Содержание
0. Оправдание темы.
1. Постановка задачи.
2. Кинематическая попытка.
3. Динамические результаты.
4. Формулировка.
5. Вопросы.

0. Оправдание темы.

Несмотря на то, что так называемому "парадоксу Белла" на этом форуме посвящено уже несколько тем (http://forum.dubinushka.ru/index.php?showtopic=11304 , http://forum.dubinushka.ru/index.php?showtopic=11632 , http://forum.dubinushka.ru/index.php?showtopic=12672 , http://forum.dubinushka.ru/index.php?showtopic=12757 ), обсуждение в каждой них зашло далеко от исходной задачи. То, что я хочу написать, не относится к тем аспектам, которые обсуждаются там, поэтому я решил поднять новую тему. Ориентирована она на людей, знающих СТО (на уровне хотя бы глав 1-2 Ландау-Лифшица-2, и на уровне глав 1-3 Лайтмана-Пресса-Прайса-Тюкольски, а не по популярным изложениям).

1. Постановка задачи.

На размышления, которые я хочу изложить, меня натолкнул вопрос хорошего человека по поводу "парадокса Белла" - вопроса о двух ракетах, связанных разрывающимся тросом. Вопрос и "правильный" (кавычки будут понятны ниже) ответ на него обычно используются для знакомства неофитов с необычностью специальной теории относительности, как и другие "парадоксы" СТО. Ответ обычно объясняется "на пальцах", причем конкретно на данную задачу - с изрядной долей handwaving-а (размахивания руками в воздухе для убедительности). Я же хотел ответить своему корреспонденту на серьезном уровне: написав строгие рассуждения и выкладки, для которых иллюстрации играли бы только вспомогательную роль. И когда я попытался это сделать, то обнаружил, что этому мешает отсутствие строгой постановки задачи. Задача ссылается на довольно сложные концепции (трос, движение связанных тел), но эти концепции не формализованы в СТО, так что задачу надо сначала перевести на формальный язык, а потом уже решить.

В силу того, что формализация всегда неоднозначна из-за неоднозначности исходной неформальной формулировки, придется поступать "нечестно": подгонять формулировку к известному ответу. Собственно, в этом ничего нечестного нет: сама задача ставится не из-за того, что нужна в реальной жизни, а как раз затем, чтобы продемонстрировать эффект, возникающий в СТО по сравнению с нерелятивистской механикой.

Приведу исходную формулировку из темы http://forum.dubinushka.ru/index.php?showtopic=11304 "Кажущиеся парадоксы СТО":

"Два космических корабля связаны эластичным невесомым тросом, который выдерживает растяжение в два раза (см. рисунок). Корабли одновременно (в со. Земли) начинают движение с малым постоянным ускорением g, одинаковым для обоих кораблей в системе Земли. При достижении какой скорости лопнет трос? Или он выдержит при любой скорости?"

Чтобы не отвлекаться на несущественные детали, далее вместо растяжения в два раза рассматривается растяжение в 1+0 раз (любое превышение исходной длины), а режим ускорения подразумевается произвольным (но только не всегда нулевое ускорение).

2. Кинематическая попытка.

Собственно, задача предназначена демонстрировать следующий факт, хорошо известный в кинематике СТО: если две кривые мировые линии имеют между собой постоянное расстояние в одной ИСО, то в другой ИСО *) расстояние между ними будет переменным, в том числе как большим, так и меньшим первого. Кинематическая природа этого факта провоцирует искать и кинематическую постановку задачи.
*) В любой другой, такой что направление буста не нормально вектору ускорения.

Работая с 4-геометрией в пространстве Минковского, удобно использовать ее близкое родство с геометрией Евклида, с учетом того, что многие вещи при переходе из E в M выглядят "наоборот". Например, как известно, в E прямая, проведенная через две точки, есть кратчайшая линия между ними, а в M - длиннейшая (если брать двумерную геометрию, иначе сложнее). Логично искать нужную постановку задачи следующим образом: разработать постановку задачи в евклидовой геометрии, а затем перевести ее в минковскую.

Итак, прямым E-аналогом искомого факта видится следующий факт: (E) если взять две кривые линии, отличающиеся переносом на вектор a, то минимальное расстояние между ними будет меньше |a|, то есть на них найдутся две такие точки, что расстояние между ними будет меньше |a|.



Однако воображаемый оппонент нам возразит: расстояние между точками на мировых линиях ракет будет проходить по некоторому 4-отрезку, однако где гарантия, что этот отрезок имеет хоть какой-нибудь физический смысл? Трос не является системой, помнящей прошлые и будущие свои положения, он всего лишь связывает свои части (и ракеты) между собой в текущий момент времени, и поэтому может накладывать только условие вида "в собственной СО троса его длина ...". Две выбранные 4-точки вовсе не обязательно окажутся одновременными в собственной СО троса, а значит, не приведут к разрыву.

В переводе в E это означает, что некий несжимаемый (вместо нерастяжимого) отрезок прямой длины |a| может *) пройти между двумя исходными кривыми, не только все время касаясь их обеих, но и сильнее, даже оторвавшись от них концами, и целиком находясь внутри полосы между ними, как на рисунке.
*) Может для многих простых случаев, слишком экзотических условий не рассматриваем.



3. Динамические результаты.

Итак, попытка обойтись чистой геометрией провалилась, необходимо задействовать механические свойства троса. Как его описать? Мне видятся такие варианты:

• трос состоит из малых частей, связанных между собой.
  Этот вариант приводит к трудностям. Части должны обладать каким-то независимым движением, значит, у каждой части своя собственная СО, и свои плоскости одновременности. Записать связи между частями, будь они кинематические (геометрические) или динамические (силовые), при этом становится затруднительно. Если смело и последовательно решать эту задачу, получится некая теория поля (теория упругости) с задачей в частных производных. По этому пути можно далеко зайти, как легко видеть в других темах, однако этот путь отходит от главной цели задачи: просто и доступно показать эффект СТО.
• трос состоит из малых частей, связанных другими связями.
  Под этим пунктом подразумевается, что каждая часть троса в СО Земли движется с той же скоростью, что и обе ракеты. Это означает наложение связи между каждой частью троса и ракетами. Видимо, именно этот вариант подразумевался составителями задачи (и засчитывается как правильный при ее решении), но при его таком явном озвучивании он выглядит несколько немотивированным, и слишком явно подталкивающим к конкретному решению. Воображаемый оппонент вправе возразить: "трос так себя не ведет". Хотя этот вариант и справедлив физически, но только при условиях очень малого ускорения (по сравнению с расстоянием между кораблями и со скоростью звука в тросе), при которых все три варианта сходятся.
• трос не делится на части, а движется как целое, обладая произвольной скоростью, но постоянными размерами в собственной СО.
  Этот вариант изрядно отходит от механического понимания троса (заменяя его скорее на твердый стержень), однако я его предпочитаю другим потому, что он выдерживает середину: и не приводит к неподъемным сложностям, и не доводит до решения за ручку.

Итак, выбор сделан. На геометрическом языке такой трос-стержень - это отрезок, который движется в направлении перпендикулярно себе. При этом он может как угодно поворачивать.



Но теперь мы сталкиваемся с проблемой решения. Геометрически (интуитивно) ясно, что такой отрезок не пролезет между двумя кривыми в E, и трос, соответственно, оторвется от ракет в M. Однако как эту простенькую геометрическую задачу доказать? Выглядит она слишком "интегрально": можно вообразить несколько разных ситуаций нарушения отрезком условий, но на каждое из них найдется и легальный вариант, и понятно, что он приведет к нарушению в другом месте, только если рассматривать кривые в целом.

(Рисунок: два косых участка - пролезает боком, две дуги с нарушением кривизны - пролезает боком)

Первая мысль состоит в том, чтобы заменить полосу, заметаемую отрезком, на полосу, заметаемую кругом. Хотя это и помогает, но решение остается сложным. Кроме того, нетривиально доказывается, что эта замена эквивалентна.

(Рисунок: заметание отрезком, заметание кругом; две дуги с нарушением кривизны)

Вторая мысль состоит в том, чтобы прижать полосу, заметаемую кругом, к одной из кривых. Решение упрощается. Более того, можно отказаться от круга, заменив его обратно отрезком, и поставив условие, что этот отрезок перпендикулярен кривой, на которую опирается.

Однако наиболее простое решение все равно использует тот факт, что в некоторый момент времени t=0 ракеты взаимно неподвижны. Если пытаться обойтись без этого факта, приходится все равно рассматривать интегральные свойства кривых.

4. Формулировка.

Итак, задача может быть сформулирована таким образом:

"Два космических корабля одновременно (в со. Земли) начинают движение с малым постоянным ускорением g, одинаковым для обоих кораблей в системе Земли. На переднем (заднем) корабле установлена жесткая линейка длины, вдвое превышающей стартовое расстояние между кораблями. В какой момент времени в системе Земли наблюдатель на заднем (переднем) корабле увидит напротив себя конец линейки? Или этого не произойдет никогда?"

5. Вопросы.

Доказательства, о которых я говорил, так и не сформулированы, ни простое, ни "интегральное". Возможно, они окажутся слишком сложны, и потребуют дальнейших упрощений. Неизвестно, как доказать эквивалентность полос отрезка и круга. Неизвестно также, интересно ли все это кому-нибудь.

Сообщение отредактировал Munin - 19.11.2007, 11:02

Согласен с Муниным, что "задача" поставлена далеко не однозначно и потому некорректно.
"Два космических корабля связаны эластичным невесомым тросом, который выдерживает растяжение в два раза (см. рисунок). Корабли одновременно (в со. Земли) начинают движение с малым постоянным ускорением g, одинаковым для обоих кораблей в системе Земли. При достижении какой скорости лопнет трос? Или он выдержит при любой скорости?"
Кроме тех моментов, что указал Мунин, отмечу дополнительно значимое для СТО:
1. Структура системы корабли-трос. Корабли могут быть связаны последовательно друг за другом, могут располагаться параллельно, поперечно связанные тросом. Не указано.
2. Ориентация системы корабли-трос относительно земного наблюдателя. Это имеет значение, поскольку события, одновременные для наблюдателя Земли в общем случае не являются таковыми для наблюдателя в центре троса.
3. Не расшифровано физическое содержание утверждение - "Корабли одновременно (в со. Земли) начинают движение с малым постоянным ускорением" в ориентации векторов тяги. Более того, условию задачи вполне может соответствовать случай, когда тяга имеет место у одного корабля, а второй является обычным инерциальным прицепом.
4. Не указано, является ли ускорение g относительно Земли постоянным или функцией времени и является ли в последнем случае постоянной тяга.
Сам вопрос - "При достижении какой скорости лопнет трос? Или он выдержит при любой скорости" некорректен, поскольку своими умолчаниямит ставит под сомнение даже галилеевский принцип относительности. Начиная движение "с малым постоянным ускорением " относительно Земли корабли относительно иных систем отсчета, движущихся относительно Земли с самыми различными, в том числе релятивистским, скоростями, имеено только отностельно Земли имеют нулевую начальную скорость. Даже относительно, к примеру, релятивистских электронов радиационных поясов той же Земли те же корабли движутся уже с релятивистскими скоростями.
Поэтому, в отличие от Мунина, полагаю, задача не только не корректна, но это вообще не СТО задача.
И вообще, споры "классиков с релятивистами" являются чисто религиозными, абстрагированными от предмета познания науки. Здесь, кстати о птичках, даже не понятно, что такое "ускорение относительно Земли"? То ли нечто, типа "на самом деле", то ли "наблюдаемое". В СТО это РАЗНОЕ.

Сообщение отредактировал 123 - 19.11.2007, 12:42

Цитирую Л-Л. Том 2, стр. 27.
Собственной длинной стержня называется его длина в той системе отсчета, в которой он покоится. Обозначим ее через эль нулевое, равное дельта икс, а длину того же стержня в какой-либо системе отсчета ка штрих - через эль. Тогда эль равно произведению эль нулевого на корень квадратный из разности единицы и отношения квадрата скорости стержня к квадрату скорости света.
Таким образом, самую большую длину стержень имеет в той системе отсчета, где он покоится. Длина его в в системе, в которой он движется со скоростью вэ, уменьшается в отношении корень квадратный из разности единицы и отношения квадрата скорости стержня к квадрату скорости света.
Этот результат теории относительности называется лоренцевым сокращением.

Имхо. Задача направлена на проверку знания данной формулы, т. к. для других случаев явно не доопределена.

Скорее (опять же - ИМХО) следует читать: При достижении какой скорости трос должен порваться с точки зрения земного наблюдателя.

Совсем не факт, что автор столь наивен. Не только наблюдаемая длина троса, но наблюдаемое расстояние между ракетами в системе отсчета Земли будут изменяться совершенно одинаковым способом в зависимости от скорости относительно Земли. Он не случайно ввел "одновременное ускорение".

Не факт, но - предположение.

Я был бы удивлен не мало, если бы длина троса отличалась от расстояния между ракетами.

Имхо, для того, что бы показать движение ракет с одинаковыми скоростями и связать систему (ракеты и трос между ними) с СО земли.

Не знаю, что предполагать, предпочитаю читать задачу, все остальное пусть автор задачи пояснит сам. Вот предположение, что пояснение окажется столь же некорректным, как и задача, весьма вероятно. Если он хотел "парадокс СТО", то сделал это явно непрофессионально, на уровне детсада. Здесь ему нужно было либо выходить пределы применимости СТО, например, в существенно квантовую область, где понятие трактории и производных от нее еще более условны, либо поизмываться над моделью, где имеет место быть разница между "наблюдением" и "всамделещностью", к примеру, наблюдаются "сверхсветовые" движения, "на самом деле" скорость света не превышена.
В этой задаче есть потенциальная зацепка выйти на уровень понимания СТО выше вульгарно стандартного. Если положить структуру последовательную - ракета-трос-ракета, причем тянет первая ракета, причем движение строго равноускоренное именно относительно Земли, то тогда "ДА", автор прав, при некоторой релятивистской скорости поезда относительно Земли трос обязательно должен порваться. Безразлично как трактовать, или как рост масс ракет, или как относительность ускорения, но строго равноускоренное движение на релятивистских скоростях может быть только при экспоненциальном росте тяги. Причем, что характерно, равноускоренным это движение будет исключительно и только в одной какой-то системе отсчета. Еще у Соколовского было отмечено, что с постоянной тягой релятивистское движение не является равноускоренным, скорость меняется по закону гиперболического тангенса (см. "ТО", 1964, стр 183, (9)). В принципе автор задачи мог до этого дотумкать, но это как-то не вяжется с крайней примитивностью постановки самой задачи.

Да и самому не трудно догадаться, что скорость стремится к пределу а не "натыкается" на предел внезапно.

Вы безусловно правы, но эту америку еще далеко не все открыли для себя.
Надо мной не раз откровенно смеялись, когда я говорил, что СТО понятие равноускоренного движения не инвариантно.
Такой же смех вызывали утверждения, что вторая производная относительного в СТО понятия "пути" - ускорение, является относительным понятием.
Кстати о птичках, примененный тем же Соколовским термин - "собственное ускорение" я также нахожу не вполне корректным. В собственной системе отсчета нет и не может быть никакого "движение" по самому определению СВЯЗАННОМУ с телом отсчета координатной системы. Нельзя двигаться с ускорением по отношению к самому себе.

Что-то вы, ребята, все усложняете, а проще говоря, зафлуживаете... Постановка задачи была совершенно корректна и понятна изначально, а Мунин ее сделал (раздел 4 первого поста) вообще элементарно прозрачной. Ну очевидно же, что летят они в одну сторону, коллинеарно и ускорения у них коллинеарны и где находится наблюдатель в с.о. Земли совершенно не важно - в середине троса или на Луне... Ну зачем в условии писать и так очевидные вещи?

Прочтите Мунина.

Прочтите сами. Особенно вот это:
И избавьте тему от своего присутствия.


Сообщение отредактировал Owen - 21.11.2007, 13:35

Ухожу, конечно.
Буду знать, Мунин не физик, вышибалой работает.



Сообщение отредактировал Owen - 21.11.2007, 13:36

Уважаемые господа!
Если мне не изменяет память , то совместно с задачей о тросе давалась задача про тележку и щель, в которую тележка должна (или не должна) провалиться. Размеры щели такие, что не двигающаяся телега не проваливается. Если сокращение (ведущее к разрыву троса) имеет место быть, то двигающаяся тележка провалится в щель и остановившись мгновенно примет собственный размер, застряв там прочно (шутка ли - стать мгновенно вдвое длиннее). Данные размышления и стали причиной поста ? 3 этой ветки.
Объясните кто нибудь, pls, диллетанту! (только не так - )

Физик не поднимал бы тех вопросов, которые вы тут принялись обсуждать. Физику известно понятие наблюдателя в СТО, и затруднений не вызывает (тем более что в теме оно и не используется).


Пожалуйста, ставьте этот вопрос в другой теме.

Сообщение отредактировал Munin - 21.11.2007, 6:50

Удивительно, условие задачи по Мунину не относится к понятию наблюдателя в СТО.

Единственная некорректность в постановке задачи Муниным - наличие жесткой линейки. Но она как раз и портит все дело... Поскольку не может быть жесткой...

Уважаемый 0123, прекратите, пожалуйста, наукообразный оффтопик в духе своего последнего поста.
Если вам что-то непонятно, открывайте отдельную тему. Если у вас есть своя концепция, открывайте свою тему в "Проверке". Иначе потрудитесь сначала ознакомиться с материалом.

Извиняюсь у аудитории за оффтопик.

С уважением, модератор.

уважаемый Owen, Ваше замечание, почему понятие одновременности в СТО теме не используется, более, чем убедительно.



Сообщение отредактировал Owen - 21.11.2007, 17:25

Вот, значит, как... Пока я парюсь в бане, нехороший Мунин мой хлебушек ест.
2 Munin
Мне кажется, что Ваше доказательство (насколько я понял, его пока нет) будет по сути перепевом поста 100 из "Кажущихся парадоксов СТО"
http://forum.dubinushka.ru/index.php?showt...st&p=329216

Если уж упрощать задачу, то надо делать так, как предлагается в Википедии: пусть после разгона до скорости V ракеты выключают двигатели. Далее предполагаем, что волны в тросе затухают. Тогда через достаточно большое время после выключения двигателей трос будет растянут однородно. И обе ракеты и вообще все точки троса будут иметь одну общую сопутствующую ИСО. Растяжение троса в этой ИСО будет зависеть от скорости V и неограниченно расти при росте последней.

Сообщение отредактировал peregoudov - 21.11.2007, 17:56

Спасибо, г-н Мунин, что Вы еще раз вернулись к этой теме и
начали именно с постановки задачи.
Вполне вероятно, что столь большое разнообразие мнений, по
поводу парадокса Белла, заключается как раз в том, что каждый понимает задачу
в деталях по своему и априори полагает, что и остальные понимают также.
Собственно разночтение возникают, ИМХО, из-за этой фразы:
'…ракеты двигаются в СО Земли с одинаковым ускорением…'.
Некоторые понимают это как, что расстояние между ракетами не изменяется,
НО не изменяется наблюдаемое расстояние, т.е. в этом случае ускорение одинаковое не в СО Земли, а наблюдаемое ускорение.
Другие считаю ускорение постоянным именно в СО Земли, в таком случае, 2 ракеты и трос ничем не отличаются от концов стержня аналогичной длины, и они наблюдают, сокращение всей системы в СО Земли.