Будем рассматривать линейные динамические системы вида:

(4.1)

где xÎ Eⁿ - n-мерный вектор фазовых переменных; uÎ E^m - m-мерный вектор управляющих воздействий (детерминированный); x Î E^k - k-мерный вектор случайных возмущений с заданными главными вероятностными характеристиками Mx (t), Rx (t₁,t₂); x_0Î Eⁿ - n-мерный вектор случайных начальных условий с заданными главными вероятностными характеристиками M_X0, K_X0; A(t) - матрица размера nxn, B(t) - матрица размера nxm, D(t) - матрица размера nxk.

Если матрицы A(t), B(t), D(t) не изменяются во времени, то система (4.1) называется линейной стационарной системой. В этом случае ее удобно описывать с помощью матричных передаточных функций

(4.2)

где s - аргумент Лапласа; W_xu(s) - матрица передаточных функций, связывающих вход u с выходом x; W_xx (s) - матрица передаточных функций, связывающих вход x с выходом x.

Решение системы (4.1) можно представить в квадратурах с помощью формулы Коши на основании свойства суперпозиции линейных систем [2]

, (4.3)

где G_xu(t,s) = Ф(t,s)B(s), G_xx (t,s) = Ф(t,s)D(s) - матрицы весовых функций, преобразования по Лапласу которых приводят к матрицам передаточных функций W_xu(s), W_xx (s), соответственно; Ф(t,t₀) - матрица фундаментальных решений, которая описывается матричным дифференциальным уравнением

(4.4)

где E - единичная матрица размера nxn.

Матрица фундаментальных решений для аргументов t и t₀ может быть выражена через промежуточные моменты времени t=t_n< t_n-< : < t₁< t₀ :

где D t=t_i+1- t_i - малый временной интервал разбиения, на котором исходная линейная система может рассматриваться как стационарная.

В выражении (4.3) каждое слагаемое определяет вклад в формирование выходной переменной x(t) соответственно начального состояния системы, управляющих и возмущающих воздействий.

Применяется для отыскания главных вероятностных характеристик выхода линейных динамических систем вида (4.1) [2], [3].

Определив математическое ожидание для решения (4.3), записанного в квадратурах, получим

. (4.4)

Далее легко находится центрированный случайный процесс D x(t) :

, (4.5)

Так как из определения матричной корреляционной функции следует, что

, (4.6)

то с учетом (4.5) для случая независимости начальных условий x₀ от случайных возмущений x (t) можно окончательно записать

. (4.7)

Для вычисления матричной ковариационной функции K_х(t) в выражении (4.7) необходимо использовать условие t₁= t₂= t. Выражения (4.4) и (4.7) описывают аналитическое решение задачи статического анализа для линейной нестационарной системы. Запишем решения задачи статис-тического анализа для нескольких частных случаев.

1).Пусть в постановке задачи (4.1) x (t) - векторный нестационарный 'белый шум', матричная корреляционная функция которого записывается в виде:

где N(t) - матрица интенсивности векторного 'белого шума'.

Тогда выражение для K_X(t) можно записать, используя свойство фильтрации d -функции , в более простом виде :

(4.8)

2).Рассмотрим случай стационарной устойчивой линейной системы (4.1), в которой отсутствуют управляющие воздействия . Тогда A=const, D=const и (достаточное условие устойчивости).

Пусть x (t) - стационарный векторный случайный процесс, т.е. Mx =const, Rx (t )=Nd t .

Будем искать вероятностные характеристики вектора x(t) в установившемся режиме (после затухания переходного процесса). Чтобы в текущий момент времени наблюдался установившийся режим, удалим t₀ в -¥ , тогда из соотношения (4.4) следует

. (4.9)

Переходя к новой переменной t =t-s, получаем

. (4.10)

С учетом взаимосвязи между матрицей передаточных функций W_Xx (s) и матрицей весовых функций G_xx (t ), выражающейся с помощью преобразования по Лапласу

в окончательном виде получим

. (4.11)

Аналогично найдем выражение для R_X(t₁, t₂) :

. (4.12)

Введем новые переменные t ₁=t₁-s₁, t ₂=t₂-s₂, t =t-s.

Тогда (4.12) можно записать в виде

. (4.13)

На основании полученных результатов (4.11) и (4.13) можно сделать вывод, что в рассмотренном частном случае на выходе в установившемся режиме наблюдается стационарный случайный процесс.

Если входной случайный процесс является стационарным 'белым шумом', то, подставив в (4.13) Rx (t )=Nd t , получим окончательное выражение

. (4.13")

Недостатком метода весовых функций является необходимость предварительного определения матриц весовых функций и последующего вычисления сложных интегралов.

В ряде практических задач принимается, что на вход подается векторный случайный процесс x (t) в виде нестационарного 'белого шума'. Тогда можно предложить иной подход к вычислению M_X(t) и K_X(t) (корреляционную функцию R_X(t₁, t₂) в этом случае найти не удается) [2], [3].

Продифференцируем по времени (4.4) и (4.8). Тогда после преобразований с учетом (4.4) получим

, (4.14)

, (4.15)

где M_X(t₀)= M_X0, K_X(t₀)= K_X0.

Таким образом, исходная задача преобразована к задаче Коши, для решения которой существует много стандартных численных методов.

Для второго частного случая параграфа 4.2 системы диффе-ренциальных уравнений (4.14) и (4.15) преобразуются в системы алгебраических уравнений вида

(4.16)

(4.17)

Следует отметить, что определение M_x и K_x в обоих случаях осуществляется независимо друг от друга, причем из (4.16) M_X можно найти аналитически

. (4.18)

Часто в практической деятельности требуется оценить точность выхода D_X стационарной линейной системы, заданной своей передаточной функцией в установившемся режиме, если на вход подается стационарный случайный процесс (второй частный случай параграфа 4.2 в предположении одномерности линейной системы) [3].

Найдем спектральную плотность выхода системы, подставив соотношение (4.13), определяющее R_X(t ),в выражение для спектральной плотности (1.63) :

.

Тогда получим

С учетом соотношений преобразования Фурье в окончательном виде можно записать

где W_xx (iw ), W_xx (-iw ) - частотная функция и сопряженная частотная функция соответственно исходной линейной системы.

Тогда можно найти дисперсию выходной переменной системы по соотношению (1.62) :

. (4.16)

Выражение (4.16) можно преобразовать к интегралу вида

, (4.17)

где ,

.

Интеграл I_n можно вычислить по соотношению

, (4.18)

где |G_n| - определитель матрицы Гурвица для многочлена m _n, вычисляемый на основе матрицы G_n с элементами g_m2=a_2m-r ; m,r=1,2,:,n; |С_n| - определитель матрицы, полученной из матрицы G_n заменой ее первого столбца на b₀, b₁, :, b_n-1. В справочнике [8] приведены аналитические выражения для интегралов I_n при n =1-16, например,

. (4.19)

Для иллюстрации применения частотного метода анализа точности найдем дисперсию выхода динамической системы, описывающейся уравнением

при условии подачи на вход экспоненциально коррелированного стационарного случайного процесса .

Ранее для экспоненциально коррелированного случайного процесса было найдено выражение спектральной плотности в виде .

Тогда

,

где,

Таким образом, a₀=T; a₁=Tl +1; a₂=l ; b₀=0; b₁= 2K²Dl .

Выполнив элементарные преобразования с учетом соотношений (4.19), найдем окончательное выражение для дисперсии выхода системы