Лекция шестая.
Поперечный плазменный резонанс в незамагниченной плазме и возможности его практического применения.
В пятой лекции мы уже записали уравнения Максвелла, которые характеризуют сверхпроводящее состояние (бездиссипативную плазму)
![\[
\begin{gathered}
rot_{} \vec E = - \mu _0 \frac{{\partial _{} \vec H}}
{{\partial _{} t}}, \hfill \\
rot_{} \vec H = \vec j_\sum = \vec j_C + \vec j_L = \varepsilon _0 \frac{{\partial _{} \vec E}}
{{\partial _{} t}} + \frac{1}
{{L_k }}\int {\vec E_{} dt} , \hfill \\
\end{gathered}
\]](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\[
\begin{gathered}
rot_{} \vec E = - \mu _0 \frac{{\partial _{} \vec H}}
{{\partial _{} t}}, \hfill \\
rot_{} \vec H = \vec j_\sum = \vec j_C + \vec j_L = \varepsilon _0 \frac{{\partial _{} \vec E}}
{{\partial _{} t}} + \frac{1}
{{L_k }}\int {\vec E_{} dt} , \hfill \\
\end{gathered}
\]
"\[
\begin{gathered}
rot_{} \vec E = - \mu _0 \frac{{\partial _{} \vec H}}
{{\partial _{} t}}, \hfill \\
rot_{} \vec H = \vec j_\sum = \vec j_C + \vec j_L = \varepsilon _0 \frac{{\partial _{} \vec E}}
{{\partial _{} t}} + \frac{1}
{{L_k }}\int {\vec E_{} dt} , \hfill \\
\end{gathered}
\]")
(1)
Кстати такие точно уравнения в комплексном виде только для гармонических полей в бездиссипативной плазме записывает и А. И. Ахиезер в монографии Физика плазмы, Москва, изд. Наука, 1974. - 719 с., изданной под его редакцией.
Сразу отметим, что соотношение (1) допускает возможность решения задачи не только для периодических полей но и для постоянных, чего не дают возможности сделать уравнения, приведенные в указанной монографии. Это связано с тем, применения комплексных переменных ограничено лишь случаем гармонических полей.
Второе уравнение соотношений (1) представляет суммарную плотность тока, текущего через плазму, в случае наложения на нее электрических полей. Эта плотность тока состоит из двух составляющих емкостной и индуктивной, наподобие тому, как это имеет место в параллельном колебательном контуре. Мы ранее показали, что эквивалентная схема плазмы представляет из себя параллельный колебательный резонансный контур. Такой подход особенно понятен тем специалистам, которые знакомы с электроникой и радиотехникой.
Но применение уравнений Максвелла для решения технических задач приобретает смысл, если известны граничные условия. Поэтому решим конкретную задачу для двух параллельных полуплоскостей ширину которых обозначим буквой
![\[
a
\]](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\[
a
\]
"\[
a
\]")
, а расстояние между ними - буквой
![\[
b
\]](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\[
b
\]
"\[
b
\]")
.
Если линия расположена в вакууме, то погонная (приходящаяся на единицу длины) индуктивность и емкость такой линии определяются соотношениями
(2)
и
, (3)
поэтому с ростом длины линии ее суммарная емкость
(4)
и суммарная индуктивность
(5)
увеличиваются пропорционально ее длине
![\[
z
\]](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\[
z
\]
"\[
z
\]")
.
Если в разомкнутую линию поместить плазму, носители заряда в которой могут двигаться без трения, и в поперечном направлении пропустить через плазму ток , то заряды, двигаясь с определенной скоростью, будут запасать кинетическую энергию. Поскольку плотность тока определяется соотношением
![\[
j = \frac{I}
{{bz}} = nev,
\]](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\[
j = \frac{I}
{{bz}} = nev,
\]
"\[
j = \frac{I}
{{bz}} = nev,
\]")
(6)
то суммарная кинетическая энергия всех движущихся зарядов запишется
![\[
W_{k\Sigma } = \frac{1}
{2}_{} \frac{m}
{{ne^2 }}_{} abzj^2 = \frac{1}
{2}_{} \frac{m}
{{ne^2 }}_{} \frac{a}
{{bz}}I^2
\]](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\[
W_{k\Sigma } = \frac{1}
{2}_{} \frac{m}
{{ne^2 }}_{} abzj^2 = \frac{1}
{2}_{} \frac{m}
{{ne^2 }}_{} \frac{a}
{{bz}}I^2
\]
"\[
W_{k\Sigma } = \frac{1}
{2}_{} \frac{m}
{{ne^2 }}_{} abzj^2 = \frac{1}
{2}_{} \frac{m}
{{ne^2 }}_{} \frac{a}
{{bz}}I^2
\]")
. (7)
Соотношение (7) связывает энергию, запасенную в линии, с квадратом тока, поэтому коэффициент, стоящий в правой части соотношения (7) перед квадратом тока, является суммарной кинетической индуктивностью линии.
![\[
L_{k\Sigma } = \frac{m}
{{ne^2 }} \cdot \frac{a}
{{bz}}
\]](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\[
L_{k\Sigma } = \frac{m}
{{ne^2 }} \cdot \frac{a}
{{bz}}
\]
"\[
L_{k\Sigma } = \frac{m}
{{ne^2 }} \cdot \frac{a}
{{bz}}
\]")
.(8)
Таким образом, величина
![\[
L_k = \frac{m}
{{ne^2 }}
\]](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\[
L_k = \frac{m}
{{ne^2 }}
\]
"\[
L_k = \frac{m}
{{ne^2 }}
\]")
(9)
представляет удельную кинетическую индуктивность. Мы уже ранее в пятой лекции ввели эту величину другим способом . Соотношение (9) получено для случая постоянного тока, когда
токовое распределение является однородным.
Из соотношения (8) видно, что в отличие от
величина
с ростом
уменьшается. С физической точки зрения это понятно, связано это с тем, что с ростом
количество параллельно включенных индуктивных элементов растет.
Эквивалентная схема линии, заполненной бездиссипативной плазмой, будет эквивалентна параллельному колебательному контуру с сосредоточенными параметрами:
(10)
Но если вычислить резонансную частоту такого контура, то окажется, что эта частота вообще ни от каких размеров не зависит, действительно:
![\[
\omega _\rho ^2 = \frac{1}
{{CL}} = \frac{1}
{{\varepsilon _0 L_k }} = \frac{{ne^2 }}
{{\varepsilon _0 m}}
\]](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\[
\omega _\rho ^2 = \frac{1}
{{CL}} = \frac{1}
{{\varepsilon _0 L_k }} = \frac{{ne^2 }}
{{\varepsilon _0 m}}
\]
"\[
\omega _\rho ^2 = \frac{1}
{{CL}} = \frac{1}
{{\varepsilon _0 L_k }} = \frac{{ne^2 }}
{{\varepsilon _0 m}}
\]")
.(11)
Мы получили очень интересный результат, который говорит о том, что резонансная частота рассмотренного макроскопического резонатора вобще не зависит от его размеров. Может создаться впечатление, что мы имеем дело с ленгмюровским резонансом, т.к. полученное значение резонансной частоты в точности соответствует значению частоты ленгмюровского резонанса. Но мы знаем, что такой резонанс характеризует продольные волны, в то время как в длинной линии мы имеем дело с распространением поперечной волны. Для данного случая величина фазовой скорости в направлении
равна бесконечности и волновой вектор
. Данный результат соответствует решению системы уравнений (8) для линии с заданной конфигурацией. Из соотношений (9) следует что волновое число определяется соотношением
![\[
k_z^2 = \frac{{\omega ^2 }}
{{c^2 }}\left( {1 - \frac{{\omega _\rho ^2 }}
{{\omega ^2 }}} \right)
\]](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\[
k_z^2 = \frac{{\omega ^2 }}
{{c^2 }}\left( {1 - \frac{{\omega _\rho ^2 }}
{{\omega ^2 }}} \right)
\]
"\[
k_z^2 = \frac{{\omega ^2 }}
{{c^2 }}\left( {1 - \frac{{\omega _\rho ^2 }}
{{\omega ^2 }}} \right)
\]")
, (12)
а групповая и фазовая скорости соотношениями
![\[
v_g^2 = c^2 \left( {1 - \frac{{\omega _\rho ^2 }}
{{\omega ^2 }}} \right)
\]](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\[
v_g^2 = c^2 \left( {1 - \frac{{\omega _\rho ^2 }}
{{\omega ^2 }}} \right)
\]
"\[
v_g^2 = c^2 \left( {1 - \frac{{\omega _\rho ^2 }}
{{\omega ^2 }}} \right)
\]")
, (13)
![\[
v_F^2 = \frac{{c^2 }}
{{\left( {1 - \frac{{\omega _\rho ^2 }}
{{\omega ^2 }}} \right)}}
\]](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\[
v_F^2 = \frac{{c^2 }}
{{\left( {1 - \frac{{\omega _\rho ^2 }}
{{\omega ^2 }}} \right)}}
\]
"\[
v_F^2 = \frac{{c^2 }}
{{\left( {1 - \frac{{\omega _\rho ^2 }}
{{\omega ^2 }}} \right)}}
\]")
, (14)
где
![\[
c = \left( {\frac{1}
{{\mu _0 \varepsilon _0 }}} \right)^{1/2}
\]](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\[
c = \left( {\frac{1}
{{\mu _0 \varepsilon _0 }}} \right)^{1/2}
\]
"\[
c = \left( {\frac{1}
{{\mu _0 \varepsilon _0 }}} \right)^{1/2}
\]")
- скорость света в вакууме.
Для такой плазмы фазовая скорость электромагнитной волны равна бесконечности. Следовательно, в каждый момент времени распределение полей и токов в такой линии однородно и не зависит от координаты
, а ток в плоскостях линии в этом направлении отсутствует. Это означает, что в данном случае вместо проводящих плоскостей могут быть использованы любые плоскости, ограничивающие плазму сверху и снизу. Отметим, что пока мы обсуждаем только принципиальную сторону вопроса, т.к., например, газоразрядную плазму ограничить для данных целей плоскостями нельзя, т.к. на эти плоскости будут оседать заряды. Возможно, это должна быть плазма в твердом теле, или газоразрядная плазма в магнитной ловушке,
Из соотношений (12) , (13) и (14) нетрудно видеть, что в точке
мы имеем дело с поперечным резонансом с бесконечной добротностью. То, что в отличие от ленгмюровского, данный резонанс является поперечным, будет хорошо видно для случая, когда добротность такого резонанса не будет равна бесконечности. В этом случае
, и в линии будет распространяться поперечная волна, направление распространения которой будет перпендикулярно направлению движения зарядов. Конечно, рассмотрение данной задачи мы начали с рассмотрения плазмы, ограниченной с двух сторон плоскостями длинной линии. Но в процессе такого рассмотрения мы пришли к выводу, что наличие такого резонанса вообще от размеров линии не зависит. Значит, резонанс должен наблюдаться и в безграничной среде. Таким образом, в безграничной плазме кроме ленгмюровского резонанса, характеризующего продольные волны, может существовать и поперечный резонанс. Поскольку частоты этих резонансов совпадают, то они являются вырожденными. Отметим, что факт существования такого резонанса ранее осознан не был и это явление нигде описано не было.
Перед тем, как перейти к более подробному рассмотрению данного вопроса, остановимся на энергетических процессах, имеющих место в плазме в случае отсутствия потерь.
Характеристическое сопротивление плазмы, дающее отношение поперечных компонент электрического и магнитного полей, определяется соотношением
![\[
Z = \frac{{E_y }}
{{H_x }} = \frac{{\mu _0 \omega }}
{{k_z }} = Z_0 \left( {1 - \frac{{\omega _\rho ^2 }}
{{\omega ^2 }}} \right)^{ - 1/2}
\]](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\[
Z = \frac{{E_y }}
{{H_x }} = \frac{{\mu _0 \omega }}
{{k_z }} = Z_0 \left( {1 - \frac{{\omega _\rho ^2 }}
{{\omega ^2 }}} \right)^{ - 1/2}
\]
"\[
Z = \frac{{E_y }}
{{H_x }} = \frac{{\mu _0 \omega }}
{{k_z }} = Z_0 \left( {1 - \frac{{\omega _\rho ^2 }}
{{\omega ^2 }}} \right)^{ - 1/2}
\]")
, (15)
где
![\[
Z_0 = \sqrt {\frac{{\mu _0 }}
{{\varepsilon _0 }}}
\]](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\[
Z_0 = \sqrt {\frac{{\mu _0 }}
{{\varepsilon _0 }}}
\]
"\[
Z_0 = \sqrt {\frac{{\mu _0 }}
{{\varepsilon _0 }}}
\]")
- характеристическое сопротивление вакуума.
Полученное значение
характерно для поперечных электрических волн в волноводах. Видно, что когда
,
, a
. В том случае, когда
>
в плазме существует и электрическая и магнитная составляющая поля. Удельная энергия этих полей запишется
![\[
W_{E,H} = \frac{1}
{2}\varepsilon _0 E_{0y}^2 + \frac{1}
{2}\mu _0 H_{0x}^2
\]](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\[
W_{E,H} = \frac{1}
{2}\varepsilon _0 E_{0y}^2 + \frac{1}
{2}\mu _0 H_{0x}^2
\]
"\[
W_{E,H} = \frac{1}
{2}\varepsilon _0 E_{0y}^2 + \frac{1}
{2}\mu _0 H_{0x}^2
\]")
(16)
Таким образом, энергия, заключенная в магнитном поле, в
![\[
\left( {1 - \frac{{\omega _\rho ^2 }}
{{\omega ^2 }}} \right)
\]](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\[
\left( {1 - \frac{{\omega _\rho ^2 }}
{{\omega ^2 }}} \right)
\]
"\[
\left( {1 - \frac{{\omega _\rho ^2 }}
{{\omega ^2 }}} \right)
\]")
раз меньше, чем энергия, заключенная в электрическом поле. Отметим, что такое рассмотрение, которое является традиционным в электродинамике, является не полным, т.к. при этом не учтен еще один вид энергии, а именно кинетическая энергия носителей заряда. Оказывается, что кроме волны электрического и магнитного полей, несущей электрическую и магнитную энергию в плазме распространяется еще и третья - кинетическая волна, несущая кинетическую энергию носителей тока. Удельная энергия этой волны записывается
![\[
W_k = \frac{1}
{2}L_k j_0^2 = \frac{1}
{2} \cdot \frac{1}
{{\omega ^2 L_k }}E_0^2 = \frac{1}
{2}\varepsilon _0 \frac{{\omega _\rho ^2 }}
{{\omega ^2 }}E_0^2
\]](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\[
W_k = \frac{1}
{2}L_k j_0^2 = \frac{1}
{2} \cdot \frac{1}
{{\omega ^2 L_k }}E_0^2 = \frac{1}
{2}\varepsilon _0 \frac{{\omega _\rho ^2 }}
{{\omega ^2 }}E_0^2
\]
"\[
W_k = \frac{1}
{2}L_k j_0^2 = \frac{1}
{2} \cdot \frac{1}
{{\omega ^2 L_k }}E_0^2 = \frac{1}
{2}\varepsilon _0 \frac{{\omega _\rho ^2 }}
{{\omega ^2 }}E_0^2
\]")
. (17)
Таким образом, полная удельная энергия записывается так:
![\[
W_{E,H,j} = \frac{1}
{2}\varepsilon _0 E_{0y}^2 + \frac{1}
{2}\mu _0 H_{0x}^2 + \frac{1}
{2}L_k j_0^2
\]](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\[
W_{E,H,j} = \frac{1}
{2}\varepsilon _0 E_{0y}^2 + \frac{1}
{2}\mu _0 H_{0x}^2 + \frac{1}
{2}L_k j_0^2
\]
"\[
W_{E,H,j} = \frac{1}
{2}\varepsilon _0 E_{0y}^2 + \frac{1}
{2}\mu _0 H_{0x}^2 + \frac{1}
{2}L_k j_0^2
\]")
. (18)
Следовательно, для нахождения полной удельной энергии, запасенной в единице объема плазмы, учет только полей
и
недостаточен.
В точке
выполняется соотношение
(19)
т.е. магнитное поле в плазме отсутствует, и плазма представляет из себя макроскопический электромеханический резонатор с бесконечной добротностью, резонирующий на частоте
.
Поскольку при частотах
>
волна, распространяющаяся в плазме, несет на себе три вида энергии: магнитную, электрическую и кинетическую, то такую волну можно назвать магнитноэлектрокинетической. Кинетическая волна представляет из себя волну плотности тока
![\[
\vec j = \frac{1}
{{L_k }}\int {\vec E_{} dt}
\]](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\[
\vec j = \frac{1}
{{L_k }}\int {\vec E_{} dt}
\]
"\[
\vec j = \frac{1}
{{L_k }}\int {\vec E_{} dt}
\]")
. (20)
Эта волна сдвинута по отношению к электрической на p/2.
До сих пор мы рассматривали физически нереализуемый случай, когда потери в плазме отсутствуют, что соответствует бесконечной добротности плазменного резонатора. Если потери имеются, причем совершенно неважно какими физическими процессами такие потери обусловлены, то добротность плазменного резонатора будет конечной величиной. Для такого случая уравнения Максвелла будут иметь вид:
![\[
\begin{gathered}
rot_{} \vec E = - \mu _0 \frac{{\partial _{} \vec H}}
{{\partial _{} t}}, \hfill \\
rot_{} \vec H = \sigma _{p.ef_{} } \vec E + \varepsilon _0 \frac{{\partial _{} \vec E}}
{{\partial _{} t}} + \frac{1}
{{L_k }}\int {\vec E_{} dt} . \hfill \\
\end{gathered}
\]](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\[
\begin{gathered}
rot_{} \vec E = - \mu _0 \frac{{\partial _{} \vec H}}
{{\partial _{} t}}, \hfill \\
rot_{} \vec H = \sigma _{p.ef_{} } \vec E + \varepsilon _0 \frac{{\partial _{} \vec E}}
{{\partial _{} t}} + \frac{1}
{{L_k }}\int {\vec E_{} dt} . \hfill \\
\end{gathered}
\]
"\[
\begin{gathered}
rot_{} \vec E = - \mu _0 \frac{{\partial _{} \vec H}}
{{\partial _{} t}}, \hfill \\
rot_{} \vec H = \sigma _{p.ef_{} } \vec E + \varepsilon _0 \frac{{\partial _{} \vec E}}
{{\partial _{} t}} + \frac{1}
{{L_k }}\int {\vec E_{} dt} . \hfill \\
\end{gathered}
\]")
(21)
Наличие потерь учитывается членом
, причем, употребляя возле проводимости индекс
, мы тем самым подчеркиваем, что нас не интересует сам механизм потерь, а интересует только сам факт их существования. Величину
определяет добротность плазменного резонатора. Для измерения
мы должны выбрать отрезок линии длиной
, величина которого значительно меньше длины волны в диссипативной плазме. Такой отрезок будет эквивалентен контуру с сосредоточенными параметрами:
![\[
C = \varepsilon _0 \frac{{bz_0 }}
{a},
\]](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\[
C = \varepsilon _0 \frac{{bz_0 }}
{a},
\]
"\[
C = \varepsilon _0 \frac{{bz_0 }}
{a},
\]")
(22)
(23)
![\[
G = \sigma _{\rho .ef} \frac{{bz_0 }}
{a},
\]](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\[
G = \sigma _{\rho .ef} \frac{{bz_0 }}
{a},
\]
"\[
G = \sigma _{\rho .ef} \frac{{bz_0 }}
{a},
\]")
(24)
где
- проводимость, подключенная параллельно
и
.
Проводимость и добротность в таком контуре связаны соотношением
![\[
G = \frac{1}
{{Q_\rho }}\sqrt {\frac{C}
{L}}
\]](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\[
G = \frac{1}
{{Q_\rho }}\sqrt {\frac{C}
{L}}
\]
"\[
G = \frac{1}
{{Q_\rho }}\sqrt {\frac{C}
{L}}
\]")
,(25)
откуда, учитывая (22-24), получаем
![\[
\sigma _{\rho .ef} = \frac{1}
{{Q_\rho }}\sqrt {\frac{{\varepsilon _0 }}
{{L_k }}}
\]](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\[
\sigma _{\rho .ef} = \frac{1}
{{Q_\rho }}\sqrt {\frac{{\varepsilon _0 }}
{{L_k }}}
\]
"\[
\sigma _{\rho .ef} = \frac{1}
{{Q_\rho }}\sqrt {\frac{{\varepsilon _0 }}
{{L_k }}}
\]")
. (26)
Таким образом, измеряя собственную добротность плазменного резонатора, мы можем определить
. Используя (26) и (21) получим
![\[
\begin{gathered}
rot_{} \vec E = - \mu _0 \frac{{\partial _{} \vec H}}
{{\partial _{} t}}, \hfill \\
rot_{} \vec H = \frac{1}
{{Q_\rho }}\sqrt {\frac{{\varepsilon _0 }}
{{L_k }}} _{} \vec E + \varepsilon _0 \frac{{\partial _{} \vec E}}
{{\partial _{} t}} + \frac{1}
{{L_k }}\int {\vec E_{} dt} . \hfill \\
\end{gathered}
\]](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\[
\begin{gathered}
rot_{} \vec E = - \mu _0 \frac{{\partial _{} \vec H}}
{{\partial _{} t}}, \hfill \\
rot_{} \vec H = \frac{1}
{{Q_\rho }}\sqrt {\frac{{\varepsilon _0 }}
{{L_k }}} _{} \vec E + \varepsilon _0 \frac{{\partial _{} \vec E}}
{{\partial _{} t}} + \frac{1}
{{L_k }}\int {\vec E_{} dt} . \hfill \\
\end{gathered}
\]
"\[
\begin{gathered}
rot_{} \vec E = - \mu _0 \frac{{\partial _{} \vec H}}
{{\partial _{} t}}, \hfill \\
rot_{} \vec H = \frac{1}
{{Q_\rho }}\sqrt {\frac{{\varepsilon _0 }}
{{L_k }}} _{} \vec E + \varepsilon _0 \frac{{\partial _{} \vec E}}
{{\partial _{} t}} + \frac{1}
{{L_k }}\int {\vec E_{} dt} . \hfill \\
\end{gathered}
\]")
(27)
Рассмотрим решение системы уравнений (27) в точке
, при этом, поскольку
![\[
\varepsilon _0 \frac{{\partial _{} \vec E}}
{{\partial _{} t}} + \frac{1}
{{L_k }}\int {\vec E_{} dt} = 0
\]](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\[
\varepsilon _0 \frac{{\partial _{} \vec E}}
{{\partial _{} t}} + \frac{1}
{{L_k }}\int {\vec E_{} dt} = 0
\]
"\[
\varepsilon _0 \frac{{\partial _{} \vec E}}
{{\partial _{} t}} + \frac{1}
{{L_k }}\int {\vec E_{} dt} = 0
\]")
, (28)
получаем
![\[
\begin{gathered}
rot_{} \vec E = - \mu _0 \frac{{\partial _{} \vec H}}
{{\partial _{} t}}, \hfill \\
rot_{} \vec H = \frac{1}
{{Q_P }}\sqrt {\frac{{\varepsilon _0 }}
{{L_k }}} _{} \vec E. \hfill \\
\end{gathered}
\]](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\[
\begin{gathered}
rot_{} \vec E = - \mu _0 \frac{{\partial _{} \vec H}}
{{\partial _{} t}}, \hfill \\
rot_{} \vec H = \frac{1}
{{Q_P }}\sqrt {\frac{{\varepsilon _0 }}
{{L_k }}} _{} \vec E. \hfill \\
\end{gathered}
\]
"\[
\begin{gathered}
rot_{} \vec E = - \mu _0 \frac{{\partial _{} \vec H}}
{{\partial _{} t}}, \hfill \\
rot_{} \vec H = \frac{1}
{{Q_P }}\sqrt {\frac{{\varepsilon _0 }}
{{L_k }}} _{} \vec E. \hfill \\
\end{gathered}
\]")
(29)
Решение этой системы уравнений хорошо известно. Амплитуда волны, уходящая вглубь рассматриваемой среды, убывает по закону
![\[
e^{ - \frac{z}
{{\delta _{p.} _{ef} }}}
\]](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\[
e^{ - \frac{z}
{{\delta _{p.} _{ef} }}}
\]
"\[
e^{ - \frac{z}
{{\delta _{p.} _{ef} }}}
\]")
.
Поскольку при помощи плазмы может быть создан макроскопический одночастотный резонатор, то такой резонатор представляет интерес для разработки и создания электрокинетических лазеров. При достаточно больших значениях
энергия магнитных полей вблизи поперечного резонанса значительно меньше, чем кинетическая энергия носителей тока и энергии электрических полей. Поэтому в первом приближении магнитные поля можем не учитывать. Кроме того, при малых потерях, поперечная фазовая скорость всегда будет значительно больше скорости света. Поэтому, мы можем положить
![\[
\begin{gathered}
rot_{} \vec E \cong 0, \hfill \\
\frac{1}
{{Q_p }}\sqrt {\frac{{\varepsilon _0 }}
{{L_k }}} _{} \vec E + \varepsilon _0 \frac{{\partial _{} \vec E}}
{{\partial _{} t}} + \frac{1}
{{L_k }}\int {\vec E_{} dt = \vec j_{CT} ,} \hfill \\
\end{gathered}
\]](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\[
\begin{gathered}
rot_{} \vec E \cong 0, \hfill \\
\frac{1}
{{Q_p }}\sqrt {\frac{{\varepsilon _0 }}
{{L_k }}} _{} \vec E + \varepsilon _0 \frac{{\partial _{} \vec E}}
{{\partial _{} t}} + \frac{1}
{{L_k }}\int {\vec E_{} dt = \vec j_{CT} ,} \hfill \\
\end{gathered}
\]
"\[
\begin{gathered}
rot_{} \vec E \cong 0, \hfill \\
\frac{1}
{{Q_p }}\sqrt {\frac{{\varepsilon _0 }}
{{L_k }}} _{} \vec E + \varepsilon _0 \frac{{\partial _{} \vec E}}
{{\partial _{} t}} + \frac{1}
{{L_k }}\int {\vec E_{} dt = \vec j_{CT} ,} \hfill \\
\end{gathered}
\]")
(30)
где
![\[
\vec j_{CT}
\]](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\[
\vec j_{CT}
\]
"\[
\vec j_{CT}
\]")
- плотность сторонних токов.
Проинтегрировав (23) по времени и разделив обе части на
получим
![\[
\omega _{p_{} }^2 \vec E + \frac{{\omega _p }}
{{Q_p }} \cdot \frac{{\partial _{} \vec E}}
{{\partial _{} t}} + \frac{{\partial ^2 \vec E}}
{{\partial _{} t^2 }} = \frac{1}
{{\varepsilon _0 }} \cdot \frac{{\partial _{} \vec j_{CT} }}
{{\partial _{} t}}.
\]](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\[
\omega _{p_{} }^2 \vec E + \frac{{\omega _p }}
{{Q_p }} \cdot \frac{{\partial _{} \vec E}}
{{\partial _{} t}} + \frac{{\partial ^2 \vec E}}
{{\partial _{} t^2 }} = \frac{1}
{{\varepsilon _0 }} \cdot \frac{{\partial _{} \vec j_{CT} }}
{{\partial _{} t}}.
\]
"\[
\omega _{p_{} }^2 \vec E + \frac{{\omega _p }}
{{Q_p }} \cdot \frac{{\partial _{} \vec E}}
{{\partial _{} t}} + \frac{{\partial ^2 \vec E}}
{{\partial _{} t^2 }} = \frac{1}
{{\varepsilon _0 }} \cdot \frac{{\partial _{} \vec j_{CT} }}
{{\partial _{} t}}.
\]")
(31)
Если (31) проинтегрировать по поверхности нормальной к вектору
и ввести электрический поток как
![\[
Ф_E = \int {\vec Ed\vec S,}
\]](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\[
Ф_E = \int {\vec Ed\vec S,}
\]
"\[
Ф_E = \int {\vec Ed\vec S,}
\]")
получим
![\[
\omega _p^2 Ф_E + \frac{{\omega _p }}
{{Q_p }} \cdot \frac{{\partial _{} Ф_E }}
{{\partial _{} t}} + \frac{{\partial ^2 Ф_E }}
{{\partial _{} t^2 }} = \frac{1}
{{\varepsilon _0 }} \cdot \frac{{\partial _{} I_{CT} }}
{{\partial _{} t}}
\]](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\[
\omega _p^2 Ф_E + \frac{{\omega _p }}
{{Q_p }} \cdot \frac{{\partial _{} Ф_E }}
{{\partial _{} t}} + \frac{{\partial ^2 Ф_E }}
{{\partial _{} t^2 }} = \frac{1}
{{\varepsilon _0 }} \cdot \frac{{\partial _{} I_{CT} }}
{{\partial _{} t}}
\]
"\[
\omega _p^2 Ф_E + \frac{{\omega _p }}
{{Q_p }} \cdot \frac{{\partial _{} Ф_E }}
{{\partial _{} t}} + \frac{{\partial ^2 Ф_E }}
{{\partial _{} t^2 }} = \frac{1}
{{\varepsilon _0 }} \cdot \frac{{\partial _{} I_{CT} }}
{{\partial _{} t}}
\]")
,(32)
где
- сторонний ток.
Уравнение (32) является уравнением гармонического осциллятора с правой частью, характерное для двухуровневых лазеров. Если источник возбуждения отключить, то мы будем иметь дело с 'холодным' лазерным резонатором, в котором колебания будут затухать по экспоненциальному закону
![\[
Ф_E (t) = Ф_E (0)_{} e^{i\omega _P _{} t} \cdot e^{ - \frac{{\omega _P }}
{{2Q_P }}_{} t}
\]](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\[
Ф_E (t) = Ф_E (0)_{} e^{i\omega _P _{} t} \cdot e^{ - \frac{{\omega _P }}
{{2Q_P }}_{} t}
\]
"\[
Ф_E (t) = Ф_E (0)_{} e^{i\omega _P _{} t} \cdot e^{ - \frac{{\omega _P }}
{{2Q_P }}_{} t}
\]")
,(33)
т.е. макроскопический электрический поток
![\[
Ф_E (t)
\]](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\[
Ф_E (t)
\]
"\[
Ф_E (t)
\]")
будет осциллировать с частотой
, время релаксации при этом определяется соотношением
![\[
\tau = \frac{{2Q_P }}
{{\omega _P }}
\]](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\[
\tau = \frac{{2Q_P }}
{{\omega _P }}
\]
"\[
\tau = \frac{{2Q_P }}
{{\omega _P }}
\]")
. (34)
Задача создания лазера на таком резонаторе заключается теперь лишь в умении возбудить такой резонатор.
Если резонатор возбуждается сторонними токами, то такой резонатор для этих токов представляет полосовой фильтр с резонансной частотой равной плазменной частоте с полосой пропускания
![\[
\Delta \omega = \frac{{\omega _p }}
{{2Q_p }}
\]](http://www.dubinushka.ru/form/formact.php?math=\[
\Delta \omega = \frac{{\omega _p }}
{{2Q_p }}
\]
"\[
\Delta \omega = \frac{{\omega _p }}
{{2Q_p }}
\]")
. (35)
Меняя плотность носителей зарядов в плазме, можно перестраивать резонансную частоту такого фильтра. Эта особенность может служить основой для создания полосовых фильтров с быстрой перестройкой частоты. Схема такого фильтра очень проста. Газоразрядную плазму ионизируют посредством СВЧ сигнала, меняя мощность которого , меняют частоту резонансного фильтра.
На этой основе могут быть также построены индикаторы и измерители жесткого гамма излучения. Если газоразрядную плазму дополнительно облучать гамма излучением, то плотность свободных носителей зарядов в ней будет меняться, что повлечет за собой изменение частоты плазменного резонанса.
Другим важным практическим применением поперечного плазменного резонанса является возможность его использование для разогрева и диагностики плазмы. Если добротность плазменного резонатора велика, что может быть достигнуто при высокой проводимости плазмы, то в таком резонаторе могут быть получены высокие уровни электрических полей, а значит и высокие энергии носителей зарядов.
Видите, сколько интересных и важных практических применений имеет поперечный плазменный резонанс, о существовании которого до публикации перечисленных ниже работ никто не знал.
1. Менде Ф. Ф. Существуют ли ошибки в современной физике. Харьков, Константа, 2003.- 72 с. ISBN 966-7983-55-2.
2. Менде Ф. Ф. Непротиворечивая электродинамика. Харьков, НТМТ, 2008, - 153 с. ISBN 978-966-8603-23-5.
http://fmnauka.narod.ru/links.html 3.Transversal plasma resonance in a nonmagnetized plasma and possibilities of practical employment of it.
http://arxiv.org/abs/physics/0506081
- представленные на уважаемый форум ФФ МГУ с целью подискутировать не найдут адекватного и достойного больших ученых отклика... 
