Да уравнение квадратное, какое счастье.

Это просто-напросто означает, что ускорения равны нулю и ракеты не ускоряются, или ракеты ускоряются, но летят строго сбоку одна от другой. Достаточно бессодержательное условие.

Мсье Какоткин, вам пудрят мозги.

Здесь - пудрят. Адназначна

Вот именно. Закон движения ракеты в ИСО определяется однозначно 4-вектором w ускорения в ее cобственной СО:
w=
В рассматриваемом простейшем случае закон движения будет иметь следующий вид:


Так что Munin просто придирается...
Градиентом обладает не ускорение, которое всегда постоянно по условию задачи, а вектор тяги ракеты. Тяга должна меняться именно таким образом чтобы две фисически связанные ракеты двигались с одинаковым постоянным скорением
Есть мнение что это в принципе невозможно...
http://arxiv.org/PS_cache/gr-qc/pdf/0301/0301050v1.pdf

Lorentz contraction and accelerated systems 7
5. Conclusion
As we have seen by elementary considerations, the simple scheme of two equally
accelerated observers leads to results consistent with the Lorentz contraction in any
case. When the two observers are physically connected, the material bridge between
them insures the classical contraction. When the two observers are not connected, the
relativity of simultaneity produces, from the view point of the rear observer, a forward
flight of the front observer, which in the end will be seen as an increase in the proper
distance, leading, via Lorentz contraction, to a distance, in the frame of the static
observer, exactly equal to the initial one.
There is no need to analyze in detail the accelerated phase, when such concepts as
an extended proper distance are ill defined. Actually the same conclusions are reached
no matters what the acceleration programs are, provided they are equal with respect to
proper times. The reason why we have considered constant proper acceleration has been
just for the sake of simplicity in intermediate steps. We have also implicitly assumed
that the sizes of physical systems we considered, were small enough not to incur into
troubles with horizons and other difficulties typical of extended accelerated reference
frames [10][14]
We think that proposing an example/exercise of this sort to the students would
produce a deeper insight in the principles of special relativity.

Здесь явно придираетесь (к словам) Вы, Котофеич!


Цитирую себя:

Только ускорение другой ракеты в той же СО имеет совсем другую величину, так что вранье остается враньем.

Интересно было бы узнать какую именно ?



Законы движения обеих ракет в ИСО имеют следующий вид



по условию задачи. Оба закона выражаются через один и тот же параметр
Я же ясно сказал, что любые побочные эффекты копенсируются системой управления ведущей ракеты.

http://arxiv.org/PS_cache/gr-qc/pdf/0301/0301050v1.pdf

Если Вы намекаете на это
4. Two physically connected accelerated observers Let us now consider a situation where both observers at R and F are physically
connected by a spring. In this condition, one could expect the two ends of the rod to be equally accelerated,
however, just as in a gravitational field, when trying to keep the length of a spring fixed notwithstanding gravity, the spring will react with a pull on both ends, since its rest length is now shorter than what it would be without acceleration. The consequence
will be that the actual acceleration of the front end will be a little bit less than what the engine alone would produce, and the acceleration of the rear end will be a little bit more for the same reason. In this way, the proper times of the two engineers will no
longer be the same at a given coordinate time and the two world lines of the ends of the spring will no longer be equal hyperbolae (see figure 2). In fact, the rear world line will in general be more curved than the front one. When the engines stop thrusting, at the same proper times of the engineers, but at different coordinate times, after some transient (including oscillations and dissipation of energy) the situation will be such that the spring will remain unstretched in its rest frame, i.e. its proper length will again be l and of course its both ends will move at the same coordinate speed. The Earth bound observer will measure a properly contracted length
то нет проблем, пусть будет

ускорение ведущей ракеты.

Вот и посчитайте.

Ну, слава Господу! Не прошло и месяца, как Котофеич, пинаемый peregoudov'ым, решил задачку на применение преобразований Лоренца.



Давайте сперва Ваше решение малек упростим. Нарисум картинку, на которой обозначим оси t и x ИСО Земли, мировые линии ракет и ось x' штрихованной ИСО, движущейся относительно ИСО Земли со скоростью v. Известно, что такая штрихованная система является мгновенно сопутствующей ракете A, когда та находится в точке A, а расстояние OA в штрихованной системе равно единице. Расстояние OB в штрихованной ИСО тогда равно отношению x-координат точек A и B, которые мгновенно находятся из решения квадратных уравнений

(в данном случае второе уравнение не является собственно полноценным квадратным, но при произвольной длине троса было бы). Имеем , , так что . Расстояние AB, очевидно, равно
.

В том, что t' Котофеича совпадает с моим v, можно убедиться, взглянув на его формулу (14).
http://forum.dubinushka.ru/index.php?showt...st&p=356370

Только все эти вычисления ни разу не являются решением парадокса, а в лучшем случае тянут лишь на его формулировку. То, что расстояние между ракетами в разных ИСО разное --- это тривиальный факт. Все, что мы сделали, --- применили преобразования Лоренца. Ну, поглядели на ракеты из другой ИСО, что дальше?

Для неискушенного в СТО полученный результат составляет суть парадокса: как же так, в ИСО Земли расстояние между кораблями остается постоянным во времени, а в каких-то других ИСО меняется, причем можно указать последовательность ИСО, для которой расстояние неограниченно растет?

Для сведующих в СТО это тривиально означает, что расстояние не является физической величиной, в том смысле, что разные наблюдатели имеют по поводу его величины разные мнения (наоборот, сам факт разрыва троса является физическим событием, по этому поводу у всех наблюдателей должно быть единое мнение). Это, конечно же, означает, что изменение расстояния между кораблями не обязательно ведет к физическому растяжению троса. Для сведущего в СТО совершенно очевидно, что нужно ввести инвариантное удлинение (я обозначаю его ) и формулировать условие разрыва на его языке.

(1).В силу постулата локальности:
http://arxiv.org/PS_cache/gr-qc/pdf/0301/0301065v1.pdf
(According to the standard theory of relativity, a noninertial observer is at each
instant equivalent to an otherwise identical momentarily comoving inertial observer.
This hypothesis of locality postulates a pointwise equivalence between noninertial
and ideal inertial observers.),
мгновенная длина троса в мгновенной сопутствующей ракетам ИСО равна длине троса в соответствующей НСО.
(2) Элементарное "решение" задачи Белла с помощью преобразований Лоренца, может дать только очень грубое условие разрыва.
Насколько я понял из разговоров с Вами на SciTec, Вы полностью согласны с пунктами (1) и (2), но дополнительно утверждаете, что более точное лоренцинвариантное (общековариантное) условие разрыва троса, можно получить исходя из решения соответствующей динамической задачи?

1. Я никогда и нигде не говорил про неинерциальные системы отсчета. Наоборот, всегда открещивался от их использования. Поэтому пункт (1) я никак "подтверждать" не мог, это Ваши фантазии.

2. Если под "элементарным решением" Вы понимаете вот это
http://forum.dubinushka.ru/index.php?showt...st&p=358914,
то с пунктом (2) я согласен.

3. Условие является не "более точным", а лоренц-инвариантным. Почувствуйте разницу.

4. Про общую ковариантность (равно как и про неинерциальные системы отсчета) я ничего не говорил. Если Вы хотите рассматривать проблему в том числе из НСО, то нужно, конечно, обобщить и растяжение и уравнения движения, так чтобы они были общековариантны.

5. Ответ на качественный вопрос: "Порвется ли трос в принципе хоть когда-нибудь или выдержит на всем бесконечном интервале времени движения?" можно получить без динамического рассмотрения, чисто кинематичеки. Но рассуждать надо на языке инвариантного удлинения.

Почему бы Вам не заняться этим вопросом ?

Во-первых, это не вопрос: берете ЛЛ2 и обобщаете. Во-вторых, не вижу практического смысла.

Фомально проблем нет. Но в НСО нет однозначного способа выбора 3-пространственной метрики. Соответственно с корректным определением тензора деформаций есть проблемы.

Пока речь шла только об одномерном случае. Хотя это весьма альтернативно --- болтать про трехмерный случай, не разобравшись в одномерном.

На самом деле проблем нет и с трехмерным случаем. Если уже сформулированы лоренц-инвариантные уравнения, то общековариантные выписываются по ним с помощью все того же ЛЛ2. В частности, в ЛЛ6 есть такие уравнения для жидкости.

То что сами уравнения выписываются элементарно, так это ясно. Меня интересует как Вы будете определять длину троса в его собственной СО, если компоненты ее метрического тензора имеют ненулевые перекрестные члены.

peregoudov, вас сейчас заболтают влево от темы.

Это не так просто


Я так понимаю, мы все же об одномерном случае говорим. Котофеич, Вы до сих пор не въехали. Не нужно определять длину троса, условие разрыва локальное. Просто смОтрите на величину .

Почему Вы думаете, что я не въехал, обидно даже. Просто я решаю совсем другую задачу, а условие разрыва меня мало интересует, хотя это тоже важно. Если помните я задавал этот же вопрос Подосенову для более простого случая равноускоренной среды, но вразумительного ответа не получил. Может Вам что нить известно?

Не помню. Сформулируйте вопрос четко и прямо здесь (ссылок не надо).

Перегудова так просто не заболтаешь. О хорошо знает математику. Читал я у него на сайте про Дзета функцию Римана-Эпштейна.

Правильно. Дайте ссылку для Munin'а

Munin знает, имхо. А не знал бы, то нашел бы и без меня. Да и к сабжу это не относится, а рекламировать в чужих темах - запрещено правилами форума...

Подосенов и Логунов берут пространственную метрику для НСО в том же виде как в ЛЛ Т.2 (84.6)
http://www.phys.spbu.ru/content/File/Libra...hys/landau2.djv
Это просто обычное радарное расстояние из ОТО:



Есть еще т.н. геометрическое расстояние:



Какую из двух метрик Вы выберете для определения длины троса в его собственной СО?

Я в ОТО не разбираюсь, такие вопросы лучше другому кому задать.

Я бы не выбрал никакую. По той простой причине, что "длина троса" не имеет физического смысла. А Ваш вопрос, ИМХО, из разряда (проецируя на СТО): "Как вы определите длину троса: как расстояние между его концами в ИСО1 или в ИСО2?"

peregoudov Речь идет не о "длина троса" вообще, а о собственной длине троса в его собственной СО, базисом которой является сам трос и две ракеты. Собственная (геометрическая) длина троса может быть измерена линейкой, если Вы будете перемещаться вдоль троса.
В проекции на СТО формула (2) просто означает, что геометрическая длина линейки покоящейся
в ИСО , в этой же самой ИСО равна разности координат ее концов измеренных в этой же самой ИСО :

А собственная длина троса --- это константа, типа массы покоя элементарной частицы. Зачем ее вообще вычислять?

Согласен, что константа [с некоторыми оговорками условий задачи]. Но все же поясните более подробно, почему Вы так считаете.
Например Подосенов утверждает, что в своей собственной СО трос растягивается (в координатном времени ) по закону:.
P.S. При равноускоренном движении ракет с 4-ускорением в их собственных СО равным w= за счет мгновенного (кинематического) лоренцева сокращения длины троса, в исходной ИСО, у Вас будет
,
где мгновенная длина троса в его собственной СО.
НО поскольку в исходной ИСО расстояние между ракетами не изменяется

то это означает, что в собственной СО, трос должен растянуться в точности в раз, т.е. в его собственной СО собственная длина троса, в фиксированный момент координатного времени, должна быть равна
.
Но этого не происходит,поскольку как Вы сами заметили:
.
Таким образом, при рассмотрении величины собственной длины троса в его собственной СО будет противоречие с величиной собственной длины троса в исходной ИСО

Ага, и в СТО есть противоречие между длиной равномерно движущегося стержня в собственной ИСО и его длиной в другой ИСО! Как вообще может возникнуть какое-то противоречие, если заранее известно, что величина неинвариантна и в разных СО имеет разные значения?

В СТО такого противоречия нет, потому что там длина неинвариантна и только. А в рассмотренном выше примере, длина инвариантна и неинвариантна одновременно. Прочитайте более внимательно.
P.S. Противоречие возникло именно в силу Вашего утверждения, о независимости собственной длины троса в НСО от времени.

Это как? Каждая величина преобразуется при смене СО вполне определенным образом.
Что Вы понимаете под "собственной длиной троса"? Дайте определение. Мое определение: это интервал изменения параметра s (см. мои посты в "Кажущихся парадоксах СТО").

peregoudov собственная длина троса это его длина в собственной СО, т.е. это длина, которую меряет наблюдатель, перемещающийся по тросу с линейкой. Cогласитесь, что это определение имеет ясный физический смысл
Вы, надо понимать, имеете в виду длину интервала где ?
Это длина троса в ИСО "Земля". При переходе из ИСО в НСО троса, эта величина сохраняется в силу того, что длина отрезка в одномерном евклидовом пространстве инвариантна при гладкой репараметризации этого отрезка, соответствующей переходу из ИСО в собственную НСО троса. В качестве простого примера, возьмите вместо белловского троса равноускоренную среду.
Так что в количественном смысле, у нас с Вами одно определение "собственной длины троса".

Решение самого Белла было изложено в частности в его известной книге:
Speakable and unspeakable in quantum mechanics. - Cambridge: Cambridge University Press, 1987. ISBN ISBN 0-521-52338-9 Известная книга, содержащая перепечатку исходной статьи Белла 1976 года.
Ускорение в ответ действительно не входит Но рассуждения самого Белла носят чисто наводящий характер.

Bell: "Then, for example, in the rocket problem of the introduction, the material of the rockets, and of the thread, will Lorentz contract. A sufficiently strong thread would pull the rockets together and impose Fitzgerald contraction on the combined system. But if the rockets are too massive to be appreciably accelerated by the fragile thread, the latter has to break when the velocity becomes sufficiently great."
So far we have discussed moving objects, but not yet moving subjects. The question of moving observers is not entirely academic. Quite apart from people in rockets, it seems reasonable to regard the earth itself, orbiting the sun, as moving - at least for much of the year7. The important point to be made about moving observers is this, given Lorentz invariance: the primed variables, introduced above simply for mathematical convenience, are precisely those which would naturally be adopted by an observer moving with constant velocity who imagines herself to be at rest. Moreover, such an observer will find that the laws of physics in these terms are precisely those that she learned when at rest (if she was taught correctly).
Перевод:
[Тогда, например, в проблеме ракеты введения, материал ракет, и нити, будет контракт Lorentz. Достаточно сильная нить сплотила бы ракеты и наложила бы сокращение Fitzgerald на объединенную систему. Но если ракеты слишком массивны, чтобы быть заметно ускоренными хрупкой нитью, последний должен сломаться, когда скорость становится достаточно большой.]

При более подробном рассмотрении, ускорение все же появится в решении.
Пусть мгновенная длина троса в ИСО,мгновенная длина троса в собственной СО. С учетом мгновенного лоренцева сокращения имеем:


где



Подставив в (1) выражение для имеем:

или


По условию задачи (в силу закона движения ракет) в ИСО выполнено условие:

Таким образом функция неограниченно растет со временем, что полностью согласуется
с вычислениями
http://forum.dubinushka.ru/index.php?s=&am...st&p=356370

Оригинальная формулировка белловского парадокса сильно затуманивает суть дела, поскольку
навевает мысли про упругость и прочую дребедень, не имеющую прямого отношения к делу.
Для анализа этого парадокса никаких уравнений МСС решать не надо.

Закон движения точек троса может быть выбран достаточно произвольно, лишь бы он удовлетворял белловским граничным условиям. В частности можно считать, что все точки троса движутся равноускоренно, под действием некоторой распределенной силы...
Такой равноускоренный трос, вместе с двумя точечными ракетами, задает базис простейшей НСО, которую принято называть НСО Логунова (НСОЛ). Многие думают, что НСОЛ это всегда некая пылевидная среда Это просто частный случай НСОЛ--одна из ее возможных физических реализаций и надо сказать крайне неудачная.
Пусть для примера, трос описывается в ИСО нелинейным волновым уравнением:




Возьмем произвольную достаточно гладкую функцию удовлетворяющую условиям . Подставив эту функцию в уравнение мы получим выражение для распределенной силы:


Закон движения точек равноускоренного троса имеет следующий вид:

Соответственно в рассматриваемом простейшем случае для функции имеем выражение:

Неа, разные. Ваша длина --- это что-то типа интеграла по кривой, ортогональной (1+1)-скорости троса
.
(Интергирование по интервалу.) Если считаете, что наши "длины" совпадают, доказывайте.

Начнем с "расстояния" между двумя одновременными событиями в ИСО. ИСО в рассматриваемом нами случае это просто 2-пространство Минковского с его обычной метрикой

Множество всех одновременных событий обозначим .
На этом множестве метрика вырождается в метрику
.
Введем на множестве евклидово расстояние по формуле
.
В интегральной форме имеем

Мгновенная длина троса в ИСО, это расстояние между двумя t-одновременными событиями, соответствующими одновременному засеканию его концов в точках
Таким образом мгновенная длина троса в ИСО постоянна и совпадает с Вашей.

Ошибка уже здесь
У нас другое множество. Смотри значок под интегралом.

Там нет никакой ошибки. Это просто стандартное определение из учебника. Мгновенная длина троса в ИСО, согласно такому определению, равна Концы троса 1 и 2 движутся по закону:
и

соответственно.

Теперь будем переходить из ИСО в НСО в соответствии с тем что сказано здесь http://forum.dubinushka.ru/index.php?s=&am...st&p=361741
см. формулы
Такой переход равносилен переходу от 2-пространство Минковского с его обычной метрикой
к некоторому новому псевдоэвклидовскому пространсту с координатами посредством следующей замены координат в пространстве

Подставив в (1) выражения:
и

имеем следующее выражение для метрики пространства :

Детали имееются в монографии (см. параграф 12 стр.167)
http://arxiv.org/PS_cache/physics/pdf/0408/0408077v4.pdf
Множество одновременных событий пространства обозначим
На множестве метрика вырождается в метрику

Зададим на множестве евклидову метрику следующего вида

Мгновенная собственная длина равноускоренного троса в НСОЛ задается с помощью метрики в евклидовом пространстве
В силу закона движения концов троса в ИСО его мгновенная собственная длина в НСОЛ не зависит от времени и равна Тем самым определена собственная длина равноускоренного троса в НСОЛ, которая совпадает с его мгновенной длиной в исходной ИСО. Физический смысл этого определения состоит в том, что собственная длина троса в НСОЛ это длина которую измерит наблюдатель перемещающийся вдоль троса с жесткой линейкой.
Продолжение по ссылке:
http://forum.dubinushka.ru/index.php?s=&am...st&p=364517

Преобразования Фока приводят к коррекции уравнений движения релятивистской и даже классической механики для случая больших ускорений. Это может оказаться важным для многих астрофизических задач.

Небольшое дополнение к посту 60
http://forum.dubinushka.ru/index.php?showt...st&p=360333

Вычислим, чему равна скорость ракеты B в штрихованной ИСО в момент времени (то есть в тот момент времени, когда скорость ракеты A в штрихованной ИСО равна нулю). Законы движения ракет в ИСО Земли (нештрихованной) имеют вид

Чтобы пересчитать это в штрихованную ИСО, движущуюся относительно Земли со скоростью , воспользуемся преобразованиями Лоренца
.
Подставляя выражения нештрихованных координат и времени в законы движения ракет, находим

Из первого находим или, в явном виде

Скорость ракеты A равна

В момент времени скорость ракеты A равна нулю, то есть именно в этот момент времени штрихованная система является мгновенно сопутствующей ракете A. Вычислим скорость ракеты B в штрихованной системе в этот же момент времени. Решая квадратное уравнение, находим

Дифференцируя, находим
.

И что отсюда по Вашему следует?

Да всего лишь относительность одновременности. В штрихованной системе ракета В стартовала раньше (можно даже вычислить, на сколько), и к моменту остановки ракеты А, она успела уже разогнаться до скорости v.

Результат забавен совпадением - это заранее совсем не очевидно, ИМХО.

Это все понятно, но я имел в виду совсем другое. Обычно отсюда делают вывод, что и в НСО трос удлиняется.

Начало по ссылке:

http://forum.dubinushka.ru/index.php?s=&am...st&p=359424

Продолжение:

Отметим, что существует два типа ИСО:

1. Лоренцевские - связанные линейными преобразованиями Лоренца и

2. Фоковские - связанные нелинейными преобразованиями Лоренца-Фока.

В основе стандартного подхода к построению релятивистской механики лежит постулат локальности:
http://www.citebase.org/fulltext?format=ap...gr-qc%2F0003093
(L) The standard extension of Lorentz invariance to accelerated observers in Minkowski spacetime is based
on the hypothesis of locality, namely, the assumption that an accelerated observer is locally equivalent to a momentarily comoving inertial observer.

Мы будем исходить из более общего постулата, согласно которому:
(F) ускоренный наблюдатель эквивалентен мгновенно сопутствующему Фоковскому наблюдателю, т.е. некоторой мгновенно сопутствующей фоковской ИСО.

Парадокс Белла можно устранить с помощью более общих преобразований, чем классические преобразования Лоренца-Фока









описанные в посте #20.
Физическая подоплека излагаемого подхода, состоит в том, что в НСО пространство-время является анизотропным и параметр уже не будет константой, а некоторой функцией координат, т.е.



В дальнейшем нам понадобиться аналог формулы Лоренца, для случая преобразований

Рассмотрим сначала случай, когда выполнено следующее условие:



В силу равенств и неравенства мы имеем:





Пусть стержень покоится в штрихованной системе отсчета и координаты его концов, измеренные в в момент времени принимают значения
и соответственно (тогда его мгновенная собственная длина есть ) где
а координаты его концов в нештрихованной системе отсчета засекаются в момент времени и при этом принимают значения и

В силу равенства для метрики пространства событий Фока, мы имеем:



В силу равенства для квадрата мгновенного геометрического расстояния

в пространстве Фока, мы имеем следующее выражение:



В силу равенства мы имеем:









Перейдем теперь к решению парадокса Белла. В силу того что было показано ранее (см. Сообщение #90),
в случае равноускоренного троса, с необходимостью вытекающей из чисто геометрических соображений,имеет место равенство:



В силу условия Белла, мы имеем уравнение:



В силу равенств для определения функции



мы имеем следующее функциональное уравнение:



где





Неравенство примет следующий вид:

где

мгновенная скорость точек троса в лабораторной ИСО

Учитывая, что для равноускоренного троса, все точки которого имеют ускорение в собственной CO

троса , гамма-фактор имеет следующий вид :



в силу неравенства мы имеем



Таким образом, если длина троса удовлетворяет следующему неравенству:



[т.е. условие выполнено с большой точностью] и при этом одновременно уравнение имеет решение, то парадокс Белла отсутствует.

Таким образом для протяженных ускоряющихся тел, ускоряющихся в течении достаточно длительного промежутка времени, преобразования Лоренца необходимо заменить на преобразования Лоренца-Фока, даже если величина ускорения сколь угодно мала.

Таким образом задача сводится к исследованию уравнения

Рассмотрим простейший случай задачи Белла, когда ракеты почти мгновенно разгоняются до скорости




В этом случае мы можем в частности положить



В этом случае, уравнение (26) имеет простой вид:



откуда мы получаем





Ушла на обед.

Отметим, что есть понятие ИСО по Ньютону, связаные с условием прямолинейного и равномерного движения свободных тел. Эти ИСО используются как в классике, так и в СТО. В ОТО тоже, только накладывается ограничение локальности. И характерно, что ИСО не связаны ни с какими преобразованиями, ни Галилея, ни Лорентца, ни, тем более, Фока. Далее ИСО можно классифицировать по способу задания координатной сетки, можно использовать сферические координаты, можно декартовы. В последнем случае можно использовать равномерную шкалу, можно логарифмическую и пр. Поясните плз отличия рассматриваемых Вами ИСО в части принципа их построения.

Под инерциальной системой отсчета принято понимать такую СО, в которой свет распространяется по закону



Или что эквивалентно, уравнение фронта ЭМ-волны, должно иметь вид



Узкий принцип относительности требует, чтобы при переходе в другую ИСО, закон или сохранял свою форму, т.е. в другой ИСО
этот закон должен иметь вид



Узкий принцип относительности требует только постоянства скорости света в различных ИСО.
Такие две ИСО в общем случае связаны некоторым нелинейным преобразованием координат:


Множество таких преобразований не совпадает с множеством линейных преобразований Лоренца Это множество намного шире, т.е.
Отсюда и следует, что в природе существует два типа ИСО, о которых я Вам говорил.

Экспериментальный и надежно установленный факт, состоит только в постоянстве скорости света. Но из этого постулата, как хорошо известно, следуют намного более общие преобразования чем лоренцевские.

Широкий принцип относительности или т.н. принцип относительности Эйнштейна-Пуанкаре который Эйнштейн, в свое время позаимствовал у Пуанкаре, это совершенно абстрактное и достаточно произвольное ограничение, высосанное математиком Пуанкаре просто из пальца.
Этот принцип как раз и служит чисто математическим условием, которое выделяет из множества фоковских преобразований, очень узкое подмножество линейных преобразований Лоренца. Тем не менее для точечных частиц принцип относительности Эйнштейна-Пуанкаре оказался очень хорошим приближением...

3. Динамика точечной частицы в пространстве Фока.

Для построения лагранжиана точечной частицы в пространстве Фока, мы будем использовать следующий инвариант:



Как обычно предполагаем, что движение точечной массивной частицы, описывается 4-вектором

где параметр не обязательно интерпретируется как "время".
Инвариант перепишем в следующем виде



Пусть некоторый достаточно малый временной масштаб, физический смысл которого, будет ясен из дальнейших построений.
Конечные разности в вычислим на решетке с шагом



Разлагая функцию в ряд Тейлора, в малой окрестности точки имеем:



Подстановка равенств в дает:

где



В силу имеем



Таким образом лагранжиан точечной частицы имеет следующий вид:



4-импульс частицы определяется каноническим способом:

Преобразования Лоренца- Фока
С. Н. Манида

http://www.phys.spbu.ru/library/studentlectures/manida/

Специальная теория относительности построена на линейных преобразованиях Лоренца. Однако, еще в работе В. А. Фока [1]показано, что переход между различными инерциальными системами отсчета может осуществляться дробно-линейными преобразованиями. Явный вид этих преобразований содержит две фундаментальные постоянные разной пространственно-временной размерности. Их можно привести к постоянной с размерностью скорости и к постоянной с размерностью обратного времени. Первая из этих постоянных имеет смысл 'скорости света', а вторая - смысл 'постоянной Хаббла'. Картина расширяющейся однородной Вселенной оказывается при таких преобразованиях (в отличие от обычных преобразований Лоренца) ковариантной, а скорость света - зависящей от времени.

Такова обычная стандартная интерпретация преобразований Лоренца-Фока.

Преобразований Лоренца-Фока, первоначально были получены Фоком исходя из требования форминвариантности уравнения фронта световой волны относительно гладкой замены координат:





Преобразования Лоренца-Фока образуют группу, содержащую в качестве подгруппы группу изоморфную группе т.н. сингулярных преобразований Мебиуса и подгруппу изоморфную группе Лоренца Группу преобразования Лоренца-Фока мы обозначим символом
Классический вывод этих преобразований имеется в приложении А книги Фока
Фок А.В. Теория пространства времени и тяготения
http://jaykovfoukzon.narod.ru/FOK.djvu
Нажмите для просмотра прикрепленного файла
Условие форминвариантности уравнения эквивалентно выделению некоторого класса систем отсчета для которых выполнено следующее условие:
любое прямолинейное равномерное движение со скоростью света всегда переходит только в прямолинейное равномерное движение со скоростью света при переходе из одной СО принадлежащей классу в любую другую СО принадлежащую этому же классу классу
В силу своей существенной нелинейности, преобразования Лоренца-Фока не сохраняют вид функции и таким образом СО из класса согласно традиционной точке зрения, не являются инерциальными. Такие СО мы будем называть инерциальными СО или фоковскими ИСО.

Класс обычных ИСО связанных преобразованиями из группы Лоренца, как известно определяется однозначно следующим условием Фока:
любое прямолинейное равномерное движение со скоростью всегда переходит только в прямолинейное равномерное движение со скоростью при переходе из одной ИСО принадлежащей классу в любую другую СО принадлежащую этому же классу .

Таким образом свойство является фундаментальным характеристическим свойством группы Лоренца. Это обстоятельство наводит на мысль, что преобразования Лореца, вообще говоря, могут связывать между собой только такие два множества событий и которые связаны с равномерным движением. В других случаях это возможно только очень хорошее приближение. Таким образом релятивистская механика построенная исходя из требования лоренцинвариантности может носить только приближенный характер, если вопрос касается ускоренного движения тел и даже точечных частиц.

Преобразования Фока образуют группу, которая есть некоторое специальное нелинейное представление линейной группы Лоренца, которое в символической записи имеет следующий вид:



где произвольный элемент группы Лоренца,



Положив перепишем в виде



Откуда имеем следующие равенства:





В силу равенства мы имеем:



В силу равенства мы имеем:



Подставив в последнее равенство выражение получим



Таким образом для обратного оператора мы имеем выражение:



Детали имеются например в этой статье:
http://lanl.arxiv.org/abs/hep-th/0112090v2

Lorentz invariance with an invariant energy scale
http://lanl.arxiv.org/PS_cache/hep-th/pdf/0112/0112090v2.pdf
http://lanl.arxiv.org/format/hep-th/0112090
Authors: Joao Magueijo, Lee Smolin
(Submitted on 11 Dec 2001 (v1), last revised 18 Dec 2001 (this version, v2))
Abstract: We propose a modification of special relativity in which a physical energy, which may be the Planck energy, joins the speed of light as an invariant, in spite of a complete relativity of inertial frames and agreement with Einstein's theory at low energies. This is accomplished by a non-linear modification of the action of the Lorentz group on momentum space, generated by adding a dilatation to each boost in such a way that the Planck energy remains invariant. The associated algebra has unmodified structure constants, and we highlight the similarities between the group action found and a transformation previously proposed by Fock. We also discuss the resulting modifications of field theory and suggest a modification of the equivalence principle which determines how the new theory is embedded in general relativity.

В силу мы имеем:









где



Покажем, что это действительно так. Вычислим значение вектора



где вектор задан формулой

Таким образом









Вычислим теперь значение вектора:



Учитывая элементарное тождество:





окончательно получаем следующие равенства:









Полученные равенства, с точностью до обозначений совпадают с равенствами

Преобразования Лоренца-Фока (3)-(6) имеют следующий инвариант:



В силу в результате стандартных преобразований мы имеем следующее выражение для квадрата дифференциала длины дуги



В силу в результате стандартных преобразований мы имеем следующее выражение для



и для



Параметр обычно интерпретируют как некоторый очень большой инвариантный пространственный масштаб. Очевидно что при такой интерпретации, релятивистская механика, построенная на основе преобразований Фока
будет отличаться от обычной релятивистской механики, только если величинa будет порядка 1 или более того. Такая интерпретация этих преобразований, обычно используется при построении космологических моделей с переменной скоростью света.
Мы будем пользоваться другой интерпретацией, рассматривая параметр как характерный масштаб ускорений, см. МТУ Т1. стр.209. При такой интерпретации например пространственному масштабу в 1 световой год будет соответствовать ускорение порядка
В дальнейшем мы будем предполагать что размеры ускоренно движущихся тел, намного меньше масштаба , т.е.
.
В ультрарелятивистском случае, т.е. когда формулы принимают следующий вид:




Учитывая условие (8) имеем





Из обычным образом получаем формулу для преобразования длины стержня, покоящегося в штрихованой ИСО при переходе из ИСО в ИСО


Запишем величину в эквивалентном виде где параметр имеет размерность ускорения
Тогда равенства примут следующий вид:











Таким образом параметр может быть интерпретирован как некоторый характерный инвариантный масштаб ускорения.
В нерелятивистском случае, т.е. когда мы имеем

и равенства примут следующий вид:









Таким образом преобразования Лоренца-Фока, вносят существенную коррекцию в классическую механику при больших ускорениях, т.е. в тех случаях когда величина



стремится к

Для мы имеем в силу следующее выражение:



В силу для мы имеем также выражение



и для



Необходимо отметить также, что введенные выше дробно линейные преобразования Фока, сохраняют уравнение фронта световой волны. Доказательство см.
http://forum.dubinushka.ru/index.php?s=&am...st&p=371221
Другими словами, условие влечет условие



II. Нелинейные представление обобщенной группы Лоренца. Обобщенные преобразования Фока.

Напомним, что под обобщенной ИСО понимают такую ИСО квадрат интервала которой имеет следующий вид:



Или в эквивалентной записи через координатную скорость света [Логунов cтр.105 (12.11)]:
http://jaykovfoukzon.narod.ru/LOGUNOV.djvu



где координатные скорости света вдоль оси

Мы будем рассматривать только случай, когда обобщенная ИСО получена из галилеевой ИСО путем преобразования координат

тогда







Рассмотрим теперь нелинейное представление обобщенной группы Лоренца, преобразования которой

имеют следующий вид:







Обобщенные преобразования Фока образуют группу, которая есть некоторое специальное нелинейное представление обобщенной линейной группы Лоренца, которое в символической записи имеет следующий вид: