При исследовании движения твердого тела методами теории возмущений очень эффективными оказываются переменные действие-угол , ( - число степеней свободы), обладающие следующими свойствами: фазовое пространство системы периодично по всем углам с периодом ; все угловые переменные - циклические, т.е. гамильтониан не зависит от .

Введем переменные действие-угол , () в задаче о движении твердого тела под действием бигармонического нутационного момента (1.16). Переменные и являются циклическими переменными (в функцию Гамильтона не входят) и для соответствующих им переменных действия имеем

Переменную действия , соответствующую углу нутации, вычислим по формуле

, (2.2)
в которой интеграл берется за полный период изменения угла нутации .

Импульс определим из интеграла энергии (1.29), при этом сделаем замену переменных , тогда интеграл (2.2) принимает вид

, (2.3)

, (2.4)
где , (при плоском вращении: u₁=1, ; при плоских колебаниях относительно : u₁=1, , а относительно : , ).

Интеграл (2.3) относится к классу эллиптических интегралов и, следовательно, приводится к сумме элементарных функций и трех нормальных эллиптических интегралов /9/. Результат интегрирования зависит от типа корней полинома четвертой степени . Для реализации реального физического процесса два из четырех корней многочлена (2.4) должны соответствовать предельным значениям угла нутации: , и при этом . Оставшиеся два корня , в зависимости от соотношения величин , , , и могут быть либо действительными, либо комплексно-сопряженными. Введем следующее правило нумерации этих корней. Действительные корни: при - , при - . Комплексно-сопряженные корни: .

Приведение интеграла (2.3) к нормальным эллиптическим интегралам осуществляется посредством преобразования , отображающего интервал интегрирования в соответствующий интервал действительного аргумента . Вид преобразования зависит от типа и сочетания корней, а также от знака старшего коэффициента полинома /9/.

Для случая, когда все четыре корня действительные, преобразование при условии принятого выше правила нумерации корней может быть представлено в виде

. (2.5)
В результате преобразования для случая, когда все корни действительные, имеем следующее выражение для переменной действия

(2.6)
,
где , , - полные эллиптические интегралы I, II и III рода; - модуль эллиптических интегралов,
,
,
,
,
,
,
,
.

Если имеют место два действительных и два комплексных корня (), то, используя преобразование

, (2.7)
где , , , получим следующее выражение для переменной действия

(2.8)
,

где ,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.

Таким образом, в общем пространственном случае движения твердого тела под действием бигармонического момента переменные действия и совпадают с переменными Эйлера и , а переменная действия зависит от пяти полных эллиптических интегралов (, , , , ).

,
,
,
,
,
,
.

Таким образом, в общем пространственном случае движения твердого тела под действием бигармонического момента переменные действия и совпадают с переменными Эйлера и , а переменная действия зависит от пяти полных эллиптических интегралов (, , , , ).

Определим функцию Гамильтона в переменных действие-угол. Переменная является функцией постоянной энергии . Для однозначного разрешения уравнения для переменной относительно постоянной энергии необходимо, чтобы выполнялось условие

.

Учитывая (2.3), получим

.

Последние два слагаемых равны нулю, поскольку , - корни уравнения , и следовательно

,

а после преобразования

. (2.9)
Для случая различных корней и , и эта производная строго положительна, а значит уравнения (2.6) и (2.8) относительно однозначно разрешимы.

Следовательно, функция Гамильтона является функцией переменных действия и для нее все обобщенные координаты () - циклические. Уравнения Гамильтона для канонических переменных действие-угол имеют вид

, , ().
Отсюда очевидно, что , и поскольку частоты являются постоянными величинами, то для угловых переменных имеем

. (2.10)
Определим частоты движения твердого тела под действием бигармонического момента. Частота движения по второй координате, учитывая (2.9), определяется следующим образом:

если все корни полинома действительные

, (2.11)
, (2.12)
если два действительных корня и два комплексных корня

, (2.13)
. (2.14)
Определим частоту движения по первой координате . Для этого перепишем (2.3) в виде

, (2.15)

.

Дифференцируя (2.15) по , имеем

.

Отсюда следует, что

, (2.16)
где

. (2.17)
Из уравнения Гамильтона, учитывая соотношения (2.16) и (2.9), преобразуя выражение (2.17) с учетом (2.5) и (2.7), получим, что если все корни полинома действительные, то

, (2.18)
а если имеют место два действительных корня и два комплексных корня, то

, (2.19)
где .

Аналогично определим частоту по третьей координате

,

где

.

В результате, если все корни полинома действительные, то

, (2.20)
а если два действительных корня и два комплексных корня, то

. (2.21)
Заметим, что коэффициенты , , , , входящие в выражения (2.18)-(2.21), определяются по формулам (2.6) или (2.8) в зависимости от типа корней полинома .

Таким образом, движение твердого тела под действием бигармонического нутационного момента описано в канонических переменных действие-угол, которые выражены через полные эллиптические интегралы.

Невозмущенное движение твердого тела под действием бигармонического момента в переменных Эйлера, как системы с одной степенью свободы с гамильтонианом (1.29), в зависимости от начальных условий и значений величин , , , может происходить в одной из областей фазовых портретов, показанных на рис. 2-4 для плоского движения и на рис. 5 для пространственного движения и на которых также изображены соответствующие графики потенциальной энергии. Для каждой из этих областей можно определить корни полинома через коэффициенты , , , и начальные условия и упростить в ряде случаев формулы для переменных действие-угол. Рассмотрим эти частные случаи движения тела, соответствующие различным областям фазового портрета системы.

При плоском движении (, ) в зависимости от соотношения величин и имеют место три характерных вида фазовых портретов.

1) . Фазовый портрет аналогичен фазовому портрету математического маятника и для случая изображен на рис. 2 (при фазовая картина сдвигается по оси на величину ).

При реализуется вращательное движение тела. В этом случае, при , полином имеет два действительных и два комплексно-сопряженных корня:

, ,

где , .

Выражение для переменной действия (2.8) при этом упрощается:

, (2.22)
,
,
,
.

При , (все корни полинома действительные, два корня равны между собой, модуль эллиптических интегралов ) имеем

.

При , и , корни действительные:

, . (2.23)
Переменная в этом случае вычисляется по формуле (2.6) с учетом равенств (2.23) и того, что коэффициенты , поскольку .

Границе перехода вращения в колебания соответствует условие . В этом случае все корни полинома действительные, два корня равны между собой и, поскольку при этом под знаком радикала в выражении (2.3) остается полином второй степени, то интеграл, взятый вдоль сепаратрисы, выражается через элементарные функции

при , (2.24)
при , (2.25)
где .

Колебательному движению относительно (при ) или (при ) соответствует условие . В этой области движения переменная вычисляется по формуле (2.6), а корни определяются следующим образом:

, при ,

(2.26)
, при .

2) , . На фазовом портрете появляются дополнительные особые точки типа седло, соответствующие значениям угла нутации , и имеют место три области движения - вращательная и две колебательные и (рис. 3).

При реализуется вращательное движение тела, которому соответствуют два действительных и два комплексно-сопряженных корня полинома:

, ,

где , .

Переменная в этом случае определяется по формуле (2.22).

Границе перехода между областями фазовой плоскости соответствует условие . На границе перехода интеграл, взятый вдоль сепаратрис, имеет вид

, (2.27)
где .

Колебательному движению в области относительно точки соответствует условие , а колебаниям в области относительно точки соответствует условие . В этих колебательных областях движения переменная вычисляется по формуле (2.6). При этом корни определяются следующим образом:

при колебаниях в области относительно точки

, ,

,

,

при колебаниях в области относительно точки

, ,

,

.

3) , . Фазовый портрет для случая изображен на рис. 4 (при фазовая картина сдвигается по оси на величину ). Здесь особым точкам типа центр соответствуют значения угла нутации , а в точках имеет место особая точка - седло. На фазовом портрете располагаются четыре характерные области движения - вращательная и три колебательные.

При реализуется вращательное движение тела. Переменная определяется выражением (2.6). При этом корни полинома определяются по формулам (2.23).

Границе перехода вращения в колебания относительно неустойчивого положения равновесия (при ) или (при ) соответствует условие . Интеграл, взятый вдоль сепаратрис, в этом случае определяется выражением (2.24).

При тело совершает колебания относительно неустойчивого положения равновесия (при ) или (при ). Переменная действия определяется выражением (2.6). При этом корни определяются по формулам (2.26).

Границе перехода из колебательной области в одну из двух колебательных областей или соответствует условие . Интеграл, взятый вдоль сепаратрисы, имеет вид

, (2.28)
где .

Колебаниям относительно устойчивых положений равновесия соответствует условие . Переменная действия определяется выражением (2.6). При этом корни определяются по формулам:

, .

В случае пространственного движения тела с бигармонической моментной характеристикой наличие гироскопического члена в выражении для интеграла энергии (1.29) исключает возможность вращательного движения. В зависимости от типа корней полинома (2.4) переменная действия вычисляется по формулам (2.6) или (2.8). Вторая гармоника в бигармонической моментной характеристике обуславливает возможность появления на фазовом портрете особой точки типа седло. В этом случае имеют место три колебательные области (рис. 5). Качественный анализ уравнения (1.29) показывает, что если внутри интервала для угла нутации () седловая точка отсутствует в плоском случае (), то она отсутствует и в случае пространственных колебаний независимо от величин и . С другой стороны, если при седловая точка имеет место (случай , ), то обеспечить ее отсутствие можно только выбором достаточно больших по модулю и . В случае, когда седловая точка имеет место, при движении во внешней области A₃ (рис. 5) переменная определяется по формуле (2.8) (два корня полинома действительные, а два комплексно-сопряженные). При движении в одной из внутренних колебательных областей A₁ или A₂ переменная действия определяется по формуле (2.6) (все корни действительные).

Границе перехода из внешней колебательной области в одну из внутренних колебательных областей ( на рис. 5) соответствует момент перехода комплексно-сопряженных корней в действительные , . В этом случае полином (2.4) имеет вид

,

и интеграл (2.3) вычисляется через элементарные функции

, (2.29)
, ,

,

.

Чтобы найти выражение канонических переменных действие-угол через углы Эйлера , , , построим производящую функцию канонического преобразования. Функция Гамильтона определяется формулой (1.29), в которую входит только одна нециклическая координата . Поэтому производящую функцию можно искать в виде /8/

. (2.30)
Здесь функция вычисляется по формуле

. (2.31)
Угловые переменные определяются по правилам канонического преобразования /8/

(). (2.32)
Найдем выражение для угловой переменной :

.

Вычисляя частную производную от (2.31) по переменной , преобразуя полученное выражение к эллиптическому интегралу первого рода и учитывая равенство (2.9), получим:

если все корни полинома действительные, то

, (2.33)
если два корня действительные и два комплексные, то

, (2.34)
где

(2.35)
есть неполный эллиптический интеграл первого рода.

Определим угловую переменную :

.

Вычисляя частные производные от (2.31) по переменным и , преобразуя полученные выражения к эллиптическим интегралам первого и третьего рода и учитывая равенства (2.18), (2.19), получим:

если корни полинома действительные, то

, (2.36)

если два корня действительные и два комплексные, то

, (2.37)
где

,

,

- неполный эллиптический интеграл третьего рода.

Определим угловую переменную :

.

Вычисляя частные производные от (2.31) по переменным и , преобразуя полученные выражения к эллиптическим интегралам первого и третьего рода и учитывая равенства (2.20), (2.21), получим:

если корни полинома действительные, то

, (2.38)
если два корня действительные и два корня комплексные, то

. (2.39)
Получим выражения для углов Эйлера как функций времени. Обращая эллиптический интеграл (2.35) и учитывая (2.33) и (2.34), получим, что если все корни полинома действительные, то

, (2.40)

а если имеют место два действительных корня и два комплексных корня, то

. (2.41)
Учитывая выражения для угловой переменной (2.10), для частоты (2.11) или (2.13) и полагая , формулы (2.40) и (2.41) запишем соответственно в следующем виде

, (2.42)
, (2.43)
где определяется в зависимости от типа корней полинома по формулам (2.12) или (2.14).

На основании формул (2.5) и (2.7), учитывая (2.42) и (2.43), запишем решение для угла нутации:

если корни полинома действительные, то

(2.44)
или после преобразований

, (2.45)
если имеют место два действительных корня и два комплексных корня, то

(2.46)
или

. (2.47)
Подставляя из соотношений (2.33) и (2.34) в (2.36)-(2.39), учитывая выражения для угловых переменных (2.10) и для частот (2.11), (2.13), (2.18)-(2.21), полагая, что , получим выражения для угла прецессии и угла собственного вращения:

если корни полинома действительные, то

, (2.49)
если два корня действительные и два корня комплексные, то

, (2.50)
.

(2.51)
Заметим, что коэффициенты , , , , , входящие в выражения (2.33)-(2.51), определяются по формулам (2.6) или (2.8) в зависимости от типа корней полинома .

Рассмотрим движение твердого тела под действием нутационного момента, который имеет синусоидальную зависимость от угла нутации

, (2.52)
где - коэффициент, на знак которого никаких ограничений не накладывается и при имеет место движение тяжелого твердого тела в случае Лагранжа в классической постановке.

Гамильтонова функция (1.29) в рассматриваемом случае равна

. (2.53)
Найдем общее аналитическое выражение для переменной действия , справедливое для всех возможных областей движения. Полином (2.4) в этом случае становится полиномом третьей степени

. (2.54)
Физическое движение реализуется, когда все корни кубического полинома действительные /1/. Нумерацию корней будем проводить следующим образом:

при (, );

при (, ).

В случае пространственного движения тела под действием синусоидального момента имеет место только одна колебательная область. Используя преобразование (2.5), интеграл (2.3) можно привести к виду

, (2.55)
где , , , ,

, , .

Определим частоты движения твердого тела под действием синусоидального нутационного момента. Учитывая выражение для функции Гамильтона (2.53), проведя вычисления по формулам раздела 2.1, определяющим частоты движения твердого тела, получим

, (2.56)
, (2.57)
, (2.58)
. (2.59)
Рассмотрим частный случай - плоское движение твердого тела под действием синусоидального нутационного момента. Для плоского движения (, ) фазовый портрет изображен для на рис. 2, а при фазовая картина сдвигается по оси на величину .

Выражение для переменной действия в этом случае имеет вид

. (2.60)
При реализуется вращательное движение тела и в этом случае полином имеет следующие корни: , , при ; , при . Выражение для переменной действия при этом упрощается

(2.61)
или

, (2.62)
где .

Границе перехода вращения в колебания соответствует условие . В этом случае интеграл, взятый вдоль сепаратрисы, определяется по формуле

. (2.63)

При плоских колебаниях (): , , при ; , , при . Переменная действия определяется формулой

. (2.64)
или

, (2.65)
где

или

при , при .

Установим связь канонических переменных действие-угол с переменными Эйлера при движении твердого тела под действием синусоидального нутационного момента. Рассмотрим общий случай движения. Угловые переменные определим по формулам раздела 2.3. После соответствующих вычислений имеем

, (2.66)
, (2.67)
. (2.68)
Получим выражения для углов Эйлера как функций времени. Обращая эллиптический интеграл и учитывая (2.66), получим

. (2.69)
Решение для угла нутации может быть представлено как

(2.70)
или

(2.71)
или

. (2.72)
По формулам раздела 2.3 получим выражения для угла прецессии и угла собственного вращения

, (2.73)
. (2.74)
Следует отметить, что выведенные формулы для углов Эйлера (2.71), (2.73), (2.74) совпадают с аналитическими выражениями /10/, полученными прямым взятием квадратур из выражений, полученных из первых интегралов системы.