Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.sai.msu.ru/neb/pcm/pcm02_12.pdf Дата изменения: Thu Sep 20 14:14:38 2007 Дата индексирования: Sun Apr 10 00:08:50 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: элементы орбиты

Н.В.Емельянов

ПРАКТИЧЕСКАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА
Оглавление. Глава 2. Простейшие механические модели в небесной механи-

ке.

2.12. Формулы кеплеровского движения относительно несингулярных элементов (элементов Лагранжа).
Кеплеровское движение является простейшим законом движения небесных тел. Выражения для координат и компонент скорости, как функций времени, следуют из общего решения уравнений движения задачи двух тел. Общее решение зависит также от шести независимых произвольных постоянных. Выбор независимых произвольных постоянных не является однозначным. В предыдущих разделах в качестве произвольных постоянных рассматривались кеплеровские элементы орбиты, которые имеют наглядный геометрический смысл. Однако в ряде практических задач выбор кеплеровских элементов в качестве параметров орбиты приводит к потере точности при вычислениях с ограниченным числом значащих цифр в значениях переменных. При применениях теории возмущений возникают проблемы, связанные с неравноценным вкладом различных членов в выражениях для возмущений кеплеровских элементов. В конечном счете это также приводит к потере точности теории. Такие проблемы возникают в случаях, когда эллиптическая орбита очень близка к круговой. Круговая орбита является вырождением эллиптической при стремлении эксцентриситета к нулю. Аналогичная ситуация возникает в случаях очень малых наклонов орбиты. В этих случаях угловое расстояние от восходящего узла орбиты и долгота узла определяются из наблюдений с пониженной точностью при неизменной точности самих наблюдений. Преодолеть указанные трудности при малых эксцентриситетах и наклонах кеплеровской орбиты позволяют элементы Лагранжа, выбранные в качестве независимых произвольных постоянных в общем решении уравнений задачи двух тел. Рассмотрим ниже формулы, которые позволяют непосредственно из элементов Лагранжа вычислять прямоугольные координаты тела. 1


Элементы орбиты связывают с произвольной невращающейся системой прямоугольных координат x, y , z , начало которой либо размещают в центре масс двух тел, либо совмещают с одним из тел. Для введения элементов Лагранжа воспользуемся принятыми в литературе обозначениями для кеплеровских элементов орбиты: n среднее движение, размерность радиан/ед.времени; e эксцентриситет, безразмерный; i наклон (двугранный угол между плоскостью орбиты и основной плоскостью Oxy ), рад.; M0 средняя аномалия в эпоху ( значение средней аномалии M в начальный момент времении эпоху ), рад.; угловое расстояние перицентра от восходящего узла орбиты, рад.; долгота восходящего узла орбиты (угол в плоскости Oxy между осью x и линией узлов), рад.; t0 начальный момент времени эпоха элементов; t текущий момент времени, на который вычисляются координаты тела. В некоторых случаях вместо среднего движения n в качестве исходного параметра орбиты рассматривают большую полуось орбиты a, связанную с n соотношением

a3 n2 = ч,
где ч - гравитационный параметр двух тел. Средняя аномалия M в любом случае вычисляется по формуле

(1)

M = n(t - t0 ) + M0 .

(2)

Будем полагать, что для вычисления прямоугольных координат на заданный момент времени известны пять элементов кеплеровской орбиты a, e, i, , и средняя аномалия M . Элементами Лагранжа считаются величины a, , k , h, q , p, пять из которых определяются соотношениями

= M + + , k = e cos( + ), h = e sin( + ), i i q = sin 2 cos , q = sin 2 sin .

(3)

Заметим, что называется средней долготой и является линейной функцией времени. 2


Если заданы элементы Лагранжа a, , k , h, q , p , то прямоугольные координаты x, y , z и компоненты скорости x, y , z можно вычислить по следующей последовательности формул. Сначала вычисляем

S = sin , C = cos , k = k C + h S, h = k S - h C.

(4)

Далее итерациями решаем уравнения

C = cos ,

S = sin ,

= h C + k S ,

(5)

полагая в нулевом приближении = h . Вычисляем вспомогательные величины = , 1 + 1 - k 2 - h2

(6) (7) (8)

S=

S - k + h C - h - k , C= , 1 - k C + h S 1 - k C + h S S = S C + C S C = C C - S S .

Теперь центральное расстояние r и прямоугольные координаты тела x, y , z найдутся по формулам

a (1 - k 2 - h2 ) r= , 1 + k C + h S x = r C (1 - 2p2 ) + 2 r S p q , y = r S (1 - 2q 2 ) + 2 r C p q , z=2r 1 - p2 - q 2 (q S - p C ).

(9)

(10)

Для вычисления компонент скорости необходимо найти вспомогательные величины

Vr = Vn =

ч (k S - h C ), a(1 - k 2 - h2 ) ч (1 + k C + h S ), a(1 - k 2 - h2 )

(11) (12)

Rx = 2 C p q - S (1 - 2 p2 ), Ry = C (1 - 2 q 2 ) - 2 S p q , Rz = 2 1 - p2 - q 2 (q C + p S ).
3 (13)


После этого компоненты скорости x, y , z вычисляются с помощью соот ношений x = x Vr + Rx Vn , r

y = y Vr + R y Vn , r z = z Vr + Rz Vn . r

(14)

Комментарий.
Укажем здесь два примера, когда элементы Лагранжа нашли удачное применение. Первый пример это теория вековых возмущений планет, построенная Лагранжем. В возмущающей функции были оставлены только вековые члены (независящие от долгот планет). Учитывая малость эксцентриситетов и взаимных наклонов орбит больших планет Солнечной системы, вековая часть возмущающей функции была разложена в степенной ряд относительно эксцентриситетов и взаимных наклонов, и в разложении оставлены члены до второй степени включительно. При этом большие полуоси орбит планет считались неизменными. Относительно элементов Лагранжа удалось записать линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Решение этих уравнений получено Лагранжем в виде суммы тригонометрических функций относительно линейных по времени аргументов. Это позволило описать эволюцию орбит планет на больших промежутках времени и обнаружить интересные свойства взаимных возмущений планет. Хорошее описание метода Лагранжа можно найти в могографии М. Ф. Субботина (1968). Второй пример является фактически применением метода Лагранжа для построения аналитической теории движения главных спутников Урана. Эта теория, созданная Ляскаром и Якобсоном (1987), до недавнего времени была единственным средством получения самых точных эфемерид главных спутников Урана.

4


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Субботин М. Ф. Введение в теоретическую астрономию. Наука, М., 1968. 800 стр. Laskar J., Jacobson R. A. (1987) GUST86 - An analytical ephemeris of the Uranian satellites. Astronomy and Astrophysics. V. 188. N. 1. P. 212-224.

5