6. Взаимное положение двух прямых.

Прямые в пространстве могут пересекаться и скрещиваться. При этом пересечение может быть в несобственной точке. В этом случае прямые называют параллельными.

Из 4-го инвариантного свойства параллельного проецирования следует что:

(a,b)(ab)[(a₁b₁)(a₂b₂)(a₃b₃)] (1)

Для определения, параллельны ли прямые общего положения, достаточно определить параллельность из двух проекций:

[(a₁b₁)(a₂b₂)](a₃b₃) (2)

Если прямые параллельны какой либо плоскости проекций, то условие (2) может не выполняться. В этом случае левая часть (2) является только необходимым, но недостаточным условием. Вопрос о параллельности решается на плоскости, которой прямые параллельны.

Рис.1

Прямые параллельны.

Рис.2

Прямые не параллельны.

Из 3-го инвариантного свойства параллельного проецирования следует что:

(lm=A)(l₁m₁=A₁)(l₂m₂=A₂)(l₃m₃=A₃) (3)

Если прямые пересекаются в пространстве, то их одноименные проекции пересекаются, причем точка пересечения проекций лежит на одной линии связи.

Рис.3

Если одна из прямых профильная, то вопрос о пересечении прямых решается на профильной плоскости проекций, причем прямые пересекаются, если точки пересечения фронтальной и профильной проекций лежат на одной линии связи.

Если условия (1) и (3) не выполняются, то прямые скрещиваются. Или, если прямые скрещиваются в пространстве, то их одноименные проекции пересекаются, но точки пересечения проекций лежат не на одной лини связи

Рис.4

Точки 1 и 2 принадлежат 2-м разным прямым, удаленным от плоскости V на разные расстояния, аналогично точки 3 и 4 удалены от плоскости H на разные расстояния. ab

Рис.5

ab

7. Проецирование прямого угла.

Теорема: Для того, чтобы прямой угол проецировался ортогонально без искажения, необходимо и достаточно, чтобы, по крайней мере, одна его сторона была параллельна плоскости проекций, а вторая сторона не перпендикулярна этой плоскости.

([AB][BC])([AB],[BC])[AB][BC]

Рис.6

Дано: ABC=90 [AB] Доказать: ABC=90

Спроецируем [AB] и [BC] на плоскость .
[AB][AB]
[BC][BC]

Фигура ABBA - прямоугольник, следовательно [AB] плоскости BCCB, так как он перпендикулярен двум пересекающимся прямым этой плоскости (ABBC по условию и ABBB по построению).
Но ABAB, следовательно ABAB плоскости BCCB, поэтому ABBC,
т.е. ABC=90.

Обратное утверждение также верно.

По Гордону:

Рис.7

Дано: ABC=90 [AB] Доказать: ABC=90

Пусть [BC]=C
Спроецируем [AB] и [BC] на плоскость .
[AB][AB]
[BC][BC]

Проведем [DC][AB][DC][AB], поэтому BCD=90
На основании теоремы о 3-х перпендикулярах: (BCD=90)(BCD=90)ABC=90.

Верно также обратное утверждение. Эту теорему применяют при решении задач на определение расстояния от точки до прямой частного положения.

Пример:

Рис.8

Дана горизонталь h и точка С. Надо опустить перпендикуляр из точки C на прямую h. Перпендикуляр из точки C к прямой h образует угол 90 и hH, следовательно прямой угол без искажения проецируется на плоскость H, поэтому из горизонтальной проекции точки C надо опустить перпендикуляр к h1 (горизонтальной проекции горизонтали). |C1D1|=|CD|

III ПЛОСКОСТЬ

Плоскость - простейшая поверхность (1-го порядка).

1. Плоскость, ее задание на чертеже.

Положение плоскости в пространстве может быть задано:

1. Тремя точками, не лежащими на одной прямой.
2. Прямой и точкой вне прямой.
3. Двумя прямыми, пересекающимися в несобственной точке (пересекающимися или параллельными).

Соответственно и на чертеже (эпюре) плоскость может быть задана аналогично.

Задание плоскости на чертеже производится проекциями этих же геометрических элементов. Кроме того, плоскость может быть задана также проекциями отсека плоской фигуры (Ф).

Иногда целесообразно задать плоскость не произвольными пересекающимися прямыми, а прямыми, по которым эта плоскость пересекает плоскости проекций. Эти прямые называют следами плоскости, а такой вариант задания плоскости называют методом задания плоскости следами.

Примеры задания плоскости:

Рис.9

Тремя точками

Рис.10

Точкой и прямой

Рис.11

Пересекающимися прямыми

Рис.12

Параллельными прямыми

Рис.13

Отсеком плоскости

2. Положение плоскости относительно плоскостей проекций.

Рис.14

Плоскость занимает произвольное положение относительно плоскостей проекций и, следовательно, пересекает все 3 плоскости проекций. Соответствующие следы плоскости обозначают: PH=H - горизонтальный след плоскости . PV=V - фронтальный след плоскости . PW=W - профильный след плоскости .

Точки:
P_x=x=P_HP_V
P_y=y=P_HP_W
P_z=z=P_VP_W,
в которых пересекаются два следа, называют точками схода следов.

Плоскость, у которой углы наклона к плоскостям проекций произвольны (не равны 0 или 90), называют плоскостью общего положения.

Рис.15

Чтобы построить профильный след плоскости надо найти точки Px, Py и Pz, затем построить Py1 и соединить ее с точкой Pz.

Кроме рассмотренного общего случая плоскость, по отношению к плоскостям проекций, может занимать следующие частные положения:

Плоскости, перпендикулярные к плоскостям проекции называют проецирующими.

Проецирующие плоскости различают:

Горизонтально-проецирующая плоскость, PH

Рис.16

Свойства горизонтально-проецирующей плоскости: 1. Фронтальный след (PV) перпендикулярен оси х. PVх. P(PH)H. 2. Угол - является линейным углом двугранного угла между плоскостями V и P. =||=|PV|.

Рис.17

3. Горизонтальные проекции точек, прямых, плоских фигур, лежащих в горизонтально-проецирующей плоскости, лежат на горизонтальном следе этой плоскости. APA1PH.

Фронтально-проецирующая плоскость, PV

Рис.18

Свойства фронтально-проецирующей плоскости: 1. Горизонтальный след (PH) перпендикулярен оси х. PHх. P(PV)V. 2. Угол - угол наклона плоскости P к плоскости проекций H. =||=|PH|.

Рис.19

3. Фронтальные проекции точек, прямых, плоских фигур, лежащих в фронтально-проецирующей плоскости, лежат на фронтальном следе этой плоскости. APA2PV.

Профильно-проецирующая плоскость, PW

Рис.20

Свойства профильно-проецирующей плоскости: 1. PVz. PHy. P(PW)W. 2. Угол - угол наклона плоскости P к плоскости проекций H. =||=|TH|. Угол - угол наклона плоскости P к плоскости проекций V. =||=|TV|.

Рис.21

3. Профильные проекции точек, прямых, плоских фигур, лежащих в профильно-проецирующей плоскости, лежат на профильном следе этой плоскости. APA3PW.

Плоскости, перпендикулярные к двум плоскостям проекций называют плоскостями уровня.

а). Плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций называется горизонтальной плоскостью.
b). Плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций называется фронтальной плоскостью.
c). Плоскость, параллельная профильной плоскости проекций называется профильной плоскостью.

Проецирующие плоскости, проходящие через биссектрисы углов, образованных осями координат, называют биссекторными плоскостями.

Свойство биссекторной плоскости 2-го и 4-го октантов:
Горизонтальная и фронтальная проекции любых геометрических фигур, принадлежащих этой плоскости, совпадают (так как любая точка этой плоскости удалена на одинаковые расстояния от горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций).