Содержание
0. Оправдание темы.
1. Постановка задачи.
2. Кинематическая попытка.
3. Динамические результаты.
4. Формулировка.
5. Вопросы.

0. Оправдание темы.

Несмотря на то, что так называемому "парадоксу Белла" на этом форуме посвящено уже несколько тем (http://forum.dubinushka.ru/index.php?showtopic=11304 , http://forum.dubinushka.ru/index.php?showtopic=11632 , http://forum.dubinushka.ru/index.php?showtopic=12672 , http://forum.dubinushka.ru/index.php?showtopic=12757 ), обсуждение в каждой них зашло далеко от исходной задачи. То, что я хочу написать, не относится к тем аспектам, которые обсуждаются там, поэтому я решил поднять новую тему. Ориентирована она на людей, знающих СТО (на уровне хотя бы глав 1-2 Ландау-Лифшица-2, и на уровне глав 1-3 Лайтмана-Пресса-Прайса-Тюкольски, а не по популярным изложениям).

1. Постановка задачи.

На размышления, которые я хочу изложить, меня натолкнул вопрос хорошего человека по поводу "парадокса Белла" - вопроса о двух ракетах, связанных разрывающимся тросом. Вопрос и "правильный" (кавычки будут понятны ниже) ответ на него обычно используются для знакомства неофитов с необычностью специальной теории относительности, как и другие "парадоксы" СТО. Ответ обычно объясняется "на пальцах", причем конкретно на данную задачу - с изрядной долей handwaving-а (размахивания руками в воздухе для убедительности). Я же хотел ответить своему корреспонденту на серьезном уровне: написав строгие рассуждения и выкладки, для которых иллюстрации играли бы только вспомогательную роль. И когда я попытался это сделать, то обнаружил, что этому мешает отсутствие строгой постановки задачи. Задача ссылается на довольно сложные концепции (трос, движение связанных тел), но эти концепции не формализованы в СТО, так что задачу надо сначала перевести на формальный язык, а потом уже решить.

В силу того, что формализация всегда неоднозначна из-за неоднозначности исходной неформальной формулировки, придется поступать "нечестно": подгонять формулировку к известному ответу. Собственно, в этом ничего нечестного нет: сама задача ставится не из-за того, что нужна в реальной жизни, а как раз затем, чтобы продемонстрировать эффект, возникающий в СТО по сравнению с нерелятивистской механикой.

Приведу исходную формулировку из темы http://forum.dubinushka.ru/index.php?showtopic=11304 "Кажущиеся парадоксы СТО":

"Два космических корабля связаны эластичным невесомым тросом, который выдерживает растяжение в два раза (см. рисунок). Корабли одновременно (в со. Земли) начинают движение с малым постоянным ускорением g, одинаковым для обоих кораблей в системе Земли. При достижении какой скорости лопнет трос? Или он выдержит при любой скорости?"

Чтобы не отвлекаться на несущественные детали, далее вместо растяжения в два раза рассматривается растяжение в 1+0 раз (любое превышение исходной длины), а режим ускорения подразумевается произвольным (но только не всегда нулевое ускорение).

2. Кинематическая попытка.

Собственно, задача предназначена демонстрировать следующий факт, хорошо известный в кинематике СТО: если две кривые мировые линии имеют между собой постоянное расстояние в одной ИСО, то в другой ИСО *) расстояние между ними будет переменным, в том числе как большим, так и меньшим первого. Кинематическая природа этого факта провоцирует искать и кинематическую постановку задачи.
*) В любой другой, такой что направление буста не нормально вектору ускорения.

Работая с 4-геометрией в пространстве Минковского, удобно использовать ее близкое родство с геометрией Евклида, с учетом того, что многие вещи при переходе из E в M выглядят "наоборот". Например, как известно, в E прямая, проведенная через две точки, есть кратчайшая линия между ними, а в M - длиннейшая (если брать двумерную геометрию, иначе сложнее). Логично искать нужную постановку задачи следующим образом: разработать постановку задачи в евклидовой геометрии, а затем перевести ее в минковскую.

Итак, прямым E-аналогом искомого факта видится следующий факт: (E) если взять две кривые линии, отличающиеся переносом на вектор a, то минимальное расстояние между ними будет меньше |a|, то есть на них найдутся две такие точки, что расстояние между ними будет меньше |a|.



Однако воображаемый оппонент нам возразит: расстояние между точками на мировых линиях ракет будет проходить по некоторому 4-отрезку, однако где гарантия, что этот отрезок имеет хоть какой-нибудь физический смысл? Трос не является системой, помнящей прошлые и будущие свои положения, он всего лишь связывает свои части (и ракеты) между собой в текущий момент времени, и поэтому может накладывать только условие вида "в собственной СО троса его длина ...". Две выбранные 4-точки вовсе не обязательно окажутся одновременными в собственной СО троса, а значит, не приведут к разрыву.

В переводе в E это означает, что некий несжимаемый (вместо нерастяжимого) отрезок прямой длины |a| может *) пройти между двумя исходными кривыми, не только все время касаясь их обеих, но и сильнее, даже оторвавшись от них концами, и целиком находясь внутри полосы между ними, как на рисунке.
*) Может для многих простых случаев, слишком экзотических условий не рассматриваем.



3. Динамические результаты.

Итак, попытка обойтись чистой геометрией провалилась, необходимо задействовать механические свойства троса. Как его описать? Мне видятся такие варианты:

• трос состоит из малых частей, связанных между собой.
  Этот вариант приводит к трудностям. Части должны обладать каким-то независимым движением, значит, у каждой части своя собственная СО, и свои плоскости одновременности. Записать связи между частями, будь они кинематические (геометрические) или динамические (силовые), при этом становится затруднительно. Если смело и последовательно решать эту задачу, получится некая теория поля (теория упругости) с задачей в частных производных. По этому пути можно далеко зайти, как легко видеть в других темах, однако этот путь отходит от главной цели задачи: просто и доступно показать эффект СТО.
• трос состоит из малых частей, связанных другими связями.
  Под этим пунктом подразумевается, что каждая часть троса в СО Земли движется с той же скоростью, что и обе ракеты. Это означает наложение связи между каждой частью троса и ракетами. Видимо, именно этот вариант подразумевался составителями задачи (и засчитывается как правильный при ее решении), но при его таком явном озвучивании он выглядит несколько немотивированным, и слишком явно подталкивающим к конкретному решению. Воображаемый оппонент вправе возразить: "трос так себя не ведет". Хотя этот вариант и справедлив физически, но только при условиях очень малого ускорения (по сравнению с расстоянием между кораблями и со скоростью звука в тросе), при которых все три варианта сходятся.
• трос не делится на части, а движется как целое, обладая произвольной скоростью, но постоянными размерами в собственной СО.
  Этот вариант изрядно отходит от механического понимания троса (заменяя его скорее на твердый стержень), однако я его предпочитаю другим потому, что он выдерживает середину: и не приводит к неподъемным сложностям, и не доводит до решения за ручку.

Итак, выбор сделан. На геометрическом языке такой трос-стержень - это отрезок, который движется в направлении перпендикулярно себе. При этом он может как угодно поворачивать.



Но теперь мы сталкиваемся с проблемой решения. Геометрически (интуитивно) ясно, что такой отрезок не пролезет между двумя кривыми в E, и трос, соответственно, оторвется от ракет в M. Однако как эту простенькую геометрическую задачу доказать? Выглядит она слишком "интегрально": можно вообразить несколько разных ситуаций нарушения отрезком условий, но на каждое из них найдется и легальный вариант, и понятно, что он приведет к нарушению в другом месте, только если рассматривать кривые в целом.

(Рисунок: два косых участка - пролезает боком, две дуги с нарушением кривизны - пролезает боком)

Первая мысль состоит в том, чтобы заменить полосу, заметаемую отрезком, на полосу, заметаемую кругом. Хотя это и помогает, но решение остается сложным. Кроме того, нетривиально доказывается, что эта замена эквивалентна.

(Рисунок: заметание отрезком, заметание кругом; две дуги с нарушением кривизны)

Вторая мысль состоит в том, чтобы прижать полосу, заметаемую кругом, к одной из кривых. Решение упрощается. Более того, можно отказаться от круга, заменив его обратно отрезком, и поставив условие, что этот отрезок перпендикулярен кривой, на которую опирается.

Однако наиболее простое решение все равно использует тот факт, что в некоторый момент времени t=0 ракеты взаимно неподвижны. Если пытаться обойтись без этого факта, приходится все равно рассматривать интегральные свойства кривых.

4. Формулировка.

Итак, задача может быть сформулирована таким образом:

"Два космических корабля одновременно (в со. Земли) начинают движение с малым постоянным ускорением g, одинаковым для обоих кораблей в системе Земли. На переднем (заднем) корабле установлена жесткая линейка длины, вдвое превышающей стартовое расстояние между кораблями. В какой момент времени в системе Земли наблюдатель на заднем (переднем) корабле увидит напротив себя конец линейки? Или этого не произойдет никогда?"

5. Вопросы.

Доказательства, о которых я говорил, так и не сформулированы, ни простое, ни "интегральное". Возможно, они окажутся слишком сложны, и потребуют дальнейших упрощений. Неизвестно, как доказать эквивалентность полос отрезка и круга. Неизвестно также, интересно ли все это кому-нибудь.

Сообщение отредактировал Munin - 19.11.2007, 11:02