламе

,

h2 , h
2

3

h2 = i

x xi

2

+

y xi

2

+

z xi

,

i=

1, 2, 3

(1.3.1)


18

Гл. 1. Математические модели теории дифракции...

условиям

h3 h
и

1;

x

3

h1 h2



x

3

h2 h1

0. x3

(1.3.2)

Второе условие в (1.3.2) означает, что отношение коэффициентов
1

h2

не зависит от криволинейной координаты

. через одну уравнения (1.3.3) (1.3.4)

Покажем, что любое решение однородной системы уравнений Максвелла, в котором скалярную функцию

H3 0, может быть выражено u (x1 , x2 , x3 ). Для этого запишем rotH = -ik E, rotE = ik H

однородной системы уравнений Максвелла в новых координатах

(x1 , x2 , x3 ),

используя известное выражение вектора

rotA

в данной криволинейной системе координат, удовлетворяющей условию (1.3.2):

rotA = + +
где

1

h2
1

A3 - (h A ) e1 + x2 x3 2 2 A3 (h1 A1 ) - x3 x1 e2 +
, (1.3.5)

1

h

1

h1 h2

(h A ) - (h1 A1 ) e3 x1 2 2 x2

вая, что

e1 , e2 , e3 H3

координатные орты системы 0, получим

(x1 , x2 , x3 ).

Учиты-

-

(h H ) = -ik E1 h2 x3 2 2
1 ,

,

(1.3.6)

(h1 H1 ) = -ik E2 h1 x3
1 1

(1.3.7)

h1 h2

(h2 H2 ) - (h1 H1 ) x1 x2
1

= -ik E3 = ik H1 = ik H2
,

,

(1.3.8)

h h

2

E3 - (h E ) x2 x3 2 2 E3 (h1 E1 ) - x3 x1

(1.3.9)

1
1

,

(1.3.10)


3. Функции Боргниса

19

1

h1 h
положить

2

(h1 E1 ) (h2 E2 ) - x1 x2

= 0.

(1.3.11)

Легко видеть, что уравнение (1.3.11) будет выполнено, если

E1 =
где

2u h 1 x1 x
1

,
3

E2 =

2u h2 x2 x3
1

,

(1.3.12)

u (x1 , x2 , x3 ) h h
2 1

трижды непрерывно дифференцируемая скаляр-

ная функция. Из (1.3.6) и (1.3.7), используя (1.3.12) и условие

x

=

0, получим

3

H1 = - u (x1 , x2 , x3 ). E3 = -

ik u h 2 x2

,

H2 = E3

ik u . h1 x1

(1.3.13)

Остается выразить компоненту

через скалярную функцию

В силу (1.3.8) и (1.3.13) получим 1

h1 h2

x u.

1

h2 u h1 x1 E

+

x

2

h1 u h2 x2

.

(1.3.14)

Итак, все компоненты полей лярную функцию

При этом

иH H3

выражены через одну ска0 и удовлетворяются урав-

нения (1.3.11), (1.3.6), (1.3.7) и (1.3.8). Возникает вопрос: какому дополнительному условию надо подчинить функцию

u (x1 , x2 , x3 )

, чтобы одновременно удовле-

творялись оставшиеся два уравнения (1.3.9) и (1.3.10) системы уравнений Максвелла? Непосредственной подстановкой выражений (1.3.12), (1.3.13), (1.3.14) в эти уравнения легко убедиться, что они одновременно выполняются, если функция является решением уравнения 1

u (x1 , x2 , x3 )

h1 h2

x

1

h2 u h 1 x1

+

x

2

h1 u h 2 x2

+

2u + k 2 u = 0. 2 x3
(1.3.15)

Такую функцию называют электрической функцией Боргниса и соответственно уравнение (1.3.15) уравнением Боргниса. Название функции связано с тем, что она получена при условии

H3

0, а компонента

E3

вектора напряженности

E

может быть

отлична от нуля. Полученное с помощью электрической функции Боргниса электромагнитное поле называют полем электриче-


20

Гл. 1. Математические модели теории дифракции...

ского

типа.

Из формул (1.3.12)-(1.3.14) вытекает следующее

представление поля электрического типа через электрическую функцию Боргниса:

H = -ik rot (e3 u) E = rot rot (e3 u) .
случай, когда

,

(1.3.16)

Совершенно аналогичным образом может быть рассмотрен

E3

0, а все остальные компоненты электромаг-

нитного поля выражаются через магнитную функцию Боргниса

v (x1 , x2 , x3 )

, удовлетворяющую тому же уравнению (1.3.15). Эти

выражения аналогичны выражениям (1.3.12), (1.3.13), (1.3.14), в которых надо заменить вектор
типа.

H (H3 0)

на вектор

E (E3 0).

Данное электромагнитное поле называется полем магнитного Представление поля магнитного типа через магнитную функцию Боргниса имеет вид:

E = ik rot (e3 v ) , H = rot rot (e3 v ) .

(1.3.17)

3.2. Представление решения однородной системы уравнений Максвелла в виде суперпозиции полей электрического и магнитного типа. Введем дополнительное условие на
геометрию области

D

. Пусть в ней можно ввести такую кри-

волинейную систему координат

D

(x1 , x2 , x3 ),

в которой область и

представляет собой топологическое произведение двумерной

области отрезка

Sx (x1 , x2 ) на координатной поверхности x3 = C onst x3 x3 x3 координатной линии x3 :
3

D = Sx (x1 , x2 ) Ч x3 , x3
3

.

(1.3.18)

Пусть при этом коэффициенты Ламе данной системы координат удовлетворяют в области

D
1,

соотношениям:

h3

x

3

h1 h2

=

0; (1.3.19) ,

h1 ћ h2 = f (x3 ) (x1 , x2 )
где

f (x3 )

и

(x1 , x2 )

достаточно гладкие функции. Тогда имеет

место следующая теорема.


3. Функции Боргниса

21

Теорема 1.3.1

Если в области

( 1.3.19), то любое решение нений Максвелла

D выполнены условия ( 1.3.18), {E, H} однородной системы урав(1.3.20)
полей , электрического

rotH = -ik E, rotE = ik H
виде суперпозиции и магнитного

представимо

Eэ , H

э

,

э H3

в

0

Eм , Hм

м E3

0

типов.

Предварительно заметим, что при введенных выше условиях существуют электрическая

u (x1 , x2 , x3 )

и магнитная

функции Боргниса, через которые выражаются поля

Eм , Hм

v (x1 , x2 , x3 ) Eэ , Hэ и
м
3

, являющиеся решениями однородной системы (1.3.20). в силу уравнений Боргниса для и представлений через них компонент

При

этом

v (x1 , x2 , x3 )

u (x1 , x2 , x3 ) E3э и H

и

имеют место выражения
э E3 =

2u 2v м + k 2 u, H3 = + k2 v. x2 x2 3 3 E
и

(1.3.21)

Из (1.3.20) следует, что вектора уравнениям

H

удовлетворяют в

D

rot rotE - k 2 E = divE =
1

0,

rot rotH - k 2 H = 0. E3

(1.3.22)

Прямое вычисление с использованием условий (1.3.19) и уравнения 0 позволяет получить для компоненты вектора

E

уравнение

h1 h

2

x

1

h2 E3 h1 x1

+

x

2

h1 E3 h2 x2
2

+
(1.3.23) 0,

2 + 2 (h1 h2 E3 ) x3
которое, вводя обозначение

+ k E3 =

Lx

1

x

2

=

1

(x1 , x2 )

x

1

h2 h1 x

+
1

x

2

h1 h2 x

,
2

(1.3.24)

можно переписать в виде

Lx

1

x

2

[E3 ] +

2 +k x2 3

2

[f (x3 ) E3 ] = 0.

(1.3.25)


22

Гл. 1. Математические модели теории дифракции...

Заметим, что уравнение для функции Боргниса теперь можно переписать в виде

L

x1 x2

[u] + f (x3 )

2 +k x2 3

2

[u] = 0.

(1.3.26)

После этих предварительных замечаний можно перейти к доказательству сформулированной теоремы. Д
О К А З АТ Е Л Ь С Т В О

. По исходной функции

функцию ния

u (x1 , x2 , x3 ) Lx
1

как решение в области

E3 (x1 , x2 , x3 ) построим Sx (x1 , x2 ) уравне3

x

2

[u] = -f (x3 ) E3 (x1 , x2 , x3 )
3

,

(1.3.27)

(x1 , x2 ) Sx
Заметим, что оператор

,

x3 x3 , x3 .
1

x

2

, а переменная

Решение

x3 в u (x1 , x2 , x3 )

Lx

x

2

зависит только от переменных

x1

,

уравнении (1.3.27) играет роль параметра. (1.3.27) может быть записано в виде

u (x1 , x2 , x3 ) =
Sx3

g2 (x1 - , x2 - ) f (x3 ) E3 ( , , x3 ) d +
(1.3.28) ,

+ (x1 , x2 , x3 )
где

d = ( , )d d , g Lx

Lx

2

фундаментальное решение оператора

1

x2 , то есть решение уравнения
1

x

2

[g2 ] = - (x1 - , x2 - )
решение

,

(1.3.29) уравне(1.3.30)

(x1 , x2 , x3 )



произвольное

однородного

ния (1.3.27), то есть

L
зависящее от параметра Покажем, что

x1 x2

[] =

0,

x

3

. таким образом функция

построенная

u (x1 , x2 , x3 ),

определяемая (1.3.28), удовлетворяет в области

уравнению Боргниса (1.3.26), и заданная функция

D E3 (x1 , x2 , x3 )
при

выражается через нее формулой (1.3.14). Для этого применим к функции (1.3.28) оператор

2 +k x2 3

2

,

который


3. Функции Боргниса

23

достаточной гладкости знак интеграла (1.3.28):

f (x3 ) E3 (x1 , x2 , x3 ) 2 +k x2 3

можно внести под

2 +k x2 3 +
Sx3

2

[u] =

2

[] +
(1.3.31)
2

g2 (x1 - , x2 - )

2 +k x2 3

[f (x3 ) E3 ] d

,

что в силу уравнения (1.3.25) можно переписать в виде

2 +k x2 3

2

[u] = -
Sx3

g2 L [E3 ] d +

2 +k x2 3

2

[].

(1.3.32)

Преобразуя интеграл с помощью формулы Грина, получим

2 +k x2 3 +
S
где
1 2

2

[u] = -
Sx
3

L [g2 ] E3 ( , , x3 ) d + 2 +k x2 3
(1.3.33)
2

L [g2 ] E3 ( , , x3 ) ds +
x3

[],

контурный

интеграл

представляет

собой

функцию

x x (x3 ) переменной x3 . Она задана значениями функций g2 (x1 - , x2 - ), E3 ( , , x3 ) и их производных на контуре Sx и зависящую от переменных (x1 , x2 ) как от параметров. Определяя функцию (x1 , x2 , x3 ) как решение уравнения
3

2 +k x2 3
получим

2

[] = -

x1 x2

(x3 )

,

x3

x3

x3

,

(1.3.34)

2 +k x2 3

2

[u] =
Sx3

(x1 - , x2 - ) E3 ( , , x3 ) d =
(1.3.35)

= E3 (x1 , x2 , x3 ) .


24

Гл. 1. Математические модели теории дифракции...

Соотношение (1.3.35) совместно с уравнением (1.3.27) окончательно дает

L

x1 x2

[u] + f (x3 )

2 +k x2 3

2

[u] =

0,

(1.3.36)

что совпадает с уравнением Боргниса для функции Итак, по заданной функции

E3 (x1 , x2 , x3 )

u (x1 , x2 , x3 ).

конструктивно по-

строена электрическая функция Боргниса, через которую по формулам (1.3.12), (1.3.13), (1.3.14) в свою очередь строится поле электрического типа
э э E3 = E3 и H3 0. Аналогично по заданной компоненте H3 (x1 , x2 , x3 ) строится м м поле магнитного типа E3 0, H3 = H3 .

Eэ , Hэ

, причем

Теперь рассмотрим поле

E, H = {E, H} - Eэ , H

э

- Eм , H

м

,

(1.3.37)

где первое слагаемое в правой части заданное поле, а два оставшихся слагаемых поля электрического и магнитного типа, построенные по нему с помощью приведенного выше алгоритма. Очевидно, для поля

E, H

обе компоненты

E3
,

и

H

3

равны

нулю. Поэтому (1.3.37) можно записать в виде

{E, H} = Eэ + E, Hэ + H + Eм , H
причем

м

(1.3.38)
м H3 = H3

Eэ + E
3

= E3

,

Hэ + H
3



0,

м E3

0,

, что

и доказывает утверждение теоремы.

Замечание 1.3.1

Сравнивая выражения компонент векторов ранее векторы Герца

E

и

H

через и

введенные с

э

и

м

( 1.2.27)

( 1.2.29)

соответствующими

представлениями ( 1.3.16)

этих компонент через функции Боргниса и ( 1.3.17),

v (x1 , x2 , x3 ),

u (x1 , x2 , x3 )

можно видеть, что функции Боргни-

са в введенных криволинейных координатах являются единственными нуля: компонентами векторов Герца, отличными от

э = =
м

0, 0, 0, 0,

э = (0,
м
Боргниса

0,

u)

,

= (0,

0,

v) .
дополнительном к уравнению

Замечание 1.3.2
условии

(h1 h2 ) = x3

Уравнение

при

0

можно

привести

Гельмгольца с переменным коэффициентом

k 2 (x1 , x2 , x3 ).


3. Функции Боргниса

25

Замечание 1.3.3
ласть вне сферы

Пусть

область

D

представляет

собой

об-



r0

радиуса

r0

. Обозначим сферические коор-

динаты в этой области

x1 = , x2 =

,

x3 = r.

Тогда коэффициенты Ламе имеют вид:

h1 = r

,

h2 = r sin , h3 =

1

и удовлетворяют условиям существования функций Боргниса, которые являются решением уравнения

1

r2 sin



sin

u

+



u sin
1

+

2u + k 2 u = 0. r2
(1.3.39)

Уравнение ( 1.3.39) отличается от уравнения Гельмгольца в сферической системе координат. Однако, если сделать замену неизвестной функции

u(, , r) = rU (, , r),
то для функции

(1.3.40)

U

получим уравнение Гельмгольца

1

r sin



sin

U

+

2U sin 2
1

+

2 (rU ) + k 2 rU = r2

0,

(1.3.41)
которое можно переписать в стандартном виде

1

, U 2 (rU ) + + k2 U = 2 r r r2 U + k 2 U = 0.

0

(1.3.42)

или

Фукция

U

носит название электрического потенциала Дебая,

соответствующий ей электрический вектор Герца вид

э

имеет

э (, , r) = (

0, 0,

rU ) . V

(1.3.43)
, связан-

Аналогично вводится магнитный потенциал Дебая ный с магнитным вектором Герца соотношением

м (, , r) = (

0, 0,

rV ) .

(1.3.44)


26

Гл. 1. Математические модели теории дифракции...

Замечание 1.3.4
ваемом

Отметим в заключении, что в рассматрислое

сферическом

r0 < r <

не

может

существо-

вать нетривиальных решений однородной системы уравнений Максвелла с

E r Hr
.

0. утверждение от противного,

Д

О К А З АТ Е Л Ь С Т В О

Докажем это

предполагая, что такое нетривиальное решение существует. Тогда из условия

Hr

0 и уравнений Максвелла получим

E (sin E ) - =
а из условий

0,

(1.3.45)

divE =

0и

Er

0

E (sin E ) + =
причем хотя бы функцию

0,

(1.3.46)

E 0 w(, ) по ее

или

E

0. Построим вспомогательную

полному дифференициалу, полагая

w = E

и

w = sin E .

(1.3.47)

Тогда из (1.3.45) и (1.3.46) следует

sin
1 то есть

sin

w

+

2w = sin2 2
1

0,

(1.3.48)

, w = 0.
тральная задача для уравнения Лапласа на сфере

(1.3.49)

Уравнение (1.3.49) имеет нетривиальное решение, если спек-

, w + 0 w =
имеет нетривиальное решение при такое решение

0

(1.3.50) 0. Но, как известно,

w0

0 =

единственно и

w0 = C onst,
откуда из (1.3.47) следует уравнений Максвелла и

E E 0, то есть E 0, H 0. Утверждение доказано.

а в силу


4. Дополнительные условия в задачах дифракции...

27

4. Дополнительные условия в задачах дифракции установившихся колебаний
4.1. Граничные условия.
шения Система уравнений Максвелла

для случая установившихся колебаний имеет непрерывные ре-

E(M )

и

H(M )

в той подобласти

D
и

области задания

D

данной системы, где ее коэффициенты, определяемые материальными характеристиками среды

(M ), ч(M )

ются непрерывными функциями. Если на границе

(M ), S

также являподобласти

D

S = D

коэффициенты системы Максвелла разрывны, то

в точках этой границы уравнения Максвелла не выполняются, и должны быть заменены дополнительными условиями сопряжения на поверхности

S

разрыва материальных характеристик сред

D1

и

D2

с общей границей

S

. Как известно из общего курса

электродинамики, эти условия сопряжения имеют вид

[E ]|S = [чHn ]|S =
где символ и нормальных

0, 0,

[H ]|S = j

пов

, ,

(1.4.1) (1.4.2)

[En ]|S = пов a

j

пов

[a ]|S = a1 - a2 an компонент

обозначает разрыв касательных вектора на поверхности

a S , пов ,
напривекто-

плотности поверхностных зарядов и токов.

Замечание 1.4.1
мер, ры

Если проводимость одной из сред, D2 , бесконечно велика (2 = ), то в области D2 E(2) H(2) 0, и условия ( 1.4.1) принимают вид

E
то есть на

(1) S

=

0,

H

(1) S

= jпов

,

(1.4.3)
граничное

поверхности

значение вектора вектора

E

(1)

идеального

проводника

D

равно нулю, а граничное значение

S Замечание 1.4.2

H

(1)

определяется поверхностным током на Если область

S

.

D2

не

является

идеальным

проводником, но ее проводимость достаточно велика (

1), то, как известно, электромагнитное поле будет экспоненциально затухать в скин-слое области сти

2

S

D2

у поверхно-

, и условие сопряжения ( 1.4.1) может быть заменено

приближенным граничным условием, связывающим значения касательных составляющих

E

(1) S

и

H

(1) S

. Это позволяет

рассматривать задачу определения электромагнитного поля лишь в области

D1

.


28

Гл. 1. Математические модели теории дифракции...

z

Граничные условия ЩукинаЛеонтовича.
Эти были граничные получены условия в 40-х

J2
II
0
n

годах прошлого века выдающимися физиками вичем и российскими ЛеонтоЩукиным М.А. А.Н.

y

и носят их имя, а также часто называются просто импедансными граничныслучае на

x

I



J1

ми условиями. В общем границе раздела двух сред следует ставить условия

Рис. 1.4.1. Раздел сред.

сопряжения. Однако, если

проводимость одной из сред значительно превосходит проводимость другой, то задача с условиями сопряжения с хорошей точностью может быть заменена задачей только в одной области с меньшей проводимостью, а приближенные граничные условия заданы на поверхности раздела сред. Приведем вывод этих условий для простого случая падения плоской электромагнитной волны из среды (I) с малой проводимостью на плоскую границу проводимостью

z=

0 среды (II) с большой



1 (см. рис. 1.4.1).

Уравнения Максвелла для приведенных полей

H=

чH

E=

E,

в областях (I) и (II) имеют вид

rot H = -ik E, rot E = ik H c
, (1.4.4)

где

k=

ч

.

Уравнения (1.4.4) в декартовых координатах допускают два типа решений

Ex , Hy , H

z

и

Ey , Ez , Hx

соответствующих

двум различным поляризациям плоской волны. В первом случае вектор

E

лежит на фронте падающей волны, во втором на фронте

падающей волны лежит вектор которой

H

.

Введем новую декартову систему координат

ex

и

e

(x, , n),

орты

лежат на фронте падающей волны, а

en




4. Дополнительные условия в задачах дифракции...

29

нормален фронту. Тогда из уравнений Максвелла (1.4.4) для поля

Ex

получим выражение

Ex = Aeik
где

n

,

(1.4.5)

A

амплитуда поля

E,

а для

H

из очевидных соотношений (1.4.6)

ik H = (rotE) = ik Aeikn = ik Ex
следует

H = Ex .
Тогда для компонент исходных полей плоской волны (1.4.6) в силу (1.4.4) получим соотношение

Ex =
Величина

ч H = wH .

(1.4.7)

w=

ч

носит название волнового сопротивления

среды и определяется главным образом ее проводимостью как



, так

= + 4 i
Заметим, что при



1 значение

. |w| будет
1.

(1.4.8) малой величиной

|w|
раздела определяется выражением

Для обеих сред касательная составляющая вектора

H

к границе

H =
Под уголом (с осью

1

cos

Hy .

(1.4.9)



подразумевается угол падения плоской волны

z

) в среде (I) (рис. 1.4.1) или угол преломления

2

1
в

среде (II). Тогда соотношение (1.4.7) можно переписать в виде

Ex =
ницах раздела

w Hy . cos

(1.4.10)

Тогда из условий сопряжения (1.4.1) и условия (1.4.10) на гра-

z=
)

0 получим соотношения

( Ex1

) z =0

( = Ex2

z =0

=

w2 H (2) cos 2 y

=
z=
0

w2 H cos 2

(1) y

, (1.4.11)

z =0


30

Гл. 1. Математические модели теории дифракции...

то есть условия связи касательных составляющих векторов и

H

(1) на границе y

z=

( Ex1)

0 области (I). Вообще говоря, эти со-

отношения зависят от значения угла плоской волны на границу раздела легко показать, при условии

2 z=0

преломления падающей двух сред. Однако, как

|w2 |

1 величина

| cos 2 |

близка к

единице. Действительно, в силу закона Снеллиуса

n1 sin 1 = n2 sin 2
где

,

(1.4.12)

n=

ч

полный показатель преломления в среде. Так

как в нашем случае шения

|2 |

1и

|w2 |

1, то справедливы соотно-

sin 2 =
и

n1 sin 1 = O (w2 ) sin 1 n2
1

(1.4.13)

cos 2 =
условие

+O w

2 2

,

в силу которых окончательно получим импедансное граничное

( Ex1)

z=

0

= w2 H

(1) y

z=

0

2 + O w2

(1.4.14)

справедливое для любых углов падения ризации, получим соотношение

1

.

Проводя аналогичные рассмотрения для случая второй поля-

( Ey1)

z=

0

( = -w2 Hx1

) z =0

2 + O w2 .

(1.4.15)

Объединяя выражения (1.4.14) и (1.4.15), можно записать единую форму импедансного граничного условия, связывающего касательные составляющие электрического и магнитного полей плоской волны, падающей под любым углом на плоскую границу раздела с хорошо проводящей средой

(2
z=

1), в виде

[n Ч E]|z

=

0

= -w2 n Ч [n Ч H]

0

2 + O w2 .

(1.4.16)

Так как любое электромагнитное поле, удовлетворяющее однородной системе уравнений Максвелла, может быть представлено в виде суперпозиции плоских волн, то соотношение (1.4.16) остается справедливым и в общем случае.


4. Дополнительные условия в задачах дифракции...

31

Учет кривизны поверхности выражениях (1.4.14), (1.4.15)

S

дает дополнительные члены в

E |S = w2
1

1

+

ж1 - ж
2ik
2

2

H

2

2 + O w2

, (1.4.17)

S

и

E |S = -w2
2

1

-

ж1 - ж2
2i

k2

H

1

2 + O w2

,

S

где

1

и

2

главные касательные направления в данной точке

поверхности, а этой точке. Поскольку

ж
1

1

и

ж

2

главные кривизны поверхности

S

в

k

= O(w2 ),

то эти добавки имеют тот же поря2 O w2

2

док малости, что и оставшиеся члены

.

Из выражений (1.4.17) можно получить приближенные граничные условия нулевого порядка

[n Ч E]|S =
и первого порядка

0

(1.4.18)

[n Ч E]|S = -w2 n Ч [n Ч H]
где

S

,

(1.4.19)

n

вектор нормали к поверхности

S

, направленный в сто-

рону хорошо проводящей среды (II). Использование приближений более высокого порядка позволяет выписать граничные условия на границе

S

среды (I), в

которой ищутся решения уравнений Максвелла, и хорошо проводящей среды (II) с более высоким порядком малости

Ow

N

E E

(N )
1

= w2 = -w2

1

N + a2 w2 + ћ ћ ћ + aN w2
1

-

1

H

(N )
2

S (N )
1

, (1.4.20)

(N )
2

+ b2 w2 + ћ ћ ћ + bN w2
2,

N -1

H

S

.

Коэффициенты

ai (i =

геометрией поверхности

. . . , N ), bi (i = 2, . . . , N ) определяются S и материальными характеристиками

хорошо проводящей среды. О.И. Паничем доказана теорема, согласно которой приближенное решение задачи определения электромагнитного поля в


32

Гл. 1. Математические модели теории дифракции...

среде (I) вне хорошо проводящей среды (II) с граничным условием

N

-го порядка на границе

S

раздела сред (I) и (II) есть

N

-

ая частичная сумма асимптотического разложения по степеням малого параметра и (II).

w2

решения

{E(M ), H(M )}

полной задачи с

точными условиями сопряжения на границе раздела

S

сред (I)

N

E( - E i (M )

N)

(M ) =
i=
0

- N i w2 E i (M ) + O w2

+1

,

(1.4.21)

где

коэффициенты асимптотического разложения пол-

ной задачи сопряжения на границе

S

сред (I) и (II), то есть

N EN (M ) - E(M ) = O w2
всюду в среде (I).

+1

(1.4.22)

Замечание 1.4.3 (N ) (N -1)

Как легко видеть, заменяя в условии ( 1.4.20) , мы получаем ошибку того же порядка

H N O w2

на

H

+

1

малости, что и для решения с приближенным гра-

ничным условием порядка

N

. Однако, если в случае условия

( 1.4.20) мы имеем третью краевую задачу, где в граничном условии неизвестны обе функции и

E

(N )
1

H

(N )
2

, то при задании

в ( 1.4.20) известной правой части

H

(N -1)
2

мы имеем после-

довательность первых краевых задач с известной правой частью, найденной из предыдущего приближения, что во многих случаях позволяет построить эффективный алгоритм как

аналитического, так и численного решения исходной задачи.

Замечание 1.4.4

Рассмотреный метод построения импеданс-

ных граничных условий для электромагнитного случая применим и к задаче скалярной дифракции для уравнения Гельмгольца
2 u + ki (M )u = -f (M ), 2 k1 (M ), M (I ), 2 ki (M ) = 2 k2 (M ), M (I I ),

(1.4.23)

в котором

f (M )

заданная функция возбуждения колеба-

ний, а коэффициент

k 2 (M )

является разрывной функцией на


4. Дополнительные условия в задачах дифракции...

33

общей границе

S

раздела сред (I) и (II), на которой должны

выполняться условия сопряжения

[u]|S =
Здесь коэффициент поверхности

0,

Q(P )

u n

= 0.
S

(1.4.24)

Q(P ), P S

, определяется геометрией

S

и материальными характеристиками сред и

имеет различные значения на поверхности (II). Таким образом, в случае

S

в средах (I) и

k

(2)
2

(M )

1 решение

u(M )

пол-

ной задачи сопряжения в областях (I) и (II) можно в первом приближении заменить решением уравнения ( 1.4.23) с импедансным граничным условием

u + (P )u n
только в среде (I). Импеданс

=
S

0

(1.4.25)

(P )

, являющийся, вообще гово-

ря, комплекснозначной функцией точек геометрией области

P S
1.

, определяется

k2 (P )

в точках

S P S.

и значениями коэффициентов При этом

| (P )|

k1 (P )

и

4.2. Условия на бесконечности. Уравнения Максвелла для
установившихся колебаний и уравнение Гельмгольца являются уравнениями эллиптического типа. Как известно из общего курса методов математической физики, в случае внешних краевых задач в неограниченной области с заданными в

De S

De

вне замкнутой поверхности

S

локальными источниками для единственности , но и условия на бесконечности. Физический

решения должны быть заданы не только граничные условия на поверхности смысл последних соответствует требованию отсутствия источников поля на бесконечности. Рассмотрим уравнение Гельмгольца для комплексной амплитуды установившихся колебаний при временной зависимости (1.4.26)

e

-iwt :

u + k 2 (M )u = f (M ).
Пусть начало сферической системы координат жено внутри поверхности локальна, стремится

(r, , ) располоS . Пусть, кроме того, функция f (M ) 2 функция k (r , , ) равномерно относительно и 2 к постоянному значению k0 при r ,
r
2 lim k 2 (r, , ) = k0 .

(1.4.27)

2 А. Г. Свешников, И. Е. Могилевский


34

Гл. 1. Математические модели теории дифракции...

Тогда соответствующие условия имеют вид

u(r, , ) = O u - ik0 u = o r

1

r
1

, (1.4.28)

r

.

У ловия (1.4.28) носят название условий Зоммерфельда по имес ни знаменитого немецкого физика, который впервые их предложил. Аналогичные условия в электромагнитном случае имеют вид

[er Ч E]|r

>R0

= -w0 er Ч [er Ч H] + o

1

r

(1.4.29)

и также отвечают требованию отсутствия источника поля на бесконечности. Здесь

er

орт координаты

r

, а волновое число

w0 = lim w(r, , ) = lim
r

r

ч(r, , ) . (r, , )
( 1.4.28),

(1.4.30)

Замечание 1.4.5

Условия

Зоммерфельда

( 1.4.29)

не

носят универсальный характер. Форма их зависит от выбора временной зависимости установившихся колебаний

e
;

-i t

или

e

+i t

;

от

размерности

области
2

De

R

2

или

R

3

от

вида

зависимости коэффициента

k (M )

от системы координат, в

которой рассматривается задача, например, в случае стратифицированной среды, в которой вектора фазовой скорости

vф

и групповой скорости

vг

, определяющей направление пе-

реноса энергии, могут не совпадать и даже быть противоположно направленными, и в ряде других случаев вид условий Зоммерфельда должен быть изменен. Поэтому встает во-

прос о формулировке единообразных принципов излучения для самого широкого круга задач. Таковыми являются принцип

предельной амплитуды и принцип предельного поглощения.


4. Дополнительные условия в задачах дифракции...

35

4.3. Принцип предельной амплитуды. Наряду с исходной
задачей

L[u] + k 2 u = -f (M ), M De P [u]| = (Q), Q S , S u(r, , ) = O r u 1 - ik0 u = o r r
где 1 , ,

,

(1.4.31)

L[u]

линейный эллиптический оператор, а

P [u]

гра-

ничный оператор 1-го, 2-го или 3-го рода, рассмотрим начальнокраевую задачу для функции

v (M , t)
t
, ,

L[v ] -

2v = - (t)f (M )e-i 2 2 c t P [v ]|S = (t)(Q)e-it , Q S v (M , 0) = 0,
1 где

M De

,0


,

(1.4.32)

(t)

функция переходного режима, монотонно изменяюща-

яся от 0 до 1 при 0

t

t

0

и тождественно равная 1 при

t

t

0

.

В силу теоремы КошиКовалевской эта задача имеет непрерывное решение при любых предел

t

0. Если существует поточечный

t

lim v (M , t)e

i t

= u(M )

,

(1.4.33)

то, как легко видеть, в этом случае функция зависит от геометрии поверхности

u(M )

будет ре-

шением краевой задачи (1.4.31). Существование предела (1.4.33)

S

, оно доказано для широкого

класса достаточно гладких поверхностей

S

.

Таким образом, принцип предельной амплитуды представляет собой требование, чтобы решение задачи ( 1.4.31)
начальными условиями.

u(M )

было

предельной амплитудой колебаний задачи ( 1.4.32) с нулевыми

4.4. Принцип предельного поглощения. Пусть коэффициент

k 2 (M )

является действительной функцией. Введем комплекс-

ный коэффициент
2 k (M ) = k 2 (M ) + i, >
2*

0,

(1.4.34)


36

Гл. 1. Математические модели теории дифракции...

и наряду с исходной задачей (1.4.31) рассмотрим задачу

2 L [u ] + k u = -f (M ), M De P [u ]|S = (Q), Q S , u (M ) = O (e-r ) при r . u (M )
к нулю при

, (1.4.35)

У ловие на бесконечности означает экспоненциальное стремлес ние решения

M ,

что обеспечивает при-

надлежность решения (1.4.35) функциональному пространству

L2 (De ).
В силу последнего условия решение задачи (1.4.35) существует для любого предел

>

0. Если существует конечный поточечный


то функция

lim u (M ) = u(M ),
0

(1.4.36)

u(M ) S

будет удовлетворять всем условиям исходной и доказано для широкого класса поверхностей

задачи (1.4.31). Существование этого предела зависит от геометрии поверхности

S

и эллиптических операторов

L [u ].
должна быть пределом огра-

Таким образом, принцип предельного поглощения также позволяет выделить единственное решение, соответствующее расходящимся волнам: функция

u(M )

ниченного решения задачи ( 1.4.35) с комплексным поглощением при стремлении к нулю коэффициента поглощения.

4.5. Условия на ребре. Большой интерес представляют задачи дифракции электромагнитных волн на телах, имеющих ребра и кромки. В теории краевых задач для уравнений в частных производных показывается, что в областях, границы которых имеют ребра или угловые точки, для однозначной разрешимости необходимо сформулировать условия, определяющие поведение решения в окрестности особой точки границы. Однако для задач дифракции требование ограниченности решения может оказаться слишком жестким, поскольку не всегда существует решение, ограниченное в окрестности ребер или кромок [16]. Естественное с физической точки зрения предположение, что при отсутствии внешних источников на ребре поток энергии через любую поверхность, охватывающую ребро, стремится к нулю при стягивании этой поверхности к ребру, в скалярном случае позволяет записать следующее условие [16]:

r0

lim Im
C


u

u dl = n

0,

(1.4.37)


5. Лемма Лоренца. Формулы СтрэттонаЧу

37

где

-

C

часть окружности радиуса

,

заключенная в угле 2

-

. У ловие (1.4.38) будет выполнено, если в окрестности ребра с 1 поле при 0 растет не быстрее, чем , где > - . 2 Аналогом условия (1.4.38) в электромагнитном случае будет



r
где

lim
0

1 2

Re
S

[E Ч H ] ћ n d



=

0,

(1.4.38)

S

любая поверхность, охватывающая ребро. В книге [16]

также показано, что в окрестности ребра клина при иметь особенность только компоненты векторов

E

и

0 могут H, лежащие

в плоскости, перпендикулярной ребру, причем порядок особенности

1-

, где

=

2 -

.

Решение задачи выделения особенностей электромагнитного поля в окрестности ребра границы волновода подробно рассмотрено в Приложении 2.

5. Лемма Лоренца. Формулы СтрэттонаЧу
5.1. Лемма Лоренца.
При изучении свойств решений эл-

липтических уравнений весьма эффективным является использование формул Грина. Для уравнений установившихся электромагнитных колебаний такую роль играет лемма Лоренца. Пусть в области токи поля

D с замкнутой гладкой границей S = D j1 (M ) и j2 (M ) создают соответственно электромагнитные {E1 , H1 } и {E2 , H2 }, удовлетворяющие уравнениям rotH1 = -ik E1 + j1 rotE1 = ik H
1

,

(1.5.1)

, ,

rotH2 = -ik E2 + j2 rotE2 = ik H2 .
Составим выражения

(1.5.2)

div [E1 Ч H2 ] = (H2 ћ rotE1 ) - (E1 ћ rotH2 ) = = ik (H1 ћ H2 ) + ik (E1 ћ E2 ) - (E1 ћ j2 )
, (1.5.3)

div [E2 Ч H1 ] = ik (H1 ћ H2 ) + ik (E1 ћ E2 ) - (E2 ћ j1 ) .


38

Гл. 1. Математические модели теории дифракции...

Отсюда вытекает, что

div [E1 Ч H2 ] - div [E2 Ч H1 ] = (E2 ћ j1 ) - (E1 ћ j2 ) .

(1.5.4)

Соотношение (1.5.4) носит название дифференциальной формы
леммы Лоренца [16]. Если проинтегрировать (1.5.4) по области

GD

, ограниченной поверхностью

G

, и воспользоваться в

левой части формулой ОстроградскогоГаусса, получим

[E1 Ч H2 ] - [E2 Ч H1 ]
G

ћ n d =
(1.5.5) ,

=
G
где

(E2 ћ j1 ) - (E1 ћ j2 ) dV G

n

внешняя нормаль к

. Равенство (1.5.5) называется

интегральной формой леммы Лоренца и является векторным

аналогом второй формулы Грина в случае электромагнитного поля. Интегрируя ческого диполя (1.5.4) по области

D

и

используя

формулу

ОстроградскогоГаусса, в случае сосредоточенного тока электри-

j2 (M ) = l (M0 , M ),
где единичный вектор

(1.5.6)

l

определяет направление тока

j2

, получим

l ћ E1 (M0 ) =
S

[E2 Ч H1 ] - [E1 Ч H2 ]

ћ n d +
(1.5.7)

+
D

E2 (M , M0 , l) ћ j1 (M ) dVM .

Формула (1.5.7) является аналогом третьей формулы Грина для скалярного случая. Она устанавливает связь значения вектора

E1

в произвольной внутренней точке

M0

области

D

с гранич-

ными значениями касательных составляющих векторов

H1 (Q) (Q S ),
области D и {E2 , H2 } во

возбуждаемых вектором тока

и значениями векторов вспомогательного поля на ее границе

S

E1 (Q) и j1 (M ) (M D) {E2 , H2 } внутри

. Можно получить явный вид поля

R3 . Это поле можно выразить в декартовой системе координат (x, y , z ) с началом в точке M0 и ортом ez , совпадающим с вектором l, через электрический вектор э э Герца с единственной отличной от нуля компонентой z :
всем пространстве


5. Лемма Лоренца. Формулы СтрэттонаЧу

39

э (M , M0 ) =

0, 0,

э z

. Здесь функция

э (M , M0 ) z

является

фундаментальным решением уравнения Гельмгольца

+k
откуда 1 4

2

i э = - (M0 , M ), z k

(1.5.8)

э = - z

ik

(M0 , M ),

где

(M0 , M ) =

eik RM

R

.
M

(1.5.9)

0

Здесь и далее индекс у

RM

M

0

в фундаментальном решении
носит название леммы

уравнения Гельмгольца будем указывать только в знаменателе.

Замечание 1.5.1

Выражение

( 1.5.7)

Лоренца для электрического поля.

Выражение, аналогичное (1.5.7) можно получить и для вектора

H1 (M0 )

магнитного поля. В качестве уравнений для вспомога-

тельного поля

{E2 , H2 }

возьмем систему уравнений Максвелла,

в которой возбуждение осуществляется магнитным током

rotH2 = -ik E2

,

(1.5.10)

rotE2 = ik H2 + jm .
В качестве тока диполя

jm выберем jm = p (M0 , M ), где

сосредоточенный ток магнитного единичный вектор

p

определяет

направление момента магнитного диполя. Тогда

p ћ H1 (M0 ) =
D

E2 (M , M0 , p) ћ j1 (M ) dVM +
(1.5.11)

+
S

[E2 Ч H1 ] - [E1 Ч H2 ] {E2 , H2 } м z

ћ n d.

где вспомогательное поле

выражается через фунда-

ментальное решение уравнения Гельмгольца для единственной отличной от нуля компоненты магнитного вектора Герца:

+k

2

м = z

i 1 (M0 , M ), м = (M0 , M ). z k 4 ik

(1.5.12)


40

Гл. 1. Математические модели теории дифракции...

5.2. Следствия леммы Лоренца.
Пусть поля {E1 , H1 } и {E2 , H2 } в De возбуждаются сосредоточенными токами j1 (M , M1 ) = l1 (M , M1 ) и j2 (M , M2 ) = l2 (M , M2 ), удовлетворяют нулевым граничным условиям на внутренней границе S области De [E1 Ч n]|S = [E2 Ч n]|S = 0

Теорема взаимности.

открытой области

и условиям излучения (1.4.29) на бесконечности. Тогда, интегрируя выражение (1.5.4) по области

De

, получим

l2 ћ E1 (M2 ) = l1 ћ E2 (M1 ) .
Это соотношение означает, что проекция поля

(1.5.13)

M2

нахождения второго диполя на направление

ции поля точечного

E2 (M1 )
диполя,

в точке

M1

E1 (M2 ) в l2 равна

точке проек-

на направление первого диполя. электромагнитное поле, и

Данное соотношение, позволяющее менять местами положения возбуждающего точку его наблюдения, и носит название теоремы взаимности.

Формула СтрэттонаЧу.
ния поля

Выражение (1.5.11) для значе-

H1 (M0 )

можно записать в более компактном виде, в

котором вспомогательные векторы ров

{E2 , H2 }

выражаются через

элементарные функции. Будем исходить из представления векто-

{E2 , H2 }

через магнитный вектор Герца

E2 = ik rot м , H2 = grad div м + k 2 м
где вектор

,

(1.5.14)

м = p2 м

,а

p2

единичный постоянный вектор.

Из формул векторного анализа в этом случае следует, что

div м = p2 ћ rot м =
Откуда, учитывая, что

м

,

м Ч p2 .
1

(1.5.15)

м =
1 4

4

ik

; =

eik RM

R M
, получим

0

E2 = H2 =

[ Ч p2 ]
м

,
2

ћ p2 + k p2 .

м

(1.5.16)


5. Лемма Лоренца. Формулы СтрэттонаЧу

41

Запишем выражение (1.5.11) для вектора

H(M0 )

H(M0 ) ћ p2 =
D

E2 M0 , M , p2 ћ j(M ) dVM +
(1.5.17)

+
S

[E2 Ч H] - [E Ч H2 ]

ћ n d. p2

Первое слагаемое правой части в силу постоянства вектора можно записать в виде

p2 ћ H0 (M0 ) =

4

p2
D
0

[j Ч

] dVM

,

(1.5.18)

что, очевидно, дает выражение магнитного поля в возбуждается локальным током сти

R

3

, которое

j(M ),

сосредоточенным в обла-

D0 R

3

. Для преобразования второго слагаемого рассмотрим представления (1.5.16), запишем следующее

подробнее подынтегральное выражение в поверхностном интеграле. Учитывая соотношение

[E2 Ч H] - [E Ч H2 ] = ik +

ћn =
(1.5.19)

м Ч p2 Ч H ћ n + м ћ p2 Ч E ћ n - k
2

p2 м ћ [n Ч E] .

Имеют место равенства

м Ч p2 Ч H ћ n = = p2 ћ м Ч [n Ч H]

p2 Ч
,

м ћ [n Ч H]

=

(1.5.20)

м ћ p2 Ч E = rot - м ћ p2 rot E.

м ћ p2 E -

По теореме ОстроградскогоГаусса

(rot A ћ n) d =
S D

div (rot A) dV =

0

(1.5.21)


42

Гл. 1. Математические модели теории дифракции...

для любого дифференцируемого вектора Максвелла получим

A.

В силу уравнений

p2 ћ

м (rot E ћ n) = ik p2 ћ p2

м (H ћ n)

(1.5.22)

Тогда в силу постоянства вектора тельно приобретает вид

формула (1.5.11) оконча-

H(M0 ) = H0 (M0 ) + +
1 4

[ Ч [n Ч H]] -
S

(n ћ H) + ik [n Ч E] dM eik RM
R

,

(1.5.23)

где

(M0 , M ) =
Чу.

.
M

(1.5.24)

0

Соотношение (1.5.23) носит название формулы Стрэттона Аналогичное можно получить и для вектора

E(M0 ).

Эти

формулы выражают значение векторов электромагнитного поля, возбуждаемого в области ный ток возбуждения

D j(M ),

с гладкой границей

S

через задан-

граничные значения касательных

и нормальных компонент поля

{E, H}

и фундаментальное ре-

шение (1.5.24) уравнения Гельмгольца. Формулы Стреэт тона Чу широко используются при исследовании задач дифракции установившихся колебаний.

6. Теоремы единственности
6.1. Постановка задачи.
Обоснование математической

непротиворечивости полученных моделей для задач об установившихся колебаниях начнем с доказательства единственности решения внешних краевых задач. Пусть электромагнитное поле вне импедансного тела ограниченного замкнутой гладкой поверхностью

S

Di

,

, создается

локальным током, сосредоточенным в ограниченной подобласти

D0

внешней области

De (D0 De ).

Соответствующая математи-

ческая модель для установившихся электромагнитных колебаний в области

De

представляет собой внешнюю краевую задачу для

системы уравнений Максвелла

rotH = -ik0 (M )E + j(M ), rotE = ik0 ч(M )H,

M De

(1.6.1)


6. Теоремы единственности

43

с дополнительными условиями

[n Ч E]|S = - (P ) n Ч [n Ч H] [er Ч E]|R = -w0 (P ) er Ч [er Ч H]
где

S

, 1

(1.6.2)

R

+o
,

R

,

(1.6.3)

R
0

lim w(M ) = w0 =
равномерно на

=ч

R

ч0 0 Di

и

R

lim (M ) = 0 n

R

lim ч(M ) = S

, и вектор

нормали к поверхности

направлен внутрь области

, ограниченной этой поверхностью.

Для доказательства единственности решения задачи (1.6.1)(1.6.3), если оно существует, достаточно показать, что соответствующая однородная внешняя краевая задача имеет только тривиальное решение теорему Пойнтинга 2

EH

0.

Запишем для решения однородной

(j(M ) 0)

задачи (1.6.1)

Re
S +R

[E Ч H ] ћ n d + +k Im |E|2 + Im ч |H|2 dV =
D
e

(1.6.4) 0

0

и воспользуемся соотношениями

[E Ч H ] ћ n - (P )
где

S

= [n Ч E] ћ H


S S

=
(1.6.5)

n Ч [n Ч H] ћ H

= (P ) |H |2 S

S

,

H

H |S

касательная к поверхности

составляющая вектора

,и

R0

lim

[E Ч H ] ћ er
R0

= lim w0 |H |2
R0 R0

.

Тогда из (1.6.4) получим 2

Re (P ) |H |2 d + lim
S

R

2w0

|H |2 d +
R
(1.6.6)

+
D

Im |E| + Im ч |H|

2

2

dV = 0.


44

Гл. 1. Математические модели теории дифракции...

Следствием

формулы

(1.6.6),

в

которой

при

условии

Re (P )|S
1. Если 2. Если

0 все слагаемые положительные, являются следую-

щие утверждения:

Re (P ) > Im
0,

0,

Im >

0,

Im ч >

0в

De

, то

EH

0.

Im ч

в силу граничного условия Лоренца следует, что 3. Если

Re (P )|S > E |S = 0, E H 0 в De .
0, 0, то

0, то

H |S = 0 и откуда по лемме |H |2 d =
R
0.

Im Im ч Re (P )

R

lim

Очевидно, что в первых двух случаях однородная краевая задача (1.6.1)-(1.6.3) имеет только тривиальное решение. Физический смысл этого факта заключается в том, что в диссипативной среде или при диссипативном граничном условии свободные колебания при отсутствии внешних источников невозможны.

6.2. Лемма Реллиха. Третий случай, когда отсутствует поглощение энергии колебаний во внешней среде и на внутренней границе неограниченной области, требует дополнительного изучения. Чтобы нагляднее выявить основную идею доказательства единственности решения задачи в недиссипативной среде, начнем со скалярного случая. Докажем вспомогательное утверждение.

Лемма 1.6.1
гольца

(лемма Реллиха) Для не равного тождественно

нулю вне сферы

R

0

решения однородного уравнения Гельм2 u + k0 u =

0,

(1.6.7)

удовлетворяющего условию излучения Зоммерфельда

u - ik0 u = o r
имеет место соотношение

1

r

,

r ,

(1.6.8)

R0
Д
О К А З АТ Е Л Ь С Т В О

lim

|u|2 d = 0.

R0

(1.6.9)

. В силу гладкости функции

u

она на любой

сфере

r

при

r > R0

может быть разложена в равномерно сходя-

щийся ряд по ортонормированным сферическим функциям



u(r, , ) =
n=
1

un (r)Yn (, )

,

(1.6.10)


6. Теоремы единственности

45

где сферические функции

ны с помощью одного индекса

Yl

(m) (n)

= Pl(n) (cos )e n, так что
,

(m)

im

перенумерова-

Yn (, ) = Pl
При этом индекс

(m) (n)

(cos )e

im

-l n

m

l, n =

1, 2,

... . (n) +
1

l(n)

имеет одно и то же значение при 2l

последовательных значениях индекса

. Введение таких обозна-

чений позволяет в последующих формулах избежать необходимости использовать повторные суммы в разложениях решений по сферическим функциям. Коэффициенты разложения (1.6.10) равны

un (r) =

где

u(r, , )Yn (, )d

,

(1.6.11)



сфера единичного радиуса. Используя частные решения

однородного уравнения (1.6.7), так называемые метагармонические функции [8]

wn (r, , ) = l
где

(1) (n)

(k r)Yn (, ),

(1.6.12)

l

(1) (n)

(x)

сферические функции Ханкеля, с помощью первой

формулы Грина для функции

u

и функции

wn (r, , ) =
можно показать, что функции уравнениям

(1) l(n)

(k r)Yn (, ),

(1.6.13)

un (r)

в (1.6.10) удовлетворяют

l

(1) (n)

d dun (r) - un (r) dr dr

(1) l(n)

(k r) =

0,

n=

1, 2,

... .

(1.6.14)

При этом

un (r) = an
где

(1) l(n)

(k r),

(1.6.15)

a

ний (1.6.14) при условии В силу (1.6.10) ряд бом

n произвольные постоянные, будут решениями уравнеun (r) 0, r .

|un (r)|2 u(r, , )
n

абсолютно сходится при лю-

r > R0

, а функция

представима в виде

u(r, , ) =
n

an wn (r, , ),

(1.6.16)


46

Гл. 1. Математические модели теории дифракции...

где

an l

(1) (n)

(k r) = un (r).

Отсюда следует, что
2

R
R

lim

|u|2 d = lim R
R

2

|an |2 l
n

(1) (n)

(k r) .

(1.6.17)

Воспользовавшись асимптотикой функций Ханкеля при больших значениях аргумента [30], мы и получим утверждение леммы Реллиха

R R

lim

|u(R, , )|2 d = 0.

6.3. Скалярная задача дифракции на металлическом теле. Полученный результат позволяет доказать следующие теоремы единственности решения внешних краевых задач в скалярном случае.

Теорема 1.6.1

Первая внешняя однородная краевая задача

u + k 2 (M )u = 0, M De , u|S = 0, u 1 - ik u = o при r , r r
где

(1.6.18)

k 2 (M ) Im k 2 (M )

0

аналитическая функция, равнок постоянному значению

мерно стремящяся при

M u(M )

k

2 0

имеет только тривиальное решение.

Д

О К А З АТ Е Л Ь С Т В О

. Пусть

нетривиальное решение зада-

в области De с внутренней границей

чи (1.6.18) Запишем вторую формулу Грина для функций

u

и

u

S

и внешней



R0

u + k 2 u ћ u dV =
De

u u d - n
S +R
0

(1.6.19)
2

-
D
e

| u| dV +
De

2

k (M ) |u| dV =

2

0,

так как левая часть обращается в ноль, поскольку

u(M )

удовле-

творяет однородному уравнению Гельмгольца. Тогда из равенства


6. Теоремы единственности

47

нулю мнимой части правой части (1.6.19) получим в силу условий Зоммерфельда

R

lim Im
R

u u d = k lim R r
R

|u|2 d = 0.

(1.6.20)

Но, согласно лемме Реллиха, правая часть (1.6.20) для нетривиального решения должна быть отлична от нуля. Из полученного противоречия следует, что

u

0 при

r De

R0

. Согласно теореме

Бернштейна [21] решение линейного эллиптического уравнения с коэффициентами, являющимися аналитическими функциями действительных переменных в области ласти , также является в об-

De

аналитической функцией действительных переменных.

Поэтому, в силу единственности аналитического продолжения через границу что



u

R

0

в область

0 вплоть до

S

De

вне поверхности

S

, получим,

, что и доказывает теорему.

Замечание 1.6.1

Можно показать, что аналогичные резуль-

таты имеют место и для внешних второй

u n

=
S

0

и тре-

тьей

u + (P )u n Im (P )

=
S

0

краевых задач при дополнительном

условии

0 для третьей краевой задачи.

6.4. Скалярная задача дифракции на прозрачном теле.
Более сложной является задача определения электромагнитного поля в том случае, когда оно проникает и внутрь поверхности При этом на самой поверхности
зрачном теле.

S

.

S

ставятся условия сопряжения.

Задачи такого типа называются задачами дифракции на проРассмотрим скалярную задачу дифракции на прозрачном теле

Di

с гладкой поверхностью

S

. Ее математическая модель пред-

ставляет собой задачу с условиями сопряжения на

ue ui ui | S ui n ue r

S

:

2 + ke ue = -f (M ), M De 2 + ki ui = 0, M Di , = ue |S ,

,

=
S

ue n

(1.6.21) ,

S
1

- ik0 ue = o

r

при

r .


48

Гл. 1. Математические модели теории дифракции...

Здесь

нат в области

De , равная постоянному 2 2 ki (M ), Im ki (M ) 0 непрерывно ция в области Di .
Имеет место следующая теорема.

2 ke (M )

аналитическая функция действительных коордизначению

k

2 0

при

r

R0

,а

дифференцируемая функ-

Теорема 1.6.2
Д

Однородная задача ( 1.6.21) имеет только три-

виальное решение.
О К А З АТ Е Л Ь С Т В О

. Повторяя доказательство теоремы 1.6.1, по-

лучим, что функция

ue (M )

0 для

M De

. Следовательно, из

условий сопряжения получим для предельных значений

M Q

lim ui (M )|QS =

0и

M Q

lim

ui n

=
QS

0,

M Di .

(1.6.22)

Тогда для функции

ui (M )

получаем переопределенную задачу

2 ui + ki ui = 0, M Di ui = 0, ui |S = 0, n S
имеющую только тривиальное решение

, (1.6.23)

Замечание 1.6.2
задач сред.

Условия

2 Im ke (M )

0и

ui (M ) 0. 2 Im ki (M )
случай

0 в теоактивных

ремах 1.6.1 и 1.6.2 позволяют исключить из рассмотрения дифракции в неоднородных средах

Замечание 1.6.3
ливой и в том

Очевидно, теорема 1.6.2 остается справедслучае, когда область

слойной с границами раздела слоев ция

2 kj (M ) аналитическая в каждом (Sj -1 , Sj ), j = 1, . . . , N - 1, при этом поверхностях Sj должны выполняться

Di S1 , S2 ,
слое на

является . . .,

много-

SN

, а функ-

Dj

с границами граничных сопряжения

общих

условия

задачи ( 1.6.21).

6.5. Электромагнитный аналог леммы Реллиха.

Прове-

денные рассуждения подсказывают, что ключевым моментом в проблеме единственности решения внешних задач электромагнитной теории дифракции является электромагнитный аналог леммы Реллиха.

Лемма 1.6.2

(Электромагнитная лемма Реллиха) Если реше-

ние однородной системы уравнений Максвелла для установившихся электромагнитных колебаний вне сферы



R0

удовле-


6. Теоремы единственности

49

творяет условию излучения и не равно тождественно нулю, то

R
R

lim

|H |2 d = 0.

(1.6.24)

Начнем со вспомогательных утверждений.

A (, ),

Утверждение 1.6.1

Произвольно

заданный

гладкий

вектор

касательный к поверхности сферы



при любом значении

r

r

, может быть

представлен в виде
2

A =
где
2

+[
,а

2

Ч er ]

,

(1.6.25)

=

1 e + e sin
. Пусть



и

дважды непрерывно

дифференцируемые функции сферических координат

(, ).

Д

О К А З АТ Е Л Ь С Т В О

(, )

и

(, )
и ,

дважды непре-

рывно дифференцируемые функции сферических координат. Рассмотрим соотношение (1.6.25) как систему дифференциальных уравнений относительно функций

(, )

(, ):

1 + sin 1 - sin
Откуда следует, что функции

= A

= A .
и

(1.6.26)

(, )

(, )

на сфере



r

удовлетворяют уравнениям Пуассона

, = (, ), , = (, ).
Здесь

(1.6.27)



,

=

sin
1

sin



+

2 sin2 2
1

(1.6.28)

является сферической частью оператора Лапласа, а правые части в (1.6.27) выражаются через сферические компоненты заданного вектора

A(, )

по формулам

(, ) =

1 A (sin A ) + sin sin
1 1

, (1.6.29)

A 1 - (sin A ) . (, ) = sin sin


50

Гл. 1. Математические модели теории дифракции...

Решения уравнений (1.6.27) можно получить, определяя коэффициенты разложения функций

(, )

и

рованному базису сферических функций

(, ) по ортонорми{Yn (, )} 0 n=

(, ) =
n

n Yn (, ), n Yn (, ),
n
(1.6.30)

(, ) =
где коэффициенты

n

и



n выражаются через коэффициенты

разложения правых частей уравнений (1.6.27) по данному базису, что и доказывает утверждение 1.6.1. Введем обозначения

hм = n

2

Yn

,

hэ = [ n

2

Yn Ч er ] .

(1.6.31)

Покажем, что в силу ортонормированности базиса сферических функций векторный базис hм , hэ также является ортонормиn n рованным на сфере, и имеет место представление

H |R =
n
где коэффициенты

aэ (R)hэ + aм (R)hм n n n n aэ (R) n
и

,

(1.6.32)

aм ( R ) n

определяются касательными

составляющими полей электрического и магнитного типа, на которые разлагается полный вектор

H

. Для этого запишем

|H |2 d =
R n n

a I
(3) nn (2) nn , (1)
,

э

n

aэ n



I

(1) nn

+ aм a n

м

n

Inn +
(1.6.33)

(2)

+a

э м n an

где интегралы

I

(1) nn ,

I

I

(3) nn соответственно равны

Inn =
(2) Inn (3) Inn

hэ hэ n n hм hм n n




d

,

= =




d

,

(1.6.34)

hэ hм n n



d .


6. Теоремы единственности

51

Вычислим эти интегралы, пользуясь выражениями элементов векторного базиса hэ , hм через сферические функции n n

Yn (, ) = Pl(n) (cos )eim , -l m l: (m) (m) m2 dPl(n) dPl (n ) (1) (m) (m) sin d, Inn = P ћ Pl (n ) + sin2 l(n) d d
0

(m)

(1.6.35)

где мы учли, что система функций удовлетворяют уравнению

e

отрезке [0, 2 ]. Заметим, что присоединенные функции Лежандра

im ортогональна на m=-

(m) 2 dPl(n) d + - m sin sin d d sin2
1

Pl

(m) (n)

=

0,

(1.6.36)

где константа = l (l + 1). Умножая уравнение (1.6.36) (m) sin Pl (n ) и интегрируя по отрезку [0, ], получим (m) d 2 dPl(n) sin P (m) - m P (m) P (m) d = l (n ) d d sin l(n) l (n )
0

на



(1.6.37)

= -
0

(m) (m) Pl(n) Pl (n )

sin d = -Nn

nn

где

N

n норма присоединенной функции Лежандра, а



nn



символ Кронекера. Беря первый интеграл в левой части (1.6.37) по частям, получим

sin

dPl

(m) (n)

(m) Pl (n )
0

d

- Inn = -Nn

(1)

nn ,

(1.6.38)

что в силу граничных условий для присоединенных функций Лежандра дает

Inn = l(l + 1)Nn
что означает

(1)

nn ,

(1.6.39)

I

(1) nn

=

0 при

n=n =

.

Совершенно аналогичным образом получим

I

(2) nn

0 при

n=n.

(1.6.40)


52

Гл. 1. Математические модели теории дифракции...

Обратимся к интегралу

Inn

(3)

(m) (m) dPl (n ) dPl(n) (m) (m) = m Pl(n) d = + Pl (n ) d d

0

= mPl (m) dPl(n) (m) P -m -P l (n ) d

0

(m) (m) (n) Pl (n ) 0

-

(1.6.41)

(m) l (n )

dPl

(m) (n)

sin d =
0

d

n, n .

торного базиса

Проведенные вычисления доказывают ортогональность век hэ , hм , что позволяет записать n n

n=0

|H |2 d =
R n

э м Cn (R) + Cn (R)

2

2

,

(1.6.42)

э,м где коэффициенты Cn (R) выражаются через коэффициенты э м an (R) и an (R) в формуле (1.6.32), причем для H | = 0 хотя бы один из этих коэффициентов отличен от нуля, что и доказывает лемму 1.6.2 (электромагнитную лемму Реллиха). Единственность внешних задач дифракции установившихся электромагнитных колебаний на идеально проводящем теле с помощью леммы 1.6.2 доказывается совершенно аналогично соответствующим скалярным задачам.
R

7. Разрешимость задач дифракции
7.1. Скалярная задача с условиями сопряжения. Уравнение ЛипманаШвингера. Рассмотрим скалярную задачу дифракции на прозрачном теле. Пусть среда в области

Di однородна и характеризуется ke (M ) k0 , M De , а среда в
функцией
2 ki (M ) C

De

вне тела задает-

постоянным волновым числом ограниченном теле

Di

ся, вообще говоря, переменной непрерывно дифференцируемой

(1)

(Di ). De

Тогда математическая модель воз-

буждения колебаний локальным источником

f (M ) C

(1)

suppf (M ) De

(D0 ),

в области

сводится к краевой задаче сопряже-


7. Разрешимость задач дифракции

53

ния (в простейшем случае непрерывности решения и его потока) на общей границе

S

областей

De

и

Di

, которая имеет вид:



2 ue + k0 ue = -f (M ) 2 ui + ki (M )ui =

,

M De
,

,

(1.7.1)

0,

M Di

ue |S = ui |S , u ui e = , n S n S ue 1 - ik0 ue = o r r
Пусть

(1.7.2) при

r .
M , фундаменталь2 u + k0 u =

(M0 , M ) =

1 4

eik RM

0

R M
, где

R = RM

0

0

ное решение однородного уравнения Гельмгольца в

0

R

3

. Тогда, записав второе уравнение (1.7.1) в виде
2 2 2 ui + ki ui = ui + k0 ui - k0 - k 2

i

ui =

0,

(1.7.3) вторую

можем

получить

следующие

соотношения,

используя

формулу Грина


S

ue - ue n n ue (M ), 1 = u (P ), 2 e 0, M

d +
D

f (Q)dVQ =
0

M De P S Di
, ,

,

(1.7.4)

-
S



ui - ui d + n n 0, M De , ue (P ), P S , ui (M ), M Di .
2 1

2 2 ki (Q) - k0 ui dVQ =

D

i

(1.7.5)

=


54

Гл. 1. Математические модели теории дифракции...

Складывая полученные соотношения, имеем

u(M ) +
D
i

2 (M , Q) ki (Q) - k

2 0

ui (Q)dVQ =
(1.7.6)

=
D
0

(M , Q)f (Q)dVQ = F (M ), M R3 .

Соотношение (1.7.6) носит двоякий характер. В случае, когда

M Di

, это интегральное уравнение Фредгольма второго рода

для функции функции

ui (M ).
в

Если же

в формулу вычисления функции

ui (M )

Di

M De , ue (M )

то (1.7.6) превращается по известному значению

. Оно носит название уравнения Липмана

Швингера. Интегральное уравнение (1.7.6) относится к классу

интегральных уравнений Фредгольма второго рода со слабо полярным ядром

u(M ) +
D

K (M , Q)u(Q)dVQ = f (M ),

(1.7.7)

ядро которого удовлетворяет условию 1

K (M , Q) = O
где

rM Q

при

<

n
2

,

(1.7.8)

n

размерность области

D

.

Отметим важные для дальнейшего свойства интегрального уравнения (1.7.7). а)Сглаживающее свойство. Если функция

D

, где

p

степень гладкости функции

u(Q) C (p) (D), Q u(Q), то функция
(1.7.9)

v (M ) =
D
имеет гладкость

K (M , Q)u(Q)dVQ
(p+1)

p+

1, то есть

v (M ) C

(D).

б)Теорема Фредгольма. Если однородное уравнение (1.7.7)

u0 (M ) +
D

K (M , Q)u0 (Q)dVQ =

0,

M D

,

(1.7.10)


7. Разрешимость задач дифракции

55

имеет только тривиальное решение

u0 (M )

0, то неоднородное .

уравнение (1.7.7) однозначно разрешимо при любой правой части

f (M )

и гладкость

u(M )

такая же, как и у

f (M )

Доказательство классической разрешимости исходной краевой задачи (1.7.1)-(1.7.2), которую мы обозначим (I), основано на следующих утверждениях.

Утверждение 1.7.1

Любое

классическое

решение

задачи

(I)

удовлетворяет соотношению ( 1.7.6).

Это утверждение является следствием тождественных преобразований, которые в предположении существования классического решения задачи (I) привели к соотношению (1.7.6).

Утверждение 1.7.2

Любая функция

ряющая соотношению ( 1.7.6) при

u(M ), M R3 , F (M ) C (2) R3

удовлетво, является

классическим решением задачи на сопряжение (I).

Д

О К А З АТ Е Л Ь С Т В О

. Доказательство этого утверждения проведем

прямой проверкой. Согласно (1.7.6) функция

u(M )

является сум-

мой двух объемных потенциалов со слабо полярными ядрами

(M , Q)

и

2 ki (Q) - k

2 0

(M , Q).

Из свойств объемных потен-

циалов вытекает

+k
и, представляя

2 0

ue (M ) = -f (M ), M De
2 0

,

(1.7.11)

2 + ki (M ) = + k

2 + ki (M ) - k

2 0

, получим

2 2 2 + ki (M ) ui = - ki (M ) - k0 ui (M )+ 2 2 + ki (M ) - k0 ui (M ) = 0.

(1.7.12)

В силу свойств объемных потенциалов для функций

ue (M )

ui (M )

и

выполняются как условия сопряжения, так и условия на

бесконечности (1.7.2). Итак, утверждения 1.7.1 и 1.7.2 устанавливают полную эквивалентность задачи (I) и уравнения Липмана Швингера (1.7.6). Полученные результаты позволят доказать разрешимость задачи (I).

Теорема 1.7.1
этой задачи.

При

сделанных

предположениях

о

гладкости

входных данных задачи (I) существует классическое решение

Д

О К А З АТ Е Л Ь С Т В О

. Очевидно, что в силу установленной эквивадостаточно доказать, что для

лентности задач

(I ) (1.7.6)


56

Гл. 1. Математические модели теории дифракции...

уравнения (1.7.6) выполняется теорема Фредгольма. Предположим, что существует нетривиальное решение

(f (M ) 0)

u0 (M )

однородного

уравнения (1.7.6). Тогда построенное по формуле

(1.7.6) решение однородной задачи

(I )

также нетривиально.

Но это противоречит теореме единственности решения задачи сопряжения, что в силу теоремы Фредгольма и теоремы единственности устанавливает однозначную разрешимость задачи (I).

Замечание 1.7.1

Теорема существования классического реше-

ния задачи (I) доказана при соответствующих условиях гладкости входных данных задачи. Используя свойства объемных потенциалов с плотностью, являющейся обобщенной функцией

f (M ) L2 (D0 ),

можно доказать и существование обоб-

щенного решения задачи (I).

Замечание 1.7.2

Теорема существования решения задачи (I)

остается справедливой и в случае более общих условий сопряжения, чем условие ( 1.7.2):

ue (P )|S = q1 (P )ui (P )|S ue n
где функции

, (1.7.13)

= q2 (P )
S

ui n

,

S

q1 (P )

и

q2 (P )

определяются материальными ха-

рактеристиками сред в областях

Di S

и

De

.

В этом случае

уравнение ЛипманаШвингера ( 1.7.6) переходит в интегральное уравнение с дополнительным слагаемым в виде поверхностных интегралов на поверхности раздела сред.

Замечание 1.7.3

Идеи доказательства разрешимости задачи

(I) для скалярного случая без существенных изменений переносятся и на случай дифракции установившихся электромагнитных колебаний на прозрачном теле (I')

rotHe = -ik0 0 Ee + j, M De , supp j D0 De , rotEe = ik0 ч0 He , rotHi = -ik0 (M )Ei , M Di , i rotEi = -ik0 чi (M )Hi , (I ) [n Ч E ]| = [n Ч E ]| , eS iS [n Ч He ]| = [n Ч Hi ]| , S S 1 [n Ч Ee ]| = -w0 n Ч [n Ч He ] +o , R . R R R


8. Задачи дифракции на непроницаемых рассеивателях.

57

Проводя выкладки, аналогичные скалярному случаю, и используя формулу СтрэттонаЧу, можно получить векторное соотношение, аналогичное формуле ( 1.7.6):

H(M ) - =

ik0 4
1

(M , Q) rot
D
i

0 - i (Q) Ei (Q) dVQ =
,

4


D
0

(M , Q) rotj(Q)dVQ
где

M R
0

3

,

(1.7.14)

1 4
с

(M , Q) =

eik R . RM Q
формул векторного

Соотношение

( 1.7.14)

использованием

анализа принимает вид

H(M ) -

1 4

2 (M , Q) k0 i (Q) -

0

Hi (Q) +

Di
1

+k

2 0

1

-

i (Q)

i Ч Hi -

1

i

Ч rotH

i

dVQ =

=
При

1 4

(M , Q) rotj(Q) dVQ
D
0

,

M R3 .

(1.7.15)

M Di

соотношение ( 1.7.15) является интегродифферен-

циальным уравнением Фредгольма, свойства которого во многом аналогичны ( 1.7.7) со свойствам слабо интегрального ядром. уравнения Фред-

гольма задачи

полярным

Эквивалентность

(I )

соотношению ( 1.7.15) позволяет доказать одно-

значную разрешимость этой задачи при соответствующих условиях гладкости входных данных.

8. Задачи дифракции на непроницаемых рассеивателях.
В данном параграфе рассмотрим дифракцию на непроницаемых рассеивателях, то есть в случае, когда поле не проникает

во внутреннюю область

Di

, ограниченную поверхностью

S

.

Математические модели задач дифракции установившихся колебаний на непроницаемых телах представляют собой внешние


58

Гл. 1. Математические модели теории дифракции...

краевые задачи в неограниченной области ницей

S = D

De с внутренней граe , на которой задаются граничные условия первого,

второго или третьего рода при условии отсутствия источников поля на бесконечности. Для исследования проблемы существования решений соответствующих краевых задач эффективным оказывается использование поверхностных потенциалов простого и двойного слоя. В случае скалярных задач эти потенциалы обладают следующими свойствами [30].

Потенциал простого слоя.
стого слоя

Если поверхность

S

является

поверхностью типа Ляпунова, а плотность

ч(P )
,

потенциала про-

u(M ) =
S
где

eikR ч(P )d RM P

(1.8.1)

k C onst, De

непрерывна на поверхности

S , ч(P ) C (S ), S

то

потенциал (1.8.1) является аналитической функцией координат вне и внутри поверхности в областях и

S , u(M ) C (R3 \S ),

и удовлетворяет однородному

Di

вне и внутри поверхности

уравнению Гельмгольца

u + k 2 u =

0,

M R3 \S M P (S ) S совпа(1.8.2)

и условиям излучения на бесконечности. Предельные значения потенциала простого слоя при стремлении точки дают: как с внешней, так и внутренней стороны поверхности

ue (P )|S = ui (P )|S
ций

,

и имеет место скачок предельных значений производных функ-

ue

и

ui

по общей нормали

внутрь области

Di = ue ni -

ni ui ni

к поверхности

S

, направленной

= ч(P )|P S . (1.8.3) S S S Потенциал двойного слоя. Потенциал двойного слоя с
непрерывной плотностью

u ni

(P ) nP

на поверхности типа Ляпунова

v (M ) =
S
где нормаль

eikR RM P

(P )dP Di , R3

,

(1.8.4)

nP

направлена внутрь области

также является за исключением

аналитической функцией координат всюду в


8. Задачи дифракции на непроницаемых рассеивателях.

59

поверхности и

S : v (M ) C (R3 \S ) S v 0 (P0 ) =
S

и удовлетворяет в областях

De

Di
на

однородному уравнению Гельмгольца и условиям излучения

на бесконечности. Существует значение потенциала поверхности

v (M )

nP

eik RP

R P

(P )dP

,

(1.8.5)

0

не совпадающее с предельными значениями

v (M )

при

M

P0

извне и изнутри поверхности

S

, причем скачок потенциала

двойного слоя на поверхности

S
(1.8.6)

[v (P )]|S = ve (P )|S - vi (P )|S = - (P ). nP
потенциала двойного слоя совпадают

При этом предельные значения производных по общей нормали

v nP
двойного слоя бесконечности.

= 0.
S

(1.8.7)

Заметим, что и потенциал простого слоя

u(M ),

и потенциал

v (M )

удовлетворяют условию Зоммерфельда на

Перейдем к доказательству разрешимости соответствующих краевых задач.

8.1. Задача Дирихле.
вую задачу

Рассмотрим первую внешнюю крае-

u u|S
где

+ k 2 u = -f (M ), M De = (P ), u - ik u r =o
R
1

, (1.8.8)

R

при

R ,

f (M )

и

(P )

непрерывно дифференцируемые функции в

соответствующих областях и что если искать функцию

suppf D0 De u(M ) в виде

. Легко видеть,

u(M ) =
D
0

eikR f (Q)dVQ + v (M ), RM Q

(1.8.9)


60

Гл. 1. Математические модели теории дифракции...

то для функции

v (M )

получим краевую задачу 0,

v v |S
где

+ k2 v = = (P ), v - ik v r

M De
1

, (1.8.10)

=o

R

R
.

при

R ,

(P ) = (P ) -
D
0

eikR f (Q)dVQ RP Q

Решение задачи (1.8.10) будем искать в виде потенциала двойного слоя

v (M ) =
S
плотность свойства которого потенциала

nP

eikR RM P

(P )dP

,

(1.8.11)

(P ) (P )

подлежит слоя,

определению. из

Используя условия

двойного

граничного

(1.8.10) для плотности 1

получим соотношение

- (P0 ) +
2

S

nP

eik RP

R P

(P )dP = (P0 ),

(1.8.12)

0

являющееся интегральным уравнением Фредгольма второго рода с полярным ядром, для которого справедлива теорема Фредгольма: уравнение (1.8.12) однозначно разрешимо для любой непрерывной правой части, если соответствующее однородное уравнение имеет только тривиальное решение. Как известно, однородное уравнение 1 2

- 0 (P0 ) +
S

n

P

eik RP

R P

0 (P )dP =

0

(1.8.13)

0

и его союзное уравнение 1

- ч0 (P0 ) +
2

S

nP

0

eik RP

R P

ч0 (P )dP =

0

(1.8.14)

0

одновременно имеют нетривиальные решения.


8. Задачи дифракции на непроницаемых рассеивателях.

61

Пусть

ч0 (P )

0 решение уравнения (1.8.14). Построим

потенциал простого слоя с плотностью

ч0 (P )

u0 (M ) =
S

eikR ч (P )dP . RM P 0

(1.8.15)

В силу свойств потенциала простого слоя и уравнения (1.8.14) справедливы соотношения

u0 + k 2 u0 = u0 n =
iS

0, 0,

M Di

, (1.8.16)

которые означают, что константа чением

k

2

является собственным зна-

n = k

2

спектральной задачи Неймана для оператора

Лапласа в области

Di

, и, значит, при этом значении

уравнение (1.8.13) имеет нетривиальное решение

k однородное 0 (P ) 0, и

для разрешимости неоднородного уравнения (1.8.12) нужно выполнение дополнительного требования ортогональности правой части (1.8.12) функции

ч0 (P ).
коэффициента

Итак, имеет место следующая лемма.

Лемма 1.8.1

Если

значение

k

2

в

уравнении

( 1.8.10) не совпадает ни с одним из собственных значений

n

спектральной задачи Неймана ( 1.8.16), то исходная задача Дирихле ( 1.8.8) однозначно разрешима для любых непрерывно дифференцируемых функций

f (M )

Остается рассмотреть случай, фициент

(P ). 2 когда k =
и

k

2

n0 , то есть коэф-

в уравнении Гельмгольца совпадает с одним из соб-

ственных значений

n

0

соответствующей спектральной задачи.

Возможны различные подходы к решению этой проблемы.

Первый метод.

Будем искать решение задачи (1.8.10) в

виде потенциала двойного слоя с измененным ядром

v (M ) =
S

g (M , P ) (P )dP nP

,

(1.8.17)


62

Гл. 1. Математические модели теории дифракции...

где

g (M , P ) решение внешней g + k 2 g = - (M0 , M ), g (M0 , P )|r = 0, g 1 - ik g =o r R R
0

краевой задачи

(1.8.18) при

R ,

где



Di

r0 сфера радиуса

. Функция

g (M0 , M )

r0

, целиком лежащая внутри области

легко может быть построена в явном

виде методом разделения переменных, используя теорему сложения сферических функций [30]. При совпадении аргументов 1

M0

и

M

она имеет особенность порядка

O

RM

интеграл (1.8.17) обладает теми же свойствами, что и потенциал двойного слоя (1.8.4). Повторяя проведенные при доказательстве леммы 1.8.1 рассуждения, придем к утверждению о справедливости леммы 1.8.2.

0

M

, поэтому

Лемма 1.8.2
ной области

Если коэффициент

k

2

не совпадает ни с одним

собственным значением

Di

n

спектральной задачи в двухсвязповерхностью

,

ограниченной

S

снаружи

и

поверхностью сферы

r

u + n u = u = 0, n S u| r = 0,
0

0

изнутри,

0,

M D



,

(1.8.19)

то исходная задача Дирихле ( 1.8.8) однозначно разрешима в области циях

De при любых f (M ) и (P ).

непрерывно дифференцируемых функ-

Как известно, спектр собственных значений и собственные значения

n

n=
дискретен
1

D





n непрерывно зависят от меры области

. Поэтому всегда можно выбором значения радиуса

ся, чтобы заданное значение коэффициента одним собственным значением теорему.

k

2

r0

добить-

не совпадало ни с

n

, что и доказывает следующую

Теорема 1.8.1

Внешняя краевая задача Дирихле ( 1.8.8) одно-

значно разрешима при условиях:

S

поверхность Ляпунова,


8. Задачи дифракции на непроницаемых рассеивателях.

63

f (M ) S.

и

(P )

непрерывно дифференцируемы при

M D0 , P

Второй метод. Будем искать решение задачи (1.8.8) в виде
комбинации потенциалов двойного и простого слоя с одинаковой плотностью

(P ): n
S P

u(M ) =
Для функции

eikR RM P

+ (P )

eikR RM P

(P )dP .

(P )

получим интегральное уравнение Фредголь-

ма второго рода

- (P0 ) +
2

1

S

+ (P ) nP

eik RP

R P

(P )d = (P0 ).

(1.8.20)

0

Соответствующее однородному уравнению (1.8.20) союзное уравнение имеет вид

- ч0 (P0 ) +
2

1

S

+ (P0 ) nP
0

eik RP

R P

ч0 (P )dP = 0.

(1.8.21)

0

Предположим, что существует

ч0 (P )

0 нетривиальное ре-

шение уравнения (1.8.21) и построим потенциал простого слоя

u0 (M ) =
S

eikR 0 ч (P )dP RM P

,

(1.8.22)

являющийся решением спектральной задачи

u0 + k 2 u0 = u0 n
i

0,

M Di = 0.
S

, (1.8.23)

+ (P0 )u0 k
2

Покажем, что всегда можно так выбрать функцию задача (1.8.23) при любом Записав цепочку равенств 0

(P ),

чтобы

имела только тривиальное решение.

=
Di

u0 + k 2 u0 u dV = 0 =
S

u0 u d - n 0
D
i

(1.8.24)

| u0 |2 dV + k

2

|u0 |2 dV
Di

,


64

Гл. 1. Математические модели теории дифракции...

где в силу граничного условия (1.8.23)

u0 u0 d = - (P ) |u0 (P )|2 d n
S
получим

,

S

Im (P ) |u0 (P )|2 d = 0.
S
Откуда при любом значении сохраняет знак, следует

(P ),
0,

для которого

Im (P )|S

0и

u0 (P )

P S

(1.8.25)

и в силу граничного условия (1.8.23)

u0 n
гольца, где и функция (1.8.22)

0.
S

(1.8.26)

В переопределенной задаче для однородного уравнения Гельм-

u0

, и ее нормальная производная на гра-

нице равны нулю, решение тождественно равно нулю, поэтому в

u0 (M )
Отсюда следует, что

0,

M Di .

(1.8.27)

ч (P )
0

в (1.8.21) равно нулю

ч0 (P )|P
при любой

S



0

(1.8.28) 0 и сохраняет знак на

(P ),

для которой

Im (P ) =

S

. Итак, окончательно доказана теорема однозначной разреши-

мости задачи Дирихле (1.8.8).

Замечание 1.8.1

Как

следует
0

из

проведенных

рассуждений,

существующие при

k 2 = n

нетривиальные решения

n (P )
0

однородного уравнения ( 1.8.13) порождают в двойного слоя

R

3

потенциал

v0 (M ) =
S
значения области которого

n

P

eikR RM P

n (P )d
0

,

тождественно

равны

нулю

во

внешней

De (M De )

и отличны от нуля в области

Di (M


8. Задачи дифракции на непроницаемых рассеивателях.

65

Di ).

Такие функции

n (P )
0

называются неизлучающими по-

верхностными токами.

8.2. Задача Неймана. Рассмотрим внешнюю краевую задачу

u + k 2 u = 0, M D , e u = f (P ), ni S u 1 =o r - ik u R R

(1.8.29) при

R

и будем строить ее решение в виде потенциала простого слоя

u(M ) =
S

eikR ч(P )dP . RM P

(1.8.30)

Проводя рассуждения, аналогичные случаю задачи Дирихле, получим для плотности второго рода 1 2

ч(P )

интегральное уравнение Фредгольма

ч(P0 ) +
S

nP

0

eik RP

R P

ч(P )dP = f (P0 )

(1.8.31)

0

и союзное ему однородное уравнение 1 2

0 (P0 ) +
S

nP

eik RP

R P

0 (P )dP = 0.

(1.8.32)

0

Если

0 (P )

0 нетривиальное решение уравнения (1.8.32), то

потенциал двойного слоя

v0 (M ) =
S

nP

eikR RM P

0 (P )dP

(1.8.33)

является собственной функцией спектральной задачи Дирихле в области

Di

для оператора Лапласа

v

n0

+ n vn =
0 0

0,

M Di

, (1.8.34)

vn | = S
0

0

3 А. Г. Свешников, И. Е. Могилевский


66

Гл. 1. Математические модели теории дифракции...

при

k 2 = n

0

. В этом случае интегральное уравнение (1.8.31)

разрешимо не при любой правой части коэффициента

f (P ).

Чтобы доказать раз-

решимость краевой задачи Неймана (1.8.29) при любом значении

k

2

и функции

f (P )

, можно поступить аналогично заменяя ядро интегрального

случаю задачи Дирихле (1.8.8),

представления (1.8.30) на функцию

g (M0 , M ),

являющуюся ре-

шением задачи (1.8.18). Итак, имеет место следующая теорема.

Теорема 1.8.2
гольца является

Внешняя задача Неймана для уравнения Гельмразрешима, типа если граничная а поверхность

однозначно

поверхностью

Ляпунова,

функция

f (P )

в

граничном условии ( 1.8.29) непрерывно дифференцируема.

Замечание 1.8.2
мости ядра задач

Доказательства и Неймана

однозначной с помощью

разрешиусложнения

Дирихле

интегральных

представлений как выбор

решений радиуса

недостаточно

конструктивны, требует знания

так

r0

сферы



r0

собственных в

значений

соответствующих

спектральных к заданному задачи

задач

двухсвязной

области

коэффициенту Дирихле

k

2

Di

,

близких

.

Более

конструктивным решения в

для виде

является

представление простого и

комбинации

потенциалов

двойного

слоя.

Можно предложить и еще один достаточно конструктивный алгоритм построения решения задачи Неймана.

Записав формулу Грина в области 1 4

De
при

для решения

u(M )

внешней задачи Неймана и фундаментального решения уравнения Гельмгольца

(M0 , M ) = (M0 , P )

eik RM

R

0

M

M0 De

, получим

u(M0 ) =
S

u (P ) - u(P ) (M0 , P ) dP = ni ni (M0 , P )dP . ni

= (M0 , P )f (P )dP - u(P )
S
Переходя к пределу при

(1.8.35)

S

M0 P0 S

, из (1.8.35) получим

поверхностное интегральное уравнение для функции 1 2

u(P ):

u(P0 ) +
S

(P , P ) u(P )d = F (P0 ) = ni 0
(1.8.36)

= (P0 , P )f (P )dP .
S


8. Задачи дифракции на непроницаемых рассеивателях.

67

Записав формулу Грина в области

(M0 , M )

при

M0 D0 Di

De

для функций

u(M )

и

, то есть в области, где обе функции

регулярны, получим

S

(M0 , P ) u(P )dP = F (M0 ), M0 D0 . ni

(1.8.37)

Соотношения (1.8.36) и (1.8.37) представляют собой переопределенную задачу для интегрального уравнения (1.8.36) с дополнительным условием (1.8.37). Однако, эта переопределенная задача разрешима, так как она получена путем тождественных преобразований с существующим решением задачи Неймана. Докажем единственность решения этой полученной переопределенной системы. Предположим, что существует нетривиальное решение

u0 (P )

0 однородной системы (1.8.36)-(1.8.37).

Рассмотрим потенциал двойного слоя

v 0 (M ) =
S

(M0 , P ) u0 (P )dP ni

,

(1.8.38)

удовлетворяющий однородному уравнению Гельмгольца и, в силу однородного уравнения (1.8.37), равный нулю в подобласти области

Di

, то

Di . Так v 0 (M )

как

v 0 (M )

D0

аналитична в замкнутой области

0 в области

нормальной производной

v0 ni

Di

, и предельное значение его

=
iS

0, а в силу непрерывности

граничных значений нормальных производных потенциала двойного слоя и

v0 ni

=
eS
0 при

0. Откуда на основании единственности

решения внешней задачи Неймана для уравнения Гельмгольца получим

v 0 (M )

M R

3

, что и доказывает единствен-

ность решения переопределенной задачи (1.8.36)-(1.8.37).

8.3. Третья краевая задача.

Эта задача является матема-

тической моделью задачи дифракции на импедансном теле и в
3*


68

Гл. 1. Математические модели теории дифракции...

скалярном случае имеет вид

u + k 2 u = 0, M D , e u + h(P )u = f (P ), ni S u 1 =o r - ik u R

R

(1.8.39) при

R .
0

Однородная краевая задача (1.8.39) при имеет только тривиальное решение простого слоя

f (P ) 0 и Im h(P ) < u0 (M ) 0, M De .

Будем искать решение задачи (1.8.39) в виде потенциала

u(M ) = g (M , P )ч(P )dP
S
где функция

,

(1.8.40)

g (M , P )

является фундаментальным решением за-

дачи (1.8.18), равным нулю на поверхности сферы



r0

, целиком лежащей внутри области

Di

r0 радиуса

.

Повторяя рассуждения, аналогичные проведенным при рассмотрении разрешимости внешних задач Дирихле и Неймана, для функции

ч(P )

в (1.8.40) получим интегральное уравнение

Фредгольма второго рода 1 2

ч(P0 ) +
S

+ h(P0 ) g (P0 , P ) ч(P )dP = f (P0 ) nP
0

(1.8.41)

и союзное однородное уравнение 1 2

0 (P0 ) +
S

+ h(P ) g (P0 , P ) 0 (P )dP = 0. nP

(1.8.42)

Предположим, что уравнение (1.8.42) имеет нетривиальное решение

0 (P )

0 и построим в

R3

функцию

w0 (M ) M R

3

,

имеющую вид

w0 (M ) =
S
Функция

+ h(P ) g (M , P ) 0 (P )dP . nP

(1.8.43)

w0 (M )

представляет собой комбинацию потенциалов

двойного и простого слоя. Следовательно, в двусвязной области


8. Задачи дифракции на непроницаемых рассеивателях.

69

Di

, ограниченной поверхностями

S

и



r0 , она является решени-

ем краевой задачи

w0 + k 2 w0 = w0 |S = 0, w| 0 r = 0.
0

0,

M Di

, (1.8.44)

Как следует из предыдущих рассмотрений, для любого заданного значения

k

2

можно так выбрать радиус

r0

сферы



r0 , что
(1.8.45)

w0 (M )

0,

M Di + S.

Из (1.8.45) получим, что предельные значения на поверхности

S

(w0 )i |S =

0и

w0 nP

0

i

+ h(P0 ) (w0 )i
S

= 0.

(1.8.46)

Тогда, используя граничные свойства поверхностных потенциалов простого и двойного слоя, получим цепочку равенств

w0 nP =

+ h(P0 ) (w0 )
e

e S

= +
S

0

w0 nP

0

i

+ h(P0 ) (w0 )i

w0 nP

+
S

(1.8.47)

0

+h(P0 ) [w0 ]S = h(P0 )0 (P0 ) - h(P0 )0 (P0 ) = 0.
Откуда следует, что

Im h(P ) < M De , что и доказывает тождественное равенство нулю функции w0 (M ) 3 в R . Из этого следует однозначная разрешимость при Im h(P ) < < 0 уравнения (1.8.41) при любом значении k 2 для любой непрерывно дифференцируемой функции f (P ).
ной импедансной краевой задачи, которая при условии

w0 (M )

является решением внешней однород-

<

0 имеет только тривиальное решение

w0 (M )

0 при

Итак, имеет место следующая теорема.

Теорема 1.8.3

Внешняя задача скалярной дифракции на им-

педансном теле для

любом значении параметра мости функции

Im h(P ) < 0 однозначно k 2 и непрерывной
в граничном условии.

разрешима при дифференцируе-

f (P )


70

Гл. 1. Математические модели теории дифракции...

Замечание 1.8.3

Рассмотренные

методы

доказательства

разрешимости скалярных задач дифракции без существенных изменений переносятся и на доказательство разрешимости соответствующих задач электромагнитной теории дифракции (см., например, [16]).


Глава

2

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ.

1. Интегральные уравнения задач дифракции.
Приведенные в предыдущей главе доказательства однозначной разрешимости задач дифракции во многом носят конструктивный характер и могут быть эффективно использованы для построения численных алгоритмов решения соответствующих задач. В первую очередь это обстоятельство используется при сведении краевых задач как внешних, так и задач на сопряжение к интегральным уравнениям Фредгольма.

1.1. Дифракция на идеально проводящем теле. Рассмотрим электромагнитную задачу дифракции на идеально проводящем теле при возбуждении локальным током. Будем считать, что внешняя среда

De

однородна. Тогда математическая модель

состоит в решении внешней краевой задачи

rotH = -ik E + j(M ), M D e rotE = ik H,

,

suppj = D0 De

,

[n Ч E]|S = 0, [er Ч E]| = -w er Ч [er Ч H] 0 R
Для данной постановки при

(2.1.1) 1



+o
R

R

,

R .
формула

R

справедлива

Стрэт тонаЧу 1 4

H(M ) = H0 (M ) + -

Ч [nP Ч H] -
S
, (2.1.2)

(nP ћ H) + ik [nP Ч E] dP

M De

,


72

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

где

H0 (M )

вектор напряженности магнитного поля, возбуж-

даемого локальным током

j(M )

в неограниченном пространстве

R

3

, а интегральное слагаемое описывает поле, дифрагированное

идеально проводящим телом, и

(M , P ) =

eikR RM P S
:

.

Введем понятие поверхностного тока на

jпов (P ) = [nP Ч H(P )]
В силу граничного условия на вытекающего из него условия нимает вид

,

где

P S.

(2.1.3)

S для (H ћ n)|S = 0

вектора E |S = 0 и формула (2.1.2) при-

H(M ) = H0 (M ) +

1 4

[
S

P

(M , P ) Ч jпов (P )] dP .

(2.1.4)

Поверхностный интеграл в (2.1.4) представляет собой комбинацию поверхностных потенциалов двойного слоя и касательных к

S

производных потенциала простого слоя. Поэтому, переходя

к пределу при к поверхности

M P0 S , умножая (2.1.4) на nP S в точке P0 и используя обозначение
0

нормаль (2.1.3),

окончательно получим

jпов (P0 ) -

1 2

nP Ч [
0

P

(P0 , P ) Ч jпов (P )] dP =
(2.1.5)

S
0 = 2jпов (P0 ),

где

0 jпов (P0 ) = nP Ч H0 (P0 ) .
0

Выражение (2.1.5) является векторным интегральным уравнением Фредгольма второго рода и носит название уравнения В.А. Фока. Оно однозначно разрешимо при любых значениях коэффициента

k

2

. Для значений

k

2

, совпадающих со значением собственс идеально проводящей границей

ной частоты резонатора

Di

S

,

следует рассматривать переопределенную систему

jпов (P0 ) -

1 2

nP Ч [
0

P

(P0 , P ) Ч jпов (P )] dP = 2j

пов

0

(P0 ),

S


1. Интегральные уравнения задач дифракции.

73

-
где

1 2

[
S

P

(M0 , P ) Ч jпов (P )] dP = 2H0 (M0 ),
.

(2.1.6)

M0 Di Di

Однозначная разрешимость системы (2.1.6) доказывается так же, как и в случае скалярной задачи Неймана.

Замечание 2.1.1

Получить явные аналитические выражения

решения ( 2.1.5) удается чрезвычайно редко. Например, в исключительном случае, когда проводящую плоскость уравнения ( 2.1.5) равно

Замечание 2.1.2

S представляет собой идеально S0 (z = 0), легко показать, что ядро 0 нулю и jпов (P ) = 2jпов (P ), P S .
исследованиях иногда

В

радиофизических

применяется так называемый метод Кирхгофа, позволяющий получить приближенное решение задачи дифракции. При заданной области

D0

, в которой возбуждающий ток отличен

от нуля, поверхность

S

тела дифракции можно разбить на

две подобласти, где часть та такова, что

S1

поверхности из

S

область све-

прямые

лучи

области

D0

,

соответ-

ствующие приближению геометрической оптики, попадают на из

S1 , D0 .

и

S2

область тени, в которую не попадают лучи

Тогда нулевое приближение решения уравнения ( 2.1.6)

задается в виде

j0 (P ) = H0 (M )

2j
0,

пов

0

(P ), P S1 P S2 .

, (2.1.7)

Вектор

нулевого приближения решения задачи дифрак-

ции находится из формулы ( 2.1.4) по нулевому приближению тока велла
0 jпов

, а вектор

E 0 (M )

определяется из уравнения Макс-

-ik E 0 = rot H0 - j(M )
при этом граничное условие

, 0 для вектора

[n Ч E]|S =

E0

может быть не выполненным. Определив первое приближение

jпов (P )

(1)

по найденному приближенному значению

H0 (P )

jпов (P ) = nP Ч H0 (P )

(1)

,

P S

,

можно, повторяя приведенный алгоритм для определения первого приближения дифрагированного электромагнитного поля

E(1) (M ), H

(1)

(M )

,

M De

, получить второе приближение.


74

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

Аналогично находятся и последующие приближения. К сожалению, этот метод далеко не всегда сходится к истинному решению исходной задачи.

Замечание 2.1.3

Более эффективными методами построения поля

электромагнитного

{E, H}

,

приближающего

истинное

решение исходной задачи ( 2.1.1) с заданной точностью, являются численные алгоритмы решения интегрального уравнения ( 2.1.5), основанные на сведении интегрального уравнения к эквивалентной системе линейных алгебраических уравнений. Как известно, существует широкий класс таких алгоритмов, в частности, для решения интегральных уравнений задач дифракции эффективно используются метод Крылова Боголюбова и метод моментов [1].

Как хорошо известно, быстродействие численного алгоритма решения интегрального уравнения существенно зависит от размерности интегрального оператора. Поэтому естественно стремление максимально понизить его размерность.

а) Тела вращения. Для широкого класса задач дифракции
на телах вращения тела

Di

можно свести уравнение (2.1.5) к систе-

ме одномерных интегральных уравнений. Пусть поверхность

Di

в цилиндрической системе координат

вращением контура

C (, z )

вокруг оси 0и

C

пересекает ось

z

в точках

Перейдем от координат длина дуги кривой с координатами

z= (, , z ) к

z при 0 z = z0 ,

координатам

S (, , z ) получена 2 . Контур в которых = 0. (, , s), где s

C

, отсчитываемая от первой граничной точки

(0,

0, 0). Координаты второй граничной точки

(0,

0,

l),

где

l

длина контура

C (, z ).

Тогда для касательного к

поверхности

S

вектора тока получим разложение

j(, s) = js (, s)ls + j (, s)l

,

(2.1.8)

где ls и l орты системы

(, , s).

Записывая уравнение (2.1.5)

j(P0 ) -

1 2

nP Ч [
0

P

(P0 , P ) Ч j(P )] dP = 2j 0 (P0 ),

(2.1.9)

S


1. Интегральные уравнения задач дифракции.

75

где

j 0 (P0 )

ток возбуждения, покоординатно, получим систему

двух интегральных уравнений Фредгольма второго рода

js (P0 ) -
S

K11 (s0 , s, 0 - ) js (P ) + + K12 (s0 , s, 0 - )j (P ) dP = 2js0 (P0 ),

(2.1.10)

j (P0 ) -
S

K21 (s0 , s, 0 - )js (P ) +
0 + K22 (s0 , s, 0 - )j (P ) dP = 2j (P0 ),

eikR = RP P (s0 , 0 )
0

ядра

которых

явным

образом

выражаются

через

(P0 , P ) =

функцию расстояния и

RP

0

P , зависящего от координат

(s, )

точек

P

0

и

P

.

Разложим ядра уравнений (2.1.10) и токи ряды Фурье по угловым координатам

j(s, )

и

j0 (s, )

в



Kij (P0 , P ) =
n=-

Kij (s0 , s)e


(n)

in(0 -)

,

i, j =

1, 2,

(2.1.11)

js (P ) =
m=-
и аналогично для

( js

m)

(s)e

im

(2.1.12)

j (P )

и компонент тока

j0

.

Из уравнения (2.1.10) для гармоник тока рода

j(P )

окончательно

получим систему одномерных уравнений Фредгольма второго

l ( jsm)

(s0 ) -
0

( K11 (s0 , s) jsm) (s) + (m) (m)

(m)

(2.1.13)

( + K12 (s0 , s)jm) (s) a(s)ds = 2js0
где

(s0 ),

a(s)ds

дифференциал дуги контура

уравнение получим и для гармоники цию

C (, s). Аналогичное ( jm) (s0 ) тока j(P ).

Ядра этих уравнений в явном виде выражаются через функ-

Sm (s0 , s)

и ее производные, которая имеет вид
2

Sm (s0 , s) =

1 2
0

eikR e RP P
0

-im

d

,

(2.1.14)


76

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

где

= 0 - .

Подробные выкладки, приводящие к формулам

(2.1.13), (2.1.14) можно найти в книге [6].

б) Прозрачное тело. При доказательстве однозначной разрешимости скалярной задачи дифракции на прозрачном теле Швингера

Di

было получено трехмерное интегральное уравнение Липмана

u(M0 ) + M0 Di
где

2 2 k0 - ki (M ) e (M0 , M )u(M )dVM = F (M0 ),

D
,

i

(2.1.15)

F (M0 ) =
D0

e (M0 , M )f (M )dVM , suppf = D0 De

. Прямое

численное интегрирование уравнения (2.1.15) достаточно трудоемко. При определенных условиях оно может быть сведено к системе двумерных интегральных уравнений на поверхности тела

S

Di

. Пусть известны не только фундаментальное решение

уравнения Гельмгольца

e (M0 , M )
,

2 e + k0 e = - (M0 , M )

M De

,

но и сингулярное решение коэффициентом

De
Применяя и

2 ki (M ),

i (M0 , M )

уравнения Гельмгольца с

аналитически продолженным в область

2 i + ki (M )i = - (M0 , M ), M Di .

формулы

Грина

в

соответствующих и

областях

De

Di

к

решению

ue (M ), ui (M )
, получим

сингулярным

функциям

e (M0 , M ), i (M0 , M ) ue e e - ue nP nP

S

ue (M ), M De 1 dP + F (M ) = u (P ), P S , 2 e 0, M Di , dP =
0, 1 2

,

-
S

ui i i - ui nP nP

M De

, (2.1.16)

ui (P ), P S , ui (M ), M Di .


2. Итерационные методы

77

Введем обозначения ходя к пределу при

u = ч(P ), ue |S = ui |S = u(P ). Пере nP S M P0 S , в силу условий сопряжения

получим систему поверхностных интегральных уравнений

u(P0 ) + - nP ч(P0 ) + -
0

i (P0 , P ) - e (P0 , P ) ч(P ) -
S
(2.1.17)

i (P0 , P ) - e (P0 , P ) u(P ) dP = F (P0 ), nP i (P0 , P ) - e (P0 , P ) ч(P )-
(2.1.18)

S
2

nP nP

i (P0 , P ) - e (P0 , P ) u(P ) dP = (P0 ),

Здесь

F (P0 ) =
D
0

e (P0 , M )f (M )dVM

,а

(P0 )|S = lim

M P0

F (M ) nP
0

.
S

Уравнение (2.1.18) получено путем дифференцирования соотношений (2.1.16) с последующим переходом к пределу при

M

P0 S

.

Поскольку функции

i (M , P ), e (M , P )

и

nP

i (M , P ) - e (M , P )

имеют одинаковые особенности, уравнения (2.1.17) и (2.1.18) являются уравнениями Фредгольма второго рода со слабо полярным ядром. Однозначная Швингера. разрешимость этой системы доказывается так же, как однозначная разрешимость уравнения Липмана

2. Итерационные методы
Итерационные методы численного решения задач математической физики достаточно широко применяются при изучении различных проблем дифракции.


78

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

2.1. Метод простой итерации. Основные идеи этого метода
рассмотрим на примере решения конкретной задачи дифракции на системе тел. Ограничимся случаем скалярной дифракции. Пусть в однородной неограниченной среде (материальные характеристики задаются параметром

k

0

) находится система

ограниченных непересекающихся непроницаемых тел

=

1,

. . . , N ),

N Di (i =

возбуждаемых поверхностными источниками. Мате-

матическая модель этой задачи имеет вид

N u + k 2 u = 0, M D , D = R3 \ Di e e 0 i=1 u = fi (Pi ), Pi Si (i = 1, . . . , N ), n Si u 1 - ik u = o при r . r r

,

(2.2.1)

Начнем с простейшего случая, когда для каждого тела известна функция Грина внешней задачи Неймана

Di

2 gi + k0 gi = - (M0 , M ), M0 , M R3 \Di g i = 0, n Si gi 1 - ik gi = o при r r r R3 \Di всех остальных тел 2 ui + k0 ui = 0, M R3 \Di , u i = fi (Pi ), Pi Si , n Si ui 1 - ik0 ui = o при r r r

, (2.2.2)

и будем искать решение внешней задачи Неймана вне отсутствии в

Di

при

(2.2.3)

в виде потенциала простого слоя

ui (M ) =
Si

gi (M , Pi )чi (Pi )d.

(2.2.4)

В силу (2.2.2) и (2.2.3), очевидно, получим

ui n

=
Si

1 2

чi (Pi ).

(2.2.5)


2. Итерационные методы

79

Задача (2.2.3), как было установлено ранее, однозначно разрешима. Вернемся к исходной задаче (2.2.1) и будем искать ее решение в виде суперпозиции решений

ui (M ) M De .
(2.2.6)

N

u(M ) =
i=
Функция
1

ui (M ),

u(M ),

очевидно, удовлетворяет однородному уравне2 u + k0 u =

нию Гельмгольца

0,

(M De )

и условиям излучения

на бесконечности. Требование удовлетворить граничным условиям задачи (2.2.1) на каждой из поверхностей соотношениям 1 2
1ч

Si

приводит к

N

чi (Pi0 ) +
j =i S j
,

gj (Pi0 , Pj )чj (Pj )d = fi (Pi0 ); nP
i
0

(2.2.7)

Pi0 Si

i=

1,

. . . , N. чi (Pi0 ).

Соотношения (2.2.7) представляют собой систему интегральных уравнений Фредгольма второго рода для функций ции Заметим, что ядра этих уравнений регулярны, поскольку функ-

gi (Pi0 , Pj ) дифференцируются в направлении нормали n0 i 0 в точке Pi поверхности Si , а интегрирование происходит по поверхности Sj , не совпадающей с поверхностью Si : (j = i), что
гарантирует однозначную разрешимость системы (2.2.7). Однако, в случае системы достаточно высокого порядка, ее прямое численное решение может оказаться слишком трудоемким. Более эффективным в таком случае оказывается метод простой итерации. Записав систему (2.2.7) в операторном виде

ч + A[ч] = F,
где

(2.2.8)


ч=

ч1 (P1 )
. . .


,

F=

0 f1 (P1 )


, (2.2.9)

. . .

чN (PN )
а

fN (PN )
0

A

линейный оператор, элементы матрицы которого равны

Aij (Pi0 , Pj ) =
Sj

gj (P 0 , Pj )d nPi i

,

(2.2.10)


80

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

построим простой итерационный процесс

ч(n+1) = F - A ч(n)

,

(2.2.11)

который оказывается хорошо сходящимся в случае, когда оператор

A

является сжимающим, то есть

A ч(
где

n+1)

- ч(n

)

< q ч(n

+1)

- ч(

n)

,

(2.2.12)

q<

1.

Поскольку ядра интегральных выражений (2.2.10) регулярны и быстро убывают при увеличении расстояний между телами

Di

, можно добиться выполнения (2.2.12) в случае достаточно

разнесенных тел

Di

. известно явное аналитическое выражение

Заметим, что данный метод применим в том случае, если для каждого тела

Di

соответствующей функции

gi (M0 , M )

(2.2.2) или алгоритм ее

численного построения. В противном случае приходится прибегать к усложнению данного метода, используя вместо неизвестных функций Гельмгольца в виде

gi (M0 , M )

(M0 , M ) =

eik RM

фундаментальное решение уравнения
0

R

0

M

, и решение задачи (2.2.3) искать

ui (M ) =
Si

i (M , P )чi (P )d.

(2.2.13)

Тогда вместо (2.2.7) получим 1 2

чi (Pi0 ) +
1

чN

Si

(Pi0 , Pi )чi (Pi )dPi + nP
i
0

+
j =i S j

(P nP
i
0

(2.2.14)

i,

0

Pj )чj (Pj )dPj = fi (Pi0 ).

Соотношения (2.2.14) также являются системой интегральных уравнений Фредгольма второго рода, однозначная разрешимость которой так же, как и в предыдущем случае, следует из разрешимости исходной задачи (2.2.1). Запишем соотношение (2.2.14) в операторном виде

Ai [чi ] = fi (Pi0 ) - Bi [чj , j = i],

(2.2.15)


2. Итерационные методы

81

где

Ai [чi ] = чi (Pi0 ) +
Si
а оператор

(Pi0 , Pi )чi (Pi )d nP
i
0

,

(2.2.16)

B

определяется последним слагаемым левой части

формулы (2.2.14), и его выражение зависит от всех функций

чj (Pj )

кроме

чi

. Тогда соответствующий итерационный процесс

состоит в решении семейства однотипных интегральных уравнений Фредгольма второго рода (2.2.15) для

ч

(n) i

части этих уравнений зависят от значений функций

(j = Bi

1,

... , N

;

j = i), Di

(Pi ). Правые (n-1) чj (Pj )

найденных на предыдущем шаге. Также,

как и в предыдущем случае, можно доказать, что операторы являются сжимающими при условии достаточного разнесения . тел дифракции

2.2. Метод минимальных невязок. Для численного решения многих задач дифракции на локальных телах эффективным является так называемый метод минимальных невязок. Пусть линейный оператор

A

отображает

функциональное

пространство

H

само в себя. Метод минимальных невязок при-

ближенного решения операторного уравнения

A[ч] = f
определения

,

ч, f H
приближений

(2.2.17)

заключается в построении такого итерационного процесса для последовательных

{чn }

решения

уравнения (2.2.17), при котором норма невязки

zn = A[чn ] - f
стремится к нулю при Последующее по

(2.2.18)

n . (n + 1)-е приближение чn = чn - zn

решения можно найти

n

-ому приближению, положив

+1

n+

1

,

(2.2.19)

где



n+1 итерационный параметр, определяемый из условия

ортогональности невязке

n+

1-ой невязки значению оператора

A

на

n

-ой

zn
где символом

+1 ,

A[zn ] =

0,

(2.2.20)

ћ, ћ

обозначено скалярное произведение в

H

.


82

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

Составим цепочку равенств

zn+1 = A[чn

+1

] - f = A[чn -
n+1

n+1 zn

]-f =
n+
1

= A[чn ] -

A[zn ] - f = zn -

A[zn ].

(2.2.21)

Для сокращения записи обозначим

A[zn ] = An .
Тогда условие (2.2.20) дает

zn - n
или

+1

An , An = An
2

0

zn , An -

n+1

= 0.

(2.2.22)

Отсюда для итерационного параметра получаем

n

+1

=

zn , An An
2

.

(2.2.23)

Покажем, что для ограниченного диссипативного оператора

A

итерационный процесс (2.2.19) сходится по норме невязки при

n .

Напомним определения.
Линейный оператор

Определение 2.2.1
ниченным в

A

называется огра-

H

, если существует такая постоянная

что для любого элемента

vH a0 v . A

a0 >

0,

A[v ]
Определение 2.2.2
пативным в

(2.2.24)

Линейный оператор

называется дисси-

H

, если существует такая постоянная 0


0 , что для любого элемента

vH d0 v 2 . A [v0 ] =
.

< d0 <

v , A[v ]
Замечание 2.2.1

(2.2.25)

Из ( 2.2.25) следует, что

0 лишь для

нулевого элемента

v0 =

0 пространства

H

Перейдем к доказательству сходимости по норме невязки итера-


2. Итерационные методы

83

ционного процесса (2.2.19) с итерационным параметром (2.2.23). Составим цепочку равенств

zn

+1

2

= zn

+1 , zn+1

= zn
+1

2

-

n+

1

An , z

n

-
(2.2.26)

-

n+1

zn , An + |n

|2 An

2

.

Воспользовавшись выражением (2.2.23) для

n+1 , получим


и

n+1

An , zn =

| zn , An |2 An
2

(2.2.27)

|

n+1

|2 An

2

=

| zn , An | An
2

2

.

(2.2.28)

Тогда (2.2.26) принимает вид

zn

+1

2

=z
2

n

2

- -

| zn , An |2 An An
2 2

=
(2.2.29)
2

=z

n

1

| zn , An |2 zn

= 2 + n

1

zn

2

,

где в силу неравенства Коши-Буняковского 0

n

+1

1.

Для ограниченного и диссипативного оператора ет оценка

A

отсюда следу-

n

+1

1

-

d2 z 0 a
2 0

n

4 4

zn
1

=

1

-

d2 0 = 2 0 a2 0 z0
,

,

(2.2.30)

что дает оценку

zn+

n 0

+1

(2.2.31)

означающую сходимость по норме невязки данного итерационного процесса при любом начальном приближении.

Замечание 2.2.2

Можно

доказать,

что

при

определенных

условиях из сходимости по невязке следует сходимость по норме приближенного решения к точному (см. [27]).


84

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

Замечание 2.2.3
оператора

Для

выполнения

условия

диссипативности

A

достаточно потребовать, чтобы

Im v , A[v ]
не меняли знак

или

Re v , A[v ]

(2.2.32)

v H

.

2.3. Диссипативность операторов теории дифракции. Диссипативность оператора ЛипманаШвингера.
кажем, что при определенных условиях оператор ЛипманаШвингера Поуравнения

u(M ) -
D
i

2 (M , Q) ki (Q) - k

2 0

u(Q)dVQ = F (M )

, (2.2.33)

M R

3

диссипативен. Введем обозначение
2 ki ( M ) = C 2 (M ). 2 k0

(2.2.34)

Уравнение (2.2.34) перепишем в виде

2 u(M ) - k0

(M , Q) C 2 (Q) -
Di

1

u(Q)dVQ = F (M ),
(2.2.35)

M R .
Будем рассматривать дифракцию на поглощающем теле

3

Di

. Тогда

Im C 2 (Q)
Введем функцию

(Q)

0 > 0.

(2.2.36)

(M ) = C 2 -
и оператор

1

u(M ), M Di

(2.2.37)

B [] =

(M ) C (M ) -
2

1

2 - k0

(M , Q)(Q)dVQ = w(M ).
D
i

(2.2.38)


2. Итерационные методы

85

Докажем диссипативность оператора

B [].

Рассмотрим функцию

z (M ) = w(M ) -

(M ) C (M ) -
2

1

= -k

2 0

(M , Q)(Q)dVQ .
D
i

(2.2.39)

Правая

часть

этого

соотношения

является

объемным

потен-

циалом, определенным в (2.2.39) определена в ряет условиям

R

3

. Следовательно, функция

z (M )

в

R

3

и как объемный потенциал удовлетво-

2 z + k0 z = 0, M De , z + k 2 z = k 2 (M ), M Di , 0 0 z = 0, [z ]|S = n S z 1 - ik0 z = o при r . r r (M ), M Di z (M ),

(2.2.40)

Как было доказано ранее, задача (2.2.40) однозначно разрешима. При этом любую функцию , оператор отображает в решение задачи (2.2.40) функцию У ановим свойства функции ст равенств
2 z + k0 z z dVQ = k

B [] (2.2.38) z (M ), M R3 .

для чего составим цепочку

2 0

(Q)z dVQ =
Di
2 0

Di

=k

2 0

(Q)w (Q)dVQ - k
D
i

Di

||2 dV = C2 - 1 |z |2 dV .
Di

(2.2.41)

=
S

z z d - n
D
i

| z |2 dV + k

2 0

Поскольку функция бесконечности, то

z (M )

удовлетворяет условиям излучения на

Im
S

z z d = lim R n
R

z z d = k0 lim R n
R

|z |2 d

,

(2.2.42)


86

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

в силу (2.2.38) и очевидного соотношения

Im
получим

1

C2 -

1



=

Im C C2 -

2 2

,

1

Im
D
i

(Q)w dV = Im , B [] = Im C
2 2

=
D
i

C2 -

|| dV +

2

1

(2.2.43)

1

k

0

R
R

lim

|z | d

2

,

откуда вытекает окончательное утверждение

Im , B [] > d0
где

2

,

(2.2.44)

d0 =

2 0 2

ратора

max C 2 - 1 B [], а тем

, что и доказывает диссипативность опе-

самым и оператора уравнения Липмана

Швингера.

Диссипативность операторов внешних задач дифракции на непроницаемых телах. Мы ограничимся случаем, когда
соответствующие задачи сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода.

Задача Дирихле.

2 u + k0 u = 0, M De , u|S = f (P ), u 1 - ik0 u = o , при r . r r

(2.2.45)

Будем искать решение этой задачи в виде потенциала простого слоя

u(M ) = (M , P )ч(P )dP .
S
Для функции

(2.2.46)

ч(P )

получим интегральное уравнение Фредголь-

ма первого рода

A[ч] =
S

(P0 , P )ч(P )d = f (P0 ).

(2.2.47)


2. Итерационные методы

87

Пусть любой функции ветствие функцию

v (P ), P S w(M ):

оператор

B [v ]

ставит в соот-

B [v ] =
S

(M , P )v (P )dP = w(M ), M R3 .

(2.2.48)

M = P0 S оператор B совпадает с оператором A[v ], а w(P ) = f (P ), P S . Функция w(M ), M R3 есть потенциал 3 простого слоя, удовлетворяющий при M R \S однородному
При уравнению Гельмгольца, соответствующим граничным условиям и условиям излучения:

2 w + k0 w = 0, M R3 \S , [w]| = 0, S w = -v (P ), n S w 1 - ik0 w = o при r . r r
Используя вторую формулу Грина в областях соответственно

(2.2.49)

De

и

Di

, получим

Im Im

w n
S

e

we d = - lim wi

R
R

w w d = r

0, (2.2.50)

w n
S

d = 0.

i

Вычитая

первую

формулу

из

второй,

и

учитывая

(2.2.49)

и

(2.2.47), получим, что

Im v , A[v ]

сохраняет знак для

v (P ),
а тем

P S

. Отсюда и следует диссипативность оператора

A[v ],

самым возможность строить решение задачи Дирихле методом минимальных невязок.

Задача Неймана. Исследуем вопрос о диссипативности оператора, возникающего при сведении этой задачи к интегрально-


88

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

му уравнению Фредгольма первого рода. Напомним математическую модель задачи Неймана:

2 u + k0 u = 0, M De , u = f (P0 ), nP S u 1 , r . - ik u = o r r
0

(2.2.51)

Как было доказано ранее, задача (2.2.51) однозначно разрешима при любом значении параметра ренцируемой функции

k

f (P0 ).

0

и непрерывно диффе-

Будем искать ее решение в виде

потенциала двойного слоя

u(M ) =
S

(M , P ) (P )d. nP

(2.2.52)

Из граничного условия (2.2.51) для неизвестной функции плотности

(P )

получим уравнение

nP

0

S

(P , P ) (P )d = f (P0 ) nP 0

(2.2.53)

или в операторном виде

A[ ] =

nP

0

S

(P )d = f (P0 ). nP S

(2.2.54)

Для любой непрерывно дифференцируемой на

функции

v (P ),

P S

существует потенциал двойного слоя

w(M ) =
S
Очевидно, что при

v (P )d nP

,

M R3 .

(2.2.55)

M = P0 |S A[v ] = w (P0 , P ) nP
0

.
P0 S

(2.2.56)

Как потенциал двойного слоя, функция поверхности

однородному уравнению Гельмгольца всюду в

w(M ) удовлетворяет R3 за исключением

S

, на поверхности

S w(M )

разрывна, причем

[w(P0 )]|S = -v (P0 ),


2. Итерационные методы

89

а ее производная по нормали к поверхности и

S

непрерывна на

S

,

w(M )

удовлетворяет условиям излучения на бесконечности.

На основании указанных свойств функции

w(M )
0,

получим

Im
S

w nP w nP

e

ћ we d = -k0 lim

R
R

|w|2 d >

(2.2.57)

Im
S

ћ
i

wi

d = 0.

Отсюда следует

Im
S
и, окончательно,

w nP

v (P )d >

0,

(2.2.58)

Im A[v ], v >

0

v (P ), P S

,

(2.2.59)

что и доказывает диссипативность оператора

A[v ].

III-я краевая задача. Диссипативность оператора этой задачи будет доказана в параграфе, посвященном методу дискретных источников.

Замечание 2.2.4

Рассмотренные

методы

перехода

к

инте-

гральным уравнениям от задач дифракции на замкнутых телах во многих случаях могут быть перенесены и на задачи дифракции на незамкнутых экранах.

Замечание 2.2.5
дифракции и к

Возможно

сведение

краевых

задач

теории пер-

интегральным

уравнениям

Фредгольма

вого рода другого вида, диссипативность операторов которых удается доказать лишь при условии нерезонансности

области

D

тела дифракции. Эти уравнения являются част-

ным случаем более общих интегро-функциональных уравнений, свойства которых будут рассмотрены в следующем

пункте.

Замечание 2.2.6

Развитые

в

данном

пункте

итерационные

методы решения скалярных задач дифракции без особых идейных изменений переносятся и на случай электромагнитной дифракции.


90

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

2.4. Интегро-функциональные уравнения задач дифракции. Итерационные методы далеко не всегда оказываются наиболее эффективными для решения задач дифракции. Во многих случаях с неменьшим успехом можно пользоваться так называемым методом интегро-функциональных уравнений первого рода. Начнем с наводящих соображений. При выводе уравнения Фока мы исходили из формулы Стрэт тонаЧу

H(M ) = H0 (M ) +

1 4

Ч [n Ч H] -
S
, (2.2.60)

- (n ћ H) + ik [n Ч E] d , M De
граничном условии устремляя точку

и для задачи дифракции на идеально проводящем теле при

M

[n Ч E]|S =

0 путем предельного перехода,

к граничной точке

P0 S

, получили уравне-

ние Фока (2.1.5). Если попробовать применить этот метод к решению задачи дифракции на импедансном теле с граничным условием

[n Ч E]|S = (P ) n Ч [n Ч H]

S

= (P ) [n Ч j

пов

]|S

,

то все подынтегральные члены в (2.2.60) окажутся, вообще говоря, отличными от нуля и мы получим уравнение

jпов (P0 ) +

1 2

[ Ч jпов ] +
S

i k P

(P ) [n Ч j

пов

]+

+ik (P ) [nP Ч jпов ]

d = 2j

пов

0

(P0 ).

(2.2.61)

Уравнение (2.2.61) является сингулярным интегро-дифференциальным уравнением Фредгольма второго рода, и алгоритмы его численного решения могут оказаться особенно трудоемкими. Это заставляет искать более простые математические модели задач дифракции на импедансных телах. Как обычно, начнем со скалярной задачи дифракции на импедансном теле:

2 u + k0 u = 0, M De , u + h(P )u = f (P ), n S u 1 - ik u = o , r . r r

(2.2.62)


2. Итерационные методы

91

Как было доказано ранее, задача (2.2.62) однозначно разрешима при условии

Im h(P ) <

0.

Применяя в области

De

к функции

u(M )
R M
,

и фундаментально-

му решению однородного уравнения Гельмгольца

(M0 , M ) =
при

eik RM

0

M0 D0 Di (D0

подобласть тела

Di

), вторую формулу

Грина, и используя условия излучения, получим

(M0 , P )
S

u nP

-u
e

e

n

d = 0.

(2.2.63)

В силу граничного условия в (2.2.62) соотношение (2.2.63) можно переписать в виде

+ h ud = (M0 , P )f (P )d n
S
и вводя обозначение

,

(2.2.64)

S

K (M0 , P ) =

(M0 , P ) + h(P )(M0 , P ), M0 D0 nP

,

P S

,

(2.2.65)

окончательно получим

K (M0 , P )u(P )d = F (M0 ), M0 D0
S
где

,

(2.2.66)

F (M0 ) = (M0 , P )f (P )d
S



(2.2.67)

известная функция, потенциал простого слоя с заданной плотностью

f (P ).
что выражение (2.2.66) является интегральным

Заметим,

уравнением первого рода особого вида, поскольку области задания функции искомой функции

F (M0 ) известной правой u(P ) (P S ) не совпадают.

D0

части (2.2.66) и Это выражение

назовем интегро-функциональным уравнением первого рода.


92

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

Докажем

эквивалентность

исходной

задачи

и

уравнения

(2.2.66) при условии, что (2.2.66) выполняется для любой точки

M0 D0

.

Ранее была доказана однозначная разрешимость исходной задачи. Поскольку (2.2.66) получено путем тождественных преобразований решения исходной задачи, то (2.2.66) разрешимо для любой правой части, определенной формулой (2.2.67). Докажем, что это решение единственно. Предположим, что существует нетривиальное решение нения (2.2.66). Построим функцию

u0 (P )

0 однородного урав-

W (M ) = K (M , P )u0 (P )d
S
являющуюся комбинацией потенциалов

,

(2.2.68)

слоя. Очевидно, что

W (M )

простого

и

двойного

(2.2.68) удовлетворяет однородному

уравнению Гельмгольца всюду за исключением поверхности силу (2.2.66) она равна нулю при

S

.В

M0 D0 M0 D0 .
(2.2.69)

W (M0 ) W (M ) W0 (M ) и
нулю 0 при

0,

Из (2.2.69) в силу аналитичности поверхностных потенциалов

M Di

. Следовательно, и предельные значения

ее нормальной производной на поверхности

S

равны

Wi (P )|S

W (P ) nP

= 0.
iS

(2.2.70)

Так же, как и при доказательстве единственности решения третьей краевой задачи в случае скалярной дифракции, получим

W n

+ h(P )We
e

S

= 0. M R
3

(2.2.71)

Из (2.2.71) следует, что функция мым

W (M )

0,

, и тем са-

u0 (P )|P

S

=

0, что доказывает однозначную разрешимость

задачи (2.2.66) и ее эквивалентность задаче (2.2.62).

Замечание 2.2.7
быть

Для

численного все

решения

( 2.2.66)

могут

использованы

алгоритмы

численного

решения

интегральных уравнений.


2. Итерационные методы

93

Замечание 2.2.8
ках области область чтобы

Требование выполнения ( 2.2.66) во всех точможет быть ослаблено. В частности, если его в можно заменить всюду , условием, на

D0

D0 S0

нерезонансная, выполнялось границе

( 2.2.66)

счетном,

плотном

{Mn } 1 n=

поверхности

области

D0

множестве

точек

. Действительно, в этом случае очевидно функция

W

( 2.2.68) удовлетворяет на

S0
S0

условию

W (P )

=

0,

P S0 D0

,

(2.2.72)

и в силу нерезонансности области

W (M )
лось во всех точках

0,

M D0 . C
, всюду плотно

Также достаточно потребовать, чтобы ( 2.2.66) выполня-

P

аналитической кривой

покрывающей поверхность точек ке

C

{Mn }

n=

S0

и даже в счетном множестве

1

, всюду плотном на сколь угодно малом отрез-



такой аналитической кривой Рассмотренные

C

. скалярного случая ме-

Замечание 2.2.9

для

тоды переносятся и на задачи электромагнитной дифракции. Будем искать решение однородной системы уравнений Максвелла во внешней области тела

Di

De

поверхности

S

импедансного

при граничном условии
0 [n Ч E]|S = (P ) [n Ч jпов] + E (P )

(2.2.73)

и условиями излучения на бесконечности. Пусть в подобласти

ны источники

j(M ),

D0

внутренней

области

создающие в

R3

Di

зада-

вспомогательное поле

{E2 , H2 } {E2 , H2 }

, удовлетворяющее в

De

однородной системе урав-

нений Максвелла и условиям излучения. С помощью леммы Лоренца для искомого поля

{E, H}

и вспомогательного поля

получим соотношение

[E2 Ч H] - [E Ч H2 ]
S

ћ n d =

0,

(2.2.74)

которое, используя ( 2.2.73), перепишем в виде

(P ) H2 (M , P ) ћ [n(P ) Ч jпов (P )] +
S
(2.2.75)
пов

+ E2 (P ) ћ j

(P )

dP =
S

0 H2 (M , P ) ћ E d.


94

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

Соотношение ( 2.2.75) является векторным интегро-функциональным уравнением первого рода, и его эквивалентность

исходной задаче электромагнитной дифракции доказывается аналогично скалярному случаю.

3. Метод дискретных источников
Одним из действенных методов исследования внешних краевых задач многих разделов математической физики является метод дискретных источников (МДИ), лежащий в основе не только строгих математических рассмотрений проблем однозначной разрешимости больших классов задач, но и являющийся базой создания эффективных компьютерных технологий реализации современных численных методов исследования математических моделей практически важных задач, в частности для анализа рассеивающих свойств локальных структур, включая наноразмерные неоднородности среды. Основная идея МДИ состоит в построении квазирешения исходной краевой задачи в виде суперпозиции решений специально выбранных вспомогательных задач. Рассмотрение реализации МДИ начнем, как обычно, со скалярного случая.

3.1. Скалярная задача.
внешней краевой задачи

Пусть

требуется

найти

решение

L[u] = 0, M De , P [u]| = f (P ), P S , S u 1 - ik u = o , r , r r
где

(2.3.1)

L

линейный дифференциальный оператор в частных про-

изводных второго порядка, оператор на

S

, первого порядка,

P [u]|S линейный ограниченный f (P )|S заданная непрерывно

дифференцируемая функция, условия на бесконечности обеспечивают отсутствие внешних источников на бесконечности.

Замечание 2.3.1
правой частью

Задача, аналогичная ( 2.3.1), с неоднородной достаточно просто сводится к

L[u] = -F (M )

однородному уравнению с измененным граничным условием.

Пусть существует система бесконечности,

{vn (M )} 1 n=
0,

частных решений одно-

родного уравнения (2.3.1), удовлетворяющая тем же условиям на

L [vn ] =

M De

,

(2.3.2)


3. Метод дискретных источников

95

и пусть система

{P [vn ]}
полна и замкнута на

n=

1

= {n (P )}
есть

n=

1

(2.3.3)

S

,

то

функция

f (P )

граничного

условия (2.3.1) может быть с любой заданной точностью приближена в норме системы (2.3.3)

L2 (S )
N

N

конечной суперпозицией функций

f (P ) -
n=1

( CnN ) n (P ) < N .

(2.3.4)

Предположим, что задача (2.3.1) однозначно разрешима в классическом смысле. Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема 2.3.1

Если система

S

{n (P )} 1 n=

полна и замкнута на

, то квазирешение

N

uN (M ) =
n=1
с теми же коэффициентами приближает решение

C C

(N ) n vn

(M ),

(2.3.5)

u(M )

(N ) n

, что и в ( 2.3.4), равномерно

задачи ( 2.3.1) в непрерывной норме

|u(M ) - uN (M )| < C (d)
в любом компакте

N

(2.3.6)
с коэффициентом

d

области

C (d)

De (d De )

, вообще говоря, своим для выбранного компакта

d

.

Иными словами, теорема утверждает, что из приближения функции

{n (P )}
Д

n=

f (P )
1

граничного условия задачи (2.3.1) системой

в норме

L2 (S )
.

следует равномерное приближение

классического решения задачи (2.3.1) его квазирешением в любом компакте

d De

О К А З АТ Е Л Ь С Т В О

. При сделанных предположениях относитель-

но задачи (2.3.1) и любого решения ния

v (M )

однородного уравне-

L[v ] =

0,

M D

, удовлетворяющего тем же условиям на

бесконечности, что и решение формула Грина

u(M )

задачи (2.3.1), имеет место

v L[u] - uL [v ] dV =
D
e

v P [u] - uP [v ] d
S

,

(2.3.7)


96

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

где

L [v ]

и

P [v ]

операторы сопряженной задачи, существо-

вание и методы построения которых рассматриваются в классических курсах уравнений математической физики. Выбирая в качестве функции задачи

v (M ) в (2.3.7) функцию Грина g L [g ] = - (M0 , M ), M0 , M De , P [g ]| = 0, S g 1 - ik g = o , r , r r

сопряженной

(2.3.8)

из (2.3.7) получим

u(M ) = g (M , P )f (P )d
S
и

(2.3.9)

N

uN (M ) = g (M , P )
S
Откуда для любого компакта

( CnN ) n (P )d. n=
1

(2.3.10)

d De
N

имеет место

|u(M ) - uN (M )| = =
S

g (M , P ) f (P ) -
n=1

C

(N ) n n

(P ) d .

(2.3.11)

Из равенства (2.3.11), используя формулу КошиБуняковского и формулу (2.3.4), окончательно получим

|u(M ) - uN (M )|C
где

(d)

C (d)

N

,

M d De M d
,

,

(2.3.12)

C (d) = g (M , P )
что и доказывает теорему.

L2 (S ) ,

(2.3.13)

Доказанную теорему часто называют теоремой корректности.

Замечание 2.3.2
ничена в

Если норма

De

g (M0 , P )
.

L2 (S )

равномерно огра-

, то квазирешение равномерно приближает реше-

ние ( 2.3.1) во всей области

De

Замечание 2.3.3

В общем случае оператор

P [g ]|S

является

дифференциальным оператором с косой производной.


3. Метод дискретных источников

97

системы

3.2. Выбор системы базисных функций. Проблема выбора {n (P )} 1 , обладающей требуемыми свойствами, являn=

ется одной из центральных проблем МДИ. Этот выбор в первую очередь определяется классом изучаемых математических моделей. Начнем со скалярной задачи дифракции на локальном теле в однородной среде, для которой оператор

L[u] = + k

2

u.

Для

этого класса задач используется ряд различных источников, в частности, дипольные и мультипольные источники, поля которых являются сингулярными решениями однородных уравнений Гельмгольца мультипольного и дипольного типа.

Метагармонические функции куа) [8]. Эти функции имеют вид

(мультиполи

И.Н.

Ве-

vn (M ) = l

(1) (n)

(k rOM )Yn (M , M )

,

(2.3.14)

носителем особенности которых является общая точка

O

соот-

ветствующей сферической системы координат. Выбор в качестве радиального сомножителя функции Ханкеля первого рода обеспечивает выполнение условий излучения. Здесь, как и в главе 1, система сферических функций индексом
линейно

n

{Yn (, )}
замкнута

занумерована одним

.
Система метагармонических функций ( 2.3.14) полна и в норме

Теорема 2.3.2

независима,

любой замкнутой поверхности точку

S

L2 (S )

на

типа Ляпунова, содержащей

O

внутри.

Д

О К А З АТ Е Л Ь С Т В О

. Начнем с доказательства линейной независи-

мости. Предположим, что существует конечная линейная комбинация функций системы (2.3.14) такая, что

N

Cn vn (P )
n=
на
1


P S

0

(2.3.15)

S

.

Рассмотрим функцию

N

v (M ) =
n=1
с теми же коэффициентами

C n vn ( M ) Cn

(2.3.16)

, что и в (2.3.15). Очевидно,

v (M )

является решением внешней краевой задачи для однород-

ного уравнения Гельмгольца, равным нулю на
4 А. Г. Свешников, И. Е. Могилевский

S

и удовлетво-


98

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

ряющим условиям излучения на бесконечности, поэтому в силу теоремы единственности решения задачи Дирихле, имеющей при таких условиях только тривиальное решение,

v (M )

0, где

M

De + S

. Поскольку функции (2.3.14) являются аналитическими

функциями координат, функция

v (M ),

определяемая (2.3.14),

также является аналитической функцией. Отсюда следует, что она может быть аналитически продолжена внутрь области ограниченной поверхностью координат

D

,

S

, только нулем вплоть до начала (2.3.17)

M O
функций имеет в точке

lim v (M ) = 0.

N метагармонических O полюс, порядок которого определяется (1) старшим членом l(n) (k rOM ). Полученное противоречие доказы вает линейную независимость системы {vn (M )}n=1 на любой поверхности S , содержащей точку O внутри.
Но линейная комбинация конечного числа Для доказательства полноты и замкнутости системы (2.3.14) предположим, что существует гладкая функция тождественно нулю и функциям системы (2.3.14),

f (P ),

не равная

ортогональная на поверхности

S

всем

vn (P )f (P )d =
S
Возьмем шар

0

n. O

(2.3.18)

KR

радиуса

щий внутри поверхности

R S.

с центром в точке

, целиком лежа-

В силу известной теоремы сложения

метагармонических функций [30, 36] имеет место разложение

i eikR = RM P 2

(2n + 1)l
n

(n)

(k rOM ) Yn (M , M ) vn (P ), P S.
сомножители при (2.3.19)

M K
висящие лишь от координаты суммируя по

R,

Тогда, умножая подынтегральное выражение в (2.3.18) на за-

M

n

vn (P )

и

от 1 до бесконечности, из (2.3.18) получим

S

eikR f (P )dP = RM P

0,

M KR .

(2.3.20)

Рассмотрим потенциал простого слоя

v (M ) =
S

eikR f (P )dP . RM P

(2.3.21)


3. Метод дискретных источников

99

Очевидно, в силу (2.3.20) функция

тождественно равна нулю внутри шара

v (M ), K

определяемая (2.3.21),

R,
(2.3.22) потенциала простого (2.3.23)

v (M )
Откуда, в силу слоя, вытекает

0,

M KR .
свойств

аналитических

f (P )
мы.

0,

P S.

Полученное противоречие и доказывает справедливость теореИтак, мы доказали, что из возможности квадратичной (то есть в пространстве

L2 (S )

) аппроксимации метагармонически-

ми функциями (2.3.14) граничного условия ществование квазирешения компакте

f (P )

следует су-

d De
не

uN (M ),

приближающего в заданном

в непрерывной норме истинное решение задаЕсли поверхность базисом

чи (2.3.1) с требуемой точностью.

Замечание 2.3.4
ма ( 2.3.14)

S

не

сфера,

то

систето

является

на

этой

поверхности,

есть любую гладкую на

S

функцию

f (P )

можно в норме

L2 (S )

сколь угодно точно приблизить соответствующей конечной линейной комбинацией метагармонических функций

N

f (P ) -
n=1

Cn vn (P ) < N

,

(2.3.24)

однако, вообще говоря, нельзя получить ряд метагармонических функций, равномерно сходящийся на

S

к

f (P )
(2.3.25)

N N

lim

Cn vn (P ) = f (P ).
n=1

Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, рассмотрим пример, предложенный В.В. Кравцовым. Пусть

S

произвольная поверхность типа Ляпунова, отлич-

ная от сферы. Из произвольной точки

O

внутри

S

опишем сферу



R0 , частично пересекающую поверхность

S

. Возьмем на этой

сфере точку функцию

M0

, лежащую внутри поверхности

S

и построим

eikR = f (P )|P RM P
0

S ,

M0 R .
0

(2.3.26)

4*


100

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

Рассмотрим внешнюю краевую задачу

u + k 2 u = 0, M De , eikR , M0 Di u|S = f (P )|P S = RM P u 1 - ik u = o , r . r r
0

,

(2.3.27)

Задача (2.3.27) однозначно разрешима, и ее решение, очевидно, равно

u(M ) = {vn (P )} 1 n= ции f (P ) на S
базис на

eik RM

R M
,

M De + S.

(2.3.28)

0

Предположим, что система метагармонических функций (2.3.14)

S

, то есть возможно представление функ-

в виде сходящегося ряда



f (P ) =
n=
1

Cn vn (P ).

(2.3.29)

Тогда в силу теоремы корректности получим



u(M ) =
n=1

Cn vn (M ), M De + S

,

(2.3.30)

что в силу (2.3.28) дает

eik RM
Используя точке

R



=
M n=1

Cn vn (M ), M De + S.
сложения метагармонических

(2.3.31)

0

формулу

функций

в

M1

, лежащей и вне поверхности

S

и вне

R

0

, можно

записать цепочку равенств



u(M1 ) = =
откуда

Cn vn (M1 ) =
n= 1

eik RM

R

=
M
1

0

i
2

(2.3.32)

(2n + 1)l
n=1

(n)

(k R0 )Yn (M0 )vn (M1 ),

Cn =

i
2

(2n + 1)l

(n)

(k R0 )Yn (M0 ).

(2.3.33)


3. Метод дискретных источников

101

Так как представление (2.3.30) выполняется во всех точках

De

, включая точку

M2

, лежащую внутри



R0 , но вне

M S , то

должно иметь место и представление



u(M2 ) = = i
2

Cn vn (M2 ) =
n= 1

eik RM

R

=
M
2

0

(2.3.34)

(2n + 1)l
n=1

(n)

(k R0 )Yn (M0 )vn (M2 ),

что противоречит формуле сложения метагармонических функций при

rO

M2

< R0 i
2

eik RM

R



=
M2

(2n + 1)l
n=
1

(n)

(k RM )Yn (M2 )vn (M0 ),
2

(2.3.35)

0

что и доказывает утверждение о небазисности системы (2.3.14).

Замечание 2.3.5

Системы функций

vn и линейно независимы, полны nP n=1 S L2 (S ). Доказательства этих утверждений с
теоремы 2.3.2.

vn + (P )vn (P ) nP
и



n=

1

S
в

замкнуты

незначительны-

ми изменениями и дополнениями повторяют доказательство

3.3. Диполи В.Д. Купрадзе.

Метагармонические функции

составляют класс дискретных источников (Д.И.), носителем сингулярности которых является единственная общая точка. Это в ряде случаев ограничивает область эффективного применения метагармонических функций в МДИ решения конкретных задач. Более общим является класс Д.И., носитель сингулярности которых уже не единственная точка, а некоторое многообразие. В частности, такими Д.И. являются так называемые дипольные источники

{wn (M )}

n=

1

=

eikR RMn M D0 R
3


,

Mn D0 {Mn }

,

M R

3

,

(2.3.36)

n=

1

сингулярности которых точки некоторую область

всюду плотно заполняют

. Функции (2.3.36) одним из первых

использовал для решения ряда задач математической физики


102

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

известный грузинский математик В.Д. Купрадзе, и они иногда называются диполи Купрадзе [16]. Перейдем к изучению свойств Д.И. Имеет место следующая теорема.

Теорема 2.3.3

Счетная последовательность функций ( 2.3.36)

с сингулярностями в точках но заполняющих область

D0
.

{Mn } 1 D0 R3 n= S

, всюду плот-

, линейно независима, полна и типа Ляпуно-

замкнута на любой замкнутой поверхности ва, объемлющей область

D0

Д

О К А З АТ Е Л Ь С Т В О

. Линейная независимость системы (2.3.36) на

S S

доказывается также, как и в теореме 2.3.2. Чтобы доказать существует гладкая функция

полноту и замкнутость системы (2.3.36), предположим, что на

f (P )

0,

P S n

, ортогональная

всем функциям системы (2.3.36)

wn (Mn , P )f (P )d = S
и построим потенциал простого слоя

0,

(2.3.37)

U (M ) =
S
На основании (2.3.37)

e-ikR f (P )d. RM P

(2.3.38)

U (Mn )

0,

Mn D0 D0
, то

,

(2.3.39)

а так как {Mn }n=1 всюду плотна в

U (M )
(2.3.40) следует, что

0,

M D0 .

(2.3.40)

В силу аналитических свойств потенциала простого слоя из

U (M )

0,

M Di + S =

,

(2.3.41)

и в силу непрерывности потенциала простого слоя на

S

верно (2.3.42)

Ue (P0 )|P

0

S

0,

откуда на основании единственности решения внешней задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца выполняется

U (M )
а, следовательно и

0,

M R

3

,

(2.3.43)

f (P )|P

S

=

0. Полученное противоречие до-

казывает теорему 2.3.3.


3. Метод дискретных источников

103

Замечание 2.3.6

Утверждение теоремы 2.3.3 имеет место и

при ослабленных условиях на носитель сингулярности функций ( 2.3.36). Если область

D0

в теореме 2.3.3 нерезонансная,

для доказательства теоремы 2.3.3 достаточно требования, чтобы

{Mn } 1 всюду плотно n= S0 = D0 области D0 и даже, D0
внутри

покрывала только поверхность чтобы множество

ло всюду плотно на любом отрезке

C

C

{Mn } 1 n=

бы-

аналитической кривой

, всюду плотно покрывающей поверхность

области

S

S0
нее

нерезонансной

.

Замечание 2.3.7
и не является

Последовательность ( 2.3.36) не минимальна на

базисом

S

,

однако

из

можно

выде-

лить подпоследовательности, представляющие собой базисы в

L2 (S )

. Функции Д.И. вида ( 2.3.36) могут быть исрешения внутренних краевых задач для

Замечание 2.3.8
пользованы и

для

уравнения Гельмгольца внутри нерезонансного тела

Di

u + k 2 u = 0, M Di (u)i |S = f (P ).

,

(2.3.44)

Для

построения

алгоритма

численного

решения

зада-

чи ( 2.3.44) можно воспользоваться функциями ( 2.3.36), выбрав в качестве носителя их сингулярностей множество точек

{Mn } 1 n=

,

всюду

плотно .

покрывающих

поверхность

S

,

объемлющую тело

Di

Также можно для решения задачи ( 2.3.44) использовать регулярные Д.И. вида

n (M ) =

sin k R RM M
0

,

M0 D0 Di

,

M Di

,

(2.3.45)

для

которых

при

условии

нерезонансности

тела

Di

имеет

место аналог теоремы 2.3.3.

Замечание 2.3.9

Дипольные Д.И. можно использовать и для

решения задачи дифракции на прозрачном однородном теле.


104

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

2 ue + ke ue = -f (M ), M De , Suppf (M ) D0 De , 2 ui + ki ui = 0, M Di , ue (P )| = ui (P )| ; ue = ui S S nP S nP u 1 e , r . - ik ue = o r r
Будем искать решение

Рассмотрим задачу с условиями сопряжения

(2.3.46) ,

P S

,

S

= u0 (M ) + v (M ),

ue (M )

в области

De

в виде

ue (M ) =

где

u0 (M ) =
D0

eike R f (Q)dVQ RM Q f (M ).

(2.3.47)

есть объемный потенциал с плотностью перейдет в задачу

Тогда ( 2.3.46)

2 v + ke v = 0, M 2 ui + ki ui = 0, M v (P ) - ui (P ) P S v ui - nP nP P S
дискретных

De

, , , (2.3.48)

Di

= -u0 (P ) = (P ), P S =- u0 n = (P ).
S

Методом

источников

квазирешение

зада-

чи ( 2.3.48) ищем в виде

N

vN (M ) =
n=
1

( nN ) wn (Mn , M ),
,

M De , Mn D0 Di
N

(2.3.49)

uiN (M ) =
n=1

( nN ) n (Mn , M ),
,

M Di , Mn D0 Di
где

wn (Mn , M )



функции

( 2.3.36),

а и

Д.И. ( 2.3.45). Аппроксимируя функции

(P )

n (Mn , M ) (P ) с заданной


3. Метод дискретных источников

105

точностью

, получим из граничных условий ( 2.3.48) систеN му линейных алгебраических уравнений для коэффициентов





(N ) n

и

( nN

)

, а тем самым и квазирешения в непрерывной норме .

приближающие

N истинные

v (M )

и

, iN решения

u (M )

задачи ( 2.3.48) с точностью

O(N )

3.4. Алгоритм численной реализации МДИ.

Существен-

ным моментом в реализации МДИ является разработка эффективных алгоритмов их численного исследования, в первую очередь методов численной реализации проблемы аппроксимации граничных условий. Здесь возможно использование всего арсенала современной вычислительной математики, однако специфическим для численного решения краевых задач дифракции является так называемый метод коллокаций, суть которого состоит в сведении задачи минимизации квадратичной нормы невязки аппроксимации граничного условия конечной комбинацией Д.И.

N

min f (P ) -
n=
1

Cn n (P )
L2 (S )

(2.3.50)

к решению системы линейных алгебраических уравнений для коэффициентов

Cn

.

Возьмем на поверхности

S

конечное

M

число таких точек

Pm S

, которые назовем точками коллокации, и потребуем,

чтобы в этих точках выполнялись соотношения

N

C
n=1

(N ) n n

(Pm ) = f (Pm ), m =

1,

. . . , M.

(2.3.51)

Свойства системы (2.3.51) неоднократно подробно анализировались в различных пособиях по вычислительным методам в теории дифракции (см., например, [14]). Отметим, что при

M >N

система (2.3.51) становится переопределенной, и можно говорить только о ее псевдорешениях, что в ряде случаев представляет определенные преимущества. Заметим, что найдя решение системы (2.3.51), легко получить оценки нормы невязки найденного квазирешения и истинного решения исходной задачи. Наконец, заметим, что задача (2.3.50), вообще говоря, является некорректно поставленной и для получения ее устойчивого решения в общем случае следует прибегать к методам регуляризации некорректно поставленных задач, впервые предложенным А.Н. Тихоновым.


106

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

4. Дифракция на осесимметричном теле
Как мы уже отмечали, большой класс задач дифракции связан с исследованием рассеяния осесимметричными телами. Пусть поверхность круг оси

S

образована вращением контура

C

во-

z

цилиндрической системы координат

(r, , z ).

Рассмот-

рим внешнюю скалярную задачу Дирихле дифракции на таком теле при условии, что граничная функция угла

f (P )

не зависит от

:

2 u + k u = 0, u|S = f (P ), u - ik u = o r

M De f
1

,

=
S
,

0,

(2.4.1)

r

r .

Покажем, что для решения этой задачи можно воспользоваться системой Д.И. (2.3.36), носителем сингулярности которых является отрезок ности

[a, b]

оси

z

, целиком лежащий внутри поверх-

S

. Для этого достаточно доказать, что система Д.И.

{wn (Mn , M )} =
где последовательность точек предельную точку

eikR RMn M
0, zn


, (2.4.2)

n=1

z [a, b],

{Mn (0,

)}, zn [a, b],

имеющая

полна и замкнута на поверхности

S

в классе осесимметричных функций

f (P ):

f (P ) =

0. Для

упрощения последующих обозначений будем считать, что Предположим, что существует функция нальная всем функциям системы (2.4.2):

z=

0.

f (P )

0, ортого-

wn (Mn , P )f (P )dP =
S
Построим потенциал простого слоя

0

n.

(2.4.3)

u(M ) =
S
Согласно (2.4.3)

eikR f (P )dP . RM P

(2.4.4)

u(Mn ) = 0.

(2.4.5)


4. Дифракция на осесимметричном теле

107

Воспользуемся теоремой сложения метагармонических функций

eikR i = RM P 2
где чим



(2n + 1)
n=
0

n

k rM

M

Pn (cos M )vn (P ),

(2.4.6)

ская функция,

M , M [a, b], а vn (P ) осесимметричная метагармониче n (P ) сферическая функция Бесселя. Обознаk rM M = z , и, учитывая, что cos M = +1, получим u(z ) =
S

eikR f (P )d = RM P i
2



n (z )
n=0

n,

(2.4.7)

где

n = +
В силу (2.4.5) следует

(2n + 1) f (P )vn (P )d.
S zn 0

(2.4.8)

u(zn ) =

0и

lim u(zn ) =

0, а тем самым из (2.4.7)



n (0)n = 0.
n=
0

(2.4.9)

Как известно, сферические функции Бесселя

n (0) =
Тогда из (2.4.9) получим

1, 0,

n = 0, n > 0.

(2.4.10)

0 =

0 и (2.4.7) принимает вид



u(z ) =
n=1
Для

n (z )n .

(2.4.11)

zn =

0 в силу (2.4.5)

u(zn ) = zn
и в пределе

n=

1

n (zn ) n = zn

0

(2.4.12)

zn

lim
0

u(zn ) = zn

n=1 zn 0

lim

n (zn ) n = 0. zn

(2.4.13)


108

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

Но

zn 0
Откуда следует

lim

n (zn ) = zn

1, 0,

n = 1, n > 1.

(2.4.14)

1 =

0 и (2.4.11) принимает вид



u(z ) =
n=2

n (z )n .

(2.4.15)

Продолжая этот процесс, окончательно получим

n
Откуда в силу (2.4.8)

0

n.

(2.4.16)

f (P )vn (P )d =
S
где

0,

(2.4.17)

v (P )|P

S осесимметричная метагармоническая функция с

сингулярностью в точке скольку

z

. Очевидно, что (2.4.17) имеет место

и для всех неосесимметричных метагармонических функций, по-

f (P )

не зависит от угла
2



, а зависимость

v (M )

от угла



такова, что

vn (P )d = 0.
0

(2.4.18)

Итак, предположение, что функция гональна на

f (P )

S

всем функциям

заключению об ортогональности на

w(Mn , P ) (2.4.2), приводит к S функции f (P ) всем ме-

f =

0

орто-

тагармоническим функциям. Как было ранее доказано, система метагармонических функций полна и замкнута на любой поверхности

S

, содержащей точку

M

внутри, что и доказывает полноту

и замкнутость системы (2.4.2).

Замечание 2.4.1

Если граничная функция задачи дифракции

на осесимметричном теле имеет вид

f (P ) = f (P )e

im

,

при условии

f


S

0,

(2.4.19)


4. Дифракция на осесимметричном теле

109

то полная и замкнутая на ма

S

в классе функций ( 2.4.19) систе-

{wn (Mn , P )}
(1)

с сингулярностями в точках

Mn [a, b]

оси

z

определяется выражением

( wnm) (M ) = |m| (k rMn M ) P|m| (cos M )
m

|m|

,
m
2

где

m Pm (x) =

1

- x2

2

dm Pm (x) am dxm

1

- x2

,

(2.4.20)

то есть

m Pm (cos ) = am sinm .
В случае сплюснутого тела, когда отрезок

Замечание 2.4.2

[a, b]
при мы

оси

z

много меньше радиального размера реализации МДИ с помощью числе

R0

тела

Di

численной Д.И. при

данной

систесисте-

достаточно

большом

точек

Mn

ма ( 2.4.2) может оказаться численно линейно зависимой, что существенно осложняет решение задачи, приводя к плохой обусловленности матрицы соответствующей СЛАУ. Чтобы устранить это осложнение, будем использовать Д.И. вида

wn (Mn , M ) =
где

eikR RMn M

,

Mn (0, zn ), M (, z )

,

(2.4.21)

RMn

M

уже не расстояние между точками

Mn

и

M

,а

комплексная величина
2 RMn

M

= (z - n )2 + 2

,

(2.4.22)

где комплексный параметр

n = n + in (0
достаточно больших значениях

n < R0 ).

(2.4.23)

Тем самым мы получаем дополнительный параметр, что при

R0

может повысить обуслов-

ленность СЛАУ, сохраняя достаточно большие значения

n.

Физический смысл введения такого дополнительного параметра состоит в замене дипольных Д.И. с точечными сингулярностями на круговые токи с центрами на оси

z

.

4.1. Проекционный метод определения амплитуд дискретных источников. Наряду с методом коллокаций для большого класса задач достаточно эффективным является проекционный метод вычисления амплитуд дискретных источников. Основные идеи этого метода рассмотрим, как и в предыдущих случаях,


110

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

на примере скалярной задачи дифракции на импедансном теле, условия однозначной разрешимости которой были установлены в предыдущей главе

2 u + k u = 0, u n + h(P )u S Im h(P ) = u - ik u = o r

M De = f (P ),

,

-(P ), (P )
1

0 >

(2.4.24) 0,

r

,

r .

L2 (S )
Д

Общие свойства задачи. Лемма 2.4.1 Решение задачи
на

( 2.4.24)

ограничено

в

норме

S

при заданной функции

f (P ).

О К А З АТ Е Л Ь С Т В О

. Умножая уравнение (2.4.24) на

u (M )

и ин-

тегрируя по области

De

, в силу граничных условий и условий на

бесконечности получим

0

=
D
e

u + k 2 u u dV = + lim u u d - r
R D
e

u u d + n
S

R

| u|2 dV + k

2

|u|2 dV .
D
e

(2.4.25)

Имеют место следующие очевидные равенства:

Im
S R

u u d = Im n
S

-h(P )|u|2 + u f (P ) d |u|2 d

R

, (2.4.26)

lim Im

R

u u d = k lim R r

и

(P ) |u|2 + = (P )

1 2i

(P )

(u f - uf )
S
2

=
(2.4.27)

f (P ) u+ 2i(P )

|f (P )|2 -2 4 (P )

.


4. Дифракция на осесимметричном теле

111

Тогда мнимая часть (2.4.25) приобретает вид

(P ) u +
S

f (P ) 2i(P )

2

d + k lim

R R

|u|2 d =
(2.4.28)

=
S

|f (P )|2 d = A. 42 (P )

Окончательно получаем

u(P )
Лемма доказана.

L2 (S )

< A.

(2.4.29)

Физический смысл соотношения (2.4.28) ясен, это закон сохранения энергии: сумма диссипативных потерь на импедансной границе

S

и уходящего на бесконечность потока энергии

равна мощности источников, создающих данное поле.

Общая схема метода. Сформулируем теперь общую схему
рассматриваемого метода. В области

Di

возьмем область

D Di

и будем искать квазирешение задачи (2.4.24) в виде конечной линейной комбинации дипольных дискретных источников:

N

uN (M ) =
n=
Множество
1

( TnN ) wn (M ).

(2.4.30)

{

Mn } 1 сингулярностей функций n= D
n=1 |P S и

wn (Mn , M )
n=
1

всюду

плотно в области

. Согласно предыдущим результатам системы

{wn (Mn , P )}

wn + h(P )wn (Mn , P ) nP S

P S ( TnN )

линейно независимы, полны и замкнуты на проекционных соотношений

. Амплитуды

дискретных источников в (2.4.30) будем определять из системы

h [uN ] ћ wm d = fm = f (P )wm d S

, (2.4.31)

m=

1, 2,

... , M

S
,

где

h [uN ]

граничный оператор

h=

+h . n

(2.4.32)


112

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

Соотношения (2.4.31) представляют собой СЛАУ порядка

N

неизвестных

T

(N ) n,

M

для

n= K

1, 2,

... , N
)

, которую можно записать в

виде

(N )

T(N

=F K
(N )

(N )

,

(2.4.33)

где элементы матрицы оператора

равны

k T(N
)

mn

=
S

h [wn (P )] ћ wm dP

,

(2.4.34)

а

и

F

(N )

векторы неизвестных
Для любого значения

( TnN

)

и заданных правых

частей (2.4.31). Имеет место

Теорема 2.4.1
пативен.

N N
)

оператор

K

(N ) )

дисси-

Теорема утверждает, что для любых место неравенство

и вектора

Q(N

имеет

K
Д
О К А З АТ Е Л Ь С Т В О

(N )

Q(N

)

,

Q(N

= 0.

(2.4.35)

. Построим функцию

N

vN (P ) =
n=
где
1

Q(N ) wn (P ), n Q(N

(2.4.36)

Q(N n

)

элементы вектора

) . Непосредственной проверкой

легко убедиться, что

K

(N )

Q(N

)

,

Q(N

)

=
S

h [vN ] ћ v


N

d.

(2.4.37)

Тогда мнимая часть (2.4.37) равна

Im h [vN ] ћ vN d = S

= -k lim

R
R

|vN |2 d - (P ) |vN |2 d <
S

(2.4.38) 0,

что и доказывает диссипативность оператора

K

(N )

для любого

N

.


4. Дифракция на осесимметричном теле

113

Очевидно, что если

K
то

(N )

Q

(N )
0

,

Q0

(N )

=

0,

(2.4.39)

Q

(N )
0



0.

Отсюда

следует

однозначная

разрешимость

СЛАУ (2.4.33) для любого

Лемма 2.4.2
в норме

Семейство

L2 (S ). m,
получим

F. {uN (P )}

(N )

равномерно по

N

ограничено

Д

О К А З АТ Е Л Ь С Т В О

. Умножая соотношения (2.4.31) на

T

(N ) m


и

суммируя по

h [uN ] u d = f (P )u dP . N N
S
Функция

(2.4.40)

S
является решением однородного уравнения

uN (M )

Гельмгольца в области

De

. Поэтому, проводя те же преобразова-

ния, что и при доказательстве леммы 2.4.1, получим энергетическое соотношение для функции висит от

uN

, аналогичное (2.4.28), где

правая часть зависит только от заданной функции

f (P )

и не за-

N , что семейства {uN }

и доказывает равномерную по в норме

N

ограниченность

L2 (S ) uN
L2 (S )

< A.
функций решению

(2.4.41)

Теорема 2.4.2
дится в

При

норме

N семейство L2 (S ) к истинному lim u - uN
L2 (S )

{uN (P )}|S схоu(P )|S зада(2.4.42)

чи ( 2.4.24), то есть

N
Д
О К А З АТ Е Л Ь С Т В О

= 0. S

. В силу полноты и замкнутости на

{

wn } 1 и n=

h [wn ]



систем

жение граничной функции задачи (2.4.24)

n=1 N

для любого

N >

0 имеет место прибли-

f (P ):
(2.4.43)

f (P ) -
n=1
Построим функцию

( qnN ) h [wn ] L2 ( S )

< N .

N

vN (P ) =
n=
1

( qnN ) wn (P ),

(2.4.44)


114

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

и рассмотрим невязки

uN (P ) - vN (P ) = rN (P ).
Обозначим

(2.4.45)

равномерно по

h[rN ] = N и докажем, что vN L N ограничены и rN L (S )
2

2

(S ) и

0 при

rN L (S ) N .
2

Заметим, что из (2.4.43) следует

f (P ) - h[vN ]
Очевидно, что функция

L2 (S )

=

N

< N .

(2.4.46)

rN (M ), M De
0,

является решением

однородного уравнения Гельмгольца

rN + k 2 rN =

M De

,

(2.4.47)

удовлетворяющим условиям излучения на бесконечности. Следовательно, как и в предыдущих случаях, справедливы равенства

Im h[rN ]rN d = -k lim S
2

R
R

|rN |2 d -
(2.4.48)

- (P )|rN (P )| d = Im N rN d. S
Отсюда можно заключить, что

S

(P ) rN +
S

N 2i(P )

2

d =
S L2 ( S )

|N |2 d < AN 42 (P )

,

(2.4.49)

что окончательно дает ниченности

rN

< A,

откуда из (2.4.45) и огра-

u

L2 (S ) получим

vN
причем при

L2 (S )
0

< A,

(2.4.50)

N

и

N

lim N = rN

L2 (S )

0.
справедливость

(2.4.51) утверждения

Полученные

оценки

доказывают

теоремы 2.4.2.


4. Дифракция на осесимметричном теле

115

Теорема 2.4.3
ний

При

N

последовательность

квазиреше-

{uN

}N= n

1

сходится по норме

L2 (S )

к истинному решению

задачи ( 2.4.24), то есть

N
Д
О К А З АТ Е Л Ь С Т В О

lim

u(P ) - uN (P )

L2 (S )

= 0.

(2.4.52)

. Представим оцениваемое выражение в виде

u(P ) - uN (P ) = u(P ) - vN (P ) + (vN (P ) - uN (P )) = = rN (P ) + (vN (P ) - uN (P ))
и докажем, что (2.4.53)

N
Функции

lim

vN (P ) - uN (P )

L2 (S )

= 0.

(2.4.54)

vN (P )

и

uN (P )

удовлетворяют соотношениям , (2.4.55)

h[vN ]wm d = - N wm d + f wm d S S S m

h[u
S

N

]wm

d = f w d.
S

Откуда, вводя функцию

N

wN (P ) = vN (P ) - uN (P ) =
n=1

( qnN ) - T

(N ) n

wn (P ),

(2.4.56)

после умножения (2.4.55) на коэффициенты функции мирования по

m

wN

и сум-

будем иметь

h[wN ]wN d = - N wN d. S
Так как функции

(2.4.57)

S
равномерно то ограничены по

N

L2 (S )



0 при

wN N , lim

N

,

а

N

wN

L2 ( S )

=

0,

(2.4.58)

что и доказывает утверждение теоремы.

Замечание 2.4.3

В

силу

теоремы

корректности

(теоре-

ма 2.3.1) отсюда следует, что для любого компакта

d De
(2.4.59)

N

lim |u(M ) - uN (M )| =

0,

M d De .


116

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

5. Метод антенных потенциалов
К методу дискретных источников близко примыкает и так называемый метод антенных потенциалов. Как обычно, рассмотрим основные идеи этого метода на примере скалярной дифракции. Пусть внутри замкнутой поверхности на нерезонансная область

S

типа Ляпунова зада-

D0

и отрезок

C C

аналитиче-

ской кривой, всюду плотно покрывающей поверхность Пусть, кроме того, на поверхности система гладких функций Построим систему

{n (Q)} 1 . n= функций {vn (M )}n=1 , M R eikR n (Q)dlQ . RM Q R3

S

S0 = D0

.

задана полная и замкнутая
3

несоб-

ственных криволинейных интегралов, зависящих от параметра

vn (M ) =
C
Функции вой

(2.5.1)

C

vn (M )

, определенные всюду в

за исключением кри-

, носят название антенных потенциалов. Очевидно,

vn (M )
(2.5.2)

удовлетворяют однородному уравнению Гельмгольца

vn + k 2 vn =

0,

M R3 \C M

,

условиям излучения на бесконечности и имеют сингулярную особенность при стремлении точки которой к точке

n (Q0 ) =

Q0

кривой

C S

, в

0.

Теорема 2.5.1

Система ( 2.5.1) функций

{vn (M )}

n=

1

линейно , со-

независима, полна и замкнута на любой поверхности держащей область

D0

внутри.

Д

О К А З АТ Е Л Ь С Т В О

. Линейная независимость системы (2.5.1) до-

казывается так же, как и для рассмотренных ранее систем дискретных источников. Для доказательства полноты и замкнутости системы (2.5.1) в

L2 (S )

предположим, что на

не равная тождественно нулю гладкая функция

S существует f (P ), P S ,

которая ортогональна всем функциям системы (2.5.1):

f (P )vn (P )dP =
S
или, подробнее,

0,

(2.5.3)


ikR

e n (Q)dlQ dP = 0. RP Q
(2.5.4)

f (P )
S C


5. Метод антенных потенциалов

117

Меняя порядок интегрирования, что, очевидно, возможно при сделанных предположениях о гладкости функций получим

f (P )

и

n (Q),
(2.5.5)





C
следует, что

eikR n (Q) f (P )dP dlQ = 0. RP Q
S

Так как система

{n (Q)} 1 n=

полна и замкнута на

C

, отсюда

S
Из условия, что

eikR f (P )dP = RP Q D0

0

Q C .

(2.5.6)

C C

аналитической кривой, всюду плотно , следует, что 0,

покрывающей поверхность

f (P )
Теорема 2.5.2
тенциалом

P S.

(2.5.7)

Полученное противоречие доказывает теорему.
Любую гладкую функцию сколь угодно точно приблизить в норме

f (P ), P S , можно L2 (S ) антенным по, (2.5.8)

v (M ) =
C
то есть


eikR (Q)dlQ RM Q


N >

0

(Q),

где

QC

, такое что

f (P ) -
C
Д
О К А З АТ Е Л Ь С Т В О

eikR (Q)dlQ RP Q
L2 ( S )

< N . vn (P ), P S

(2.5.9)

. Так как система

полна и за-

мкнута на

S

, то

N

f (P ) -
n=1
или подробнее

Cn vn (P )
L2 ( S )

<

N

(2.5.10)

f (P ) -
C

eik RP

R Q

N

Cn n (Q)dlQ
n=
1

< N .
L2 (S )

(2.5.11)


118

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

Обозначив

N

Cn n (Q) =
n=1

(N )

(Q),

(2.5.12)

мы и получим (2.5.9). Теорема доказана.

Замечание 2.5.1

По ходу доказательства теоремы мы фак-

тически доказали, что ядро

K ( P , Q) =
замкнуто и на а) из условия

eik RP

R Q
,

Q C

,

P S

,

(2.5.13)

C

и на

S

, то есть

K (P , Q)f (P )d =
S
следует

0

Q C

f (P )

0,

P S

;

б) из условия

K (P , Q)(Q)dlQ =
C
следует


0

P S

(Q)

0,

QC



. невязки антенного потенциала

v (M ), u(M )

Замечание 2.5.2
краевой

Оценку

полученного при реализации ( 2.5.9), точному решению задачи получим в силу теоремы корректно-

сти 2.3.1:

|u(M ) - v (M )| < C (d)
где

N

,

M d De

,

(2.5.14)

C (d)

константа, зависящая от компакта

d De

.

Замечание 2.5.3

Для численной реализации нахождения ис-

комой плотности

(Q)

антенного потенциала, удовлетворя-

ющего ( 2.5.9), можно воспользоваться как общими методами регуляризации А.Н. Тихонова функционалов некорректно поставленных задач, так и рассмотренными выше итерационными методами и методом коллокаций.


6. Классические задачи теории дифракции.

119

6. Классические задачи теории дифракции.
При исследовании математических моделей теории дифракции наряду с рассматриваемыми в предыдущих параграфах численными методами, ориентированными, в основном, на технологии высокопроизводительных вычислений, большую роль играют и чисто аналитические методы исследования больших классов задач математической физики. Особенно интенсивно они развивались в первой половине XX-го века такими известными физиками и математиками как В.А. Фок, А. Зоммерфельд, Г. Ватсон, Б. Нобл и рядом других российских и зарубежных ученых. В настоящем параграфе мы кратко проиллюстрируем основные идеи развитых методов на примере классических задач дифракции на сфере и полуплоскости.

6.1. Дифракция на сфере. Метод Г. Ватсона. Рассмотрим
краевую задачу Дирихле дифракции плоской акустической волны на сфере радиуса

a

. В силу аксиальной симметрии задачи ее

математическая модель имеет вид



u + k2 u =

0,

M De (r > a),
(2.6.1) ,

u|r=a = -u0 |r=a , u 1 - ik u = o r r
где

r ,

u0 (r, ) = e

ikr cos

(2.6.2)

есть падающая плоская волна единичной амплитуды,

u(r, )



рассеянное сферой поле, удовлетворяющее условиям излучения. Заметим, что поле плоской волны, приходящей из бесконечности, не удовлетворяет условиям излучения. Поэтому разложение функции

u0 (r, )

в ряд по сферическим функциям имеет вид



u0 (r, ) =
n=0
где

an n (k r)Pn (cos ), Pn (cos ) a

(2.6.3)

n (k r)

сферические функции Бесселя,

поли-

номы Лежандра, то есть плоская волна является суперпозицией стоячих волн. Для определения коэффициентов

n заметим, что


120

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

an n (k r)

коэффициент разложения функции

сированном

r

u0 (r, )

при фик-

в ряд по полиномам Лежандра. Тем самым
1

an n (k r) =

2n

+
2

1

e
-
1

ikr x

Pn (x)dx.

(2.6.4)

Воспользовавшись асимптотикой сферических функций Бесселя при больших значениях аргумента и беря интеграл по частям, преобразуем (2.6.4) к виду

sin k r - n a
n

=
2n

2

kr

+O
rx

1

=
(2.6.5) 1

(k r)2
x=1

+ 1 Pn (x) ik e 2 ik r

+O
x=-
1

(k r)

2

.

Преобразуем первое слагаемое в правой части (2.6.5), с учетом того, что

Pn (-1) = (-1)n = e n i kr - i e
2

i n

:

n
2

(2n + 1) e

-e 2ik r (2n + 1) n n = (i) sin k r - . kr 2

-

i kr -

n
2

=

(2.6.6)

Сравнивая главные члены разложения (2.6.5), получим

an = (i)n (2n + 1),
а тем самым и

(2.6.7)

u0 (r, ) =
n

(i)n (2n + 1)n (k r)Pn (cos ).

(2.6.8)

Будем искать решение задачи (2.6.1) в виде суперпозиции расходящихся сферических волн с амплитудами

C

n
(2.6.9)

u(r, ) =
n

( Cn n1) (k r)Pn (cos ).


6. Классические задачи теории дифракции.

121

Для неизвестных амплитудных коэффициентов

C

n из граничного

условия задачи (2.6.1) и выражения (2.6.8) получим

( Cn n1) (k a) = -(i)n (2n + 1)n (k a),

(2.6.10)

что позволяет выписать явное аналитическое выражение решения задачи (2.6.1):

u(r, ) = -
n

(i)n (2n + 1)

n (k a) n (k a)
(1)

( n1) (k r)Pn (cos ).

(2.6.11)

Итак, явное выражение решения получено. Выясним, как его можно использовать в конкретных случаях. Очевидно, скорость сходимости этого ряда определяется в первую очередь порядком убывания его коэффициентов. Рассмотрим этот вопрос подробнее. Возможны несколько случаев: а)

ka

1, то есть длина падающей волны много больше радиуса

сферы

a

, так называемый длинноволновый случай. Пользуясь

асимптотикой сферических функций Бесселя и Ханкеля при малых значениях аргумента

ka

, получим

n (k a) n (k a)
(1)

= O (k a)2

n

,

(2.6.12)

что обеспечивает быструю сходимость ряда (2.6.11) и возможность прямого его вычисления для получения численного значения решения б)

u(r, )

с заданной степенью точности.

ka

1, то есть длина падающей волны есть величина порядка

радиуса сферы, так называемый резонансный случай. В этом случае коэффициенты ряда (2.6.11) убывают не очень быстро и, чтобы получить приближенное решение задачи (2.6.1) с заданной степенью точности, приходится пользоваться технологиями высокопроизводительных вычислений, что позволяет получить нужные результаты для значений параметра в)

ka

10

2

-

10 .

3

ka
3

1, то есть длина падающей волны много меньше радиуса

сферы, например, дифракция СВЧ радиоволн на поверхности Земли, так называемый коротковолновый случай. В этом случае 10

-

10

4

коэффициентов ряда имеют почти одинаковые значения

и прямое суммирование ряда сильно затруднено. Именно для этого случая английским физиком Г.Ватсоном был предложен метод преобразования плохо сходящегося ряда в другой достаточно быстро сходящийся ряд [31].


122

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

Основная комплексной

идея

метода с

Ватсона

необычайно теории

проста

и

ос-

новывается на том факте, что при вычислении интеграла по переменной помощью вычетов можно, различным образом замыкая контур интегрирования, получать представление исходного интеграла в виде различных рядов. Однако, несмотря на простоту этой идеи, ее реализация во многих конкретных случаях требует большого искусства. Проиллюстрируем сказанное на примере нашей задачи (2.6.1) и полученного представления ее решения в виде ряда (2.6.11). Рассмотрим на комплексной плоскости 2



интеграл

I=
A

+ 1 (k r) P (- cos )d 2i sin (1) (k a)
где

(1)

,

(2.6.13)

A



бесконечный

контур,

Im


A

охватывающий кости

положительную

часть действительной оси плоспересекающий ее в 1 и уходящий в бесточке = - 2 конечность (см. рис. 2.6.1). Особыми точками подынтегральной функции являются оси точки действительной в которых это



,

-

1 2



2 ... n

Re

n = sin n = 0.
первого

0, 1,

...

,

Причем

полюса

порядка.

Рис. 2.6.1. Контур интегрирования.

Остальные функции, как функции комплексного индекса



,

особых точек на действительной оси не имеют. Далее, первого порядка переменной

P (x) F ( , , , z )

гипергеометрическая функция [24], как функция комплексной

z

, удовлетворяющая уравнению 0 (2.6.14)

z (1 - z )F (z ) - [ - ( + + 1)z ] F (z ) - F (z ) =
при значениях комплексных параметров

= -
совпадающая с

;

=+

1;

=

1;

z=

1

-x
2

,

(2.6.15)

P (x) F - , +
1, 1, 1

-x
2

= P (x),

(2.6.16)


6. Классические задачи теории дифракции.

123

а уравнение (2.6.14) переходит в уравнение Лежандра

d dx

1

- x2

dP + ( + 1)P (x) = 0. dx F (, , , z ) = F ( , , , z ), P (x) = P-
-1
то

(2.6.17)

Заметим, что так как

(x).

(2.6.18)

Вычисляя интеграл (2.6.13) с помощью теории вычетов, получим

I=
n

(-1) (2n + 1)

n

n (k r) n (k a)
(1)

(1)

Pn (- cos ),

(2.6.19)

что с точностью до множителя

n (k a)
методу с

в

выражении

Im s
iR

членов ряда совпадает с исходным рядом (2.6.11). Следуя Ватсона, помощью измезамепереним контур интегрирования, перенеся ны переменной

s

G


1

на

и изме2 нив замыкание контура инменную тегрирования отрезком мнимой оси

s=+

[-iR, iR]

Re s

и

дуга-

ми окружностей радиуса

R
за-

в правой верхней и нижней полуплоскостях комплексной плоскости

s.

Новый

мкнутый контур интегрирования на комплексной плоскости

s

обозначим



(см.

рис. 2.6.2). Покажем, что интеграл по новому замыканию исходного контура стремится к нулю при

-iR
Рис. 2.6.2. Новый контур.

R .

Заметим, что в силу (2.6.18)

Ps- (x) = P-
1 2

s-

1 2

(x),

(2.6.20)

то есть

P (x)

четная функция

s.

Так как имеет место извест-

ное соотношение

( 1) (x) = e-

i (1) -

(x),

(2.6.21)


124

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

то

(k r) (k a)
(1)

(1)

также четная функция

s. s,
следовательно,

Наконец, функция

s cos s s

нечетная функция

и подынтегральная функция в интеграле

I=


2s 2i

(1) -

1 2

(k r) Ps
-
1 2

cos s (1) (k a) s-
1 2

(- cos )ds,

(2.6.22)

является нечетной функцией

s

, в силу чего часть интеграла

I

при интегрировании по отрезку

[-iR, iR]

мнимой оси рав-

на нулю. Чтобы доказать, что интеграл по дугам замыкающей окружности при

R

стремится к нулю, воспользуемся асимп-

тотикой сомножителей подынтегральной функции при Как легко видеть

|s| .

| sin | = O e Ps (- cos )
1 2 1

|Im |

,

(2.6.23) Воспользовавшись

то есть экспоненциально растет при асимптотикой

| | .

-

1 2

Ps- (- cos ) =
1 2

(s - 2 ) sin
1

e-i[(

-)s-


4

]+
(2.6.24)

+O

s-

1 3/2 2

,

получим,

что в

подынтегральная экспоненципри

Im j j
C1
-

функция ально этой

(2.6.22)

убывает части

|s| ,
и к

а по

следовательно, контура

интеграл

замыкания стремится

исходного нулю. равны, нас с

A

-

p 2

Re j

Значит и

интегралы можно теории точки внутри

I

и

I

значение

интересующего вычислять вычетов, нового

интеграла помощью особые функции
Рис. 2.6.3. Контур

найдя

подынтегральной контура

C

1

.



. Очевидно, это будут те точки


6. Классические задачи теории дифракции.

125

комплексной плоскости комплексного индекса



, в которых



( 1) (k a), (1)

как функция

, равна нулю. Имеет место известное

интегральное представление функции

Hs (x) d,
(2.6.25)

H C1

(1) s

(x) =

1


C1

e

-ix sin -is

где

контур интегрирования по комплексной переменной действительную ось в точке



(см. 2 рис. 2.6.3). Для вычисления интеграла (2.6.25) при больших значениях аргумента Положив

,

пересекающий

=-



x = x cos ,

можно воспользоваться методом перевала. где

x

малый комплексный параметр, най-

дем, что имеются две точки перевала при больших значениях для



1,2

= +

, которые дают

примерно одинаковый вклад в асимптотику интеграла (2.6.25)

H

(1)

. Поэтому окончательное выражение

(x)

принимает вид 2

H

(1)

(x) = 2i

x sin H
(1)

sin x(sin - cos ) -


4

.

(2.6.26)

Из (2.6.26) получим значения комплексной переменной которых функция



, при

(k a) =

0
2/3



m

=x+

x

1/3

3 4

2

(4m - 1)

e

i


3

,

m=

1, 2,

...

(2.6.27)

Заметим, что все нули функции луче

в правой полуплоскости комплексной плоскости . 3 При этом, хотя, как следует из (2.6.21) и (2.6.24), функции

=
и



( H1) (x), | | x

1 лежат на

sin

P (- cos )

растут при

ограниченным при 0

<
m=



| | , - ,

их отношение остается где

>

0. Тем самым

решение задачи (2.6.1) представляется быстро сходящимся рядом

u(r, ) =
где 0

e

ikr

r

Am (r, )ei(
1

m

+

1 2

)

,

(2.6.28)

<



- , >

0, а коэффициенты

Am (r, )

выража-

ются через вычеты подынтегральной функции (2.6.13) в ее особых точках

m . Представление (2.6.28) оказалось весьма удоб-

ным для исследования распространения СВЧ радиоволн вдоль


126

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

поверхности Земли и многих задач практической радиофизики.

6.2. Дифракция Хопфа. Введение.

на

полуплоскости.

Метод

Винера

Одним из самых изящных методов математиче-

ской физики является метод ВинераХопфа, созданный Н. Винером и Э. Хопфом для решения одного интегрального уравнения (уравнение Милна) в 30-60-е годы прошлого века [9]. Одновременно модификация этого метода создается В.А. Фоком. В задачах дифракции метод ВинераХопфа применим к изучению задач дифракции на плоских экранах (см. многочисленные приложения [23]). Изложим здесь применение метода ВинераХопфа к задаче дифракции на полуплоскости. Причем воспользуемся той же модификацией метода, которую предложил Джонс. (см. [25]).

Постановка задачи. Рассмотрим скалярную плоскую волну

u0 = e

-ik(x cos +y sin )

,0

<<
-i t

(временной

множитель

e

),
на 0},

(2.6.29)

падающую

полуплоскость на которой то есть экран? искать и

y

{y =
поля (см.

0,

x

нормальная производная полного

(3) (1) ( 2)


равна рис.

нулю, жесткий

?абсолютно полное поле

2.6.4).

Будем

(3)

x

u

uп

как сумму поля волны порождается

0

падающей

плоской

поля

u,

которое

присутствием полуплоскости:

uп = u0 + u.
Рис. 2.6.4. Постановка задачи.

(2.6.30) удовлетво-

Функция

u = u(x, y )

ряет уравнению

u + k 2 u =
и граничному условию:

0

(2.6.31)

u (x y

,0

+ 0) = ik sin e-

ikx cos

,

x < 0.

(2.6.32)


6. Классические задачи теории дифракции.

127

Для обеспечения единственности решения задачи необходимо поставить условие излучения на бесконечности и некоторые условия в окрестности ребра экрана. У ловия Зоммерфельда здесь не годятся в силу того, что с граница области ?бесконечна?. Поэтому воспользуемся более общим принципом предельного поглощения. А именно предположим, что

k = k0 + i,

>

0 и решение (2.6.31)-(2.6.32) будем

искать в классе функций, убывающих на бесконечности, причем будем предполагать определенный порядок убывания (он следует из физических соображений). Итак, будем полагать, что:

u u : |u| + | u|
здесь

C e-

r cos

при

r

,

(2.6.33)

r=

x2 + y

2

.

В окрестности ребра также надо требовать выполнения определенных условий, иначе даже при выполнении условий на бесконечности возможно существование более чем одного решения [25]. Можно показать, что при выполнении условий

|u| < C

и

| u|

Cr

-1/

2

при

r

0

(2.6.34)

имеется единственное решение задачи (2.6.31)-(2.6.33), а следовательно, и единственное решение задачи (2.6.31)-(2.6.32), удовлетворяющее принципу предельного поглощения (если таковое существует). Нашей целью является построение решения задачи (2.6.31)-(2.6.32) с та, что

= 0 и последующее доказательство того факu(x, y ) = lim u(x, y , ) является решением задачи (2.6.31)
0

(2.6.32).

Построение функционального уравнения методом Джонса. Введем следующие функции комплексного переменного :


U+ (, y ) =

1 2
0 0

u(x, y )eix dx = F+ (u),

U- (, y ) =
1

1 2

u(x, y )e

ix

dx = F- (u),

(2.6.35)

- +

U (, y ) =

2

u(x, y )eix dx =
-

= U+ (, y ) + U- (, y ) = F (u).


128

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

Здесь через функции если

F+ (u), F- (u)

и

F (u)

обозначены соответственно

односторонние и полное преобразование Фурье по переменной

x

u(x, y ).

Из теории интеграла Фурье [34] следует, что,

плоскости

U+ (, y ) аналитична в полу+ = { : Im > - cos }, а U- (, y ) аналитична в полуплоскости - = { : Im < cos }. Если функция u удовлетворяет (2.6.31), то U (, y ) удоIm влетворяет уравнению: + k cos 2 - 2 - k 2 U (, y ) = 0. y2 Re (2.6.36) - cos -k Введем функцию () = = 2 - k 2 , ветвь которой
удовлетворяет (2.6.33), то выберем следующим образом.
Рис. 2.6.5. Разрезы на плоскости

u



.

Положим дем на

плоскости

(0) = -ik

и проверазрезы

(см. рис. 2.6.5). Возьмем в качестве решений (2.6.36) следующие функции:

U (, y ) =

A()e

- y y

при

y>

0,

(2.6.37)

B ()e

при

y < 0.

Введем также в рассмотрение функции:

V+ (, y ) = F+ V- (, y ) = F- V (, y ) = F

u y u y u y .

,

,

(2.6.38)

Все сказанное выше об аналитических свойствах функций равной степени относится и к функциям

U

V+ (, y ). (а) (б)

+в

Запишем следующие очевидные равенства:

U+ ( U+ ( V+ ( V+ (

,0 ,0

+ 0) + U- ( - 0) + U- ( + 0) + V- ( - 0) + V- (

,0 ,0

+ 0) = A(), - 0) = B (), - 0) = ()B ().

,0 ,0

,0 ,0

+ 0) = - ()A(), (в) (г)

(2.6.39)


6. Классические задачи теории дифракции.

129

Воспользуемся непрерывности

теперь

u

и

u (x, y ) y через ось y =
что

u y

граничными

условиями

и

свойствами

. Из граничного условия (2.6.32) следует,

непрерывна для всех

x

при переходе точки

(x, y )

0, а следовательно из (2.6.39в) и (2.6.39г) следует

-A() = B ().
Отметим теперь, что откуда следует, что

(2.6.40) 0 непрерывна при

u(x, y )

при

x>

y=

0,

U+ (
учетом (2.6.40) 2S-

,0

+ 0) = U+ (

,0

- 0).

(2.6.41)

Используя (2.6.41), вычитая (2.6.39б) из (2.6.39а), получим с

() = U- (

,0

+ 0) - U- (

,0

- 0) = 2A().

(2.6.42)

Поскольку имеет место (2.6.32), то
0

-

справедливо

V- (

,0

+ 0) =

1 2

e
-

ix

ik sin e-

ikx cos

dx =
(2.6.43)

=

k sin

2

( - k cos )

.

Имея в виду (2.6.43), с помощью соотношения (2.6.39в) исключим из (2.6.42) неизвестную

A()

и получим равенство:

V+ (

,0

+ 0) +

k sin ( - k cos )

2

= - S- (),

(2.6.44)

справедливое в полосе неизвестных функций функции

+ - = { : |Im | < cos }. V
+и

Таким образом, нами получено уравнение (2.6.44) для двух

S-

с известными, однако, аналити-

ческими свойствами. Если нам удастся определить из (2.6.44)

A()

V+

и

S-

, то по (2.6.42) мы получим соответственно

и тем самым будем знать фурье-образ

U (, y )
0.

неиз-

вестной искомой

u(x, y ),

что позволит нам, применив обратное

преобразование, получить решение задачи с

=

Таким образом, решение (2.6.31)-(2.6.32) свелось к решению функционального уравнения (2.6.44), типичного для метода ВинераХопфа. Обратимся к некоторым общим соображениям.
5 А. Г. Свешников, И. Е. Могилевский


130

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

Общие положения. Теория функциональных уравнений типа
(2.6.44) и более сложных была разработана Винером и Хопфом. Рассмотрим уравнение:

M ()+ () + N ()- () = K ()
справедливое в полосе и

(2.6.45) и

= + -
и

. Функции

+ ()

неизвестны, но являются аналитическими функциями



-

, а функции

M (), N ()

K ()

- () в +

известные функции,

определенные на всей комплексной плоскости в виде произведения) следующую функцию



за исключением

их особых точек. Пусть нам удалось факторизовать (представить

M () L+ () = N () L- ()
где

,

(2.6.46)

L+ ()

аналитические функции соответственно в

+

и

-

,

тогда (2.6.45) можно переписать в виде

L+ ()+ () + L- ()- () =

L- ()K () N ()

Пусть также удалось факторизовать в сумму функцию:

L- ()K () = -Q+ () + Q- (), N ()
где

(2.6.47)

Q+ ()

аналитичны соответственно в

+

. Тогда (2.6.45)

примет вид:

L+ ()+ () + Q+ () = Q- () - L- ()- ().
Предположим теперь, что

(2.6.48)

Q+ ()

0, 0, 0,

+ , || ,
(2.6.49)

L+ ()+ () L- ()- ()
равномерно относительно

arg

. С помощью аналитического про-

должения определим функцию:

() =

L+ ()+ () + Q+ (), Q- () - L- ()- (),

+

,

- .


6. Классические задачи теории дифракции.

131

Эта функция вательно, по

и равномерно по

() аналитична на всей комплексной плоскости arg стремится к нулю при || . А следотеореме Лиувилля () 0 . Откуда получаем L+ ()+ () + Q+ () Q- () - L- ()- ()
0, 0,

что и позволяет найти

+ ()

и

- ().

Из приведенных выше рассуждений видно, что центральным моментом метода является факторизация функций (2.6.46) и (2.6.47). Имеются общие теоремы о факторизации [31] и обширный обзор непосредственных факторизаций содержится в работе [25]. Заметим, что от условия (2.6.49) также можно освободиться.

Решение исходной задачи.

Применим

теперь

приведен-

ные выше рассуждения к уравнению (2.6.44). В нашем случае

M ()

1,

N = ()

и

K ( ) =

k sin

2

( - k cos )
1

. Факторизация

(2.6.46) здесь очевидна:

() =

-k ћ +k =

L- ()

ћ L+ ().

Переписав же (2.6.44) в виде

V+ (, 0 + 0) k sin 1 1 + - +k +k k + k cos 2 ( - k cos ) = - - k S- () - k sin 2 k + k cos ( - k cos )
,

=

(2.6.50)

мы видим, что здесь факторизация (2.6.47) свелась просто к алгебраическим преобразованиям, необходимым в связи с наличием полюса первого порядка у функции

K ()

в точке

= k cos .

Таким образом, мы получили запись (2.6.48) для нашего уравнения (2.6.44). Покажем теперь, что в нашем случае имеют место свойства (2.6.49). Для этого воспользуемся условиями на ребре (2.6.34). Известно, что, если

f (x) = O(xp )
ix

при

x

0

+

0,

-1 < p <

0, то



F+ () =
0
5*

f (x)e

dx = O(||-(p+1) ) , + .


132

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

Применяя этот результат к нашему случаю, имеем

|S- ()| = O ||- |V+ (
,0

1

,

- , ,
/2
,

+ 0)| = O ||-1

(2.6.51)

+ , . V+ (
,0

Учитывая (2.6.51), мы видим, что (2.6.50) оказалось записанным в виде (2.6.48). Отсюда могут быть получены функции

+

+ 0)
ется

и

S- (), A():

с помощью которых по формуле (2.6.42) определя-

A() = -
А зная

1

k sin 1 . k + k cos - k ( - k cos ) 2

A(),

как было отмечено выше, можно получить функцию

u(x, y ): k sin u(x, y ) = - 2 k + k cos
1

+

u(x, y ) =

k sin 2 k + k cos
1

- +

e-ix- y d - k ( - k cos )

при

y>

0,

-

e-ix- |y| d - k ( - k cos )

при

y < 0.
(2.6.52)

Таким образом, нами получе-

Im


= k Re

но решение задачи с устремить

=

0, при-

том оно единственно. Если теперь

= k cos = -k
Рис. 2.6.6. Обход особенностей.



к нулю, то особен-

ности подынтегральных функций

= +k

= k cos на комплекс перейдут на ее вещественную ось Re , и поэтои ной плоскости

му интегрирование (2.6.52) следует вести с обходом особенностей (см. рис. 2.6.6). Нетрудно убедиться, что полученное предельным переходом в (2.6.52) при



0 решение

u(x, y )

является решением задачи (2.6.31)-(2.6.32), и, следовательно, единственным решением, удовлетворяющим принципу предельного поглощения.

Исследование решения. Запишем полное поле

uп (x, y ) = u0 (x, y )- -
1 2

sgn(y ) k - k cos

+

-

e- |y|-ix d. - k ( - k cos )


6. Классические задачи теории дифракции.

133

Введем

полярные 0

координаты

по

формулам

x = r cos , y =

= r sin

<<

. Тогда интеграл

+

-

e-r( sin +i cos ) d - k ( - k cos )

может быть оценен по методу перевала (см., например, [31]). Применяя соответствующие формулы, получим:

uп = u0 + uотр -

2

sin /2 ћ sin /2 ћe k r cos + cos +O
1

-ikr-i /

4

+
(2.6.53)

kr

,

-<<

,

uп = -

2

kr

ћ

sin /2 ћ sin /2 ћe cos + cos

-ikr -i /

4

+O

1

kr

,

(2.6.54)

< < + ,
2

uп = u0 -

kr

sin /2 ћ sin /2 e cos + cos

-ikr -i /

4

+O

1

kr

, (2.6.55)

+ < < 3 - ,
где

=e ототр раженное поле. Причем здесь считается, что

u

-ik(x cos -y sin )

y

=-

(это обуслов-

(3) (1) ( 2)
Рис. 2.6.7.

лено методом перевала). Представление о физической картине легко составить из полученных формул (см. рис. 2.6.7). Так, в области (1) (области света) существует как падающее поле ное поле



(3)

x

отр экраном поле (последнее слагаемое); в области (2) (область тени под экраном) существует только дифрагированное поле и в области (3) падающее и дифрагированное поле.

u

u0

, так и отражен-

, и дифрагированное


134

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

7. Дифракция в неоднородной среде
7.1. Скалярная дифракция на теле в локально неоднородной среде. Парциальные условия излучения. До сих пор мы
рассматривали задачи скалярной и электромагнитной дифракции на ограниченных объектах, находящихся в однородной среде, для которой коэффициенты в уравнениях Максвелла и Гельмгольца являются постоянными величинами. Однако, большой класс практически важных задач описывается математическими моделями, в которых характеристики внешней среды зависят от пространственных координат. Методам решения этого класса задач и будет посвящен настоящий параграф. Как обычно, начнем со случая скалярной дифракции в локально неоднородной среде.

Дифракция на импедансном теле. Рассмотрим следующую
скалярную задачу дифракции на импедансном теле:

u + k 2 (M )u = 0, M De , u n + h(P )u = f (P ), P S S u r - ik0 u = o [u]| = u R r
0

, (2.7.1)

1

r

,

r > R0
0,

,

=
R0

где

k 2 (M ) =

C (1) (De ), M De 2 2 k0 , r R0 , k0 >

, 0,

Im k 2 (M ) = q (M ) h(P )
и

q0 > (S ),

0;

q1
L2 (S )

q (M ) f1
0, ,

,

(2.7.2)

f (P ) C

(1)

f

Im h(P ) = -(P ), (P )
Здесь
0

0 >

1

(P ).

R сфера радиуса R0 , объемлющая тело Di с поверх S типа Ляпунова и область De неоднородности коэффи2 2 циента k (M ), гладко принимающего значение k0 на R .
ностью
0

Как

было

установлено

в

предыдущих

параграфах,

задача

(2.7.1) при условиях (2.7.2) однозначно разрешима.


7. Дифракция в неоднородной среде

135

Рассмотрение данной задачи в неограниченной области с условиями сопряжения на



De

R

0

и асимптотическим условием

излучения Зоммерфельда связано с определенными трудностями как теоретического, так и вычислительного характера. Эти трудности можно обойти, сведя исходную задачу (2.7.1), (2.7.2) к краевой задаче в ограниченной двухсвязной области

De

, заменив

асимптотические условия Зоммерфельда на конкретные условия для некоторых функционалов от решения на внешней границе



R0 области

De

.

Заметим, что вне



R

0

решение задачи (2.7.1) может быть

разложено в сходящийся ряд по метагармоническим функциям

u(M ) =
n
где

Tn wn (r, , ), r

R0

,

(2.7.3)

wn (r, , ) = l
а

(1) (n)

(k0 r)Yn (, ),

(2.7.4)

Tn

неизвестные амплитуды расходящихся сферических волн.

Разложение (2.7.3) можно записать в виде

u(M ) =
n
где

An (r)Yn (, ),

(2.7.5)

An (r)

коэффициенты разложения решения по сферическим

гармоникам

An (r) =


u(r, , )Yn (, )d .

(2.7.6)

Причем этот несобственный интеграл можно дифференцировать по параметру

r An (r) =


u (r, , )Yn (, )d . r u(r, , )

(2.7.7)

Записав формулу Грина для функций

wn = l

(1) (n)

(2.7.5) и функции

(k0 r)Yn (, )

в неограниченной области вне сферы

R

0

,

в силу условий Зоммерфельда для этих функций получим

wn u wn - u r r

R R0

R2 d =

0,

(2.7.8)


136

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

что в силу ортонормированности сферического базиса на любой сфере приводит к окончательному выражению

{Yn } 1 n=
(2.7.9)

An (R) - n (R)An (R) =
где

0

при

R

R0 , n,

d (1) l(n) (k0 r) n (R) = dr (1) l(n) (k0 r)
(2.7.9), (2.7.10) означают,

(2.7.10)

r =R .
функционалы (2.7.6)

Формулы

что

решения задачи (2.7.1) при

R

R0

удовлетворяют одномерным

условиям излучения типа условий Зоммерфельда. Это позволяет заменить асимптотическое условие излучения задачи (2.7.1) на бесконечную систему одномерных условий (2.7.9) для коэффициентов

An (r)

разложения искомого решения

по сферическим гармоникам. У ловия (2.7.9) обычно называются с
парциальными условиями излучения.

Итак, исходная задача (2.7.1) в неограниченной области

De

сведена к краевой задаче в ограниченной двухсвязной области

De

, на границах которой

S

и

R

0

поставлены точные условия.
условиям их ( 2.7.9) можно при-

Замечание 2.7.1
дать различную

Парциальным форму.

Например,

на

основании

( 2.7.7)

можно записать в виде

u r


r =R

Yn d = n (R)An (R) =

d (1) = Tn (k r) dr l(n) 0

(2.7.11)

n=
r=R
,

0, 1

...

Замечание 2.7.2
сти

Обобщением условий ( 2.7.9) являются усло-

вия излучения, задаваемые на замкнутой гладкой поверхно-

S1

, охватывающей сферу

R

0

:

u wm d = n
S1 S1

u

wm d = n

mn Tn
n

,

(2.7.12)

где



mn

=
S1

wm wn d n

m=

0, 1

...


7. Дифракция в неоднородной среде

137

Замечание 2.7.3
суммируя по

Умножая ( 2.7.9) на

n

Yn (P0 )

, где

P0

R0

,и

, получим

u (R , P ) r 0 0

=
R0 R0

K (R0 , P0 , P )u(R0 , P )dP

,

(2.7.13)

то есть нелокальное условие излучения, связывающее значение нормальной производной решения в точке со значением самой неизвестной функции

точках При

P

P0 сферы R u(R0 , P ) во всех
0

этой сферы. некоторых конкретных задач условия из-

решении

лучения ( 2.7.12), ( 2.7.13) оказываются более эффективными, чем исходные парциальные условия излучения ( 2.7.9).

Замечание 2.7.4
сферы

Условия ( 2.7.9) позволяют записать форму-

лу УмоваПойнтинга для потока энергии, через поверхность



R

0

w = Im

R0

u u d r

(2.7.14)

в достаточно компактном виде. Воспользовавшись представлением ( 2.7.3) и ортонормированностью сферических функ-

ций, получим

2 w = R0

|Tn |2 Im
n

d (1) (2) (k r) ћ l(n) (k0 r) dr l(n) 0

(2.7.15)

r=R0 .

Легко видеть, что мнимая часть выражения в фигурных скобках

Im

d (1) (k r) ћ dr l(n) 0 = k
0

(2) l(n)

(k0 r)
(2) (n)

=
(1) (n)

2i

l

(1) (n)

(x)

l

(x) - l
2i

(x) l

(2) (n)

(x)

,

x = k0 r

,

есть значение вронскиана двух линейно независимых решений уравнения Бесселя, равное

x2
1

. Отсюда получим для потока

энергии через поверхность сферы

R

0

выражение

w=

k0

|Tn |2 .
n

(2.7.16)


138

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

Физический смысл этого результата прозрачен: полный поток энергии через замкнутую поверхность равен сумме потоков энергий всех сферических гармоник в представлении решения ( 2.7.3).

7.2. Энергетическое
(2.7.1)
1 2

тождество.
норме

Перейдем

к

изучению

свойств решения задачи (2.7.1). Покажем, что решение задачи

W (De ). Умножая уравнение (2.7.1) на результат по области De , получим

ограничено

по

функционального

u (M )



пространства и интегрируя

0

=
De

u + k 2 (M )u u dV =
S +R0

u u d - n
(2.7.17)

-
De

| u| dV +
D
e

2

k (M )|u|2 dVM .

2

Рассмотрим мнимую часть выражения (2.7.17). Заметим, что в силу граничного условия (2.7.1)

Im
S

u u d = Im {-h(P )u + f (P )} u d = n
S

=
S

(P )|u| + Imf (P )u (P ) d.
2

(2.7.18)

Подынтегральное выражение в правой части (2.7.18) можно записать в виде

(P )|u|2 + Imf (P )u (P ) = (P ) |u|2 +

1 2i

(P )

(f u - f u)

=

= (P )

f (P ) u+ 2i(P )

2

-

|f (P )|2 42 (P )

,

(2.7.19)

а как было показано выше,

Im
R0

u 1 u d = r k0

|Tn |2 .
n

(2.7.20)


7. Дифракция в неоднородной среде

139

Тогда мнимая часть (2.7.17) принимает вид

(P ) u(P ) +
S

f (P ) 2i(P )
2

2

d +

1

k

|Tn |2 +
n
(2.7.21)

0

+
De

q (M ) |u| dV =
S

|f (P )|2 d. 4(P ) (P ), f (P )
и

В силу условий (2.7.2) для функций равна положительной константе

q (M )

все

слагаемые левой части (2.7.21) положительны, а правая часть

S

|f (P )|2 d = A > 4(P )

0,

(2.7.22)

значение которой определяется нормой

f (P )
,



L2 (S ) и константой

0

. Отсюда следует ограниченность норм

u(M ) u(P )
n
где константы константы (0 ,
выражение

L2 (De )

A A
,

L2 (S )
2

и

(2.7.23)

|Tn | < A

A и A определяются 1 , q0 , q1 , f1 ).

через введенные выше

Замечание 2.7.5

Для действительной части ( 2.7.17) получим

Re

R0

u u d - r

| u|2 dV = Re h(P )|u|2 d -
De

S
(2.7.24)

-Re f (P )u d -
S
De

Re k 2 (M )|u|2 dV .

Пользуясь разложением решения ( 2.7.1) по сферическим гармоникам и асимптотикой функций Ханкеля, можно показать, что при достаточно большом значении

R0
(2.7.25)

Re
R0

u u d < 0. r


140

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

Тогда в силу доказанной ранее ограниченности норм и

u

u

L2 (De )

норма правой части ( 2.7.24) в

L2

L2 (S )

ограничена, а

оба слагаемых в левой части ( 2.7.24) отрицательны. Отсюда следует ограниченность нормы ограниченность нормы

u

L2 (De )

, а тем самым и

u

1 W2 (De )

< A1 .

(2.7.26)

7.3. Построение приближенного решения неполным методом Галеркина. Построение классического решения задачи (2.7.1) в общем случае не удается провести чисто аналитическими методами, представляющими решение задачи в виде явного аналитического выражения. Значительно более эффективными оказываются численные алгоритмы, позволяющие получать приближенное решение, сколь угодно близкое к истинному решению исходной задачи в соответствующей функциональной норме. В настоящем пункте мы рассмотрим решение исходной задачи (2.7.1) с помощью так называемого неполного метода Галеркина, который, в отличие от полного метода Галеркина, сводящего исходную краевую задачу для уравнения в частных производных к системе алгебраических уравнений, позволяет строить краевую задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, эквивалентную исходной краевой задаче для уравнения в частных производных. Основное преимущество данного метода состоит в том, что вместо построения полной системы базисных функций, являющихся собственными функциями спектральной задачи для исходного многомерного дифференциального оператора в частных производных, как это требуется в полном методе Галеркина, в неполном методе Галеркина появляется значительный произвол в выборе системы базисных функций, через которые выражаются коэффициенты системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Перейдем к более подробному изложению основных положений неполного метода Галеркина на простейшем примере решения задачи (2.7.1), в которой внутренняя граница решения задачи является сферой ской со сферой .

S

области

De



r0 радиуса r0 , концентричеR0 внешней граничной поверхностью области

De


7. Дифракция в неоднородной среде

141

Будем чи (2.7.1)

искать при

приближенное

решение

каждом

фиксированном

значении

конечной линейной комбинации сферических

uN (r, , ) задаr в виде функций Yn (, ):
(2.7.27)

N

uN =
n=0

Zn (r)Yn (, ),

r0 < r < R0 Zn (r).

с пока неизвестными коэффициентами

Функции

Zn (r)

определим из следующих проекционных соотношений:

uN + k 2 (M )uN Ym d =
r

0,

r0 < r < R0 m=
0, 1,

,

uN + huN - f r

Ym d =

0,

... , N

, (2.7.28)



r0

Zn (r) - n Zn (r)

r =R

=
0

0,

d (1) l(n) (k0 r) n = dr (1) l(n) (k0 r)

,

r=R0

из которых на основании (2.7.27) следует, что функции должны на отрезке

[r0 , R0 ]

Zn (r)

удовлетворять краевой задаче для

системы обыкновенных дифференциальных уравнений

r2 Zn (r) + Zn +
N m=
0

N m=
0

Knm (r)Zm (r) =

0,

r0 < r < R0
0, 1,

, (2.7.29)

hnm (r)Zn (r)
r=r0 =R
0

= fn (r0 ), n =

... , N

,

Zn - n Zn (r)|r
где

=

0,

Knm (r) = -l

(n) nm

+

r

k 2 (M )Yn Ym d

,

r0 < r < R0

, (2.7.30)

h

nm

=

r0

h(P )Y

n Ym

d

,

fn (r0 ) =
r
0

f (P )Yn d

,


142

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

l

собственные значения спектральной задачи для сфериче-

ских функций

, Yl + l Yl = l = l(l + 1).

0, (2.7.31)

Заметим, что парциальные условия излучения (2.7.29) для функций

Zn (R0 )

можно переписать в виде

Z
где

n r =R

=
0

d (1) (k r) dr l(n) 0
разложения

r=R0

( TnN

)

,

(2.7.32)

( TnN ) uN (R0 , , )

амплитуда

приближенного

решения

по расходящимся сферическим волнам (метагармо-

ническим функциям)

N

uN (R0 , , ) =
n=
Покажем, что функция Умножая уравнения
0

( TnN ) wn (R0 , , ).

(2.7.33)

задаче (2.7.28), равномерно по

m

и интегрируя по

r

от

uN (r, , ), удовлетворяющая краевой N ограничена в норме L2 . системы (2.7.28) на Zm (r ), суммируя по r0 до R0 , получим
0, (2.7.34)

uN + k 2 (M )uN u dV = N
r KR0 0

где

r KR

0 0

шаровой слой между сферами



r0 и

R

0

,и

uN + h(P )uN (P ) - f (P ) u (P )d = 0. N r

r0

(2.7.35)

Из (2.7.34) следует

uN u d - n N
r0 +R0

| uN |2 dV +
KR0
r
0

+
KR0
r
0

k (M ) |uN |2 dV = 0.
2

(2.7.36)


7. Дифракция в неоднородной среде

143

Заметим, что в силу (2.7.35)

Im
r
а в
0

uN u d = n N

(2.7.27),
r0

(P ) |uN |2 + Imf (P )u d N

,

(2.7.37)

силу

условия

излучения

(2.7.29)

и

представле-

ния (2.7.33) верно соотношение

Im

R0

uN 1 uN d = n k0

N ( TnN n=
0

)

2

.

(2.7.38)

Поэтому, преобразуя подынтегральное выражение в (2.7.37) в разность квадратов модулей соответствующих функций, для мнимой части выражения (2.7.36) окончательно получим



f (P ) (P ) uN + 2i
r0

2

d +

1

N ( TnN n=0 )

2

k

+
(2.7.39)

0

+
KR0
r
0

q (M ) |uN |2 dV =
r
0

|f (P )|2 d. 4(P )

Отсюда следует ограниченность норм

uN (M ) uN (P )
N ( TnN n=0
для любого

L

2

KR0
r0

r

A A
,

,

0

L2 ( )
2

)

(2.7.40)


N

.

Так же, как и в случае решения задачи (2.7.1), беря действительную часть выражения (2.7.36), покажем, что при поставленных условиях на коэффициенты исходной задачи можно доказать принадлежность приближенного решения при любом пространству

N

W

1 2

r KR00 .


144

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

Следствия из энергетического тождества (2.7.39). Следствие 2.7.1 Однородная краевая задача для системы
обыкновенных дифференциальных уравнений ( 2.7.29) имеет только тривиальное решение.

Следствие 2.7.2

Неоднородная краевая задача ( 2.7.29) одно-

значно разрешима при любом значении этому решению функция нальному пространству чена по нормам

N

, построенная по

uN (r, , ) r 1 W2 KR и
0 0

принадлежит функциоравномерно по .

N

ограни-

L2

r KR00

и

W

1 2

r KR00

Остается показать, что приближенное решение задачи (2.7.1) стремится по норме при

N

uN (r, , )

к истинному

решению исходной задачи. Рассмотрим невязку

wN (M ) = u(M ) - uN (M )
истинного и приближенного решений. Очевидно

(2.7.41)



wN =
n=0
коэффициенты

An (r)Yn (, ), wN (r, , )
,

(2.7.42)

An (r)

которой в разложении

по сфе-

рическим функциям определяются выражением

An (r) =
а сама функция

An (r) - Zn (r)

, ,

n

N

An (r), n > N

(2.7.43)

wN (r, , )
Ym

удовлетворяет соотношениям

d =

0,

m
2

N

, ,

wN + k (M )wN
r

2

-
r

k (M )uN Ym d , m > N

r0 < r < R0 m N
,

,

0,

wN + k 2 (M )wN n
r
0

Ym d =

-
r
0

h(P )uN - f (P ) Ym d

,

m>N

,


7. Дифракция в неоднородной среде

145

wN 2 Y d = R0 Tm - T n m

R0

(N ) m

d dr

(1) l(m)

(k0 R0 ),
(2.7.44)

где Обозначив

(N Tm ) =

0 при

m > N.

N

-ый остаток ряда (2.7.5) в разложении точного ре-

шения по сферическим функциям



RN (M ) =
n=N +1

An (r)Yn (, )

(2.7.45)

и проделав с выражениями (2.7.44) преобразования, аналогичные предыдущим, получим для невязки соотношение 1

wN (r, , )
2

энергетическое

N ( Tn - TnN n=
0

(P ) |wN |2 d +

r0

)

k

+

0

+
KR0
r
0

q (M ) |wN |2 dV = -
KR0
r
0

Im k 2 (M )uN RN dV -

(2.7.46)

-
r
В силу
0

Im (h(P )uN - f ) RN d.

предыдущих

оценок

(2.7.23),

(2.7.26)

для

точного

и

(2.7.40) для приближенного решения, переходя в (2.7.47) к пределу при

N ,
r

получим оценки 0,

wN
и

1 W2 KR0


,

wN

L2 (r

0

0

)

0,

при

N ,
(2.7.47)

( TnN ) Tn

N ,

что и доказывает сходимость построенного по неполному методу Галеркина приближенного решения задачи (2.7.1) к истинному ее решению.

Замечания и обобщения. Замечание 2.7.6 Как следует
рость сходимости неполного

из соотношения ( 2.7.46), скометода Галеркина в первую

очередь зависит от скорости сходимости к нулю остатка

RN (M ),

( 2.7.45), которая в основном определяется степенью

гладкости решения исходной задачи ( 2.7.1).


146

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

Замечание 2.7.7

Предыдущие

рассуждения

были

проведены

главным образом для краевой задачи с однородным уравнением и диссипативными граничными условиями. Совершенно аналогично можно получить энергетическое тождество типа ( 2.7.46) и для неоднородного уравнения Гельмгольца

u + k 2 (M )u = -f (M ), M De Suppf (M ) = D0 De
в котором при условии

, (2.7.48)

,

Im k 2 (M ) = q (M )

q0 >

0

(2.7.49)

в правой части тождества появляется член

D

|f (M )|2 dV > 0. 4q (M )
e

(2.7.50)

Это и обеспечивает необходимые оценки при доказательстве ограниченности решения исходной задачи в норме
1 W2 (De )

и

сходимость неполного метода Галеркина и для данного случая.

Замечание 2.7.8

В рассмотренных до сих пор внешних зада-

чах дифракции ставились условия отсутствия источников на бесконечности. Однако большой практический интерес вызывают задачи дифракции с источниками на бесконечности, в частности, волны, задачи дифракции из на локальном В теле плос-

кой

приходящей парциальные

бесконечности.

этих

случаях следует

однородные

условия

излучения

( 2.7.3)

заменить на неоднородные условия излучения. Для этого воспользуемся представлением полного решения исходной задачи в виде

uполн (M ) = u0 (M ) ником в R поле в De
где

u0 (M ) + ue (M ), M ui (M ), M

вне

R

0

, (2.7.51)

внутри

R0 ,

поле, создаваемое бесконечно удаленным источ3

,

ue (M )

рассеянное поле в

внутри

R

De

вне

0

. На поверхности сферы

R , ui (M ) R очевидно
0 0

имеют место условия сопряжения

u

полн

|R = ui |
0

R0

,

uполн r

=

R0

ui n

,

(2.7.52)



R0


7. Дифракция в неоднородной среде

147

причем имеют место разложения

u0 | ui |

R0

=
n

An (r)Yn

,

ue |

R0

=
n

Qn (r)Y

n,
(2.7.53)

R0

=
n

Zn (r)Yn .

Из ( 2.7.52) и ( 2.7.53) получим

An (r) + Qn (r)|r An (r) + Qn (r)|r
Так как для поля чения

=R0 =R0

= Zn (r)|r = Zn (r)|r

=R0 , =R0 ,
(2.7.54)

ue

справедливы парциальные условия излу-

Qn (r) - n (r)Qn (r)|r
где величина

=R

0

=

0,

(2.7.55)

n (R0 )

определяется ( 2.7.10), то отсюда полу-

чаем неоднородные парциальные условия излучения для поля

ui (M )

на



R

0

Zn (r) - n (r)Zn (r)|r

=R0

=
=R
0

= An (r) - n (r)An (r)|r
Замечание 2.7.9
ных

= bn (R0 ).

(2.7.56)

В качестве дальнейшего обобщения полученрассмотрим краевую задачу с условиями

результатов

сопряжения для обобщенного уравнения Гельмгольца
2 ue + k0 ue = -f (M ), M

вне



R0 ,
внутри

div p(M )grad ui + q (M )ui =
где коэффициент сти

0,

M

R

0

,

(2.7.57)

p(M )

может терпеть разрыв на поверхно-

S

внутри



R

0

. В этом случае на

S

выполняются условия

сопряжения

[u]|S =

0;

p

u n

=
S

0,

(2.7.58)

которые должны сохраняться и для приближенного решения

N

uN (M ) =
n=1

Zn (r)Yn (, )

(2.7.59)


148

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

при использовании неполного метода Галеркина. Для этого функции

Zn ( r )

в ( 2.7.59) должны быть подчинены дополни-

тельным условиям на

S

. Здесь возможны два случая в зависи-

мости от геометрии поверхности а) Поверхность сферой

S

:

S

разрыва коэффициента с

p(M )

совпадает со ( 2.7.58)



r0

,

концентрической

будут выполнены на шениям



R0

, если

R Zn (r)
mn Zn

0

.

Тогда

условия

удовлетворяют соотно-

N

[Zn (r)]
+ mn

r

=
0

0;

p
n=1

=
r
0

0,

(2.7.60)

где

p

=
r
0

p+ Yn Ym d

;

б) Поверхность со сферой

S

разрыва коэффициента



r0

и они пересекаются по контуру

p(M ) не совпадает C = S r . То0

гда, если в правую часть проекционных соотношений ( 2.7.28) добавить член

[p]
C
где ное

uN Y d n m

,

m=

0,

... , N

,

(2.7.61)

[p]

скачок функции

p(M )

на контуре

C

, то приближен-

решение

uN (M )

будет

удовлетворять

энергетическому

соотношению ( 2.7.39), что обеспечит сходимость по норме

W2 (De )

(1)

приближенного решения

uN (M )

к истинному реше-

нию исходной задачи.

7.4. Задача электромагнитной теории дифракции в шаровом слое. Рассмотрим задачу электромагнитной дифракции
локального тока на шаре

Kr . rotH = -ik (M )E + j(M ), M De , rotE = ik ч(M )H, Supp j(M ) D D , e 0 [n Ч E]|r = 0, [e Ч E]| r +o R = -W0 er Ч [er Ч H]
0 0 0

(2.7.62) 1 ,

R0

R0

где

(M )

и

ч(M )

эрмитовы тензоры, диагональные элементы

которых удовлетворяют условиям

Im ii >

0,

Im чii > 0.

(2.7.63)


7. Дифракция в неоднородной среде

149

Как показано выше, задача (2.7.62) однозначно разрешима, причем ее можно рассматривать не в неограниченной области

De

, а внутри ограниченного шарового слоя

K

границе



r0 и наружной



ны дополнительные условия: на

R0 которого должны быть поставлеr0 (2.7.62), а на R0

r0 R0 , на внутренней

парциальные условия излучения. Для вывода последних воспользуемся представлением вектора, касательного к поверхности

R , с помощью э,м э,м en (, ), hn (, )
0

векторного ортогонального на



r0 базиса

, введенного при доказательстве электро-

магнитной леммы Реллиха. В силу ортогональности этого базиса поле

{E , H }R

может быть представлено в виде

0

E H
где

=
R0 n

Tn

En Hn

,

(2.7.64)



R0

{En , Hn }
Из

касательные к сфере составляющие расходящих-

ся сферических волн электрического и магнитного типа, а их амплитуды.
э,м э,м en , hn

T

n

представления

(2.7.64)

и

ортогональности

базиса

следуют соотношения

э (E ћ em )|R = Tm m
0

,

(H ћ hm )|R = Tm
0

m,

м

(2.7.65)

где

э m = (Em ћ em )|R

,

0

м m = (Hm ћ hm )|

R0

.

(2.7.66)

Отсюда, исключая неизвестные амплитудные коэффициенты окончательно получим соотношение

Tm

,

м э m (E ћ em ) = m (H ћ hm ),

(2.7.67)

являющееся аналогом парциальных условий излучения. Очевидно, краевая задача для неоднородной системы уравнений Максвелла в шаровом слое

K

валентна исходной задаче (2.7.62).

r0 R0 с условием излучения (2.7.67) экви-


150

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

Следуя уже отработанной методике, легко показать, что для решения задачи с парциальными условиями излучения (2.7.67) справедливо энергетическое тождество
3

W0
m

|Tm |2 +
KR0
r

Im
p=1
0

pp

Ep -
3

2

jp Im

2

+
pp
(2.7.68)

+ Im чpp |Hp |2

dV =
p=1 D
0

4

|jp |2 dV Im pp

,

аналогичное соответствующему энергетическому тождеству для скалярной задачи. Используя неполный метод Галеркина, приближенное решение в виде

E(N ) , H

(N )

исходной задачи можем искать

E

(N ) r ,r0
= =

N n=1 N n=
1

an (r)en

, (2.7.69)

H
где

bn (r)hn

,

E

an (r) и bn (r) коэффициенты разложения вектор-функций (N ) и H по векторному ортогональному базису на сфере r . (N ) (N ) Приближенные выражения для функций Er и Hr запишем через коэффициенты an (r ) и bn (r ), потребовав выполнение ради(N )
альных уравнений системы уравнений Максвелла

ik E(

N) r N) r

= - rot H

(N ) r ) r

+ jr (M ),
(2.7.70)

ik ч H(

= rot E(N

. an (r)

Для построения краевой задачи для коэффициентов потребуем выполнения соотношений

и

bn (r)

rot H
r

(N )

+ ik (M )E(
,

N)

- j ћ em dV =
0, 1,

0,

r0 < r < R0 rot E
(N )

m=
(N )

... , N

, (2.7.71)

- ik ч(M )H

ћ

h m

dV =

0,

r

er Ч E(N

) r
0

= 0.


7. Дифракция в неоднородной среде

151

Также потребуем, чтобы выполнялись парциальные условия излучения (2.7.67). Для решения

E(N ) , H

(N )

задачи (2.7.71)

обычным методом получается то же энергетическое соотношение (2.7.68), что и для истинного решения исходной задачи, откуда следует однозначная разрешимость краевой задачи на отрезке

[r0 , R0 ]
норме

для конечной системы обыкновенных дифференциальных

уравнений относительно коэффициентов

W2
,

(1) )

r KR00

{an , bn }

и сходимость в

построенного по ним приближенного решения

E(

N)

H(N

к истинному решению исходной задачи.

7.5. Общая задача электромагнитной дифракции на локальном теле в неоднородной среде. Развитые методы решения задач электромагнитной дифракции для частного случая рассеяния на сфере, сводящие исходную задачу к краевой задаче в шаровом слое, могут быть распространены и на задачи с более сложной геометрией поверхности

S

рассеивателя.

Пусть надо решить задачу электромагнитной дифракции на идеально проводящем теле, ограниченном гладкой поверхностью

S

типа Ляпунова.

rot H = -ik E + j, M De , Supp j D De 0 0 rot E = ik ч H, 0 [n Ч E]|S = 0, [er Ч E]|R = -W0 er Ч [er Ч H]
0

,

(2.7.72) 1

R0

+o

R0

. S
пря-

В случае достаточно сложной геометрии поверхности

мое применение к этой задаче неполного метода Галеркина затруднено из-за сложного представления базисных функций. Поэтому с помощью преобразования координат

(x1 , x2 , x3 ) S
1

(x1 , x2 , x3 ) -
отображение

проведем

взаимно

исходной двухсвязной области изнутри и сферой
2

координат

R снаружи, на (x , x , x ) (см. рис. 2.7.1).
3
0

De

однозначное шаровой слой

, ограниченной поверхностью

K

в системе

Такое отображение можно

провести многими способами. В частности, пусть поверхность соотношением

S

является звездной и в сферической системе координат задается

r|S = r0 (, )|S

,

(2.7.73)


152

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

D
S

* e

K

V =1 V =2

V =2

R0

Ю
S
R0

V =1

Рис. 2.7.1. Отображение области

D

e на шаровой слой

K

=1 =2 .

где

r0 (, )

однозначная гладкая функция обеих переменных.

Тогда соотношения

x1 = =

1

+

x2 = = , x3 = =
отображают область

r - r0 (, ) R0 - r0 (, )

, (2.7.74)

De

на шаровой слой

( , , ).
координат отрезке [1

=1 K =2

в переменных

Заметим, что при фиксированных значениях угловых



и



новая радиальная переменная изменяется на



2].

Итак, мы упростили геометрию задачи, но, конечно, усложнили дифференциальные уравнения, поскольку полученная система координат

(x1 , x2 , x3 )

в общем случае будет криволинейной и

неортогональной. Напомним основные понятия тензорного анализа ([15]). В каждой точке

M (x1 , x2 , x3 )

пространства, в котором введе-

ны новые координаты, существует тройка

(a1 , a2 , a3 )

некомпла-

нарных векторов, касательных к соответствующим координатным линиям. Эти векторы называются основными. Кроме них по формулам

ai =
(где

[aj Ч ak ] V

,

i, j , k =

1, 2, 3,

(2.7.75)

V = a1 a2 a3 =

0 смешанное произведение основных век-

торов, которое в силу их некомпланарности отлично от нуля) строится система взаимных векторов очевидные соотношения

a1 , a2 , a
j

3

. Имеют место

ai ћ aj = ij

,

ai ћ a

=g

ij

,

(2.7.76)


7. Дифракция в неоднородной среде

153

где

g

ij элемент так называемого метрического тензора.

Любой вектор

F

, заданный в точке

M

, может быть разложен

как по основным, так и по взаимным векторам

F=
i

f i ai =
i

fi ai . fi

(2.7.77)

Коэффициенты разложения носят названия

f

i -контрвариантных компонент вектора

-ковариантных и

F,

причем в силу (2.7.76) 1, 2, 3. (2.7.78)

f i = (F ћ ai ), fj = (F ћ aj )

i, j =

Нам потребуется выражение дифференциального оператора Оно для ковариантных компонент вектора

rotF.

F

имеет вид

rotF = g
где

1

i

fj fk -k xj x

a

i,

(2.7.79)

(xi , xj , xk )

новые криволинейные координаты, а

g=

=V a

. Используя (2.7.79), мы можем привести исходную систему

уравнений Максвелла к знакомому виду. Заметим, что вектора

i не являются единичными. Путем нормировки

ei =
где

ai = hi ai (ai ћ ai )

,

(2.7.80)

hi =

1

(ai E

ћ ai ) H
2

коэффициенты Ламе, можно получить базис

из единичных векторов векторов 1 и

ei

.

Первое из

уравнений Максвелла

(2.7.79) для скалярных ковариантных нормированных компонент можно переписать в виде

h2 h3

x

h3 H3 -

x

3

h2 H2

= +

= -ik g

g 12 g 13 g 11 E1 + E2 + E h2 h3 h3 h2 3 jћ a1 h2 h .
3

(2.7.81)

g + h2 h3

Аналогичные выражения могут быть получены и для остальных пяти скалярных уравнений. Здесь символами

E

и

H

обозначены


154

Гл. 2. Методы решения задач дифракции.

компоненты векторов

E

и

H

по нормированному базису (2.7.80).

Заметим, что при этом левая часть выражения (2.7.81) совпадает с первыми скалярными уравнениями Максвелла, записанными в ортогональной сферической системе координат

( , , ).

То же

самое имеет место и для остальных уравнений. Легко видеть, что система уравнений Максвелла в новых координатах принимает вид

, ,

rot H = -ik g E + j rot E = ik g H,

, (2.7.82)

rot обозначено выражение дифференциального опеrot в якобы ?ортогональной? сферической системе координат ( , , ), а тензор g является метрическим тензором исходного преобразования системы координат, вектор j также зависит от тензора g .
где через ратора Итак, с помощью преобразования координат мы получили эквивалентную исходной (2.7.72) задачу электромагнитной дифракции в шаровом слое 1



2 с неоднородным анизотроп-

ным заполнением, характеристики которого в первую очередь определяются свойствами метрического тензора использованного отображения. Но решение последней задачи мы только что получили с помощью неполного метода Галеркина. На этом мы заканчиваем рассмотрение методов решения задач дифракции на локальных объектах и переходим к следующей главе нашего курса.


Глава

3

НАПРАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ

В этой главе мы дадим краткий обзор основных идей и методов исследования распространения электромагнитных колебаний в неограниченных областях с некомпактной границей. Рассмотрим два круга задач, связанных с распространением волн во внешней области: в системах, в которых граница является неограниченным множеством (открытые направляющие системы) и в замкнутых волноведущих системах (волноводы).

1. Открытые направляющие системы.
1.1. Свободные электромагнитные колебания вне системы идеальных бесконечных цилиндрических проводников.
Начнем дачи ных стемы щих о с простейшей зараспространении электромагнитвне сипроводяцилин-

свободных

C1 = S1
...

CN = S S
z
N

N

колебаний идеально бесконечных

S1
M

дрических проводников щими, ось направление

Di

с параллельными образуювдоль которых примем за общую

S2 C2 = S

2

S3 C3 = S
стью

3

z

декартовой системы
Рис. 3.1.1. Сечения проводников плоско-

координат. Обозначим сечения проводников в плоскости

(x, y ).

(x, y )

через

Si

и

Si = Ci

(рис. 3.1.1).

Тогда математическая модель данной задачи принимает вид

rot H = -ik E, rot E = ik H, [n Ч E]| = 0;
D
i

(3.1.1)

(M , z ) R \ Di .

3


156

Гл. 3. Направляющие системы

Для задачи (3.1.1) выполнены все условия существования функций Боргниса электрического и магнитного при которых решение (3.1.1) имеет вид или типа (u, v ), T M (Hz 0) или

T E (Ez 0)

волн, а функции

u

и

v

удовлетворяют однородному

уравнению Гельмгольца, причем

Ez =

2u 2v + k 2 u, Hz = 2 + k 2 v . z2 z

(3.1.2)

Выясним могут ли в такой системе существовать ны, то есть волны, для которых одновременно

T EM

вол-

Hz

0и

Ez 0.

(3.1.3)

Будем искать решение такой задачи в виде

E(M , z ) = E(M )e u = uei
z
,

i z

,

H(M , z ) = H(M )e .

i z

, (3.1.4)

v = ve

i z

Тогда из (3.1.2) и (3.1.3) следует, что нетривиальные решения

{E, H}

существуют лишь при

2 = k

2

. Из уравнений Максвелла , (3.1.5)

(3.1.1) получим

Ex = H
а из (3.1.1) и уравнения систему

y,

Ey = -Hx

div E =
0,

0 для компонент

Ex

и

Ey

Построим

Ex Ey x - y = Ex Ey + = x y функцию W (x, y ) по dW =

M R2 \ Si .
0,

(3.1.6)

ее полному дифференциалу

W W dx + dy x y
,

,

(3.1.7)

где

W = Ex x

Легко видеть, что в силу (3.1.6) ной гармонической функцией на

W = Ey . y функция W (x, y ) плоскости (x, y )

будет регулярвне всех

Si

:

W =

0,

M R2 \ Si .

(3.1.8)


1. Открытые направляющие системы.

157

Из граничного условия (3.1.1) следует

nЧE

Ci

= Et

C

= Ex cos(, x) + Ey cos(, y )
i

=
Откуда

W

C

=
i

= 0.
Ci

(3.1.9)

W |Ci = Ai
где константы

,

(3.1.10)

Ai

определяются способом возбуждения много-

проводной линии поверхностными или локальными внешними источниками. Отметим, что если рассматривается задача для

N>

1 идеальных проводников, то задача отыскания регуляр-

ной гармонической на плоскости различные постоянные значения

(x, y )
на

функции, принимающей

контурах

Ci

,

однозначно волны для

разрешима, а тем самым существуют нетривиальные решения однородной системы уравнений Максвелла вида

T EM

многопроводной линии. Если же все значения постоянных

= A (i =

. . . , N ) одинаковы, такого в этом случае W A. То же имеет идеального проводника, когда i = 1.
1,

Ai =

решения нет, поскольку место и для одиночного

1.2. Типы волн открытого диэлектрического регулярного волновода. Математическая модель для этой задачи имеет вид

rot He = -ik0 Ee rot Ee = ik0 H
e,

,

M De

, (3.1.11)

rot Hi = -iki Ei rot Ei = iki Hi
,

,

ki = k

0

i чi

,

M Di

,

[Et ]|Si =

0,

[Ht ]|Si = 0.

Для упрощения выкладок будем рассматривать случай одно-

(i C onst, чi C onst), a. Тогда естественно воспользоваться цилиндрической системой координат (r , , z ), в которой существуют функции Боргниса: u электрического и v
родного диэлектрического волновода круглого поперечного сечения радиуса магнитного типа.


158

Гл. 3. Направляющие системы

Начнем со случая

TM

волн, в котором напряженности полей

E

и

H

выражаются формулами

E = grad div (uez ) + k 2 uez H = -ik rot (uez )
а функция ,

, (3.1.12)

u(r, , z )

является решением однородного уравнения

Гельмгольца

u + k 2 u =
где

0, или

k

2

принимает значения

k =k
2

соответственно вне и внутри цилиндра. Остановимся на случае аксиально симметричной задачи, когда

2 0

k2 = k
0и

i

2

в областях

.

u(r, z ) = u(r)e

i z

(3.1.13)

Тогда выражения для полей принимают вид

E(r, z ) = E(r)ei z , H(r, z ) = H(r)ei z
где

,

(3.1.14)



постоянная распространения поля

TM

, имеющая одина-

ковые значения как вне, так и внутри диэлектрического цилиндра. Нашей задачей является определение значений постоянной при которых существует нетривиальное поле



,

TM

(3.1.12).

Из (3.1.12) и (3.1.13) получим выражения

Er = i E =

u r

,

Hr = -

ik u = r
,

0, (3.1.15)

u i u = 0, H = k r r Ez = (k 2 - 2 )u, Hz = 0
и 1

r r

r

u

+ ж2 u(r) = ж ж
i,
0

0,

(3.1.16)

где

ж2 = k 2 - 2 =

,

r < a, r > a.

(3.1.17)


1. Открытые направляющие системы.

159

Уравнение (3.1.16) это уравнение Бесселя нулевого порядка и его решения, ограниченные в нуле и на бесконечности, соответственно равны

u(r) =

AJ0 (жi r) r a (1) B H0 (ж0 r), r E
и

,

a.

(3.1.18)

Учитывая обозначение (3.1.17), условия сопряжения касательных составляющих (3.1.11) полей виде

H

при

r=a

можно записать в

ж2 J0 (жi a)A - ж2 H (1) (ж0 a)B = 0, i 0 0 ( ki жi J0 (жi a)A - k0 ж0 H01) (ж0 a) B = 0.

(3.1.19)

У ловием существования нетривиального решения этой лис нейной алгебраической системы второго порядка является выполнение соотношения

H0 (ж0 a) J (жi a) ki ж0 0 = k0 жi (1) J0 (жi a) H0 (ж0 a)
деления постоянной распространения имеет решения лишь при значениях вию
2 2 k0 < < ki .

(1)

,

(3.1.20)

которое представляет собой дисперсионное уравнение для опре-

,

. Покажем, что (3.1.20) удовлетворяющих усло(3.1.21)

В самом деле, при

< k0

аргументы всех цилиндрических функ-

ций действительны. Функция Ханкеля действительного аргумента комплексная. Соответствующий комплексный сомножитель (3.1.20) в этом случае можно записать в виде

H0 (x)

(1)

ћH

(1)
0

(x)



= J0 (x) - iN0 (x) =
(3.1.22)

= J0 (x) + iN0 (x)

= i N0 (x)J0 (x) - J0 (x)N0 (x) + + J0 (x)J0 (x) + N0 (x)N0 (x)

Мнимая часть (3.1.22) отлична от нуля, поскольку она является определителем Вронского для двух линейно независимых


160

Гл. 3. Направляющие системы

действительных решений уравнения Бесселя. Тем самым правая часть (3.1.20) является комплексной функций но, при



с мнимой частью

отличной от нуля, а левая часть действительная. Следователь-


0

уравнение (3.1.20) решений не имеет.

Аналогично при

>k

i в силу свойств цилиндрических функ(1)
0

ций чисто мнимого аргумента

J0 (ix) = I0 (x);

H

(ix) = -iK0 (x)

легко установить, что знаки левой и правой части (3.1.20) будут различны, что означает отсутствие решений уравнения (3.1.20). Решения цендентных число уравнения уравнений. и при ) (3.1.20), удовлетворяющие что их лишь этим условию конечное значениям (3.1.21), можно найти численными методами решения трансОказывается,



n

n (n =

, 1,

... , N

> k0 соответствующие поля {E, H} во внешней

области

экспоненциально убывают как функция Макдональда при при этом

r . Тем самым основная энергия распространяющейся T M волны сосредоточена внутри диэлектрического цилиндра. Поскольку n < ki , то эти волны часто называют
медленными волнами. Мы подробно рассмотрели случай, когда компоненты поля выражаются через функцию Боргниса электрического типа. Аналогичные рассуждения можно провести и для задачи.

r>a K0 (|ж0 |r)

TE

волн, а также

и более общего случая, отказавшись от аксиальной симметрии

1.3. Дисперсионное уравнение для импедансного бесконечного цилиндра. Получим дисперсионное уравнение для постоянной распространения электромагнитных колебаний вдоль идеального бесконечного цилиндра поперечного сечения радиуса

D (- < z < ) (r, , z )

кругового

r = a,

причем откажемся от услоимеет вид

вия аксиальной симметрии задачи. Математическая модель этой задачи в цилиндрических координатах

rot H = -ik E, M R3 \D, rot E = ik H, E |r=a = 0 Hz |r=a , Ez | r=a = -0 H |r=a , [er Ч E]| = -W er Ч [er Ч H] 0 r при r .

(3.1.23) 1

r

+o

r

,


1. Открытые направляющие системы.

161

Из-за импедансных условий (3.1.23) нетривиальные решения однородной системы (3.1.23) в общем случае нельзя разделить на

TE

и

TM

волны. Поэтому будем искать решение, в котором

напряженности

E

и

H

выражаются через линейную комбинацию

электрической и магнитной функций Боргниса

E = A grad div (uez ) + k 2 (uez ) + ik B rot (v ez )
2

, (3.1.24)

H = -ik A rot (uez ) + B grad div (v ez ) + k (v ez ) .
ражается множителем координаты

Будем считать, что зависимость полей от координаты

z



eim (m = i z , множителем e

0,

вы+1, . . . , ), а зависимость от где искомая постоянная
im+i z

распространения:

u(r, , z ) = R(r)e v (r, , z ) = R(r)e
Тогда импедансные граничные (3.1.24) принимают вид

,

im+i z

(3.1.25)

.
(3.1.23) с учетом

условия

-

m (1 Hm ) (жa)A- a - ik d H dr
(1) m

(k r)
r=a
0

(1 + 0 ж2 Hm ) (k a) B =

0, (3.1.26)

ж2 H

(1) m

(жa) + ik

d H dr

(1) m

(k r)
r=a

A-
(1) m

-
где

m H a0

(жa)B =

0,

ж2 = k 2 -

2

,



искомая постоянная распространения.

У ловие равенства нулю определителя системы (3.1.26) и с является дисперсионным уравнением для определения значений



, для которых существуют бегущие вдоль импедансного ци-

линдра волны вида (3.1.24). Отметим, что в общем случае не удается построить явные аналитические выражения его решения и приходится прибегать к численным методам решения трансцендантных уравнений. В заключении заметим, что при волн.
6 А. Г. Свешников, И. Е. Могилевский

m=

0 система (3.1.26) рас-

падается на отдельные дисперсионные уравнения для

TE

и

TM


162

Гл. 3. Направляющие системы

2. Волноведущие системы.
Направленная передача энергии электромагнитных колебаний, осуществляемая открытыми системами, связана с большими потерями из-за рассеяния энергии во внешнем неограниченном пространстве. Более эффективным для этих целей являются закрытые волноведущие системы, в первую очередь волноводы бесконечные цилиндрические трубы ограниченного поперечного сечения, для которых потери энергии через боковую поверхность минимальны. Такие устройства находят все более широкое применение в различных областях физики и техники. Первые работы по теории и практическому использованию акустических колебаний в трубах принадлежат известному английскому физику Д.У. Рэлею, затем проблемами распространения электромагнитных колебаний в радиоволноводах занимались многие известные физики и математики. Строгие математические модели регулярных радиоволноводов впервые предложены и детально изучены в 40-х годах прошлого столетия в работах А.Н.Тихонова и А.А.Самарского. В настоящее время построение и исследование математических моделей является весьма актуальной областью математической физики, а практика их применения охватывает широкий круг задач радиофизики, акустики, нелинейной оптики и многих других областей современной физики. Изучение этих проблем начнем с основ математической теории регулярных волноводов.

2.1. Типы волн регулярного волновода. Регулярным волноводом называется бесконечный прямолинейный цилиндр постоянного поперечного сечения ковой поверхностью

D

S

с идеально проводящей бо-



и однородным заполнением.

Изучим вопрос о типах электромагнитных колебаний, которые могут распространяться в таком цилиндре. Очевидно, для этого надо определить возможные типы нетривиальных решений однородной системы уравнений Максвелла, удовлетворяющих условию равенства нулю касательной составлящей вектора электрической напряженности

E на : rot H = -ik E, (M , z ) D, rot E = ik H, [n Ч E]| = 0, M S , - < z < . u(M , z ),

(3.2.1)

Для задачи (3.2.1) выполнены все условия существования функций Боргниса как электрического так и магнитного


2. Волноведущие системы.

163

типа

v (M , z ),

удовлетворяющих в

D

однородному уравнению

Гельмгольца и граничному условию, вытекающему из требования обращения в нуль касательной к Для поля функцию

TM u(M , z ),

типа

(Hz 0)

вектора

E. E
через

выражение вектора

E = grad div(uez ) + k 2 (uez ),
дает

(3.2.2)

E | =

2u z

+ k 2 (uez )




,

(3.2.3)

что будет выполнено, если потребовать, чтобы

u| = 0.
Аналогично для поля

(3.2.4)

TE

типа (3.2.5)

E = ik rot(v ez )
получим

E | = -
Отсюда следует, что условие если

v ћ n

.


(3.2.6) 0 будет выполнено,

[n Ч E] | = = 0.


v n

(3.2.7)

Поскольку на основании теоремы, доказанной в 3 главы I, любое решение однородной системы уравнений Максвелла для данной геометрии области суперпозиции

D

может быть представлено в виде что

TM

и

TE

полей, мы можем утверждать,

любое поле внутри регулярного волновода в области, свободной от зарядов и токов, выражается в виде суперпозиции полей функций Боргниса

u(M , z )

электрического и

v (M , z )

магнитного

типов, удовлетворяющих внутри волновода однородным уравнениям Гельмгольца и граничным условиям

u| =
Замечание 3.2.1
ния ( 3.2.1) типа Легко

0

и

v n

= 0.

что при этом

(3.2.8)

показать, полей

реше-

T EM

равны нулю, если сечение
6*

S

(Hz

0,

Ez 0)

тождественно

волновода односвязно.


164

Гл. 3. Направляющие системы

Действительно, при условии уравнения Максвелла получим

Hz

0 из соответствующего

Ey Ex - = x y
а из уравнения

0,

(M , z ) D

,

(3.2.9)

div E

0, следует

Ex Ey + = x y

0,

(M , z ) D.

(3.2.10)

Отсюда вытекает, что функция ный дифференциал которой

W (x, y ) (x, y ) S

, пол-

dW =

W W dx + dy = Ex dx + Ey dy x y Ex
и

(3.2.11)

выражается через функции собой решение задачи

Ey

, должна представлять

W =

0,

M (x, y ) = S

, (3.2.12)

W |C = C onst = A; C = S.
Но, если область

S

односвязна,

то

задача

( 3.2.12)

имеет единственное решение чим при

W A = C onst,

откуда полу-

- < z <
0,

Ex

Ey

0

= E(x, y , z ) S

0

= H(x, y , z ) 0.

Замечание 3.2.2

Если сечение

является многосвязным (на-

пример, коаксиальный волновод с внутренним идеально проводящим цилиндром, рис. 3.2.1), то в такой системе могут существовать и

T EM

волны.

z
Рис. 3.2.1. Коаксиальный волновод.


2. Волноведущие системы.

165

2.2. Строение нормальных волн регулярного волновода.
Получим явные аналитические выражения для ле

TM

и

TE

волн

регулярного волновода. Как было только что установлено, по-

TM

типа внутри регулярного волновода выражается через

электрическую функцию Боргниса условиям

u(z , y , z ),
,

удовлетворяющую

u + k 2 u = u| = 0.

0,

(M ; z ) D

(3.2.13)

Как известно, собственные функции

n (M )

спектральной задачи

Дирихле для оператора Лапласа в области

S

n + n n = n |C = (n =
0, 1, 2,

0,

M S
0,

, (3.2.14)

. . .) , n >

n ,

при

n ,
1, 2

соответствующие собственным значениям зуют ортогональный базис

n , (n =

. . .),

обра-

n (M ) (M )d = n
S
Тем самым функцию для любого

nn

.

(3.2.15)

u(x, y , z ),

удовлетворяющую (3.2.13), можно

z

искать в виде





u(x, y , z ) =
n=1
где коэффициенты

Zn (z )n (M ) =
n=1

un (x, y , z ),

(3.2.16)

Zn ( z )

в силу (3.2.13) и (3.2.14) являются

решениями уравнения

Zn + (k 2 - n )Zn =
Введем обозначение

0,

- < z < .

(3.2.17)

2 n = k 2 -

n

n.

(3.2.18)

Тогда решение уравнения (3.2.17) можно записать в виде

Zn (z ) = a+ e n

in z

+ a- e n

-in z

,

(3.2.19)


166

Гл. 3. Направляющие системы

где

a

+и n

a

- произвольные постоянные. При этом получим n in z

частные решения (3.2.13) в виде

un (x, y , z ) = a+ e n
Учитывая, что

+ a- e n

-in z

n (x, y ). e-
i t

(3.2.20)

un (x, y , z )

является комплексной амплитудой уста-

новившихся колебаний (временная зависимость

)
(3.2.21)

Un (x, y , z , t) = un (x, y , z )e
можно заключить, что

-i t

,

un (x, y , z )

представляют

собой

ком-

плексные амплитуды установившихся волн, распространяющихся вдоль волновода слева направо

e

i(n z + t) .

ei

(n z - t) и справа налево

Обычно функции
волнами, или

TM

un (x, y , z )

называются нормальными

TM

волноводными модами регулярного волново-

да. Аналогичным образом для нормальных волновода получим выражения

TE

волн регулярного

vn (x, y , z ) = a+ ein z + a- e-in z n (x, y ), n n
где

(3.2.22)

n (x, y )

собственные функции спектральной задачи Ней-

мана:

n + n n = 0, M S , n = n = 0, n C n 0, n , при n ,
а
2 n = k 2 - n .

0, 1,

...

,

(3.2.23)

(3.2.24)

Заметим, что в силу (3.2.18) и (3.2.24) при заданном значении

k

2

существует лишь конечное число
2 n 2 n

N

и

N

значений

при которых при которых

и и

2 n 2 n

положительны и бесконечное число

n , n ,

n, n,

отрицательны. Соответственно, сами зна-

чения постоянных распространения



n

(n

будут действительными, а для последующих

n n N номеров n N + 1,
и

N)

n

N+

1 чисто мнимыми.

Это означает, что среди

TM

и

TE

нормальных волн регу-

лярного волновода лишь конечное число является бегущими с


2. Волноведущие системы.

167

постоянной амплитудой волнами, а амплитуды остальных волноводных мод экспоненциально убывают и возрастают при или

z

z -.

Соответствующие решения (3.2.20) и (3.2.22) часто

называют ?нераспространяющимися? волнами. Заметим, что энергию вдоль волновода переносят лишь бегущие волны. Действительно, из выражения интеграла Умова Пойнтинга для потока энергии, переносимой нормальной волной через поперечное сечение волновода

S

имеем

Wn = Im
S

un u d = Im in |an |2 n d = n z n S 2 n |an |2 , n > 0, = 2 n 0. 0,





(3.2.25)

При этом фазовая скорость бегущей волны

vф =
а групповая скорость

k = c=c n n

k k 2 - n

>c

,

(3.2.26)

v
где

гр

=

2 d dk d n + =c =c dn dn d

n

=c


2 n + n

< c,

(3.2.27)

c

скорость света в вакууме. Так как скорость переноса

энергии сигнала определяется групповой скоростью, то выражения (3.2.26) и (3.2.27) находятся в полном соответствии с общими принципами теории относительности.

2.3. Векторный базис регулярного волновода.

В 4 гла-

вы 2 показано, что, используя базисность сферических функций, на сфере можно построить векторные ортогональные базисы для полей электрического и магнитного типа. Аналогично, используя базисность собственных функций спектральных задач для оператора Лапласа в плоской области регулярного волновода

S

поперечного сечения

n + n n =
2

0,

M S ...

, (3.2.28)

n |C =

0,

n=

1, 2,


168

Гл. 3. Направляющие системы

и

n + n n =
2

0,

n n
торов

=
C

0,

n=

0, 1,

...

(3.2.29) ,

можно построить векторные базисы в

S
:

для представления век-

F(x, y ), en =

лежащих в плоскости

S



k,

n = 2k + m ]
0 ,

1,

k=

0, 1,

...

,

[ez Ч

n = 2m, m =

1, 2,

...

,

(3.2.30)

[n Ч en ]|C =
и

hn =

- [ez Ч

k ]

, ,

n = 2k +

1, (3.2.31)

m , n = 2m

(n ћ hn )|C = 0.
Причем базисные вектора обладают следующими свойствами:

(en ћ en ) d = (hn ћ hn ) d = n
S S

,n

,

(3.2.32)

[ez Ч en ] hn d =
S

n,n ,

(3.2.33)

(rot en )z = (rot hn )z =

0,

n = 2k + 1, k = 0, 1, . . . , -n n , n = 2m, m = 1, 2, . . .

, ,

(3.2.34)

0,

n k , n = 2k + 1, k = 0, 1, . . . n = 2m, m = 1, 2, . . . .

(3.2.35)

Отметим, что поперечные составляющие нормальных волн регулярного волновода имеют вид

(En ) = A+ en e+ n
+ (Hn ) = Bn hn e
где

in z

, , (3.2.36)

+in z

страняющихся слева направо (знак ?+?) и справа налево (знак

A+ n

и

+ Bn

амплитуды нормальных

TE

и

TM

волн, распро-


2. Волноведущие системы.

169

?-?) соответственно. При этом последовательности нормальных волн перенумерованы одним индексом четным значениям волны.

TE n,

и

TM TE

причем

n

соответствуют

TM

, а нечетным

2.4. Возбуждение регулярных волноводов.

Изучив свой-

ства нормальных волн, распространяющихся в регулярном волноводе, перейдем теперь к вопросу об их возбуждении. Возможны различные способы постановки этой задачи. Простейший случай представляет собой возбуждение нормальной волной, приходящей из бесконечности. В случае отсутствия каких-либо геометрических или материальных неоднородностей характеристик на всем протяжении регулярного волновода данная нормальная волна будет распространяться по волноводу, не взаимодействуя с другими нормальными волнами, что обеспечивается полнотой и ортогональностью векторного базиса, рассмотренного в предыдущем пункте. Другая ситуация возникает при возбуждении волновода локальными токами. Пусть электромагнитные колебания возбуждаются в регулярном волноводе заданным током лишь в ограниченной подобласти становка этой задачи имеет вид

j(M , z ), отличным от нуля D0 D, расположенной внутри

рассматриваемого регулярного волновода. Математическая по-



rot H = -ik E + j(M , z ), M S rot E = ik H, [n Ч E]| =
z -
0,

;

- < z < ,

Supp j D0 D э Rn eэ e- n
n

,

E H E H
Здесь

in z

=

, (3.2.37)

R

м -in z , n hn e м
n

=
z + n

э Rn eэ ei n Rn hn e
м

z

,

м in z

. S
его поперечное



боковая поверхность волновода,

сечение,

z

координата вдоль оси волновода и

D0

ограравен

ниченная подобласть внутри волновода, в которой координата

z

принадлежит отрезку

[z1 , z2 ],

вне которой ток

j(M , z )

нулю. Последнее условие означает, что решение задачи при

z

+
волны.

содержит только уходящие на бесконечность нормальные


170

Гл. 3. Направляющие системы

Разложим вектор ставляющие:

j(M , z )

на продольную и поперечную со-

j(M , z ) = jz (M , z )ez + j (M , z ).
Рассмотрим по отдельности два случая 1.

(3.2.38)

jz (M , z ) 2. jz (M , z )

0, 0;

j (M , z ) j (M , z )

0и 0,

(3.2.39)

то есть возбуждение либо продольным, либо поперечным током. Очевидно, возбуждаемое поле в первом случае будет описываться функцией Боргниса электрического типа, удовлетворяющей уравнению

uэ + k 2 uэ = -jz (M , z ), u| = 0.

(3.2.40)

Для единственности решения следует добавить условия отсутствия источников на бесконечности, форма которых будет выписана ниже. Решение задачи (3.2.40) можно искать в виде

u(M , z ) =
n
где

Zn (z )n (M ),

(3.2.41)

n (M )

собственные функции спектральной задачи

n + n n =
2

0,

M S
(3.2.42)

n |C =
а

0,

Zn (z )

подлежащие определению коэффициенты разложения

функции

u(M , z )

по ортогональному базису

(3.2.40) функции

Zn (z )

{n (M )} n=

1

. В силу

удовлетворяют уравнению

( Zn - p2 Z = -jzn n
где

)

,

(3.2.43)

p2 = n - k n

2

,а

( jzn) (z ) = jz (M , z )n (M )d S

,

(3.2.44)


2. Волноведущие системы.

171

и парциальным условиям излучения на бесконечности

Zn (z ) - pn Zn Zn (z ) + pn Zn

zz zz

=
1

0, (3.2.45) 0,

=
2

что является математическим выражением физического требования отсутствия нормальных волн, приходящих из Как известно из курса обыкновенных

-

или

+

.

дифференциальных

уравнений, решение краевой задачи (3.2.43)-(3.2.45) имеет вид

z

2

Zn (z ) =

1 2pn

e
z
1

-pn |z - | (n) jz

( )d

(3.2.46)

Из представлений (3.2.41), (3.2.44) и (3.2.46) окончательно получим

u(M , z ) =
D
где
0

g (M , M , z - )fz (M , )dV

,

(3.2.47)

g (M , M , z - ) =
n

1 2pn

e

-pn |z - |

n (M )n (M )

(3.2.48)

так называемая функция Грина регулярного волновода. В работе [35] показано, что функцию (3.2.48) можно представить в виде

g (M , M , z - ) = V (M , M , z - )+ +O
где при 1

R (M , z ; M , )

,

(3.2.49)

V (M , M , z - ) регулярная в D функция, а второе слагаемое R 0 ведет себя так же, как фундаментальное решение
При

уравнения Гельмгольца.

Замечание 3.2.3

|z - |

pn >

0 и достаточно больших значениях
экспоненциально убывают, что

члены

ряда

( 3.2.48)

обеспечивает его хорошую сходимость.


172

Гл. 3. Направляющие системы

Замечание 3.2.4

Если какое-либо значение

p

n

0

окажется рав-

ным нулю, что имеет место при совпадении параметра

k

,

определяемого частотой установившихся колебаний, с собственным значением



n0

спектральной

задачи

( 3.2.42),

то

имеет место так называемый поперечный резонанс, при котором не происходит установления периодических колебаний данной частоты, а амплитуда колебаний может неограниченно возрастать при

t .

Перейдем к рассмотрению второго случая возбуждения регулярного волновода поперечным током. Математическая постановка этой задачи имеет вид



rot H = -ik0 E + j rot E = ik0 H [n Ч E]| =
z -
, 0,

,

supp j D0 D

,

E H E H

=
n

э Rn eэ e n
м

-in z

, , (3.2.50)

Rn hn e э Rn eэ e n

м -in z

in z

=
z + n

,

м Rn hм e n

in z

.

Решение этой задачи для заданного вектора j (M ) поперечного тока не удается выразить через одну скалярную функцию, поэтому приходится решать векторную задачу (3.2.49), воспользовавшись введенным ранее векторным базисом (3.2.30), (3.2.31). В силу установленных свойств этого базиса для поперечных компонент векторов электромагнитного поля (3.2.50) имеют место разложения

E =
n

An (z )en (M ), (M , z ) D Bn (z )hn (M )
n
, , (3.2.51)

H =

где

векторов

An (z ) и Bn (z ) неизвестные коэффициенты {E , H } по базису (3.2.30), (3.2.31). Для

разложения их определе-


2. Волноведущие системы.

173

ния воспользуемся уравнениями Максвелла (3.2.50), из которых следует, что

Ez = -

1

ik

0

(rot H )z = -
1

1

ik

0

Bn (z ) (rot hn )z =
n
1, (3.2.52)

=-
1

ik

э Bn (z )k k (M ), n = 2k -

0

n

Hz =

ik

AM (z )m m (M ), n
n

n = 2m.

(3.2.53)

0

Также из уравнений (3.2.50) получим:

(rot H) = rot H + rot (Hz ez ) = ez Ч =
n
и, аналогично,



=
(3.2.54)

H +[ z

2

Hz Ч ez ] = i k n AM (z )eM (M ) n n
n

э Bn (z ) [ez Ч hn ] -

(rot E) =
n

AM (z ) [ez Ч en ] - n - i k
э n Bn (z )hэ (M ). n (3.2.55)

n

Так как в силу (3.2.50)

(rot H + ik0 E - j ) eэ d = m
S
и, как получено ранее,

0,

z

,

m=

1, 2,

...

(3.2.56)

[ez Ч hn ] eэ d = n
S

-
0

n,m

для

M для hn ,

hэ n

, (3.2.57)

то из (3.2.56) и (3.2.57) окончательно получим э э - Bm (z ) + ik0 Aэ (z ) = jm (z ), m (3.2.58)


174

Гл. 3. Направляющие системы

где э jm =

jt ћ eэ d. m
S

(3.2.59)

Аналогично из уравнения

{rot E - ik H} ћ hэ d = m
S
следует

0

(3.2.60)

Aэ (z ) + m

i э э m Bm (z ) - ik0 Bm (z ) = 0. k0 Aэ (z ) m
и э Bm (z )

(3.2.61)

Итак, для коэффициентов

получена система

(3.2.58), (3.2.61) двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которая может быть сведена к одному уравнению второго порядка

Aэ (z ) m
где

2 + m Aэ (z ) = - m

i2э j (z ), k0 m m

- < z < Aэ (z ) m

,

(3.2.62)



m

2

2 = k0 - m

,а

э Bm (z )

выражается через

формулой

э Bm (z ) = i

k0 Aэ (z ) . m 2 m z +.

(3.2.63)

Для однозначного определения решения (3.2.62) необходимо добавить парциальные условия излучения при Записав условия ортогональности поперечных уравнений м м Максвелла базисным векторам em и hm , получим аналогичное м (3.2.62) уравнение для функции Am (z )

Aм (z ) m

2 м + m Aм (z ) = -ik0 jm (z ), m



m

2

2 = k0 - m

(3.2.64)

и выражение м Bm (z ) = -

i Aм (z ) . m k0

(3.2.65)

К уравнению (3.2.64) также надо добавить парциальные условия излучения при

z +.


2. Волноведущие системы.

175

Замечание 3.2.5
шиеся колебания.

При

m =
0

0и

m =
0

0 получаем эффект

поперечного резонанса, при котором невозможны установив-

Итак, решение задачи возбуждения электромагнитных колебаний в регулярном волноводе заданным локальным током выражается явной формулой (3.2.47), а в случае поперечного тока мы свели задачу к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.

2.5. Возбуждение

нерегулярных

волноводов.

Перейдем

теперь к более сложной задаче возбуждения нерегулярных волноводов. Понятие регулярного волновода является идеализированной простейшей направляющей системой. В реальной физической и технической практике приходится иметь дело с более сложными моделями нерегулярных волноводов причем с самыми различными типами нерегулярности. Это может быть и неоднородность заполнения, и отличие боковой поверхности волновода от идеального цилиндра, и стык полубесконечных волноводов различного и даже переменного сечения, и отклонение продольной оси волновода от прямой, что имеет место в случае изгиба волноводов, и многие другие, порой весьма экзотические варианты. И во всех этих случаях надо построить математическую модель рассматриваемого устройства и предложить эффективный алгоритм исследования возбуждения и распространения в нем скалярных или векторных колебаний. Начнем со скалярной задачи возбуждения прямолинейного волновода с локальным неоднородным заполнением. Математическая модель этой задачи имеет вид:

u + k 2 (M , z )u = -f (M , z ), M S u| = 0, suppf D0 D.
i

;

z (-, ),

(3.2.66)

Для единственности решения необходимо добавить парциальные условия излучения и задать нормальную волну

= A0 e

un (M , z ) = 2 n (M ), приходящую из - n = k0 - n . Здесь 2 k0 , z > z2 , k 2 (M , z ) C (2) (D1 ); D1 D, k 2 (M , z ) = 2 (3.2.67) k0 , z < z1 ,
n0 z
0 0 0 0

2 k0 >

0,

Im k 2 (M , z ) = -q (M , z ); q (M , z )

q0 >

0,

где

z

1

и

область

z2 сечения, перпендикулярные оси, ограничивающие D1 D (см. рис. 3.2.2). Сначала рассмотрим случай,


176

Гл. 3. Направляющие системы

k

0

k (M , z)

k z
2

z
0

z1
когда

Рис. 3.2.2. Прямолинейный волновод с локально неоднородным заполнением.

ной волной

f (M , z ) 0 и возбуждение осуществляется лишь нормальu0 (M , z ). Тогда условия на бесконечности можно = A0 ei =
n
собственные функции спектральной задачи Диn0

записать в виде

u|z u|z
Здесь

z z

z

1

n (M ) +
0

Rn e-
n

in z

n (M ),
(3.2.68)

2

Tn e

in z

n (M ).

n (M )

рихле для оператора Лапласа

n + n n (M ) = n |C = S = 0,
2

0,

M S

,

а

R

z

nи

z1

и

Tn z

искомые амплитуды нормальных волн в областях

z

2

.

Разрешимость задачи (3.2.66)-(3.2.68) доказывается путем сведения ее к интегральному уравнению Фредгольма второго рода со слабополярным ядром, аналогичному уравнению Липмана Швингера для скалярной задачи дифракции на прозрачном теле. Для доказательства единственности получим энергетическое тождество, которому удовлетворяет решение задачи (3.2.66)(3.2.68). Для этого запишем очевидное соотношение

0

=
D

u + k 2 (M , z )u u dV = u u d - n
D
часть (3.2.69) и

=
+S1 +S2
Взяв

| u|2 dV +
D

k 2 (M , z )|u|2 dV .

(3.2.69)

мнимую

учитывая

граничные

условия

(3.2.66), (3.2.68), и тот факт, что продольные постоянные нормальных волн действительны лишь для конечного



N

n

числа


2. Волноведущие системы.

177

индексов получим

n,

а начиная с

n

N+

1 являются чисто мнимыми,

N

N

n |Rn |2 +
n=
1

n |Tn |2 +
n=
1

q (M , z )|u|2 dV = n |A0 |2 .
0

(3.2.70)

D

1

Аналогично, для действительной части (3.2.69) имеет место соотношение



p
n= N +
1

n

e

2pn

z

1

|Rn |2 + e e
2

-2pn z

2

|Tn |2 +
D1

| u|2 dV =
(3.2.71)

= 2n Im A0
0

Rn

in0 z

1

0

+
D1

q (M , z )|u|2 dV .

Из (3.2.70) и (3.2.71) обычным образом заключаем, что решение нашей задачи

u(M , z ) W2 (D)
принадлежит функциональному пространству

(1)

(3.2.72)

Для построения приближенного решения нашей задачи естественно воспользоваться рассмотренным ранее неполным методом Галеркина. Ищем квазирешение задачи (3.2.66)-(3.2.68) при в виде конечной линейной комбинации

W2 (D).

(1)

f (M , z )

0

N

uN (M , z ) =
n=1

Z

(N ) n

(z )n (M ). Zn (z )
(N )

(3.2.73)

Для определения пока неизвестных функций выполнения соотношений

потребуем

uN + k 2 (M , z )uN (M )dM = m
S (z )

0, (3.2.74)

m=
где динате

1, 2,

... , N

,

S (z ) z

поперечное сечение волновода при продольной коор.

Из соотношений (3.2.73), (3.2.74) на основании свойства ортогональности базисных функций

m (M )

при любом фиксированном


178

Гл. 3. Направляющие системы

z

, получим систему обыкновенных дифференциальных уравне-

ний

N (N Zm )

(z ) -

(N m Zm )

+
n=
1

k

mn

(z )Z

(N ) n

=

0,

(3.2.75)

где

k

mn

(z ) =
S (z )
(3.2.75)

k 2 (M , z ) (M )n (M )dM . m
выполняются при всех

(3.2.76)

Уравнения

значениях

z (-, ), но мы будем рассматривать их лишь на отрезке z [z1 , z2 ], где значения функции k 2 (M , z ), вообще говоря, не 2 совпадают с константой k0 . В граничных точках z = z1 и z = z2 (N ) функции Zm (z ) подчиним граничным условиям, вытекающим
из условий возбуждения и излучения (3.2.68):

(N Zm

) z =z1

(N + im Zm ) (z1 ) = 2in A0 ei
0

n0

z

1



n0 m ,

(3.2.77)

(N Zm

) z =z2

(N - im Zm ) (z2 ) =

0,

m=

1, 2,

. . . , N.

(3.2.78)

Итак, мы свели задачу построения квазирешения исходной задачи к краевой задаче (3.2.75) для системы обыкновенных дифференциальных уравнений на ограниченном отрезке

z [z1 , z2 ]

с неоднородными граничными условиями третьего рода. Для доказательства однозначной разрешимости этой задачи достаточно показать, что соответствующая однородная краевая задача имеет только тривиальное решение. Умножая уравнения (3.2.75), (3.2.77), (3.2.78) на сечениями

m (M ), S (z2 ),

суммируя по

m

от 1 до

N

и ин-

тегрируя полученные выражения по области

S (z1 )

D1

, ограниченной

и

можно убедиться, что квазирешение

удовлетворяет тем же энергетическим соотношениям (3.2.70), (3.2.71), что и точное решение исходной задачи

N1 ( m RnN ) n=1

2

N1

+
n=1

( n TnN

)

2

+
(3.2.79)
0

+
D1

q (M , z ) |uN |2 dV = n |A0 |2


2. Волноведущие системы.

179

и



p
n=N1 +1

n

e

2pn

z

1

( RnN

)

2

+e

-2pn z

2

( TnN

)

2

+
(3.2.80)

+
( = 2n Im A0 RnN
0 0

| uN |2 dV =
D
1

)



e2

in0 z

1

+
D1

q (M , z ) |uN |2 dV .

(N ) а Rn и

Здесь

N1

( TnN ) амплитудные коэффициенты нормальных волн

наибольшее значение индекса

n

, при котором



n

2

0,

квазирешения

uN (M , z ),

уходящие от сечений

полубесконечных отрезках волновода

+).

S (z1 ) и S (z2 ) в z (-, z1 ] и z [z2 , + A0 =
0

Из соотношения (3.2.79) следует, что при имеет только тривиальное решение. Сходимость при тической норме

u0 (M , z ) N

0, следовательно, краевая задача (3.2.75), (3.2.77), (3.2.78)

чи доказывается совершенно аналогично сходимости неполного метода Галеркина для задачи дифракции на ограниченном теле в локально неоднородной среде. Отметим, что наиболее существенным в наших построениях есть результат равномерной по

W2

(1)

N квазирешения uN (M , z ) в энерге(D1 ) к истинному решению исходной зада-

N

ограниченности семейства квазирешений

{uN (M , z )}N=1 n

в со-

ответствующих энергетических нормах. Это явилось следствием выбора проекционных соотношений, сводящих исходную задачу к конечной системе краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений неполного метода Галеркина.

Замечания и обобщения. Замечание 3.2.6 Мы рассмотрели
Дирихле

случай граничного условия

u| = 0.
Все наши построения останутся в силе и для условия на боковой поверхности



типа условия Неймана

u n

=


0


180

Гл. 3. Направляющие системы

с заменой собственных функций ные функции щие условию

n (M ), M S n n

n (M ), M S

на собствен-

задачи Неймана, удовлетворяю-

=
C

0,

C = S S
рассматри-

на граничном контуре ваемого волновода.

C

поверхности сечения

Проведенные рассмотрения легко обобщаются на случай третьей краевой задачи

u + (P )u n
ется

=


0,

Im (P ) = -(P ), (P )

0 >

0, (3.2.81)

если учесть, что ключевым моментом доказательств являполучение энергетических тождеств ( 3.2.70), ( 3.2.71) как следствие соотношения ( 3.2.69). Действительно, в этом случае в правой части ( 3.2.69) первое слагаемое принимает вид

u u d = - (P )|u|2 d n


,

(3.2.82)

что при условии ( 3.2.81) оставляет в силе все последующие рассуждения. При этом коэффициенты

Zn (z )

квазирешения

N

uN (M , z ) =
n=
1

Zn (z )n (M )

(3.2.83)

надо определять из соотношений

uN + k 2 uN m (M )dM = S (z ) (P )uN m (P )dlP C (z )
Тогда вием как решение так исходной и задачи с граничным будут услоудо-

(3.2.84) ,

=-

C (z ) = S (z ).

( 3.2.81),

квазирешение

( 3.2.83)

влетворять

одинаковым

энергетическим

соотношениям

типа ( 3.2.70), ( 3.2.71), что и обеспечит сходимость неполного метода Галеркина и в данном случае.


2. Волноведущие системы.

181

Замечание 3.2.7

Легко освободиться от условия

f (M , z )

0,

Suppf (M , z ) D0 D. Zn (z )
квазирешения следу-

В этом случае для коэффициентов

ет записать проекционные соотношения в виде

uN + k 2 uN + f (M , z ) (M )dM = m
S (z )

0, (3.2.85)

m=

1, 2,

... , N

,

что приводит к неоднородной системе обыкновенных дифференциальных уравнений типа ( 3.2.75), и повторить проведенные выше рассуждения.

Электромагнитный случай. Рассмотрим задачу о возбуждении электромагнитных колебаний в радиоволноводе с локально неоднородным заполнением. Математическая постановка задачи состоит в решении системы уравнений Максвелла для комплексных амплитуд векторов напряженности магнитного поля

E

и

H

электрического и

rotH = -ik0 (M )E + j, Supp j D0 D rotE = ik0 ч(M )H,
где

,

(3.2.86)

(M )

и

ч(M )

эрмитовы тензоры диэлектрической и маг-

нитной проницаемости с переменными в области ментами, причем диагональные элементы тензоров имеют положительную мнимую часть

D1 D эле(M ) и ч(M )
(3.2.87)

Imii (M )
Вне области

0 > I

0;

Imчii (M )
и

ч0 > 0.

D1

тензоры

(M )

ч(M )

непрерывно переходят в

единичный тензор

(M ) = I

,

ч(M ) = I

вне

D1 .

(3.2.88)

Решение системы (3.2.86) будем искать при следующем граничном условии на поверхности волновода


0

E | = [n Ч E]| =

и условии отсутствия источников на бесконечности.


182

Гл. 3. Направляющие системы

Повторяя рассуждения, проведенные в скалярном случае, и используя лемму Лоренца, можно показать, что решение задачи (3.2.86)-(3.2.88) удовлетворяет энергетическому соотношению вида
3

Im
i=1 D 0

ii

Ei -

ji 2Imii

2

+ Imчii |Hi |2
3

dV +
(3.2.89)

+
n
где

|Rn |2 + |Tn |2 =
i=
1

|ji |2 4Imii

,

Rn

и

Tn

амплитудные коэффициенты нормальных волн,

уходящих при

z +.

Если искать квазирешение

E(N ) , H(

N)

задачи (3.2.86)-(3.2.88), используя введенные выше векторные базисы

{en }

n=1 ,

{hn } 1 n=

, то можно показать, что это квазире-

шение удовлетворяет энергетическому соотношению, аналогичному (3.2.89), откуда следует равномерная по

N

ограниченность

квазирешения и сходимость неполного метода Галеркина и для данного случая. Аналогично можно рассмотреть случай возбуждения радиоволновода с локально неоднородным анизотропным заполнением заданной нормальной волной, приходящей из бесконечности, а также в случае импедансных граничных условий на боковой поверхности



волновода.

Возбуждение радиоволновода с локально нерегулярной боковой поверхностью. До сих пор мы ограничивались случаем,
когда боковая поверхность го поперечного сечения



рассматриваемого волновода пред-

ставляла собой регулярный прямолинейный цилиндр постоянно-

S

. Однако на практике широкое примене-

ние находят и волноводы с нерегулярной боковой поверхностью



, причем эти нерегулярности могут быть самых различных

типов (изменение поперечного сечения

S (z )

вдоль оси волновода,

включая и скачкообразные изменения; искривления оси волновода, приводящие к потере его прямолинейности и так далее). Возникает вопрос о возможности единообразного описания достаточно широкого класса таких нерегулярных волноводов. Для этого рассмотрим следующую конструкцию. Пусть в неограниченном пространстве задана бесконечная гладкая кривая

L,

на которой выбран параметр длины

некоторой фиксированной точки кривой гранник Френе

(n

главная нормаль,

L, b

, отсчитываемый от и определены трех бинормаль,

касательная) и гладкие функции переменной



: кривизна

ж( )



и


2. Волноведущие системы.

183

кручение и

( )

. (Как известно [15], в этом случае кривая

L

опре-

деляется однозначно). В каждой точке

n S0 ( ), нормальную к кривой L в данной точке. В плоскости S0 ( ) возьмем замкнутый гладкий контур C ( ), содержащий точку O( ) внутри и ограничивающий замкнутую подобласть S ( ) S0 ( ). Очевидно, что при изменении переменной вдоль кривой L контур C ( ) будет создавать гладкую боковую поверхность ( ) волновода D с изменяющимся поперечным сечением S ( ), нормальным к направляющей кривой L. При достаточно произвольных L и S ( ) данная конструкция
кривой векторы

O( )

L

b

определяют плоскость

задает достаточно широкий класс нерегулярных криволинейных волноводов

D

с переменным сечением

S ( )

(рис. 3.2.3).

S (V ) x 2 O x1

L

S (V ) = C (V )
Рис. 3.2.3. Нерегулярный волновод.

В области

D

внутри построенного волновода введем кри-

волинейную систему координат

x1 , x2 , x3

. Для этого в каж-

дой точке поперечного сечения волновода координат

S ( )

введем систему

x ,x

1

2

, связанную с системой полярных координат

(, )

с началом в точке

O( ).

Пусть в этой полярной системе

координат контур

C ( )

описывается уравнением

= r0 (, ).
Тогда система координат

(3.2.90)

x1 =

= r, r0 (, ) x2 = , x3 = , (x1 , x2 , x3 ) = (r, , ) при 0 1, 0

(3.2.91)

2 ,

- < < D
с границей

полностью описывает рассматриваемую область

.


184

Гл. 3. Направляющие системы

Заметим, что преобразование ортогональных декартовых координат

(x, y , z )

в введенную криволинейную систему координат

(r, , ) (x, y , z ) (r, , )
осуществляет отображение области вой цилиндр

D

на прямолинейный круго-

G

единичного поперечного сечения. Отметим, что

в общем случае построенная система координат

(, , )

неорто-

гональная и криволинейная. Поэтому уравнения Максвелла

rot H = -ik0 E + j, rot E = ik0 H,
даже в случае однородного заполнения волновода антных компонент вектор

D

для ковари-

E

и

H

так же, как и в случае задачи

дифракции электромагнитного поля на произвольном локальном теле в однородной среде, запишутся в виде

rot H = -ik0 g g E + g j rot E = ik0 g g H,
где

(3.2.92)

rot, записанный в ортогональных цилиндри (r, , ), g метрический тензор данного преобразования, g объем параллелепипеда, построенного на 1 2 3 координатных векторах a , a , a новой системы координат. Заметим, что граничное условие [n Ч E]| = 0 исходной за оператор ческих координатах дачи перейдет в условие

rot

a1 Ч E E

r=1

=

0,

(3.2.93)

тем самым сохраняя условие равенства нулю касательной составляющей вектора на границе волновода. Итак, с помощью отображения исходного волновода гулярной боковой поверхностью

D

с нере-



на прямолинейной цилиндр

G

постоянного поперечного сечения мы свели задачу (3.2.86)-

(3.2.88) к задаче (3.1.17) возбуждения прямолинейного волновода

G

с неоднородным анизотропным заполнением, только что

рассмотренную в п. 2.5.2. Полученные результаты находят широкое применение в практической радиотехнике. Так, хорошо известен эффект взаимного преобразования волны

H

01

в волну

E11

радиоволновода круглого

поперечного сечения при его плоском круговом изгибе, что при-


2. Волноведущие системы.

185

водит к значительному увеличению потерь энергии распространяющихся волн в стенках волновода. Причем при изгибе волновода на так называемый угол Жуге происходит полное преобразование друг в друга данных нормальных волн. Основываясь на приведенных выше постановках задач возбуждения волноводов с нерегулярной боковой поверхностью, описание которых использовало направляющую пространственную кривую зуемую не только кривизной

L

, характери-

ж( )

, но и кручением

( ),

можно

установить, что при изгибе оси волновода по пространственной спирали с заданными значениями радиоволновода на заданный угол эффект преобразования волны

ж

0

и



0

можно найти такое

сочетание этих параметров, при котором для плоского изгиба

H

0

практически отсутствует

01

в волну

E11

в изогнутом по

соответствующей спирали радиоволноводе.

Замечание 3.2.8
волновода

Мы рассмотрели задачу возбуждения радио-

D

с нерегулярной боковой поверхностью и одно-

родным заполнением ( 3.2.86)-( 3.2.88). Повторяя наши рассуждения для более общего случая возбуждения нерегулярных

волноводов не только с нерегулярной боковой поверхностью, но и локальным неоднородным заполнением

0 (M ), ч0 (M ),

мы

опять придем к задаче ( 3.2.92), в которой вместо тензора

g (M )

появятся тензоры

(M ) = g (M )0 (M ), ч(M ) = g (M )ч0 (M ),
и можно будет ставить задачу определения

(3.2.94)

заполнения

(0 , ч0 )

исходного волновода

D

, при котором заполнение пре-

образованного волновода оказывается однородным. Другими словами встает вопрос: как надо заполнить участок исходного волновода в области с нерегулярной боковой поверхностью, чтобы данная нормальная волна проходила этот участок без искажения? Наиболее просто такая задача решается в случае плоского акустического волновода, когда исходный волновод

D

,

представляющий собой искривленную полосу переменного сечения на комплексной плоскости ется на регулярную полосу

Z (z = x + iy ),

отобража-

G

на комплексной плоскости



( = + i ). = ( )
полосы

В силу теоремы Римана существует аналитиче-

ская функция

= f (z )

, осуществляющая соответствующее

конформное отображение. При этом обратная функция осуществляет конформное отображение

z=

регулярной

G

комплексной плоскости



на криволинейную полосу


186

Гл. 3. Направляющие системы

D

комплексной плоскости

z

, а оператор Лапласа

xy u(x, y )
(3.2.95)

принимает вид

1

| ( )|2
чим уравнение

U ( , ).

Следовательно, при данном конформном отображении полу-

U ( , ) + K 2 ( , ) ( ) U ( , ) =
где

2

0,

(3.2.96)

K 2 ( , ) = k
и при

2

x( , ), y ( , )

,

(3.2.97)

k 2 (x, y ) =

k

2 0

| ( )|2

,

= (x, y ) + i (x, y )

(3.2.98)

уравнение ( 3.2.96) принимает вид
2 U + k0 U ( , ) = 0.

(3.2.99)
заполне-

Отсюда

вытекает,

что

при

неоднородном

S (V )
C (V )

L

Рис. 3.2.4. Изгиб волновода.

нии ( 3.2.98) нерегулярного участка волновода волна данного волновода в проходит этот

D

нормальная без

участок

искажения.

Это,

частности,

позволит

решить

задачу


2. Волноведущие системы.

187

о

таком

заполнении

окрестности

излома

прямолинейного

плоского акустического волновода, чтобы при прохождении его не происходило искажения заданной нормальной волны, приходящей ражение случае из бесконечности (см. рис.

3.2.4).

Явное в

вы-

требуемого

конформного с

отображения интеграла

данном

можно

получить

помощью

Шварца

Кристоффеля.

2.6. Скачкообразные неоднородности нерегулярных волноводов. В практических приложениях радиофизики и техники
важную роль играют нерегулярные волноводы, геометрические и электродинамические характеристики которых меняются не непрерывно, а скачкообразно. Для исследования задач возбуждения таких волноводов могут быть применены соответствующим образом модифицированные методы, развитые в предыдущих пунктах. Рассмотрим основные идеи этих методов на простейшем примере плоского акустического волновода чение

D

, поперечное се-

S

которого является разрывной функцией, скачкообразно

изменяющейся при

z=

0 (рис. 3.2.5):

S (z ) =

a, z < 0, b, z > 0.
x
b

(3.2.100)

Заполнение волновода будем считать однородным (характеризуемым параметром сти



k0

) и на боковой поверхно-

волновода

D

поставим гранич-

ное условие второго рода

u n

a
O
Рис. 3.2.5.

=


0,

z

которое подробнее можно записать в виде

u x u x u z

=
x=
0

0,

z

,

=
x=a

0;

z<
0;

0;

u x

=
x=b

0;

z>

0,

(3.2.101)

=
x[a,b]

a < x < b.

Пусть возбуждение осуществляется нормальной волной

u0 (x, z ) = Aei

n0

z

n (x),
0

(3.2.102)


188

Гл. 3. Направляющие системы

приходящей из левого волновода (z

<

0). Тогда соответствующая

математическая задача принимает вид

u + u n u|z <0 u| z >0
где

2 k0 u =

0,

M (x, z ) D

,

=

0,
n0

= Aei =
n

z

n (x) +
0

Rn e
n

-in z

n (x),

(3.2.103)

Tn ei

n z

n (x),

Rn

амплитудные коэффициенты нормальных волн, отра-

женных от скачка поперечного сечения при новоде, и

z=

0 в левом вол собственные

Tn

амплитудные коэффициенты нормальных волн,

возбужденных в правом волноводе; 0

n (x)

и

n (x)

функции спектральных задач Неймана на отрезках 0


и


соответственно, а



и

продольные постоянные

распространения нормальных волн в левом и правом волноводах. При 0и0


должны выполняться условия сопряжения

полей левого и правого волноводов:

z -0

lim u(x, z ) = lim u(x, z ),
z +
0

0

< x < a,
0

z -0

lim

u u (x, z ) = lim (x, z ), z z +0 z

< x < a. =
x[a,b]

(3.2.104)

У ловия (3.2.104) и граничное условие с

u z

0 из формулы

(3.2.101) приводят к следующей системе алгебраических уравнений для неизвестных амплитудных коэффициентов (n

=

1, 2,

...

Rn

и

Tn

):

An n (x) -
0 0

n Rn n (x) =
n

=
n
0

n Tn n (x),

0

< x < a,

(3.2.105)

=
n

Tn n n (x), a < x < b.

Уравнения (3.2.105) представляют собой разложение функции, стоящей в левой части этих уравнений, в ряд Фурье по ортогональным на отрезке 0


функциям

n (x).

Выражая


2. Волноведущие системы.

189

коэффициенты

Tn

этого разложения через разлагаемую функцию

левой части (3.2.105), получим

T = T [R] + G,
где векторы лению,

(3.2.106) подлежат опредеопределяет связь

G

T = (T1 , T2 , . . .)

и

R = (R1 , R2 , . . .) T

заданный вектор, выражающийся через амплитуду через функционалы базисных в первое уравнение (3.2.107)

A

падающей волны, а линейный оператор

векторов функций

T и R и выражается n (x) и n (x).
выражение

Подставляя

(3.2.106)

(3.2.105), получим

R = R[R] + b,
где линейный оператор

R

выражается через

T

,а

b

заданный

вектор. Выражение (3.2.107) представляют собой бесконечную алгебраическую систему уравнений относительно неизвестных амплитудных коэффициентов рицы оператора

Rn

. Алгоритмы решения системы

(3.2.107) в первую очередь зависят от свойств бесконечной мат-

R

. При условии регулярности этой матрицы

эффективными оказываются так называемые методы усечения, которые решение бесконечной системы сводят к решению алгебраической системы конечного порядка. В случае нерегулярной матрицы

R

известным харьковским радиофизиком и мате-

матиком В.П. Шестопаловым предложен метод приближенного решения системы (3.2.107), получивший название метода полуобращения [37]. Суть этого метода состоит в представлении

оператора

R

в виде

R = R1 + R2
где матрица оператора ограничен (I

,

(3.2.108)

R2

регулярная, а оператор

I - R1

-1

единичный оператор). Тогда (3.2.107) можно

записать в виде

I - R1 [R] = R2 [R] + b.
Отсюда для неизвестного вектора систему

(3.2.109)

R

получим алгебраическую

R = I - R1
или

-

1

R2 [R] + c
,

,

(3.2.110)

R = A [R] + c

(3.2.111)


190

Гл. 3. Направляющие системы

где в силу сделанных преобразований матрица оператора

A

ре-

гулярна, что позволяет решать (3.2.111) методом усечений или другими итерационными методами. В работах школы Шестопалова показано, что для широкого класса задач исследуемого типа требуемое разбиение (3.2.108) исходного оператора При этом оператор исходной задачи.

R

возможно.

R2

соответствует статическому приближению

2.7. Излучение из открытого конца волновода. Фазированные антенные решетки. Эта задача имеет большое практическое значение, поскольку во многих случаях для возбуждения во внешнем пространстве

D0

электромагнитного поля с

заданными характеристиками используются излучающие системы, представляющие собой системы открытых полубесконечных волноводов с общим фланцем. Рассмотрим сначала излучения из открытого конца волновода в акустическом случае. Пусть рассматриваемый волновод

D S

представляет собой полубесконечный цилиндр постоянного

поперечного сечения

S0

, сопряженный с бесконечным фланцем

, нормальным в точке

z=

0 к оси

- < z <
На ности

0 волновода, и

пусть в фланце имеется отверстие, совпадающее с сечением боковой на ) фланце

S0

.

поверх-

M
S

волновода


(за гра-

0

и

S

исключением отверстия

D0
0

S0

выполняются

ничные условия второго рода

S

PS

Rn

A0 D
Рис. 3.2.6. Открытый полубесконечный волновод с фланцем.

u n
(рис.

=
+S

0

(3.2.112)

3.2.6).

Пусть в

в по-

волноводе нии оси

D

ложительном направле-

z

распростра-

няется нормальная волна

un (M , z ) = A0 e
0

in0 z

n (M ),
0

- < z <

0,

(3.2.113)

где

n

0

собственная функция второй краевой задачи для

оператора Лапласа в

S0

,а



n0 постоянная распространения

данной нормальной волны. Данная нормальная волна будет ча-


2. Волноведущие системы.

191

стично отражаться от открытого конца волновода излучается в свободное полупространство принимает вид
2 u0 + k0 u =

D0

S0

, а частично

.

Тогда математическая постановка данной задачи излучения

0,

(M , z ) D0 (M , z ) D
,

,

z> z<
, 0,

0,

u + k 2 u = u0 n =
z=
0

0,

0,

M S , M S0
1 , при

(3.2.114)

u0 - ik0 u0 = o r u n =

0

r

r , M D0

,

0;

z<

0,

u(M , z ) = un (M , z ) +
n
Здесь

Rn e D

-in z

n (M ), z < 0.

(3.2.115)

k

0

и

k

материальные характеристики среды во внешнем

пространстве При

z=

D0

и волноводе

.

0,

M S0

функции

u0 (M

,0

)

и

u(M

,0

)

должны

удовлетворять условиям сопряжения

u0 (M

,0

)|z

=

0

= u(M

,0

)|z
,

=0 ,

M S0

, (3.2.116)

u k0 0 z
Поле

z=

0

u = k1 0 z

M S0 .
условиям

z=

0

функцию Грина

g0 (M0 , z0 ; M , ), удовлетворяющую g + k 2 g = - (M , z ), z > 0, 0 00 g 0 = 0, z z =0 g 1 0 - ik0 g0 = o , при r , M D0 . r r e
ik0 R

u0 (M , z ),

описываемое (3.2.114), можно представить через

(3.2.117)

Явный вид этой функции

g0 (M0 , z0 , M , ) =

1 4

R

+
,

e

ik0 R

R

,

(3.2.118)

(M0 , z0 ), (M , ) D0


192

Гл. 3. Направляющие системы

где

R

расстояние между точками

расстояние между точками

(M0 , -z0 )
,0

и

(M0 , z0 ) (M , ).
,0

и

(M , ),

а

R



Тогда

u0 (M0 , z0 ) = - P S0
полубесконечного условию

g0 (M0 , z0 , P
S0
,

)

u0 (P z

)dP

, (3.2.119)

z0

0.

Аналогично, воспользовавшись функцией Грина волновода, удовлетворяющей

g1 (M0 , z0 , M , )
граничному

g z

=
z=
0

0

(3.2.120)

и условию отсутствию волн, приходящих из бесконечности, явное представление которой также, как и для (3.2.118) легко получить методом зеркального отражения, для поля внутри волновода

D

получим выражение

u(M0 , z ) =
S0

g1 (M0 , z0 , P
0 0

,0

)

u (P z

,0

)dP +
(3.2.121) ,

+A0 cos (n z0 ) n (M ), P S0
Здесь

z0

0

.

g1 (M0 , z0 , M , ) = =
n
1 2Pn

e

-in | -z0 |

cos (n z0 ) n (M0 )n (M ), Pn = in

,

(3.2.122)

а последнее слагаемое описывает условие возбуждения системы нормальной волны полубесконечного волновода. Обозначая функцию

u0 z z = 0, M0 S
при

= ч(P ), P S
,

,

(3.2.123)

на основании условий сопряжения (3.2.116), переходя к пределу

z0

0, окончательно получим для функции

ч(P )

интеграль-

ное уравнение Фредгольма первого рода

K (P0 , P )ч(P )dP = 2in A0 n (P0 )
0 0

,

(3.2.124)

S0


2. Волноведущие системы.

193

где

K (P0 , P ) = g0 (P0

, 0,

P

,0

)+

k0 g (P0 k

, 0,

P

,0

).

(3.2.125)

Это уравнение, полученное как следствие исходной задачи (3.2.114)(3.2.116), однозначно разрешимо и позволяет найти решение исходной задачи в виде 1 2

u0 (M , z ) = -


S0

eik R R(M , z ; P
0

,0

)

ч(P )dP , z

0,

(3.2.126)

где

R

расстояние между точкой наблюдения

точкой интегрирования

P S0

, а функция

ч(P )

(M , z ) D0

и

является реше-

нием интегрального уравнения (3.2.124).

M ( R0 , J , j )

M

R0 RMP

S

R0
O
S
0

D0
O

S
D

r

S

0

P( r ,y )

Рис. 3.2.7.

Рис. 3.2.8.

Большой практический интерес представляет асимптотическое выражение поля излучения на больших расстояниях от излучающего конца волновода, то есть асимптотики интеграла (3.2.126) при больших значениях
7 А. Г. Свешников, И. Е. Могилевский

R

1.


194

Гл. 3. Направляющие системы

S0 полярную систему ко(, ) и в области D0 (z 0) сферические координаты (R0 , , ) точки (M , z ) (см. рис. 3.2.7, рис. 3.2.8), где
Введем в области интегрирования ординат
2 R2 (M , z , , ) = R0 + 2 - 2R0 sin cos ( - ) .

(3.2.127)

При условии

R0

e

легко получить асимптотическое значение

интеграла (3.2.126) в виде

u(M , z ) =
где функция

ik0 R0

R0

f (, ) + O

2 0 2 R0

,

(3.2.128)

f (, ),
1 2

носящая название диаграммы направленно-

сти, имеет вид

f (, ) = -

e
S0

-ik0 sin cos(- )

ч(, )dd .

(3.2.129)

Выражение в формуле (3.2.128) и представляет собой приближенное решение исходной задачи.

Замечания и обобщения. Замечание 3.2.9 Мы рассмотрели

случай акустической излу-

чающей системы. Очевидно, аналогично проводятся и исследования излучения из открытого конца волновода в электромагнитном случае. Внимательный читатель сможет, пользуясь материалом данного пособия, самостоятельно провести требуемые рассуждения.

Замечание 3.2.10

Также

легко

обобщить

проведенные

рас-

смотрения на случай, когда излучающая система состоит не из одного, а из нескольких открытых волноводов с общим фланцем. Обозначим излучающие концы волноводов в общем фланце через волны через

Si (i =

1,

. . . , N ),

а возбуждающие их нормальные

ui (M , z ) = Ai e
где

in z

(i)

( ni) (Mi ),
из

(3.2.130)
своих

Ai



амплитуды волн в

приходящих из

бесконечности

нормальных

n (Mi )

(i)

каждом

возбуждаемых

волноводов,

собственная функция второй краевой задачи для

оператора Лапласа в сечении

2 n

Si
0,

(i) n

( + (i) ni) = n

Mi Si
,

, (3.2.131)

(i) n Ci

=

0,

Ci = Si


2. Волноведущие системы.

195

а



(i) n

соответствующие продольные постоянные распро-

странения. Тогда по задача с возбуждения такой к излучающей системе системы ( 3.2.124)

аналогии

сводится

интегральных

уравнений Фредгольма первого рода

N

K
i=1 S i

ji

P0

(j )

,

P

(i)

чi P
)

(i)

dP
,

(i)

=
(3.2.132) 1, 2,

= Aj e
где

(j ) in

( nj

P0

(j )

j=

... N

,

Kj
ij

i

j P0 , P

(i)

= g0 P

(j )
0

,

P

(i)

+

ij

k0 (j ) gj P0 , P kj
амплитуда

(i)

,

(3.2.133)



символ

Кронекера,

нормальной волны

j

Aj



возбуждающей

-го волновода. Если возбуждается только

один волновод (или несколько), то эти волноводы являются активными, возбуждающими поле в открытом полупространстве, остальные пассивные, в них существуют только

соответствующие уходящие на бесконечность при нормальные волны.

z -

При возбуждении только одного быть представлена в виде

j

-го волновода асимптотика

поля во внешнем пространстве, аналогично предыдущему, может

u0 (M , z ) =
Функция

e

ik0 R

0

R0

fj (, ) + O

2 0 2 R0

,

R0

0 .

(3.2.134)

fj (, )

в этом случае обычно называется парциальной

диаграммой излучения

j

-го волновода. Очевидно, в общем слу-

чае возбуждения всех волноводов решетки, которая может представлять собой и пространственную систему, полная диаграмма направленности будет равна сумме ?парциальных диаграмм?

N

F (, ) =
i=1

fi (, ).

(3.2.135)

Она, очевидно, является функционалом всех геометрических и электродинамических параметров системы, и можно ставить за7*


196

Гл. 3. Направляющие системы

дачу синтеза параметров такой излучающей системы, реализующую заданную диаграмму направленности ее излучения, а также осуществлять электрическое сканирование диаграммы путем изменения ее электрических параметров.


Список литературы

1. Бахвалов Н.С. Численные методы, М. Наука, 1973. 2. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Могилевский И.Е., Свешников А.Г. Особенности нормальных волн неоднородного волновода с входящими ребрами // Радиотехника и электроника. 2003. Т.48. 7. C.787-794. 3. Боголюбов А.Н., Минаев Д.В., Свешников А. Г. Расчет открытого согласующего волноводного перехода с использованием эффективных нелокальных граничных условий // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2002, Т.42, 4, с.514-521. 4. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике, М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 5. Ваганов Р.В., Каценеленбаум Б.З. Основы теории дифракции, М.Наука, 1982. 6. Васильев Е.Н. Возбуждение тел вращения, М. Радио и связь, 1987. 7. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач, М.Наука, 1988. 8. Векуа И.Н. Метагармонические функции, Труды Тбилисского Математического Института, Т.12, 1943. 9. Н. Винер, Р. Пэли Преобразование Фурье в комплексной плоскости, М.: Наука, 1964. 10. Н.В. Гришина, Ю.А. Еремин, А.Г. Свешников Анализ эффекта экстремального просачивания волн через проводящую пленку методом дискретных источников // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2009, Т.49, 1, с.1-9. 11. Дмитриев В.И. Поля в слоистых средах, М. Изд-во МГУ, 1963. 12. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики, М. Изд-во МГУ, 1987. 13. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Метод интегральных уравнений в вычислительной электродинамике, М. Макс пресс, 2008.


198

Список литературы

14. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Метод дискретных источников в задачах электромагнитной дифракции, М. Изд-во МГУ, 1992. 15. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, Часть II, М.: Физматлит, 2001. 16. Ильинский А.С., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики, М. Высшая школа, 1991. 17. Ильинский А.С., Смирнов Ю.Г. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах, М. ИПРЖР, 1996. 18. Ильинский А.С., Шестопалов Ю.В. Применение методов спектральной теории в задачах распространения волн, М. Изд-во МГУ, 1989. 19. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния, М. Мир, 1987. 20. Купрадзе В.Д. О приближенном решении задач математической физики // У пехи математических наук, 1967, Т.22, с Вып.2, С.58-109. 21. Ладыженская О.А., Уpальцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уpавнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 22. Лакс П., Филлис Р. Теория рассеяния, М. Мир, 1971. 23. Нефедов Е.И., Фиалковский А.Т. Асимптотическая теория дифракции электромагнитных волн на конечных структурах, М. Наука, 1972. 24. Никифоров А.Ф., Уваров Б.В. Специальные функции математической физики, М.: Наука, 1979. 25. Б. Нобл Метод ВинераХопфа ИЛ. 1962 г. 26. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование, М. Наука, Физматлит, 1997. 27. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений, М. Наука, 1978. 28. Самохин А.Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии, Радио и связь, 1998. 29. Свешников А.Г.; Боголюбов А.Н.; Буткарев И.А. Математическое моделирование волноведущих систем // Энциклопедия низкотемпературной плазмы. Серия Б. Справочные приложения, базы и банки данных. Т. VII1 Математическое моделирование в низкотемпературной плазме. Часть 2. М.: Янус-К. 2008. 30. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике, М.: Изд-во МГУ; Наука, 2004.


Список литературы

199

31. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной, М. Физматлит, 2004. 32. Смирнов Ю.Г, Математические методы исследования задач электодинамики, Пенза, 2009. 33. Стрэттон 1948. 34. Титчмарш Е. Теория функций, М. Наука, 1980. 35. А.Н. Тихонов, А.А. Самарский Журн. техн. физики, 1948г. Т.18, вып.7, с. 971-985. 36. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики, М. Изд-во МГУ, 1999. 37. Шестопалов В.П., Кириленко А.А., Рудь Л.А. Резонансное рассеяние волн, Киев, Наукова Думка, 1986. 38. Шишмарев И.А. Введение в теорию эллиптических уравнений, М. Изд-во МГУ, 1979. 39. Chew W.C. Waves and Fields in Inhomogeneous Media, Van, Nostramd Reinhold, New York, 1990. 40. Cotton D. and Kress R. Inverse Acustic and Electromagnetic Scattering Theory, Springer Verlag, Berlin, 1992. 41. Doien A., Eremin Yuri, Wriedt Thomas Acoustic and Electromagnetic scattering Analysis Using Discrete Sources Academic Press, San Diego, San Francisco, New Boston, London, Sudney, Tokyo, 2000. 42. Hafner C. The Generalized Multipole Technique for Computational Electromagnetics. Artech Hause, Boston, London, 1990. 43. Miller C. Foundations of the Mathematical Theory of Electromagnetic Waves. Springer Verland, Berlin, Heidelberg, New York, 1969. 44. Varadan V.V., Laktahia A., Varadan V.R. Field Representation and Introduction to Scattering. Elesevier Science, Amsterdam, 1991. 45. Wang J.H.H. Generalized Moment Methods in Electromagnetics. New York, John Wiley and Songs, 1991. Дж.А. Теория электромагнетизма, М-Л, ОГИЗ,