Хотелось бы разобрать следующую задачу.
Имеется Земля, атом водорода и протон. Атом водорода расположен на некоторой высоте над поверхностью Земли. Он начинает падать на Землю без начальной скорости (смещением Земли и сопротивлением воздуха пренебрегаем). Зависимость его ускорения от высоты:

a = G*M/(R+h)^2

Здесь
а - ускорение,
h - высота,
М - масса Земли,
R - радиус Земли,
G - гравитационная постоянная.

Теперь заменим атом водорода на протон. Протон при движении с ускорением должен терять энергию.
Вопрос: какова будет зависимость ускорения от высоты для протона?

Как ни странно, это сложный вопрос. Я не специалист по теоретической физики, но случайно этой весной интересовался подобным вопросом. Могу изложить, как я это понимаю (уважаемые физики, не начинайте сразу нервничать, лучше объясните).

На первый взгляд, кажется, что свободно падающий точечный заряд не должен терять энергию на электромагнитное излучение. Действительно, в СТО электромагнитную волну излучает точечный заряд, движущийся ускоренно в ИСО. В ОТО нет ИСО, однако есть некий аналог --- система отсчета, связанная со свободно падающим пробным телом ("лифт Эйнштейна"). С точки зрения математики речь идет о координатной карте, в которой на некотором отрезке геодезической кривой компоненты аффинной связности равны нулю. Таким образом, свободно падающий точечный заряд покоится в "наиболее инерциальной" с точки зрения ОТО системе отсчета (я слегка упрощаю логику рассуждений).

Однако, фокус в том, что так называемый принцип эквивалентности выполняется лишь приближенно. Сила лучистого трения в ОТО состоит трех слагаемых. Одно является естественным обобщением обычной силы Дирака-Лоренца (оно полностью соответствует принципу эквивалентности и обнуляется, если точечный заряд покоится в "лифте Эйнштейна"), второе содержит компоненты тензора Риччи (оно уже нарушает принцип эквивалентности, но обнуляется, если точечный заряд движется в вакууме, где компоненты тензора Риччи равны нулю), наконец третье слагаемое толком нельзя вычислить --- оно зависит от всей предыдущей траектории и содержит компоненты тензора Римана (оно нарушает принцип эквивалентности, правда, только за счет того, что в игру вступает электромагнитное поле точечного заряда, которое уже не является локализованным объектом).

Насколько я смог понять, нет общего ответа на поставленный вопрос --- нужно решать задачу для конкретного гравитационного поля (и конкретных начальных условий). Правда, вроде бы, решен случай движения точечного заряда в слабом гравитационном поле (я не стал глубоко вникать).

На самом деле, все еще сложнее, ибо на точечный заряд (он же еще и точечная масса) действует не только электромагнитная, но и гравитационная сила лучистого трения.

Вот статья, с которой можно начать изучение проблемы (там есть ссылки на оригинальные работы Де Витта, Брема, Хоббса).

Хуснутдинов Н. Р.

Сообщение отредактировал Andrey Badin - 10.11.2011, 16:49

Андрей, спасибо за внимание к вопросу. Я попробовал подойти к нему следующим образом. Если протон теряет энергию, то ускорение ускорения должно снижаться. При наличии достаточного времени до столкновения с Землей ускорение ускорения может снизиться до нуля - то есть, ускорение протона на бесконечно малый момент времени станет постоянным. Но далее само ускорение протона будет снижаться и достигнет нулевого значения - то есть, скорость движения протона станет постоянной. Потеря энергии прекратится. В смысле динамики ситуация аналогичная падению тела в жидкости или газе. Как Вам этот сценарий?

Гм... Так ведь надо знать, как именно точечный заряд теряет энергию на электромагнитное излучение (если теряет вообще).

На самом деле, в цитированной статье выписано (без доказательства) выражение для трехмерной силы, действующей на нерелятивистский точечный заряд, движущийся в слабом гравитационном поле. Т. е. Ваша задача должна решаться лобовым интегрированием уравнений движения протона.

Лично мне кое-что не нравится в приведенном там выражении. В этом выражении три слагаемых: обычная (нерелятивистская) гравитационная сила, обычная (нерелятивистская) сила лучистого трения и некоторая добавка. Последние два слагаемых отличны от нуля даже для свободно падающего точечного заряда, а мне до сих пор кажется, что, в указанном приближении, свободно падающий точечный заряд вообще не должен терять энергию на электромагнитное излучение (я упрощаю рассуждения --- всегда можно обеспечить потерю энергии на электромагнитное излучение, поставив определенные начальные условия, но это никак не связано с гравитационным полем). Правда, может быть эти два слагаемых могут компенсировать друг друга при определенных условиях...

В общем, интерес к этой задаче у меня был праздный, и вникать я не стал! Может, кто из физиков подскажет?