Если в координатах t, r, "teta", "fi" рассмотреть в окрестности горизонта метрики Шварцшильда
g00=1-2GM/R, g11=-1/(1-2GM/R), g22=-R2, g33=-R2*sin2"teta",
круговое движение пробной частицы с массой m (при R=const, "teta"= "pi"/2) под действием радиальной проекции четырехсилы F1 (при F0, F2, F3=0), то решение уравнений движения, при указанных условиях и при c=1, приводит для скорости кругового движения частицы к выражению:
V=sqrt[(1-2GM / R)(GM / R2 - F1 / m) / (((1-2GM/ R ) / R) - F1 / m)]. (1)
Удобнее, приняв F1 / m = А*GM / R2, записать это так
V=sqrt[(1- Rg / R)(Rg / 2R)(1-A) / ( 1- (Rg / R)(1-A / 2))], (2)
где Rg -гравитационный радиус.
Из условия действительности интервала вдоль мировой линии частицы следует, что и величина скорости кругового движения частицы, и величина радиально направленной силы, приложенной к частице и обеспечивающей соответствующую круговую скорость, могут меняться в совершенно определенных пределах, зависящих от величины R круговой орбиты (см. Таблицу). В 3-ем и 5-ом столбцах таблицы приведены приближенные значения этих пределов для некоторых значений R в окресности горизонта событий. В 4-ом столбце приведены значения так называемой первой космической скорости соответствующей значению А=0.
Значения А > 0 соответствуют действию силы в радиальном направлении от центра тяготения, значения А < 0 соответствуют направлению к центру.
Таблица.
R Rg/R Vпредельная км/с Vперв.косм. км/с А
-------------------------------------------------------------------------
4Rg 1/4 от 0 до 259 808 106 066 -2,5<A<1
3Rg 1/3 ----//----244 949 122 475 -1,5<A<1
2Rg 1/2 ----//----212 132 150 000 -0,5<A<1
5Rg/3 3/5 ----//----189 737 164 317 -0,7<A<1
11Rg/7 7/11 ----//----180 907 169 223 -0,07<A<1
3Rg/2* 2/3* ----//----173 205* 173 205* 0<A<1*
10Rg/7 7/10 ----//----164 317 0,07<A<1
5Rg/4 4/5 ----//----134 164 0,25<A<1
11Rg/9 9/11 ----//----127 920 0,28<A<1
10Rg/9 9/10 ----//-----94 868 0,39<A<1
100Rg/99 99/100 ----//-----30 000 0,49<A<1
Любопытно, что при R<3Rg/2 ни свободное круговое движение, ни круговое движение под действием силы, направленной радиально к центру тяготения, невозможно. Но возможно круговое движение под действием силы, направленной радиально от центра тяготения. Пределы изменения величины этой силы и соответствующей круговой скорости приведены в таблице.
Cледует еще заметить, что при любых допустимых значениях А, интервал вдоль мировой линии пробной частицы может быть представлен в виде
ds2=(1-Rg/R -V2)dt2. (3) |
» Общий форум