Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.sai.msu.ru/neb/pcm/pcm03_61.pdf Дата изменения: Wed Sep 12 22:26:53 2007 Дата индексирования: Sun Apr 10 00:10:11 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: внешние планеты

Н.В.Емельянов

ПРАКТИЧЕСКАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА
Оглавление. Глава 3. Построение моделей движения небесных тел. Анали-

тические методы решения уравнений движения.

3.6.1. Вековые возмущения элементов орбиты спутника несферичной планеты. 1. Уравнения для элементов кеплеровской орбиты
Обозначим массу планеты через m, а универсальную гравитационную постоянную через f . Будем использовать следующие традиционные обозначения элементов кеплеровской орбиты спутника: a - большая полуось, e - эксцентриситет, i - наклон, M0 - средняя аномалия в эпоху, - угловое расстояние перицентра от восходящего узла, - долгота восходящего узла. В качестве одной из функций, для которых определяются возмущения, возьмем среднюю аномалию M вместо M0 . Соображения, по которым это обычно делается в подобных задачах, изложены в учебниках по небесной механике, например в (Субботин, 1968). Тогда дифференциальные уравнения Лагранжа для элементов промежуточной орбиты спутника можно записать в виде

da 2 R = , dt na M 1 - e2 R de 1 - e2 R = - , dt ena2 M ena2 di cos i R 1 R = - , dt na2 1 - e2 sin i na2 1 - e2 sin i dM 2 R 1 - e2 R =n- - , dt na a ena2 e d 1 - e2 R cos i R = - , dt ena2 e na2 1 - e2 sin i i
1


d 1 R = , dt na2 1 - e2 sin i i где n - среднее движение, связанное с большой полуосью a соотношением fm n= , a3 а R возмущающая функция. Решение уравнений Лагранжа можно получить методом малого параметра Пуанкаре по способу Пуассона в виде рядов a = a(0) + a(1) + a(2) + ..., e = e(0) + e(1) + e(2) + ..., i = i(0) + i(1) + i(2) + ..., M = M (0) + M (1) + M (2) + ..., = (0) + (1) + (2) + ..., = (0) + (1) + (2) + ...,
где верхний индекс в скобках означает степень малого параметра. Малый параметр определяется возмущающим фактором. При определении вековых возмущений полагаем

M = M0 + n1 (t - t0 ),

= 0 + n2 (t - t0 ), = 0 + n3 (t - t0 ) .

Величины a, e, i, M0 , 0 , 0 считаются произвольными постоянными интегрирования. Если определяются только возмущения первого порядка, то коэффициенты n1 , n2 , n3 найдутся как значения правых частей уравнений Лагранжа относительно элементов M , , , соответственно, после подстановки в них значений постоянных a, e, i. Аналогичный вид будут иметь и вековые возмущения второго порядка. Чтобы различить между собой вековые члены разных порядков, обусловленные различными возмущающими факторами, представим n1 , n2 , n3 в следующем виде:
2 n1 = n[1 + 1 (J2 ) + 1 (J2 ) + 1 (J4 ) + 1 (m )], 2 n2 = n[2 (J2 ) + 2 (J2 ) + 2 (J4 ) + 2 (m )], 2 n3 = n[3 (J2 ) + 3 (J2 ) + 3 (J4 ) + 3 (m )], 2 где j (J2 ) и j (J2 ) (j = 1, 2, 3) члены первого и второго порядков, обусловленные второй зональной гармоникой в разложении силовой функции притяжения планеты, j (J4 ) (j = 1, 2, 3) члены первого порядка,

2


обусловленные четвертой зональной гармоникой, j (m ) (j = 1, 2, 3) члены, обусловленные притяжением внешнего тела (Солнце, другой спутник).

2. Возмущения обусловленные второй зональной гармоникой разложения силовой функции притяжения планеты
2.1. Вековые возмущения от несферичности планеты. Вековые возмущения первого порядка относительно коэффициента J2 при второй зональной гармонике разложения силовой функции притяжения планеты получаются следующим образом. В возмущающей функции берем только вековую часть, подставляем ее в уравнения для элементов промежуточной орбиты. Интегрируем уравнения, считая a, e, i постоянными. Обозначим через r0 средний экваториальный радиус планеты и положим s = sin i. Таким образом получаем

r0 3 1 (J2 ) = J2 4 a 3 2 (J2 ) = J 4
2

2

2 - 3s2 (1 - e2 )3/
2

2

,

(1) (2) (3)

r0 a

4 - 5s2 , (1 - e2 )2
2

3 r0 3 (J2 ) = - J2 2 a

cos i . (1 - e2 )2

В некоторых задачах необходимо сразу вычислять сумму 3 r0 2 4 - 5s2 + 1 - e2 (2 - 3e2 ) - 2 cos i 1 (J2 ) + 2 (J2 ) + 3 (J2 ) = J2 . 4 a (1 - e2 )2 (4) Аналогично получаются выражения для 1 (J4 ), 2 (J4 ), 2 (J4 ) :

1 (J4 ) = -

45 r0 J4 128 a

4

e

2

8 - 40s2 + 35s (1 - e2 )7/2

4

,

r0 15 J4 2 (J4 ) = - 128 a

4

4(16 - 62s2 + 49s4 ) + 9e2 (8 - 28s2 + 21s4 ) , (1 - e2 )4
4

15 r0 3 (J4 ) = J4 32 a

cos i(4 - 7s2 )(2 + 3e2 ) . (1 - e2 )4
3


Вековые возмущения второго порядка находятся более сложными действиями. Воспользуемся результатами, полученными Брауэром (Brower, 1959). В наших обозначениях имеем
2 1 (J2 ) =

3 2 r0 J 128 2 a

4

1 {-15 + 16 (1 - e2 )7/2

1 - e2 + 25(1 - e2 )+ 1 - e2 +25(1-e2 )] cos4 i} ,

+[30-96

1 - e2 -90(1-e2 )] cos2 i+[105+144

2 2 (J2

3 2 r0 )= J 128 2 a

4

1 {-35 + 24 (1 - e2 )4

1 - e2 + 25(1 - e2 )+

+[90 - 192

1 - e2 - 126(1 - e2 )] cos2 i+

+[385 + 360 1 - e2 + 45(1 - e2 )] cos4 i} ,

2 3 (J2 ) =

3 2 r0 J 32 2 a

4

cos i {-5 + 12 (1 - e2 )4

1 - e2 + 9(1 - e2 )-

-[35 + 36

1 - e2 + 5(1 - e2 )] cos2 i} ,

Для орбит с малыми наклонами и эксцентриситетами удобнее пользоваться другим видом этих формул
2 1 (J2 ) =

3 2 r0 J 128 2 a

4

1 [3(40 - 80s2 + 35s4 )+ 2 )7/2 (1 - e

+16(4 - 12s2 + 9s4 ) 1 - e2 + 5(-8 + 8s2 + 5s4 )(1 - e2 )] ,
2 2 (J2 ) =

3 J 128

2 2

r0 a

4

1 [5(88 - 172s2 + 77s4 )+ 2 )4 (1 - e

+24(8 - 22s2 + 15s4 ) 1 - e2 + (-56 + 36s2 + 45s4 )(1 - e2 )] , 3 J 3 (J ) = 32
2 2 2 2

r0 a

4

cos i [5(-8 + 7s2 )+ 2 )4 (1 - e

+12(-2 + 3s2 )

1 - e2 + (4 + 5s2 )(1 - e2 )] ,

4


4. Возмущения от притяжения внешнего спутника
Возмущения от притяжения внешнего спутника будем учитывать при следующих допущениях. В методе теории возмущений возьмем возмущения только первого порядка относительно возмущающего фактора. Определим лишь вековые возмущения, которые присутствуют только в элементах M , , . Траекторию возмущающего спутника будем считать круговой и плоской, лежащей в плоскости экватора планеты. В выражении для возмущающей функции примем следующие обозначения: m , a масса и радиус орбиты возмущающего тела. Используем результаты работы (Емельянов, 1980). При сделанных допущениях выражение для вековой части возмущающей функции будет иметь вид

fm R= a

k=1

a a

2k+1

F2

k,0,k

(i) X2

(0) k ,0

(e) P2k (0),

Здесь F2k,0,k (i) функции наклона, X2k,0 (e) коэффициенты Ганзена, P2k (0) полиномы Лежандра. Общие представления для этих специальных функций можно найти в монографии (Аксенов, 1986). Необходимые здесь подмножества можно вычислять по формулам
k

(0)

F

2k,0,k

(i) =
j =0

(-1)

j

(4k - 2j )! j ! (2k - j )! [(k - j )!]2 2
k

4k-2j

sin

2k - 2j

i,

(0) X2k,0

(e) =
j =0

(2k + 1)! [j !]2 (2k - 2j + 1)! (2k - 1)!! . (2k )!!

e 2

2j

,

P2k (0) = (-1)k

При определении вековых возмущений первого порядка полагаем

M = M0 + n1 (t - t0 ),

= 0 + n2 (t - t0 ),

= 0 + n3 (t - t0 ) .

При этом величины a, e, i, M0 , 0 , 0 считаются произвольными постоянными интегрирования, а коэффициенты n1 , n2 , n3 определятся как значения правых частей уравнений Лагранжа относительно элементов M , , , соответственно.

5


Производные R , a ем формул для R, F2 образом

R e

,

k,0,k

находятся простым дифференцировани(0) (i), X2k,0 (e) по a, e, i соответственно. Таким

R i

R fm a = a a



(2k + 1)
k=1 k=1 k=1 k -1

a a

2k+1

F2

k,0,k

(i) X2
(0)

(0) k ,0

(e) P2k (0),

1 R fm = e e a fm 1 R = sin i i a

a a a a

2k+1

F2

k,0,k

1 dX2k,0 (e) (i) P2k (0), e de
(0) 2k , 0

2k+1

1 dF2k,0,k (i) X sin i di

(e) P2k (0),

1 dF2k,0,k (i) = cos i sin i di
(0)

(-1)j
j =0 k j =1

(4k - 2j )! (2k - 2j ) j ! (2k - j )! [(k - j )!]2 24 e 2

k-2j

sin2

k-2j -2

i,

1 dX2k,0 (e) = e de

(2k + 1)! j [j !]2 (2k - 2j + 1)! 2

2j -2

,

При программировании вычислений по приведенным выше формулам суммирование можно останавливать тогда, когда очередное слагаемое станет по модулю меньше, чем текущее значение суммы, умноженное на заданную относительную погрешность вычислений. Для контроля вычислений можно рассмотреть вариант, когда e = 0, i = 0. В этом случае разложение вековой части возмущающей функции примет вид fm a 2k R= [P2k (0)]2 . a a
k=1

При этом полагают = 0, = 0, а для n1 будем иметь

m n1 = n 1 - 4 m



k
k=1

a a

2k+1

[P2k (0)]

2

,

Теперь проведем оценку погрешности, вносимой допущением того, что орбиты возмущающих спутников являются плоскими круговыми. Для этого воспользуемся формулами для вековых возмущений первого порядка, выведенными в работе (Аксенов, 1977) для случая, когда

6


орбита возмущающего тела является кеплеровой, а в разложении возмущающей функции учитывается только первый член. Итак, имеем

1m n1 = n 1 - 16 m 3m n2 = - n 16 m 3m n3 = n 16 m

a a a a a a

3

(3 sin2 i - 2) (7 + 3e )(3 sin i - 2) (1 - e 2 )3/2
2 2

,

3

(4 - 5 sin2 i + e2 ) (3 sin2 i - 2) , (1 - e 2 )3/2 1 - e2 (2 + 3e2 ) cos i (3 sin2 i - 2) , (1 - e 2 )3/2 1 - e2

3

где через e , i обозначены эксцентриситет и наклон орбиты возмущающего тела. Из этих формул следует, что искомая относительная погрешность 2 равна 3 sin2 i + 3 e . 2 2

5. Постоянное возмущение большой полуоси орбиты спутника
Вековые возмущения элементов промежуточной орбиты спутника являются основными возмущениями при рассмотрении движения на интервалах времени, значительно превышающих период обращения спутника. При этом элементы a, e, i остаются постоянными. Такая модель движения может использоваться для приближенного вычисления эфемерид спутника. Она может быть достаточной в случаях, когда точность наблюдений невысока. Произвольные постоянные модели a, e, i, M0 , 0 , 0 должны быть определены таким образом, чтобы координаты спутника, вычисляемые с учетом только вековых возмущений, были согласованы с наблюдениями. Как было положено выше, большая полуось орбиты a связана с невозмущенным значением среднего движения n соотношением

n=

fm . a3

(5)

На самом деле такая модель вековых возмущения не будет наилучшей при согласовании с наблюдениями. Оказывается, что при заданном значении n с наблюдениями лучше согласуется другое значение большой

7


полуоси. Дело в том, что комбинация короткопериодических возмущений в эксцентриситете e и средней аномалии M дает постоянный член в возмущениях центрального расстояния спутника r. Однако в теории вековых возмущений короткопериодические возмущения отброшены. Лучшая модель вековых возмущений получится, если в качестве большой полуоси вместо a взять значение a, вычисляемое по формуле a = a + r , (6) где r постоянная часть возмущений центрального расстояния. Определение r произведем здесь для случая возмущений, обусловленных второй зональной гармоники разложения силовой функции притяжения планеты. Кроме того, будем предполагать, что эксцентриситет орбиты спутника e настолько мал, что в разложениях по степеням эксцентриситета можно ограничиться членом наинизшего порядка. То есть мы пренебрегаем величиной эксцентриситета по сравнению с единицей. С принятой точностью можно записать

r = (1 - e cos M ) a - a cos M e + ea sin M M .

(7)

Оставим в раложении возмущающей функции только члены, соответствующие второй зональной гармонике разложения силовой функции притяжения планеты. Получим
2 r0 R = fm 3 C a 2 20 p=0

F2

,0,p

(i)
q =-

X

-3,2-2p q

(e) cos[q M + (2 - 2p) ] ,

где C20 (C20 = -J2 ) коэффициент при второй зональной гармонике, а r0 средний экваториальный радиус планеты, принятый при определении C20 . В последней сумме окажутся только четыре короткопериодических слагаемых наинизшего порядка относительно малого эксцентриситета, которые соответствуют следующим комбинациям значений индексов суммирования p = 0, q = 1 , p = 1, q = 1 , p = 1, q = -1, p = 2, q = -1. Оставляя в сумме только эти слагаемые, найдем
2 r0 R = f m 3 C20 Ч a

8


- F200 (i)X1

3,2

- (e) cos(M + 2 ) + F201 (i)X1 ,-2

3,0

(e) cos M + .

-3 -3 F201 (i)X-1 ,0 (e) cos(-M ) + F202 (i)X-1

(e) cos(-M - 2 )

Входящие сюда функции наклона и коэффициенты Ганзена с принятой точностью имеют вид

3 3 1 F200 (i) = F202 (i) = - sin2 i, F201 (i) = (i) sin2 i - , 8 4 2 1 3 -3 - - -3 X1 3,2 (e) = X-1 ,-2 (e) = - e, X1 3,0 (e) = X-1 ,0 (e) = e . 2 2 Подставляя их в предыдущее выражение для возмущающей функции, будем иметь
2 r0 R = f m 3 C20 3e a

3 1 sin2 i - 4 2

cos M +

1 sin2 i cos(M + 2 ) 8

.

Теперь выпишем необходимые здесь уравнения возмущенного движения относительно кеплеровских элементов a, e и функции M :

da 2 R = , dt na M de 1 - e2 R 1 - e2 R = - , dt ena2 M ena2 dM 2 R 1 - e2 R =n- - . dt na a ena2 e После подстановки выведенного выше упрощенного выражения для возмущающей функции уравнения примут вид
2 da r0 6e = -f m 3 C20 dt a na 2 de r0 3 = -f m 3 C20 dt a na

3 1 sin2 i - 4 2 3 1 sin2 i - 4 2

sin M + sin M -

1 sin2 i sin(M + 2 ) , 8 1 sin2 i sin(M + 2 ) , 8

2

2 r0 3 3 1 1 dM = -f m 3 C20 sin2 i - cos M + sin2 i cos(M + 2 ) . dt a ena2 4 2 8 Интегрирование уравнений методом малого параметра дает следующие возмущения первого порядка относительно коэффициента C20 : 2 a = r0 C 20

6e a

3 1 sin2 i - 4 2

cos M +
9

1 sin2 i cos(M + 2 ) , 8


2 e = r0 C

3
20 2 a

1 3 sin2 i - 4 2 3 1 sin2 i - 4 2

cos M -

1 sin2 i cos(M + 2 ) , 8 1 sin2 i sin(M + 2 ) . 8

2 M = -r0 C

20

3 ea2

sin M +

Подставляя эти выражения в формулу (7), найдем основные короткопериодические возмущения центрального расстояния
2 r = r0 C

1
20 2 a

6ea

1 3 sin2 i - 4 2

(1 - e cos M ) cos M +

1 + sin2 i (1 - e cos M ) cos(M + 2 ) - 8
2 -r0 C

1
20 2 a

3a 3a

1 3 sin2 i - 4 2 3 1 sin2 i - 4 2

cos2 M - sin2 M +

1 sin2 i cos(M + 2 ) cos M - 8 1 sin2 i sin(M + 2 ) sin M . 8

2 -r0 C

1
20 2 a

Выделим образующуюся здесь постоянную часть возмущения наинизшего порядка относительно эксцентриситета
2 3 r0 r = C a(2 - 3 sin2 i). 2 20 4a

В итоге оказывается, что при заданном среднем движении спутника n возмущенное постоянное значение большой полуоси (6) следует определять по формуле
2 3 r0 a=a 1+ C (2 - 3 sin2 i) , 2 20 4a

(8)

где a находится из соотношения (5). Заметим, что из наблюдений обычно определяется возмущенное значение среднего движения n1 . Тогда невозмущенное значение n находят итерациями из соотношения

n1 = n[1 + 1 (J2 )],
где 1 (J2 ) вычисляется по формуле (1). При малых наклонах и эксцентриситетах лучше всего из наблюдений определяется возмущенное

10


среднее движение в долготе n. В этом случае n находится итерациями из из соотношения

n = n[1 + 1 (J2 ) + 2 (J2 ) + 3 (J2 )],

(9)

где 2 (J2 ) и 3 (J2 ) вычисляется по формулам (2, 3) или сумма 1 (J2 ) + 2 (J2 ) + 3 (J2 ) вычисляется по формуле (4). Рассмотрим специально случай малых эксцентриситетов и наклонов орбиты спутника сжатой планеты. Пренебрегая эксцентриситетом и наклоном в соотношениях (9) и (8), получим

n = n 1 + 3J

2

2 r0 a2

,

(10) (11)

2 3 r0 a = a 1 - J2 2 2a

.

В итоге учет основных возмущений, обусловленных сжатием планеты, позволяет представить спутник, обращающийся с частотой n по орбите радиуса a. Такая модель наилучшим образом будет соответствовать наблюдениям. Третий закон Кеплера, модифицированный в силу возмущений, примет вид

3 r2 a3 n2 = f m 1 + J2 0 2 a2

.

11


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Аксенов Е.П. Теория движения искусственных спутников Земли. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977, 360 с. Аксенов Е.П. Специальные функции в небесной механике. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986, 320 с. Емельянов Н.В. Метод вычисления лунно-солнечных возмущений элементов орбит ИСЗ. Труды ГАИШ. 1980. Т. 49. С. 122-129. Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. М.: Наука. 1968, 800 с. Brower D. Solution of the problem of articial satellite theory without drag. Astron. J. 1959. V. 64. P. 378-397.

12