Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.sai.msu.ru/neb/rw/emel.PDF Дата изменения: Mon Feb 21 20:53:32 2005 Дата индексирования: Mon Oct 1 20:08:04 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: внешние планеты

О ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКОВ САТУРНА, РАЗРАБОТАННОЙ Г.Н.ДУБОШИНЫМ
Емельянов Н.В. Труды ГАИШ. Т. 15. 1945. С. 158-311 (154 страницы). Труды ГАИШ. Т. 28. 1960. С. 121-170 (50 страниц).

ОБЪЕКТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ Спутники Сатурна
Элементы орбит Спутник Мимас Энцелад Тефия Диона Рея Титан Гиперион Япет Феба Б. полуось км 185540 238200 294990 377650 527370 1221800 1481100 3561850 12893240 Эксцентриситет 0.0190 0.0049 0.0000 0.0022 0.0003 0.0291 0.1035 0.0283 0.1756 Наклон к экв., град 1.56 0.03 1.10 0.01 0.35 0.30 0.64 18.50 173.73* 60268 км. Масса в долях м. планеты

0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.

73 25 11 19 40 21 20 26

Ч 10- Ч 10- Ч 10- Ч 10- Ч 10- Ч 10- Ч 10- Ч 10- 0.0

7 6 5 5 5 3 6 5

Экваториальный радиус Сатурна

СИСТЕМА КООРДИНАТ
Сатурноцентрическая, невращающаяся, цилиндрическая:

, v , z x = cos v , y = sin v , z

Плоскость x, y совпадает с плоскостью экватора Сатурна. Ось x в восходящий узел экватора Сатурна на геоэкваторе.


МОДЕЛЬ ДЕЙСТВУЮЩИХ СИЛ
1. Притяжение Сатурна. Сатурн - однородный эллипсоид вращения. Заданы экваториальный r0 , полярный c0 радиусы и масса Сатурна. Малый параметр в возмущениях от несферичности Сатурна:

0 =

2 2 r0 - c2 r0 0 , 2 r0 a2

где a - большая полуось орбиты спутника. Для Мимаса (максимальное) 0 = 0.002 2. Притяжение кольца Сатурна. Кольцо однородное нулевой толщины. Заданы внутренний, внешний радиусы и масса кольца. Малый параметр в возмущениях от притяжения кольца: масса кольца = 0.37 Ч 10
-4

3. Взаимное притяжение спутников. Малые параметры массы спутников в долях массы Сатурна. Масса Титана: 0.0002 4. Притяжение Солнца. Малый параметр:

ms a3 s = , 3 m0 Rs

где ms - масса Солнца, m0 - масса Сатурна, a - большая полуось орбиты спутника, Rs - большая полуось орбиты Сатурна. Для Фебы (максимальное) s = 0.0025 Для Титана s = 2 Ч 10-
6


Поиск периодических решений.
сил: 1. Притяжение однородного эллипсоида вращения - Сатурна. 2. Притяжение однородного плоского кругового кольца Сатурна. 3. Притяжение однородных одномерных круговых колец, лежащих в плоскости экватора Сатурна (спутники 1 - 7). 4. Притяжение спутников 8 и 9, двигающихся по заданным кеплеровским сатурноцентрической орбитам. Возмущающая функция осреднена по долготе возмущающего спутника и по доготе возмущаемого спутника. 5. Притяжение Солнца, двигающегося по заданной кеплеровской сатурноцентрической орбите. Возмущающая функция осреднена по долготе Солнца и по доготе возмущаемого спутника. Все это для того, чтобы: силовая функция зависела только от и z и являлась четной функцией от z . Для практических вычислений предлагается использовать разложение силовой функции по степеням z . Даются формулы в общем виде для членов любой степени. Замена переменных:

Публикации 1945 года:

Первое приближение: Ограничения на модель действующих

= a + x, z ,

v,

где a - заданная постоянная. Рассматриваются дифференциальные уравнения для x, z . После их решения функция v находится квадратурой. Уравнения имеют частное решение: x = 0, z = 0. Методом Ляпунова производится поиск периодических решений, близких к решению x = 0, z = 0. При этом не используются разложения по степеням малого параметра, характеризующего возмущающий фактор. Решение находится в виде рядов по степеням отклонений решения от решения x = 0, z = 0. Фактически решение находится в виде рядов по степеням наклонов и эксцентриситетов орбит спутников. Два варианта решения.


Плоские периодические решения z = 0 .

П е р в ы й в а р и а н т.

В начальный момент t0 полагаем: x0 = 0, x0 = (x0 - произвольная постоянная). Решение для x находится в виде рядов по положительным степеням . Коэффициенты рядов - периодические функции времени, представленные в явном виде конечными отрезками тригонометрических рядов по кратным основного периода. Явно выписаны члены до 4-й степени малого параметра. Описан алгоритм для получения членов любого порядка. Период изменения x (а значит и ) в общем случае не совпадает с периодом изменения v . Однако периоды изменения x и v близки. Получаются периплегматические (условно-периодические) движения (стр. 204) Плоская незамкнутая траектория движения, плотно заполняющая плоское кольцо.


Пространственные периодические решения.

В т о р о й в а р и а н т.

В начальный момент t0 полагаем: z0 = 0, z0 = . Решения для x и z находятся в виде рядов по положительным степеням . Коэффициенты рядов - периодические функции времени с одним и тем же периодом для x и z . Они представлены в явном виде конечными отрезками тригонометрических рядов по кратным основного периода. Явно выписаны члены до 4-й степени малого параметра. Описан алгоритм для получения членов любого порядка. Начальное значение для функции x не может быть взято произвольно. Оно зависит от начального значения z и определяется формулой (102) (Стр. 202), причем

x0 2 .
Период изменения x и z (а значит и ) в общем случае не совпадает с периодом изменения v . Получаются периплегматические (условно-периодические) пространственные движения. Незамкнутая траектория движения, плотно заполняющая некоторую поверхность вокруг начала координат. "Удовлетворительность или неудовлетворительность полученного движения выяснится, конечно, путем сравнения построенной теории с наблюдениями".


любых решений, близких к решению x = 0, z = 0

Далее производится поиск

при произвольных начальных условиях. Дается алгоритм построения решения в виде рядов по целым положительным степеням начальных условий

x0 , z0 , x0 , z0 ,
которые считаются величинами первого порядка малости. Члены первого и второго порядков содержат время только под знаком тригонометрических функций. Решение для x и z представлено тригонометрическими рядами с двумя частотами n и m. В статье не показано, какое решение получается для v . Однако очевидно, что частота изменения v не будет являться комбинацией частот n и m. То есть мы будем иметь "трехчастотное"пространственное решение с произвольными начальными условиями. Члены третьего и последующих порядков содержат время вне знаков тригонометрических функций смешанные члены . Члены четвертого порядка в x уже содержат вековой член (Стр. 265). Т. е. имеем вековой член в большой полуоси орбиты с коэффициентом 4-й степени относительно эксцентриситетов и наклонов орбит. Факт наличия вековых и смешанных членов высоких порядков не затрудняет применения теории на ограниченных интервалах времени. В силу доказанной устойчивости решения и сходимости рядов для любого заданного интервала времени можно достичь требуемой точности, если взять достаточное число членов в рядах по степеням начальных условий.


Публикации 1960 года. Модель действующих сил. 1. Притяжение однородного эллипсоида вращения - Сатурна. 2. Притяжение однородного плоского кругового кольца Сатурна. 3. Притяжение других спутников (без упрощений). 4. Притяжение Солнца, двигающегося по заданной кеплеровской сатурноцентрической орбите. Промежуточное движение - учитываются только притяжение Сатурна и кольца. Строятся уравнения для возмущений первого порядка относительно возмущающих масс (других спутников) и Солнца. В правых частях уравнений вместо координат возмущаемых и возмущающих спутников подставляются координаты исходного движения, за которое принимаются движения в плоскости экватора по круговым кеплеровским орбитам (для спутников 1 - 7). В возмущениях движения первых семи спутников пренебрегается притяжением Фебы. В возмущениях движения Япета и Фебы пренебрегается притяжением первых семи спутников. Уравнения получаются линейные неоднородные с постоянными коэффициентами. Они имеют вид

d2 ( ) + m2 = R(t) , 2 dt d2 ( z ) + n2 z = Z (t) . 2 dt Значения m и n близки к значению среднего движения спутника в кеплеровском движении вокруг точечной планеты. Отличие m от n обусловлено наличием сжатия Сатурна и притяжения колец. Во взаимных возмущениях первых семи спутников z = 0. Решение находится в виде бесконечных рядов. Решение содержит один тригонометрический член с частотой m для и v , а также бесконечные тригонометрические ряды по кратным разности долгот возмущаемого и возмущающего спутников. Коэффициенты рядов составляются из комбинаций коэффициентов Лапласа.

Дается общий вид формул для всех коэффициентов.


Фактически малым параметром в рядах является отношение больших полуосей орбит возмущаемого и возмущающего спутников. Численные значения этих отношений на самом деле не малы. Однако коэффициенты выражаются через коэффициенты Лапласа в о бщем виде. Возмущения от Солнца содержат тригонометрические ряды по кратным частотам обращения спутника и Солнца и комбинациям этих частот. Используется разложение в ряд по степеням эксцентриситета орбиты Солнца. При определении возмущений от Солнца в координатах спутников Япет и Феба в исходном движении пренебрегается сжатием планеты и притяжением кольца. Тогда получается n = m. В итоге в возмущениях z возникают смешанные члены типа t sin t. Для первых семи спутников "можно сказать, что влияние сжатия планеты как бы перевешивает влияние Солнца и не позволяет спутнику удаляться от экваториальной плоскости планеты. Для Япета и Фебы, наоборот, влияние сжатия планеты настолько мало, что им можно пренебречь, а тогда в выражении для z сейчас же появляются смешанные вековые члены, приводящие к постепенному уменьшению или увеличению первоначального наклона оскулирующей орбиты." В 50-е годы А.И.Рыбаковым по формулам теории Г.Н.Дубошина были вычислены коэффициенты рядов, представляющие движение спутников. За исходные данные были взяты параметры средних орбит, найденные из наблюдений. Е.П.Аксенов: "И все же эти труды не завершились успехом. Теория плохо представляла наблюдения". Причины две. 1. Нужно уточнять из наблюдений непосредственно параметры применяемой теории. 2. Наличие смешанных членов. Е.П.Аксенов: "Устранить этот недостаток совсем нетрудно, если, например воспользоваться методом, подобным методу Хилла в теории движения Луны.