Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://matematika.phys.msu.ru/files/stud_spec/127/lec-II-03a-04-slides.pdf Дата изменения: Tue Mar 11 21:30:05 2014 Дата индексирования: Sun Apr 10 12:54:30 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: заряд

Лекция 3а. Теорема РадонаНикодима

А. А. Панин Московский государственный университет физический факультет кафедра математики VIII семестр

А. А. Панин

Теорема РадонаНикодима


1 Заряды


А. А. Панин

Теорема РадонаНикодима


Меры и заряды

Мера

Пусть X пространство,
+

A

ч

-алгебра его подмножеств.

Функция ч: 1) ч : Aч R 2) ч( =1 An ) n

=

Функция : 1) : A R 2) ( =1 An ) n n=1 ч(An ) Мера частный случай заряда
(A) = f (x) dч
A

Заряд

=

n=1

(An )

(1)

f (x)

0

получаем меру.

В общем случае заряд.

Каждый ли заряд представим в виде (1)?
А. А. Панин Теорема РадонаНикодима


2 Разложение Хана и разложение Жордана


А. А. Панин

Теорема РадонаНикодима


Положительные и отрицательные множества

Заряд , пространство X , -алгебра A. Положительное множество: F A верно (E

F)

0.

Лемма 1. Лемма 2.
A

(A) > 0 A

положительно!

положительно

E A E A (E ) > 0.

Непустое множество отрицательного заряда содержит отрицательное подмножество строго отрицательного заряда.
А. А. Панин Теорема РадонаНикодима


Доказательство леммы 2

C

1

A1

C C
1

2

A2

Процесс остановился: Al отрицательное множество. Процесс не остановился: A = Al отрицательное множество. l=1
А. А. Панин Теорема РадонаНикодима


Разложение Хана

Теорема 1. конечный заряд на X . Тогда существует разбиение
X=A
+

A

-

на положительное и отрицательное множества.

A

-

A

+

A

-

Очевидно, разложение не единственно. И вс?-таки...
А. А. Панин Теорема РадонаНикодима


Разложение Хана: квазиединственность

Если
- 1

разложения Хана, то для любого измеримого
(E A ) = (E A ),
- 2 + 1

X=A

- 1

A+ , 1

X=A

- 2

A

+ 2

E

(E A ) = (E A+ ). 2

A+ 1

A- 1

A

+ 12

~ A+ 2 ~ A+ 1

A+ 2

A- 2
0 0

A

+ 12

~ A+ 2 ~ A+ 1

~ ~ A+ A- (E A+ ) 1 2 1 + + ~ ~ A1 A1 (E A+ ) 1
А. А. Панин

=

~ (E A+ ) = 0 1

Теорема РадонаНикодима


Разложение Жордана

Итак, заряд однозначно определяет на -алгебре A две меры
+ (E ) = (E A+ ), - (E ) = -(E A- ),



верхнюю и нижнюю вариации заряда



.

A+ E
(E ) = + (E ) - - (E )

A-

разложение Жордана заряда + , - , || + + - (полная вариация заряда ) меры. Замечание. Для единственности разложения Жордана существенно, что - и + суть нижняя и верхняя вариации заряда .
А. А. Панин Теорема РадонаНикодима


3 Типы зарядов


А. А. Панин

Теорема РадонаНикодима


Типы зарядов
XAч

1. Говорят, что заряд

,,,.



сосредоточен

на множестве

A0 A

, если

A A A X \ A0 (A) = 0.

Множество A0 носитель заряда . 2. Заряд называется дискретным, он сосредоточен на конечном или сч?тном множестве. 3. Заряд называется непрерывным, если (E ) = 0 для любого одноточечного множества E . 4. Заряд называется абсолютно непрерывным относительно меры ч, если

5. Заряд называется

сингулярным относительно меры ч, если он сосредоточен на некотором множестве A с ч(A) = 0. Интеграл Лебега (1) является абсолютно непрерывным зарядом. Этим примером все абсолютно непрерывные заряды исчерпываются.
А. А. Панин Теорема РадонаНикодима

A A ч(A) = 0 (A) = 0.


4 Теорема РадонаНикодима


А. А. Панин

Теорема РадонаНикодима


Теорема РадонаНикодима
XAч

,,,.

Теорема 2 (РадонаНикодима). Пусть ч конечная

-аддитивная мера, определ?нная на -алгебре A подмножеств пространства X ; пусть заряд, определ?нный на A и абсолютно непрерывный относительно ч. Тогда существует такая интегрируемая по мере ч функция f (x), определ?нная на X , что
A A (A) =
A

f (x) dч.

Эта функция определена с точностью до ч-эквивалентности. Разложение Жордана = можно ограничиться доказательством для мер!
А. А. Панин Теорема РадонаНикодима


Лемма к доказательству

меры ч и что ч(B )

Лемма 3. Пусть мера абсолютно непрерывна относительно
0 >0 B

. Тогда существуют такие натуральное n и B A, 1 и положительно относительно заряда - n ч. Доказательство леммы. Пусть X = A- A+ разложения Хана n n 1 пространства X относительно зарядов - n ч, n N, и пусть
A- = A- , n=1 n A+ = A+ . n=1 n

1 Тогда при всех n N имеем (A- ) n ч(A- ), поэтому (A- ) = 0. + Следовательно, (A ) > 0 (почему?). Но тогда в силу абсолютной непрерывности меры относительно меры ч имеем ч(A+ ) > 0. Поэтому существует такое m, что ч(A+ ) > 0: иначе ч(A+ ) = 0 в m силу -аддитивности меры. Тогда множество B = Am и число n = m и будут искомыми.

Лемма доказана.

А. А. Панин

Теорема РадонаНикодима


Функции fn и g

n

Пусть
M = sup
K X

(x) dч. {fn } K

Cуществует такая последовательность
n

, что (2)

lim

fn (x) dч = M .
X

Положим при каждом

xX

gn (x) = max(f1 (x), . . . , fn (x)).

f f
1

2

g

2

(Остальная часть доказательства на доске.)
А. А. Панин Теорема РадонаНикодима