Анализ движения ЛА в условиях действия случайных факторов и возмущений требует построения стохастической математической модели.

Наиболее общей формой описания движения ЛА является система обыкновенных дифференциальных уравнений, записанная относительно вектора состояния в нормальной форме Коши и содержащая в своей структуре случайные функции и величины, моделирующие случайные воздействия , проектные параметры v и начальные условия движения x₀ [2] :

(2.1)

(2.2)

где - n-мерный вектор фазовых переменных (векторный СП);

- m-мерный вектор детерминированных функций;

- k-мерный вектор случайных воздействий (векторный СП с заданными моментными характеристиками );

- l-мерный вектор случайных проектных параметров (векторная СВ с

заданными моментными характеристиками ),

- n-мерный вектор случайных начальных условий с заданными моментными характеристиками .

Математическую модель вида (2.1), элементы которой описываются в форме (2.2), будем называть стохастической математической моделью (СММ) движения ЛА [2]. Таким образом, СММ движения ЛА формально отличается от детерминированной модели движения только описанием (2.2) входящих в нее переменных.

Совокупность случайных функций называется стохастическим решением для системы стохастических дифференциальных уравнений вида (2.1),(2.2), если для любой выборки случайных функций и случайных величин V и x₀ из множества всех возможных выборок реализаций, функции дают реализации, являющиеся единственным решением задачи Коши в обычном смысле для заданной системы дифференциальных уравнений.

Решение систем обыкновенных стохастических дифференциальных уравнений (2.1) будет единственным, если для любой выборки реализаций случайных функций , случайных величин V и x₀ соответственно решение получающейся системы обыкновенных детерминированных дифференциальных уравнений будет единственным.

Универсальных методов статистического анализа движения, описывающегося СММ вида (2.1), (2.2), сочетающих высокую точность и низкую трудоемкость получения решения, не существует. Как будет показано ниже, для решения задач статистического анализа динамических систем в зависимости от конкретного вида математической формулировки задачи и требований к результату решения разработаны различные методы.

Поэтому для того, чтобы использовать тот или иной метод статистического анализа, часто необходимо выполнить предварительные преобразования стохастической математической модели к виду, который диктует выбранный метод. Рассмотрим наиболее часто применяемые виды преобразований :

1. Преобразование, направленное на исключение из СММ случайных факторов в виде случайных функций, то есть в правых частях системы дифференциальных уравнений (2.1) должны присутствовать случайные факторы только в виде СВ.

Для решения этой проблемы можно использовать представление случайных функций через их канонические разложения типа (1.58). При этом в правых частях дифференциальных уравнений будут присутствовать дополнительные СВ.

2. Преобразование, направленное на исключение из СММ случайных факторов в виде СВ, то есть в правых частях системы дифференциальных уравнений (2.1) должны присутствовать случайные факторы только в виде случайных функций.

Для достижения этой цели векторную СВ V можно 'перевести' в случайные начальные условия, добавив к системе (2.1) дополнительную систему из l дифференциальных уравнений вида

(2.3)

В результате получается расширенная система дифференциальных уравнений (n+l)-го порядка.

3.Преобразование, направленное на исключение статистической неопределенности в начальных условиях (2.2).

Это требование может быть выполнено введением новой переменной

. (2.4)

Тогда математическая модель (2.1), (2.2) может быть представлена в виде

(2.5)

с неслучайными нулевыми начальными условиями

. (2.6)

4. Преобразование, направленное на достижение требования, чтобы все СВ, присутствующие в СММ, были независимыми.

Этот результат может быть достигнут с помощью линейного преобразования (1.39), (1.40), если СВ удовлетворяют нормальному закону распределения.

Вышеописанные преобразования могут быть применены и в комбинированном варианте.

- на воздействия, вызванные внешними по отношению к ЛА причинами;

- воздействия, вызванные внутренними процессами происходящими в ЛА;

- разброс исходных данных.

К внешним причинам, вызывающим возмущающие воздействия, относятся неточные знания внешних сил, действующих на ЛА в полете. В зависимости от рассматриваемой задачи о движении ЛА выбирается свой набор и полнота учета внешних сил. Кроме того, решение о том, что считать возмущающим воздействием, также зависит от требований практического использования результатов расчетов.

Так, например, для низковысотных КА сравнительно небольших размеров, совершающих полет на высотах до 500 км, обязательным является учет влияния атмосферы, которая вызывает аэродинамическое торможение КА. В то же время силы, вызываемые притяжением со стороны Солнца и Луны, ввиду их малости часто не учитываются.

Противоположная картина наблюдается для геостационарных спутников Земли, для которых Солнце и Луна оказывают заметное влияние на движение, а атмосферные возмущения отсутствуют.

На рис.2 показан характер изменения возмущающих ускорений f в зависимости от относительного расстояния до центра Земли r/r_з, где r_з - радиус Земли, отнесенных к ускорению притяжения Земли g₀, найденному для модели центрального поля.

Рис.2. Возмущающие ускорения при движении низковысотного КА:

Внутренние причины, вызывающие возмущающие воздействия, обуславливаются неидеальностью системы управления движением и ее приборной реализации, что приводит к отклонению формируемой управляющей силы от программных значений. К внутренним причинам в первую очередь относятся следующие факторы :

1.Ошибки чувствительных элементов и программирующих устройств. Они зависят от принципа действия системы управления и ее аппаратурного состава. Например, при наличии на борту ЛА инерциальной навигационной системы (ИНС), включающей в свой состав гиростабилизированную платформу (ГСП) с размещенными на ней акселерометрами, рассматриваемый вид ошибок будет состоять из ошибок начальной выставки ГСП, ошибок акселерометров, ухода ГСП вследствие дрейфа и действующих ускорений, ошибок в выдаче программирующим устройством программных величин параметров ИНС.

2.Ошибки преобразующих устройств, возникающие в процессе преобразования управляющих сигналов при передаче их на исполнительные органы.

3.Ошибки работы исполнительных органов. Если в качестве исполнительного органа используется реактивный двигатель, то ошибки могут возникать из-за отклонения величин и направления приложения тяги двигателя от программных значений. Если в качестве исполнительного органа используются аэродинамические рули, то рассматриваемый тип ошибок может порождаться переходными процессами системы угловой стабилизации ЛА и неточностью знания аэродинамических характеристик как управляющих поверхностей, так и самого ЛА.

4.Утечка газа из корпуса ЛА в случае его разгерметизации, например, при попадании микрометеорита. При этом может создаваться реактивная сила, сравнимая с аэродинамической силой на высоте 160 км.

Разброс исходных данных объединяет группу причин, вызывающих возмущающие воздействия, в число которых входят:

- погрешности задания начальных значений параметров движения при расчете программы управления (в свою очередь они зависят от погрешности измерительных средств определения параметров движения ЛА и погрешностей прогнозирования движения);

- погрешности знания массовых и инерционных характеристик ЛА;

- погрешности задания аэродинамических характеристик ЛА;

- погрешности задания констант, входящих в уравнение движения.

Для большинства возмущающих воздействий статистические характеристики либо неизвестны, либо известны недостаточно полно, поэтому необходимо делать предположения о характере недостающих данных.

Если случайный фактор представляется как случайная величина, то чаще всего принимается предположение о нормальном законе распределения плотности вероятности (это справедливо для физических величин, разброс значений которых обусловлен многими причинами), а также о равномерном законе распределения плотности вероятности, если известен только диапазон принимаемых величиной значений и требуется получить гарантированный результат.

Если случайный фактор представляется в виде случайного процесса (случайной функции), то чаще всего используются предположения о том, что он относится к категории 'белый шум' или является стационарным экспоненциально коррелированным случайным процессом.

Иногда случайная функция x(t) выражается через случайную величину следующим образом :

, (2.7)

где и - математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайного процесса соответственно; z - случайная величина, имеющая стандартный нормальный закон распределения .

Выбор совокупности учитываемых случайных факторов, а также обоснование принимаемых для них моделей является важным этапом записи стохастической математической модели.

Если рассматривается движение низковысотных КА, то к основным возмущающим воздействиям относятся следующие факторы :

1.Несферичность Земли. В задачах механики полета КА гравитационный потенциал Земли часто задается конечным гармоническим рядом. Можно считать, что отброшенные члены ряда характеризуют дополнительную силу, вызывающую возмущения в движении. Ее можно представить различным образом, например, в виде случайной функции координат движения, или считать случайными величинами набор коэффициентов, стоящих перед гармониками, т.к. они известны с определенной погрешностью.

2.Неточность знания параметров атмосферы Земли. Параметры атмосферы представляются в виде случайных функций координат ЛА и времени (случайных полей). Чаще всего для анализа движения КА ограничиваются рассмотрением только плотности атмосферы как функции высоты движения (более подробно см. параграф 2.3).

Второстепенными внешними случайными факторами, которые учитываются редко при анализе движения низковысотных КА, являются следующие факторы :

- притяжение со стороны Солнца, Луны и других планет;

- давление светового излучения Солнца;

- взаимодействие КА с электромагнитным полем Земли;

- поверхностный электрический эффект, возникающий при движении КА в ионизированных слоях атмосферы.

Под случайными атмосферными возмущениями здесь понимаются возмущения плотности атмосферы, которые непосредственно влияют на движение ЛА.

На плотность атмосферы Земли оказывают влияние:

- солнечная активность (на высоте 200 км амплитуда вариаций достигает 40% и увеличивается с ростом высоты);

- солнечная радиация и приливы (на высоте 200 км отклонения достигают 15%, а на высоте 800 км изменяются на порядок);

- межпланетная плазма (вызывает колебания плотности атмосферы с амплитудой до 25% с полугодовым периодом);

- геомагнитный эффект (вызывает кратковременные изменения плотности в 2 раза на высотах порядка 200 км, а в 10 раз на высотах порядка 650 км);

- несферичность Земли (проявляется в несферичности распределения плотности атмосферы).

Учитывая большую важность знания плотности атмосферы Земли для анализа движения всех ЛА до высот порядка 500 км, разработке моделей расчета плотности атмосферы в функции высоты полета H уделяется особое внимание.

В настоящее время существуют несколько стандартов на расчет плотности атмосферы Земли, каждый из которых имеет определенную область применения (все они относятся к детерминированным моделям).

Для баллистического обеспечения полета КА и ИСЗ в диапазоне высот от 120 до 600 км используется наиболее точная и сложная динамическая модель атмосферы, описанная в ГОСТ 25645.115-84 'Модель верхней атмосферы для баллистических расчетов' и имеющая вид

, (2.11)

где -плотность ночной атмосферы;

K₁ - коэффициент, учитывающий суточный эффект в распределении плотности;

K₂ - поправка на полугодовой эффект;

K₃ - коэффициент, учитывающий изменения плотности, связанные с отклонением среднесуточного значения индекса солнечной активности от среднего уровня за рассматриваемый период (квартал, год);

K₄ - коэффициент, учитывающий корреляцию между плотностью атмосферы и геомагнитной возмущенностью.

Вариации среднесуточной плотности верхней атмосферы для этой модели определяются по ГОСТ 25645.102-83 Атмосфера Земли верхняя. Методика расчета характеристик вариаций плотности. Для этой модели среднеквадратическое отклонение плотности, отнесенное к номинальному значению, изменяется от 6% на высоте 160 км до 58% на высоте 600 км.

Для использования при расчетах и проектировании ЛА, приведения результатов испытаний ЛА и их элементов к одинаковым условиям используется ГОСТ 4401-81 Атмосфера стандартная.

Но основании обширного статистического материала, собранного за длительное время, в [9] были сделаны выводы о том, что нестационарная случайная функция r (H) может быть представлена в виде

, (2.8)

где Mr (H) и s r (H) - математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение r (H) соответственно; z (H) - стационарная случайная функция с моментными характеристиками Mz (H)=0; Dz (H)=1.

При этом корреляционная функция Rx (D H) для высот H £ 70км может быть приближенно представлена в двух вариантах [9] :

, (2.9)

. (2.10)

Вид выражения Rz (D H), а также значения коэффициентов K и W ₀ зависят от широты местности, времени года и рассматриваемого высотного слоя. Для высот полета более 70км модели для корреляционной функции Rz (D H) отсутствуют. Поэтому можно принять для этого диапазона высот, что z (H) представляет собой стационарный стандартный 'белый шум'. При этом вышеупомянутые детерминированные модели плотности атмосферы могут быть использованы в качестве математических ожиданий Mr (H). Данные о погрешностях детерминированных моделей могут быть основой для определения s r (H).