2 SericK:
Можно по цепочке выводить: сначала из микроканонического каноническое (система обменивается теплом с большим термостатом), потом из канонического большое каноническое (система выделена из термостата воображаемыми стенками, а сам термостат помещен еще в больший термостат).
Вот краткий набросок некоторых выводов.
Статистический вес и энтропия (рассуждения Планка)В термодинамике в равновесии энтропия составной системы стремится к максимуму
. В статистической физике наиболее вероятным оказывается такое состояние, которое можно реализовать наибольшим числом способов, то есть
. Можно провести аналогию между этими принципами и отождествить равновесное состояние термодинамической системы и наиболее вероятное состояние статистической. Тогда термодинамическая энтропия должна быть пропорциональна логарифму статистического веса, то есть
, где k - величина, одна и та же для всех видов систем; эта фундаментальная константа называется постоянной Больцмана. Поскольку энтропия измеряется в джоулях на кельвин, а статистический вес безразмерный, постоянная Больцмана также должна измеряться в джоулях на кельвин.
Формула
справедлива только в пределе
, так как только для систем большого числа частиц можно вводить термодинамическое понятие энтропии. Приближенный характер этой формулы проявляется при расчете энтропии идеального газа: приходится использовать формулу Стиргинга. Более точно формулу для связи энтропии и статистического веса можно записать так:
, где s - энтропия в расчете на частицу, предел понимается в следующем смысле:
,
,
,
,
. Этот предел называют
термодинамическим.
Читателям учебника Квасникова очень рекомендую заменить в рассуждениях автора на эту тему
на любую другую функцию
)
и попытаться понять, в каком месте это рассуждение не будет работать.
От микроканонического к каноническому распределению (квантовый перевод рассуждения Больцмана, 1871)Будем нумеровать уровни энергии системы как n, термостата - как n'. Тогда вероятность обнаружить систему на уровне n, а термостат - на уровне n' равна
} (E_n %2b E_{n'}) )
,
где выражение
} (E_n %2b E_{n'}))
равно единице, если
попадает в интервал
)
, и нулю в противном случае.
Просуммируем по уровням энергии термостата и найдем вероятность обнаружить систему на n-м уровне энергии:
} (E_n %2b E_{n'}) = const \cdot \Gamma_T(E_{\Sigma} - E_n,V_T,N_T))
.
Далее согласно формуле для связи энтропии и статистического веса находим:
} \simeq \const e^{\frac{1}{k} (S_T(E_{\Sigma},V_T,N_T) - \frac{1}{T_0} E_n %2b ...)} \simeq const e^{-\frac{1}{kT_0} E_n})
.
Формула Гиббса для статистической суммыРассмотрим статистическую сумму
. Уровни энергии, лежащие в интервале
)
, дают в нее вклад, равный произведению числа уровней энергии в этом интервале (можно оценить как
})
) на величину каждого слагаемого (оценивается как
). Заметим, что при
справедлива приближенная формула
 %2b \exp(Nb) \sim \exp(N max(a, b )))
; отсюда
 - \frac{1}{T_0}{\cal E})} = e^{-\frac{1}{kT_0} F})
.
От каноническому к большому каноническому распределению (дальнейшее обобщение рассуждения Больцмана)Пусть система отделена от термостата воображаемыми стенками. Рассмотрим вероятность того, что система имеет N частиц, которые находятся на уровне n, а термостат - N' частиц в состоянии n':
 \right) \delta_{N %2b N',N_{\Sigma}})
,
просуммируем по всем состояниям термостата:
 Z_T(T_0,V_T,N_{\Sigma}-N) )
,
учтем, что
 \simeq e^{-\frac{1}{kT_0} F_T(T_0,V_T,N_{\Sigma}-N)} \simeq e^{-\frac{1}{kT_0} F_T(T_0,V_T,N_{\Sigma}) - \mu_0N %2b ...} \simeq const e^{-\frac{1}{kT_0} \mu_0 N}.)
Отсюда получаем распределение Гиббса:
 \right))
.
Формула Гиббса для большой статистической суммыИмеем:
} \sim e^{\frac{PV}{kT_0}})
.
Иногда вспоминаю.
