Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.ssau.ru/files/education/metod_1/Aslanov_koncepc_matem.pdf Дата изменения: Thu Dec 18 15:50:03 2014 Дата индексирования: Mon Apr 11 02:27:45 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: кольца сатурна

Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Корол?ва (национальный исследовательский университет)

Домашняя

Назад На весь экран

Концепции математического моделированияпроцессов механических систем и
Электронные методические рекомендации к практическим занятиям
Самара 2010

В. С. Асланов, А. В. Алексеев

Закрыть


УДК 531 Концепции математического моделирования механических систем и процессов: Рекомендации к практическим занятиям / Асланов В. С.,

Домашняя

Алексеев А. В. Самар. гос. аэрокосм. ун-т. Самара, 2010. 84 с.

Представлены примеры и рекомендации построения и анализа математических моделей для различных задач механики, физики, биологии, экономики, социологии на основе использования фундаментальных законов природы, вариационных принципов, иерархических цепочек, метода аналогий. Для каждого раздела приведены упражнения для аудиторных занятий и самостоятельной работы студентов. Рекомендации написаны на основе лекционного и практического курса ?Концепции математического моделирования механических систем и процессов?, для студентов старших курсов, обучающихся по направлению 010800?Механика и математическое моделирование? в Самарском государственном аэрокосмическом университете. Пособие может быть полезно при выполнении курсовых работ, при дипломном проектировании, а также аспирантам и специалистам, занимающимся составлением и исследованием математических моделей сложных систем и процессов. ISBN c В. С. Асланов, А. В. Алексеев, 2010 c Самарский государственный аэрокосмический университет, 2010

Назад На весь экран

Закрыть


Домашняя

Оглавление

Назад На весь экран

1

Модели, получаемые из фундаментальных законов природы

4

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
2

Траектория всплытия подводной лодки . . . . . . . . . Отклонение заряженной частицы в электронно-лучевой Колебания колец Сатурна . . . . . . . . . . . . . . . . . Движение шарика, присоединенного к пружине . . . . Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . УПРАЖНЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Маятник на свободной подвеске Непотенциальные колебания . . Малые колебания струны . . . . Электромеханическая аналогия УПРАЖНЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.... трубке .... .... .... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 7 12 15 19 19
21

Модели, получаемые из вариационных принципов

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

21 29 33 40 44

Закрыть


3

Примеры универсальных математических моделей

46

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6
4

Жидкость в U-образном сосуде . . . . . . . . . . . . . . . . . . Колебательный электрический контур . . . . . . . . . . . . . . Малые колебания при взаимодействии двух биологических популяций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Простейшая модель изменения зарплаты и занятости . . . . . Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . УПРАЖНЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . О происхождении нелинейности . Три режима в нелинейной модели Влияние сильной нелинейности на Применение численных методов . УПРАЖНЕНИЯ . . . . . . . . . . ............ популяции . . . . . процесс колебаний ............ ............ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46 50 52 54 55 56
58

Домашняя

Назад На весь экран

Модели простейших нелинейных объектов

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
5

58 59 62 66 68
69

Модели, основанные на законе сохранения числа частиц

5.1 Основные понятия теории теплового излучения . . 5.2 Уравнение баланса числа фотонов в среде . . . . . 5.3 Некоторые свойства уравнения переноса излучения 5.4 УПРАЖНЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

... ... .. ... ...

70 75 78 82 84

Закрыть


Домашняя

Глава 1 Модели, получаемые из фундаментальных законов природы

Назад На весь экран

1.1.

Траектория всплытия подводной лодки

Пусть подводная лодка, находящаяся в момент времени t = 0 на глубине H от поверхности моря и движущаяся с постоянной горизонтальной скоростью v (рис. 1.1), получает приказ подняться на поверхность. Если промежуток времени, за который цистерны подлодки освобождаются от воды и заполняются воздухом, с тем чтобы ее средняя плотность 1 стала меньше

Закрыть


Домашняя

Назад На весь экран

Рис. 1.1. Всплытие подводной лодки

плотности воды 0 , невелик, то можно считать, что в момент t = 0 на подлодку начинает действовать выталкивающая сила, большая, чем вес лодки. По закону Архимеда выталкивающая сила равна F = g V 0 , где g - ускорение свободного падения, V - объ?м подлодки. Суммарная сила, действующая на подлодку в вертикальном направлении, разность между F и весом тела P = g V 1 , а сообщаемое ею ускорение по второму закону Ньютона равно

1 V

d2 h = F - P = g V (0 - 1 ). dt2

Закрыть


Координата l, характеризующая горизонтальное положение подлодки, изменяется по закону движения тела с постоянной скоростью:

Домашняя

dl = v. dt
Решая эти уравнения, находим, что

0 - 1 2 h(t) = g t , l(t) = v t, 1
и что лодка всплывет на поверхность в момент t = tk , когда

Назад
(1.1)

На весь экран

h(tk ) = g

0 - 1 2 tk = H, tk = 1

1 H g (0 - 1 )

1/2

.

При этом в горизонтальном направлении подлодка пройдет расстояние

L = v tk = v

1 H g (0 - 1 )

1/2

.

Исключая из (1.1) время, найдем траекторию движения подлодки в координатах (l, h) 0 - 1 2 h=g l, 1 v 2 которая оказывается параболой с вершиной в точке l = 0, h = 0 (при выводе (1.1) вертикальная скорость лодки, а также величины l и h принимались

Закрыть


равными нулю в момент t = 0). Считалось также, что никакие другие вертикальные силы, кроме F и P , на подлодку не действуют. Это предположение верно лишь при малых скоростях всплытия, когда можно пренебречь сопротивлением воды движению лодки. Итак, непосредственное применение закона Архимеда, определяющего величину выталкивающей силы, и закона Ньютона, связывающего силу, действующую на тело, и его ускорение, позволило легко найти траекторию подлодки. Очевидно, что параболической траекторией обладает любое движущееся в плоскости тело, имеющее по одному из направлений постоянную скорость и на которое в другом направлении действует постоянная сила (уравнения (1.1) фактически дают параметрическую запись параболы). К таким движениям относятся, например, полет камня, брошенного с высоты H с горизонтальной скоростью v или полет электрона в электрическом поле плоского конденсатора. Однако в последнем случае получить траекторию тела непосредственно из фундаментальных законов нельзя, требуется применить более детальную процедуру. Рассмотрим этот вопрос подробнее.
1.2. Отклонение заряженной частицы в электроннолучевой трубке

Домашняя

Назад На весь экран

Будем считать, что обкладки конденсатора электроннолучевой трубки (рис. 1.2) представляют собой бесконечные плоскости (предположение справедливо в случае, если расстояние между обкладками много меньше их размеров, а электрон движется на большом удалении от их краев). Очевид-

Закрыть


Домашняя

Назад На весь экран

Рис. 1.2. Движение электрона между обкладками конденсатора

но, что электрон будет притягиваться к нижней обкладке и отталкиваться

Закрыть


от верхней. Сила притяжения F двух разноименных зарядов элементарно определяется из закона Кулона

Домашняя

F=

q1 q2 , r2

где q1 и q2 - величины зарядов, r - расстояние между ними. Сложность заключается в том, что в данном примере на обкладке находится бесконечно много зарядов, каждый из которых расположен на своем расстоянии от движущегося электрона. Поэтому необходимо сначала найти силу, индуцируемую каждым зарядом, и затем, просуммировав все элементарные силы, определить результирующее действие обкладок на электрон. Разобьем всю плоскость нижней обкладки на элементарные ?полоски?, характеризующиеся координатами r1 , r2 , r3 ; - < r1 , r2 < , r2 0 (см. рис. 1.2). Подсчитаем силу притяжения электрона зарядом, находящемся на элементарной площадке ds = dr1 dr3 и равным dq = q0 ds, где q0 - поверхностная плотность заряда на обкладке. Если частица находится на расстоянии r2 от заряженной плоскости, то

Назад На весь экран

dr1 = r2 (tg( + d) - tg ) = r2

d cos2

(здесь учитывается малость величны d). Для определения величины dr3 имеем r3 + dr3 tg( + d ) r3 tg = , = . r1 + dr1 sin( + d) r2 tg

Закрыть


Из последних двух формул находим

r1 d /(cos2 + dr1 tg ) dr3 = (r1 + dr1 ) tg( + d ) - r1 tg = , sin
где, аналогично предыдущему, учтена также и малость величины d . Умножая dr1 на dr3 и отбрасывая член более высокого порядка малости, получаем

Домашняя

ds = r2 r1 dd /(cos2 cos2 sin ).
Сила притяжения электрона с зарядом qe к элементарной площадке ds равна

Назад На весь экран

dF =

r2 ?

qe q0 r2 r1 dd , cos2 cos2 sin

где r - ?среднее? расстояние от электрона до площадки, которое с учетом ? малости величин d, d вычисляется по формуле r = r2 /(cos cos ). В итоге ? для элементарной силы имеем

dF = qe q

0

qe q0 r1 dd = dd , r2 sin cos

а для ее вертикальной составляющей

dF = dF cos cos = qe q0 cos dd .
Проинтегрировав выражение для F по от = 0 до = /2, найдем силу притяжения электрона к части элементарной ?полоски?, расположенной в квадранте r1 > 0, r3 > 0:
+ dF = qe q0 d.

Закрыть


+ Просуммировав dF по от = 0 до = /2, т. е. по всем полоскам квадранта r1 > 0, r3 > 0, определим силу притяжения, индуцируемую зарядами, расположенными в этом квадранте:

Домашняя

dF

+

=

qe q0 . 2

Учитывая действие всех четырех квадрантов плоскости нижней обкладки и проводя аналогичные рассуждения для верхней обкладки, получим результирующую силу притяжения (отталкивания) электрона ко всем зарядам конденсатора F = 4 qe q0 . (1.2) Сила F направлена вдоль оси r2 к нижней обкладке (составляющие F по осям r1 , r3 , очевидно, равны нулю в силу симметрии - чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть действие заряда, находящегося на площадке, расположенной в квадранте r1 < 0, r3 < 0 и симметричной площадке ds). Поскольку сила F не зависит от r2 , а по горизонтальной оси частица движется с постоянной скоростью v , то приходим к ситуации предыдущего пункта - применив второй закон Ньютона, легко получить формулы, аналогичные (1.1), описывающие движение электрона по параболической траектории и дающие возможность вычислить все ее параметры. Однако в отличие от случая с подлодкой прямое применение фундаментального закона Кулона для получения модели движения электрона оказывается невозможным. Потребовалось, опираясь на фундаментальный закон, сначала описать элементарный акт взаимодействия зарядов, и уж затем, просуммировав все эти акты, удалось найти результирующую силу.

Назад На весь экран

Закрыть


Подобная ситуация и последовательность действий весьма типичны при построении моделей, так как многие фундаментальные законы устанавливают взаимоотношения как раз между элементарными частями исходного объекта. Это, разумеется, справедливо не только для электрических сил, но, например, и для сил тяготения.
1.3. Колебания колец Сатурна

Домашняя

Назад На весь экран

Построим модель движения точечной массы M0 в поле сил тяготения, создаваемом материальным кольцом с радиусом R0 и линейной плотностью 0 . Кольцо считается бесконечно тонким, движение происходит вдоль оси кольца (рис. 1.3). Данная схема может рассматриваться как идеализация процесса колебаний колец Сатурна. Тем не менее, несмотря на существенные упрощения, непосредственное использование закона всемирного тяготения

F =

m0 m1 , r2

где F - сила притяжения двух тел, имеющих массы m0 и m1 , r - расстояние между ними, - постоянная тяготения, не может дать окончательной модели движения колец Сатурна, так как массы m0 , m1 должны быть точечными. Поэтому вычислим сначала силу притяжения между точечной массой M0 и массой dm, содержащейся в малом элементе кольца dl, которую уже можно считать точечной: M0 dm . dF = R2

Закрыть


Домашняя

Назад На весь экран

Рис. 1.3. Притяжение точечной массы кольцом

Здесь R, r - соответственно расстояние от массы M0 до кольца и до центра кольца. Очевидно, что при 0 /2 (для /2 выкладки аналогичны) R0 R0 = sin = , 2 + R2 R r 0

Закрыть


. 2 r2 + R0 Поскольку dm = 0 dl = 0 R0 d = -0 R0 d = -0 r tg d , то M0 0 M0 0 r tg d = - sin cos d . 2 R r Найдем проекцию силы dF на ось r (именно эта проекция определяет интересующее нас движение): dF = - M0 0 sin cos2 d . r Просуммировав теперь силы тяготения, создаваемые всеми элементами кольца, т. е. взяв интеграл от dF по от = 0 до = 2 , найдем результирующую силу: dF = dF cos = - F = -2 r M0 0 sin cos2 = - M0 M1 2 , 2 r (r + R0 )3/2
(1.3)

r = - cos = R

r

Домашняя

Назад На весь экран

где M1 = 2 R0 0 - полная масса кольца. Как и в предыдущем пункте, горизонтальная проекция результирующей силы равна нулю из-за симметричного расположения кольца относительно массы M0 . Сила тяготения (1.3) существенно отличается от выражения, даваемого законом для точечных масс, переходя в него лишь при r R0 , когда кольцо можно уподобить точечной массе благодаря большому, в сравнении с размерами кольца, расстоянию между тяготеющими телами. Если же r R0 , то M 0 M1 F = - 3 r, R0

Закрыть


и сила притяжения, в противоположность случаю точечных масс, убывает с уменьшением расстояния между объектами. Применив к массе M0 второй закон Ньютона, получим уравнение ее движения вдоль оси r: d2 r r = - M1 2 , 2 2 dt (r + R0 )3/2 которое, в отличие от п. 1 и п. 2, существенно нелинейно и становится линейным лишь при r R0 :

Домашняя

Назад На весь экран

d2 dt
1.4.

r
2

= -

M1 3 r. R0

(1.4)

Движение шарика, присоединенного к пружине

В получении моделей пп. 1-3 главную роль играли фундаментальные законы, определявшие происхождение и величину сил, действующих на объект, а второй закон Ньютона был как бы вспомогательным и применялся на последней стадии построения модели. Конечно же, такое деление чисто условно. Ведь если речь идет о задачах динамики, то можно использовать и другую схему - сначала связать с помощью закона Ньютона проекции ускорения тела с проекциями действующих на него сил, а затем, исходя из тех или иных соображений, вычислить эти силы как функции координат, получив замкнутую модель. Продемонстрируем этот подход на примере модели

Закрыть


движения шарика, присоединенного к пружине, с жестко закрепленным концом (рис. 1.4).

Домашняя

Назад На весь экран

Рис. 1.4. Движение шарика на пружине

Пусть r - координата шарика вдоль оси пружины, лежащей на горизонтальной плоскости, и направление движения шарика совпадает с ее осью. Тогда по второму закону динамики

F = ma = m

d2 r , dt2

где m - масса шарика, a - его ускорение. Будем считать плоскость идеально гладкой (т. е. движение происходит без трения), пренебреж?м также сопротивлением воздуха и примем во внимание то, что вес шарика уравновешивается реакцией плоскости. Единственная сила, действующая на шарик в направлении оси r, очевидно, сила упругости пружины. Определим ее, используя закон Гука, гласящий, что для растяжения (сжатия) пружины

Закрыть


необходимо приложить силу

F = -k r,
где коэффициент k > 0 характеризует упругие свойства пружины, а r - величну ее растяжения или сжатия относительно нейтрального, ненагруженного положения r = 0. Уравнение движения шарика принимает вид (уравнение элементарного осциллятора)

Домашняя

Назад На весь экран

m

d2 dt

r
2

= -k r, t > 0.

(1.5)

Оно описывает его гармонические колебания и имеет общее решение

r = A sin t + B cos t,

(1.6)

где = k /m - собственная частота колебаний системы ?пружина-шарик?. Значения A и B легко определяются из начального состояния объекта, т. е. через величины r(t = 0) = r0 и v (t = 0) = v0 (v (t) - скорость шарика), причем r(t) 0 при r0 = v0 = 0. Заметим, что уравнение (1.4) с точностью до обозначений совпадает с (1.5), поэтому в п. 3 речь также шла о процессе колебаний, но применительно к системе ?Сатурнкольцо?. Подходы, с помощью которых строились модели данного параграфа, не должны, разумеется, противоречить другим фундаментальным законам природы. Соответствующая проверка непротиворечивости (если она возможна) весьма полезна для установления правильности моделей. Поясним это, используя для вывода уравнения (1.5) не закон Ньютона, а закон сохранения энергии. Поскольку точка крепления пружины неподвижна, то стенка не совершает работу над системой ?пружинашарик? (и наоборот), и ее полная

Закрыть


механическая энергия Е остается постоянной. Вычислим ее. Кинетическая энергия определяется движением шарика (пружина считается невесомой):

Домашняя

T=

mv 2 m(dr/dt)2 = . 2 2

Потенциальная энергия системы ?содержится? в пружине, ее нетрудно найти, определив работу, необходимую для растяжения (сжатия) пружины на величину r:
r r

Назад На весь экран

=-
0

F dr =
0

r2 k r dr = k . 2

Для неизменной со временем величины E = T + (интеграла энергии) получаем r2 m(dr/dt)2 E= +k . 2 2 Так как dE /dt 0, то, продифференцировав интеграл энергии по t, приходим к выражению

m

dr d2 r dr dr +k r = dt dt2 dt dt

m

d2 r + kr dt2

= 0,

т. е. к уравнению (1.5), проверив тем самым правильность его получения. Подобную процедуру нетрудно провести и для примеров пп. 1-3.

Закрыть


1.5.

Заключение

Домашняя

1. Даже в простейших ситуациях для построения модели может потребоваться использование не одного, а нескольких фундаментальных законов. 2. Прямое формальное применение фундаментальных законов к объекту, рассматриваемому как целое, не всегда возможно (пп. 2, 3). В этих случаях требуется просуммировать элементарные акты взаимодействия между его частями, принимая во внимание свойства объекта (например, его геометрию). 3. Одними и теми же моделями могут описываться совершенно разные по своей природе объекты, подчиняющиеся разным фундаментальным законам, и, наоборот, данному закону могут отвечать принципиально разные модели (например, линейные и нелинейные; см. п. 3). 4. Необходимо использовать все возможности для проверки правильности построения модели (предельные переходы пп. 2, 3, другие фундаментальные законы п. 4 и т. д.).
1.6. УПРАЖНЕНИЯ

Назад На весь экран

1. В задаче о всплытии подводной лодки учитывается сопротивление воды. Принимая силу сопротивления равной F1 = -k0 u, где k0 > 0 - коэффициент, зависящий от свойств воды и формы подлодки, u - вертикальная скорость лодки, найдите максимальную глубину H , при всплытии с которой силой F1 можно пренебречь в любой момент времени t tk (должно выполняться требование F1 F - P ).

Закрыть


2. Найдите силу притяжения электрона к обкладкам конденсатора, имеющим конечные размеры R1 , R3 . Убедитесь в том, что при R1 , R3 полученное выражение переходит в формулу F = 4 qe q0 . 3. В задаче о колебаниях колец Сатурна введите толщину кольца d, найдите силу F и убедитесь, что полученное выражение при d совпадает с формулой

Домашняя

M0 0 r F = -2 sin cos2 = - M0 M1 2 . 2 r (r + R0 )3/2
4. Пусть расстояние между точкой нейтрального положения пружины r = 0 и стенкой, к которой она крепится, равно L (см. рис. 1.4). Найдите условия на величины r0 , v0 , при выполнении которых шарик не может удариться о стенку (в противном случае модель (1.5) неверна, так как при соударении со стенкой шарик испытывает с ее стороны действие некоторой силы, не учитываемой в уравнении (1.5)).

Назад На весь экран

Закрыть


Домашняя

Глава 2 Модели, получаемые из вариационных принципов

Назад На весь экран

Уравнения Лагранжа и принцип Гамильтона применим для описания различных типов движения маятника и малых колебаний струны, а также колебаний электрического тока в контуре, для чего используем электромеханическую аналогию. Обсудим некоторые свойства изучаемых процессов.
2.1. Маятник на свободной подвеске

Система состоит из двух точечных масс m1 и m2 , соединенных невесомым жестким стержнем длины l (рис. 2.1). Движение происходит в поле

Закрыть


силы тяжести и считается плоским, т. е. рассматривается в системе отсчета x, y , t. Точка с массой m1 (подвеска) не закреплена, а может перемещаться вдоль оси x.

Домашняя

Назад На весь экран

Рис. 2.1. Маятник на свободной подвеске

Для описания плоского движения двух точек в исходной системе отсчета необходимо, вообще говоря, найти из основных уравнений динамики для каждой точечной массы четыре функции времени x1 (t), y1 (t), x2 (t), y2 (t), т. е. декартовы координаты первой и второй точек. Однако изучаемая система несвободна, поскольку содержит две механические связи. Одна из них описывается уравнением y1 0 (подвеска не может совершать вертикальных 2 перемещений), а вторая - уравнением (x1 - x2 )2 + y2 = l2 (расстояние между

Закрыть


точками при любом t равно длине стержня). Поэтому при переходе к уравнениям Лагранжа достаточно выбрать (по числу степеней свободы) лишь две новые независимые координаты. Возьмем в качестве обобщенных координат величины q1 (t) = x1 (t) и q2 = (t), где - угол между вертикалью и осью стержня. Такой выбор соответствует преобразованию вида

Домашняя

x1 = q1 , x2 = q1 + l sin q2 , y2 = -l cos q2 .
Выразим сначала кинетическую энергию системы T = T1 + T2 в координатах q1 , q2 . Для подвески имеем

Назад На весь экран

T1 =
Для маятника получаем

2 m1 v1 m1 v = 2 2

2 1x

=

m1 x2 1 . 2

T2 =

2 m2 v2 m2 = (v 2 2

2 2x

2 + v2y ).

С помощью равенств v2x = x1 + l cos , v2y = l sin , первое из которых учитывает составное движение массы m2 вдоль оси x как сумму движений вместе с подвеской и относительно нее, запишем величину T2 как функцию x1 , : m2 x2 m2 1 + (2lx1 cos + l2 2 ). T2 = 2 2 Рассмотрим теперь силы, действующие на точки m1 , m2 . Сила тяжести и вертикальная проекция R1y реакции стержня R1 , приложенные к подвеске,

Закрыть


уравновешиваются реакцией опоры, и поэтому вертикальная равнодействующая сила равна нулю. Сила F1x представляет собой, очевидно, горизонтальную проекцию реакции стержня (связи) R1x . При лагранжевом подходе силы реакции стержня на движение как подвески, так и маятника, т. е. силы R1 и R2 , учитывать нет необходимости (конкретный пример содержится в п. 2). Поэтому из всех действующих сил достаточно принять во внимание только силу тяжести F2 , действующую на маятник. Для ее проекций имеем равенства F2x = 0, F2y = -m2 g = -m2 , y2 где (y2 ) = m2 g y2 - потенциальная энергия маятника. В координатах q1 , q (y2 ) выражается формулой
2

Домашняя

Назад На весь экран

(q2 ) = -m2 lg cos .
Так как изучаемое движение потенциально, то следует воспользоваться уравнениями Лагранжа L d L - = 0, dt qj qj где j = 1, 2, и

L = T - = T1 + T2 - ,
или, в развернутом виде,

L=

m1 + m2 2 m2 l 2 x1 + (l + 2x1 cos ) + m2 lg cos . 2 2

(2.1)

Закрыть


Из (2.1) дифференцированием по q1 , q1 , q2 , q2 (напомним, что q1 = x1 , q2 = ) получаем L L = 0, = (m1 + m2 )x1 + m2 l cos , q1 q1 L = -m2 l sin (x1 + g ), q2 L = m2 l(l + x1 cos ). q2 Подставляя полученные выражения в уравнения Лагранжа и производя дифференцирование по t, приходим к двум уравнениям относитель но x1 , :

Домашняя

Назад На весь экран

(m1 + m2 )x1 + m2 l cos ћ = m2 l sin ћ 2 , Е Е cos x1 + l = -g sin , Е Е

(2.2)

представляющим собой модель изучаемой системы. В соответствии с общими свойствами лагранжева формализма уравнения (2.2) разрешимы относительно x1 , и при известных значениях начальных обобщенных координат ЕЕ и обобщенных скоростей позволяют найти координаты и скорости точек в любой момент времени. Нелинейная система четвертого порядка (2.2) легко сводится к уравнению второго порядка, например, исключением из нее величины x1 : Е

l(m1 + m2 sin2 ) = - sin [m2 l cos ћ 2 + (m1 + m2 )g ]. Е

(2.3)

Этот результат - следствие инвариантности лагранжиана (2.1) относительно двух однопараметрических семейств преобразований. Первое из них

Закрыть


дается формулой x1 = x1 + (L не меняется при сдвиге координаты x1 ), а второе - формулой = + msign 2 , где m = 1, 2, . . . ; - параметр преобразования (L не меняется при повороте системы координат на угол, кратный 2 ). Согласно теореме Н?тер у системы имеются два первых интеграла, и поэтому ее порядок может быть понижен на две единицы. Еще один интеграл системы очевиден: лагранжиан (2.1) не зависит явно от времени (консервативность), и сохраняется ее полная энергия E = T + . Это свойство обеспечивает возможность понижения порядка системы (2.2) еще на одну единицу и сведения (2.3) к уравнению первого порядка. Данный пример хорошо иллюстрирует различие между лагранжевым и ньютоновым подходами к описанию движения механических систем. Уравнения Ньютона для подвески и маятника в координатной форме выглядят так:

Домашняя

Назад На весь экран

m1 x1 = R1 (x2 - x1 )/l, Е m2 x2 = -R1 (x2 - x1 )/l, Е m2 y2 = -R2 y2 /l - m2 g , Е
где R1 = R2 = R - модуль вектора реакций стержня, приложенных к массам m1 и m2 (см. рис. 2.1), причем очевидно, что R1 = -R2 . Реакция создается натяжением стержня, который в идеализированной постановке считается абсолютно жестким, и его деформацией пренебрегается. Три уравнения (2.4) содержат четыре неизвестных величины: x1 , x2 , y2 , 2 R. Систему (2.4) можно замкнуть, используя уравнение связи (x1 -x2 )2 +y2 = 2 , и прийти к некоторому нелинейному уравнению второго порядка. Однаl ко в случае более сложных систем эта громоздкая процедура становится (2.4)

Закрыть


фактически неосуществимой. При составлении уравнений Лагранжа она не требуется (что и послужило первоначальной причиной разработки лагранжева формализма). Кроме того, инвариантные свойства лагранжиана ясно указывают на существование первых интегралов движения, что существенно упрощает исследование. Получающееся из (2.3) уравнение первого порядка относительно нетрудно изучить в плоскости функций , d/dt (фазовой плоскости) и определить все характеристики движения в зависимости от начальных данных. Ограничимся рассмотрением малых колебаний системы, когда 1. Отбрасывая в (2.3) члены более высокого порядка малости, приходим к уравнению

Домашняя

Назад На весь экран

=- Е

g m1 + m2 , l m1

которое, очевидно, имеет общее решение

(t) = A sin t + B cos t,
где константы A и B определяются из начальных данных, а частота колебаний дается формулой

=

g l

1+

m2 . m1

В сравнении с жестко закрепленным маятником, для которого 0 = g /l, частота увеличивается, зависит от значений m1 , m2 и растет тем больше, чем больше становится отношение m2 /m1 , что связано со свободным движением точки крепления. Этим же объясняется еще одно отличие,

Закрыть


заключающееся в следующем. Пусть в начальный момент t = 0 отклонение маятника равно (0) > 0, а его скорость, как и скорость подвески, равна нулю, т. е. энергия системы сосредоточена в потенциальной энергии маятника. Она полностью преобразуется в его кинетическую энергию при прохождении им низшей точки. В этот момент скорость маятника равна v2x = x1 + l. При е? вычислении учт?м, что в данном случае (t) = (0) cos t и что x1 = -l - g (последнее равенство вытекает из линеаризованной системы Е Е (2.2)). Таким образом,
t

Домашняя

Назад На весь экран

x1 = -l -
0

g (t)dt,

или

t

v2x = -g
0

(0) cos tdt.
/(2 )

В интересующий нас момент t = /(2 ) v2x ( = 0) = -g (0)
0

cos tdt =

- g(0) . Это значение в / раз меньше максимальной скорости маятника на жесткой подвеске - запасенная вначале энергия частично переходит в кинетическую энергию подвески. Если же m1 (очень массивная подвеска), то, естественно, как малые, так и конечные колебания системы совпадают с движением жестко закрепленного маятника.

Закрыть


2.2.

Непотенциальные колебания

Домашняя

Учтем теперь действие сил трения на маятник и подвеску, считая их пропорциональными скоростям:

F1 = -ч1 v1 , F2 = -ч2 v2 , ч1 > 0, ч2 > 0.
Так как силы трения зависят от скоростей, то движение непотенциально, и следует использовать уравнения Лагранжа с обобщенными силами в правых частях: d T T - = j , dt qj qj
N

Назад На весь экран

j =
i=1

Fix

xi yi zi + Fiy + Fiz qj qj qj

N

=
i=1

Fi (q , q , t)

ri . qj

Выбирая, как и прежде, q1 = x1 , q2 = , получаем из общей формулы

1 = F 2 = F

1x

x1 y1 x2 y2 + F1y + F2x + F2y , q1 q1 q1 q1 x1 y1 x2 y2 + F1y + F2x + F2y , q2 q2 q2 q2

1x

где F1x , F1y , F2x , F2y - компоненты равнодействующих сил, приложенных к массам m1 , m2 (см. рис. 2.1). Приняв во внимание, что F1y = 0, и равенства x1 / q1 = x2 / q1 = 1, y1 / q1 = x1 / q2 = 0, x2 / q2 = l cos q2 , y2 / q2 =

Закрыть


l sin q2 , упростим выражения для 1 , 2 : 1 = F
1x

+ F2x ,

Домашняя
(2.5)

2 = F2x l cos q2 + F2y l sin q2 .
Выразим компоненты действующих сил в координатах q1 = x1 , q2 = :

F F F
2y 2x

1x

= F1x + R1x = -ч1 v
2x

1x 2x

+R

1x

= -ч1 x1 + R sin ,

Назад На весь экран

= F2x + R2x = -ч2 v

+R

= -ч2 (x1 + l cos ) - R sin ,

= F2y + R2y - m2 g = -ч2 v

2y

+ R2y - m2 g = -ч2 l sin + R cos - m2 g ,

где R - величина силы реакции стержня. Подставляя их в (2.5), получим

1 = -(ч1 + ч2 )x1 - ч2 l cos , 2 = ч2 lx1 cos - ч2 l2 - m2 g l sin .

(2.6)

В соответствии с общим свойством лагранжева формализма реакции связей, как видно из (2.6), не вошли в окончательное выражение для 1 , 2 . Кинетическая энергия системы T найдена в п. 1:

T=

m1 + m2 2 m2 l 2 x1 + (l + 2x1 cos ). 2 2

Вычисляя аналогично п. 1 производные T / q1,2 и T / q1,2 и дифференци руя по t, придем к уравнениям Лагранжа применительно к рассматриваемой системе

(m1 + m2 )x1 + m2 l cos ћ = m2 l sin ћ 2 + 1 , Е Е m2 l cos x1 + m2 l2 = 2 , Е Е

(2.7)

Закрыть


Как и для потенциального движения, нелинейная система четвертого порядка (2.7) разрешается относительно старших производных, и при заданных начальных значениях x1 (0), x1 (0), (0), (0) из нее определяются положения и скорости масс m1 , m2 в любой момент времени. Однако, в отличие от системы (2.2), у изучаемого движения нет трех первых интегралов (теорема Н?тер справедлива для потенциальных движений), и ее порядок может быть понижен лишь на единицу. Еще одно отличие заключается в виде балансного энергетического соотношения

Домашняя

Назад На весь экран

E (0) = E (t) + A(t),

(2.8)

где E (0) - полная начальная энергия системы, E (t) = T (t) + (t) - текущая полная энергия, A(t) - работа сил трения, произведенная к моменту t. Механический смысл (2.8) состоит в том, что величина утраченной (диссипированной) энергии системы равна работе, совершенной над нею непотенциальными силами трения. Получим равенство (2.8) для простоты в случае ч2 = 0 (трение испытывает лишь подвеска). Из (2.6) имеем

1 = -ч1 x1 , 2 = -m2 g l sin .
Подставим эти выражения в (2.7), умножим первое уравнение на x1 , второе - на , сложим оба уравнения и придем к равенству

x1 ((m1 + m2 )x1 + m2 l cos ћ ) + (m2 lx1 cos + m2 l2 ) = Е Е = m2 l sin ћ ћ x1 - m2 lg sin ћ - ч1 x2 . (2.9) 1

Закрыть


Соотношение (2.9) совпадает с продифференцированным по времени равенством (2.8), в котором полная энергия в момент t есть

Домашняя

m1 + m2 2 m2 l 2 x1 + (l + 2x1 cos ) - m2 lg cos , 2 2 а работа силы трения дается формулой E (t) =
t t t t

A(t) = -
0

F1 dx1 =
0

ч1 v1 dx1 =
0

dx1 ч1 dx1 = dt
0

ч

1

dx1 dt

2

Назад
dt.

На весь экран

Таким образом, (2.9) эквивалентно равенству t d d (E (t) + A(t)) = E (t) + ч dt dt
0

1

dx1 dt

2

dt = 0,

или, что то же самое, равенству (2.8). Так как

dE (t) = -ч dt

1

dx1 dt

2

0,

то в сравнении с консервативной системой п. 1 полная энергия в данном случае не постоянна, а убывает со временем. При малых колебаниях жестко закрепленного маятника из (2.7) получаем уравнение ч2 g =- Е - , m2 l эквивалентное уравнению движения в вязкой среде шарика на пружинке и имеющее простое общее решение.

Закрыть


2.3.

Малые колебания струны

Домашняя

Применимость принципа Гамильтона не ограничивается системами материальных точек. Он распространяется на объекты, не являющиеся, строго говоря, совокупностями точечных масс. Примером служит упругая нить или струна - сплошная среда, которую, однако, можно рассматривать как множество примыкающих друг к другу материальных точек. Будем считать, что толщина струны много меньше ее длины l и что она имеет постоянную линейную плотность . Натянутая с силой F0 струна в состоянии равновесия неподвижна и представляет собой прямую линию. При отклонении от равновесия, например, в результате удара, струна изгибается, ее участки начинают двигаться (рис. 2.2). Колебания считаются плоскими и малыми - их амплитуда значительно меньше длины струны. Это предположение позволяет пренебречь продольными смещениями и скоростями участков струны, рассматривая только поперечное их движение. Представим струну как совокупность N материальных точек с равными массами mi = 0 l/N = 0 x, i = 1, . . . , N . Длина каждого участка струны, содержащего массу mi , равная x в положении равновесия и несильно, ввиду малости колебаний, изменяющаяся при отклонении от него, считается малой. Поэтому положение i-й ?материальной точки? в любой момент времени можно охарактеризовать величинами xi (t) (продольной координатой центра i-гo отрезка) и yi (t) (поперечным отклонением центра отрезка от положения равновесия). Введенные таким образом обобщенные (в данном случае - декартовы) координаты полностью описывают плоское движение рассматриваемой системы. В силу малости отклонений, как уже отмечалось,

Назад На весь экран

Закрыть


Домашняя

Назад На весь экран
Рис. 2.2. Элемент струны

dxi (t)/dt = Vix = 0, т. е. координаты xi не зависят от времени. Составляющие струну ?материальные точки? связаны между собой и при N , x 0 образуют для любого момента времени в плоскости x, y некоторую кривую y = y (x, t). (2.10)
В отличие от рассматривавшихся выше механичеческих связей, которые всегда считаются заданными, ?связь? (2.10) неизвестна, и функция y (x, t) подлежит определению. Если она найдена, то тем самым известны координаты yi = y (xi , t), и поскольку координаты xi , не меняются с течением времени, полностью известно движение системы.

Закрыть


Кинетическая энергия i-й массы определяется по формуле

1 1 2 Ti = mi viy = m 2 2
При получении этой формулы ведливое потому, что dxi /dt = на N 1 T= mi 2
i=1

i

dyi dt

2

1 = mi 2

yi t

2

Домашняя

.

использовано равенство dyi /dt = yi / t, спра0. Полная кинетическая энергия системы рав-

Назад На весь экран

yi t

2

=

1 2

N


i=1

0

y t

2

x.
i

(2.11)

Вычислим теперь силы, действующие на i-ю массу. По предположению о малых колебаниях Fix = 0. Вертикальная компонента Fiy определяется как сумма вертикальных компонент силы натяжения струны на правом и левом концах i-ro отрезка. Его удлинение при отклонении от положения равновесия мало, поэтому силу натяжения струны можно считать неизменной и равной F0 . Тогда вертикальные составляющие сил, приложенных к правому и левому концам, соответственно равны

F- = -F0 sin = -F0 F+ = F0 sin = F0

y x

xi + xi -

x 2 ,

,

y x

x 2

(см. рис. 2.2; напомним, что сила натяжения направлена по касательной к струне). В итоге получаем

Fiy = F+ + F- = F0 [yx (x - x/2) - yx (x + x/2)],

Закрыть


или, учитывая малость отрезка x,

Домашняя

Fiy = -F0 (yxx )i x.
Примем во внимание, что из (2.10) следует y = yx ћ x, и перепишем последнее выражение в виде

Fiy = -F0 x

yx x

= -F0 x yx
i

y y

x i

1 = - F0 x 2

y y

2 x i

Назад
.

На весь экран

Отсюда сразу видно, что все силы Fiy , i = 1, . . . , N потенциальны, причем потенциальная энергия i-й массы дается формулой

1 2 i = F0 (yx )i x, 2
а полная потенциальная энергия струны есть

1 = F0 2

N 2 (yx )i x. i=1

(2.12)

Поскольку движение системы потенциально, то к нему приложим принцип Гамильтона. Из (2.11), (2.12) получаем лагранжиан

1 L(y , y , t) = T - = 2

N

0
i=1

y t

2

- F0

y x

2

ћ x, y =
i

y . t

Закрыть


Действие по Гамильтону вычисляется по формуле
t1 t1

Домашняя
2

Q(y , y , t) =
t0

Ldt =
t0

1 2

N


i=1

0

y t

2

- F0

y x

ћ xdt,
i

(2.13)

где t0 , ti - два произвольных момента времени, в которые система имеет координаты yi (t0 ), yi (t1 ). Перейти из состояния с yi (t0 ) в состояние с yi (t1 ) можно, вообще говоря, многими путями. Принцип Гамильтона выделяет из этого множества ?истинный? прямой путь, для которого вариация действия Q равна нулю. Вычислим с помощью (2.13) вариацию Q, придавая вариацию yi координатам и yi - скоростям i-x точек:
t1

Назад На весь экран

Q =
t0

1 Ldt = 2

t1 N

2
t0 i=1

0

y t

y t

- F0

y

y x

2

ћ y
i

ћ xdt. (2.14)

Первый член в правой части (2.14) возникает в результате варьирования скорости yi , а второй - при варьировании координаты yi . Для преобразова ния первого члена проинтегрируем его по частям, используя перестановочность операций варьирования и дифференцирования по t, и, принимая во внимание, что y (t0 ) = y (t1 ) = 0, получим

1 2

t1 N i=1

y 20 t

y t

t1 N

ћ xdt =
i t0 i=1

0

2y t2

yi xdt.
i

t0

Закрыть


Второй член с уч?том равенства y = yx x переписывается в виде

-

1 2

t1 N

F
t0 i=1

0

y

y x

2

t1 N

Домашняя

yi xdt = -
i t0 i=1

F0

2y x2

yi xdt.
i

После подстановки этих выражений в (2.14) получим
t1 N

Назад На весь экран

Q =
t
0

0
i=1

2y 2y - F0 2 2 t x

yi xdt.
i

Перейдем от дискретной системы ?материальных точек?, которой первоначально была заменена струна, к сплошной среде. Для этого в последнем равенстве устремим N , заменим x на dx и опустим индекс i:
t1 l

Q =
t0 0

0

2y 2y - F0 2 t2 x

y dxdt.

На прямом пути Q = 0, что возможно, лишь если в последнем равенстве подынтегральное выражение равно нулю при всех x и t, т. е.

2y 2y F0 = a2 2 , a2 = , 0 < x < l , t > 0. 0 0 t2 x 0

(2.15)

Следовательно, при малых колебаниях струны ее отклонение подчиняется уравнению (2.15), из которого при соответствующих краевых условиях определяется функция y = y (x, t).

Закрыть


Принцип Гамильтона применительно к рассматриваемой ситуации можно трактовать как способ получения уравнения ?связи? (2.10). В силу свойств лагранжиана полная энергия E = T + струны сохраняется со временем (консервативность движения нетрудно установить также непосредственно из уравнения (2.15)). Уравнение малых колебаний струны (2.15) ( = 2 a0 / - частота колебаний с длиной волны ) - линейное уравнение второго порядка в частных производных гиперболического типа. Принцип суперпозиции позволяет получить его общее решение как сумму частных решений, используя соответствующие методы теории уравнений математической физики. Основной краевой задачей для (2.15) является первая краевая задача на отрезке [0, l], когда для однозначного определения решения задаются начальные отклонения y (x, 0) = y0 (x), 0 < x < l, скорости y (x, 0) = y0 (x), 0 < x < l, и граничные значения функции y (0, t) = y1 (t), t > 0 и y (l, t) = y2 (t), t > 0. Основная задача допускает различные модификации, самая простая из которых - задача Коши, решаемая на всей прямой - < x < . Такая идеализация оправдана в случае, если рассматривается движение центральной части струны в течение непродолжительного времени, и влиянием границ можно пренебречь. Для решения задачи Коши достаточно знать начальные скорости и координаты струны, т. е. функции y0 (x), y0 (x) при - < x < . Для частного вида движений, обладающих свойством y / t = c y / x, c = const (простые волны), уравнение (2.15) переходит в изученное гиперболическое уравнение первого порядка, или уравнение переноса. Отметим, что обычно уравнение (2.15) получают с помощью непосредственного применения второго закона Ньютона и закона Гука к элементар-

Домашняя

Назад На весь экран

Закрыть


ному участку струны. При этом предположения о малости колебаний, однородности струны и т. д. в обоих подходах одни и те же. Поэтому и математические модели движения струны в обоих случаях одинаковы.
2.4. Электромеханическая аналогия

Домашняя

Распространение принципа Гамильтона возможно не только на процессы движения сплошных сред, но и на некоторые немеханические объекты. Рассмотрим колебательный контур (рис. 2.3), состоящий из конденсатора с емкостью C0 и катушки с индуктивностью L0 . В начальный момент времени цепь разомкнута, заряд сосредоточен на обкладках конденсатора. При замыкании цепи конденсатор начинает разряжаться, и по ней идет ток. Электромеханическая аналогия заключается в следующем. Обобщенной координате отвечает заряд на обкладках конденсатора - неизвестная функция времени q = q (t). Величина электрического тока q (t) = dq (t)/dt = i(t) играет роль обобщенной скорости. Для правильного определения аналогов кинетической энергии (энергии движения) и потенциальной энергии (энергии конденсатора) будем руководствоваться следующими наводящими соображениями. Энергия перемещающихся по проводнику зарядов (энергия тока) пропорциональна квадрату скорости v их направленного движения. С другой стороны, заряд, проходящий через поперечное сечение S проводника в единицу времени (ток), равен i = q0 nS v , где q0 , n - величины элементарного заряда и объемной концентрации переносчиков тока соответственно. Следовательно, энергия движения частиц T v 2 i2 , т. е. пропорциональ-

Назад На весь экран

Закрыть


Домашняя

Назад На весь экран

Рис. 2.3. Колебательный контур

на квадрату тока q (t) = i(t). Коэффициент пропорциональности (аналог массы) берется равным L0 , т. е.

1 T = T ( q ) = L0 q 2 . 2
Потенциальная энергия контура содержится в конденсаторе. Для его зарядки требуется затратить определенную работу по разделению разноименных зарядов. Согласно закону Кулона сила, препятствующая этому, как функция зарядов q1 , q2 пропорциональна их произведению q1 q2 (если q1 = q2 = q , то сила пропорциональна q 2 ). Таким образом, работа по раз-

Закрыть


делению зарядов, т. е. потенциальная энергия системы , пропорциональна квадрату ?обобщенной координаты?:

Домашняя

= (q ) =

12 q, 2C0

где 1/C0 - аналог коэффициента упругой силы в законе Гука (система шарикпружина), или величине g /l в случае колебаний маятника. Примем теперь во внимание, что действующие в контуре силы имеют чисто электростатическое происхождение (сопротивлением проводников пренебрегается, т. е. ?трение? отсутствует, как отсутствуют и потери энергии на излучение электромагнитных волн). По закону Кулона эти силы определяются ?обобщенной координатой? q и не зависят от q . В этом смысле силы ?потенциальны?, и вместе с ними ?потенциальна? рассматриваемая система. Поэтому у нее существует ?лагранжиан? L = T - и к ней применим аналог принципа Гамильтона: для ?истинного? пути системы вариация ?действия?
t1

Назад На весь экран

Q=
t0

Ldt

равна нулю (здесь, как обычно, t0 , t1 - два произвольно взятых момента времени). Пусть функция q (t, 0) = q 0 (t) отвечает прямому пути системы в промежутке t0 < t < t1 . Вариация координаты q (t, ), = 0, равна q = q (t, ) - q 0 (t), где q (t, ) - все возможные ?траектории?, имеющие одинаковые

Закрыть


координаты q (t0 , ), q (t1 , ). Для вариации ?действия? имеем
t1 t1

Домашняя

Q =
t0

Ldt =
t0

1 2

L0 q 2 -

1 q C0

2

dt =

1 2

t1

[L(q ) - L(q 0 )]dt.
t0

Так как q = q 0 + q , то подынтегральное выражение можно представить в виде

Назад На весь экран

L(q )-L(q 0 ) = L0 [(q 0 )2 +2q 0 q + q 2 ]-

1 1 [(q 0 )2 +2q 0 q + q 2 ]-L0 (q 0 )2 + (q 0 )2 . C0 C0

Отбросив в нем члены второго порядка малости, получим
t
1

Q =
t0

L0 q 0 q -

10 q q dt. C0

Интегрируя член L0 q 0 q , где q = d( q )/dt, по частям и учитывая, что q (t0 ) = q (t1 ) = 0, придем к окончательному выражению для Q
t1

Q =
t0

L0 q 0 + Е

1 q C0

0

q dt = 0.

Из него для заряда q (t) (верхний индекс у q 0 опущен) следует уравнение

L0 q = - Е

1 q, C0

Закрыть


описывающее колебания в электрическом контуре. Заметим, что полная энергия колебаний E = T + сохраняется со временем, что согласуется с инвариантностью ?лагранжиана? относительно сдвига по времени. Рассмотренная аналогия применима также к электрическим цепям гораздо более сложной конфигурации, на ее основе строятся математические модели протекающих в них процессов. Приведенный пример далеко не единственная иллюстрация широкой применимости принципа Гамильтона и других вариационных принципов. Они часто используются при построении математических моделей не только механических или физических, но и многих химических, биологических и иных явлений.
2.5. УПРАЖНЕНИЯ

Домашняя

Назад На весь экран

1. Используя замену d/dt = v , сведите уравнение

l(m1 + m2 sin2 ) = - sin [m2 l cos ћ 2 + (m1 + m2 )g ] Е
к виду 2. Переходом в уравнениях

dv = f (v , ). d

m1 x1 = R1 (x2 - x1 )/l, Е m2 x2 = -R1 (x2 - x1 )/l, Е

Закрыть


m2 y2 = -R2 y2 /l - m2 g , Е
к координатам x2 = x1 + l sin , y2 = -l cos получите уравнение

Домашняя

l(m1 + m2 sin2 ) = - sin [m2 l cos ћ 2 + (m1 + m2 )g ]. Е
3. В систему уравнений движения неконсервативного маятника на свободном подвесе

Назад На весь экран

(m1 + m2 )x1 + m2 l cos ћ = m2 l sin ћ 2 + 1 , Е Е Е m2 l cos x1 + m2 l2 = 2 Е
величина x1 явным образом не входит. Покажите, используя это свойство, что записанная система сводится к системе уравнений третьего порядка относительно функций X (t) = dx1 /dt, Y (t) = d/dt, Z (t) = (t). 4. Умножьте обе части уравнения малых колебаний струны

2y 2y = a2 2 0 t2 x
на y / t и, интегрируя полученное равенство от t = 0 до t > 0 и от x = 0 до x = l убедитесь в том, что полная энергия E (t) = E (0) для любых t > 0. 5. Получите решение уравнения малых колебаний струны

2y 2y = a2 2 , 0 2 t x
описывающее движения струны, для которых y / t = c y / x.

Закрыть


Домашняя

Глава 3 Примеры универсальных математических моделей

Назад На весь экран

Рассмотрим процессы колебаний в объектах различной природы. Покажем, что несмотря на разную сущность объектов им соответствуют одни и те же математические модели.
3.1. Жидкость в U-образном сосуде

Жидкость занимает часть сосуда U-образной формы, представляющего собой изогнутую трубку радиуса r0 (рис. 3.1). Масса жидкости M0 , ее плотность 0 Стенки сосуда идеально гладкие, поверхностным натяжени-

Закрыть


ем пренебрегается, атмосферное давление и ускорение свободного падения g постоянны. В состоянии равновесия жидкость, очевидно, покоится, ее высота в обоих коленах сосуда одинакова. Если ее вывести из равновесия, то начнется движение, характер которого установим с помощью закона сохранения энергии, поскольку в силу сделанных предположений ее потери в системе отсутствуют. Потенциальную энергию системы вычислим через работу, которую необходимо совершить, чтобы переместить ее из состояния равновесия (где h1 = h2 ) в положение, изображенное на рис. 3.1. Она равна
h2 h2

Домашняя

Назад На весь экран

=-
? h

P dh2 = -
? h

h1 + h2 ? 0 s0 (h1 - h2 )g dh, h = , 2

где P - вес той части жидкости в левом колене, уровень которой превышает величину h2 . Работа сил атмосферного давления равна нулю, так как для разных колен соответствующие перемещения направлены в разные стороны. Неизвестные величины h1 (t) и h2 (t) связаны очевидным соотношением h1 (t) + h2 (t) = const > 0, выражающим постоянство полной длины столба жидкости в сосуде с постоянным сечением. Подставляя последнее равенство в выражение для , получаем после интегрирования

= -0 s0 g (-h2 (t) + C h2 (t) + C1 ). 2
При вычислении кинетической энергии учтем постоянство сечения трубки и несжимаемость жидкости. Это означает, что столб жидкости движется

Закрыть


Домашняя

Назад На весь экран

Рис. 3.1. Жидкость в U-образной трубке

Закрыть


как целое, и ее скорость v (t) одинакова во всех сечениях. Примем за v (t) величину dh2 (t)/dt, и тогда

Домашняя

1 dh2 T = M0 2 dt а из закона сохранения энергии следует M E (t) = T (t) + (t) = 2
0

2

,

dh2 dt

2

- 0 s0 g (

-h2 2

Назад
(t) + C h2 (t) + C1 ).

Так как dE /dt = 0, то, продифференцировав это выражение, получаем

На весь экран

d2 h2 = 0 s0 g (-2h2 + C ), dt2 что, с учетом такого же соотношения для величины h1 (t), дает уравнение M
0

d2 h 2 = -0 s0 g h = - 0 r0 g h, dt2 где h = (h2 - h1 )/2 - отклонение уровня жидкости от положения равновесия. Оно, с точностью до обозначений, полностью совпадает с уравнением для системы ?шарикпружина? (в данном случае аналогом шарика служит столб жидкости, а роль пружины играет тяготение). Последовательный отказ от идеализации объекта дает более полные его модели. Например, учет силы поверхностного натяжения, равной 0 2 r0 (0 - коэффициент поверхностного натяжения) и всегда направленной против движения жидкости, приводит к уравнению, характеризующему изменение энергии. M
0

Закрыть


3.2.

Колебательный электрический контур

Домашняя

Это устройство представляет собой конденсатор, соединенный проводами с индуктивной катушкой. В момент t = 0 цепь замыкается, и заряд с обкладок конденсатора начинает распространяться по цепи (рис. 3.2).

Назад На весь экран

Рис. 3.2. Колебательный контур

Сопротивление проводов будем считать равным нулю, емкость конденсатора равна C , индуктивность катушки L. Для изменяющейся со временем величины q (t), где q (t) - заряд на обкладках конденсатора, необходимо получить соответствующее уравнение. Очевидно, что ток i(t) и напряжение v (t) также являются функциями времени.

Закрыть


По физическому смыслу величины C в любой момент времени имеем равенство v (t) = q (t)C (емкость равна величине заряда, который необходимо поместить на обкладки конденсатора для увеличения разности потенциалов между ними на единицу). Так как электрическое сопротивление в цепи отсутствует, то падения напряжения на проводах нет, и разность потенциалов v (t), существующая на конденсаторе, подается непосредственно на катушку. При переменном токе в катушке возникает электродвижущая сила самоиндукции, равная = -Ldi/dt. Закон Ома для цепи в отсутствие сопротивления выглядит следующим образом: v (t) = -(t), или

Домашняя

Назад На весь экран

q (t)C = -(t) = Ldi/dt.
Так как по определению i = -dq /dt (при убывании заряда на конденсаторе ток в цепи увеличивается, и наоборот), то из последнего соотношения получаем уравнение d2 q L 2 = -C q , dt описывающее процесс колебаний величины q (t) (а следовательно, и величин i(t), v (t)) в простейшем электрическом контуре. В системе ?емкостьиндуктивность? колебания происходят так же, как и в системе ?шарикпружина? (и так же усложняются соответствующие модели при учете дополнительных процессов).

Закрыть


3.3.

Малые колебания при взаимодействии двух биологических популяций

Домашняя

Пусть на одной и той же территории проживают две биологические популяции с численностями N (t) и M (t), причем первая растительноядная, а вторая употребляет в пищу представителей первой популяции. Скорость изменения N (t) складывается из скорости прироста благодаря рождаемости (эффект насыщения не учитывается) и из скорости убывания благодоря соседству со второй популяцией:

Назад На весь экран

dN = (1 - 1 M )N , dt

(3.1)

где 1 > 0, 1 > 0, член 1 M N описывает вынужденное убывание (естественной смертностью популяции пренебрегаем). Численность второй популяции растет тем быстрее, чем больше численность первой популяции, а при ее отсутствии уменьшается со скоростью, пропорциональной численности M (t) (тем самым ее рождаемость не учитывается, как и эффект насыщения):

dM = (-2 + 2 N )M , dt

(3.2)

где 2 > 0, 2 > 0. Очевидно, что система находится в равновесии при M0 = 1 /1 и N0 = 2 /2 , когда dN/dt = dM /dt = 0. Рассмотрим малые отклонения системы от равновесных значений, т. е. представим решение в виде N = N0 + n,

Закрыть


M = M0 + m, n N0 , m M0 . Подставляя N и M в уравнения (3.1), (3.2), получим, отбрасывая члены более высокого порядка малости, dn = -1 N0 m, dt
(3.3)

Домашняя

dm = -2 M0 n. (3.4) dt Дифференцируя (3.3) по t и подставляя в полученное уравнение функцию dm/dt, определяемую из (3.4), придем к уравнению d2 n = -1 2 n, dt2
аналогичному по форме уравнению механических колебаний шарика. Следовательно, в системе происходят малые колебания численности с частотой = 1 2 зависящей только от коэффициентов рождаемости и смертности 1 и 2 . Заметим, что величина m(t) подчиняется такому же уравнению, причем если отклонение n(t) равно нулю в начальный момент t = 0, то m(t = 0) имеет максимальную амплитуду, и наоборот. Эта ситуация, когда численности n(t) и m(t) находятся в противофазе, воспроизводится для всех моментов ti = iT /4, i = 1, 2, . . . , (T - период колебаний) и отражает запаздывание реакции численности одной популяции на изменение численности другой.

Назад На весь экран

Закрыть


3.4.

Простейшая модель изменения зарплаты и занятости

Домашняя

Рынок труда, на котором взаимодействуют работодатели и наемные рабочие, характеризуется зарплатой p(t) и числом занятых N (t). Пусть на нем существует равновесие, т. е. ситуация, когда за плату p0 > 0 согласны работать N0 > 0 человек. Если по каким-то причинам это равновесие нарушается (например, по возрасту часть работников уходит на пенсию либо у предпринимателей возникают финансовые трудности), то функции p(t) и N (t) отклоняются от значений p0 , N0 . Будем считать, что работодатели изменяют зарплату пропорционально отклонению численности занятых от равновесного значения. Тогда

Назад На весь экран

dp = -1 (N - N0 ), dt

1 > 0.

Предположим, что число работников увеличивается или уменьшается также пропорционально росту или уменьшению зарплаты относительно значения p0 , т. е. dN = 2 (p - p0 ), 2 > 0. dt Дифференцируя первое уравнение по t и исключая из него с помощью второго уравнения величину N , приходим к стандартной модели колебаний

d2 (p - p0 ) = -1 2 (p - p0 ) dt2

Закрыть


заработной платы относительно положения равновесия (аналогично и для величины N (t)). Из первого интеграла этого уравнения

Домашняя

1 (N - N0 )2 + 2 (p - p0 )2 = const > 0
видно, что в некоторые моменты t = ti , i = 1, 2, . . . ,, когда p = p0 (т. е.зарплата становится равной равновесному значению), имеем N > N0 , т. е. число занятых больше равновесного, а при N = N0 получаем p > p0 , т. е. зарплата превышает равновесную. В эти моменты фонд заработной платы, равный pN , превышает равновесное значение p0 N0 (или меньше его), если при подходе к моменту ti - выполнено p > p0 или N > N0 (и наоборот). Но в среднем за период колебаний величина pN равна p0 N0 .
3.5. Заключение

Назад На весь экран

Построенные в данной главе модели в одних случаях основаны на точно известных законах (пп. 1, 2), в других - на наблюдаемых фактах и на аналогиях (п. 3), либо на правдоподобных представлениях о характере объекта (п. 4). Хотя и сущность рассматривавшихся явлений, и подходы к получению отвечающих им моделей совершенно различны, построенные модели оказались идентичны друг другу. Это свидетельствует о важнейшем свойстве математических моделей - их универсальности, - широко используемом при изучении объектов самой разнообразной природы.

Закрыть


3.6.

УПРАЖНЕНИЯ

Домашняя

1. Пусть в задаче об U-образном сосуде левое колено имеет переменное сечение, т. е. r = r0 (h). Покажите, применяя второй закон Ньютона и предполагая отсутствие горизонтальной компоненты у скорости жидкости, что для величины h получается уравнение вида

d2 r m 2 = -k (r)r. dt
2. Вводя в LC -контур сопротивление R и используя закон Ома, убедитесь в том, что модель колебаний в LC R-контуре аналогична уравнению

Назад На весь экран

m

d2 r dr = -k r + F (v ) = -k r - ч . 2 dt dt

3. Сведите нелинейную систему

dN = (1 - 1 M )N , dt dM = (-2 + 2 N )M dt к уравнению второго порядка и покажите, что она, как и ее линейный аналог dn = -1 N0 m, dt dm = -2 M0 n, dt

Закрыть


имеет первый интеграл. 4. Пользуясь формулой для общего решения уравнения колебаний

Домашняя

(t) = A sin t + B cos t,
покажите, что среднее значение фонда заработной платы pN за период колебаний равно равновесному.

Назад На весь экран

Закрыть


Домашняя

Глава 4 Модели простейших нелинейных объектов

Назад На весь экран

Обсудим происхождение нелинейности и рассмотрим некоторые ее последствия, проявляющиеся в поведении изучаемых объектов. Проиллюстрируем неизбежность применения численных методов для их анализа.
4.1. О происхождении нелинейности

Как уже отмечалось, линейные модели подчиняются принципу суперпозиции. В этом случае, находя частные решения и суммируя их, как правило, удается построить и общее решение.

Закрыть


Для нелинейных моделей принцип суперпозиции неприменим, и общее решение можно найти лишь в редких случаях. Отдельные же частные решения нелинейных уравнений могут не отражать характер поведения объекта в более общей ситуации. Источниками нелинейности могут быть многие причины. Фундаментальные законы природы - закон тяготения и закон Кулона - изначально нелинейны (квадратичная зависимость силы взаимодействия между массами или зарядами), и потому основанные на них модели, вообще говоря, также нелинейны. Свой вклад в нелинейность моделей вносят более сложная геометрия явления, различные внешние воздействия и, конечно же, изменение характера взаимодействия в самом объекте при изменении его состояния (эффект насыщения в моделях популяций, меняющаяся жесткость пружины). В сущности, реальным явлениям отвечают только нелинейные модели, а линейные справедливы лишь при описании незначительных изменений величин, характеризующих объект.
4.2. Три режима в нелинейной модели популяции

Домашняя

Назад На весь экран

В отличие от модели Мальтуса

dN (t) = [(t) - (t)]N (t) dt

Закрыть


и модели со скоростью пропорциональной численности, умноженной на отклонение, dN N = 1- N, > 0 dt Np коэффициент рождаемости будем считать зависящим от численности популяции N (t), т. е. = (N ). Коэффициент смертности также зависит от N . Уравнение динамики популяции

Домашняя

Назад На весь экран

dN = [(N ) - (N )]N dt

(4.1)

нелинейно благодаря изменению характеристик взаимодействия внутри популяции при изменении ее состояния. Положим для определенности (N ) = 0 = const, (N ) = 0 N , т. е. рождаемость пропорциональна численности (например, потому что члены популяции заинтересованы в ее росте). Тогда уравнение (4.1) преобразуется к виду dN = 0 N 2 - 0 N (4.2) dt с квадратичной нелинейностью (характерной также для некоторых химических реакций). Рассмотрим поведение функции N (t) при различных начальных численностях N (0) = N0 (рис. 4.1). а) При N0 < Nkp = 0 /0 численность монотонно уменьшается со временем, стремясь к нулю при t . Решение дается формулой, аналогичной формуле для решения вышезаписанного уравнения, где t заменяется на -t (обратная логистическая кривая).

Закрыть


Домашняя

Назад На весь экран

Рис. 4.1. Изменение численности популяции со временем в нелинейной модели

б) При критическом значении N0 = Nkp численность популяции не зависит от времени. в) При N0 > Nkp характер решения принципиально изменяется по сравнению со случаями а) и б): численность растет со временем, причем настолько быстро, что обращается в бесконечность за конечное время t = tf . Величина tf тем меньше, чем больше N0 . Нелинейность уравнения (4.2) порождает большое разнообразие эффек-

Закрыть


тов, содержащихся даже в простейшей модели: три возможных режима изменения численности со временем; неустойчивость режима б) - при малых отклонениях в область а) или в) решение удаляется от линии Nkp = 0 /0 ; сильную чувствительность функции N (t) к начальным данным N0 ; наконец, катастрофический рост численности популяции за конечное время при N0 > Nkp . Заметим, что последнее свойство не частный результат, а имеет место для любых моделей вида

Домашняя

Назад На весь экран

dN = F (N ), t > 0, N (0) > 0, F (N ) > 0, dt если при больших N функция F (N ) растет быстрее первой степени N , точнее, если для F (N ) справедлив критерий


dN < , F (N )
N (0)

получающийся непосредственным интегрированием уравнения.
4.3. Влияние сильной нелинейности на процесс колебаний

Уравнение колебаний

m

d2 r = -k (r)r, dt2

(4.3)

Закрыть


где функция k (r) > 0 описывает жесткость пружины, - одно из относительно немногих нелинейных уравнений, для которого можно выписать общее решение. Вводя величину скорости v = dr/dt, перепишем (4.3) в виде

Домашняя

dv dr = -k (r)r, = v; dt dt деля первое из этих уравнений на второе, получим нелинейное уравнение первого порядка dv k (r)r m =- . (4.4) dr v Разделяя в (4.4) переменные: m mv dv = -k (r)rdr,
и дважды интегрируя последнее уравнение, находим

Назад На весь экран

v=

2

dr dt

2

r

= -2
0

k (r )r dr + C, k (r) =

k (r) , m

r

dr =+ dt
r

C -2
0

k (r )r dr ,
-1

C -2
0

r ?

k (r )r dr

t=+
0

dr + C1 , ?

(4.5)

Закрыть


Домашняя

Назад На весь экран

Рис. 4.2. Интегральные кривые. Колебательный процесс

где в неявно выписанном общем решении (4.5) константы C , C1 можно определить, зная начальные данные.

Закрыть


Домашняя

Назад На весь экран

Рис. 4.3. Интегральные кривые. Нелинейный случай

В линейном случае (k (r) = k0 ) интегральные кривые уравнения (4.4) представляют собой концентрические круги с центром в начале координат,

Закрыть


радиус которых определяется начальной энергией системы, и ?движение? по которым описывает периодический во времени процесс колебаний (рис. 4.2). Рассмотрим теперь сильно нелинейную систему, в которой пружина ведет себя как ?сверхмягкая?, например, k (r) = 1/(r2 +), > 0. В предельном случае = 0 уравнение (4.4) принимает вид

Домашняя

dv 1 m =- , dr vr
и его решение принципиально отличается от решения (4.4) (см. рис. 4.3) тем, что энергия не сохраняется и, более того, неограниченно раст?т при r +0. При ослаблении нелинейности процесс колебаний приобретает обычный характер.
4.4. Применение численных методов

Назад На весь экран

Рассмотренные здесь примеры достаточно убедительно свидетельствуют о неизбежности применения численных методов для моделирования нелинейных объектов из-за явной недостаточности чисто теоретических подходов и сложного, разнообразного поведения характеризующих эти объекты величин. Впрочем, этот вывод справедлив и для линейных моделей, содержащих большое число неизвестных величин, независимых переменных, параметров и имеющих сложную пространственную структуру. Для построения соответствующих численных моделей широко используются методы, подходы и приемы, разрабатываемые при создании исходных моделей, и возникают свои

Закрыть


специфические проблемы, требующие глубокого изучения. Поясним последнее утверждение простым примером. Для уравнения Мальтуса

Домашняя

dN = ( - )N = N , t > 0, dt

N (0) = N0 ,

где для определенности ( - ) > 0, вполне логично предложить следующую численную схему (разбив ось t на равные отрезки величины = ti+1 - ti , i = 1, 2, . . . ; t0 = 0 и заменив производную на конечную разность):

Назад На весь экран

Ni
Из (4.6) получаем

+1 - Ni = Ni , i = 0, 1, . . . ;

N (t0 ) = N0 .

(4.6)

Ni
что дает для его решения

+1

= ( + 1)Ni ,

N1 = (1 + )N0 , N2 = (1 + )2 N0 , Ni = (1 + )i N0 = (1 + )t/ N0 ,
т. е. при t решение (4.6) может отличаться от искомого сколь угодно сильно. Следовательно, для получения нужной точности необходимо должным образом выбирать шаг в зависимости от величины отрезка интегрирования T .

Закрыть


4.5.

УПРАЖНЕНИЯ

Домашняя
et

1. Пользуясь заменой , аналогичной r = r(t) , найдите решение урав? нения dN = 0 N 2 - 0 N dt при N0 > Nkp и вычислите величину tf через N0 , 0 , 0 . 2. Найдите ограничение на рост функции k (r) , r 0 в уравнении

Назад На весь экран

d2 r m 2 = -k (r)r, dt
при выполнении которого система шарик-пружина была бы консервативной, т. е. сохранялась бы е? полная энергия. 3. Используя представление числа e в виде соответствующего предела, покажите, что для заданных величин , N0 , T решение уравнения

Ni

+1

- Ni = Ni

стремится при 0 к решению исходной задачи.

Закрыть


Домашняя

Глава 5 Модели, основанные на законе сохранения числа частиц

Назад На весь экран

Введем некоторые понятия теории теплового излучения, переносимого в среде световыми квантами. Закон сохранения числа квантов используем для получения кинетического уравнения, которому подчиняется функция распределения фотонов. Обсудим некоторые свойства построенной модели лучистого теплообмена в веществе.

Закрыть


5.1.

Основные понятия теории теплового излучения

Домашняя

В веществе, нагретом до достаточно высокой температуры, большую роль играют процессы переноса энергии световыми квантами (фотонами). Распространяясь в среде, рассеиваясь и поглощаясь на атомах и молекулах вещества, а также испускаясь ими, фотоны обеспечивают лучистый теплообмен между различными участками среды. Благодаря именно этому механизму горящий камин нагревает воздух в помещении. Поле излучения, заполняющее пространство, можно рассматривать как электромагнитное излучение с частотой колебаний и длиной волны , связанными через скорость света C ( = c/ ). Если же говорить о поле излучения как о совокупности большого числа частиц - световых квантов, то необходимо ввести понятие энергии кванта h (h - постоянная Планка), движущегося со скоростью c. В отличие от поля температур, характеризуемого координатами x, y , z и временем t, для описания излучения важно знать также его частоту (вообще говоря, разную для разных квантов) и направление движения квантов в любой точке пространства в любой момент t. Проследить траекторию каждого из огромного числа фотонов в веществе попросту невозможно. Поэтому в теории излучения используется статистический вероятностный подход, основанный на введении функции распределения частиц. Это важное понятие успешно используется для изучения совокупности большого числа частиц или иных объектов в различных областях знания.

Назад На весь экран

Закрыть


Домашняя

Назад На весь экран

Рис. 5.1. Элементарный объ?м излучения квантов

Функция распределения фотонов f = f (, r, , t) зависит от частоты квантов, радиуса-вектора r (т. е. от координат x, y , z ), направления движения частиц и времени t. Е? смысл состоит в следующем. Рассмотрим в некоторый момент времени t эдумент объ?ма dr около точки r (рис. 5.1). Тогда величина f (, r, , t) d dr, d (5.1) по определению - это число квантов, находящихся в спектральном интервале (, + d ) (т. е. их частота лежит между значениями и + d ), занимающих объем dr и имеющих направление движения в диапазоне от до + d ( единичный вектор). Размер объема r предполагается гораздо болше длины волны , так что волновые эффекты несущественны.

Закрыть


Домашняя

Назад На весь экран
Рис. 5.2. Единичная площадка

Функция распределения (5.1) - одно из исходных понятий теории лучистого теплообмена, с помощью которого вводятся и вычисляются все остальные характеристики, описывающие этот процесс. Величина I определяемая по формуле I (r, , t) = h cf (, r, , t), (5.2) называется спектральной интенсивностью излучения. Она представляет собой количество лучистой энергии в спектральном интервале от до + d , переносимое фотонами за единицу времени через единичную площадку, помещ?нную в точке r и перпендикулярную к направлениям их пол?та (которые лежат в диапазоне углов от до + d; рис. 5.2). Действительно, так как энергия кванта равна h , а общее число квантов с частотой от до + d и с направлением полета от до + d в единице объ?ма равно f d d, то переносимая ими за 1 с через расположен-

Закрыть


ную перпендикулярно пол?ту площадку в 1 см2 энергия равна h cf d d, что согласуется с определением (5.2). Спектральная плотность излучения

Домашняя

U (r, t) = h
4

f d =

1 c
4

I d

(5.3)

представляет собой количество лучистой энергии квантов, содержащихся в 1 см3 пространства в точке r в момент t в единичном интервале частот и имеющих частоту . Еще одной важной характеристикой служит спектральный поток излучения (S ) . Фотоны, пересекающие единичную площадку с направлением нормали n, переносят через нее энергию (в 1 с в интервале от до + d ), равную h c f cos d (рис. 5.3). Аналогично вычисляется энергия, распространяющаяся через площадку справа налево, но интегрирование вед?тся по левой полусфере. Их разность и да?т величину S :
2

Назад На весь экран

S (r, t, n) = h c
4

f cos d,

(5.4)

где - угол между направлением движения квантов и нормалью. Величина S - проекция вектора S на нормаль n, а сам вектор есть

S =
4

I d.

(5.5)

Закрыть


Домашняя

Назад На весь экран

Рис. 5.3. Единичная площадка

Заметим, что при изотропном (не зависящем от направления ) излучении спектральная плотность, как следует из (5.3), равна

U = 4 h f ,
а из (5.5) видно, что поток S равен нулю в любой точке пространства. Полные интенсивность, плотность и поток излучения можно получить

Закрыть


из спектральных характеристик интегрированием по всему спектру частот .
5.2. Уравнение баланса числа фотонов в среде

Домашняя

Назад На весь экран

Выведем уравнение, описывающее перенос излучения в среде, пользуясь законом сохранения числа частиц и следующими предположениями: 1) процесс распространения квантов одномерный, т. е. f = f (, x, , t); 2) рассеянием квантов света на атомах или молекулах (т. е. изменением их направления) можно пренебречь; 3) известен характер поглощения и испускания света атомами и молекулами вещества; 4) фотоны самопроизвольно не исчезают и не появляются. Рассмотрим баланс частиц в элементарном цилиндре, имеющем ось в направлении , длину ds = dx/ cos и основание d (рис. 5.4), где - угол между осью x и вектором . Будем интересоваться излучением частоты в единичном интервале частот, распространяющимся внутри единичного телесного угла в направлении . В соответствии с (5.1) (см. также определение (5.2)) за время dt в левое основание цилиндра входит число частиц, равное

cf (, x, , t)d dt.

Закрыть


Домашняя

Назад На весь экран

Рис. 5.4. Элементарный цилиндр

За то же время из его правого основания выходит число частиц

(cf (, x, , t) + cdf )d dt,
где величина df описывает приращение функции f при переходе от одного основания к другому. Поскольку f = f (, x, , t), то эту величину можно представить в виде

f f dx dt + ds, ds = , t s cos где первое слагаемое отвечает ее приращению по времени за промежуток dt, а второе - приращению по координате s. df =

Закрыть


Учитывая, что скорость фотонов равна c и dt = ds/c, получаем

Домашняя

df =

1 f f + c t s

ds.

Итак, число фотонов в цилиндре за время dt изменилось на величину

-

f f +c t s

ds d dt = -

f f + c cos t x

ds d dt.

(5.6)

Назад На весь экран

Напомним, что через боковую поверхность цилиндра фотоны, имеющие направление полета и не претерпевающие рассеяния, не пролетают. Таким образом, изменение числа квантов в объеме цилиндра может вызываться лишь их поглощением или испусканием атомами и молекулами вещества, находящегося внутри цилиндра. Для вычисления этой величины вводится понятие равновесного излучения, когда число квантов, поглощенных веществом, равно числу испущенных частиц (излучение и вещество находятся в равновесии) в любой момент времени. Равновесная функция распределения fp есть (закон Планка)

fp =

h 2 2 exp 1 - 3 c kT

,

(5.7)

где T - температура вещества (считается, что среда находится в условиях локального термодинамического равновесия, и в любой ее точке можно ввести такие характеристики, как температура, внутренняя энергия и т. д.).

Закрыть


В отсутствие равновесия между излучением и веществом интенсивность поглощения (испускания) фотонов пропорциональна разности между fp и f , т. е. величине c(f - fp ), где = (1 - exp(h /k T )), а - коэффициент поглощения, определяемый состоянием среды и е? свойствами. Изменение числа квантов в объ?ме цилиндра за время dt равно

Домашняя

Назад На весь экран

(f - fp )d ds dt.

(5.8)

Приравнивая (5.6) и (5.8), получаем для функции распределения кинетическое уравнение, описывающее перенос излучения в среде:

f f + c cos = (f - fp ), t x

(5.9)

где fp задается формулой (5.7). Уравнение (5.9) вместе с функциями fp , и краевыми условиями представляет собой замкнутую модель распространения лучистой энергии при сделанных выше предположениях.
5.3. Некоторые свойства уравнения переноса излучения

Полученное на основании закона сохранения числа частиц нестационарное одномерное неоднородное гиперболическое уравнение (5.9) может быть

Закрыть


обосновано также и с помощью закона сохранения энергии. Действительно, в цилиндре рассматривался баланс частиц, имеющих одинаковую частоту и, следовательно, одинаковую энергию h . Учитывая это, (5.9) легко переписать как уравнение относительно спектральной интенсивности излучения I = h cf : 1 I I + cos = (I p - I ), (5.10) c t x которое эквивалентно (5.9), но имеет более непосредственный физический смысл. При интегрировании (5.10) по телесному углу (т. е. по всем направлениям полета квантов) получаем уравнение, связывающее плотность излучения (5.3) и его поток (5.4):

Домашняя

Назад На весь экран

S U + = c (U p - U ). t x

(5.11)

Это уравнение можно трактовать как уравнение неразрывности для излучения данной частоты, выражающее закон сохранения излучения и вполне аналогичное уравнению движения грунтовых вод и уравнению теплопроводности. Наиболее очевидна эта аналогия в трехмерном случае, когда уравнения (5.10) и (5.11) принимают вид

1 I + I = (I c t U + divS = c (U t

p

- I ),

(5.12) (5.13)

p

- U ).

Закрыть


Хотя уравнения (5.9)-(5.13) линейные, нельзя, вообще говоря, утверждать, что модели лучистого теплообмена проще нелинейных моделей. Ведь, решая (5.9)-(5.13), можно получать каждый раз лишь спектральные (т. е. для данной частоты ) характеристики излучения, распространяющегося в заданном направлении . Для полной картины необходимо найти нужные величины для всех значений , (или какие-то интегралы от них), что является гораздо более трудной задачей. К тому же в более сложных ситуациях (наличие рассеивания фотонов и т. д.) сами модели (5.9)-(5.13) могут значительно усложняться. Наиболее простая модель переноса излучения получается из (5.10), если поглощением и испусканием квантов можно пренебречь и рассматривать случай, когда все частицы движутся в одном направлении. Тогда для любых значений можно положить cos = 1 и прийти к уравнению

Домашняя

Назад На весь экран

1 I I + = 0, c t x
полностью идентичному уравнению для потока невзаимодействующих материальных частиц. Если интенсивность излучения не зависит от времени, то (5.10) превращается в неоднородное линейное дифференциальное уравнение

cos ћ

dI + I = I p , dx

(5.14)

Закрыть


общее решение которого имеет вид
x

Домашняя
-(x )

I (x) =
x
0

I p e
x x
0

dx + I 0 e-

(x0 )

.

(5.15)

Здесь (x ) =

x x

dx , (x0 ) =

dx (для простоты в (5.15) положено

Назад На весь экран

cos = 1), I( 0) - постоянная интегрирования. Не останавливаясь подробно на физическом смысле решения (5.15), поясним, что первый член обязан своим происхождением излучению, возникшему в веществе на отрезке от x0 до x (и ослабленному поглощением). Второе слагаемое представляет собой излучение от каких-то внешних источников, входящих в вещество на его граниице x0 (и также ослабленное поглощением по мере распространения по среде). Если I p и - известные функции координаты x (для этого должны быть известны температура и плотность вещества вдоль траектории частиц), то решение уравнения (5.14) сводится к квадратуре. В противоположном рассмотренному случае пространственно однородного поля излучения из (5.10) получаем 1 I = (I p - I ). c t
(5.16)

Процесс, описываемый уравнением (5.16), соответствует ситуации, когда в неограниченной и первоначально холодной среде (т. е. в момент t = 0 излучения нет) с постоянной плотностью происходит быстрый нагрев вещества

Закрыть


до некоторой температуры T , которая затем поддерживается неизменной во времени. Поскольку потерь излучения с границ нет, то пространственные градиенты T равны нулю и , I p не зависят от x, y , z . Возникшее в результате нагрева излучение также имеет нулевой градиент (т. е. I = I (t)) и, обмениваясь энергией с веществом, стремится с течением времени к равновесному значению по экспоненциальному закону.
5.4. УПРАЖНЕНИЯ

Домашняя

Назад На весь экран

1. Проверьте правильность выражения

S =
4

I d

для спектрального потока излучения. 2. Повторяя рассуждения пункта 2, получите тр?хмерное уравнения (5.9) или (5.10) в случае, когда функция распределения зависит от x, y , z . 3. Используя определения (5.3), (5.4), выведите из

1 I + I = (I c t
уравнение

p

- I )

U + divS = c (U t

p

- U ).

Закрыть


4. Получите решение
x

Домашняя
I p e
x
0

I (x) =
уравнения

-(x )

dx + I 0 e

-(x0 )

dI + I = I p dx и конкретизируйте его в случае постоянных , I p . 5. Убедитесь в том, что решение уравнения насыщения cos ћ 1 I = (I c t
p

Назад На весь экран

- I )

имеет экспоненциальный вид, и найдите показатель экспоненты.

Закрыть


Домашняя

Литература

Назад На весь экран

1. 2. 3. 4. 5.

Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. - М.:Наука. Физматлит, 1997. 320 с.
Самарский А. А., Михайлов А. П. Амелькин В. В. Дифференциальные уравнения в приложениях. - М.: Наука. 1987. 160 с.

Математическая биофизика взаимодействующих популяций. М.:Наука. 1985. 182 с.
Базыкин А. Д.

Численное моделирование в механике сплошных сред. М.:Наука. 1994. 442 с.
Белоцерковский О. М. Седов Л. И.

448 с.

Методы подобия и размерности в механике. М.:Наука, 1981.

Закрыть