Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.ssau.ru/files/education/metod_1/Aslanov_ekz_test.pdf Дата изменения: Tue Dec 9 17:22:40 2014 Дата индексирования: Mon Apr 11 02:21:18 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: векторное поле

" .. ( )"

. . , . .


" " " "

Самара 2010


УДК 531

. .
Экзаменационные тесты к модулю Нелинейная динамика /
. ., . . Самар. гос. аэрокосм. ун-т. Самара, 2010. - 11 с.

, 010800-' '. c , 2010


Нелинейная динамика

В.С. Асланов, А.С. Ледков

3

Определения

Неподвижная точка

нули векторного поля f (x) : f (x) = 0; ? точка к которой стремятся все фазовые траектории из ее окрестности fi точка для которой определитель матрицы xj равен нулю (fi , xj -компоненты вектор функции f и вектора x); точка для которой все собственные значения fi матрицы равны нулю fi , xj -компоненты вектор xj функции f и вектора x). Предельные множества, для которых существует T , 0 < T < , такое, что x(T ) = x(t + T ) для всех t называются периодическими орбитами; устойчивыми многообразиями; неустойчивыми многообразиями; периодически вырожденными множествами. Если для любой окрестности V точки x из U ? существует окрестность V1 V такая, что любое решение x(x0 , t) c x0 V определено и лежит в V при всех t > 0, то такая точка называется устойчивой неустойчивой асимптотически устойчивой нейтрально устойчивой Точка называется гиперболической, если Df (x) не имеет собственных значений с нулевой ? вещественной частью Df (x) не имеет мнимых собственных значений ? Df (x) не имеет собственных значений с веществен? ными частями разных знаков Df (x) не имеет собственных значений с веществен? ными частями одного знака знаков Пусть - поток в Rn , порождаемый нелинейным векторным полем f (x). Гиперповерхность Rn размерности n - 1 выбрана так, чтобы поток в каждой точке ей трансверсален. Тогда первый возврат, или отображение Пуанкаре P : U определяется для некоторой точки q U как P (q ) = (q ), где = (q ) время, требующееся для того, чтобы орбита (q ) с базой в точке q впервые вернулась на ; P (q ) = Dt (q )q , где Dt - матрица Якоби для вектор-функции потока phit , вычисленная в точке q ; P (q ) = (q ), где = T (p) период периодической орбиты; P (q ) = Dt (p)q , где Dt - матрица Якоби для вектор-функции потока t , вычисленная в гиперболической неподвижной точке p.

x определяется как ?

ний X (t) = Z (t)etR линеаризованной системы, где Z (t) = Z (t + T ), T - период замкнутой орбиты. собственные значения постоянной матрицы R, Получаемой из матрицы фундаментальных решений X (t) = Z (t)etR линеаризованной системы, где Z (t) = Z (t + T ), T - период замкнутой орбиты. собственные вектора постоянной матрицы eT R , Получаемой из матрицы фундаментальных решений X (t) = Z (t)etR линеаризованной системы, где Z (t) = Z (t + T ), T - период замкнутой орбиты; собственные значения матрицы etR , Получаемой из матрицы фундаментальных решений X (t) = Z (t)etR линеаризованной системы.

Характеристическими показателями называются собственные значения постоянной матрицы R, Получаемой из матрицы фундаментальных решений X (t) = Z (t)etR линеаризованной системы, где Z (t) = Z (t + T ), T - период замкнутой орбиты. собственные значения постоянной матрицы eT R , Получаемой из матрицы фундаментальных решений X (t) = Z (t)etR линеаризованной системы, где Z (t) = Z (t + T ), T - период замкнутой орбиты. собственные вектора постоянной матрицы R, Получаемой из матрицы фундаментальных решений X (t) = Z (t)etR линеаризованной системы, где Z (t) = Z (t + T ), T - период замкнутой орбиты; собственные значения матрицы etR , Получаемой из матрицы фундаментальных решений X (t) = Z (t)etR линеаризованной системы.
Точка p называется неблуждающей для потока t , если для любой окрестности U точки p найдется сколь угодно большое число t такое, что t (U ) U = ; для любой окрестности U точки p найдется сколь угодно малое число t такое, что t (U ) U = ; для любой окрестности U точки p найдется сколь угодно малое число t такое, что t (U ) U = ; для любой окрестности U точки p найдется сколь угодно малое число t такое, что t (U ) U = .

для угодно для угодно для угодно для угодно

ражения G, если

Точка p называется неблуждающей для отоблюбой окрестности большое число n > любой окрестности большое число n > любой окрестности большое число n > любой окрестности большое число n >
U точки p 0 такое, что U точки p 0 такое, что U точки p 0 такое, что U точки p 0 такое, что

найдется Gn (U ) найдется Gn (U ) найдется Gn (U ) найдется Gn (U )

сколь U = ; сколь U = ; сколь U = ; сколь U = .

называются собственные значения постоянной матрицы eT R , Получаемой из матрицы фундаментальных реше-

Характеристическими

мультипликаторами

Точка р называется предельной точкой для x, если существуют такие точки t1 (x), t2 (x), ... на орбите с базой в x, что ti (x) p и t . существует такая последовательность, для которой ti (x) p и t - существуют такие точки t1 (x), t2 (x), ... на орбите с базой в x, что ti (x) 0 и t -.


Нелинейная динамика

В.С. Асланов, А.С. Ледков

4

существуют такие точки t1 (x), t2 (x), ... на орбите с базой в x, что ti (x) 0 и i . Точка р называется предельной точкой для x, если существуют такие точки t1 (x), t2 (x), ... на орбите с базой в x, что ti (x) p и t -. существует такая последовательность, для которой ti (x) p и t существуют такие точки t1 (x), t2 (x), ... на орбите с базой в x, что ti (x) 0 и t -. существуют такие точки t1 (x), t2 (x), ... на орбите с базой в x, что ti (x) 0 и i . Замкнутое инвариантное множество A Rn называется притягивающим множеством, если существует некоторая окрестность U этого множества такая, что t (x) U для t 0 и t (x) A при t для всех x U t (x) U для t 0 и t (x) A при t - для всех x U . t (x) U для t 0 и t (x) A при t - для всех x U ; t (x) p для t 0 и t (x) A при t для всех x U

притягивающее множество, содержащее орбиту; отталкивающее множество, содержащее орбиту; множество U , точки которого попадают в вающее множество; множество U , точки которого попадают в вающее множество;

Аттрактором назвается

плотную плотную притягиотталки-

отталкивающее множество, содержащее орбиту; притягивающее множество, содержащее орбиту; множество U , точки которого попадают в вающее множество; множество U , точки которого попадают в вающее множество;

Репеллером назвается

плотную плотную притягиотталки-

Областью притяжения множества A называется
множество
t0

t (U ), где t (x) U для t 0 и

t (x) A при t для всех x U ; множество t (U ), где t (x) U для t 0 и
t0

t (x) A при множество t (x) A при множество t (x) A при

t U t U t

для всех x , такое что t (x) - для всех x , такое что t (x) для всех x

U; U для t 0 и U; p для t 0 и U.

Пусть F C r (Rn ), r, k Z+ , k r и > 0. G называется возмущением класса C k и величины > 0, если существует такое компактное множество K Rn , что F = G на множестве Rn - K и для всех таких (i1 , ..., in ), для которых i1 + ... + in = i k выполнено i (F - G) < ; xi1 ... xin n 1 i (F - G) ; xi1 ... xin n 1 i (F - G) 0 при 0 < 1; xi1 ... xin n 1 i (F - G) при 0 < 1. xi1 ... xin n 1 Два отображения F, G класса C r называются C k эквивалентными или C k - сопряженными (k r), если существует такой C k - диффеоморфизм h, что h F = G h; они являются топологически эквивалентными; существует такой C k диффеоморфизм h, что h F G h; существует такой C k диффеоморфизм h, что h F = G h; Два векторных поля f , g класса C r называются C k - эквивалентными (k r), если существует C k диффеоморфизм h, переводящий орбиты f (x) поля f в орбиты g (x) r r поля g и сохраняющий их ориентации, но не обязательно сохраняющий параметризацию по времени; переводящий орбиты f (x) поля f в орбиты g (x) r r поля g и сохраняющий их ориентации и параметризацию по времени; переводящий орбиты f (x) поля f и орбиты g (x) r r поля g в некоторое ограниченное множество; переводящий орбиты f (x) поля f в орбиты g (x) r r поля g . Отображение F C r (Rn ) называется структурно

Замкнутое инвариантное множество A Rn называется Отталкивающим множеством, если существует некоторая окрестность U этого множества такая, что t (x) U для t 0 и t (x) A при t - для всех x U ; t (x) U для t 0 и t (x) A при t - для всех x U ; t (x) U для t 0 и t (x) A при t для всех x U ; t (x) p для t 0 и t (x) A при t для всех x U .



t

t

t

t

замкнутое связное множество (D) D для всех t > 0; замкнутое связное множество (D) D для всех t < 0; замкнутое связное множество (D) D = для всех t > 0; замкнутое связное множество (D) D = для всех t > 0.

Областью захвата называется
DR DR DR DR

n

такое, что такое, что такое, что такое, что

n

n

n


Нелинейная динамика
устойчивым, если
существует такое > класса C 1 и величины F; существует такое > класса C k и величины F; не существует такого F класса C k и величины но F ; существует такое класса C 1 и величины F;

В.С. Асланов, А.С. Ледков

5

0, что любое возмущение F топологически эквивалентно 0, что любое возмущение F топологически эквивалентно > 0, что любое возмущение топологически эквивалент1, что любое возмущение F топологически эквивалентно

неподвижных точек и периодических орбит; число неподвижных точек и периодических орбит четно и все они гиперболичны; все устойчивые и неустойчивые многообразия пересекаются трансверсально;неблуждающее множество состоит только из неподвижных точек и периодических орбит. Качественные изменения в структуре решений, вызванные изменениями коэффициентов, входящих в уравнение системы, называются бифуркациями; топологической неустойчивостью; аттракторами; скачками.

Траектории, соединяющие различные неподвижные точки называются гетероклинными орбитами; гомоклинными орбитами; репеллерами; аттракторами. Траектории, соединяющие неподвижную точку саму с собой называются гомоклинными орбитами; гетероклинными орбитами; репеллерами; аттракторами.

наименьшая размерность пространства параметров, которое содержит данную бифуркацию в устойчивой форме; некоторое семейство, содержащее данную бифуркацию в устойчивой форме; множество бифуркационных параметров системы; число неподвижных точек системы.

Коразмерностью бифуркации является

замкнутые пути, образованные гетероклинными орбитами; замкнутые пути, образованные гомоклинными орбитами; совокупность гомоклинных орбит; замкнутые траектории.

Гомоклинными циклами называются

некоторое семейство, содержащее данную бифуркацию в устойчивой форме; наименьшая размерность пространства параметров, которое содержит данную бифуркацию в устойчивой форме; множество бифуркационных параметров системы; число неподвижных точек системы.

Деформацией называется

Уравнение Дуффинга имеет вид
x Е x Е x Е x Е + + + + x - x + x3 = p(t); x - x + x2 = p(t); (x)x + x = p(t); x2 + x = p(t)

Индексом замкнутой кривой C , положений равновесия, называется такое, что при обходе точки p = (x, C против часовой стрелки вектор поворачивается на угол 2 k ; k; k; k / 2.

не содержащей целое число k y ) C кривой (f (x, y ), g (x, y ))

Уравнение Ван дер Поля имеет вид
x Е x Е x Е x Е + + + + (x)x + x = p(t); x - x + x2 = p(t); x - x + x3 = p(t); x2 + x = p(t)

Система Морса-Смейла определяется следующими свойствами число неподвижных точек и периодических орбит конечно и все они гиперболичны; все устойчивые и неустойчивые многообразия пересекаются трансверсально;неблуждающее множество состоит только из неподвижных точек и периодических орбит; число неподвижных точек и периодических орбит бесконечно и все они гиперболичны; все устойчивые и неустойчивые многообразия пересекаются трансверсально;неблуждающее множество состоит только из неподвижных точек и периодических орбит; число неподвижных точек и периодических орбит конечно и все они гиперболичны; устойчивые и неустойчивые многообразия не пересекаются;неблуждающее множество состоит только из

Уравнение Лоренца имеет вид

x = (y - x), y = x - y - xz , , , > 0; z = - z + xy ; x + x - x + x2 = p(t); Е x + x - x + x3 = p(t); Е x + x2 + x = p(t) Е

Теоремы
Теорема о локальном существовании и единственности решений утверждает, что для некоторого открытого подмножествоа евклидова пространства


Нелинейная динамика

В.С. Асланов, А.С. Ледков

6

U Rn , непрервыно дифференцируемого отображения f : M T M и x0 U . существуют некоторая константа c > 0 и единственное решение (x0 , ћ) : (-c, c) U , удовлетворяющее дифференциальному уравнению x = f (x) с начальным условием x(0) = x0 . существуют > 0 и единственное решение (x0 , ћ) U , такое что x = f (x) для всех |x - x0 | < . существуют > 0 и единственное решение (x0 , ћ) : U Rn , такое что x = f (x) для всех |x - x0 | < . всегда найдется (x0 , ћ) : U Rn , такое что x = f (x) для x(0) = x0 .

s u неустойчивое многообразия Wloc , Wloc , имеющие те же размерности ns , nu , что и собственные пространства E s , E u линеаризованной системы = Df (x) , и ? касающиеся E s , E u в точке x. ? ортагональные E s , E u в точке x. ? касающиеся E s , E u во всех их точках. пересекающих E s , E u по линии, проходящей через точку x. ?

Теорема. Пусть x неподвижная точка уравнения ? x = f (x), V : W Rn дифференцируемая функция, определенная в некоторой окрестности W U точки x. Неподвижная точка устойчива, если: ? (i) V (x) = 0 и V (x) > 0 для x = x; (ii) V (x) 0 в ? ? проколотой окрестности W - {x} ? (i) V (x) = x0 и V (x) > 0 для x = x; (ii) ? ? V (x) V (x0 ) в проколотой окрестности W - {x} ? (i) V (x) = 0 и V (x) > 0 для x = x; (ii) V (x) 0 ? ? (i) V (x) = 0 и V (x) > 0 для x = x; (ii) V (x) 0 в ? ? проколотой окрестности W - {x} ?

Теорема Хармана-Гробмана. Пусть G : Rn Rn - C -1 -диффеоморфизм с гиперболической неподвижной точкой x. ? Тогда существует геоморфизм h, определенный в некоторой окрестности U точки x, такой что ? h(G( )) = DG(x)h( ) для всех U ; ? Тогда существует геоморфизм h, определенный на всей U , такой что h(G( )) = DG(x)h( ) для всех ? U; Тогда существует геоморфизм h, определенный в некоторой проколотой окрестности U точки x, такой ? что h(G( )) = DG(x)h( ) для всех U ; ? Тогда существует геоморфизм h, определенный в некоторой окрестности U точки x, такой что ? h(G( )) = G(h( )) для всех U .

x = f (x), V : W Rn дифференцируемая функция, определенная в некоторой окрестности W U точки x. Неподвижная точка асимптотически устойчива, ? если: (i) V (x) = 0 и V (x) > 0 для x = x; (ii) V (x) 0 в ? ? W - {x} ? (i) V (x) = x0 и V (x) > 0 для x = x; (ii) ? ? V (x) V (x0 ) в проколотой окрестности W - {x} ? (i) V (x) = 0 и V (x) > 0 для x = x; (ii) V (x) 0 ? ? (i) V (x) = 0 и V (x) > 0 для x = x; (ii) V (x) 0 в ? ? проколотой окрестности W - {x} ?

Теорема об устойчивом многообразии для Теорема. Пусть x неподвижная точка уравнения неподвижной точки. Пусть G : Rn Rn - C -1 ?

Теорема Хартман-Гробмана. Cуществует гомеоморфизм h, определенный в некоторой окрестности U точки x в Rn , локально переводящий орбиты нелиней? ного потока t уравнения
x = f (x), x Rn , x(0) = x0

в орбиты линейного потока etD

f (x) ?

уравнения

диффеоморфизм с гиперболической неподвижной точкой x. ? Тогда существуют локальные устойчивое и s u неустойчивое многообразия Wloc (x), Wloc (x), каса? ? ющиеся в точке x собственных пространств E s , E u ? отображения DG(x) и имеющие соответствующие ? размерности. Тогда существуют локальные устойчивое и s u неустойчивое многообразия Wloc (x), Wloc (x), орто? ? гональные в точке x собственных пространств E s , ? E u отображения DG(x) и имеющие соответствующие ? размерности. Тогда существуют глобальные устойчивое и неустойчивое многообразия W s (x), W u (x), касаю? ? щиеся в точке x собственных пространств E s , E u ? отображения DG(x) и имеющие соответствующие ? размерности. Тогда не существует локальных устойчивых и неустойчивых многообразий, касающихся в точке x ? собственных пространств E s , E u отображения DG(x). ?

= Df (x) , Rn , ?

где Df = [ fi / xj ] матрица Якоби, если Df (x) не имеет нулевых или чисто мнимых ? собственных значений; вещественные части собственных значений Df (x) ? отрицательны; вещественные части собственных значений Df (x) ? положительны; собственные значения Df (x) являются веществен? ными числами.

Теорема Пуанкаре-Бендиксона. Всякое непустое компактное - или -предельное множество плоского потока, не содержащее неподвижных точек, является замкнутой орбитой; аттрактором; репеллером; областью притяжения. Критерий Бендиксона. Если в некоторой одноf g связной области D R2 выражение + не равно x y нулю тождественно и не изменяет знака, то уравнение
x = f (x, y ), y = g (x, y ),

x = f (x) имеет гиперболическую неподвижную точку x. Тогда существуют локальные устойчивое и ?

Теорема об устойчивом многообразии для неподвижной точки. Допустим, что уравнение


Нелинейная динамика

В.С. Асланов, А.С. Ледков

7

не имеет замкнутых орбит, целиком лежащих в D; имеет замкнутые орбиты, целиком лежащих в D; не имеет неподвижных точек в D; имеет неподвижные точки в D.

Теорема. Градиентные векторные поля являются структурно устойчивыми, если все их неподвижные точки гиперболичны и все пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий трансверсальны; все их неподвижные точки гиперболичны; все пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий трансверсальны; все их неподвижные точки гиперболичны, а устойчивые и неустойчивые многообразия совпадают. Теорема. Внутри любой замкнутой орбиты содержится хотя бы одна неподвижная точка. Если все такие точки гиперболичны, то число их необходимо нечетно (2n + 1), включая n седел и n + 1 источников и стоков; число их необходимо четно (2n), включая n седел и n источников и стоков; число их необходимо нечетно (2n + 1), включая n + 1 седел и n источников и стоков; число их необходимо нечетно (4n + 1), включая 2n + 1 седел и n источников и n стоков. Теорема Пейусото. Векторное поле класса C r на компактном двумерном многообразии M 2 структурно устойчиво тогда и только тогда, когда (1) число неподвижных точек и замкнутых орбит конечно и все они гиперболичны; (2) не существует орбит, соединяющих седловые точки; (3) неблуждающее множество состоит лишь из неподвижных точек и периодических орбит. (1) число неподвижных точек и замкнутых орбит конечно; (2) в системе присутствуют гетероклинные орбиты; (3) неблуждающее множество состоит лишь из неподвижных точек и периодических орбит. (1) число неподвижных точек четно; (2) в системе присутствуют гетероклинные орбиты; (3) неблуждающее множество состоит лишь из неподвижных точек и периодических орбит. (1) число неподвижных точек и замкнутых орбит конечно и все они гиперболичны; (2) не существует орбит, соединяющих седловые точки Теорема о центральном многообразии для потоков. Пусть f векторное поле в Rn класса C r ,

гообразия W u , W s и W c инвариантны относительно потока f . Устойчивое и неустойчивое многообразия единственны, а центральное многообразие может быть неединственным. существуют устойчивое и неустойчивое многообразия W u и W s класса C 0 , касающиеся E u и E s в начале координат, а также центральное многообразие W c класса C r-1 , касающееся E c в начале координат. Многообразия W u , W s и W c инвариантны относительно потока f . Устойчивое, неустойчивое и центральное многообразия единственны. существуют устойчивое и неустойчивое и центральное многообразия W u , W s , W c класса C r , касающиеся E u , E s и E c в начале координат. Многообразия W u , W s и W c инвариантны относительно потока f . Устойчивое, неустойчивое и центральное многообразия не единственны. существуют устойчивое и неустойчивое многообразия W u и W s класса C r , касающиеся E u и E s в начале координат, а также центральное многообразие W c класса C 0 , касающееся E c в начале координат.

Теорема. Если точка x = 0 в системе x = B x + f (x, h(x)) локально асимптотически устойчива, то и начало координат в системе
x = B x + f (x, y ) y = C y + g (x, y ) (x, y ) Rn Ч Rm ,

также локально асимптотически устойчива; локально устойчива; глобально устойчива; неустойчива.

для при h h h h

Теорема. Если можно найти такую функцию (x),
которой (0) = D(0) = 0 и N ((x)) = O(|x|p ) |x| 0 для некоторого p > 1, то (x) = (x) + O(|x|p ) при |x| 0; (x) = (p) + O(|x|p ) при |x| 0; (x) = N ((x)) + O(|x|p ) при |x| 0; (x) = D(x) + O(|x|p ) при |x| .

исчезающее в начале координат (f (0) = 0), положим A = Dx fч (0). Разобьем спектр A на три части: s , c , u , где < 0, если s , = 0, если c , Re > 0, если u . Обозначим (обобщенные) собственные пространства для s , c , u как E s , E c , E u соответственно. Тогда существуют устойчивое и неустойчивое многообразия W u и W s класса C r , касающиеся E u и E s в начале координат, а также центральное многообразие W c класса C r-1 , касающееся E c в начале координат. Мно-

Теорема о нормальной форме. Пусть x = f (x) - система дифференциальных уравнений класса C r , f (0) = 0, Df (0) = L. Возьмем дополнение Gk к adL(Hk ) в Hk так, что Hk = adL(Hk ) + Gk . Тогда существует аналитическая замена координат в окрестности начала, преобразующая данную систему к виду y = g (y ) = g (1) (y ) + g (2) (y ) + ... + g (r) (y ) + Rr , где L = g (1) (y ) и g (k) Gk для 2 k r, а Rr = o(|y |r ). y = g (y ) = f (1) (y ) + f (2) (y ) + ... + f (r) (y ), где (k) f Gk для 2 k r. y = g (y ) = g (1) (y ) + g (2) (y ) + ... + g (r) (y ) + Rr , где L = g (1) (y ) и g (k) Gk для 2 k r y = g (y ) = g (2) (y ) + g (3) (y ) + ... + g (2r) (y ) + R2r+1 , где L = g (1) (y ) и g (k) Gk для 2 k r, а Ri = o(|y |i ) Теорема. Пусть x = fч (x) система дифференци альных уравнений в Rn , зависящая от единственного параметра ч. При ч = ч0 существует положение равновесия p, для которого удовлетворяются гипотезы (SN1)-(SN3). Тогда существует гладкая кривая


Нелинейная динамика

В.С. Асланов, А.С. Ледков

8

равновесий в Rn Ч Rn , проходящая через точку (p, ч0 ), касающаяся гиперплоскости Rn Ч {ч0 }. В зависимости от знаков выражений (SN2) и (SN3) вблизи этой точки не существует положений равновесия, если ч < ч0 (ч > ч0 ) и два положения равновесия для каждого из значений ч > ч0 (ч < ч0 ). Эти два положения равновесия системы x = fч (x) вблизи точки (p, ч0 ) имеют гиперболический тип и имеют устойчивые многообразия размерностей k и k + 1 соответственно. Множество уравнений x = fч (x), удовлетворяющих условиям (SN1)-(SN3), открыто и плотно в пространстве однопараметрических семейств векторных полей класса C , имеющих в (p, ч0 ) положение равновесия с нулевым собственным значением. Выберите верный набор гипотез: (SN1) Dx fч0 (p0 ) имеет простое нулевое собственное значение с правым собственным вектором v и левым собственным вектором w, а также k собственных значений с отрицательными вещественными частями и (n - k - 1) собственное значение с положительными вещественными частями (с уче fч том кратности). (SN2) w ч (p, ч0 ) = 0. (SN3) x w (D2 fч0 (p)(v , v )) = 0. (SN1) Dx fч0 (p0 ) имеет пару простых чисто мнимых собственных значений и не имеет других собственных значений с нулевой веществен fч ной частью. (SN2) w ч (p, ч0 ) = 0. (SN3) x w (D2 fч0 (p)(v , v )) = 0. (SN1) Dx fч0 (p0 ) имеет пару простых чисто мнимых собственных значений и не имеет других собственных значений с нулевой вещественной чаd стью. (SN2) (Re(ч))|ч=ч0 = d = 0. (SN3) dч x w (D2 fч0 (p)(v , v )) = 0. (SN1) Dx fч0 (p0 ) имеет простое нулевое собственное значение с правым собственным вектором v и левым собственным вектором w, а также k собственных значений с отрицательными вещественными частями и (n - k - 1) собственное значение с положительными вещественными частями (с уче fч том кратности). (SN2) w ч (p, ч0 ) = 0. (SN3) d (Re(ч))|ч=ч0 = d = 0,. dч

устойчивыми предельными циклами, а в случае a > 0 периодические решения являются репеллерами. собственных значений и не имеет других собственных значений с нулевой вещественной частью. (H2) d (Re(ч))|ч=ч0 = d = 0. dч (H1) Dx fч0 (x0 ) имеет пару простых чисто мнимых собственных значений и не имеет других собственных значений с нулевой вещественной частью. (H2) x w (D2 fч0 (x)(v , v )) = 0. (H1) Dx fч0 (x0 ) иимеет простое нулевое собственное значение с правым собственным вектором v и левым собственным вектором w, а также k собственных значений с отрицательными вещественными частями и (n - k - 1) собственное значение с положительными вещественными частями (с учетом d кратности). (H2) dч (Re(ч))|ч=ч0 = d = 0. (H1) Dx fч0 (x0 ) иимеет простое нулевое собственное значение с правым собственным вектором v и левым собственным вектором w, а также k собственных значений с отрицательными вещественными частями и (n - k - 1) собственное значение с положительными вещественными частями (с учетом d кратности). (H2) dч (Re(ч))|ч=ч0 = d = 0.

Выберите верный набор гипотез (H1) Dx fч0 (x0 ) имеет пару простых чисто мнимых

верный набор гипотез 2 f 2f + 2 fч = (F1) ч x2 x
(F2) (F1) (F2) (F1) (F2) (F1) (F2) a a a=
1 2
2

Теорема. Пусть f ч : R R однопараметрическое семейство отображений, причем fч0 имеет неподвижную точку x0 с собственным значением ?1. Допустим, что в точке (x0 , ч0 ) выполнены уcловия (F1), (F2), тогда через точку (x0 , ч0 ) проходит гладкая кривая, состоящая из неподвижных точек отображения fч , устойчивость которых меняется в этой точке. Кроме того, существует гладкая кривая , проходящая через (x0 , ч0 ), такая, что - {(x0 , ч0 )} представляет собой объединение гиперболических орбит периода 2. Кривая имеет квадратичное касание с прямой R Ч {ч0 } в точке (x0 , ч0 ). Выберите
f ч
2

f x2

-

f x

-1

2f x ч

= 0;

2f x2

2

+
f x ч 2
2

1 3

3f x3

= 0.
2

f f ч x2

+
2f x2

=
1 3

f f ч x2 3f x3

-

f x

-1

2f x ч

= 0;

ч R имеет положение равновесия (x0 , ч0 ) со свойством (H1), тогда существует гладкая кривая равновесий (x(ч), ч), где x(ч0 ) = x0 . Собственные значения ? (ч), (ч) матрицы Dx fч0 (x(ч)) являющиеся мнимыми при ч = ч0 , зависят от ч гладким образом. Если, кроме того, выполняется (H2) то существует единственное трехмерное центральное многообразие, проходящее через точку (x0 , ч0 ) Rn ЧR , а гладкая система переменных (сохраняющая плоскости ч = const), в которой разложение Тейлора до третьей степени на центральном многообразии дается формулой x = (dч + a(x2 + y 2 ))x - ( + cч + b(x2 + y 2 ))y , y = ( + cч + b(x2 + y 2 ))x + (dч + a(x2 + y 2 ))y ,

Теорема. Допустим, что система x = fч (x), x Rn ,

a=

1 2

+

= 0. -
f x

2 f 2f + 2 fч ч x2 x 3 = 1 f + 1 2 x 3

=
3f x3

f 2f ч x2

-1

2f x ч

= 0;

= 0. - .
f x

f f + fч ч x2 x 3 = 1 f + 1 2 x 3

2

2

=

f 2f ч x2 3f =0 x3

-1

2f x ч

= 0;

Если a = 0, то существует поверхность периодических решений на центральном многообразии, имеющая квадратичное касание с собственным пространством ? для значений (ч0 ), (ч0 ) и совпадающая во втором порядке с параболоидом ч = -(a/d)(x2 + y 2 ). В случае a < 0 эти периодические решения являются

R2 некоторое однопараметрическое семейство отображений, имеющее гладкое семейство неподвижных точек x(ч), в которых собственные значения (ч), ? (ч) комплексно сопряжены. Предположим, что выполняются (SH1),(SH2), Тогда существует такая гладкая замена координат h, что выражение для hfч h-1 в полярных координатах имеет вид hfч h-1 (r, ) = (r(1 + d(ч - ч0 ) + ar2 ), + c + br2 )+ +члены высших порядков. Пусть, кроме того, выполняется (SH3), тогда существует двумерная поверхность (не обязательно бесконечно дифференцируемая) в R2 Ч R, имеющая
2

Теорема. Пусть fm u : R


Нелинейная динамика

В.С. Асланов, А.С. Ледков

9

квадратичное касание с плоскостью R2 инвариантная относительно f . Если состоит более чем из одной точки, то это является простой замкнутой кривой.

верный набор гипотез (SH1)|(ч0 )| = 1, но j ( d (SH2) dч (|(ч0 )|) = d = 0; (SH3)a = 0. (SH1)|(ч0 )| = 0, но j ( d (SH2) dч (|(ч0 )|) = d = 0; (SH3)a = 0. (SH1)|(ч0 )| = 1, но j ( d (SH2) dч (|(ч0 )|) = d = 0; (SH3)a = 0. (SH1)|(ч0 )| = 1, но j ( d (SH2) dч (|(ч0 )|) = d = 0; (SH3)a = 0.

ч0 ) = 1

Определить тип неподвижной точки нелинейной системы x = f (x), если для собственных чисел матрицы Якоби выполняются условия Re(i ) = 0, I m(i ) = 0 Выберите центр; устойчивый узел; для j = 1, 2, 3, 4; фокус; седло. для j = 1, 2, 3, 4;

Ч { ч0 } и (R2 Ч {ч}) множество

ч0 ) = 1

ч0 ) = 1

для j = 1, 2, 3, 4;

Утверждения

ч0 ) = 1

Определить тип неподвижной точки стемы x = f (x), если для собственных Якоби выполняются условия 1 < 0, 2 устойчивый узел; неустойчивый узел; седло; устойчивый фокус.

Индекс источника, стока или центра простых состояний равновесия равен для j = 1, 2, 3, 4; 1; -1; 0; 2. нелинейной сичисел матрицы Индекс гиперболической седловой точки равен < 0, I m(i ) = 0 -1; 1; 0; 2. Индекс замкнутой орбиты равен 1; -1; 0; сумме индексов неподвижных внутри нее.

Определить тип неподвижной точки нелинейной системы x = f (x), если для собственных чисел матрицы Якоби выполняются условия 1 > 0, 2 > 0, I m(i ) = 0 неустойчивый узел; устойчивый узел; седло; устойчивый фокус. Определить тип неподвижной точки нелинейной системы x = f (x), если для собственных чисел матрицы Якоби выполняются условия 1 > 0, 2 < 0, I m(i ) = 0 седло; устойчивый узел; центр; устойчивый фокус. Определить тип неподвижной точки нелинейной системы x = f (x), если для собственных чисел матрицы Якоби выполняются условия Re(i ) < 0, I m(i ) = 0 устойчивый фокус; устойчивый узел; центр; седло. Определить тип неподвижной точки нелинейной системы x = f (x), если для собственных чисел матрицы Якоби выполняются условия Re(i ) > 0, I m(i ) = 0 неустойчивый фокус; устойчивый узел; центр; седло.

точек,лежащих

Индекс замкнутой кривой, внутри которой нет особых точек, равен 0; -1; 1; 2. Индекс замкнутой кривой равен сумме индексов неподвижных внутри нее; -1; 1; 0.

точек,лежащих

Уравнение x = ч - x2 описывает бифуркацию типа бифуркацию типа седло-узел; транскритическую бифуркацию; бифуркацию типа вилка; бифуркацию Хопфа. Уравнение x = чx - x2 описывает бифуркацию типа транскритическую бифуркацию; бифуркацию типа седло-узел; бифуркацию типа вилка; бифуркацию Хопфа.


Нелинейная динамика

В.С. Асланов, А.С. Ледков

10

Уравнение x = чx - x3 описывает бифуркацию типа бифуркацию типа вилка; бифуркацию типа седло-узел; транскритическую бифуркацию; бифуркацию Хопфа. Уравнение
x = -y + x(ч - (x2 + y 2 )) x = x + y (ч - (x2 + y 2 ))

описывает бифуркацию типа бифуркацию Хопфа; бифуркацию типа седло-узел; транскритическую бифуркацию; бифуркацию типа вилка. Определите тип неподвижной точки, показанной на рисунке неустойчивый фокус, седло, устойчивый фокус, неустойчивый центр.

Определите тип неподвижной точки, показанной на рисунке устойчивый узел, седло, устойчивый фокус, центр. Определите тип неподвижной точки, показанной на рисунке

центр, седло, узел, фокус.

неустойчивый узел, седло, неустойчивый фокус, центр. Определите тип неподвижной точки, показанной на рисунке седло, узел, фокус, центр. Определите тип неподвижной точки, показанной на рисунке

Задачи
Для уравнения x + x - x + x3 = 0 определите матрицу Е линеаризованной системы 0 1 Df = 1 - 3x2 - 0 1 - 3x2 Df = 1 - x - x3 0 Df = 0 - 1 - Df = x - x3 1


Нелинейная динамика

В.С. Асланов, А.С. Ледков

11

Для уравнения x + sin x = 0 определите матрицу Е линеаризованной системы 0 1 Df = - cos x 0 0 - cos x Df = 1 0 sin x 0 Df = 0 1 sin x 0 Df = 0 0

Для уравнения x + x2 - 4 = 0 определите координаЕ ты неподвижных точек (x, y ), y = x ?? (+2, 0) (0, +2) (2, 0) (0, 0)

Для уравнения x + x2 + sin x = 0 определите Е матрицу линеаризованной системы 0 1 Df = - cos x -2x 0 - cos x Df = 1 -2x - sin x 0 Df = 0 -x2 sin x 0 Df = 0 x2

Для уравнения x + x2 - x = 0 определите коордиЕ наты неподвижных точек (x, y ), y = x ?? (0, 0) (1, 0) (+1, 0) (0, +1)

Для уравнения x - (x - 1)x2 + 1 = 0 определите Е координаты неподвижных точек (x, y ), y = x ?? (+1, 0) (1, 0), (0, 1) (+1, 1) (0, +1)

Для уравнения x + (x2 - 1)x + x = 0 определите Е матрицу линеаризованной системы 0 1 Df = -2xx - 1 -(x2 - 1) 0 -2xx - 1 Df = 1 -(x2 - 1) 1 0 Df = -2xx - 1 -(x2 - 1) -1 0 Df = 0 -(x2 - 1)

Дана нелинейная сстема x = f (x, t), где f периодич на по времени с периодом T. Известно решение систе1 мы с базой в точке x0 : t (x0 , t0 ) = (( - t)-1 , t + t0 ). x0 Найти вызажение, задающее отображение Пуанкаре 1 P (x0 ) = ( - T )-1 x0 1 P (x0 , t0 ) = (( - T )-1 , T ), x0 1 P (x0 , t) = (( - t)-1 x0 1 P (x0 ) = ( - T )-2 x0 Дана нелинейная сстема x = f (x, t), где f периодич на по времени с периодом T. Известно решение системы с базой в точке x0 : t (x0 , t0 ) = (x0 sin( t), t + t0 ). Найти вызажение, задающее отображение Пуанкаре P (x0 ) = x0 sin( T ) P (x0 , t0 ) = x0 sin( t0 ), P (x0 ) = x0 cos( T ) x0 P (x0 ) = - cos( T ) Дана нелинейная сстема x = f (x, t), где f перио дична по времени с периодом T. Известно решение системы с базой в точке x0 : t (x0 , t0 ) = (x0 et , t + t0 ). Найти вызажение, задающее отображение Пуанкаре P (x0 ) = x0 eT P (x0 , t0 ) = x0 et0 , P (x0 ) = x0 T eT P (x0 ) = x0 eT

Для уравнения x + x2 - 1 = 0 определите матрицу Е линеаризованной системы 0 1 Df = -2x 0 0 - 2x Df = 1 0 1 0 Df = 0 - 2x 0 0 Df = 0 x2 - 1 Для уравнения x + x2 - 1 = 0 определите коорЕ динаты неподвижных точек (x, y ), y = x ?? (+1, 0) (0, +1) (0, 0) (+1, 0), (0, 0)

Для уравнения x + x2 - x = 0 определите коордиЕ наты неподвижных точек (x, y ), y = x ?? (0, 0) (0, +1) (1, 0) (+1, 0)

Дана нелинейная сстема x = f (x, t), где f периодична по времени с периодом T. Известно решение системы с базой в точке x0 : t (x0 , t0 ) = (x0 cos t + x0 sin t, t + t0 ). Найти вызажение, задающее отображение Пуанкаре P (x0 ) = x0 cos T + x0 sin T P (x0 , t0 ) = x0 cos t0 + x0 sin t0 , P (x0 ) = -x0 sin T + x0 2 cos T P (x0 ) = x0 + x0 2 T


Нелинейная динамика

В.С. Асланов, А.С. Ледков

12

Дана нелинейная сстема x = f (x, t), где f перио дична по времени с периодом T. Известно решение системы с базой в точке x0 : t (x0 , t0 ) = (x0 t2 , t + t0 ). Найти вызажение, задающее отображение Пуанкаре P (x0 ) = x0 T 2 P (x0 , t0 ) = x0 t2 , 0 P (x0 ) = 2x0 T T3 P (x0 ) = x0 3