Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.sai.msu.ru/neb/PracticumCM/PracticumCM_N02.pdf Дата изменения: Wed Apr 30 16:22:53 2014 Дата индексирования: Sun Apr 10 00:37:59 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: вторая космическая скорость

Кафедра небесной механики, астрометрии и гравиметрии физического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова.

Специальный практикум по небесной механике.

Задача No. 2.

Лукьянов Л.Г.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗАТРАТ И КАЛЕНДАРНЫХ ДАТ ОТПРАВЛЕНИЯ И

ВОЗВРАЩЕНИЯ ЭКСПЕДИЦИИ К ПЛАНЕТЕ

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Для выполнения

маневров перелет

на борту

космического аппарата

устанавливается ра-

кетный двигатель, позволяющий создавать реактивную силу, определенной величины и направления. С помощью соответствующим образом выбранных маневров можно осуществить космического аппарата из окрестности Земли к зара-

нее выбранной планете Солнечной системы. По величине создаваемой двигателем реактивной силы различаются двигатели малой и большой тяги. Далее ограничимся использованием только двигателей большой тяги.

1.1. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ

Для двигателей большой тяги (ЖРД - жидкостные реактивные двигатели или РДТТ - реактивные двигатели твердого топлива) при осуществлении маневров на орбите время работы двигателя является малой величиной по сравнению с временем перелета к планете. Поэтому вводится понятие

импульсного

маневра, при выпол-

нении которого считается, что изменение скорости движения аппарата происходит мгновенно. Скорость движения аппарата рую конечную величину

V

V

, называемую

импульсом скорости

при этом изменяется скачком на некото.

Для оценки величины импульса скорости, создаваемого реактивным двигателем, рассмотрим уравнения движения ракеты в виде

m

dm dV =w + F, dt dt
1

(1)


где

m

масса ракеты,

w

относительная скорость истечения рабочего тела из

сопла двигателя,

F

равнодействующая внешних сил.

Если положить

F =0

, т.е. рассмотреть движение ракеты в бессиловом поле и,

кроме того, считать скорость истечения постоянной параллельно скорости движения ракеты разделением переменных:

w = const

и всегда направленной

V

, то уравнение (1) легко интегрируется

Уравнение (2) называют

формулой Циолковского.

m V = V - V0 = w ln . m0

(2)

Эта формула связывает измене-

ние скорости космического аппарата с изменением его массы и, тем самым, определяет импульс скорости

V

в зависимости от массы выгоревшего топлива

m = m0 - m

при заданной в качестве характеристики двигателя относительной скорости истечения массы

w

. Несмотря на весьма грубое предположение

F =0

, формула Циолков-

ского дает достаточно хороший результат в случае малого интервала времени работы t |F |dt. Поэтому при проектировании двигателя, так как остается малым интеграл t0 космических аппаратов эта формула широко используется. Приращение скорости, определяемое формулой Циолковского, называют

характеристической скоростью.

Эта формула определяет такую величину скорости, которую приобрел бы космический аппарат при отсутствии потерь от многочисленных возмущающих факторов.

1.2. МЕТОД СКЛЕИВАНИЯ ТРАЕКТОРИЙ

Аналитическое определение траектории

межпланетного перелета

является од-

ной из самых трудных задач небесной механики, так как метод малого параметра (основной метод теории возмущений) здесь не применим ввиду отсутствия такого параметра. Поэтому для приближенного определения траектории межпланетного перелета используется метод

склеивания

траекторий задачи двух тел. А именно, около

каждой планеты определяется некоторая область, называемая

сферой действия

пла-

неты, внутри которой движение космического аппарата рассчитывается по задаче двух тел планета - космический аппарат, а вне сферы действия по другой задаче двух тел Солнце - космический аппарат. Поэтому внутри сферы действия космический аппарат движется по планетоцентрической гиперболической траектории, а вне сферы действия по гелиоцентрической эллиптической. Вся траектория состоит из трех склеенных частей: двух внутри сфер действия обеих планет и одной вне этих сфер. Размеры сфер действия планет малы по сравнению с межпланетными расстояниями, поэтому протяженность траектории движения космического аппарата внутри сферы действия планеты весьма мала по сравнению с протяженностью всей траектории перелета.

2


Это дает возможность использовать следующую приближенную схему перелета. Весь полет по планетоцентрическим орбитам внутри сфер действия планет отправления и назначения считать происходящим мгновенно (за ничтожно малое время) с мгновенным изменением скорости аппарата до ее значения

V1

(или

V2

), вычисленно-

го на границе сферы действия при планетоцентрическом движении аппарата. А всю сферу действия планеты условно считать точечной, расположенной в центре планеты. Вся траектория перелета тогда будет слагаться из двух мгновенных импульсных перелетов по планетоцентрическим орбитам и движения космического аппарата по эллиптической гелиоцентрической орбите, начинающейся в центре планеты отправления с начальной скоростью

V1

и заканчивающейся в центре планеты назначения

с аналогичным образом рассчитанной скоростью определяются в следующем параграфе.

V

2 . Величины скоростей

V

1и

V2

1.3. ГОМАНОВСКИЙ ПЕРЕЛЕТ Движение вне сфер действия планет определяется траекторией оптимального двух-импульсного перелета с одной круговой орбиты на другую, а именно, с орбиты

отправления на орбиту назначения. Такой двух-импульсный перелет называют гомановским в честь Гомана, предложившего его в 1924 г. для осуществления межпланетных перелетов космических кораблей. При осуществлении гомановского перелета сначала в некоторой точке ной круговой орбиты

(1)

началь-

(I )

с помощью мгновенно отработавшего двигателя космиче-

ский аппарат приобретает первый импульс скорости ной к орбите, и переходит на эллиптическую орбиту

V1 (T ) с

, направленный по касательперицентром, совпадающим

с точкой подачи первого импульса скорости. Величина импульса скорости выбирается такой, чтобы в апоцентре орбитой планеты

(2) эллиптическая назначения (F ), где подается

орбита

(T )

соприкасалась с круговой

второй импульс скорости

V

2 (второе

включение двигателя) также по касательной к орбите. Величина второго импульса скорости выбирается равной разности между местной круговой скоростью и скоростью аппарата в апоцентре эллиптической орбиты. В результате аппарат оказывается на круговой орбите назначения. Скорости движения аппарата в начальной орбиты определяются значениями

V

1 и конечной

V2

точках гомановской

V1 = VI + V1 ,
где

V2 = VF + V2 ,

(3)

VI

и

VF

орбитальные скорости гелиоцентрического движения планет отправ-

ления и назначения соответственно. Строго показано, что гомановский перелет является оптимальным среди всех двухимпульсных перелетов, т. е. для его осуществления требуется минимально возможное количество топлива. Но, энергетические затраты можно уменьшить, если

3


(a) Перелет на внешнюю орбиту

(b) Перелет на внутреннюю орбиту

Рис. 1: Схема гомановского перелета. Обозначения: ты отправления,

(I )

круговая орбита плане-

(F )

круговая орбита планеты назначения,

(T )

эллиптическая

орбита гомановского перелета с начальной центрический радиус орбиты отправления, назначения,

(I ) RF

на конечную орбиту

(F ), RI

гелио-

гелиоцентрический радиус орбиты конечная точки осуществления первый и второй импульсы ско-

S

Солнце,

гомановского перелета,

(1) и (2) начальная и 1 и V2 соответственно V

рости, необходимые для гомановского перелета.

осуществлять трехимпульсный перелет. Далее ограничимся рассмотрением только гомановского перелета. Схема гомановского перелета космического аппарата изображена на рис.1.

1.4. ВЫХОД ИЗ СФЕРЫ ДЕЙСТВИЯ ПЛАНЕТЫ

Внутри сферы действия планеты движение космического аппарата определяется задачей двух тел планета - космический аппарат. Траекторией движения здесь является планетоцентрическая гипербола. Будем считать, что космический аппарат уже выведен на круговую орбиту искусственного спутника планеты отправления. Мгновенный переход на гиперболическую орбиту осуществляется приложением в некоторой точке исходной круговой орбиты космического аппарата импульса скорости

1 v

. Величина этого импульса подбирается такой, чтобы при достижении сферы

действия планеты гелиоцентрическая скорость космического аппарата оказалась равной скорости движения по гомановской орбите скорости

V1

в точке

1.

Аналогично по величине

V

2 определяется второй импульс скорости
4

2 v

. На рис. 2 изображен общий


(a) Отлет с круговой орбиты

(b) Прилет на круговую орбиту

Рис. 2: Траектория полета внутри сферы действия планеты. Обозначения: круговая орбита искусственного спутника планеты, внутри сферы действия,

(o)



(g )

гиперболическая орбита

A

точка подачи импульса скорости,

B

точка орбиты,

лежащая на сфере действия.

вид гиперболической траектории внутри сферы действия планеты, иллюстрирующей склеивание планетоцентрических обрит вблизи планет отправления и назначения с орбитой гомановского перелета.

2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗАТРАТ
Для определение энергетических затрат, т.е. суммарной характеристической скорости

| | = |1 | + |2 |, v v v

необходимой для осуществления перелета с круговой

орбиты искусственного спутника одной планеты на круговую орбиту искусственного спутника другой планеты, нужно: - определить радиусы сфер действия планет, - вычислить начальную

V1

(в точке 1) и конечную

V

2 (в точке 2) скорости, необ-

ходимые для осуществления гомановского перелета, - вычислить импульсы скорости

1 v

и

2 v

, необходимые для осуществления ги-

перболического планетоцентрического движения с орбиты (или на орбиту) искусственного спутника планеты до сферы действия планеты, т.е. произвести склеивание планетоцентрической гиперболической орбиты, расположенной внутри сферы действия, с гелиоцентрической эллиптической гомановской орбитой, расположенной вне сферы действия.

2.1. РАДИУС СФЕРЫ ДЕЙСТВИЯ ПЛАНЕТЫ

5


Для определения радиуса сферы действия планеты рассмотрим уравнения движения в абсолютной системе координат задачи трех тел: Солнца, планеты и космического аппарата. Учитывая, что масса космического аппарата по сравнению с массами планеты

m

ничтожно мала

m

P и Солнца

m

0 , в уравнениях движения можно

пренебречь силами притяжения Солнца и планеты космическим аппаратом, т.е. рассматривать ограниченную задачу трех тел. Тогда система дифференциальных уравнений абсолютного движения указанной ограниченной задачи трех тел принимает вид

RP P - 0 Е = f m 0 mP 3 , m0 0 = f m 0 mP 3 RP RP P - 0 RP Е mP P = -f m0 mP = -f m0 mP 3 , 3 RP RP 0 - P - R r Е m = f m 0 m + f mP m = -f m 0 m 3 - f m P m 3 , R3 r3 R r
где

(4)

0 , P ,

радиусы-векторы Солнца, планеты и космического аппарата в абсо-

лютной системе координат, и космического аппарата, (см. рис. 3).

RP , R

гелиоцентрические радиусы-векторы планеты

r

планетоцентрический радиус космического аппарата

Вычитанием первого уравнение системы (4), умноженного на го, умноженного на

1/m0

, из третье-

1/m

, получается уравнение относительного гелиоцентрического

движения космического аппарата

R RP r Е R + ч0 3 = чP 3 - 3 , R RP r
а вычитанием второго уравнения системы (4), умноженного на умноженного на





(5)

1/m

P , из третьего,

1/m,

уравнение относительного планетоцентрического движения

космического аппарата

r R RP Е + чP 3 = ч0 3 - 3 . r r RP R





(6)

Центральным телом в уравнении (5) является Солнце, а возмущающим планета. В уравнении (6), наоборот, центральным телом является планета, а возмущающим Солнце. Абсолютные величины центрального

G0

и возмущающего

F

0 ускорений,

действующих на космический аппарат в гелиоцентрическом движении, имеют значения

G0 =

ч0 , R2

F0 = ч

P

RP r - 3, 3 RP r GP
и возмущающего

(7)

а аналогичные абсолютные величины центрального ний в планетоцентрическом движении значения

F

P ускоре-

GP =

чP , r2

FP = ч0
6

RP R - 3. 3 RP R

(8)


Рис. 3: Используемые радиусы-векторы. Обозначения: стемы координат,

O

начало абсолютной си-

S

Солнце,

P

планета,

K

космический аппарат.

Сферой действия планеты называется область вокруг планеты, внутри которой отношение модуля возмущающего ускорения

F

к центральному

G

в планетоцентри-

ческом движении не превосходит аналогичного отношения в гелиоцентрическом движении, т.е. сфера действия определяется неравенством

F0 FP . G0 GP
венства. Уравнение сферы действия планеты можно упростить, если величины

(9)

Граница сферы действия получается из (9) заменой знака неравенства на знак ра-

G0

,

GP , F

0,

F

P выразить через

ч0 , ч

P,

r, RP

. При этом делают упрощающие предполо-

жения, приближенно выполняющиеся на сфере действия:

R RP ,
где

r = , RP G0 , GP , F0 , FP
можно записать

(10)



малая величина. Тогда величины

G0 =

ч0 ч0 чP RP r чP 2 , GP = 2 , F0 = чP 3 - 3 2 , 2 R RP r RP r r r R+ RP r ч0 r FP = ч0 3 - ч0 0 - 3, 3 3 RP (RP + r) (RP + r) RP ч0 r чP 3 2 RP r ч0 = чP . 2 RP r2
7

(11)

а уравнение сферы действия примет вид

(12)


Планета

rsd 106 ћкм
0.11178 0.61696 0.92482 0.57763 48.141 54.774 51.755 86.952 35.812

P 32 км /с
132712439940 22032.080 324858.599 398600.433 42828.314 126712767.858 37940626.061 5794549.007 6836534.064 981.601 4902.801

ч

RP 10 ћкм
6
57.909 108.209 149.598 227.941 778.293 1429.371 2874.995 4504.346 5911.775 0.3844

n

P

VP
км/с 47.87 35.02 29.79 24.13 13.06 9.66 6.80 5.44 4.74

r

P

(P )0
град 252.2509 181.9798 100.4664 355.4330 34.3515 50.0774 314.0550 304.3487

гр./сут 4.092 1.602 0.986 0.524 0.083 0.034 0.012 0.006 0.004

км 695992 2415 6035 6374 3285 69830 57500 24150 2900 6500 1738

Солнце Меркурий Венера Земля Марс Юпитер Сатурн Уран Нептун Плутон Луна

Таблица 1: Используемые постоянные Солнца, планет и Луны. Для Луны приведены постоянные, связанные с Землей. Средняя долгота

(P )0

определена в эпоху

t0 =

J 2000.0, (J D = 2451545.0)

.

После преобразования отсюда получается радиус сферы действия планеты (обозначенный через

r

sd ) в виде выражения, известного как закон двух пятых:

(

r

sd

= RP

чP ч0

)2

/5

.

(13)

Числовые значения радиусов сфер действия планет Солнечной системы приведены в таблице 1.

8


2.2. ДВИЖЕНИЯ ВНЕ СФЕРЫ ДЕЙСТВИЯ ПЛАНЕТЫ Интеграл энергии для эллиптического движения космического аппарата по гомановской перелетной орбите записывается в виде

V2-
где

2ч0 ч0 =- , R aT R

(14)

V

гелиоцентрическая скорость движения космического аппарата,

его ге-

лиоцентрический радиус, релетной орбиты,

a

T

= (RI + RF )/2

большая полуось гомановской пе-

RI

радиус начальной орбиты,

RF

радиус конечной орбиты

ч0 = f ћ m0 , f

универсальная гравитационная постоянная,

m

0 масса Солнца (см.

также рис. 1). Из формулы (14) определяются скорости движения космического аппарата в перигелии

V

и афелии

V

орбиты



V =
При перелете от Земли

2ч0 ч0 -, RI aT P



V =

2ч0 ч0 -. RF aT

(15)

E

к планете

индексы в этих формулах следует положить

I = E и F = P , а при перелете в обратном направлении, наоборот, I = P и F = E . Для перелета на внешнюю орбиту скорость в перигелии V определяет скорость V1 = V , а в афелии V2 = V . При перелете на внутреннюю орбиту, наоборот: V1 = V и V2 = V . Время перелета по гомановскому полу-эллипсу равно = , nT
где



nT =

ч0 a
3/2 T

,

(16)

n

T среднее движение по гомановской орбите.
2.3. ДВИЖЕНИЯ ВНУТРИ СФЕРЫ ДЕЙСТВИЯ ПЛАНЕТЫ

Интеграл энергии уравнений движения внутри сферы действия планеты записывается в виде

2 vA -
где

2чP 2чP 2 = vB - , rA rB H rB = rsd


(17)

rA = rP + H

планетоцентрический радиус начальной круговой орбиты косми-

ческого аппарата,

r

P средний радиус поверхности планеты,

высота круговой радиус сферы

орбиты космического аппарата над поверхностью планеты,



действия планеты,

vA =

чP /rA + v

1 планетоцентрическая скорость движения

аппарата в момент его схода с начальной круговой орбиты, рость на начальной орбите искусственного спутника планеты, скорости, создаваемый двигателем,

чP /rA v1

круговая скопервый импульс

v

B планетоцентрическая скорость движения
9


аппарата в момент достижения им сферы действия планеты, ционный параметр планеты, приведены также на рис. 2. Планетоцентрическая скорость

чP = f m

P гравита-

m

P масса планеты. Обозначения некоторых величин

v

B определяется по уже найденной скорости в

перигелии (или афелии) гомановской орбиты скорости движения планеты

VB = V

(или

VB = V

) и орбитальной

V

P:

vB = VB - VP ,

где

(18)

VP =
Полагая

(ч0 + чP )/RP P =E

переносная скорость движения планеты относительно

Солнца. , из формул (17) и (18) определяется величина первого импульса

скорости

v

1 , обеспечивающего переход с круговой орбиты искусственного спутника

Земли на гиперболическую перелетную орбиту,



v1 = vA -
где

чE = rE + H



2чE 2чE + (VB - VE )2 - - rE + H rB
планете, и



чE , rE + H

(19)

VB = V при полете к внешней (ч0 + чE )/RE . планете, VE =

VB = V

при полете к внутренней

Таким же путем определяется и второй импульс скорости

v

2 , обеспечивающий

перелет с гиперболической орбиты в сфере действия планеты назначения на круговую орбиту искусственного спутника этой планеты:



v2 = vA -
где

чP = rP + H



2чP 2чP + (VB - VP )2 - - rP + H rB VB = V



чP , rP + H

(20)

VB = V

для внешней планеты, и

для внутренней планеты.

Суммарная характеристическая скорость, необходимая для осуществления перелета планета отправления планета назначения оказывается равной

v = v1 + v2 ,

(21)

а характеристическая скорость, требующаяся для всей миссии (с учетом перелета в обратном направлении) просто удвоится

2v

.

3. КАЛЕНДАРНЫЕ ДАТЫ СТАРТА И ВОЗВРАЩЕНИЯ
При осуществлении перелета к планете назначения дату старта нужно выбирать таким образом, чтобы в момент попадания космического аппарата на орбиту планеты назначения (точка 2 на рис. 1) сама планета

P

также оказалась в этой точке. Для

этого в момент старта космического аппарата планета назначения должна находиться на некотором вполне определенном угловом расстоянии



по долготе от планеты

10


(a) Перелет на внешнюю орбиту

(b) Перелет на внутреннюю орбиту

Рис. 4: Схема необходимого взаимного расположения планеты отправления неты назначения

E

и пла-

P

в момент старта космического аппарата.

отправления, опережая ее (при перелете к внешней планете) или отставая (при полете к внутренней планете), как это изображено на рис. 4. Зная время гомановского перелета



от точки 1 до точки 2, величину



можно вычислить по формуле (22)

= +( - nF ),

где верхний знак перед скобкой берется при перелете на внешнюю (по отношению к орбите отправления) орбиту, а нижний при перелете на внутреннюю орбиту, 3/2 nF = ч0 + чP /RP - среднее движение планеты назначения. Средние долготы планеты отправления делить по формулам



I и планеты назначения



F можно опре-

I = (I )0 + nI (t - t0 ),
где

F = (F )0 + nF (t - t0 ), t

(23)

(I )0

и

(I )

0 значения средних долгот в начальную эпоху

0 планет отправле-

ния и назначения соответственно, Солнца. Составляя разность

n

Iи

n

F средние движения этих планет вокруг

F - I = (F )0 - (I )0 + (nF - nI )(t - t0 ),
и приравнивая ее величине определения всех

(24)

+ 2j , (j = 0, +1, +2, . . .), получаем уравнение для возможных моментов старта tst1 космического аппарата с орбиты
11


отправления в виде

t
где величина

st1

= t0 +

2j - F + I + , (j = 0, +1, +2, . . .), nF - nI nF - nI
.

(25)



EP

= 2 /(nF - nI )

определяет период повторяемости взаимных распо-

ложений планет, сохраняющих разность средних долгот, равной Знание величины

при возвращении космического аппарата на Землю позволя-

ет вычислить время ожидания ближайшего благоприятного момента tst2 для старта с орбиты планеты. Для этого нужно воспользоваться формулой (25), определяя в ней минимальное значение величины

j

, удовлетворяющей неравенству

t

st2

>t

st1

+ j

EP .

4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
Для оценки точности проведенных вычислений траектории движения космического аппарата с использованием сфер действия планет можно провести численное интегрирование следующих уравнений гелиоцентрического движения аппарата

R RE r RP P r Е R + ч0 3 = чE 3 - 3 + чP 3 - 3 , R RE r RP rP
где









(26)

R = RE + = RP + P = {X, Y }, = {x, y } r r r E

и

P = {xP , yP } r P

соответственно ге-

лиоцентрические, геоцентрические и планетоцентрические координаты космического аппарата, индекс определяет параметры Земли, а планеты.

Радиусы-векторы планет

RE = {XE , YE },

RP = {XP , YP },

(27)

считаются известными, их координаты определяются по формулам

XE = RE cos(E ), XP = RP cos(P ),

YE = RE sin(E ), YP = RP sin(P ),

(28)

где средние долготы планет задаются равенствами

E = (E )0 + nE (t - t0 ), (E )0 и (P )0 2451545.0).
а

P = (P )0 + nP (t - t0 ),

(29)

средние долготы планет в начальную эпоху

t0 = J 2000.0 (J D =

Уравнения (26) тогда можно записать в скалярной форме

Е X Е Y

X XE x XP xP + ч0 3 = чE - 3 + чP -3 , 3 3 R R r R rP (E (P ) ) Y YE y YP yP + ч0 3 = чE - 3 + чP -3 , 3 3 R RE r RP rP
12

(

)

(

)

(30)


Систему уравнений (30) необходимо проинтегрировать численно с начальными условиями при

t = ti = t

st1 и

= i = (ti ):

Xi = (XE )i + xi = RE cos i + r cos i , Yi = RE sin i + r sin i , Xi = -RE nE sin i - rnE sin i - v1 sin i , Yi = RE nE cos i + rnE cos i + v1 cos i .

(31)

Численным интегрированием необходимо получить значения координат и скоростей в момент времени

tk = ti +

и сравнить их с координатами и скоростями,

полученными при гомановском перелете и вычислить значение импульса скорости

v1

.

ЛИТЕРАТУРА
1. Эскобал П. Методы астродинамики. М. Изд. Мир. 1971. 2. Суханов А.А. Астродинамика. М. Ротапринт ИКИ РАН. 2009. 3. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике.Под ред. Г.Н.Дубошина. М. Наука. 1976. 4. Сайт отдела небесной механики ГАИШ: http: //www.sai.msu.ru/neb/rw/

13