В разделе 2.2 были рассмотрены фазовые портреты невозмущенного движения тела под действием бигармонического нутационного момента (рис. 2-5). В возмущенном движении при изменении величин коэффициентов бигармонического нутационного момента и или при наличии возмущающих моментов происходит эволюция фазовых траекторий, в результате которой они могут пересекать сепаратрисы, попадая в различные области фазового портрета. Это явление сопровождается качественными изменениями характера движения: вращательное движение может переходить в колебательное, колебательное движение может 'скачкообразно' переходить в колебательное движение с другими амплитудными характеристиками и т. д.

Рассмотрим переходные режимы возмущенного движения твердого тела под действием бигармонического нутационного момента, когда коэффициенты момента и медленно меняются во времени, а возмущающие моменты отсутствуют. Как известно, для таких систем переменная действия является адиабатическим инвариантом, то есть сохраняет свое значение /11/. Равенство справедливо для большинства начальных условий с точностью на временах порядка 1/ /12/. Исключительное множество начальных условий, для которых эта оценка несправедлива, имеют меру , где - любое наперед заданное число. Режимы движения, соответствующие данным начальным условиям, когда фазовая траектория заканчивается в седловой точке и период движения обращается в бесконечность, называются режимами 'зависания' тела в окрестности неустойчивого положения равновесия и в настоящей работе не рассматриваются (применительно к задаче о неуправляемом пространственном движении твердого тела в атмосфере они подробно исследованы в /13/).

Рассмотрим процедуру исследования переходных режимов движения тела, когда не проводится интегрирование уравнений движения, а используются только аналитические выражения для переменной действия.

Исходя из постоянства переменной действия, моменты времени, соответствующие переходам между различными областями фазового портрета, определяются из равенства выражения переменной действия, вычисленной вдоль сепаратрис, значению переменной действия, вычисленной по начальным условиям движения.

Величина угла нутации на границе перехода от одного типа движения к другому в общем случае зависит от начальных условий углового движения (от законов распределения начальных углов нутации и угловых скоростей), а также от скорости изменения коэффициентов и . Рассмотрим случай, когда коэффициенты и медленно изменяются во времени таким образом, что тело за время движения от до границы перехода совершает несколько оборотов или колебаний.

В случаях, когда при пересечении сепаратрис фазовая точка может попадать в различные колебательные области, возникает задача выбора области продолжения движения. Дело в том, что фазовые точки, которые в начальный момент находились на расстоянии порядка друг от друга ( - малый положительный параметр, характеризующий медленность изменения параметров системы), могут после пересечения сепаратрисы захватываться в различные области, и их дальнейшее движение будет совершенно различным. Так как начальные данные всегда известны лишь с некоторой точностью, то при детерминированный подход к задаче теряет смысл. Однако можно корректно определить и вычислить вероятность захвата в ту или иную область. Пусть сепаратрисы и отделяют внутренние области движения , от внешней (см. рис. 3, 4, 5). Для выбора области продолжения движения или используется понятие вероятности , , захвата в каждую из них. В соответствии c /14/ эта вероятность определяется как доля фазового объема малой окрестности начальной точки движения, 'захватываемая' в рассматриваемую область в пределе, когда малый параметр и размер окрестности , (сначала предел берется по потом по ), причем Р₁+Р₂=1. Отношение вероятностей вычисляется по формулам

, (3.1)

(i=1,2), (3.2)
где , - координаты седловой особой точки на фазовом портрете. Интегралы (3.2) вычисляются вдоль сепаратрис и , параметризованных временем невозмущенного движения по ним. Физический смысл функции - скорость приближения площади, ометаемой фазовой траекторией, к площади, ограниченной сепаратрисой.

Итак, при известных начальных условиях движения можно проследить за эволюцией фазовой траектории, найти моменты перехода и вероятность перехода в ту или иную характерную область фазового портрета.

Исследуем переходные режимы возмущенного движения твердого тела, полагая для определенности, что коэффициенты и изменяются по экспоненциальному закону (такой закон имеет место в задаче о входе неуправляемого твердого тела в атмосферу /13/)

, , , (3.3)
где и значения коэффициентов и при , - положительный коэффициент порядка малости . Проведем анализ переходных режимов движения тела для характерных случаев плоского движения, фазовые портреты которых показаны на рис. 2-4.

1. . Фазовый портрет для случая изображен на рис. 2 (при фазовая картина сдвигается по оси на величину ). В зависимости от величины энергии h тело может совершать либо вращательное, либо колебательное движение, области которых разделены сепаратрисой. Пусть начальные условия соответствуют вращательному движению тела. По мере роста параметра колебательная область растет, и тело, совершающее вращательное движение, в какой-то момент времени начинает совершать колебательное движение. Для иллюстрации данного переходного режима движения на рис. 6 показано изменение характера движения тела в зависимости от времени (как результат интегрирования системы уравнений (1.15) с учетом того, что коэффициенты нутационного момента и меняются в соответствии с (3.3), а возмущающие моменты отсутствуют) при следующих начальных данных: , , град, град/с, . На рис. 6 приведены графики изменения угловой скорости от угла нутации и угла нутации от времени . Отметим, что обобщенный импульс связан с угловой скоростью соотношением: .

Получим формулы для определения момента времени, соответствующего переходу вращения в колебания. Пусть начальные условия соответствуют вращательному движению тела, и тогда переменная действия в зависимости от соотношения коэффициентов , и вычисляется по одной из формул (2.22) или (2.6) с учетом (2.23), а в случае движения твердого тела под действием синусоидального нутационного момента () - по формуле (2.61). Если начальное значение потенциальной энергии намного меньше начального значения кинетической энергии, то величина . Приравнивая значение значению переменной действия, вычисленной вдоль сепаратрисы по одной из формул (2.24), (2.25), (2.63), получим значение коэффициента или (при ) в момент времени , соответствующий переходу вращения в колебания,

при ,

при , (3.4)
при ,

где .

Время определяется при известном или из соотношений (3.3)

(3.5)
или

.

Отметим, что коэффициенты нутационного момента в соответствии с (3.3) связаны соотношением: .

2. , b<0. Фазовый портрет показан на рис. 3. Картина фазовых кривых периодична по с периодом . Значения угла нутации , соответствующие особым точкам типа центр, являются устойчивыми положениями равновесия. Значения угла нутации , , соответствующие особым точкам типа седло, являются неустойчивыми положениями равновесия. На фазовом портрете имеют место три области движения - вращательная и две колебательные и , разделенные сепаратрисами. В зависимости от величины энергии тело может совершать либо вращательное, либо колебательное движение. По мере роста параметра колебательные области и растут, и тело, совершающее вращательное движение, в какой-то момент времени начинает совершать колебательное движение в одной из них. Для иллюстрации данных переходных режимов движения на рис. 7, 8 показано изменение характера движения тела в случае, когда вращение переходит в колебание в области (начальные данные: , , град, град/с, ), и в случае, когда вращение переходит в колебание в области (начальные данные , , град, град/с, ).

Получим формулы для определения момента времени, соответствующего переходу вращения в колебания, а также найдем вероятность попадания в колебательные области и . Пусть начальные условия соответствуют вращательному движению тела (область ), тогда переменная действия определяется по формуле (2.22). Приравнивая значение значению переменной действия, вычисленной вдоль сепаратрисы по формуле (2.27), получим значение коэффициента в момент времени , соответствующий переходу вращения в колебания,

, (3.6)
где .

Время определяется при известном по формуле (3.5)

После пересечения сепаратрисы при система может совершать колебания относительно одного из двух устойчивых положений равновесия (в области ) или (в области ). Найдем вероятность попадания в эти колебательные области. Будем обозначать вероятность попадания в область через , а вероятность попадания в области через . Естественно, что . После соответствующих вычислений по формулам (3.1) и (3.2) имеем

3. , . Фазовый портрет для случая изображен на рис. 4 (при фазовая картина сдвигается по оси на величину ). Картина фазовых кривых периодична по с периодом . Значения угла нутации , , соответствующие особым точкам типа центр, являются устойчивыми положениями равновесия. Значения угла нутации , , соответствующие особым точкам типа седло, являются неустойчивыми положениями равновесия. На фазовом портрете располагаются четыре характерные области движения - вращательная и три колебательные, разделенные сепаратрисами. В зависимости от величины энергии тело может совершать либо вращательное, либо колебательное движение. Причем колебательное движение может совершаться либо относительно неустойчивого положения равновесия , в области , либо относительно одного из двух устойчивых положений равновесия , в области или . По мере роста параметра колебательные области растут, и тело, совершающее вращательное движение, в какой-то момент времени начинает совершать колебательное движение относительно неустойчивого положения равновесия, а затем в следующий момент времени начинает совершать колебательное движение относительно одного из двух устойчивых положений равновесия. Для иллюстрации данных переходных режимов движения на рис. 9, 10 показано изменение характера движения тела в случае, когда движение завершается в области (начальные данные: , , град, град/с, ), и в случае, когда движение завершается в области (начальные данные , , град, град/с, ).

Получим формулы для определения моментов времени, соответствующих переходам между областями. Если начальные условия соответствуют вращательному движению тела, то интеграл действия вычисляется по формуле (2.6) с учетом формул для корней (2.23). Если начальные условия соответствуют колебаниям тела относительно неустойчивого положения равновесия при (область на рис. 4) или при , то интеграл действия вычисляется по формуле (2.6) с учетом формул (2.26). Значение коэффициента b в момент времени , соответствующий моменту перехода вращения в колебания, определяется равенством (3.4). Время при известном определяется по формуле (3.5).

Найдем момент времени , соответствующий переходу из колебательной области относительно неустойчивого положения равновесия (при ) или (при ), в одну из двух колебательных областей относительно устойчивых положений равновесия (в область или ). Приравнивая значение значению переменной действия, вычисленной вдоль сепаратрисы по формуле (2.28), получим значение коэффициента в момент времени

,

где .

Время при известном определяется по формуле (3.5). Амплитуда колебаний в момент времени равна

.

Попадание в колебательные области или равновероятно, поскольку они равны и симметричны относительно седловой особой точки (при ) или (при ).

Рассмотрим случай пространственного движения тела под действием бигармонической нутационного момента (рис. 5), когда на фазовом портрете имеет место седловая точка (см. раздел 2.2). В этом случае имеют место три колебательные области. По мере роста параметра колебательные области растут, и тело, совершающее колебательное движение во внешней области , в какой-то момент времени начинает совершать колебательное движение в одной из двух внутренних колебательных областей или . Для иллюстрации данных переходных режимов движения на рис. 11, 12 показан характер изменения пространственного движения тела во времени в случае, когда движение завершается в области (начальные данные: , , , , град, град/с, , , ), и в случае, когда движение завершается в области (начальные данные , , , , град, град/с, , , ).

Определим момент времени , соответствующий переходу из внешней колебательной области в одну из внутренних колебательных областей, т. е. момент перехода комплексно-сопряженных корней полинома (2.4): в действительные: , . Пусть начальные условия соответствуют движению тела в области , тогда интеграл действия вычисляется по формуле (2.8). Учитывая постоянство переменной действия, выражение (2.29) перепишем в виде

. (3.8)
Значение коэффициента в момент времени определяется путем совместного решения уравнения (3.8) с определением корней полинома (2.4). Величина определяется из условия перехода комплексно-сопряженных корней: в действительные: , . Время определяется при известном по формуле (3.44).

Поскольку при тело может продолжить движение в одной из внутренних колебательных областей или (рис. 5), определим вероятность его захвата в эти колебательные области. Пользуясь формулами (3.1) и (3.2), получим

, (3.9)
где , .

Таким образом, для случая движения твердого тела под действием бигармонического нутационного момента, когда коэффициенты момента изменяются по экспоненциальному закону (3.3), проведен полный анализ возможных переходных режимов движения, даны формулы для определения времени перехода тела из одного режима движения в другой, а также формулы для определения вероятности попадания тела в тот или иной режим движения.